欧拉图与哈密顿图-SJTU
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第15章欧拉图与哈密尔顿图
15. 1 欧拉图 例 判断下列各图是否是 欧拉图。
(1)
(2)
(3)
(4)
集合与图论
(5)
(6)
1.18
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
15. 1 欧拉图
(5)
(5)是一个非连通图，所以肯定不是 欧拉图。
集合与图论
1.19
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
15. 1 欧拉图
(2)
(3)
设G是n(n>2)阶无向图，若对于G 中每一对不相邻的顶点u、v，均有：
d(u)+d(v) ≥n-1 则G中存在哈密尔顿通路。
集合与图论
1.44
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
定理15.7的推论 设G是n(n>2)阶无向简单图，若对于G
中每一对不相邻的顶点u、v，均有： d(u)+d(v) ≥n，
(1)
(2)
(3)
(4)
集合与图论
(6) (5)
1.11
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
15. 1 欧拉图
(1)
(6)
上两图中，度数为奇数的顶点个数都 是4。所以根据定理15.2，它们不可能存 在欧拉通路，更无欧拉回路，因此都不是
欧拉图。
集合与图论
1.12
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
15. 1 欧拉图
有哈密尔顿通路，但无哈密尔顿 回路，所以不是哈密尔顿图。
有哈密尔顿回路，所以 是哈密尔顿图。
(2)
集合与图论
1.30
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
(3) (4)
(5)
(6)
以上4图都有哈密尔顿回路，所以都
图论讲义第4章-欧拉图与hamilton图
[1] E. Lucas，Récréations Mathématiques IV, Paris, 1921.
Fleury 算法的步骤如下：
输入：欧拉图 G 输出：G 的欧拉闭迹。
step1. 任取 v0 ∈V (G) ，令 w0 := v0 ， i := 0 。 step2. 设迹 wi = v0e1v1 eivi 已取定。从 E \ {e1, e2 , , ei }中选取一条边 ei+1 ，使得 （1） ei+1 和 vi 相关联； （2） ei+1 不选 Gi = G \ {e1, e2 , , ei }的割边，除非没有别的选择。
个顶点都是偶度顶点。从而 G +e 有 Euler 闭迹。故 G 有 Euler 迹。证毕。
一个图 G 如果有一条欧拉迹或欧拉闭迹，则我们可以沿着欧拉迹或欧拉闭迹连续而不 重复地把 G 的边画完。因此存在欧拉迹或欧拉闭迹的图通常称为可一笔画的图，或者说它 可一笔画成。如果图 G 可分解为两条迹或闭迹的并，则 G 的边可用两笔不重复地画完。同 样地，如果图 G 可分解为 k 条迹或闭迹的并，则 G 可 k 笔画成。
获得 2k 个同类 u−v 迹。这种分类构成一个等价关系，因此形成了对有重复点的 u−v 迹集合
的划分。划分出的每一个等价类有偶数个条 u−v 路。这说明有重复点的 u−v 迹总共有偶数条。
有以上两方面知， G′ = G − e 中共有奇数条顶点不重复的 u−v 迹（即 u−v 路），因此，
G 中共有奇数个含有边 e 的圈。
step3. 当 step2 不能再执行时，停止。
定理 4.1.3 若 G 是 Euler 图，则 Fleury 算法终止时得到的是 G 的 Euler 闭迹。
Fleury 算法的步骤如下：
输入：欧拉图 G 输出：G 的欧拉闭迹。
step1. 任取 v0 ∈V (G) ，令 w0 := v0 ， i := 0 。 step2. 设迹 wi = v0e1v1 eivi 已取定。从 E \ {e1, e2 , , ei }中选取一条边 ei+1 ，使得 （1） ei+1 和 vi 相关联； （2） ei+1 不选 Gi = G \ {e1, e2 , , ei }的割边，除非没有别的选择。
个顶点都是偶度顶点。从而 G +e 有 Euler 闭迹。故 G 有 Euler 迹。证毕。
一个图 G 如果有一条欧拉迹或欧拉闭迹，则我们可以沿着欧拉迹或欧拉闭迹连续而不 重复地把 G 的边画完。因此存在欧拉迹或欧拉闭迹的图通常称为可一笔画的图，或者说它 可一笔画成。如果图 G 可分解为两条迹或闭迹的并，则 G 的边可用两笔不重复地画完。同 样地，如果图 G 可分解为 k 条迹或闭迹的并，则 G 可 k 笔画成。
获得 2k 个同类 u−v 迹。这种分类构成一个等价关系，因此形成了对有重复点的 u−v 迹集合
的划分。划分出的每一个等价类有偶数个条 u−v 路。这说明有重复点的 u−v 迹总共有偶数条。
有以上两方面知， G′ = G − e 中共有奇数条顶点不重复的 u−v 迹（即 u−v 路），因此，
G 中共有奇数个含有边 e 的圈。
step3. 当 step2 不能再执行时，停止。
定理 4.1.3 若 G 是 Euler 图，则 Fleury 算法终止时得到的是 G 的 Euler 闭迹。
离散数学课件15欧拉图与哈密顿图
证明 若G是平凡图，结论显然成立。
下面设G为非平凡图，设G是m条边的n阶无 向图，
并设G的顶点集V＝{v1,v2,…,vn}。 必要性。因为G为欧拉图，所以G中存在欧 拉回路，
设C为G中任意一条欧拉回路，vi,vj∈V， v2i0,2v0/7j/都23 在C上，
定理15.1的证明
充分性。由于G为非平凡的连通图可知，G中边数 m≥1。
2020/7/23
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 充分性。设G的两个奇度顶点分别为u0和v0， 对G加新边（u0,v0），得G ＝G∪(u0,v0)， 则G 是连通且无奇度顶点的图， 由定理15.1可知，G 为欧拉图， 因而存在欧拉回路C ，而C＝C -(u0,v0)为G中一 条欧拉通路， 所以G为半欧拉图。
并2行从020/7遍/C23 上G 的i中某的顶欧点拉vr回开路始C行遍i，，i＝每1遇,2,到…v,s*j，i，最就后
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 必要性。设G是m条边的n阶无向图，因为G为 半欧拉图， 因而G中存在欧拉通路(但不存在欧拉回路)， 设Г＝vi0ej1vi1…vim-1ejmvim为G中一条欧拉通路， vi0≠vim。 v∈V(G)，若v不在Г的端点出现，显然d(v)为偶 数， 若v在端点出现过，则d(v)为奇数，
欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音 乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等 是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标 准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永 远是了解数学的好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设 的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等， 至今202沿0/7/2用3 。
下面设G为非平凡图，设G是m条边的n阶无 向图，
并设G的顶点集V＝{v1,v2,…,vn}。 必要性。因为G为欧拉图，所以G中存在欧 拉回路，
设C为G中任意一条欧拉回路，vi,vj∈V， v2i0,2v0/7j/都23 在C上，
定理15.1的证明
充分性。由于G为非平凡的连通图可知，G中边数 m≥1。
2020/7/23
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 充分性。设G的两个奇度顶点分别为u0和v0， 对G加新边（u0,v0），得G ＝G∪(u0,v0)， 则G 是连通且无奇度顶点的图， 由定理15.1可知，G 为欧拉图， 因而存在欧拉回路C ，而C＝C -(u0,v0)为G中一 条欧拉通路， 所以G为半欧拉图。
并2行从020/7遍/C23 上G 的i中某的顶欧点拉vr回开路始C行遍i，，i＝每1遇,2,到…v,s*j，i，最就后
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 必要性。设G是m条边的n阶无向图，因为G为 半欧拉图， 因而G中存在欧拉通路(但不存在欧拉回路)， 设Г＝vi0ej1vi1…vim-1ejmvim为G中一条欧拉通路， vi0≠vim。 v∈V(G)，若v不在Г的端点出现，显然d(v)为偶 数， 若v在端点出现过，则d(v)为奇数，
欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音 乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等 是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标 准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永 远是了解数学的好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设 的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等， 至今202沿0/7/2用3 。
欧拉图和哈密尔顿图
例 “一笔划”问题——G中有欧拉 通路
？
实例
上图中，(1) ,(4) 为欧拉图
中国邮递员问题-模型
数学模型：
构造无向权图G，以道路为边，路长为权 问题的解 ——G 中包含所有边的回路权最小，称为 最优回路(未必是简单回路)。 当G是欧拉图，则最优回路即欧拉回路。
周游世界的游戏
1859 哈密尔顿 “周游世界”游戏： 20个城市，每个城市恰游一次，回到出发地
例
a
10 12 9
从a出发的“较好的”回路 ， a
7
14Biblioteka b7 13 11d
6
c
8
e
5
b
14
a
c
5
6
8
长度：40
e
e
d
算法精度下限
设算法所得的回路长度为d， d0 是最小H_
回路的长度，G有n点，则
d / d0 ½ [ln(n)+1]+ ½
改进：
如果在已有回路中，W(vi,vj)+ W(vi+1,vj+1)< W(vi,vi+1)+ W(vj,vj+1),
货郎担/旅行推销员(TSP)问题：
在一个赋权的完全图中，找出一个具有最小权 的H_回路，也即回路边的权之和最小 对该赋权图上的边，满足三角不等式（距离不 等式） W(a,b) W(a,c) + W(c,b)
数学模型
构造无向带权图G， VG中的元素对应于每个城市， EG中每 个元素对应于城市之间的道路，道路长度用相应边的权表示。 则问题的解对应于G中包含所有边的权最小的哈密尔顿回路。 G是带权完全图，总共有n!/2条哈密尔顿回路。因此，问题 是如何从这n!/2条中找出最短的一条 eg：含20个顶点的完全图中不同的哈密尔顿回路有约6000万 亿条-(1.216451017)/2，若机械地检查，每秒处理10万条，需 2万年
第十五章-欧拉图与哈密顿图
（4）半欧拉图
具有欧拉通路而无欧拉回
路的图.
3
2. 无向欧拉图的判定 定理15.1 无向图G是欧拉图当且仅当G连通且无 奇度结点。 证明:若G为平凡图结论显然成立。
下面设G为n阶m条边的无向图。 必要性 设C为G中一条欧拉回路。
（1）G连通显然。
（2）viV(G),vi在C上每出现一次获2度，所 以vi为偶度结点. 由vi的任意性，结论为真。 4
e5
e4 e2
e5
e4
e3
e3
e3
欧拉图
半欧拉图
不是欧拉图 不是半欧拉图
11
a(甲)
b (乙)
图G
例:两只蚂蚁比赛问题：两只 蚂蚁甲、乙分别处在图G 中 的结点a,b处,并设图中各边长 c 度相等。甲提出同乙比赛：
从它们所在结点出发，走过 图中所有边最后到达结点c处。 如果它们速度相同，问谁最 先到达目的地？
17
（2）若G恰有两个奇数度结点vi和vj,则G具有 欧拉通路，且邮局位于结点vi，则邮递员走遍所 有的街道一次到达结点vj ;从vj返回vi可选择其间 的一条最短路径。这样,最短邮路问题转化为求 vi到vj的欧拉通路和vj到vi的最短路径问题。
（3）若G中度数为奇数的结点多于2个,则回路 中必须增加更多的重复边。分两步:
19
例:在下图中确定一条从v1到v1的回路,3使其权值最小.
8
半欧拉图的判定
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G连通 且恰有两个奇度结点。若有两个奇数度结点,则 它们是每条欧拉通路的端点。
证明:必要性
G的连通性是显然的。设G是m条边的n阶无向 图,因为G为半欧拉图，因而G中存在欧拉通路 （但不存在欧拉回路），设=vi0ej1vi1…vim为G 中一条欧拉通路， vi0vim。对任意的v,若v不在 的端点出现，d(v)必为偶数，若v在端点出现 过，则d(v)为奇数，因为只有两个端点不同， 因此G中只有两个奇度结点。
欧拉图与哈密顿图
求欧拉图中欧拉回路的算法
Fleury算法;能不走桥就不走桥
1 任取v0∈VG;令P0＝v0; 2 设Pi＝v0e1v1e2…eivi已经行遍;按下面方法来从
EGe1;e2;…;ei中选取ei+1： a ei+1与vi相关联； b 除非无别的边可供行遍;否则ei+1不应该为
Gi＝Ge1;e2;…;ei中的桥; 3当2不能再进行时;算法停止;
例15 1
例15 1 设G是非平凡的且非环的欧拉图;证明： 1λG≥2; 2对于G中任意两个不同顶点u;v;都存在简单回路C含u和v;
证明 1由定理15 5可知;e∈EG;存在圈C;e在C中; 因而pGe＝pG;故e不是桥; 由e的任意性λG≥2;即G是2边连通图;
例15 1
例15 1 设G是非平凡的且非环的欧拉图;证明： 1λG≥2; 2对于G中任意两个不同顶点u;v;都存在简单回路C含u和v;
可以验证彼得松图满足定理中的条件;但不是哈密顿图;
若一个图不满足定理中的条件;它一定不是哈密顿图;
推论
推论 设无向图G＝<V;E>是半哈密顿图;对于任意的V1V且 V1≠;均有 pGV1≤|V1|+1
证明 设P是G中起于u终于v的哈密顿通路; 令G ＝G∪u;v在G的顶点u;v之间加新边; 易知G 为哈密顿图; 由定理15 6可知;pG V1≤|V1|; 因此;pGV1 ＝ pG V1u;v ≤ pG V1+1 ≤ |V1|+1
若vi与vj有哈共密同语顿言图;就是在v能i;vj将之间图连中无向所边有vi;v顶j; 由此组成点边都集合能E;安则G排为8在阶无某向个简单初图级; 回路 vi∈V;上dvi为的与图vi有;共同语言的人数;
离散数学--第十五章 欧拉图和哈密顿图
13
实例
在上图中， (1),(2) 是哈密顿图; (3)是半哈密顿图; (4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图，为什么？
14
无向哈密顿图的一个必要条件
定理15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1V且 V1，均有 p(GV1) |V1|
证 设C为G中一条哈密顿回路。
当V1顶点在C上均不相邻时， p(CV1)达到最大值|V1|，
求图中1所示带权图k29主要内容欧拉通路欧拉回路欧拉图半欧拉图及其判别法哈密顿通路哈密顿回路哈密顿图半哈密顿图带权图货郎担问题基本要求深刻理解欧拉图半欧拉图的定义及判别定理深刻理解哈密顿图半哈密顿图的定义
第十五章 欧拉图与哈密顿图
主要内容
➢ 欧拉图 ➢ 哈密顿图 ➢ 带权图与货郎担问题
1
15.1 欧拉图
大时，计算量惊人地大
27
例6 求图中(1) 所示带权图K4中最短哈密顿回路.
(1)
(2)
解 C1= a b c d a,
W(C1)=10
C2= a b d c a,
W(C2)=11
C3= a c b d a,
W(C3)=9
可见C3
(见图中(2))
是最短的，其权为9. 28
第十五章 习题课
主要内容 欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图及其判别法 哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图 带权图、货郎担问题
点.
由vi 的任意性，结论为真. 充分性 对边数m做归纳法（第二数学归纳法）. (1) m=1时，G为一个环，则G为欧拉图. (2) 设mk（k1）时结论为真，m=k+1时如下证明：
5
从以上证明不难看出：欧拉图是若干个边不重的圈之 并，见示意图3.
实例
在上图中， (1),(2) 是哈密顿图; (3)是半哈密顿图; (4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图，为什么？
14
无向哈密顿图的一个必要条件
定理15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1V且 V1，均有 p(GV1) |V1|
证 设C为G中一条哈密顿回路。
当V1顶点在C上均不相邻时， p(CV1)达到最大值|V1|，
求图中1所示带权图k29主要内容欧拉通路欧拉回路欧拉图半欧拉图及其判别法哈密顿通路哈密顿回路哈密顿图半哈密顿图带权图货郎担问题基本要求深刻理解欧拉图半欧拉图的定义及判别定理深刻理解哈密顿图半哈密顿图的定义
第十五章 欧拉图与哈密顿图
主要内容
➢ 欧拉图 ➢ 哈密顿图 ➢ 带权图与货郎担问题
1
15.1 欧拉图
大时，计算量惊人地大
27
例6 求图中(1) 所示带权图K4中最短哈密顿回路.
(1)
(2)
解 C1= a b c d a,
W(C1)=10
C2= a b d c a,
W(C2)=11
C3= a c b d a,
W(C3)=9
可见C3
(见图中(2))
是最短的，其权为9. 28
第十五章 习题课
主要内容 欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图及其判别法 哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图 带权图、货郎担问题
点.
由vi 的任意性，结论为真. 充分性 对边数m做归纳法（第二数学归纳法）. (1) m=1时，G为一个环，则G为欧拉图. (2) 设mk（k1）时结论为真，m=k+1时如下证明：
5
从以上证明不难看出：欧拉图是若干个边不重的圈之 并，见示意图3.
离散数学课件15欧拉图与哈密顿图
04
欧拉图与哈密顿图的应用 场景
欧拉图的应用场景
路径规划
欧拉图可以用于表示从一 个点到另一个点的路径， 常用于物流、交通和旅行 等领域。
网络流问题
欧拉图可以用于解决最大 流和最小割等问题，在网 络优化、资源分配和计划 制定等方面有广泛应用。
组合优化
欧拉图可以用于表示组合 优化问题，如旅行商问题、 排班问题等，是求解这些 问题的常用工具。
一个图存在哈密顿回路当且仅当其所有顶点的度都大于等于2 。
哈密顿图的性质
哈密顿图中的所有顶点的度都 大于等于2。
一个图存在哈密顿回路当且仅 当其所有顶点的度都大于等于2。回 路。
哈密顿图的构造方法
添加边法
在所有顶点的度都大于等于2的图 中，不断添加边，直到所有顶点的 度都大于等于2，最后得到的图就 是哈密顿图。
哈密顿图的应用场景
社交网络分析
哈密顿图可以用于表示社交网络 中的路径，分析人际关系和信息
传播路径。
生物信息学
哈密顿图可以用于表示基因组、蛋 白质组等生物信息数据，进行基因 序列比对、蛋白质相互作用分析等。
推荐系统
哈密顿图可以用于表示用户和物品 之间的关系，进行个性化推荐和智 能推荐。
欧拉图与哈密顿图在计算机科学中的应用
欧拉图的构造方法
欧拉图的构造方法1
总结词
通过添加一条边将所有顶点连接起来， 从而形成一个欧拉图。
详细描述了两种构造欧拉图的方法， 为实际应用中构造欧拉图提供了思路。
欧拉图的构造方法2
通过将两个欧拉图合并，并连接它们 的所有顶点，从而形成一个新的欧拉 图。
02
哈密顿图
哈密顿图的定义
哈密顿图（Hamiltonian Graph）是指一个图存在一个遍历其 所有边且每条边只遍历一次的路径，这个路径称为哈密顿路径， 如果该路径的起点和终点是同一点，则称这个路径为哈密顿回 路。
图论中的哈密顿图与欧拉图
图论中的哈密顿图与欧拉图图论是数学的一个分支，研究图的性质及其应用。
在图论中，哈密顿图和欧拉图是两个重要的概念。
本文将介绍哈密顿图和欧拉图的定义、性质和应用，并探讨它们在现实生活中的实际应用。
一、哈密顿图的定义与性质哈密顿图是指一种包含了图中所有顶点的路径的图。
具体来说，哈密顿图是一个简单图，其中任意两个不同的顶点之间都存在一条路径，使得该路径经过图中的每个顶点且不重复。
哈密顿图具有以下的性质：1. 哈密顿图是一个连通图，即图中的每两个顶点之间都存在通路。
2. 图中每个顶点都是度数大于等于2的点，即每个顶点都至少连接着两条边。
二、欧拉图的定义与性质欧拉图是指一种可以通过图中每条边恰好一次的路径来穿越图的图。
具体来说，欧拉图是一个简单图，其中经过图中每条边且路径不重复的路径称为欧拉路径，而形成闭合回路的欧拉路径称为欧拉回路。
欧拉图具有以下的性质：1. 每个顶点的度数都是偶数，即每个顶点都连接着偶数条边。
2. 欧拉图中至少有两个连通分量，即图中有至少两个不同的部分可以从一部分通过路径到达另一部分。
三、哈密顿图与欧拉图的应用哈密顿图和欧拉图在实际生活中有广泛的应用，下面将分别介绍它们的应用领域。
1. 哈密顿图的应用：哈密顿图在旅行商问题中有着重要的应用。
旅行商问题是指一个旅行商要依次拜访若干个城市，然后返回起始城市，而要求找到一条最短的路径使得每个城市都被访问一次。
哈密顿图可以解决这个问题，通过寻找一条哈密顿路径来确定最短的路径。
2. 欧拉图的应用：欧拉图在电路设计和网络规划中发挥着重要的作用。
在电路设计中，欧拉图可以帮助我们确定如何安排电线的布线以最大程度地减少电线的长度和复杂度。
在网络规划中，欧拉图可以用于确定如何正确地连接不同的网络节点以实现高效的信息传输。
四、结论哈密顿图和欧拉图是图论中的两个重要概念。
哈密顿图是一种包含了图中所有顶点的路径的图，而欧拉图是一种可以通过图中每条边恰好一次的路径来穿越图的图。
第19讲-欧拉回路及哈密顿回路PPT优秀课件
从引例的求解过程可以得到以下启示：
①对一个问题是否用上述方法求解，其关键在于能否将问 题转化为相互联系的决策过程相同的多个阶段决策问题。
所谓多阶段决策问题是：把一个问题看作是一个前后关 联具有链状结构的多阶段过程，也称为序贯决策过程。如下 图所示：
决 策
状 态
状 态
1
决 策 状 态
2
决 策
状 态
状 态
值为 64．
返回
哈密尔顿图
定义 设 G=(V,E)是连通无向图. （１）经过 G 的每个顶点正好一次的路径，称为 G 的一条
哈密尔顿路径． （２） 经过 G 的每个顶点正好一次的圈，称为 G 的哈密尔
顿圈或 H 圈． （３）含 H 圈的图称为哈密尔顿图或 H 图．
返回
推销员问题-定义
流动推销员需要访问某地区的所有城镇，最后 回到出发点．问如何安排旅行路线使总行程最 小．这就是推销员问题．
割边
e7
e8
e6
v
v 7 e9
6
G的边e 是割边的充要条件是 e 不含在G的圈中．
欧拉图
定义１ 设 G=(V,E)是连通无向图
（１）经过 G 的每边至少一次的闭通路称为巡回．
（２）经过 G 的每边正好一次的巡回称为欧拉巡回．
（３）存在欧拉巡回的图称为欧拉图．
（４）经过 G 的每边正好一次的道路称为欧拉道路．
C= v1,v2,… ,vi,,vj , vj-1,… , vi+1,vj+1, …,vn,v1 (3)对 C 重复步骤(2)，直到条件不满足为止，最后得到的 C 即 为所求．
例 对以下完备图，用二边逐次修正法求较优H圈．
返回
1、引例（最短路问题）
①对一个问题是否用上述方法求解，其关键在于能否将问 题转化为相互联系的决策过程相同的多个阶段决策问题。
所谓多阶段决策问题是：把一个问题看作是一个前后关 联具有链状结构的多阶段过程，也称为序贯决策过程。如下 图所示：
决 策
状 态
状 态
1
决 策 状 态
2
决 策
状 态
状 态
值为 64．
返回
哈密尔顿图
定义 设 G=(V,E)是连通无向图. （１）经过 G 的每个顶点正好一次的路径，称为 G 的一条
哈密尔顿路径． （２） 经过 G 的每个顶点正好一次的圈，称为 G 的哈密尔
顿圈或 H 圈． （３）含 H 圈的图称为哈密尔顿图或 H 图．
返回
推销员问题-定义
流动推销员需要访问某地区的所有城镇，最后 回到出发点．问如何安排旅行路线使总行程最 小．这就是推销员问题．
割边
e7
e8
e6
v
v 7 e9
6
G的边e 是割边的充要条件是 e 不含在G的圈中．
欧拉图
定义１ 设 G=(V,E)是连通无向图
（１）经过 G 的每边至少一次的闭通路称为巡回．
（２）经过 G 的每边正好一次的巡回称为欧拉巡回．
（３）存在欧拉巡回的图称为欧拉图．
（４）经过 G 的每边正好一次的道路称为欧拉道路．
C= v1,v2,… ,vi,,vj , vj-1,… , vi+1,vj+1, …,vn,v1 (3)对 C 重复步骤(2)，直到条件不满足为止，最后得到的 C 即 为所求．
例 对以下完备图，用二边逐次修正法求较优H圈．
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1、引例（最短路问题）
第十五章欧拉图与哈密顿图
由定理立刻可知，图中的三 个无向图中，只有（）中无奇度顶点， 因而（）是欧拉图，而（）、（）都 有奇度顶点，因而它们都不是欧拉图。
定理 : 无向图是半欧拉图当且仅 当是连通的，且中恰有两个奇度顶点。
证: 必要性 设是条边的阶无向图， 因为为半欧拉图，因而中存在欧拉通路
（但不存在欧拉回路），设 Г… 为中一条欧拉通路， ≠ .
二、判别定理
定理 无向图是欧拉图当且仅当是连 通图，且中没有奇度顶点。
证: 若是平凡图，结论显然成立， 下面设为非平凡图，设是条边的阶 无向图。并设的顶点集{,…}. 必要性: 因为为欧拉图，所以中存
在欧拉回路，设为中任意一条欧拉回路，
∈，都在上，因而连通 所以为连通图。又 ∈，在上每 出现一次获得度，若出现次就获得 度，即()，所以中无奇度顶点。
由定理立即可知，图中（） 是半欧拉图，但（）不是半欧拉图。
定理 有向图是欧拉图当且仅当 是强连通的且每个顶点的入度都等于出度。 本定理的证明类似于定理 .
定理 有向图是半欧拉图当且仅 当是单向连通的，且中恰有两个奇度 顶点，其中一个的入度比出度大，另一 个的出度比入度大，而其余顶点的入度 都等于出度。
，,…，由归纳假设可知，', ',…'都是欧拉图，因而都存在欧拉 回路‘，,….最后将还原（即将
删除的边重新加上），并从上的某顶点
开始行遍，每遇到 ，就行遍’ 中的 欧拉回路’ ，,…，最后回到，得 回路
… … … … … … …，
此回路经过中每条边一次且仅一次并行 遍中所有顶点，因而它是中的欧拉回 路 ,故为欧拉图。
可以证明，当算法停止时所得简单回路 …()为中一条欧拉回路。
例 图()是给定的欧拉图。某人用算法 求中的欧拉回路时， 走了简单回路 之 后(观看他的错误走法)，无法行遍了，试 分析在哪步他犯了错误?
欧拉图和哈密而顿图
15.1 欧拉图 欧拉(1707-1783)：瑞士著名的数学家。13岁进入 欧拉 ：瑞士著名的数学家。 岁进入 巴塞尔大学， 岁取得哲学硕士学位 岁取得哲学硕士学位。 巴塞尔大学，16岁取得哲学硕士学位。1736年， 年 他证明了欧拉定理， 他证明了欧拉定理，并解决了哥尼斯堡桥的问 从而成为图论的创始人。 题，从而成为图论的创始人。 定义15.1 通过图（无向图或有向图）中每一条边 通过图（无向图或有向图） 定义 一次且仅一次行遍图中所有顶点的通路称为欧 拉通路。通过图（无向图或有向图） 拉通路。通过图（无向图或有向图）中每一条 边一次且仅一次行遍图中所有顶点的回路称为 欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图， 欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图，具 有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。 有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。
16
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.2 哈密顿图
到目前为止， 到目前为止，还没有找到哈密尔顿通路存在的充 分必要条件。下面介绍一个必要定理。 分必要条件。下面介绍一个必要定理。 定理15.6：设无向图 Ｇ＝＜Ｖ ， Ｅ＞ 是哈密尔顿 Ｇ＝＜Ｖ， 定理 ： 设无向图Ｇ＝＜Ｖ Ｅ＞是哈密尔顿 图，则对V的每个非空真子集 均成立： 则对 的每个非空真子集S均成立： 的每个非空真子集 均成立 w(G-S) ≤|S| 其中， 中的顶点数， 表示G删去 其中， |S| 是S中的顶点数， w(G-S)表示 删去 中的顶点数 表示 删去S 顶点集后得到的图的连通分图的个数。 顶点集后得到的图的连通分图的个数。
9
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
例：用定理解决哥尼斯堡桥的问题
15.1 欧拉图
个结点为奇次数， 有４个结点为奇次数， ∴不存在欧拉回路，也不存在欧拉路径。 不存在欧拉回路，也不存在欧拉路径。 故要从一点出发经过桥一次且仅一次的路径， 故要从一点出发经过桥一次且仅一次的路径 ， 再回到出发点是不可能的。 再回到出发点是不可能的。
16
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.2 哈密顿图
到目前为止， 到目前为止，还没有找到哈密尔顿通路存在的充 分必要条件。下面介绍一个必要定理。 分必要条件。下面介绍一个必要定理。 定理15.6：设无向图 Ｇ＝＜Ｖ ， Ｅ＞ 是哈密尔顿 Ｇ＝＜Ｖ， 定理 ： 设无向图Ｇ＝＜Ｖ Ｅ＞是哈密尔顿 图，则对V的每个非空真子集 均成立： 则对 的每个非空真子集S均成立： 的每个非空真子集 均成立 w(G-S) ≤|S| 其中， 中的顶点数， 表示G删去 其中， |S| 是S中的顶点数， w(G-S)表示 删去 中的顶点数 表示 删去S 顶点集后得到的图的连通分图的个数。 顶点集后得到的图的连通分图的个数。
9
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
例：用定理解决哥尼斯堡桥的问题
15.1 欧拉图
个结点为奇次数， 有４个结点为奇次数， ∴不存在欧拉回路，也不存在欧拉路径。 不存在欧拉回路，也不存在欧拉路径。 故要从一点出发经过桥一次且仅一次的路径， 故要从一点出发经过桥一次且仅一次的路径 ， 再回到出发点是不可能的。 再回到出发点是不可能的。
离散数学中的欧拉图与哈密顿图
欧拉图和哈密顿图是离散数学中的两个重要的图论概念。
它们分别研究了图中的路径问题，对于解决一些实际问题具有很大的应用价值。
欧拉图是指一个无向图中存在一条路径，经过图中的每条边一次且仅一次，这条路径称为欧拉路径。
如果这个路径的起点和终点重合，则称为欧拉回路。
而对于有向图，存在一条路径，使得经过每一个有向边恰好一次，称为欧拉有向路径，如果该路径起点和终点相同，则称为欧拉有向回路。
1722年，瑞士数学家欧拉首次提出了这个概念，并证明了一系列欧拉图的性质。
欧拉图的性质是其路径的存在性。
既然有了这个概念，那如何判断一个图是不是欧拉图就是一个非常重要的问题。
根据欧拉图的定义，我们可以发现，图中的每个节点的度数都应该是偶数，否则该节点无法成为路径中的中间节点。
因此，一个图是欧拉图的充分必要条件是该图中每个节点的度数都是偶数。
哈密顿图是指一个图中存在一条路径，经过图中的每个顶点一次且仅一次，这条路径称为哈密顿路径。
如果这个路径的起点和终点重合，则称为哈密顿回路。
哈密顿图的概念由19世纪初英国数学家哈密顿引入，其研究对象是关于骑士巡游问题。
与欧拉图不同的是，哈密顿路径并没有一个十分明显的判定条件。
唯一已知的是某些图是哈密顿图，比如完全图和圈图。
至于一般的图是否存在哈密顿路径，目前尚无通用的判定方法。
这也是全世界许多数学家所面临的一个著名且具有挑战性的开放问题，被命名为“哈密顿路径问题”。
欧拉图和哈密顿图在实际问题中具有广泛的应用。
欧拉图的应用包括电子电路和网络的设计，路线规划等。
而哈密顿图的应用更多地涉及路径的优化问题，比如旅行商问题。
在实际应用中，我们常常需要通过对欧拉图和哈密顿图的研究，来寻找最优解或者设计最佳路径。
总的来说，离散数学中的欧拉图和哈密顿图是两个重要的图论概念，它们研究的是图中的路径问题。
欧拉图的判定条件相对明确，而哈密顿图的判定则是一个尚未完全解答的开放问题。
这两个概念在实际中具有广泛的应用，对于解决一些路径优化问题具有重要的参考价值。
欧拉图与哈密顿图 - 上海交通大学计算机科学与工程系(CSE)
个结点正负度相等可以断定从G的任一结点 v0出发一定存在G的一条简单回路C。若 C=E(G)，则得证。否则在G中删去C的各 边，找到新的简单回路C1，并添加至C中。 重复该步骤直至C成为欧拉回路为止。
2014-11-25
IntroductionToCS--Xiaofeng Gao
12
欧拉道路(欧拉迹)
IntroductionToCS--Xiaofeng Gao
15
编码盘范例
【例】一个编码盘分成16个相等的扇面，
每个扇面分别由绝缘体和导体组成，可以 表示0和1两种状态，其中a,b,c,d四个位置的 扇面组成一组二进制输出。 试问这16个二进制数的 序列应如何排列，编码 盘才恰好能组成0000到 1111的16组四位二进制 输出，同时旋转一周后 又返回到0000状态？
【例】 判断下图是否可以一笔画成：
a
b
a
b
e
d
c G
e
d H
c
2014-11-25
IntroductionToCS--Xiaofeng Gao
21
哈密顿圈
Hamilton Circuit
2014-11-25
IntroductionToCS--Xiaofeng Gao
22
哈密顿回路与道路
【定义】无向图G的一条经过全部结点的初
【证明】易知k是偶数。在这个k个结点间
添加k/2条边，使得每个结点都与其中一条 边关联，得到G’，易知G’中各结点的度都 为偶数，故G’中有欧拉回路C，这k/2条边 都在C上且不相邻接。故删去这些边，可以 得到k/2条简单道路，它们包含了G的所有 边，即E(G)划分成了k/2条简单道路。
2014-11-25
离散数学15 欧拉图与哈密顿图
穿过每一道门，通过所有房间？
15.2 哈密顿图
1859年，爱尔兰数学家威廉·哈密尔顿发明 了一个旅游世界的游戏。将一个正十二面体的 20个顶点分别标上世界上大城市的名字，要求 玩游戏的人从某城市出发沿12面体的棱，通过 每个城市恰一次，最后回到出发的那个城市。
哈密尔顿游戏是在左图中如何 找出一个包含全部顶点的圈。
定义（哈密顿通路和哈密顿回路） 经过图（有向图或无向图）每个顶点一次
且仅一次的通路称为哈密顿通路。 经过图每个结点一次且仅一次的回路（初
级回路）称为哈密顿回路。 定义（哈密顿图和半哈密顿图）
存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。 存在哈密顿通路但不存在哈密顿回路的图 称为半哈密顿图。 平凡图是哈密顿图。
由两判定定理，立即可知 （4）为欧拉图， （5）、（6）即不是欧拉图，也不是半欧拉图。
例15.2（P296） v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2
◼ Fleury算法
◼ （1）任取v0V(G)，令P0=v0。 ◼ （2）设Pi=v0e1v1e2…..eivi已经行遍，则按下面
判断所示两图是否为欧拉图、半欧拉图？
无向欧拉图与无向半欧拉图的判断方法
定理15.1（无向欧拉图的判定）无向图G是欧拉图当 且仅当G是连通图，且G中没有奇度顶点。
定理15.2（无向半欧拉图的判定）无向图G是半欧拉 图当且仅当G是连通图，且G中恰有两个奇度顶点。
（1）
（2）
（3）
有向欧拉图与有向半欧拉图的判断方法
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（1）（2）（3）（4）为哈密顿图 （5）为半哈密顿图 （6）既不是哈密顿图，又不是半哈密顿图。
15.2 哈密顿图
1859年，爱尔兰数学家威廉·哈密尔顿发明 了一个旅游世界的游戏。将一个正十二面体的 20个顶点分别标上世界上大城市的名字，要求 玩游戏的人从某城市出发沿12面体的棱，通过 每个城市恰一次，最后回到出发的那个城市。
哈密尔顿游戏是在左图中如何 找出一个包含全部顶点的圈。
定义（哈密顿通路和哈密顿回路） 经过图（有向图或无向图）每个顶点一次
且仅一次的通路称为哈密顿通路。 经过图每个结点一次且仅一次的回路（初
级回路）称为哈密顿回路。 定义（哈密顿图和半哈密顿图）
存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。 存在哈密顿通路但不存在哈密顿回路的图 称为半哈密顿图。 平凡图是哈密顿图。
由两判定定理，立即可知 （4）为欧拉图， （5）、（6）即不是欧拉图，也不是半欧拉图。
例15.2（P296） v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2
◼ Fleury算法
◼ （1）任取v0V(G)，令P0=v0。 ◼ （2）设Pi=v0e1v1e2…..eivi已经行遍，则按下面
判断所示两图是否为欧拉图、半欧拉图？
无向欧拉图与无向半欧拉图的判断方法
定理15.1（无向欧拉图的判定）无向图G是欧拉图当 且仅当G是连通图，且G中没有奇度顶点。
定理15.2（无向半欧拉图的判定）无向图G是半欧拉 图当且仅当G是连通图，且G中恰有两个奇度顶点。
（1）
（2）
（3）
有向欧拉图与有向半欧拉图的判断方法
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（1）（2）（3）（4）为哈密顿图 （5）为半哈密顿图 （6）既不是哈密顿图，又不是半哈密顿图。
欧拉图和哈密顿图
例如，由定理可知，下图 (a)图为欧拉图，本图 既v成圈8 可圈画v6之v以在1并(看vc2)(成v中为3 圈v)清。4 vv晰1将5v起v2(6av见v)87分v，v1解8，将v成1v与42若个v圈3干圈vv42个画vv24边在，v6不(vb4v)8重v中5v2的v)之6，圈v并也4，的(可两v并6看个v7 不是(a)图特有性质，任何欧拉图都有这个性质。
尽管讨论哈密顿通路和哈密顿回路在形式上与欧
拉通路和欧拉回路非常相似，但遗憾的是到目前为止， 仍然没有找到一个合适的条件来作为判断哈密顿通路 或哈密顿回路存在的充要条件。不过，可以给出哈密 顿通路和哈密顿回路存在的充分条件或必要条件。
定理9.2.1设无向图G=<V, 的任意非空子集，则
E>是哈密顿图，V1是V
下面给出一些哈密顿图的充分条件。
定理9.2.2设G=<V, E>是具有n个节点的简单无向图，若
对任意的u, v∈V均有
deg(v) +deg(u) ≥n－1
则G中存在哈密顿通路。
容易看出，定理9.2.2中的条件对图中是否存在哈密顿路 是充分而不必要的。
如图9.2.6所示的六边形G，虽然任意两个节点度数之和 等于4<6-1(n=6)，但G中却显然有哈密顿路（实际上G是哈密 顿图）。
只要数一下图中节点的度数即可。
❖ 9.1.4 欧拉图的应用 一笔画问题 所谓“一笔画问题”就是画一个图形，笔不离纸，每条 边只画一次而不许重复地画完该图。“一笔画问题”本质上 就是一个无向图是否存在欧拉通路（回路）的问题。如果该 图为欧拉图，则能够一笔画完该图，并且笔又回到出发点； 如果该图只存在欧拉通路，则能够一笔画完该图，但笔回不 到出发点；如果该图中不存在欧拉通路，则不能一笔画完该 图。
图论课件第四章欧拉图与哈密尔顿
性质
欧拉路径的长度等于其经过的边 数。
哈密尔顿路径的定义与性质
定义
哈密尔顿路径是指一个路径在图中经 过所有的顶点且每个顶点只经过一次 ，最后回到起始点。
性质
哈密尔顿路径的长度等于其经过的顶 点数。
欧拉路径与哈密尔顿路径的判定
欧拉路径的判定
对于一个给定的图，判断是否存在一个路径满足欧拉路径的 定义。通常需要通过图的连通性、边的数量和顶点的数量等 条件进行判断。
连通性
连通性是图论中的一个重要概念，研究图中顶点之间的连接关系。常 见的连通性算法包括深度优先搜索和广度优先搜索。
THANKS
感谢观看
图论课件第四章欧拉 图与哈密尔顿
目录
• 欧拉图 • 哈密尔顿图 • 欧拉路径与哈密尔顿路径 • 应用与扩展
01
欧拉图
欧拉图的定义
01
欧拉图是一个连通图，它包含一 条或多条边，并且每条边只包含 一次，使得从起点到终点的每条 路径都恰好经过每条边一次。
02
欧拉图中的路径称为欧拉路径， 起点和终点称为欧拉终点，如果 这条路径的长度恰好是边数，则 称为欧拉回路。
回溯法
通过回溯算法搜索所有可能的路 径，判断是否存在一个路径满足 哈密尔顿路或哈密尔顿路径的条件。
邻接矩阵法
通过判断邻接矩阵是否满足一定条 件来判定一个图是否为哈密尔顿图。
欧拉路径法
通过判断一个图是否存在欧拉路径 来判定该图是否为哈密尔顿图。
03
欧拉路径与哈密尔顿路径
欧拉路径的定义与性质
定义
欧拉路径是指一个路径在图中从 一点出发，经过所有的边且每条 边只经过一次，最后回到起始点 。
哈密尔顿回路是一个路径，它经过图中的每个顶点恰好一次，并且起点和终点必须 不同。
欧拉路径的长度等于其经过的边 数。
哈密尔顿路径的定义与性质
定义
哈密尔顿路径是指一个路径在图中经 过所有的顶点且每个顶点只经过一次 ，最后回到起始点。
性质
哈密尔顿路径的长度等于其经过的顶 点数。
欧拉路径与哈密尔顿路径的判定
欧拉路径的判定
对于一个给定的图，判断是否存在一个路径满足欧拉路径的 定义。通常需要通过图的连通性、边的数量和顶点的数量等 条件进行判断。
连通性
连通性是图论中的一个重要概念，研究图中顶点之间的连接关系。常 见的连通性算法包括深度优先搜索和广度优先搜索。
THANKS
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图论课件第四章欧拉 图与哈密尔顿
目录
• 欧拉图 • 哈密尔顿图 • 欧拉路径与哈密尔顿路径 • 应用与扩展
01
欧拉图
欧拉图的定义
01
欧拉图是一个连通图，它包含一 条或多条边，并且每条边只包含 一次，使得从起点到终点的每条 路径都恰好经过每条边一次。
02
欧拉图中的路径称为欧拉路径， 起点和终点称为欧拉终点，如果 这条路径的长度恰好是边数，则 称为欧拉回路。
回溯法
通过回溯算法搜索所有可能的路 径，判断是否存在一个路径满足 哈密尔顿路或哈密尔顿路径的条件。
邻接矩阵法
通过判断邻接矩阵是否满足一定条 件来判定一个图是否为哈密尔顿图。
欧拉路径法
通过判断一个图是否存在欧拉路径 来判定该图是否为哈密尔顿图。
03
欧拉路径与哈密尔顿路径
欧拉路径的定义与性质
定义
欧拉路径是指一个路径在图中从 一点出发，经过所有的边且每条 边只经过一次，最后回到起始点 。
哈密尔顿回路是一个路径，它经过图中的每个顶点恰好一次，并且起点和终点必须 不同。
欧拉图与哈密顿
哈密顿图
通过一系列的节点，将所有节点 两两连接起来，且每条边只使用 一次。
性质的异同比较
欧拉图 哈密顿图
应用领域的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ较
欧拉图
在计算机科学、运筹学、交通运输等 领域有广泛应用。
哈密顿图
在计算机科学、电子工程、通信网络 等领域有广泛应用。
05
欧拉图与哈密顿图的未来研
究展望
欧拉图的研究展望
欧拉路径与欧拉回路
通过模拟生物进化过程的遗传 算法来寻找哈密顿路径，适用 于大规模的图。
元胞自动机法
通过模拟元胞自动机的演化过 程来寻找哈密顿路径，适用于
具有特定结构的图。
03
欧拉图与哈密顿图的应用
欧拉图在计算机科学中的应用
算法设计
01
欧拉图在计算机科学中常被用于算法设计，如最短路径算法、
最小生成树算法等。
数据结构
欧拉图与哈密顿图在其他领域的应用
经济学
欧拉图和哈密顿图在经济 学中被用于描述市场供需 关系和生产网络。
社会学
欧拉图和哈密顿图在社会 学中被用于研究社会网络 和人际关系。
交通工程
欧拉图和哈密顿图在交通 工程中用于描述交通流和 路网结构。
04
欧拉图与哈密顿图的比较
构造方法的比较
欧拉图
通过一系列的边和节点，将起点 和终点连接起来，且每条边只使 用一次。
欧拉图的扩展研究
深入研究欧拉路径和欧拉回路的性质 和构造方法，探索其在图论、组合数 学和计算机科学等领域的应用。
将欧拉图的研究扩展到其他领域，如 社交网络分析、生物信息学和交通网 络规划等。
欧拉图的算法优化
针对欧拉图的算法进行优化，提高算 法的效率和稳定性，以解决大规模图 数据的计算问题。
通过一系列的节点，将所有节点 两两连接起来，且每条边只使用 一次。
性质的异同比较
欧拉图 哈密顿图
应用领域的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ较
欧拉图
在计算机科学、运筹学、交通运输等 领域有广泛应用。
哈密顿图
在计算机科学、电子工程、通信网络 等领域有广泛应用。
05
欧拉图与哈密顿图的未来研
究展望
欧拉图的研究展望
欧拉路径与欧拉回路
通过模拟生物进化过程的遗传 算法来寻找哈密顿路径，适用 于大规模的图。
元胞自动机法
通过模拟元胞自动机的演化过 程来寻找哈密顿路径，适用于
具有特定结构的图。
03
欧拉图与哈密顿图的应用
欧拉图在计算机科学中的应用
算法设计
01
欧拉图在计算机科学中常被用于算法设计，如最短路径算法、
最小生成树算法等。
数据结构
欧拉图与哈密顿图在其他领域的应用
经济学
欧拉图和哈密顿图在经济 学中被用于描述市场供需 关系和生产网络。
社会学
欧拉图和哈密顿图在社会 学中被用于研究社会网络 和人际关系。
交通工程
欧拉图和哈密顿图在交通 工程中用于描述交通流和 路网结构。
04
欧拉图与哈密顿图的比较
构造方法的比较
欧拉图
通过一系列的边和节点，将起点 和终点连接起来，且每条边只使 用一次。
欧拉图的扩展研究
深入研究欧拉路径和欧拉回路的性质 和构造方法，探索其在图论、组合数 学和计算机科学等领域的应用。
将欧拉图的研究扩展到其他领域，如 社交网络分析、生物信息学和交通网 络规划等。
欧拉图的算法优化
针对欧拉图的算法进行优化，提高算 法的效率和稳定性，以解决大规模图 数据的计算问题。
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2016/12/6
IntroductionToCS--Xiaofeng Gao
10
有向连通图的欧拉回路
【推论】若有向连通图G中各节点的正负度 相等,则G中存在有向欧拉回路.
证明方法类似之前定理，由G是有穷图且每 个节点正负度相等可以断定从G的任一节点 v0出发一定存在G的一条简单回路C。若 C=E(G)，则得证。否则在G中删去C的各 边，找到新的简单回路C1，并添加至C中。 重复该步骤直至C成roductionToCS--Xiaofeng Gao
12
欧拉道路(欧拉迹)
【推论】若无向连通图G中只有2个度为奇数的顶 点。则G中存在欧拉道路。 【证明】设vi和vj是两个奇点，做G’=G+(vi,vj)。 则G’中各顶点的度都是偶数。由之前定理知，G’ 有欧拉回路，它包含(vi,vj)这条边。删去此边，即 可得到一条从vi到vj的简单道路，它恰好经过了G 的所有边，即是一条欧拉道路。
2016/12/6
IntroductionToCS--Xiaofeng Gao
7
证明(2)
充分性 ：由于G是有穷图，因此可断定从 G的任一节点v0出发一定存在G的一条简单 回路C。这是因为各节点的度都是偶数，所 以这条简单回路不可能停留在v0以外的某个 节点，而不能再向前伸延以构成闭通道C。
如果E=C, 则C就是欧拉回路，充分性得证。 否则在G中删去C的各边，得到G1=G―C。
2016/12/6
IntroductionToCS--Xiaofeng Gao
5
证明(3)
G1可能是非连通图，每个顶点的度保持为 偶数。这时，G1中一定存在某个度非零的 节点vi，同时也是C中顶点。否则C的顶点 与G1的顶点之间无边相连，与G是连通图矛 盾。同理，从vi出发，G1中所在的连通分量 内存在一条简单回路C1。C ∪ C1仍然是G 的一条简单回路，但它包括的边数比C多。 继续构造，最终有C’=C ∪ C1 ∪… ∪ Ck是 一条欧拉回路。
9
其他解法
2016/12/6
IntroductionToCS--Xiaofeng Gao
11
解
【解】从任一点出发，比如 v1开始，可构造简单回路 C=(e1,e8,e6,e7,e2)。 G1=G―C中的v2、v5度非零 且是C中的节点。从v2开始G1 中有简单回路C1=(e3,e5,e4)， 因此 C∪C1=(e1,e3,e5,e4,e8,e6,e7,e2) 包含了G的所有边，是G的欧 拉回路。
2016/12/6
IntroductionToCS--Xiaofeng Gao
15
范例
【例】七桥问题既不存在欧拉回路也不存 在欧拉道路.
2016/12/6
IntroductionToCS--Xiaofeng Gao
14
编码盘范例
【例】一个编码盘分成16个相等的扇面， 每个扇面分别由绝缘体和导体组成，可以 表示0和1两种状态，其中a,b,c,d四个位置的 扇面组成一组二进制输出。
试问这16个二进制数的 序列应如何排列，编码 盘才恰好能组成0000到 1111的16组四位二进制 输出，同时旋转一周后 又返回到0000状态？
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解法
【解】如果从状态a1a2a3a4(ai=0或1)逆时针 旋转一个扇面，那么新的输出是a2a3a4a5， 其中有三位数字不变。因此可以用8个节点 表示从000到111这8个二进制数。这样从节 点(ai-1,ai,ai+1)可以到达节点(ai,ai+1,0)或 (ai,ai+1,1)，其输出分别是 (ai-1,ai,ai+1,0) 和 (ai-1,ai,ai+1,1)。用这样的方法可以得到如下 图，它是有向连通图，共16条边，且每个 节点的正、负度相等。
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目录
1 欧拉道路与欧拉回路 2 哈密顿道路与哈密顿回路
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欧拉回路
【定义】给定无向连通图G=(V, E)，包含 图G的所有边的简单道路称为欧拉道路(或 欧拉通道、欧拉迹) ， 包含图G的所有边的简单回路称为欧拉回路 (或欧拉闭迹) 。 假设G没有孤立点，若G含有欧拉回路，则 称G是欧拉图。
欧拉图与哈密顿图
Euler and Hamilton Graph
高晓沨 (Xiaofeng Gao)
Department of Computer Science Shanghai Jiao Tong Univ.
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欧拉道路与欧拉回路
Euler Path and Euler Circuit
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欧拉图定理
【定理】图G是欧拉图的充要条件是G连通 且没有奇点。
【证】必要性 ： 若G中有欧拉回路C,则C过每一条边有且仅 有一次。对任一节点v,如果C由ei进入v, 则 一定通过另一条边ej从v离开。因此v的度是 偶数。
注：该推论实际是充分必要条件，即无向连通图 G中存在欧拉道路当且仅当G中有零个或两个度为 奇数的节点。
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范例
【例】设连通图G=(V,E)有k个度为奇数的 节点，证明E(G)可以划分为k/2条简单道路。
【证明】易知k是偶数。在这个k个节点间 添加k/2条边，使得每个节点都与其中一条 边关联，得到G’，易知G’中各节点的度都 为偶数，故G’中有欧拉回路C，这k/2条边 都在C上且不相邻接。故删去这些边，可以 得到k/2条简单道路，它们包含了G的所有 边，即E(G)划分成了k/2条简单道路。
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范例
【例】 判断下图是否欧拉图：
a
b
e
d
c
G
a
b
d
c
H
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范例(2)
【例】试找出下图的一条欧拉回路。
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