2013届高三数学第一轮复习《圆的方程》讲义

圆的方程

自主梳理 1．圆的定义

在平面内，到___定点_____的距离等于____定长____的点的___集合_____叫圆． 2．确定一个圆最基本的要素是___.圆心_____和__半径______． 3．圆的标准方程

(x －a )2＋(y －b )2＝r 2

(r >0)，其中___(a ，b)_____为圆心，__ r __为半径． 4．圆的一般方程

x 2＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，若化为标准式，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4．

由于r 2

相当于D 2＋E 2－4F 4

．

所以①当D 2

＋E 2

－4F >0时，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2

，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2．

②当D 2＋E 2

－4F ＝0时，表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2

，－E 2．

③当D 2＋E 2

－4F <0时，这样的圆不存在． 5．确定圆的方程的方法和步骤 （1）确定圆的方程必须有三个独立条件

不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a 、b 、r 或D 、E 、F )的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值．

（2）确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；

(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组；

(3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程 6．点与圆的位置关系

点和圆的位置关系有三种．

圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2

，点M (x 0，y 0)，

(1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2__＝__r 2

；

(2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2_>___r 2

；

(3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2___<_r 2

.

自我检测

1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是______．x 2

＋(y －2)2

＝1 2．圆x 2

－2x ＋y 2

－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为___1_____．

3．点P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2

＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．2x －y －5＝0

4．已知点(0,0)在圆：x 2＋y 2＋ax ＋ay ＋2a 2

＋a －1＝0外，则a 的取值范围是

_______(－1－73，－1)∪(12，－1＋7

3)____．

5．过圆x 2＋y 2

＝4外一点P (4,2)作圆的切线，切点为A 、B ，则△APB 的外接圆方程为____(x

－2)2＋(y －1)2

＝5____．

6．已知圆的方程为0862

2=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的两条弦分别为AC 和BD ，

且BD AC ⊥.则四边形ABCD 的面积最大值为（ ） A ．206 B ．306 C ．49 D ．50

7．已知两定点A(-2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）

A.π

B.8π

C.4π

D.9π

8．当曲线214y x =-与直线240kx y k --+=有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是（ ） A ．5(0,)12 B ．13(,]34 C ．53(,]124 D ．5

(,)12

+∞

题型一 求圆的方程

例1 根据下列条件，求圆的方程：

(1)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6；

(2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)．

(3)求经过点A (－2，－4)，且与直线l ：x ＋3y －26＝0相切于点B (8,6)的圆的方程． 解题导引 (1)一可以利用圆的一般式方程，通过转化三个独立条件，得到有关三个待定字母的关系式求解；二可以利用圆的方程的标准形式，由条件确定圆心和半径．

(2)一般地，求圆的方程时，当条件中给出的是圆上若干点的坐标，较适合用一般式，通过解三元方程组求待定系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式．

解 (1)设圆的方程为

x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，

将P 、Q 点的坐标分别代入得

⎩

⎪⎨

⎪⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.

①②

又令y ＝0，得x 2

＋Dx ＋F ＝0. ③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6有D 2

－4F ＝36，

④

由①、②、④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.

故所求圆的方程为

x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0. (2)方法一 如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题

意得4x 0－23－x 0

＝1，

∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22，

故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2

＝8.

方法二 设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2

，

根据已知条件得