高等数学试题1--11
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高试1
一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1. )(
0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .
（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.
2.
）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=
x x x x x
x βα.
（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；
（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.
3. 若
()()()0
2x
F x t x f t dt
=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则
（ ）.
（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；
（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4. )
(
)( , )(2)( )(1
0=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设
（A ）22x （B ）2
2
2x +（C ）1x - （D ）2x +.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =
+→x
x x sin 2
)
31(lim .
6. ,)(cos 的一个原函数是已知
x f x x
=⋅⎰x x x x f d cos )(则 .
7.
lim
(cos cos cos )→∞
-+++=2
2
221 n n n
n
n n π
π
ππ .
8.
=
-+⎰
2
1
2
1
2
211
arcsin －
dx x
x x .
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9. 设函数=()y y x 由方程
sin()1x y
e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
10. .d )1(17
7
x x x x ⎰+-求
11. ．
求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32
)(1020
)(dx x f x x x x xe x f x
12. 设函数)(x f 连续，
=⎰1
()()g x f xt dt
，且→=0
()
lim
x f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨
论'()g x 在=0x 处的连续性.
13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足
=-
1
(1)9y 的解.
四、 解答题（本大题10分）
14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切
线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.
五、解答题（本大题10分）
15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.
(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，
1
()()≥⎰⎰q
f x d x q f x dx
.
17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0
)(0
=⎰
π
x d x f ，
cos )(0
=⎰
π
dx x x f .证明：在
()π,0内至少存在两个不同的点2
1,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设
⎰
=
x
dx
x f x F 0
)()(）
高试2
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ ）不一定是无穷小. (A)
()()x x βα+
(B) ()()x x 2
2βα+
(C)
[])()(1ln x x βα⋅+
(D) )()
(2x x βα
2. 极限a
x a x a x -→⎪⎭⎫ ⎝⎛1sin sin lim 的值是（ ）. （A ） 1
（B ） e
（C ） a
e
cot （D ） a
e
tan
3.
⎪⎩⎪
⎨⎧=≠-+=001
sin )(2x a x x
e x x
f ax 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ） 1
（B ） 0 （C ） e
（D ） 1-