年重庆高考数学理科试题版
2006年高考数学试卷(重庆卷.理)含详解
2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}{}{}5,4,3,7,5,4,2,7,6,5,4,3,2,1===B A U ，则()()U UA B ⋃痧＝（ ）（A ）{}6,1 （B ）{}5,4 （C ）{}7,5,4,3,2 （D ）{7,6,3,2,1}（2）在等差数列{}n a 中，若4612a a +=，n S 是数列的{}n a 的前n 项和，则9S 的值为（ ） （A ）48 (B)54 (C)60 （D ）66（3）过坐标原点且与圆2254202x y x y +-++=相切的直线方程为（ ） （A ）x y x y 313=-=或 （B ）x y x y 313-==或（C ）x y x y 313-=-=或 （D ）x y x y 313==或（4）对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l （ ）（A ）平行 （B ）相交 （C ）垂直 （D ）互为异面直线（5）若nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）（A ）－540 （B ）－162 （C ）162 （D ）540（6）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在[)5.64,5.56的学生人数是（ ） （A ）20 （B ）30 （C ）40 （D ）50（7）与向量7117,,,2222a b ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的夹角相等，且模为1的向量是（ ）（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54（B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,5453,54或（C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,322（D ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,32231,322或 （8）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（ ）（A ）30种 （B ）90种 （C ）180种 （D ）270种（9）如图所示，单位圆中AB 的长为x ，()f x 表示弧 AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，则函数()y f x =的图像是（ ）（A 1 （B 1 （C ）2 （D ）2 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
重庆卷,高考数学理科卷
2010年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试··理科数学（重庆卷）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2010重庆，理1）在等比数列{a n }中，a 2010=8a 2007，则公比q 的值为A.2 B.3 C.4 D.8答案：A2.（2010重庆，理2）已知向量a ，b 满足a ·b =0，|a |=1，|b |=2，则|2a -b |等于A.0B.22C.4D.8答案：B3.（2010重庆，理3）lim2→x （442−x -21−x ）等于A.-1 B.-41 C.41 D.1答案：B4.（2010重庆，理4）设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤−+≥+−≥,03,01,0y x y x y 则z =2x +y 的最大值为A.-2B.4C.6D.8答案：C5.（2010重庆，理5）函数f （x ）=xx 214+的图象A.关于原点对称 B.关于直线y =x 对称C.关于x 轴对称 D.关于y 轴对称答案：D6.（2010重庆,理6）已知函数y =sin （ωx +ϕ）（ω>0,|ϕ|<2π）的部分图象如图所示,则A.ω=1，ϕ=6πB.ω=1，ϕ=-6πC.ω=2，ϕ=6πD.ω=2，ϕ=-6π答案：D7.（2010重庆，理7）已知x >0，y >0，x +2y +2xy =8，则x +2y 的最小值是A.3 B.4C.29 D.211答案：B8.（2010重庆，理8）直线y =33x +2与圆心为D 的圆⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin 31,cos 33y x （θ∈［0，2π））交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为A.6π7 B.4π5 C.3π4 D.3π5答案：C9.（2010重庆，理9）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天.若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A.504种B.960种C.1008种D.1108种答案：C10.（2010重庆，理10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线答案：D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11.（2010重庆，理11）已知复数z =1+i ，则z2-z =________.答案：-2i12.（2010重庆，理12）设U ={0，1，2，3}，A ={x ∈U |x 2+mx =0}，若U A ={1，2}，则实数m =________.答案：-313.（2010重庆，理13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为2516，则该队员每次罚球的命中率为________.答案：5314.（2010重庆，理14）已知以F 为焦点的抛物线y 2=4x 上的两点A 、B 满足AF =3FB ，则弦AB 的中点到准线的距离为________.答案：3815.（2010重庆，理15）已知函数f （x ）满足：f （1）=41，4f （x ）f （y ）=f （x +y ）+f （x -y ）（x ，y ∈R ），则f （2010）=________.答案：21三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16.（2010重庆，理16）设函数f （x ）=cos （x +3π2）+2cos 2x2，x ∈R .（1）求f （x ）的值域;（2）记△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若f （B ）=1，b =1，c =3，求a 的值.解：（1）f （x ）=cos x cos3π2-sin x sin 3π2+cos x +1=-21cos x -23sin x +cos x +1=21cos x -23sin x +1=sin （x +6π5）+1，因此f （x ）的值域为［0，2］.（2）由f （B ）=1得sin （B +6π5）+1=1，即sin （B +6π5）=0，又因0<B <π，故B =6π.解法一：由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，得a 2-3a +2=0，解得a =1或2.解法二：由正弦定理B b sin =C c sin ，得sinC=23，C =3π或32π.当C =3π时，A =2π，从而a =22c b +=2;当C =32π时，A =6π，又B =6π，从而a =b =1.故a 的值为1或2.17.（2010重庆，理17）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：（1）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率;（2）甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望.解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数.（1）设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P （A ）=1-P （A ）=1-2623C C =1-51=54.（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且P （ξ=0）=26C 5=31，P （ξ=1）=26C 4=154，P （ξ=2）=26C 3=51，P （ξ=3）=26C 2=152，P （ξ=4）=26C 1=151.从而知ξ有分布列ξ01234P3115451152151所以，E ξ=0×31+1×154+2×51+3×152+4×151=34.18.（2010重庆，理18）已知函数f （x ）=ax x +−1+ln （x +1），其中实数a ≠-1.（1）若a =2，求曲线y =f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程;（2）若f （x ）在x =1处取得极值，试讨论f （x ）的单调性.解：（1）f ′（x ）=2)()1(a x x a x +−−++11+x =2)(1a x a +++11+x .当a =2时，f ′（0）=2)20(12+++101+=47，而f （0）=-21，因此曲线y =f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y -（-21）=47（x -0），即7x -4y -2=0.（2）因a ≠-1，由（1）知f ′（1）=2)1(1a a +++111+=11+a +21，又因f （x ）在x =1处取得极值，所以f ′（1）=0，即11+a +21=0，解得a =-3.此时f （x ）=31−−x x +ln （x +1），其定义域为（-1，3）∪（3，+∞），且f ′（x ）=2)3(2−−x +11+x =)1()3()7)(1(2+−−−x x x x ，由f ′（x ）=0得x 1=1，x 2=7.当-1<x <1或x >7时，f ′（x ）>0;当1<x <7且x ≠3时，f ′（x ）<0.由以上讨论知，f （x ）在区间（-1，1］，［7，+∞）上是增函数，在区间［1，3），（3，7］上是减函数.19.（2010重庆，理19）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =6，点E 是棱PB 的中点.（1）求直线AD 与平面PBC 的距离;（2）若AD =3，求二面角A -EC -D 的平面角的余弦值.解法一：（1）如图，在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，从而AD ∥平面PBC ，故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离.因PA ⊥底面ABCD ，故PA ⊥AB ，由PA =AB 知△PAB 为等腰直角三角形，又点E 是棱PB 的中点，故AE ⊥PB .又在矩形ABCD 中，BC ⊥AB ，而AB 是PB 在底面ABCD 内的射影，由三垂线定理得BC ⊥PB ，从而BC ⊥平面PAB ，故BC ⊥AE .从而AE ⊥平面PBC ，故AE 之长即为直线AD 与平面PBC 的距离.在Rt △PAB 中，PA =AB =6，所以AE =21PB =2122AB PA +=3.（2）过点D 作DF ⊥CE ，交CE 于F ，过点F 作FG ⊥CE ，交AC 于G ，则∠DFG 为所求的二面角的平面角.由（1）知BC ⊥平面PAB ，又AD ∥BC ，得AD ⊥平面PAB ，故AD ⊥AE ，从而DE =22AD AE +=6.在Rt △CBE 中，CE =22BC BE +=6.由CD =6，所以△CDE 为等边三角形，故F 为CE 的中点，且DF =CD ·si n3π=223.因为AE ⊥平面PBC ，故AE ⊥CE ，又FG ⊥CE ，知FG 21AE ，从而FG =23，且G 点为AC 的中点.连接DG ，则在Rt △ADC 中，DG =21AC =2122CD AD +=23.所以cos ∠DFG =FG DF DG FG DF ··2222−+=36.解法二：（1）如图，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴，建立空间直角坐标系A —xyz .设D （0，a ，0），则B （6，0，0），C （6，a ，0），P （0，0，6），E （26，0，26）.因此=（26，0，26），=（0，a ，0），=（6，a ，-6），则·BC =0，·PC =0，所以AE ⊥平面PBC .又由AD ∥BC 知AD ∥平面PBC ，故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离，即为|AE |=3.（2）因为|AD |=3，则D （0，3，0），C （6，3，0）.设平面AEC 的法向量n 1=（x 1，y 1，z 1），则n 1·AC =0，n 1·=0.又AC =（6，3，0），=（26，0，26），故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,02626,0361111z x y x 所以y 1=-2x 1，z 1=-x 1.可取x 1=-2，则n 1=（-2，2，2）.设平面DEC 的法向量n 2=（x 2，y 2，z 2），则n 2·DC =0，n 2·=0.又=（6，0，0），=（26，-3,26），故⎪⎩⎪⎨⎧=+−=.026326,02222z y x x 所以x 2=0，z 2=2y 2.可取y 2=1，则n 2=（0，1，2）.故cos 〈n 1，n 2〉=||||2121·n n n n =36.所以二面角A -EC -D 的平面角的余弦值为36.20.（2010重庆，理20）已知以原点O 为中心，F （5，0）为右焦点的双曲线C 的离心率e =25.（1）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程;（2）如图，已知过点M （x 1，y 1）的直线l 1：x 1x +4y 1y =4与过点N （x 2，y 2）（其中x 2≠x 1）的直线l 2：x 2x +4y 2y =4的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交于G 、H 两点，求△OGH 的面积.解：（1）设C 的标准方程为22a x -22by =1（a >0，b >0），则由题意c =5，e =a c =25，因此a =2，b =22a c −=1，C 的标准方程为42x -y 2=1.C 的渐近线方程为y =±21x ，即x -2y =0和x +2y =0.（2）解法一：如图，由题意点E （x E ，y E ）在直线l 1：x 1x +4y 1y =4和l 2：x 2x +4y 2y =4上，因此有x 1x E +4y 1y E =4，x 2x E +4y 2y E =4，故点M 、N 均在直线x E x +4y E y =4上，因此直线MN 的方程为x E x +4y E y =4.设G 、H 分别是直线MN 与渐近线x -2y =0及x +2y =0的交点，由方程组⎩⎨⎧=−=+02,44y x y y x x E E 及⎩⎨⎧=+=+,02,44y x y y x x E E 解得y G =E E y x 22+，y H =-EE y x 22−.设MN 与x 轴的交点为Q ，则在直线x E x +4y E y =4中，令y =0得x Q =Ex 4（易知x E ≠0），注意到x 2E -4y 2E =4，得S △OGH =21·|OQ |·|y G -y H |=||4E x ·|E E y x 21++E E y x 21−|=||4E x ·|y x ||x |E E E 2242−=2.解法二：设E （x E ，y E ），由方程组⎩⎨⎧=+=+,44,442211y y x x y y x x 解得x E =122112)(4y x y x y y −−，y E =122121y x y x x x −−，因x 2≠x 1，则直线MN 的斜率k =1212x x y y −−=-EE y x4，故直线MN 的方程为y -y 1=-EEy x 4（x -x 1），注意到x 1x E +4y 1y E =4，因此直线MN 的方程为x E x +4y E y =4.下同解法一.21.（2010重庆，理21）在数列{a n }中，a 1=1，a n +1=ca n +c n +1（2n +1）（n ∈N *），其中实数c ≠0.（1）求{a n }的通项公式;（2）若对一切k ∈N *有a 2k >a 2k -1，求c 的取值范围.（1）解法一：由a 1=1，a 2=ca 1+c 2·3=3c 2+c =（22-1）c 2+c ，a 3=ca 2+c 3·5=8c 3+c 2=（32-1）c 3+c 2，a 4=ca 3+c 4·7=15c 4+c 3=（42-1）c 4+c 3，猜测a n =（n 2-1）c n +c n -1，n ∈N *.下用数学归纳法证明.当n =1时，等式成立;假设当n =k 时，等式成立，即a k =（k 2-1）c k +c k -1，则当n =k +1时，a k +1=ca k +c k +1（2k +1）=c ［（k 2-1）c k +c k -1］+c k +1（2k +1）=（k 2+2k ）c k +1+c k =［（k +1）2-1］c k +1+c k ，综上，a n =（n 2-1）c n +c n -1对任何n ∈N *都成立.解法二：由原式得11++n n c a =n nca +（2n +1）.令b n =nn c a ，则b 1=c1，b n +1=b n +（2n +1），因此对n ≥2有b n =（b n -b n -1）+（b n -1-b n -2）+…+（b 2-b 1）+b 1=（2n -1）+（2n -3）+…+3+c 1=n 2-1+c1，因此a n =（n 2-1）c n +c n -1，n ≥2.又当n =1时上式成立，因此a n =（n 2-1）c n +c n -1，n ∈N *.（2）解法一：由a 2k >a 2k -1，得［（2k ）2-1］c 2k +c 2k -1>［（2k -1）2-1］c 2k -1+c 2k -2，因c 2k -2>0，所以（4k 2-1）c 2-（4k 2-4k -1）c -1>0.解此不等式得：对一切k ∈N *，有c >c k 或c <c k ′，其中c k =)14(2)14(4)144()144(2222−−+−−+−−k k k k k k ，c k ′=)14(2)14(4)144()144(22222−−+−−−−−k k k k k k ，易知lim ∞→k c k=1，又由)14(4)144(222−+−−k k k <4)14(4)14(222+−+−k k =4k 2+1，知c k <)14(214)144(222−++−−k k k k =284822−−k kk <1，因此由c >c k 对一切k ∈N *成立得c ≥1.又c k ′=)14(4)144()144(22222−+−−+−−−k k k k k <0，易知c k ′单调递增，故c k ′≥c 1′对一切k ∈N *成立，因此由c <c k ′对一切k ∈N *成立得c <c 1′=-6131+.从而c 的取值范围为（-∞，-6131+）∪［1，+∞）.解法二：由a 2k >a 2k -1，得［（2k ）2-1］c 2k +c 2k -1>［（2k -1）2-1］c 2k -1+c 2k -2，因c 2k -2>0，所以4（c 2-c ）k 2+4ck -c 2+c -1>0对k ∈N *恒成立.记f （x ）=4（c 2-c ）x 2+4cx -c 2+c -1，下分三种情况讨论.（ⅰ）当c 2-c =0，即c =0或c =1时，代入验证可知只有c =1满足要求.（ⅱ）当c 2-c <0时，抛物线y =f （x ）开口向下，因此当正整数k 充分大时，f （k ）<0，不符合题意，此时无解.（ⅲ）当c 2-c >0，即c <0或c >1时，抛物线y =f （x ）开口向上，其对称轴x =)1(21c −必在直线x =1的左边，因此，f （x ）在［1，+∞）上是增函数.所以要使f （k ）>0对k ∈N *恒成立，只需f （1）>0即可.由f （1）=3c 2+c -1>0解得c <6131−−或c >6131+−.结合c <0或c >1得c <-6131+或c >1.综合以上三种情况,c 的取值范围为（-∞，-6131+）∪［1，+∞）.。
高考重庆理科数学试卷和答案(word完美解析版)
普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理科）一.填空题：本大题共10小题， 每小题5分， 共计50分。
在每小题给出的四个备选选项中， 只有一个是符合题目要求的1.在等差数列}{n a 中， 5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S = A.7 B.15 C.20 D.25 【答案】B 【解析】15242451,5551522a a a a a a S ++==⇒=⨯=⨯=2.不等式0121≤+-x x 的解集为 A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121,【答案】A【解析】(21)(1)01101210212x x x x x x +-≤⎧-≤⇔⇔-<≤⎨+≠+⎩3.对任意的实数k ， 直线y=kx+1与圆222=+y x 的位置关系一定是A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心 【答案】C【解析】直线1y kx =+过圆内内一定点(0,1)4.82x x 的展开式中常数项为A.1635 B.835 C.435 D.105 【答案】B,2x x取得次数为1:1(4:4)， 展开式中常数项为448135()28C ⨯=5、设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根， 则tan()αβ+的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 【答案】A【解析】tan tan tan tan 3,tan tan 2,tan()31tan tan αβαβαβαβαβ++==+==--6、设,x y ∈R ， 向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ， 且c b c a //,⊥， 则_______=+b a （A ）5 （B ）10 （C ）25 （D ）10 【答案】B【解析】2402,//(3,1)10242x x a c b c a b y y -==⎧⎧⊥⇔⇔⇒+=-=⎨⎨=-=-⎩⎩r r r r r r7、已知()f x 是定义在R 上的偶函数， 且以2为周期， 则“()f x 为[0， 1]上的增函数”是“()f x 为[3， 4]上的减函数”的（A ）既不充分也不必要的条件 （B ）充分而不必要的条件（C ）必要而不充分的条件 （D ）充要条件 【答案】D【解析】由()f x 是定义在R 上的偶函数及[0,1]双抗的增函数可知在[-1,0]减函数， 又2为周期， 所以【3,4】上的减函数8、设函数()f x 在R 上可导， 其导函数为()f x '， 且函数(1)()y x f x '=-的图像如题（8）图所示， 则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f - （D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f 【答案】D【解析】1x >时， ()012,()02f x x f x x ''<⇔<<>⇔>1x <时， ()021,()02f x x f x x ''<⇔-<<>⇔<-得：()022,()02f x x f x x ''<⇔-<<>⇔<-或2x > 函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f9、设四面体的六条棱的长分别为1， 1， 1， 1， 2a ， 且长为a 2的棱异面， 则a 的取值范围是（A ）2) （B ）3) （C ）2) （D ）(13) 【答案】A【解析】2的棱的中点与长为a 的端点,B C ；则222AB AC a BC ==⇒=<10、设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭， 则A B I 所表示的平面图形的面积为（A ）34π （B ）35π （C ）47π （D ）2π【答案】D【解析】由对称性：221,,(1)(1)1y x y x y x ≥≥-+-≤围成的面积与221,,(1)(1)1y x y x y x≤≥-+-≤围成的面积相等 得：A B I 所表示的平面图形的面积为22,(1)(1)1y x x y ≤-+-≤ 围成的面积既2122R ππ⨯=二 填空题：本大题共5小题， 每小题5分， 共25分， 把答案分别填写在答题卡相应位置上11、若()()12i i ++=a+bi ， 其中,,a b R i ∈为虚数单位， 则a b += ； 【答案】4【解析】(1)(2)131,34i i i a bi a b a b ++=+=+⇔==⇒+= 12、25n n n n=+- 。
重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析
2011年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2011•重庆）复数=（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】利用i的幂的运算法则，化简分子，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．【解答】解：复数====故选C【点评】题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，是基础题．2．（3分）（2011•重庆）“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】由x＜﹣1，知x2﹣1＞0，由x2﹣1＞0知x＜﹣1或x＞1．由此知“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．【解答】解：∵“x＜﹣1”⇒“x2﹣1＞0”，“x2﹣1＞0”⇒“x＜﹣1或x＞1”．∴“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A．【点评】本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用．3．（3分）（2011•重庆）已知，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．6【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】先将极限式通分化简，得到，分子分母同时除以x2，再取极限即可．【解答】解：原式==（分子分母同时除以x2）===2∴a=6故选：D．【点评】关于高中极限式的运算，一般要先化简再代值取极限，本题中运用到的分子分母同时除以某个数或某个式子，是极限运算中常用的计算技巧．4．（3分）（2011•重庆）（1+3x ）n （其中n ∈N 且n≥6）的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n=（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【考点】二项式系数的性质． 【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出展开式中x 5与x 6的系数，列出方程求出n ． 【解答】解：二项式展开式的通项为T r+1=3r C n r x r ∴展开式中x 5与x 6的系数分别是35C n 5，36C n 6 ∴35C n 5=36C n 6 解得n=7 故选B【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．5．（3分）（2011•重庆）下列区间中，函数f （x ）=|lg （2﹣x ）|在其上为增函数的是（ ） A ．（﹣∞，1]B ．C ．D ．（1，2）【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】根据零点分段法，我们易将函数f（x）=|lg（2﹣x）|的解析式化为分段函数的形式，再根据复合函数“同增异减”的原则我们易求出函数的单调区间进而得到结论．【解答】解：∵f（x）=|lg（2﹣x）|，∴f（x）=根据复合函数的单调性我们易得在区间（﹣∞，1]上单调递减在区间（1，2）上单调递增故选D【点评】本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据“同增异减”的原则确定每一段函数的单调性是解答本题的关键．6．（3分）（2011•重庆）△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为（）A．B．C．1 D．【考点】余弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】将（a+b）2﹣c2=4化为c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，又C=60°，再利用余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab 即可求得答案．【解答】解：∵△ABC的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，∴c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，又C=60°，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴2ab﹣4=﹣ab，∴ab=．故选：A．【点评】本题考查余弦定理，考查代换与运算的能力，属于基本知识的考查．7．（3分）（2011•重庆）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．5【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴=1∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）故选C【点评】本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．8．（3分）（2011•重庆）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．【考点】圆的标准方程；两点间的距离公式．【专题】数形结合；直线与圆．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=10，则圆心坐标为（1，3），半径为，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2，MB=，ME==，所以BD=2BE=2=2，又AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积S=AC•BD=×2×2=10．故选B．【点评】此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．9．（3分）（2011•重庆）高为的四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A． B． C．1 D．【考点】点、线、面间的距离计算；球内接多面体．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意可知ABCD所在的圆是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，而球心到小圆圆心的距离为，则推出顶点S在球心距的垂直分的平面上，而顶点S到球心的距离为1，即可求出底面ABCD 的中心与顶点S之间的距离．【解答】解：由题意可知ABCD所在的圆是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，球心到小圆圆心的距离为，顶点S在球心距的垂直分的平面上，而顶点S到球心O 的距离为1，所以底面ABCD的中心O'与顶点S之间的距离为1 故选C【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，考查逻辑推理能力，计算能力，转化与划归的思想．10．（3分）（2011•重庆）设m，k为整数，方程mx2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（）A．﹣8 B．8 C．12 D．13【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】将一元二次方程的根的分布转化为确定相应的二次函数的图象来处理，根据图象可得到关于m和k的不等式组，此时不妨考虑利用不等式所表示的平面区域来解决，但须注意这不是线性规划问题，同时注意取整点．【解答】解：设f（x）=mx2﹣kx+2，由f（0）=2，易知f（x）的图象恒过定点（0，2），因此要使已知方程在区间（0，1）内两个不同的根，即f（x）的图象在区间（0，1）内与x轴有两个不同的交点即由题意可以得到：必有，即，在直角坐标系mok中作出满足不等式平面区域，如图所示，设z=m+k，则直线m+k﹣z=0经过图中的阴影中的整点（6，7）时，=13．z=m+k取得最小值，即zmin故选D．【点评】此题考查了二次函数与二次方程之间的联系，解答要注意几个关键点：（1）将一元二次方程根的分布转化一元二次函数的图象与x轴的交点来处理；（2）将根据不等式组求两个变量的最值问题处理为规划问题；（3）作出不等式表示的平面区域时注意各个不等式表示的公共区域；（4）不可忽视求得最优解是整点．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（3分）（2011•重庆）在等差数列{a n }中，a 3+a 7=37，则a 2+a 4+a 6+a 8= 74 ． 【考点】等差数列的性质． 【专题】计算题．【分析】根据等差数列的性质所有下标之和相同的两项之和相等，看出第三项与第七项的和等于第四项与第六项的和等于第二项与第八项的和，得到结果．【解答】解：等差数列{a n }中，a 3+a 7=37， ∵a 3+a 7=a 2+a 8=a 4+a 6=37 ∴a 2+a 4+a 6+a 8=37+37=74， 故答案为：74【点评】本题考查等差数列的性质，这是经常用到的一个性质的应用，注意解题要灵活，不要出现数字运算的错误是一个送分题目．12．（3分）（2011•重庆）已知单位向量，的夹角为60°，则|2﹣|=．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． 【专题】计算题．【分析】利用向量模的平方等于向量的平方，将已知等式平方，利用向量的数量积公式及将已知条件代入，求出模．【解答】解：===5﹣4cos60°=3∴故答案为【点评】本题考查求向量的模常利用向量模的平方等于向量的平方、考查向量的数量积公式．13．（3分）（2011•重庆）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为．【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【专题】计算题．【分析】本题是一个n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，正面出现的次数比反面出现的次数多包括三种情况，正面出现4次，反面出现2次；正面出现5次，反面出现1次；正面出现6次，共有三种情况，这三种情况是互斥的，写出概率，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，正面出现的次数比反面出现的次数多包括正面出现4次，反面出现2次；正面出现5次，反面出现1次；正面出现6次，共有三种情况，这三种情况是互斥的，∴正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是++==故答案为：【点评】本题考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，考查互斥事件的概率，是一个基础题，解题的关键是看清题目所给的条件符合什么规律，在按照规律解题．14．（3分）（2011•重庆）已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为﹣．【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【分析】由已知的等式变形后，记作①，利用同角三角函数间的基本关系列出关系式，记作②，再根据α为锐角，联立①②求出sinα和cosα的值，进而利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式分别求出所求式子的分子与分母，代入即可求出所求式子的值．【解答】解：由sinα=+cosα，得到sinα﹣cosα=①，又sin2α+cos2α=1②，且α∈（0，），联立①②解得：sinα=，cosα=，∴cos2α=cos2α﹣sin2α=﹣，sin（α﹣）=（sinα﹣cosα）=，则==﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．15．（3分）（2011•重庆）动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点（2，0）．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】计算题；压轴题．【分析】先由抛物线的标准方程写出其焦点坐标，准线方程，再结合抛物线的定义得出焦点必在动圆上，从而解决问题．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），准线方程为x+2=0，故圆心到直线x+2=0的距离即半径等于圆心到焦点F的距离，所以F在圆上．故答案为：（2，0）．【点评】主要考查知识点：抛物线，本小题主要考查圆与抛物线的综合、抛物线的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2011•重庆）设α∈R，f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）满足，求函数f（x）在上的最大值和最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】利用二倍角公式化简函数f（x），然后，求出a的值，进一步化简为f（x）=2sin（2x﹣），然后根据x的范围求出2x﹣，的范围，利用单调性求出函数的最大值和最小值．【解答】解：f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）=asinxcosx﹣cos2x+sin2x=由得解得a=2所以f（x）=2sin（2x﹣），所以x∈[]时2x﹣，f（x）是增函数，所以x∈[]时2x﹣，f（x）是减函数，函数f（x）在上的最大值是：f（）=2；又f（）=，f（）=；所以函数f（x）在上的最小值为：f（）=；【点评】本题是中档题，考查三角函数的化简，二倍角公式的应用，三角函数的求值，函数的单调性、最值，考查计算能力，常考题型．17．（13分）（2011•重庆）某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的ξ分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C222，得到概率．4（II）由题意知变量ξ的可能取值是1，2，3，结合变量对应的事件和第一问的做法写出变量对应的概率，写出分布列，做出变量的期望值．【解答】解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C2224∴根据等可能事件的概率公式得到P==（II）由题意知ξ的可能取值是1，2，3P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=∴ξ的分布列是：ξ 1 2 3P∴Eξ=【点评】本题考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．18．（13分）（2011•重庆）设f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f′（x）满足f′（1）=2a，f′（2）=﹣b，其中常数a，b∈R．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（Ⅱ）设g（x）=f′（x）e﹣x．求函数g（x）的极值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；综合题；转化思想．【分析】（I）根据已知中f（x）=x3+ax2+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f'（x），结合f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，计算出参数a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入点斜式方程，即可得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（II）根据g（x）=f′（x）e﹣1求出函数g（x）的解析式，然后求出g（x）的导数g'（x）的解析式，求出导函数零点后，利用零点分段法，分类讨论后，即可得到函数g（x）的极值．【解答】解：（I）∵f（x）=x3+ax2+bx+1∴f'（x）=3x2+2ax+b．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a，解得b=﹣3令x=2，得f'（2）=12+4a+b=﹣b，因此12+4a+b=﹣b，解得a=﹣，因此f（x）=x3﹣x2﹣3x+1∴f（1）=﹣，又∵f'（1）=2×（﹣）=﹣3，故曲线在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣）=﹣3（x﹣1），即6x+2y﹣1=0．（II）由（I）知g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x从而有g'（x）=（﹣3x2+9x）e﹣x令g'（x）=0，则x=0或x=3∵当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0，当x∈（0，3）时，g'（x）＞0，当x∈（3，+∞）时，g'（x）＜0，∴g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x在x=0时取极小值g（0）=﹣3，在x=3时取极大值g（3）=15e﹣3【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及方程组的求解等有关问题，属于中档题．19．（12分）（2011•重庆）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°（Ⅰ）若AD=2，AB=2BC，求四面体ABCD的体积．（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；综合题；数形结合．【分析】（I）要求四面体ABCD的体积，必须确定它的高和底面，由已知，△ABC作为底面，高易作，根据线段的长度，即可求得四面体ABCD的体积；（Ⅱ）利用三垂线定理找出二面角C﹣AB﹣D的平面角，根据该角为60°，找到各边之间的关系，利用平移的方法找出异面直线AD 与BC所成角，解三角形，即可求得异面直线AD与BC所成角的余弦值．【解答】解：（I）设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DF⊥AC．故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=，在Rt△ABC中，因AC=2AF=2，AB=2BC，由勾股定理易知BC=，AB=．故四面体ABCD的体积V==．（II）设E为边AB的中点，则EF∥BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB，又由（I）有DF⊥平面ABC，故由三垂线定理知DE⊥AB，所以∠DEF为二面角C﹣AB﹣D的平面角，由题设知∠DEF=60°．设AD=a，则DF=AD•sin∠CAD=，在Rt△DEF中，EF=DF•cotDEF==，取BD的中点M，连EM，FM，由中位线定理得，∠MEF为异面直线AD，BC所成的角或其补角，EM=FM=，由余弦定理得cos∠MEF===．【点评】此题是个中档题．考查棱锥的体积公式和异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，找二面角的平面角时注意三垂线定理及其逆定理的应用，体现了数形结合和转化的思想．20．（12分）（2011•重庆）如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e=，一条准线的方程为x=2． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）设动点P 满足，其中M ，N 是椭圆上的点．直线OM 与ON 的斜率之积为﹣．问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|+|PF 2|为定值．若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的定义．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）根据离心率和准线方程求得a 和c ，则b 可得，则椭圆的方程可得．（Ⅱ）设出P ，M ，N 的坐标，根据题设等式建立等式，把M ，N 代入椭圆方程，整理求得x 2+2y 220+4（x 1x 2+2y 1y 2），设出直线OM ，ON 的斜率，利用题意可求得x 1x 2+2y 1y 2=0，进而求得x 2+2y 2的值，利用椭圆的定义可推断出|PF 1|+|PF 2|为定值求得c ，则两焦点坐标可得．【解答】解：（Ⅰ）由e==，=2，求得a=2，c=∴b==∴椭圆的方程为：（Ⅱ）设P （x ，y ），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则由，得（x ，y ）=（x 1，y 1）+2（x 2，y 2）， 即x=x 1+2x 2，y=y 1+2y 2， ∵点M ，N 在椭圆上，所以，故x 2+2y 2=（x 12+4x 22+4x 1x 2）+2（y 12+4y 22+4y 1y 2）=20+4（x 1x 2+2y 1y 2） 设k 0M ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，根据题意可知k 0M k ON =﹣∴x 1x 2+2y 1y 2=0 ∴x 2+2y 2=20所以P 在椭圆上；设该椭圆的左，右焦点为F 1，F 2，由椭圆的定义可推断出|PF 1|+|PF 2|为定值，因为c=，则这两个焦点坐标是（﹣，0）（，0）【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．21．（12分）（2011•重庆）设实数数列{a n }的前n 项和S n 满足S n+1=a n+1S n （n ∈N *）．（Ⅰ）若a 1，S 2，﹣2a 2成等比数列，求S 2和a 3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k ≤． 【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由题意，得S 22=﹣2S 2，由S 2是等比中项知S 2=﹣2，由此能求出S 2和a 3．（Ⅱ）由题设条件知S n +a n+1=a n+1S n ，S n ≠1，a n+1≠1，且，，由此能够证明对k≥3有0≤a n ﹣1≤． 【解答】解：（Ⅰ）由题意，得S 22=﹣2S 2， 由S 2是等比中项知S 2≠0，∴S 2=﹣2．由S 2+a 3=a 3S 2，解得． （Ⅱ）证明：因为S n+1=a 1+a 2+a 3+…+a n +a n+1=a n+1+S n ，由题设条件知S n +a n+1=a n+1S n ，∴S n ≠1，a n+1≠1，且，从而对k≥3 有a k ===①因，且， 要证，由①，只要证即证，即，此式明显成立，因此．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．。
2024年重庆高考数学试题(含答案)
2024年重庆高考数学试题及答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．已知1i z =--，则z =（ ）A ．0B ．1C D ．22．已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ）A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题3．已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （ ）A ．12B C D ．14．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表亩产量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1100，1150）[1150，1200）频数612182410据表中数据，结论中正确的是（ ）A ．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB ．100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C ．100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D ．100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间5．已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）6．设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （ ）A ．1-B ．12C ．1D ．27．已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．38．设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．1二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列正确的有（ ）A ．()f x 与()g x 有相同零点B ．()f x 与()g x 有相同最大值C ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期D ．()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴10．抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个11．设函数32()231f x x ax =-+，则（ ）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S = .13．已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ=，则sin()αβ+= .14．在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．(1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．16．已知函数3()e x f x ax a =--．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；(2)若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．17．如图，平面四边形ABCD 中，8AB =，3CD =，AD =90ADC ︒∠=，30BAD ︒∠=，点E ，F 满足25AE AD = ，12AF AB =，将AEF △沿EF 对折至PEF !，使得PC =(1)证明：EF PD ⊥；(2)求面PCD 与面PBF 所成的二面角的正弦值．18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立．(1)若0.4p =，0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．(2)假设0p q <<，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19．已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .(1)若12k =，求22,x y ；(2)证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列；(3)设n S 为12n n n P P P ++ 的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.1．C【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【详解】若1i z =--=故选：C.2．B【分析】对于两个命题而言，可分别取=1x -、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【详解】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题.故选：B.3．B【分析】由()2b a b -⊥ 得22b a b =⋅，结合1,22a a b =+= ，得22144164a b b b +⋅+=+= ，由此即可得解.【详解】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，故选：B.4．C【分析】计算出前三段频数即可判断A ；计算出低于1100kg 的频数，再计算比例即可判断B ；根据极差计算方法即可判断C ；根据平均值计算公式即可判断D.【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, 612183650++=<,所以亩产量的中位数不小于 1050kg , 故 A 错误；对于B ，亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+，所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100-=，故B 错误；对于C ，稻田亩产量的极差最大为1200900300-=，最小为1150950200-=，故C 正确；对于D ，由频数分布表可得，亩产量在[1050,1100)的频数为100(612182410)30-++++=，所以平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故D 错误.故选；C.5．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A 6．D【分析】解法一：令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，分析可知曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得2a =，并代入检验即可；解法二：令()()()(),1,1h x f x g x x =-∈-，可知()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即可得2a =，并代入检验即可.【详解】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +-=+，可得21cos a x ax -=+，令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，原题意等价于当(1,1)x ∈-时，曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a -=，解得2a =，若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +-=因为()1,1x ∈-，则220,1cos 0x x ≥-≥，当且仅当0x =时，等号成立，可得221cos 0x x +-≥，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，所以2a =符合题意；综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=，则()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即()020h a =-=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-，又因为220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时，等号成立，可得()0h x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意；故选：D.7．B【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高h =的结构特征求得AM =111ABC A B C -补成正三棱锥-P ABC ，1A A 与平面ABC 所成角即为PA 与平面ABC 所成角，根据比例关系可得18P ABC V -=，进而可求正三棱锥-P ABC 的高，即可得结果.【详解】解法一：分别取11,BC B C 的中点1,D D ，则11AD A D =可知1111166222ABC A B C S S =⨯⨯==⨯= 设正三棱台111ABC A B C -的为h ，则(11115233ABC A B C V h -==，解得h =如图，分别过11,A D 作底面垂线，垂足为,M N ，设AM x =，则1AADN AD AM MN x=--=，可得1DD==结合等腰梯形11BCC B可得22211622BB DD-⎛⎫=+⎪⎝⎭,即()221616433x x+=-++，解得x=所以1A A与平面ABC所成角的正切值为11tan1A MA ADAMÐ==；解法二：将正三棱台111ABC A B C-补成正三棱锥-P ABC，则1A A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，因为11113PA A BPA AB==，则111127P A B CP ABCVV--=，可知1112652273ABC A B C P ABCV V--==，则18P ABCV-=，设正三棱锥-P ABC的高为d，则11661832P ABCV d-=⨯⨯⨯=，解得d=，取底面ABC的中心为O，则PO⊥底面ABC，且AO=所以PA与平面ABC所成角的正切值tan1POPAOAO∠==.故选：B.8．C【分析】解法一：由题意可知：()f x的定义域为(),b-+∞，分类讨论a-与,1b b--的大小关系，结合符号分析判断，即可得1b a =+，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln()x b +的符号，进而可得x a +的符号，即可得1b a =+，代入可得最值.【详解】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b -+∞，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；若-≤-a b ，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1b a b -<-<-，当(),1x a b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1a b -=-，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >；当[)1,x b ∈-+∞时，可知()0,ln 0x a x b +≥+≥，此时()0f x ≥；可知若1a b -=-，符合题意；若1a b ->-，当()1,x b a ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+>，此时()0f x <，不合题意；综上所述：1a b -=-，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b -+∞，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；则当(),1x b b ∈--时，()ln 0x b +<，故0x a +≤，所以10b a -+≤；()1,x b ∈-+∞时，()ln 0x b +>，故0x a +≥，所以10b a -+≥；故10b a -+=， 则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12.故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求0x a +=、ln()0x b +=的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.9．BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A 选项，令()sin 20f x x ==，解得π,2k x k =∈Z ，即为()f x 零点，令π()sin(2)04g x x =-=，解得ππ,28k x k =+∈Z ，即为()g x 零点，显然(),()f x g x 零点不同，A 选项错误；B 选项，显然max max ()()1f x g x ==，B 选项正确；C 选项，根据周期公式，(),()f x g x 的周期均为2ππ2=，C 选项正确；D 选项，根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+⇔=+∈Z ，()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k -=+⇔=+∈Z ，显然(),()f x g x 图像的对称轴不同，D 选项错误.故选：BC 10．ABD【分析】A 选项，抛物线准线为=1x -，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB =先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k =-是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF =，于是问题转化成PA PF =的P 点的存在性问题，此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【详解】A 选项，抛物线24y x =的准线为=1x -，A 的圆心(0,4)到直线=1x -的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ⊥，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故(4,4)P ，此时切线长PQ ===，B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244P P y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P -，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B -，42201PA k -==--，4220(1)AB k -==--，不满足1PA AB k k =-；当(1,2)P -时，(0,4),(1,2)A B -，4(2)601PA k --==--，4(2)60(1)AB k --==--，不满足1PA AB k k =-；于是PA AB ⊥不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 中垂线的斜率为114AF k -=，于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y -+=，2164301360∆=-⨯=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4t P t ⎛⎫⎪⎝⎭，由PB l ⊥可得()1,B t -，又(0,4)A ，又PA PB =，214t =+，整理得216300t t -+=，2164301360∆=-⨯=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确.故选：ABD11．AD【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为0,x x a ==，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a -上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x =-为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a '=-=-，由于1a >，故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增，(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值，由(0)10=>f ，3()10f a a =-<，则(0)()0f f a <，根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a -=--<，3(2)410f a a =+>，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<，则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点，于是1a >时，()f x 有三个零点，A 选项正确；B 选项，()6()f x x x a '=-，a<0时，(,0),()0x a f x '∈<，()f x 单调递减，,()0x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 在0x =处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-，即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+，根据二项式定理，等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x -=-，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-，于是266(126)(1224)1812a a x a x a-=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，解得2a =，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax =-+，2()66f x x ax '=-，()126f x x a ''=-，由()02af x x ''=⇔=，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122aa =⇔=，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x =⇔=-；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ⇔+-=；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d =+++都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x ''=的解，即,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是三次函数的对称中心12．95【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出1,a d ，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.【详解】因为数列n a 为等差数列，则由题意得()1111237345a d a d a d a d +++=⎧⎨+++=⎩，解得143a d =-⎧⎨=⎩，则()10110910104453952S a d ⨯=+=⨯-+⨯=.故答案为：95.13．【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得()tan αβ+=-，再缩小αβ+的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++===--因为π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m m αβ⎛⎫⎛⎫∈+∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,Z k m ∈，则()()()22ππ,22π2πm k m k αβ+∈++++，,Z k m ∈，又因为()tan 0αβ+=-<，则()()3π22π,22π2π2m k m k αβ⎛⎫+∈++++ ⎪⎝⎭，,Z k m ∈，则()sin 0αβ+<，则()()sin cos αβαβ+=-+ ()()22sin cos 1αβαβ+++=，解得()sin αβ+=法二： 因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos 0,cos 0αβ><,cos α==，cos β=则sin()sin cos cos sin cos cos (tan tan )αβαβαβαβαβ+=+=+4cos cos αβ=====故答案为：14． 24 112【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有432124⨯⨯⨯=种选法；每种选法可标记为(,,,)a b c d ，a b c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)，(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)，(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)，(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为152********+++=.故答案为：24；112【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.15．(1)π6A =(2)2+【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 12A A =，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ∈⇒+∈，故ππ32A +=，解得π6A =方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=，解得cos A =又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos f A A A '==，即tan A =又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ==，由题意，sin 2a b A A ⋅==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅== ，则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan A A A ⋅=⇔又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，22sin 21t A A t ==+整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-，解得tan22A t ==22tan 1t A t ==-，又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos B =π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos C A B A B A B B A =--=+=+=由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ==，即2ππ7πsin sin sin6412b c==，解得b c ==故ABC 的周长为216．(1)()e 110x y ---=(2)()1,+∞【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析0a ≤和0a >两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知()e '=-xf x a 有零点，可得0a >，进而利用导数求()f x 的单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可.【详解】（1）当1a =时，则()e 1x f x x =--，()e 1x f x '=-，可得(1)e 2f =-，(1)e 1f '=-，即切点坐标为()1,e 2-，切线斜率e 1k =-，所以切线方程为()()()e 2e 11y x --=--，即()e 110x y ---=.（2）解法一：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ，若0a ≤，则()0f x '≥对任意x ∈R 恒成立，可知()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意；若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <；可知()f x 在(),ln a -∞内单调递减，在()ln ,a +∞内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，则()120g a a a'=+>，可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >，所以a 的取值范围为()1,+∞；解法二：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ，若()f x 有极小值，则()e '=-x f x a 有零点，令()e 0x f x a '=-=，可得e x a =，可知e x y =与y a =有交点，则0a >，若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <；可知()f x 在(),ln a -∞内单调递减，在()ln ,a +∞内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，符合题意，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，因为则2,ln 1y a y a ==-在()0,∞+内单调递增，可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >，所以a 的取值范围为()1,+∞.17．(1)证明见解析【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得2EF =，利用勾股定理的逆定理可证得EF AD ⊥，则,EF PE EF DE ⊥⊥，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明PE ED ⊥，建立如图空间直角坐标系E xyz -，利用空间向量法求解面面角即可.【详解】（1）由218,,52AB AD AE AD AF AB ====，得4AE AF ==，又30BAD ︒∠=，在AEF △中，由余弦定理得2EF ,所以222AE EF AF +=，则AE EF ⊥，即EF AD ⊥，所以,EF PE EF DE ⊥⊥，又,PE DE E PE DE =⊂ 、平面PDE ，所以EF ⊥平面PDE ，又PD ⊂平面PDE ，故EF ⊥PD ；（2）连接CE，由90,3ADC ED CD ︒∠===，则22236CE ED CD =+=，在PEC中，6PC PE EC ===，得222EC PE PC +=，所以PE EC ⊥，由（1）知PE EF ⊥，又,EC EF E EC EF =⊂ 、平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，又ED ⊂平面ABCD ，所以PE ED ⊥，则,,PE EF ED 两两垂直，建立如图空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0),(0,0,(2,0,0),(0,E P D C F A -，由F 是AB的中点，得(4,B ，所以(4,(2,0,PC PD PB PF =-=-=-=-，设平面PCD 和平面PBF 的一个法向量分别为111222(,,),(,,)n x y z m x y z == ，则11111300n PC x n PD ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，222224020m PB x m PF x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令122,y x ==，得11220,3,1,1x z y z ===-=，所以(0,2,3),1,1)n m ==-，所以cos ,m nm n m n ⋅===设平面PCD 和平面PBF 所成角为θ，则sin θ==，即平面PCD 和平面PBF.18．(1)0.686(2)（i ）由甲参加第一阶段比赛；（i ）由甲参加第一阶段比赛；【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i ）首先各自计算出331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲，331(1)Pq p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到X 和Y 的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，∴比赛成绩不少于5分的概率()()3310.610.50.686P =--=.（2）（i ）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P q p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙，0p q << ，3333()()P P q q pq p p pq ∴-=---+-甲乙()2222()()()()()()q p q pq p p q p pq q pq p pq q pq ⎡⎤=-+++-⋅-+-+--⎣⎦()2222()333p q p q p q pq =---3()()3()[(1)(1)1]0pq p q pq p q pq p q p q =---=---->，P P ∴>甲乙，应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩X 的所有可能取值为0，5，10，15，333(0)(1)1(1)(1)P X p p q ⎡⎤==-+--⋅-⎣⎦，32123(5)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦，3223(10)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦，33(15)1(1)P X p q ⎡⎤==--⋅⎣⎦，()332()151(1)1533E X p q p p p q⎡⎤∴=--=-+⋅⎣⎦记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩Y 的所有可能取值为0，5，10，15，同理()32()1533E Y q q q p=-+⋅()()15[()()3()]E X E Y pq p q p q pq p q ∴-=+---15()(3)p q pq p q =-+-，因为0p q <<，则0p q -<，31130p q +-<+-<，则()(3)0p q pq p q -+->，∴应该由甲参加第一阶段比赛.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论.19．(1)23x =，20y =(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出2P 的坐标即可；（2）根据等比数列的定义即可验证结论；（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.【详解】（1）由已知有22549m =-=，故C 的方程为229x y -=.当12k =时，过()15,4P 且斜率为12的直线为32x y +=，与229x y -=联立得到22392x x +⎛⎫-= ⎪⎝⎭.解得3x =-或5x =，所以该直线与C 的不同于1P 的交点为()13,0Q -，该点显然在C 的左支上.故()23,0P ，从而23x =，20y =.（2）由于过(),n n n P x y 且斜率为k 的直线为()n n y k x x y =-+，与229x y -=联立，得到方程()()229n n x k x x y --+=.展开即得()()()2221290n n n n k x k y kx x y kx ------=，由于(),n n n P x y 已经是直线()n n y k x x y =-+和229x y -=的公共点，故方程必有一根n x x =.从而根据韦达定理，另一根()2222211n n n n nn k y kx ky x k x x x k k ---=-=--，相应的()2221n n nn n y k y kx y k x x y k +-=-+=-.所以该直线与C 的不同于n P 的交点为222222,11n n n n n nn ky x k x y k y kx Q k k ⎛⎫--+- ⎪--⎝⎭，而注意到n Q 的横坐标亦可通过韦达定理表示为()()2291n n ny kx k x----，故n Q 一定在C 的左支上.所以2212222,11n n n n n nn x k x ky y k y kx P k k +⎛⎫+-+- ⎪--⎝⎭.这就得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n nn y k y kx y k ++-=-.所以2211222211n n n n n nn n x k x ky y k y kx x y k k +++-+--=---()()222222*********n n n n n n n nn n x k x kx y k y ky k k kx y x y k k k k+++++++=-=-=-----.再由22119x y -=，就知道110x y -≠，所以数列{}n n x y -是公比为11k k +-的等比数列.（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点,,U V W ，若(),UV a b = ，(),UW c d =，则12UVW S ad bc =- .（若,,U V W 在同一条直线上，约定0UVW S = ）证明：1sin ,2UVW S UV UW UV UW =⋅=12UV UW =⋅===12ad bc ===-.证毕，回到原题.由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n nn y k y kx y k ++-=-，故()()22211222221211111n n n n n n n n n n n n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+.再由22119x y -=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11kk-+的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有n n m n n m x y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+-----()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+-()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而又有()()()111,n n n n n n P P x x y y +++=---- ，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=--，故利用前面已经证明的结论即得()()()()1212112112n n n n P P P n n n n n n n n S S x x y y y y x x ++++++++==---+-- ()()()()12112112n n n n n n n n x x y y y y x x ++++++=-----()()()1212112212n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x ++++++++=-+---2219119119112211211211k k k k k k k k k k k k ⎛⎫-+-+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.这就表明n S 的取值是与n 无关的定值，所以1n n S S +=.方法二：由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n n n y k y kx y k ++-=-，故()()22211222221211111n n n n n n n n n nn n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+.再由22119x y -=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11kk-+的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有n n m n n m x y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+-----()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+-()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.这就得到232311911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++-+⎛⎫-=-=- ⎪+-⎝⎭，以及22131322911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.两式相减，即得()()()()232313131122n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x x y y x ++++++++++++---=---.移项得到232131232131n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x y x x y y x x y ++++++++++++--+=--+.故()()()()321213n n n n n n n n y y x x y y x x ++++++--=--.而()333,n n n n n n P P x x y y +++=-- ，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=--.所以3n n P P + 和12n n P P ++ 平行，这就得到12123n n n n n n P P P P P P S S +++++= ，即1n n S S +=.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.。
2021重庆高考数学真题与参考答案
2021年全国甲卷高考理科数学（重庆）1. 设集合( )解：交集取共有部分，选B。
2. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是：( )A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间解：通过直观的观察，平均值应该在6.5-8.5之间，选C。
3.已知(1-i)²z=3+2i，则z=( )解：4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据v满足L=5+lgV。
已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为( ) (≈1.259)A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.6解：根据题意L=4.9 则 4.9=5+lgV → lgV=-0.1 →V= 5.已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2l，则C的离心率为( )A. B. C. D.解：在△6. 在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是( )解：根据正视图，可以画出其三维图进而得到侧视图（从左向右看），选D。
7.等比数列{}的公比为q，前n项和为，设甲：q>0，乙：{}是递增数列，则( )A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件c.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解：根据等比数列的性质，乙→甲，而甲无法推出乙，甲是乙的必要条件但不是充分条件，选B。
2008年高考重庆理科数学试题及答案(精校版)
2008年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2008•重庆）复数=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1 D．32．（5分）（2008•重庆）设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m+n是偶数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）（2008•重庆）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切4．（5分）（2008•重庆）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（）A．B．C．D．5．（5分）（2008•重庆）已知随机变量ζ服从正态分布N（3，σ2），则P（ζ＜3）=（）A．B．C．D．6．（5分）（2008•重庆）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）A．f（x）为奇函数B．f（x）为偶函数C．f（x）+1为奇函数D．f（x）+1为偶函数7．（5分）（2008•重庆）若过两点P1（﹣1，2），P2（5，6）的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比λ的值为（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）（2008•重庆）已知双曲线的一条渐近线为y=kx（k＞0），离心率，则双曲线方程为（）A．﹣=1B．C．D．9．（5分）（2008•重庆）如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（）A．B．C．V1＞V2D．V1＜V210．（5分）（2008•重庆）函数的值域是（）B．[﹣1，0]C．[﹣]D．[﹣]A．[﹣]二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）（2008•重庆）设集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={3，4，5}，C={3，4}，则（A∪B）∩（∁U C）=_________．12．（4分）（2008•重庆）已知函数f（x）=，点在x=0处连续，则=_________．13．（4分）（2008•重庆）已知（a＞0），则=_________．14．（4分）（2008•重庆）设S n是等差数列{a n}的前n项和，a12=﹣8，S9=﹣9，则S16=_________．15．（4分）（2008•重庆）直线l与圆x2+y2+2x﹣4y+a=0（a＜3）相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为_________．16．（4分）（2008•重庆）某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有_________种（用数字作答）．三、解答题（共6小题，满分76分）17．（13分）（2008•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=60°，c=3b．求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）cotB+cot C的值．18．（13分）（2008•重庆）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．求：（Ⅰ）打满3局比赛还未停止的概率；（Ⅱ）比赛停止时已打局数ξ的分别列与期望Eξ．19．（13分）（2008•重庆）如图，在△ABC中，B=90°，AC=，D、E两点分别在AB、AC上．使，DE=3．现将△ABC沿DE折成直二角角，求（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；（Ⅱ）二面角A﹣EC﹣B的大小（用反三角函数表示）．20．（13分）（2008•重庆）设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（﹣1，f（﹣1））处的切线垂直于y轴．（Ⅰ）用a分别表示b和c；（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g（x）=﹣f（x）e﹣x的单调区间．21．（12分）（2008•重庆）如图，M（﹣2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：|PM|+|PN|=6．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若，求点P的坐标．22．（12分）（2008•重庆）设各项均为正数的数列{a n}满足a1=2，a n=a n+2（n∈N*）．（Ⅰ）若a2=，求a3，a4，并猜想a2008的值（不需证明）；（Ⅱ）记b n=a1a2…a n（n∈N*），若b n≥2对n≥2恒成立，求a2的值及数列{b n}的通项公式．2008年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2008•重庆）复数=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1 D．3考点：复数代数形式的混合运算．分析：利用复数i的幂的运算，化简复数的分母，即可．解答：解：故选A．点评：本题考查复数代数形式的运算，复数的幂的运算，是基础题．2．（5分）（2008•重庆）设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m+n是偶数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先判断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．解答：解：m，n均为偶数，则m+n为偶数，即m，n均为偶数”⇒“m+n是偶数”为真命题但m+n为偶数推不出m，n为偶数，如m=1，n=1．“m，n均为偶数”是“m+n是偶数”的充分而不必要条件故选A点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3．（5分）（2008•重庆）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题．分析：求出半径，求出圆心，看两个圆的圆心距与半径的关系即可．解答：解：圆O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1圆O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|∴两圆的位置关系是相交．故选B点评：本题考查圆与圆的位置关系，是基础题．4．（5分）（2008•重庆）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（）A．B．C．D．考点：函数的值域．专题：计算题．分析：函数问题定义域优先，本题要先确定好自变量的取值范围；然后通过函数的单调性分别确定出m与n即可．解答：解：根据题意，对于函数，有，所以当x=﹣1时，y取最大值，当x=﹣3或1时y取最小值m=2∴故选C．点评：任何背景下，函数问题定义域优先，建函数模型是求解函数最值问题有效手段之一．5．（5分）（2008•重庆）已知随机变量ζ服从正态分布N（3，σ2），则P（ζ＜3）=（）A．B．C．D．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题．分析：由正态分布的图象规律知，其在x=μ左侧一半的概率为，故得P（ζ＜3）的值．解答：解：ζ服从正态分布N（3，σ2），曲线关于x=3对称，，故选D．点评：本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．6．（5分）（2008•重庆）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）A．f（x）为奇函数B．f（x）为偶函数C．f（x）+1为奇函数D．f（x）+1为偶函数考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题．分析：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1进行赋值研究即可解答：解：∵对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，∴令x1=x2=0，得f（0）=﹣1∴令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1，∴f（x）+1=﹣f（﹣x）﹣1=﹣[f（﹣x）+1]，∴f（x）+1为奇函数．故选C点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．7．（5分）（2008•重庆）若过两点P1（﹣1，2），P2（5，6）的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比λ的值为（）A．﹣B．﹣C．D．考点：线段的定比分点．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是线段的定比分点，处理的方法一般是，由定比分点坐标公式转化为λ==，将已知的点的坐标代入，易得一个方程组，解方程组，即可求解．解答：解：由定比分点坐标公式得λ==不妨设点P（x，0），则，故答案选A点评：由定比分点坐标公式转化可得：λ==，将已知的点的坐标代入，易得一个方程组，解方程组，即可求解．8．（5分）（2008•重庆）已知双曲线的一条渐近线为y=kx（k＞0），离心率，则双曲线方程为（）B．A．﹣=1C．D．考点：双曲线的标准方程．分析：首先由焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，可得=k；然后根据双曲线的离心率e==k，可消去k得a、b、c的关系式；再结合双曲线的性质a2+b2=c2，即可整理出答案．解答：解：因为双曲线的一条渐近线为y=kx（k＞0），所以=k，又，所以c=b，且有a2+b2=c2，所以a2=4b2，所以双曲线的方程为．故选C．点评：本题考查双曲线的标准方程与性质．9．（5分）（2008•重庆）如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（）A．B．C．V1＞V2D．V1＜V2考点：组合几何体的面积、体积问题．专题：计算题；压轴题；探究型．分析：根据题意推知小球半径是大球的一半，建立大球体积小球体积和阴影部分的体积的关系，可推知选项．解答：解：设大球的半径为R，则小球的半径为：，由题意可得：V==所以＞0即：V2＞V1故选D．点评：本题考查组合体的体积，空间想象能力，逻辑推理能力，是难题．10．（5分）（2008•重庆）函数的值域是（）B．[﹣1，0]C．[﹣]D．[﹣]A．[﹣]考点：同角三角函数间的基本关系；函数的值域．专题：压轴题．分析：根据特殊值代入法进行逐一排除．解答：解：特殊值法，sinx=0，cosx=1则f（x）=淘汰A，令得当时sinx=﹣1时所以矛盾f（x）≠淘汰C，同理，令得cosx=，当sinx=1时，cosx=，不满足条件，淘汰D，故选B．点评：主要考查对任意角x满足sin2x+cos2x=1．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）（2008•重庆）设集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={3，4，5}，C={3，4}，则（A∪B）∩（∁U C）={2，5}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：先求出（A∪B）和（C U C），再求它们的交集即可．解答：解：∵A∪B={2，3，4，5），又∁U C={1，2，5}∴（A∪B）∩（∁U C）={2，5}故填{2，5}．点评：本题考查了交集、并集、补集的运算，属于基础题．12．（4分）（2008•重庆）已知函数f（x）=，点在x=0处连续，则=．考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：由函数f（x）=在点x=0处连续，可得，解可得a=3．由此能求出的值．解答：解：（2x+3）==3，f（0）=a点在x=0处连续，所以，即a=3，故．故答案为：．点评：本题考查函数的极限和运算，解题时要认真审题，仔细解答．13．（4分）（2008•重庆）已知（a＞0），则=3．考点：指数式与对数式的互化；换底公式的应用．专题：计算题．分析：将已知的等式两边同时进行次乘方，得到a的值，再把a的值代入要求的式子，利用对数的运算性质计算结果．解答：解：已知（a＞0），∴，故答案为3．点评：本题考查根指数的转化运算，以及利用对数的运算性质求对数式的值，体现了代入得思想．14．（4分）（2008•重庆）设S n是等差数列{a n}的前n项和，a12=﹣8，S9=﹣9，则S16=﹣72．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据等差数列的性质，a1+a9=2a5，结合题意，由S9可得a5的值，而由等差数列的性质有a1+a16=a5+a12，将S16=（a1+a16）×16中的（a1+a16）用（a5+a12）代换并计算可得答案．解答：解：S9=（a1+a9）×9=﹣9，又有a1+a9=2a5，可得，a5=﹣1，由等差数列的性质可得，a1+a16=a5+a12，则S16=（a1+a16）×16=（a5+a12）×16=﹣72．点评：本题考查等差数列的前n项和，注意解题时，结合等差数列的有关性质来分析，寻找切入点．15．（4分）（2008•重庆）直线l与圆x2+y2+2x﹣4y+a=0（a＜3）相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为x﹣y+1=0．考点：直线的一般式方程；直线与圆相交的性质．专题：计算题；压轴题．分析：求出圆心的坐标，再求出弦中点与圆心连线的斜率，然后再求出弦所在直线的斜率，由点斜式写出其方程，化为一般式．解答：解：由已知，圆心O（﹣1，2），设直线l的斜率为k，弦AB的中点为P（0，1），PO的斜率为k op，则=﹣1∵l⊥PO，∴k•k op=k•（﹣1）=﹣1∴k=1由点斜式得直线AB的方程为：y=x+1故答案为：x﹣y+1=0点评：考查求直线的方程，本题已知弦中点的坐标，再根据弦与弦心距对应直线垂直求斜率k．16．（4分）（2008•重庆）某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有216种（用数字作答）．考点：分步乘法计数原理．专题：压轴题．分析：由题意知分3步进行，为A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A43种选法；在A1、B1、C1中选一个装第4种颜色的灯泡，有3种情况；为剩下的两个灯选颜色，假设剩下的为B1、C1，若B1与A同色，则C1只能选B点颜色；若B1与C同色，则C1有A、B处两种颜色可选．故为B1、C1选灯泡共有3种选法，即剩下的两个灯有3种情况，根据计数原理得到结果．解答：解：每种颜色的灯泡都至少用一个，即用了四种颜色的灯进行安装，分3步进行，第一步，A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A43种选法；第二步，在A1、B1、C1中选一个装第4种颜色的灯泡，有3种情况；第三步，为剩下的两个灯选颜色，假设剩下的为B1、C1，若B1与A同色，则C1只能选B点颜色；若B1与C同色，则C1有A、B处两种颜色可选．故为B1、C1选灯泡共有3种选法，得到剩下的两个灯有3种情况，则共有A43×3×3=216种方法．故答案为：216点评：本题用到两个计数原理，用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析要完成的“一件事”是什么，可以“分类”还是需要“分步”．三、解答题（共6小题，满分76分）17．（13分）（2008•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=60°，c=3b．求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）cotB+cot C的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）先根据余弦定理求得a，b和c的关系式，再利用c=3b消去b，进而可得答案．（Ⅱ）对原式进行化简整理得由正弦定理和（Ⅰ）的结论求得结果．解答：解：（Ⅰ）由余弦定理得．∴．（Ⅱ），由正弦定理和（Ⅰ）的结论得．故．点评： 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．正弦定理和余弦定理是解三角形问题中常使用的方法，应熟练掌握．18．（13分）（2008•重庆）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．求：（Ⅰ）打满3局比赛还未停止的概率；（Ⅱ）比赛停止时已打局数ξ的分别列与期望E ξ．考点：离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差． 专题：计算题． 分析： （1）打满3局比赛还未停止即在三局比赛中没有人连胜两局，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利（2）ξ的所有可能值为2，3，4，5，6，分别求出ξ取每一个值的概率，列出分布列即可． 解答： 解：令A k ，B k ，C k 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜． （Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为．（Ⅱ）ξ的所有可能值为2，3，4，5，6，且，．，故有分布列ξ 2 3 4 5 6 P从而（局）．点评：本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力．19．（13分）（2008•重庆）如图，在△ABC中，B=90°，AC=，D、E两点分别在AB、AC上．使，DE=3．现将△ABC沿DE折成直二角角，求（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；（Ⅱ）二面角A﹣EC﹣B的大小（用反三角函数表示）．考点：点、线、面间的距离计算；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题．分析：（1）先依据公垂线的定义，证明DB为异面直线AD与BC的公垂线，再求DB之长，注意到它是AB长的倍，故先求出AB的长即可；（2）过D作DF⊥CE，交CE的延长线于F，先证得∠AFD为二面角A﹣BC﹣B的平面角，再利用直角三角形中的边角关系求出其正切值即得．解答：解：（Ⅰ）在图1中，因，故BE∥BC．又因B=90°，从而AD⊥DE．在图2中，因A﹣DE﹣B是直二面角，AD⊥DE，故AD⊥底面DBCE，从而AD⊥DB．而DB⊥BC，故DB为异面直线AD与BC的公垂线．下求DB之长．在图1中，由，得又已知DE=3，从而．．因．（Ⅱ）在第图2中，过D作DF⊥CE，交CE的延长线于F，连接AF．由（1）知，AD⊥底面DBCE，由三垂线定理知AF⊥FC，故∠AFD为二面角A﹣BC﹣B的平面角．在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE，，因此．从而在Rt△DFE中，DE=3，．在．因此所求二面角A﹣EC﹣B的大小为arctan．点评：本小题主要考查直线与平面平行、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．20．（13分）（2008•重庆）设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（﹣1，f（﹣1））处的切线垂直于y轴．（Ⅰ）用a分别表示b和c；（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g（x）=﹣f（x）e﹣x的单调区间．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题．分析：（Ⅰ）把（0，2a+3）代入到f（x）的解析式中得到c与a的解析式，解出c；求出f'（x），因为在点（﹣1，f（﹣1））处的切线垂直于y轴，得到切线的斜率为0，即f′（﹣1）=0，代入导函数得到b与a的关系式，解出b即可．（Ⅱ）把第一问中的b与c代入bc中化简可得bc是关于a的二次函数，根据二次函数求最值的方法求出bc的最小值并求出此时的a、b和c的值，代入f（x）中得到函数的解析式，根据求导法则求出g（x）的导函数，将f′（x）和f（x）代入即可得到g′（x），然后令g′（x）=0求出x的值，利用x的值分区间讨论g′（x）的正负即可得到g（x）的增减区间．解答：解：（Ⅰ）由f（x）=ax2+bx+c得到f'（x）=2ax+b．因为曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），故f（0）=c=2a+3，又曲线y=f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线垂直于y轴，故f'（﹣1）=0，即﹣2a+b=0，因此b=2a．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，故当时，bc取得最小值﹣．此时有．从而，g（x）=﹣f（x）e﹣x=（x2+x﹣）e﹣x，所以令g'（x）=0，解得x1=﹣2，x2=2．当x∈（﹣∞，﹣2）时，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（﹣∞，﹣2）上为减函数；当x∈（﹣2，2）时，g'（x）＞0，故g（x）在x∈（2，+∞）上为减函数．当x∈（2，+∞）时，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（2，+∞）上为减函数．由此可见，函数g（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）；单调递增区间为（﹣2，2）．点评：本题是一道综合题，要求学生会利用导数研究函数的单调性，会利用导数研究曲线上某点的切线方程．做题时注意复合函数的求导法则．21．（12分）（2008•重庆）如图，M（﹣2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：|PM|+|PN|=6．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若，求点P的坐标．考点：椭圆的标准方程；轨迹方程；椭圆的应用．专题：综合题；压轴题．分析：（1）先根据题意求出a，b，c的值，再代入到椭圆方程的标准形式中，可得到答案．（2）先将转化为|PM|•|PN|cosMPN=|PM|•|PN|﹣2的形式，再由余弦定理得到|MN|2=|PM|2+|PN|2﹣2|PM|•|PN|cosMPN，二者联立后再由点P在椭圆方程上可得到最后答案．解答：解：（Ⅰ）由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆．因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=，所以椭圆的方程为（Ⅱ）由，得|PM|•|PN|cosMPN=|PM|•|PN|﹣2．①因为cosMPN≠1，P不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形．在△PMN中，|MN|=4，由余弦定理有|MN|2=|PM|2+|PN|2﹣2|PM|•|PN|cosMPN．②将①代入②，得42=|PM|2+|PN|2﹣2（|PM|•|PN|﹣2）．故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上．由（Ⅰ）知，点P的坐标又满足，所以由方程组解得即P点坐标为或点评：本题主要考查椭圆的标准方程．椭圆的标准方程、离心率、第二定义、准线方程、a，b，c的基本关系等都是高考的考点，要熟练掌握．22．（12分）（2008•重庆）设各项均为正数的数列{a n}满足a1=2，a n=a n+2（n∈N*）．（Ⅰ）若a2=，求a3，a4，并猜想a2008的值（不需证明）；（Ⅱ）记b n=a1a2…a n（n∈N*），若b n≥2对n≥2恒成立，求a2的值及数列{b n}的通项公式．考数列的应用．点：压轴题；归纳猜想型．专题：分（Ⅰ）由题意可知，由此可猜想|a n|的通项为a n=2（﹣2）n﹣1（n∈N*）．析：（Ⅱ）令x n=log2a n，S n表示x n的前n项和，则b n=2Sn．由题设知x1=1且；．由此入手能够求出a2的值及数列{b n}的通项公式．解解：（Ⅰ）因a1=2，a2=2﹣2，故，答：由此有a1=2（﹣2）0，a2=2（﹣2）2，a3=2（﹣2）2，a4=2（﹣2）3，、故猜想|a n|的通项为a n=2（﹣2）n﹣1（n∈N*）．（Ⅱ）令x n=log2a n，S n表示x n的前n项和，则b n=2Sn．由题设知x1=1且；①．②因②式对n=2成立，有．③下用反证法证明：．由①得．因此数列|x n+1+2x n|是首项为x2+2，公比为的等比数列．故．④又由①知，因此是是首项为，公比为﹣2的等比数列，所以．⑤由④﹣⑤得．⑥对n求和得．⑦由题设知．．即不等式22k+1＜对k∈N*恒成立．但这是不可能的，矛盾．因此x2≤，结合③式知x2=，因此a2=2*2=．将x2=代入⑦式得S n=2﹣（n∈N*），所以b n==（n∈N*）本题考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题．仔细解答，避免出错．点评：。
2011年重庆高考数学试题(理科)含答案
2011年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2011•重庆）复数=（）A．B． C．D．2．（2011•重庆）“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2011•重庆）已知，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．64．（2011•重庆）（1+3x）n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=（）A．6 B．7 C．8 D．95．（2011•重庆）下列区间中，函数f（x）=|lg（2﹣x）|，在其上为增函数的是（）A．（﹣∞，1] B．C．D．（1，2）6．（2011•重庆）若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为（）A．B．C．1 D．7．（2011•重庆）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．58．（2011•重庆）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．9．（2011•重庆）高为的四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A．B．C．1 D．10．（2011•重庆）设m，k为整数，方程mx2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（）A．﹣8 B．8 C．12 D．13二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．（2011•重庆）在等差数列{a n}中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8=_________．12．（2011•重庆）已知单位向量，的夹角为60°，则|2﹣|=_________．13．（2011•重庆）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为_________．14．（2011•重庆）已知，且，则的值为_________．15．（2011•重庆）动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点_________．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（2011•重庆）设α∈R，f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）满足，求函数f（x）在上的最大值和最小值．17．（2011•重庆）某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源在片区的个数的ξ分布列与期望．18．（2011•重庆）设f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f'（x）满足f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，其中常数a，b∈R．（I）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（II）设g（x）=f′（x）e﹣x．求函数g（x）的极值．19．（2011•重庆）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°（Ⅰ）若AD=2，AB=2BC，求四面体ABCD的体积．（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．20．（2011•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，一条准线的方程为x=2．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）设动点P满足，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之积为﹣．问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值．若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．21．（2011•重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤．2011年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2011•重庆）复数=（）A．B． C．D．考点：复数代数形式的混合运算。