平面向量极化恒等式优秀课件
新高考数学二轮复习极化恒等式培优课件
－28，则N→P·Q→P＝
A.64
B.42
√C.36
D.28
由M→N·M→Q＝M→O2－O→N2＝36－O→N2＝－28， 解得O→N2＝64，所以O→Q2＝64， 所以N→P·Q→P＝P→Q·P→N＝P→O2－O→Q2＝100－64＝36.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3.已知正方形 ABCD 的面积为 2，点 P 在边 AB 上，则P→D·P→C的最大值是
由于 P 为正方体表面上的动点，故|OP|∈[1， 3]，
所以P→M·P→N∈[0，2].
(2)如图所示，正方形 ABCD 的边长为 1，A，D 分别在 x 轴，y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则O→C·O→B的最大值是 ____2____.
如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON， 则O→C·O→B＝O→M2－14＝|O→M|2－41. 因为 OM≤ON＋NM＝12AD＋AB＝23， 当且仅当O，N，M三点共线时取等号. 所以O→C·O→B的最大值为 2.
(2)如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＝1，AD＝2，点 E， F，G，H 分别是 AB，BC，CD，AD 边上的中点，则E→F·F→G
3 ＋G→H·H→E＝____2____.
连接EG，FH交于点O， 则E→F·F→G＝E→O2－O→H2＝1－122＝34， G→H·H→E＝G→O2－O→H2＝1－122＝34， 因此E→F·F→G＋G→H·H→E＝23.
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训练2
(1)(2023·金华质检)如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦 MN 的长度最大时，P→M·P→N的取值范围是 __[_0_，__2_] _.
高中数学《极化恒等式》教学课件
边长关系
利用极化恒等式，可以推导出三角 形边长之间的关系，从而解决一些 与三角形边长相关的问题。
角度关系
通过极化恒等式，可以推导出三角 形角度之间的关系，有助于解决与 角度相关的问题。
在向量中的应用
向量模的平方
向量线性关系
利用极化恒等式，可以表示向量的模 的平方，从而简化向量的运算。
利用极化恒等式，可以推导出向量线 性关系，有助于解决向量线性相关的 问题。
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极化恒等式的定义
极化恒等式的定义
极化恒等式是高中数学中一个重要的恒等式 ，它表示的是向量内积的运算性质。具体定 义为：对于任意两个向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$，有$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| cos theta$，其中$theta$是向量$mathbf{a}$ 和$mathbf{b}$之间的夹角。
mathbf{b} cdot mathbf{b}$。将这两个等 式代入点积的性质中，即可得到极化恒等式
。
极化恒等式的性质
01
极化恒等式的性质1
极化恒等式揭示了向量内积和向量模长之间的关系，它 表明两个向量的内积等于它们模长的乘积乘以它们之间 的夹角的余弦值。
02
极化恒等式的性质2
极化恒等式具有对称性，即交换两个明
极化恒等式的证明方法
01
02
03
代数证明法
通过代数运算和恒等变换 ，逐步推导极化恒等式的 成立。
几何证明法
利用几何图形和空间向量 的性质，通过直观的方式 证明极化恒等式。
归纳法
通过对特殊情况的证明， 逐步归纳出一般情况的证 明方法。
高中数学《极化恒等式》PPT教学课件
已知RTABC的斜边AB的长为4，设P是以C为圆心， 1为半径的圆上任意一点，求PA PB的取值范围。
解：PA
PB＝(
PA
P B ) 2 －(
P A－P B ) 2＝P M
在正三角形 ABC中， D 是 BC上点， AB 3, BD 1，
则 AB AD
。
解：取
BD的中点
E
，
AB
AD
2
AE
1
2
BD
(3
3 )2 1 1 15
4
2
42
如图，在半径为1的扇形AOB 中，AOB ＝60 ，C为弧上的动点， AB与OC相交于点P，则OP BP的最小值是 1
巧用极化恒等式，妙解高考向量题
想一想
在处理向量的问题中，一个强有力的工具，特别 在求向量数量积最值的时候，甚至是“秒杀”某些高 考向量题，那就是向量的极化恒等式。
M
极化恒等式的几何意义：
4a b (a b)2 (a b)2 a b (a b)2 (a b)2 4
| BC |
| BC |
| BC |
从而原式 |
PD |2
3 4
|
BC |2
|
4 BC |2
3 4
|
BC |2
2
3
当且仅当PD BC，| BC |＝4 4时等号成立。 3
A. ABC 90o B. BAC 90o
C. AB AC
D. AC BC
第2讲 极化恒等式
第2讲极化恒等式结论：设a b、是两个平面向量，则有恒等式()()2214a b a b a b ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦ ，在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，22AB AC AM MB =- 。
极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量之和或之差，因此，当两个向量之和或之差为定值时，常常可以考虑利用极化恒等式进行转化求解。
典型例题1．（2012浙江15）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，10BC =，则AB AC =．法1解：设AMB θ∠=，则AMC πθ∠=-．又AB MB MA =- ，AC MC MA =- ，∴(AB AC = )(MB MA - 2)MC MA MB MC MB MA MA MC MA -=--+，2553cos 35cos()916θπθ=--⨯-⨯-+=-，故答案为16-．法2：极化恒等式22223516AB AC AM MB =-=-=-2．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA =，1BF CF =- ，则BE CE的值是．法1解：D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，∴BF BD DF =+ ，CF BD DF =-+ ，3BA BD DF =+ ，3CA BD DF =-+ ，∴221BF CF DF BD =-=- ，2294BA CA DF BD =-= ，∴258DF = ，2138BD = ，又 2BE BD DF =+ ，2CE BD DF =-+，∴22748BE CE DF BD =-= ，故答案为：78法2：极化恒等式FDAD BD FD CF BF BD AD CA BA 3142222=-=-=∙=-=∙分别解出FD ²和BD ²的值，即可求解CMDG O3．已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，8AB =，6CD =，则MA MB的取值范围是．法1解：以AB 所在的直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示；且圆O 的直径为AB ，设(,)M x y ，则(4,0)A ，(4,0)B -，(4,)MA x y =-- ，(4,)MB x y =--- ，222(4)(4)()16MA MB x x y x y =---+-=+-，又M 是圆O 的弦CD 上一动点，且6CD =，所以2216916x y -+ ，即22716x y + ，其中最小值在CD 的中点时取得，所以MA MB的取值范围是[9-，0]．故答案为：[9-，0]．法2直接使用极化恒等式22MA MB MO OA=-4MO ≤≤ ，4OA =[]9,0MA MB ∴∈-一课一练1．（2013•浙江二模）如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴上（含原点）上滑动，则OB OC的最大值是．2.（2018•天津）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，则AE BE的最小值为()A ．2116B ．32C ．2516D ．33、（2017•新课标Ⅱ）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-参考答案1）法1解：如图令OAD θ∠=，由于1AD =故0cos A θ=，sin OD θ=，如图2BAX πθ∠=-，1AB =，故cos cos()cos sin 2Bx πθθθθ=+-=+，sin()cos 2B y πθθ=-=故(cos sin ,cos )OB θθθ=+同理可求得(sin ,cos sin )C θθθ+，即(sin ,cos sin )OC θθθ=+，∴(cos sin OB OC θθ=+，cos )(sin θθ ，cos sin )1sin 2θθθ+=+，OB OC的最大值是2故答案是2法2：极化恒等式如图，取BC ，AD 中点E ，F ,22214OB OC OE EB OE =-=-根据极化恒等式13122OE OF EF ≤+=+=所以有最大值22）法1解：如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，过点B 做BN x ⊥轴，过点B 做BM y ⊥轴，AB BC ⊥ ，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==，1cos602AN AB ∴=︒=，3sin 602BN AB =︒=，13122DN ∴=+=，32BM ∴=，3tan 302CM MB ∴=︒=，3DC DM MC ∴=+=，(1,0)A ∴，3(2B ，32，C ，设(0,)E m ，∴(1,)AE m =- ，3(2BE =- ，32m -，0m ，∴22233321(()224216416AE BE m m m =+-=-+-=-+ ，当m =2116．故选：A ．法2：极化恒等式22214EA EB EF FA EF =-=-当EF CD ⊥时，15144EF EK KF =+=+=251214416EA EB ⎛⎫=-=⎪⎝⎭最小3）法1解：建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =--，则22223()222[(]4PA PB PC x y x y +=-+=+--∴当0x =，y =时，取得最小值332(42⨯-=-，故选：B ．法2：极化恒等式222222()()()2PA PB PC PE EA PF FA PE PF +=-+-=+- 当P 位于EF 中点时，有最小值。
平面向量的极化恒等式及其应用
证法1 AC + DB2.2C\—|2AC + DB=2 AB + AD证法推论 由 |AC2■|DB知，2AO推论ab = R b 2—2极化恒等式.推论3 :在 ABC 中，O 是边BC 的中点,____ 2 _______AO -OBAB AC 二-■|BC极化平面向量的极化恒等式及其应用一.极化恒等式的由来定理：平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍(向量法)设 AB =a, AD =b.则 AC b,DB -b.___h _____ L _______ 2_______ AB AD = AO -OB亦即向量数量积的第二几何意义•二.平行四边形的一个重要结论平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍|AC 2-1—*l 222AB + A D =2] AO +O B 1 1I2三.三角形中线的一个性质： -2 -------------- AB + AC2=2 AO|OB 2.推论 AO =-f AB 2+ AC 2) LOB 2lJ21: 推论 —21 (22 )1 AO =AB + AC 12l丿 42:P 是直角三角形 ——2BC 【应用】 已知点 ABC 斜边AB 上中线CD 的中点，则2PA + PBPC2即证法3 （余弦定理） （解析a=a b i 亠 ia - b =2 2!=2 AB + AD+ 2OB+ AD一 22 AB + AD——2DB =2OP = OA …ABAC八三0, •：：，则动点P的轨迹一定通过ABC的OP = OA ■■■ /ABA B sin BACAC sin C0,则动点P的轨迹一定通过ABC的------A. 夕卜心B. 内心C. 重心D. 垂心3. O是平面上一定点，A, B,C是平面上不同的三点，动点P满足OP =OA ，ABAB cosBACAC cosC则动点P的轨迹一定通过ABC的 A. 外心 B. 内心 C. 重心 D.垂心四•三角形“四心”的向量形态1. O是平面上一定点，A, B,C是平面上不同的三点，动点P满足A.夕卜心B. 内心C. 重心D. 垂心2. O是平面上一定点，A, B,C是平面上不同的三点，动点P满足4. P是ABC所在平面上一点，若PA卩B=PB卩C = PC PA，P是ABC的------A.外心B. 内心C. 重心D. 垂心ABC2 2 2 2 2 25. O是ABC所在平面内的一点，满足AB OC = AC OB = BC OA，则点O是二ABC的——（） A.外心 B. 内心C. 重心 D.垂心五.典型案例分析问题1在ABC中，M是BC的中点，AM -3, BC =10，则AB・AC =-------------------------- 【变式】已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，贝U DE * DA = ---------------- 问题2已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则PA* PB的取值范围是------2 2【变式】（2010福建文11题）若点O和点F分别为椭圆—匚=1的中心和左焦点，点P4 3为椭圆上的任意一点，贝U OP *FP的最大值为（）A. 2B. 3C. 6D. 8C. AB = ACD. AC = BC【变式】（2008浙江理 C 为抛物线上一A. C °M _ ABB. C 0M _1，其中是抛物线过点的切线C.C 0A_C 0B D.C 0M =AB （ 2013年浙江省高中数学竞赛试题第5题）问题4 在正三角形CABC 中,D 是 BC 上的点，AB =3, BD =1,则 AB ・AD =-15 （2011年上海第11题）【2问题 5 在. ABC 中，AB =2, AC =3 , D 是 BC 的中点，贝U AD *BC ---5（2007年天津文科第15题）【5】2问题6正方体ABCD - AB J GD J 的棱长为2，MN 是它内切球的一条弦 （把球面上任意两 点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦最长时,PM *PN 的最大值为.（2013年浙江省湖州市高三数学二模）【2】.问题7点P 是上一点，贝U PA *PC 的取值范围是问题3 （ 2013浙江理7）在.；ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0BAB ，且对于边 4JIA. ABC =2JIB. . BAC =29题）已知a,b 是平面内的两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足问题3已知直线AB 与抛物线y 2 =4x 交于点A, B ，点M 为AB 的中点,个动点，若C 0满足C 0A ・C 0B =minCA-CB 』，则下列一定成立的是AB 上任一点P ，恒有PB^PC _P 0B *F 0C ，则a —c ・b —c = 0，贝U C 的最大值是 （） A. 1 B. 2 C.•、2 D.22（2013年北京市朝阳区高三数学二模）【丄,1_2问题8如图，在平行四边形ABCD中，已知AB =8, AD = 5 , CP 二3PD，则AP • BP = 2. AB • AD 的值为-----.(2014 年高考江苏一 一 1AB 与OC 交于点P ，则OP ・BP 二2最小值为——【一】• 2 X 2 y 2问题10已知M X o ,y 。
专题一 平面向量的极化恒等式(含解析)
专题八 平面向量的极化恒等式利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决．1．极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．2．平行四边形模式：如图(1)，平行四边形ABCD ，O 是对角线交点．则：(1)AB →·AD →＝14[|AC |2－|BD |2]．3．三角形模式：如图(2)，在△ABC 中，设D 为BC 的中点，则AB →·AC →＝|AD |2－|BD |2． 三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决． 记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差． 考点一 平面向量数量积的定值问题 【方法总结】利用极化恒等式求数量积的定值问题的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值．积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量积时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线及第三边的长度，通常用平面几何方法或用正余弦定理求解，从而得到数量的值．【例题选讲】[例1] (1)(2014·全国Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5答案 A 解析 通法 由条件可得，(a ＋b )2＝10，(a －b )2＝6，两式相减得4a·b ＝4，所以a ·b ＝1．极化恒等式 a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]＝14(10－6)＝1．(2) (2012·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________．AABC图(2)答案 －16 解析 因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得：AB →·AC →＝|AM |2－14|BC |2＝9－14×100＝－16．(3)如图所示，AB 是圆O 的直径，P 是AB 上的点，M ，N 是直径AB 上关于点O 对称的两点，且AB ＝6，MN ＝4，则PM →·PN →＝( )A ．13B ．7C ．5D ．3答案 C 解析 连接AP ，BP ，则PM →＝P A →＋AM →，PN →＝PB →＋BN →＝PB →－AM →，所以PM →·PN →＝(P A →＋AM →)·(PB →－AM →)＝P A →·PB →－P A →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝－P A →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝AM →·AB →－|AM →|2＝1×6－1＝5．(4)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF →·FG →＋GH →·HE →＝________．答案 32 解析 连结EG ，FH ，交于点O ，则EF →·FG →＝EF →·EH →＝EO →2－OH →2＝1－⎝⎛⎭⎫122＝34，GH →·HE →＝GH →·GF →＝GO →2－OH →2＝1－⎝⎛⎭⎫122＝34，因此EF →·FG →＋GH →·HE →＝32．(5) (2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值为________．答案 78 解析 极化恒等式法 设BD ＝DC ＝m ，AE ＝EF ＝FD ＝n ，则AD ＝3n ．根据向量的极化恒等式，有AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4， FB →·FC →＝FD →2－DB →2＝n 2－m 2＝－1．联立解得n 2＝58，m 2＝138．因此EB →·EC →＝ED →2－DB →2＝4n 2－m 2＝78．即BE →·CE →＝78．坐标法 以直线BC 为x 轴，过点D 且垂直于BC 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xoy ，如图：设A (3a ，3b )，B (－c ，0)，C (－c ，0)，则有E (2a ，2b )，F (a ，b ) BA →·CA →＝(3a ＋c ，3b )·(3a －c ，3b )＝9a 2－c 2＋9b 2＝4 BF →·CF →＝(a ＋c ，b )·(a －c ，b )＝a 2－c 2＋b 2＝－1，则a 2＋b 2＝58，c 2＝138BE →·CE →＝()2a －c ，2b ·()2a －c ，2b ＝4a 2－c 2＋4b 2＝78．基向量 BA →·CA →＝(DA →－DB →)(DA →－DC →)＝4AD →2－BC →24＝36FD →2－BC →24＝4，BF →·CF →＝(DF →－DB →)(DF →－DC →)＝4FD →2－BC →24＝－1，因此FD →2＝58，BC →＝132，BE →·CE →＝(DE →－DB →)(DE →－DC →)＝4ED →2－BC →24＝16FD →2－BC →24＝78．(6)在梯形ABCD 中，满足AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝3，AB →·DC →＝2，则AC →·BD →的值为________．BC答案 4 解析 过A 点作AE 平行于DC ，交BC 于E ，取BE 中点F ，连接AF ，过D 点作DH 平行于AC ，交BC 延长线于H ，E 为BH 中点，连接DE ，22212AB DC AB AE AF BF AF ⋅=⋅=-=-=，AC ⋅ 2224BD DB DH BE DE DE =-⋅=-=-，又1FE BE BF =-=，AD ∥BC ，则四边形ADEF 为平行四边形，AF DE =，1AC BD ∴⋅=．B【对点训练】1．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DA →的值为________．1．答案 1 解析 取AE 中点O ，设|AE |＝x (0≤x ≤1)，则|AO |＝12x ，∴DE →·DA →＝|DO |2－|AO |2＝12＋⎝⎛⎭⎫12x 2 －14x 2＝1． 2．如图，△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP →·OP →＝ ( )A ．1B ．116C ．14D ．－122．答案 B 解析 取AO 中点Q ，连接PQ ，AP →·OP →＝P A →·PO →＝PQ 2－AQ 2＝516－14＝116．3．如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5，若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →的值 是________．3．答案 9 解析 因为AB →·AD →＝AO →2－OD →2＝9－OD →2＝－7⇒OD →2＝16，所以BC →·DC →＝CO →2－OD →2＝25 －16＝9．4．已知点A ，B 分别在直线x ＝3，x ＝1上，|OA →－OB →|＝4，当|OA →＋OB →|取最小值时，OA →·OB →的值是_____． A ．0 B ．2 C ．3 D ．64．答案 C 解析 如图，点A ，B 分别在直线x ＝1，x ＝3上，|AB →|＝4，当|OA →＋OB →|取最小值时，AB 的 中点在x 轴上，OA →·OB →＝OM →2－BM →2＝4－4＝0．5．在边长为1的正三角形ABC 中，D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD →·AE →等于( ) A ．16 B ．29 C ．1318 D ．135．答案 C 解析 解法一：因为D ，E 是边BC 的两个三等分点，所以BD ＝DE ＝CE ＝13，在△ABD 中，AD 2＝BD 2＋AB 2－2BD ·AB ·cos60°＝⎝⎛⎭⎫132＋12－2×13×1×12＝79，即AD ＝73，同理可得AE ＝73，在△ADE 中，由余弦定理得cos ∠DAE ＝AD 2＋AE 2－DE 22AD ·AE ＝79＋79－⎝⎛⎭⎫1322×73×73＝1314，所以AD →·AE →＝|AD →|·|AE →|cos ∠DAE ＝73×73×1314＝1318． 解法二：如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A ⎝⎛⎭⎫，32，D ⎝⎛⎭⎫－16，0，E ⎝⎛⎭⎫16，0，所以AD →＝(－16，－32)，AE →＝⎝⎛⎭⎫16，－32，所以AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫－16，－32·⎝⎛⎭⎫16，－32＝－136＋34＝1318．极化恒等式法 取DE 中点F ，连接AF ，则AD →·AE →＝|AF |2－|DF |2＝34－136＝1318．6．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( )A ．89B ．109C ．259D ．2696．答案 B 解析 坐标法 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两 条边，它们的长不可能为0，所以AB 与AC 垂直，所以△ABC 为直角三角形．以A 为原点，以AC 所在直线为x 轴，以AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)．不妨令E 为BC 的靠近C 的三等分点，则E ⎝⎛⎭⎫23，23，F ⎝⎛⎭⎫13，43，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫23，23，AF →＝⎝⎛⎭⎫13，43，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109．极化恒等式法 取EF 中点M ，连接AM ，则AE →·AF →＝|AM |2－|EM |2＝54－536＝109．7．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是( )A ．44B ．22C ．24D ．727．答案 B 解析 如图，取AB 中点E ，连接EP 并延长，交AD 延长线于F ，AP →·BP →＝EP 2－AE 2＝EP 2－16＝2，∴EP ＝32，又∵CP →＝3PD →，AE →＝EB →，AB →＝DC →，∴AE ＝2DP ，即△F AE 中，DP 为中位线，AF ＝2AD ＝10，AE ＝12AB ＝4，FE ＝2PE ＝62，AP 2＝40，AD →·AB →＝AF →·AE →＝AP 2－EP 2＝40－(32)2＝22．8．如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，∠A ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝2AE →，若F 为DE 的中点，则BF →·DE →的值为________．A BD CE F8．答案 4 解析 取BD 的中点N ，连接NF ，EB ，则BE ⊥AE ，∴BE ＝23．在△DEB 中．FN ∥12EB ．∴FN＝3．BF →·DE →＝2FB →·FD →＝2(FN 2－DN 2)＝4．AB DCE FN9．如图，在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，D 为边BC 的中点，若CD ⊥AD ，垂足为E ， 则EB →·EC →＝________．9．答案 －277 解析 由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2 AB ·AC ·cos120°＝19，即BC ＝19，因为AB →·AC →AD 2－CD 2＝|AB |·|AC |·cos120°＝－3，所以|AD |＝72，因为S △ABC ＝2S △ADC ，则12|AB |·|AC |·sin120°＝2·12|AD ||CE |，解得|CE |＝3217，在Rt △DEC 中，|DE |＝CD 2－CE 2＝5714，所以EB →·EC →＝|ED |2－|CD |2＝－277．B10．在平面四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，且AB ＝1，EF ＝2，CD ＝5，若AD →·BC →＝15．则AC →·BD →的值为________．10．答案 解析 极化恒等式 如图，取, , , AB AC CD BD 中点, , , H I J K ，四边形ABCD 中，易知, , EF KI HJ 三线共点于O ，2215154AD BC HK HI HO IO ⋅=⇒⋅==-，又4AC BD HE HF ⋅=⋅=()224HO FO -，在EFI ∆中，12,2EF EI FI ===，由中线长公式知214IO =,从而24HO =，AC BD ⋅=14(4)142-=．基向量法2EF AB DC =+，22242EF AB DC AB DC ∴=++⋅， AB DC EF =又=1,1AB DC ∴⋅=，15 ()()15AD BC AC CD BD DC ⋅=∴+⋅+=，，则2AC BD AC DC CD BD DC ⋅+⋅+⋅-15=，可化为()()515AC BD AB BC DC CD BC CD ⋅++⋅+⋅+-=，15, AC BD AB DC ⋅+⋅= AC BD ⋅故=14．BCADE OF考点二 平面向量数量积的最值(范围)问题 【方法总结】利用极化恒等式求数量积的最值(范围)问题的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线长的最值(范围)，通过观察或用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．【例题选讲】[例1](1)若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值为________．答案 －98 解析 a ·b ＝18[(2a ＋b )2－(2a －b )2]＝18[|2a ＋b |2－|2a －b |2]≥02－328＝－98．当且仅当|2a ＋b |＝0，|2a －b |＝3，即|a |＝34，|b |＝32，< a ，b >＝π时，a ·b 取最小值－98．(2)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →的最大值是________．答案214解析 坐标法 以直线n 为x 轴，过点A 且垂直于n 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，如图：则A ()0，3，C ()c ，0，B ()b ，2，则AB →＝()b ，－1，AC →＝()c ，－3，从而()b ＋c 2＋()－42＝52，即()b ＋c 2＝9，又AC →·AB →＝bc ＋3≤()b ＋c 24＋3＝214，当且仅当b ＝c 时，等号成立．极化恒等式 连接BC ，取BC 的中点D ，AB →·AC →＝AD 2－BD 2，又AD ＝12||AB →＋AC →＝52，故AB →·AC →＝254－BD 2＝254－14BC 2，又因为BC min ＝3－1＝2，所以(AB →·AC →) max ＝214．(3)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1答案 B 解析 方法一 (解析法) 建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)．设P 点的坐标为(x ，y )，图①则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32．当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32．故选B ．方法二 (几何法) 如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →．图②要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值．又当点P 在线段AD 上时，|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34，∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32．故选B ．极化恒等式法 设BC 的中点为D ，AD 的中点为M ，连接DP ，PM ，∴P A →·(PB →＋PC →)＝2PD →·P A →＝2|PM→|2－12|AD →|2＝2|PM →|2－32≥－32．当且仅当M 与P 重合时取等号．BC(4)已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则P A →·PB →的取值范围是________．答案 [－2，6] 解析 取AB 的中点D ，连接CD ，因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝23．又由极化恒等式得：P A →·PB →＝|PD |2－14|AB |2＝|PD |2－3，因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，|PD |max ＝3，当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，|PD |min ＝1，所以P A →·PB →∈[－2，6]．(5)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为_____．答案 5－213 解析 通法 以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)，设P (2cos θ，2sin θ)⎝⎛⎭⎫π3≤θ≤2π3，则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)，其中0<tan φ＝36<33，所以0<φ<π6，当θ＝π2－φ时，PC →·P A →取得最小值，为5－213． 极化恒等式法 设圆心为O ，由题得AB ＝2，∴AC ＝3．取AC 的中点M ，由极化恒等式得PC →·P A →＝PM →2－AM →2＝PM →2－94，要使PC →·P A →取最小值，则需PM 最小，当圆弧AB ︵的圆心与点P ，M 共线时，PM 最小．易知DM ＝12，∴OM ＝⎝⎛⎭⎫122＋(3)2＝132，所以PM 有最小值为2－132，代入求得PC →·P A →的最小值为5－213．(6)在面积为2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF上，则PC →·PB →＋BC →2的最小值是________．答案 23 解析 取BC 的中点为D ，连接PD ，则由极化恒等式得PC →·PB →＋BC →2＝PD →2－BC →24＋BC→2＝PD →2＋3BC →24≥AD →24＋3BC →24，此时当且仅当AD →⊥BC →时取等号，PC →·PB →＋BC →2≥AD →24＋3BC →24≥2AD →24·3BC →24＝23．另解 取BC 边的中点M ，连接PM ，设点P 到BC 边的距离为h ．则S △ABC ＝12·||BC →·2h ＝2⇒||BC→＝2h，PM ≥h ，所以PB →·PC →＋BC →2＝⎝⎛⎭⎫PM →2－14BC →2＋BC →2＝PM →2＋34BC →2＝PM →2＋3h 2≥h 2＋3h2≥23(当且仅当||PM →＝h ，h 2＝3时，等号成立)【对点训练】1．已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点， 则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为( )A ．－14B ．－13C ．－12D ．－11．答案 C 解析 P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，取OC 中点D ，由极化恒等式得，PO →·PC →＝|PD |2－|CD |2＝|PD |2－14，又|PD |2min ＝0，∴(P A →＋PB →)·PC →的最小值为－12．2．如图，设A ，B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点C 为AO 中点，则CO →·CB →的取值范围是( )A ．[－1，3]B ．[1，3]C ．[－3，－1]D ．[－3，1]2．答案 A 解析 建立平面直角坐标系如图所示，可得O (0，0)，A (－2，0)，C (－1，0)，设B (2cos θ， 2sin θ)．θ∈[0，2π)．则CO →·CB →＝(1，0)·(2cos θ＋1，2sin θ)＝2cos θ＋1∈[－1，3]．故选A ．极化恒等式法 连接OB ，取OB 的中D ，连接CD ，则CO →·CB →＝|CD |2－|BD |2＝CD 2－1，又|CD |2min ＝0，∴CO →·CB →的最小值为－1．|CD |2max ＝2，∴CO →·CB →的最大值为3．3．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值为________．3．答案 －116 解析 取OB 的中点D ，连接PD ，则OP →·BP →＝|PD →|2－|OD →|2＝|PD →|2－14，于是只要求求PD 的最小值即可，由图可知，当PD ⊥AB ，时，PD ＝34，即所求最小值为－116．4．(2020·天津)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．4．答案 16 132 解析 第1空 因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°，所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32，解得|AD →|＝1．因为AD →，BC →同向，且BC ＝6，所以AD →＝16BC →，即λ＝16．第2空 通法 在四边形ABCD 中，作AO ⊥BC 于点O ，则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332．以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．如图，设M (a ，0)，不妨设点N 在点M 右侧，则N (a ＋1，0)，且－32≤a ≤72．又D ⎝⎛⎭⎫1，332，所以DM →＝⎝⎛⎭⎫a －1，－332，DN →＝⎝⎛⎭⎫a ，－332，所以DM →·DN→＝a 2－a ＋274＝⎝⎛⎭⎫a －122＋132．所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132． 极化恒等式法 如图，取MN 的中点P ，连接PD ，则DM →·DN →＝PD →2－MP →2＝PD →2－14，当PD →⊥BC →时，|PD→|2取最小值274，所以DM →·DN →的最小值为132．BC5．在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN ＝1，若CM CN ⋅的最小值为34，则cos ∠ACB ＝________．5．答案解析 取MN 的中点P ，则由极化恒等式得2221144CM CN CP MN CP ⋅=-=-，∵ CM CN ⋅的最小值为34，∴min 1CP =，由平几知识知：当CP ⊥AB 时，CP 最小，如图，作CH ⊥AB ，H 为垂足，则CH ＝1，又AC ＝2BC ＝4，所以∠B ＝30o ，sin A =14，所以cos ∠ACB ＝cos （150o －A ）．6．已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA →·MB →的取值范围是________． 6．答案 [－9，0] 解析 如图，MA →·MB →＝MO →2－AO →2＝MO →2－16，∵|OG →|≤|OM →|≤|OC →|，∴7≤|OM →|≤4，∴MA →·MB →的取值范围是[－9，0]．7．如图，设正方形ABCD 的边长为4，动点P 在以AB 为直径的弧APB 上，则PC →·PD →的取值范围为______． 7．答案 [0，16] 解析 如图取CD 的中点E ，连接PE ，PC →·PD →＝PE →2－DE →2＝OE →2－2，2≤|PE →|≤25， 所以PC →·PD →的取值范围为[0，16]．8．已知正△ABC 内接于半径为2的圆O ，AE 交圆O 于点F ，则F A →·FB →的取值范围是________．8．答案 [0，6] 解析 取AB 的中点D 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝23．又由极化恒等式得：F A →·FB →＝|FD |2－|AD |2＝|FD |2－3，因为F 在劣弧BC 上，所以当F 在点C 处时，|FD |max ＝3，当F 在点B 处时， |PD |min ＝3，所以P A →·PB →∈[0，6]．9．已知AB 是半径为4的圆O 的一条弦，圆心O 到弦AB 的距离为1，P 是圆O 上的动点，则P A →·PB →的取 值范围为_________．9．答案 [－6，10] 解析 极化恒等式法 设AB 的中点为C ，连接CP ，则P A →·PB →＝|PC →|2－|AC →|2＝|PC →|2－15．|PC →|2－15≥25－15＝10，|PC →|2－15≤9－15＝－6．10．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，且MN ＝2，则AM →·AN →的最小值为________．10．答案 15 解析 取K 为MN 中点，由极化恒等式，AM →·AN →＝|AK |2－1，显然K 的轨迹是以点C 为圆心，1为半径的圆周在矩形内部的圆弧，所以|AK |min ＝5－1＝4，所以AM →·AN →的最小值为15．AD11．在△ABC 中，已知AB ＝3，C ＝π3，则CA →·CB →的最大值为________．11．答案 32解析 设D 是AB 的中点，连接CD ，点O 是△ABC 的外心，连接DO 并延长交圆O 于C ´，由△ABC ´是等边三角形，∵AD ＝32，∴C ´D ＝32，则CA →·CB →＝|CD →|2－|DA →|2＝|CD →|2－(32)2≤|C ´D →|2－34＝(32)2－34＝32．∴(CA →·CB →)max ＝32．12．已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC12．答案 D 解析 如图所示，取AB 的中点E ，因为P 0B ＝14AB ，所以P 0为EB 的中点，取BC 的中点D ，则DP 0为△CEB 的中位线，DP 0∥CE ．根据向量的极化恒等式，有PB →·PC →＝PD →2－DB →2，P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－DB →2．又PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则|PD →|≥|P 0D →|恒成立，必有DP 0⊥AB ．因此CE ⊥AB ，又E 为AB 的中点，所以AC ＝BC ．13．在正方形ABCD 中，AB ＝1，A ，D 分别在x ，y 轴的非负半轴上滑动，则OC →·OB →的最大值为______．13．答案 2 解析 如图取BC 的中点E ，取AD 的中点F ，OC →·OB →＝OE →2－BE →2＝OE →2－14，而|OE →|≤|OF →|＋|FE →|＝12||AD →|＋|FE →||＝12＋1＝32，当且仅当O ，F ，E 三点共线时取等号．，所以OC →·OB →的最大值为2．14．在三角形ABC 中，D 为AB 中点，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别为BC ，AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →最小值为________． 14．答案154 解析 设EF 的中点为M ，连接CM ，则|CM →|＝12，即点M 在如图所示的圆弧上，则DE →·DF → ＝|DM →|2－|EM →|2＝|DM →|2－14≥||CD |－12|2－14＝154．ABC DE M15．在Rt ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，若点A ，B 分别在x ，y 轴的非负半轴上滑动，则OA →·OC →的最大值为________．15．答案 18 解析 如图取AC 的中点M ，取AB 的中点N ，则OA →·OC →＝OM →2－AM →2＝OM →2－(32)2≤(ON →2－NM →2)－(32)2＝(2＋52)2－(32)2＝18．16．已知正方形ABCD 的边长为2，点F 为AB 的中点，以A 为圆心，AF 为半径作弧交AD 于E ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC →·PD →的最小值为______．16．答案 5－25 解析 如图取CD 的中点M ，PC →·PD →＝PM 2－DM 2＝PM 2－1，而|PM |＋1＝|PM |＋|AP |≥|AM |＝5，当且仅当P ，Q 重合时等号成立，所以PC →·PD →的最小值为(5－1)2－1＝5－25．C17．如图，已知B ，D 是直角C 两边上的动点，AD ⊥BD ，|AD →|＝3，∠BAD ＝π6，CM →＝12(CA →＋CB →)，CN →＝12(CD →＋CA →)，则CM →·CN →的最大值为________．ABCDMN17．答案13＋44 解析 设MN 的中点为G ，BD 的中点为H ，CM →·CN →＝|CG →|2－|GN →|2＝|CG →|2－116， ∵|CG →|≤|CH →|＋|HG →|＝12＋134，∴CM →·CN →≤(12＋134)2－116＝13＋44．所以CM →·CN →的最大值为13＋44．AB CD MNG H18．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BCD ＝60°，CB ＝CD ＝23．若点M 为边BC上的动点，则AM →·DM →的最小值为________．B C18．答案214解析 设E 是AD 的中点，作EN ⊥BC 于N ，延长CB 交DA 的延长线于F ，由题意可得： FD ＝3CD ＝6，FC ＝2CD ＝43，∴BF ＝23，∴AB ＝2，F A ＝4，∴AD ＝2，EN AB ＝EF F A ＝54，EN ＝52．则AM →·DM →＝MA →·MD →＝|ME →|2－|EA →|2＝|ME →|2－1≥EN 2－1＝(52)2－1＝214．∴AM →·DM →＝214．另解 设E 是AD 的中点，作EF ⊥BC 于F ，作AG ⊥EF 于G ，∵AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∴四边形ABCD 共圆，如图，由圆的对称性及∠BCD ＝60°，CB ＝CD ＝23，可知∠BCA ＝∠DCA ＝30°，∴AB ＝2，∵∠GAE ＝30°，∴GE ＝12，∴EF ＝2＋12＝52，则AM →·DM →＝MA →·MD →＝|ME →|2－|EA →|2＝|ME →|2－1≥EN 2－1＝(52)2－1＝214．∴AM →·DM →＝214．C19．(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为________．19．答案2116解析 通法 如图，以D 为坐标原点建立直角坐标系．连接AC ，由题意知∠CAD ＝∠CAB ＝60°，∠ACD ＝∠ACB ＝30°，则D (0，0)，A (1，0)，B ⎝⎛⎭⎫32，32，C (0，3)．设E (0，y )(0≤y ≤3)，则AE →＝(－1，y )，BE →＝⎝⎛⎭⎫－32，y －32，所以AE →·BE →＝32＋y 2－32y ＝⎝⎛⎭⎫y －342＋2116，所以当y ＝34时，AE →·BE→有最小值2116．极化恒等式法 如图，取AB 的中点P ，连接PE ，则AE →·BE →＝PE →2－AP →2＝PE →2－14，当PE →⊥CD →时，|PE→|取最小值，由几何关系可知，此时，PE →2＝2516，所以DM →·DN →的最小值为2116．20．如图，圆O 为Rt △ABC 的内切圆，已知AC ＝3，BC ＝4，C ＝π2，过圆心O 的直线l 交圆于P ，Q 两点，则BP →·CQ →的取值范围为________．20．答案 [－7，1] 解析 易知，圆的半径为1，BP →·CQ →＝(BC →＋CP →)·CQ →＝BC →·CQ →＋CP →·CQ →＝CP →·CQ →－CB →·CQ →，CP →·CQ →＝CO →2－OP →2＝2－1＝1．CB →·CQ →＝|CB →||CQ →|cos ∠BCQ ＝2|CQ →|cos ∠BCQ ，(|CQ →|cos ∠BCQ )min ＝0，(|CQ →|cos ∠BCQ )max ＝4．所以BP →·CQ →的取值范围为[－7，1]．21．在三棱锥S －ABC 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA ＝SB ＝SC ＝2，点M 为三棱锥S －ABC 的外接球面上任意一点，则MA →·MB →的最大值为________．21．答案 23＋2 解析 如图，MA →·MB →＝MO 1→2－2．当M ，A ，B 在同一个大圆上且MO 1⊥AB ，点M 与线段AB 在球心的异侧时，|MO 1→|最大，又2R ＝22＋22＋22＝23，所以R ＝3．|MO 1→|max ＝3＋1，MO 1→2－2的最大值为23＋2．A22．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM →·PN →的取值范围是________．22．答案 [0，2] 解析 由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为23．当弦MN 的长度最大时，MN 为球的直径．设内切球的球心为O ，则PM →·PN →＝PO →2－ON →2＝PO →2－1．由于P 为正方体表面上的动点，故OP ∈[1，3]，所以PM →·PN →∈[0，2]．23．已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ（λ为常数），且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值为________．23．答案 －34解析 如图取AB 的中点为D ，连接CD ，则CA →·CB →＝|CD →|2－1＝λ，|CD →|＝1＋λ，()－1≤λ<0， 又由点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，故1＋λ≤12，则负数λ的最大值为－34．24．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．824．答案 C 解析 如图，由已知|OF |＝1，取FO 中点E ，连接PE ，由极化恒等式得：OP →·FP →＝|PE |2－14|OF |2＝|PE |2－14，∵|PE |2max ＝254，∴OP →·FP →的最大值为6．。
平面向量之极化恒等式及其应用
平面向量的极化恒等式及其应用一. 极化恒等式的由来极化恒等式：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⋅2241b a b a b a . 推论：如图在ABD ∆中，O 是边BD 的中点，则()()()22222222114414AB AD AB AD AB AD AC BDAO OB AO BD⎡⎤⋅=+--=-⎢⎥⎣⎦=-=- 极化恒等式的几何意义.亦即向量数量积的第二几何意义.二. 典型案例分析例1、在ABC ∆中，M 是BC 的中点，103==BC AM ，，则AB AC =____________.变式1-1（2007年天津文科15改）在ABC ∆中，D 是BC 的中点, 3,4AD BC ==，则AB AC =____________.变式1-2（2011年上海第11题）在正三角形ABC ∆中，D 是BC 上的点，13==BD AB ，,则AB AD =________215例2：已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则PA PB的取值范围是___________________.变式练习2-1在直角中，，斜边上有异于端点两点的两点，且，则AE AF 的取值范围是 ▲ ．变式练习2-2如图，在半径为1的扇形AOB 中，60=∠AOB ,C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP BP 最小值为______________ . 21变式练习2-3（2013浙江理7）在ABC ∆中，0P 是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ≥，则 A. 2π=∠ABC B. 2π=∠BAC C. AC AB = D. BC AC =ABC ∆2,23AB AC ==BC B C 、E F 、=1EF 11[,9)4[1,13]变式练习2-4如图，在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a b c bc =++，=3a ，S 为ABC ∆的面积，圆O 是ABC ∆的外接圆，P 是圆O 上一动点，当3cos cos S B C +取得最大值时，PA PB ⋅的最大值为_______. . 332+变式练习2-5如图，AOB ∆为等腰直角三角形，1=OA ，OC 为斜边AB 的高，点P 在射线OC 上，则OP AP ⋅的最小值为( ) B A ．1- B ．81- C ．41-D ．21-变式练习2-6如图， ABC ∆是边长为1的正三角形， 是以为圆心，半径为1的圆上任意一点，则PA PB ⋅的取值范围是_________.P C变式2-7平面上三个向量,,OA OB OC ,满足1,3,1OA OB OC === , 0OA OB ⋅=,则CA CB ⋅的最大值是__________. 3变式2-8在矩形ABCD 中,2,1,AB BC E ==为BC 的中点,若F 为该矩形内(含边界)任意一点,则AE AF 的最大值为______变式2-9已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，8AB =，6CD =，则MA MB ⋅的取值范围是 ． [9,0]-92变式2-10已知是单位圆上的两点（为圆心），，点是线段上不与重合的动点．是圆的一条直径，则CM CN ⋅的取值范围是（ ） A A ． B ． C ． D ．变式2-11已知在ABC ∆中，4,2,,AB AC AC BC D ==⊥为AB 的中点，点P 满足11a AP AC AD a a-=+，则()+PA PB PC ⋅的最小值为________. 258-变式2-12已知正方形ABCD 的边长为6,点,E F 分别在边,AD BC 上，且,DE EA =2CF FB =，如果对于实数λ，在正方形ABCD 的四条边上（不含顶点）有且仅有 2个不同的点P ，使得PE PF λ⋅=,则实数λ的取值范围是____________. 13,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭,A B O O 120AOB ∠=C AB A B 、MN O 3[,0)4-[1,1)-1[,1)2-[1,0)-变式2-1（2010福建文11题）若点O 和点F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为 （ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8变式2-2（2013浙江理7）在ABC ∆中，0P 是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ≥，则A. 2π=∠ABC B. 2π=∠BAC C. AC AB = D. BC AC =变式2-3 已知点()()1,0,1,0A m B m -+ ，若圆22:88310C x y x y +--+=上存在一点P使得0PA PB ⋅=，则正实数m 的最小值为_______________ 4变式2-4 若直线02=+-y x 与圆()()433:22=-+-y x C 相交于B A ,两点，则CA CB⋅=___________.变式2-5 （2013年北京市朝阳区高三数学二模）已知点P 是棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的底面1111D C B A 上一点，则PA PC ⋅的取值范围是____________. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 .变式 2-6 如图，在半径为1的扇形AOB 中，60=∠AOB ,C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP BP ⋅最小值为______________ 21.变式2-7已知双曲线1322=-y x 的左顶点1A ，右焦点2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅的最小值为__________ —2变式2-8 已知抛物线2:4C x y 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于,M N 两点.设直线l 是抛物线的切线，且//,l MN P 为l 上一点，则PM PN 的最小值为____-14。
第九讲 平面向量的极化恒等式、等和线
第九讲 平面向量的內积、极化恒等式、等和线一、分拆求內积1、（17年联赛真题）在ABC ∆中，M 为边BC 的中点，N 是线段BM 的中点，若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则⋅的最小值为 ◆答案： 13+ ★解析：由条件知()AC AB AM +=21，AC AB AN 4143+=，则⎪⎭⎫⎝⎛⋅++=⋅AC AB AN AM 481，由A S ABC ⨯=⨯==∆43sin 34=所以2=⋅AC AB ，所以38≥+443232⨯==时取等。
则⎪⎭⎫⎝⎛⋅++=⋅AM 48113+≥。
2、（18年联赛真题）3、（07年联赛真题）二、建系求內积1、（15年联赛真题）在矩形ABCD 中，2=AB ,1=AD ,边DC 上（包含D ,C ）的动点P 与线段CB 延长线上（包含B ）的动点Q =,则向量与向量的数量积⋅的最小值为 ◆答案：34★解析：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---,因此，22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥．当12t =时，min 3()4PA PQ ⋅=．2、（15年联赛真题）3、（19年联赛真题）三、极化恒等式极化恒等式：()()[].4122b a b a b a --+=•1、 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是2、如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为____．3 、在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N 为AC 边上的两个动点(M ，N 不与A ，C 重合)，且满足|MN →|＝2，则BM →·BN →的取值范围为________．4、已知B A 、是单位圆上的两点，O 为圆心，且MN AOB o,120=∠是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足)10()1(<<-+=λλλOB OA OC ，则CN CM ⋅的取值范围是练习：1、在ABC ∆中，60BAC ∠=若2AB =，BC =，D 在线段AC 上运动，⋅的最小值为2.已知AB 是圆O 的直径,AB 长为2,C 是圆O 上异于,A B 的一点,P 是圆O 所在平面上任意一点,则()PA PB PC +⋅的最小值为____________3．在ABC ∆中，3AB =，4AC =，60BAC ∠=，若P 是ABC ∆所在平面内一点，且2AP =，则PB PC ⋅的最大值为4． 若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(0)x y a a-=>的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上任意一点则OP FP ⋅的取值范围是 .5．在Rt ABC ∆，2AC BC ==，已知点P 是ABC ∆内一点，则(PB +⋅的最小 值是 .6. 正ABC ∆边长等于3，点P 在其外接圆上运动，则PB AP ⋅的取值范围是（ ） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,23 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,23 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21四、等和线1、在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为2、给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．3、在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则5λ＋3μ的最大值为______．4 .如图,在扇形OAB 中,60AOB ︒∠=,C 为弧AB 上的一个动点．若OC -→xOA y OB -→-→=+,则y x 4+的取值范围是 ．5.如图,四边形是边长为1的正方形,,点为内（含边界）的动点,设,则的最大值等于OABC 3=OD P BCD ∆(,)OP OC OD R αβαβ=+∈αβ+练习：1.如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线于点，若，，则的最小值是.2.已知向量OB OA ,满足1=+OB OA ，OB OA ⊥，OB OA OC μλ+=）、（R ∈μλ，若M 为线段AB 的中点，并且1M =C ，则μλ+的最大值是 。
妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题(三大题型)(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
．
4
9
）
= 7，
2
1
16 2 − 2
4
= 2，
2
− 3 ⋅ − 2 − 3
2
=
⋅ =
1
2
4 2 − 2
4
4×1−8
4
=
故选：B．
1
− ⋅ − 2 − =
= −1.
典型例题
题型一：定值问题
【变式1-1】（2024·湖南长沙·长郡中学校考一模）如图，在平行四边形 中， = 1, = 2，点
, , , 分别是 , , , 边上的中点，则 ⋅ + ⋅ = （
3
3
A． 2
3
B．− 2
C． 4
【答案】A
【解析】取HF中点O，
则 ⋅ = ⋅ = 2 − 2
1
= 1 − ( 2) 2 =
3
4
，
⋅ = ⋅
重难点专题03
妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题
目录
C
O
N
T
E
N
T
S
01
02
03
题型归纳
方法技巧
典型例题
01
题型归纳
题型归纳
02
方法技巧
方法技巧
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
| + | + | − | = (|| + || )
证明：不妨设 = , = ，则 = + ， = −
【答案】 2−2
10
2 2
，
3
9
极化恒等式课件-2025届高三数学一轮复习
方法二(极化恒等式法) 圆心 O 到直线 ax＋by＋c＝0 的距离 d＝ a2|c＋| b2＝1，如图③，
设 MN 的中点为 A，P→M·P→N＝|P→A|2－|A→M|2＝|P→A|2－15.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4.已知直线 l：x＋y－1＝0 与圆 C：(x－a)2＋(y＋a－1)2＝1 交于 A，B 两 点，O 为坐标原点，则O→A·O→B的最小值为
√A.－12
B.
2 2
C. 2
D.12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
如图，圆C：(x－a)2＋(y＋a－1)2＝1的圆心C的坐标
如图所示，在 Rt△ABC 上，妨取 AB 的中点 M， 则P→A·P→B＝P→M2－A→M2＝P→M2－4.
设圆C的半径为r，则r＝1， 而(PM)max＝CM＋r＝2＋1＝3，则(P→A·P→B)max＝32－ 4＝5； (PM)min＝CM－r＝2－1＝1， (P→A·P→B)min＝12－4＝－3. 因此P→A·P→B的取值范围是[－3,5].
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2.已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则P→A·(P→B ＋P→C)的最小值是
A.－2
√B.－32
C.－43
D.－1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
如图，设BC的中点为D，AD的中点为M，连接DP， PM， 则P→A·(P→B＋P→C)＝2P→A·P→D＝2|P→M|2－12|A→D|2＝2|P→M|2 －32≥－32， 当且仅当M与P重合时取等号.
高中数学课件-向量极化恒等式
答案:(2)2
→
→
→
→
(3)如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,E,F 是 AD 上的两个三等分点.·=4,·=-1,
→
→
则·的值为
.
→
→
→
解析:(3)设 BD=DC=m,AE=EF=FD=n,则 AD=3n.根据向量的极化恒等式,有·=||2→
→
答案:(1)C
C.
(2)如图所示,正方形 ABCD 的边长为 1,A,D 分别在 x 轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑
→
→
动,则·的最大值是
.
解析:(2)如图,取 BC 的中点 M,AD 的中点 N,连接 MN,ON,
→
→
→
→
→
2
则·=|| -.因为 OM≤ON+NM=AD+AB=,当且仅当 O,N,M 三点共线时取等号,所
2
2
2
→
→
→
→
|| =9n -m =4,·=|| -|| =n2-m2=-1.联立解得 n2= ,m2= ,
→
→
→
→
2
2
→
→
因此·=|| -|| =4n -m =,即·=.
答案:(3)
→
→
→
cos ∠BAD=-||=-,得||=1,因此λ=
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依题意得 AD∥BC,∠BAD=120°,由 · =| || |·
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平面向量极化恒等式课件
利用向量减法的三角形法则证明
• 总结词：通过利用向量减法的三角形法则证明平面向量极化恒等式。 • 详细描述：首先，我们利用向量减法的三角形法则得到
$\overset{\longrightarrow}{a} - \overset{\longrightarrow}{b}$可以 表示为从起点到终点的有向线段。然后，将有向线段延长至原来的两倍 ，得到新的有向线段$(\overset{\longrightarrow}{a} \overset{\longrightarrow}{b}) + (\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b})$。根据向量的数乘分配律和向量的加 法法则，我们可以得到$\lbrack(\overset{\longrightarrow}{a} \overset{\longrightarrow}{b}) + (\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b})\rbrack\mathbf{\cdot}(\overset{\lon grightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}) = (\overset{\longrightarrow}{a})^{2} (\overset{\longrightarrow}{b})^{2}$。最后，利用平面向量极化恒等 式的等价形式，我们可以证明平面向量极化恒等式成立。
05
平面向量极化恒等式的练习与 巩固
基础练习题
向量概念
掌握向量的基本概念、 向量的表示方法以及向
量在几何中的应用。
向量的加法
理解向量加法的定义和 性质，掌握向量加法的
平面向量极化恒等式
2
DB
2
2
a
b 2
2
2
AB
AD 2
（1）—（2）得：
a
b＝
1 4
a
b
2
精a选202b1版课2 件
————极化恒等式
2
应用一：求值
例 1.(20浙 121江 )5在 AB中 CM ， 是 B的 C 中 AM 3,BC 1,0则 AB AC
A
B
M
C
精选2021版课件
3
应用一：求值
跟踪练习： 1.已知正方A形 BCD的边长1， 为点E是AB边上的 动点,则DEDA________;
2.在四边A形BCD中，ABBC, ADDC,| AB|a, | AD|b,则ACDB
精选2021版课件
4
应用二：求范围
例 2.已知正A三 B内 角 C接 形于2的 半O 圆 径 ，为 P 点 是O 圆 上的一个P动 A P的 点 B 取 ，值 则_范 __围
精选2021版课件
6
变4. 3 ．（浙江省五校联盟 2013 第二次联考）已知圆 O 的半径为 2, A、B 是圆上两点且 AOB 2 , MN 是一条直径,点 C 在
3
圆内且满足 OC OA (1 )OB (0 1) ,则 CM CN 的
最小值为 A．-2
B．-1
C．-3
D．-4
4精选2021版课件
C
P
A
DB
精选2021版课件
5
跟踪练习： 1.正ABC 边长为 4，P为AC上一点，则 (BP CP)min
2.AB 4, AC 2, BAC 60 o , AP 2, 则(PB PC )max _______
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如图， AB a, AD b， 试证明平行四边形四边 和对角线性质。
2
2
2
2
2
AC AC a b a 2a b b
2
2
2
2
2
DB DB a b a 2a b b
（1） （2）
（1）+（2）得：
2
AC
2
DB
2
2
a
b 2
2
2
AB
AD 2
2.在四边形 ABCD中，AB BC, AD DC,| AB| a, | AD|b,则ACDB
应用二：求范围
例 2.已知正A 三B内 角 C接 形于2半 的O 径 圆 ，为 P 点 是O 圆 上的一个P动 A P点 的 B ， 取则 值_范 __围
C
为 4， P为 AC 上一点，则 ( BP CP ) min
（1）—（2）得：
a b＝ 1 4
ab
2
ab
2
————极化恒等式
应用一：求值
例 1.(20浙 121江 )5在 AB中 CM ， 是 B的 C 中 AM 3,BC 1,0则 AB AC
A
B
M
C
应用一：求值
跟踪练习： 1.已知正方A形BCD的边长为 1，点E是AB边上的 动点,则DEDA ________;
2.AB 4, AC 2, BAC 60 o , AP 2, 则 ( PB PC ) max _______
3.在 Rt ABC 中， AC 2, BC 2, 已知点 P是 ABC 内一点，则 PC ( PA PB )的最小值是 _______
变4. 3 ．（浙江省五校联盟 2013 第二次联考）已知圆 O 的半径为 2, A、B 是圆上两点且 AOB 2 , MN 是一条直径,点 C 在
3
圆内且满足 OC OA (1 )OB (0 1) ,则 CM CN 的
最小值为 A．-2
B．-1
C．-3
D．-4
4