双角平分线模型
专题06 三角形中的双角平分线模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)
专题06三角形中的双角平分线模型【模型1】双角平分线模型如图，已知在ABC ∆中，BO，CO 分别是ABC ∠，ACB ∠的平分线，根据角平分线的性质和三角形内角和定理，可得A O ∠+︒=∠2190。
【模型2】一内角一外角平分线模型如图，已知在ABC ∆中，BP，CP 分别是ABC ∠，ACD ∠的平分线，∴ABC PBC ∠=∠21，ACD PCA ∠=∠21，ACD ACB PCB ∠+∠=∠21，ABC A ACD ∠+∠=∠∴)(21ABC A ACB PCB ∠+∠+∠=∠；∴ABC A ACB PCB ∠+∠+∠=∠2121)(180PCB PBC P ∠+∠-︒=∠ )212121(180ABC A ACB ABC P ∠+∠+∠+∠-︒=∠∴；)21(180A ACB ABC P ∠+∠+∠-︒=∠∴；)21180(180A A P ∠+∠-︒-︒=∠∴；A P ∠=∠∴21【模型3】双外角平分线模型如图，已知在ABC ∆中，BP，CP 分别是CBE ∠，BCF ∠的平分线，根据外角定理，CBE PBC ∠=∠21，BCF PCB ∠=∠21，又ACB A CBE ∠+∠=∠，ABC A BCF ∠+∠=∠，∴)(180PCB PBC P ∠+∠-︒=∠；∴)(21180)2121(180BCF CBE BCF CBE P ∠+∠-︒=∠+∠-︒=∠；∴)(21180ABC A ACB A P ∠+∠+∠+∠-︒=∠；∴)2(21180ABC ACB A P ∠+∠+∠-︒=∠；∴)1802(21180A A P ∠-︒+∠-︒=∠；∴︒-∠-︒=∠9021180A P ；∴A P ∠-︒=∠2190；【例1】如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，延长BO 与∠ACB 的外角平分线交于点D ，若∠BOC ＝130°，则∠D ＝_____【答案】40°【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．【解析】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴∠ACO=12∠ACB，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12∠ACE，∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=12（∠ACB+∠ACE）=12×180°=90°，∵∠BOC＝130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．【例2】如图，已知△ABC，O是△ABC内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2，则∠1、∠2、∠A、∠O四个角之间的数量关系是（）A．∠1+∠0=∠A+∠2B．∠1+∠2+∠A+∠O=180°C．∠1+∠2+∠A+∠O=360°D．∠1+∠2+∠A=∠O【答案】D【分析】连接AO并延长，交BC于点D，由三角形外角的性质可知∠BOD=∠BAD+∠1，∠COD=∠CAD+∠2，再把两式相加即可得出结论．【解析】解：连接AO并延长，交BC于点D，∵∠BOD是△AOB的外角，∠COD是△AOC的外角，∴∠BOD=∠BAD+∠1①，∠COD=∠CAD+∠2②，①+②得，∠BOC=（∠BAD+∠CAD）+∠1+∠2，即∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．故选：D．【例3】（1）问题发现：如图1，在ABC 中，40A ∠=︒，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于P ，则BPC ∠的度数是______（2）类比探究：如图2，在ABC 中，ABC ∠的平分线和ACB ∠的外角ACE ∠的角平分线交于P ，则BPC ∠与A ∠的关系是______，并说明理由．（3）类比延伸：如图3，在ABC 中，ABC ∠外角FBC ∠的角平分线和ACB ∠的外角BCE ∠的角平分线交于P ，请直接写出BPC ∠与A ∠的关系是______．【答案】（1）110°；（2）12BPC A ∠=∠；（3）1902BPC A ∠=︒-∠【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB ，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；（2）根据三角形外角的性质得到∠ACE=∠ABC+∠A 、∠PCE=∠PBC+∠BPC ，根据角平分线的定义解答；（3）根据（1）的结论然后用角分线的定义，计算即可．【解析】解：（1）∵40A ∠=︒，∴18040ABC ACB ∠+∠=︒-，∵ABC ∠和ACB ∠的平分线交于P ，∴12PBC ABC ∠=∠，12PCB ACB ∠=，∴()118090202BPC ABC ACB ∠=︒-∠+=︒+︒故答案为110°（2）12BPC A ∠=∠，证明：∵ACE ∠是ABC 的外角，PCE ∠是PBC 的外角，∴ACE ABC A∠=∠+∠PCE PBC BPC ∠=∠+∠，∵BP 平分ABC ∠，CP 平分ACE ∠，∴1122PBC ABC PCE ACE ∠=∠∠=∠，∴1122ACE ABC BPC ∠=∠+∠，∴()111222BPC ABC ACE ABC ACE ∠=∠-∠=∠-∠，∴12BPC A ∠=∠，故答案为：12BPC A ∠=∠；（3）由（1）得，1902BPC A ∠=︒-∠，故答案为：1902BPC A ∠=︒-∠．一、单选题1．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点O ，设∠A =m ，则∠BOC =（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据三角形的内角和，可得∠ABC +∠ACB ，根据角的和差，可得∠DBC +∠BCE ，根据角平分线的定义，可得∠OBC +∠OCB ，根据三角形的内角和，可得答案．【解析】解：如图：，由三角形内角和定理，得∠ABC +∠ACB =180°-∠A =180°-m ，由角的和差，得∠DBC +∠BCE =360°-（∠ABC +∠ACB ）=180°+m ，由∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点O ，得∠OBC +∠OCB =12（∠DBC +∠BCE ）=90°+12m ，由三角形的内角和，得∠O =180°-（∠OBC +∠OCB ）=90°-12m ．故选：B ．2．如图：PC 、PB 是ACB ∠、ABC ∠的角平分线，40A ∠=︒，BPC ∠=（）A ．∠BPC =70ºB ．∠BPC =140ºC ．∠BPC =110ºD ．∠BPC =40º【答案】C 【分析】首先根据三角形内角和定理求出ABC ACB ∠+∠的度数，再根据角平分线的性质可得12PCB ACB ∠=∠，12PBC ABC ∠=∠，进而可求PBC PCB ∠+∠的度数，再次在CBP ∆中利用三角形内角和即可求解．【解析】解：40A ∠=︒ ，18040140ABC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒，又BP 平分ABC ∠，CP 平分ACB ∠，12PCB ACB ∴∠=∠，12PBC ABC ∠=∠，11()1407022PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，180()110BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠=︒．故选：C ．3．如图，△ABC 中，∠E =18°，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，则∠A 等于（）A ．36°B ．30°C ．20°D ．18°【答案】A 【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ACD =∠A +∠ABC ，∠ECD =∠E +∠EBC ；由角平分线的性质，得∠ECD =12（∠A +∠ABC ），∠EBC =12∠ABC ，利用等量代换，即可求得∠A 与∠E 的关系，即可得到结论．【解析】解：∵∠ACD =∠A +∠ABC ，∴∠ECD =12（∠A +∠ABC ）．又∵∠ECD =∠E +∠EBC ，∴∠E +∠EBC =12（∠A +∠ABC ）．∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC =12∠ABC ，∴12∠ABC +∠E =12（∠A +∠ABC ），∴∠E =12∠A =18°，∴∠A =36°．故选A ．4．如图，ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①BDF 和CEF △都是等腰三角形②DE BD CE =+；③BF CF >；④若80A ∠=︒，则130BFC ∠=︒．其中正确的有（）个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系即可求解．【解析】解：①∵BF 是∠ABC 的角平分线，CF 是∠ACB 的角平分线，∴∠ABF=∠CBF ，∠ACF=∠BCF ，∵DE ∥BC ，∴∠CBF=∠BFD ，∠BCF=∠EFC （两直线平行，内错角相等），∴∠ABF=∠BFD ，∠ACF=∠EFC ，∴DB=DF ，EF=EC ，∴△BDF 和△CEF 都是等腰三角形，∴①选项正确，符合题意；②∵DE=DF+FE ，∴DB=DF ，EF=EC ，∴DE=DB+CE ，∴②选项正确，符合题意；③根据题意不能得出BF ＞CF ，∴④选项不正确，不符合题意；④∵若∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，∵∠ABF=∠CBF ，∠ACF=∠BCF ，∴∠CBF+∠BCF=12×100°=50°，∴∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=180°-50°=130°，∴④选项正确，符合题意；故①②④正确．故选C5．如图，ABD ∠，ACD ∠的角平分线交于点P ，若48A ∠=︒，10D ∠=︒，则P ∠的度数（）A ．19︒B ．20︒C ．22︒D ．25︒【答案】A【分析】法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A ＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P＋∠PBE＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，根据PB、PC 是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A−∠D，代入即可求出∠P．法二：延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P＋1 2∠ACD＝∠A＋12∠ABD，代入计算即可．【解析】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，∵∠AFB＝∠PFC，∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D，∴∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD，∵PB、PC是角平分线∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，∴2∠P＝∠A−∠D∵∠A＝48°，∠D＝10°，∴∠P＝19°．法二：延长DC，与AB交于点E．∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°，∴∠ACD ＝∠A ＋∠AEC ＝48°＋∠AEC ．∵∠AEC 是△BDE 的外角，∴∠AEC ＝∠ABD ＋∠D ＝∠ABD ＋10°，∴∠ACD ＝48°＋∠AEC ＝48°＋∠ABD ＋10°，整理得∠ACD −∠ABD ＝58°．设AC 与BP 相交于O ，则∠AOB ＝∠POC ，∴∠P ＋12∠ACD ＝∠A ＋12∠ABD ，即∠P ＝48°−12（∠ACD −∠ABD ）＝19°．故选A .二、填空题6．如图，在ABC ∆中，A θ∠=，ABC ∠和ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠，1A BC ∠和1A CD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠；⋯；2019A BC ∠和2019A CD ∠的平分线交于点2020A ，则2020A ∠=__．（用θ表示）【答案】20202θ【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A 1=12∠A ，由于∠A 1=12∠A ，∠A 2=12∠A 1=212∠A ，…，以此类推可知∠A 2020即可求得．【解析】∵A 1B 平分∠ABC ，A 1C 平分∠ACD ，∴∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CA=12∠ACD ，∵∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，即12∠ACD=∠A 1+12∠ABC ，∴∠A 1=12（∠ACD-∠ABC ），∵∠A+∠ABC=∠ACD ，∴∠A=∠ACD-∠ABC ，∴∠A 1=12∠A ，以此类推∠A 2=12∠A 1=12•12∠A=212∠A,∠A 3=12∠A 2=21122⨯∠A=312∠A ，……，所以∠A n =12n A ∠，202020202020122A A θ∴∠=∠=．故答案为：20202θ．7．如图，在△ABC 中，A 70∠=︒，如果ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点D ，那么BDC ∠＝_________度．【答案】125【分析】先利用三角形内角和定理求出ABC ACB ∠+∠的度数，进而可求DBC DCB ∠+∠的度数，最后再利用三角形内角和定理即可求出答案．【解析】70A ∠=︒ ，180110ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒．∵BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，1()552DBC DCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒，180()125BDC DBC DCB ∴∠=︒-∠+∠=︒．故答案为：125．8．如图在△ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，交于O ，CE 为外角∠ACD 的平分线，交BO 的延长线于点E ，记1BAC ∠=∠，2BEC ∠=∠，则以下结论①122∠=∠，②32BOC ∠=∠，③901BOC ∠=︒+∠，④902BOC ∠=︒+∠，正确的是________．（把所有正确的结论的序号写在横线上）【答案】①④【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC ＝90°＋12∠1，∠BOC ＝90°＋∠2，再分析判断．【解析】∵CE 为外角∠ACD 的平分线，BE 平分∠ABC ，∴∠DCE ＝12∠ACD ，∠DBE ＝12∠ABC ，又∵∠DCE 是△BCE 的外角，∴∠2＝∠DCE−∠DBE ＝12（∠ACD−∠ABC ）＝12∠1，故①正确；∵BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，∴∠OBC ＝12ABC ，∠OCB ＝12∠ACB ，∴∠BOC ＝180°−（∠OBC ＋∠OCB ）＝180°−12（∠ABC ＋∠ACB ）＝180°−12（180°−∠1）＝90°＋12∠1，故②、③错误；∵OC 平分∠ACB ，CE 平分∠ACD ，∴∠ACO ＝12∠ACB ，∠ACE ＝12∠ACD ，∴∠OCE ＝12（∠ACB ＋∠ACD ）＝12×180°＝90°，∵∠BOC 是△COE 的外角，∴∠BOC ＝∠OCE ＋∠2＝90°＋∠2，故④正确；故答案为：①④．9．如图，ABC 的角平分线OB 、OC 相交于点O ，40A ∠︒＝，则BOC ∠＝______．【答案】110︒．【分析】根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB 的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC 的度数．【解析】解：∵OB 、OC 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=111()222ABC ACB ABC ACB ∠+∠=∠+∠∵∠A=40°，∴∠OBC+∠OCB=1(18040)2︒︒-=70°，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-70°=110°．故答案是110．10．如图，已知60BAC ∠=︒，AD 是角平分线且10AD =，作AD 的垂直平分线交AC 于点F ，作DE AC ⊥，则DEF 周长为________．【答案】5+【分析】知道60BAC ∠=︒和AD 是角平分线，就可以求出30DAE ∠=︒，AD 的垂直平分线交AC 于点F 可以得到AF =FD ，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE ，得到DEF C DE EF AF AE DE =++=+△．【解析】解： AD 的垂直平分线交AC 于点F ，∴DF AF =（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）∴DEF C DE EF AF AE DE=++=+△∵60BAC ∠=︒，AD 是角平分线∴30DAE ∠=︒∵10AD =∴5DE =，AE =∴5DEF C =+△11．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=________．【答案】15°【分析】先由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，在△ABC中根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A）=60°，则根据平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=12∠MBC，∠1=12∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1=12（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根据三角形内角和定理可计算出∠E=30°；再由BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根据三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再进行等量代换可得到∠F=12∠E．【解析】解：如图：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A）=12×（180°-60°）=60°，∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°，∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，∴∠5+∠6=12∠MBC，∠1=12∠NCB，∴∠5+∠6+∠1=12（∠NCB +∠NCB ）=150°，∴∠E =180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°，∵BF 、CF 分别平分∠EBC 、∠ECQ ，∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，∵∠3+∠4=∠5+∠F ，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E ，即∠2=∠5+∠F ，2∠2=2∠5+∠E ，∴2∠F =∠E ，∴∠F =12∠E =12×30°=15°．故答案为：15°．三、解答题12．（1）如图所示，在ABC 中，,BO CO 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，证明：1902BOC A ∠=+∠︒．（2）如图所示，ABC 的外角平分线BD 和CD 相交于点D ，证明：1902BDC A -︒∠=∠．（3）如图所示，ABC 的内角平分线BD 和外角平分线CD 相交于点D ，证明：12D A ∠=∠．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）设,ABO OBC x ACO BCO y ∠=∠=∠=∠=．由ABC 的内角和为180︒，得22180A x y ︒∠++=．①由BOC 的内角和为180︒，得180BOC x y ∠++=︒．②由②得180x y BOC +=-∠︒．③把③代入①，得()2180180A BOC ∠+-∠=︒︒，即2180BOC A ∠=︒+∠，即1902BOC A ∠=+∠︒（2）∵BD 、CD 为△ABC 两外角∠ABC 、∠ACB 的平分线，∴()()1122BCD A ABC DBC A ACB ∠=∠+∠∠=∠+∠、，由三角形内角和定理得，180BDC BCD DBC ∠=︒-∠-∠，=180°-12[∠A +（∠A +∠ABC +∠ACB ）]，=180°-12（∠A +180°），=90°-12∠A ；（3）如图：∵BD 为△ABC 的角平分线，交AC 与点E ，CD 为△ABC 外角∠ACE 的平分线，两角平分线交于点D∴∠1=∠2，∠5=12（∠A +2∠1），∠3=∠4，在△ABE 中，∠A =180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A ①在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-12（∠A+2∠1），即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②，把①代入②得∠D=12∠A．13．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O①若∠ABC=40°，∠ACB=50°，则∠BOC的度数为；②若∠A=76°，则∠BOC的度数为；③你能找出∠A与∠BOC之间的数量关系吗？说明理由【答案】①135°；②128°；③∠BOC=90°+12∠A，理由见解析【分析】①利用三角形的内角和定理和角平分线的定义进行求解；②利用三角形的内角和定理求出（∠ABC+∠ACB）的度数，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理进行求解；③利用三角形的内角和定理求出（∠ABC+∠ACB）的度数,再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理进行求解．【解析】解：①∵∠ABC=40°，∠ACB=50°，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=12∠ABC=20°，∠OCB=12∠ACB=25°，又∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠BOC=180°-12（∠ABC+∠ACB）=135°，故答案为：135°；②∵在△ABC中，∠A=76°，∴∠ABC+∠ACB=104°，∴由①知，∠BOC=180°-12（∠ABC+∠ACB）=128°，故答案为：128°③∠BOC=90°+12∠A，理由如下：∠BOC=180°-12（∠ABC+∠ACB）=180°-12（180°-∠A）=90°+12∠A．14．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P．（1）若∠ABC +∠ACB ＝130°，求∠BPC 的度数．（2）当∠A 为多少度时，∠BPC ＝3∠A ？【答案】（1）115︒；（2）36A ∠=︒【分析】（1）根据角平分线的定义，求得PBC ∠，PCB ∠，再根据三角形内角和定理即可求得BPC ∠；（2）根据（1）的方法求得BPC ∠，再结合条件∠BPC ＝3∠A ，解方程即可求得∠A ．【解析】（1）PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠，11,22PBC ABC PCB ACB ∴∠=∠∠=∠， ∠ABC +∠ACB ＝130°，1()652PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒，180()18065115BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，（2）PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠，11,22PBC ABC PCB ACB ∴∠=∠∠=∠，1()2PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠，180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠ ，1902PBC PCB A ∴∠+∠=︒-∠，180()BPC PBC PCB Ð=°-Ð+Ð1180(90)2A =︒-︒-∠1902A =+∠︒ ∠BPC ＝3∠A13902A A ∴∠=︒+∠，36A ∴∠=︒．15．数学思想运用：(1)如图①所示，△ABC 的外角平分线交于G ，若∠A =80°，则∠BGC =______°，请你猜测∠BGC 和∠A 的数量关系：_______________．(2)如图②所示，若△ABC 的内角平分线交于点I ，若∠A =50°，则∠BIC =______°，请你猜测∠BIC 和∠A 的数量关系：__________________．(3)已知，如图③，△ABC 中，ACE ∠的平分线与的平分线交于点，请你猜测∠D和∠A 的数量关系：____________________．若，求的度数（写出求解过程）．【答案】(1)501902BGC A ∠=︒-∠(2)1151902BIC A ∠=︒+∠(3)12D ACE ∠=∠，35°【分析】（1）根据三角形内角和等于180°，可知180100ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，继而求出260CBE BCF ∠+∠=︒由角平分线的定义得出112,322CBE BCF ∠=∠∠=∠，再由三角形内角和定理即可求解；（2）根据三角形内角和等于180°，可得180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，根据角平分线的意义可得116,822ABC ACB ∠=∠∠=∠，再由三角形内角和定理即可求解；（3）先由角平分线的定义可得1,122DBC ABC DCE ACE ∠=∠∠=∠，再根据三角形外角的性质得,ACE ABC A DCE DBC D ∠=∠+∠∠=∠+∠，利用角的和差即可求解；将70A ︒∠=代入数量关系即可求解．【解析】（1）180,80A ABC ACB A ∠+∠+∠=︒∠=︒180100ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒180,180ABC CBE ACB BCF ∠+∠=︒∠+∠=︒180180(180)180260CBE BCF A A ∴∠+∠=︒+︒-︒-∠=︒+∠=︒,BG CG 分别平分,CBE BCF∠∠112,322CBE BCF ∴∠=∠∠=∠1123()(180)13022CBE BCF A ∴∠+∠=∠+∠=︒+∠=︒23180BGC ∠+∠+∠=︒ 11180(23)180(180)905022BGC A A ⎡⎤∴∠=︒-∠+∠=︒-︒+∠=︒-∠=︒⎢⎥⎣⎦故答案为：50，1902BGC A ∠=︒-∠（2）180,50A ABC ACB A ∠+∠+∠=︒∠=︒180130ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒,BI CI Q 分别平分,ABC ACB∠∠116,822ABC ACB ∴∠=∠∠=∠11168()(180)90222ABC ACB A A ∴∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒-∠68180BIC ∠+∠+∠=︒ 11180(68)180(180)9011522BIC A A ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒+∠=︒故答案为：115，1902BIC A ∠=︒+∠（3）,BD CD 分别平分,ABC ACE∠∠11,22DBC ABC DCE ACE ∴∠=∠∠=∠,ACE ABC A DCE DBC D∠=∠+∠∠=∠+∠ 111222ACE ABC A ∴∠=∠+∠12D A ∴∠=∠70A ︒∠= 35D ∴∠=︒故答案为：12D A ∠=∠16．ABC 中，50A ∠=︒．（1）如图①，若点P 是ABC ∠与ACB ∠平分线的交点，求P ∠的度数；（2）如图②，若点P 是CBD ∠与BCE ∠平分线的交点，求P ∠的度数；（3）如图③，若点P 是ABC ∠与ACF ∠平分线的交点，求P ∠的度数；（4）若A β∠=.请直接写出图①，②，③中P ∠的度数，(用含β的代数式表示)【答案】（1）115°；（2）65°；（3）25°；（4）分别为：①11180(180)9022P ββ∠=︒-︒-=︒+；②1902P β∠=︒-；③1122P A β∠=∠=【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出∠PBC+∠PCB=12（∠ABC+∠ACB ）=65°，根据三角形的内角和定理得出∠P 的度数；（2）由三角形内角和定理和邻补角关系得出∠CBD+∠BCE=360°-130°=230°，由角平分线得出∠PBC+∠PCB=12（∠CBD+∠BCE ）=115°，再由三角形内角和定理即可求出结果；（3）由三角形的外角性质和角平分线的定义证出∠P=12∠A ，即可得出结果；（4）由（1）（2）（3），容易得出结果．【解析】解:（1）50A ∠=︒ ，18050130ABC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒，点P 是ABC ∠与ACB ∠平分线的交点，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠，11()1306522PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=⨯∠+∠=⨯︒=︒，180()115P PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠=︒；（2）18050130ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒ ，360130230CBD BCE ∴∠+∠=︒-︒=︒，点P 是CBD ∠与BCE ∠平分线的交点，1()1152PBC PCB CBD BCE ∴∠+∠=∠+∠=︒，18011565P ∴∠=︒-︒=︒；（3） 点P 是ABC ∠与ACF ∠平分线的交点，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCF ACF ∠=∠，PCF P PBC ∠=∠+∠ ，ACF A ABC ∠=∠+∠，2()P PBC A ABC ∴∠+∠=∠+∠，1252P A ∴∠=∠=︒；（4）若A β∠=，在（1）中，11180(180)9022P ββ∠=︒-︒-=︒+；在（2）中，同理得：1902P β∠=︒-；在（3）中，同理得：1122P A β∠=∠=．17．【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D ；【简单应用】（2）如图2，AP 、CP 分别平分∠BAD ．∠BCD ，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P 的度数；【问题探究】（3）如图3，直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P 的度数，并说明理由．【拓展延伸】（4）①在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=13∠CAB ，∠CDP=13∠CDB ，试问∠P 与∠C 、∠B 之间的数量关系为：（用α、β表示∠P ）；②在图5中，AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、∠D 的关系，直接写出结论．【答案】（1）见解析；（2）36°；（3）26°，理由见解析；（4）①∠P=23αβ+②∠P=1802B D︒+∠+∠【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；（2）直接利用（1）中的结论两次，两式相加，然后根据角平分线的性质求解即可；（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题．（4）①同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．②同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．【解析】（1）在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°．在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°．∵∠AEB=∠CED，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）由（1）得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P，∴∠1+∠B+∠4+∠D=∠3+∠P+∠2+∠P．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°，∴∠P=36°．（3）∠P=26°，理由是：如图3：∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3．∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB=∠B+∠4，∴∠P+∠1=∠B+∠4．∵∠P+（180°﹣∠2）=∠D+（180°﹣∠3），∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=12（∠B+∠D）=12×（36°+16°）=26°．（4）①设∠CAP=m，∠CDP=n，则∠CAB=3m，，∠CDB=3n，∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，∵∠C=α，∠B=β，∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n，∴α－∠P=n－m，∠P－β=2n－2m=2（n－m），∴2α+β=3∠P∴∠P=23αβ+．故答案为：∠P=23αβ+．②设∠BAP=x，∠PCE=y，则∠PAO=x，∠PCB=y．∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D，∴x+∠P=180°－y+∠D，∠B+2x=180°－2y+∠D，∴∠P=1802B D︒+∠+∠．故答案为：∠P=1802B D︒+∠+∠．18．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．【答案】（1）130°；（2）1902Q A∠=︒-∠；（3）60°或120°或45°或135°【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣12∠A，求出∠E＝12∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分别列出方程，求解即可．【解析】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣12（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣12×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝12（∠MBC+∠NCB）＝12（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝12（180°+∠A）＝90°+12∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°﹣12∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝12∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝12∠ABC+12∠MBC＝12（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．19．如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．（1）若∠A=70°，求∠D的度数；（2）若∠A=a，求∠E；（3）连接AD，若∠ACB= ，则∠ADB=．【答案】（1）35°；（2）90°-12α；（3）12β【分析】（1）由角平分线的定义得到∠DCG=12∠ACG，∠DBC=12∠ABC，然后根据三角形外角的性质即可得到结论；（2））根据角平分线的定义得到∠DBC=12∠ABC，∠CBE=12∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=12∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-12α；（3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=12∠ABC，∠DAM=12∠MAC，再利用三角形外角的性质可求解．【解析】解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，∴∠DCG=12∠ACG，∠DBC=12∠ABC，∵∠ACG=∠A+∠ABC，∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，∵∠DCG=∠D+∠DBC，∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，∴∠D=12∠A=35°；（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，∴∠DBC=12∠ABC，∠CBE=12∠CBF，∴∠DBC+∠CBE=12（∠ABC+∠CBF）=90°，∴∠DBE=90°，∵∠D=12∠A，∠A=α，∴∠D=12α，∵∠DBE=90°，∴∠E=90°-12α；（3）如图，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∴AD平分∠MAC，∠ABD=12∠ABC，∴∠DAM=12∠MAC，∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，∴∠ADB=12∠ACB=12β．故答案为：12β．。
截长补短与半角模型
截长补短与半角模型（一）双角平分线模型一、双角平分线模型原题呈现：如图，BA ⊥AD ，CD ⊥AD ，垂足分别为A. D ，BE ，CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，交点E 恰好在AD 上.BC=AB+CD 是否成立?请说明理由。
解法一： 延长BE 、CD相交于点G 解法二：在BC 上截取BF=AB二、方法归纳：双角平分线模型证线段和差关系一般是用截长补短法，多用截长更简单。
三、问题一般化：变式1：（保留双角平分线，改变特殊角为一般角）如图，AD ∥BC ，∠ABC 和∠BAD 的平分线相交于点E ，过点E 的直线分别交AD 、BC 于点D 、C 。
求证：AB=AD+BC.变式2：（改变图形位置）如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等吗?请说明理由。
变式3：（改变条件和结论，方法是否相同）如图,四边形ABCD中，点E是边CD的中点，BE平分∠CBA，AD=AB-BC，求证：AD∥BC。
变式4：改变图形形状如图，在△ABC中，∠A=60°，BE、CF分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BE、CF相交于点D. （1）求∠FDE的度数；（2）求证：FD=ED（3）求证：BF+CE=BC（二）半角模型1、（1）问题背景：如图1:在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=120∘，∠B=∠ADC=90∘.E ，F 分别是BC ，CD 上的点。
且∠EAF=60∘.探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系。
小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G.使DG=BE.连结AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是___________________.（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠D=180∘.E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF=21∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由。
三角形中的特殊模型-双角平分线模型(解析版)
三角形中的特殊模型-双角平分线模型模型1、双角平分线模型1)两内角平分线的夹角模型条件：如图1，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线BE ，CF 交于点G ；结论：∠BGC =90°+12∠A ．图1图2图32)两外角平分线的夹角模型条件：如图2，在△ABC 中，BO ，CO 是△ABC 的外角平分线；结论：∠O =90°-12∠A ．3)一个内角一个外角平分线的夹角模型条件：如图3，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点P ；结论：∠P =12∠A ．图4图5图64)凸多边形双内角平分线的夹角模型条件：如图4，BP 、CP 平分∠ABC 、∠DCB ，两条角平分线相交于点P ；结论：2∠P =∠A +∠D 5)两内角平分线的夹角模型条件：如图5，BP 、DP 平分∠BCD 、∠CDE ，两条角平分线相交于点P ；结论：2∠P =∠A +∠B +∠E -180°6)一个内角一个外角平分线的夹角模型(累计平分线)条件：如图6，∠A =α，∠ABC ,∠ACD 的平分线相交于点P 1，∠P 1BC ,∠P 1CD 的平分线相交于点P 2，∠P 2BC，∠P2CD的平分线相交于点P3⋯⋯以此类推；结论：∠P n的度数是α2n．7)旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点条件：如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD 1(2023·绵阳市八年级课时练习)如图，在ΔABC中，∠ABC=80°，∠ACB=50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC=.【答案】115°【分析】先根据角平分线的性质求出∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形内角和定理即可求解.【详解】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=12(80°+50°)=65°，∴∠BPC=180°-65°=115°.【点睛】本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理.熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.2(2023·河南周口·八年级统考期末)如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=∂，∠ABC的平分线与∠BCD 的平分线交于点P，则∠P=()A.90°+12∂ B.90°-12∂ C.12∂ D.180°-12∂【答案】C【分析】根据四边形的内角和求得∠ABC+∠BCD=360°-∂，再根据角平分线的定义求得∠PBC+∠PCB，再根据三角形内角和即可求解．【详解】解：在四边形ABCD中，∠A+∠D=∂，∴∠ABC+∠BCD=360°-∂，由题意可得：BP平分∠ABC，CP平分∠BCD，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠BCD，∴∠PBC+∠PCB=12∠ABC+∠BCD=180°-∂2，∴∠BPC=180°-∠PBC+∠PCB=12∂故选：C．【点睛】此题考查了多边形内角和的性质、三角形内角和的性质以及角平分线的性质，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解．3(2023秋·山西太原·八年级校考期末)已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC．(1)猜想：∠BPC与∠ABP、∠ACP、∠A存在怎样的等量关系？证明你的猜想．(2)若∠A=69°，PB、PC分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，直接利用(1)中结论，可得∠BPC的度数为．【答案】(1)∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP，证明见解析(2)106°【分析】(1)根据三角形内角和定理得到∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BPC+∠CBP+∠BCP=180°，再结合∠CBP=∠ABC-∠ABP，∠BCP=∠ACB-∠ACP即可得到结论；(2)先根据三角形内角和定理和角三等分线的定义得到∠ABC+∠ACB=111°，∠ABP=13∠ABC，∠ACP=13∠ACB，再代入(1)中结论求解即可．【详解】(1)解：猜想：∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP，证明：由题意得：∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BPC+∠CBP+∠BCP=180°，∵∠CBP=∠ABC-∠ABP，∠BCP=∠ACB-∠ACP，∴∠BPC+∠ABC-∠ABP+∠ACB-∠ACP=180°，∴∠BPC+∠ABC+∠ACB-∠ABP+∠ACP=180°，∴∠BPC+180°-∠A-∠ABP+∠ACP=180°，∴∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP；(2)解：∵∠A=69°，PB、PC分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=111°，∠ABP=13∠ABC，∠ACP=13∠ACB，∴∠BPC=∠A+13∠ABC+∠ACB=69°+37°=106°．故答案为：106°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角三等分线的定义，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．4(2023秋·成都市·八年级专题练习)如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则∠AEC=．【答案】61°【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-58°= 122°，∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，∴∠DAC+∠ACF=360°-(∠BAC+∠BCA)=360°-122°=238°，∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=12∠DAC，∠ECA=12∠ACF，∴∠EAC+∠ECA=12(∠DAC+∠ACF)=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=180°-119°=61°，故答案为：61°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．5(2023·绵阳市·八年级专题练习)如图，已知在ΔABC中，∠B、∠C的外角平分线相交于点G，若∠ABC =m°，∠ACB=n°，求∠BGC的度数.【答案】∠BGC=12m°+n°【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．【详解】解：∠B、∠C的外角平分线相交于点G，在ΔBCG中，∠BGC=180°-12∠EBC+12∠BCF=180°-12(∠EBC+∠BCF)=180°-12(180°-∠ABC+180°-∠ACB)=180°-12(180°-m°+180°-n°)；=12m°+n°【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出．6(2023春·广西·七年级专题练习)如图，在△ABD中，∠ABD的平分线与∠ACD的外角平分线交于点E，∠A=80°，求∠E的度数【答案】40°【分析】由题意：设∠ABE =∠EBC =x ，∠ACE =∠ECD =y ，利用三角形的外角的性质构建方程组解决问题即可．【详解】由题意：设∠ABE =∠EBC =x ，∠ACE =∠ECD =y ，则有2y =2x +∠A ①y =x +∠E ②，①-2×②可得∠A =2∠E ，∴∠E =12∠A =40°．【点睛】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．7(2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习)如图，在△ABC 中，∠A =α，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得A 2；⋯；∠A 2019BC 与∠A 2019CD 的平分线相交于点A 2020，得∠A 2020，则∠A 2020=．【答案】α22020【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得∠A 1=12∠A ，同理得∠A 2=12∠A 1=α22；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，∠A =α，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1∴∠A 1=180°-12∠ABC -∠ACB -12∠ACD ∵∠ACD =∠A +∠ABC ∴∠A 1=180°-∠ABC -∠ACB -12∠A∵∠A +∠ABC +∠ACB =180°∴∠A 1=12∠A 同理，得∠A 2=12∠A 1=12×12∠A =α22；∠A 3=12∠A 2=12×12×12∠A =α23；∠A 4=12∠A 3=12×12×12×12∠A =α24；⋯∠A n =12∠A n -1=α2n ∴∠A 2020=α22020故答案为：α22020．【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解．8(2023·河北·九年级专题练习)问题情境：如图1，点D 是△ABC 外的一点，点E 在BC 边的延长线上，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ．试探究∠D 与∠A 的数量关系．(1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D=；如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A=100°，其余条件不变，则∠D=；这两个图中，与∠A度数的比是 ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在(1)中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．【答案】(1)30°；50°；1:2(2)成立，见解析【分析】(1)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用∠A和∠D表示出∠ACE，再根据角平分线的定义得到∠ACE=2∠DCE，∠ABC=2∠DBC，然后整理即可．(2)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用∠A和∠D表示出∠ACE，再根据角平分线的定义得到∠ACE=2∠DCE，∠ABC=2∠DBC，然后整理即可．【详解】(1)解：如图2，∵ΔABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∠ACE=120°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．∴∠DBC=30°，∠DCE=60°，∵∠DCE=∠D+∠DBC，∴∠D=30°；如图3，∵ΔABC是等腰三角形，∠A=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∠ACE=140°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．∴∠DBC=20°，∠DCE=70°，∵∠DCE=∠D+∠DBC，∴∠D=50°；故答案为30°，50°，1:2；(2)解：成立，如图1，在ΔABC中，∠ACE=∠A+∠ABC，在ΔDBC中，∠DCE=∠D+∠DBC，⋯(1)∵CD平分∠ACE，BD平分∠ABC，∴∠ACE=2∠DCE，∠ABC=2∠DBC，又∵∠ACE=∠A+∠ABC，∴2∠DCE=∠A+2∠DBC，⋯(2)由(1)×2-(2)，∴2∠D+2∠DBC-(∠A+2∠DBC)=0，∴∠A=2∠D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、利用三角形的外角性质和角平分线的定义解答是关键．9(2023·重庆·七年级专题练习)认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，分析发现∠BOC=90°∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线+12∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠A)=90°-12∠A∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-90°-12∠A=90°+12∠A(1)探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．(2)探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？(直接写出结论)(3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？(直接写出结论)(4)运用：如图5，五边形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC，CP、DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，则∠CPD=度．【答案】(1)∠BOC=12∠A；(2)∠BOC=90°-12∠A；(3)∠BOC=12(∠BAD+∠CDA)；(4)95【分析】(1)根据角平分线的性质及三角形外角的性质求解即可；(2)根据角平分线的性质、三角形内角和及三角形外角的性质求解即可；(3)由角平分线的性质、四边形内角和及三角形内角和定理即可求得两者的关系；(4)由角平分线的性质、五边形内角和及三角形内角和定理即可求得结果．【详解】(1)探究2结论：∠BOC=12∠A理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACD∵∠ACD是△ABC的一个外角∴∠ACD=∠A+∠ABC∴∠2=12∠ACD=12(∠A+∠ABC)=12∠A+∠1∵∠2是△BOC的一个外角∴∠BOC=∠2-∠1=12∠A+∠1-∠1=12∠A(2)探究3结论：∠BOC=90°-12∠A∵BO和CO分别是∠DBC和∠ECB的角平分线∴∠OBC=12∠DBC，∠OCB=12∠ECB∵∠DBC=2∠OBC=∠ABC+∠A，∠ECB=2∠OCB=∠ACB+∠A 两式相加得：2∠OBC+2∠OCB=∠ABC+∠ACB+2∠A即∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)+∠A∴180°-∠BOC=12(180°-∠A)+∠A整理得：∠BOC=90°-12∠A(3)拓展结论：∠BOC =12(∠A +∠D )∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠BCD 的角平分线∴∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12∠BCD ∴∠OBC +∠OCB =12(∠ABC +∠BCD )=12(360°-∠A -∠D )=180°-12(∠A +∠D )在△BOC 中，180°-∠BOC =∠OBC +∠OCB∴180°-∠BOC =180°-12(∠A +∠D )∴∠BOC =12(∠BAD +∠CDA )(4)运用：∵CP 和DP 分别是∠DCF 和∠GDC 的角平分线∴∠PCD =12∠DCF ，∠PDC =12∠GDC∴∠PCD =12(180°-∠DCB )，∠PDC =12(180°-∠EDC )∴∠PCD +∠PDC =12(360°-∠DCB -∠EDC )∵∠DCB +∠EDC =540°-∠A -∠B -∠E =190°∴∠PCD +∠PDC =12(360°-190°)=85°在△CPD 中，∠CPD =180°-(∠PCD +∠PDC )=180°-85°=95°故答案为：95【点睛】本题考查了角平分线的性质，多边形内角和定理与三角形外角的性质，难度不大，掌握角平分线的性质及多边形内角和定理是关键．课后专项训练1(2023·浙江·八年级假期作业)如图，OG 平分∠MON ，点A ,B 是射线OM ，ON 上的点，连接AB ．按以下步骤作图：①以点B 为圆心，任意长为半径作弧，交AB 于点C ，交BN 于点D ；②分别以点C 和点D 为圆心，大于12CD 长为半径作弧，两弧相交于点E ；③作射线BE ，交OG 于点P ．若∠ABN =140°，∠MON =50°，则∠OPB 的度数为()A.35°B.45°C.55°D.65°【答案】B【分析】根据条件可知BP 平分∠ABN ，则可求出∠PBN ，根据OG 平分∠MON 求出∠BOG ，进而利用∠PBN =∠POB +∠OPB 即可求出答案．【详解】由作法得BP 平分∠ABN ，∴∠PBN =12∠ABN =12×140°=70°，∵OG 平分∠MON ，∴∠BOP =12∠NOM =12×50°=25°，∵∠PBN =∠POB +∠OPB ，∴∠OPB =∠PBN -∠POB =70°-25°=45°．故选B ．【点睛】本题主要考查角平分线的定义及作法，三角形的外角的性质，根据题目条件发现角平分线是解题的关键．2(2023·江苏·八年级月考)ΔABC中，点O是ΔABC内一点，且点O到ΔABC三边的距离相等；∠A= 40°，则∠BOC=()A.110°B.120°C.130°D.140°【解答】解：∵O到三角形三边距离相等，∴O是内心，即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，∴∠CBO=∠ABO=12∠ABC，∠BCO=∠ACO=12∠ACB，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∴∠OBC+∠OCB=70°，∴∠BOC=180°-70°=110°．故选：A．3(2023·成都·八年级月考)如图，ΔABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=()A.40°B.45°C.50°D.60°【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x-40)°，∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°，∴∠CAF=100°，在RtΔPFA和RtΔPMA中，PA=PA PM=PF，∴RtΔPFA≅RtΔPMA(HL)，∴∠FAP=∠PAC=50°．故选：C．4(2023·重庆·八年级专题练习)已知，如图，△ABC中，∠ABC=48°，∠ACB=84°，点D、E分别在BA、BC延长线上，BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，连接AP，则∠PAC的度数为()A.45°B.48°C.60°D.66°【答案】D【分析】根据角平分线的性质定理证得PF=PH，PF=PG，进而得出PH=PG，从而判定AP平分∠CAD，再利用外角的性质求出∠CAD即可．【详解】解：作PF⊥BE于点F，PH⊥BD于点H，PG⊥AC于点G，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴PF=PH，PF=PG，∴PH=PG，∵PH⊥BD，PG⊥AC，∴AP平分∠CAD，∵∠ABC=48°，∠ACB=84°，∴∠CAD=∠ABC+∠ACB=48°+84°=132°，∴∠PAC=12∠CAD=66°．故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质定理，解题的关键是根据已知添加适当的辅助线．5(2023秋·绵阳市·八年级专题练习)如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是()A.∠BAC=70°B.∠DOC=90°C.∠BDC=35°D.∠DAC=55°【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC，即可判断A选项；根据角平分线的定义求出∠ABO，再利用三角形的内角和定理求出∠AOB，然后利用对顶角，即可判断B选项；根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理求出∠BDC，即可判断C选项；利用角平分线的性质，推出AD为△ABC的外角平分线，然后列式计算求出∠DAC，即可判断D选项．【详解】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°，故A选项正确，不符合题意；∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=12∠ABC=12×50°=25°，在△ABO中，∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°，∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项错误，符合题意；∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12∠ACE=12180°-∠ACB=12180°-60°=60°，在△COD中，∠BDC=180°-∠COD-∠ACD=180°-85°-60°=35°，故C选项正确，不符合题意；∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴D到AB、AC、BC的距离相等，∴AD是△ABC的外角平分线，∴∠DAC=12180°-∠BAC=12180°-70°=55°，故D选项正确，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题关键．6(2022春·重庆黔江·七年级统考期末)如图，已知AB∥CD，点E在两平行线之间，连接BE，CE，∠ABE的平分线与∠BEC的平分线的反向延长线交于点F，若∠BFE=50°，则∠C等于( )．A.70°B.80°C.85°D.90°【答案】B【分析】延长BE交DC的延长线于G，根据三角形内角和定理，可得∠EBF+∠BEF=130°，根据∠ABE的平分线与∠BEC的平分线的反向延长线交于点F可得∠ABE+∠BEF+∠FEC=260°，根据平行线的性质可得∠ECG=100°，进而可求解．【详解】解：延长BE交DC延长线于点G，∵∠BFE=50°，∠EBF+∠FEB+∠BFE=180°，∴∠EBF+∠BEF=180°-50°=130°，∵∠ABE的平分线与∠BEC的平分线的反向延长线交于点F，∴∠ABE+∠BEF+∠FEC=260°，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠BGC，∴∠BGC+∠BEF+∠FEC=260°，∵∠BEF+∠FEG=180°，∴∠BGC+∠CEG=80°，∴∠ECG=100°，∴∠ECD=180°-100°=80°．故选：B【点睛】本题主要考查有关角平分线的计算，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．7(2022春·北京海淀·七年级校考期中)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A 、B 两点，点C 在BA 的延长线上，AD 平分∠CAO ，BD 平分∠ABO ，则∠D 的度数是()A.30°B.45°C.55°D.60°【答案】B 【分析】由OA ⊥OB 即可得出∠OAB +∠ABO =90°、∠AOB =90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出∠D 的度数．【详解】解：∵OA ⊥OB ，∴∠OAB +∠ABO =90°，∠AOB =90°．∵DA 平分∠CAO ，∴∠DAO =12∠OAC =12(180°-∠OAB )．∵DB 平分∠ABO ，∴∠ABD =12∠ABO ，∴∠D =180°-∠DAO -∠OAB -∠ABD =180°-12(180°-∠OAB )-∠OAB -12∠ABO =90°-12(∠OAB +∠ABO )=45°．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠D =90°-12(∠OAB +∠ABO )．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键．8(2023·江苏·八年级月考)如图，ΔABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC =40°，则∠BAC 的度数是．【解答】解：在ΔABC 中，∠ACD =∠A +∠ABC ，在ΔPBC 中，∠PCD =∠P +∠PBC ，∵PB 、PC 分别是∠ABC 和∠ACD 的平分线，∴∠PCD =12∠ACD ，∠PBC =12∠ABC ，∴∠P +∠PCB =12(∠A +∠ABC )=12∠A +12∠ABC =12∠A +∠PCB ，∴∠PCD =12∠A ，∴∠BPC =40°，∴∠A =2×40°=80°，即∠BAC =80°．故答案为：80°．9(2023春·河北·七年级专题练习)如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，延长BO 与∠ACB 的外角平分线交于点D ，若∠BOC =130°，则∠D =【答案】40°【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴∠ACO=12∠ACB，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12∠ACE，∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=12(∠ACB+∠ACE)=12×180°=90°，∵∠BOC=130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键．10(2022秋·浙江八年级课时练习)(2018育才单元考)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACD的角平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的角平分线交于点A2，得∠A2，⋯⋯，∠A n-1BC和∠A n-1CD的角平分线交于点A n，得∠A n(1)若∠A=80°，则∠A1=，∠A2=，∠A3=(2)若∠A=m°，则∠A2015=．【答案】40°20°10°m 22015 °【分析】(1)利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A1=12∠A，进而可求∠A1，同理易证∠A2=1 2∠A1，∠A3=12∠A2，进而可求∠A2和∠A3；(2)利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A1=12∠A，进而可求∠A1，同理易证∠A2=12∠A1，∠A3=12∠A2，⋯，以此类推可知∠A2015即可求得．【详解】解：(1)∵∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC∵∠ABC和∠ACD的角平分线交于点A1，∠A=80°∴∠A1CD=12∠ACD，∠A1BC=12∠ABC∴∠A1=∠A1CD-∠A1BC=12∠ACD-12∠ABC=12(∠ACD-∠ABC)=12∠A=40°同理可证：∠A2=12∠A1=20°，∠A3=12∠A2=10°故答案为：40°；20°；10°．(2)∵∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC∵∠ABC 和∠ACD 的角平分线交于点A 1，∠A =m °∴∠A 1CD =12∠ACD ，∠A 1BC =12∠ABC ∴∠A 1=∠A 1CD -∠A 1BC =12∠ACD -12∠ABC =12(∠ACD -∠ABC )=12∠A =m 2°同理可证：∠A 2=12∠A 1=m 22 °，∠A 3=12∠A 2=m 23 °∴∠A 2015=m 22015 °故答案为：m 22015°．【点睛】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A 1=12∠A ，并依此找出规律．11(2023·浙江杭州·八年级期末)如图，在四边形ABCD 中，∠A +∠D =m °，∠ABC 的平分线与∠BCD 的平分线交于点P ，则∠P =．(用含字母m 的代数式表示)【答案】12m o 【分析】根据四边形的内角和是360°，求出∠ABC +∠BCD 的度数，然后根据角平分线的定义及三角形的内角和定理求出∠P 的度数即可．【详解】解：∵∠A +∠D =m °，且四边形内角和为360°，∴∠ABC +∠BCD =360°-m °，∵PB 、PC 是∠ABC 、∠BCD 的角平分线，∴∠PBC =12∠ABC ，∠BCP =12∠BCD ，∴∠PBC +∠BCP =12∠ABC +12∠BCD =12∠ABC +∠BCD =12360°-m o ∴∠P =180°-(∠PBC +∠BCP )=180°-12360°-m o 故答案为：12m o ．【点睛】本题考查了四边形的内角和及三角形的内角和与角平分线相关的角度计算问题，解题的关键是表达出∠PBC +∠BCP 的度数．12(2023春·河南·七年级专题练习)如图，点M 是△ABC 两个内角平分线的交点，点N 是△ABC 两外角平分线的交点，如果∠CMB ：∠CNB =3：2，那么∠CAB =．【答案】36°【分析】由角平分线的定义得∠NCM =∠MBN =12×180°=90°，再比的关系可求得∠CMB =108°，再由内角平分线及三角形内角和即可求得结果．【详解】由题意得：∠NCM =∠MBN =12×180°=90°，∴∠CMB +∠CNB =180°，又∠CMB ：∠CNB =3：2，∴∠CMB =108°，∴12(∠ACB +∠ABC )=180°-∠CMB =72°，∴∠ACB+∠ABC=144°，∴∠CAB=180°-(∠ACB+∠ABC)=36°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线的定义等知识，由条件得到∠NCM=∠MBN=90°是关键．13(2023·甘肃陇南·统考一模)在△ABC中，AB=AC，∠A=100°．点M在BC的延长线上，∠ABC 的平分线交AC于点D．∠MCA的平分线与射线BD交于点E．(1)依题意补全图形；用尺规作图法作∠MCA的平分线；(2)求∠BEC的度数．【答案】(1)见解析(2)50°【分析】(1)根据尺规作图法可作∠MCA的平分线；(2)根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD=20°，∠MCE=∠DCE=70°，再根据三角形内角和定理即可求解．【详解】(1)解：如图，CE即为所求；(2)解：∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ACB=∠ABC=40°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD=20°，∵∠ACM=180°-40°=140°，CE是∠MCA的平分线，∴∠MCE=∠DCE=70°，∴∠BEC=∠MCE-∠CBD=70°-20°=50°．【点睛】本题考查尺规作图-角平分线、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握尺规作图的方法和相关知识是解题的关键．14(2023·山东八年级期中)如图，在ΔABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点O，过点B作BG⊥CF于点G，∠OBG=12∠BAC成立吗？说明理由.【答案】∠OBG=12∠BAC 成立，见解析.【分析】根据三角形内角平分线的交角的基本图形和结论和三角形外角的性质定理即可得出答案【详解】解：∠OBG=12∠BAC成立．理由如下：∵在ΔABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点O，由三角形内角平分线的交角的基本图形和结论得，∠BOC=90°+12∠BAC．由三角形的外角性质得，∠BOC=∠G+∠OBG=90°+∠OBG，∴90°+12∠BAC=90°+∠OBG，∴∠OBG=12∠BAC【点睛】本题考查三角形的内角和定理，及三角形的角平分线的性质，熟练掌握相关的知识点是解题关键．15(2023·黑龙江八年级课时练习)(1)如图(1)所示，已知在△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．(2)如图(2)所示，若O为∠ABC的平分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？【答案】(1)∠BOC=12∠A+90°；理由见解析；(2)∠BOC=12∠A；理由见解析【分析】(1)根据三角形内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根据角平分线的性质得出∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，然后得出∠BOC+12∠ABC+12∠ACB=180°，最后得出结论；(2)根据外角的性质得出∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，然后根据角平分线的性质得出∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE，最后根据∠BOC=∠OCE-∠OBC得出答案．【详解】(1)∠BOC=12∠A+90°．在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，又∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB．∴∠BOC+12∠ABC+12∠ACB=180°．∴∠BOC=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠A)=90°+12∠A．(2)∠BOC=12∠A．∵∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，∴∠A=∠ACE-∠ABC，∠BOC=∠OCE-∠OBC又∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE．∴∠BOC=∠OCE-∠OBC=12∠ACE-12∠ABC=12(∠ACE-∠ABC)=12∠A．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握外角性质并能正确计算是解题关键．16(2023春·八年级单元测试)如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．(1)若∠A=70°，求∠D的度数；(2)若∠A=a，求∠E；(3)连接AD，若∠ACB=β，则∠ADB=．【答案】(1)35°；(2)90°-12α；(3)12β【分析】(1)由角平分线的定义得到∠DCG=12∠ACG，∠DBC=12∠ABC，然后根据三角形外角的性质即可得到结论；(2))根据角平分线的定义得到∠DBC=12∠ABC，∠CBE=12∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由(1)知∠D=12∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-12α；(3)根据角平分线的定义可得，∠ABD=12∠ABC，∠DAM=12∠MAC，再利用三角形外角的性质可求解．【详解】解：(1)∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，∴∠DCG=12∠ACG，∠DBC=12∠ABC，∵∠ACG=∠A+∠ABC，∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，∵∠DCG=∠D+∠DBC，∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，∴∠D=12∠A=35°；(2)∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，∴∠DBC=12∠ABC，∠CBE=12∠CBF，∴∠DBC+∠CBE=12(∠ABC+∠CBF)=90°，∴∠DBE=90°，∵∠D=12∠A，∠A=α，∴∠D=12α，∵∠DBE=90°，∴∠E=90°-12α；(3)如图，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∴AD平分∠MAC，∠ABD=12∠ABC，∴∠DAM=12∠MAC，∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，∴∠ADB=12∠ACB=12β．故答案为：12β．【点睛】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．17(2023·福建泉州·七年级阶段练习)在ΔABC 中，已知∠A =α.(1)如图1，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点D ．①当α=80°时，∠BDC 度数=度(直接写出结果)；②∠BDC 的度数为(用含α的代数式表示)；(2)如图2，若∠ABC 的平分线与∠ACE 角平分线交于点F ,求∠BFC 的度数(用含α的代数式表示)．(3)在(2)的条件下，将ΔFBC 以直线BC 为对称轴翻折得到ΔGBC ，∠GBC 的角平分线与∠GCB 的角平分线交于点M (如图3)，求∠BMC 的度数(用含α的代数式表示)．【答案】(1)①130°；②90°+12α；(2)∠BFC =12α(3)∠BMC =90°+14α【详解】：(1)①130°；②90°+12α；(2)∵BF 和CF 分别平分∠ABC 和∠ACE ∴∠FBC =12∠ABC ,∠FCE =12∠ACE ∴∠BFC =∠FCE -∠FBC =12∠ACE -∠ABC =12∠A 即∠BFC =12α(3)由轴对称性质知：∠BGC =∠BFC =12α由(1)②可得∠BMC =90°+12∠BGC ∴∠BMC =90°+14α．18(2023·江苏盐城·七年级阶段练习)如图，△ABC 的角平分线相交于P ，∠A =m °,(1)若∠A =40°,求∠BPC 的度数；(2)设△ABC 的外角∠CBD 、∠BCE 的平分线相交于Q ，且∠A =m °，求∠BQC 的度数(3)设△ABC 的外角∠CBD 、∠BCE 的n 等分线相交于R ，且∠A =m °，∠CBR =1n ∠CBD ，∠BCR =1n ∠BCE ，求∠BRC 的度数【答案】(1)110°(2)90°+12m °(3)n -1n ×180°-m n(此结果形式可以不同，只要正确皆可)【详解】试题分析：(1)根据三角形内角和定理和角平分线的性质解答即可；(2)(3)根据三角形内角和定理和三角形外角的性质解答即可．试题解析：解：(1)∵∠A =40°，∴∠ABC +∠ACB =180°-40°=140°．∵BP 、CP 是角平分线，∴∠ABC=2∠PBC ，∠ACB =2∠PCB ，∴∠PBC +∠PCB =12(∠ABC +∠ACB )==12×140°=70°，∴∠P =180°-70°=110°．(2)∵∠DBC =∠A +∠ACB ，∠BCE =∠A +∠ABC ，∴∠DBC +∠BCD =2∠A +∠ABC +∠ACB =∠A +180°=m +180°．∵BQ ，CQ 是角平分线，∴∠DBC =2∠QBC ，∠BCE =2∠BCQ ，∴∠QBC +∠BCQ =12(∠DBC +∠ECB )=12(m +180°)=90°+12m ．在△BCQ 中，∠Q =180°-(∠QBC +∠BCQ )=180°-90°+12m =90°-12m ．(3)由(2)得：∠DBC +∠BCD =m +180°，∠RBC +∠BCR =1n (∠DBC +∠ECB )=1n (m +180°)．在△BCR 中，∠R =180°-(∠RBC +∠BCR )=180°-1n (m +180°)=n -1n ×180-m n．点睛：本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内角和等于180°．根据角的和差关系进行计算是解决问题的关键．19(2023·江西上饶·八年级校考阶段练习)(1)探究1:如图1,P 是△ABC 的内角∠ABC 与∠ACB 的平分线BP 和CP 的交点,若∠A =70∘，则∠BPC =度；(2)探究2:如图2，P 是△ABC 的外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BP 和CP 的交点，求∠BPC 与∠A的数量关系?并说明理由．(3)拓展：如图3，P 是四边形ABCD 的外角∠EBC 与∠BCF 的平分线BP 和CP 的交点，设∠A +∠D =α.,直接写出∠BPC 与α的数量关系；【答案】(1)125°；(2)∠BPC =90°-12∠A ，理由见解析；(3)∠BPC =180°-12α【分析】(1)借助角平分线的性质即可得到∠PBC =12∠ABC 以及∠PCB =12∠ACB ，然后在△BPC 中进一步分析可找出∠BPC 与∠A 的关系，进而求出∠BPC 的度数；(2)根据三角形内角和定理可知∠BPC =180°-(∠PBC +∠PCB )，根据角平分线的定义可用12(∠DBC +∠ECB )表示∠PBC +∠PCB ，再利用三角形外角性质得到∠DBC +∠ECB =∠A +∠ACB +∠A +∠ABC ，即可求出∠BPC 与∠A 的关系；(3)延长BA 、CD 相交于点Q ，由(2)的分析可直接得出∠P 与∠Q 的关系，而∠BAD 与∠CDA 是△ADQ 的外角，再结合三角形外角性质即可解答.【详解】(1)解：∠BPC =180°-(∠PBC +∠PCB )=180°-12(∠ABC +∠ACB )=180°-12(180°-∠A )=90°+12∠A =90°+35°=125°故答案为125°(2)∠BPC =90°-12∠A 理由如下：∠BPC =180°-(∠PBC +∠PCB )=180°-12(∠DBC +∠ECB )=180°-12(∠A +∠ACB +∠A +∠ABC )=180°-12(∠A +180°)=90°-12∠A(3)延长BA 、CD 相交于点Q ，如图∠BPC =90°-12∠Q ∴∠Q =180°-2∠BPC ∴∠BAD +∠CDA =180°+∠Q =180°+180°-2∠BPC =360°-2∠BPC∴∠BPC =180°-12α故答案为∠BPC =180°-12α【点睛】本题考查的是三角形内角和与外角的知识，掌握三角形外角性质以及内角和定理是解题关键.20(2023·甘肃天水·七年级统考期末)已知在△ABC 中，图1，图2，图3中的△ABC 的内角平分线或外角平分线交于点O ，(1)如图1，点O 是△ABC 的两个内角平分线的交点，猜想∠O 与∠A 之间的数量关系，并加以证明．(2)请直接写出结果．如图2，若∠A =60°，△ABC 的内角平分线与外角平分线交于点O ，则∠O =；如图3，若∠A =60°，△ABC 的两个外角平分线交于点O ，则∠O =．【答案】(1)∠O =90°+12∠A ，证明见解析；(2)30°；60°．【分析】(1)根据角平分线的性质可以得到∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12∠ACB ，再根据三角形的内角和定理得到△ABC 和△OBC 的三个内角的和是180°，对角度进行等价代换即可；(2)图2中，根据角平分线的性质可以得到∠OBC =12∠ABC ，∠OCM =12∠ACM ，再根据三角形外角的性质得到∠O =∠OCM -∠OBC 和∠A =∠ACM -∠ABC ，最后对角度进行等价代换即可；图3中，根据角平分线的性质可以得到∠OBC =12∠PBC ，∠OCB =12∠QCB ，再根据三角形的内角和定理得到△ABC 和△OBC 的三个内角的和是180°，最后再结合平角的性质对角度进行等价代换即可．【详解】解：(1)∠O =90°+12∠A ．证明：∵BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，∴∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12∠ACB ，∴∠O =180°-(∠OBC +∠OCB )=180°-12∠ABC +12∠ACB =180°-12(∠ABC +∠ACB )=180°-12180°-∠A =90°+12∠A ．即∠O =90°+12∠A ．(2)30°；60°．如图2所示：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACM，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCM=12∠ACM，∴∠O=∠OCM-∠OBC=12∠ACM-12∠ABC=12(∠ACM-∠ABC)=12∠A．∵∠A=60°∴∠O=12∠A=12×60°=30°．即∠O=30°．如图3所示：∵BO平分∠PBC，CO平分∠QCB，∴∠OBC=12∠PBC，∠OCB=12∠QCB，∴∠O=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-12∠PBC+12∠QCB=180°-12180°-∠ABC+12180°-∠ACB=12∠ABC+12∠ACB=12∠ABC+∠ACB=1 2180°-∠A．∵∠A=60°∴∠O=12180°-∠A=12×180°-60°=60°．即∠O=60°．故答案为：30°；60°．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键，特别注意等价代换的使用．21。
双角平分线模型(解析版)-中考数学满分突破
双角平分线模型一、基础知识回顾角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
已知OC 平分∠AOB ，则∠AOC =∠COB =12∠AOB 二、双角平分线模型的概述：两角共一边，求角平分线之间夹角。
模型一：两角有公共部分(作和)已知OC 是∠AOB 内的一条射线，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，求∠MON证明：∵OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC∴∠MOC =12∠AOC ,∠CON =12∠BOC ∴∠MON =∠MOC +∠CON =12∠AOC +12∠BOC =12∠AOB 文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角和的一半模型二：两角有公共部分(作差)已知OC 是∠AOB 外的一条射线，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，求∠MON证明：∵OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC∴∠MOC =12∠AOC ,∠CON =12∠BOC ∴∠MON =∠MOC -∠CON =12∠AOC -12∠BOC =12∠AOB 文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角差的一半总结：一条射线把一个角分成两个角，这两个角的平分线所形成的角等于原角的一半。
图解：【基础过关练】1.如图所示，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，若∠AOC=70°,∠COE=40°，那么∠BOD=()．A.50°B.55°C.60°D.65°【答案】B【分析】根据角平分线的定义和角的和差关系进行计算即可．【详解】解：∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∴∠BOC=∠AOB=12∠AOC，∠COD=∠DOE=12∠COE，又∵∠AOC=70°，∠COE=40°，∴∠BOC=35°，∠COD=20°，∴∠BOD=∠BOC+∠COD=35°+20°=55°，故选B．【点睛】本题主要考查了角与角之间的运算和角平分线等知识，正确寻找角与角之间的关系以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．2.如图所示，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数为()A.30°B.45°C.60°D.75°【答案】B【分析】根据题意计算出∠AOC，∠MOC，∠NOC的度数，再根据∠MON=∠MOC-∠NOC计算即可．【详解】解：∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°，又∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC∴∠MOC=12∠AOC=12×120°=60°∠NOC=12∠BOC=12×30°=15°∴∠MON=∠MOC-∠NOC=60°-15°=45°，故答案为：B．【点睛】本题考查了基本几何图形中的角度计算，掌握角度的运算法则是解题的关键．3.若∠AOC=110°，OB在∠AOC内部，OM、ON分别平分∠AOC和∠AOB，若∠MON=23°，则∠AOB度数为()．A.43.5°B.46°C.64°D.87°【答案】C【分析】首先根据∠AOC的度数和OM平分∠AOC求出∠AOM的度数，然后可求出∠AON的度数，最后根据ON平分∠AOB即可求出∠AOB的度数．【详解】如图所示，∵∠AOC=110°，OM平分∠AOC，∴∠AOM=12∠AOC=55°，∴∠AON=∠AOM-∠MON=55°-23°=32°，∵ON平分∠AOB，∴∠AOB=2∠AON=64°．故选：C．【点睛】此题考查了角平分线的概念和求角度问题，解题的关键是根据角平分线的概念求出∠AOM 的度数．4.如图，∠AOB是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM,ON分别是∠AOC,∠BOD的平分线，则∠MON的度数为()A.90ºB.135ºC.150ºD.120º【答案】B【分析】根据条件可求出∠COD的度数，利用角平分线的性质可求出∠MOC与∠DON的度数，最后根据∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON即可求出答案．【详解】∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∴∠COD=180°-∠AOC-∠COD=90°，∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，∴∠MOC=12AOC=15°,∠DON=12∠BOD=30°，∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=135°∴选B【点睛】本题考查角的计算、角平分线的定义．熟练掌握角平分线的定义是解答关键.5.如图，OM，ON分别是∠BOC和∠AOC的平分线，∠AOB=84°.(1)∠MON=_____；(2)当OC在∠AOB内绕点O转动时，∠MON的值____改变．(填“会”或“不会”)【答案】42°不会【分析】根据角平分线的定义求解即可．【详解】①∵OM、ON分别是∠BOC和∠AOC的平分线,∠AOB=84°，∴∠MON=(∠AOC+∠BOC)÷2=84°÷2=42°.②当OC在∠AOB内绕点O转动时，∠MON的值不会改变.故答案为42°、不会.【点睛】本题较为简单，主要考查了角平分线的定义，牢牢掌握角平分线的定义是解答本题的关键. 6.如图，OB在∠AOC的内部，已知OM是∠AOC的平分线，ON平分∠BOC，若∠AOC=120°，∠BOC=40°36 ，则∠MON=______．【答案】39°42【分析】利用角平分线的定义分别求出∠MOC 和∠NOC ，则∠MOC -∠NOC 即可求得结论．【详解】解：∵OM 是∠AOC 的平分线，∵∠MOC =12∠AOC =12×120°=60°，∵ON 平分∠BOC ，∴∠NOC =12∠BOC =12×40°36 =20°18 ，∴∠MON =∠MOC -∠NOC =39°42 ．故答案为：39°42 ．【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义．熟练应用角平分线的定义是解题的关键．7.如图，已知∠AOB =90°，OE 平分∠AOB ，∠EOF =60°，OF 平分∠BOC ．求∠BOC 和∠AOC 的度数．【答案】∠BOC 和∠AOC 的度数分别为30°，120°【分析】根据角平分线的定义得到∠BOE =12∠AOB =45°，∠BOC =2∠BOF ，再计算出∠BOF =∠EOF -∠BOE =15°，然后根据∠BOC =2∠BOF ，∠AOC =∠BOC +∠AOB 进行计算．【详解】解：∵OE 平分∠AOB ，OF 平分∠BOC ，∴∠BOE =12∠AOB =45°，∠BOC =2∠BOF ，∵∠BOF =∠EOF -∠BOE =60°-45°=15°，∴∠BOC =2∠BOF =30°，∠AOC =∠BOC +∠AOB =30°+90°=120°．即∠BOC 和∠AOC 的度数分别为30°，120°．【点睛】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义，正确应用角平分线的定义是解题关键．8.如图，OC 在∠AOB 外部，OM 和ON 分别是∠AOC 和∠BOC 的平分线．若∠AOB =100°,∠BOC =60°，求∠MON 的度数．【答案】50°【分析】利用角平分线平分角，以及大角等于小角加小角，小角等于大角减小角，进行角度的转化计算即可．【详解】解：∵∠AOB=100°,∠BOC=60°．∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=160°．∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOC，∴∠COM=80°,∠CON=30°，∴∠MON=∠COM-∠CON=50°．【点睛】本题考查角度的计算．熟练掌握角平分线平分角，是解题的关键．9.如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数．【答案】120°，30°【分析】先根据角平分线，求得∠BOE的度数，再根据角的和差关系，求得∠BOF的度数，最后根据角平分线，求得∠BOC、∠AOC的度数．【详解】解：∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠BOE=∠AOB=45°，又∵∠EOF=60°，∴∠BOF=∠EOF-∠BOE=15°，又∵OF平分∠BOC，∴∠BOC=2∠BOF=30°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°，故∠AOC=120°，∠COB=30°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，根据角的和差关系进行计算是解题的关键，注意：也可以根据∠AOC 的度数是∠EOF 度数的2倍进行求解．10.如图所示，∠AOB =100°，OC 是∠AOB 内部的一条射线，射线OM 平分∠AOC ，射线ON 平分∠BOC ，求∠MON 的度数．解：因为射线，分别平分∠和∠，所以∠NOB =∠NOC =∠BOC ，∠AOM =∠COM =∠AOC ，所以∠MON =∠+∠===°【答案】OM ；ON ；AOC ；BOC ；12；12；CON ；COM ；12∠BOC +∠AOC ；12∠AOB ；50【分析】根据射线OM ，ON 分别平分∠AOC 和∠BOC ，可得∠NOB =∠NOC =12∠BOC ，∠AOM =∠COM =12∠AOC ，从而得到∠MON =12∠BOC +∠AOC ，即可求解．【详解】解：因为射线OM ，ON 分别平分∠AOC 和∠BOC ，所以∠NOB =∠NOC =12∠BOC ，∠AOM =∠COM =12∠AOC ，所以∠MON =∠CON +∠COM =12∠BOC +∠AOC =12∠AOB =50°．故答案为：OM ；ON ；AOC ；BOC ；12；12；CON ；COM ；12(∠BOC +∠AOC )；12∠AOB ；50【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，解决本题的关键是根据题意得到∠MON =12∠BOC +∠AOC ．【提高测试】1.如图，∠AOB =α,∠BOC =β,OM ,ON 分别平分∠AOB ，∠COB ,OH 平分∠AOC ，下列结论:①∠MON =∠HOC ；②2∠MOH =∠AOH -∠BOH ；③2∠MON =∠AOC +∠BOH ；④2∠NOH =∠COH +∠BOH .其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】根据角平分线的性质得出∠BOM=∠AOM=12∠AOB，∠BON=∠CON=12∠COB，∠COH=∠AOH=12∠AOC，再根据角度之间的等量关系式进行等量代换即可得出答案.【详解】∵OM平分∠AOB，ON平分∠COB，OH平分∠AOC∴∠BOM=∠AOM=12∠AOB，∠BON=∠CON=12∠COB，∠COH=∠AOH=12∠AOC∴∠MON=12∠AOC，∠HOC=12∠AOC∴∠MON=∠HOC，故①正确；2∠MOH=2(∠BOM-∠BOH)=2∠BOM-2∠BOH=∠AOB-∠BOH-∠BOH=∠AOH-∠BOH，故②正确；2∠MON=2(∠NOB+∠BOH+∠MOH)=∠AOC≠∠AOC+∠BOH，故③正确；2∠NOH=2∠NOB+2∠BOH=∠BOC+2∠BOH=∠COH+∠BOH，故④正确；故答案选择C.【点睛】本题考查的是角平分线的性质，难度适中，熟练进行不同角度之间的等量关系的转换是解决本题的关键.2.如图所示，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∠MON=m°，∠BOC=n°，则∠AOD的度数为()A.m+n° B.m+2n° C.2m-n° D.2m+n°【答案】C【分析】由∠MON-∠BOC求出∠CON+∠BOM的度数，根据OM，ON分别为角平分线，得到两对角相等，进而确定出∠COD+∠AOB度数，根据∠COD+∠BOC+∠AOB即可求出∠AOD的度数．【详解】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∴∠CON=∠DON，∠BOM=∠AOM，∵∠CON+∠BOM=∠MON-∠BOC=(m-n)°，∴∠COD+∠AOB=2(∠CON+∠BOM)=2(m-n)°，则∠AOD=∠COD+∠AOB+∠BOC=(2m-2n+n)°=(2m-n)°．故选C．【点睛】此题考查了角平分线定义，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键．3.如图，∠AOC和∠BOC互补，∠AOB=α，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠MON的度数是()A.180°-2αB.12a C.90°+12a D.90°-12a【答案】B【分析】先根据已知得∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC-∠BOC=∠AOB=α，相加可求出∠AOC，根据角平分线定义求出∠AOM和∠NOC的和，相减即可求出答案．【详解】解：∵∠AOC和∠BOC互补，∴∠AOC+∠BOC=180°①，∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠AOM=12∠AOC，∠CON=12∠BOC，∴∠AOM+∠CON=90°，∵∠AOB=α，∴∠AOC-∠BOC=∠AOB=α②，①+②得：2∠AOC=180°+α，∴∠AOC=90°+12α，∴∠MON=∠AOC-∠AOM-∠CON=90°+12-90°=12α．故选B．【点睛】本题考查角平分线的定义，角的有关计算的应用，解题的关键是求出∠AOC的大小．4.已知∠AOB=20°，∠AOC=70°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是____．【答案】45°或25°(25°或45°)【分析】分①OB在∠AOC的外部，②OB在∠AOC的内部两种情况，利用角平分线的定义、角的和差进行求解即可得．【详解】解：由题意，分以下两种情况：①如图，当OB在∠AOC的外部时，∵OD 平分∠AOB ，且∠AOB =20°，∴∠AOD =12∠AOB =10°，同理可得：∠AOM =12∠AOC =35°，则∠MOD =∠AOD +∠AOM =45°；②如图，当OB 在∠AOC 的内部时，同理可得：∠AOD =12∠AOB =10°，∠AOM =12∠AOC =35°，则∠MOD =∠AOM -∠AOD =25°；综上，∠MOD 的度数是45°或25°，故答案为：45°或25°．【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，正确分两种情况讨论是解题关键．5.已知∠AOB =40°，过O 作射线OC ，使∠COB =60°，若射线OD 是∠COA 的平分线，则∠DOA 的度数是________．【答案】50°或10°【分析】可分两种情况：当∠BOC 与∠AOB 在OB 的同侧时；当∠BOC 与∠AOB 在OB 的异侧时，根据角的和差可求解∠AOC 的度数，再利用角平分线的定义可求解∠DOA 的度数．【详解】解：当∠BOC 与∠AOB 在OB 的同侧时，∵∠BOC =60°，∠AOB =40°，∴∠AOC =∠BOC -∠AOB =60°-40°=20°，∵OD 平分∠AOC ，∴∠DOA =12∠AOC =10°；当∠BOC 与∠AOB 在OB 的异侧时，∵∠BOC =60°，∠AOB =40°，∴∠AOC =∠BOC +∠AOB =60°+40°=100°，∵OD 平分∠AOC ，∴∠DOA =12∠AOC =50°，综上，∠DOA 的度数为50°或10°．故答案为：50°或10°．【点睛】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，理解题意，分类讨论是解题的关键．6.如图，已知射线OC 在∠AOB 内部，OD 平分∠AOC ，OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOB ，现给出以下4个结论：①∠DOE =∠AOF ；②2∠DOF =∠AOF -∠COF ；③∠AOD =∠BOC ；④∠EOF =12∠COF +∠BOF 其中正确的结论有(填写所有正确结论的序号)______．【答案】①②④【分析】①根据OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，得出∠AOD=∠COD=1 2∠AOC，∠BOE=∠COE=12∠BOC，∠AOF=∠BOF=12∠AOB，求出∠DOE=12∠AOB，即可得出结论；②根据角度之间的关系得出∠DOF=12∠BOC=∠COE，得出∠AOF-∠COF=∠BOF-∠COF=∠BOC，即可得出结论；③无法证明∠AOD=∠BOC；④根据∠DOF=12∠BOC=∠COE，得出∠EOF=∠COD，∠COF+∠BOF=2∠COD，即可得出结论．【详解】解：①∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，∴∠AOD=∠COD=12∠AOC，∠BOE=∠COE=12∠BOC，∠AOF=∠BOF=12∠AOB，∵∠AOC+∠BOC=∠AOB，∴∠DOC+∠COE=∠AOD+∠BOE=12∠AOB，即∠DOE=12∠AOB，∴∠DOE=∠AOF，故①正确；②∵∠DOF=∠DOE-∠EOF=12∠AOB-∠COF+12∠BOC=12∠AOB-∠COF-12∠BOC=12∠AOB-∠BOF-∠BOC-12∠BOC=12∠AOB-12∠AOB-∠BOC-12∠BOC=12∠AOB-12∠AOB+∠BOC-12∠BOC=12∠BOC ∠AOF -∠COF =∠BOF -∠COF =∠BOC ，∴2∠DOF =∠AOF -∠COF ，故②正确；③∠AOD 与∠BOC 不一定相等，故③错误；④根据解析②可知，∠DOF =12∠BOC =∠COE ，∴∠EOF =∠EOC +∠COF =∠COF +∠DOF =∠COD ，∵∠COF +∠BOF =∠COF +∠AOF =∠AOC =2∠COD ，∴∠EOF =12∠COF +∠BOF ，故④正确；综上分析可知，正确的有①②④．故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，根据角度之间的关系得出∠DOF =12∠BOC =∠COE ，是解题的关键．7.(1)如图，已知AD =12DB ，E 是BC 的中点，BE =15AC =3cm ．①BC =______；②求DE 的长．(2)如图，O 为直线AB 上的一点，∠AOC =48°,OD 平分∠AOC ,∠DOE =90°．①∠BOD =______°；②OE 是∠BOC 的平分线吗？为什么？【答案】(1)①6cm ；②9cm ；(2)①156°；②OE 是∠BOC 的平分线，理由见解析【分析】(1)①根据E 是BC 的中点，可得BC =2BE =6cm ；②根据BE =15AC =3cm ，可得AC =5BE =15cm ，从而得到AB =AC -BC =9cm ，再由AD =12DB ，可得DB =23AB =6cm ，即可求解；(2)①根据∠AOC =48°,OD 平分∠AOC ，可得∠1=∠2=12∠AOC =24°，再由邻补角的性质，即可求解；②根据∠DOE =90°，可得∠3=90°-∠2=66°，再求出∠4的度数，即可求解．【详解】解：(1)①∵BE=3cm，E是BC的中点，∴BC=2BE=6cm；故答案为：6cm②∵BE=15AC=3cm，∴AC=5BE=15cm，∴AB=AC-BC=9cm，∵AD=12DB，∴DB=23AB=6cm，∴DE=DB+BE=9cm；(2)①∵∠AOC=48°,OD平分∠AOC，∴∠1=∠2=12∠AOC=24°，∴∠BOD=180°-∠1=156°；故答案为：156°②OE是∠BOC的平分线，理由如下：∵∠DOE=90°，∠2=24°，∴∠3=90°-∠2=66°，∵∠4=180°-∠AOC-∠3=180°-48°-66°=66°，∴∠3=∠4，即OE是∠BOC的平分线．【点睛】本题主要考查了线段的和与差，有关角平分线的计算，邻补角的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．8.已知OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的角平分线.(1)如图1，OC是∠AOB外部的一条射线，若∠AOC=40°，∠BOE=130°，求∠AOD的度数；(2)如图2，OC是∠AOB内部的一条射线，若∠DOC=20°，∠AOE=25°，求∠BOC的度数.【答案】(1)∠AOD=55°,(2)∠BOC=90°【分析】(1)先根据角平分线的定义求出∠AOE=20°，再求出∠BOA=130°-20°=110°，最后求出∠AOD=55°即可；(2)先根据OE是∠AOC的平分线，∠AOE=25°，求出∠AOC=2∠AOE=50°，求出∠AOD=∠AOC+∠DOC=50°+20°=70°，再根据角平分线定义求出∠AOB=2∠AOD=140°，即可得出答案．【详解】(1)解：∵OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的平分线，∴∠AOD=12∠AOB，∠AOE=12∠AOC.∵∠AOC=40°，∠BOE=130°，∴∠AOE=20°，∴∠BOA=130°-20°=110°，∴∠AOD=55°．(2)解：∵OE是∠AOC的平分线，∠AOE=25°，∴∠AOC=2∠AOE=50°.∴∠AOD=∠AOC+∠DOC=50°+20°=70°.∵OD是∠AOB的角平分线，∴∠AOB=2∠AOD=140°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=140°-50°=90°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，注意数形结合．9.如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠EOC的平分线．(1)如果∠AOD=76°，∠BOC=18°，则∠DOE的度数为 ；(2)如果∠BOD=54°，求∠AOE的度数．【答案】(1)40°，(2)108°【分析】(1)利用角平分线的定义解答即可；(2)利用角平分线的定义易求∠AOE=2∠BOD．【详解】(1)解：∵∠AOD=76°，∠BOC=18°，∴∠DOC+∠AOB=76°-18°=58°，∵OB是∠AOC的平分线，∴∠BOC=∠AOB=18°，∴∠DOC=58°-18°=40°，∵OD是∠EOC平分线，∴∠DOE=∠COD=40°，故答案为：40°；(2)∵OB平分∠AOC，OD平分∠EOC，∴∠AOC=2∠BOC，∠COE=2∠COD，∵∠BOC+∠COD=∠BOD=54°，∵∠AOE=∠AOC+∠COE，∴∠AOE=2∠BOC+∠COD=2∠BOD=108°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，解题时，实际上是根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．10.己知∠AOB=90°，(1)如图1，OE平分∠AOB，OD平分∠BOC，若∠EOD=56°，则∠DOC是__________°；(2)如图2，OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC，若∠DOC=30°，求∠EOD的度数．(3)若OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC，∠DOC=α0°<α<180°，则∠EOD的度数是____ ______(直接填空)．【答案】(1)11，(2)∠EOD=45°，(3)45°或135°【分析】(1)根据角平分线的性质求出∠AOC的度数，进而求出∠BOC的度数，最后根据角平分线的概念计算求解即可；(2)首先求出∠BOC=60°，进而求出∠AOC=150°，然后根据角平分线的概念求出∠EOC=75°，最后根据角的和差关系求解即可；(3)分析两种情况讨论，计算方法同(2)．【详解】(1)∵OE平分∠AOB，OD平分∠BOC，∴∠AOB=2∠EOB,∠BOC=2∠BOD，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=2∠EOB+∠BOD=112°∵∠AOB=90°，∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=22°，∵OD平分∠BOC，∠BOC=11°；∴∠DOC=12(2)∵OD 平分∠BOC ，∠DOC =30°，∴∠BOC =2∠DOC =60°，∵∠AOB =90°，∴∠AOC =∠AOB +∠BOC =150°，∵OE 平分∠AOC ，∴∠EOC =12∠AOC =75°，∴∠EOD =∠EOC -∠DOC =45°；(3)①若OE 或OD 至少有一个在∠AOB 内部时，如图，则∠EOD =∠EOC -∠COD=12∠AOC -12∠BOC =12(∠AOB +∠BOC )-12∠BOC =45°；②若OE 和OD 都在∠AOB 外部时，如图，则∠EOD =12(∠AOC +∠BOC )=12(360°-∠AOB )=12(360°-90°)=135°，综上∠EOD 的度数为45°或135°．故答案为：45°或135°．【点睛】本题主要考查角平分线的定义，难点在第三小题要根据α的取值范围分情况讨论．11.如图，已知点A 、O 、B 在一条直线上，∠COD =90°，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ，求∠EOF 的度数．【答案】135°【分析】直接利用角平分线的定义得出∠COE +∠DOF =12×90°=45°，进而得出答案．【详解】解：∵点A 、O 、B 在一条直线上，∠COD =90°，∴∠AOC +∠BOD =90°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE=∠COE=1∠AOC，2∠DOB，∠DOF=∠BOF=12×90°=45°，∴∠COE+∠DOF=12∴∠EOF的度数为：90°+45°=135°．【点睛】此题主要考查了角的计算以及角平分线的定义，正确得出∠COE+∠DOF=45°是解题关键．12.如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，∠2：∠1=4：1．(1)求∠AOF的度数．(2)判断OE与OF的位置关系并说明理由．【答案】(1)108°；(2)OE⊥OF，理由见解析【分析】(1)设∠1=x°，则∠2=4x°，求出∠BOD=2∠1=2x°，∠BOC=2∠2=8x°，根据∠BOC+∠BOD=180°，求出x=18，代入∠AOF=∠AOC+∠COF求出即可．(2)根据(1)的结论得出∠EOF=180°-∠1+∠2=90°，即可求解．(1)解：设∠1=x°，则∠2=4x°，∵OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，∴∠BOD=2∠1=2x°，∠BOC=2∠2=8x°∵∠BOC+∠BOD=180°，∴8x+2x=180，∴x=18，∴∠AOC=∠DOB=2x=36°，∠1=18°，∠2=72°，∴∠AOF=∠AOC+∠2=36°+72°=108°．(2)由(1)可得∠1=18°，∠2=72°，∴∠EOF=180°-∠1+∠2=90°,∴OE⊥OF．【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．。
(双)角平分线模型-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练(人教版)(解析版)
重难点：（双）角平分线模型【知识梳理】（双）角平分线模型1.双内角平分线2.双外角平分线3.内角平分线+外角平分线三角形三个内角的和等于180°三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和.【考点剖析】题型1.双内角平分线例1.如图，△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A＝70°，则∠BOC＝度．【解答】解：如图，延长AO交于BC于点D，∵∠B和∠C的平分线交于点O∴∠ACB＝2∠2，∠ABC＝2∠1，∵∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，∴2∠1+2∠2+∠BAC＝180°，∴∠1+∠2＝（180°﹣∠BAC）÷2＝（180°﹣70°）÷2＝55°．∵∠BOD＝∠1+∠BAO，∠DOC＝∠2+∠OAC，又∵∠BAO+∠CAO＝∠BAC，∠BOD+∠COD＝∠BOC，∴∠BOC＝∠1+∠2+∠BAC＝55°+70°＝125°．故答案为：125．例2．（2022秋•瑶海区期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，根据下列条件，求∠BPC的度数．（1）若∠A＝68°，则∠BPC＝°；（2BPC＝（用含∠A的式子表示），并说明理由．【解答】解：（1）∵∠A＝68°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣68°＝112°，∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×112°＝56°，∴∠BPC＝180°﹣56°＝124°，故答案为：124°；（2）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A由（1）得：∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A故答案为：90°+∠A．例3.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，根据下列条件求∠BIC的度数，（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，则∠BIC＝；（2）若∠ABC+∠ACB＝116°，则∠BIC＝；（3）若∠A＝56°，则∠BIC＝；（4）若∠BIC＝100°，则∠A＝；（5）通过以上计算，探索出您所发现规律：∠A与∠BIC之间的数量关系是．【解答】解：（1）∠ICB＝＝40°＝25°∠CIB＝180°﹣40°﹣25°＝115°；（2）∠ICB+∠IBC＝（∠ABC+∠ACB）＝58°，∠CIB＝180°﹣58°＝122°；（3）∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝112°，∠ICB+∠IBC＝（∠ABC+∠ACB）＝56°，∠CIB＝180°﹣56°＝118°；（4）∠ICB+∠IBC＝180°﹣∠CIB＝80°，∠ABC+∠ACB＝2（∠ICB+∠IBC）＝160°，∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝20°；（5）∠BIC＝180°﹣（∠ICB+∠IBC）而∠ICB+∠IBC＝（∠ABC+∠ACB）；∠ABC+∠ACB＝180﹣∠A所以∠BIC＝180°﹣（180﹣∠A）＝90°+∠A．例4．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．（1）若∠ABC＝40°、∠ACB＝50°，则∠BOC＝；（2）若∠ABC+∠ACB＝116°，则∠BOC＝；（3）若∠A＝76°，则∠BOC＝；（4）若∠BOC＝120°，则∠A＝；（5）请写出∠A与∠BOC之间的数量关系（不必写出理由）．【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），（1）当∠ABC＝40°、∠ACB＝50°时，∠OBC+∠OCB＝×（40°+50°）＝45°，∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝135°．故答案是：135°；（2）若∠ABC+∠ACB＝116°，则∠OBC+∠OCB＝×116°＝58°，∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝122°．故答案是：122°；（3）在△ABC中，∠A＝76°，则∠ABC+∠ACB＝180°﹣76°＝104°．∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝52°，∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝128°．故答案是：128°；（4）若∠BOC＝120°，则∠OBC+∠OCB＝60°，∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝120°，∴在△ABC中，∠A＝180°﹣120°＝60°．故填：60°；（5）设∠BOC＝α，∴∠OBC+OCB＝180°﹣α，∵∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+OCB）＝2（180°﹣α）＝360°﹣2α，∴∠A＝180°﹣（ABC+∠ACB）＝180°﹣（360°﹣2α）＝2α﹣180°，故∠BOC与∠A之间的数量关系是：∠A＝2∠BOC﹣180°．故答案是：∠A＝2∠BOC﹣180°．题型2.双外角平分线例5.（1）如图（1），在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A＝40°求∠BOC的度数．（2）如图（2），△A′B′C′外角的平分线相交于点O′，∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度数．（3）由（1）、（2）可以发现∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系？设∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′是否还具有这样的数量关系？这个结论你是怎样得到的？【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，则∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°．故∠BOC＝180°﹣70°＝110°；（2）因为∠A的外角等于180°﹣40°＝140°，△A′B′C′另外的两外角平分线相交于点O′，根据三角形的外角和等于360°，所以∠1+∠2＝×（360°﹣140°）＝110°，∠B′O′C′＝180°﹣110°＝70°；（3）∵（1）（2）中∠BOC+∠B′O′C′＝110°+70°＝180°，∴∠BOC与∠B′O′C′互补；证明：当∠A＝n°时，∠BOC＝180°﹣[（180°﹣n°）÷2]＝90°+n°，∵∠A′＝n°，∠B′O′C′＝180°﹣[360°﹣（180°﹣n°）]÷2＝90°﹣n°，∴∠A+∠A′＝90°+n°+90°﹣°＝180°，∠BOC与∠B′O′C′互补，∴当∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′还具有互补的关系．例6.（2022秋·八年级课时练习）如图1，△ABC的外角平分线交于点F．（1）若∠A＝40°，则∠F的度数为；（2）如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M，N，若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，则∠A 与α+β的数量关系是；（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由；②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．【答案】（1）70°（2）190 2Aαβ+−∠=︒（3）①见解析②不成立；190 2Aβα−−∠=︒或1902Aαβ−−∠=︒【详解】解：（1）如图1，∵∠A，∴∠ABC+∠ACB＝140°，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣140°＝220°，又∵△ABC的外角平分线交于点F，∴∠FBC+∠FCB＝12（∠DBC+∠ECB）＝12×220°＝110°，∴△BCF中，∠F＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70°；（2）如图2，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，又∵△ABC的外角平分线交于点F，∴∠FBC+∠FCB＝12（∠DBC+∠ECB）＝12×（180°+∠A）＝90°+12∠A ，∴△BCF中，∠BFC＝180°﹣（90°+12∠A ）＝90°﹣12∠A，又∵∠MFB＝α，∠NFC＝β，MN∥BC，∴∠FBC＝α，∠FCB＝β，∵△BCF中，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°，∴α+β+90°﹣12∠A＝180°，即α+β﹣12∠A＝90°，故答案为：α+β﹣12∠A＝90°；（3）①α+β﹣12∠A＝90°，理由如下：如图3，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣12∠A，∵∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°，∴α+β+90°﹣12∠A＝180°，即α+β﹣12∠A＝90°，②当直线MN与线段BC有交点时，①中∠A与α，β之间的数量关系不成立．分两种情况：如图4，当M在线段AB上，N在AC延长线上时，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣12∠A，∵∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°，∴90°﹣12∠A﹣α+β＝180°，即β﹣α﹣12∠A＝90°；如图5，当M在AB的延长线上，N在线段AC上时，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣12∠A，∵∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°，∴90°﹣12∠A﹣β+α＝180°，即α﹣β﹣12∠A＝90°；综上所述，∠A与α，β之间的数量关系为β﹣α﹣12∠A＝90°或α﹣β﹣12∠A＝90°．题型3.内角平分线+外角平分线例7．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2013BC的平分线与∠A2013CD的平分线交于点A2014，得∠A2014CD，则∠A2014＝．【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，即∠ACD＝∠A1+∠ABC，∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC＝∠ACD，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1＝∠A，∠A2＝∠A1＝∠A，…，以此类推可知∠A2014＝∠A＝°．故答案为：°．例8.（2021秋•利辛县月考）（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求证：∠P＝90°+∠A；（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PCB＝ACB，∠PBC＝ABC，∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+A；（2）猜想：证明：∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，∵∠PCE＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCE﹣∠PBC，又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴，∴∠P＝ACE﹣ABC＝（∠ACE﹣∠ABC）＝A．【过关检测】一．选择题（共8小题）1．（2022春•振兴区校级期末）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为15，20，25，点O是△ABC 三条角平分线的交点，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5【分析】过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥CA于F，如图，利用角平分线的性质得到OD＝OE＝OF，然后根据三角形面积公式得到S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB：BC：AC．【解答】解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥CA于F，如图，∵点O是△ABC三条角平分线的交点，∴OD＝OE＝OF，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝（AB•OD）：（OE•BC）：（OF•AC）＝AB：BC：AC＝15：20：25＝3：4：5．故选：D．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积公式．2．（2022秋•黄冈期中）如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A＝50°，则∠BOC 等于（）A．110°B．115°C．120°D．130°【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形的内角和等于180°即可求出∠BOC的度数．【解答】解：∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°．故选：B．【点评】本题主要利用三角形的内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握定理和概念是解题的关键．3．（2022秋•上杭县校级期末）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC＝125°，则∠A的度数为（）A．60°B．80°C．70°D．45°【分析】根据BF平分∠ABC可得，∠FBC＝∠ABC，同理，然后根据∠BFC＝125°，利用三角形内角和可得∠∠FBC+∠FCB＝55°，从而得到∠ABC+∠ACB＝110°，再根据三角形内角和得到∠A＝70°．【解答】解：在△FBC中，∠BFC＝125°．∴∠FBC+∠FCB＝180°﹣∠BFC＝55°．∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB．∴∠ABC＝2∠FBC，∠ACB＝2∠FCB．∴∠ABC+∠ACB＝2（∠FBC+∠FCB）＝110°．∴在△ABC中，∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝70°．故选：C．【点评】本题考查了三角形内角和定理与角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．4．（2022秋•西陵区校级期中）如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别是9、12、15．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1B．1：2：3C．3：4：5D．2：3：4【分析】过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，根据角平分线的性质可知：OD＝OE ＝OF，利用三角形的面积公式计算可求解．【解答】解：过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，∵△ABC的三条角平分线交于点O，∴OD＝OE＝OF，在△ABC中，AB＝9，BC＝12，AC＝15，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB•DO：BC•EO：AC•OF＝AB：BC：AC＝9：12：15＝3：4：5，故选：C．【点评】本题主要考查勾股定理，三角形的面积，角平分线的性质，利用角平分线的性质求得OD＝OE＝OF 是解题的关键．5．（2021秋•冷水滩区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，∠A＝40°，则∠BDC的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°第6题图【分析】在△ABC中，求得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°，根据∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，求得∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×140°＝70°，在△DBC中根据三角形内角和定理求解即可．【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝40°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°，∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×140°＝70°，在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣70°＝110°．故选：A．【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟练应用三角形内角和定理是解题的关键．6．（2021秋•新兴县期中）如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，若∠BOC＝140°，则∠A的度数是（）A．40°B．90°C．100°D．140°【分析】先根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，可得∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，再根据三角形内角和定理计算出∠1+∠2的度数，进而得到∠ABC+∠ACB，即可算出∠A的度数．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，∵∠BOC＝140°，∴∠1+∠2＝180°﹣140°＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝2×40°＝80°，∴∠A＝180°﹣80°＝100°，故选：C．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．7．（2022•峨边县模拟）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线BD、CD交于点D．过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，则△AEF的周长为（）A．12B．13C．14D．15【分析】根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形，即可解答．【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，∴EB＝ED，FD＝FC，∵AB＝6，AC＝8，∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+ED+DF+AF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝14，∴△AEF的周长为：14，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形是解题的关键．8．（2022秋•东光县校级月考）如图，D是△ABC的角平分线BD和CD的交点，过点D作△BCD的高，交BC于点E．若∠A＝70°，∠CDE＝65°，则∠DBE的度数为（）A．30°B．35°C．20°D．25°【分析】利用三角形的内角和定理先求出∠BCD，再求出∠ABC，通过角平分线的定义得结论．【解答】解：∵DE⊥BC∴∠CED＝90°．∴∠DCB+∠CDE＝90°．∵∠CDE＝65°，∴∠BCD＝25°∵BD、CD分别是∠CBA、∠BCA的平分线，∴∠CBA＝2∠CBD，∠BCA＝2∠BCD＝50°．∵∠A+∠CBA+∠BCA＝180°，∠A＝70°，∴∠CBA+∠BCA＝110°．∴∠CBA＝110°﹣50°＝60°．∴∠DBE＝∠DBC＝30°．故选：A．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理及角平分线的定义，掌握“三角形的内角和是180°”及角平分线的定义是解决本题的关键．二．填空题（共6小题）9．（2021秋•岷县期中）如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB，AC 于点E，F．当EF＝6，CF＝4时，BE的长为．【分析】利用平行和角平分线得到BE＝OE，OF＝CF，可得出结论EF＝BE+CF，由此即可求得BE的长．【解答】解：如图，∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO；∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠EOB＝∠EBO，∴BE＝OE；同理可证CF＝OF，∴EF＝BE+CF，∵EF＝6，CF＝4，∴OE＝EF﹣OF＝EF﹣C＝2，∴BE＝OE＝2，故答案为2．BE＝EO，CF＝OF是解题的关键．10．（2022秋•安陆市期中）如图△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于H，过点H作EF∥BC交AB 于E，交AC于F，HD⊥AC于D，以下四个结论①∠BHC＝90°+∠A；②EF﹣BE＝CF；③点H到△ABC各点的距离相等；④若B，H，D三点共线时，△ABC一定为等腰三角形．其中正确结论的序号为．【分析】①先根据角平分线的性质得出∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出结论；②根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H可得出∠EBH＝∠CBH，∠BCH＝∠FCH，再由EF∥BC可知∠CBH＝∠EHB，∠BCH＝∠CHF，故可得出BE＝EH，HF＝CF，由此可得出结论；③根据三角形内心的性质即可得出结论；④根据已知条件可以得到△ABD≌△CBD，利用全等三角形的性质即可解决问题．【解答】解，①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H，∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），∴∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故①错误；②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H，∴∠EBH＝∠CBH，∠BCH＝∠FCH．∵EF∥BC，∴∠CBH＝∠EHB，∠BCH＝∠CHF，∴∠EBH＝∠EHB，∠FCH＝∠CHF，∴BE＝EH，HF＝CF，∴EF＝EH+HF＝BE+CF，∴EF﹣BE＝CF，故②正确；③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H，∴点H是△ABC的内心，∴点H到△ABC各边的距离相等，故③正确；④若B，H，D三点共线时，则BD⊥AC，且BD平分∠ABC，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴AB＝AC，∴△ABC一定为等腰三角形，故④正确．故答案为：②③④；【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是解题的关键．11．（2022秋•武昌区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC和∠BAC的平分线相交于点O，OD⊥OA交AC于D，OE⊥OB交BC于E，BC＝4，AC＝3，AB＝5，则△CDE的周长为2．【分析】延长DO交AB于点M，延长EO交AB于点N，根据ASA定理可得△BOE≌△BON，△AOD≌△AOM，再由SAS定理得出△EOD≌△NOM，由全等三角形的对应边相等可得出结论．【解答】解：延长DO交AB于点M，延长EO交AB于点N∵OB是∠ABC的平分线，∴∠OBE＝∠OBN．∵OE⊥OB，∴∠BOE＝∠BON＝90°．在△BOE与△BON中，，∴△BOE≌△BON（ASA）．同理可得，△AOD≌△AOM，∴OE＝ON，OD＝OM，BE＝BN，AD＝AM．在△EOD与△NOM中，，∴△EOD≌△NOM（SAS），∴DE＝MN．∴CE+CD+DE＝BC﹣BE+AC﹣AD+MN＝BC﹣（BM+MN）+AC﹣（AN+MN）+MN＝BC﹣BM﹣MN+AC﹣AN﹣MN+MN＝BC﹣BM﹣MN+AC﹣AN＝BC﹣（BM+MN+AN）+AC＝BC+AC﹣AB＝4+3﹣5＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的是角平分线的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．12．（2021秋•道里区期末）如图，在△ABC中，BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，EF过点D，且EF∥BC，若BE＝3，CF＝4，则EF的长为．【分析】根据角平分线与平行两个条件，可证出等腰三角下即可解答．【解答】解：∵BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，∴EB＝ED＝3，FD＝FC＝4，∴EF＝ED+DF＝3+4＝7，故答案为：7．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线与平行两个条件，可以证明等腰三角形是解题的关键．13．（2022秋•长兴县月考）如图，在△ABC中，∠A＝64°，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC ＝°．【分析】先利用三角形的内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，再利用角平分线的定义求出∠OBC与∠OCB 的和，最后利用三角形的内角和定理求出∠O．【解答】解：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝64°，∴∠ABC+∠ACB＝116°．∵OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝ACB．∴∠OBC+∠OCB＝ABC+ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝58°．∵∠O+∠OBC+∠OCB＝180°，∴∠O＝180°﹣58°＝122°．故答案为：122°．【点评】本题考查了角平分线的定义及三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是180°”及角平分线的定义是解决本题的关键．14．（2021秋•天山区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2008BC的平分线与∠A2008CD 的平分线交于点A2009，得∠A2009，则∠A2009＝．【分析】读懂题意，根据角平分线的定义找规律，按规律作答．利用外角的平分线表示∠ACA1，再根据角平分线和三角形内角和定理求出∠A1等于∠A的一半，同理，可以此类推，后一个是前一个的一半，而2的次数与脚码相同．【解答】解：∵∠ACA1＝∠A1CD＝∠ACD＝（∠A+∠ABC），又∵∠ABA1＝∠A1BD＝∠ABD，∠A1CD＝∠A1BD+∠A1，∴∠A1＝∠A＝α．同理∠A2＝∠A1，…即每次作图后，角度变为原来的．故∠A2009＝．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发三．解答题（共8小题）15．（2021秋•呼和浩特期中）（1）如图1，在△ABC中BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作直线EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，直接写出EF和BE、CF的数量关系．（2）如图2，若将（1）中的“BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB”改为“BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB的外角”，其他条件不变，则EF与BE、CF的关系又如何？请说明理由．【分析】（1）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE＝OE，CF＝OF即可得出EF与BE、CF之间的关系；（2）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE＝OE，CF＝OF即可得出EF与BE、CF之间的关系．【解答】解：（1）EF＝BE+CF．理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴BE＝OE，CF＝OF，∴EF＝BE+CF．（2）EF＝BE﹣CF，理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCD，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCD，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴BE＝OE，CF＝OF，∴EF＝BE﹣CF．【点评】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，关键是推出BE＝OE，CF ＝OF．16．（2022秋•新乡期末）如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F．（1）当BE＝5，CF＝3，则EF＝；（2）当BE＞CF时，若CO是∠ACB的外角平分线，如图2，它仍然和∠ABC的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，试判断EF，BE，CF之间的关系，并说明理由．【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义可证BE＝OE＝5，OF＝CF＝3，即可得出答案；（2）与（1）同理可证．【解答】解：（1）∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠BCO，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴BE＝OE＝5，OF＝CF＝3，∴EF＝EO+FO＝8，故答案为：8；（2）EF＝BE﹣CF，理由如下：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBC，∵EO∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠ABO＝∠EOB，∴EB＝EO，同理可得FO＝FC，∴EF＝EO﹣FO＝EB﹣FC．【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，利用角平分线和平行线证明等腰三角形是解题的关键．17．（2022秋•瑶海区期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，根据下列条件，求∠BPC的度数．（1）若∠A＝68°，则∠BPC＝°；（2）从上述计算中，我们能发现：∠BPC＝（用含∠A的式子表示），并说明理由．【分析】（1）先根据三角形的内角和求出∠ABC+∠ACB＝112°，再由角平分线定义得：∠PBC+∠PCB＝56°，从而得出∠BPC的度数；（2）与（1）同理可得：∠BPC＝90°+∠A．【解答】解：（1）∵∠A＝68°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣68°＝112°，∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×112°＝56°，∴∠BPC＝180°﹣56°＝124°，故答案为：124°；（2）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A由（1）得：∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A故答案为：90°+∠A．【点评】本题主要考查了内角平分线和外角平分线的定义，与三角形内角和相结合，得出内角平分线的夹角18．（2021秋•双台子区校级期中）（1）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O 作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F．直接写出线段EF与BE，CF之间的数量关系：．（2）如图2，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F．则EF与BE，CF之间的数量关系又如何？说明你的理由．【分析】（1）利用角平分线与平行线证明△BEO和△CFO是等腰三角形即可；（2）利用角平分线与平行线证明△BEO和△CFO是等腰三角形即可．【解答】解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴EB＝EO，FC＝FO，∵EF＝EO+FO，∴EF＝EB+FC，故答案为：EF＝EB+FC；（2）EF＝BE﹣CF，理由是：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBC，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠EBO＝∠EOB，∴EB＝EO，同理可得：FO＝CF，∵EF＝EO﹣FO，∴EF＝BE﹣CF．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，结合图形找到角与边的关系是解题的关键．19．（2023春•永春县期末）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是射线AB上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交直线CD于点F，∠BEF的角平分线所在的直线与直线CD交于点G（不与点C重合）．（1）如图，点E在线段AD上运动，若∠B＝50°，∠ACB＝30°，求∠EGC的度数；（2）若点E在线段DB的延长线上时，设∠A＝α，求∠EGC的度数（答案可用含α的代数式表示）．【分析】（1）由角平分线的性质及平行线的性质可得：∠FEG＝∠DEG＝∠FED＝25°，∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝∠EFD＝15°，再利用三角形的外角可得结果；（2）先求得∠EGD＝90°﹣α，再由平角可得∠EGC．【解答】解：（1）EF∥BC，∴∠B＝∠FEB＝50°，∠EFD＝∠BCD，∵CF是∠ACB的平分线，EG是∠FED的平分线，∴∠FEG＝∠DEG＝∠FED＝25°，∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝∠EFD＝15°，∴∠EGC＝∠FEG+∠EFG＝45°，（2）当点E在射线DB上时，如图，∵∠EGD＝∠FEG+∠EFG＝（∠FED+∠ACB）＝（∠ACB+∠B）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣α，∴∠EGC＝180°﹣∠EGD＝180°﹣90°+∠α＝90°+∠α．【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．20．（2022秋•东昌府区校级期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．（1）猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系．（2）如图2，若AB≠AC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？并说明理由．（3）如图3，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB 于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质即可得出结论；（2）利用（1）的方法解答即可；（3）利用角平分线的定义和平行线的性质可以判定△BEO和△CFO为等腰三角形，利用线段和差的关系可得结论．【解答】解：（1）EF与BE、CF之间的关系为：EF＝BE+CF．理由：∵BO是∠ABC的平分线，∴∠EBO＝∠CBO．∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC．∴∠EBO＝∠EOB．∴BE＝EO．同理：CF＝FO．∴EF＝OE+OF＝BE+CF．（2）第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在，即EF＝BE+CF．理由：∵BO是∠ABC的平分线，∴∠EBO＝∠CBO．∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC．∴∠EBO＝∠EOB．∴BE＝EO．同理：CF＝FO．∴EF＝OE+OF＝BE+CF．∴第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在．（3）图中还存在等腰三角形△BEO和△CFO，此时EF＝BE﹣CF，理由：∵BO是∠ABC的平分线，∴∠EBO＝∠CBO．∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC．∴∠EBO＝∠EOB．∴BE＝EO．∴△BEO是等腰三角形，同理可证△CFO是等腰三角形，∵BE＝EO，OF＝FC∴BE＝EF+FO＝EF+CF，∴EF＝BE﹣CF．【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，利用角平分线与平行线的组合模型得出等腰三角形是解题的关键．21．（2022秋•滨海新区期中）（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求证：∠P＝90°+∠A；（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，根据角平分线的定义得出∠PCB＝ACB，∠PBC＝ABC，根据三角形内角和定理得出∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC），再求出答案即可；（2）根据三角形外角性质得出∠ACE＝∠A+∠ABC，∠P＝∠PCE﹣∠PBC，根据角平分线的定义得出，再求出答案即可．【解答】（1）证明：∵A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PCB＝ACB，∠PBC＝ABC，∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+A；（2）猜想：证明：∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，∵∠PCE＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCE﹣∠PBC，又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴，∴∠P＝ACE﹣ABC＝（∠ACE﹣∠ABC）＝A．【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质等知识点，能熟记三角形的内角和等于180°和角平分线的定义是解此题的关键．22．（2021秋•北流市校级月考）已知：如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O．求证：∠BOC＝90°+∠A．【分析】根据角平分线的定义可得∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，然后表示出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证．【解答】证明：∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，即：∠BOC＝90°+∠A．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键。
七年级数学几何模型大全
七年级数学几何模型大全七年级的小伙伴们，今天咱们来唠唠七年级数学里那些超有趣的几何模型。
一、角平分线模型1. 双角平分线模型- 想象一下，有一个角，然后从这个角的顶点引出两条角平分线。
比如说∠AOB，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC。
这里面就有很多好玩的关系哦。
- 如果设∠AOB = 2α，那么∠AOC=α，∠AOD = α/2。
这里面的关键就是根据角平分线的定义，把角之间的关系找出来。
就像分蛋糕一样，角平分线就是把角这个“大蛋糕”分成相等的“小蛋糕”。
- 而且还有个重要的结论呢，如果两个角平分线所夹的角是β，那么β = 1/2∠AOB或者β = 1/2 (∠AOB - ∠COD)，这就看具体的图形情况啦。
2. 邻补角角平分线模型- 当有两个邻补角的时候，它们的角平分线可是很特别的。
比如说∠AOC和∠BOC是邻补角，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC。
- 因为∠AOC+∠BOC = 180°，又因为OE和OF是角平分线，所以∠EOC+∠FOC=1/2(∠AOC + ∠BOC)=90°。
这就像两个小伙伴，把相邻的两块“角蛋糕”各自分一半，然后这两半加起来正好是个直角呢。
二、平行线模型1. “Z”字形模型（内错角模型）- 当有两条平行线被第三条直线所截的时候，就会出现像“Z”字一样的图形。
比如说直线a∥b，直线c与a、b相交。
- 这里面的内错角是相等的哦。
就好像在两条平行的铁轨（a和b）上，有一根枕木（c）横过来，形成的内错角就像在铁轨两边对称的位置，它们的大小是一样的。
- 如果∠1和∠2是内错角，那么∠1 = ∠2。
这个结论在证明角相等或者计算角的度数的时候可太有用啦。
2. “F”字形模型（同位角模型）- 还是两条平行线被第三条直线所截，不过这个时候是同位角的关系。
就像“F”字的形状。
- 同位角也是相等的呢。
比如说∠3和∠4是同位角，只要a∥b，那么∠3 = ∠4。
可以想象成在平行的道路（a和b）上，同样位置的标记（∠3和∠4），它们的角度肯定是一样的呀。
中考必会几何模型：线段(双中点)、角(双角平分线)模型
线段（双中点）、角（双角平分线）模型线段（双中点）模型讲解【口诀】字母去重，线段留半 【结论1】已知点B 在线段AC 上，AB=8cm ，AC=18cm.(1)P 、Q 分别是AB 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (2) P 、Q 分别是AC 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (3) P 、Q 分别是AB 、AC 的中点，则PQ 为_________cm. 已知点B 在直线AC 上，AB=8cm ，AC=18cm.(1)P 、Q 分别是AB 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (2) P 、Q 分别是AC 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (3) P 、Q 分别是AB 、AC 的中点，则PQ 为_________cm. 【答案】9；4；5；9；4；5或13【结论2】已知点C 在线段AB 上，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则MN= 12AB.【证明】∵M ，N 分别是AC ，BC 的中点， ∴CM= 12AC ，CN= 12BC,∴MN=CM+CN= 12AC+ 12BC= 12(AC+BC)= 12AB.【结论3】已知点C 是线段AB 延长线上一点，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则MN= 12AB.【证明】∵M.N 分别是AC ，BC 的中点， ∴MC= 12AC ，NC= 12BC ，∴MN=MC-NC= 12AC- 12BC= 12(AC-BC)= 12AB.拓展已知点C 是线段BA 延长线上一点，点M ，N 分别是AC.BC 的中点，则MN= 12AB.无论线段之间的和差关系怎样变，MN 的长度只与AB 有美，即MN= 12AB.典型例题典例1如图，点C 是线段AB 上一点，AC ＜CB ，M ，N 分别是AB 和CB 的中点，AC=8，NB=5，则线段MN=___________.典例2如图，已知点A ，B ，C 在同一直线上，M ，N 分别是AC ，BC 的中点.(1)若AB=20,BC=8.求MN的长；(2)若AB= a,BC=8.求MN的长；(3)若AB= a,BC= b.求MN的长；(4)从(1) (2) (3)的结果中能得到什么结论?典例3如图，线段AB=10cm，BC=3cm，点D，E分别为AC和AB的中点，则DE的长是_________.初露锋芒1.已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4 cm，若M是AC 的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是( ).A.7 cmB.3 cmC.5 cmD.7 cm或3 cm2.如图，已知A，B.C三点在同一直线上，AB=24.BC= 3AB，E是AC8的中点，D是AB的中点，则DE的长度是___________.3. 如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB=6cm，BC=4cm，若M，N分别为AB，BC的中点，那么M，N两点之间的距离为( ).A.5cmB.1cmC.5或1cmD.无法确定4. 已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC 的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是( )A.7cmB.3cmC.7cm或3cmD.5cm感受中考1.(2018贵州铜仁中考模拟)C为线段AB上任意一点，D、E分别是AC，CB的中点，若AB=10cm.则DE的长是( ).A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm2.(2018湖南邵阳中考模拟）已知点C为线段AB上任一点，AC=8 cm，CB=6cm，M，N分别是AC，BC的中点.(1)求线段MN的长；(2)点C为线段AB上任一点，满足AC+CB= a cm，点M，N分别是AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗?并说明理由.(3)点C在线段AB的延长线上，满足AC-BC=b cm，M，N分别是AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗?请画出图形，写出你的结论，并说明理由.(4)你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗?3.如图，已知A、B是数轴上的两个点，点A表示的数为13，点B表示的数为-5，动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒.(1)BP=________,点P表示的数________ (分别用含t的代数式表示）；(2)点P运动多少秒时，PB=2PA.(3)若M为BP的中点，N为PA的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长.参考答案典例1 【答案】4【解析】∵M ，N 分别是AB 和CB 的中点， ∴根据线段（双中点）的结论，有MN= 12AC.则MN=4. 典例2【答案】从(1)(2)(3)的结果中能得到：线段MN 始终等于线段AB 的一半，与C 点的位置无关. 【解析】(1)∵AB=20，BC=8. ∴AC=AB+BC=28.∵点A ，B ，C 在同一直线上，M ，N 分别是AC ，BC 的中点. ∴MC= 12AC.NC= 12BC.∴MN=MC-NC= 12(AC-BC)= 12AB=10.(2)根据(1)得MN= 12 (AC-BC)= 12AB= 12a .(3)根据(1)得MN= 12(AC-BC)= 12AB= 12a .(4)从(1)(2)(3)的结果中能得到：线段MN 始终等于线段 AB 的一半，与C 点的位置无关.典例3 【答案】1.5【解析】∵AB=10cm ，BC=3cm ，（已知） ∴AC=AB-BC=7cm.∵点D 为AC 中点，点E 为AB 的中点，（已知） ∴AD= 12AC,AE= 12AB.(线段中点定义)∴AD=3.5cm,AE=5cm. ∴DE=AE-AD=1.5cm. 故答案为：1.5.初露锋芒1.【答案】C.【解析】当点C 在线段AB 上时，如图.∵M ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴根据线段(双中点)的结论，可知MN= 12AB=5 cm.当点C 在线段AB 的延长线上时，如图.∵M ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴根据线段(双中点)的结论，可知MN= 12AB=5 cm.综上所述，MN 的长为5cm. 故选C.2. 【答案】92.【解析】∵AB=24，BC= 38AB ，∴BC=9.∵E 是AC 的中点，D 是AB 的中点，∴根据线段(双中点)的结论，可知DE= 12BC= 92.3. 【答案】C【解析】如图1，当点B 在线段AC 上时，∵AB=6cm ，BC=4cm ，M ，N 分别为AB ，BC 的中点， ∴MB= 12AB = 3cm,BN = 12BC = 2cm,∴MN=MB+NB=5cm,如图2，当点C 在线段AB 上时，∵AB=6cm ，BC=4cm ，M ，N 分别为AB ，BC 的中点， ∴MB= 12AB = 3cm ，BN= 12BC=2cm,∴MN=MB-NB=1cm 。
初中数学几何模型：双角平分线模型
双角平分线模型模型讲解【结论1】如图所示，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，则∠BDC=90°+12∠A.【证明】设∠ABD=∠DBC= x，∠ACD=∠BCD = y.由△ABC的内角和为180°，得∠A+2x+2y=180°.①由△BDC的内角和为180°，得∠BDC+x+y=180°.②由②得x+y=180°-∠BDC.③把③代入①，得∠A+2(180°-∠BDC) =180°,即2∠BDC =180°+∠A,即∠BDC=90°+12∠A.【结论2】如图所示，△ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，则∠BDC = 90°−12∠A.【证明】设∠EBD=∠CBD = x，BCD=∠FCD = y.由△BCD的内角和为180°，得x+y+∠BDC=180°，①易得2x+2y=180°+∠A.②由①得x+y=180°-∠BDC.③把③代入②，得2(180°―∠BDC) =180°+∠A，即2∠BDC = 180°-∠A，即∠BDC = 90°−12∠A.【结论3】如图所示，△ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，则∠D=12∠A.【证明】设∠ABD=∠DBC = x，∠ACD=∠ECD = y.由外角定理得2y=∠A+2x，①y=∠D+x.②把②代入①，得2(∠D+x)=∠A+2x，即∠D=12∠A.典型例题典例1如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠BAC=80°，则∠BOC的度数是( ).A.130°B.120°C.100°D.90°典例2如图，BA1和CA1，分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的平分线，CA2是∠A1CD的平分线，BA3是∠A2BD的平分线，CA3是∠A2CD的平分线，……以此类推，若∠A=α，则A2020 =___________.典例3【问题】如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB.若∠A=80°，则∠BEC=________；若∠A=n°，则∠BEC=______.【探究】(1)如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A=n°，则∠BEC=________；(2)如图3，O是∠ABC的平分线BO与∠ACD的平分线CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系，并说明理由；(3)如图4，O是三角形ABC的外角∠DBC与∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系? (只写结论，不需要证明）初露锋芒1.如图所示，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，若∠A=60°，则∠BFC等于( ).A.121°B.120°C.119°D.118°2.如图，五边形ABCDE在∠BCD，∠EDC处的外角分别是∠FCD，∠GDC，CP，DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P.若∠A=160°，∠B=80°，∠E=90°，则∠CPD=_________.感受中考1.(2019黑龙江大庆中考真题)如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E. 若∠A=60°，则∠BEC的度数为( ).A.15°B.30°C.45°D.60°参考答案典例1【答案】A【解析】∵BO，CO是△ABC的内角平分线，由“内内90°加一半”得，∠BOC=90°+12∠BAC，即∠BOC=90°+ 12×80°=130°.故选A.典例2【答案】（12）2020·α【解析】∵BA1为△ABC的内角平分线，CA1为△ABC的外角平分线，∴由“内外就一半”，得∠A1= 12∠A=12·α.同理，∠A2= 12∠A1=(12)2·α,∠A3= 12∠A2=(12)3·α,......∴∠A2020 = ( 12)2020·α.典例3【解析】【问题】130°;90°+ 12n°【探究】(1)由三角形内角和定理，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°- n°.∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，∴∠EBC= 23∠ABC,∠ECB =23∠ACB,∴∠EBC+∠ECB= 23(∠ABC+∠ACB)=23×(180°- n°)=120°−23n°,∴∠BEC =180°- (∠EBC+∠ECB)=180°- (120°-23n°)= 60°+ 23n°.(2)∠BOC= 12∠A. 理由如下：由三角形的外角性质，得∠ACD=∠A+∠ABC，∠OCD=∠BOC+∠OBC.∵O是∠ABC的平分线BO与∠ACD的平分线CO的交点，∴∠ABC =2∠OBC, ∠ACD =2∠OCD,∴∠A+∠ABC=2 (∠BOC+∠OBC),∴∠A=2∠BOC,∴∠BOC = 12∠A.(3)∠BOC=90°−12∠A.初露锋芒1.【答案】B【解析】∵BE，CD均为△ABC的内角平分线，∴由“内内90°加一半”，得∠BFC=90°+12∠A = 90°+12×60°=120°.故选B.2.【答案】105°【解析】如图，延长BF，EG交于点H.在△CDH中，CP，DP分别平分∠HCD和∠HDC，∴由“内内90°加一半”，得∠CPD=90°+ 12∠H.又∠A+∠B+∠H+∠E =360°,∴∠H = 360°−160°−80°−90°= 30°,∴∠CPD = 90°+ 12×30°=105°.感受中考1.【答案】B【解析】∵BE为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，∴由“内外就一半”，得∠BEC= 12∠A=12×60°=30°.故选B.11。
初中数学三角形双角平分线模型
BB 双角平分线模型【基本模型】三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系模型一：当这两个角为内角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的和（如图1）； 模型二：当这两个角为外角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的差（如图2）； 模型三：当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半（如图3）；∠BDC=90°+21∠A ∠BDC=90°-21∠A ∠BDC=21∠A 【分析】三个结论的证明例1、 如图1，△ABC 中，BD 、CD 为两个内角平分线，试说明：∠D=90°+21∠A 。
（方法一）解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD ＝21∠ABC ， ∠BCD ＝21∠ACB 。
在△BCD 中：∠D ＝180°－（∠CBD ＋∠BCD ）＝180°－21（∠ABC ＋∠ACB ）E D CB A＝180°－21（180°－∠A ） ＝180°－21×180°＋21∠A ＝90°＋21∠A （方法二）解：连接AD 并延长交BC 于点E解：∵BD 、CD 为角平分线 ∴∠CBD ＝21∠ABC ， ∠BCD ＝21∠ACB 。
∵∠BDE 是△ABD 的外角∴∠BDE ＝∠BAD+∠ABD =∠BAD+21∠ABC 同理可得∠CDE ＝∠CAD+21∠ACB 又∵∠BDC ＝∠BDE+∠CDE∴∠BDC ＝∠BAD+21∠ABC+∠CAD+21∠ACB ＝∠BAC+21（∠ABC+∠ACB ） ＝∠BAC+21（180°－∠BAC ） ＝90°＋21∠BAC 例２、如图，ＢＤ、ＣＤ为△ＡＢＣ的两条外角平分线，试说明：∠D=90°－21∠A 。
解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD=21∠CBE∠BCD ＝21∠BCF 又∵∠CBE 、∠BCD 为△ABC 的外角∴∠CBE ＝∠A ＋∠ACB∠BCF ＝∠A ＋∠ABC∴∠CBE ＋∠BCF ＝∠A ＋∠ACB ＋∠A ＋∠ABC ＝∠A ＋180°在△BCD 中：∠D ＝180°－（∠CBD ＋∠BCD ）＝180°－（21∠CBE ＋21∠BCF ） ＝180°－21（∠CBE ＋∠BCF ） ＝180°－21（∠A ＋180°） ＝90°－21∠A 【小结】通过对模型1、2的分析和证明，我们还能发现三角形两内角平分线的夹角和两外角平分线的夹角互补，即和为180°。
双角平分线模型
双角平分线模型1．已知点A 是y 轴上一动点，B 是x 轴上一动点，点C 在线段OB 上，连接AC ，AC 正好是OAB ∠的角平分线，ABD DBx ∠=∠，问动点A ，B 在运动的过程中，AC 与BD 所在直线的夹角是否发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请直接写出具体值．【答案】不会发生变化，夹角为45°。
如图延长AC 、DB 交于点E 易得9022x y x E y ︒+=⎧⎨+∠=⎩消去x ，y 可得45E ∠=︒2．把一副学生用三角板(30︒、60︒、90︒和45︒、45︒、90)︒如图（1）放置在平面直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，直角边AC 与y 轴重合，斜边AD 与y 轴重合，直角边AE 交x 轴于F ，斜边AB 交x 轴于G ，O 是AC 中点，8AC =．（1）把图1中的Rt AED ∆绕A 点顺时针旋转α度(090)α<︒得图2，此时AGH ∆的面积是10，AHF ∆的面积是8，分别求F 、H 、B 三点的坐标；（2）如图3，设AHF ∠的平分线和AGH ∠的平分线交于点M ，EFH ∠的平分线和FOC ∠的平分线交于点N ，当改变α的大小时，N M ∠+∠的值是否会改变？若改变，请说明理由；若不改变，请求出其值．【答案】解：（1）//OG BC ，8AC =， 45B AGO ∴∠=∠=︒， 4OA OG ∴==．8AFH S ∆=，10AGH S ∆=，5GH ∴=，4FH =． 1OH ∴=，5OF =，(5,0)F ∴-，(1,0)H -，(8,4)B -．（2）不变，97.5N M ∠+∠=︒． 理由如下设HAC α∠=，45GAO AGO ∠=∠=︒， 90FHA HAG AGH α∴∠=∠+∠=︒+．HM 平分AHF ∠，114522FHM FHA α∴∠=∠=︒+．GM 平分AGH ∠，122.52HGM AGO ∴∠=∠=︒．FHM HMG MGH ∠=∠+∠， 14522.52M α∴︒+=∠+︒，122.52M α∴∠=︒+．又FN 平分EFO ∠，11()22NFO EFO FOA FAO ∴∠=∠=∠+∠11(9030)6022αα=︒+︒+=︒+， 180N NFO NOF ∴∠=︒-∠-∠1180(60)452α=︒-︒+-︒1752α=︒-．11(75)(22.5)97.522N M αα∴∠+∠=︒-+︒+=︒．3．探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，FDC ∠与ECD ∠分别为ADC ∆的两个外角，试探究A ∠与FDC ECD ∠+∠的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在ADC ∆中，DP 、CP 分别平分ADC ∠和ACD ∠，试探究P ∠与A ∠的数量关系．探究三：若将ADC ∆改为任意四边形ABCD 呢？已知：如图3，在四边形ABCD 中，DP 、CP 分别平分ADC ∠和BCD ∠，试利用上述结论探究P ∠与A B ∠+∠的数量关系．探究四：若将上题中的四边形ABCD 改为六边形ABCDEF （图4)呢？ 请直接写出P ∠与A B E F ∠+∠+∠+∠的数量关系： ．【答案】解：探究一：FDC A ACD ∠=∠+∠，ECD A ADC ∠=∠+∠， 180FDC ECD A ACD A ADC A ∴∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒+∠；探究二：DP 、CP 分别平分ADC ∠和ACD ∠， 12PDC ADC ∴∠=∠，12PCD ACD ∠=∠，180DPC PDC PCD ∴∠=︒-∠-∠， 1118022ADC ACD =︒-∠-∠，1180()2ADC ACD =︒-∠+∠，1180(180)2A =︒-︒-∠，1902A =︒+∠；探究三：DP 、CP 分别平分ADC ∠和BCD ∠， 12PDC ADC ∴∠=∠，12PCD BCD ∠=∠，180DPC PDC PCD ∴∠=︒-∠-∠， 1118022ADC BCD =︒-∠-∠，1180()2ADC BCD =︒-∠+∠，1180(360)2A B =︒-︒-∠-∠，1()2A B =∠+∠；探究四：六边形ABCDEF 的内角和为：(62)180720-︒=︒，DP 、CP 分别平分EDC ∠和BCD ∠，12PDC EDC ∴∠=∠，12PCD BCD ∠=∠，180P PDC PCD ∴∠=︒-∠-∠1118022EDC BCD =︒-∠-∠1180()2EDC BCD =︒-∠+∠1180(720)2A B E F =︒-︒-∠-∠-∠-∠1()1802A B E F =∠+∠+∠+∠-︒， 即1()1802P A B E F ∠=∠+∠+∠+∠-︒．。
初中数学三角形双角平分线模型
BB E CBA 双角平分线模型【基本模型】三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系模型一：当这两个角为内角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的和（如图1）； 模型二：当这两个角为外角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的差（如图2）； 模型三：当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半（如图3）；∠BDC=90°+21∠A ∠BDC=90°-21∠A ∠BDC=21∠A 【分析】三个结论的证明 例1、 如图1，△ABC 中，BD 、CD 为两个内角平分线，试说明：∠D=90°+21∠A 。
（方法一）解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD ＝21∠ABC ， ∠BCD ＝21∠ACB 。
在△BCD 中：∠D ＝180°－（∠CBD ＋∠BCD ）＝180°－21（∠ABC ＋∠ACB ） ＝180°－21（180°－∠A ） ＝180°－21×180°＋21∠A ＝90°＋21∠A （方法二）解：连接AD 并延长交BC 于点E解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD ＝21∠ABC ， ∠BCD ＝21∠ACB 。
∵∠BDE 是△ABD 的外角∴∠BDE ＝∠BAD+∠ABD=∠BAD+21∠ABC 同理可得∠CDE ＝∠CAD+21∠ACB 又∵∠BDC ＝∠BDE+∠CDE∴∠BDC ＝∠BAD+21∠ABC+∠CAD+21∠ACB ＝∠BAC+21（∠ABC+∠ACB ） ＝∠BAC+21（180°－∠BAC ） ＝90°＋21∠BAC 例２、如图，ＢＤ、ＣＤ为△ＡＢＣ的两条外角平分线，试说明：∠D=90°－21∠A 。
解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD=21∠CBE ∠BCD ＝21∠BCF 又∵∠CBE 、∠BCD 为△ABC 的外角∴∠CBE ＝∠A ＋∠ACB∠BCF ＝∠A ＋∠ABC∴∠CBE ＋∠BCF ＝∠A ＋∠ACB ＋∠A ＋∠ABC ＝∠A ＋180°在△BCD 中：∠D ＝180°－（∠CBD ＋∠BCD ）＝180°－（21∠CBE ＋21∠BCF ） ＝180°－21（∠CBE ＋∠BCF ） ＝180°－21（∠A ＋180°） ＝90°－21∠A 【小结】通过对模型1、2的分析和证明，我们还能发现三角形两内角平分线的夹角和两外角平分线的夹角互补，即和为180°。
专题 探索三角形几何模型(双角平分线模型)(知识讲解)数学七年级下册(北师大版)
专题4.20 探索三角形几何模型 （双角平分线模型）（知识讲解）几何模型1：内角平分线+内角平分线模型1分别为ABC 的内角如图一00000=180-+1=180-+21=180--21=90BIC I CI ABC BICIBC ICB ABC ACB A A∠∴∠∠∠∠∠∠+∠分别为ABC 的内角I.证明：在中，B 、分别为ABC 的内角（）（）（180）模型2：内角平分线+外角平分线模型如图二212=12ABC PBC PCD P PBC P PBC P ∠∴∠=∠∠∴∠+∠∴∠+∠∴∠=分别为ABC 的内角的角平分线相交于点P.:、模型三：外角平分线+外角平分线模型0190.2CBE BCD A ∆∠∠∠-∠如图三、条件：ABC 的外角和外角的角平分线相交于点，结论：P=如图三00012180180180180EBC PBC P ∠∴∠=∠====分别为ABC 的外角的角平分线相交于点P.:、模型四：飞镖+角平分线模型1、飞镖模型内角关系模型：=++.=+,=+,=++.C A BD BCD BED CDE ABE BCD CED D CED A B C A B D ∠∠∠∠∠∠∴∠∠∠∠∠∠∴∠∠∠∠如图四：如图，在四边形ABCD 中，结论：证明：延长BC 交AD 于E ，则、分别为、外角，图四2、飞镖模型“内角平分线+内角平分线”模型：图五1-2=P PBA PBC A P ∠=∠∠=∠∴∠（）（）得1．如图，在△ABC 中，△ABC 和△ACB 的平分线相交于点P ．（1）若△ABC +△ACB ＝130°，求△BPC 的度数． （2）当△A 为多少度时，△BPC ＝3△A ？【答案】（1）115︒；（2）36A ∠=︒）PB 平分12PBC =∠△ABC +△ACB）PB 平分PBC ∴∠=PBC ∴∠+ABC ∠+∠PBC ∴∠+180()BPCPBCPCB1180(90)2A =︒-︒-∠1902A =+∠︒△BPC ＝3△A 和定理是解题的关键．类型二、内角平分线+外角平分线模型2．如图，在△ABD 中，△ABD 的平分线与△ACD 的外角平分线交于点E ，△A=80°，求△E 的度数【答案】40°【分析】由题意：设△ABE=△EBC=x ，△ACE=△ECD=y ，利用三角形的外角的性质构建方程组解决问题即可．解：由题意：设△ABE=△EBC=x ，△ACE=△ECD=y ，则有2=2=y x A y x E +∠⎧⎨+∠⎩①② ，用参数构建方程组解决问题．类型三、外角平分线+外角平分线模型3．如图，已知射线OE⊥射线OF，B、A分别为OE、OF上一动点，ABE∠、∠的度数是否改变？∠的平分线交于C点.问B、A分别在OE、OF上运动的过程中，CBAF若不变，求出其值；若改变，说明理由.熟练掌握相关的性质是解题的关键．类型四、飞镖内角平分线+内角平分线模型4．（1）在锐角ABC ∆中，AC 边上的高所在直线和AB 边上的高所在直线的交点为P ，110BPC ∠=︒，求A ∠的度数．（2）如图，AF 和CE 分别平分BAD ∠和BCD ∠，当点D 在直线AC 上时，且B 、P 、D 三点共线，100APC ∠=︒，则B ∠=_________．（3）在（2）的基础上，当点D 在直线AC 外时，如下图：130ADC ∠=︒，100APC ∠=︒，求B ∠的度数．【答案】（1）70︒；（2）20︒；（3）70︒．【分析】（1）根据对顶角相等以及四边形的内角和进行判断即可；（2）法一：根据100APC ∠=︒以及AF 和CE 分别平分BAD ∠和BCD ∠，算出BAD ∠和BCD ∠,从而算出B ∠；法二：根据三角形的外角定理得到△APC =△B +△P AB ＋△PCB ，再求出△P AB ＋△PCB ，故可求解；（3）法一：连接AC ，根据三角形的内角和与角平分线的性质分别求出2+4=30∠∠︒，110BAC BCA ∠+∠=︒，故可求解；法二：连接BD 并延长到G 根据三角形的外角定理得到△ADC ＝△2＋△4＋△APC ，再求出△2＋△4，故可求解．解：（1）如图AC 边上的高所在直线和AB 边上的高所在直线的交点为P△90BDA CEA ∠=∠=︒ 又△110BPC ∠=︒ △110EPD BPC ∠=∠=︒△在四边形AEPD 中，内角和为360︒ △=360-110-90-90=70A ∠︒︒︒︒︒．（2）法一：△AF 和CE 分别平分BAD ∠和BCD ∠△,BAP FAC BCE ACE ∠=∠∠=∠ 又△100APC ∠=︒△+18010080FAC ACE ∠∠=︒-︒=︒ △160BAC BCA ∠+∠=︒ △=180-160=20B ．法二：连接BD ，△B 、P 、D 三点共线 △BD 、AF 、CE 交于P 点△△APD =△BAP +△ABP ，△CPD =△BCP +△CBP ， △△APC =△B +△P AB ＋△PCB△AF 和CE 分别平分BAD ∠和BCD ∠， △△P AC =△P AB ，△PCA =△PCB ， △△APC ＝100°，△△P AC ＋△PCA ＝180°−100°＝80°， △△P AB ＋△PCB ＝80°，△△B ＝△APC −（△P AB ＋△PCB ）＝100°−80°＝20°．（3）法一：如图：连接AC△130ADC ∠=︒，100APC ∠=︒△18013050,18010080DAC DCA PAC PCA ∠+∠=︒-︒=︒∠+∠=︒-︒=︒ △2+4=30∠∠︒又△AF 和CE 分别平分BAD ∠和BCD ∠ △1+3=2+4=30∠∠∠∠︒ △110BAC BCA ∠+∠=︒ △=180-110=70B ．法二：如图，连接BD 并延长到G ，△△ADG ＝△2＋△APD ，△CDG ＝△4＋△CPD ， △△ADC ＝△2＋△4＋△APC ， △△2＋△4=30°同理可得△APC ＝△1＋△3＋△B ，△1＝△2，△3＝△4， △△B ＝△APC -△2-△4=100°-30°=70° △△B ＝70°．【点拨】本题考查三角形的外角，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．类型五、双角平分线模型综合5．探究：△A．（1）如图1，在△ABC中，BP平分△ABC，CP平分△ACB．求证：△P＝90°+12（2）如图2，在△ABC中，BP平分△ABC，CP平分外角△ACE．猜想△P和△A有何数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，BP平分△CBF，CP平分△BCE．猜想△P和△A有何数量关系，请直接写出结论．116．如图，在ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的角平分线交于O 点.（1）若40A ∠=︒，则BOC ∠= ︒；（2）若A n ∠=︒，则BOC ∠= ︒；（3）若A n ∠=︒，ABC ∠与ACB ∠的角平分线交于O 点，ABO ∠的平分线与ACO ∠的平分线交于点1O ，，2016O BD ∠的平分线与2016O CE ∠的平分线交于点2017O ，则2017O ∠=︒.12018等于180°．。
三角形双角平分线模型三种模型的关系
三角形双角平分线模型三种模型的关系
三角形双角平分线模型是三角形中的一个基本模型。
它是指在一
个三角形中，通过一个顶点，把对顶角平分成两个相等的角的直线，
就称为双角平分线。
三角形双角平分线模型有三种模型，分别是内角
双角平分线模型、外角双角平分线模型和中线双角平分线模型。
其中，内角双角平分线模型是从三角形内部的顶点出发，平分对顶角的角平
分线；外角双角平分线模型是从三角形外部的顶点出发，平分相邻内
角的角平分线；中线双角平分线模型则是从三角形中间的边上出发，
将此边的两个邻边的角平分线的交点称为中心，连接中心和第三边的
中点，便是第三条双角平分线。
这三种模型之间相互独立，但又相互
联系。
初一数学折叠双角平分线模型
初一数学折叠双角平分线模型
折叠双角平分线模型是一种通过折叠纸张来研究双角平分线的方法。
以下是一个初一数学折叠双角平分线模型的步骤：
1.准备一张长方形的纸张，将其对角线折叠成一条直线，然后再展开。
2.将纸张顶边和底边都折叠到对角线上，使得顶点和底点都碰到对角线。
3.再次将纸张对折成一个三角形，确保顶点和底点重合。
4.将三角形的左边和右边都折叠到对角线上，使得两侧的顶点和底点
都碰到对角线。
5.再将纸张对折成一个四边形，确保四个角都处于对角线上。
6.用尺子将左上角和右下角连线，得到一条直线L1。
再用尺子将右
上角和左下角连线，得到另一条直线L2。
7.将纸张对折成一个小三角形，将其中一个角准确定位于直线L1上。
8.将另一个角准确定位于直线L2上，将纸张对折成一个小四边形。
9.用尺子测量小四边形中对角线的长度，如果两条对角线的长度相等，则说明这两条线是双角平分线。
通过这样的折叠过程，我们可以得到一个实际的模型来帮助我们更好
地理解双角平分线的性质和应用。
初中数学常考难点模型-双角平分线模型
角平分线相关问题模型解题模型一（1）如图1，若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=90°+∠A；（2）如图2，若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=90°﹣∠A；（3）如图3，若点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=∠A．图1图2图3针对训练1.（2016•枣庄）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠AC E的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°【小结】本题若不套用模型，则需要通过三角形的外角性质证明得到∠A、∠D的数量关系.2.（2018•巴中）如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=．【分析】由解题模型一中的（1）可知，∠BOC=90°+∠A，把∠BOC=110°代入计算可得到∠A的度数．【详解】∵∠BOC=90°+∠A，∠BOC=110°，∴90°+∠A=110°.∴∠A=40°．【小结】本题若不套用模型，需要利用三角形的内角和定理、角平分线的定义得到∠BO C、∠A的数量关系.3.（2018•济南历城区模拟）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2018=．【详解】∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，【小结】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义，熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键。
初中必做模型一双角平分线模型
角平分线相关问题模型数学模型针对训练1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠AC E的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°【小结】本题若不套用模型，则需要通过三角形的外角性质证明得到∠A、∠D的数量关系.（1）如图1，若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=90°+∠A；（2）如图2，若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=90°﹣∠A；（3）如图3，若点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=∠A．图1 图2 图32.如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=．【分析】由解题模型一中的（1）可知，∠BOC=90°+∠A，把∠BOC=110°代入计算可得到∠A的度数．【详解】∵∠BOC=90°+∠A，∠BOC=110°，∴90°+∠A=110°.∴∠A=40°．【小结】本题若不套用模型，需要利用三角形的内角和定理、角平分线的定义得到∠BO C、∠A的数量关系.3.（2018•济南历城区模拟）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2018=．【详解】∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，【小结】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义，熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键。
专题 双角平分线模型与角n等分线模型(学生版)
专题04双角平分线模型与角n等分线模型对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。
一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。
但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。
如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。
总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。
模型1.双角平分线模型图1图2图31）双角平分线模型（两个角无公共部分）条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：12DOE AOC∠=∠.2）双角平分线模型（两个角有公共部分）条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：12DOE AOC∠=∠.3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；结论：1211802POP AOB︒∠=-∠.AOD A．①②B．①③内部一条射线，OM 例6．（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）定义：从∠例7．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，点A ，O ，B 在同一条直线上，OD ，OE 分别平分AOC ∠和BOC ∠．(1)求DOE ∠的度数；(2)如果60COD ∠=︒．①求AOE ∠的度数；②若20AOF ∠=︒，直接写出FOD ∠的度数．例8．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若°120AOB ∠=，40AOC ∠=︒，OD 、OE 分别平分AOB ∠、AOC ∠，求DOE ∠的度数；(2)若AOB ∠，AOC ∠是平面内两个角，°AOB m ∠=，°AOC n ∠=()°<180n m <，OD 、OE 分别平分AOB ∠、AOC ∠，求DOE ∠的度数．（用含m 、n 的代数式表示）例9．（2022秋·浙江·七年级专题练习）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线．(1)如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数．(2)点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC＝3t，∠BOD＝5t．①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值．②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数．．30︒B．25︒平分．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）度．5．（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）请从A，B两题中任选一题作答，我选择A．DOE∠的度数．∠的度数B．如果65COD∠=︒，AOEBOD 解：∵90AOB AOC ∠=︒∠，∵OD 平分BOC ∠，∴DOC ∠9．（2022秋·湖南常德·七年级统考期末）如图，AB 为直线，OD 为射线，且OC 平分AOD ∠，OE 平分BOD ∠．(1)若15AOC ∠=︒，求∠BOE 的度数；(2)求COE ∠的度数．10．（2023秋·安徽合肥·七年级统考期末）如图，以点为O 端点按顺时针方向依次作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE ．并且使OB 是AOC ∠的平分线，OD 是COE ∠的平分线．(1)若50AOB ∠=︒，30DOE ∠=︒，求BOD ∠的度数；(2)若110AOD ∠=︒，100∠=︒BOE ，求BOD ∠的度数；(3)当AOD BOE n ∠+∠=时，求BOD ∠的度数（用含n 的式子表示）．11．（2023·广东揭阳·七年级统考期末）已知：如图1，OB 、OC 分别为锐角AOD ∠内部的两条动射线，当OB 、OC 运动到如图的位置时，100AOC BOD ∠+∠=︒，40AOB COD ∠+∠=︒．(1)求BOC ∠的度数；(2)如图2，射线OM 、ON 分别为AOB ∠、COD ∠的平分线，求MON ∠的度数．12．（2023秋·湖南株洲·七年级统考期末）如图，OD 是AOB ∠的平分线，OE 是BOC ∠的平分线．(1)若40BOC ∠=︒，60BOA ∠=︒，求DOE ∠的度数；(2)若130AOC ∠=︒，求DOE ∠的度数；(3)你发现DOE ∠与AOC ∠有什么等量关系？请你给出结论并予以说明．是15．（203·湖北恩施·七年级统考期末）如图，射线OC 是AOB ∠的平分线，射线OE 、OF 是AOB ∠的三等分线，即16．（2022秋·广东惠州·七年级统考期末）如图，OB 为AOC ∠的平分线，OD 是COE ∠的平分线．(1)如果40AOB ∠=︒，30DOE ∠=︒，那么BOD ∠为多少度？(2)如果140AOE ∠=︒，30COD ∠=︒，那么AOB ∠为多少度？(3)如果AOC α∠=︒，COE β∠=︒，则BOD ∠=______°，如果AOE θ∠=︒，则BOD ∠=______︒．17．（2023秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知90AOB COD ∠=∠=︒，OE 平分AOC ∠，OF 平分BOD ∠．(1)如图1，当OB ，OC 重合时，求EOF ∠的度数；(2)如图2，当OC 在ABC ∠内部时，若20BOC ∠=︒，求EOF ∠的度数；(3)当AOB ∠和COD ∠的位置如图3时，求EOF ∠的度数．(1)若6cmAC=，则EF=cm；(2)当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请19．（2022秋·广东广州·七年级校考期末）如图①，已知线段20cm AB =，2cm CD =，线段CD 在线段AB 上运动，E ，F 分别是AC ，BD 的中点．(1)若8cm AC =，则EF =___________cm ；(2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知COD ∠在AOB ∠内部转动，OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOD ∠，若140AOB ∠=︒，40COD ∠=︒，则EOF ∠=___________．直接写出EOF ∠，AOB ∠和COD ∠的数量关系：___________．20．（2023秋·湖南永州·七年级统考期末）点O 为直线AB 上一点，在直线AB 同侧任作射线,OC OD ，使得90COD ∠=︒．(1)如图一，过点O 作射线OE ，使OE 为AOD ∠的角平分线，若25∠=︒COE 时，则DOE ∠=________︒，AOC ∠=________︒；(2)如图二，过点O 作射线OE ，当OE 恰好为AOC ∠的角平分线时，另作射线OF ，使得OF 平分BOD ∠．①若50AOC ∠=︒，求EOF ∠的度数（写出推理过程）；②若()090AOC a a ∠=︒<<︒，则EOF ∠的度数是________（直接填空）．(3)过点O 作射线OE ，当OC 恰好为AOE ∠的角平分线时，另作射线OF ，使得OF 平分COD ∠，当10EOF ∠=︒时，则AOC ∠的度数是________．（在稿纸上画图分析，直接填空）。
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双角平分线模型
1．已知点A 是y 轴上一动点，B 是x 轴上一动点，点C 在线段OB 上，连接AC ，AC 正好是OAB ∠的角平分线，ABD DBx ∠=∠，问动点A ，B 在运动的过程中，AC 与BD 所在直线的夹角是否发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请直接写出具体值．
2．把一副学生用三角板(30︒、60︒、90︒和45︒、45︒、90)︒如图（1）放置在平面直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，直角边AC 与y 轴重合，斜边AD 与y 轴重合，直角边AE 交x 轴于F ，斜边AB 交x 轴于G ，O 是AC 中点，8AC =．
（1）把图1中的Rt AED ∆绕A 点顺时针旋转α度(090)α<︒…得图2，此时AGH ∆的面积是10，AHF ∆的面积是8，分别求F 、H 、B 三点的坐标；
（2）如图3，设AHF ∠的平分线和AGH ∠的平分线交于点M ，EFH ∠的平分线和FOC ∠的平分线交于点N ，当改变α的大小时，N M ∠+∠的值是否会改变？若改变，请说明理由；若不改变，请求出其值．
3．探究与发现：
探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
已知：如图1，FDC ∠与ECD ∠分别为ADC ∆的两个外角，试探究A ∠与FDC ECD ∠+∠的数量关系．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 已知：如图2，在ADC ∆中，DP 、CP 分别平分ADC ∠和ACD ∠，试探究P ∠与A ∠的数量关系．
探究三：若将ADC ∆改为任意四边形ABCD 呢？
已知：如图3，在四边形ABCD 中，DP 、CP 分别平分ADC ∠和BCD ∠，试利用上述结论探究P ∠与A B ∠+∠的数量关系．
探究四：若将上题中的四边形ABCD 改为六边形ABCDEF （图4)呢？
请直接写出P ∠与A B E F ∠+∠+∠+∠的数量关系： ．。