2-1结构动力学(单自由度和阻尼)解析

-y
T t

v
sin t
T t
0
A sin t
-A
（2） ※结构的自振周期和圆频率
（natural period and natural circular frequency ）
周期 完成一次振动需要的时间
T
2

频率 单位时间内完成振动的次数
2 y y 0
为什么要讨 论这种简单 模型？
这种理想情况所得到的某些结果，可以相当精确地反映实际 结构的一些动力特性；可以与有阻尼情况加以对比，以便更好地 了解阻尼的作用。
（1）方程的解
k m
2
y 0 y
2
通解 代入初始条件 得动位移为
y C1 cost C2 sin t
(3) 弯矩图自乘，求柔度系数。
l3 l 2 l 1 l l 2 l 1 l EI 2 3 2 2 2 2 3 2 8 EI 2
(4)
8 EI ml 3 T 2 ml 3 8 EI
例2 求图示单层刚架的自振频率和周期
m EI1=∞ EI EI 体系 1 h 6i/h 6i/h 单位侧移时的弯矩图 1 k 12i/h2 12i/h2 1
y 0 y0 y 0 v0
y (t ) y 0 cost
v0

sin t
（1）方程的解
y(t ) y0 cost v0

sin t
y(t ) A sin t
振幅
（amplitude of vibration）
A
y0
2
0 y v0 2 ＝ y0
特征根 一般解
2 2 2 0
2
2
初始相位角
y0 y0 arctan ＝arctan y v 0 0
y(t ) A sin t
y y

T t
0
y cos t
振动将以 y 一个连续地 v 定常幅度振 0 动。经过一 v y 固定时段又 恢复原运动 A 状态。
m 2 k 0

k m
练习
1. 计算图示结构的自振频率。
m
l /2 EI l /2 l /2
m
EI l /2
m
l /2
EI
l /2
ω1‫ ׃‬ω2 ‫ ׃‬ω3= 1 ‫ ׃‬1.512 ‫ ׃‬2
结构约束越强,其刚度越大；刚度越大,其自振动频率也越大。
2. 求图示体系的自振频率。
g y st
y st m T 2 2 k g
频率只取决于体系的质量和刚度，而与外界因素 无关，是体系本身固有的属性，所以又称为固有频率
（natural frequency）。
（3）简谐自由振动的特性
y(t ) Asin( t )
(t ) A 2 sin(t ) y 加速度为： 惯性力为： FI (t ) m (t ) mA 2 sin(t ) y
既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅 值出现时间也一样，于是可在幅值处建立运动方程，
此时方程中将不含时间 t ，这样就把微分方程转化为
代数方程了，使计算得以简化。
例题
例1 求图示伸臂梁体系的自振频率和周期
EI m
解
(1) 静定梁，采用柔度法 (2) 画质体单位力下的弯矩图。
l
l/2
l/2
1
2. 有阻尼自由振动
cy ky FP (t ) m y
FP(t)=0
cy ky 0 m y
k c , 2 m m
2
2y y 0 y
2
2. 有Leabharlann Baidu尼自由振动
2 y 2y y 0
特征方程
m/2
EI EI EI
m
l
2 l3 11 3 EI

l
1 3 2l 3 m 2 3EI
EI ml 3
3. 质点重W，求图示体系的自振频率。
k11 k
EI k
3EI l3
l
m W / g
3EI k 3 l g W
4. 求图示体系的自振频率。
m
EI EI1=∞ EA l
1 f 2 T
圆频率 2π个单位时间内完成振动的次数，或单位时间内转的周数
2 2 f T
（2） ※结构的自振周期和圆频率
（natural period and natural circular frequency ） ？ ？ ？
k 1 g m m W
在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按 正弦规律变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同 一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。
（3）简谐自由振动的特性
它们的幅值产生于 sin(t ) 1 时，其值分别为：
y A
0
A y
0
2
FI0 mA 2
B EI= l C
3
A
l /2
k l /2
D
m1
B

k
C
FI0 1
FS
m2
FI02
l 3 FI02 l FS l 0 2 2 l 2 0 2 FI 1 m1 A1 m 2 m 3l l 2 2 2 FI 2 m 2 A2 m 3 2 2 FS kl FI0 1
1
k
隔离体
解
(1) 超静定刚架，采用刚度法 (2) 画质体发生单位位移时的弯矩图。
2 k 24 i h (3) 取隔离体，列平衡方程，求刚度系数
(4) 24 i mh2
T 2 mh2 24i
例3 求图示体系的自振频率 解：在振幅处列平衡方程 1 m2 m m1 m MB 0
第二章
单自由度体系的振动
2.2 单自由度体系的自由振动
Free Vibration of Single Degree of Freedom Systems
1. 无阻尼自由振动
cy ky FP (t ) m y
ky 0 m y
k m
2
c =0, FP(t)=0