一元二次方程提高训练
初中八年级数学一元二次方程提高练习
初中数学一元二次方程提高练习一、单选题（共12题；共24分）1.已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是（）A. 0B. 1C. −3D. −12.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（）A. B. 且 C. 且 D.3.对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为（）A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根C. 有两个不相等的实数根D. 无法判定4.下列命题正确的是（）A. 若分式的值为0，则x的值为±2．B. 一个正数的算术平方根一定比这个数小．C. 若，则．D. 若，则一元二次方程有实数根．5.已知二次函数，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程的两根之积为（）A. 0B.C.D.6.直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 1个或2个7.规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论①方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x+n＝0是倍根方程.上述结论中正确的有（）A. ②B. ①③C. ②③④D. ②④8.一元二次方程配方后化为（）A. B. C. D.9.关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；② ；③ ．其中正确结论的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则+ 的值是（）A. 3B. ﹣3C. 5D. ﹣511.方程x2+ax+7=0和x2﹣7x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（）A. 9B. 8C. 7D. 612.设是方程的两个实数根，则的值是( )A. -6B. -5C. -6或-5D. 6或5二、填空题（共5题；共5分）13.已知关于的一元二次方程，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实根；②当时，方程不可能有两个异号的实根；③当时，方程的两个实根不可能都小于1；④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为________．14.一元二次方程的解为________．15.已知关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________．16.若方程的根也是方程的根，则________.17.设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝________.三、计算题（共3题；共25分）18.解方程：（1）（x﹣4）2﹣3＝0；（2）4（x﹣3）＝2x（x﹣3）.19.解下列方程：（1）3（5﹣x）2＝2（x﹣5）；（2）x2﹣4x+2＝0.20.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.四、解答题（共2题；共10分）21.阅读下面的例题：解方程x2﹣|x|﹣2＝0解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1，（不合题意，舍去）x2＝﹣2；∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．22.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．若商场要获得10000元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】解：根据题意得，解得；故答案为：B．【分析】把x＝代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．2.【答案】C【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解得k≤ 且k≠0，故答案为：C．【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．3.【答案】B【解析】【解答】解：，，不论k为何值，，即，所以方程没有实数根，故答案为：B．【分析】先根据根的判别式求出“△”的值，再根据根的判别式的内容判断即可．4.【答案】D【解析】【解答】A.当x=2时，分式无意义，故A选项不符合题意；B.1的算数平方根还是1，不符合“一个正数的算术平方根一定比这个数小”，故B选项不符合题意；C.可以假设b=2，a=1，满足，代入式子中，通过计算发现与结论不符，故C选项不符合题意；D. ，当时，，一元二次方程有实数根，故D选项符合题意．故本题选择D．【分析】A选项：当x=2时，分式无意义；B选项：1的算数平方根还是1；C选项：可以让b=2，a=1，代入式子中即可做出判断；根据根的判别式可得到结论．5.【答案】D【解析】【解答】解：∵二次函数，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，可知二次函数图像的对称轴为直线x=0，即y轴，则，解得：a=-2，则关于x的一元二次方程为，则两根之积为，故答案为：D.【分析】根据题意可得二次函数图像的对称轴为y轴，从而求出a值，再利用根与系数的关系得出结果.6.【答案】D【解析】【解答】∵直线不经过第二象限，∴，∵方程，当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，当a<0时，方程为一元二次方程，∵∆= ，∴4-4a>0，∴方程有两个不相等的实数根，故答案为：D.【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况.7.【答案】D【解析】【解答】解：①x2+2x﹣8＝（x+4）(x-2)=0 ,∴x1=-4,x2=2, x1=-2x2, 不是倍根方程，错误；②由题意得：2x12=2, ∴x1=±1，∴x1=1,x2=2,x1=-1,x2=-2, 则a＝x1+x2=±3, 正确；③∵x1=3,x2=, 当x1=2x2时，3m=2n, 当x2=2x1时，n=6m, 错误；④由题意得：n=, ∴mx2-3x+=0, ∴x1+x2=,x1x2=, 整理得：2x12-5x1x2+2x22=0, ∴（x1-2x2）(2x1-x2)=0, ∴x1=2x2, 或x2=2x1，正确；综上，正确的是②④ .故答案为：D.【分析】①用十字相乘法解一元二次方程直接验证即可；②先根据两根之积等于2，分两种情况讨论均符合“倍根方程”的条件；③分两种情况讨论，结合倍根方程的条件可得m和n的关系；④根据反比例函数式，求出m和n的关系，利用一元二次方程根与系数的关系列式整理即可求得两根之间的关系.8.【答案】B【解析】【解答】,,.故答案为：B.【分析】配方法的基本步骤，在方程两边加上一次项系数的一半的平方。
一元二次方程提高题
九年级上辅导一一元二次方程提高题类型一、整体性思维在解题中的应用1、整体求值例、已知m 是一元二次方程x 2－2x －1=0的根,求2m 2－4m 的值。
2、整体代入例、已知x 2－5x －1=0，求x 2+－11的值.3、整体求积 例、在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°,AC+BC=,AB=.求S ⊿ABC.4、变0代入例、当x=时，求式子(4x 3-2012x -2009)2009的值。
类型二、一元二次方程中的规律探究例、已知下列n （n 为正整数）个关于x 的一元二次方程：()x x x x x x n x n n 2222101202230310-=<>+-=<>+-=<>+--=<>……、（1）请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、<n>；（2）请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点。
x2165220091+类型三、方程中的绝对值例、解方程：220x x --=练习：解方程2330x x ---=。
类型四 配方法求二次三项式的最值例、求代数式x 2－4x ＋5的最小值是（ ）练习：1、多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的是（ ）A ．有最大值13B ．有最小值－3C ．有最大值37D ．有最小值12．求证：代数式3x 2－6x ＋9的值恒为正数．3、若M ＝10a 2＋2b 2－7a ＋6，N ＝a 2＋2b 2＋5a ＋1，试说明无论a ，b 为何值，总有M ＞N .练习：1．如果二次三项式是一个完全平方式，那么的值是___．2．若与互为倒数，则实数为___．．3．方程的根是，则可分解为 .4．直角坐标系xOy 中，已知点P (m ，n )，m ，n 满足(m 2＋1＋n 2)(m 2＋3＋n 2)＝8，则OP 的长为（）5．如果一元二方程有一个根为0，则 ．6．已知，求的值．221)16x m x -++（m 12+x 12-x x 0222=--x x 31±=x 222--x x 043)222=-++-m x x m （m =)0(04322≠=-+y y xy x y x yx +-根与系数的关系1．已知α，β是方程x 2+2006x +1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为（ ）2．方程的一个根为另一个根的2倍，则 .3. 若方程043222=-+-a x x 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围为____，则a a a 81622-+--的值等于________。
一元二次方程训练题50道
一元二次方程训练题50道理解一元二次方程是解决数学问题的基础，因此训练题对于加深理解和掌握解题方法非常重要。
以下是50道一元二次方程的训练题：1. 解方程，x^2 4x + 4 = 0。
2. 解方程，2x^2 7x + 3 = 0。
3. 解方程，3x^2 + 5x 2 = 0。
4. 解方程，4x^2 12x + 9 = 0。
5. 解方程，x^2 + 6x + 9 = 0。
6. 解方程，2x^2 + 3x 2 = 0。
7. 解方程，x^2 5x + 6 = 0。
8. 解方程，3x^2 8x 3 = 0。
9. 解方程，4x^2 + 4x + 1 = 0。
10. 解方程，x^2 3x 10 = 0。
11. 解方程，2x^2 11x + 5 = 0。
12. 解方程，3x^2 + 7x 6 = 0。
13. 解方程，x^2 9 = 0。
14. 解方程，2x^2 18 = 0。
15. 解方程，3x^2 27 = 0。
16. 解方程，x^2 2x + 1 = 0。
17. 解方程，2x^2 8x + 8 = 0。
18. 解方程，3x^2 + 6x + 3 = 0。
19. 解方程，x^2 7x + 10 = 0。
20. 解方程，2x^2 5x 3 = 0。
21. 解方程，3x^2 + 4x 4 = 0。
22. 解方程，x^2 4 = 0。
23. 解方程，2x^2 8 = 0。
24. 解方程，3x^2 12 = 0。
25. 解方程，x^2 6x + 9 = 0。
26. 解方程，2x^2 + 2x 4 = 0。
27. 解方程，3x^2 3x 6 = 0。
28. 解方程，x^2 8x + 16 = 0。
29. 解方程，2x^2 12x + 18 = 0。
30. 解方程，3x^2 + 9x + 6 = 0。
31. 解方程，x^2 5 = 0。
32. 解方程，2x^2 20 = 0。
33. 解方程，3x^2 45 = 0。
34. 解方程，x^2 5x + 6 = 0。
人教版九年级上册数学第21章 《一元二次方程实际应用》能力提升练习题(含答案)
人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程实际应用》能力提升练习题基础题训练（一）：限时30分钟1．风筝又称“纸鸢”、“鸢儿”，放风筝是民间传统游戏之一，也是清明时节人们所喜爱的活动．小李打算抓住这一机遇，以每个20元的成本制作了30个风筝，再以每个40元的价格售出，很快就被一抢而空，于是小李计划加紧制作第二批风筝．（1）预计第二批风筝的成本是每个15元，仍以原价出售，若两批风筝的总利润不低于2850元，则第二批至少应该制作多少个风筝？（2）在实际制作过程中，小李按照（1）中风筝的最低数量进行制作，但制作风筝的成本比预期的15元多了a%（a＞10），于是小李决定将售价也提高a%，附近的商户受到小李的启发，也纷纷卖起了风筝，在市场冲击下，小李实际还剩下a%的风筝没卖出去，但仍然比第一次获利多1668元，求a的值．2．新能源汽车投放市场后，有效改善了城市空气质量．经过市场调查得知，某市去年新能源汽车总量已达到3250辆，预计明年会增长到6370辆．（1）求今、明两年新能源汽车数量的平均增长率；（2）为鼓励市民购买新能源汽车，该市财政部门决定对今年增加的新能源汽车给予每辆0.8万元的政府性补贴．在（1）的条件下，求该市财政部门今年需要准备多少补贴资金？3．我市某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品，根据市场需求和生产经验甲产品每件可获利15元，乙产品每件可获利120元，而实际生产中，生产乙产品需要额外支出一定的费用，经过核算，每生产1件乙产品，当天平均每件获利减少2元，设每天安排x人生产乙产品．（1）根据信息填表：产品种类每天工人数（人）每天产量（件）每件产品可获利润（元）甲65﹣x15乙x x（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多650元，试问：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是多少元？4．毎年6月，学校门口的文具店都会购进毕业季畅销商品进行销售．已知校门口“小光文具店“在5月份就售出每本8元的A种品牌同学录90本，每本10元的B种品牌同学录175本．（1）某班班长帮班上同学代买A种品牌和B种品牌同学录共27本，共花费246元，请问班长代买A种品牌和B种品牌同学录各多少本？（2）该文具店在6月份决定将A种品牌同学录每本降价3元后销售，B种品牌同学录每本降价a%（a＞0）后销售．于是，6月份该文具店A种品牌同学录的销量比5月份多了a%，B种品牌同学录的销量比5月份多了（a+20）%，且6月份A、B两种品牌的同学录的销售总额达到了2550元，求a的值．5．重庆不仅是网红城市，更是拥有长安，力帆等大型车企的一座汽车城，为了更好的推广和销售汽车，每年都会在悦来会展中心举办大型车展．去年该车展期间大众旗下两品牌汽车迈腾和途观L共计销售240辆，迈腾销售均价为每辆20万元，途观L销售均价为每辆30万元，两种车型去年车展期间销售额共计5600万元．（1）这两种车型在去年车展期间各销售了多少辆？（2）在今年的该车展上，各大汽车经销商纷纷采取降价促销手段，而途观L坚持不降价，与去年相比，销售均价不变，销量比去年车展期间减少了a%，而迈腾销售均价比去年降低了a%，销量较去年增加了2a%，两种车型今年车展期间销售总额与去年相同，求a的值．基础题训练（二）：限时30分钟6．小王开了一家便利店．今年1月份开始盈利，2月份盈利5000元，4月份的盈利达到7200元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率；（2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？7．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？（2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？8．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的道路（即图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．9．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤．为了保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？10．某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价162元，每星期能卖出96件．（1）已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率；（2）聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售又可增加收入，且每件衬衫售价每降低1元，销售会增加2件，若店主想要每星期获利1750元，应把售价定为多少元？参考答案1．解：（1）设第二批制作x个风筝，（40﹣15）x+（40﹣20）×30≥2850，解得，x≥90，答：第二批至少应该制作90个风筝；（2）[40（1+a%）﹣15（1+a%）]×90（1﹣a%）﹣15（1+a%）×90×a%﹣（40﹣20）×30＝1668，解得，a＝20或a＝5（舍去），答：a的值是20．2．解：（1）设今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为x，由题意，得3250（1+x）2＝6370．解得，x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（舍去）．答：今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为40%；（2）3250×40%×0.8＝1040（万元）．答：该市财政部门今年需要准备1040万元补贴资金．3．解：（1）设每天安排x人生产乙产品，则每天安排（65﹣x）人生产甲产品，每天可生产x件乙产品，每件的利润为（120﹣2x）元，每天可生产2（65﹣x）件甲产品．故答案为：2（65﹣x）；120﹣2x．（2）依题意，得：15×2（65﹣x）﹣（120﹣2x）•x＝650，整理，得：x2﹣75x+650＝0解得：x1＝10，x2＝65（不合题意，舍去），∴15×2（65﹣x）+（120﹣2x）•x＝2650．答：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是2650元．4．解：（1）设班长代买A种品牌同学录x本，B种品牌同学录y本，依题意，得：，解得：．答：班长代买A种品牌同学录12本，B种品牌同学录15本．（2）依题意，得：（8﹣3）×90（1+a%）+10（1﹣a%）×175[1+（a+20）%]＝2550，整理，得：a2﹣20a＝0，解得：a1＝20，a2＝0（舍去）．答：a的值为20．5．解：（1）设去年车展期间迈腾销售了x辆，途观L销售了y辆，依题意，得：，解得：．答：去年车展期间迈腾销售了160辆，途观L销售了80辆．（2）依题意，得：20（1﹣a%）×160（1+2a%）+30×80（1﹣a%）＝5600，整理，得：8a﹣0.64a2＝0，解得：a1＝12.5，a2＝0（舍去）．答：a的值为12.5．6．解：（1）设每月盈利平均增长率为x，根据题意得：5000（1+x）2＝7200．解得：x1＝20%，x2＝﹣220%（不符合题意舍去）答：每月盈利的平均增长率为20%；（2）7200（1+20%）＝8640，答：按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到8640元．7．解：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16﹣2x﹣3x）2+62＝102，即（16﹣5x）2＝64，∴16﹣5x＝±8，∴x1＝，x2＝；∴经过s或sP、Q两点之间的距离是10cm；（2）连接BQ ．设经过ys 后△PBQ 的面积为12cm 2．①当0≤y ≤时，则PB ＝16﹣3y ， ∴PB •BC ＝12，即×（16﹣3y ）×6＝12，解得y ＝4； ②当＜x ≤时，BP ＝3y ﹣AB ＝3y ﹣16，QC ＝2y ，则BP •CQ ＝（3y ﹣16）×2y ＝12，解得y 1＝6，y 2＝﹣（舍去）； ③＜x ≤8时，QP ＝CQ ﹣PQ ＝22﹣y ，则QP •CB ＝（22﹣y ）×6＝12，解得y ＝18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．8．解：设道路的宽x 米，则（32﹣x ）（20﹣x ）＝540，解得：x ＝2，x ＝50（舍去），答：道路的宽是2米．9．解：（1）∵售价每降低1元，每天可多售出200斤，∴售价降低x 元时，每天销售量为：100+200x ．故答案为：200x +100．（2）由已知得：（4﹣2﹣x ）（200x +100）＝300，整理得：2x 2﹣3x +1＝0，解得：x1＝＝0.5，x2＝1，当x＝0.5时，200x+100＝200，∵200＜260，∴x＝0.5不合适．∴销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低1元．10．解：（1）设每次降价的百分率为x，200（1﹣x）2＝162解得，x1＝0.1，x2＝1.9（舍去），即每次降价的百分率是10%；（2）设店主将售价降价x元，（200﹣150﹣x）（20+2x）＝1750解得，x1＝15，x2＝25∴200﹣15＝185，200﹣25＝175，即应把售价定为185元或175元．。
(完整版)一元二次方程培优提高例题
考点一、概念(1)定义:①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．,这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
（2）一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”: ①该项系数不为“0"； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题:例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。
针对练习:★1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是 。
★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值;⑵写出关于x 的一元一次方程.★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m+x n—2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ )A 。
m=n=2 B.m=2，n=1 C.n=2，m=1 D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念:使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用:利用根的概念求代数式的值;典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 .例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。
说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察,再利用特殊根“-1”巧解代数 式的值。
一元二次方程提高题
一元二次方程提高题一．选择题（共10小题）1．一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为（）A．（x﹣3）2=15 B．（x﹣3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=32．若关于x的方程x2+2x﹣3=0与=有一个解相同，则a的值为（）A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或33．若关于x的方程kx2﹣3x﹣=0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k=0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣14．关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（）A．2 B．0 C．1 D．2或05．已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2 B．﹣1 C．D．﹣26．对于方程x2﹣2|x|+2=m，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（）A．1 B．C．2 D．2.57．方程x2﹣|2x﹣1|﹣4=0，求满足该方程的所有根之和为（）A．0 B．2 C．D．2﹣8．已知关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3=0是一元二次方程，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．不能确定9．m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子2m2+2m+2015的值为（）A．2013 B．2016 C．2017 D．201810．三角形两边长分别为5和8，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形的周长是（）A．15 B．17 C．15或17 D．不能确定二．填空题（共5小题）11．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k的值是．12．已知实数m满足m2﹣3m+1=0，则代数式m2+的值等于．13．已知m是方程x2﹣2017x+1=0的一个根，则代数式m2﹣2018m++3的值是．14．关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的两个根是等腰△ABC的两条边长，已知一个根是2，则△ABC的周长为．15．若实数a、b满足（a+b）（a+b﹣6）+9=0，则a+b的值为．三．解答题（共11小题）16．解方程：（x﹣3）（x﹣1）=3．17．解一元二次方程：x2﹣3x=1．18．解方程：（2x+1）2=2x+1．19．4x2﹣3=12x（用公式法解）20．解方程：2x2﹣4x=1（用配方法）21．已知M=5x2+3，N=4x2+4x．（1）求当M=N时x的值；（2）当1＜x＜时，试比较M，N的大小．22．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．23．关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，存不存在这样的实数k，使得|x1|﹣|x2|=？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．24．学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数．购买件数销售价格单价40元不超过30件超过30件每多买1件，购买的所有衬衫单价降低0.5元，但单价不得低于30元25．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B 型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？26．关于x的方程x2+2x+2，其中p是实数．（1）若方程没有实数根，求P的范围；（2）若p＞0，问p为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2017•泰安）一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为（）A．（x﹣3）2=15 B．（x﹣3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=3【分析】方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．【解答】解：方程整理得：x2﹣6x=6，配方得：x2﹣6x+9=15，即（x﹣3）2=15，故选A【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2．（2017•凉山州）若关于x的方程x2+2x﹣3=0与=有一个解相同，则a 的值为（）A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或3【分析】两个方程有一个解相同，可以先求得第一个方程的解，然后将其代入第二个方程来求a的值即可．注意：分式的分母不等于零．【解答】解：解方程x2+2x﹣3=0，得x1=1，x2=﹣3，∵x=﹣3是方程的增根，∴当x=1时，代入方程，得，解得a=﹣1．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，分式方程的解．此题属于易错题，解题时要注意分式的分母不能等于零．3．（2017•齐齐哈尔）若关于x的方程kx2﹣3x﹣=0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k=0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1【分析】讨论：当k=0时，方程化为﹣3x﹣=0，方程有一个实数解；当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k•（﹣）≥0，然后求出两个中情况下的k的公共部分即可．【解答】解：当k=0时，方程化为﹣3x﹣=0，解得x=；当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k•（﹣）≥0，解得k≥﹣1，所以k的范围为k≥﹣1．故选C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．4．（2017•呼和浩特）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（）A．2 B．0 C．1 D．2或0【分析】设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，然后利用判别式的意义确定a的取值．【解答】解：设方程的两根为x1，x2，根据题意得x1+x2=0，所以a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，当a=2时，方程化为x2+1=0，△=﹣4＜0，故a=2舍去，所以a的值为0．故选B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根的判别式．5．（2017•黔东南州）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2 B．﹣1 C．D．﹣2【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=﹣1，利用通分得到+=，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，所以+===﹣2．故选D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．6．（2017•江阴市自主招生）对于方程x2﹣2|x|+2=m，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（）A．1 B．C．2 D．2.5【分析】先把已知方程转化为关于|x|的一元二次方程的一般形式，再根据方程有三个实数根判断出方程根的情况，进而可得出结论．【解答】解：原方程可化为x2﹣2|x|+2﹣m=0，解得|x|=1±，∵若1﹣＞0，则方程有四个实数根，∴方程必有一个根等于0，∵1+＞0，∴1﹣=0，解得m=2．故选C．【点评】本题考查的是根的判别式及用公式法解一元二次方程，先根据题意得出|x|的值，判断出方程必有一根为0是解答此题的关键．7．（2017•雨城区校级自主招生）方程x2﹣|2x﹣1|﹣4=0，求满足该方程的所有根之和为（）A．0 B．2 C．D．2﹣【分析】因为题目中带有绝对值符号，所以必须分两种情况进行讨论，去掉绝对值符号，得到两个一元二次方程，求出方程的根，不在讨论范围内的根要舍去．【解答】解：①当2x﹣1≥0时，即x≥，原方程化为：x2﹣2x﹣3=0，（x﹣3）（x+1）=0，x1=3，x2=﹣1，∵﹣1＜，∴x2=﹣1（舍去）∴x=3；②当2x﹣1＜0，即x＜时，原方程化为：x2+2x﹣5=0，（x+1）2=6，x+1=±，x1=﹣1+，x2=﹣1﹣∵﹣1+＞，∴x1=﹣1+（舍去）∴x=﹣1﹣．则3+（﹣1﹣）=2﹣．故选：D．【点评】本题考查的是解一元二次方程，由于带有绝对值符号，必须对题目进行讨论，对不在讨论范围内的根要舍去．8．（2017•凉山州一模）已知关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3=0是一元二次方程，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．不能确定【分析】根据一元二次方程的定义得出m﹣1≠0，m2+1=2，求出即可．【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3=0是一元二次方程，∴m﹣1≠0且m2+1=2，即m≠1且m=±1，解得：m=﹣1．故选B．【点评】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2．9．（2017•潮阳区模拟）m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子2m2+2m+2015的值为（）A．2013 B．2016 C．2017 D．2018【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2+m﹣1=0，即m2+m=1，然后利用整体代入的方法计算2m2+2m+2015的值．【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1=0的根，∴m2+m﹣1=0，即m2+m=1，∴2m2+2m+2015=2（m2+m）+2015=2+2015=2017．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．10．（2017•市中区三模）三角形两边长分别为5和8，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形的周长是（）A．15 B．17 C．15或17 D．不能确定【分析】求出已知方程的解确定出第三边，即可求出三角形周长．【解答】解：方程x2﹣6x+8=0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）=0，解得：x=2或x=4，当x=2时，三角形三边长为2，5，8，不能构成三角形，舍去；当x=4时，三角形三边长为4，5，8，周长为4+5+8=17，故选B【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及三角形三边关系，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．二．填空题（共5小题）11．（2017•菏泽）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k的值是0．【分析】由于方程的一个根是0，把x=0代入方程，求出k的值．因为方程是关于x的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是0．【解答】解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，把x=0代入方程，得k2﹣k=0，解得，k1=1，k2=0当k=1时，由于二次项系数k﹣1=0，方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0不是关于x的二次方程，故k≠1．所以k的值是0．故答案为：0【点评】本题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定义．解决本题的关键是解一元二次方程确定k的值，过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个条件．12．（2017•镇江）已知实数m满足m2﹣3m+1=0，则代数式m2+的值等于9．【分析】先表示出m2=3m﹣1代入代数式，通分，化简即可得出结论．【解答】解：∵m2﹣3m+1=0，∴m2=3m﹣1，∴m2+=3m﹣1+=3m﹣1+=====9，故答案为：9．【点评】此题主要考查了代数式的化简求值，分式的通分，约分，解本题的关键是得出m2=3m﹣1．13．（2017•北仑区模拟）已知m是方程x2﹣2017x+1=0的一个根，则代数式m2﹣2018m++3的值是2．【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2=2017m﹣1，再利用整体代入的方法得到原式=2017m﹣1﹣2018m++3，然后合并即可．【解答】解：∵m是方程x2﹣2017x+1=0的一个根，∴m2﹣2017m+1=0，∴m2=2017m﹣1，∴原式=2017m﹣1﹣2018m++3=﹣1﹣m+m+3=2．故答案为2．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．14．（2017•威海一模）关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的两个根是等腰△ABC的两条边长，已知一个根是2，则△ABC的周长为14．【分析】利用一元二次方程解的定义，把x=2代入x2﹣2mx+3m=0得m=4，则方程化为x2﹣8x+12=0，利用因式分解法解得x1=2，x2=6，然后利用三角形三边的关系确定三角形三边，再计算它的周长．【解答】解：把x=2代入x2﹣2mx+3m=0得4﹣4m+3m=0，解得m=4，所以方程化为x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6，所以三角形三边为6、6、2，所以△ABC的周长为14．故答案为14．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．15．（2017•曹县模拟）若实数a、b满足（a+b）（a+b﹣6）+9=0，则a+b的值为3．【分析】设t=a+b，则原方程转化为关于t的方程t（t﹣6）+9=0，由此求得t的值即可．【解答】解：设t=a+b，则由原方程得到：t（t﹣6）+9=0，整理，得（t﹣3）2=0，解得t=3．即a+b=3．故答案是：3．【点评】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．三．解答题（共11小题）16．（2017•丽水）解方程：（x﹣3）（x﹣1）=3．【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：方程化为x2﹣4x=0，x（x﹣4）=0，所以x1=0，x2=4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．17．（2017•埇桥区模拟）解一元二次方程：x2﹣3x=1．【分析】配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣3x=1，x2﹣3x+（）2=1+（）2，（x﹣）2=，开方得：x﹣=±，x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．18．（2017•广元模拟）解方程：（2x+1）2=2x+1．【分析】因式分解法求解可得．【解答】解：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x（2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．19．（2017•江汉区校级模拟）4x2﹣3=12x（用公式法解）【分析】利用公式法求解可得．【解答】解：原方程整理为：4x2﹣12x﹣3=0，∵a=4，b=﹣12，c=﹣3，∴△=144﹣4×4×（﹣3）=192＞0，则x==．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．（2017•江汉区校级模拟）解方程：2x2﹣4x=1（用配方法）【分析】方程两边都除以2，配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．【解答】解：方程整理得：x2﹣2x=，配方得：x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，开方得：x﹣1=±，解得：x1=1+，x2=1﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．21．（2017•萧山区模拟）已知M=5x2+3，N=4x2+4x．（1）求当M=N时x的值；（2）当1＜x＜时，试比较M，N的大小．【分析】（1）利用题意列方程5x2+3=4x2+4x，然后利用因式分解法解方程即可；（2）利用求差法得到M﹣N=（x﹣1）（x﹣3），然后根据x的取值范围确定积的符合，从而得到M与N的关系关系．【解答】解：（1）根据题意得5x2+3=4x2+4x，整理得x2﹣4x+3=0，（x﹣1）（x﹣3）=0，x﹣1=0或x﹣3=0，所以x1=1，x2=3；（2）M﹣N=5x2+3﹣（x2+4x）=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3），∵1＜x＜，∴x﹣1＞0，x﹣3＜0，∴M﹣N=（x﹣1）（x﹣3）＜0，∴M＜N．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．注意因式分解的应用．22．（2017•绥化）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4m+17＞0，解之即可得出结论；（2）设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据a+b=﹣2m﹣1＞0，即可确定m的值．【解答】解：（1）∵方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根，∴△=（2m+1）2﹣4（m2﹣4）=4m+17＞0，解得：m＞﹣．∴当m＞﹣时，方程有两个不相等的实数根．（2）设方程的两根分别为a、b，根据题意得：a+b=﹣2m﹣1，ab=m2﹣4．∵2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（﹣2m﹣1）2﹣2（m2﹣4）=2m2+4m+9=52=25，解得：m=﹣4或m=2．∵a＞0，b＞0，∴a+b=﹣2m﹣1＞0，∴m=﹣4．若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为﹣4．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、菱形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△=4m+17＞0；（2）根据根与系数的关系结合菱形的性质，找出关于m的一元二次方程．23．（2017•鄂州）关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，存不存在这样的实数k，使得|x1|﹣|x2|=？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列出关于k的不等式求解可得；（2）由韦达定理知x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，将原式两边平方后把x1+x2、x1x2代入得到关于k的方程，求解可得．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4（k2﹣2k+3）=4k﹣11＞0，解得：k＞；（2）存在，∵x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，∴将|x1|﹣|x2|=两边平方可得x12﹣2x1x2+x22=5，即（x1+x2）2﹣4x1x2=5，代入得：（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）=5，解得：4k﹣11=5，解得：k=4．【点评】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握判别式的值与方程的根之间的关系及韦达定理是解题的关键．24．（2017•皇姑区一模）学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数．购买件数销售价格不超过30单价40元件超过30件每多买1件，购买的所有衬衫单价降低0.5元，但单价不得低于30元【分析】根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案．【解答】解：∵30×40=1200＜1400，∴奖品数超过了30件，设总数为x件，则每件商品的价格为：[40﹣（x﹣30）×0.5]元，根据题意可得：x[40﹣（x﹣30）×0.5]=1400，解得：x1=40，x2=70，∵x=70时，40﹣（70﹣30）×0.5=20＜30，∴x=70不合题意舍去，答：王老师购买该奖品的件数为40件．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出每件商品的价格是解题关键．25．（2017•三门峡一模）随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B 型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为（x+300）元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解；（2）根据总利润=单件利润×销量列出一元二次方程求解即可．【解答】解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，由题意得，=，解得：x=1200，经检验x=1200是原方程的根，则x+300=1500，答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+）=3200，解得：x=1600，答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．【点评】本题考查了一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，注意分式方程应该检验，难度不大．26．（1999•重庆）关于x的方程x2+2x+2，其中p是实数．（1）若方程没有实数根，求P的范围；（2）若p＞0，问p为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根．【分析】（1）换元，令=y，把中根号下的数看成整体，再求p的范围；（2）方程有两个相等的实数根，判别式=0，求出p，再求得两实根．【解答】解：（1）令=y，①则原方程变为y2+2y﹣（p2+2p）=0．（3分）∵△=4+4（p2+2p）=4（p2+2p+1）=4（p+1）2≥0，即y1=p，y2=﹣2﹣p．（6分）若原方程没有实数根，只须解这个不等式组，得﹣2＜p＜0．（9分）（2）∵p＞0，把y1=p代入①，得=p②而y2=﹣2﹣p＜0，舍去．（11分）将②式平方，整理得x2+2x﹣（p2﹣2p）=0．③（12分）令△=4+4（p2﹣2p）=4（p2﹣2p+1）=4（p﹣1）2=0，解得p=1．（15分）当p=1时，原方程有两个相等的实数根．把p=1代入③，得x2+2x+1=0，∴x1=x2=﹣1．（17分）经检验，当p=1时，x1=x2=﹣1是原方程的根．（18分）【点评】本题是换元法解无理方程，注意这个方程无解条件的讨论是解决本题的关键．。
一元二次方程综合提高精选题含答案
一元二次方程综合提高题一、选择题1.若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1m4 >-；③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】C。
【考点】抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】①∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，∴x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误。
②一元二次方程（x－2）（x－3）=m化为一般形式得：x2－5x＋6－m=0，∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴△=b2－4ac=（－5）2－4（6－m）=4m＋1＞0，解得：1m4>-。
故结论②正确。
③∵一元二次方程x2－5x＋6－m=0实数根分别为x1、x2，∴x1＋x2=5，x1x2=6－m。
∴二次函数y=（x－x1）（x－x2）+m=x2－（x1＋x2）x＋x1x2＋m=x2－5x＋（6－m）＋m =x2－5x＋6=（x－2）（x－3）。
令y=0，即（x－2）（x－3）=0，解得：x=2或3。
∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确。
综上所述，正确的结论有2个：②③。
故选C。
2.如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为【】A．3 B．﹣3 C．13 D．﹣13【答案】B。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=a 。
∴x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=a ﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0， 解得，a=﹣3。
中考数学(一元二次方程组提高练习题)压轴题训练附答案
中考数学(一元二次方程组提高练习题)压轴题训练附答案一、一元二次方程1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？【答案】（1）PQ=62cm；（2）85s或245s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．【解析】试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=245；∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y，∴12PB•BC=12，即12×（16-3y）×6=12，解得y=4；②当163＜x≤223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则1 2BP•CQ=12（3y-16）×2y=12，解得y1=6，y2=-23（舍去）；③223＜x≤8时，QP=CQ-PQ=22-y，则1 2QP•CB=12（22-y）×6=12，解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．考点：一元二次方程的应用．2．解方程：x2－2x＝2x＋1.【答案】x1＝2，x2＝2【解析】试题分析：根据方程，求出系数a、b、c，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式x=求解即可.试题解析：方程化为x2－4x－1＝0.∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，∴x ＝420 ＝2±5 ， ∴x 1＝2－5 ，x 2＝2＋5.3．已知：关于的方程有两个不相等实数根． （1） 用含的式子表示方程的两实数根； （2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值． 【答案】（I ）kx 2+（2k －3)x+k －3 = 0是关于x 的一元二次方程． ∴由求根公式，得． ∴或（II ），∴． 而，∴，． 由题意，有∴即（﹡） 解之，得经检验是方程（﹡）的根，但，∴【解析】 （1）计算△=（2k-3）2-4k （k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可； （2）有（1）可知方程的两根，再有条件x 1＞x 2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.请你解答下列问题：4．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m 时，是正比例函数，当x ＞m 时是一次函数．【小题1】只需把x 代入函数表达式，计算出y 的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．5．关于x 的方程()2204k kx k x +++=有两个不相等的实数根． ()1求实数k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1k >-且0k ≠；（2）不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．【解析】【分析】()1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式0V >，由此可以得到关于k 的不等式，解不等式即可求出k 的取值范围.()2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k 的等式，解出k 值，然后判断k 值是否在()1中的取值范围内.【详解】解：()1依题意得2(2)404k k k =+-⋅>V ， 1k ∴>-，又0k Q ≠，k ∴的取值范围是1k >-且0k ≠；()2解：不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，理由是：设方程()2204k kx k x +++=的两根分别为1x ，2x ， 由根与系数的关系有：1212214k x x k x x +⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，212k k +∴-=， 43k ∴=-，由()1知，1k >-，且0k ≠，43k ∴=-不符合题意， 因此不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．【点睛】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。
一元二次方程提高题
一元二次方程1、代数式(x+2)2+(x-2)2的值与8(x 2-2)的值相等，则x=____.2、若方程x 2-5x+m=0的一个根是1，则m=________.3、已知方程2x 2+(k-1)x-6=0的一个根为2，则k=_______.4、若关于x 的二次方程(m+1)x 2-3x+2=0有两个相等的实数根，则m=______.5、若关于x 的一元二次方程mx 2+3x-4=0有实数根，则m 的值为______.6、方程kx 2+1=x-x 2无实根，则k_____ .7、如果x 2-2(m+1)x+m 2+5是一个完全平方公式，则m= .8、已知方程3x 2-2x-1=0的两根是x 1，x 2，则1211x x +=____；2212x x +=____；2112x x x x +=____；221212x x x x +=____； .________)x (x 221=-；12|x x |-=_______；(x 1＋1)(x 2＋1)=_______；1221x x x 1x 1+++=_______. 9、已知2x 2-(2m+1)x+m+1=0的两根之比是2:3,则m=____. 10、关于x 的方程0q px x 2=++的根为21x ,21x 21-=+=，则p=______，q=____.11、已知方程x 2-x+k=0的两根之比为2，则k 的值为_______.12、以3和32-为根的方程是__________________. 13、以2x 2-3x-1=0的两根平方和及倒数和为根的方程是_____________________.14、以2x 2-5x+1=0的两根的平方为根的方程是_____________________.15、以比3x 2-2x-4=0的两根分别大3的数为根的方程是____________________.16、以2x 2-3x-1=0的两根的相反数为根的方程是____________________.17、已知8x 2-(m-1)x+m-7=0的两根异号，且正根的绝对值大，则m 的取值范围是_________.若它的两根互为相反数，则m=_________.若它的两根互为倒数，则m_________.18、关于x 的一元二次方程x 2+2x+m=0的两根差的平方是16，则m=________.19、已知关于x 的方程2x 2-(4k+1)x+2k 2=1有两个不相等实根，则k 的取值范围是___________.20、关于x 的方程(k-2)x 2-(2k-1)x+k=0有两个不相等实根，则k 的取值范围是___________.21、已知方程kx 2-2kx+k=x 2-x+3有两个不相等实根，则k 的取值范围是___________.22、关于x 的方程2x(kx-4)-x 2+6=0无实根，则k 的最小整数值是_______.23、设x 1，x 2是关于x 的方程x 2+4kx+3=0的两实根.y 1，y 2是关于y 的方程y 2-k 2y+p=0的根.若x 1-y 1=2，x 2-y 2=2，则k=____，p=____.24、已知关于x 的方程2x 2+2x+c=0的根是x 1，x 2，则12|x x |-=那么c 的值是____________. 25、关于x 的方程ax 2－（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且有x 1－x 1x 2+x 2=1－a ，则a 的值是____________.26、已知a 、b 是一元二次方程x 2－2x －1=0的两个实数根，则代数式（a －b ）（a+b －2）+ab 的值等于____．27、已知关于x 的方程x 2+（2k+1）x+k 2－2=0的两实根的平方和等于11，则k 的值为 ．28、方程x 2-5x+2=0与方程x 2+2x+6=0的所有实数根的和为___________.29、关于x 的方程ax 2+2x+1=0的两个实数根同号，则a 的取值范围是__________.30、设方程3x 2-5x+m=0的两根分别为x 1，x 2，且6x 1+x 2=0，那么m 的值等于__________.31、若方程x 2+mx-15=0的两根之差的绝对值是8，则m= .32、方程x 2-2(m 2-1)x+3m=0的两个根是互为相反数，则m 的值是 .33、一元二次方程一根比另一根大8，且两根之和为6，那么这个方程是 .34、方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根之和为m ，两根平方和为n ，则11an bm c 22++的值为 . 35、 若一元二次方程的两根x 1、x 2满足关系：x 1x 2+x 1+x 2+2=0，x 1x 2-2x 1-2x 2+5=0.则这个一元二次方程是 .36、已知x 2-(m-1)x-(2m-2)=0两根之和等于两根之积，则m 的值为__________.37、设α、β是方程x 2+x-2012=0的两个实数根，则βαα++22的值为__________. 38、已知实数a 、b 满足等式a 2-2a-1=0，b 2-2b-1=0，求b a a b +的值为 . 39、已知a ，b 是关于x 的方程x 2-(2k+1)x+k(k+1)=0的两个实数根，则a 2+b 2的最小值是 ．40、已知x 1、x 2是方程x 2-3x+1=0的两根，则4x 12+12x 2+11的值为 .41、已知ab ≠0，方程ax 2+bx+c=0的系数满足2b ac 2⎛⎫= ⎪⎝⎭，则方程的两根之比为 . 42、已知α、β是方程x 2＋2x －7＝0的两个实数根。
第二章 一元二次方程能力提升测试题（含解析）
第二章：一元二次方程能力提升测试一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1．已知1=x 是方程012=++px x 的一个实数根，则p 的值是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． ﹣22．已知一元二次方程02=++c bx ax ，若0=+-c b a ，则该方程一定有一个根为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． -13．关于x 的一元二次方程()02212=-+-x x k 有两个不相等的实数根，则整数k 的最小值是( )A ． 1B ． 0C ． 2D ． 34．若关于x 的一元二次方程()()0112222=+++-x m x m 有解，那么m 的取值范围是( )A ．43>m B ．43≥m C ．43>m 且2≠m D ．43≥m 且2≠m 5．若一元二次方程()096222=-++m x m 的一个根为0，则m 等于（ ） A ．﹣3 B ．3 C ．3或-3 D ．9 6．方程()()121+=-+x x x 的解是（ ） A ．2B ．3C ．-1,2D ．-1,37．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数比十位数大3，则这个两位数为（ ）A ．25B ．36C ．25或36D ．－25或－368.三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程216600x x -+=的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）A ．24B ．24或85C ．48D ．859．如果非零实数a 是一元二次方程052=+-m x x 的一个根，a -是方程052=-+m x x 的一个根，那么a 的值等于( )A ． 0B ． 1C ．21D ． 5 10．某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了x 行或列，则列方程得( ) A ．(8－x)(10－x)＝8×10－40 B ．(8－x)(10－x)＝8×10＋40 C ．(8＋x)(10＋x)＝8×10－40 D ．(8＋x)(10＋x)＝8×10＋40二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.若关于x 的一元二次方程062=++bx ax 的一个根为2=x ，则代数式_______62=++b a 12．若关于x 的一元二次方程()01532=+-+x x a 有实数根，则整数a 的最大值是__________13．已知直角三角形两直角边x 、y 的长满足032422=--+-y y x ，则斜边长为_________14．某服装店经销一种品牌服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元，经市场预测发现：在每件降价不超过10元的情况下，若每件每降价1元，则每天可多销售5件，若该专卖店要使该品牌服装每天的盈利为1600元，则每件应降价___________元15.两个奇数，其中一个为另一个的平方，较大奇数与较小奇数的差为110，两个奇数分别为___________16.方程()0142=---p x x 与032=-+px x 仅有一个公共根，那么p 的值为___________三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17.（本题6分）解下列方程：（1）08922=+-x x （2）()()x x x 326237-=-18.（本题8分）关于x 的方程012=++-a ax x 有两个相等的实数根， 求a a a a a a a a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+----+44412222的值．19（本题8分）．已知方程()0612=-+-x k x 是关于x 的一元二次方程．（1）求证：对于任意实数k ，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求k 的值及方程的另一个根．20.（本题10分）．已知关于x 的一元二次方程012=+++n mx x 的一根为2． （1）用含m 的代数式表示n ；（2）试说明：关于y 的一元二次方程02=++n my y 总有两个不相等的实数根．21（本题10分）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝7 cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动．(1)如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，经过几秒后，△PBQ 的面积等于4 cm 2?(2)如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，经过几秒后，PQ 的长度等于102 cm? (3)在(1)中，△PQB 的面积能否等于7 cm 2？说明理由．22（本题12分）．某经销商经销的学生用品，他以每件280元的价格购进某种型号的学习机，以每件360元的售价销售时，每月可售出60个，为了扩大销售，该经销商采取降价的方式促销，在销售中发现，如果每个学习机降价1元，那么每月就可以多售出5个． （1）降价前销售这种学习机每月的利润是多少元？（2）经销商销售这种学习机每月的利润要达到7200元，且尽可能让利于顾客，求每个学习机应降价多少元？（3）在（2）的销售中，销量可好，经销商又开始涨价，涨价后每月销售这种学习机的利润能达到10580元吗？若能，请求出涨多少元；若不能，请说明理由．23（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt △AOB 的两直角边OA ，OB 分别在x 轴，y 轴的正半轴上(OA ＜OB)，且OA ，OB 的长分别是一元二次方程x 2－14x ＋48＝0的两个根．线段AB 的垂直平分线CD 交AB 于点C ，交x 轴于点D ，点P 是直线CD 上一个动点，点Q 是直线AB 上一个动点． (1)求A ，B 两点的坐标；(2)求直线CD 的解析式；(3)在坐标平面内是否存在点M ，使以点C ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为21AB 长？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．。
一元二次方程应用题提高练习含答案
一元二次方程应用题提高练习含答案一元二次方程应用题提高练习含答案1.1.游行队伍有游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行·列数相同，增加了多少行多少列？人，使得队伍增加的行·列数相同，增加了多少行多少列？2.2.一容器装满一容器装满20L 纯酒精，第一次倒出若干升后，用水加满，第二次又倒出同样升数的混合液，再用水加满，容器里只有5L 的纯酒精，第一次倒出的酒精多少升？的纯酒精，第一次倒出的酒精多少升？3. 一拖拉机厂，一月份生产出甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型16台，从二月份起，甲型每月增产10台，乙型每月按相同的增长率逐月递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比为3：2，三月份甲、乙两型产量之和为65台，求乙型拖拉机每月增长率及甲型拖拉机一月份的产量。
乙型拖拉机每月增长率及甲型拖拉机一月份的产量。
4.4.甲乙二人分别从相聚甲乙二人分别从相聚20千米的A 、B 两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B 地后乙还需30分钟才能到达A 地，求乙每小时走多少千米？地，求乙每小时走多少千米？5.5.某公司生产开发了某公司生产开发了960件新产品，需要经过加工后才能投放市场，现在有A ，B 两个工厂都想参加加工这批产品，已知A 工厂单独加工这批产品比B 工厂单独加工这批产品要多用20天，而B 工厂每天比A 工厂多加工8件产品，公司需要支付给A 工厂每天80元的加工费，元的加工费，B B 工厂每天120元的加工费。
元的加工费。
1. A 1. A，，B 两个工厂每天各能加工多少件新产品？两个工厂每天各能加工多少件新产品？2. 2. 公司制定产品方案如下：可以由每个厂家单独完成；也可以由两个厂家同时合作完成。
在加工过程中，公司需公司制定产品方案如下：可以由每个厂家单独完成；也可以由两个厂家同时合作完成。
在加工过程中，公司需要派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费。
一元二次方程提升训练
一元二次方程提升训练1．已知a ，b 是方程x 2+x ﹣1=0的两根，则a 2+2a+1b 的值是_____．2．已知关于x 的代数式x 2+1x 2，当x ＝______时，代数式的最小值为______．3．关于x 的方程x 2-kx+6=0有一根-2,那么这个方程的另一个根是________，k=_______．4．已知x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2-5x+a=0的两个实数根，且|x 1−x 2|=√5，则a=________.5．已知实数a ，b 满足条件a 2−7a +2=0，b 2−7b +2=0(a ≠b)，则ba +ab =_______．6．从﹣2，﹣1，0，1，2，3这六个数中，任取一个数作为a 的值，恰好使得关于x 、y 的二元一次方程组{x −y =ax +y =2 有整数解，且方程ax 2+ax+1=0有实数根的概率是______．7．*若方程x 2﹣4|x|+5＝m 有4个互不相等的实数根，则m 应满足______．8．*已知关于x的一元二次方程ax2﹣（a+2）x+2=0有两个不相等的正整数根时，整数a的值是_____．9．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣3，x2=1（a、b、m均为常数，a≠0），则方程a（x+m ﹣1）2+b=0的解是________．10．*当k的值为________时，关于x的方程x2+kx−1=0与x2+x+(k−2)=0只有一个相同的实数根．11．已知关于x的一元二次方程x2−6x+m+4=0有两个实数根x1，x2，若x1，x2满足3x1=|x2|+2，则m的值为______．12．*设关于x的方程x2﹣2x﹣m+1=0的两个实数根分别为α，β，若|α|+|β|=6，那么实数m的值是_____．一元二次方程提升训练答案1．1．【解析】由韦达定理得出a+b、ab的值，进而得出1b =﹣a，将a代入方程得出a2+a=1，将a2+a、1b整体代入所求式子求值即可.【详解】由题意得：a+b=﹣1，ab=﹣1，∴1b=﹣a，∴a是方程x2+x﹣1=0的根，∴a2+a﹣1=0，即a2+a=1，∴a2+2a+1b=1+a﹣a=1.故答案为1.【点睛】本题主要考查韦达定理以及一元二次方程根的意义. 2．±1, 2【解析】由(x−1x )2=x2+1x2−2可知x2+1x2≥2，即可得到最小值，再通过解方程求出x值即可.【详解】∴(x−1x )2=x2+1x2−2≥0x2+1x2≥2，代数式x2+1x2有最小值为2．当x2+1x2=2时，解得x=±1,故答案为：±1；2．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题关键是利用(x−1x )2=x2+1x2−2确定x2+1x2最小值为2，3．-3 -5【解析】先将该方程的已知根-2代入两根之积公式列出方程，解方程即可求出方程的另一根；然后再求k．【详解】设方程的另一根为x1,根据根与系数的关系可得:x1•x=−x1•（−2）=6，∴x=−2，∴x1=−3，∴x=−2，x1=−3，∴由根与系数的关系可得：x1+x=−ba =−−k1=k,x1+x=−ba =−−k1=k,(−2)+(−3)=−ba =−−k1=k,−5=k.故答案是：【答题空1】-3, 【答题空2】-5.【点睛】解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后确定选择哪一个根与系数的关系式. 4．5【解析】根据根与系数的关系用a 表示出x 1+x 2和x 1x 2，代入已知条件可得到关于a 的方程，则可求得a 的值．【详解】∴x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣5x +a ＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝﹣5，x 1x 2＝a ，∴（x 1﹣x 2）2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝（﹣5）2﹣4a ＝25﹣4a ．∴|x 1﹣x 2|＝√5，∴（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝5，∴25﹣4a ＝5，解得：a ＝5． 故答案为：5．【点睛】本题考查了根与系数的关系，掌握一元二次方程两根之和等于−ba 、两根之积等于ca 是解题的关键． 5．452【解析】由实数a ，b 满足条件a 2﹣7a +2＝0，b 2﹣7b +2＝0，且a ≠b ，可把a ，b 看成是方程x 2﹣7x +2＝0的两个根，再利用根与系数的关系即可求解．【详解】由实数a ，b 满足条件a 2﹣7a +2＝0，b 2﹣7b +2＝0，且a ≠b ，∴可把a ，b 看成是方程x 2﹣7x +2＝0的两个根，∴a +b ＝7，ab ＝2，∴ba +ab =a 2+b 2ab=（a+b ）2−2abab=49−42=452．故答案为：452．【点睛】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把a ，b 看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解题． 6．16【解析】从6个数中找到使得关于x 、y 的二元一次方程组{x −y =ax +y =2 有整数解，且方程ax 2+ax +1=0有实数根的a 的个数后利用概率公式求解即可．【详解】能使得使得关于x 、y 的二元一次方程组{x −y =ax +y =2 有整数解的a 的值有﹣2，0，2共3个数．当a =0时，方程ax 2+ax +1=0无实数根，∴a ≠0．∴方程ax 2+ax +1=0有实数根，∴b 2﹣4ac =a 2﹣4a ≥0且a ≠0，解得：a ＜0或a ≥4，∴使得关于x 、y 的二元一次方程组{x −y =ax +y =2 有整数解，且方程ax 2+ax +1=0有实数根的a 的值只有﹣2，共1个，∴P （使得关于x 、y 的二元一次方程组{x −y =a x +y =2 有整数解，且方程ax 2+ax +1=0有实数根）=16．故答案为：16．【点睛】本题考查了概率公式的应用，二元一次方程组的解以及根的判别式．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 7．1＜m ＜5【解析】方程含有绝对值，先化简原方程为两个方程，再利用一元二次方程有两个不等实数根时，根的判别式∴＞0，建立关于m 的不等式，结合根与系数的关系，即可求得m 的取值范围．【详解】设y＝|x|，则原方程为：y2﹣4y+5＝m，∴方程x2﹣4|x|+5＝m有4个互不相等的实数根，∴方程y2﹣4y+5＝m有2个互不相等的正实数根，设y1与y2是方程y2﹣4y+5＝m的两个根，∴∴＝b2﹣4ac＝16﹣4(5﹣m)＝4m﹣4＞0，y1•y2＝5﹣m＞0，∴m＞1且m＜5，故答案为：1＜m＜5．【点睛】本题考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式∴的关系：(1)∴＞0∴方程有两个不相等的实数根；(2)∴=0∴方程有两个相等的实数根；(3)∴＜0∴方程没有实数根．注意方程中含有绝对值时，要把方程化为两个方程后分析求解．8．a=1．【解析】由一元二次方程的定义可得出a≠0，再利用根的判别式∴=b2﹣4ac，套入数据即可得出∴=（a﹣2）2≥0，可得出a≠2且a≠0，设方程的两个根分别为x1、x2，利用根与系数的关系可得出x1•x2=2，a 再根据x1、x2均为正整数，a为整数，即可得出结论．【详解】∴方程ax2﹣（a+2）x+2=0是关于x的一元二次方程，∴a≠0．∴∴=（a+2）2﹣4a×2=（a﹣2）2≥0，∴当a=2时，方程有两个相等的实数根，当a≠2且a≠0时，方程有两个不相等的实数根．∴方程有两个不相等的正整数根，∴a≠2且a≠0．设方程的两个根分别为x1、x2，∴x1•x2=2，a∴x1、x2均为正整数，∴2为正整数，a∴a为整数，a≠2且a≠0，∴a=1，故答案为：a=1．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：∴找出∴=（a-2）2≥0；∴找为正整数．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，由方程的两根均为整数确定出x1•x2=2aa的值是难点．9．x1＝﹣2，x2＝2【解析】把后面一个方程中的x－1看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．【详解】∴关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1=﹣3，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a（x+m﹣1）2+b=0变形为a[（x－1）+m]2+b＝0，即此方程中x－1＝－3或x－1＝1，解得：x1＝﹣2，x2＝2．故答案为：x1＝﹣2，x2＝2．【点睛】本题考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．10．0【解析】两个方程有一个相同的实数根，则设相同的实数根为a，代入到两方程进行解答，可求出k 的值．求出k值后要验证两方程是否是只有一个相同的实数根．【详解】设相同实根是a 则a 2+ka ﹣1=0，a 2+a +k ﹣2=0 相减得（k ﹣1）a ﹣1﹣k +2=0，即（k ﹣1）a =k ﹣1若k =1，则两个方程都是x 2+x ﹣1=0，有两个相同的根，不合题意 所以k 不等于1． 所以a =k−1k−1=1 即相同实根是x =1，代入方程 12+k ×1﹣1=0，k =0，符合k 为非负数，所以k =0．故答案为：0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，此题有两个关键点，一个是要设出两个方程的相同实数根，代入运算．另外一根为验证所求得的k 值是否符合题意．为易错题． 11．4【解析】由韦达定理得出x 1+x 2=6，x 1·x 2=m +4，将已知式子3x 1= | x 2|+2去绝对值，对x 2进行分类讨论，列方程组求出x 1、x 2的值，即可求出m 的值. 【详解】由韦达定理可得x 1+x 2=6，x 1·x 2=m +4， ∴当x 2≥0时，3x 1=x 2+2， {3x 1=x 2+2x 1+x 2=6 ，解得{x 1=2x 2=4 ， ∴m =4；∴当x 2＜0时，3x 1=2﹣x 2，{3x 1=2−x 2x 1+x 2=6 ，解得{x 1=−2x 2=8，不合题意，舍去. ∴m =4.故答案为4.【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，其中对x 2分类讨论去绝对值是解题的关键. 12．9.【解析】由韦达定理得出α+β=2，αβ=1﹣m ，将|α|+|β|=6左右两边同时平方，利用完全平方公式对方程进行转化， 转化为关于α+β、αβ的形式，分类讨论，解出m 的值即可. 【详解】由韦达定理可得α+β=2，αβ=1﹣m ， ∴|α|+|β|=6，∴（|α|+|β|）2=36， 即（|α|）2+（|β|）2+2|α|·|β|=36， α2+β2+2|α·β|=36，（α+β）2﹣2α·β+2|α·β|=36， 4﹣2（1﹣m ）+2|1﹣m |=36， 当1﹣m ≥0时，方程无解；当1﹣m ＜0时，方程的解为m =9. 故答案为9.【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记常见的转换公式是解题的关键。
一元二次方程综合提高训练卷(20大题)
一元二次方程综合提高训练卷（20大题）1．先化简，再求值：(a−2aa+1)÷a2−2a+1a2−1−a2，其中a是方程x2−x−72=0的解．2．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场每天可多售5件．若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？3．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+14m2+1＝0的两根是一个矩形两邻边的长．（1）m取何值时，方程有两个正实数根．（2）当矩形的对角线长为√5时，求m的值．4．已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0；（1）求证：不论m任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根为x1、x2且满足1x1+1x2=−12，求m的值．5．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．6．每年的3月8日是国际劳动妇女节，是世界各国妇女争取和平、平等、发展的节日，沙坪坝某商店抓住这一机会，将A 、B 两种巧克力进行降价促销活动，在这一天前来购买这两种巧克力的顾客共有400名，每名顾客均购买了一盒巧克力，其中A 、B 两种的巧克力的销售单价分别为90元和50元．（1）若选择购买B 种巧克力的人数不超过购买A 种巧克力数的0.6倍．求至少有多少人选择购买A 种巧克力？（2）“七夕”节是中国的情人节，该商店估计当天购买巧克力的人会比较多，于是提高了A 种巧克力的售价，结果发现“七夕”节当天前来购买巧克力的顾客人数出现了下降，经统计发现与（1）问中选择A 种巧克力的人数最少时相比，A 种巧克力每上涨3元，购买A 种巧克力的人数会下降5人，同时购买B 种巧克力的人数也下降3人，但是B 种巧克力的售价没变，最终“七夕”节期间两种巧克力的总销售额与（1）问中选择A 种巧克力的顾客最少时的两种巧克力的总销售额持平，求“七夕”节当天A 种巧克力的售价．7．西南大学银翔实验中学第二届缤纷科技节于2019年5月份隆重举行，主题：绿色体验•成长﹣玩出你的稀缺竞争力”，本届缤纷科技节有展示类、体验类、竞赛类共40多个项目.4月份，学校对活动中所需物品统一购，其中某一体验类项目需要A 、B 两种材料，已知A 种材料单价32元/套，B 种材料单价24元/套，活动需要A 、B 两种材料共50套计划购买A 、B 两种材料总费用不超过1392元． （1）若按计划采购，最多能购买A 种材料多少套？（2）在实际来购过程中，受多方面因素的影响，与（1）中最多购买A 种材料的计划相比，实际采购A 种材料数量的增加了34a %，B 种材料的数量减少413a %（A 、B 材料的数量均为整数），实际采购A 种材料的单价减少了38a %，B 种材料的单价增加112a %，且实际总费用比按（1）中最多购买A 种材料的总费用多了16元，求a ．8．已知关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣m ＝0有实数根． （1）求m 的取值范围（2）若两实数根分别为x 1和x 2，且x 12+x 22=11，求m 的值．9．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED 边长，易知AE=√2c，这时我们把关于x的形如ax2+√2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0必有实数根；（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE 的周长是6√2，求△ABC面积．10．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足c=2√3，m2+a2m﹣8a＝0，m2+b2m﹣8b＝0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．11．阅读下列材料：求函数y=3x2+2xx2+x+0.25的最大值．解：将原函数转化成x的一元二次方程，得(y−3)x2+(y−2)x+14y=0．∵x为实数，∴△=(y−2)2−4(y−3)×14y=−y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．根据材料给你的启示，求函数y=3x2+x+2x2+2x+1的最小值．12．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出只粽子，利润为元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？13．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．14．观察下面方程的解法x4﹣13x2+36＝0解：原方程可化为（x2﹣4）（x2﹣9）＝0∴（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）＝0∴x+2＝0或x﹣2＝0或x+3＝0或x﹣3＝0∴x1＝2，x2＝﹣2，x3＝3，x4＝﹣3你能否求出方程x2﹣3|x|+2＝0的解？15．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图1和图2发现并验证了平方差公式和完全平方公式．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．【研究速算】提出问题：47×43，56×54，79×71，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图3，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形上面．（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式：47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021．用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）．【研究方程】提出问题：怎样图解一元二次方程x2+2x﹣35＝0（x＞0）？几何建模：（1）变形：x（x+2）＝35．（2）画四个长为x+2，宽为x的矩形，构造图4（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+2）2或四个长x+2，宽x的矩形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积．即（x+x+2）2＝4x（x+2）+22∵x（x+2）＝35∴（x+x+2）2＝4×35+22∴（2x+2）2＝144∵x＞0∴x＝5归纳提炼：求关于x的一元二次方程x（x+b）＝c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并注明相关线段的长）【研究不等关系】提出问题：怎样运用矩形面积表示（y+3）（y+2）与2y+5的大小关系（其中y＞0）？几何建模：（1）画长y+3，宽y+2的矩形，按图5方式分割（2）变形：2y+5＝（y+3）+（y+2）（3）分析：图5中大矩形的面积可以表示为（y+3）（y+2）；阴影部分面积可以表示为（y+3）×1，画点部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5归纳提炼：当a＞2，b＞2时，表示ab与a+b的大小关系．根据题意，设a＝2+m，b＝2+n（m＞0，n＞0），要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图并注明相关线段的长）16．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c＝0的两个实数根，且|x1|+|x2|＝2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c＝0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27＝0，x2﹣2x﹣8＝0，x2+3x−274=0，x2+6x﹣27＝0，x2+4x+4＝0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x﹣12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c＝0是“偶系二次方程”，并说明理由．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．18．“关爱留守儿童，关注农民工子弟教育”已逐渐成为政府以及社会关心的一大民生问题，下表是某电视台2011年一民生栏目组调查的数据：类别现状户数比例A父母常年在外打工，孩子留在老家由老人照顾200B父母常年在外打工，孩子带在身边10%C父母就近在城镇打工，晚上回家照顾孩子25%D父母在家务农，并照顾孩子15%（1）请将统计表中的空缺数据填写完整；（2）若2013年此电视台民生栏目组再次抽查，样本容量不变，但B类所占比例提高到了12.1%，求B类户数平均每年的增长率．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．20．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB 边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．。
解一元二次方程100题(提升练)--初中数学专项训练
解一元二次方程100题(提升练)1解方程：(1)3x-1．2=22-x 2=6(2)3x-22解下列一元二次方程：(1)x2-16=0(直接开平方法)；(2)x2-4x+7=10(配方法)．(3)2x2-3x-5=0(公式法)；(4)3x2+5x-2=0(因式分解法)．3解方程：(1)x2-2x-3=0．(2)x x-2=x-2．4解下列一元二次方程：(1)x2-3x=4；(2)2x-1．2=3x-15解方程：(1)x2-2x-1=0(2)x5x+2=65x+2(3)(2x-1)2-3=0(4)2x2+x-6=0．6解方程．(1)3x x+1；(2)2x2-3x-5=0． =2x+17解下列方程：(1)用配方法解方程：3x2-2x-1=0；(2)2y-1+4(因式分解法)．2=31-2y8选择合适的方法解下列方程：(1)x2-4x-2=0；(2)2x x+3．=6x+39解下列方程：(1)x x+1(2)2x2-3x-1=0．=x+110解方程：(1)x x-2+x-2=0；(2)4x2-8x+1=0．11请选择适当的方法解下列一元二次方程：(1)(x-2)2-9=0(2)x2+2x=3(3)2x 2+4x -1=0(4)x -5 2=2x -1 5-x12解方程：(1)2x 2+4x -1=0；(2)2x x -1 =2x -1．13解方程：(1)x -2 2=1．(2)x x -3 +x =3．14用适当的方法解下列方程：(1)7x 2=21x ；(2)x 2-6x =-8：(3)2x 2-6x -1=0；(4)9x -2 2=4x +1 2.15解下列一元二次方程：(1)x 2-4x =1；(2)x -5 2-2x x -5 =0．16解方程：(1)(x -5)(3x -2)=10；(2)x 2+3x +1=0．17解方程：(1)3x2-2=4x(2)4x-32+x x-3=0 (3)x x-3=6-2x(4)2x2-7x+3=0 18解方程(1)x2-5x-1=0(2)xx-3-4x=119解下列方程：(1)3x-12=x+12(2)3x-52=10-2x (3)x-2x+5=18(4)-3x2-4x+4=020解下列方程：(1)3x2-7x=0(2)x2+3x-4=0(3)x-52=2x-5(4)(3-x)2+x2=521计算：(1)x2+2x+1=9；(2)2x2-x-6=0．22解分式方程：(1)2xx+3+1=72x+6(2)6x+1x-1-3x-1=123解方程(1)x2-2x-5=0(用配方法解)(2)2x x+1=x+124用适当的方法解下列一元二次方程(1)3x-12-27=0；(2)x2-8x-9=0(配方法)．25解方程：(1)4x2=12x；(2)34x2-2x-12=026解方程：(1)3x2-5x-2=0；(2)x+42=5x+4．27用恰当的方法解方程．(1)-x2+3x+4=0；(2)3x2x-1=4x-2．28解下列方程：(1)(x+5)2=2x+34；(2)3t2-2t-1=0(用配方法)．29用适当的方法解下列方程：(1)x x-1=x(2)x2+2x-2=030用适当的方法解下列方程：(1)x2+5x-1=0；(2)7x5x+2；=65x+2(3)3x2+2x=0；(4)x2-2x-8=0．31解方程：(1)x2-4x+3=0；(2)x-3+8=0．2-6x-332解方程：(1)x-52=16；(2)x2-4x+1=0．33解方程：(1)x2-2x-3=0．(2)(x+2)(3x-1)=10．34解方程(1)x(x-1)=2(x-1)；(2)x2+4x+2=035用指定的方法解方程：(1)1x2-2x-5=0(用配方法)(2)x2=8x+20(用公式法)2(3)x-3=10(用适当的方法)3x-12+4x x-3=0(用因式分解法)(4)x+236用适当的方法解方程．(1)2x2+1=3x(2)x-322=3x-137解方程：(1)x x-2=x-2.(2)x2-2x-5=0；38解方程：(1)x2-8x=0．(2)2x-32+x2-9=0．(3)x+1=4x-10． 2=2x-1．(4)x2x-539用适当的方法解方程．(1)2x2+4x-3=0；(2)x x-2=4-x240用适当的方法解方程：(1)x2+x-6=0；(2)m2+5m+7=3m+11．41解方程：(1)x-3=x x-3(2)2x2-4x-5=042解方程：(1)x2+x-12=0；(2)x-1-6=0．2-5x-143用适当的方法解下列方程：(1)2x-2． 2-4=0．(2)x-32=2x3-x 44(1)解方程(用公式法)：x+2=3x+2．2x-3(2)解方程(用因式分解法)：2x-22=x-245解方程：(1)x2+3x-1=0；(2)3(x-1)2=x(x-1)46解方程(1)x2-2x-24=0(2)2x-3=3x x-3 47(1)x-3=0 (2)2x2+4x-6=0；(用配方法)2+4x x-348解下列一元二次方程：(1)x2+5x-24=0(2)3x2=22-x49解方程：(1)x2-4x=4；(2)x+2=12．x+150解方程：(1)x2+8x-1=0(2)x x-2+x-2=051用合适的方法解一元二次方程；(1)x2+8x=9(2)2x+6=(x+3)2=0(4)x2-22x+2=0(3)2x2-7x-1252解下列方程．(1)x(x+4)=-3(x+4)(2)2x2-5x+2=0(公式法)53解方程：(1)x2-4x-3=0；(2)3x x-2=0．-x-254用适当的方法解一元二次方程：(1)x2-2x-8=0；(2)3x x-2．=22-x 55(1)解方程：x2-6x+8=0．(2)解方程：3x2-5x+1=056(1)用配方法解方程：-x2+4x=3(2)解方程：4x2=9x57解方程：(1)2x2-3x+1=0；(2)2x-3+3x+3=6x2-9．58解下列方程：(1)(x-2)2=16；(2)y2-3y+2=0；(3)-2x2+4x+12=0；(4)3x2+6x+15=0．59按要求解下列方程：(1)x-62=16(直接开平方法)；(2)x2-4x+2=0(配方法)；(3)x2+3x-4=0(公式法)；(4)2x+4=x+22(因式分解法)．60解下列一元二次方程：(1)x2-2x-3=0；(2)x x+2=x+2．61用适当的方法解下列方程：(1)4x2x+3=82x+3(2)x2-2x-5=0(3)3x2+x-5=0(4)x2+6x+1-13=062解方程：(1)x²-2x-5=0；(2)x+4；2=2x+4 (3)x-1=6． 2-9=0；(4)x x+563计算(1)x-52=16(2)2x2-7x+6=064解方程：(1)x2-4x-4=0(2)x(x+4)=-3(x+4)65解下列方程：(1)x2-3x=0(2)x2+2x-1=066解方程：(1)x-12-25=0；(2)x2-4x-1=0．67解方程：(1)x2-2x+1=0；(2)x2-7x-8=0﹒68解方程(1)x2-1=0(2)2x2-5x+3=069用适当的方法解下列方程(1)x2-2x=2x+1；(2)x2x+3=2x+3．70(1)解方程2x x+1=0(2)解方程：3x2-2x-4=0+3x+171计算：(1)5x2-3x=0；(2)x2-4x+1=0．72解方程：(1)2x2-4x+1=0；(2)x2+2x-3=0．73用适当的方法解方程(1)72x-32=28(2)2x2-x-15=0(3)2x2+4x-5=0(4)2x+12+32x+1+2=074解方程(1)2x+12=121；(2)x2-12x+27=0；(3)2x+12=x2+2；(4)4x2-4=1x-2-1．75用适当的方法解下列方程．(1)x2-4x-1=0；(2)x-32=53-x．76解方程：(1)3x-52=x2-25；(2)x2-1=3x．77解方程：(1)y y-2=3y-2(2)x2+8x-9=078解方程：(1)x2-4x+1=0(用配方法)(2)3(x-2)2=x(x-2)(3)2x2-22x-5=0(4)(y+2)2=(3y-1)279解方程：(1)2x2-4x=1(配方法)；(2)x x+4=3x+12．80解方程(1)x-2=82-5=0(2)x x+4(3)2x2-7x=4(4)2x-32=02-x+181解方程：(1)x+82-5x+8+6=0(2)3x(2x+1)=4x+2 82(1)x2-6x+5=0；(2)3x2-2x-1=0．83请选择适当的方法解下列一元二次方程：(1)2x2x+5；(2)x2+2x-5=0． 2x+5=x-1(1)2x+32-25=0．(2)2x2-7x-2=0．(3)x+2．(4)x2-2x-3=0． 2=3x+285解方程(1)x2-4x+1=0(2)5x-32+23-5x=086选择适当的方法解下列一元二次方程：(1)3x-4；(2)2x2+4x-3=0． 2=54-x87用配方法解下列方程(1)3x2-4x-2=0；(2)6x2-2x-1=0；(3)2x2+1=3x；(4)x-3=-5．2x+188解下列方程：(1)x2+25x+10=0(2)42y-522=93y-1(1)x2-4x=0；(2)x2+4x-4=0．90解下列分式方程.(1)x+14x2-4-xx-2=1-2xx+2.(2)13x-4-10x-3=4x-5-1x-1.91解方程：(1)x2-4x-7=0；(2)3x x-1=2x-2．92用适当的方法解下列方程：(1)x2-2x+1=0(2)x2-3x+2=093用适当的方法解下列方程：(1)3x2-2x=0；(2)x2-x-1=0．94解方程：(1)4x-32=x-3(2)2x2-4x-1=095解下列方程：(1)x2+2x-3=0(用配方法)(2)2x2+5x-1=0(用公式法)(3)2x-3=12 2=x2-9(4)x+1x-396用适当的方法解下列方程：(1)x x-2=2-x(2)2x2+3x-1=097解方程：(1)x2-5x-6=0；(2)3x x-1=4x-4．98解方程(1)x2-3x-9=0(2)x x+4=2x+899解方程：(1)x+22-4=0；(2)x2+5x+6=0．100解方程(1)x2-2x+2=0；(2)x2-3x-4=0．参考答案1(1)x 1=1+63，x 2=1-63；(2)x 1=43，x 2=2【分析】(1)利用直接开平方法解方程即可；(2)先移项，然后利用因式分解法解方程即可．(1)解：∵3x -1 2=6，∴3x -1=±6，解得x 1=1+63，x 2=1-63；(2)解：∵3x -2 2=22-x ，∴3x -2 2+2x -2 =0，∴3x -2 +2 x -2 =0，即3x -4 x -2 =0，∴3x -4=0或x -2=0，解得x 1=43，x 2=2．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．2(1)x 1=4,x 2=-4；(2)x 1=2+7，x 2=2-7；(3)x 1=52，x 2=-1；(4)x 1=13,x 2=-2【分析】按要求解一元二次方程即可．(1)解：x 2-16=0，x 2=16，解得x 1=4,x 2=-4；(2)解：x 2-4x +7=10，x 2-4x =3，x 2-4x +4=7，x -22=7，解得x 1=2+7，x 2=2-7；(3)解：2x 2-3x -5=0，a =2，b =-3，c =-5，∴x 1,2=--3 ±-32-4×2×-52×2，解得x 1=52，x 2=-1；(4)解：3x 2+5x -2=0，3x -1 x +2 =0，解得x 1=13,x 2=-2．【点拨】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于正确的运算．3(1)x 1=-1,x 2=3；(2)x 1=1,x 2=2【分析】(1)先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；(2)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可(1)解：x2-2x-3=0，x+1x-3=0，x+1=0,x-3=0，∴x1=-1,x2=3；(2)解：x x-2=x-2，x x-2-x-2=0，x-1x-2=0，x-1=0,x-2=0，x1=1,x2=2．【点拨】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等.4(1)x1=4，x2=-1；(2)x1=1，x2=2+3 2【分析】(1)采用因式分解法解此方程，即可求解；(2)采用因式分解法解此方程，即可求解．(1)解：由原方程得：x2-3x-4=0，得x-4x+1=0，故x-4=0或x+1=0，解得x1=4，x2=-1，所以，原方程的解为x1=4，x2=-1；(2)解：由原方程得：2x-12-3x-1=0，得x-12x-1-3=0，故x-1=0或2x-2-3=0，解得x1=1，x2=2+3 2，所以，原方程的解为x1=1，x2=2+3 2．【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握和运用解一元二次方程的方法是解决本题的关键．5(1)x1=1+2,x2=1-2；(2)x1=6,x2=-25；(3)x1=1+32,x2=1-32；(4)x1=32,x2=-2【分析】(1)方程运用配方法求解即可；(2)方程移项后运用因式分解法求解即可；(3)方程移项后运用直接开平方法求解即可；(4)方程运用因式分解法求解即可．解：(1)x2-2x-1=0x2-2x=1，x2-2x+1=2，x-12=2，x-1=±2，∴x1=1+2,x2=1-2；(2)x5x+2=65x+2x5x+2-65x+2=0，x-65x+2=0，x-6=0,5x+2=0，∴x1=6,x2=-25；(3)(2x-1)2-3=0 (2x-1)2=3，2x-1=±3，2x=1±3，∴x1=1+32,x2=1-32；(4)2x2+x-6=02x-3x+2=0，2x-3=0,x+2=0，x1=32,x2=-2．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法，配方法和直接开平方法是解答本题的关键．6(1)x1=-1，x2=23；(2)x1=-1，x2=52【分析】(1)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；(2)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．(1)解：∵3x x+1=2x+1，∴3x x+1-2x+1=0，则x+13x-2=0，∴x+1=0或3x-2=0，解得x1=-1，x2=2 3；(2)解：∵2x2-3x-5=0，∴x+12x-5=0，∴x+1=0或2x-5=0，解得x1=-1，x2=5 2．【点拨】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．7(1)x1=1，x2=-13；(2)y1=-32，y2=1【分析】(1)直接利用配方法解方程得出答案；(2)直接利用十字相乘法解方程得出答案．(1)解：∵3x2-2x-1=0，∴x2-23x-13=0，∴x2-23x=13，∴x2-23x+19=49，∴x-132=49，∴x -13=±23，解得x 1=1，x 2=-13；(2)解：∵2y -1 2=31-2y +4，∴2y -1 2+32y -1 -4=0，∴2y -1 -1 2y -1 +4 =0，∴2y -1 -1=0或2y -1 +4=0，解得y 1=-32，y 2=1．【点拨】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确掌握相关解一元二次方程的解法是解题关键．8(1)x 1=2+6,x 2=2-6；(2)x 1=-3,x 2=3【分析】(1)利用配方法得到(x -2)2=6，然后用直接开平方法解方程；(2)先移项，再利用因式分解法把方程转化为x +3=0或2x -6=0，然后解两个一次方程即可．解：(1)x 2-4x -2=0，x 2-4x =2，x 2-4x +4=6，(x -2)2=6，x -2=±6，所以x 1=2+6，x 2=2-6；(2)2x x +3 =6x +3 ，2x x +3 -6x +3 =0，x +3 2x -6 =0，x +3=0或2x -6=0，所以x 1=-3，x 2=3．【点拨】本题考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握其方法步骤是解决此题的关键，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．9(1)x 1=-1，x 2=1；(2)x 1=3+174，x 2=3-174【分析】(1)移项后，利用因式分解法求解即可；(2)直接利用公式法求解即可．(1)解：x x +1 =x +1 ，x x +1 -x +1 =0，∴x +1 x -1 =0，∴x +1=0或x -1=0，解得：x 1=-1，x 2=1；(2)解：2x 2-3x -1=0，∴a =2，b =-3，c =-1，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =--3 ±-3 2-4×2×-1 2×2=3±174，∴x 1=3+174，x 2=3-174．【点拨】本题考查了因式分解法和求根公式法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法及求根公式是解题的关键．10(1)x 1=2，x 2=-1；(2)x 1=2+32，x 2=2-32【分析】(1)采用因式分解法解此方程，即可求解；(2)采用公式法解此方程，即可求解．(1)解：由原方程得：x -2 x +1 =0，∴x -2=0或x +1=0，解得x 1=2，x 2=-1，所以，原方程的解为x 1=2，x 2=-1；(2)解：∵a =4，b =-8，c =1，∴Δ=-8 2-4×4×1=64-16=48>0，∴x =8±432×4=2±32，解得x 1=2+32，x 2=2-32，所以，原方程的解为x 1=2+32，x 2=2-32．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．11(1)x 1=5，x 2=-1；(2)x 1=-3，x 2=1；(3)x 1=-2+62，x 2=-2-62；(4)x 1=5，x 2=2【分析】(1)利用直接开方法求解即可；(2)利用因式分解法求解即可；(3)利用公式法求解求解即可；(4)利用因式分解法求解即可．(1)解：(x -2)2-9=0∴(x -2)2=9直接开方得：x -2=3或x -2=-3，解得：x 1=5，x 2=-1；(2)x 2+2x =3x 2+2x -3=0，∴x +3 x -1 =0，解得：x 1=-3，x 2=1；(3)2x 2+4x -1=0，其中a =2,b =4,c =-1，∴Δ=b 2-4ac =24>0，∴x =-4±242×2=-2±62,，∴x 1=-2+62，x 2=-2-62；(4)x -5 2=2x -1 5-x移项得：x -5 2+2x -1 x -5 =0，∴x -5 (x -5+2x -1)=0，整理得：x -5 (3x -6)=0，解得：x 1=5，x 2=2．【点拨】题目主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法步骤是解题关键．12(1)x1=-1+62，x2=-1-62；(2)x1=1+22，x2=1-22【分析】(1)利用配方法解一元二次方程即可得；(2)先去括号，再利用配方法解一元二次方程即可得．(1)解：2x2+4x-1=0，2x2+4x=1，x2+2x=12，x2+2x+1=12+1，即x+12=32，x+1=±62，x=-1±62，所以方程的解为x1=-1+62，x2=-1-62．(2)解：2x x-1=2x-1，2x2-2x=2x-1，2x2-4x=-1，x2-2x=-12，x2-2x+1=-12+1，即x-12=12，x-1=±22，x=1±22，所以方程的解为x1=1+22，x2=1-22．【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的常用方法(直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等)是解题关键．13(1)x1=3，x2=1；(2)x1=3，x2=-1【分析】(1)利用直接开平方法解方程即可；(2)先移项，再利用因式分解法解方程即可．(1)解：x-22=1∴x-2=±1，当x-2=1时，x=3，当x-2=-1时，x=1，∴x1=3，x2=1；(2)解：x x-3+x=3移项得：x x-3+x-3=0，∴x-3x+1=0，∴x-3=0，x+1=0，∴x1=3，x2=-1．【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法和因式分解法是解题的关键．14(1)x1=0，x2=3；(2)x1=2，x2=4；(3)x1=3+112，x2=3-112；(4)x1=8，x2=45【分析】(1)将原方程转化为7x 2-21x =0，再利用因式分解法求解即可；(2)将原方程转化为x 2-6x +8=0，再利用因式分解法求解即可；(3)直接利用公式法求解即可；(4)两边开方，得到两个一元一次方程，再求出方程的解即可．(1)解：将原方程转化为7x 2-21x =0，∴7x x -3 =0，∴7x =0或x -3=0，解得：x 1=0，x 2=3；(2)解：将原方程转化为x 2-6x +8=0，∴x -2 x -4 =0，∴x -2=0或x -4=0，解得：x 1=2，x 2=4；(3)解：∵a =2，b =-6，c =-1，∴b 2-4ac =-6 2-4×2×-1 =36+8=44，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =--6 ±442×2=6±2114，∴x 1=3+112，x 2=3-112；(4)解：将方程转化为3x -2 =±2x +1 ，∴3x -2 =2x +1 或3x -2 =-2x +1 ，解得：x 1=8，x 2=45．【点拨】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．15(1)x 1=2+5，x 2=2-5；(2)x 1=5，x 2=-5【分析】(1)用配方法求解即可；(2)用因式分解法求解即可．(1)解：x 2-4x =1，x 2-4x +4=1+4，x -2 2=5，x -2=±5，∴x 1=2+5，x 2=2-5；(2)解：x -5 2-2x x -5 =0，x -5 x -5-2x =0，x -5=0或x -5-2x =0，x 1=5，x 2=-5．【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法是解题的关键．16(1)x 1=0，x 2=173；(2)x 1=-3+52，x 2=-3-52【分析】(1)先化成一元二次方程的一般形式，再用因式分解法求解即可；(2)用公式法求解即可．(1)解：(x -5)(3x -2)=10，去括号得：3x2-2x-15x+10=10移项合并同类项得：3x2-17x=0，分解因式得：x(3x-17)=0，∴x=0或3x-17=0，解得：x1=0x2=17 3；(2)解：x2+3x+1=0，a=1，b=3，c=1，解得x=-3±32-42，∴x1=-3+52，x2=-3-52；【点拨】本题考查了因式分解法、公式法解一元二次方程．解题的关键在于对解一元二次方程方法的熟练掌握．17(1)x1=2+103，x2=2-103；(2)x1=125，x2=3；(3)x1=-2，x2=3；(4)x1=12，x2=3．【分析】(1)根据公式法求解即可；(2)根据因式分解法求解即可；(3)根据因式分解法求解即可；(4)根据因式分解法求解即可；(1)解：3x2-2=4x，3x2-4x-2=0，∴a=3，b=-4，c=-2，∴Δ=b2-4ac=-42-4×3×-2=40，∴x=-b±Δ2a =--4±402×3=2±103，∴x1=2+103，x2=2-103；(2)解：4x-32+x x-3=0，4x-3+xx-3=0，5x-12x-3=0，∴5x-12=0或x-3=0，∴x1=125，x2=3；(3)解：x x-3=6-2x，x x-3=-2x-3，x x-3+2x-3=0，x+2x-3=0，∴x+2=0或x-3=0，∴x1=-2，x2=3；(4)解：2x2-7x+3=0，2x-1x-3=0，∴2x-1=0或x-3=0，∴x1=12，x2=3．【点拨】本题考查解一元二次方程．根据方程的特点选择合适的方法解方程是解题关键．18(1)x 1=5+292,x 2=5-292；(2)x =12【分析】(1)公式法解一元二次方程；(2)将分式方程化为整式方程，再进行验根，即可得解．(1)解：∵x 2-5x -1=0，∴a =1,b =-5,c =-1，∴△=b 2-4ac =25+4=29>0，∴x =5±292，∴x 1=5+292,x 2=5-292；(2)解：去分母，得：x 2-4x -3 =x x -3 ，去括号，得：x 2-4x +12=x 2-3x ，移项，合并得：-x =-12，系数化1：x =12；检验：把x =12代入x x -3 ≠0，∴x =12是原方程的解．【点拨】本题考查解一元二次方程和分式方程．熟练掌握公式法解一元二次方程，以及解分式方程的步骤，是解题的关键．19(1)x 1=0,x 2=12；(2)x 1=5,x 2=133；(3)x 1=-7,x 2=4；(4)x 1=23,x 2=-2【分析】(1)利用直接开平方法求解即可；(2)移项后利用分解因式法求解即可；(3)原方程化为一般形式后再利用分解因式法求解；(4)原方程化为一般形式后再利用分解因式法求解.(1)解：∵3x -1 2=x +1 2，∴3x -1=±x -1 ，∴3x -1=x -1或3x -1=-x -1 ，解得x 1=0,x 2=12；(2)解：移项，得3x -5 2-10-2x =0，即3x -5 2+2x -5 =0，进一步可变形为x -5 3x -5 +2 =0，∴x -5=0或3x -5 +2=0，解得：x 1=5,x 2=133；(3)解：原方程可变形为x 2+3x -28=0，即为x +7 x -4 =0，∴x +7=0或x -4=0，解得：x 1=-7,x 2=4；(4)解：原方程即为3x 2+4x -4=0，∴3x -2 x +2 =0，∴3x -2=0或x +2=0，解得：x1=23,x2=-2.【点拨】本题考查了一元二次方程的求解，属于基本题目，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.20(1)x1=0，x2=73；(2)x1=1，x2=-4；(3)x1=5，x2=7；(4)x1=1，x2=2【分析】(1)提公因式因式分解，解方程即可；(2)因式分解法解方程即可；(3)先移项然后提公因式解方程即可；(4)先化成一元二次方程的一般式，然后进行因式分解，计算求解即可．(1)解：3x2-7x=0，x3x-7=0，解得，x1=0，x2=7 3；(2)解：x2+3x-4=0，x-1x+4=0，解得，x1=1，x2=-4；(3)解：x-52=2x-5，x-5x-5-2=0，解得，x1=5，x2=7；(4)解：(3-x)2+x2=5，9-6x+x2+x2=5，x2-3x+2=0，x-1x-2=0，解得，x1=1，x2=2；【点拨】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于选用合适的方法解方程．21(1)x1=2,x2=-4；(2)x1=2,x2=-3 2【分析】(1)用配方法解方程即可；(2)利用因式分解法解方程即可．(1)解：x2+2x+1=9x+12=9，x+1=±3∴x1=2,x2=-4；(2)解：2x2-x-6=0，2x+3x-2=0∴x1=2,x2=-32.【点拨】此题考查解一元二次方程，掌握解方程的步骤与方法，根据方程的特点，选择合适的方法解方程是解决问题的关键．22(1)x=16；(2)x=-4【分析】先把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可．(1)解：2xx+3+1=72x+6去分母得：4x+2x+6=7，去括号得；4x+2x+6=7，移项得：4x+2x=7-6，合并同类项得：6x=1，系数化为1得：x=1 6，经检验，x=16是原方程的解，∴原方程的解为x=16；(2)解：6x+1x-1-3x-1=1去分母得：6-3x+1=x+1x-1，去括号得；6-3x-3=x2-1，移项，合并同类项得：x2+3x-4=0，解得x=1或x=-4，经检验，x=-4是原方程的解，x=1不是原方程的解，∴原方程的解为x=-4．【点拨】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键．23(1)x1=1+6，x2=1-6；(2)x1=-1，x2=1 2【分析】(1)利用配方法解方程即可；(2)先移项，然后利用因式分解法解方程即可．(1)解：∵x2-2x-5=0，∴x2-2x=5，∴x2-2x+1=6，即x-12=6，∴x-1=±6，解得x1=1+6，x2=1-6；(2)解：∵2x x+1=x+1，∴2x x+1-x+1=0，∴2x-1x+1=0，∴2x-1=0或x+1=0，解得x1=-1，x2=1 2．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．24(1)x1=4，x2=-2；(2)x1=9，x2=-1【分析】(1)利用直接开平方的方法解方程即可；(2)利用配方法解方程即可．(1)解：∵3x-12-27=0，∴3x-12=27，∴x-12=9，∴x-1=±3，解得x1=4，x2=-2；(2)解：∵x2-8x-9=0，∴x2-8x=9，∴x2-8x+16=25，即x-42=25，∴x-4=±5，解得x1=9，x2=-1．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．25(1)x1=0，x2=3；(2)x1=4+223，x2=4-223【分析】(1)移项后提公因式求解即可；(2)去分母后用求根公式计算求解即可．(1)解：4x2=12x，4x x-3=0令x=0，x-3=0，解得x1=0，x2=3；(2)解：34x2-2x-12=0，3x2-8x-2=0，解得x=8±-82-4×3×-22×3=4±223，∴x1=4+223，x2=4-223【点拨】本题考查了因式分解法、公式法解一元二次方程．解题的关键在于掌握解一元二次方程的解法．26(1)x1=2，x2=-13；(2)x1=-4，x2=1【分析】(1)用公式法解一元二次方程即可；(2)先移项，然后再用因式分解法解一元二次方程即可．(1)解：由题意得，a=3，b=-5，c=-2，Δ=b2-4ac=-52-4×3×-2=49，∴x=5±72×3，∴x1=2，x2=-13；(2)解：移项得：x+42-5x+4=0，提公因式得：x+4x+4-5=0，∴x+4x-1=0，∴x+4=0或x-1=0，∴x1=-4，x2=1．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算．27(1)x1=4,x2=-1；(2)x1=23,x2=12【分析】(1)利用因式分解法解一元二次方程即可得；(2)利用因式分解法解一元二次方程即可得．(1)解：-x2+3x+4=0，即x2-3x-4=0，x-4x+1=0，x-4=0或x+1=0，x=4或x=-1，故方程的解为x1=4,x2=-1．(2)解：3x2x-1=4x-2，3x2x-1-22x-1=0，3x-22x-1=0，3x-2=0或2x-1=0，x=23或x=1 2，故方程的解为x1=23,x2=12．【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法(直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、换元法等)是解题关键．28(1)x1=-9，x2=1；(2)t1=1，t2=-1 3【分析】(1)整理后，利用因式分解法求解即可；(2)利用配方法求解即可．(1)解：(x+5)2=2x+34x2+8x-9=0，(x+9)(x-1)=0，∴x1=-9，x2=1；(2)3t2-2t-1=0，t2-23t=13，t2-23t+19=13+19，即t-132=49，∴t-13=±23，∴t1=1，t2=-13．【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．29(1)x1=0,x2=2；(2)x1=-1+3,x2=-1-3【分析】(1)方程移项后，利用因式分解法求出解即可；(2)方程运用配方支求解即可解：(1)x x-1=xx x-1-x=0x x-1-1=0x=0,x-1-1=0∴x1=0,x2=2(2)x2+2x-2=0x2+2x=2x2+2x+1=2+1x+12=3x+1=±3x1=-1+3,x2=-1-3【点拨】此题考查了解一元二次方程-因式分解法和配方法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．30(1)x1=-5+292，x2=-5-292；(2)x1=-25，x2=67；(3)x1=-23，x2=0；(4)x1=-2，x2=4【分析】(1)利用公式法解方程即可；(2)先移项，然后利用因式分解法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可；(4)利用因式分解法解方程即可．(1)解：∵x2+5x-1=0，∴a=1，b=5，c=-1，∴Δ=b2-4ac=52-4×1×-1=29>0，∴x=-b±b2-4ac2a =-5±292，解得x1=-5+292，x2=-5-292；(2)解：∵7x5x+2=65x+2，∴7x5x+2-65x+2=0，∴7x-65x+2=0，∴7x-6=0或5x+2=0，解得x1=-25，x2=67；(3)解：∵3x2+2x=0，∴x3x+2=0，∴x=0或3x+2=0，解得x1=-23，x2=0；(4)解：∵x2-2x-8=0，∴x-4x+2=0，∴x+2=0或x-4=0，解得x1=-2，x2=4．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．31(1)x1=1，x2=3；(2)x1=5，x2=7【分析】(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；(2)将x-3看做整体，利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．(1)解：∵x2-4x+3=0，∴x-1x-3=0，∴x-1=0或x-3=0，解得x1=1，x2=3；(2)解：∵x-32-6x-3+8=0，∴x-3-2x-3-4=0，即x-5x-7=0，∴x-5=0或x-7=0，解得x1=5，x2=7．【点拨】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．32(1)x1=9，x2=1；(2)x1=2+3，x2=2-3【分析】(1)利用一元二次方程直接开平方法即可求解．(2)利用一元二次方程公式法x=-b±b2-4ac2a即可求解．(1)解：x-52=16x-5=±4x=5±4∴x1=9，x2=1．(2)解：x2-4x+1=0x=--4±-42-4×1×12×1=2±3∴x1=2+3，x2=2-3．【点拨】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、公式法是解题的关键．33(1)x1=-1，x2=3；(2)x1=43，x2=-3【分析】(1)直接因式分解解方程即可；(2)先化成一般式的形式，然后因式分解解方程即可．(1)解：x2-2x-3=0，x+1x-3=0，x+1=0，x-3=0，解得，x1=-1，x2=3；(2)解：x+23x-1=10，3x2+5x-12=0，3x-4x+3=0，3x-4=0，x+3=0，解得，x1=43，x2=-3．【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程．解题的关键在于正确的进行因式分解．34(1)x1=1，x2=2；(2)x1=-2+2，x2=-2-2【分析】(1)先移项得到x(x-1)-2(x-1)=0，利用因式分解法把方程转化为x-2=0或x-1=0，然后解两个一次方程即可．(2)原方程运用配方法求解即可．解：(1)x(x-1)=2(x-1)，x(x-1)-2(x-1)=0，(x-1)(x-2)=0，x-2=0或x-1=0，∴x1=1，x2=2(2)x2+4x+2=0x2+4x+4=2x+22=2x +2=±2∴x 1=-2+2，x 2=-2-2【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了用配方法解一元二次方程．35(1)x 1=2+14,x 2=2-14；(2)x 1=10,x 2=-2；(3)x 1=3,x 2=0.6；(4)x 1=-3,x 2=43【分析】(1)利用配方法解方程即可；(2)利用公式法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可；(4)先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可．解：(1)移项，得：12x 2-2x =5，系数化1，得：x 2-4x =10，配方，得：x 2-4x +4=14，(x -2)2=14，x -2=±14，∴x 1=2+14，x 2=2-14；(2)原方程可变形为x 2-8x -20=0，a =1，b =-8，c =-20，Δ=-8 2-4×1×-20 =64+80=144>0，原方程有两个不相等的实数根，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =8±1442=8±122，∴x 1=10，x 2=-2；(3)原方程可变形为：x -3 x -3+4x =0，整理得：x -3 5x -3 =0，解得x 1=3，x 2=0.6；(4)原方程可变形为：3x 2+5x -2-10=0，整理得：3x 2+5x -12=0，3x -4 x +3 =0，∴x 1=-3，x 2=43【点拨】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．36(1)x 1=1，x 2=12；(2)x 1=-1，x 2=1【分析】(1)利用求根公式直接求解即可；(2)先移项，然后利用平方差公式分解因式求解即可；(1)解：原方程可化为：2x 2-3x +1=0∴a =2，b =-3，c =1∴△=b 2-4ac =-3 2-4×2×1=1>0方程有两个不相等的实数根x =-b ±b 2-4ac 2a =3±12×2=3±14 ∴x 1=1，x 2=12(2)解：原方程移项，得x-32-3x-12=0因式分解，得-2x-24x-4=0于是得-2x-2=0或4x-4=0∴x1=-1，x2=1【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键．37(1)x1=1，x2=2；(2)x1=1+6，x2=1-6；【分析】(1)移项，因式分解即可得到答案；(2)移项，配方，直接开平方即可得到答案；(1)解：移项得，x(x-2)-(x-2)=0，因式分解得，(x-2)(x-1)=0，∴x-1=0或x-2=0，解得：x1=1，x2=2，∴原方程的解是：x1=1，x2=2；(2)解：移项得，x2-2x=5，配方得，x2-2x+1=5+1，即(x-1)2=6，x-1=±6，∴x1=1+6，x2=1-6；【点拨】本题考查因式分解法解一元二次方程及配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握各种解法，选择适当的方法求解．38(1)x1=0，x2=8；(2)x1=3，x2=1；(3)方程无实数根；(4)x1=52，x2=2．【分析】(1)利用因式分解法即可解方程；(2)利用因式分解法即可解方程；(3)依次去括号，移项，合并同类项，得到x2=-2，根据平方的非负性可知，方程无解；(4)利用因式分解法即可解方程．(1)解：x2-8x=0，x x-8=0，令x=0或x-8=0，解得：x1=0，x2=8；(2)解：2x-32+x2-9=0，2x-32+x+3x-3=0，x-32x-3+x+3=0，x-33x-3=0，令x-3=0或3x-3=0，解得：x1=3，x2=1；(3)解：x+12=2x-1，x2+2x+1=2x-1，x2+2x+1-2x+1=0，x2+2=0，x2=-2，∵x2≥0，故原方程无实数根；(4)解：x2x-5=4x-10，x2x-5=22x-5，x2x-5-22x-5=0，2x-5x-2=0，令2x-5=0或x-2=0，解得：x1=52，x2=2．【点拨】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法和步骤是解题关键．39(1)x1=-2+102，x2=-2-102；(2)x1=-1，x2=2【分析】(1)利用公式法解方程即可；(2)先移项，然后利用因式分解法解方程即可．(1)解：∵2x2+4x-3=0，∴a=2，b=4，c=-3，∴Δ=b2-4ac=42-4×2×-3=40>0，∴x=-b±b2-4ac2a =-4±2104=-2±102，解得x1=-2+102，x2=-2-102；(2)解：∵x x-2=4-x2，∴x x-2=x+22-x，∴x x-2+x+2x-2=0∴x+x+2x-2=0，∴x+x+2=0或x-2=0，解得x1=-1，x2=2．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．40(1)x1=2，x2=-3；(2)m1=5-1，m2=-5-1【分析】(1)利用因式分解法解方程即可；(2)先把方程化为一般式，然后利用公式法解方程即可．(1)解：∵x2+x-6=0，∴x+3x-2=0，∴x+3=0或x-2=0，解得x1=2，x2=-3；(2)解：∵m2+5m+7=3m+11，∴m2+2m-4=0，∴a=1，b=2，c=-4，∴Δ=b2-4ac=22-4×1×-4=20>0，∴m=-b±b2-4ac2a =-2±252，解得m1=5-1，m2=-5-1．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．41(1)x1=3，x2=1；(2)x1=2+142，x2=2-142【分析】(1)先移项，再把方程的左边提公因式分解因式，化为两个一次方程，解一次方程即可；(2)先求出根的判别式的值，再代入求根公式，用公式法解答．(1)解：∵x-3=x x-3，移项得：x-3-x x-3=0，∴x-31-x=0，∴x-3=0或1-x=0，解得：x1=3，x2=1；(2)解：∵2x2-4x-5=0，∴Δ=-42-4×2×-5=56，∴x=--4±562×2=2±142，x1=2+142，x2=2-142．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握利用因式分解法解一元二次方程和运用公式法解一元二次方程，是解本题的关键．42(1)x1=3，x2=-4；(2)x1=0，x2=7【分析】(1)利用十字相乘因式分解法直接求解即可得到答案；(2)先换元，令m=x-1，将x-12-5x-1-6=0转化为m2-5m-6=0，利用十字相乘因式分解法直接求解即可得到答案．(1)解：x2+x-12=0，∴x+4x-3=0，解得x1=3，x2=-4；(2)解：x-12-5x-1-6=0，令m=x-1，则m2-5m-6=0，∴m-6m+1=0，解得m=6或m=-1，∴x-1=-1或x-1=6，解得x1=0，x2=7．【点拨】本题考查解一元二次方程，根据具体的方程结构特征熟练运用一元二次方程的解法求解是解决问题的关键．43(1)x1=2+2，x2=-2+2；(2)x1=1，x2=3【分析】(1)利用直接开平方法求解即可．(2)利用因式分解法求解即可．(1)解：∵2x-22-4=0，∴x-22=2，即：x-2=±2解得：x1=2+2，x2=-2+2．(2)∵x-32=2x3-x，∴x-32+2x3-x=0，∴x-3+2xx-3=0，即3x-3x-3=0，【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．44(1)x1=1+172，x2=1-172；(2)x1=2，x2=52【分析】(1)先整理成一般式，再利用公式求解即可；(2)先整理成一般式，再利用因式分解求解即可．解：(1)整理，得：x2-x-4=0，∵a=1，b=-1，c=-4，∴Δ=-12-4×1×-4=17>0，则x=-b±b2-4ac2a=1±172，∴x1=1+172，x2=1-172．(2)方程化为：2x2-9x+10=0因式分解得，x-22x-5=0于是得2x-5=0或x-2=0即x1=2或x2=5 2．【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的方法，如公式法、因式分解法，是解题的关键．45(1)x1=-3+132，x2=-3-132；(2)x1=1或x2=32【分析】(1)原方程已经是一般形式，利用根的判别式判断根的情况，再利用求根公式求解即可；(2)找出公因式，利用提取公因式法分解因式，降次后再分别求解即可．解：(1)x2+3x-1=0解：由题意的：a=1，b=3，c=-1∵Δ=b2-4ac=32-4×1×-1=9+4=13∴x1=-b+b2-4ac2a =-3+132，x2=-b-b2-4ac2a=-3-132(2)3(x-1)2=x(x-1)解：移项因式分解得：x-13x-1-x=0化简得：x-12x-3=0∴x-1=0或2x-3=0∴x=1或x=32【点拨】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握求根公式和因式分解法解一元二次方程是解决本题的关键．46(1)x1=-4，x2=6；(2)x1=3，x2=2 3【分析】(1)利用十字相乘法将原方程化为两个一元一次方程求解即可解方程；(2)利用因式分解法求解即可解方程．(1)解：x2-2x-24=0，x+4x-6=0，x+4=0或x-6=0，(2)解：2x-3-3x x-3=0，x-32-3x=0，x-3=0或2-3x=0，解得：x1=3，x2=2 3．【点拨】本题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题关键．47(1)x1=3，x2=35；(2)x1=1，x2=-3．【分析】(1)利用提公因式法解方程；(2)利用配方法解方程．解：(1)(x-3)2+4x(x-3)=0，(x-3)(x-3+4x)=0，∴x-3=0或5x-3=0，∴x1=3，x2=35；(2)2x2+4x-6=0，x2+2x=3，x2+2x+1=3+1，即(x+1)2=4，∴x+1=±2，∴x1=1，x2=-3．【点拨】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．48(1)x1=-8，x2=3；(2)x1=-1+133，x2=-1-133．【分析】(1)利用因式分解法求解即可得到答案；(2)将原方程化为一般式根据求根公式求解即可得到答案；(1)解：因式分解可得，(x+8)(x-3)=0，即x-3=0或x+8=0，解得：x1=-8，x2=3；(2)解：原方程变形得，3x2+2x-4=0，即a=3，b=2，c=-4，∴Δ=b2-4ac=22-4×3×(-4)=52>0∴原方程有两个不相等的实数根，∴x=-b±Δ2a =-2±522×3=-2±2136，∴x1=-1+133，x2=-1-133．【点拨】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握各种解法及选择适当的方法．49(1)x1=2+22，x2=2-22；(2)x1=2，x2=-5【分析】(1)配方法解方程；(2)因式分解法解方程．∴x2-4x+4=4+4，∴x-22=8，∴x-2=±22，解得：x1=2+22，x2=2-22；(2)解：x+2x+1=12，整理的：x2+3x-10=0，∴x-2x+5=0，解得：x1=2，x2=-5．【点拨】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．50(1)x1=-4+17，x2=-4-17；(2)x1=2，x2=-1【分析】(1)先利用配方法得到x+42=17，然后利用直接开平方法解方程．(2)利用因式分解法把原方程转化为x-2=0或x+1=0，然后解两个一次方程即可．(1)解：x2+8x-1=0，x2+8x=1，x2+8x+16=1+16，x+42=17，x+4=±17，x1=-4+17，x2=-4-17；(2)解：x x-2+x-2=0，x-2x+1=0，x-2=0或x+1=0，x1=2，x2=-1．【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．51(1)x1=-9或x2=1；(2)x1=-3或x2=-1；；(3)x1=7+534或x2=7-534；(4)x=2【分析】(1)先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程一因式分解法,进行计算即可解答；(2)利用解一元二次方程一因式分解法，进行计算即可解答；(3)利用解一元二次方程一公式法，进行计算即可解答；(4)利用解一元二次方程一因式分解法，进行计算即可解答．(1)解：x2+8x=9x2+8x-9=0x+9x-1=0x+9=0或x-1=0x1=-9或x2=1；(2)解：2x+6=(x+3)22x+6-(x+3)2=02x+3-(x+3)2=0x+32-x-3=0x+3-1-x=0x+3=0或-x-1=0x 1=-3或x 2=-1；(3)解：2x 2-7x -12=0∵Δ=-7 2-4×2×-12 =49+4=53>0，∴x =7±534，∴x 1=7+534或x 2=7-534；(4)解：x 2-22x +2=0x -2 2=0x -2=0x =2．【点拨】本题考查了解一元二次方程一因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程一因式分解法是解题的关键．52(1)x 1=-3，x 2=-4；(2)x 1=12，x 2=2【分析】(1)原方程整理后，利用因式分解法解该一元二次方程即可；(2)直接用公式法解该一元二次方程即可．(1)解：x (x +4)=-3(x +4)，x (x +4)+3(x +4)=0，(x +3)(x +4)=0，∴x 1=-3，x 2=-4；(2)解：2x 2-5x +2=0，∵a =2，b =-5，c =2，∴Δ=b 2-4ac =(-5)2-4×2×2=9>0，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =-(-5)±92×2=5±34，∴x 1=12，x 2=2．【点拨】本题主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法及求根公式是解题的关键．53(1)x 1=2+7，x 1=2-7；(2)x 1=2，x 2=13【分析】(1)采用公式法解此方程，即可求解；(2)采用因式分解法解此方程，即可求解．(1)解：x 2-4x -3=0，∵a =1，b =-4，c =-3，∴Δ=b 2-4ac =16-4×1×-3 =16+12=28，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =4±272=2±7，∴x 1=2+7，x 1=2-7，所以，原方程的解为x 1=2+7，x 1=2-7；(2)解：由原方程得：x -2 3x -1 =0，故x -2=0或3x -1=0，。
中考数学一元二次方程组提高练习题压轴题训练附答案
中考数学一元二次方程组提高练习题压轴题训练附答案一、一元二次方程1．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【解析】【分析】作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=12×PB×QE，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．【详解】解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB．∴S△PQB＝12•PB•QE．设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．根据题意，12•（6﹣t）•t＝4．t2﹣6t+8＝0．t2＝2，t2＝4．当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．2．解方程：(x+1)(x﹣3)=﹣1．【答案】x1x2=1【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，解得：x 1，x 2=13．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=（m 为常数）（1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析；(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【解析】 【分析】（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2+t=21m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可. 【详解】 (1)证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4， ∵无论m 为何值时m 2≥0， ∴m 2+4≥4＞0， 即△＞0，所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根. (2)设方程的另一个根为t ，()220x m x m -++=根据题意得2+t=21m + ,2t=m ， 解得t=0， 所以m=0，即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t ，用根于系数关系列出方程组，在求解.4．已知关于x 的一元二次方程()2204mmx m x -++=.（1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根； （2）当4m =时，求方程的解.【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）1x =，2x =. 【解析】 【分析】 （1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；（2）将4m =代入原方程，求解即可. 【详解】（1）由题意得：24b ac ∆=- =()22404mm m +->g g，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根.（2）把4m =带入得24610x x -+=，解得134x +=，234x =. 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.5．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【解析】 【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答. 【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--= 解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．6．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2米 【解析】 【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程； （2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程 【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x 米2，根据题意得：4600022000x -﹣46000220001.5x-= 4 解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米； （2）设人行道的宽度为x 米，根据题意得， （20﹣3x ）（8﹣2x ）=56解得：x=2或x=263（不合题意，舍去）． 答：人行道的宽为2米．7．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法． 例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n 有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．【答案】60个，6n个；（1）61；3n2﹣3n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．【解析】分析：根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．详解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，故答案为：60个，6n个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：2×3+1=7个，第3个点阵中有：3×6+1=17个，第4个点阵中有：4×9+1=37个，第5个点阵中有：5×12+1=60个，…第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，故答案为：60，3n2﹣3n+1；（2）3n2﹣3n+1=271，n2﹣n﹣90=0，（n﹣10）（n+9）=0，n1=10，n2=﹣9（舍），∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．点睛：本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．8．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【答案】共有35名同学参加了研学游活动．【解析】试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．设九（1）班共有x人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x﹣30）]元，由题意得：x[100﹣2（x﹣30）]=3150，整理得x2﹣80x+1575=0，解得x1=35，x2=45，当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去．答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动．考点：一元二次方程的应用．9．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【答案】(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．【解析】试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于a ，b ，c 的等式，进而判断△ABC 的形状； （3）利用△ABC 是等边三角形，则a=b=c ，进而代入方程求出即可． 试题解析：（1）△ABC 是等腰三角形； 理由：∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c ）×（﹣1）2﹣2b+（a ﹣c ）=0， ∴a+c ﹣2b+a ﹣c=0， ∴a ﹣b=0， ∴a=b ，∴△ABC 是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根， ∴（2b ）2﹣4（a+c ）（a ﹣c ）=0， ∴4b 2﹣4a 2+4c 2=0， ∴a 2=b 2+c 2，∴△ABC 是直角三角形；（3）当△ABC 是等边三角形，∴（a+c ）x 2+2bx+（a ﹣c ）=0，可整理为：2ax 2+2ax=0， ∴x 2+x=0，解得：x 1=0，x 2=﹣1． 考点：一元二次方程的应用．10．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2=0①有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）设方程①的两个实数根分别为x 1，x 2，当k =1时，求x 12+x 22的值．【答案】（1）k >–14；（2）7 【解析】 【分析】（1）由方程根的判别式可得到关于k 的不等式，则可求得k 的取值范围； （2）由根与系数的关系，可求x 1+x 2=-3，x 1x 2=1，代入求值即可． 【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴>0∆，即()22214410k k k +-=+>，解得14k >-； （2）当2k =时，方程为2x 5x 40++=， ∵125x x +=-，121=x x ，∴()222121212225817x x x x x x +=+-=-=. 【点睛】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键．11．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣12）＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？【答案】（1）详见解析；（2）k＝32或2．【解析】【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可．【详解】（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，∴该方程总有实数根；（2）() 2k12k3 x=2±＋﹣∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵a、b、c为等腰三角形的三边，∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，∴k＝32或2．【点睛】本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.12．解方程：（x2+x）2+（x2+x）＝6．【答案】x1＝﹣2，x2＝1【解析】【分析】设x2+x＝y，将原方程变形整理为y2+y﹣6＝0，求得y的值，然后再解一元二次方程即可．【详解】解：设x2+x＝y，则原方程变形为y2+y﹣6＝0，解得y1＝﹣3，y2＝2．①当y＝2时，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1；②当y＝﹣3时，x2+x＝﹣3，即x2+x+3＝0，∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，∴此方程无解；∴原方程的解为x1＝﹣2，x2＝1．【点睛】本题考查了换元法和一元二次方程的解法，设出元化简原方程是解答本题的关键.13．若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．（1）一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝；（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0的两根，求它们的“x牵手点”．【答案】（1）（1，0），a＝﹣2；（2）“x牵手点”为（12-，0）或（12，0）.【解析】【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”．【详解】解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，所以x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，所以0＝a+2，解得a＝﹣2；（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”∴11a b -=，∴a+b＝0．∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根∴a+b＝k＝0，∴x2﹣4＝0，∴x1＝2，x2＝﹣2．①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；②若a ＝﹣2，b ＝2则y ＝﹣2x+1与y ＝2x ﹣1的“x 牵手点”为（12，0 ） ∴综上所述，“x 牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭或（12，0）【点睛】本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．14．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当a ＞0，b ＞0时：）2=a ﹣b ≥0∴a +b a =b 时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： （1）请直接写出答案：当x ＞0时，x +1x 的最小值为 ．当x ＜0时，x +1x的最大值为 ；（2）若y =27101x x x +++，（x ＞﹣1），求y 的最小值；（3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）2；﹣2．（2）y 的最小值为9；（3）四边形ABCD 面积的最小值为25． 【解析】 【分析】（1）当x ＞0时，按照公式a +b a =b 时取等号）来计算即可；当x ＜0时，﹣x ＞0，1x-＞0，则也可以按公式a +b a =b 时取等号）来计算；（2）将y 27101x x x ++=+的分子变形，分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，由三角形面积公式可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】（1）当x ＞0时，x 1x +≥=2； 当x ＜0时，﹣x ＞0，1x -＞0．∵﹣x 1x -≥=2，∴则x 1x +=-（﹣x 1x -）≤﹣2，∴当x ＞0时，x 1x +的最小值为 2．当x ＜0时，x 1x +的最大值为﹣2． 故答案为：2，﹣2．（2）∵x ＞﹣1，∴x +1＞0，∴y 27101x x x ++=+()2(1)5141x x x ++++=+=（x +1）41x +++5=4+5=9，∴y 的最小值为9． （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9 则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，∴x ：9=4：S △AOD ，∴S △AOD 36x =，∴四边形ABCD 面积=4+9+x 36x +≥=25． 当且仅当x =6时，取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用．15．利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息信息1：甲乙两种商品的进货单价和为11；信息2：甲商品的零售单价比其进货单价多2元，乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元：信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元．()1甲、乙两种商品的进货单价各是多少？()2据统计该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降0.1元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降a 元，在不考虑其他因素的条件下，当a 定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？【答案】（1）甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件（2）当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元【解析】【分析】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据给定的三个信息，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据总利润=单件利润⨯销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据题意得：()()113x 222y 437x y +=⎧++-=⎨⎩， 解得：{56x y ==．答：甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件． ()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据题意得：()()250010001500a a -+=，整理得：22310a a -+=，解得：10.5a =，21a =．答：当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：()1找准等量关系，正确列出二元一次方程组；()2找准等量关系，正确列出一元二次方程．。
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飞跃文化培训
一元二次方程提高训练
一 填空题（本题20分，每小题4分）：
1．方程4x 2
＋（k ＋1）x ＋1＝0的一个根是2，那么k ＝ ，另一根是 ； 2．方程 kx 2
＋1 ＝ x －x
2
无实数根，则k ；
3．如果 x 2 －2（m ＋1）x ＋m 2
＋5 是一个完全平方式，则m ＝ ； 4．若方程 x 2
＋mx －15 ＝ 0 的两根之差的绝对值是8，则m ＝ ； 5．若方程 x 2－x ＋p ＝ 0 的两根之比为3，则 p ＝ . 二 选择题（本题24分，每小题4分）：
1．若一元二次方程 2x （kx －4）－x 2
＋6 ＝ 0 无实数根，则k 的最小整数值是……（ ） （A ）－1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
2．若c 为实数，方程x 2
－3x ＋c ＝0的一个根的相反数是方程x 2
＋3x －3＝0的一个根， 那么方程x 2
－3x ＋c ＝0的根是……………………………………………………（ ） （A ）1，2 （B ）－1，－2 （C ）0，3 （D ）0，－3
3．方程x 2－3|x |－2＝0的最小一根的负倒数是…………………………………………（ ） （A ）－1 （B ）)173(41--
（C ）21（3－17） （D ）2
1
4．对于任意的实数x ，代数式x 2
－5x ＋10的值是一个…………………………………（ ） （A ）非负数 （B ）正数 （C ）整数 （D ）不能确定的数
5．若一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝ 0 （a ≠0） 的两根之比为2：3，那么a 、b 、c 间的关 系应当是……………………………………………………………………………（ ） （A ）3b 2
＝8ac （B ）
a c a
b 232592
2
= （C ）6b 2
＝25ac （D ）不能确定 6．已知方程3x 2
＋2x －6 ＝ 0 ，以它的两根的负倒数为根的新方程应是……………（ ）
（A ）6x 2
－2x ＋1＝0 （B ）6x 2
＋2x ＋3＝0 （C ）6x 2
＋2x ＋1＝0 （D ）6x 2
＋2x －3＝0 三 解下列方程（本题24分，每小题6分）：
1．0223422
=-+x x ； 2．1
415112-=--+-x x x x ；
3．4x 2
＋19x －5＝0； 4．06)1
(5)1(
2=+---x x
x x .
四（本题10分）
若方程2x 2
－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，不解方程求x 4
1＋x 4
2的值；
五（本题10分）
两列火车分别从A 、B 两站同时发出，相向而行，第一列车的速度比第二列车每小时快10 km ，两车在距A 、B 中点28 km 处相遇，若第一列车比原来晚发出45分，则两车恰在A 、B 中点相遇，求A 、B 距离及两车的速度．
六（本题12分）
挖土机原计划在若干小时挖土220m 3
，最初3小时按计划进行，以后每小时多挖10m 3
，因此提前2小时超额20m 3
完成任务，问原计划每小时应挖土多少m 3
？。