最短路线

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最短路线1

例题【一C→F→G→B、 A→E→F→G→B、A→C→F→I→B、 A→E→F→I→B、A→E→H→I→B、
例题【一】（★ ★ ）
一只蚂蚁在长方形格纸上的A点，它想去B点玩，但是不知走哪条路最近。小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？
方法二：标数法
只能从小号码的蜂房爬进相邻的大号码的蜂房！蜜蜂的运动方向是固定的，所以依然可以采取标数法。
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
一只密蜂从A处出发，A回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？
小蜜蜂从A出发到B处共有89种不同的回家方法!
例题【五】（★ ★ ★ ★ ★ ）
最短路线
最短路线问题就是确定从某处到另一处最短路线的条数。
标数法：
用来解决最短路线问题的方法，在给出的图形中的每一个结点标出到达该点的方法数，最后利用相加原则求出到达目的地方法数。
例题【一】（★ ★ ）
一只蚂蚁在长方形格纸上的A点，它想去B点玩，但是不知走哪条路最近。小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？
目标：右、下方向：左、上
箭头很重要，一定逐一标；步骤要严谨，不能跳着做。
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
图中的“我爱史老师”有多少种不同的读法。
标数法
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
起点是“我” 每个字看做“点”（车站）共有1+4+6+4+1=16（种）
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
一只密蜂从A处出发，A回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？
目标：右、下方向：左、上

最短路线算法

最短路线算法在日常生活中，我们经常需要找到最短的路径，比如从家到公司、从学校到图书馆等等。

而解决这个问题的一种常见的方法就是使用最短路线算法。

最短路线算法是一种计算两个节点之间最短路径的方法，它可以帮助我们在众多可能的路径中找到最短的一条。

最短路线算法有多种不同的实现方式，其中最著名的算法之一就是Dijkstra算法。

Dijkstra算法是一种贪心算法，它的基本思想是从起点开始，逐步扩展最短路径的范围，直到找到终点为止。

Dijkstra算法的具体步骤如下：1. 创建一个集合S，用于存放已经找到最短路径的节点；2. 初始化起点的最短路径为0，其他节点的最短路径为无穷大；3. 从起点开始，选择当前最短路径的节点，并将其加入集合S；4. 更新该节点的相邻节点的最短路径值，如果新的路径值比原来的小，则更新；5. 重复步骤3和步骤4，直到找到终点或者所有节点都加入集合S；6. 最后，通过回溯找到起点到终点的最短路径。

除了Dijkstra算法之外，还有其他的最短路线算法，比如贝尔曼-福特算法和弗洛伊德算法。

贝尔曼-福特算法是一种动态规划算法，它通过不断松弛边的权值来更新最短路径。

弗洛伊德算法是一种多源最短路径算法，它通过不断更新节点之间的最短路径来计算任意两个节点之间的最短路径。

最短路线算法在实际应用中有着广泛的用途，比如地图导航、网络路由和物流配送等。

在地图导航中，我们常常需要找到最短路径来指导驾车或行走。

而在网络路由中，最短路线算法可以帮助我们选择最优的路径来传输数据。

在物流配送中，最短路线算法可以帮助我们规划最短路径，从而提高配送效率。

然而，最短路线算法并不是没有缺点的。

由于最短路线算法需要计算每个节点之间的最短路径，当节点数量较大时，算法的计算复杂度会非常高。

此外，最短路线算法还需要存储大量的数据，对内存的消耗也比较大。

最短路线算法是一种解决最短路径问题的有效方法。

它可以帮助我们在众多可能的路径中找到最短的一条。

八年级上册最短路径知识点

八年级上册最短路径知识点在学习数学中，最短路径是一个重要的概念。

在八年级上册中，我们会学习到最短路径的相关知识。

本文将系统地介绍最短路径的概念、算法和应用。

1、最短路径的概念最短路径是指从一个起点到达一个目标点的路径中，使得路径上的边权值之和最小的路径。

在最短路径的计算中，边权值常常代表距离或花费等。

最短路径可以用图表示，通常被称为权重图。

在权重图中，每个节点代表一个地点，每条边代表两个地点之间的路径。

边上的权重可以是任何非负实数。

2、最短路径算法在计算最短路径时，存在多种算法可供选择。

以下是几种较常见的最短路径算法：A、Dijkstra算法：Dijkstra算法通过计算起点到其他点的最短路径，找到整个图的最短路径。

该算法适用于边权值为非负数的图。

B、Bellman-Ford算法：Bellman-Ford算法通过对边进行松弛操作，多次更新起始点到其他点的最短路。

该算法适用于边权值非负的图。

C、Floyd算法：Floyd算法通过迭代计算任意两点之间的距离来找到最短路径。

该算法适用于边权值可以是任何实数的图。

3、最短路径的应用最短路径的应用十分广泛，以下是几个实际应用场景的例子：A、导航：最短路径可用于帮助我们规划驾车或步行路线。

例如，谷歌地图利用最短路径算法帮助用户寻找最合适的路线。

B、运输：最短路径可用于计算货车或船只的最佳路线。

例如，国家邮政公司使用最短路径算法优化邮递路线。

C、电器布线：最短路径可帮助我们规划电气线路。

例如，一个高层建筑物中，我们需要通过最短路径算法来找到电路的最佳路径。

D、金融：最短路径可用于计算银行间的最佳借贷路线。

例如，银行可以使用最短路径算法来计算最优的借贷方案。

4、总结最短路径是一个十分有用的数学概念，可以应用于各个领域。

在八年级上册，我们学习了最短路径的定义、计算方法和应用场景。

希望本文能够帮助大家更好地理解最短路径的相关知识。

最短路径算法例题

最短路径算法例题最短路径算法是图论中非常重要的算法之一，用于找到两个顶点之间的最短路径。

最短路径问题在实际生活中有很多应用，例如导航系统中的路线规划、网络中的数据传输等。

下面我们给出一个例题来说明最短路径算法的应用。

假设我们有一个城市的地图，其中包含了多个交叉路口和道路，每个道路都有一个权值表示该道路的长度。

我们需要找到从起点到终点的最短路径。

给定以下城市地图示例：```A/2 5/B---3---C| |4 6| |D---1---E```其中，A、B、C、D、E代表交叉路口，数字代表道路的长度。

现在我们要找到从起点A到终点E的最短路径。

我们可以使用Dijkstra算法来解决这个问题。

Dijkstra算法的基本思想是通过不断扩展路径，更新起点到每个顶点的最短路径。

具体步骤如下：1. 初始化距离数组dist，起点到每个顶点的距离初始设为无穷大，起点到自身的距离为0。

2. 选择起点A作为当前顶点，更新起点到A相邻顶点的距离。

对于起点A的相邻顶点B和C，更新dist[B] = 2和dist[C] = 5。

同时将A标记为已访问。

3. 在未访问的顶点中选择距离起点最近的顶点作为当前顶点，这里选择B作为当前顶点。

更新起点到B的相邻顶点D的距离，即更新dist[D] = 6。

同时将B标记为已访问。

4. 重复步骤3，选择距离起点最近的未访问顶点作为当前顶点，直到终点E被标记为已访问。

5. 最终得到起点到终点的最短路径长度为dist[E] = 7。

在本例中，起点到终点的最短路径是A->B->D->E，总长度为7。

最短路径算法是图论中的经典算法之一，有多种实现方式，包括Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法等。

不同的算法适用于不同的问题场景，选择合适的算法可以提高计算效率。

总结起来，最短路径算法可以帮助我们在图中找到起点到终点的最短路径，解决实际生活中的路径规划问题。

行测最短路径问题

例1、如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报．在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间。
解析：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线。作点A关于河岸的对称点 A′，即作 AA′垂直于河岸，与河岸相交，连接A′B交河岸于一点O，这时O点就是饮马的最好位置，连接 OA，此时 OA＋OB就是侦察员应选择的最短路线
公务员考试行测：最短路径问题
在公务员行测考试中，几何问题可以称为是必考题型之一。在这几年公务员行测考试中，最短路径问题常常出现在题卷上，掌握好一些核心原则，可以有效避免在此类题型中出现错误。
一、平面最短路径
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
“平面内连结两点的线中，直线段最短。”
在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线。像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法
比较三条路线，显然情形①中的路线最短，所以小虫从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点的路线是最短路线，它的长度是5个单位长度．
②从D′点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点．将这两个面摊开在同一平面上，同理求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线，有：D′B2＝22+（1+4）2=29。
③从D′点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达B点，将这两个平面摊开在同一平面上，同理可求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线，D′B2=（2+4）2+12=37。
二、空间最短路径
想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线．

13.4最短路径问题(第一课时)课件人教版

距离最短，在图中画出该点的位置．
C
在AB上求作一点P，
使得PC+PD最短．
D
A
B
初中数学
在AB上求作一点P，使得PC+PD最短．
C
作法：
D
（1）作点C关于AB的对称点C′；
A
PB
（2）连接DC′交AB于点P；
（3）则点P即为所求的点.
C′
初中数学
初中数学
练习
有两棵树位置如图，树的底部分别为A，B，地上有一只昆虫沿着A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处．问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．
总结：① 将实际问题抽象成数学 ①分析题目中的定点和动点，转化为我们熟悉的最短路径问题．
有两棵树位பைடு நூலகம்如图，树的底部分别为A，B，地上有一只昆虫沿着A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处．问小鸟飞至AB之间何
处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．
问题，用数学语言表达．（2）连接CD′交AB于点P；
如图，已知点D，点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为__________.
如图，在直线 l 上求作一点C，使得CA+CB最短．
③ 用符号语言证明结论．有两棵树位置如图，树的底部分别为A，B，地上有一只昆虫沿着A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处．问小鸟飞至AB之间何
一点M，使PM+MQ最短．有两棵树位置如图，树的底部分别为A，B，地上有一只昆虫沿着A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处．问小鸟飞至AB之间何

求最短路径的方法

求最短路径的方法最短路径搜索是一种流行的图论技术，可以用于从一个点到另一个点查找最短的路径。

它是一个比较有用的工具，可以用于地图导航，路径规划，电路设计和物流路径规划等场合。

本文旨在为读者介绍最短路径搜索的基础原理，以及一些实用的最短路径搜索算法。

首先，让我们来回顾一下最短路径搜索的基本概念。

最短路径搜索是一种算法，它可以根据给定的情况，搜索一条从起点到终点的最短路线。

一条路径的长度是指其中所有节点之间的距离之和，可以表示为直线距离或各个节点之间的距离，也可以代表物理成本，如行驶时间，油耗等。

最短路径搜索通常要求在有效的时间内找到最优路径。

其次，最短路径搜索的算法有许多种，其中较为常见的有贪心算法、Dijkstra算法和A*算法。

贪心算法是一种用于寻找最优解的方法，其核心思想是每步都选择在当前状态上看起来最优的选择，从而得到最终的最优解。

它每次都会把最有利的选择都放在前面，从而比较容易得到最短路径。

但是，它只能用于无向图中，而且它不能保证每条路径的最短性。

Dijkstra算法也是一种最短路径搜索算法，它可以在图形中搜索最短路径，包括有向图和无向图。

它的工作原理是可以把图中的每一条边的权重看作是一个节点到另一个节点的距离，然后不断更新每个节点到源节点的最小距离，从而最终得到一条最短路径。

不过，它不能处理有负权重边的情况。

最后，A*算法也是一种最短路径搜索算法，它可以用于求解有向图和无向图中的最短路径。

它是一种基于启发式搜索算法，是基于节点之间距离估计值（即启发函数）的最短路径搜索算法。

它在搜索的过程中，可以根据预先设定的启发函数的值来选择下一个要搜索的节点，从而有效减少搜索过程中的无效搜索。

总的来说，最短路径搜索是一种有效的图论技术，求最短路径的方法有贪心算法、Dijkstra算法和A*算法等，读者可以根据实际情况选择合适的算法进行求最短路径。

最后，搜索最短路径时，可以考虑到节点之间的各种距离，如行驶时间等，以确保搜索结果的准确性。

勾股定理--与最短路径问题

17.1(11)勾股定理--与最短路径问题一．【知识要点】1.两点之间线段最短：⑴将军饮马型；⑵几何体上两点最短型2.垂线段最短型3.造桥选址型二．【经典例题】1．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm .2．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，点B 距离上边缘1cm,一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm .3．如图，圆柱形容器中，高为0.4m ，底面周长为1m ，在容器内壁．．离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，与蚊子相对．．的点A 处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离（容器厚度忽略不计）.4.编制一个底面半径为6cm 、高为16cm 的圆柱形花柱架,需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根,如图中的111AC B ,222,A CB ,则每一根这样的竹条的长度最少是__________．5.如图，圆柱底面半径为cm ，高为9cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B在同一高上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为______.6.一只蚂蚁从长为4cm,宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________cm 。

7.已知 A （1，1）、B （4，2）．P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值.8．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是__________dm.2A B三．【题库】【A 】1.如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A 出发，在盒子的表面上爬到点C 1，已知AB=7cm ，BC=CC 1=5 cm ，则这只蚂蚁爬行的最短路程是________.2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是________．3.如图，∠ABC ＝30°，点D 、E 分别在射线BC 、BA 上，且BD ＝2，BE ＝4，点M 、N 分别是射线BA 、BC 上的动点，当DM ＋MN ＋NE 最小时，（DM ＋MN ＋NE ）2的值为（）A 、20B 、26C 、32D 、36【B 】1.如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（） A.23 B. 26 C.3 D.6A 1B 1C 1D 1 A B C D2.如图，一个无盖的长方体长、宽、高分别为8cm 、8cm 、12cm ，一只蚂蚁从A 爬到C 1，怎样爬路线最短，最短路径是多少？3．如图，在Rt ABC ∆中，90,45,2B BCA AC ︒︒∠=∠==，点D 在BC 边上，将ABD ∆沿直线AD 翻折，点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，连接,PE PC ，则PEC ∆的周长的最小值为（）A ．22-B ．2C ．21+D ．14．如图，已知圆柱底面的周长为4dm ，圆柱高为2dm ，在圆柱的侧面上，过点A 和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A ．4dmB ．2dmC ．2dmD ．4dm8cm 8cm12cm【C 】 1.（8分）如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A 和李庄B 送水，已知张村A. 李庄B 到河边的距离分别为2km 和7km ，且张、李二村庄相距13km.(1)水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短?请在图中设计出水泵站的位置；(2)如果铺设水管的工程费用为每千米1500元,为使铺设水管费用最节省,请求出最节省的铺设水管的费用为多少元?2.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=DC=5，点P 在BC 上移动，则当PA+PD 取最小值时，PA+PD 长为（）A ．8 B.4+15 C ．152 D ．1723.如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点 A 旋转，当 AC ′、AD ′分别与 BC 、CD 交于点 E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（）A.2B.23C.2＋3D. 44.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，点E 是BC 中点，点F 是边CD 上的任意一点，则△AEF 的周长最小时值为( )A ．17B ．21C ．13+41 D. 13+345.如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（）。

指定起点,中间点,和终点的最短路径

指定起点,中间点,和终点的最短路径在计算机科学和网络技术领域，求解指定起点、中间点和终点的最短路径是一个常见且重要的问题。

最短路径问题可以应用于导航系统、网络路由以及交通规划等领域，可以帮助我们找到从一个地点到另一个地点的最短路径，从而节省时间和资源。

在图论中，最短路径指的是在一个加权有向图或无向图中，找到连接起点和终点的路径中，具有最小权值和的路径。

Dijkstra算法是一种常用的算法来解决最短路径问题。

该算法通过逐步扩展离起点最近的节点来逐渐确定起点到其他节点的最短路径。

同时，还有其他一些算法如Bellman-Ford算法和A*算法也可以用来解决最短路径问题。

在实际应用中，最短路径算法常常被应用于导航系统中。

比如，当我们在使用地图应用时，输入起点和终点，系统就会计算出最短路径并为我们提供导航指引。

这一过程中，系统会根据地图上的道路网络、交通状况以及实时数据等信息来确定最短路径，并为我们提供最优的行驶路线。

此外，最短路径算法也在网络路由中扮演着重要的角色。

在网络通信过程中，数据包需要经过一系列的路由器来到达目的地。

路由器使用最短路径算法来确定转发数据包的最佳路径，以确保数据能够快速准确地传递。

除了网络领域，最短路径问题还在交通规划中起到关键作用。

城市交通管理部门可以利用最短路径算法来规划交通网络，优化道路设计，缓解交通拥堵问题。

通过分析交通数据和道路网络，可以找到最短路径，从而提供高效的交通方案，改善城市交通状况。

总之，指定起点、中间点和终点的最短路径问题在互联网和计算机科学领域中具有重要意义。

通过使用最短路径算法，我们能够在复杂的网络结构中找到最优的路径，实现高效的数据传输、导航引导以及交通规划。

随着技术的发展和算法的改进，最短路径问题的求解效率将不断提高，为我们的生活和工作带来更多便利。

如何求最短线路

如何求最短线路？
问题详细：
如何求最短线路？
问题答案:
要想求出最短的爬行路线，关键是在侧面展开图中求出扇形的圆心角，
侧展扇形的弧长是：2×π×r=2×π×1=2π，
圆锥的母线长为4，所以，扇形的半径为4，
举一反三：
【举一反三】
典例：如图1，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6ｍ的正三角形ABC，母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是ｍ．（结果不取近似数）．
思路导引：一般来说，要求小猫所经过的最短路程，须将圆锥的侧面图展开，进而根据“两点之间，线段最短”得出结果．
圆锥的侧面展开图为扇形（如图２）．
由题意知，底面圆的直径BC=6m,
故底面周长等于6πm．
设圆锥的侧面展开后扇形圆心角为ｎ°．
因为底面周长等于展开后扇形的弧长，且母线长
AB=6m,所以6π= ,解得ｎ＝180°，所以∠BAP=90°．
在Rt△BAP中，由勾股定理，得[来源:][来源:学科网]
BP===3(m)．
标准答案：小猫经过的最短路程是3ｍ．。

人教版初中数学八年级上册13.4最短路径问题(教案)

（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示最短路径的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“最短路径在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《最短路径问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过如何找到两点间最短距离的情况？”（如从家到学校的最短路线）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索最短路径的奥秘。
（3）在复杂图形中寻找最短路径时，可以引导学生从简单图形出发，逐步增加难度，让学生掌握解题方法；
（4）结合实际应用，可以设计一些案例，如旅行商问题、工程选址问题等，指导学生如何将所学知识运用到实际中。
在教学过程中，教师应针对这些难点和重点，运用生动形象的语言、具体实例和操作演示，帮助学生理解、掌握和运用相关知识。同时，注意关注学生的反馈，适时调整教学方法和进度，确保学生透彻理解本节课的核心内容。
（3）在实际图形中寻找最短路径，如三角形、四边形等；
（4）将现实生活中的问题转化为数学模型，利用数学知识求解。
举例：讲解最短路径概念时，可以通过实际生活中的例子（如地图上两点间的最短距离）进行说明，使学生理解并掌握这个核心概念。
2.教学难点
（1）如何将实际问题抽象为数学模型，找到最短路径；

初二数学第9讲：最短路径(学生版)

第9讲最短路径）知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.例：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）例：如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。

例：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？例：如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。

四、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。

例:一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的半径为多少？（5或4）四、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽．可求出最短路程例：如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB= ，BC=3，一只蚂蚁，要从A 点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A．7B．C．D．5五、在长方体（正方体）中，求最短路程1）将右侧面展开与下底面在同一平面内，求得其路程2）将前表面展开与上表面在同一平面内，求得其路程3）将上表面展开与左侧面在同一平面内，求得其路程了然后进行比较大小，即可得到最短路程.例：有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．5 cm B．cm C．4 cm D．3 cm例：如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）A．4.8B．C．5D．例：有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．例：如图，在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）例：如图，AB为⊙O直径，AB=2，OC为半径，OC⊥AB,D为AC三等分点，点P为OC上的动点，求AP+PD的最小值。

最短路径问题课件

B
·
l
A
·
B′
C
C′
追问4 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？
运用新知
练习如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．
追问2 利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？如何解决？
新课推进
M
解：如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.
A
B
C
P
Q
山
河岸
大桥
新课推进
问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
B
A
新课推进
追问1 如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
B
A
l
新知探究
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马”。你能将这个问题抽象为数学问题吗？
B
A
l
新知探究
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
B

最短路径实际生活中的应用

最短路径实际生活中的应用
最短路径是一种基本的图论算法，它可以找到图中两个节点之间的最短路径。

在实际生活中，最短路径算法可以应用于许多场景，例如：
1. 地图导航：现代导航系统使用最短路径算法来计算出两个地点之间的最短路线。

这使得驾驶者可以选择最快或最短的路线来到达目的地。

2. 物流管理：在仓储和物流管理中，最短路径算法可以用来确定货物在仓库之间的最佳路线，以最大程度地减少运输时间和成本。

3. 交通控制：最短路径算法可以帮助城市规划者优化城市交通流量，减少交通拥堵。

这种算法可以用来设计最佳的公共交通路线和交通信号灯控制系统。

4. 通信网络：在计算机网络和通信系统中，最短路径算法可以用来确定数据包从源节点到目的节点的最短路径。

这有助于提高网络性能和减少通信延迟。

5. 社交网络：最短路径算法可以应用于社交网络分析中，帮助研究者识别社交网络中的核心节点和社区结构。

总之，最短路径算法在实际生活中有广泛的应用，这些应用不仅有助于提高生活质量，还有助于提高生产效率和经济效益。

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最短路径问题

最短路径问题最短路径问题是图论中一个重要的研究领域，即求解两个节点之间的最短路径。

在实际生活中，最短路径问题有着广泛的应用，例如导航系统、交通规划以及网络通信等领域。

本文将介绍最短路径问题的定义、常见算法以及应用实例。

一、定义最短路径问题可以用来求解从一个节点到另一个节点的最短路径。

在图论中，最短路径通常指的是路径上的边的权重之和最小。

图可以由节点和边组成，边可以有权重，表示两个节点之间的距离或成本。

最短路径问题的目标是找到两个节点之间的路径，使得路径上的边的权重之和最小。

二、算法1. Dijkstra算法Dijkstra算法是解决最短路径问题的经典算法之一。

该算法采用贪心策略，逐步确定起点到其他节点的最短路径。

具体步骤如下：（1）初始化距离数组，起点到起点的距离为0，所有其他节点的距离为无穷大。

（2）选择一个未被访问过的节点，标记为当前节点。

（3）对于当前节点的所有邻居节点，更新其距离为当前节点距离加上边的权重，并更新最短路径。

（4）继续选择未被访问过的节点中最短路径最小的节点，标记为当前节点，重复步骤（3）。

（5）重复步骤（3）和（4），直到所有节点都被访问过。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的数量。

2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一种解决最短路径问题的算法。

与Dijkstra 算法不同，Bellman-Ford算法可以处理带有负权边的图。

该算法通过迭代更新距离数组，逐步确定最短路径。

具体步骤如下：（1）初始化距离数组，起点到起点的距离为0，其他节点的距离为无穷大。

（2）对于图中的每条边，重复以下步骤：a. 从边的起点到终点的距离是否可以通过起点到起点的距离加上边的权重来达到更小值。

b. 如果是，则更新终点的距离为该更小值。

（3）重复步骤（2）|V|-1次，其中V为节点的数量。

Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为节点的数量，E为边的数量。

最短路径问题集体备课

A' M
C. .A
.B
O
.N
D .B'
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马, 然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.
A′ C
D
B′
A B
建立模型，解决问题
如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，
求作:OM上一点B, ON上一点C, 使AB+BC+AC最小
. A' B.
作法（1）作点A关于OM、 O
ON的对称点A’、A”
M
.A .N . C
A''
(2)连结A'和A''，交OM 于B，交ON于C。
则点B, C为所求。
数学问题(三)：一点在两相交直线内部
A
如图，p是∠ AOB内
的一点，如何在OA
O
.P
和OB上各取一点 Q,R使三角形PQR的
周长最小？
B
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。
数学问题(四)：两点在两相交直线内部
已知： MON和 MON内两点A、B。求作：点C和点D,使得点C在OM上，点D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。
建立模型，解决问题
如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边 OM后，反弹击中黑球？