2020年重庆八中高考数学强化试卷(理科)(一) (含答案解析)

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重庆八中(6月三诊)2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理科)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理科）注意事项：1．答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．212ii+=-（） A ．i - B ．i C ．1i + D ．1i -+2．若集合()(){}326A x N x x =∈--<，则A 中的元素个数为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．63．函数()21x xe ef x x --=-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知向量()1,2a =，2b =，且a b ⊥，则2a b +=（）A B C ．13 D ．175．若直线0x y -=与圆224690x y x y +--+=相交于A ，B 两点，则AB =（）A ．2BC ．3D 6．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 3a B =，cos 4b A =，则c =（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．77．一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，叫做“物不知数”问题，后由宋朝数学家秦九韶在《数书九章》中给出了完整系统的解答．此类问题在后续发展过程中形成了多种简便快捷的求解方法，右边的程序框图给出了某个“物不知数”问题最小整数解的求解方法——“逐步约束法”．其中，若正整数n 除以正整数m 的余数为r ，则记为()mod n r m =，例如()71mod3≡．执行该程序框图，则输出的n 为（）A ．20B ．38C ．47D ．538．某高校数学学院安排4名研究生在开学日当天随机到三个不同的车站迎接新生，要求每个车站至少有一人，则其中小李和小明不在同一车站的概率为（） A ．712 B ．23 C ．56 D ．11129．直角ABC中，AB AC ==D 为BC 边上一点，沿AD 将ACD 折起，使点C 在平面ABD 内的正投影H 恰好在AB 上，若1AH =，则二面角C AD B --的余弦值是（） A ．13 BCD10．若函数()cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在(),a a -上没有最小值，则a 的最大值为（） A ．12πB ．6πC ．512πD ．712π11．已知函数()[](]123,1,21,2,82x x f x f x x ⎧--∈⎪=⎨⎛⎫-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，则下列结论正确的是（） A ．()()27f f = B ．函数()f x 有5个零点C ．函数()f x 在[]3,6上单调递增D ．函数()f x 的值域为[]2,4-12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，过1F 的直线l 与y 轴相交于点M ，与C 的右支相交于点P ，且M 为线段1PF 的中点，若C 的渐近线上存在一点N ，使得2MN NP =，则C 的离心率为（）AB ．53C ．2 D二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数()132cos x f x f x π⎛⎫'=+⎪⎝⎭，则2f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭________． 14．若x ，y 满足约束条件2044054200x y x y x y -≤⎧⎪--≥⎨⎪+-≥⎩．则3z x y =+的最小值为________．15．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 2cos 2αα+=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 16．三棱台111ABC A B C -中，111112A A B B C C A B ====，4AB =，侧面11A B BA ⊥底面ABC ，M 为AB 的中点，线段MC 的长为________（2分）；该三棱台的所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________（3分）．三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 是其前n 项和，若39S =，且5a 是2a 与14a 的等比中项．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记2log n n n b a a =-，n N +∈，证明：1n n b b +<．18．（12分）近几年来，热饮越来越受到年轻人的欢迎．一个研究性学习小组为了研究气温对热饮销售的影响，统计了学校门口一个热饮店在2019年1月份某6天白天的平均气温和热饮销售量，得到以下数据：（1）求销售量关于气温的回归直线方程，若某天白天的平均气温为16C ︒，估计当天的热饮销售量；（2）根据表格中的数据计算2R （精确到0.001），由此解释平均气温对销售量变化的影响．参考公式：()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-；()()212211niii nii y y R y y ==-=--∑∑．19．（12分）已知抛物线()2:20C y px p =>，直线l 经过点()2,0P p ，且与C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（1）判断AOB 的形状，并说明理由；（2）若513OA OB OP +⋅=AOB 的面积为5，求l 的方程．20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2PD PB ==，H 为PC 的中点，过AH 的平面分别交线段PD ，PB 于点M ，N ．（1）若//BD 面AMHN ，求证：MN PC ⊥；（2）若3PA PC ==，AC =AC 与面AMHN 所成角的正弦值的最大值． 21．（12分）已知函数()()()21ln 2112f x x x a x =--+-，其中1a ≥．（1）证明：函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，并求2212x x +的取值范围；（2）若曲线()y f x =在点()1,0处的切线与该曲线有且仅有一个公共点，求a 的所有可能值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2224111k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 23πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）若P 为曲线C 上一点，求P 到直线l 距离的取值范围． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数()12f x x x a =-++．（1）若2a =，求()8f x ≤的解集；（2）若()31f x x ≥--，x R ∈，求a 的取值范围．参考答案一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 1．B 2．B 3．A 4．A 5．D 6．D 7．D 8．C 9．A 10．C 11．C 12．B二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．32-14．50715．2- 16．2，16π 三．解答题：共70分．（一）必考题：共60分． 17．设{}n a 的公差为d ，0d ≠．（1）由条件，得123252149a a a a a a ++=⎧⎨=⎩．即()()()12111339413a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩．解得：11a =，2d =，所以()121n a n =+-，21n a n =-． 5分（2）由（1）得：()221log 21n b n n =---，n N +∈，()1221log 21n b n n +=+-+，12212log 21n n n b b n +-⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭因为n N +∈，所以2112113n n +≤-<，2221log 3log 021n n -⎛⎫-≤< ⎪+⎝⎭．从而12242log 3log 03n n b b +-≥-=>，故1n n b b +<． 12分 18．（1）由条件，5x =，135y =，从而()()61504iii x x y y =--=-∑，()261168ii x x =-=∑，解得：()()()1213niii nii x x y y b x x ==--==--∑∑，150a y bx =-=．所以，气温预报销售量的回归直线方程为：3150y x =-+． 5分当16x =时，102y =．因此，某天白天的平均气温为16C ︒时，估计可以卖出102杯热饮．7分（2）()6152iii y y =-=∑，()2611564ii y y =-=∑．()()2212152110.9671564niii ni i y y R y y==-=-=-≈-∑∑．所以，平均气温解释了96.7%的销售量变化（或销售量变化有96.7%是由平均气温引起的）． 12分19．设直线l 的方程为；2x my p =+，代入22y px =，化简得：22240y pmy p --=，2242160p m p ∆=+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y pm +=，2124y y p =-，（1）因为2221212244y y x x p p==，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=．故AOB 是直角三角形，斜边为AB ． 5分（2）4OA OB OP AB OP p +===AOB 的面积()121212252S p y y p y y p =⋅+=-==，解得：1p =，294m =．故直线l 的方程为：2340x y --=或2340x y +-=． 12分 20．（1）证明：连接AC ，BD 交于点O ，因为//BD 面AMHN ，面AMHN面PBD MN =，BD ⊄面AMHN ，则//BD MN ．因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，且O 为BD 的中点．因为PB PD =，所以PO BD ⊥，又因为ACPO O =，所以BD ⊥面P AC ，PC ⊂面P AC ，所以PC BD ⊥，由//BD MN ，故MN PC ⊥． 5分（2）因为PA PC =，所以PO AC ⊥，由（1）知，PO BD ⊥，AC BD ⊥，以O 为原点，以OA ，OD ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．因为AC =3PA =，PO =1BO =，所以)A，()C，(P，H ⎛ ⎝⎭，()0,1,0D ，从而22AH ⎛=- ⎝⎭，(0,DP =-，()AD =-，()AC =- 设()01DM DP λλ=≤≤，()AM AD DP λλ=+=--设面AMH 的法向量(),,n x y z =，则00n AH n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()02210x z y z λ⎧-+=⎪⎨⎪+-+=⎩．令x =)312,,61n λλ⎛⎫-= ⎪ ⎪-⎝⎭设θ为直线AC 与面AMHN 所成角，所以2sin 23831AC n AC nθλ⋅==⎫+⎪-⎭，当13λ=时，sin θ取得最大值19．经检验，此时点N 在线段PB 上，符合题意． 12分21．（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()()221121ax a x f x a x x x-++'=-+-=，设()()221g x ax a x =-++，因为()222440a a a ∆=+-=+>且20a a +>，10a>，所以()0g x =在()0,+∞上有两个不等实根1x ，()212x x x <，且当()10,x x ∈，()2,x +∞时，()0g x >，()0f x '>；当()12,x x x ∈时，()0g x <，()0f x '<．所以()f x 在()10,x ，()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，故1x ，2x 是()f x 的两个极值点，且12221a x x a a ++==+，121x x a=．从而()222212121222242211x x x x x x a a a a⎛⎫+=+-=+-=++ ⎪⎝⎭，又因为[)1,a ∈+∞，所以(]10,1a∈，故(]22121,7x x +∈． 5分（2）由()11f '=-知曲线在()1,0处切线方程为1y x =-+，原问题等价于方程()1f x x =-+只有一个实根，设()()()()211112ln x h x f x x a x x =+-=+---， ()()()()11111x x ax h a x x x--'=+--=． ①当1a =时，()()210x h x x-'=≥，()h x 在()0,+∞上单增，而()10h =，所以()h x 只有一个零点1x =，符合题意． ②当1a >时，令()0h x '=得1x a =或1，11a ⎛⎫< ⎪⎝⎭所以，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()1,+∞时，()0h x '>；当1,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<．从而()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，()f x 在11a ⎛⎫< ⎪⎝⎭上单调递减，所以()h x 在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有一个零点1x =，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，因为()110h h a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，设()()1121a a ea a ϕ+=->，则()1121102a e a ϕ+'=->，()a ϕ在()1,+∞单调递增，所以()0a ϕ>，即112a ea +>，从而11210a ea--<<，取11200,a x e --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()()200011111111102222h x a a x x a a <--+---<--++=．∴存在101,x x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10h x =，此时()h x 有两个零点，不符题意．综上，a 可取得的所有值为1． 12分22．（1）由2211k y k -=+得211y k y -=+，代入241k x k =+得()21x k y =+，又由211y k y -=+，得()221141x yyy -=++，整理得曲线C 的普通方程为()22114x y y +=≠-；直线l的极坐标方程为1cos sin 222ρθρθ-=，因为cos x ρθ=及sin y ρθ=，所以直线l的普通方程为40x -=．（2）设点()2cos ,sin P θθ，则点P 到直线l 的距离为=因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以点P 到直线l的距离的取值范围为4422⎡-⎢⎣⎦． 10分23．（1）由2a =，1228x x -++≤，当1x ≥时，1228x x -++≤，解得73x ≤，所以713x ≤≤，当11x -<<时，1228x x -++≤，解得5x ≤，所以11x -<<，当1x ≤-时，1228x x ---≤，解得：31x -≤≤-，综上可得：733x -≤≤，所求的解集为73,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（2）()312223f x x x a x ≥--⇒++-≥恒成立，又()()()2222222g x x a x x a x a =++-≥+--=+， ()min 2323g x a a ∴-+≥⇒+≤-，或235a a +≥⇒≤-或1a ≥，所求的a 的取值范围是：(][),51,-∞-+∞．。

2020届重庆市第八中学高三上学期第一次月考数学(理)试题(解析版)

2020届重庆市第八中学高三上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．设集合{}{1346{|25}}51A B C x R x ∈≤＝，，，，＝，，＝＜，则()A B C ⋃⋂＝（）A ．{}2B ．14}2{3，，，C ．1234{}5，，，，D ．1{4|}x R x ∈≤≤﹣【答案】B【解析】根据并集和交集的定义，计算即可．【详解】解：集合}1346}5{2{A B =，，，，=，， 3{}12456A B ∴U =，，，，，；又集合{|}15C x x ∈≤R =＜，()}1234{A B C ∴U I ＝，，，．故选：B ．【点睛】本题考查了集合的定义与交并运算，属于基础题． 2．已知3log 0.3a =，0.33b =，0.20.3c =，则（） A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】D【解析】根据函数的单调性及特殊值即可比较三数的大小. 【详解】因为33log 0.3log 10a =<=，0.30331b =>=，0.2000.30.31c <=<=，所以a c b << 故选：D 【点睛】本题主要考查了指数函数，对数函数的单调性，及特殊值在比较大小中的应用，属于中档题.3．已知复数z =z z =g （）A ．1B ．2C ．iD ．i -【答案】A【解析】由商的模等于模的商求出||z ，再由2||z z z =g 求解．【详解】解：z =Q ，1z ∴====21z z z ∴==g故选：A ．【点睛】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，属于基础题． 4．已知等比数列{}n a 满足13542,1681a a a a -＝＝，则2a ＝（） A ．2 B ．1C ．12D ．18【答案】B【解析】利用等比数列的通项公式11n n a a q -=即可得出．【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，13542,1681a a a a -Q ＝＝， 263162821q q ∴⨯⨯⨯-＝，化为63641610q q -+＝，解得381q ＝，解得12q =．则21212a =⨯=．故选：B ．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．()()52x y x y ++的展开式中33x y 的系数为（） A ．10 B ．20 C ．、30 D ．40【答案】C【解析】把5()x y +按照二项式定理展开，可得5(2)()x y x y ++的展开式中33x y 的系数．【详解】解： ()()()()505145555522++x y x y x y C x C x y C y++++Q L ＝，故它的展开式中含33x y 的项有的3335C x y 和23352C x y 故33x y 的系数为3255230C C +=，故选：C ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设、在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：30()6002tM t -=g ，则铯137含量M 在30t ＝时的瞬间变化率为（） A ．102ln ﹣（太贝克/年） B ．3002ln （太贝克/年） C ．3002ln ﹣（太贝克/年） D ．300（太贝克/年）【答案】A7．已知,,,a b c d R ∈且2030a b ac ≠≤，"﹣”是“函数()32f x ax bx cx d +++＝在R上单调”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C8．已知函数())21f x ln x =-，则()133f lg f lg ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝（）A ．1-B ．0C ．2D ．2-【答案】D9．重庆已经成为中外游客旅游的热门目的地之一，比如洪崖洞，长江索道，李子坝穿楼轻轨已经成为网红景点，旅游的必到打卡地．现有4名外地游客来重庆旅游，若每个人只能从上述三个网红景点中选择一处进行游览，则每个景点都有人去游玩的概率为（） A ．89B ．49C ．619D ．34【答案】B10．设函数()()223log 3,142,1x x f x x x x ⎧--≤-=⎨-++>-⎩，若()f x 在区间[],4m 上的值域为[36]﹣，．则实数m 的取值范围是（）A ．[82]﹣， B ．(,1]-∞-C ．[8,1]﹣﹣ D ．(2]-∞，【答案】C11．已知双曲线 ()2222:10x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，点P 在双曲线右支上，且()220PF OP OF +=u u u r u u u r u u u rg ，若直线1PF 的倾斜角为θ且5sin 29θ=，则双曲线E 的离心率为（）A ．32B ．3C ．D 【答案】A【解析】证明12PF PF ⊥，用θ和c 表示出P 到两焦点的距离，根据三角变换公式即可求出ca的值．【详解】解：设2PF 的中点为M ，则22OP OF OM +=u u u r u u u u r u u u u r，Q 22()0PF OP OF +=u u u u r u u u r u u u u rg ，2OM PF ∴⊥，又OM 是△12PF F 的中位线，1//OM PF ∴， 12PF PF ∴⊥．又122F F c =，12PF F θ∠=， 12cos PF c θ∴=g ，22sin PF c θ=g ，由双曲线的定义可知122PF PF a -=，即2(cos sin )2c a θθ-=，1cos sin c e a θθ∴==-， 24(cos sin )12sin cos 1sin 29θθθθθ-=-=-=Q ， 2cos sin 3θθ∴-=，故32e =．故选：A ．12．设函数()()()2019,2020[]xf x esinx cosx x ππ--∈﹣＝．过点1,02A π+⎛⎫⎪⎝⎭作函数()f x 图象的所有切线，则所有切点的横坐标之和为（） A ．2019π B ．2020πC ．20192π D ．1010π【答案】A【解析】根据题意，所有切线过点A ，显然点A 不一定为切点，因此先设切点0(x ，0)y ，对()f x 求导，得切线斜率，从而写出切线方程，点A 坐标代入，得到关于0x 的方程： 00tan 2()2x x π=-，注意到函数1tan y x =与函数22()2y x π=-都关于点(,0)2π对称，因此推出所有切点的横坐标也关于点(,0)2π成对出现，每对和为π，当[2019x π∈-，2020]π时，数出共2019对，即可得出结论．【详解】解：Q 函数xf x e sinx cosx ﹣（）＝（﹣），'2x f x e cosx ∴﹣（）＝；设切点为()()0000,sin cos x x ex x --，切线的斜率为002cos xk e x -=故切线方程为：()()00000sin cos 2cos x xy ex x e x x x ----=-；()00000010sin cos 2cos 2x x e x x e x x π--+⎛⎫∴--=- ⎪⎝⎭；∴00tan 22x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令 12tan ,22y x y x π⎛⎫==-⎪⎝⎭；这两个函数的图象关于,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以他们交点的横坐标关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称；从而所做所有切点的横坐标也关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭成对出现；又在区间201920[]20ππ﹣，内共有2019对，每对和为π， ∴所有切点的横坐标之和为2019π．故选：A ．二、填空题13．函数()221f x cos x sinx+＝﹣的最大值是_____．【答案】9814．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()3xf x m +＝（m 为常数），()94f log -则的值为_____．【答案】-1【解析】由题设条件可先由函数在R 上是奇函数求出参数m 的值，求出函数的解板式，再由奇函数的性质得到93(log 4)(log 2)f f -=-，代入解析式即可求得所求的函数值．【详解】解：由题意，()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x …时()3(x f x m m =+为常数），0(0)30f m ∴=+=，解得1m =-，故有0x …时()31x f x =-．()32993(log 4)(log 4)(log 2)311log f f f ∴-=-=-=--=-．故答案为：1-．15．设m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，有下列四个命题： ①若αββγ⊥⊥，，则//αγ；②若m n αβαβ⊥⊂⊂，，，则m n ⊥； ③若//m n αβγαγβ⋂⋂，＝，＝，则//m n ； ④若m 与αβ，所成角相等，则//αβ．其中正确的命题有_____．（填写所有正确命题的编号）【答案】③【解析】由两个平面的位置关系，结合面面垂直的定义可判断①；由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断②；由面面平行的性质定理可判断③；由线面角的定义和面面的位置关系可判断④．【详解】解：m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面， ①，若αββγ⊥⊥，，可能αγ，相交或//αγ，故①错误；②，若m n αβαβ⊥⊂⊂，，，可能m n ，平行或相交或异面，故②错误； ③，若//m n αβγαγβI I ，=，=，由面面平行的性质定理可得//m n ，故③正确； ④，若m 与αβ，所成角相等，可能αβ、相交或平行，故④错误．故答案为：③．16．如图有一个帐篷，它下部的形状是高为2（单位：米）的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为6（单位：米）的正六棱锥．则帐篷的体积最大值为_____立方米．【答案】1283三、解答题17．如图1，在六边形ABCDEF 中，45//3AB AF DC DE BC EF BC EF ＝＝，＝＝，，＝＝．如图2，将ABF DCE V V ，分别沿着BF CE ，折起，使点A ，点D 恰好重合于点M ．（1）求证：平面MBF ⊥平面BCEF ；（2）若2BF ＝，求直线BM 与平面CEM 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析310【解析】（1）推导出BM BC ⊥，FM FE ⊥，由//BC FE ，得BC MF ⊥，从而BC ⊥平面BMF ，由此能证明平面MBF ⊥平面BCEF ．（2）取BF 中点O ，连结MO ，则MO BF ⊥，从而MO ⊥平面BCEF ，且15MO =取CE 中点N ，连结MN ，由5MC ME ==，则MN CE ⊥，且26MN =B 到平面MCE 的距离为h ，由M BCE B MCE V V --=，得310h =，由此能求出直线BM 与平面CEM 所成角的正弦值．【详解】解：（1）证明：由已知45AB AF DC DE ＝＝，＝＝，得453BM CM BC ＝，＝，＝，BM BC ∴⊥，同理，FM FE ⊥，又//BC FE BC MF ∴⊥，，BM MF M =Q I ，BM ⊂平面BMF ，MF ⊂平面BMF ，BC ∴⊥平面BMF ，BC ⊂Q 平面BCEF ∴，平面MBF ⊥平面BCEF ；（2）解：取BF 中点O ，连结MO ， MB MF Q =，则MO BF ⊥，又平面BMF ⊥平面BCEF 于BF ，则MO ⊥平面BCEF ，且15MO = 又取CE 中点N ，连结MN ，由5MC ME ==，则MN CE ⊥，且26MN ＝，设B 到平面MCE 的距离为h ，由M BCE B MCE V V --＝，得1111153********h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，解得3104h =，设直线BM 与平面CEM 所成角为θ，则直线BM 与平面CEM 所成角的正弦值310sin 16h BM θ==．18．某省数学学会为选拔一批学生代表该省参加全国高中数学联赛，在省内组织了一次预选赛，该省各校学生均可报名参加.现从所有参赛学生中随机抽取100人的成绩进行统计，发现这100名学生中本次预选赛成绩优秀的男、女生人数之比为4:1，成绩一般的男、女生人数之比为8:7.已知从这100名学生中随机抽取一名学生，抽到男生的概率是0.6.（1）请将下表补充完整，并判断是否有95%的把握认为在本次预选赛中学生的成绩优秀与性别有关？成绩优秀成绩一般总计男生女生总计100（2）以样本估计总体，视样本频率为相应事件发生的概率，从所有本次预选赛成绩优秀的学生中随机抽取3人代表该省参加全国联赛，记抽到的女生人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++；临界值表供参考：【答案】（1）填表见解析,有95%的把握认为二者有关；（2）详见解析【解析】(1)由已知概率和比例完善列联表，进行独立性检验得解；(2)随机变量服从二项分布，根据二项分布的数据特征值求解. 【详解】解析：（1）根据表中所给数据计算可得：()22100203540550 3.841604025759K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为二者有关；（2）由题知13,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭:，故X 的分布列为：()13355E X =⨯=.19．已知函数()()2203xxf x f e e x '+=﹣．（1）求()f x 的解析式；（2）设()22g x x axa +＝﹣，若对任意()()2x f x g x ≥≥，，求a 的取值范围．【答案】(1) ()23xf x e x += (2) 33a e ≤【解析】（1）求导，求出(0)f '，代入即可；（2）2x =，显然成立，2x >，分离参数，构造()h x ，求出()h x 的最小值，即可求出a 的范围．【详解】解：（1）2()2(0)3x x f x f e e x ='-+Q ．()2(0)32x f x f e x ''∴=-+，由(0)2(0)30f f ''=-+，得(0)3f '=，所以2()3x f x e x =+，（2）若对任意2x …，()()f x g x …，即32x e ax a >-，当2x =时，a R ∈；当2x >时，参变分离，32xe a x -„恒成立，令3()(2)2xe h x x x =>-，23(3)()(2)x e x h x x -'=-，当(2,3)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当(3,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；所以3()(3)3min h x h e ==，故33a e „．综上，33a e „．20．已知椭圆 ()2222:10x y C a b a b +=>>.,2A B ⎭是椭圆的左、右顶点，直线l 过B 点且与x 轴垂直．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设G 是椭圆C 上异于A B 、的任意一点，作⊥GH x 轴于点H ，延长HG 到点Q 使得HG GQ ＝，连接AQ 并延长交直线l 于M 点，N 点为线段MB 的中点，判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系，并证明你的结论．【答案】(1) 2214x y += (2) 直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切．证明见解析【解析】（1）利用离心率和a ，b ，c 的平方关系，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）设0(G x ，0)y ，则0(Q x ，02)y ，联立直线AQ 的直线方程与2x =，求出点M 的坐标，再求出点N 的坐标，从而求出直线QN 的方程，再求出(0,0)O 到直线QN 的距离d ，因为1||2d AB =，所以直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切．【详解】解：（1）Q 椭圆 ()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，且过点22,⎭， 22222321212c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪∴+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2214b a ⎧=⎨=⎩，∴椭圆C 的标准方程为： 2214x y +=；（2）设00G x y （，），则00220Q x y A ∴（，），（﹣，）， ∴直线AQ 的方程为()00222y y x x =++，联立()002222x y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩，解得00282x y y x =⎧⎪⎨=⎪+⎩，∴点M 0082,2x ⎛⎫⎪+⎝⎭， ∴点0042,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭，则直线QN 的方程为()000004222y x y y x x x +-=--，即200002480x y x x y y ---（）＝， 220014x y +=Q ，∴直线QN 的方程可化为00240x x y y +-＝，00O ∴（，）到直线QN的距离为122d AB ==-，故直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切． 21．已知函数()f x lnx ax =-．（1）若()f x 存在最大值()g a ，证明：()g a a ≥-；（2）函数()()•h x x f x ＝，且()h x 只有一个极值点0x ，求a 的取值范围，并证明：()01h x e≥-【答案】(1) 证明见解析(2) (],0-∞,证明见解析【解析】（1）先求函数()f x 的导数，分a 的范围讨论函数是否有最大值，并且在有最大值时根据函数的单调性求g （a ）a +的最小值等于零即可；（2）求函数()h x 的导数，且()0h x '=只有一个根，且定义域内根的两边区间的符合相反，求出根0x ，并证明0()h x 的最小值大于等于1e-即可．【详解】解：（1）由题意：11()(0)axf x a x x x-'=-=>，当0a …时，()0f x '>恒成立，函数()f x 单调递增，无最大值；当0a >，()f x 在1(0,)a单调递增，1(a ，)+∞上单调递减，所以函数()f x 在(0,)+∞最大值为1()1f lna a=--，所以()1g a lna =--，下面证明1lna a ---…，即证：10a lna --…，令()1v a a lna =--， ()111a v a a a-'=-=，所以()v a 在(0，1]单调递减，在(1,)+∞单调递增，所以()()10v a v ==最小值，所以()g a a ≥-，证毕．（2）2()h x xlnx ax =-，所以()12h x lnx ax '=+-，设()()12g x h x lnx ax '==+-，1()2g x a x'=-， ①当0a >时，令()0g x '=，解得12x a=，1(0,)2x a ∈，()0g x '>，()g x 单调递增，1(,)2x a∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减，若1()02g a„，()0h x '„恒成立，()h x 无极值；若1()02g a >，1()02h a '>，而12()0a h e e '=-<，212()210h lna a a'=-+-<，此时函数()h x 有两个极值点：故0a >不符合题意②0a =时，1(0,)x e ∈，()0h x '<，()h x 单调递减，1(,)x e∈+∞，()0h x '>，()h x 单调递增，所以函数()h x 有唯一的极小值点1e，11()h e e =-；③当0a <，()0g x '>恒成立，()()g x h x '=单调递增，取b 满足102b a<<-，且210b e<<时，()0h b '<，而12()0ah e e '=->，此时又零点存在定理知：()0h x '=有唯一的零点0x ，()h x 只有一个极值点0x ，且01(0,)x e ∈，由题知20000()h x x lnx ax =-，又000()12h x lnx ax '=+-，001(1)2ax lnx ∴=+，000001()(1)2h x x lnx x lnx ∴=-+，设11()22u x xlnx x =-， 1()2u x lnx '∴=，当1(0,)x e∈，()0u x '<，()u x 单调递减，11()()u x u e e ∴>=-，01()h x e∴>-成立，综上：函数()h x 只有一个极值点0x 取值范围(-∞，0]，且01()h x e-…．22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ＝．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|•8|OM OP ＝，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）射线()03πθρ=>与曲线12,C C 分别交于,A B 两点，求AB ．【答案】(1) ()()2211,0x y y +-≠＝【解析】（1）设点(M M ρ，)θ，点(,)P ρθ，(0)ρ>，由||||8OM OP =g ，得到8M ρρ=g ，由此能求出点P 的轨迹2C 的直角坐标方程．（2）设点(A A ρ，)3π，点(B B ρ，)3π，分别代入1C ，2C 的极坐标方程中，解得A ρ=B ρ=，由此能求出||AB ．【详解】解：（1）设点(),M M ρθ，点()(),0P ρθρ>，M Q 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足•8OM OP ＝， •8M ρρ∴＝，4M sin ρθQ ＝，代入点P 的轨迹方程为：()2,0sin ρθρ>＝， 22sin ρρθ∴＝，∴点P 的轨迹2C 的直角坐标方程为2211,0x y y +-≠（）＝（）．（2）设点,3A A ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点,3B B ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，分别代入12C C ，的极坐标方程中，则sin4,33A B πρρπ=＝2sin，解得3A B ρρ=，||A B AB ρρ-=∴＝【点睛】本题考查点的轨迹的直角坐标方程的求法，考查线段长的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 23．已知x y z R ∈，，，且26x y z ++＝．（1）求222x y z ++的最小值；（2）若()2221x y z a ++-≥成立，求a 的取值范围．【答案】(1) 最小值为6．(2) (),66⎡-∞⋃+∞⎣【解析】（1）利用柯西不等式即可求解；（2）利用柯西不等式即可求解. 【详解】（1）由柯西不等式，得：()()()22222221212x y zx y z ++++≥++即：()222266x y z++≥，2226x y z ∴++≥，当且仅当1,2x z y ===时等号成立，故：222x y z ++的最小值为6．（2）由柯西不等式，得：()()()22222221212x y z a x y z a ⎡⎤++-++≥++-⎣⎦．即： ()()222266a x y z a -++-≥，当且仅当51,2,1636a a a x y z =-=-=+时取等号，只需()2616a -≥，解得：66a a ≤-≥．故：a 的取值范围为：(),66⎡-∞⋃++∞⎣【点睛】本题考查了柯西不等式的运用能力，考查学生的计算能力．属于基础题。

重庆市直属校(重庆市第八中学等)2020届高三3月月考理科数学试题及参考答案

13
14
15
16
答案
5
2
505
16
2021
9
15．由题意 Sn n2 n Sn 2 0 ，因为 an 各项均为正数，所以 Sn 0 ，可得
Sn
n2
n
，所以 an
2n
．
1 an an 1
1
4nn 1
1 4
1 n
1 ， n 1
所以
T2020
1 4
1
1 2
魏、晋、南北朝时期．现拟从这 5 部专著中选择 2 部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选 2 部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为
A． 3 5
B． 7 10
C． 4 5
6．如图，四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， ABCD 为平行四边形，
E, F 分别在线段 DB, DD1上，且
02 a 0 a a2 12 a 1 a a2 0 ，解得 1 a 0 ．综上所述，
a 1,01．
高 2020 级高三（下）3 月月考数学（理科）参考答案第 1 页共 6 页
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号
三、解答题：（共 70 分） 17．（本小题满分 12 分）
在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，且满足 c b(cos A （Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）若 a 4 ，且 BC 边上的高为 3 ，求 ABC 的周长．
3 sin A).
理科数学试题第 2 页共 4 页
n
项和
S
n

重庆市第八中学2020届高三第2次月考理科数学试题(附答案解析)

重庆八中高2020级高三（下）第2次月考理科数学试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合{}2|9A x x =<，{}3,2,1,0,1,2B =---，则A B =I （） A.{}0,1,2B.{}1,0,1,2-C.{}2,1,0,1,2--D.{}2,1,0--2.设(1)()2i a bi ++=，其中,a b 是实数，i 为虚数单位，则3a bi +=（） A.2C.3.已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+，则29log a =（） A.15B.16C.17D.184.若实数,x y 满足约束条件20,20,240,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值为（）A.8-B.6-C.1D.35.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（） A.35B.710C.45D.9106.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，ABCD 为平行四边形，,E F 分别在线段1,DB DD 上，且112DE DF EB FD ==，G 在1CC 上且平面//AEF 平面1BD G ，则1CGCC =（）A.12B.13C.23D.147.在直角坐标系xOy 中，半径为1m 的C e 在0t =时圆心C 与原点O 重合，C e 沿x 轴以1m/s 的速度匀速向右移动，C e 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ，令cos y x =，则y 关于时间t （01t ≤≤，单位：s ）的函数的图象大致为（）A. B. C. D.8.(()nmx n N ++∈的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中3x 的系数为（） A.40B.30C.20D.109.设函数()cos()f x x ωϕ=+()(0,0)x R ωπϕ∈>-<<的部分图象如图所示，如果127,,1212x x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，12x x ≠，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（）A.2-B.12-C.2D.1210.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，球O 的半径为4，ABC ∆是边长为6的等边三角形，记ABC ∆的外心为1O .若三棱锥P ABC -的体积为1PO =（）A. B. C.D.11.设双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左顶点为A ，右焦点为(, 0)F c ，若圆222:()A x a y a ++=与直线0bx ay -=交于坐标原点O 及另一点E ，且存在以O 为圆心的圆与线段EF 相切，切点为EF 的中点，则双曲线的离心率为（）A.2D.312.函数()1ln()(0)(0)x f xe x x x x --<⎧=⎨≥⎩，若关于x 的方程()()220f x af x a a -+-=有四个不等的实数根，则a 的取值范围是（） A.4,15⎛⎤⎥⎝⎦B.(,1)[1,)-∞-+∞UC.(,1){1}-∞-UD.(1,0){1}-U第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量a r 与b r 的夹角为120°，且()1,3a =-r，b =r a b ⋅=r r ________.14.已知函数()()3x af x a R -=∈满足()()4f x f x =-，则实数a 的值为________.15.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()222220n n S n n S n n -+--+=，*n N ∈，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和2020T =________. 16.设抛物线22y x =的焦点为F ，准线为l ，弦AB 过点F 且中点为M ，过点,F M 分别作AB 的垂线交l 于点,P Q ，若3AF BF =，则FP MQ ⋅=________.三、解答题：（共70分）17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且满足(cos )c b A A =. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4a =，且BC，求ABC ∆的周长.18.如图，四边形ABCD 为平行四边形，点E 在AB 上，22AE EB ==，且DE AB ⊥ .以DE 为折痕把ADE ∆折起，使点A 到达点F 的位置，且60FEB ∠=︒.（Ⅰ）求证：平面BFC ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）若直线DF 与平面BCDE所成角的正切值为5，求二面角E DF C --的正弦值. 19.为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，武汉某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg ）.根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布()2,N μσ .在一天内抽取的20件产品中，如果有一件出现了主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查.（Ⅰ）下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量：经计算得20119.9620i i x x ===∑，0.19s ==≈.其中i x 为抽取的第i 件药品的主要药理成分含量，1,2,,20i =L .用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？（Ⅱ）假设生产状态正常，记X 表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之外的药品件数，求(1)P X =及X 的数学期望.附：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则(33)0.9974P Z μσμσ-<<+≈，190.99740.95≈.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线与C 交于,A B 两点.2ABF ∆后的周长为2. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设点P 为椭圆C 的下顶点，直线,PA PB 与2y =分别交于点,M N ，当MN 最小时，求直线AB 的方程.21.已知函数()1axe xf x =--，且()0f x ≥.（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）在函数()f x 的图象上取定两点()()11,A x f x ，()()()2212,B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，问：是否存在()012,x x x ∈，使()0f x k '=成立？若存在，求出0x 的值（用12,x x 表示）；若不存在，请说明理由. 请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()222cos 3sin 12ρθθ+=，直线l 的参数方程为2x ty t=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 交于,M N 两点. （Ⅰ）若点P 的极坐标为()2,π，求PM PN ⋅的值；（Ⅱ）求曲线C 的内接矩形周长的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲.已知函数()f x x x a =-，a R ∈.（Ⅰ）当()()224f f +->时，求a 的取值范围；（Ⅱ）若0a >，,(,]x y a ∀∈-∞，不等式()|3|||f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围.高2020级高三（下）3月月考理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）10.由题意ABC S ∆=，1O A =12OO =，设P 到平面ABC 的高为h ，则由V =4h =，所以点P 在小圆2O （如图所示，圆1O与圆2O 所在平面平行）上运动，22OO =，所以2O P =1PO ==.11.联立12221000()x bx ay y x a y a ⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨=++=⎪⎩⎩或32222222a x c a by c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则322222,a a b E cc ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为存在以O 为圆心的圆与线段EF 相切于其中点，所以OE OF =，c =，化简即得e =12.当0x ≥时，()()11xf x ex -'=-，所以当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，且()00f =，当x →+∞时，()0f x →.当0x <时，()f x 单调递减，所以()f x 的图象如图所示：令()t f x =，则由上图可知当0t =或1时，方程()t f x =有两个实数根；当(0,1)t ∈时，方程()t f x =有三个实数根；当(,0)(1,)t ∈-∞+∞U 时，方程()t f x =有一个实数根.所以关于x 的方程()()220f x af x a a -+-=有四个不等的实数根等价于关于t 的方程220t at a a -+-=有两个实数根10t =，21t =或者1(0,1)t ∈，2(,0)(1,)t ∈-∞+∞U .当10t =，21t =解得1a =；当1(0,1)t ∈，2(,0)(1,)t ∈-∞+∞U 时，()()222200110a a a a a a -⨯+--⨯+-<，解得10a -<<.综上所述，(1,0){1}a ∈-U .第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）15.由题意()()220n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦，因为{}n a 各项均为正数，所以0n S >，可得2n S n n =+，所以11124(1)n n n a n a a n n +=⋅=+11141n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以202011111150514223202020212021T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L . 16.由对称性，不妨设A 在一象限，设直线AB 的倾斜角为θ，由3AF BF =得31cos 1cos ppθθ=-+ 得1cos 2θ=，所以2AF =，23BF =，23MF = .记AB 与l 的交点为S ，x 轴与l 的交点为R ，则2cosRF SF θ==，tan SF FP θ==tan SM MQ θ==，所以169FP MQ ⋅=. 三、解答题：（共70分）17.解：（Ⅰ）由正弦定理可知：sin sin (cos )C B A A =又因为ABC ∆中A B C π++=，故sin sin()C A B =+.sin()sin (cos )A B B A A ∴+=sin cos cos sin sin cos sin A B A B B A B A ∴+=+sin cos sin A B B A ∴=又因为A 为ABC ∆的内角，故sin 0A ≠cos B B ∴=，(0,)B π∈Q ，6B π∴=（Ⅱ）如图，AD =6B π=，则sin ADc AB B===又4a =，在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos 4b a c ac B =+-⋅=2b ∴=故三角形的周长6a b c =++=+18.解：（Ⅰ）因为DE AB ⊥，所以DE EB ⊥，DE EF ⊥，所以DE ⊥平面BEF ，所以DE BF ⊥①因为22AE EB ==，所以2EF =，1EB =，又60FEB ∠=︒，由余弦定理得：BF =所以222EF EB BF =+，所以FB EB ⊥②由①②得BF ⊥平面BCDE ，所以平面BFC ⊥平面BCDE . （Ⅱ）建系如图，设DE a =，则(1,,0)D a ，(1,0,0)E ，F ，(1,DF a =--因为直线DF 与平面BCDE所成角的正切值为5，所以直线DF 与平面BCDE所成角的正弦值为4，又(0,0,1)n =r为平面BCDE 的法向量，所以cos ,4n DF n DF n DF ⋅==r u u u rr u u u r r u u u r4=，解得2a =. 所以(1,2,0)D ，(2,2,0)C -，则(0,2,0)ED =u u u r，(1,DF =--，设平面EDF 的法向量(,,)m x y z =u r，则200200y ED m x y DF m ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨--+=⎪⋅=⎪⎩⎩u u u r u ru u u r ury x =⎧⎪⇒⎨=⎪⎩，取1z =得m =u r，同理可取平面DFC的法向量2)p =u r，所以cos ,7m p m p m p ⋅===⋅u r u ru r u r u r u r所以sin ,7m p =u r u r，即得二面角E DF C --的正弦值为7. 19.解：（Ⅰ）由9.96x =，0.19s =，得μ的估计值为ˆ9.96μ=，σ的估计值为ˆ0.19σ=，由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分(9.22)含量在ˆˆˆˆ(3,3)(9.39,10.53)μσμσ-+=之外，因此需对本次的生产过程进行检查.（Ⅱ）抽取的一件药品的主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(20,0.0026)X B .因此11920(1)(0.9974)0.0026P X C ==⨯200.950.00260.0494≈⨯⨯=，X 的数学期望为()200.00260.052E X =⨯=.20.解：（Ⅰ）由题意可得：4a =，ca a=⇒=11c b =⇒= 22:12x C y ⇒+=（Ⅱ）点(0,1)P -，1(1,0)F -，设()11,A x y ，()22,B x y ，则显然直线AB 与x 轴不重合，设:1AB x my =-，则可知1m ≠-由22122x my x y =-⎧⎨+=⎩得()222210m y my +--=12222m y y m ⇒+=+，12212y y m =-+ 直线()111:10PA y x x y x +--=，令2y =，可得1131M x x y =+，同理2231N x x y =+， 12123311x x MN y y =-=++()()()()()()1221121111311my y my y y y -+--+++121212131m y y y y y y +-=+++==，当0m =时，MN =当0m ≠时，MN ==，由于1(,2)[2,)m m +∈-∞-⋃+∞，则11,1(1,)2211m m⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭++，此时MN 的最小值为6<1m =处取得. 综上，当MN 最小时，直线:1AB x y =-，即1y x =+.21.解：（Ⅰ）若0a ≤，则对一切0x >，()10axe f x x =--<，这与题设矛盾；若0a >，()1axf x ae '=-，令()0f x '=，得11ln x a a=. 当11ln x a a <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当11ln x a a>时，()0f x '>，()f x 单调递增，故当11ln x a a=时，()f x 取最小值11111ln ln 1f a a a a a⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 于是对一切x R ∈，()0f x ≥恒成立，当且仅当111ln 10a a a--≥.① 令()ln 1g t t t t =--，则()ln g t t '=-.当01t <<时，()0g t '>，()g t 单调递增；当1t >时，()0g t '<，()g t 单调递减.故当1t =时，()g t 取最大值()10g =. 因此，当且仅当11a=即1a =时，①式成立. 综上所述，1a =.（Ⅱ）由题意知，()()212121211x x f x f x e e k x x x x --==---. 令()()2121x x xe e xf x k e x x ϕ-'=-=--，()y x ϕ=在区间[]12,x x 上单调递增；且()()()121121211x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦-，()()()212212211x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦-. 由（Ⅰ）得()10xx e f x =--≥恒成立，从而()()212110x x e x x ---->，()()121210x x e x x ---->，又1210x e x x >-，2210x e x x >-，所以()10x ϕ<，()20x ϕ>.由零点存在性定理得，存在唯一()012,x x x ∈，使()00x ϕ=，且()21021ln x x e e x x x -=-. 综上所述，存在()012,x x x ∈使()0f x k '=成立，且()21021ln x x e e x x x -=-. 22.解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为22312x y +=.因为点P 的直角坐标为(2,0)-，所以点P 在直线l 上.将直线l的参数方程222x y t ⎧'=-+⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩（t '为参数）代入曲线C的直角坐标方程中，得22231222⎛⎫⎛⎫''-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭240t ''⇒-=，则12||||4PM PN t t ''⋅=⋅=.（Ⅱ）不妨设,2sin )Q θθ0,2πθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭为矩形上的一顶点，则该矩形的周长为2sin )16sin 3πθθθ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，当且仅当6πθ=，其周长有最大值16.23.解：（Ⅰ）22224a a ⇔---->⇔2222(2)(2)2a a a a a ≤-⎧--+>⇒⎨--++>⎩ 或22(2)(2)2a a a -<≤⎧⎨---+>⎩或2(2)(2)2a a a >⎧⎨--+>⎩，解得(,1)a ∈-∞-. （Ⅱ）max min ()(3)f x y y a ⇔≤++-，其中当,(,]x y a ∈-∞时3(3)()y y a y a y ++-≥++-33a a =+=+（当且仅当[3,]y a ∈-取等号），（()()24a x x f x a =--≤当且仅当2a x =取等号）所以234a a ≤+，解得(0,6]a ∈.。

重庆八中高2020级高三数学理科月考试卷新课标人教版

重庆八中高2020级高三数学理科月考试卷本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题中给出四个选项，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}{}4|),(,2|),(=-==+=y x y x N y x y x M ，则=N M I （）A ．{}1,3-==y xB ．（3，－1）C ．｛3，－1｝D ．｛（3，－1）｝ 2．复数3215i +的共轭复数为（） A ．)21(5i +- B ．i 21+C ．i 21-D ．)21(5i --3．已知R b a ∈,，则“0,>>ab b a ”是“ba 11<”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图，非零向量b OB a OA ==,，且C OA BC ,⊥为垂足，设向量a OC λ=，则λ的值为（）A ．2||a ba ⋅ B ．||||b a ba ⋅⋅C ．2||b ba ⋅ D ．ba b a ⋅⋅|||| 5．在二项式nx )1(+的展开式中，存在着系数之比为5：7的相邻两项，则指数*)(N n n ∈的最小值为（）A ．13B ．12C ．11D ．106．已知函数),2,(),0(,sin 2cos 1)(πππY ∈+=x xxx f 则（）A ．函数图像关于直线π=x 对称B ．函数图象关于点)0,(π对称C ．函数在区间),2(ππ上递减 D ．函数在区间)23,(ππ上递减7．数列{}n a 中，n S a ,11=是前n 项和，当2≥n 时，n n S a 3=，则31lim 1-++∞→n n n S S 的值是（）A ．－2B ．31-C ．54-D ．18．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)0,0(12222>>=-n m ny m x 有相同的焦点)0,(c -和)0,(c ，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率e=（）A ．33 B ．22 C ．41 D ．21 9．如图，在矩形ABCD 中，AB = 4，BC = 3，E 为DC 边的中点，沿AE 将△ADE 折起，使二面角D —AE —B 为60°则四棱锥D —ABCE 的体积为（）A ．133927 B ．13399 C ．131327 D ．1313910．函数))((R x x f y ∈=满足：对一切)(7)1(,0)(,2x f x f x f R x -=+≥∈；当[)1,0∈x 时，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--<≤+=125,5250,2)(x x x x f 则=-)32007(f（）A ．3322-B ．32-C ．2D ． 32+第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．已知,1||,2||==与的夹角为3π，若向量m +2与+垂直，则m= 。

2020年重庆高考理科数学试题及答案

2020年重庆高考理科数学试题及答案一、选择题：本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合后{-2, -1, 0,1, 2, 3},月二{一1, 0, 1},皮{1, 2）,则 Q（AUB）=A. {-2, 3}B. {-2, 2, 3}C. {-2,-1,0, 3}D. {-2,-1,0, 2, 3}2.若“为第四象限角，则A. cos2 o >0B. cos2 o <0C. sin2 a >0D. sin2 o <03.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增力口，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超巾某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1600份的概率为0. 05,志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0. 95,则至少需要志愿者A. 10 名B. 18 名C. 24 名D. 32 名4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇而形石板构成第一环，向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9 块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块,则三层共有扇而形石板（不含天心石）A. 3699 块B. 3474 块C. 3402 块D. 3339 块5.若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x — y —3 = 0的距离为D.竽44・若怎川+为+2 +…+，+io = 2" - 25，则A =7 .下图是一个多而体的三视图,这个多而体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ,在俯视图中对应的点为N ,则该端点在侧视图中对应的点为8 .设。

为坐标原点,直线x =。

重庆八中2020届高三下第二次月考数学答案(理科)

当 x 1 ln 1 时，f (x) 0, f (x) 单调递减；当 x 1 ln 1 时，f (x) 0, f (x) 单调递增，
aa
aa
故当 x 1 ln 1 时， f (x) 取最小值 f ( 1 ln 1 ) 1 1 ln 1 1.
aa
a a aa a
于是对一切 x R, f (x) 0 恒成立，当且仅当 1 1 ln 1 1 0 .① aa a
所以 O2P 2 3 ，所以 PO1 O2P2 O1O22 2 7 ．
11．联立
bx ay 0
x a2 y2
a2
x1
y1
0 0
或
x2
y2
2a3 c2 2a2b c2
，
则
E
2a3 c2
,
2a2b c2
．
因为存在以 O 为圆心的圆与线段 EF 相切于其中点，所以 OE OF ，源自3z0y x
0
3z
，
取 z 1得 m 3,0,1 ，
······9 分
同理可取平面 DFC 的法向量 p 0, 3,2 ，
······10 分
所以 cos m, p m p 2 7 ， m p 2 7 7
······11 分
所以 sin m, p 42 ，即得二面角 E DF C 的正弦值为 42 ．
令 g(t) t t ln t 1, 则 g(t) ln t.
当 0 t 1时， g(t) 0, g(t) 单调递增；当 t 1时， g(t) 0, g(t) 单调递减.
故当 t 1时， g(t) 取最大值 g(1) 0 .因此，当且仅当 1 1 即 a 1时，①式成立. a
综上所述， a 1.

高考理科数学(1卷)：答案详细解析(最新)

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（I 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（复数）若1z i =+,则22z z -=A.0B.1 D.2【解析】∵1z i =+，∴222(2)(1)(1)12z z z z i i i -=-=+-=-=-，∴2=22z z -.【答案】D2.（集合）设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤ ，则a =A.－4B.－2C.2D.4【解析】由已知可得{}22A x x =-≤≤，2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭，∵{}21A B x x =-≤≤ ，∴12a -=，解得2a =-.【答案】B 3.（立体几何，同文3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.14- B.12 C.14+ D.12+【解析】如图A3所示，设正四棱锥底面的边长为a ，则有22221212h am a h m ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩整理得22420m am a --=，令m t a =，则有24210t t --=，∴114t +=，214t -=（舍去），即14m a +=.图A3【答案】C4.（解析几何）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】设A 点的坐标为(m ,n )，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴m =9，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴122p m +=，解得6p =.【答案】C5.（概率统计，同文5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据,)(i i x y i =（1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x=+【解析】根据散点图的趋势和已学函数图象可知，本题的回归方程类型为对数函数，故选D 选项.【答案】D6.（函数）函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+【解析】32()46f x x x '=-，∴函数()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为(1)2k f '==-，又∵(1)1f =-，∴所求的切线方程为12(1)y x +=--，化简为21y x =-+.【答案】B7.（三角函数，同文7）设函数()cos()6f x x πω=+在[]ππ-，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109πB.76πC.43πD.32π【解析】∵函数过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴4ππcos()=096x ω-+，∴4πππ=962x ω-+-，解得23=ω，∴()f x 的最小正周期为3π4π2==ωT .【答案】C 8.（概率统计）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为A.5 B.10 C.15 D.20【解析】∵5()x y +展开式的通项公式为55C r r r x y -(r =0,1,2,3,4,5)，∴1r =时，2141335C 5y x y x y x=，∴3r =时，323335C 10x x y x y =，∴展开式中的33x y 系数为5+10=15.【答案】C9.（三角函数）已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A.53 B.23 C.13 D.59【解析】应用二倍角公式2cos22cos 1αα=-，将3cos28cos 5αα-=化简为，23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又∵(0,)α∈π，∴5sin 3α=.【答案】A 10.（立体几何，同文12）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为△ABC 的外接圆.若 1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【解析】由题意可知， 1O 为的半径r =2，由正弦定理可知，24sin ==AB r C，则14sin 4sin 60==== OO AB C ，∴球O 的半径4R ==，∴球O 的表面积为24π64πR =．图A10【答案】A11.（解析几何）已知22:2220M x y x y +---= ，直线:20+=l x y ，p 为l 上的动点.过点p 作M 的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PM AB 最小时，直线AB 的方程为A.210x y --= B.210x y +-=C.210x y -+= D.210x y ++=【解析】222:(1)(1)2-+-= M x y ， M 的半径r =2，圆心(1,1)M ，由几何知识可知，⊥PM AB ，故1||||=2=||||2||2∆=⋅⋅==四边形APM APBM S PM AB S AP AM AP ，∴⋅PM AB 最小，即PM 最小，此时直线PM ⊥l ，即直线PM 的斜率为12=m k ，故直线PM 的方程为11(1)2-=-y x ，化简为1122=+y x ，∴直线PM 与l 的交点P 的坐标为(1,0)-P ，直线AB 为过点P 作 M 的切线所得切点弦AB 所在的直线，其方程为(11)(1)(01)(1)4---+--=x y ，化简得210++=x y ．图A11【答案】D注：过圆外一点00(,)P x y 作222:()()O x a y b r -+-= 的切线所得切点弦所在直线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=.特别当0a b ==时，切点弦所在直线方程为200x x y y r +=.（具体推到过程，可到百度搜索）12.（函数）若242log 42log +=+a b a b 则A.a >2bB.a <2bC.a >b 2D.a <b 2【解析】由指数和对数运算性质，原等式可化为2222log 2log a b a b +=+，∵222log 1log log 2b b b <+=，∴22222log 2log 2b b b b +<+，∴2222log 2log 2a b a b +<+，设2()2log x f x x =+，则有()(2)f a f b <，由指数函数和对数函数的单调性可知()f x 在(0,)+∞单调递增，∴2a b <.【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

重庆市直属校(重庆市第八中学)2020届高三下学期3月月考数学(理)试题含解析

重庆市直属校（重庆市第八中学）2020届高三下学期3月月考理科数学试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合A＝{x|x2＜9}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A. {0，1，2}B. {﹣1，0，1，2}C. {﹣2，﹣1，0，1，2}D. {﹣2，﹣1，0}【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合A，由此求得两个集合的交集.【详解】∵A＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}.故选：C.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2.设（1+i）（a+bi）＝2，其中a，b是实数，i为虚数单位，则|3a+bi|＝（）A. 2 7 C. 2210【答案】D【解析】【分析】利用复数除法运算化简已知条件，根据复数相等的知识求得,a b，由此求得3a bi+，进而求得3a bi+.【详解】由题意可知：211a bi ii+==-+，∴a＝1，b＝﹣1，∴3a+bi＝3﹣i，∴|3a+bi|＝|3﹣i|10=，故选：D.【点睛】本小题主要考查复数除法、复数相等、复数模的求法等知识，属于基础题.3.已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16，则log2a9＝（）A. 15B. 16C. 17D. 18【答案】C 【解析】【分析】将已知条件转化为1,a q 的形式，由此求得q ，进而求得9a 以及29log a 的值. 【详解】∵数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2+16， ∴2q 2＝2×2q +16，且q ＞0，解得q ＝4，∴log 2a 98224log =⨯=17.故选：C .【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.4.若实数x ，y 满足约束条件2020240x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z ＝x +y 的最小值为（）A. ﹣8B. ﹣6C. 1D. 3【答案】B 【解析】【分析】画出可行域，结合图像判断出z x y =+经过()4,2A --时取得最小值. 【详解】由题意作平面区域如下，由2020x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得，A （﹣4，﹣2），z ＝x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值.故z ＝x +y 的最小值是﹣6，故选：B .【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数最值，属于基础题.5.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（） A.35B.710C.45D.910【答案】B 【解析】【分析】利用古典概型概率计算方法，结合组合数的计算，计算出所求概率.【详解】由题意，5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，基本事件总数n 25C ==10，所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著包含的基本事件个数m 211223C C C =+=7，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为p 710m n ==. 故选：B .【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，属于基础题.6.如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，DD 1上，且112DE DF EB FD ==，G 在CC 1上且平面AEF ∥平面BD 1G ，则1CGCC =（）A.12B.13C.23D.14【答案】B 【解析】【分析】根据对应边成比例，两直线平行，证得1//EF BD ，根据面面平行的性质得到//AF BG ，由此求得1CGCC 的比值. 【详解】∵四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，DD 1上，且112DE DF EB FD ==， ∴EF ∥BD 1，平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1，∵G 在CC 1上且平面AEF ∥平面BD 1G ，∴AF ∥BG ，∴1113CG DE CC DD ==. 故选：B .【点睛】本小题主要考查线线平行、面面平行有关概念的理解，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.7.在直角坐标系xOy 中，半径为1m 的⊙C 在t ＝0时圆心C 与原点O 重合，⊙C 沿x 轴以1m /s 的速度匀速向右移动，⊙C 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ，令y ＝cosx ，则y 关于时间t （0≤t ≤l ，单位：s ）的函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用特殊值对选项进行排除，由此确定正确选项. 【详解】根据题意，⊙C 的半径为1，则其周长l ＝2π，当t ＝0时，⊙C 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ＝π，此时y ＝cosπ＝﹣1；当t 12=时，⊙C 被y 轴所截的左方圆弧长记为x 43π=，此时y ＝cos4132π=-＜0；当t ＝1时，⊙C 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ＝2π，此时y ＝cos 2π＝1；据此排除BCD ；故选：A .【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 8.()()nmx x n N +∈的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中x 3的系数为（）A. 40B. 30C. 20D. 10【答案】D 【解析】【分析】根据二项式系数和求得n ，令1x =，以各项系数和列方程，解方程求得m 的值，再结合二项式展开式的通项公式，求得3x 的系数.【详解】∵()nmx x+的展开式中，各二项式系数和为2n＝32，∴n ＝5.再令x ＝1，可得各项系数和为（m +1）5＝243＝35，∴m ＝2，则展开式中的通项公式为T r +15rC =•m5﹣r•52rx -，令52r-=3，可得r ＝4，故展开式中x 3的系数为45C •2＝10，故选：D .【点睛】本小题主要考查二项式系数和、各项系数之和，考查二项式展开式中指定项的系数，属于基础题.9.设函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（x ∈R ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，如果1271212x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，x 1≠x 2，且f （x 1）＝f （x 2），则f （x 1+x 2）＝（）A. 3B. 12-3 D.12【答案】B 【解析】【分析】根据周期求得ω，根据012f π⎛⎫=⎪⎝⎭求得ϕ，由此求得()f x 解析式.根据()()12f x f x =求得12x x +，由此求得()12f x x +的值.【详解】根据函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（x ∈R ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象，可得12721212πππω⋅=-，∴ω＝2. 再根据五点法作图可得2•122ππϕ+=-，∴φ23π=-，∴f （x ）＝cos （2x 23π-）. 如果1271212x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，x 1≠x 2，则2x 123π-∈（2π-，2π），2x 223π-∈（2π-，2π），∵f （x 1）＝f （x 2），∴2x 123π-+（2x 223π-）＝0，∴x 1+x 223π=，则f （x 1+x 2）＝cos （4233ππ-）＝cos 23π=-cos 132π=-，故选：B .【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数解析式，考查三角函数值的计算，属于中档题.10.已知三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点在球O 的球面上，球O 的半径为4，△ABC 是边长为6的等边三角形，记△ABC 的外心为O 1.若三棱锥P ﹣ABC 的体积为123则PO 1＝（） A. 23 B. 25C. 26D. 27【答案】D 【解析】【分析】取得等边三角形ABC 的面积，利用正弦定理求得三角形ABC 外接圆的半径，根据三棱锥P ABC -的体积求得三棱锥的高，利用勾股定理求得1PO .【详解】由题意可得：S △ABC 236=⨯=93，O 1A ＝162sin 3π⨯=23，O 1O ＝2. 设点P 到平面BAC 的高为h ，由11233=⨯h ×93，解得h ＝4.∴点P 所在小圆⊙O 2（⊙O 1与⊙O 2所在平面平行）上运动，OO 2＝2. ∴O 2P ＝23.∴PO 122122O O O P =+=27.故选：D .【点睛】本小题主要考查球的内接三棱锥的有关计算，考查空间想象能力，属于中档题.11.设双曲线()2222100x y C a b a b-=：＞，＞的左顶点为A ，右焦点为F （c ，0），若圆A ：（x +a ）2+y 2＝a 2与直线bx ﹣ay ＝0交于坐标原点O 及另一点E ，且存在以O 为圆心的圆与线段EF 相切，切点为EF 的中点，则双曲线的离心率为（） A.62B. 2C. 3D. 3【答案】B 【解析】【分析】联立直线的方程和圆A 的方程，求得E 点的坐标，根据以O 为圆心的圆与线段EF 相切，且切点为EF 的中点，得到OE OF =，由此利用勾股定理列方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】联立2220()bx ay x a y a -=⎧⎨++=⎩.⇒E （322a c-，222a b c -），∵依题意可知OE ＝OF ，∴32222222()()a a b c c c-+-=， ∴4a 4＝c 4. ∴2ce a==. 故选：B .【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12.函数f（x）()()()1xln x xxe x-⎧-⎪=⎨≥⎪⎩＜，若关于x的方程f2（x）﹣af（x）+a﹣a2＝0有四个不等的实数根，则a的取值范围是（）A.415⎛⎤⎥⎝⎦， B. （﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）C. （﹣∞，﹣1）∪{1}D. （﹣1，0）∪{1}【答案】D【解析】【分析】利用()f x的导函数()'f x判断出()f x的单调区间，由此画出()f x的大致图像，令()t f x=，对t的取值进行分类讨论，结合()f x的图像以及方程有四个不相等的实数根列不等式，解不等式求得a的取值范围.【详解】当x≥0时，()()'11xf x e x-=-，所以当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，且f（0）＝0，当x→+∞时，f（x）→0，当x＜0时，f（x）单调递减，所以f（x）的图象如图所示：令t＝f（x），则由上图可知当t＝0或1时，方程t＝f（x）有两个实根；当t∈（0，1）时，方程t＝f（x）有3个实数根；当t∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）时，方程t＝f（x）有一个实数根，所以关于x的方程f2（x）﹣af（x）+a﹣a2＝0有四个不等的实数根等价于关于t的方程t2﹣at+a﹣a2＝0有两个实数根t1＝0，t2＝1或t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），当t 1＝0，t 2＝1时，a ＝1，当t 1∈（0，1），t 2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）时，（02﹣a ×0+a ﹣a 2）（12﹣a ×1+a ﹣a 2）＜0，解得﹣1＜a ＜0，综上所述，a ∈（﹣1，0）∪{1}. 故选：D .【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究方程的零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量a 与b 的夹角为120°，且()1310a b =-=，，，则a b ⋅=_____. 【答案】﹣5 【解析】【分析】利用向量模的坐标运算、向量数量积的运算公式，计算出a b ⋅.【详解】因为向量a 与b 的夹角为120°，且()1310a b =-=，，，所以：|a |==则10a b ⋅=⨯cos 120°＝10×（12-）＝5-；故答案为：5-.【点睛】本小题主要考查向量模的坐标运算，考查向量数量积的计算，属于基础题. 14.已知函数f （x ）＝3|x ﹣a |（a ∈R ）满足f （x ）＝f （4﹣x ），则实数a 的值为_____. 【答案】2 【解析】【分析】根据()()4f x f x =-判断出()f x 的对称轴，由此求得a 的值. 【详解】∵f （x ）＝f （4﹣x ）， ∴函数关于x ＝2对称，即f （a ）＝f （4﹣a ），即3|a ﹣a |＝3|4﹣a ﹣a |，即30＝3|4﹣2a |即|4﹣2a |＝0，得2a ﹣4＝0，得a ＝2，故答案为：2【点睛】本小题主要考查函数的对称性，属于基础题.15.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()222220n n S n n S n n -+--+=，*n ∈N ，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和2020T =__________.【答案】5052021【解析】【分析】因为()()222220n n S n n S n n -+--+=，当1n =时，可得12a =.由()()222220n n S n n S n n -+--+=,可得()()220n n S S n n ⎡⎤+-+=⎣⎦，求得2n S n n =+，即可求得2n a n =，结合已知，即可求得答案. 【详解】()()222220n n S n n S n n -+--+=当1n =时，2140a -=解得：12a =或12a =- 数列{}n a 为正数，∴12a =由()()222220n n S n n S n n -+--+=即()()220n n S S n n ⎡⎤+-+=⎣⎦，20n S +≠ ∴2n S n n =+当2n ≥时，21(1)(1)n S n n -=-+-两式相减得：2n a n =当1n =，满足2n a n =∴2n a n =()()141111114n n n n a a n n +=++= 11141n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭11111111111231423411n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣+⎝⎭⎦可得：11141n n T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭+ 当2020n =，2020150542021120211T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭ 故答案为：5052021. 【点睛】本题主要考查了求数列前n 和，解题关键是掌握“裂项相消”求和的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.16.设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，准线为l ，弦AB 过点F 且中点为M ，过点F ，M 分别作AB 的垂线交l 于点P ，Q ，若|AF |＝3|BF |，则|FP |•|MQ |＝_____. 【答案】169【解析】【分析】利用抛物线的定义以及3AF BF =结合平面几何知识，求得FP 和MQ 的长，由此求得FP MQ ⋅.【详解】如图，作BF ⊥l 于F ，作AE ⊥l 于E ，令准线与x 轴交点为S ，AB 交准线于K . 设BH ＝m ，则AF ＝3m ，∵13HB KB AE AK ==，∴BK ＝2m 则sin ∠HKB 122m m ==，∴∠HKB ＝30°.∵23HB m SF m =，∴213m =，∴23m =， ∴|FK |＝2.∴303PF FK tan =⋅=. |QM |＝|MK |•tan 30°＝4m ×tan 30°.83333=⨯= 则|FP |•|MQ |169333=⋅=. 故答案为：169.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 三、解答题：（共70分）17.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足(cos 3)c b A A =．（1）求角B 的大小；（2）若4a =，且BC 3ABC 的周长．【答案】（1）6B π=；（2）623+．【解析】【分析】（1）因为(cos 3)c b A A =+，由正弦定理可得：sin sin (cos 3)C B A A =结合已知，即可求得答案；（2）画出图形，3,6AD B π==，则23sin ADc AB B===，结合余弦定理，即可求得答案. 【详解】（1）(cos 3sin )c b A A =+∴由正弦定理可得：sin sin (cos 3sin )C B A A =+sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+(0,),sin 0A A π∈>cos 3sin B B ∴= ∴3tan B =，又(0,)B π∈故6B π=．（2）画出图象，如图：3,6AD B π==则23sin ADc AB B===又4a =在ABC 中，由余弦定理2222cos 4b a c ac B =+-= 可得2b =可得ABC 的周长为623a b c ++=+【点睛】本题主要考查了由正弦定理和余弦定理解三角形，解题关键是灵活使用正弦定理和余弦定理，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18.如图，四边形ABCD 为平行四边形，点E 在AB 上，AE ＝2EB ＝2，且DE ⊥AB.以DE 为折痕把△ADE 折起，使点A 到达点F 的位置，且∠FEB ＝60°.（1）求证：平面BFC ⊥平面BCDE ；（2）若直线DF 与平面BCDE 15E ﹣DF ﹣C 的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）427【解析】【分析】（1）首先通过证明DE ⊥平面BEF 证得DE BF ⊥.结合余弦定理和勾股定理证得FB EB ⊥，由此证得BF ⊥平面BCDE ，进而证得平面BFC ⊥平面BCDE .（2）建立空间直角坐标系，由直线DF 与平面BCDE 所成角的正切值求得正弦值，结合直线DF 的方向向量和平面BCDE 的法向量列方程，解方程求得DE 的长.由此通过平面EDF 和平面DFC 的法向量，计算出二面角E DF C --的余弦值，进而求得其正弦值. 【详解】（1）证明：∵DE ⊥AB ，∴DE ⊥EB ，DE ⊥EF ， ∴DE ⊥平面BEF ，∴DE ⊥BF ， ∵AE ＝2EB ＝2，∴EF ＝2，EB ＝1， ∵∠FEB ＝60°，∴由余弦定理得BF 2223EF EB EF EB cos FEB ∠+-⨯⨯=∴EF 2＝EB 2+BF 2，∴FB ⊥EB ，由①②得BF ⊥平面BCDE ， ∴平面BFC ⊥平面BCDE.（2）解：以B 为原点，BA 为x 轴，在平面ABCD 中过点B 作AB 的垂线为y 轴，BF 为z 轴，建立空间直角坐标系，设DE ＝a ，则D （1，a ，0），F （0，03，DF =（﹣1，﹣a 3）， ∵直线DF 与平面BCDE 15，∴直线DF 与平面BCDE 所成角的正弦值为6，平面BCDE 的法向量n =（0，0，1）， ∴|cos n DF ＜，＞|2364n DF n DFa ⋅===⋅+，解得a ＝2， ∴D （1，2，0），C （﹣2，2，0），∴ED =（0，2，0），DF =（﹣1，﹣2，3），设平面EDF 的法向量m =（x ，y ，z ），则20230ED m y DF m x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，取z ＝1，得m =（301，，），同理得平面DFC 的一个法向量p =（0，3，2）， ∴cos 727m p m p m p ⋅===⋅＜，＞，∴二面角E ﹣DF ﹣C 的正弦值为sin 14217m p =-=＜，＞.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查根据线面角求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，武汉某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg ）.根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布N （μ，σ2）.在一天内抽取的20件产品中，如果有一件出现了主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查. （1）下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量： 10.02 9.78 10.04 9.92 10.14 10.04 9.2210.13 9.91 9.9510.09 9.96 9.8810.01 9.98 9.9510.05 10.05 9.96 10.12经计算得201120i x ==∑x i ＝9.96，s ==≈0.19；其中x i为抽取的第i 件药品的主要药理成分含量，i ＝1，2，…，20.用样本平均数x 作为μ的估计值μ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？（2）假设生产状态正常，记X 表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品件数，求P （X ＝1）及X 的数学期望.附：若随机变量Z 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣3σ＜Z ＜μ+3σ）≈0.9974，0.997419≈0.95.【答案】（1）需对本次的生产过程进行检查（2）P （X ＝1）≈0.0494；E （X ）≈0.052 【解析】【分析】（1）根据题目所给数据得到,μσ，由此求得()3,3μσμσ-+，有一件药品在这个区间外，由此判断需对本次的生产过程进行检查.（2）利用二项分布概率计算公式，计算出()1P X =，以及求得X 的数学期望. 【详解】（1）由x =9.96，s ＝0.19. 可得：μ=9.96，σ=0.19，由样品数据看出有一样药品的主要药理成分9.22含量在()3,3μσμσ-+＝（9.39，10.53）之外的药品，因此需对本次的生产过程进行检查.（2）抽取的一件药品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，而主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.0026，故X ～B （20，0.0026），∴P （X ＝1）120=0.997419×0.0026≈0.0494.X 的数学期望E （X ）＝20×0.0026≈0.052.【点睛】本小题主要考查3σ原理的运用，考查二项分布及其期望的计算，属于基础题.20.已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线与C 交于A ，B 两点.△ABF 2的周长为（1）求椭圆C 的标准方程：（2）设点P 为椭圆C 的下顶点，直线PA ，PB 与y ＝2分别交于点M ，N ，当|MN |最小时，求直线AB 的方程.【答案】（1）2212x y +=（2）x ﹣y +1＝0【解析】【分析】（1）根据三角形2ABF 的周长求得a ，结合椭圆离心率和222b a c =-求得,b c 的值，由此求得椭圆C 的标准方程.（2）设出直线AB 的方程，联立直线AB 的方程和椭圆的方程，写出韦达定理.通过直线PA 的方程求得M x ，通过直线PB 的方程求得N x ，由此求得MN 的表达式并进行化简，对m 进行分类讨论，由此求得MN 的最小值以及此时直线AB 的方程.【详解】（1）由题意可得：4a＝2c a =， ∴a =c ＝1，∴b 2＝a 2﹣c 2＝1，∴椭圆C 的方程为：2212x y +=；（2）点P （0，﹣1），F 1（﹣1，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），显然直线AB 与x 轴不重合，设直线AB 的方程为：x ＝my ﹣1，则可知m ≠﹣1，联立方程22122x my x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 得：（m 2+2）y 2﹣2my ﹣1＝0， ∴12222m y y m +=+，12212y y m =-+，直线PA 的方程为：（y 1+1）x ﹣x 1y ﹣x 1＝0，可得1131M x x y =+，同理2231N x x y =+，|MN |＝|12123311x x y y -++|＝3|()()()()()()122112111111my y my y y y -+--+++|＝312121211m y y y y y y +-⨯=+++221312122m m m m +⨯=-++++，当m ＝0时，|MN |＝，当m ≠0时，|MN |＝= 由于m 1m+∈（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞），则()11112211m m∞⎡⎫∈⋃+⎪⎢⎣⎭++，，，此时|MN |的最小值为6＜m ＝1处取得，综上所述，当|MN |最小时，直线AB 的方程为：x ＝y ﹣1，即x ﹣y +1＝0.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中线段长度的最值的求法，考查运算求解能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 21.已知函数f （x ）＝e ax ﹣x ﹣1，且f （x ）≥0. （1）求a ；（2）在函数f （x ）的图象上取定两点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2））（x 1＜x 2），记直线AB 的斜率为k ，问：是否存在x 0∈（x 1，x 2），使f '（x 0）＝k 成立？若存在，求出x 0的值（用x 1，x 2表示）；若不存在，请说明理由.【答案】（1）a ＝1（2）存在；21021x x e e x ln x x -=-【解析】【分析】（1）当0a ≤时，判断出()0f x ≥不恒成立.当0a >时，利用导数求得()f x 的最小值，根据这个最小值为非负数，构造函数并结合导数，求得a 的值. （2）首先求得k 的表达式，构造函数()()'t x fx k =-，由()()120,0t x t x <>，结合零点存在性定理，判断出0x 存在，并求得0x 的值.【详解】（1）若a ≤0，则对一切x ＞0，f （x ）＝e ax ﹣x ﹣1＜0，不符合题意，若a ＞0，f ′（x ）＝ae ax﹣1，令f ′（x ）＝ae ax﹣1＝0可得x lnaa-=，当x lna a -＜时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减，当x lna a-＞时，f ′（x ）＞0，函数f（x ）单调递增，故当x lna a =-时，函数取得最小值f （lna a -）11lnaa a=+-，由题意可得，有11lnaa a+-≥0①，令g （t ）＝t ﹣tlnt ﹣1，则g ′（t ）＝﹣lnt ，当0＜t ＜1时，g ′（t ）＞0，g （t ）单调递增，当t ＞1时，g ′（t ）＜0，g （t ）单调递减，故当t ＝1时，g （t ）取得最大值g （1）＝0，当且仅当1a=1即a ＝1时①成立，综上a ＝1；（2）由题意可知，k ()()21212121x x f x f x e e x x x x --==---1，令t （x ）＝f ′（x ）﹣k ＝e x2121x x e e x x ---，则可知y ＝t （x ）在[x 1，x 2]上单调递增，且t （x 1）121x e x x =--[21x x e --（x 2﹣x 1）﹣1]，t （x 2）221x e x x =-[e 12x x --（x 1﹣x 2）﹣1]，由（1）可知f （x ）＝e x ﹣x ﹣1≥0，x ＝0时取等号， ∴21x x e --（x 2﹣x 1）﹣1≥0，e 12x x --（x 1﹣x 2）﹣1≥0， ∴t （x 1）＜0，t （x 2）＞0，由零点判定定理可得，存在x 0∈（x 1，x 2），使得t （x 0）＝0且由21210x x xe e e x x -=--解得21021x x e e x ln x x -=-，综上可得，存在x 0∈（x 1，x 2），使f '（x 0）＝k 成立【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查零点存在性定理的运用，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2（cos 2θ+3sin 2θ）＝12，直线l 的参数方程为2x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 交于M ，N 两点.（1）若点P 的极坐标为（2，π），求|PM |•|PN |的值；（2）求曲线C 的内接矩形周长的最大值.【答案】（1）4（2）16【解析】【分析】（1）利用极坐标转化为直角坐标的公式，求得曲线C 的直角坐标方程.求得P 的直角坐标，由此判断P 在直线l 上，求得直线l 的标准参数方程，代入曲线C 的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，结合直线参数的几何意义，求得PM PN ⋅的值.（2）求得椭圆C 内接矩形周长的表达式，结合三角函数最值的求法，求得周长的最大值.【详解】（1）曲线C 的极坐标方程为ρ2（cos 2θ+3sin 2θ）＝12，转换为直角坐标方程为221124x y +=. 点P 的极坐标为（2，π），转换为直角坐标为（﹣2，0）由于点P （﹣2，0）在直线l 上，所以直线l 参数方程为2x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数），转化为222x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），所以代入曲线的方程为22(2)()1222t t -++=，整理得240t --=，所以|PM |•|PN |＝|t 1t 2|＝4.（2）不妨设Q（2sin θθ，），（02πθ≤≤），所以该矩形的周长为4（2sin θθ+）＝16sin （3πθ+）. 当6πθ=时，矩形的周长的最大值为16.【点睛】本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数的几何意义，考查椭圆参数方程的应用，考查三角函数最值的求法，属于中档题.23.已知函数f （x ）＝x |x ﹣a |，a ∈R .（1）当f （2）+f （﹣2）＞4时，求a 的取值范围；（2）若a ＞0，∀x ，y ∈（﹣∞，a ]，不等式f （x ）≤|y +3|+|y ﹣a |恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）（﹣∞，﹣1）（2）0＜a ≤6【解析】【分析】（1）化简不等式()()224f f +->得到222a a --+>，利用零点分段法求得不等式的解集，也即求得a 的取值范围.（2）将不等式()3f x y y a ≤++-恒成立，转化为()()max min 3f x y y a ≤++-.求得()f x 的最大值以及3y y a ++-的最小值，由此列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】（1）f （2）+f （﹣2）＞4，可得2|2﹣a |﹣2|2+a |＞4，即|a ﹣2|﹣|a +2|＞2，则2222a a a ≤-⎧⎨-++⎩＞或22222a a a -⎧⎨---⎩＜＜＞或2222a a a ≥⎧⎨---⎩＞，解得a ≤﹣2或﹣2＜a ＜﹣1或a ∈∅，则a 范围是（﹣∞，﹣1）；（2）f （x ）≤|y +3|+|y ﹣a |恒成立，等价为f （x ）max ≤（|y +3|+|y ﹣a |）min ，其中当x ，y ∈（﹣∞，a ]，|y +3|+|y ﹣a |≥|y +3+a ﹣y |＝|a +3|＝a +3，当且仅当﹣3≤y ≤a 取得等号，而f （x ）＝﹣x （x ﹣a ）＝﹣（x 2a -）22244a a +≤，当且仅当x 12=a 时取得等号. 所以24a ≤a +3，解得0＜a ≤6. 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。

2020届重庆市第八中学高三下学期高考考前强化训练(一)数学(理)试题及答案解析

绝密★启用前重庆市第八中学2020届高三毕业班下学期高考考前强化训练(一)数学(理)试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}16<=x x M ，{}162<=x x N ，则A ．N M ⊆B ．M N ⊆C ．N C M R ⊆D ．M C N R ⊆ 2．若复数()()R a i a a z ∈-+-=242是纯虚数，则=zA ．4B ．4-C ．i 4D ．i 4-3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，61251=++a a a ，则=11SA ．11B ．22C ．33D ．664．点M 为圆4:22=+y x O 上的动点,点()4,0N ,点P 是线段MN 的中点,则点P 的轨迹方程为A ．()1222=+-y xB ．()1222=++y xC ．()1222=-+y xD ．()1222=++y x 5．下列命题为假命题的是A ．R x ∈∀,13>xB ．1>∀x ,2112>-+x xC ．R x ∈∃0,0cos 0=xD ．R x ∈∃0,1lg 0>x6．执行如图所示的程序框图,若输入N 的值为28,则输出N的值为A ．3B ．2C ．1D ．07．已知平面α内有三个不共线的点C B A ,,到平面β的距离相等,则下列说法一定正确的是A ．平面α内所有的点到平面β的距离都相等B ．过A 有且仅有一条直线l 满足α⊂l 且β//lC ．β//ABD ．平面α内有无数个点到平面β的距离等于点C 到平面β的距离8．设集合(){}{}6,5,4,3,2,1,1,1,,,,,654321=-∈=i a a a a a a a A i ,那么集合A 中满足条件“22654321≤+++++≤-a a a a a a ”的元素的个数为A ．35B ．50C ．60D ．1809．已知直线2:1-=x l ,3:2+=x y l ,点A 为抛物线x y C 4:2=上一动点,过A 作21,l l 的垂线,垂足分别为Q P ,,则QA PA +的最小值为A ．4B ．24C ．221+D ．231+10．小赵和小钱摩托车比赛（比赛过程中,两人均匀速行驶）,刚开始小赵领先,但中途小赵摩托车坏了,小钱趁机超过了小赵,小赵修好车后,奋起直追,最终超过小钱先抵达终点．如果用21,s s 分别表示小钱和小赵所行走的路程,t 表示时间,则下图中与该事实符合的是A B C D 11．已知数列{}n a 满足⎩⎨⎧+=+为偶数为奇数n a n a a n n n ,1,21,若1539≤≤a ,则1a 的取值范围是 A ．[]0,1- B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,43 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,0 D ．[]1,0。

2020届重庆市第八中学高三毕业班下学期高考模拟强化训练(三)数学(理)试题及答案

绝密★启用前重庆市第八中学2020届高三毕业班下学期高考模拟强化训练(三)数学(理)试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚．3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷（选择题,共60分）一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{})2lg(|-==x y x A ,{}045|2<+-=x x x B ,则=B A C R I )( A ．{}21|<<x x B ．{}21|≤<x x C ．{}41|<<x x D ．{}41|≤<x x2．若复数z 满足(2)z i i -=,其中i 是虚数单位,则=||zA ．13BC ．15D 3．已知直线01:1=-+y mx l ,2:(23)10l m x my ++-=,R m ∈,则“2-=m ”是“21l l ⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若c b a ,,为实数,且b a >,则下列结论正确的是A ．b a 11<B ．22b a >C ．b b a a >D ．22bc ac > 5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,201231062=-=+S a a ，,则n S 取最小值时,n 的值为A ．2B ．3C ．4D ．56．函数],[,sin ln 2ln 222e e x x xx y -∈+-=的图象大致为A ．B ．C ．D ．7．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩．若()()()21f a f a f -+≤,则a 的取值范围是 A ．[)1,0- B ．[]0,1 C ．[]1,1- D ．[]2,2-8．已知直线:1(0)l y kx k =->与抛物线2:4C x y =相交于,A B 两点,且满足2AF BF =,则k 的值为A 22B ．22C 32D 39．2020年新型冠状病毒肺炎蔓延全国,作为主要战场的武汉,仅用了十余天就建成了“小汤山”模式的火神山医院和雷神山医院,再次体现了中国速度．随着疫情发展,某地也需要参照“小汤山”模式建设临时医院,其占地是由一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400m 的等腰三角形组成的图形（如图所示）,为使占地面积最大,则等腰三角形的底角为A ．3π B ．4π C ．6π D ．8π 10．给出下列命题,其中正确命题的个数为①若样本数据1021,,,x x x Λ的方差为2,则数据121031,31,,31x x x ---L 的方差为6；②回归方程为x y45.06.0ˆ-=时,变量x 与y 具有负的线性相关关系；。