一元二次方程提升训练

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第二章一元二次方程分类提升训练(含答案) 2024--2025学年北师大版九年级数学上册

第二章一元二次方程分类提升训练 2024--2025学年北师大版九年级数学上册一、单选题1．关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（）A ．9B ．6C ．4D ．2．下列方程是一元二次方程的是（）A ．B ．C．D ．3．已知关于x 的方程有两个相等的实数根，则（）A ．10B ．25C ．D ．4．设，是关于x 的一元二次方程x 2−2(m +1)x +m 2+2=0的两个实数根，且(x 1+1)(x 2+1)=13，则m 的值为（）A ．2B ．4C ．2或D ．或45．某厂家今年一月份的口罩产量是50万个，三月份的口罩产量是80万个，若设该厂家一月份到三月份口罩产量的月平均增长率为x ，则所列方程为（）A ．B ．C ．D ．6．如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上不与点，重合，过点分别作和的垂线，垂足为，．当矩形的面积为时，点的坐标为( )A ．B ．C ．或D ．或7．一个研究小组有若干人，互送研究成果，若全组共送研究成果72个，这个小组共有（）人A ．8B ．9C ．10D ．72240x x m ++=1-22510x y ++=20ax bx c +-=212x x +=20x =2100x x m -+=m =25-25±1x 2x 4-2-250(1)80x +=250(1)80x -=()501280x +=()250180x +=26y x =-+x A y B P AB (A B)P OA OB C D OCPD 4P ()2,21,52⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,41,52⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,4()2,28．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为，则一次项系数、常数项分别是（）A ．、B ．、C ．、D ．、9．已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( )A ．B ．C ．或D ．或二、填空题10．已知，是一元二次方程的两根，则　　．11．数字下乡，农货上行，直播逐渐成为农户销售农产品的重要渠道，某地农村网商年为家，年达到家，设年到年农村网商的月平均增长率为，根据题意可列方程为　　．12．关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为．13．已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是．14．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为　　．15．二次项系数为，且两根分别为，的一元二次方程为．（写成的形式）16．如图，在等边三角形中，D 是的中点，P 是边上的一个动点，过点P 作，交于点E ，连接．若是等腰三角形，则的长是　　．2316x x +=36-16161-6-1-αβx 22(23)0x m x m +++=111αβ+=-m 3131-3-11x 2x 2320220x x --=2111234x x x x --+=202115002023216020212023x x 210x kx k +++=1x 2x 22121x x +=k x 21(1)02m x --=m x 211x =212x =20ax bx c ++=ABC AC AB PE AB ⊥BC ,DP DE 8,AB PDE =V BP三、解答题17．“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展某品牌头盔的销量逐月攀升，某超市以每个元的进价购进一批该品牌头盔，当该头盔售价为元个时，七月销售个，八九月该品牌头盔销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到个．（1）求八，九两月销量的月平均增长率；（2）十月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该品牌头盔售价每降低元，月销量在九月销量的基础上增加个，当该品牌头盔售价为多少元时，超市十月能获利元？18．解方程：（1）（2）19．已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根 m ，n.（1）求t 的取值范围.（2）当t=3时，解这个方程.（3）若m ，n 是方程的两个实数根，设Q=(m-2)(n-2)，试求Q 的最小值.20．某水果超市以每千克元的价格购进一批水果，然后以每千克元的价格出售，一天可以售出千克．通过调查发现，每千克的售价每降低元，一天可以多售出千克．（1）若将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是______千克，每千克盈利______元（用含x 的代数式表示）；.2030/2002881318002531x x x -=+3(2)2(2)x x x -=-222tx t 2t 40x -+-+=9121000.120x（2）要想一天盈利元，且保证一天销售量不少于千克，商店需将每千克的售价降低多少元？21．若是关于x 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根，则方程的两个根和系数a 、b 、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．已知是关于x 的一元二次方程x 2−2(m+1)x+m 2+5=0的两实数根．（1）求的取值范围；（2）若，求的值；（3）已知等腰三角形的一边长为，若、恰好是另外两边的长，求这个角形的周长．22．某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：进货批次A 型水杯（个）B 型水杯（个）总费用（元）一1002008000二20030013000（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B 型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B 型水杯降价多少元时，每天售出B 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A 型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A 型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b 元用于购买防控物资．若A 、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b 为多少？利润为多少？50025012x x 、12x x 、12b x x a +=-12cx x a=12x x 、m ()()121119x x --=m ABC 71x 2x ABC ∆23．某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个120元的价格进货．（1）经过市场调查发现，当每个背包的售价为140元时，月均销量为980个，售价每增长10元，月均销量就相应减少30个，若使这种背包的月均销量不低于800个，每个背包售价应不高于多少元？（2）在实际销售过程中，由于原材料涨价和生产成本增加的原因，每个背包的进价为150元，而每个背包的售价比（1）中最高售价减少了a%（a＞0），月均销量比（1）中最低月均销量800个增加了5a%，结果该店销售该背包的月均利润达到了40000元，求在实际销售过程中每个背包售价为多少元？答案解析部分1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】404811．【答案】1500(1+x )2=216012．【答案】13．【答案】0≤m≤2且m≠114．【答案】15．【答案】16．【答案】或或．17．【答案】（1）解：设八，九两月销量的月平均增长率为，由题意可得：，解得：，，不符合题意，舍去，答：八，九两月销量的月平均增长率为；（2）解：设该品牌头盔售价降低元，，整理得：，解得：，不符合题意，舍去，元，答：该品牌头盔售价为元时，超市十月能获利元．18．【答案】（1）解：原方程化为，，，，1-2300(1)363x +=22310x x -+=3-+412-x 2200Ω)288%x +=10.220%x ==22x =-()20%a ()()302028831800a a --+=2863600a a +-=14a =290(a =-)3030426(a -=-=)26180025410x x --=5a =4b =-1c =-所以，所以方程有两个不相等的实数根，即，（2）解：原方程可化为，所以，所以，．19．【答案】（1）解：∵ 原方程有两个不相等的实数根，∴b 2-4ac ＞0即4t 2-4（t 2-2t+4）＞0，解之：t>2（2）解：当t=3时，x 2-6x+7=0解之：x₁=3+，x₂=3- （3）解：∵m ，n 是方程的两个实数根，∴m+n=2t ，mn=t 2-2t+4，∴Q=(m-2)(n-2)=mn-2（m+n ）+4=t 2-2t+4-4t+4=（t-3）2-1，当t=3时Q 有最小值为-1.20．【答案】（1），（2）商店需将每千克的售价降低元21．【答案】（1）m≥2；（2）m=5；（3）这个角形的周长为17．22．【答案】（1）A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元；（2）超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．23．【答案】(1) 200元；(2) 190元22Δ4(4)45(1)360b ac =-=--⨯⨯-=>4610x ±==11x =215x =-3(2)2(2)0x x x -+-=(32)(2)0x x +-=12x =223x =-()100200x +()3x -2。

一元二次方程拓展提升练习

一元二次方程拓展提升练习1、已知a 是方程2104x x +-=的根，求354321a a a a a -+--的值.2. 设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2－1840x+1997=0的两个根，求(x 12－1841x 1+1998)（x 22－1841x 2+1998）的值3、设x 1、x 2是方程x 2－2x －1=0的两个根，求x 14+x 24的值.4. 设x 1、x 2是方程x 2－4x －2=0的两个根，求｜x 1|+|x 2|的值5. 设方程0)2443()1(2222=++++++b ab a x a x 有实根，求b a ,的值。

6. 已知一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的一个根是1，且a ，b 满足-3，•求关于y 的方程14y 2-c=0的根．7. 已知m 为非负实数，当m 取什么值时，关于x 的方程01mx x 2=-+与02m x x 2=-++仅有一个相同的实根？8.证明：如果有理系数方程x 2+px+q=0有一个根是形如A+B 的无理数(A 、B 均为有理数)，那么另一个根必是A －B 。

9．印刷一张矩形的张贴广告（如图），•它的印刷面积是32dm2，•上下空白各1dm ，两边空白各0.5dm ，设印刷部分从上到下的长是xdm ，四周空白处的面积为Sdm2．（1）求S 与x 的关系式；（2）当要求四周空白的面积为18dm2时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少？10. 如图，客轮沿折线A ─B ─C 从A 出发经B 再到C 匀速航行，•货轮从AC 的中点D 出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮，两船同时起航，并同时到达折线A ─B ─C 上的某点E 处，已知AB=BC=200海里，∠ABC=90°，客轮速度是货轮速度的2倍．（1）选择：两船相遇之处E 点（）A ．在线段AB 上 B ．在线段BC 上 C ．可以在线段AB 上，也可以在线段BC 上（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？D答案： 1.202.解：∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2－1840x+1997=0的两个根∴x 12－1840x 1+1997=0，x 22－1840x 2+1997=0 ∵（x 12－1841x 1+1998）（x 22－1841x 2+1998）＝[(x 12－1840x 1+1997) －x 1＋1]〔（x 22－1840x 2+1997）－x 2＋1] ＝(0－x 1＋1) (0－x 2＋1) ＝(－x 1＋1) (－x 2＋1) ＝x 1x 2－（x 1+x 2）＋1由根与系数关系,得代入上式，得(x 12－1841x 1+1998)（x 22－1841x 2+1998）=1583. 解：∵x 1、x 2是方程x 2－2x －1=0的两个根 ∴x 12－2x 1－1=0，x 22－2x 2－1=0 ∴x 12=2x 1+1 ,x 22=2x 2+1∴x 14=(2x 1+1)2=4 x 12+4x 1+1=4(2x 1+1) +4x 1+1＝12 x 1+5 同理x 24＝12 x 2+5∴x 14+x 24＝12 x 1+5＋12 x 2+5＝12( x 1+ x 2)+10 由根与系数关系,得 x 1+ x 2 ＝2 ∴x 14+x 24＝344. 解：由根与系数关系,得可知x 1、x 2一正一负，并且正根的绝对值大，不妨设x 1>0， x 2<0 ∴｜x 1|+|x 2|= x 1、－x 2，且x 1、－x 2>0 ∵（x 1－x 2）2=（x 1+x 2）2－4x 1x 2＝24∴x 1－x 2=2∴｜x 1|+|x 2|＝25. 解：∵方程有实根∴0)2()1()2443(4)]1(2[22222≥+---=+++-+=∆b a a b ab a a∴0)2()1(22≤++-b a a∴只有：0)1(2=-a 和0)2(2=+b a ∴1=a ，21-=b 。

一元二次方程训练题50道

一元二次方程训练题50道理解一元二次方程是解决数学问题的基础，因此训练题对于加深理解和掌握解题方法非常重要。

以下是50道一元二次方程的训练题：1. 解方程，x^2 4x + 4 = 0。

2. 解方程，2x^2 7x + 3 = 0。

3. 解方程，3x^2 + 5x 2 = 0。

4. 解方程，4x^2 12x + 9 = 0。

5. 解方程，x^2 + 6x + 9 = 0。

6. 解方程，2x^2 + 3x 2 = 0。

7. 解方程，x^2 5x + 6 = 0。

8. 解方程，3x^2 8x 3 = 0。

9. 解方程，4x^2 + 4x + 1 = 0。

10. 解方程，x^2 3x 10 = 0。

11. 解方程，2x^2 11x + 5 = 0。

12. 解方程，3x^2 + 7x 6 = 0。

13. 解方程，x^2 9 = 0。

14. 解方程，2x^2 18 = 0。

15. 解方程，3x^2 27 = 0。

16. 解方程，x^2 2x + 1 = 0。

17. 解方程，2x^2 8x + 8 = 0。

18. 解方程，3x^2 + 6x + 3 = 0。

19. 解方程，x^2 7x + 10 = 0。

20. 解方程，2x^2 5x 3 = 0。

21. 解方程，3x^2 + 4x 4 = 0。

22. 解方程，x^2 4 = 0。

23. 解方程，2x^2 8 = 0。

24. 解方程，3x^2 12 = 0。

25. 解方程，x^2 6x + 9 = 0。

26. 解方程，2x^2 + 2x 4 = 0。

27. 解方程，3x^2 3x 6 = 0。

28. 解方程，x^2 8x + 16 = 0。

29. 解方程，2x^2 12x + 18 = 0。

30. 解方程，3x^2 + 9x + 6 = 0。

31. 解方程，x^2 5 = 0。

32. 解方程，2x^2 20 = 0。

33. 解方程，3x^2 45 = 0。

34. 解方程，x^2 5x + 6 = 0。

人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程实际应用》能力提升练习题(含答案)

人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程实际应用》能力提升练习题基础题训练（一）：限时30分钟1．风筝又称“纸鸢”、“鸢儿”，放风筝是民间传统游戏之一，也是清明时节人们所喜爱的活动．小李打算抓住这一机遇，以每个20元的成本制作了30个风筝，再以每个40元的价格售出，很快就被一抢而空，于是小李计划加紧制作第二批风筝．（1）预计第二批风筝的成本是每个15元，仍以原价出售，若两批风筝的总利润不低于2850元，则第二批至少应该制作多少个风筝？（2）在实际制作过程中，小李按照（1）中风筝的最低数量进行制作，但制作风筝的成本比预期的15元多了a%（a＞10），于是小李决定将售价也提高a%，附近的商户受到小李的启发，也纷纷卖起了风筝，在市场冲击下，小李实际还剩下a%的风筝没卖出去，但仍然比第一次获利多1668元，求a的值．2．新能源汽车投放市场后，有效改善了城市空气质量．经过市场调查得知，某市去年新能源汽车总量已达到3250辆，预计明年会增长到6370辆．（1）求今、明两年新能源汽车数量的平均增长率；（2）为鼓励市民购买新能源汽车，该市财政部门决定对今年增加的新能源汽车给予每辆0.8万元的政府性补贴．在（1）的条件下，求该市财政部门今年需要准备多少补贴资金？3．我市某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品，根据市场需求和生产经验甲产品每件可获利15元，乙产品每件可获利120元，而实际生产中，生产乙产品需要额外支出一定的费用，经过核算，每生产1件乙产品，当天平均每件获利减少2元，设每天安排x人生产乙产品．（1）根据信息填表：产品种类每天工人数（人）每天产量（件）每件产品可获利润（元）甲65﹣x15乙x x（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多650元，试问：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是多少元？4．毎年6月，学校门口的文具店都会购进毕业季畅销商品进行销售．已知校门口“小光文具店“在5月份就售出每本8元的A种品牌同学录90本，每本10元的B种品牌同学录175本．（1）某班班长帮班上同学代买A种品牌和B种品牌同学录共27本，共花费246元，请问班长代买A种品牌和B种品牌同学录各多少本？（2）该文具店在6月份决定将A种品牌同学录每本降价3元后销售，B种品牌同学录每本降价a%（a＞0）后销售．于是，6月份该文具店A种品牌同学录的销量比5月份多了a%，B种品牌同学录的销量比5月份多了（a+20）%，且6月份A、B两种品牌的同学录的销售总额达到了2550元，求a的值．5．重庆不仅是网红城市，更是拥有长安，力帆等大型车企的一座汽车城，为了更好的推广和销售汽车，每年都会在悦来会展中心举办大型车展．去年该车展期间大众旗下两品牌汽车迈腾和途观L共计销售240辆，迈腾销售均价为每辆20万元，途观L销售均价为每辆30万元，两种车型去年车展期间销售额共计5600万元．（1）这两种车型在去年车展期间各销售了多少辆？（2）在今年的该车展上，各大汽车经销商纷纷采取降价促销手段，而途观L坚持不降价，与去年相比，销售均价不变，销量比去年车展期间减少了a%，而迈腾销售均价比去年降低了a%，销量较去年增加了2a%，两种车型今年车展期间销售总额与去年相同，求a的值．基础题训练（二）：限时30分钟6．小王开了一家便利店．今年1月份开始盈利，2月份盈利5000元，4月份的盈利达到7200元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率；（2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？7．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？（2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？8．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的道路（即图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．9．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤．为了保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？10．某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价162元，每星期能卖出96件．（1）已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率；（2）聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售又可增加收入，且每件衬衫售价每降低1元，销售会增加2件，若店主想要每星期获利1750元，应把售价定为多少元？参考答案1．解：（1）设第二批制作x个风筝，（40﹣15）x+（40﹣20）×30≥2850，解得，x≥90，答：第二批至少应该制作90个风筝；（2）[40（1+a%）﹣15（1+a%）]×90（1﹣a%）﹣15（1+a%）×90×a%﹣（40﹣20）×30＝1668，解得，a＝20或a＝5（舍去），答：a的值是20．2．解：（1）设今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为x，由题意，得3250（1+x）2＝6370．解得，x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（舍去）．答：今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为40%；（2）3250×40%×0.8＝1040（万元）．答：该市财政部门今年需要准备1040万元补贴资金．3．解：（1）设每天安排x人生产乙产品，则每天安排（65﹣x）人生产甲产品，每天可生产x件乙产品，每件的利润为（120﹣2x）元，每天可生产2（65﹣x）件甲产品．故答案为：2（65﹣x）；120﹣2x．（2）依题意，得：15×2（65﹣x）﹣（120﹣2x）•x＝650，整理，得：x2﹣75x+650＝0解得：x1＝10，x2＝65（不合题意，舍去），∴15×2（65﹣x）+（120﹣2x）•x＝2650．答：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是2650元．4．解：（1）设班长代买A种品牌同学录x本，B种品牌同学录y本，依题意，得：，解得：．答：班长代买A种品牌同学录12本，B种品牌同学录15本．（2）依题意，得：（8﹣3）×90（1+a%）+10（1﹣a%）×175[1+（a+20）%]＝2550，整理，得：a2﹣20a＝0，解得：a1＝20，a2＝0（舍去）．答：a的值为20．5．解：（1）设去年车展期间迈腾销售了x辆，途观L销售了y辆，依题意，得：，解得：．答：去年车展期间迈腾销售了160辆，途观L销售了80辆．（2）依题意，得：20（1﹣a%）×160（1+2a%）+30×80（1﹣a%）＝5600，整理，得：8a﹣0.64a2＝0，解得：a1＝12.5，a2＝0（舍去）．答：a的值为12.5．6．解：（1）设每月盈利平均增长率为x，根据题意得：5000（1+x）2＝7200．解得：x1＝20%，x2＝﹣220%（不符合题意舍去）答：每月盈利的平均增长率为20%；（2）7200（1+20%）＝8640，答：按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到8640元．7．解：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16﹣2x﹣3x）2+62＝102，即（16﹣5x）2＝64，∴16﹣5x＝±8，∴x1＝，x2＝；∴经过s或sP、Q两点之间的距离是10cm；（2）连接BQ ．设经过ys 后△PBQ 的面积为12cm 2．①当0≤y ≤时，则PB ＝16﹣3y ， ∴PB •BC ＝12，即×（16﹣3y ）×6＝12，解得y ＝4； ②当＜x ≤时，BP ＝3y ﹣AB ＝3y ﹣16，QC ＝2y ，则BP •CQ ＝（3y ﹣16）×2y ＝12，解得y 1＝6，y 2＝﹣（舍去）； ③＜x ≤8时，QP ＝CQ ﹣PQ ＝22﹣y ，则QP •CB ＝（22﹣y ）×6＝12，解得y ＝18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．8．解：设道路的宽x 米，则（32﹣x ）（20﹣x ）＝540，解得：x ＝2，x ＝50（舍去），答：道路的宽是2米．9．解：（1）∵售价每降低1元，每天可多售出200斤，∴售价降低x 元时，每天销售量为：100+200x ．故答案为：200x +100．（2）由已知得：（4﹣2﹣x ）（200x +100）＝300，整理得：2x 2﹣3x +1＝0，解得：x1＝＝0.5，x2＝1，当x＝0.5时，200x+100＝200，∵200＜260，∴x＝0.5不合适．∴销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低1元．10．解：（1）设每次降价的百分率为x，200（1﹣x）2＝162解得，x1＝0.1，x2＝1.9（舍去），即每次降价的百分率是10%；（2）设店主将售价降价x元，（200﹣150﹣x）（20+2x）＝1750解得，x1＝15，x2＝25∴200﹣15＝185，200﹣25＝175，即应把售价定为185元或175元．。

《21.2解一元二次方程》同步专题提升训练(附答案)2021-2022学年九年级数学人教版上册

2021-2022学年人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》同步专题提升训练（附答案）一．选择题1．若关于x的一元二次方程mx2+2mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值为（）A．0B．4C．0或4D．0或﹣42．一元二次方程x2+6x﹣5＝0配方后可化为（）A．（x+3）2＝5B．（x+3）2＝14C．（x﹣3）2＝5D．（x﹣3）2＝14 3．一元二次方程3x2+5x+1＝0根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无法判断4．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）A．k＞﹣3B．k＞﹣3且k≠1C．k≥﹣3且k≠1D．k＜﹣35．一个等腰三角形两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形周长是（）A．12B．9C．15D．12或156．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（）A．B．4C．25D．57．若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，则a2+b2的值为（）A．4B．﹣4C．﹣1D．4或﹣18．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2+2x+1＝0B．x2+x+2＝0C．x2﹣2x＝0D．（x﹣3）2﹣2＝0二．填空题9．方程x2﹣4x＝0的实数解是．10．已知一元二次方程2x2+mx﹣4＝0的一个根是，则该方程的另一个根是．11．若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则的值为．12．关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为．13．在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝1，x2＝2；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝3，x2＝4．请你写出正确的一元二次方程．14．已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，则+的值为．15．已知α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，则代数式（α﹣2021）（β﹣2021）＝．16．设一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x13x2﹣3x12x2＝．三．解答题17．解下列方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）x2﹣7x+1＝0（用公式法解）．18．解方程：（1）x2+6x+4＝0；（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1＝3﹣x2，求方程的两个根．20．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．21．已知关于x的方程x2+（a﹣2）x﹣a＝0．（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若此方程两个实数根都是正实数，求a取值范围．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0．（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．参考答案一．选择题1．解：∵mx2+2mx+4＝0是一元二次方程，∴m≠0，∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝4m2﹣16m＝0，∴m＝0或m＝4，∴m＝4，故选：B．2．解：∵x2+6x﹣5＝0，∴x2+6x＝5，∴x2+6x+9＝14，∴（x+3）2＝14．故选：B．3．解：∵一元二次方程3x2+5x+1＝0中，a＝3，b＝5，c＝1，∴△＝52﹣4×3×1＝13＞0，∴方程有两个不相等的实数根故选：B．4．解：根据题意得：Δ＝b2﹣4ac＝16+4（k﹣1）＝4k+12＞0，且k﹣1≠0，解得：k＞﹣3且k≠1．故选：B．5．解：∵x2﹣9x+18＝0，∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，则x﹣3＝0或x﹣6＝0，解得x＝3或x＝6，当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形；当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15．故选：C．6．解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4和2，即AC＝4，BD＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1，由勾股定理得：AD＝＝，故选：A．7．解：设y＝a2+b2（y≥0），则由原方程得到y（y﹣3）＝4．整理，得（y﹣4）（y+1）＝0．解得y＝4或y＝﹣1（舍去）．即a2+b2的值为4．故选：A．8．解：A、Δ＝22﹣4×1＝0，则方程有两个相等的实数根，所以A选项不符合题意；B、Δ＝12﹣4×2＝﹣7＜0，则方程没有实数根，所以B选项符合题意；C、Δ＝（﹣2）2﹣4×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；D、整理整理为x2﹣6x+7＝0，Δ＝62﹣4×7＝8＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．故选：B．二．填空题9．解：方程x2﹣4x＝0，分解因式得：x（x﹣4）＝0，可得x＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝0，x2＝4．故答案为：x1＝0，x2＝4．10．解：设方程的另一根为x2，∵一元二次方程2x2+mx﹣4＝0的一个根是，∴x2＝．解得x2＝﹣4．故答案是：﹣4．11．解：m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，∴m2+3m﹣1＝0，∴3m﹣1＝﹣m2，∵Δ＝13＞0，∴m+n＝﹣3，∴＝＝＝3，故答案为3．12．解：当6为底边时，则x1＝x2，∴Δ＝100﹣4m＝0，∴m＝25，∴方程为x2﹣10x+25＝0，∴x1＝x2＝5，∵5+5＞6，∴5，5，6能构成等腰三角形；当6为腰时，则设x1＝6，∴36﹣60+m＝0，∴m＝24，∴方程为x2﹣10x+24＝0，∴x1＝6，x2＝4，∵6+4＞6，∴4，6，6能构成等腰三角形；综上所述：m＝24或25，故答案为24或25．13．解：∵小明看错了一次项系数b，∴c＝x1•x2＝1×2＝2；∵小刚看错了常数项c，∴﹣b＝x1+x2＝3+4＝7，∴b＝﹣7．∴正确的一元二次方程为x2﹣7x+2＝0．故答案为：x2﹣7x+2＝0．14．解：∵一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2021，∴+＝＝＝，故答案为：．15．解：∵α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，∴α+β＝2021，αβ＝2020，∴（α﹣2021）（β﹣2021）＝αβ﹣2021（α+β）+20212＝2020﹣2021×2021+20212＝2020．故答案为：2020．16．解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，∴x12﹣3x1＝1，x1x2＝﹣1，∴x13x2﹣3x12x2＝x1x2•（x12﹣3x1）＝（﹣1）×1＝﹣1，故答案为：﹣1．三．解答题17．解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，（x﹣5）（x+1）＝0，x﹣5＝0或x+1＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣1；（2）x2﹣7x+1＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×1＝45＞0，∴x＝＝，解得：x1＝，x2＝．18．解：（1）∵x2+6x＝﹣4，∴x2+6x+9＝﹣4+9，即（x+3）2＝5，则x+3＝±，∴，；（2）∵x（x﹣2）+x﹣2＝0，∴（x﹣2）（x+1）＝0，∴x﹣2＝0或x+1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2．19．解：（1）∵△＝（4m）2﹣4×1×（4m2﹣9）＝16m2﹣16m2+36＝36＞0，∴已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0一定有两个不相等的实数根；（2）∵x＝，∵，∴x1+x2＝6，∵x1+x2＝4m，∴4m＝6，∴，∴，∴x1＝6，x2＝0．20．解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，解得m≤0．故m的取值范围是m≤0；（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．故m的值为﹣2．21．解：（1）在方程x2+（a﹣2）x﹣a＝0中，∵Δ＝（a﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＝a2+4，∵a2+4≥4，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．（2）设方程的两个根分别为α和β，由根与系数的关系得：，解得：a＜0．22．（1）证明：∵△＝[﹣（2k+4）]2﹣4（k2+4k+3）＝4＞0，∴不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）解：x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0，（x﹣k﹣1）（x﹣k﹣3）＝0，∴x1＝k+1＞0，x2＝k+3＞0，∴Rt△ABC两直角边的长为k+1和k+3，斜边BC的长为10，∴（k+1）2+（k+3）2＝102，解得k1＝﹣9（舍去），k2＝5，∴k的值为5．。

《第8章一元二次方程》期末知识点分类提升训练2020-2021学年鲁教版(五四制)八年级数学下册

2021年鲁教版八年级数学下册《第8章一元二次方程》期末知识点分类提升训练（附答案）一．一元二次方程的定义1．下列方程中是一元二次方程的是（）A．x2+2x＝0B．C．x+3＝0D．x3+2x2＝12．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x﹣3x＝4B．x2﹣＝3C．x3﹣3＝7D．x2+2x﹣6＝0 3．下列方程是一元二次方程的是（）A．2x+2＝2B．x2﹣2y＝1C．x2＝0D．二．一元二次方程的一般形式4．一元二次方程2x2+3x﹣4＝0的一次项系数是（）A．﹣4B．﹣3C．2D．35．在一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0中，二次项系数和一次项系数分别是（）A．1，4B．1，﹣4C．1，﹣1D．x2，4x6．把一元二次方程x（x+3）＝4化成一般形式：．7．将一元二次方程2x2＝x﹣1化成一般形式是．三．一元二次方程的解8．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2+k﹣2＝0有一个根是0，则k的值是（）A．0B．1C．﹣2D．1或﹣29．已知x＝﹣1是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个实根，则m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．210．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2022﹣2a+2b 的值等于（）A．2018B．2020C．2022D．2024四．解一元二次方程：直接开平方法11．给出一种运算：对于函数y＝x n，规定y'＝nx n﹣1．例如：若函数y＝x4，则有y'＝4x3．已知函数y＝x3，那么方程y′＝18的解是（）A．x1＝，x2＝﹣B．x1＝6，x2＝﹣6C．x1＝3，x2＝﹣3D．x1＝3，x2＝﹣3A．x1＝0，x2＝1B．x1＝0，x2＝﹣1C．x1＝1，x2＝﹣1D．x1＝x2＝1 13．若关于x的方程x2﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜0B．m≤0C．m＞0D．m≥0五．解一元二次方程：配方法14．用配方法解一元二次方程x2+6x﹣5＝0时，配方后得到的方程为（）A．（x+3）2＝9B．（x+3）2＝14C．（x+6）2＝41D．（x﹣5）2＝6 15．用配方法解方程x2+6x+4＝0时，原方程变形为（）A．（x+3）2＝9B．（x+3）2＝13C．（x+3）2＝5D．（x+3）2＝4 16．一元二次方程x2+4x＝2配方后化为（）A．（x+2）2＝6B．（x﹣2）2＝6C．（x+2）2＝﹣6D．（x+2）2＝﹣2 17．用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，方程应变形为（）A．（x﹣3）2＝8B．（x﹣3）2＝10C．（x﹣6）2＝10D．（x﹣6）2＝8 18．一元二次方程2x2+6x+3＝0经过配方后可变形为（）A．（x+3）2＝6B．（x﹣3）2＝12C．D．六．解一元二次方程：公式法19．用公式法解方程x2﹣6x+1＝0所得的解正确的是（）A．B．C．D．20．解方程：（1）x2﹣2＝5；（2）x（x+2）＝﹣2x+1．21．解下列方程：（1）（x﹣1）（x+3）＝12；（2）2x2﹣4x+1＝0．七．解一元二次方程：因式分解法22．关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝0的实数根有（）A．0个B．1个C．2个D．3个A．x＝3B．x＝0C．x1＝3，x2＝0D．x1＝﹣3，x2＝0 24．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12B．15C．12或15D．不能确定25．三角形的两边长是3和4，第三边长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则三角形的周长为（）A．12B．13C．14D．12或14八．换元法解一元二次方程26．请用合适的方法解方程：（1）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0（2）4x2﹣8x+1＝0（3）（x﹣2）（x﹣3）＝1227．解方程：（1）2x2﹣1＝4x；（2）（x﹣1）2﹣3（1﹣x）＝0．九．一元二次方程根的判别式28．一元二次方程x2﹣2x+5＝0的根的情况是（）A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定29．下列关于方程x2﹣4x﹣7＝0的结论正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．无实数根30．关于x的方程x2﹣kx﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定31．下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+x+1＝0B．x2+x﹣1＝0C．x2﹣2x﹣1＝0D．x2﹣2x+1＝0 32．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根33．不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个实数根D．无实数根34．已知一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0．（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值．一十．一元二次方程根与系数的关系35．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x1+x2+x1x2的值是（）A．﹣1B．1C．5D．﹣536．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝（）A．﹣2B．2C．3D．﹣337．关于x的一元二次方程x2﹣kx+2k﹣1＝0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22＝7，则（x1﹣x2）2的值是（）A．13或11B．12或﹣11C．13D．1238．若关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+2＝0的一个根是﹣1，则另一个根是．39．若α，β是一元二次方程x2﹣3x＝0的两个实数根，则α+β的值是．40．已知x1、x2是方程x2﹣x+1＝0的两根，则x12+x22的值为．十一．一元二次方程的应用41．11月15日上午，2020“一带一路”国际帆船赛（中国北海站）举行了起航仪式，北海市人民政府副市长欧余军为北海号船长授旗．比赛期间，某帆船赛的纪念品受到热烈欢迎，从原价100元连续两次涨价达到121元，如果每次涨价的百分率都是x，下面所列方程正确的是（）A．121（1﹣2x）＝100B．121（1﹣x）2＝100C．100（1+2x）＝121D．100（1+x）2＝12142．近年来，我国快递业务迅猛发展，据统计，2018年和2020年全国累计完成快递业务量分别约为400亿件和635亿件．设这两年我国快递业务量的年平均增长率为x，可列方程为（）A．400（1+2x）＝635B．400（1+x）2＝635C．635（1﹣2x）＝400D．635（1﹣x）2＝40043．惠多多超市2020年10月份的营业额为36万元，12月份的营业额为48万元．设该超市每月的平均增长率为x，则可列方程为（）A．36（1+x）2＝48B．36（1﹣x）2＝48C．48（1+x）2＝36D．48（1﹣x）2＝3644．某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x，根据题意列方程为．45．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件、如果全组共有x名同学，根据题意列出的方程是．46．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场个47．某超市销售一种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，超市采取了降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若每件降价5元，则平均每天销售量为件；（2）当每件降价多少元时，该超市每天销售此商品利润为1200元？48．某电脑销售店电脑原价为每台5000元，元旦期间开展了促销活动，将原价经过两次下调后，促销价为每台4050元．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某校计划以促销价购买100台电脑．该店还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送12个月的免费保修费，免费保修费为每台每月10元．请问哪种方案更优惠？49．某玩具经销商2019年全年的销售总额为20万元，总成本为12万元；由于改善经营模式，与2019年相比2021年总成本下降了20%，销售总额增加了10.5%．（1）求该经销商年利润的平均增长率；（2）如果不受客观因素的影响，并按此增长速度，那么2022年该经销商获得的利润是多少万元（结果精确到0.01万元）．十二．配方法的应用50．用配方法将代数式a2+4a﹣5变形，结果正确的是（）A．（a+2）2﹣1B．（a+2）2﹣5C．（a+2）2﹣9D．（a+2）2+451．对于任何实数m、n，多项式m2+n2﹣6m﹣10n+36的值总是（）A．非负数B．0C．大于2D．不小于2 52．对于任意实数x，多项式x2﹣5x+8的值是一个（）A．非负数B．正数C．负数D．无法确定53．阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4≥4，∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值为0，∴y2+4y+8的最小值为4．仿照上面的解答过程，（1）求m2+2m+4的最小值；（2）求4﹣x2+2x的最大值．参考答案一．一元二次方程的定义1．解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意．；B、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；D、未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：A．2．解：A、未知数的最高次数为1次，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、未知数的最高次数为3次，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；D、是一元二次方程，故此选项符合题意；故选：D．3．解：A、未知数的最高次数为1次，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、是一元二次方程，故此选项符合题意；D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：C．二．一元二次方程的一般形式4．解：一元二次方程2x2+3x﹣4＝0一次项系数是：3．故选：D．5．解：一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0中，二次项系数和一次项系数分别是1，﹣4．故选：B．6．解：x（x+3）＝4，去括号，得x2+3x＝4，移项，得x2+3x﹣4＝0，故答案为：x2+3x﹣4＝0．7．解：由2x2＝x﹣1，得2x2﹣x+1＝0，即方程2x2＝x﹣1化为一元二次方程的一般形式是2x2﹣x+1＝0．故答案为：2x2﹣x+1＝0．三．一元二次方程的解8．解：∵方程（k﹣1）x2+6x+k2+k﹣2＝0为一元二次方程，∴k﹣1≠0，∴k≠1．将x＝0代入（k﹣1）x2+6x+k2+k﹣2＝0，得：k2+k﹣2＝0，解得：k1＝﹣2，k2＝1（不合题意，舍去）．故选：C．9．解：∵x＝﹣1是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个实根，∴1﹣2+m＝0，∴m＝1，故选：C．10．解：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b﹣2＝0，则a﹣b＝2，所以原式＝2022﹣2（a﹣b）＝2022﹣2×2＝2022﹣4＝2018，故选：A．四．解一元二次方程：直接开平方法11．解：∵y＝x3，∴y′＝3x2，∵y′＝18，∴3x2＝18，则x2＝6，∴x1＝，x2＝﹣，故选：A．12．解：x2＝1，开方得：x＝±1，即x1＝1，x2＝﹣1，故选：C．13．解：∵x2﹣m＝0，∴x2＝m，由x2﹣m＝0知m≥0，故选：D．五．解一元二次方程：配方法14．解：∵x2+6x﹣5＝0，∴x2+6x＝5，∴x2+6x+9＝5+9，∴（x+3）2＝14，故选：B．15．解：由x2+6x+4＝0可得：x2+6x＝﹣4，则x2+6x+9＝﹣4+9，即：（x+3）2＝5，故选：C．16．解：∵x2+4x＝2，∴x2+4x+4＝2+4，∴（x+2）2＝6．故选：A．17．解：∵x2﹣6x+1＝0，∴x2﹣6x+9＝8，∴（x﹣3）2＝8，故选：A．18．解：∵2x2+6x＝﹣3，∴x2+3x＝﹣，则x2+3x+＝﹣+，即（x+）2＝，故选：C．六．解一元二次方程：公式法19．解：∵a＝1，b＝﹣6，c＝1，∴△＝（﹣6）2﹣4×1×1＝32＞0，则x＝＝＝3±2，故选：D．20．解：（1）x2﹣2＝5，x2＝7，解得，x1＝，x2＝﹣；（2）x（x+2）＝﹣2x+1方程整理得x2+4x＝1，x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5，∴x+2＝±，∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．21．解：（1）x2+2x﹣15＝0，（x+5）（x﹣3）＝0，x+5＝0或x＝3，所以x1＝3，x2＝﹣5；（2）解：∵a＝2，b＝﹣4，c＝1，∴△＝（﹣4）2﹣4×2×1＝8，∴，即，．七．解一元二次方程：因式分解法22．解：∵x2﹣4x+3＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，则x﹣1＝0或x﹣3＝0，解得x1＝1，x2＝3，故选：C．23．解：x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，x＝0或x﹣3＝0，所以x1＝0，x2＝3．故选：C．24．解：方程变形得：（x﹣3）（x﹣6）＝0，解得：当x＝3或x＝6，当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去；当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6+6+3＝15，故选：B．25．解：解方程x2﹣12x+35＝0，得x1＝5，x2＝7，即第三边的边长为5或7．∵1＜第三边的边长＜7，∴第三边的边长为5．∴这个三角形的周长是3+4+5＝12．故选：A．八．换元法解一元二次方程26．解：（1）设t＝x+2，则由原方程得到：（t﹣5）2＝0，t﹣5＝0，∴t＝5，∴x1＝x2＝3．（2）4x2﹣8x+1＝0（用配方法）x2﹣2x＝﹣，（x﹣1）2＝，解得：x1＝1+，x2＝1﹣；（3）原方程整理为x2﹣5x﹣6＝0，∵（x﹣6）（x+1）＝0，∴x﹣6＝0或x+1＝0，则x＝6或x＝﹣1．27．解：（1）2x2﹣1＝4x，∵x2﹣2x＝，∴x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣；（2）（x﹣1）2﹣3（1﹣x）＝0，（x﹣1）（x﹣1+3）＝0，∴x﹣1＝0或x+2＝0，∴x1＝1，x2＝﹣2．九．一元二次方程根的判别式28．解：∵△＝（﹣2）2﹣4×5＝﹣16＜0，∴方程无实数根．故选：C．29．解：方程x2﹣4x﹣7＝0，这里a＝1，b＝﹣4，c＝﹣7，∵△＝16+28＝44＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．30．解：∵x2﹣kx﹣1＝0，∴△＝（﹣k）2﹣4×1×（﹣1）＝k2+4＞0，∴方程x2﹣kx﹣1＝0有两个不相等的实数根，故选：C．31．解：A、在方程x2+x+1＝0中，△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，∴该方程没有实数根；B、在方程x2+x﹣1＝0中，△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴该方程有两个不相同的实数根；C、在方程x2﹣2x﹣1＝0中，△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴该方程有两个不相同的实数根；D、在方程x2﹣2x+1＝0中，△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴该方程有两个相等的实数根．故选：A．32．解：△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，故选：A．33．解：方程整理得2x2﹣3x﹣3＝0，∵△＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．34．解：（1）∵方程的一个根为x＝﹣1，∴a﹣3+4+3＝0，∴a＝4；（2）由题意△≥0且a≠3∴16﹣12（a﹣3）≥0，解得a≤，∵a是正整数，∴a＝1或2或4．十．一元二次方程根与系数的关系35．解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，∴x1+x2＝3；x1x2＝﹣2．则x1+x2+x1x2＝3+（﹣2）＝1．故选：B．36．解：根据根与系数的关系，x1+x2＝﹣＝2．故选：B．37．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+2k﹣1＝0的两个实数根分别是x1、x2，∴x1+x2＝k，x1x2＝2k﹣1，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝7，即k2﹣4k﹣5＝0，解得：k1＝﹣1，k1＝5．当k＝﹣1时，原方程为x2+x﹣3＝0，∴△＝12﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，∴k＝﹣1符合题意，此时x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝13；当k＝5时，原方程为x2﹣5x+9＝0，∴△＝（﹣5）2﹣4×1×9＝﹣11＜0，∴k＝5不符合题意，舍去．综上可知：（x1﹣x2）2的值是13．故选：C．38．解：设方程的另一个根是t，根据题意得﹣1•t＝2，解得t＝﹣2，即方程的另一个根是﹣2．故答案为﹣2．39．解：∵α，β是一元二次方程x2﹣3x＝0的两个实数根，∴α+β＝3，故答案为3．40．解：根据题意得x1+x2＝，x1x2＝1，所以原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2×1＝3．故答案为3．十一．一元二次方程的应用41．解：依题意得：100（1+x）2＝121．故选：D．42．解：依题意得：400（1+x）2＝635．故选：B．43．解：依题意得：36（1+x）2＝48．故选：A．44．解：设月平均增长率为x，根据题意得：400（1+x）2＝900．故答案为：400（1+x）2＝900．45．解：设全组有x名同学，则每名同学所赠的标本为：（x﹣1）件，那么x名同学共赠：x（x﹣1）件，所以，x（x﹣1）＝132．故答案为：x（x﹣1）＝132．46．解：设这个航空公司有机场n个＝10n＝5或n＝﹣4（舍去）47．解：（1）20+2×5＝30（件）．故答案为：30．（2）设每件降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天销售量为（20+2x）件，依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．又∴40﹣x≥24，∴x≤16，∴x＝10．答：当每件降价10元时，该超市每天销售此商品利润为1200元．48．解：（1）设平均每次降价的百分率为x，依题意得：5000（1﹣x）2＝4050，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．答：平均每次降价的百分率为10%．（2）选择方案①所需费用为4050×100×0.98＝396900（元）；选择方案②所需费用为4050×100﹣100×10×12＝393000（元）．∵396900元＞393000元，∴方案②更优惠．49．解：（1）设该经销商年利润的平均增长率为x，依题意得：（20﹣12）（1+x）2＝20（1+10.5%）﹣12（1﹣20%），即：8（1+x）2＝12.5，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合，舍去）．答：该经销商年利润的平均增长率为25%．（2）∵2021年获得的利润12.5万元，∴12.5×（1+25%）＝15.625≈15.63（万元）．答：2022年该经销商获得的利润约是15.63万元．十二．配方法的应用50．解：a2+4a﹣5＝a2+4a+4﹣9＝（a+2）2﹣9．故选：C．51．解：m2+n2﹣6m﹣10n+36＝m2﹣6m+9+n2﹣10n+25+2＝（m﹣3）2+（n﹣5）2+2，∵（m﹣3）2≥0，（n﹣5）2≥0，∴（m﹣3）2+（n﹣5）2+2≥2，∴多项式m2+n2﹣6m﹣10n+36的值总是不小于2，故选：D．52．解：x2﹣5x+8＝x2﹣5x++＝（x﹣）2+，任意实数的平方都是非负数，其最小值是0，所以（x﹣）2+的最小值是，故多项式x2﹣5x+8的值是一个正数，故选：B．53．解：（1）m2+2m+4＝m2+2m+1+3＝（m+1）2+3，∵（m+1）2≥0，∴（m+1）2+3≥3，即m2+2m+4的最小值为3；（2）4﹣x2+2x＝﹣x2+2x+4＝﹣（x2﹣2x+1）+5＝﹣（x﹣1）2+5，∵（x﹣1）2≥0，∴﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，即4﹣x2+2x的最大值为5．。

中考数学(一元二次方程组提高练习题)压轴题训练附答案

中考数学(一元二次方程组提高练习题)压轴题训练附答案一、一元二次方程1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？【答案】（1）PQ=62cm；（2）85s或245s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．【解析】试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=245；∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y，∴12PB•BC=12，即12×（16-3y）×6=12，解得y=4；②当163＜x≤223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则1 2BP•CQ=12（3y-16）×2y=12，解得y1=6，y2=-23（舍去）；③223＜x≤8时，QP=CQ-PQ=22-y，则1 2QP•CB=12（22-y）×6=12，解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．考点：一元二次方程的应用．2．解方程：x2－2x＝2x＋1.【答案】x1＝2，x2＝2【解析】试题分析：根据方程，求出系数a、b、c，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式x=求解即可.试题解析：方程化为x2－4x－1＝0.∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，∴x ＝420 ＝2±5 ， ∴x 1＝2－5 ，x 2＝2＋5.3．已知：关于的方程有两个不相等实数根．（1）用含的式子表示方程的两实数根；（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．【答案】（I ）kx 2+（2k －3)x+k －3 = 0是关于x 的一元二次方程． ∴由求根公式，得． ∴或（II ），∴．而，∴，．由题意，有∴即（﹡）解之，得经检验是方程（﹡）的根，但，∴【解析】（1）计算△=（2k-3）2-4k （k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x 1＞x 2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.请你解答下列问题：4．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m 时，是正比例函数，当x ＞m 时是一次函数．【小题1】只需把x 代入函数表达式，计算出y 的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．5．关于x 的方程()2204k kx k x +++=有两个不相等的实数根． ()1求实数k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1k >-且0k ≠；（2）不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．【解析】【分析】()1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式0V >，由此可以得到关于k 的不等式，解不等式即可求出k 的取值范围.()2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k 的等式，解出k 值，然后判断k 值是否在()1中的取值范围内.【详解】解：()1依题意得2(2)404k k k =+-⋅>V ， 1k ∴>-，又0k Q ≠，k ∴的取值范围是1k >-且0k ≠；()2解：不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，理由是：设方程()2204k kx k x +++=的两根分别为1x ，2x ，由根与系数的关系有：1212214k x x k x x +⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，212k k +∴-=， 43k ∴=-，由()1知，1k >-，且0k ≠，43k ∴=-不符合题意，因此不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．【点睛】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。

第二章一元二次方程能力提升测试题（含解析）

第二章：一元二次方程能力提升测试一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1．已知1=x 是方程012=++px x 的一个实数根，则p 的值是（） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． ﹣22．已知一元二次方程02=++c bx ax ，若0=+-c b a ，则该方程一定有一个根为（） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． -13．关于x 的一元二次方程()02212=-+-x x k 有两个不相等的实数根，则整数k 的最小值是( )A ． 1B ． 0C ． 2D ． 34．若关于x 的一元二次方程()()0112222=+++-x m x m 有解，那么m 的取值范围是( )A ．43>m B ．43≥m C ．43>m 且2≠m D ．43≥m 且2≠m 5．若一元二次方程()096222=-++m x m 的一个根为0，则m 等于（） A ．﹣3 B ．3 C ．3或-3 D ．9 6．方程()()121+=-+x x x 的解是（） A ．2B ．3C ．-1,2D ．-1,37．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数比十位数大3，则这个两位数为（）A ．25B ．36C ．25或36D ．－25或－368.三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程216600x x -+=的一个实数根，则该三角形的面积是（）A ．24B ．24或85C ．48D ．859．如果非零实数a 是一元二次方程052=+-m x x 的一个根，a -是方程052=-+m x x 的一个根，那么a 的值等于( )A ． 0B ． 1C ．21D ． 5 10．某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了x 行或列，则列方程得( ) A ．(8－x)(10－x)＝8×10－40 B ．(8－x)(10－x)＝8×10＋40 C ．(8＋x)(10＋x)＝8×10－40 D ．(8＋x)(10＋x)＝8×10＋40二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.若关于x 的一元二次方程062=++bx ax 的一个根为2=x ，则代数式_______62=++b a 12．若关于x 的一元二次方程()01532=+-+x x a 有实数根，则整数a 的最大值是__________13．已知直角三角形两直角边x 、y 的长满足032422=--+-y y x ，则斜边长为_________14．某服装店经销一种品牌服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元，经市场预测发现：在每件降价不超过10元的情况下，若每件每降价1元，则每天可多销售5件，若该专卖店要使该品牌服装每天的盈利为1600元，则每件应降价___________元15.两个奇数，其中一个为另一个的平方，较大奇数与较小奇数的差为110，两个奇数分别为___________16.方程()0142=---p x x 与032=-+px x 仅有一个公共根，那么p 的值为___________三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17.（本题6分）解下列方程：（1）08922=+-x x （2）()()x x x 326237-=-18.（本题8分）关于x 的方程012=++-a ax x 有两个相等的实数根，求a a a a a a a a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+----+44412222的值．19（本题8分）．已知方程()0612=-+-x k x 是关于x 的一元二次方程．（1）求证：对于任意实数k ，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求k 的值及方程的另一个根．20.（本题10分）．已知关于x 的一元二次方程012=+++n mx x 的一根为2．（1）用含m 的代数式表示n ；（2）试说明：关于y 的一元二次方程02=++n my y 总有两个不相等的实数根．21（本题10分）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝7 cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动．(1)如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，经过几秒后，△PBQ 的面积等于4 cm 2?(2)如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，经过几秒后，PQ 的长度等于102 cm? (3)在(1)中，△PQB 的面积能否等于7 cm 2？说明理由．22（本题12分）．某经销商经销的学生用品，他以每件280元的价格购进某种型号的学习机，以每件360元的售价销售时，每月可售出60个，为了扩大销售，该经销商采取降价的方式促销，在销售中发现，如果每个学习机降价1元，那么每月就可以多售出5个．（1）降价前销售这种学习机每月的利润是多少元？（2）经销商销售这种学习机每月的利润要达到7200元，且尽可能让利于顾客，求每个学习机应降价多少元？（3）在（2）的销售中，销量可好，经销商又开始涨价，涨价后每月销售这种学习机的利润能达到10580元吗？若能，请求出涨多少元；若不能，请说明理由．23（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt △AOB 的两直角边OA ，OB 分别在x 轴，y 轴的正半轴上(OA ＜OB)，且OA ，OB 的长分别是一元二次方程x 2－14x ＋48＝0的两个根．线段AB 的垂直平分线CD 交AB 于点C ，交x 轴于点D ，点P 是直线CD 上一个动点，点Q 是直线AB 上一个动点． (1)求A ，B 两点的坐标；(2)求直线CD 的解析式；(3)在坐标平面内是否存在点M ，使以点C ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为21AB 长？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．。

2020-2021中考数学(一元二次方程组提高练习题)压轴题训练含详细答案

2020-2021中考数学(一元二次方程组提高练习题)压轴题训练含详细答案一、一元二次方程1．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长．【答案】△ABC 的周长为10．【解析】【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k = 当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0，解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0，解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4． ∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形． ∴△ABC 的周长为10．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．2．已知关于x 的一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣4）﹣m 2=0．（1）求证：对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（2）m 的值为2，方程的另一个根是5．【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.【详解】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，∴x2﹣7x+12﹣m2=0，∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，∵m2≥0，∴△＞0，∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是2，∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±，∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，即m的值为±，方程的另一个根是5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.3．计算题（1）先化简，再求值：21xx-÷（1+211x-），其中x=2017．（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．【答案】（1）2018；（2）m=4【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）21xx-÷（1+211x-）=22211 11 x xx x-+÷--=()() 2211 1x xxx x+-⋅-=x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根， ∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m ﹣3）=0，解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.4．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值．【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4 【解析】分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；（2）根据判别式即可求出a 的范围；（3）根据根与系数的关系即可求出答案．详解：（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54a ≤：；（3）∵12x x ，是方程的两个实数根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，．∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把22112211x x a x x a -=--=-，代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．5．解下列方程： (1)2x 2－4x －1＝0(配方法)； (2)(x ＋1)2＝6x ＋6.【答案】(1)x 1＝1＋2x 2＝1－21＝－1，x 2＝5. 【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝32.∴(x －1)2＝32.∴x －1＝.∴x 1＝1x 2＝1 (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0. ∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0. ∴x 1＝－1，x 2＝5.6．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元. （1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x 的值.【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7. 【解析】【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解. 【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩ 解之得：108a b =⎧⎨=⎩答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克（2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-= 解之得：12x =，27x =经检验，12x =，27x =均符合题意答：x 的值为2或7. 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.7．已知关于x 的一元二次方程()2211204x m x m +++-=． ()1若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值；()2若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22212121184x x x x m ++=-，求m 的值．【答案】（1）m 的最小整数值为4-；（2）3m = 【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根得0∆≥,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题. 【详解】（1）解：()22114124m m ⎛⎫∆=+-⨯⨯-⎪⎝⎭22218m m m =++-+29m =+Q 方程有两个实数根0∴∆≥，即290m +≥92m ∴≥-∴ m 的最小整数值为4-（2）由根与系数的关系得：()121x x m +=-+，212124x x m =- 由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭13m ∴=，25m =-92m Q ≥-3m ∴=【点睛】本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.8．关于x 的一元二次方程．（1）.求证：方程总有两个实数根；（2）.若方程的两个实数根都是正整数，求m 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）-1. 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根.(2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定的取值范围，即求出吗的最小值.【详解】(1)证明：依题意，得．，∴．∴方程总有两个实数根．由．可化为：得，∵方程的两个实数根都是正整数，∴．∴．∴的最小值为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.9．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4．【解析】试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．试题解析：（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m＋1）≥0，解得m≤4；（2）根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2（2m＋1）＋6≥20，解得m≥3，而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…①（1）若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；（2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析. 【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m 的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断． (1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1 ∴2--2=0．∴∴另一根是2； (2)∵，∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根11．已知关于x 的方程（x-3）(x-2)-p 2=0.（1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=3 x 1x 2，求实数p 的值. 【答案】（1）详见解析；（2）p=±1. 【解析】【分析】（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把2212123x x x x +=变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p 的一元二次方程，解方程即可求解．【详解】证明：（1）（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2=0， x 2﹣5x+6﹣p 2=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p 2）=25﹣24+4p 2=1+4p 2， ∵无论p 取何值时，总有4p 2≥0， ∴1+4p 2＞0，∴无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）x 1+x 2=5，x 1x 2=6﹣p 2，∵2212123x x x x +=， ∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=3x 1x 2， ∴52=5（6﹣p 2）， ∴p=±1．考点：根的判别式；根与系数的关系．12．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折.【解析】【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元.根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+x2×20）=2240，化简，得 x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90% 60.答：该店应按原售价的九折出售.13．解方程：（x2+x）2+（x2+x）＝6．【答案】x1＝﹣2，x2＝1【解析】【分析】设x2+x＝y，将原方程变形整理为y2+y﹣6＝0，求得y的值，然后再解一元二次方程即可．【详解】解：设x2+x＝y，则原方程变形为y2+y﹣6＝0，解得y1＝﹣3，y2＝2．①当y＝2时，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1；②当y＝﹣3时，x2+x＝﹣3，即x2+x+3＝0，∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，∴此方程无解；∴原方程的解为x1＝﹣2，x2＝1．【点睛】本题考查了换元法和一元二次方程的解法，设出元化简原方程是解答本题的关键.14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A沿AB边向B点以1 cm/s的速度移动，点Q从B点沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，两点同时出发．(1)问几秒后，△PBQ的面积为8cm²？(2)出发几秒后，线段PQ的长为42cm ?(3)△PBQ的面积能否为10 cm2？若能，求出时间；若不能，请说明理由．【答案】(1) 2或4秒2 cm；(3)见解析.【解析】【分析】（1）由题意，可设P、Q经过t秒，使△PBQ的面积为8cm2，则PB=6-t，BQ=2t，根据三角形面积的计算公式，S△PBQ=12BP×BQ，列出表达式，解答出即可；（2）设经过x秒后线段PQ的长为2cm，依题意得AP=x，BP=6-x，BQ=2x，利用勾股定理列方程求解；（3）将△PBQ的面积表示出来，根据△=b2-4ac来判断．【详解】(1)设P，Q经过t秒时，△PBQ的面积为8 cm2，则PB＝6－t，BQ＝2t，∵∠B＝90°，∴12(6－t)× 2t＝8，解得t1＝2，t2＝4，∴当P，Q经过2或4秒时，△PBQ的面积为8 cm2；(2)设x秒后，PQ＝2 cm，由题意，得(6－x)2＋4x2＝32，解得x1＝25，x2＝2，故经过25秒或2秒后，线段PQ的长为2 cm；(3)设经过y秒，△PBQ的面积等于10 cm2，S△PBQ＝12×(6－y)× 2y＝10，即y2－6y＋10＝0，∵Δ＝b2－4ac＝36－4× 10＝－4＜ 0，∴△PBQ的面积不会等于10 cm2.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练的掌握一元二次方程的应用是本题解题的关键.15．已知关于x 的方程()()212310k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x ，2x ．()1求k 的取值范围．()2是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？【答案】(1)1312k <且1k ≠；(2) k 不存在,理由见解析【解析】【分析】（1）因为方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．得出其判别式△＞0，可解得k 的取值范围；（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可求出k 的值．【详解】（1）方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，可得：k ﹣1≠0且△=﹣12k +13＞0，解得：k ＜1312且k ≠1；（2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x 1，x 2． ∵x 1+x 2=0，∴﹣231k k --=0，∴k =32．又∵k ＜1312且k ≠1，∴k 不存在．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x 1，x 2是方程x 2+px +q =0的两根时，x 1+x 2=﹣p ，x 1x 2=q ．。

一元二次方程专题强化训练

《一元二次方程》专题练习一、一元二次方程的解法1．已知x 为实数，且满足（x 2+3x ）2+3（x 2+3x ）﹣18=0，则x 2+3x 的值为． 2. 若16)3(222=-+y x ，则22y x +的值为 3．已知实数x 满足（x 2﹣5x+5）x =1，实数x 的值可以是． 4．已知x 是实数且满足（x ﹣3）=0，则相应的代数式x 2+2x ﹣1的值为．二、一元二次方程的根的定义及韦达定理的运用1．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2011=0的两个实数根，则a 2+2a+b 的值为（） A ． 2009 B ． 2010 C ． 2011 D ．2012 2．已知m 、n 是方程x 2﹣2002x+2003=0的两根，则（n 2﹣2003n+2004）与（m 2﹣2003m+2004）的积是．3．设x 1、x 2是一元二次方程x 2+4x ﹣3=0的两个根，2x 1（x 22+5x 2﹣3）+a=2，则a= ． 4．定义：如果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知x 2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则mn= ．5．定义：如果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）满足a ﹣b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．已知2x 2﹣mx ﹣n=0是关于x 的凤凰方程，m 是方程的一个根，则m 的值为．三、判别式定理的运用1．如果关于x 的一元二次方程kx 2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（） A ．k ＜ B ． k ＜且k≠0 C ．﹣≤k ＜D ．﹣≤k ＜且k≠02．关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是．3．若m 是非负整数，且关于x 的方程（m ﹣1）x 2﹣2mx+m+2=0有两个实数根，求m 的值及其对应方程的根．四、判别式定理与韦达定理的综合运用1．已知方程x 2﹣（m ﹣1）x+（m+7）=0有一个正根和一个负根，那么（） A ． m ＞7 B ． m ＞1 C ． m ＜1 D ．m ＜﹣72．已知方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0有一个正根一个负根，求m的取值范围．3．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+）=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k 的取值范围是．4．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长．5．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（a+1）x+a2+3=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=10，求a的值；（2）已知等腰△ABC的一边为6，另外两边的长都是整数且恰好是方程x2﹣2（a+1）x+a2+3=0的根，求这个三角形的周长．6．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．7．已知x1、x2是方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两根，且，求m的值．8．已知x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x l﹣2x2）=成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．（2）求使的值为整数的实数k的整数值．9．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+2）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为负整数，且该方程的两个根都是整数，求m的值．10．已知：关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0 （m＞1）．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数？11．已知方程a（2x+a）=x（1﹣x）的两个实数根为x 1，x2，设．（1）当a=﹣2时，求S的值；（2）当a取什么整数时，S的值为1；（3）是否存在负数a，使S2的值不小于25？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．12．已知关于x的一元二次方程x2+（3﹣a）x+a﹣5=0（1）求证：无论a为何实数时方程总有两个不相等的实根；（2）若方程一根大于2，另一根小于2，求实数a的取值范围．五、一元二次方程应用题1．一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动20m后小球停下来．（1）小球滚动了多少时间？（2）平均每秒小球的运动速度减少多少？（3）小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到0.1s）？2．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出（350﹣10a）件．但物价局限定每次商品加价不能超过进价的20%，商品计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价应该是多少元？3．某商场购进一批商品，在进价基础上加价120元后，再打九折销售，每件商品售价为360元，每月可售出60件．（1）求该商品的进价．（2）为了扩大销售，商场决定采取适当的降价方式促销，经调查发现，如果每件商品降价a%，那么商场每月可以多售出30a%，要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，求a的值．4．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．5．广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？6．把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．（1）要使折成的长方体盒子的底面积为324cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？（2）折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．7．某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图ABCD所示）．由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米．如果池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米300元，池底建造单价为每平方米80元．（池墙的厚度忽略不计）（1）当三级污水处理池的总造价为47 200元时，求池长x；（2）如果规定总造价越低就越合算，那么根据题目提供的信息，以472 00元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算？请说明理由．8．某汽车销售公司1月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为16万元，每多售一部，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/部．月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内，含10部，每部返利0.5万元，销售量在10部以上，每部返利1万元．①若该公司当月卖出4部汽车，则每部汽车的进价为万元；若该公司当月卖出m（1≤m≤20）部汽车，则每部汽车的进价为万元；②如果汽车的销售价位17万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么要卖出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）9．某广告公司制作广告的收费标准是：以面积为单位，在不超过规定面积A（m2）的范围内，每张广告收费1000元，如果超过Am2，则除了要交1000元的基本广告费外，超过部分还按每平方米50A元收费，下表是该公司对两家用户广告面积和收费情况的记载：单位广告面积（单位：m2）收费金额（单位：元）烟草公司 6 1400食品公司 3 1000红星公司要制作一张大型公益广告，其材料形状是矩形，如果它的四周是空白处，并且四周各空0.5米，空白部分不收广告费，中间的矩形部分才是广告面积，若矩形长宽之比为3：2，并且红星公司只能支出110400元的广告费．（1）求A的值．（2）求这张广告的长和宽各是多少米？10．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动，设运动的时间为t．（1）t为何值时，四边形APQD为矩形？（2）t为何值时，P、Q两点之间的距离是6m？（3）在移动的过程中，PQ能否将矩形ABCD分成面积比为1：2的两部分？若能，求出t的值；若不能，说明理由．11．已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB 边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）求四边形APQC的面积最小值．12．如图，在矩形ABCD中，BC=24cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=x cm（x≠0），则AP=2x cm，CM=3x cm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以P、N两点重合？（2）问Q、M两点能重合吗？若Q、M两点能重合，则求出相应的x的值；若Q、M两点不能重合，请说明理由．（3）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．。

2021年中考数学考点复习专题-【一元二次方程】专项提升训练

2021中考数学复习专题【一元二次方程】专项提升训练一．选择题1．方程4x2＝5x+81化成一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．4、5、81B．4、﹣5、81C．4、﹣5、﹣81D．﹣4、﹣5、﹣812．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，则参加活动的同学有（）A．6人B．7人C．8人D．9人3．关于x的方程3x2﹣2mx＝15，有一个根为3，则m的值等于（）A．2B．﹣C．﹣2D．4．用配方法将二次三项式x2+4x﹣96变形，结果正确的是（）A．（x+2）2﹣100B．（x﹣2）2﹣100C．（x+2）2﹣92D．（x﹣2）2﹣925．对于实数a、b，定义运算“★”如下：a★b＝a2﹣ab，如3★2＝32﹣3×2，则方程（x+1）★3＝2的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根6．一元二次方程kx2﹣2x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣且k≠0B．k≥﹣1C．k≤﹣1且k≠0D．k≥﹣1或k≠07．关于x的一元二次方程x2+（k﹣1）x﹣3＝0的一个根是1，则另一根和k的值分别为（）A．x＝﹣3，k＝﹣3B．x＝3，k＝﹣3C．x＝3，k＝3D．x＝﹣3，k＝38．已知x＝m是一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0的一个根，则m+n的最大值等于（）A．B．4C．D．9．已知关于x的方程x2﹣kx+9＝0可以配方成（x﹣m）2＝0的形式，则k的值为（）A．3B．6C．﹣6D．±610．如果x＝4是关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0的一个根，则另一个根是（）A．x＝2B．x＝3C．x＝1D．与p有关，不能确定二．填空题11．方程（2x﹣3）x＝3（2x﹣3）的根是．12．某商店今年7月份的销售额是5万元，9月份的销售额是7.2万元，从7月份到9月份，该店销售额平均每月的增长率是．13．一元二次方程y2﹣y﹣＝0配方后可化为．14．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的两根x1，x2满足，则m＝．15．若一元二次方程x2﹣6x+1＝0可以配方成（x+p）2＝q的形式，则代数式p+q的值为．三．解答题16．按照要求解方程（1）x2+2x﹣2＝0（公式法）；（2）（x+2）2﹣4（x﹣3）2＝0（因式分解法）．17．已知关于x的方程x2﹣6x+k+1＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围：（2）若方程的两个实数根x1，x2，＝x1x2﹣2，求k的值．18．如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地ABCD，AB边上留2米宽的小门EF（不用篱笆），设AD长为x米，AB长为y米．（1）求y关于x的函数表达式，并直接写出x的取值范围；（2）当矩形场地的面积为160平方米时，求AD的长．19．“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，某葡萄种植基地2018年种植“阳光玫瑰”100亩，到2020年“阳光玫瑰”的种植面积达到256亩．（1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均年增长率．（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出45千克．①若降价x（0≤x≤20）元，每天能售出多少千克？（用x的代数式表示）②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为10元/千克，若要销售“阳光玫瑰”每天获利2125元，则售价应降低多少元？20．有n个方程：x2+2x﹣8＝0；x2+2×2x﹣8×22＝0；…；x2+2nx﹣8n2＝0．小静同学解第1个方程x2+2x﹣8＝0的步骤为：“①x2+2x＝8；②x2+2x+1＝8+1；③（x+1）2＝9；④x+1＝±3；⑤x＝1±3；⑥x1＝4，x2＝﹣2．”（1）小静的解法是从第几步骤开始出现错误的？请把以后正确步骤完成．（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2＝0．（用含有n的式子表示方程的根）参考答案一．选择题1．解：方程4x2＝5x+81，整理得：4x2﹣5x﹣81＝0，则二次项系数为4，一次项系数为﹣5，常数项为﹣81．故选：C．2．解：设参加活动的同学有x人，则每人送出（x﹣1）张贺卡，依题意得：x（x﹣1）＝42，整理得：x2﹣x﹣42＝0，解得：x1＝7，x2＝﹣6（不合题意，舍去）．故选：B．3．解：∵关于x的方程3x2﹣2mx＝15的一个根是3，∴3×32﹣6m＝15，解得m＝2．故选：A．4．解：x2+4x﹣96＝x2+4x+4﹣4﹣96＝（x+2）2﹣100，故选：A．5．解：∵（x+1）★3＝2，∴（x+1）2﹣3（x+1）＝2，即x2﹣x﹣4＝0，∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，∴方程（x+1）★3＝2有两个不相等的实数根．6．解：∵一元二次方程kx2﹣2x﹣2＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4k×（﹣2）＝4+8k≥0，k≠0，解得：k≥﹣且k≠0，故选：A．7．解：当x＝1时，1+k﹣1﹣3＝0，解得：k＝3，则x2+2x﹣3＝0，设方程x2+2x﹣3＝0的解为x1、x2，则有：x1+x2＝﹣2，∵x1＝1，∴x2＝﹣3．∴另一根和k的值分别为x＝﹣3，k＝3．故选：D．8．解：∵x＝m是一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0的一个根，∴x＝m满足一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0，∴m2+2m+n﹣3＝0，∴n＝﹣m2﹣2m+3，∴m+n＝m﹣m2﹣2m+3＝﹣（m﹣）2+≤，∴m+n的最大值为，9．解：∵（x﹣m）2＝0，∴x2﹣2mx+m2＝0，∵x2﹣kx+9＝0可以配方成（x﹣m）2＝0的形式，∴m2＝9，则m＝±3，∴k＝2m＝±6，故选：D．10．解：（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，x2﹣5x+6﹣p2＝0，设方程的另一个解为x＝t，根据题意得4+t＝5，解得t＝1，∴另一个根是x＝1．故选：C．二．填空题11．解：移项得，（2x﹣3）x﹣3（2x﹣3）＝0，分解因式得：（2x﹣3）（x﹣3）＝0，解得：x1＝，x2＝3．故答案为：x1＝，x2＝3．12．解：设该店销售额平均每月的增长率为x，依题意，得：5（1+x）2＝7.2，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣1.2（不合题意，舍去）．故答案是：20%．13．解：∵y2﹣y﹣＝0，∴y2﹣y+＝1，∴（y﹣）2＝1，故答案为（y﹣）2＝1．14．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的两根是x1、x2，∴x1+x2＝m，x1x2＝2m﹣1，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝m2﹣2（2m﹣1），∵x12+x22＝14，∴m2﹣2（2m﹣1）＝14，解得m＝6或m＝﹣2，当m＝6时，方程为x2﹣6x+11＝0，此时△＝（﹣6）2﹣4×11＝36﹣44＝﹣8＜0，不合题意，舍去，∴m＝﹣2，故答案为：﹣2．15．解：∵x2﹣6x+1＝0，∴x2﹣6x＝﹣1，∴x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8，∴p＝﹣3，q＝8，则p+q＝﹣3+8＝5，故答案为：5．三．解答题16．解：（1）∵a＝1，b＝2，c＝﹣2，∴△＝22﹣4×1×（﹣2）＝12＞0，则x＝＝＝﹣1，即x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）∵（x+2）2﹣4（x﹣3）2＝0，∴[（x+2）+2（x﹣3）][（x+2）﹣2（x﹣3）]＝0，即（3x﹣4）（﹣x+8）＝0，则3x﹣4＝0或﹣x+8＝0，解得x1＝，x2＝8．17．解：（1）∵关于x的方程x2﹣6x+k+1＝0有两个实数根x1，x2．∴△≥0，即62﹣4×（k+1）≥0，解得k≤8，∴k的取值范围为k≤8；（2）∵方程x2﹣6x+k+1＝0有两个实数根x1，x2．∴x1+x2＝6，x1x2＝k+1，∵＝x1x2﹣2，∴＝x1x2﹣2，∴＝k+1﹣2，即（k+1）2﹣2（k+1）﹣120＝0，∴k1＝11，k2＝﹣11，∵k≤8，∴k＝﹣11．18．解：（1）∵AD＝BC＝x米，AB+AD+BC＝34+2＝36（米），∴AB＝（36﹣2x）米．∵，∴9≤x≤17．（2）依题意，得：x（36﹣2x）＝160，整理，得：x2﹣18x+80＝0，解得：x1＝8（不合题意，舍去），x2＝10．答：AD的长为10米．19．解：（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x，依题意，得：100（1+x）2＝256，解得：x1＝0.6＝60%，x2＝﹣2.6（不合题意，舍去）．答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为60%．（2）①设售价应降低y元，则每天可售出（200+45y）千克；②依题意，得：（20﹣10﹣y）（200+45y）＝2125，整理，得：9y2﹣50y+25＝0，解得：y1＝5，y2＝．∵要尽量减少库存，∴y＝5．答：售价应降低5元．20．解：（1）小静的解法是从第⑤步骤开始出现错误，正确解法如下：∵x2+2x﹣8＝0，∴x2+2x＝8，∴x2+2x+1＝8+1，即（x+1）2＝9，则x+1＝±3，∴x＝﹣1±3，∴x1＝2，x2＝﹣4；（2）∵x2+2nx﹣8n2＝0，∴x2+2nx＝8n2，∴x2+2nx+n2＝8n2+n2，∴（x+n）2＝9n2，∴x+n＝±3n，∴x1＝2n x2＝﹣4n．。

一元二次方程达标训练卷(培优题)

一元二次方程达标训练卷（培优题）一．选择题（共6小题）1．若x2+xy+y＝14，y2+xy+x＝28，则x+y的值为（）A．﹣7B．6C．﹣7或6D．﹣6或72．若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2020的值为（）A．2019B．2020C．2021D．20223．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：如图，画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，在斜边AB上截取BD＝，则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．BC的长C．CD的长D．AD的长4．关于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）一个实数根为2022，则方程cx2+bx＝a一定有实数根（）A．2022B．C．﹣2022D．﹣5．满足（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6的所有实数对（x，y），使取最小值，此最小值为（）A．B．C．D．6．可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（）A．CD的长B．BD的长C．AC的长D．BC的长二．填空题（共7小题）7．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根是2m+1和m﹣4，则＝．8．已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+4m2﹣2019m﹣2023的值为．9．已知m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则m3﹣10m＝．10．若方程x2﹣6x﹣k﹣1＝0与x2﹣kx﹣7＝0仅有一个公共的实数根，则k的值为．11．如果多项式9x2+mx+49是一个完全平方式，则常数m＝．12．已知，则（a+b）•c＝．13．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax1+b）2．其中正确的．A．只有①②④B．只有①②③C．①②③④D．只有①②三．解答题（共16小题）14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE．（1）求∠DCE的度数．（2）设BC＝a，AC＝b．①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根吗？说明理由．②若D为AE的中点，求的值．15．观察下面方程的解法x4﹣13x2+36＝0解：原方程可化为（x2﹣4）（x2﹣9）＝0∴（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）＝0∴x+2＝0或x﹣2＝0或x+3＝0或x﹣3＝0∴x1＝2，x2＝﹣2，x3＝3，x4＝﹣3你能否求出方程x2﹣3|x|+2＝0的解？16．在一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题．老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：（x2﹣x）2﹣（x2﹣x）+12＝0学生甲：老师，这个方程先去括号，再合并同类项，行吗？老师：这样，原方程可整理为x4﹣2x3﹣7x2+8x+12＝0，次数变成了4次，用现有知识无法解答．同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点？学生乙：老师，我发现x2﹣x是整体出现的，最好不要去括号！老师：很好，我们把x2﹣x看成一个整体，用y表示，即x2﹣x＝y，那么原方程就变为y2+8y+12＝0．全体学生：（同学们都特别高兴）噢，这不是我们熟悉的一元二次方程吗？！老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然一元二次方程y2+8y+12＝0的根是y1＝6，y2＝2，那么就有x2﹣x＝6或x2﹣x＝2．学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x1＝3，x2＝﹣2，x3＝2，x4＝﹣1，嗬，有这么多根啊！老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法．在这里使用它的最大妙处在于降低了原方程的次数，这是一种重要的转化方法．全体同学：OK，换元法真神奇！现在，请你用换元法解下列分式方程：．17．多项式4a2+1加上一个单项式后，正好成为一个完全平方式，那么所加上的单项式可能有哪些？请你写出所有可能的单项式．18．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．19．今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在原售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值．20．已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．21．甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？22．已知一元二次方程x2﹣2（m+2）x+2m2﹣1＝0有两个根x1和x2，并且，求m 的值．23．已知非零实数a，b满足a2+ab+b2+a﹣b+1＝0，求的值．24．方程x2﹣ax+4a＝0仅有整数根，求a．25．实数a，b，c满足：＝，求abc的值．26．设a+b+c+3＝2（），求a2+b2+c2的值．27．若关于x的一元二次方程mx2+5（2m﹣3）x﹣150＝0有两个不等负整数根，求整数m 的值．28．如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD中，点G，E，F分别在CD，AD，AB上，且DG＝1m，AE＝AF＝x，在△AEF，△DEG，五边形EFBCG三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元．（1）当x＝2时，小正方形ABCD种植花卉所需的费用；（2）试用含有x的代数式表示五边形EFBCG的面积；（3）当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？29．农历虎年之际，某社区为了突出浓浓年味，计划购买A与B两种贴花共500张．已知A 贴花的售价是每张15元，B贴花的售价是每张30元，共花费9000元．（1）求计划购买多少张B贴花？（2）为了节省费用，社区工作人员最终在网上购买，A贴花每张售价减少了，B贴花每张售价也便宜了m元．现在在（1）的基础上购买B贴花的数量增加了m张，总数量不变，并且总费用比原计划减少了（2000+10m）元，求m的值．。

第2章一元二次方程单元复习提升(易错与拓展)(原卷版)

第2章一元二次方程单元复习提升（易错与拓展）易错点01 一元二次方程的概念【指点迷津】注意a ≠0；化简到一元二次方程的一般式再做判断与解题．典例1．下列方程是一元二次方程的是（）A ．20ax bx c ++=B ．2213(2)x x x 2+=-C ．()()121x x +-=D ．23210x y -+=跟踪训练1．若关于x 的方程()22210mm x x --++=是一元二次方程，则m 的值是（）A ．3m =B ．2m =C ．2m =-D ．2m =±【指点迷津】因式分解法解一元二次方程时等式右边要为0.典例2．解下列方程： (1)(3)(1)3--=x x (2)2220x x -++=跟踪训练1．一元二次方程()11x x x -=-的根是（） A ．121x x == B ．121x x ==- C ．11x =，20x = D ．11x =-，20x =跟踪训练2．解方程： (1)23510x x -+=； (2)()()315x x +-=．易错点03 根据根的判别式求参数时忽视a ≠0【指点迷津】解一元二次方程及其相关应用时，不要忽视一元二次方程本身成立的条件，或者一些隐含条件.典例3．若关于 x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根，则实数k 的取值范围是（） A ．1k ≥- B ．1k >- C ．1k ≥-且0k ≠ D ．1k >-且0k ≠跟踪训练1．已知关于x 的一元二次方程()21210a x x --+=有实数根，求a 的取值范围．跟踪训练2．已知关于x 的一元二次方程()21310m x x -+-=有实数根，则m 的取值范围是．【指点迷津】因式分解在解题时往往可以加快解题速度，节约考试时间.典例4．一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大252，求这个两位数．跟踪训练1．某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件．为了减少库存量，且在月内赚取8000元的利润，售价应定为每件多少元？跟踪训练2．如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为a 米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门．设AB x =米时，鸡舍面积为S平方米．(1)求S 关于x 的函数表达式及x 的取值范围．(2)在（1）的条件下，当AB 为多少时，鸡舍的面积为90平方米？ (3)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到100平方米？典例1．对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，下列说法：①若a ＋b ＋c ＝0，则方程必有一根为x ＝1；①若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=无实根；①若方程20(0)ax bx c a ++=≠两根为1x ，2x 且满足120x x ≠≠，则方程20(0)cx bx a c ++=≠，必有实根11x ，21x ；①若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+其中正确的（） A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①跟踪训练1．下列给出的四个命题，真命题的有（）个①若方程()200ax bx c a ++=≠两根为-1和2，则20a c +=；①若2550a a -+=，则()211-=-a a ；①若240b ac -<，则方程()200ax bx c a ++=≠一定无解；①若方程20x px q ++=的两个实根中有且只有一个根为0，那么0p ≠，0q =．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个拓展02 根与系数的关系难点分析典例2．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有（填序号）． ①方程220x x --=是“倍根方程”；①若(2)()0x mx n -+=是“倍根方程”，则22450m mn n ++=； ①若,p q 满足2pq =，则关于x 的方程230px x q ++=是“倍根方程”；①若方程20ax bx c ++=是“倍根方程”，则必有229b ac =．跟踪训练1．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实数根分别为12,x x ，则方程可写成()()12a x x x x 0--=，即()212120ax ak x x ax x -++=，容易发现根与系数的关系：1212,b cx x x x a a+=-=．设一元三次方程320(0)ax bx cx d a +++=≠三个非零实数根分别123,,x x x ，现给出以下结论：①123bx x x a++=-，①123bx x x a =-；①122331c x x x x x x a++=；①123111c x x x d ++=，其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．典例3．如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(80)，，点B 的坐标是(06)，，连接AB ．若动点P 从点B 出发沿着线段BA 以5个单位每秒的速度向终点A 运动，设运动时间为t 秒．(1)求线段AB 的长．(2)连接OP ，当OBP 为等腰三角形时，过点P 作线段AB 的垂线与直线OB 交于点M ，求点M 的坐标； (3)已知N 点为AB 的中点，连接ON ，点P 关于直线ON 的对称点记为P '(如图2)，在整个运动过程中，若P '点恰好落在AOB 内部(不含边界)，请直接写出t 的取值范围．跟踪训练1．探索发现如图（1），在正方形ABCD 中，E 为BC 边上不与,B C 重合的点，过点,,A B C 三点分别作DE 的垂线，垂足分别为,,F H G ．（1）求证：DF CG =；（2）求证：DF BH FH +=．迁移拓展如图（2），在正方形ABCD 中，E 为直线BC 上一点，过B 点作DE 的垂线，垂足为H ，若5,1AB BH ==，直接写出BE 的长．一、单选题1．下列是一元二次方程的是（）A ．2320x x x -+=B ．240x x -+=C ．20ax bx c ++=D ．2210y x --=2．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（） A ．1B ．1或1-C ．1-D ．0.53．解方程()()2243343x x -=-）最适当的方法是（）A ．直接开方法B ．配方法C ．公式法D ．分解因式法4．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（） A ．210x x -+= B ．2230x x -+= C ．210x x +-= D ．240x += 5．用配方法解一元二次方程22760x x -+=，下面配方正确的是（） A ．271416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B ．2797416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．273724x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．271416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭6．方程2230x x +-=的解为11x =，23x =-，若方程()()22322330x x +++-=，它的解是（）． A ．1213x x ==， B ．1213x x ==-，C ．1213x x =-=，D ．12=1=3x x --，7．若关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根，则k 的取值范围是（）A ．1k ≥-且0k ≠B ．1k ≥-C ．1k >-D ．1k >-且0k ≠8．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2020年销量为50.7万辆，销量逐年增加，到2022年销量为125.6万辆．设年平均增长率为x ，可列方程为（）A ．250.7(1)125.6x +=B ．2125.6(1)50.7x -=C ．50.7(12)125.6x +=D ．250.7(1)125.6x -=9．已知a ，b 是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111a b+=-，则m 的值是（） A ．﹣3或1B ．3或﹣1C ．3D ．110．对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，下列说法：①若0a b c -+=，则240b ac -≥；①若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根； ①若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立； ①若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+ 其中正确的：（）A ．只有①B ．只有①①C ．①①①D ．只有①①①二、填空题11．2570x x ++=的二次项系数是、常数项是．12．关于x 的方程()222530m m x x --+-=是一元二次方程，则m ＝．13．已知x 2－6x +8＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的面积是． 14．已知x 2＝2x +15，则代数式22(2)(2)x x +--= ．15．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀参加比赛的球队有x 个，则可以列方程为．16．已知关于x 的方程()231210kx k x k +-+-=的解都是整数，则整数k 的值为．17．已知：关于x 的方程a (x +k )2+2022=0的解是x 1=-2，x 2=1(a 、k 均为常数，a ≠0)．（1）关于x 的方程a (x +k +2) 2+2022=0的根是；（2）关于x 的方程a (x +3k ) 2 +2022=0的根为．18．已知一元二次方程()200ax bx c a ++=≠和它的两个实数根为12,x x ，下列说法： ①若a ，c 异号，则方程()200ax bx c a ++=≠一定有实数根； ①若25b ac ＞，则方程()200ax bx c a ++=≠一定有两异实根； ①若b a c =+，则方程()200ax bx c a ++=≠一定有两实数根；①若123a b c ===-，，，由根与系数的关系可得121223x x x x +=-=，其中正确的结论是：（填序号）．三、解答题19．用适当的方法解一元二次方程（1）210.503x -=；（2）22()(2)2a x a x +=+；（3）22410x x --=；（4）2(12)(12)x x -=+．20．已知关于x 的方程()()232250m x m x m ---+-=.（1）当m 为何值时，方程只有一个实数根？（2）当m 为何值时，方程有两个相等的实数根？（3）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？ 21．已知关于x 的一元二次方程2(2)20(0)kx k x k +--=≠． (1)求证：不论k 为何值，这个方程都有两个实数根； (2)若此方程的两根均整数，求整数k 的值，22．已知：关于x 的方程()228440x m x m --+=，有两个不相等的实数根，(1)求实数m 的取值范围，(2)若方程的两个实数根12x x ，满足1212x x x x +=⋅，求出符合条件的m 的值．23．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成的，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门．当所围矩形与墙垂直的一边长为多少时，猪舍面积为80平方米？24．阅读材料题：我们知道20a ≥，所以代数式a 2的最小值为0，学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用()2222a ab b a b ±+±＝来求一些多项式的最小值．例如：求263x x ++的最小值问题．解：①()2226369636x x x x x ++=++-=+﹣，又①()230x +≥， ①()2366x +≥﹣﹣①263x x ++的最小值为﹣6．请应用上述思想方法，解决下列问题：(1)探究：246x x -+= ；(2)代数式28x x --有最（填“大”或“小”）值为； (3)如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的棚栏的总长是20m ，棚栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？25．当m ，n 为实数，且满足m nm n +=时，就称点,m P m n ⎛⎫⎪⎝⎭为“状元点”．已知点A （0，7）和点M 都在直线y x b =+上，点B ，C 是“状元点”，且B 在直线AM 上．(1)求b 的值及判断点F （2，6）是否为“状元点”； (2)请求出点B 的坐标；(3)若52AC ≤，求点C 的横坐标的取值范围．26．对于任意一个三位数k ，如果k 满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k ＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．(1)已知一个“喜鹊数”k ＝100a +10b +c （1≤a 、b 、c ≤9，其中a ，b ，c 为正整数），请直接写出a ，b ，c 所满足的关系式；判断241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数” ；(2)利用（1）中“喜鹊数”k 中的a ，b ，c 构造两个一元二次方程ax 2+bx +c ＝0①与cx 2+bx +a ＝0①，若x ＝m 是方程①的一个根，x ＝n 是方程①的一个根，求m 与n 满足的关系式；(3)在（2）中条件下，且m +n ＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k 的值．。

一元二次方程综合提高训练卷(20大题)

一元二次方程综合提高训练卷（20大题）1．先化简，再求值：(a−2aa+1)÷a2−2a+1a2−1−a2，其中a是方程x2−x−72=0的解．2．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场每天可多售5件．若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？3．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+14m2+1＝0的两根是一个矩形两邻边的长．（1）m取何值时，方程有两个正实数根．（2）当矩形的对角线长为√5时，求m的值．4．已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0；（1）求证：不论m任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根为x1、x2且满足1x1+1x2=−12，求m的值．5．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．6．每年的3月8日是国际劳动妇女节，是世界各国妇女争取和平、平等、发展的节日，沙坪坝某商店抓住这一机会，将A 、B 两种巧克力进行降价促销活动，在这一天前来购买这两种巧克力的顾客共有400名，每名顾客均购买了一盒巧克力，其中A 、B 两种的巧克力的销售单价分别为90元和50元．（1）若选择购买B 种巧克力的人数不超过购买A 种巧克力数的0.6倍．求至少有多少人选择购买A 种巧克力？（2）“七夕”节是中国的情人节，该商店估计当天购买巧克力的人会比较多，于是提高了A 种巧克力的售价，结果发现“七夕”节当天前来购买巧克力的顾客人数出现了下降，经统计发现与（1）问中选择A 种巧克力的人数最少时相比，A 种巧克力每上涨3元，购买A 种巧克力的人数会下降5人，同时购买B 种巧克力的人数也下降3人，但是B 种巧克力的售价没变，最终“七夕”节期间两种巧克力的总销售额与（1）问中选择A 种巧克力的顾客最少时的两种巧克力的总销售额持平，求“七夕”节当天A 种巧克力的售价．7．西南大学银翔实验中学第二届缤纷科技节于2019年5月份隆重举行，主题：绿色体验•成长﹣玩出你的稀缺竞争力”，本届缤纷科技节有展示类、体验类、竞赛类共40多个项目.4月份，学校对活动中所需物品统一购，其中某一体验类项目需要A 、B 两种材料，已知A 种材料单价32元/套，B 种材料单价24元/套，活动需要A 、B 两种材料共50套计划购买A 、B 两种材料总费用不超过1392元．（1）若按计划采购，最多能购买A 种材料多少套？（2）在实际来购过程中，受多方面因素的影响，与（1）中最多购买A 种材料的计划相比，实际采购A 种材料数量的增加了34a %，B 种材料的数量减少413a %（A 、B 材料的数量均为整数），实际采购A 种材料的单价减少了38a %，B 种材料的单价增加112a %，且实际总费用比按（1）中最多购买A 种材料的总费用多了16元，求a ．8．已知关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣m ＝0有实数根．（1）求m 的取值范围（2）若两实数根分别为x 1和x 2，且x 12+x 22=11，求m 的值．9．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED 边长，易知AE=√2c，这时我们把关于x的形如ax2+√2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0必有实数根；（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE 的周长是6√2，求△ABC面积．10．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足c=2√3，m2+a2m﹣8a＝0，m2+b2m﹣8b＝0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．11．阅读下列材料：求函数y=3x2+2xx2+x+0.25的最大值．解：将原函数转化成x的一元二次方程，得(y−3)x2+(y−2)x+14y=0．∵x为实数，∴△=(y−2)2−4(y−3)×14y=−y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．根据材料给你的启示，求函数y=3x2+x+2x2+2x+1的最小值．12．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出只粽子，利润为元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？13．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．14．观察下面方程的解法x4﹣13x2+36＝0解：原方程可化为（x2﹣4）（x2﹣9）＝0∴（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）＝0∴x+2＝0或x﹣2＝0或x+3＝0或x﹣3＝0∴x1＝2，x2＝﹣2，x3＝3，x4＝﹣3你能否求出方程x2﹣3|x|+2＝0的解？15．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图1和图2发现并验证了平方差公式和完全平方公式．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．【研究速算】提出问题：47×43，56×54，79×71，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图3，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形上面．（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式：47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021．用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）．【研究方程】提出问题：怎样图解一元二次方程x2+2x﹣35＝0（x＞0）？几何建模：（1）变形：x（x+2）＝35．（2）画四个长为x+2，宽为x的矩形，构造图4（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+2）2或四个长x+2，宽x的矩形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积．即（x+x+2）2＝4x（x+2）+22∵x（x+2）＝35∴（x+x+2）2＝4×35+22∴（2x+2）2＝144∵x＞0∴x＝5归纳提炼：求关于x的一元二次方程x（x+b）＝c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并注明相关线段的长）【研究不等关系】提出问题：怎样运用矩形面积表示（y+3）（y+2）与2y+5的大小关系（其中y＞0）？几何建模：（1）画长y+3，宽y+2的矩形，按图5方式分割（2）变形：2y+5＝（y+3）+（y+2）（3）分析：图5中大矩形的面积可以表示为（y+3）（y+2）；阴影部分面积可以表示为（y+3）×1，画点部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5归纳提炼：当a＞2，b＞2时，表示ab与a+b的大小关系．根据题意，设a＝2+m，b＝2+n（m＞0，n＞0），要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图并注明相关线段的长）16．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c＝0的两个实数根，且|x1|+|x2|＝2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c＝0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27＝0，x2﹣2x﹣8＝0，x2+3x−274=0，x2+6x﹣27＝0，x2+4x+4＝0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x﹣12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c＝0是“偶系二次方程”，并说明理由．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．18．“关爱留守儿童，关注农民工子弟教育”已逐渐成为政府以及社会关心的一大民生问题，下表是某电视台2011年一民生栏目组调查的数据：类别现状户数比例A父母常年在外打工，孩子留在老家由老人照顾200B父母常年在外打工，孩子带在身边10%C父母就近在城镇打工，晚上回家照顾孩子25%D父母在家务农，并照顾孩子15%（1）请将统计表中的空缺数据填写完整；（2）若2013年此电视台民生栏目组再次抽查，样本容量不变，但B类所占比例提高到了12.1%，求B类户数平均每年的增长率．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．20．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB 边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．。

解一元二次方程100题(提升练)--初中数学专项训练

解一元二次方程100题(提升练)1解方程：(1)3x-1．2=22-x 2=6(2)3x-22解下列一元二次方程：(1)x2-16=0(直接开平方法)；(2)x2-4x+7=10(配方法)．(3)2x2-3x-5=0(公式法)；(4)3x2+5x-2=0(因式分解法)．3解方程：(1)x2-2x-3=0．(2)x x-2=x-2．4解下列一元二次方程：(1)x2-3x=4；(2)2x-1．2=3x-15解方程：(1)x2-2x-1=0(2)x5x+2=65x+2(3)(2x-1)2-3=0(4)2x2+x-6=0．6解方程．(1)3x x+1；(2)2x2-3x-5=0． =2x+17解下列方程：(1)用配方法解方程：3x2-2x-1=0；(2)2y-1+4(因式分解法)．2=31-2y8选择合适的方法解下列方程：(1)x2-4x-2=0；(2)2x x+3．=6x+39解下列方程：(1)x x+1(2)2x2-3x-1=0．=x+110解方程：(1)x x-2+x-2=0；(2)4x2-8x+1=0．11请选择适当的方法解下列一元二次方程：(1)(x-2)2-9=0(2)x2+2x=3(3)2x 2+4x -1=0(4)x -5 2=2x -1 5-x12解方程：(1)2x 2+4x -1=0；(2)2x x -1 =2x -1．13解方程：(1)x -2 2=1．(2)x x -3 +x =3．14用适当的方法解下列方程：(1)7x 2=21x ；(2)x 2-6x =-8：(3)2x 2-6x -1=0；(4)9x -2 2=4x +1 2.15解下列一元二次方程：(1)x 2-4x =1；(2)x -5 2-2x x -5 =0．16解方程：(1)(x -5)(3x -2)=10；(2)x 2+3x +1=0．17解方程：(1)3x2-2=4x(2)4x-32+x x-3=0 (3)x x-3=6-2x(4)2x2-7x+3=0 18解方程(1)x2-5x-1=0(2)xx-3-4x=119解下列方程：(1)3x-12=x+12(2)3x-52=10-2x (3)x-2x+5=18(4)-3x2-4x+4=020解下列方程：(1)3x2-7x=0(2)x2+3x-4=0(3)x-52=2x-5(4)(3-x)2+x2=521计算：(1)x2+2x+1=9；(2)2x2-x-6=0．22解分式方程：(1)2xx+3+1=72x+6(2)6x+1x-1-3x-1=123解方程(1)x2-2x-5=0(用配方法解)(2)2x x+1=x+124用适当的方法解下列一元二次方程(1)3x-12-27=0；(2)x2-8x-9=0(配方法)．25解方程：(1)4x2=12x；(2)34x2-2x-12=026解方程：(1)3x2-5x-2=0；(2)x+42=5x+4．27用恰当的方法解方程．(1)-x2+3x+4=0；(2)3x2x-1=4x-2．28解下列方程：(1)(x+5)2=2x+34；(2)3t2-2t-1=0(用配方法)．29用适当的方法解下列方程：(1)x x-1=x(2)x2+2x-2=030用适当的方法解下列方程：(1)x2+5x-1=0；(2)7x5x+2；=65x+2(3)3x2+2x=0；(4)x2-2x-8=0．31解方程：(1)x2-4x+3=0；(2)x-3+8=0．2-6x-332解方程：(1)x-52=16；(2)x2-4x+1=0．33解方程：(1)x2-2x-3=0．(2)(x+2)(3x-1)=10．34解方程(1)x(x-1)=2(x-1)；(2)x2+4x+2=035用指定的方法解方程：(1)1x2-2x-5=0(用配方法)(2)x2=8x+20(用公式法)2(3)x-3=10(用适当的方法)3x-12+4x x-3=0(用因式分解法)(4)x+236用适当的方法解方程．(1)2x2+1=3x(2)x-322=3x-137解方程：(1)x x-2=x-2.(2)x2-2x-5=0；38解方程：(1)x2-8x=0．(2)2x-32+x2-9=0．(3)x+1=4x-10． 2=2x-1．(4)x2x-539用适当的方法解方程．(1)2x2+4x-3=0；(2)x x-2=4-x240用适当的方法解方程：(1)x2+x-6=0；(2)m2+5m+7=3m+11．41解方程：(1)x-3=x x-3(2)2x2-4x-5=042解方程：(1)x2+x-12=0；(2)x-1-6=0．2-5x-143用适当的方法解下列方程：(1)2x-2． 2-4=0．(2)x-32=2x3-x 44(1)解方程(用公式法)：x+2=3x+2．2x-3(2)解方程(用因式分解法)：2x-22=x-245解方程：(1)x2+3x-1=0；(2)3(x-1)2=x(x-1)46解方程(1)x2-2x-24=0(2)2x-3=3x x-3 47(1)x-3=0 (2)2x2+4x-6=0；(用配方法)2+4x x-348解下列一元二次方程：(1)x2+5x-24=0(2)3x2=22-x49解方程：(1)x2-4x=4；(2)x+2=12．x+150解方程：(1)x2+8x-1=0(2)x x-2+x-2=051用合适的方法解一元二次方程；(1)x2+8x=9(2)2x+6=(x+3)2=0(4)x2-22x+2=0(3)2x2-7x-1252解下列方程．(1)x(x+4)=-3(x+4)(2)2x2-5x+2=0(公式法)53解方程：(1)x2-4x-3=0；(2)3x x-2=0．-x-254用适当的方法解一元二次方程：(1)x2-2x-8=0；(2)3x x-2．=22-x 55(1)解方程：x2-6x+8=0．(2)解方程：3x2-5x+1=056(1)用配方法解方程：-x2+4x=3(2)解方程：4x2=9x57解方程：(1)2x2-3x+1=0；(2)2x-3+3x+3=6x2-9．58解下列方程：(1)(x-2)2=16；(2)y2-3y+2=0；(3)-2x2+4x+12=0；(4)3x2+6x+15=0．59按要求解下列方程：(1)x-62=16(直接开平方法)；(2)x2-4x+2=0(配方法)；(3)x2+3x-4=0(公式法)；(4)2x+4=x+22(因式分解法)．60解下列一元二次方程：(1)x2-2x-3=0；(2)x x+2=x+2．61用适当的方法解下列方程：(1)4x2x+3=82x+3(2)x2-2x-5=0(3)3x2+x-5=0(4)x2+6x+1-13=062解方程：(1)x²-2x-5=0；(2)x+4；2=2x+4 (3)x-1=6． 2-9=0；(4)x x+563计算(1)x-52=16(2)2x2-7x+6=064解方程：(1)x2-4x-4=0(2)x(x+4)=-3(x+4)65解下列方程：(1)x2-3x=0(2)x2+2x-1=066解方程：(1)x-12-25=0；(2)x2-4x-1=0．67解方程：(1)x2-2x+1=0；(2)x2-7x-8=0﹒68解方程(1)x2-1=0(2)2x2-5x+3=069用适当的方法解下列方程(1)x2-2x=2x+1；(2)x2x+3=2x+3．70(1)解方程2x x+1=0(2)解方程：3x2-2x-4=0+3x+171计算：(1)5x2-3x=0；(2)x2-4x+1=0．72解方程：(1)2x2-4x+1=0；(2)x2+2x-3=0．73用适当的方法解方程(1)72x-32=28(2)2x2-x-15=0(3)2x2+4x-5=0(4)2x+12+32x+1+2=074解方程(1)2x+12=121；(2)x2-12x+27=0；(3)2x+12=x2+2；(4)4x2-4=1x-2-1．75用适当的方法解下列方程．(1)x2-4x-1=0；(2)x-32=53-x．76解方程：(1)3x-52=x2-25；(2)x2-1=3x．77解方程：(1)y y-2=3y-2(2)x2+8x-9=078解方程：(1)x2-4x+1=0(用配方法)(2)3(x-2)2=x(x-2)(3)2x2-22x-5=0(4)(y+2)2=(3y-1)279解方程：(1)2x2-4x=1(配方法)；(2)x x+4=3x+12．80解方程(1)x-2=82-5=0(2)x x+4(3)2x2-7x=4(4)2x-32=02-x+181解方程：(1)x+82-5x+8+6=0(2)3x(2x+1)=4x+2 82(1)x2-6x+5=0；(2)3x2-2x-1=0．83请选择适当的方法解下列一元二次方程：(1)2x2x+5；(2)x2+2x-5=0． 2x+5=x-1(1)2x+32-25=0．(2)2x2-7x-2=0．(3)x+2．(4)x2-2x-3=0． 2=3x+285解方程(1)x2-4x+1=0(2)5x-32+23-5x=086选择适当的方法解下列一元二次方程：(1)3x-4；(2)2x2+4x-3=0． 2=54-x87用配方法解下列方程(1)3x2-4x-2=0；(2)6x2-2x-1=0；(3)2x2+1=3x；(4)x-3=-5．2x+188解下列方程：(1)x2+25x+10=0(2)42y-522=93y-1(1)x2-4x=0；(2)x2+4x-4=0．90解下列分式方程.(1)x+14x2-4-xx-2=1-2xx+2.(2)13x-4-10x-3=4x-5-1x-1.91解方程：(1)x2-4x-7=0；(2)3x x-1=2x-2．92用适当的方法解下列方程：(1)x2-2x+1=0(2)x2-3x+2=093用适当的方法解下列方程：(1)3x2-2x=0；(2)x2-x-1=0．94解方程：(1)4x-32=x-3(2)2x2-4x-1=095解下列方程：(1)x2+2x-3=0(用配方法)(2)2x2+5x-1=0(用公式法)(3)2x-3=12 2=x2-9(4)x+1x-396用适当的方法解下列方程：(1)x x-2=2-x(2)2x2+3x-1=097解方程：(1)x2-5x-6=0；(2)3x x-1=4x-4．98解方程(1)x2-3x-9=0(2)x x+4=2x+899解方程：(1)x+22-4=0；(2)x2+5x+6=0．100解方程(1)x2-2x+2=0；(2)x2-3x-4=0．参考答案1(1)x 1=1+63，x 2=1-63；(2)x 1=43，x 2=2【分析】(1)利用直接开平方法解方程即可；(2)先移项，然后利用因式分解法解方程即可．(1)解：∵3x -1 2=6，∴3x -1=±6，解得x 1=1+63，x 2=1-63；(2)解：∵3x -2 2=22-x ，∴3x -2 2+2x -2 =0，∴3x -2 +2 x -2 =0，即3x -4 x -2 =0，∴3x -4=0或x -2=0，解得x 1=43，x 2=2．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．2(1)x 1=4,x 2=-4；(2)x 1=2+7，x 2=2-7；(3)x 1=52，x 2=-1；(4)x 1=13,x 2=-2【分析】按要求解一元二次方程即可．(1)解：x 2-16=0，x 2=16，解得x 1=4,x 2=-4；(2)解：x 2-4x +7=10，x 2-4x =3，x 2-4x +4=7，x -22=7，解得x 1=2+7，x 2=2-7；(3)解：2x 2-3x -5=0，a =2，b =-3，c =-5，∴x 1,2=--3 ±-32-4×2×-52×2，解得x 1=52，x 2=-1；(4)解：3x 2+5x -2=0，3x -1 x +2 =0，解得x 1=13,x 2=-2．【点拨】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于正确的运算．3(1)x 1=-1,x 2=3；(2)x 1=1,x 2=2【分析】(1)先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；(2)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可(1)解：x2-2x-3=0，x+1x-3=0，x+1=0,x-3=0，∴x1=-1,x2=3；(2)解：x x-2=x-2，x x-2-x-2=0，x-1x-2=0，x-1=0,x-2=0，x1=1,x2=2．【点拨】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等.4(1)x1=4，x2=-1；(2)x1=1，x2=2+3 2【分析】(1)采用因式分解法解此方程，即可求解；(2)采用因式分解法解此方程，即可求解．(1)解：由原方程得：x2-3x-4=0，得x-4x+1=0，故x-4=0或x+1=0，解得x1=4，x2=-1，所以，原方程的解为x1=4，x2=-1；(2)解：由原方程得：2x-12-3x-1=0，得x-12x-1-3=0，故x-1=0或2x-2-3=0，解得x1=1，x2=2+3 2，所以，原方程的解为x1=1，x2=2+3 2．【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握和运用解一元二次方程的方法是解决本题的关键．5(1)x1=1+2,x2=1-2；(2)x1=6,x2=-25；(3)x1=1+32,x2=1-32；(4)x1=32,x2=-2【分析】(1)方程运用配方法求解即可；(2)方程移项后运用因式分解法求解即可；(3)方程移项后运用直接开平方法求解即可；(4)方程运用因式分解法求解即可．解：(1)x2-2x-1=0x2-2x=1，x2-2x+1=2，x-12=2，x-1=±2，∴x1=1+2,x2=1-2；(2)x5x+2=65x+2x5x+2-65x+2=0，x-65x+2=0，x-6=0,5x+2=0，∴x1=6,x2=-25；(3)(2x-1)2-3=0 (2x-1)2=3，2x-1=±3，2x=1±3，∴x1=1+32,x2=1-32；(4)2x2+x-6=02x-3x+2=0，2x-3=0,x+2=0，x1=32,x2=-2．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法，配方法和直接开平方法是解答本题的关键．6(1)x1=-1，x2=23；(2)x1=-1，x2=52【分析】(1)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；(2)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．(1)解：∵3x x+1=2x+1，∴3x x+1-2x+1=0，则x+13x-2=0，∴x+1=0或3x-2=0，解得x1=-1，x2=2 3；(2)解：∵2x2-3x-5=0，∴x+12x-5=0，∴x+1=0或2x-5=0，解得x1=-1，x2=5 2．【点拨】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．7(1)x1=1，x2=-13；(2)y1=-32，y2=1【分析】(1)直接利用配方法解方程得出答案；(2)直接利用十字相乘法解方程得出答案．(1)解：∵3x2-2x-1=0，∴x2-23x-13=0，∴x2-23x=13，∴x2-23x+19=49，∴x-132=49，∴x -13=±23，解得x 1=1，x 2=-13；(2)解：∵2y -1 2=31-2y +4，∴2y -1 2+32y -1 -4=0，∴2y -1 -1 2y -1 +4 =0，∴2y -1 -1=0或2y -1 +4=0，解得y 1=-32，y 2=1．【点拨】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确掌握相关解一元二次方程的解法是解题关键．8(1)x 1=2+6,x 2=2-6；(2)x 1=-3,x 2=3【分析】(1)利用配方法得到(x -2)2=6，然后用直接开平方法解方程；(2)先移项，再利用因式分解法把方程转化为x +3=0或2x -6=0，然后解两个一次方程即可．解：(1)x 2-4x -2=0，x 2-4x =2，x 2-4x +4=6，(x -2)2=6，x -2=±6，所以x 1=2+6，x 2=2-6；(2)2x x +3 =6x +3 ，2x x +3 -6x +3 =0，x +3 2x -6 =0，x +3=0或2x -6=0，所以x 1=-3，x 2=3．【点拨】本题考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握其方法步骤是解决此题的关键，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．9(1)x 1=-1，x 2=1；(2)x 1=3+174，x 2=3-174【分析】(1)移项后，利用因式分解法求解即可；(2)直接利用公式法求解即可．(1)解：x x +1 =x +1 ，x x +1 -x +1 =0，∴x +1 x -1 =0，∴x +1=0或x -1=0，解得：x 1=-1，x 2=1；(2)解：2x 2-3x -1=0，∴a =2，b =-3，c =-1，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =--3 ±-3 2-4×2×-1 2×2=3±174，∴x 1=3+174，x 2=3-174．【点拨】本题考查了因式分解法和求根公式法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法及求根公式是解题的关键．10(1)x 1=2，x 2=-1；(2)x 1=2+32，x 2=2-32【分析】(1)采用因式分解法解此方程，即可求解；(2)采用公式法解此方程，即可求解．(1)解：由原方程得：x -2 x +1 =0，∴x -2=0或x +1=0，解得x 1=2，x 2=-1，所以，原方程的解为x 1=2，x 2=-1；(2)解：∵a =4，b =-8，c =1，∴Δ=-8 2-4×4×1=64-16=48>0，∴x =8±432×4=2±32，解得x 1=2+32，x 2=2-32，所以，原方程的解为x 1=2+32，x 2=2-32．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．11(1)x 1=5，x 2=-1；(2)x 1=-3，x 2=1；(3)x 1=-2+62，x 2=-2-62；(4)x 1=5，x 2=2【分析】(1)利用直接开方法求解即可；(2)利用因式分解法求解即可；(3)利用公式法求解求解即可；(4)利用因式分解法求解即可．(1)解：(x -2)2-9=0∴(x -2)2=9直接开方得：x -2=3或x -2=-3，解得：x 1=5，x 2=-1；(2)x 2+2x =3x 2+2x -3=0，∴x +3 x -1 =0，解得：x 1=-3，x 2=1；(3)2x 2+4x -1=0，其中a =2,b =4,c =-1，∴Δ=b 2-4ac =24>0，∴x =-4±242×2=-2±62,，∴x 1=-2+62，x 2=-2-62；(4)x -5 2=2x -1 5-x移项得：x -5 2+2x -1 x -5 =0，∴x -5 (x -5+2x -1)=0，整理得：x -5 (3x -6)=0，解得：x 1=5，x 2=2．【点拨】题目主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法步骤是解题关键．12(1)x1=-1+62，x2=-1-62；(2)x1=1+22，x2=1-22【分析】(1)利用配方法解一元二次方程即可得；(2)先去括号，再利用配方法解一元二次方程即可得．(1)解：2x2+4x-1=0，2x2+4x=1，x2+2x=12，x2+2x+1=12+1，即x+12=32，x+1=±62，x=-1±62，所以方程的解为x1=-1+62，x2=-1-62．(2)解：2x x-1=2x-1，2x2-2x=2x-1，2x2-4x=-1，x2-2x=-12，x2-2x+1=-12+1，即x-12=12，x-1=±22，x=1±22，所以方程的解为x1=1+22，x2=1-22．【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的常用方法(直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等)是解题关键．13(1)x1=3，x2=1；(2)x1=3，x2=-1【分析】(1)利用直接开平方法解方程即可；(2)先移项，再利用因式分解法解方程即可．(1)解：x-22=1∴x-2=±1，当x-2=1时，x=3，当x-2=-1时，x=1，∴x1=3，x2=1；(2)解：x x-3+x=3移项得：x x-3+x-3=0，∴x-3x+1=0，∴x-3=0，x+1=0，∴x1=3，x2=-1．【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法和因式分解法是解题的关键．14(1)x1=0，x2=3；(2)x1=2，x2=4；(3)x1=3+112，x2=3-112；(4)x1=8，x2=45【分析】(1)将原方程转化为7x 2-21x =0，再利用因式分解法求解即可；(2)将原方程转化为x 2-6x +8=0，再利用因式分解法求解即可；(3)直接利用公式法求解即可；(4)两边开方，得到两个一元一次方程，再求出方程的解即可．(1)解：将原方程转化为7x 2-21x =0，∴7x x -3 =0，∴7x =0或x -3=0，解得：x 1=0，x 2=3；(2)解：将原方程转化为x 2-6x +8=0，∴x -2 x -4 =0，∴x -2=0或x -4=0，解得：x 1=2，x 2=4；(3)解：∵a =2，b =-6，c =-1，∴b 2-4ac =-6 2-4×2×-1 =36+8=44，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =--6 ±442×2=6±2114，∴x 1=3+112，x 2=3-112；(4)解：将方程转化为3x -2 =±2x +1 ，∴3x -2 =2x +1 或3x -2 =-2x +1 ，解得：x 1=8，x 2=45．【点拨】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．15(1)x 1=2+5，x 2=2-5；(2)x 1=5，x 2=-5【分析】(1)用配方法求解即可；(2)用因式分解法求解即可．(1)解：x 2-4x =1，x 2-4x +4=1+4，x -2 2=5，x -2=±5，∴x 1=2+5，x 2=2-5；(2)解：x -5 2-2x x -5 =0，x -5 x -5-2x =0，x -5=0或x -5-2x =0，x 1=5，x 2=-5．【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法是解题的关键．16(1)x 1=0，x 2=173；(2)x 1=-3+52，x 2=-3-52【分析】(1)先化成一元二次方程的一般形式，再用因式分解法求解即可；(2)用公式法求解即可．(1)解：(x -5)(3x -2)=10，去括号得：3x2-2x-15x+10=10移项合并同类项得：3x2-17x=0，分解因式得：x(3x-17)=0，∴x=0或3x-17=0，解得：x1=0x2=17 3；(2)解：x2+3x+1=0，a=1，b=3，c=1，解得x=-3±32-42，∴x1=-3+52，x2=-3-52；【点拨】本题考查了因式分解法、公式法解一元二次方程．解题的关键在于对解一元二次方程方法的熟练掌握．17(1)x1=2+103，x2=2-103；(2)x1=125，x2=3；(3)x1=-2，x2=3；(4)x1=12，x2=3．【分析】(1)根据公式法求解即可；(2)根据因式分解法求解即可；(3)根据因式分解法求解即可；(4)根据因式分解法求解即可；(1)解：3x2-2=4x，3x2-4x-2=0，∴a=3，b=-4，c=-2，∴Δ=b2-4ac=-42-4×3×-2=40，∴x=-b±Δ2a =--4±402×3=2±103，∴x1=2+103，x2=2-103；(2)解：4x-32+x x-3=0，4x-3+xx-3=0，5x-12x-3=0，∴5x-12=0或x-3=0，∴x1=125，x2=3；(3)解：x x-3=6-2x，x x-3=-2x-3，x x-3+2x-3=0，x+2x-3=0，∴x+2=0或x-3=0，∴x1=-2，x2=3；(4)解：2x2-7x+3=0，2x-1x-3=0，∴2x-1=0或x-3=0，∴x1=12，x2=3．【点拨】本题考查解一元二次方程．根据方程的特点选择合适的方法解方程是解题关键．18(1)x 1=5+292,x 2=5-292；(2)x =12【分析】(1)公式法解一元二次方程；(2)将分式方程化为整式方程，再进行验根，即可得解．(1)解：∵x 2-5x -1=0，∴a =1,b =-5,c =-1，∴△=b 2-4ac =25+4=29>0，∴x =5±292，∴x 1=5+292,x 2=5-292；(2)解：去分母，得：x 2-4x -3 =x x -3 ，去括号，得：x 2-4x +12=x 2-3x ，移项，合并得：-x =-12，系数化1：x =12；检验：把x =12代入x x -3 ≠0，∴x =12是原方程的解．【点拨】本题考查解一元二次方程和分式方程．熟练掌握公式法解一元二次方程，以及解分式方程的步骤，是解题的关键．19(1)x 1=0,x 2=12；(2)x 1=5,x 2=133；(3)x 1=-7,x 2=4；(4)x 1=23,x 2=-2【分析】(1)利用直接开平方法求解即可；(2)移项后利用分解因式法求解即可；(3)原方程化为一般形式后再利用分解因式法求解；(4)原方程化为一般形式后再利用分解因式法求解.(1)解：∵3x -1 2=x +1 2，∴3x -1=±x -1 ，∴3x -1=x -1或3x -1=-x -1 ，解得x 1=0,x 2=12；(2)解：移项，得3x -5 2-10-2x =0，即3x -5 2+2x -5 =0，进一步可变形为x -5 3x -5 +2 =0，∴x -5=0或3x -5 +2=0，解得：x 1=5,x 2=133；(3)解：原方程可变形为x 2+3x -28=0，即为x +7 x -4 =0，∴x +7=0或x -4=0，解得：x 1=-7,x 2=4；(4)解：原方程即为3x 2+4x -4=0，∴3x -2 x +2 =0，∴3x -2=0或x +2=0，解得：x1=23,x2=-2.【点拨】本题考查了一元二次方程的求解，属于基本题目，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.20(1)x1=0，x2=73；(2)x1=1，x2=-4；(3)x1=5，x2=7；(4)x1=1，x2=2【分析】(1)提公因式因式分解，解方程即可；(2)因式分解法解方程即可；(3)先移项然后提公因式解方程即可；(4)先化成一元二次方程的一般式，然后进行因式分解，计算求解即可．(1)解：3x2-7x=0，x3x-7=0，解得，x1=0，x2=7 3；(2)解：x2+3x-4=0，x-1x+4=0，解得，x1=1，x2=-4；(3)解：x-52=2x-5，x-5x-5-2=0，解得，x1=5，x2=7；(4)解：(3-x)2+x2=5，9-6x+x2+x2=5，x2-3x+2=0，x-1x-2=0，解得，x1=1，x2=2；【点拨】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于选用合适的方法解方程．21(1)x1=2,x2=-4；(2)x1=2,x2=-3 2【分析】(1)用配方法解方程即可；(2)利用因式分解法解方程即可．(1)解：x2+2x+1=9x+12=9，x+1=±3∴x1=2,x2=-4；(2)解：2x2-x-6=0，2x+3x-2=0∴x1=2,x2=-32.【点拨】此题考查解一元二次方程，掌握解方程的步骤与方法，根据方程的特点，选择合适的方法解方程是解决问题的关键．22(1)x=16；(2)x=-4【分析】先把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可．(1)解：2xx+3+1=72x+6去分母得：4x+2x+6=7，去括号得；4x+2x+6=7，移项得：4x+2x=7-6，合并同类项得：6x=1，系数化为1得：x=1 6，经检验，x=16是原方程的解，∴原方程的解为x=16；(2)解：6x+1x-1-3x-1=1去分母得：6-3x+1=x+1x-1，去括号得；6-3x-3=x2-1，移项，合并同类项得：x2+3x-4=0，解得x=1或x=-4，经检验，x=-4是原方程的解，x=1不是原方程的解，∴原方程的解为x=-4．【点拨】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键．23(1)x1=1+6，x2=1-6；(2)x1=-1，x2=1 2【分析】(1)利用配方法解方程即可；(2)先移项，然后利用因式分解法解方程即可．(1)解：∵x2-2x-5=0，∴x2-2x=5，∴x2-2x+1=6，即x-12=6，∴x-1=±6，解得x1=1+6，x2=1-6；(2)解：∵2x x+1=x+1，∴2x x+1-x+1=0，∴2x-1x+1=0，∴2x-1=0或x+1=0，解得x1=-1，x2=1 2．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．24(1)x1=4，x2=-2；(2)x1=9，x2=-1【分析】(1)利用直接开平方的方法解方程即可；(2)利用配方法解方程即可．(1)解：∵3x-12-27=0，∴3x-12=27，∴x-12=9，∴x-1=±3，解得x1=4，x2=-2；(2)解：∵x2-8x-9=0，∴x2-8x=9，∴x2-8x+16=25，即x-42=25，∴x-4=±5，解得x1=9，x2=-1．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．25(1)x1=0，x2=3；(2)x1=4+223，x2=4-223【分析】(1)移项后提公因式求解即可；(2)去分母后用求根公式计算求解即可．(1)解：4x2=12x，4x x-3=0令x=0，x-3=0，解得x1=0，x2=3；(2)解：34x2-2x-12=0，3x2-8x-2=0，解得x=8±-82-4×3×-22×3=4±223，∴x1=4+223，x2=4-223【点拨】本题考查了因式分解法、公式法解一元二次方程．解题的关键在于掌握解一元二次方程的解法．26(1)x1=2，x2=-13；(2)x1=-4，x2=1【分析】(1)用公式法解一元二次方程即可；(2)先移项，然后再用因式分解法解一元二次方程即可．(1)解：由题意得，a=3，b=-5，c=-2，Δ=b2-4ac=-52-4×3×-2=49，∴x=5±72×3，∴x1=2，x2=-13；(2)解：移项得：x+42-5x+4=0，提公因式得：x+4x+4-5=0，∴x+4x-1=0，∴x+4=0或x-1=0，∴x1=-4，x2=1．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算．27(1)x1=4,x2=-1；(2)x1=23,x2=12【分析】(1)利用因式分解法解一元二次方程即可得；(2)利用因式分解法解一元二次方程即可得．(1)解：-x2+3x+4=0，即x2-3x-4=0，x-4x+1=0，x-4=0或x+1=0，x=4或x=-1，故方程的解为x1=4,x2=-1．(2)解：3x2x-1=4x-2，3x2x-1-22x-1=0，3x-22x-1=0，3x-2=0或2x-1=0，x=23或x=1 2，故方程的解为x1=23,x2=12．【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法(直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、换元法等)是解题关键．28(1)x1=-9，x2=1；(2)t1=1，t2=-1 3【分析】(1)整理后，利用因式分解法求解即可；(2)利用配方法求解即可．(1)解：(x+5)2=2x+34x2+8x-9=0，(x+9)(x-1)=0，∴x1=-9，x2=1；(2)3t2-2t-1=0，t2-23t=13，t2-23t+19=13+19，即t-132=49，∴t-13=±23，∴t1=1，t2=-13．【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．29(1)x1=0,x2=2；(2)x1=-1+3,x2=-1-3【分析】(1)方程移项后，利用因式分解法求出解即可；(2)方程运用配方支求解即可解：(1)x x-1=xx x-1-x=0x x-1-1=0x=0,x-1-1=0∴x1=0,x2=2(2)x2+2x-2=0x2+2x=2x2+2x+1=2+1x+12=3x+1=±3x1=-1+3,x2=-1-3【点拨】此题考查了解一元二次方程-因式分解法和配方法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．30(1)x1=-5+292，x2=-5-292；(2)x1=-25，x2=67；(3)x1=-23，x2=0；(4)x1=-2，x2=4【分析】(1)利用公式法解方程即可；(2)先移项，然后利用因式分解法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可；(4)利用因式分解法解方程即可．(1)解：∵x2+5x-1=0，∴a=1，b=5，c=-1，∴Δ=b2-4ac=52-4×1×-1=29>0，∴x=-b±b2-4ac2a =-5±292，解得x1=-5+292，x2=-5-292；(2)解：∵7x5x+2=65x+2，∴7x5x+2-65x+2=0，∴7x-65x+2=0，∴7x-6=0或5x+2=0，解得x1=-25，x2=67；(3)解：∵3x2+2x=0，∴x3x+2=0，∴x=0或3x+2=0，解得x1=-23，x2=0；(4)解：∵x2-2x-8=0，∴x-4x+2=0，∴x+2=0或x-4=0，解得x1=-2，x2=4．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．31(1)x1=1，x2=3；(2)x1=5，x2=7【分析】(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；(2)将x-3看做整体，利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．(1)解：∵x2-4x+3=0，∴x-1x-3=0，∴x-1=0或x-3=0，解得x1=1，x2=3；(2)解：∵x-32-6x-3+8=0，∴x-3-2x-3-4=0，即x-5x-7=0，∴x-5=0或x-7=0，解得x1=5，x2=7．【点拨】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．32(1)x1=9，x2=1；(2)x1=2+3，x2=2-3【分析】(1)利用一元二次方程直接开平方法即可求解．(2)利用一元二次方程公式法x=-b±b2-4ac2a即可求解．(1)解：x-52=16x-5=±4x=5±4∴x1=9，x2=1．(2)解：x2-4x+1=0x=--4±-42-4×1×12×1=2±3∴x1=2+3，x2=2-3．【点拨】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、公式法是解题的关键．33(1)x1=-1，x2=3；(2)x1=43，x2=-3【分析】(1)直接因式分解解方程即可；(2)先化成一般式的形式，然后因式分解解方程即可．(1)解：x2-2x-3=0，x+1x-3=0，x+1=0，x-3=0，解得，x1=-1，x2=3；(2)解：x+23x-1=10，3x2+5x-12=0，3x-4x+3=0，3x-4=0，x+3=0，解得，x1=43，x2=-3．【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程．解题的关键在于正确的进行因式分解．34(1)x1=1，x2=2；(2)x1=-2+2，x2=-2-2【分析】(1)先移项得到x(x-1)-2(x-1)=0，利用因式分解法把方程转化为x-2=0或x-1=0，然后解两个一次方程即可．(2)原方程运用配方法求解即可．解：(1)x(x-1)=2(x-1)，x(x-1)-2(x-1)=0，(x-1)(x-2)=0，x-2=0或x-1=0，∴x1=1，x2=2(2)x2+4x+2=0x2+4x+4=2x+22=2x +2=±2∴x 1=-2+2，x 2=-2-2【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了用配方法解一元二次方程．35(1)x 1=2+14,x 2=2-14；(2)x 1=10,x 2=-2；(3)x 1=3,x 2=0.6；(4)x 1=-3,x 2=43【分析】(1)利用配方法解方程即可；(2)利用公式法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可；(4)先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可．解：(1)移项，得：12x 2-2x =5，系数化1，得：x 2-4x =10，配方，得：x 2-4x +4=14，(x -2)2=14，x -2=±14，∴x 1=2+14，x 2=2-14；(2)原方程可变形为x 2-8x -20=0，a =1，b =-8，c =-20，Δ=-8 2-4×1×-20 =64+80=144>0，原方程有两个不相等的实数根，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =8±1442=8±122，∴x 1=10，x 2=-2；(3)原方程可变形为：x -3 x -3+4x =0，整理得：x -3 5x -3 =0，解得x 1=3，x 2=0.6；(4)原方程可变形为：3x 2+5x -2-10=0，整理得：3x 2+5x -12=0，3x -4 x +3 =0，∴x 1=-3，x 2=43【点拨】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．36(1)x 1=1，x 2=12；(2)x 1=-1，x 2=1【分析】(1)利用求根公式直接求解即可；(2)先移项，然后利用平方差公式分解因式求解即可；(1)解：原方程可化为：2x 2-3x +1=0∴a =2，b =-3，c =1∴△=b 2-4ac =-3 2-4×2×1=1>0方程有两个不相等的实数根x =-b ±b 2-4ac 2a =3±12×2=3±14 ∴x 1=1，x 2=12(2)解：原方程移项，得x-32-3x-12=0因式分解，得-2x-24x-4=0于是得-2x-2=0或4x-4=0∴x1=-1，x2=1【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键．37(1)x1=1，x2=2；(2)x1=1+6，x2=1-6；【分析】(1)移项，因式分解即可得到答案；(2)移项，配方，直接开平方即可得到答案；(1)解：移项得，x(x-2)-(x-2)=0，因式分解得，(x-2)(x-1)=0，∴x-1=0或x-2=0，解得：x1=1，x2=2，∴原方程的解是：x1=1，x2=2；(2)解：移项得，x2-2x=5，配方得，x2-2x+1=5+1，即(x-1)2=6，x-1=±6，∴x1=1+6，x2=1-6；【点拨】本题考查因式分解法解一元二次方程及配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握各种解法，选择适当的方法求解．38(1)x1=0，x2=8；(2)x1=3，x2=1；(3)方程无实数根；(4)x1=52，x2=2．【分析】(1)利用因式分解法即可解方程；(2)利用因式分解法即可解方程；(3)依次去括号，移项，合并同类项，得到x2=-2，根据平方的非负性可知，方程无解；(4)利用因式分解法即可解方程．(1)解：x2-8x=0，x x-8=0，令x=0或x-8=0，解得：x1=0，x2=8；(2)解：2x-32+x2-9=0，2x-32+x+3x-3=0，x-32x-3+x+3=0，x-33x-3=0，令x-3=0或3x-3=0，解得：x1=3，x2=1；(3)解：x+12=2x-1，x2+2x+1=2x-1，x2+2x+1-2x+1=0，x2+2=0，x2=-2，∵x2≥0，故原方程无实数根；(4)解：x2x-5=4x-10，x2x-5=22x-5，x2x-5-22x-5=0，2x-5x-2=0，令2x-5=0或x-2=0，解得：x1=52，x2=2．【点拨】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法和步骤是解题关键．39(1)x1=-2+102，x2=-2-102；(2)x1=-1，x2=2【分析】(1)利用公式法解方程即可；(2)先移项，然后利用因式分解法解方程即可．(1)解：∵2x2+4x-3=0，∴a=2，b=4，c=-3，∴Δ=b2-4ac=42-4×2×-3=40>0，∴x=-b±b2-4ac2a =-4±2104=-2±102，解得x1=-2+102，x2=-2-102；(2)解：∵x x-2=4-x2，∴x x-2=x+22-x，∴x x-2+x+2x-2=0∴x+x+2x-2=0，∴x+x+2=0或x-2=0，解得x1=-1，x2=2．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．40(1)x1=2，x2=-3；(2)m1=5-1，m2=-5-1【分析】(1)利用因式分解法解方程即可；(2)先把方程化为一般式，然后利用公式法解方程即可．(1)解：∵x2+x-6=0，∴x+3x-2=0，∴x+3=0或x-2=0，解得x1=2，x2=-3；(2)解：∵m2+5m+7=3m+11，∴m2+2m-4=0，∴a=1，b=2，c=-4，∴Δ=b2-4ac=22-4×1×-4=20>0，∴m=-b±b2-4ac2a =-2±252，解得m1=5-1，m2=-5-1．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．41(1)x1=3，x2=1；(2)x1=2+142，x2=2-142【分析】(1)先移项，再把方程的左边提公因式分解因式，化为两个一次方程，解一次方程即可；(2)先求出根的判别式的值，再代入求根公式，用公式法解答．(1)解：∵x-3=x x-3，移项得：x-3-x x-3=0，∴x-31-x=0，∴x-3=0或1-x=0，解得：x1=3，x2=1；(2)解：∵2x2-4x-5=0，∴Δ=-42-4×2×-5=56，∴x=--4±562×2=2±142，x1=2+142，x2=2-142．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握利用因式分解法解一元二次方程和运用公式法解一元二次方程，是解本题的关键．42(1)x1=3，x2=-4；(2)x1=0，x2=7【分析】(1)利用十字相乘因式分解法直接求解即可得到答案；(2)先换元，令m=x-1，将x-12-5x-1-6=0转化为m2-5m-6=0，利用十字相乘因式分解法直接求解即可得到答案．(1)解：x2+x-12=0，∴x+4x-3=0，解得x1=3，x2=-4；(2)解：x-12-5x-1-6=0，令m=x-1，则m2-5m-6=0，∴m-6m+1=0，解得m=6或m=-1，∴x-1=-1或x-1=6，解得x1=0，x2=7．【点拨】本题考查解一元二次方程，根据具体的方程结构特征熟练运用一元二次方程的解法求解是解决问题的关键．43(1)x1=2+2，x2=-2+2；(2)x1=1，x2=3【分析】(1)利用直接开平方法求解即可．(2)利用因式分解法求解即可．(1)解：∵2x-22-4=0，∴x-22=2，即：x-2=±2解得：x1=2+2，x2=-2+2．(2)∵x-32=2x3-x，∴x-32+2x3-x=0，∴x-3+2xx-3=0，即3x-3x-3=0，【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．44(1)x1=1+172，x2=1-172；(2)x1=2，x2=52【分析】(1)先整理成一般式，再利用公式求解即可；(2)先整理成一般式，再利用因式分解求解即可．解：(1)整理，得：x2-x-4=0，∵a=1，b=-1，c=-4，∴Δ=-12-4×1×-4=17>0，则x=-b±b2-4ac2a=1±172，∴x1=1+172，x2=1-172．(2)方程化为：2x2-9x+10=0因式分解得，x-22x-5=0于是得2x-5=0或x-2=0即x1=2或x2=5 2．【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的方法，如公式法、因式分解法，是解题的关键．45(1)x1=-3+132，x2=-3-132；(2)x1=1或x2=32【分析】(1)原方程已经是一般形式，利用根的判别式判断根的情况，再利用求根公式求解即可；(2)找出公因式，利用提取公因式法分解因式，降次后再分别求解即可．解：(1)x2+3x-1=0解：由题意的：a=1，b=3，c=-1∵Δ=b2-4ac=32-4×1×-1=9+4=13∴x1=-b+b2-4ac2a =-3+132，x2=-b-b2-4ac2a=-3-132(2)3(x-1)2=x(x-1)解：移项因式分解得：x-13x-1-x=0化简得：x-12x-3=0∴x-1=0或2x-3=0∴x=1或x=32【点拨】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握求根公式和因式分解法解一元二次方程是解决本题的关键．46(1)x1=-4，x2=6；(2)x1=3，x2=2 3【分析】(1)利用十字相乘法将原方程化为两个一元一次方程求解即可解方程；(2)利用因式分解法求解即可解方程．(1)解：x2-2x-24=0，x+4x-6=0，x+4=0或x-6=0，(2)解：2x-3-3x x-3=0，x-32-3x=0，x-3=0或2-3x=0，解得：x1=3，x2=2 3．【点拨】本题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题关键．47(1)x1=3，x2=35；(2)x1=1，x2=-3．【分析】(1)利用提公因式法解方程；(2)利用配方法解方程．解：(1)(x-3)2+4x(x-3)=0，(x-3)(x-3+4x)=0，∴x-3=0或5x-3=0，∴x1=3，x2=35；(2)2x2+4x-6=0，x2+2x=3，x2+2x+1=3+1，即(x+1)2=4，∴x+1=±2，∴x1=1，x2=-3．【点拨】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．48(1)x1=-8，x2=3；(2)x1=-1+133，x2=-1-133．【分析】(1)利用因式分解法求解即可得到答案；(2)将原方程化为一般式根据求根公式求解即可得到答案；(1)解：因式分解可得，(x+8)(x-3)=0，即x-3=0或x+8=0，解得：x1=-8，x2=3；(2)解：原方程变形得，3x2+2x-4=0，即a=3，b=2，c=-4，∴Δ=b2-4ac=22-4×3×(-4)=52>0∴原方程有两个不相等的实数根，∴x=-b±Δ2a =-2±522×3=-2±2136，∴x1=-1+133，x2=-1-133．【点拨】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握各种解法及选择适当的方法．49(1)x1=2+22，x2=2-22；(2)x1=2，x2=-5【分析】(1)配方法解方程；(2)因式分解法解方程．∴x2-4x+4=4+4，∴x-22=8，∴x-2=±22，解得：x1=2+22，x2=2-22；(2)解：x+2x+1=12，整理的：x2+3x-10=0，∴x-2x+5=0，解得：x1=2，x2=-5．【点拨】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．50(1)x1=-4+17，x2=-4-17；(2)x1=2，x2=-1【分析】(1)先利用配方法得到x+42=17，然后利用直接开平方法解方程．(2)利用因式分解法把原方程转化为x-2=0或x+1=0，然后解两个一次方程即可．(1)解：x2+8x-1=0，x2+8x=1，x2+8x+16=1+16，x+42=17，x+4=±17，x1=-4+17，x2=-4-17；(2)解：x x-2+x-2=0，x-2x+1=0，x-2=0或x+1=0，x1=2，x2=-1．【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．51(1)x1=-9或x2=1；(2)x1=-3或x2=-1；；(3)x1=7+534或x2=7-534；(4)x=2【分析】(1)先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程一因式分解法,进行计算即可解答；(2)利用解一元二次方程一因式分解法，进行计算即可解答；(3)利用解一元二次方程一公式法，进行计算即可解答；(4)利用解一元二次方程一因式分解法，进行计算即可解答．(1)解：x2+8x=9x2+8x-9=0x+9x-1=0x+9=0或x-1=0x1=-9或x2=1；(2)解：2x+6=(x+3)22x+6-(x+3)2=02x+3-(x+3)2=0x+32-x-3=0x+3-1-x=0x+3=0或-x-1=0x 1=-3或x 2=-1；(3)解：2x 2-7x -12=0∵Δ=-7 2-4×2×-12 =49+4=53>0，∴x =7±534，∴x 1=7+534或x 2=7-534；(4)解：x 2-22x +2=0x -2 2=0x -2=0x =2．【点拨】本题考查了解一元二次方程一因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程一因式分解法是解题的关键．52(1)x 1=-3，x 2=-4；(2)x 1=12，x 2=2【分析】(1)原方程整理后，利用因式分解法解该一元二次方程即可；(2)直接用公式法解该一元二次方程即可．(1)解：x (x +4)=-3(x +4)，x (x +4)+3(x +4)=0，(x +3)(x +4)=0，∴x 1=-3，x 2=-4；(2)解：2x 2-5x +2=0，∵a =2，b =-5，c =2，∴Δ=b 2-4ac =(-5)2-4×2×2=9>0，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =-(-5)±92×2=5±34，∴x 1=12，x 2=2．【点拨】本题主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法及求根公式是解题的关键．53(1)x 1=2+7，x 1=2-7；(2)x 1=2，x 2=13【分析】(1)采用公式法解此方程，即可求解；(2)采用因式分解法解此方程，即可求解．(1)解：x 2-4x -3=0，∵a =1，b =-4，c =-3，∴Δ=b 2-4ac =16-4×1×-3 =16+12=28，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =4±272=2±7，∴x 1=2+7，x 1=2-7，所以，原方程的解为x 1=2+7，x 1=2-7；(2)解：由原方程得：x -2 3x -1 =0，故x -2=0或3x -1=0，。

中考数学一元二次方程组提高练习题压轴题训练附答案

中考数学一元二次方程组提高练习题压轴题训练附答案一、一元二次方程1．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【解析】【分析】作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=12×PB×QE，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．【详解】解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB．∴S△PQB＝12•PB•QE．设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．根据题意，12•（6﹣t）•t＝4．t2﹣6t+8＝0．t2＝2，t2＝4．当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．2．解方程：(x+1)(x﹣3)=﹣1．【答案】x1x2=1【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，解得：x 1，x 2=13．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=（m 为常数）（1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．【答案】(1)见解析；(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【解析】【分析】（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2+t=21m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可. 【详解】 (1)证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4， ∵无论m 为何值时m 2≥0， ∴m 2+4≥4＞0，即△＞0，所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根. (2)设方程的另一个根为t ，()220x m x m -++=根据题意得2+t=21m + ,2t=m ，解得t=0，所以m=0，即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t ，用根于系数关系列出方程组，在求解.4．已知关于x 的一元二次方程()2204mmx m x -++=.（1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根；（2）当4m =时，求方程的解.【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）1x =，2x =. 【解析】【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；（2）将4m =代入原方程，求解即可. 【详解】（1）由题意得：24b ac ∆=- =()22404mm m +->g g，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根.（2）把4m =带入得24610x x -+=，解得134x +=，234x =. 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.5．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答. 【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--= 解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．6．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2米【解析】【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x 米2，根据题意得：4600022000x -﹣46000220001.5x-= 4 解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x 米，根据题意得，（20﹣3x ）（8﹣2x ）=56解得：x=2或x=263（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．7．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n 有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．【答案】60个，6n个；（1）61；3n2﹣3n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．【解析】分析：根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．详解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，故答案为：60个，6n个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：2×3+1=7个，第3个点阵中有：3×6+1=17个，第4个点阵中有：4×9+1=37个，第5个点阵中有：5×12+1=60个，…第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，故答案为：60，3n2﹣3n+1；（2）3n2﹣3n+1=271，n2﹣n﹣90=0，（n﹣10）（n+9）=0，n1=10，n2=﹣9（舍），∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．点睛：本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．8．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【答案】共有35名同学参加了研学游活动．【解析】试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．设九（1）班共有x人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x﹣30）]元，由题意得：x[100﹣2（x﹣30）]=3150，整理得x2﹣80x+1575=0，解得x1=35，x2=45，当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去．答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动．考点：一元二次方程的应用．9．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【答案】(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．【解析】试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于a ，b ，c 的等式，进而判断△ABC 的形状；（3）利用△ABC 是等边三角形，则a=b=c ，进而代入方程求出即可．试题解析：（1）△ABC 是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c ）×（﹣1）2﹣2b+（a ﹣c ）=0， ∴a+c ﹣2b+a ﹣c=0， ∴a ﹣b=0， ∴a=b ，∴△ABC 是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根， ∴（2b ）2﹣4（a+c ）（a ﹣c ）=0， ∴4b 2﹣4a 2+4c 2=0， ∴a 2=b 2+c 2，∴△ABC 是直角三角形；（3）当△ABC 是等边三角形，∴（a+c ）x 2+2bx+（a ﹣c ）=0，可整理为：2ax 2+2ax=0， ∴x 2+x=0，解得：x 1=0，x 2=﹣1．考点：一元二次方程的应用．10．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2=0①有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）设方程①的两个实数根分别为x 1，x 2，当k =1时，求x 12+x 22的值．【答案】（1）k >–14；（2）7 【解析】【分析】（1）由方程根的判别式可得到关于k 的不等式，则可求得k 的取值范围；（2）由根与系数的关系，可求x 1+x 2=-3，x 1x 2=1，代入求值即可．【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴>0∆，即()22214410k k k +-=+>，解得14k >-；（2）当2k =时，方程为2x 5x 40++=， ∵125x x +=-，121=x x ，∴()222121212225817x x x x x x +=+-=-=. 【点睛】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键．11．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣12）＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？【答案】（1）详见解析；（2）k＝32或2．【解析】【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可．【详解】（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，∴该方程总有实数根；（2）() 2k12k3 x=2±＋﹣∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵a、b、c为等腰三角形的三边，∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，∴k＝32或2．【点睛】本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.12．解方程：（x2+x）2+（x2+x）＝6．【答案】x1＝﹣2，x2＝1【解析】【分析】设x2+x＝y，将原方程变形整理为y2+y﹣6＝0，求得y的值，然后再解一元二次方程即可．【详解】解：设x2+x＝y，则原方程变形为y2+y﹣6＝0，解得y1＝﹣3，y2＝2．①当y＝2时，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1；②当y＝﹣3时，x2+x＝﹣3，即x2+x+3＝0，∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，∴此方程无解；∴原方程的解为x1＝﹣2，x2＝1．【点睛】本题考查了换元法和一元二次方程的解法，设出元化简原方程是解答本题的关键.13．若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．（1）一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝；（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0的两根，求它们的“x牵手点”．【答案】（1）（1，0），a＝﹣2；（2）“x牵手点”为（12-，0）或（12，0）.【解析】【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”．【详解】解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，所以x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，所以0＝a+2，解得a＝﹣2；（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”∴11a b -=，∴a+b＝0．∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根∴a+b＝k＝0，∴x2﹣4＝0，∴x1＝2，x2＝﹣2．①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；②若a ＝﹣2，b ＝2则y ＝﹣2x+1与y ＝2x ﹣1的“x 牵手点”为（12，0 ） ∴综上所述，“x 牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭或（12，0）【点睛】本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．14．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a ＞0，b ＞0时：）2=a ﹣b ≥0∴a +b a =b 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x ＞0时，x +1x 的最小值为．当x ＜0时，x +1x的最大值为；（2）若y =27101x x x +++，（x ＞﹣1），求y 的最小值；（3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）2；﹣2．（2）y 的最小值为9；（3）四边形ABCD 面积的最小值为25．【解析】【分析】（1）当x ＞0时，按照公式a +b a =b 时取等号）来计算即可；当x ＜0时，﹣x ＞0，1x-＞0，则也可以按公式a +b a =b 时取等号）来计算；（2）将y 27101x x x ++=+的分子变形，分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，由三角形面积公式可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】（1）当x ＞0时，x 1x +≥=2；当x ＜0时，﹣x ＞0，1x -＞0．∵﹣x 1x -≥=2，∴则x 1x +=-（﹣x 1x -）≤﹣2，∴当x ＞0时，x 1x +的最小值为 2．当x ＜0时，x 1x +的最大值为﹣2．故答案为：2，﹣2．（2）∵x ＞﹣1，∴x +1＞0，∴y 27101x x x ++=+()2(1)5141x x x ++++=+=（x +1）41x +++5=4+5=9，∴y 的最小值为9．（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9 则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，∴x ：9=4：S △AOD ，∴S △AOD 36x =，∴四边形ABCD 面积=4+9+x 36x +≥=25．当且仅当x =6时，取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用．15．利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息信息1：甲乙两种商品的进货单价和为11；信息2：甲商品的零售单价比其进货单价多2元，乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元：信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元．()1甲、乙两种商品的进货单价各是多少？()2据统计该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降0.1元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降a 元，在不考虑其他因素的条件下，当a 定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？【答案】（1）甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件（2）当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元【解析】【分析】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据给定的三个信息，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据总利润=单件利润⨯销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据题意得：()()113x 222y 437x y +=⎧++-=⎨⎩，解得：{56x y ==．答：甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件． ()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据题意得：()()250010001500a a -+=，整理得：22310a a -+=，解得：10.5a =，21a =．答：当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：()1找准等量关系，正确列出二元一次方程组；()2找准等量关系，正确列出一元二次方程．。

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一元二次方程复习讲义1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-5x=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2. 已知（m+3）x 2－3mx －1=0是一元二方程，则m 的取值范围是。

若220x x --=3.关于x 方程（m+3）x 27m -+（m －3）x+2=0是一元二次方程，则m 的值为________．已知方程(m+2)x 2+(m+1)x －m=0，当m 满足__________时，它是一元一次方程；当m 满足___________时，它是一元二次方程.4. a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项，且满足1-a +(b －2)2+|a+b+c|=0，求满足条件的一元二次方程.5.关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足什么条件？6.当m 满足什么条件时，方程m （x 2+x ）x 2－（x+1）是关于x 的一元二次方程？当m 取何值时，方程m （x 2+x ）x 2－（x+1）是一元一次方程？一. 填空题1.（2009威海）若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______．2.（2009年江苏省）某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x ，则可列方程．3.某果农2006年的年收入为5万元，由于党的惠农政策的落实，2008年年收入增加到7.2万元，则平均每年的增长率是__________.4.（2009年包头）将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm 2．5.（2009年莆田）已知1O ⊙和2O ⊙的半径分别是一元二次方程()()120x x --=的两根，且122O O =，则1O ⊙和2O ⊙的位置关系是．6．（2009年甘肃庆阳）若关于x 的方程2210x x k ++-=的一个根是0，则k = ．。

7．若方程（x －2）2=a －4有实数根，则a 的取值范围是________二. 选择题8.（2009年河南）方程2x =x 的解是【】（A ）x =1 （B ）x =0 (C) x 1=1 x 2=0 (D) x 1=﹣1 x 2=09. 已知关于x 的方程x k x k 2260-++-=()有两个相等的正实数根，则k 的值是（）A. 2B. -10C. 2或-10D. 2510. （2009襄樊市）如图5，在ABCD Y 中，AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===，且a 是一元二次方程2230x x +-=的根，则ABCD Y 的周长为（）A．4+ B．12+ C．2+ D．212++11. 对于任意实数m ，关于x 的方程()()m x mx m 2221240+-++=一定（）A. 有两个正的实数根B. 有两个负的实数根C. 有一个正实数根、一个负实数根D.没有实数根 12．若x=1是方程（k －1）x 2+（k 2－1）x －k+1=0的一个根，则k 值满足（）．A ．k=±1 B．k=1 C ．k=－1 D ．k≠±113. (2009年潍坊)关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．914．(2009年咸宁市)方程3(1)33x x x +=+的解为（）A ．1x =B ．1x =-C ．120-1x x ==，D ．121-1x x ==，15.用配方法解一元二次方程： A DCE B 图5．．16.用适当方法解下列方程y 2+2y-3=0 2420x x ++= 3（x+1）2=3.63五. 解答题17. 已知一元二次方程x x m 2210-+-=（1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x x 12、是方程的两个实数根，且满足x x x 12121+=，求m 的值。

18. 已知关于x 的方程x k x k 2211410-+++=()，k 取什么值时，方程有两个实数根？19. 已知关于x 的一元二次方程ax x a a 200+-=≠()求证：对于任意非零实数a ，该方程恒有两个异号的实数根；一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为： 2224()24b b ac x a a -+= (1) 当240b ac ->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根： 242b b ac x a-±-= (2) 当240b ac -=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-(3) 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=-一、填空题：1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的方程是。

2、已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是。

此时方程的解是3、若关于x 的二次方程kx 2+1=x －x 2有实数根,则k 的取值范围是4、、如果二次三项式k x x 2432+-在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则k 的取值范围是。

5、已知x 2-2mx+1是完全平方式，则m 的值为二、选择题：6.下列方中程，有两个相等实数根的一元二次方程是（）。

A 、3x 2-4x-1=0B 、x 2+3+2=2x+2x C 、x 3-2x+5=0 D 、x 2+ x=1 7、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（） A 、43<m B 、m ≤43 C 、43>m 且m ≠2 D 、m ≥43且m ≠28、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（）A 、有两个不等实根B 、有两个相等实根C 、没有实根D 、无法确定9、若关于x 的一元二次方程mx 2-2x+1=0有实数根，则m 的取值范围是 ( )A.m ＜1B. m ＜1且m ≠0C.m ≤1D. m ≤1且m ≠010、关于x 的方程有实数根，则k 的非负整数值是（）A ．0，1，2B ．1，2C ．1，2，3D ．0，1，2，311、试证：关于x 的方程1)2(2-=+-x m mx 必有实根。

12、已知关于x 的方程022=-+-n m mx x 的根的判别式为零，方程的一个根为1，求m 、n 的值。

13、已知关于x 的方程02)12(22=++++m x m x 有两个不等实根，试判断直线x m y )32(-=74+-m 能否通过A（－2，4），并说明理由。

14、已知a 、b 、c 为三角形的三条边长，求证关于x 的一元二次方程b 2x 2+(b 2+c 2－a 2)x 2+c 2=0没有实数根．15、已知，关于x 的方程0422=++-k x k x 有两个不相等的实数根。

（1）求k 的取值范围。

（2）化简：4422+-+--k k k16、已知n ＞0，关于x 的方程041)2(2=+--mn x n m x 有两个相等的正实根，求nm 的值。

17、当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。

（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根；（3）没有实根18、求证：无论m 取何值，方程03)7(92=-++-m x m x 都有两个不相等的实根。

19、已知关于x 的方程x 2+2(a-3)x+a 2-7a-b+12=0有两个相等的实根，且满足2a-b=0.(1) 求a 、b 的值；(2) 已知k 为一实数，求证：关于x 的方程(-a+b)x 2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根. 20、已知：a 、b 、c 为ΔABC 的三边，当m>0时，关于x 的方程c(x 2+m)+b(x 2-m)-2ax=0有两个相等的实数根，求证：ΔABC 为Rt Δ。

21、已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=．（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程的两实数根之积等于292m m -+6m +四、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为： 2244b b ac b b ac x x -+----== 所以：221244b b ac b b ac b x x a-+----+=+=-， 22222122244()(4)422(2)4b b ac b b ac b b ac ac c x x a a a a a-+-------⋅=⋅=== 定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 1212,b c x x x x a a+=-=1. 已知一元二次方程x x 2350--=的两根分别为x x 12、，那么x x 1222+的值是____。

2. 若方程x x k 220-+=的两根的倒数和是83，则k =____________。

3. 下列方程中，两实数根之和等于2的方程是（） A. x x 2230+-= B. x x 2230-+= C. 22302x x --= D. 36102x x -+=4. 如果一元二次方程x x 2320+-=的两个根为x x 12、，那么x x 12+与x x 12的值分别为（）A. 3，2B. --32，C. 32，-D. -32，5. 若方程x x m 280-+=两实数根的平方差为16，则m 的值等于（）A. 3B. 5C. 15D. -156．(2009年潍坊)已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12x x ，，且2212x x +=24，则k 的值是（）A ．8B ．7-C ．6D ．5 7．（2009眉山）若方程2310x x --=的两根为1x 、2x ，则1211x x +的值为( )A ．3B ．－3C ．13D ．13- 8. 已知关于x 的方程x k x k 2110--++=()的两个实数根的平方和等于4，求实数k 的值。