15-1欧拉图与哈密顿图

L1r = min{ L12 + d 25 , L12 + d 24 , L13 + d 34 , L13 + d 36 }
= min{5 + 7, 5 + 2, 2 + 7, 2 + 4} = L16
标号， 此时对 v6 标号，将[v3 , v6 ] 线加粗
5 v2
5
7 2
v 47
7 v 5
3
0 v1
举例
欧拉图
半欧拉图
无欧拉通路
欧拉图
无欧拉通路
无欧拉通路
无向欧拉图的判定定理
定理15.1 无向图G是欧拉图当且仅当 是连通图， 是欧拉图当且仅当G是连通图 定理15.1 无向图 是欧拉图当且仅当 是连通图，且G中没有奇 中没有奇 度顶点。 度顶点。 是平凡图， 证明 若G是平凡图，结论显然成立。 是平凡图 结论显然成立。 下面设G为非平凡图， 条边的n 下面设 为非平凡图，设G是m条边的n阶无向图， 为非平凡图 是 条边的 阶无向图， 并设G的顶点集 ＝ 并设 的顶点集V＝{v1,v2,…,vn}。 的顶点集 必要性。因为G为欧拉图，所以 中存在欧拉回路， 为欧拉图， 中存在欧拉回路， 必要性。因为 为欧拉图 所以G中存在欧拉回路 中任意一条欧拉回路， 都在C上 设C为G中任意一条欧拉回路，∀vi,vj∈V，vi,vj都在 上， 为 中任意一条欧拉回路 ， 因而v 连通，所以G为连通图 为连通图。 因而 i,vj连通，所以 为连通图。 又∀vi∈V，vi在C上每出现一次获得2度， ， 上每出现一次获得2 上每出现一次获得 若出现k次就获得2 度 若出现 次就获得2k度，即d(vi)＝2k， 次就获得 ( ， 所以G中无奇度顶点。 所以 中无奇度顶点。 中无奇度顶点
例题
(1)(2)是哈密顿图。 (1)(2)是哈密顿图。 是哈密顿图 (3)是半哈密顿图。 (3)是半哈密顿图。 是半哈密顿图 (4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图。 (4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图。 既不是哈密顿图
15.3 带权图与货郎担问题
定义15.3 给定图G＝ , >( 为无向图或有向图) >(G为无向图或有向图 定义15.3 给定图 ＝<V,E>( 为无向图或有向图)，设W： ： E→R(R为实数集)，对G中任意的边 ＝(vi,vj)( 为有向图 为实数集) 中任意的边e＝ )(G为有向图 → ( 为实数集 中任意的边 >)， 称实数w 为边e上的权 上的权， 时，e＝<vi,vj>)，设W(e)＝wij，称实数 ij为边 上的权，并 ＝ ( ) 标注在边e上 将wij标注在边 上，称G为带权图，此时常将带权图 记作 为带权图，此时常将带权图G记作 <V,E,W>。 , , > 设G ′⊂ ， ′⊂G， 即
离散数学
第15章 欧拉图与哈密顿图
15.1 欧拉图
历史背景－－哥尼斯堡七桥问题 历史背景－－哥尼斯堡七桥问题 －－
欧拉图是一笔画出的边不重复的回路。 欧拉图是一笔画出的边不重复的回路。
欧拉图
定义15.1 通过图（无向图或有向图）中所有边一次且仅一次 定义15.1 通过图（无向图或有向图） 行遍图中所有顶点的通路称为欧拉通路 欧拉通路， 行遍图中所有顶点的通路称为欧拉通路，通过图中所有边 一次并且仅一次行遍所有顶点的回路称为欧拉回路 回路称为欧拉回路。 一次并且仅一次行遍所有顶点的回路称为欧拉回路。具有 欧拉图， 欧拉回路的图称为欧拉图 欧拉回路的图称为欧拉图，具有欧拉通路而无欧拉回路的 图称为半欧拉图 半欧拉图。 图称为半欧拉图。 说明 欧拉通路是图中经过所有边的简单的生成通路(经过所 欧拉通路是图中经过所有边的简单的生成通路( 有顶点的通路称为生成通路) 有顶点的通路称为生成通路)。 欧拉回路是经过所有边的简单的生成回路。 欧拉回路是经过所有边的简单的生成回路。
v2 5 v1
7 2
v5 3
v4
1
v7
6
2
7
2
4
v3
v6
5 v2
5
7 2
v4
v5
3
0 v1
2
1 2 4 6
v7
7
v3
v6
2
同 v1相邻的未标号点有 v2 , v3 所以
L1r = min{d12 , d13 } = min{5, 2} = L13
标号， 此时对 v3 标号，将[v1 , v3 ] 线加粗 同 v1 , v3 相邻的未标号点有 v2 , v4 , v6
定理15.1的证明 定理15.1的证明 15.1
充分性。由于 为非平凡的连通图可知 为非平凡的连通图可知， 中边数 ≥1。 中边数m≥1 充分性。由于G为非平凡的连通图可知，G中边数 ≥1。 作归纳法。 对m作归纳法。 作归纳法 (1)m＝ 的连通性及无奇度顶点可知， (1) ＝1时，由G的连通性及无奇度顶点可知， 的连通性及无奇度顶点可知 G只能是一个环，因而G为欧拉图。 只能是一个环，因而G为欧拉图。 只能是一个环 (2)设m≤k(k≥1)时结论成立，要证明m＝k+1 ≥1)时结论成立 +1时 结论也成立。 (2)设m≤k(k≥1)时结论成立，要证明m＝k+1时，结论也成立。 的连通性及无奇度顶点可知， )≥2。 由G的连通性及无奇度顶点可知，δ( )≥2。 的连通性及无奇度顶点可知 δ(G)≥2 无论G是否为简单图，都可以用扩大路径法证明 中必含圈 中必含圈。 无论 是否为简单图，都可以用扩大路径法证明G中必含圈。 是否为简单图
e∈E(G')
的权，并记作W( ( ) ∑W(e) 称W(e)为G ′的权，并记作 (G ′)，
e∈E(G')
W(G ′)＝ (
∑W(e)
带权图应用的领域是相当广泛的， 带权图应用的领域是相当广泛的，许多图论算法都是针 对带权图的。 对带权图的。
Dijkstra算法 算法
出发，逐步向外探寻最短路，执行过程中， 从某一个 v s 出发，逐步向外探寻最短路，执行过程中，与每 一个点对应，记录下一个数(该点的标号) 一个点对应，记录下一个数(该点的标号)，它表示从 v s 到 该点的最短路的权. 该点的最短路的权. 例 求该图中从 v1到v7 最短路
求欧拉图中欧拉回路的算法
Fleury算法，能不走桥就不走桥 算法， 算法 任取v (1) 任取 0∈V(G)，令P0＝v0。 ( ) 已经行遍， (2) 设Pi＝v0e1v1e2…eivi已经行遍，按下面方法来从 ＝ E(G)-{e1,e2,…,ei}中选取 i+1： 中选取e +1 ( ) 相关联； (a) ei+1与vi相关联； +1 除非无别的边可供行遍，否则e +1 (b) 除非无别的边可供行遍，否则 i+1不应该为 Gi＝G-{e1,e2,…,ei}中的桥。 中的桥。 (3)当(2)不能再进行时，算法停止。 (3)当(2)不能再进行时，算法停止。 不能再进行时 可以证明， 说明 可以证明，当算法停止时所得简单回路 Pm＝v0e1v1e2…emvm(vm＝v0) 中一条欧拉回路。 为G中一条欧拉回路。 中一条欧拉回路
Fleury算法示例 Fleury算法示例
例15.2
下图是给定的欧拉图G。某人用 算法求G中的欧拉回路时 下图是给定的欧拉图 。某人用Fleury算法求 中的欧拉回路时 算法求 走了简单回路v 之后( ，走了简单回路 2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2之后(观看他的 错误走法) 无法行遍了，试分析在哪步他犯了错误? 错误走法)，无法行遍了，试分析在哪步他犯了错误? 此人行遍v 解答 此人行遍 8时犯了能不走桥就不走桥 的错误，因而他没行遍出欧拉回路。 的错误，因而他没行遍出欧拉回路。 当他走到v 当他走到 8时，G-{e2,e3,e14,e10,e1,e8} 为下图所示。 为下图所示。 此时e 为该图中的桥， 均不是桥， 此时 9为该图中的桥，而e7,e11均不是桥， 他不应该走e 而应该走e 他不应该走 9，而应该走 7或e11，他没 有走，所以犯了错误。注意， 有走，所以犯了错误。注意，此人在行 遍中， 3遇到过桥e 遍中，在v3遇到过桥 3，v1处遇到过桥 e8，但当时除桥外他无别的边可走，所 但当时除桥外他无别的边可走， 以当时均走了桥，这是不会犯错误的。 以当时均走了桥，这是不会犯错误的。
2
1 2 4 6
v7
7
v3
v6
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6
同 v1 , v3 , v2 , v6 相邻的未标号点有 v4 , v5 , v7
L1r = min{ L12 + d 25 , L12 + d 24 , L13 + d 34 , L16 + d 64 , L16 + d 65 , L16 + d 67 }
哈密顿图
定义15.2 经过图（有向图或无向图）中所有顶点一次且仅一 定义15.2 经过图（有向图或无向图） 次的通路称为哈密顿通路。经过图中所有顶点一次且仅一 称为哈密顿通路 次的通路称为哈密顿通路。经过图中所有顶点一次且仅一 次的回路称为哈密顿回路。具有哈密顿回路的图称为哈密 称为哈密顿回路 次的回路称为哈密顿回路。具有哈密顿回路的图称为哈密 顿图，具有哈密顿通路但不具有哈密顿回路的图称为半哈 顿图，具有哈密顿通路但不具有哈密顿回路的图称为半哈 密顿图。平凡图是哈密顿图。 密顿图。平凡图是哈密顿图。 哈密顿通路是图中生成的初级通路， 说明 哈密顿通路是图中生成的初级通路， 哈密顿回路是生成的初级回路。 哈密顿回路是生成的初级回路。 判断一个图是否为哈密顿图， 判断一个图是否为哈密顿图，就是判断能否将图中所有顶 点都放置在一个初级回路( 但这不是一件易事。 点都放置在一个初级回路(圈)上，但这不是一件易事。 与判断一个图是否为欧拉图不一样，到目前为止， 与判断一个图是否为欧拉图不一样，到目前为止，人们还 没有找到哈密顿图简单的充分必要条件。 没有找到哈密顿图简单的充分必要条件。
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当 是连通的， 是半欧拉图当且仅当G是连通的 定理15.2 无向图 是半欧拉图当且仅当 是连通的，且G中恰有两 中恰有两 个奇度顶点。 个奇度顶点。 必要性。 条边的n阶无向图 为半欧拉图， 证明 必要性。设G是m条边的 阶无向图，因为 为半欧拉图， 是 条边的 阶无向图，因为G为半欧拉图 因而G中存在欧拉通路(但不存在欧拉回路) 因而 中存在欧拉通路(但不存在欧拉回路)， 中存在欧拉通路 设Г＝vi0ej1vi1…vim-1ejmvim为G中一条欧拉通路，vi0≠vim。 中一条欧拉通路， 中一条欧拉通路 不在Г ∀v∈V(G)，若v不在Г的端点出现，显然 (v)为偶数， ∈ ( ) 不在 的端点出现，显然d( )为偶数， 在端点出现过， 若v在端点出现过，则d(v)为奇数， 在端点出现过 ( )为奇数， 因为Г只有两个端点且不同，因而G中只有两个奇数顶点。 因为Г只有两个端点且不同，因而 中只有两个奇数顶点。 中只有两个奇数顶点 另外， 的连通性是显然的 的连通性是显然的。 另外，G的连通性是显然的。
L1r = min{ L11 + d12 , L13 + d 34 , L13 + d 36 } = min{0 + 5, 2 + 7, 2 + 4} = L12
标号， 此时对 v2 标号，将[v1 , v2 ] 线加粗
5 v2
5
7 2
v4
v5
3 1 2
v7
0 v1
2
7
v3
4
6
v6
2
6
同 v1 , v3 , v2 相邻的未标号点有 v4 , v5 , v6
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当 是连通的， 是半欧拉图当且仅当G是连通的 定理15.2 无向图 是半欧拉图当且仅当 是连通的，且G中恰有两 中恰有两 个奇度顶点。 个奇度顶点。 充分性。 的两个奇度顶点分别为u 证明 充分性。设G的两个奇度顶点分别为 0和v0， 的两个奇度顶点分别为 加新边（ ），得 ∪(u 对G加新边（u0,v0），得G ′＝G∪( 0,v0)， 加新边 ∪( 则G ′是连通且无奇度顶点的图， 是连通且无奇度顶点的图， 由定理15.1可知， 为欧拉图， 由定理15.1可知，G ′为欧拉图， 15.1可知 因而存在欧拉回路C 中一条欧拉通路， 因而存在欧拉回路 ′，而C＝C ′-(u0,v0)为G中一条欧拉通路， ＝ 中一条欧拉通路 所以G为半欧拉图。 所以 为半欧拉图。 为半欧拉图