第四节 圆锥投影、多圆锥投影、伪圆锥投影
圆锥投影及其他
例图
面积变形
三、彭纳投影（伪圆锥投影）
（一）经纬线形状及变形分布
（二）用途
（一）经纬线形状及变形分布
中央经线与中央纬线是两条没有变形的线，离开这 两条线愈远变形愈大
中央经线为直线 纬线为同心圆弧 经线为对称于中央经线的曲线 中央经线长度比m0=1, 纬线长度比n=1 面积比P=1 中央经线上纬线间隔相等，任意纬线上经线间隔相
2.正轴切圆锥投影和正轴割圆锥投影示意图，正轴等角割圆锥 投影、正轴等距割圆锥投影和正轴等积割圆锥投影的经纬线形 状示意图、变形特点与用途。
3.墨卡托(割圆柱)投影和高斯-克吕格投影示意图，它们的经纬 线形状示意图、变形特点与用途。
例图
（二）用途
绘制赤道附近南北延伸地区的地图 （小比例尺）。
提示
其它伪圆锥、伪圆柱投影 的有关内容请自学。
第六节 地图投影的选择
一、制图区域的地理位置、形状和范围 二、 制图比例尺 三、地图的内容
一、制图区域的地理位置 形状和范围
制图区域的地理位置决定投影的种类 制图区域形状制约投影的选择 制图区域的范围大小也影响投影的选择
（三）等距圆锥投影
1. 投影条件 沿经线方向长度 比 m=1
（三）等距圆Biblioteka 投影2. 变形规律 经线方向没有长度变形。 当正切圆锥投影时，标准纬线处n=1，其它n>1 当正割圆锥投影时，标准纬线处n=1 ；标准纬线 内n<1 ；标准纬线外n>1 面积变形:标准纬线内p<1,面积变形向负方向增加； 标准纬线外p>1，面积变形向正方向增加；
二、 制图比例尺
对精度要求不同
三、地图的内容
同一个制图区域，因地图所表现的的 主题和内容不同，其地图投影的选择 有所不同。
圆锥表面点的投影的作法
圆锥体的形成
圆锥----由圆锥面、底面围成
圆锥面---一直线绕与它相交的轴线回转而成。
圆锥立体分析:当圆锥的轴线是铅垂线时,底面为水平 面，圆锥面上的所有素线都是通过锥顶的直线。
圆锥体的组成及投影
转向轮廓素 线
圆锥的投影分析: • 底面的水平投影反映实形为一圆，
正面投影和侧面投影分别重影为一 直线； • 圆锥面的水平投影为一圆，正面投 影和侧面投影分别画出转向轮廓素 线的投影。
A点在左前锥面上
方法二：辅助面（纬圆）法
辅助纬圆
a'
a"
A a
注意： 1、辅助面上求点 2、判断点的投影可见性
学生练习：求点B的投影
方法二：辅助面（纬圆）法
1、分析点在圆锥面上的位置。 A点在左前锥面上
2、作辅助纬圆 ――与轴线垂直 3、应用投影规律求点的投影（纬圆上求点）
注意点：判别点的投影可见性
圆锥表面点的投影的作法
• 复习：如何求作圆柱表面上点的投影？
要点：
1、分析表面上的点的位置。 2、应用投影规律求其它两个投影。 3、 特点：圆柱各表面均有积聚性。
( m' ) n'
m" (n")
m n
圆锥体分析
1、圆锥体的形成 2、圆锥体的组成及投影 3、圆锥面由辅助线组成 4、垂直于轴线的截面都是圆 （即纬圆）
知识强化
1、已知圆锥面上点的一个投影，求其另外两个 投影。 （辅助线法 ）
2、已知圆锥面上点的一个投影，求其另外两个 投影。 （辅助面法）
课后预习
课后观察各种球体可能出现的截割 ——（夏天切西瓜）
结语
谢谢大家！
圆锥体三视图
地图投影与分类
第四章海图海图(chart)是为适应航海的需要而绘制的一种地图，图上详细地标绘了航海所需要的资料，如岸形、岛屿、礁石、浅滩、水深、底质、水流资料、以及助航设施等。
海图可用于船舶航行前拟定计划航线、制定航行计划；航行中可用于航迹推算、定位与导航；航次结束后可用于总结航行经验，如发生海事可用于判断事故责任。
因此，海图是航海必备的航海资料和工具。
正确地了解海图的特点、熟悉海图上的资料、正确地使用管理海图，是船舶驾驶员的重要任务之一。
第一节地图投影与分类一、地图投影1．地图：按照一定的数学法则，将地面上的一部分或全部按照一定的比例尺绘画在平面上。
2．地图投影(map projection)：将地球表面的经、纬线绘画到平面上去，成为地图的经、纬线图网的方法。
3．“地图图网”：在既定的地图投影上的经、纬线图网。
4．投影变形：用投影的方法，解决了地球曲面与地图平面之间的转化，但投影图象不能完全与地球表面相符。
5．投影变形可分为长度变形、面积变形和角度变形。
二、地图投影分类1．按投影变形的性质分类1) 等角投影(equiangle projection)，又称正形投影。
定义：指投影面上任意两方向的夹角与地面上对应的角度相等。
性质：在微小的范围内，可以保持图上的图形与实地相似；不能保持其对应的面积成恒定的比例；图上任意点的各个方向上的局部比例尺都应该相等；不同地点的局部比例尺，是随着经、纬度的变动而改变的。
2) 等积投影(equalarea projection)定义：保持地球上的面积与地图上所对应的面积成恒定比例的一种投影方法。
性质：保持等积就不能同时保持等角。
3) 任意投影(orthographic projection)定义：既不是等角投影，又不是等积投影，是根据某种特殊需要或为了解决某种特定问题，而制作的一种地图投影方法。
如大圆海图。
2．按构制地图图网的方法分类1) 平面投影(plane projection)，又称方位投影∶定义：将地球表面上的经、纬线投影到与球面相切或相割的平面上去的投影方法；平面投影大都是透视投影，即以某一点为视点，将球面上的图象直接投影到投影面上去。
多圆锥投影的名词解释
多圆锥投影的名词解释多圆锥投影是一种地图投影方法，用于将地球的表面投影到平面上。
它是指通过将地球投影到一个或多个圆锥体上，进而将圆锥体展开为平面，来实现地球表面的投影。
不同于其他常见的地图投影方法，多圆锥投影采用了多个圆锥体，以在不同的地理区域上获得更好的形状和距离效果。
在多圆锥投影中，每个圆锥体都覆盖了地球的一部分区域。
每个圆锥体上的投影中心是一个圆锥顶点，顶点到地球的距离可以根据需要进行调整。
通过调整圆锥体的大小和位置，可以实现更好的地图投影效果。
这种方法常用于制作中等和大规模的地图，例如地方地图、区域地图和全球地图等。
多圆锥投影存在许多不同的变体，包括兰勃特圆锥投影、阿尔伯斯圆锥投影、米勒圆锥投影等。
这些变体在选择投影中心、调整圆锥参数以及平面展开时的方式上略有不同，但都基于相同的原理。
它们的共同目标是在保持形状和距离的同时，尽量减少地图的畸变。
兰勃特圆锥投影是最常用的多圆锥投影之一。
它使用一个或多个圆锥体来投影地球表面。
圆锥的顶点位于地球表面上的某个点，而圆锥的轴则通过地球的两个极点。
投影过程中，圆锥体与地球表面接触的纬线将被投影为圆形，而其他纬线则会变为椭圆形。
这种投影方法被广泛应用于地方地图和区域地图的制作，因为它能够实现较好的形状、距离和方位效果。
阿尔伯斯圆锥投影是另一种常见的多圆锥投影方法。
它也使用一个或多个圆锥体来投影地球表面。
不同于兰勃特圆锥投影，阿尔伯斯圆锥投影中的圆锥切口不是与地球表面接触的完整圆，而是一个或多个弧。
这种投影方法常用于制作区域地图和全球地图，它在保持形状和距离的同时，也能够较好地表示地球上的大陆和海洋分布。
米勒圆锥投影是另一种广泛应用的多圆锥投影方法。
它使用两个相交的圆锥体来投影地球表面。
这两个圆锥体的轴通过地球的两个点，而圆锥体的顶点则位于地球表面上的某个点。
米勒圆锥投影常用于制作全球地图，它在保持形状、距离和方位的同时，较好地适应了地球的整体形状。
总体而言，多圆锥投影方法提供了一种灵活的地图投影选择，可以根据需要调整投影参数和展开方式，以实现更好的地图效果。
圆锥投影名词解释
圆锥投影名词解释
圆锥投影是指利用圆锥体将三维空间中的物体投影到一个二维平面上的一种投影方法。
具体来说，圆锥投影包含以下几个名词：
一、圆锥体
圆锥体是一个类似于圆锥形状的几何体，可以看做由一个圆形底面和一个顶点组成的几何体。
在圆锥投影中，圆锥体通常被放置在三维空间的某个位置，并用来进行物体的投影。
二、视点
视点是指在圆锥投影中观察物体的点。
通常，视点位于圆锥体的顶点处。
三、投影面
投影面是指物体投影所在的平面。
通常，投影面位于圆锥体的底面，是一个二维平面。
四、图像平面
图像平面是指最终得到的物体投影所在的平面。
通常，图像平面与投影面是相同的平面。
五、切平面
切平面是指将圆锥体切割而得到的平面。
切平面可以通过调整圆锥体的位置和角度来实现对物体的不同投影效果。
六、透视投影
透视投影是指在圆锥投影中使用的一种投影方式，可以在平面上得到与三维物体相似的视觉效果。
透视投影通常需要调整圆锥体与视点的距离和角度来实现投影效果的不同。
七、正交投影
正交投影是指在圆锥投影中使用的另一种投影方式，可以在平面上得到物体的平面投影。
与透视投影不同，正交投影不需要调整圆锥体与视点的位置和角度。
综上所述，圆锥投影是一种将三维物体投影到二维平面上的方法，主要包括圆锥体、视点、投影面、图像平面、切平面、透视投影和正交投影等几个重要的概念。
通过理解这些概念，我们可以更好地应用圆锥投影技术，实现对三维物体的更加精细和准确的展示。
世界地图常用地图投影知识大全
世界地图常用地图投影知识大全2009－09－30 １3:20在不同的场合和用途下使用不同的地图投影,地图投影方法及分类名目众多，象:墨卡托投影,空间斜轴墨卡托投影,桑逊投影,摩尔维特投影,古德投影,等差分纬线多圆锥投影,横轴等积方位投影,横轴等角方位投影,正轴等距方位投影,斜轴等积方位投影,正轴等角圆锥投影,彭纳投影,高斯-克吕格投影,等角圆锥投影等等。
一、世界地图常用投影1、等差分纬线多圆锥投影（Polyｃonic Projecｔion With Meridional Interval o ｎＳaｍe Parａllel Ｄeｃreaｓe AｗaｙＦｒｏm Cｅntrａl Meridｉａn ｂｙ E ｑuaｌ Dｉffeｒence）普通多圆锥投影的经纬线网具有很强的球形感，但由于同一纬线上的经线间隔相等,在编制世界地图时,会导致图形边缘具有较大面积变形。
1９６3年中国地图出版社在普通多圆锥投影的基础上，设计出了等差分纬线多圆锥投影。
等差分纬线多圆锥投影的赤道和中央经线是相互垂直的直线，中央经线长度比等于1；其它纬线为凸向对称于赤道的同轴圆弧,其圆心位于中央经线的延长线上，中央经线上的纬线间隔从赤道向高纬略有放大;其它经线为凹向对称于中央经线的曲线，其经线间隔随离中央经线距离的增加而按等差级数递减；极点投影成圆弧(一般被图廓截掉),其长度等于赤道的一半（图２-３0）。
通过对大陆的合理配置，该投影能完整地表现太平洋及其沿岸国家，突出显示我国与邻近国家的水陆关系。
从变形性质上看，等差分纬线多圆锥投影属于面积变形不大的任意投影。
我国绝大部分地区的面积变形在10%以内。
中央经线和±4４º纬线的交点处没有角度变形，随远离该点变形愈大。
全国大部分地区的最大角度变形在10º以内。
等差分纬线多圆锥投影是我国编制各种世界政区图和其它类型世界地图的最主要的投影之一。
类似投影还有正切差分纬线多圆锥投影(Ｐoｌｙcｏniｃ Projｅｃtioｎwｉtｈ Me ｒiｄioｎal Intervalｓ oｎ Deｃrease Ａway Ｆrom Cenｔｒal Meriｄｉａn bｙ T ａｎｇeｎt),该投影是1９7６年中国地图出版社拟定的另外一种不等分纬线的多圆锥投影。
多圆锥投影 ---
提问：
角度变形和面积变形在全球 有怎样的特点或者规律？
答：
*角度变形越向高纬度地区变形越快， *面积变形大致与纬线 方向一致，但越向高纬度面积变形越大。
byebye
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组员：吕丹
王晓溪
秦楠
多圆锥投影：
概念：假设有许多圆锥与地球面上的纬 线相切，将球面上的经纬线投影于这些 圆锥面上，然后沿同一母线方向将圆锥 剪开展成平面，由于圆锥顶点不是个， 所以纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在 中央经线的延长线上，除中央经线为直 线外，其余的经线投影为对称于中央经 线的曲线，凡是经纬线形式符合上述特 征的均称为多圆锥投影。
图示：
多圆锥投影经纬线除中 央经线和赤道以外均投影 成曲线，因此有较好的球 形感。
纵观全球，哪一 个纬度地区相对于其 它纬度地区角度变形 和面积变形更小？
角度变形和面积 变形都比较适中， 但中纬度地区变 形更小一些。
正切差分纬线多圆锥投影
正切差分纬线多圆锥投影是1976年中国地图出版 社设计的一种投影，属于角度变形不大的任意投 影。角度无变形点位于中央经线与纬线±44度交 点处，愈向高纬度角变形递增愈快。面积等变形 线大致与纬线方向一致，纬线±30度以内面积变 形为10%~20%，愈向高纬面积变形愈大，在纬度 ±60度处增至200%，到纬度±80度以上区域可 增至400%~500%。总体看来，世界的大陆轮廓 形状无明显变形。我国的形状比较正确，大陆部 分最大角度变形均在6度以内；大部分地区的面积 变形在10%~20%以内，少部分地区最多可达 ±60%左右。中国地图出版社1981年出版的 1:1400万世界地图，使用的就是该投影。
投影坐标系的详细介绍
1.UTM投影的特点
UTM投影的中央经线长度比为0.999 6，这是为了使得Ｂ＝０°， ｌ＝３°处的最大变形值小于0.001而选择的数值。两条割线(在 赤道上，它们位于离中央子午线大约±１８０ｋｍ(约±１°４ ０’)处)上没有长度变形；离开这两条割线愈远变形愈大；在两 条割线以内长度变形为负值；在两条割线之外长度变形为正值。
（一）高斯投影
1.控制测量对地图投影的要求
采用等角投影（又称为正形投影） 长度和面积变形不大 能按高精度的、简单的、同样的计算公式把各区域联成 整体
2.高斯投影描述
想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子 午线(此子午线称为中央子午线或轴子午线)相切，椭圆柱的中心 轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各 一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成 为投影面 。
2. 编制“世界地图”用的投影：等差分纬线多圆 锥投影
这个投影是由我国地图出版社于1963年设计的一种不等分纬线的 多圆锥投影。是我国编制“世界地图”常用的一种投影。
这种投影的特点是赤道和中央纬线是互相垂直的直线，其他纬 线是对称于赤道的同轴圆弧，其圆心均在中央经线上，其他经线 为对称于中央经线的曲线，每一条纬线上各经线间的间隔，随离 中央经线距离的增大而逐渐缩小，按等差递减。极点为圆弧，其 长度为赤道的1/2。
3.高斯投影必须满足以下三个条件：
（1）中央子午线投影后是一条直线 （2）中央子午线投影后长度不变，其投影长度比恒等于1 （3）投影后角度不产生变形，满足正形投影要求 高斯投影除了在中央子午线上没有长度变形外，不在中央子午线 上的各点，其长度比都大于1，且离开中央子午线愈远，长度变 形愈大。
4.高斯投影的分带
基本几何体圆锥的投影PPT课件
第三节 基本几何体圆锥的投影
举例：常见的圆锥型物体
回转体的投影
第二节 几何体的投影--- 回转体的投影
圆锥体
学习目标：
理解圆锥面的形成和圆锥体的组成; 熟练绘制圆锥体的三视图； 掌握圆锥体表面点的投影作图方法；
一、圆锥面的形成和圆锥体的组成
圆锥面是一母线绕与它相交的轴线旋转而成。 圆锥体的表面是由圆锥面和底面圆组成。
Z
V
W
圆锥的投影
X
Y
在与轴线垂直的投影面 上投影为圆（没有积聚性）。
V
其余两面投影为底圆的
积聚投影和圆锥面转向素
线的投影，投影形状为等
腰三角形。
X
Z
W
Y
圆锥的三面投影图
三、圆锥表面上点的投影
圆锥上点
底面圆 上的点
圆锥面 上的点
积聚性 转向素线上的点
三等关系 一般位置上的点
例：已知圆锥表面上点M的V面投影m′，求其余两面投影。
轴线
轮廓素线
二、圆锥体的三视图
1、三视图分析
在与轴线垂直的投影面 上投影为圆（没有积聚性）。V
Z
W
X Y
圆锥的三面投影图
2、作图步骤 （1） 先绘出圆锥的对称
线、回转轴线。
（2）在水平投影面上绘出圆 锥底圆，正面投影和侧面投影 积聚为直线。
(3) 作出锥顶的正面投影和侧 面投影并画出最左、最右和最前、 最后轮廓素线。
s’
s”
m’
1’
s m 1
m” 1”
连接S’ m’并延长到与底面投影 相交于点1’。
根据长对正求得1点，连接S1， 再根据长对正求得m点。
根据高平齐、宽相等求的1” 点，连接s” 1”，再根据高平齐 求得m”点。
圆锥投影及其他
（三）等距圆锥投影
1. 投影条件 沿经线方向长度 比 m=1
（三）等距圆锥投影
2. 变形规律 经线方向没有长度变形。 当正切圆锥投影时，标准纬线处n=1，其它n>1 当正割圆锥投影时，标准纬线处n=1 ；标准纬线 内n<1 ；标准纬线外n>1 面积变形:标准纬线内p<1,面积变形向负方向增加； 标准纬线外p>1，面积变形向正方向增加；
（二）等积圆锥投影
2. 变形规律 等积性质；
当正切圆锥投影时，标准纬线处n=1， m=1 ；标准 纬线之外， n>1 ，m<1
当正割圆锥投影时,标准纬线处n=1， m=1 ；标准纬 线之外， n>1 ，m<1；标准纬线内， n<1 ，m>1。
（二）等积圆锥投影
3. 用途 编制行政区划、人口密度及社会经济地图等。
等 中央经线与所有纬线正交，中央纬线与所有经线正
交 例图
例图
（二）用途
除非、南极洲以外的其它大洲图（小比 例尺）。
四、桑逊投影（伪圆柱投影）
（一）经纬线形状及变形分布 （二）用途
（一）经纬线形形愈大。
2．中央经线为直线 3．纬线为平行直线 4．经线为对称于中央经线的曲线 5．中央经线长度比m0=1, 其它经线长度比大于1 6．纬线长度比n=1,任一条纬线上经线间隔相等 7. 面积比p=1。
当正割圆锥投影时，两条割线为标准纬 线
标准纬线为没有变形的线
距标准纬线愈远变形愈大
切圆锥变形线
割圆锥变形线
(五) 用途
绘中纬度东西方向延伸地区图
二、圆锥投影的种类
（一）等角圆锥投影 （二）等积圆锥投影 （三）等距圆锥投影
（一）等角圆锥投影
圆柱圆锥投影
二、正轴等角圆锥投影
aρ aK m=n= = r rU a
aK P = m2 = n2 = a rU
2
1、单标准纬线等角圆锥投影
Cn N tgϕ = = ′C ρ S
ρ = N ctgϕ
aρ aK n= = r rU a
aρ aK n = = =1 a r rU
N cos ϕ a= = = sin ϕ N ctgϕ ρ r
r1U r2U K= = a a
a 1
a 2
2、双标准纬线等角圆锥投影
正轴等角割圆锥投影及其经纬线图形
三、正轴等面积圆锥投影 三、正轴等面积圆锥投影
四、等距离圆锥投影
五、圆锥投影变形分析及应用
1、圆锥投影一般变形规律
①变形只与纬度有关，与经差无关，同一纬线上的变 形是相同的； ②切圆锥投影中，标准纬线上长度比等于n0=1，其 余纬线上长度比均大于1，并向南、北方向增大； ③在割圆锥投影中，标准纬线n1=n2=1,变形自标准纬 线 ϕ ϕ 向内、向外增大，在 之间n<1,在 1、 2 ϕ1、 2 ϕ 之外n>1。 适合中纬度处沿纬线伸展的制图区域之投影
投影分带
（1）60分带法
L0＝60·n-30
投影分带
（2）30分带法
投影分带 投影分带
优越性：控制变形
提高地图精度
缺点：邻带间互不联系，邻带间相邻图幅不
便拼接
坐标规定
（1）将各带的坐标纵轴西移500公里 Y=y+500000m
yA=245863.7m yB=168474.8m y′A=745863.7m y′B=331525.2m
圆锥投影纬距的变化
五、圆锥投影变形分析及应用
圆锥及圆锥上点的投影
a'
a"
a
(a) 圆锥面上一点
a
(b) 投影图
课堂总结 圆锥面上点的投影规律
圆锥体三视 图的绘制
圆锥体三视 图的投影特 征
圆锥面上 点的投影
圆锥及圆锥上点的 投影
今天我们将学到什么新知识呢？ 1 圆锥的组成 2 圆锥的投影 3 圆锥投影的画法 4 圆锥上点的投影
1
圆锥的形成
底面
❖ 圆锥的形成
圆锥面
一条母线SA 绕轴线001旋转而成
2 圆锥体的投影分析
圆锥三视图的投影特点
特点：
1、在垂直圆锥轴线的投 影面（如H面）上投影， 图形为与其底面全等的圆 形。 2、其余两投影面的投影 为全等的等腰三角形。
3
圆锥投影的画法
作圆锥的三视图时： 1、应先画圆的中心线和圆锥轴线各投影 2、再从投影为圆的视图画起 3、按圆锥的高度确定锥顶，逐步画出其他视图。
时刻牢记：长对正、高平齐、宽相等
最左素线
最右素线
最前 素线
最前素线
(a) 立体图
(b) 投影图
返回
4
圆锥面上点的投影
●圆锥面上特殊位置点的投影 （圆锥底面上的点）
方法：积聚法
●圆锥面上一般位置点的投影 （圆锥面上的点）
方法：辅助线法（素线法） 辅助面法（纬圆法）
圆锥底面上点的投影
S
s'
s39;'
b s A a
(1) 求圆锥面上点的方法—素线法
M
B m
b
(a) 圆锥面上一点
m' b'
a" b"
m b
(b) 投影图
(2) 求圆锥面上点的方法—纬圆法
A
各种投影方式
彭纳投影彭纳投影即等积伪圆锥投影。
为法国人彭纳所创。
中央经线是直线，其他经线为对称于中央经线的曲线。
纬线为同心圆弧。
中央经线和标准纬线上没有变形，离开这两条线越远变形越大。
图上所有纬线都保持长度不变，面积相等。
彭纳投影常用作大洲图。
等角圆柱投影等角圆柱投影指保持角度、形状没有变形的圆柱投影。
这是荷兰地图学家墨卡托于1569年创制的，又称墨卡托投影或等角正圆柱投影。
该图上经纬线成互相直交的平行直线，经线的间隔相等，纬线的间隔随纬度增高而加大。
赤道处角度、形状没有误差，越向高纬度处误差越大。
地面上的等方位角航线投影后为直线，故广泛用于绘制航海图。
但这种投影面积变形显著，在纬度60°地区经线和纬线比都扩大2倍，面积比例比实际扩大了4倍。
到纬度80°附近，经线和纬线比例尺都扩大将近6倍，面积扩大了33倍。
所以在墨卡托投影上，纬度80°以上的地区就不绘出来了。
中学使用的中国地图册中的时区图和世界地图册中的东南亚地图都是采用这种投影绘制的横轴墨卡托（伪圆柱投影）是地图投影的一种。
属“条件投影”。
它是按一定的条件修改圆柱投影而得。
该投影的纬线是一组平行的直线，两极则表现为点或线的形式；其经线，除中央经线为一直线外，其余经线均为对称于中央经线的曲线。
由于经纬线不是垂直相交，因此不存在等角投影，常用的以等积伪圆柱投影为多。
该投影主要用于绘制世界图、大洋图和分洲图。
该投影又称“拟圆柱投影”。
又称正轴等角圆柱投影，简称UTM投影或TM投影。
圆柱投影的一种，由荷兰地图学家墨卡托（G. Mercator）于1569年创拟。
为地图投影方法中影响最大的。
设想一个与地轴方向一致的圆柱切于或割于地球，按等角条件将经纬网投影到圆柱面上，将圆柱面展为平面后，得平面经纬线网。
投影后经线是一组竖直的等距离平行直线，纬线是垂直于经线的一组平行直线。
各相邻纬线间隔由赤道向两极增大。
一点上任何方向的长度比均相等，即没有角度变形，而面积变形显著，随远离标准纬线而增大。
伪投影与多圆锥投
在等面积条件下P=1，故有：
02
移项积分后
03
式中C为积分常数，因中央经线为直线，λ由中央经线起算，当λ=0时，y=0，故C=0，则
04
规定伪圆柱投影经线形状的一般公式 在研究伪圆柱投影时，通常可规定投影中经线的形状，为此我们先导出实践中应用较多的经线为正弦曲线与椭圆曲线的一般公式。
”
几种等面积伪圆柱投影 1）正弦曲线等面积伪圆柱投影——桑逊投影(Sanson-Flamsteed Projection)
根据以上条件，可由一般公式推导(过程从略)得以下投影公式： (10－17) 当解算上式中的α时，需用逐渐趋近法。 本投影在高纬度处变形较桑逊投影小，值其极点投影不成点而成线。该投影主要应用于编制小比例尺世界图。
3）椭圆经线等面积伪圆柱投影—— 摩尔威德投影(Mollweide Projection) 本投影中经线投影为对称于中央直经线的椭圆，离中央经线经差为±90°的经线投影后合成一个圆，其面积等于地球的半球面积。纬线是平行于赤道的一组平行直线。 椭圆经线，离中央经线经差+90的经线投影后合成一个圆，其面积为地球表面积的一半 P=1
在伪方位投影中，正常位置下纬线投影为同心圆，经线为对称于中央直经线的曲线，并交于纬线圆心。在横轴或斜轴投影中，等高圈表现为同心圆，垂直圈表现为交于等高圈圆心的对称曲线，而经纬线均为较复杂的曲线。
由于伪方位投影中等变形线具有不同于方位投影中等变形线为圆的特点，而是可能为椭圆形或卵形，或有规律的其它几何形，使它能设计得符合于对投影变形分布的特殊要求，即等变形线与制图区域轮廓近似一致。使它具有同一般投影设计计算有不同的特点。也由于这一特点，伪方位投影的应用，以非正常位置为多，所以一般公式的推导要从任意位置的球面极坐标出发，其一般公式为：
圆锥的投影、截交线及轴侧图
辅助素线法：截交线上任一点M，可看成是圆锥面上某一素线SI与截平面P的交点。因M点在素线SI上，故点M的三面投影分别在该素线的同面投影上。
特殊点
Ⅰ
P
S
Ⅰ
c''
a''
b''
a
b
c'
b'
a'
特殊点
c
一般点
由点连线
整理加深
5.利用辅助平面法(纬圆法)求截交线
a''
b''
c
a
b
c'
b'
a'
c''
特殊点
辅助圆定点
b''
c
a
b
c'
b'
a'
d''
a''
c''
d'
一般点
描深图线
d
例1:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
截交线的空间形状？
截交线的投影特性？
★找特殊点
投 影 图
PV
PV
PV
PV
PV
(3).圆锥截交线的求法 （求共有点的方法） 素线法 纬圆法
作图步骤: 1). 投影分析 2).求特殊位置点：转向轮廓线上的点，分界点 3). 求一般位置点 4). 光滑连接各点 5). 判断可见性 6). 整理轮廓线
4.辅助素线法求截交线
P
常用地图投影之圆锥投影
常用地图投影之圆锥投影基本概念定义设想用一个圆锥套在地球椭球体上,而把地球椭球上经纬网投影到圆锥面上,然后沿着某一条母线(经线)将圆锥面切开而展成平面,就得到圆锥投影。
圆锥面和地球椭球体相切称为切圆锥投影,圆锥面和地球椭球相割时称为割圆锥投影。
分类按圆锥面与地球椭球体的相对位置分 :正轴圆锥投影圆锥轴与地球椭球体的旋转轴相一致；横轴圆锥投影圆锥轴与地球椭球体的长轴相一致；斜轴圆锥投影圆锥轴既不和椭球体的旋转轴重合，也不与它的长轴相重合。
按变形性质分等角圆锥投影正轴等角圆锥投影也称为Lambert正形投影。
等面积圆锥投影正轴等面积割圆锥投影也称为Albers投影。
任意投影特例是等距离投影。
正轴圆锥的基本公式极坐标公式为：ρ=f(ϕ)δ=α⋅λ其中δ表示两条经线夹角在平面上的投影。
α表示δ与λ的比值，小于1λ表示地球椭球体上两经线的夹角。
直角坐标公式为:x=ρs−ρcosδy=ρsinδ其中ρs表示制图区域最低纬线的投影半径在该投影中,经纬线投影后呈正交，故a、b就是是m、n, 即经纬线方向就是主方向。
正等角圆锥投影基本公式：根据等角条件 a=b或 m=n，得：dρ/(Mdϕ)=αρ/rdρ/ρ=αMdϕ/(Ncosϕ)将M，N 公式带入上式，并取积分可得：ρ=K/UαK,α称为投影常数U=tg(450+ϕ/2)/tge(450+ψ/2)sinψ=esinϕ当ϕ=00时，K=ρ，故K的几何意义是赤道的投影半径正等角圆锥投影的一般公式如下：δ=α⋅λρ=K/UαU=tg(450+ϕ/2)/tge(450+ψ/2)sinψ=esinϕe=((a2−b2)/a2)1/2x=ρs−ρcosδy=ρsinδm=n=αρ/r=αK/(rUα)p=m2=n2=(αK/(rUα))2ω=0投影常数α,K的确定方法1.单标准纬线正等角圆锥投影:指定制图区域中某一条纬线无长度变形。
2.双标准纬线正等角圆锥投影:指定制图区域中两条纬线无长度变形。
圆锥表面点的投影的作法讲课讲稿
1、分析点在表面上的位 置
2、作辅助面（垂直轴线）
3、应用投影规律求点的 投影
（辅助面上求点）
学生达标练习： 已知圆锥面上点的一面投影，求其另两面投影。
知识强化
1、已知圆锥面上点的一 个投影，求其另外两个 投影。 （辅助线法 ）
2、已知圆锥面上点的一 个投影，求其另外两个 投影。 （辅助面法）
学生练习：求点A的投影
方法一： 辅助线法
1、分析点在圆锥面上的位置 A点在左前锥面上 2、作辅助素线――必过锥顶 3、应用投影规律，求点的投影
注意点：判别点的投影可见性
方法二：辅助面（纬圆）法
辅助纬圆
a'
a"
A a
注意： 1、辅助面上求点 2、判断点的投影可见性
学生练习：求点B的投影
方法二：辅助面（纬圆）法
• 复习：如何求作
圆柱表面上点的
投影？
(m' )
要点：
1、分析表面上的点的
n'ห้องสมุดไป่ตู้
位置。
2、应用投影规律求其
它两个投影。 3、 特点：圆柱各表 m
面均有积聚性。
n
m" (n")
圆锥体三视图
本节课主题
圆锥表面上点的投影作法
方法一：辅助素线法
辅助素线
a'
a"
b'
b"
A
s ba
注意： 1 、辅助线上求点 2 、判断点的投影可见性
1、分析点在圆锥面上的位置。 A点在左前锥面上
2、作辅助纬圆 ――与轴线垂直 3、应用投影规律求点的投影（纬圆上求点）
注意点：判别点的投影可见性
10.伪圆锥投影和伪圆柱投影
y A cos B , x C 2 R sin C A sin B
规定投影经线形状的一般公式（续）
yE A B 设PP点纬度 ，则 2 xP C P yP A cos P B xE 0
• 这是一种任意伪圆柱投影，它通过下列投影方程式而 使纬线间的间隔向两极增大，而经线间的间隔自中央 经线向地图边缘减少。 x f1 R 3
y f 2 f3 R 1 b c d
2 3
• 式中 ，λ以弧度表示，λ自中央经线起算。由表达式可 见，x的式子中有 的三次项， • 因此纬线间隔随纬度增大而扩大。y的式子中有λ的四 次项，因此各经线并不等分诸纬线 • 而是离中央经线愈远而间隔愈小。
乌尔马耶夫任意伪圆柱投影
• 本投影中央经线投影成直线，其它经线为对称于 中央经线的曲线。两极投影成极线。 • 该投影的特点是；
▫ 可以根据所提出的对制图区域的要求而控制变形分 布。它在赤道上面积比等于1，其它地方面R ab 3ab y Ra cos
tg 经 纬 线 交 角 与 90 之 差 m 沿经线长度比 tg 最大角度变形 2 m 2 n 2 2 m n cos tg 或 2 4 m n cos 1 tg tg 因 为 P 1， n = 1 ， 则 2 2 tg 4 5 。 极值长度比 4 1 b a
sin b sin , P 1 K 2
例如有一种用本方法设计的太平洋与印度洋自然与政治地图所用的伪圆 柱投影，取b=0．8，
第四节 圆锥投影、多圆锥投影、伪圆锥投影
第四节圆锥投影、多圆锥投影、伪圆锥投影一、圆锥投影（一）圆锥投影构成的一般公式圆锥投影是假定以圆锥面作为投影面，使圆锥面与地球相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后把圆锥面沿一条母线剪开展为平面而成。
当圆锥面与地球相切时，称为切圆锥投影；当圆锥面与地球相割时，称为割圆锥投影。
按圆锥与地球相对位置的不同，也有正轴、横轴和斜轴圆锥投影。
但横轴和斜轴圆锥投影实际上很少应用，所以凡在地图上注明是圆锥投影的，一般都是正轴圆锥投影。
图2-39是正轴切圆锥投影示意图，视点在地球中心，纬线投影在圆锥面上仍为圆，不同的纬线投影为不同的圆，这些圆都互相平行，经线投影为相交于圆锥顶点的一束直线。
如果将圆锥沿一条母线剪开展为平面，则成扇形，其顶角小于360°，在平面上纬线不再是圆，而是以圆锥顶点为圆心的同心圆弧，经线成为由圆锥顶点向外放射的直线束，经线间的夹角与相应的经度差成正比。
设球面上两条经线间的夹角为λ（图2-40），其投影在平面上为δ，δ与λ成正比，即δ=Cλ（C为常数）。
纬线投影为同心圆弧，设其半径为ρ，它随纬度的变化而变化，即ρ是纬度j 的函数，ρ=f（j ）。
所以圆锥投影的平面极坐标一般公式为：如以圆锥顶点S’为原点，中央经线为X轴，通过S’点垂直于X轴的直线为Y轴，则圆锥投影的直角坐标公式为：x=-r cosdy=r sind通常在绘制圆锥投影时，以制图区域最南边的纬j S与中央经线的交点为坐标原点，则其直角坐标公式为：x=r S-r cosdy=r sind式中r S为投影区域最南边纬线j S的投影半径。
根据（2-22）式可知，圆锥投影需要决定ρ的函数形式，由于P的函数形式不同，圆锥投影有很多种。
c称为圆锥系数（圆锥常数），它与圆锥的切、割位置等条件有关，对于不同的圆锥投影，它是不同的。
但对于某一个具体的圆锥投影，C值是固定的。
总的来说，C值小于1，大于0，即0＜c＜1。
当c=1时为方位投影，c=0时为圆柱投影，所以可以说方位投影和圆柱投影都是圆锥投影的特例。
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第四节圆锥投影、多圆锥投影、伪圆锥投影一、圆锥投影（一）圆锥投影构成的一般公式圆锥投影是假定以圆锥面作为投影面，使圆锥面与地球相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后把圆锥面沿一条母线剪开展为平面而成。
当圆锥面与地球相切时，称为切圆锥投影；当圆锥面与地球相割时，称为割圆锥投影。
按圆锥与地球相对位置的不同，也有正轴、横轴和斜轴圆锥投影。
但横轴和斜轴圆锥投影实际上很少应用，所以凡在地图上注明是圆锥投影的，一般都是正轴圆锥投影。
图2-39是正轴切圆锥投影示意图，视点在地球中心，纬线投影在圆锥面上仍为圆，不同的纬线投影为不同的圆，这些圆都互相平行，经线投影为相交于圆锥顶点的一束直线。
如果将圆锥沿一条母线剪开展为平面，则成扇形，其顶角小于360°，在平面上纬线不再是圆，而是以圆锥顶点为圆心的同心圆弧，经线成为由圆锥顶点向外放射的直线束，经线间的夹角与相应的经度差成正比。
设球面上两条经线间的夹角为λ（图2-40），其投影在平面上为δ，δ与λ成正比，即δ=Cλ（C为常数）。
纬线投影为同心圆弧，设其半径为ρ，它随纬度的变化而变化，即ρ是纬度j 的函数，ρ=f（j ）。
所以圆锥投影的平面极坐标一般公式为：如以圆锥顶点S’为原点，中央经线为X轴，通过S’点垂直于X轴的直线为Y轴，则圆锥投影的直角坐标公式为：x=-r cosdy=r sind通常在绘制圆锥投影时，以制图区域最南边的纬j S与中央经线的交点为坐标原点，则其直角坐标公式为：x=r S-r cosdy=r sind式中r S为投影区域最南边纬线j S的投影半径。
根据（2-22）式可知，圆锥投影需要决定ρ的函数形式，由于P的函数形式不同，圆锥投影有很多种。
c称为圆锥系数（圆锥常数），它与圆锥的切、割位置等条件有关，对于不同的圆锥投影，它是不同的。
但对于某一个具体的圆锥投影，C值是固定的。
总的来说，C值小于1，大于0，即0＜c＜1。
当c=1时为方位投影，c=0时为圆柱投影，所以可以说方位投影和圆柱投影都是圆锥投影的特例。
（二）圆锥投影的变形分布规律圆锥投影的纬线是同心圆弧，经线是同心圆弧的半径。
经纬线是直交的，所以经纬线的长度比就是最大、最小长度比。
由图2-41可以看出，球面上经线微分弧长AB=Rdj ，纬线微分弧长AD=rdl =Rcosj dl ；在投影平面上，经线微分线段A’B’=-dρ（dρ带负号，是因为变量A’B’与动径SA’的方向相反），纬线微分线段A’D’=ρdδ。
根据长度比定义，可得由上面几式可以看出，圆锥投影的各种变形都是纬度j 的函数，与经度λ无关。
也就是说，圆锥投影的各种变形是随纬度的变化而变化，在同一条纬线上各种变形的数值各自相等，因此，等变形线与纬线平行，呈同心圆弧状分布。
在切圆锥投影上，相切的纬线是一条没有变形的线，称为标准纬线，从标准纬线向南、北方向变形逐渐增大（图2-42）。
在割圆锥投影上，球面与圆锥面相割的两条纬线（图2-43，j 1、j 2为割线）是标准纬线，在两条标准纬线之间的纬线长度比小于1，两条标准纬线以外的纬线长段比大于1，离标准纬线愈远，变形愈大。
根据圆锥投影变形分布情况，这种投影适于制作中纬度沿东西方向延伸地区的地图。
由于地球上广大陆地位于中纬度地区，又因为圆锥投影经纬线网形状比较简单，所以它被广泛应用于编制各种比例尺地图。
圆锥投影按变形性质可以分为等角、等积和等距三种投影。
无论哪一种均有切圆锥与割圆锥之分。
（三）等角圆锥投影等角圆锥投影的条件是使地图上没有角度变形，即ω=0。
为了保持等角条件，必须使图上任一点的经线长度比与纬线长度比相等，即m=n。
在切圆锥投影上，相切的纬线为标准纬线，其长度比等于1；从标准纬线向南、北方向纬线长度比均大于1，因而经线长度比也要相应的扩大，使其值与纬线长度比相等。
表2-11为标准纬线j 0=35°的等角圆锥投影变形数值表。
从这个表中可以看出，在单标准纬线等角圆锥投影中，标准纬线没有变形；从标准纬线向南、北方向变形逐渐增加，但在距离标准纬线纬差相同的地方，变形数值是不等的，标准纬线以北比标准纬线以南变形增加的要快些。
在割圆锥投影上，相割的两条纬线为标准纬线，其长度比等于1；两条标准纬线之间，纬线长度比小于1，因而经线长度比也要相应的小；两条标准纬线之外，纬线长度比大于1，经线长度比也要相应的大，同时使任一点上经线长度比与纬线长度比相等。
表2-12为标准纬线j 1=25°、j 2=45°的等角割圆锥投影各种变形数值表。
从表中数值可以看出，在双标准纬线等角圆锥投影上，两条标准纬线没有变形；在两条标准纬线之间长度变形是向负的方向增加，即投影后的经纬线长度均比地面上相应的经纬线长度缩短了；在两条标准纬线以外长度变形向正的方向增加，即投影后的经纬线长度均比地面上相应的经纬线长度伸长了。
面积变形也是如此，在两条标准纬线以内是负向变形，在两条标准纬线以外是正向变形。
变形增加的速度也是北边比南边快些（图2-44）。
等角圆锥投影应用很广。
如我国地图出版社1957年出版的《中华人民共和国地图集》中的分省地图是采用这种投影编制的，两条标准纬线的纬度为j 1=25°，j 2=45°；1981年出版的《中华人民共和国地图集》中，分省地图采用边纬线与中纬线长度变形绝对值相等的双标准纬线等角圆锥投影；1960年和1972年出版的《世界地图集》中大多数分国地图均采用了等角圆锥投影。
世界上有些国家，如法国、比利时、西班牙等国都曾采用这种投影作为地形图的数学基础。
此外，西方国家出版的许多挂图、地图集中亦广泛采用等角圆锥投影。
1962年联合国于波恩举行的世界百万分之一国际地图技术会议制定的规范建议，新编国际百万分之一地图采用双标准纬线等角圆锥投影。
这样可使世界1∶100万普通地图与1∶100万世界航空图的数学基础一致。
该投影自赤道起按纬差4°分带。
北纬84°以北和南纬80°以南采用等角方位投影。
1978年我国新制订的《1∶100万地形图编绘规范》，规定采用边纬线与中纬线长度变形绝对值相等的等角割圆锥投影，作为1∶100万分幅地形图的数学基础。
也是按纬差4°分带，每个投影带的两条标准纬线近似为j 1=j S+35’，j 2=j N-35’（j S为每一带最南边纬线的纬度，j N为每一带最北边纬线的纬度），各带长度变形最大值为±0.03％，面积变形最大值为±0.06％。
（四）等积圆锥投影等积圆锥投影的条件是使地图上没有面积变形，即P=1。
为了保持等积条件，必须使投影图上任一点的经线长度比与纬线长度比互为倒数，即m=1/n。
在切圆锥投影上，相切的纬线为标准纬线，其长度比等于1；从标准纬线向南、北方向纬线长度比均大于1，因而经线长度比要相应的小，其值是纬线长度比的倒数。
在割圆锥投影上，相割的两条纬线为标准纬线，其长度比等于1；两条标准纬线之间，纬线长度比小于1，因而经线长度比要相应的大；两条标准纬线之外，纬线长度比大于1，经线长度比要相应的小，同时使任一点上经线长度比与纬线长度比互为倒数。
表2-13为等积割圆锥投影（标准纬线j 1=25°，j 2=47°）各种变形数值。
从表中数值可以看出，在双标准纬线等积圆锥投影中，面积没有变形；两条标准纬线没有变形；在两条标准纬线之内，纬线变形是向负的方向增加，经线变形是向正的方向增加；在两条标准纬线以外，纬线变形是向正的方向增加，经线变形向负的方向增加。
角度变形随离标准纬线愈远而愈大（图2-45）。
等积圆锥投影常用以编制行政区划图、人口密度图及社会经济地图等。
例如中国地图出版社出版的1∶800万、1∶600万和1∶400万《中华人民共和国地图》采用了双标准纬线（j 1=25°、j 2=47°）等积圆锥投影。
以前还曾用过标准纬线为25°和45°以及边纬线（j S=18°、j N=54°）和中纬线（j M=36°）长度变形绝对值相等的等积圆锥投影。
其他国家出版的许多挂图、桌图和地图集中，亦广泛采用等积圆锥投影。
（五）等距圆锥投影等距圆锥投影的条件是沿经线方向长度没有变形，即m=1。
等距切圆锥投影，相切的纬线为标准纬线，没有变形；从标准纬线向南、北方向纬线长度比大于1，经线长度比等于1，面积变形和角度变形均随离标准纬线愈远而愈大。
等距割圆锥投影，相割的两条纬线为标准纬线，没有变形；两条标准纬线以内，纬线长度比小于1；两条标准纬线以外，纬线长度比大于1，经线长度比等于1；在两条标准纬线之内，面积变形向负的方向增加；在两条标准纬线以外，面积变形向正的方向增加，角度变形随离标准纬线愈远，变形愈大（图2-40）。
表2-14为双标准纬线（j 1=25°、j 2=47°）等距圆锥投影各种变形数值。
等距圆锥投影上虽然具有长度、面积和角度变形，但变形值却比较小，它的角度变形小于等积圆锥投影，面积变形小于等角圆锥投影。
等距圆锥投影在我国出版的地图中不常见。
在国外则有用的。
例如苏联出版的苏联全图，一般常用j 1=47°、j 2=62°的等距割圆锥投影。
（六）几种圆锥投影变形性质的图形判别圆锥投影经纬线形式具有共同的特征。
经线为放射状直线，夹角相等；纬线为同心圆弧。
如果地图上没有注明变形性质，则可以根据一条经线上的纬线间隔变化来判断。
纬线为同心圆弧，其长度比从图上不易直接观察出来。
但是经线是同心圆弧的半径——直线。
由于投影的变形性质不同，经线长度比就不同，它在图形上表现为纬线间隔的变化是不一样的。
根据表2-15可以得出以下结论：沿着经线量取纬差相等的纬线间隔，从地图中心向南、北方向逐渐扩大者，为等角圆锥投影；若纬线间隔从地图中心向南、北方向逐渐缩小者，为等积圆锥投影；纬线间隔相等者，则为等距圆锥投影（图2-47）。
二、多圆锥投影（一）多圆锥投影的概念在切圆锥投影中，离开标准纬线愈远，变形愈大。
如果制图区域包含纬差较大时，则在边缘纬线处将产生相当大的变形。
因此，采用双标准纬线圆锥投影比采用单标准纬线圆锥投影变形要小些。
如果有更多的标准纬线，则变形会更小些，多圆锥投影就是由这样的设想建立起来的。
假设有许多圆锥与地球面上的纬线相切，将球面上的经纬线投影于这些圆锥面上，然后沿同一母线方向将圆锥剪开展成平面，如图2-48所示。
由于圆锥顶点不是一个，所以纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上，除中央经线为直线外，其余的经线投影为对称于中央经线的曲线。
凡是经纬线形式符合上述特征的，均称为多圆锥投影。
由于多圆锥投影的经纬线系弯曲的曲线，具有良好的球形感，所以它常用于编制世界地图。