概率论习题解答第章

第

5章习题答案

三、解答题

1. 设随机变量X 1，X 2，…，X n 独立同分布，且X ～P (?)，∑==n

i i X n X 1

1，试利用契比谢夫不等式

估计}2

|{|λλ<-X P 的下界。

解：因为X ～P (?)，∑∑===⋅===n i i n i i n n

X E n X n E X E 111

)(1)1()(λλ

由契比谢夫不等式可得

2. 设E (X ) = – 1，E (Y ) = 1，D (X ) = 1，D (Y ) = 9，? XY = – ，试根据契比谢夫不等式估计P {|X + Y | ? 3}的上界。

解：由题知

()()()Y X Y X E E E +=+=()11+-=0 Cov ()Y X ,=()()Y D X D xy ⋅⋅ρ=()915.0⨯⨯-=

所以{}{}9

7

303≤

≥-+P =≥+)(Y X Y X P

3. 据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布．现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的．求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率．

解：设i 个元件寿命为X i 小时，i = 1 ,2 , ...... , 16 ，

则X 1 ，X 2 ，... ，X 16独立同分布，且 E (X i ) =100，D (X i ) =10000，i = 1 ,2 , ...... , 16 ，

416

1

161

106.1)(,1600)(⨯==∑∑==i i i i D E X X ，

由独立同分布的中心极限定理可知：

∑=16

1

i i

X

近似服从N ( 1600 , ⨯，所以

⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑=1920161i i X P =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-∑=19201161i i X P ⎪⎪⎭

⎪

⎪⎬⎫

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤⨯--=∑=1600001600192010000

6.116001161i i X P

()8.01Φ-==1- =

4. 某商店负责供应某地区1000人商品，某种商品在一段时间内每人需要用一件的概率为，假定在这一时间段各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以%的概率保证不会脱销（假定该商品在某一时间段内每人最多可以买一件）．

解：设商店应预备n 件这种商品，这一时间段内同时间购买此商品的人数为X ， 则X ~ B （1000，），则E (X ) = 600，D (X ) = 240， 根据题意应确定最小的n ，使P {X ≤n }= %成立.

则P {X ≤n })75.2(997.0)240

600

(240600240

600ΦΦP ==-≈⎭⎬⎫⎩

⎨

⎧-≤

-=n n X 所以6.64260024075.2=+⨯=n ，取n =643。

即商店应预备643件这种商品，才能以%的概率保证不会脱销。

5. 某种难度很大的手术成功率为，先对100个病人进行这种手术，用X 记手术成功的人数，求P {84 < X < 95}．

解：依题意, X ~ B （100，），则E (X ) = 90，D (X ) = 9，

6. 在一零售商店中，其结帐柜台替顾客服务的时间（以分钟计）是相互独立的随机变量，均值为，方差为1．求对100位顾客的总服务时间不多于2小时的概率．

解：设柜台替第i 位顾客服务的时间为X i ，i = 1,2,3.....100. 则X i ，i = 1,2,3.....100独立同分布，且E （X i ）=，D (X i )=1，所以 即对100位顾客的服务时间不多于两个小时的概率为.

7. 已知笔记本电脑中某种配件的合格率仅为80%，某大型电脑厂商月生产笔记本电脑10000台，为了以%的把握保证出厂的电脑均能装上合格的配件，问：此生产厂商每月至少应购买该种配件多少件？

解：设此生产厂商每月至少应购买n 件该种配件，其中合格品数为X ，则X ~ B (n ，, =P {X ?10000}=)4.08.010000(1}4.08.01000016.08.0{n

n

n n n

n X P --=-≥

-Φ ，

解得 n =12655

即此生产厂商每月至少应购买12655件改种配件才能满足以%的把握保证出厂的电脑均能装上合格的配

件。

8. 已知一本300页的书中，每页的印刷错误的个数服从参数为的泊松分布，试求整书中的印刷错误总数不多于70个的概率．

解：记每页印刷错误个数为i X ，i =1，2，3，…300， 则它们独立同服从参数为的泊松分布，所以E （X i ）=，D (X i )= 所以

9. 设车间有100台机床，假定每台机床是否开工是独立的，每台机器平均开工率为，开工时需消耗电能a 千瓦，问发电机只需供给该车间多少千瓦的电能就能以概率保证车间正常生产？

解：设发电机只需供给该车间m 千瓦的电能就能以概率保证车间正常生产， 记X 为100台机床中需开工的机床数，则X ~ B (100，, E （aX ）=64a ，D (aX ) =100××

33.28.464≥-a

a

m ，所以a a a m 18.758.433.264=⨯+≥

10. 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元．若老人在该年内死亡，公司付给家属1万元．设老年人死亡率为，试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率．

解：设当年内投保老人的死亡数为X ，则X ~ B (10000,。 保险公司在一年内的保险亏本的概率为

所以保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率是 四、应用题