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高三数学12月联考试题 理 (2)

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2023届河南省部分学校高三12月大联考数学(理)试题(解析版)

2023届河南省部分学校高三12月大联考数学(理)试题(解析版)

2023届河南省部分学校高三12月大联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}e x B y y a ==+（a ∈R ），若A B ⋂=∅，则a 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞- B ．(),1-∞- C ．()3,+∞ D ．[)3,+∞【答案】D【分析】分别求出集合A 和集合B ，再由A B ⋂=∅进行求解.【详解】由已知，集合A 即函数y = 由不等式2320x x +-≥，即2230x x --≤，解得13x -≤≤，∴{{}[]131,3A x y x x ===-≤≤=-，集合B 即函数e x y a =+的值域，因为指数函数e x y =的值域为()0,∞+，所以函数e x y a =+的值域为(),a +∞，∴{}()e ,xB y y a a ∞==+=+，∵A B ⋂=∅，∴a 的取值范围是[)3,+∞. 故选：D.2．已知复数z 满足(86i)512i z +=+，则z =（ ）A B ．1310C ．1714D ．1513【答案】B【分析】先由复数的运算化简z ，再计算模长.【详解】()512i (86i)11266i 5633i (86i)(86i)10050z +-++===+-，1310z === 故选：B3．已知直线12:210,:220l x y l x my --=++=，若12l l ∥，则1l 与2l 之间的距离为（ ）A ．1B ．2C D 【答案】A【分析】根据直线平行求出m ，再由平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为12l l ∥，所以40m +=，解得4m =-，经检验符合题意；所以2:210l x y -=， 所以1l 与2l之间的距离1d ===， 故选：A4．我国古代历法从东汉的《四分历》开始，就有各节气初日晷影长度和太阳去极度的观测记录，漏刻、晷影成为古代历法的重要计算项目．唐代僧一行在编制《大衍历》时发明了求任何地方每日晷影长和去极度的计算方法——“九服晷影法”，建立了晷影长l 与太阳天顶距θ之间的对应数表（世界上最早的正切函数表）．根据三角学知识知：晷影长l 等于表高h 与天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=．若对同一表高进行两次测量，测得晷影长分别是表高的2倍和3倍，记对应的天顶距分别为1θ和2θ，则()12tan θθ-=（ ） A ．1- B ．17-C ．13D ．1【答案】B【分析】根据已知条件得出12,tan tan θθ的值，利用两角差的正切公式可得结果. 【详解】由题意知12tan 2,tan 3θθ==，所以()121212tan tan 231tan 1tan tan 1237θθθθθθ---===-++⨯故选：B.5．已知12,F F 是平面内两个不同的定点，P 为平面内的动点，则“12PF PF -的值为定值m ，且12m F F <”是“点P 的轨迹是双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】直接利用双曲线的定义，直接判断，可得答案.【详解】“12PF PF -的值为定值m ，12m F F <”，若0m =，则P 点的轨迹不是双曲线，故充分性不成立；“点P 的轨迹是双曲线”，则必有12,F F 是平面内两个不同的定点，且满足1212PF PF m F F -=<，故必要性成立； 故选：B6．已知()sin 2tan 1f x x x =++，则曲线()y f x =在点ππ,44f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（ ） A ．26π0x y ++-= B ．23π0x y -+-= C ．426π0x y -+-= D ．426π0x y -++=【答案】C【分析】根据导数几何意义可求得切线斜率π4f ⎛⎫' ⎪⎝⎭，结合π34f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得切线方程. 【详解】()212cos 2cos f x x x'=+，2ππ12cos 2π42cos 4f ⎛⎫'∴=+= ⎪⎝⎭， 又πππsin tan 13424f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，∴所求切线方程为：π324y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即426π0x y -+-=.故选：C.7．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过Fl 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ） A ．2 BCD【答案】C【分析】分别表示出A 、B 坐标，利用||||OA OB =求得3a b ，即可求出离心率.【详解】因为F 为双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的下焦点，不妨设()0,F c -，所以过Fy c =-，所以),0B .因为1l 是C 的斜率大于0的渐近线，所以可设1:al y x b=.由y x ca y x b⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩联立解得：A .因为||||OA OB =，所以2223c +=，解得：3ab .所以离心率c e a ====. 故选：C8．函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象，则()g x =（ ）A ．2cos2xB π326x ⎛⎫- ⎪⎝⎭C π326x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．π2sin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由函数周期可求出ω，又由特殊值5π()=012f 和(0)=1f ，可求得ϕ和A ，进而可得()f x 的解析式，再利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式．【详解】依题意有2π11π5π2π1212ω⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，得2ω=， 又5π5π()sin 2+=01212f A ϕ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，所以5π2+π2π,Z 12k k ϕ⨯=+∈，且π02ϕ<<，得π=6ϕ，又π(0)sin =16f A =，得=2A ，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()πππ2sin 22cos 2666g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A ．9．已知12F F 、分别是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆C 过(2,0)A -和(0,1)B 两点，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅的取值范围为（ ）A ．11,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．371,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[2,1]-D ．11,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】根据椭圆过点求出,a b ，再求出焦点坐标，利用数量积的坐标运算结合二次函数的最值求解. 【详解】因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A -和(0,1)B ，所以224,1a b ==，可得223c a b - 所以1(3,0)F -，23)F ，设(,)P x y ，由题意直线AB 的方程为12xy +=-，即220x y ， 因为点P 在线段AB 上，所以(,)P x y 满足20,01x y -≤≤≤≤，则222212(,),)3(22)3PF PF x y x y x y y y ⋅=--⋅-=+-=-+-224115815()55y y y =-+=--，[0,1]y ∈，当45y =时，12min 11()5PF PF ⋅=-，当0y =时，12max ()1PF PF ⋅=， 所以12PF PF ⋅的取值范围为11,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D10．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①0,()0x f x ∀><；②对任意正数x ，y ，当x y <时，()()yf x xf y >恒成立．若(0.1)(sin0.1)sin0.1,,(tan0.1)tan0.110f a f b c f ===，则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】A【分析】根据函数性质可知，()f x x在(0,)+∞上单调递减，又根据0,()0x f x ∀><，可构造函数()xf x ，且函数()xf x 为单调递减，又因为sin0.10.1tan0.1<<，即可得出a b c >>. 【详解】由题意可知，对任意正数x ，y ，当x y <时，()()yf x xf y >，即()()f x f y x y> 所以函数()f x x在(0,)+∞上单调递减，即导函数2()()0xf x f x x -<'在(0,)+∞恒成立； 可得()()xf x f x '<；构造函数()()g x xf x =，则()()()2()0g x f x xf x f x ''=+<<， 所以，()()g x xf x =在(0,)+∞上单调递减；设函数()sin ,(0,1)h x x x x =-∈，则()cos 10h x x '=-<，即()h x 在(0,1)为单调递减，所以(0.1)(0)0h h <=,即sin 0.10.1<； 设函数()tan ,(0,1)x x x x ϕ=-∈，则221()1tan 0cos x x xϕ'=-=-<， 即()ϕx 在(0,1)为单调递减，所以(0.1)(0)0ϕϕ=<，即0.1tan 0.1<； 综上可知，sin0.10.1tan0.1<<，(sin 0.1)(0.1)(tan 0.1)g g g >> 即(0.1)(sin 0.1)sin 0.10.1(0.1)(tan 0.1)tan 0.110f f f f =>> 即得a b c >>. 故选：A.11．在四面体ABCD 中，,AB AC AB BD ⊥⊥，异面直线AC 与BD 所成的角为30︒，二面角C AB D--为锐二面角，4,5,3AB AC BD ===，则四面体ABCD 的体积为（ ） A ．234153- B ．3C ．5D ．10【答案】C【分析】根据题意，如图，将四面体放在长方体中，为三棱锥D ABC -，过点D 作DE BE ⊥于E ，则DE ⊥平面ABC ，结合二面角和异面直线所成的角的定义可得30DBE ︒∠=，求出DE ，利用三棱锥的体积公式计算即可.【详解】如图，在长方体中，4,5,3AB AC BD ===， 过点D 作DE BE ⊥于E ，则DE ⊥平面ABC ， 所以DBE ∠为二面角C AB D --的所成角，为锐角，DBE ∠为异面直线AC 与BD 的所成角，所以30DBE ︒∠=，所以1322DE BD ==. 由题意知，该四面体ABCD 为三棱锥D ABC -， 由1102ABCSAC AB =⋅=， 所以该三棱锥D ABC -的体积为113105332D ABC ABCV SDE -=⋅=⨯⨯=. 故选：C.12．将曲线221:1(0)169x y C x +=≤和曲线222:1(0)49x y C x +=>合成曲线E ．斜率为k 的直线l 与E 交于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，则下列判断错误的是（ ） A ．曲线E 所围成图形的面积小于36 B ．曲线E 与其对称轴仅有两个交点 C ．存在k ，使得点P 的轨迹总在某个椭圆上 D ．存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上 【答案】D【分析】画出曲线表示的图形，分析AB 选项；选项C ，分析当0k =时，设()()1122,,,A x y B x y ，且12x x <，()00,P x y ，然后根据题意分析点P 的轨迹总在某个椭圆上即可；选项D ，结合C 的部分条件，加上中点公式，以及差点法，若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上，则0000(R)y k x k -∈为常数，化简分析即可解决问题. 【详解】选项A ：如图，曲线E 所围成图形在正方形PQGH 内部，由正方形PQGH 的面积为6636⨯=，所以曲线E 所围成图形的面积小于36，故A 正确； 由A 中图形可知，曲线E 关于x 轴对称，所以曲线E 与其对称轴仅有两个交点，故B 正确； 选项C ：设()()1122,,,A x y B x y ，且12x x <，()00,P x y 1212022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 当0k =时，12120,x x y y <<=221122221169149x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减的：22112202164x x x x -=⇒=- 所以222200200122222x x x x x x y y y y y -+⎧=-==-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪==⎩， 又2222149x y +=，所以()22220000114992y y x x -+=⇔+= 故存在0k =，使得点P 的轨迹总在某个椭圆上，C 正确选项D ： 由()00,P x y ，1212022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，由题意若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上，则221122221169149x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：2222121201649x x y y --+=即()()2212121201649y y y y x x --++=， 又12012122y y y y y k x x +=⎧⎪-⎨=⎪-⎩，所以()2201212201649ky x x x x --+=， 即()222101294162x x y k x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-， 又1202x x x +=， 所以若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上， 则0000(R)y k x k -∈为常数，即()222112012941622x x x x k k x x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭--()()()()2221012121212941622x x kk x x x x k x x k x x ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=--- ()()2222210121294162x x kk x x k x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=- ()22020112994162kk x kk x k x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-为定值， 因为分子分母12,x x 次数不同，故若上式为定值，则22020*******kk x kk x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即00990416kk kk +=+=，无解，假设不成立， 所以不存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上 所以选项D 不正确； 故选：D.二、填空题13．已知向量,a b 满足||3,||1,||2a b a b ==+=，则a b +与a b -的夹角为_______________． 【答案】π3【分析】根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】()222||242431240a b a ba b a b a b a b +=⇒+=⇒++⋅=⇒++⋅=⇒⋅=，()2222312a b a b a b a b -=-=+-⋅=+-，设a b +与a b -的夹角为([0,π])θθ∈，()()22311cos 2242a b a b ab a b a bθ⋅-+--==⨯⋅-==+， 因为[0,π]θ∈， 所以π3θ=， 故答案为：π314．直线l 过点(2,1)且与圆22:(1)9C x y ++=相切，则直线l 的方程为______________． 【答案】2x =或43110x y +-=.【分析】先求出圆的圆心和半径，然后分直线l 的斜率不存在和存在两种情况求解即可. 【详解】由22(1)9x y ++=，得圆心为(1,0)C -，半径3r =，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，此时直线恰好与圆相切，符合题意， 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(2)y k x -=-，则3=，22(13)9(1)k k -=+，解得43k =-，所以直线l 的方程为41(2)3y x -=--，即43110x y +-=，综上，直线l 的方程为2x =或43110x y +-=， 故答案为：2x =或43110x y +-=.15．如图，直线x t =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ，B 两点，D 为C 上异于A ，B 的一点，若AD BD ⊥，则点D 到直线x t =的距离与p 的比值为__________．【答案】2【分析】根据题意得到,A B 的坐标，设(002D x px ，由题意可得1AD BD k k ⋅=-，列出方程即可得到结果.【详解】因为直线x t =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ，B 两点，不妨设((2,,2A t pt B t pt 且D 为C 上异于A ，B 的一点，由抛物线的对称性，不妨设(002D x px则00002222AD BD px pt px ptk k -+由AD BD ⊥000022221px pt px pt-+=-化简可得()()02021p x t x t -=--，因为0x t ≠，则02p t x =-即点D 到直线x t =的距离与p 的比值为02t x p-= 故答案为:216．若12,x x 是函数()()21e 12xf x ax a =-+∈R 的两个极值点，且212x x ≥，则实数a 的取值范围为_____________． 【答案】2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据极值点定义可将问题转化为y a =与()e xg x x=有两个不同交点12,x x ；利用导数可求得()g x 单调性，并由此得到()g x 的图象；采用数形结合的方式可确定1201x x <<<且e a >；假设212x x t ==，由()()12g x g x =可确定2ln 2t =，进而得到()1g x 的值，结合图象可确定a 的取值范围. 【详解】()e x f x ax '=-，12,x x 是()f x 的两个极值点，12,x x ∴是e 0x ax -=的两根，又当0x =时，方程不成立，y a ∴=与e xy x=有两个不同的交点；令()e x g x x =，则()()21e x x g x x -'=， ∴当()(),00,1x ∈-∞时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>；()g x ∴在()(),0,0,1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则()g x 图象如下图所示，由图象可知：1201x x <<<且e a >； 212x x ≥，212x x ∴≥； 当212x x =时，不妨令212x x t ==，则2e e 2ttt t =，即2e 2e t t =，2e 2t∴=，解得：2ln 2t =，∴当212x x =时，()()2ln 212e 22ln 2ln 2g x g x ===， ∴若212x x ≥，则2ln 2a ≥，即a 的取值范围为2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故答案为：2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点求解参数范围问题，可将问题转化为已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，解决此类问题的常用的方法有： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin ()sin a A c C b c B -=-． (1)求A 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，求bc 的取值范围．【答案】(1)π3(2)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据正弦定理可得到222a b c bc =+-，进而得到2cos 1A =，即可求出A 的大小； （2）根据三角形内角和为π，且ABC 为锐角三角形，从而可得出C 的取值范围，再将bc 转化为关于tan C 的函数即可求解．【详解】（1）由sin sin ()sin a A c C b c B -=-，则根据正弦定理有22()a c b c b -=-，即222a b c bc =+-， 又由余弦定理有2222cos a b c bc A =+-，得2cos 1A =， 所以在ABC 中，得π3A =；（2）由ABC 为锐角三角形，且π3A =，则有π022ππ032C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，得ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，即(1tan C ∈，所以根据正弦定理有π1sin sin sin 111322,2sin sin sin tan 22C C Cb Bc C C C C ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭====+∈ ⎪⎝⎭． 18．已知直线12:20,:20()l x ay l ax y a a -+=+-=∈R ，若1l 与2l 的交点P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)若圆22:220E x y mx ny +--=的圆心在直线y =上，且与曲线C 相交所得公共弦MN的长为m ，n 的值． 【答案】(1)224(2)x y x +=≠(2)1,m n =1,m n =-=【分析】（1）由12,l l 判断出点P 的轨迹为以AB 为直径的圆(除去点(2,0)B )，进而求其方程; （2）由圆E 的圆心的位置得m ,n 的关系,两个圆方程相减得MN 的方程,由弦长求m ,n . 【详解】（1）当0,2y x ==-故直线1:20l x ay -+=过定点(2,0)A -，直线2:l (2)0a x y -+=，当2,0x y ==，故其过定点(2,0)B ， 又110a a ⨯-⨯=,所以12l l ⊥,所以点P 的轨迹为以AB 为直径的圆， 当0a =时，两直线交点为()2,0A -，但交点P 无法与点B 重合， 故需除去点()2,0B其圆心为原点O ,半径为2r =,所以曲线C 的方程为224(2)x y x +=≠； （2）由(1)知,曲线C 的方程为224(2)x y x +=≠，又圆22:220E x y mx ny +--=的圆心为(,)E m n 在直线y =上,所以n =,0m ≠，两圆方程作差得两个圆的公共弦MN 的方程为224mx ny +=,即20mx -=,因为两个圆的公共弦MN 的长为原点O 到直线MN 的距离为1||d m ==,所以=解得1m =或1m =-,所以1,m n =1,mn =-=19．在正项数列{}n a 中，11a =，2n ∀≥，12113232n n a a a a n --+++=-． (1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足11b a =，221b a =-，且21ln ln 2ln n n n b b b +++=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：221n n n T T T ++⋅<．【答案】(1)21n a n =- (2)证明见解析【分析】（1）由12113232n n a a a a n --+++=-可得到12121n n a n a n ++=-，根据累乘法求通项的方法，即可求出{}n a 的通项公式；（2）由21ln ln 2ln n n n b b b +++=可知221n n n b b b ++⋅=，可判断数列{}n b 为等比数列，根据等比数列的前n项和公式求出n T ，2210n n n T T T ++⋅<-即可求证. 【详解】（1）解：已知1211,23232n n a a a a n n --+++=≥-①， 则212312a a a -=⇒=，且11211,323212n n n a a a aa n n -+-++++=--②， -②①，得1212n n n a a an +-=-，整理得121,221n na n n a n ++=≥-， ∴3253a a =，3475a a =，，212325n n a n a n ---=-12123n n a n a n --=-，， 由累乘法可得()`2212133n n a n a n n a -=-=⇒≥， 又11a =，23a =，符合上式， 所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.（2）由（1）可知111b a ==，221312b a =-=-=，因为21ln ln 2ln n n n b b b +++=，所以221n n n b b b ++⋅=，则数列{}n b 是首项为1，公比为212b b =的等比数列， ∴()1122112n n n T -==--，()()()222121212121n n n n n n T T T ++++∴⋅---=⋅--()2222222221221n n n n n ++++=--+--+20n =-<，即221n n nT T T ++⋅<，得证.20．在边长为2的正方形ABCD 外作等边BCQ △（如图1），将BCQ △沿BC 折起到PBC 处，使得PD =E 为AB 的中点（如图2）．(1)求证：平面PDE ⊥ 平面PCD ； (2)求二面角E PD A --的正弦值． 【答案】(1)答案见解析 7【分析】取BC 中点为O ，建立以O 为原点的空间直角坐标系.（1）设平面PDE 法向量为m ，平面PCD 法向量为n ， 利用0m n ⋅=可证面面垂直.（2）求得平面P AD 的法向量t ，后用向量法可求得二面角E PD A --的余弦值，后可求得正弦值. 【详解】（1）因四边形ABCD 为正方形，则DC CB ⊥.又在三角形PCD 中，2PC CD ==，22PD =222PC CD PD +=， 则DC PC ⊥.又CB ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，∩CBPC C =， 则DC ⊥平面PCD .取BC 中点为O ，AD 中点为F ，连接PO ，OF . 则//,,OF CD PO BC OF BC ⊥⊥.又PO ⊂平面PCD ，则DC PO ⊥， 得FO PO ⊥.故如图建立以O 为原点，以射线OB 方向为x 轴正方向，射线FO 方向为y 轴正方向， 射线OP 方向为z 轴正方向的空间直角坐标系.则()()()()()000120100100120,,，,,，,,，,,，,,O A B C D ----， (()003110,，,,P E -.得()()(103123113,,，,,，,,PC PD PE =--=---=--， 设平面PDE 法向量为()111,,m x y z =，则11111123030PD m x y z PE m x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取(123,,m =-.设PCD 法向量为()222,,x n y z =，则2222223030PD n x y z PC n x z ⎧⋅=---=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取()3,0,1n =-. 因330m n ⋅=-+=，则平面PDE ⊥ 平面PCD .（2）由（1）分析可知，平面PDE 法向量为()123,,m =-. 又()123,,PA =--，设平面P AD 的法向量()333,,t x y z =， 则333332230230PD t x y z PA n x y z ⎧⋅=---=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取()032,,t =-. 则434342714334227cos ,m t m t m t⋅====++⨯+⨯⋅，又由图可知二面角E PD A --平面角α为锐角，则427cos α=， 得二面角E PD A --的正弦值4271497sin α=-=.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为1(1,0)F -，其左顶点为A ，上顶点为B ，且1F 到直线AB 的距离为7||7OB （O 为坐标原点）．(1)求C 的方程；(2)若椭圆2222:(01)x y E a bλλλ+=>≠且，则称椭圆E 为椭圆C 的λ倍相似椭圆．已知椭圆E 是椭圆C的3倍相似椭圆，直线:l y kx m =+与椭圆C ，E 交于四点（依次为M ，N ，P ，Q ，如图），且2PQ NQ MQ +=，证明：点(,)T k m 在定曲线上． 【答案】(1)22143x y +=； (2)证明见解析.【分析】（1）由已知条件推导出2227(1)a b a +=-，221b a =-，由此能求出椭圆C 的方程． （2）分别联立直线与椭圆C 、椭圆E 的方程消元，可证明线段NP 、MQ 中点相同，然后结合2PQ NQ MQ +=可得3MQ PN =，由此可证明.【详解】（1）()(),0,0,A a B b -，∴直线AB 的方程为1x ya b+=-，即0bx ay ab -+=，1(1,0)F ∴-到直线AB 的距离为d ==， 2227(1)a b a ∴+=-，又221b a =-，解得2a =，b = ∴椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）椭圆C 的3倍相似椭圆E 的方程为221129x y +=， 设N ，P ，M ，Q 各点坐标依次为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，3(x ，3)y ，4(x ，4)y ， 将y kx m =+代入椭圆C 方程，得：222(34)84120k x kmx m +++-=， ∴222221(8)4(34)(412)48(43)0km k m k m ∆=-+-=+->，(*)122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+，12x x ∴-， 将y kx m =+代入椭圆E 的方程得222(34)84360k x kmx m +++-=，342834km x x k ∴+=-+，234243634m x x k -=+，34x x -1234x x x x ∴+=+，∴线段NP ，MQ 中点相同，MN PQ ∴=，由2PQ NQ MQ +=可得NM PN =，3P MQ N ∴=，所以3412||3||x x x x -=-，∴3=化简得221294k m +=，满足(*)式，∴2244193m k -=，即点(,)k m 在定曲线2244193y x -=上．22．已知()2ln =++f x x x a x （a ∈R ）．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若1a =，函数()()1g x x f x =+-，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，()()122112x g x x g x x x λ->-恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】(1)当0a ≥时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；当a<0时，()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. (2)15,ln 222⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦【分析】（1）先求出()f x 的导数()22x x af x x'++=，根据a 的取值范围进行分类讨论即可；（2）当120x x >，时，()()122112x g x x g x x x λ->-⇔()()21212111g x g x x x x x λ->-，去绝对值后，构造函数求解即可.【详解】（1）由已知，()2ln =++f x x x a x （a ∈R ）的定义域为()0,∞+，()2221a x x a f x x x x++'=++=，①当0a ≥时，0f x在区间()0,∞+上恒成立，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；②当0a <时，令()0f x '=，则220x x a ++=，180a ∆=->，解得10x =<（舍），20x >，∴当x ⎛∈ ⎝⎭时，220x x a ++<，∴()0f x '<， ∴()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，220x x a ++>，∴0f x ，∴()f x在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增， 综上所述，当0a ≥时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；当a<0时，()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. （2）当1a =时，()()221ln ln 1g x x x x x x x =+-++=--+，()0,x ∈+∞，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠， ()()122112x g x x g x x x λ->-等价于()()1221121212x g x x g x x x x x x x λ-->， 即()()21212111g x g x x x x x λ->-， 令()()g x h x x=，()0,x ∈+∞，则()()212111h x h x x x λ->-恒成立 ()()()()2222212ln 1ln 2x x x x xg x g x x x x h x x x x ⎛⎫-----+ ⎪'---⎝⎭'===， 令()2ln 2F x x x =--，()0,x ∈+∞，则()21122x F x x x x-'=-=，令()0F x '=，解得x =x ⎛∈ ⎝⎭时，()0F x '>，()Fx 在区间⎛ ⎝⎭单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0F x '<，()F x 在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减，∴当()0,x ∈+∞时，()Fx的最大值为1152ln 20222F =--=--<⎝⎭， ∴当()0,x ∈+∞时，()215ln 2ln 2022F x x x =--≤--<，即()22ln 20x x h x x --'=<，∴()()g x h x x=在区间()0,∞+上单调递减，不妨设12x x <，∴1x ∀，2(0,)x ∈+∞，有()()12h x h x >，又∵1y x=在区间()0,∞+上单调递减， 1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，有1211x x >， ∴()()212111h x h x x x λ->-等价于()()121211h x x x x h λ⎛⎫->- ⎪⎝⎭， ∴()()2121h x x x h x λλ->-，设()()G x h x xλ=-，()0,x ∈+∞，则1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，()()2121h x x x h x λλ->-等价于()()12G x G x >，即()G x 在(0,)+∞上单调递减，∴()()20G x h x xλ''=+≤，∴()2x h x λ'≤-，∴()222ln 2x x x F x xλ--≤-⋅=-， ∵当()0,x ∈+∞时，()F x的最大值为15ln 222F =--⎝⎭， ∴()F x -的最小值为15ln 222+，∴15ln 222λ≤+，综上所述，满足题意的实数λ的取值范围是15,ln 222⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦.【点睛】本题第（2）问解题的关键点有两个，一个是将()()122112x g x x g x x x λ->-等价转换为()()21212111g x g x x x x x λ->-，便于构造函数；另一个是通过构造函数()()g x h x x =，借助导数判断出函数()h x 的单调性去绝对值.。

2022届山东省高三上学期12月名校大联考数学试题(解析版)

2022届山东省高三上学期12月名校大联考数学试题(解析版)

2022届山东省高三上学期12月名校大联考数学试题一、单选题1．设集合{}2230A x x x =--≤，{}15B x x =≤<，则A B ⋃=（ ）A ．[)1,2-B ．[]1,3-C ．[)1,5-D ．[]1,3【答案】C【分析】首先求出集合A ，然后根据并集的概念即可求出答案. 【详解】因为2230x x --≤，所以()()310x x -+≤，所以13x -≤≤， 因为{}13A x x =-≤≤，又因为{}15B x x =≤<，所以{}|15A B x x ⋃=-≤<. 故选：C. 2．若复数1i11i+=+-z ，则z 的虚部为（ ） A ．i B ．i -C ．1D ．1-【答案】D【分析】根据题意先求出z ，进而得到z ，最后求出它的虚部.【详解】由题意，()21i 1i 111i 1i 2z ++=+=+=+-，所以1i z =-，它的虚部为-1.故选：D.3．若0.235log 2,log 2,a b c e ===，则,,a b c 为（ ） A ．b a c << B ．c a b << C ．b c a << D ．a b c <<【答案】A【分析】根据对数换底公式，结合指数函数与对数函数的单调性直接判断. 【详解】由对数函数的单调性可知3330log 1log 2log 31<<<=，即01a <<，且21log 3a=， 5550log 2log 2log 51=<<=，且21log 5b=， 又22log 3log 5<，即11a b<，所以a b >， 又根据指数函数的单调性可得0.201c e e =>=， 所以b a c <<， 故选：A.4．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．当盆中积水深九寸（注：1尺=10寸）时，平地降雨量是（ ） A ．9寸 B ．7寸 C ．8寸 D ．3寸【答案】D【分析】由题意求得盆中水的体积，再除以盆口面积即得．【详解】由已知天池盆上底面半径是14寸，下底面半径上6寸，高为18寸，由积水深9寸知水面半径为1(146)102⨯+=寸，则盆中水体积为()22196106105883ππ⨯⨯++⨯=（立方寸）所以平地降雨量为2588314ππ=⨯（寸），故选：D ．【点睛】本题考查圆台的体积计算公式，正确理解 题意是解题关键．本题属于基础题． 5．如下图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（ ）A ．2|4y x x =-B ．24y x x =-C ．22||y x x =-+D ．22y x x -+【答案】C【分析】根据心形”上部分的函数图象关于y 轴对称，排除部分选项，再根据函数的最大值判断.【详解】由函数图象知：“心形”上部分的函数图象关于y 轴对称，而24y x x =-y||y x =0，0），（-2，0），（2，0），当02x <<时，2222x y +==，当且仅当x =x 要求；y =0，0），（-2，0），（2，0），当02x <<时，1y ，当1x =时，函数取得最大值1，符合要求；故选：C6．已知函数132,1(),1x e x f x x x x -⎧<=⎨+⎩则f [f (x )]<2的解集为（ ）A ．(1－ln 2，＋∞)B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2，1)D ．(1，1＋ln 2)【答案】B【分析】根据题意，由分段函数的解析式分段分析函数的单调性，综合可得函数()f x 在R 上为增函数，设()t f x =，若(())2f f x <，分析可得1t <，即()1f x <，结合函数的单调性分析可得121x e -<，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，函数132,1(),1x e x f x x x x -⎧<=⎨+⎩，当1x <时，1()2x f x e -=，为增函数，且()f x f <（1）2=， 当1x 时，3()f x x x =+，为增函数，且()f x f （1）2=， 则函数()f x 在R 上为增函数， 设()t f x =若(())2f f x <，即()2f t <，则有1t <， 即()1f x <，则有121x e -<，解可得12x ln <-， 则(())2f f x <的解集为(,12)ln -∞-； 故选：B ．【点睛】本题考查分段函数及运用，涉及不等式的解法，注意分析函数()f x 的单调性． 7．已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，,A B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，若20BP AF ⋅=，则椭圆C 的离心率的值为（ ）A B ．13C D ．12【答案】A【分析】求得,,A B P 的坐标，利用20BP AF ⋅=列方程，化简求得椭圆C 的离心率. 【详解】依题意可知AB x ⊥轴，且AB 过左焦点1F ，不妨设222,,,,0,2b b b A c B c P a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于20BP AF ⋅=，所以()222222242224333,2,20222a c a c b b b c c c a a a a --⎛⎫⎛⎫⋅-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()22222430a c a c --=，422431030c a c a -+=，()()2222330ca c a --=，223c a =或223c a =（舍去），所以221,3c e a ==故选：A8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()31x f x =-，则使不等式()839x x f e e --<成立的x 的取值范围是（ ）A ．(ln3,)+∞B ．(0,ln 3)C ．(),ln3-∞D ．()1,3-【答案】C【分析】由奇函数性质确定函数在R 上的单调性，然后利用函数单调性化简不等式，再解指数不等式．【详解】当0x <时，()31x f x =-是增函数且()0f x <，又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =满足()31xf x =-，所以，函数()y f x =在R 上是连续函数，所以函数()f x 在R 上是增函数，8(2)9f -=-，∴8(2)(2)9f f =--=()83(2)9x x f e e f --<=，∴32x x e e --<，即2230x x e e --<，(3)(1)0x x e e -+<，又10x e +>，∴3<x e ，ln3x <，即原不等式的解集为(,ln3)-∞．故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解指数不等式．利用奇偶性与单调性可化函数不等式为一般的无函数号“f ”的不等式，在解指数不等式时要注意指数函数的值域，即0x e >． 二、多选题9．下列说法中错误的是（ ）A ．已知(1,3)a =-，(2,6)b =-，则a 与b 可以作为平面内所有向量的一组基底B ．直线l 的方向向量为(1,1,2)a =-，直线m 的方向向量为1(2,1,)2=-b ， 则l 与m 垂直C ．若两非零向量a ，b 满足||||a b a b +=-，则a b ⊥D ．平面直角坐标系中，(1,1)A ，(4,2)B ，(5,0)C ，则ABC 为锐角三角形 【答案】AD【分析】A. 根据2a b =-判断；B.由0a b ⋅=判断；C.根据||||a b a b +=-，由()()22a b a b +=-判断；D. 由10BA BC ⋅=-<判断.【详解】A. 因为2a b =-，所以a 与b 不可以作为平面内所有向量的一组基底，故错误； B.因为直线l 的方向向量为(1,1,2)a =-，直线m 的方向向量为1(2,1,)2=-b ，且0a b ⋅=，所以l 与m 垂直，故正确；C.因为两非零向量a ，b 满足||||a b a b +=-，所以()()22a b a b +=-，即 0a b ⋅=，则a b ⊥，故正确；D. 因为(1,1)A ，(4,2)B ，(5,0)C ，所以()()3,1,1,2BA BC =--=-，则10BA BC ⋅=-<，所以ABC ∠为钝角，则ABC 为钝角三角形，故错误；故答案为：AD10．若a ，b 为正实数，则a b >的充要条件为（ ） A ．11a b> B ．ln ln a b > C ．ln ln b a a b < D ．e e -<-a b a b【答案】BD【分析】根据不等性质及对数函数的单调性直接判断A 、B 选项，构造函数，求导判断单调性可判断C 、D 选项. 【详解】A 选项：由0a b >>，得11a b<，A 选项错误； B 选项：由函数ln y x =在()0,+∞上单调递增，所以ln ln a b >正确，B 选项正确；C 选项：设函数()ln x f x x=，()0,x ∞∈+，()21ln xf x x -'=，令0fx ，得x e =，所以函数()f x 在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减，所以f a 与f b 的大小关系无法判断，即ln ln b a a b <不一定成立，C 选项错误；D 选项：设函数()xg x e x =-，()0,x ∞∈+，()1x g x e '=-，()0,x ∞∈+时0g x恒成立，即()g x 在()0,+∞上单调递增，所以f af b ，即a b e a e b ->-，所以e e -<-a b a b 成立，D 选项正确； 故选：BD.11．设函数()cos (0)f x x x ωωω=->，已知()f x 在[0,]π上有且仅有3个零点，则下列结论正确的是（ ）A ．在(0,)π上存在12,x x ，满足()()124f x f x -=B ．()f x 在(0,)π上有2个最大值点C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．ω的取值范围为1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】AD【分析】先将函数化简变形，然后根据()f x 在区间[0,]π上有且仅有3个零点，画出大致图象，可得区间长度π介于3[,)2T OA T OA ++，再用ω表示周期，得ω的范围【详解】()cos 2sin (0)6f x x x x πωωωω⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭，则函数()f x 的大致图象如图所示，当0x =时，2sin 16y π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为0>ω，所以0x >时，()f x 在y 轴右侧第一个最大值区间内单调递增， 因为()f x 在[0,]π上有且仅有3个零点，所以π的位置在C 与D 之间（包括C ，不包括D ），令()2sin 06f x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则,6x k k Z πωπ-=∈，得1,6x k k Z ππω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以y 轴右侧第一个零点的横坐标为6πω，周期2T πω=，所以3662T T πππωω+≤<+，即232662πππππωωωω+≤<+⋅，解得131966ω≤<，所以D 正确，在区间[0,]π上，函数()f x 达到最大值和最小值，所以在(0,)π上存在12,x x ，满足()()124f x f x -=，所以A 正确，由图象可得，()f x 在(0,)π上不一定有2个最大值点，所以B 错误， 因为ω的最小值为136，所以02x π<<时，11,661222x πππππω⎛⎫-<-<∉- ⎪⎝⎭，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调递增，所以C 错误， 故选：AD12．如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成△1A DE ．若M 为线段1A C 的中点，则在ADE 翻折过程中，下面四个命题中正确的是（ ）A ．BM 是定值B ．点M 运动轨迹在某个圆周上C ．存在某个位置，使1DE A C ⊥D ．1A 不在底面BCD 上时，则//MB 平面1A DE【答案】ABD【分析】取CD 中点F ，利用面面平行的性质判断D 选项，再利用余弦定理判断AB 选项，利用投影的性质可判断C 选项.【详解】如图所示，取CD 中点F ，连接MF ，BF ，AC ， 则1//MF A D ，//BF DE ，∴平面//BMF 平面1A DE ，//BM ∴平面1A DE ，D 选项正确；由1BFM A DE ∠=∠，11=2MF A D =定值，BF DE ==定值， 由余弦定理2222cos MB MF FB MF FB MQB =+-⋅⋅∠，∴BM 为定值，A 选项正确；M ∴是以点B 为圆心，BM 为半径的圆周上，B 选项正确，1A C 在平面ABCD 中的射影为AC ，且AC 与DE 不垂直，所以不存在某个位置，使1DE A C ⊥，C 选项错误； 故选：ABD. 三、填空题13．已知sin 3cos 36ππθθ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2θ=_________【分析】利用三角恒等变换化简求值.【详解】由sin 3cos 36ππθθ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得sin cos cos sin 3cos cos sin sin 3366ππππθθθθ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即sin θθ=-，tan θ=-所以22tan tan 21tan θθθ==-，14．已知向量a ，b 满足||1a =，||2b =，()a a b ⊥-，则a 与b 的夹角是______． 【答案】4π 【分析】由()a a b ⊥-可得a b ⋅，再利用夹角公式求得夹角. 【详解】由()a a b ⊥-，得2()0a a b a a b ⋅-=-⋅=， 所以21a b a ⋅==，所以1cos ,12a b a b a b⋅===⨯⋅ 所以,4a b π=，故答案为：4π. 15．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 【答案】y =sin x （答案不唯一）【详解】分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f （x ）>f （0）且（0，2］上是减函数.详解：令0,0()4,(0,2]x f x x x =⎧=⎨-∈⎩，则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f（x ）在［0，2］上不是增函数.又如，令f （x ）=sin x ，则f （0）=0，f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.点睛：要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.通常举分段函数. 四、双空题16．复印纸幅面规格采用A 系列，其幅面规格为：①1239,,,,A A A A 所有规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系都为:x y =②将1A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为2A 规格；2A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为3A 规格；；如此对开至9A 规格，现有1239,,,,A A A A 纸各一张，若5A 纸的幅宽为2dm ，则1A 纸的面积为______2dm ，这9张纸的面积之和等于______2dm ．【答案】【分析】由题设知1239,,,,A A A A 的等比数列，设1A 长宽,)a结合已知即可求a ，进而求1A 纸的面积；它们的面积是首项为12的等比数列，利用等比数列前n 项和公式求和即可.【详解】由题意，若1A 长宽,)a ，2A 长宽(a ，3A 长宽)2a ，…∴4(22a =，可得8a =，则1A 长宽，故其面积为2dm .由上知：9张纸的面积是首项为12的等比数列，∴9张纸的面积之和等于91)2112-=-2dm .故答案为：五、解答题17．下面问题的条件①3BA =，②BC =③BD =④60A ∠=︒有多余，现请你在①3BA =，④60A ∠=︒中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题． 已知ABC 中，D 是AC 边的中点，你删去的条件是_____请写出用剩余条件解答本题的过程． (1)求AC 的长；(2)BAC ∠的平分线交BC 于点E ，求AE 的长．注：如果选择删去条件①和条件④分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)条件选择见解析，2AC =；(2)AE =【分析】（1）删①：设AD CD x ==，BA y =，在ABD △和ABC 中，分别应用余弦定理列出方程，通过解方程即可求出AC 的长； 删④：设AD CD x ==，在ABD △和CBD 中，分别应用余弦定理，求出cos ADB ∠和cos CDB ∠的值，根据cos cos ADB CDB ∠=-∠即可求出AC 的长；（2）根据ABEACEABCS SS+=，利用三角形的面积公式即可求出AE 的长．(1)删①：设AD CD x ==，BA y =，在ABD △中，由余弦定理，得227x y xy +-=， 在ABC 中，由余弦定理，得22427x y xy +-=， 联立，解得1x =，3y =，所以3BA =，2AC =； 删④：设AD CD x ==，在ABD △中，由余弦定理，得22cos ADB ∠==在CBD中，由余弦定理，得2cos CDB ∠==∵cos cos ADB CDB ∠=-∠，2=1x =，所以2AC =； (2)由（1）知删①和删④都能得出2AC =，3BA =， 60BAC ∠=︒， 因为ABEACEABCSSS+=，所以1113sin 302sin 3032sin 60222︒︒︒⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯AE AE所以AE =18．已知数列{}n a 满足11a =-，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S n n a +=+，(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2co π2s n nn b a =，求数列{}n b 的前100项和100T ． 【答案】(1)23n a n =- (2)19800【分析】（1）由题意得出()211(1)(1)1++++=++n n S n n a ，然后与原式结合，两式相减并化简求出1n n a a +-，最后根据等差数列的定义求得答案；（2）结合（1），分别讨论()21n k k *=-∈N ，()4*=∈n k k N 和()42*=-∈n k k N 三种情况，分别求出n b ，进而求出100T . (1)因为()21n n S n n a +=+，所以()211(1)(1)1++++=++n n S n n a ，两式相减得12n n na na n +-=，所以12n n a a +-=．又11a =-，所以数列{}n a 是首项为1-，公差为2的等差数列，所以12(1)23n a n n =-+-=-.(2)由2cos2n n n b a π=得，当()21n k k *=-∈N 时，0n b =， 当()4*=∈n k k N 时，2n n b a =， 当()42*=-∈n k k N 时，2n n b a =-， 所以()()()222222100428610098T a a a a a a =-+-++-()()()()()()424286861009810098a a a a a a a a a a a a =-++-+++-+()()21002461004450100(1197)198002a a a a a a +=++++=⨯⨯=⨯+=.19．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体．“刍薨”字面意思为茅草屋顶，图1是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图2，屋顶五面体为刍薨”，其中前后两坡屋面ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形，点F 在平面ABCD 和BC 上射影分别为H ，M ，已知5HM =m ，10BC =m ，梯形ABFE 的面积是FBC 面积的2.2倍．设π04FMH θθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭．（1）求屋顶面积S 关于θ的函数关系式．（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为()0k k >，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k ．现欲造一栋总高度为6m 的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？ 【答案】（1）160π0cos 4S θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭；（2）当θ为π6时，该别墅总造价最低． 【分析】（1）先求得FM ,进而求得屋顶面积S 关于θ的函数关系式. （2）首先求得别墅总造价，利用导数求得当π6θ=时，总造价最低. 【详解】（1）由题意，知FH ⊥平面ABCD ， 因为HM ⊂平面ABCD ，所以FH HM ⊥． 在Rt FHM △中，5HM =，FMH θ∠=，所以5cos FM θ=． 所以FBC 的面积为1525102cos cos θθ⨯⨯=．所以屋顶面积25251602222 2.2cos cos cos FBC BFE S SS θθθ=+=⨯+⨯⨯=梯形A ． 所以S 关于θ的函数关系式为160π0cos 4S θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭．（2）在Rt FHM △，5tan FH θ=，所以下部主体高度为65tan h θ=-． 所以别墅总造价为()1601665tan 16cos y S k h k k k θθ=⋅+⋅=⋅+-⋅ 16080sin 2sin 968096cos cos cos k k k k k θθθθθ-=-+=⋅+．设()2sin cos f θθθ-=，π04θ<<，则()22sin 1cos f θθθ-'=，令()0f θ'=，得1sin 2θ=，又π04θ<<，所以π6θ=． ()f θ'与()f θ随θ的变化情况如下表：θπ0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭π6ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()f θ'-+()f θ3所以当π6θ=时，()f θ在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值． 所以当θ为π6时，该别墅总造价最低．20．如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，将正方形ABCD 沿EF 折成如图2所示的二面角，且二面角的大小为60︒，点M 在线段AB 上（包含端点）运动，连接AD ．(1)若M 为AB 的中点，直线MF 与平面ADE 的交点为O ，试确定点O 的位置，并证明直线//OD 平面EMC ；(2)是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60︒？若存在，确定出M 点位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)点O 在EA 的延长线上且与点A 间的距离为2，证明见解析(2)存在点M ，为线段AB 上靠近A 或B 的一个四等分点，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60︒【分析】（1）通过构造中位线的方法，结合线面平行的判定定理来确定O 点的位置并证得//OD 平面EMC .（2）建立空间直角坐标系，利用向量法，结合直线DE 与平面EMC 所成的角为60︒列方程，由此求得M 点的位置. (1)因为直线MF ⊂平面ABFE ，故点O 在平面ABFE 内，也在平面ADE 内，所以点O 在平面ABFE 与平面ADE 的交线（即直线AE ）上，延长,EA FM 交于点O ，连接OD ，如图所示．因为∥AO BF ，M 为AB 的中点，所以OAM FBM ≌，所以OM MF =，即M 是OF 的中点，2AO BF ==，故点O 在EA 的延长线上且与点A 间的距离为2，连接DF 交EC 于点N ，因为四边形CDEF 为矩形，所以N 是DF 的中点．在矩形ABFE 中，点M 是AB 的中点，易证≌AOM BFM ，所以=OM FM ，则M 是OF 的中点，连接MN ，则MN 为DOF △的中位线，所以∥MN OD ， 又MN ⊂平面EMC ，OD ⊄平面EMC ，所以直线//OD 平面EMC .(2)由已知可得EF AE ⊥，EF DE ⊥，又EA DE E =， 所以EF ⊥平面ADE ，且60DEA ∠=︒所以平面ABFE ⊥平面ADE ，因为60DEA ∠=︒，DE AE =，所以ADE 为等边三角形，取AE 的中点H ，连接DH ，则DH AE ⊥，所以DH ⊥平面ABFE过点H 作直线∥HT EF ，以为坐标原点，以HA ，HT ，HD 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，(1,0,0),3),(0,3),(1,4,0)--E D C F ，所以(1,0,3),(1,3)ED EC ==设(1,,0)(04)M t t ≤≤，则(2,,0)EM t =设平面EMC 的法向量为(,,)m x y z =，00m EM m EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20430x ty x y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取2y =-，则8,3t x t z -==，所以平面EMC 的一个法向量为8,2,3t m t -⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 要使直线DE 与平面EMC 所成的角为60︒，则2283cos ,sin 6028243ED m t t <>==︒=-⎛⎫++ ⎪⎝⎭，即22332419t t =-+，整理得2430t t -+=，解得1t =或3t = 所以存在点M ，即为线段AB 上靠近A 或B 的一个四等分点，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60︒.21．2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如图所示，A 、B 两个信号源相距10米，O 是AB 的中点，过O 点的直线l 与直线AB 的夹角为45，机器猫在直线l 上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A 点的信号比接收到B 点的信号晚8v 秒（注：信号每秒传播0v 米）.在时刻0t 时，测得机器鼠距离O 点为4米.（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻0t 时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l 不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？ 【答案】（1）(40)，；（2）没有.【分析】（1）设机器鼠位置为点P ，由题意可得8PA PB v v v -=，即810PA PB -=<，可得P 的轨迹为以A 、B 为焦点的双曲线的右支，分析,,a b c 取值，即得解双曲线的方程，由||4OP =可得P 点坐标.（2）转化机器鼠与直线l 最近的距离为与直线l 平行的直线1l 与双曲线相切时，平行线间的距离，设1l 的方程为y x m =+，与双曲线联立，求出m 的值，再利用平行线间的距离公式，即得解【详解】（1）设机器鼠位置为点P ，()50A -，、(50)B ，， 由题意可得8PA PB v v v -=，即810PA PB -=<， 可得P 的轨迹为以A 、B 为焦点的双曲线的右支，设其方程为C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），则5c =、4a =、3b =，则P 的轨迹方程为C ：221169x y -=（4x ≥），时刻0t 时，||4OP =，即()40，P ，可得机器鼠所在位置的坐标为(40)，； （2）由题意，直线:l y x =，设直线l 的平行线1l 的方程为y x m =+，联立229161444y x mx y x =+⎧⎨-=≥⎩，，可得：22732161440x mx m +++=， 22(32)47(16144)0m m ∆=-⨯⨯+=，解得27m =，又04x ≥，∴032247mx =-≥，∴m = 即1l：y x =l 最近的点， 此时l 与1l的距离为d ==，即机器鼠距离l1.5>，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险.22．已知()2123ln 2f x x x x =--，()321ln 6g x x x a x =+-． (1)求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；(2)已知()31()6F x g x x =-的两个零点为1212,()x x x x <，且0x 为()F x 的唯一极值点．①求实数a 的取值范围； ②求证：12034x x x +>． 【答案】(1)8250x y +-=; (2)①2e a >;②证明见解析. 【分析】（1）求导3()2f x x x-'=-，进而得到(1),(1)f f '，写出切线方程； （2）①证明：由0a ≤，知函数2()ln F x x a x =-在其定义域内为单调函数，不可能有两个零点，得到0a >，然后利用导数求得函数的极值点0x ，由()00F x <求解；②根据120x x <<>21(1)x t t x =>，由()()12g x g x =，得到212ln 1a t x t =-，再将证12034x x x +>，转化为证22(31)ln 880t t t +-+>，令22()(31)ln 88p t t t t =+-+，用导数法证明即可. (1)解：因为21()23ln 2f x x x x =--， 所以定义域为(0,)+∞所以33()2,(1)4,(1)2=--=-=-''f x x f f x ，所以切线方程为8250x y +-=； (2)①证明：2()ln F x x a x =-，若0a ≤，则函数2()ln F x x a x =-在其定义域内为单调函数，不可能有两个零点， 所以0a >,由()20a F x x x '=-==，得0x =当x ⎛∈ ⎝，()0F x '<；x ⎫∈+∞⎪⎪⎭，()0F x '>；所以()F x 在⎛ ⎝上单调递减，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，因为当x 趋近+∞时，()F x 趋近+∞；当x 趋近0时，()F x 趋近+∞， 要使()F x 有两个零点，只要满足()00F x <，即202e =-<⇒>F a a ；②因为120x x <<>21(1)x t t x =>，由()()12F x F x =，所以221122ln ln -=-x a x x a x ，即2221111ln ln x a x t x a tx -=-，因此212ln 1a tx t =-，而要证12034x x x +>，只需证1(31)t x +>即证221(31)8t x a +>，即证22ln (31)81a tt a t +>-， 由0,1a t >>，只需证22(31)ln 880t t t +-+>，令22()(31)ln 88p t t t t =+-+，则1()(186)ln 76p t t t t t '=+-++，令1()(186)ln 76n t t t t t =+-++，则261()18ln 110(1)t n t t t t -'=++>>，故()n t 在(1,)+∞上递增，()(1)0n t n >=， 故()p t 在(1,)+∞上递增，()(1)0p t p >=， 所以12034x x x +>．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对要证明不等式作等价的变形，不断简化问题.。

辽宁省名校联考2024届高三上学期12月联合考试数学试题

辽宁省名校联考2024届高三上学期12月联合考试数学试题

16．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1 3 ， BC 6 ， AB AC 3 2 ， P 为线段
A1B1 上的一点，且二面角 A BC P 的正切值为 3，则三棱锥 A A1C1P 的外接球的体积
为
.
四、解答题 17．已知, 为锐角， tan 2,sin( ) 10 ．
A．22
B．23
C．24
D．25
11．已知 f x 为定义在 R 上的偶函数且 f x 不是常函数，
F x f 1 x 1, g x f x 1 1，若 g x 是奇函数，则（ ）
A． y f x 的图象关于 1,1 对称
B． f x f x 4
C． F x 是奇函数
D． F x 与 g x 关于原点对称
辽宁省名校联考 2024 届高三上学期 12 月联合考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．若复数 z 满足 (1 i)z 3 i ，则 | z | （ ）
A． 5
B．5
C． 2 5
D．20
2．若角 的终边上有一点 P 2, m ，且 sin 5 ，则 m （ ）
(1)求证： A1O BD ；
(2)若直线
EC
和平面
DEF
所成角的正弦值为
4 5
，求三棱锥
A1
DEF
的体积．
22．已知函数 f x ax a e loga x ,a 0 且 a 1．
(1)讨论 f x 的单调性．
(2)若 f x 有且仅有两个零点，求 a 的取值范围．
试卷第 4页，共 4页
B．函数 f x 的图象的一条对称轴方程为 x

湖北省优质重点高中2023届高三12月联考数学试题和参考答案

湖北省优质重点高中2023届高三12月联考数学试题和参考答案

湖北省优质重点高中2023届高三12月联考数学试题和参考答案一、选择题1.已知函数 $f(x)=ax^2+bx+c$（$a>0$），当 $x\in[-2,2]$ 时，$f(x)$ 的最小值为 $-4$，则 $f(x)$ 最小值的取值为（）A. $-4-\dfrac{b^2}{4a}$B. $-4-\dfrac{4ac-b^2}{4a}$C. $-4+\dfrac{b^2}{4a}$D. $-4+\dfrac{4ac-b^2}{4a}$2.若 $a,b,c$ 均为正整数，且 $a+b+c=10$，则下列四个式子中最大的是（）A. $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{10}$B. $\sqrt[3]{abc}$C. $ab+bc+ca$D. $\dfrac{10!}{a!b!c!}$3.已知 $\triangle ABC$ 中，$AB=3$，$AC=4$，$\angle BAC=120^\circ$，则 $\sin B+\sin C=$（）A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$B. $\dfrac{13\sqrt{3}}{24}$C. $\dfrac{\sqrt{21}}{4}$D. $\dfrac{11\sqrt{3}}{24}$4.设 $a$，$b$，$c$ 为实数，若 $ab+bc+ca=0$，则 $(a+b+c)^3=$（）A. 0B. $a^3+b^3+c^3$C. $3abc$D. $a^3+b^3+c^3+3abc$二、填空题1.在 $x\in[0,1]$ 的条件下，求 $f(x)=\sin(x\pi)+\sin^2(2x\pi)$ 的最大值为\underline{\hphantom{~~~~~~~~~}}。

2.若曲线 $y=\dfrac{2x^3-3x^2+4}{x^2+1}$ 的渐近线为 $y=2x-1$，则曲线 $y=\dfrac{2x^3-3x^2+4}{x^2+1}-2x+1$ 的极限是\underline{\hphantom{~~~~~~~~~}}。

2022年高三12月大联考(全国乙卷)理科数学试卷参考答案

2022年高三12月大联考(全国乙卷)理科数学试卷参考答案

2022年高三12月大联考（全国乙卷） 理科数学·全解全析及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1230x x (1,)A B ．故选A ．2．C 【解析】由()23i 47i z ，得47i (47i)(23i)12i 23i (23i)(23i)z ，所以复数z 在复平面内所对应的点的坐标为(1,2)，故选C ．3．D 【解析】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，由4716a S ，84a a ，得41847(71)71620a a d a a,即1111372116730a d a d a d a d ，解得151a d ，所以1(1)6,n a a n d n 则104a ，故选D.方法二：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为174474447()7281622a a a a S a a a，所以42a .由840a a 可得60a ，由42,a 60a 得151a d ，，所以5(1)16,n a n n 则104a ，故选D.4．A 【解析】方法一：由题意，知抛物线C ：24y x 的焦点F 的坐标为(1)0，，2p ，又直线1y kx 过 抛物线C 的焦点()1,0F ，所以10k ，解得1k ，所以直线的方程为1y x ，由214y x y x，得2610x x ，设(,),(,),A A B B A x y B x y 所以6A B x x ，所以||628A B AB x x p ．故选A ． 方法二：由题意，知抛物线C ：24y x 的焦点坐标为0(1)F ，，2p ，又直线1y kx 过抛物线的焦点()1,0F ，所以10k ，解得1k ，所以直线1y kx 的倾斜角4，所以22||8sin pAB. 故选A ． 5．D 【解析】因为=(1,3),(3,4) a b ，所以3129 a b ，A 错误；因为(5,9) a b c ，所以|| a b c ，B 错误；因为()190 ，a b a 所以 a b 与a 的夹角为锐角，C 错误；由题意，知(2,7), a b 又=(7,2)c ，所以()0 a b c ，则 a b 与c 垂直，D 正确.故选D ．2283a283，所以1a ，所以该长方棱台的三视图中侧视图为等腰梯形，其上底长为1，下底长为2，高为2，则侧视图的面积为1(12)232S，故选B. 8．A 【解析】方法一：第一步，选一个盒子放3个球，则这样的选法有13C 3 （种）；第二步，假设③号盒子放3个球，若③号盒子放1绿2白或1绿2红，则①②号盒子只有1种放法，若③号盒子放1红1白1绿，则①②号盒子有2种放法，若③号盒子放2红1白或2白1红，则①②号盒子有2种放法.所以，不同的放法有13C (11222)24 （种），故选A. 方法二：列举法：所以，不同的放法有13C (11222)24 （种），故选A. 9．C 【解析】由31n n S ，得当2n 时，1131n n S ，以上两式相减，得123n n a ，又当1n 时，14a ，所以14,123,2n n n a n ，所以2116,149,2n n n a n ，其前n 项和为121164(999)n n T 99923164192n n ．故选C ．10．C 【解析】211(),(1442222222222)x y x y x y x y x y +++，设(0)22x y t t ，则由题意得22222xyt t ，即22222xyt t ．因为22202222()2x y x y，即22022t t t ，当且仅当22x y ，即1x y 时等号成立，解得24t ，所以1122x y 的取值范围是(1,2]．故选C ． 11．B 【解析】由题意，知21(24)e (12)e 221a b a b b a ，∴21(24)e 21(21)e 2a b a a b b ，∴212(2)e 21(212)e 2a b a a b b ， ∴212[(2)e 2](212)e (21) 2.a b a a b b设()(2)e 2x f x x x ，则()(1)e 1x f x x ，令()()f x g x ，则()e x g x x ，当0x 时，()0g x ，()f x 单调递减，∴()(0)0f x f ，()f x 单调递增，()(0)0f x f ； 当0x 时()0g x ，，()f x 单调递增，∴()(0)0,()f x f f x 单调递增，()(0)0f x f . ∴()(0)0f a f .∴0()2()(21)f a f a f b ，∴()(21)f a f b ，∴21a b ，故选B ．12．C 【解析】由题意，知圆1C 的圆心坐标为(0,3，半径3r，12(2,0),(2,0)F F ，则12||4F F ，在11Rt F C O △（其中O 为坐标原点）中，因为111||||C O C F 所以1160,F C O 所以112120,F C F 121121602F MF F C F（同一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半）.在12F MF △中，由余弦定理，得222221212121212||||||2||||cos 60(||||)||||4F F MF MF MF MF MF MF MF MF a12=16 ，所以1,a 又2,c 所以双曲线2C 的离心率为2e ，故选C ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东深圳龙岗区四校2024届高三上学期12月联考数学试题(解析版)

广东深圳龙岗区四校2024届高三上学期12月联考数学试题(解析版)

龙岗区2024届高三年级12月四校联合考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项考试时间120分钟，满分150分是符合题目要求．1. 设集合{}2,1,0,1,2U =--，{}1,2A =-，{}1,0,1B =−，则()U B A ∪=（ ）A. {}2,1,1,2−−B. {}2,1,2−−C. {}2,2−D. {}2【答案】B 【解析】【分析】根据集合的运算，即可得到结果. 【详解】{}22U B =−, ，(){}2,1,2U B A ∪=−− ，故选：B 2.复数z =） A. i B. i −C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据复数的乘除运算可得解.【详解】3ii 3z ==.故选：A.3. 陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县新石器时代遗址中发现的.如图所示是一个陀螺立体结构图，已知底面圆的直径8cm AB =，圆柱体部分的高5cm =BC ，圆锥体部分的高3cm CD =，则这个陀螺的表面积（单位：2cm ）是（ ）A. 60πB. 76πC. 92πD. 96π【答案】B 【解析】【分析】根据已知求出圆锥的母线长，从而可求出圆锥的侧面积，再求出圆柱的侧面积和底面面积，进而可求出陀螺的表面积【详解】由题意可得圆锥体的母线长为5l ，所以圆锥体的侧面积为58π20π2×=， 圆柱体的侧面积为8π540π×=，圆柱的底面面积为2π416π×=， 所以此陀螺的表面积为40π20π16π76π++=（2cm ）， 故选：B4. 设x ∈R ，则“124x<”是“220x x −>”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数的性质和不等式的解法，分别求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由124x<，可得222x −<，解得<2x −，即集合{|2}A x x =<− 又由不等式220x x +−>，可得(2)(1)0x x +−>，解得{|2B x x =<−或1}x >， 因为集合A B ，所以124x<是220x x +−>的充分不必要条件. 故选：A.5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为2，且234,3,a a a +成等差数列，则5S =（ ）A. 62B. 93C. 96D. 64【答案】B 【解析】【分析】利用给定条件求出2a ，进而求出1a ，再利用等比数列前n 项和公式计算即得. 【详解】等比数列{}n a 的公比为2，由234,3,a a a +成等差数列，得2432(3)a a a +=+，即222446a a a +=+，解得216,3a a ==，所以553(12)9312S −==−．故选：B6. 已知(0,π)α∈，若πsin 6α −πsin 26α +=（ ） A. 13−B. 23C.13D. 13±【答案】C 【解析】【分析】根据诱导公式及二倍角余弦公式求解.【详解】因为πsin 6α −所以2ππππ21sin 2sin 2cos 212sin 1623633αααα +=+=−=−−=−=， 故选：C7. 随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明迟到的概率是（ ） A. 0.24 B. 0.14C. 0.067D. 0.077【答案】D 【解析】【分析】根据题意，结合相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的，以及互斥事件的概率加法公式，准确计算，即可求解.【详解】记小明步行上班为事件A ，骑共享单车上班为事件B ，乘坐地铁上班为事件C ， 小明上班迟到为事件H ，则()0.2P A =，()0.3P B =，()0.5P C =，(|)1(|)0.09,(|)1(|)0.08,(|)1(|)0.07P H A P H A P H B P H B P H C P H C =−==−==−=，所以()()()()()(|)()(|)()(|)P H P AH P BH P CH P A P H A P B P H B P C P H C =++=⋅+⋅+⋅ 0.20.090.30.080.50.070.077=×+×+×=，所以某天上班他迟到的概率是0.077. 故选：D.8. 若函数()()π2sin ,03f x x ωω =−>，π0,2x ∈ 的值域为2 ，则ω的取值范围是（ ） A. 5,43B. 510,63C. 55,63D. 510,33【答案】D 【解析】【分析】利用π0,2x∈ 可得ππππ,3323x ωω −∈−−，再由三角函数图像性质可得πππππ3322ω≤−≤+，解不等式即可求得ω的取值范围. 【详解】根据题意可知若π0,2x∈ ，则可得ππππ,3323x ωω −∈−−；显然当0x =时，可得π2sin 3x ω −，由()f x 的值域为2 ，利用三角函数图像性质可得πππππ3322ω≤−≤+， 解得51033ω≤≤，即ω的取值范围是510,33. 故选：D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法正确的是（ ）A. 一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位数为14B. 若随机变量X 服从正态分布()23,X σ，且()40.7P X ≤=，则()340.2P X <<= C. 若线性相关系数r 越接近1，则两个变量的线性相关性越强D. 对具有线性相关关系得变量,x y ，其线性回归方程为ˆ0.3y x m =−，若样本点的中心为(),2.8m ，则实数m 的值是4− 【答案】BCD 【解析】【分析】利用百分位数的定义即可判断选项A ，利用正态分布的性质即可判断选项B ，根据线性相关系数的性质即可判断选项C ，利用线性回归方程中的基本量即可判断选项D. 【详解】因为1060%6×=，所以第60百分位数为1416152+=，A 错误； 若随机变量X 服从正态分布()23,X σ，且()40.7P X ≤=， 则()()4140.3P X P X >=−≤=， 则()()340.540.2P X P X <<=−>=，B 正确； 若线性相关系数r 越接近1，则两个变量的线性相关性越强，C 正确； 对于D ，样本点的中心为(),x y ， 所以x m =， 2.8y =，而对于回归直线方程ˆˆˆy bx a =+， 因为此时线性回归方程为ˆ0.3y x m =−， 所以ˆ0.3b =，2.80.3m m =−，所以4m =−，D 正确. 故选：BCD10. 函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ=+><部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） 的A. 函数()f x 最小正周期为πT =B. π6ϕ=C. ()f x 在区间5ππ,126−−上单调递减D. 方程()12f x =在区间[]0,2π内有3个根 【答案】AC 【解析】【分析】根据函数图象可求出函数的最小正周期，进而可求出ω，再利用待定系数法求出ϕ，再根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可.【详解】由图可知函数()f x 最小正周期5ππ2π63T=−=，故A 正确； 2ππω=，所以2ω=，则()()sin 2f x x ϕ=+， 又π2πsin 133f ϕ=+=， 所以2ππ2π32k ϕ+=+，所以π2πZ 6,k k ϕ=−+∈， 又π2ϕ<，所以π6ϕ=−，故B 错误；所以()πsin 26f x x =−， 由5ππ,126x∈−−，得ππ3ππ2π,,6222x −∈−−⊆−− ，所以()f x 在区间5ππ,126−−上单调递减，故C 正确；令()π1sin 262f x x=−=，得ππ22π66x k −=+或π5π22π66x k −=+， 所以ππ6xk =+或ππ,Z 2x k k =+∈，又[]0,2πx ∈，所以π6x =或π2或7π6或3π2， 所以方程()12f x =在区间[]0,2π内有4个根，故D 错误.故选：AC .11. 已知等差数列 {}n a 首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，若 1089S S S <<，则下列说法正确的是（ ） A. 1 0a d >> B. 使得0n S >成立的最大自然数18n = C. 891011 a a a a +<+ D. n n S a中最小项为1100S a 【答案】ACD 【解析】【分析】结合题意：利用等差数列及1089S S S <<，判断出10a d >>，并可以分析出91090a a a +<<，再利用数列的相关知识即可判断.【详解】根据题意：89989109109100,,0S S S S a S S S S a <−=> ∴<−=< 即9110180,90a a d a a d −=−−< =+< 两式相加， 解得：100a d ><，故A 正确. 由108S S <，可得到91090a a a +<<，所以8110a a +<，()10118940a a a a d +−+=<，1011890a a a a +++<，所以891011a a a a +<+，故C 正确；由以上可得：123910110a a a a a a >>>…>>>>>…，()117179171702a a S a +==>，而()()1181891018902a a S a a +==+<， 当17n ≤时，0n S >；当18n ≥时，0nS <；要使得0n S >成立的最大自然数17n =，故B 错误.当9n ≤，或18n ≥时，0n n S a >；当918n <<时，0nnS a <； 由1011170a a a >>>…>，10111217S 0S S S >>>…>>, 所以n n S a中最小项为1100S a ，故D 正确. 故选：ACD.的12. 如图，正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，点E 是1AA 的中点，点F 是侧面11ABB A 内一动点，则下列结论正确的为（ ）A. 当F 在1A B 上时，三棱锥1F CD E −的体积为定值B. CE 与BF 所成角正弦的最小值为23C.过1D 作垂直于CE 的平面α截正方体1111ABCD A B C D −所得截面图形的周长为D. 当1D F CE ⊥时，BCF △ 【答案】ABD 【解析】【分析】证明出1//A B 平面1CD E ，可知11111F CD E A CD EC ADE V V V −−−==，可判断A 选项；利用线面角角的定义可判断B 选项；分别取线段AB 、AD 的中点M 、N ，连接AC 、11A C 、11B D 、BD 、MN 、1D N 、1B M ，证明出CE ⊥平面11B D NM ，并计算出四边形11B D NM 的周长，可判断C 选项；分析可知，当BF B M ⊥1时，BF 的长取最小值，可求出BCF △面积的最小值，可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，连接1CD 、1A B ，如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D −中，11//A D BC 且11A D BC =， 故四边形11A BCD 为平行四边形，所以，11//A B CD ，因为1A B ⊄平面1CD E ，1CD ⊂平面1CD E ，所以，1//A B 平面1CD E ， 当F 在1A B 上时，点F 到平面1CD E 的距离等于点1A 到平面1CD E 的距离，所以，111111111122123323F CD E A CD E C A D E A D E V V V S CD −−−===⋅=××××=△，A 对； 对于B 选项，连接BE ，因为BF ⊂平面11AA B B ，所以，CE 与BF 所成的最小角为直线CE 与平面11AA B B 所成的角， 因为BC⊥平面11AA B B ，所以，CE 与平面11AA B B 所成角为BEC ∠，因为BE ⊂平面11AA B B ，所以，BC BE ⊥，因为BE =，2BC =，所以，3CE =，所以，2sin 3BC BEC CE ∠==，故CE 与BF 所成角正弦的最小值为23，B 对；对于C 选项，分别取线段AB 、AD 的中点M 、N ，连接AC 、11A C 、11B D 、BD 、MN 、1D N 、1B M ，因为四边形1111D C B A 为正方形，则1111B D A C ⊥，又因为1AA ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，则111⊥B D AA ，因为1111AA AC A ∩=，1AA 、11AC ⊂平面11AACC ，所以，11BD ⊥平面11AAC C ， 因为CE ⊂平面11AAC C ，则11CE B D ⊥，在Rt ABE △和1Rt BB M 中，AE BM =，1AB BB =，190BAE B BM ∠=∠=， 所以，1Rt Rt ABE BB M △≌△，则1BMB AEB ∠=∠，所以，190ABE BMB ABE AEB ∠+∠=∠+∠=，则90BOM ∠= ，即1B M BE ⊥，因为BC⊥平面11AA B B ，1B M ⊂平面11AA B B ，则1B M BC ⊥，因为BC BE E = ，BC 、BE ⊂平面BCE ，所以，1B M ⊥平面BCE ， 因为CE ⊂平面BCE ，所以，1CE B M ⊥， 因为M 、N 分别为AB 、AD 的中点，则//MN BD ，因为11//BB DD 且11BB DD =，故四边形11BB D D 为平行四边形，所以，11//B D BD ， 所以，11//MN B D ，则N 、M 、1B 、1D 四点共面，因为11CE B D ⊥，1CE B M ⊥，1111B M B D B ∩=，1B M 、11B D ⊂平面11B D NM ， 所以，CE ⊥平面11B D NM ，过1D 作垂直于CE 的平面α截正方体1111ABCD A B C D −所得截面，则截面为梯形11B D NM ，由勾股定理可得1B M =同理可得1D N =，MN =11B D =所以，截面周长为1111B D MN B M D N ++++C 错； 对于D 选项，由C 选项可知，CE ⊥平面11B D NM ，则点F 的轨迹为线段1B M ， 因为BC⊥平面11AA B B ，BF ⊂平面11AA B B ，则BC BF ⊥，则12BCF S BC BF BF =⋅=△， 当BF B M ⊥1时，即当点F 与点O 重合时，BF 的长取最小值，此时，1min 1BM BB BF B M⋅==，所以，BCF S BF =≥△，D 对. 故选：ABD.【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知向量(),2a x = ，()3,4b =，若()a b b +⊥ ，则x =______.【答案】11− 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算的坐标表示求得a b +，进而根据向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】因为(),2a x = ，()3,4b =，所以()3,6a b x +=+ ，又因为()a b b +⊥ ，所以()0a b b +⋅=， 即()33460x ++×=，解得11x =−. 故答案为：11−.14. 二项式62x展开式的常数项为______．【答案】60 【解析】【分析】利用二项式定理计算，取3602r −=，解得4r =，代入计算得到答案.【详解】62x 展开式的通项为()()36662166C 2C 21rr r r r r r r T x x −−−+ =⋅⋅=⋅⋅−⋅， 取3602r −=，解得4r =，常数项为()44646C 2160−⋅⋅−=. 故答案为：60.15. 近年来，随着我国城镇居民收入的不断增加和人民群众消费观念的改变，假期出游成为时尚.某校高三年级7名同学计划高考后前往黄山､九华山､庐山三个景点旅游.已知7名同学中有4名男生，3名女生.其中2名女生关系要好，必须去同一景点，每个景点至少有两名同学前往，每位同学仅选一处景点游玩，则7名同学游玩行程安排的方法数为__________. 【答案】150 【解析】【分析】7个人去三个景点，每个景点至少2人，则两个景点两人，一个景点3人，两个关系好的女生要在一起，则为特殊元素，可以分为，她俩单独一个景点和她俩和另外一位同学一个景点，分类相加即可. 【详解】由题，两个关系好的女生要在一起，则为特殊元素，可以分为，她俩单独一个景点和她俩和另外一位同学一个景点，第一类：仅要好的两位女生去同一景点3353C A 60=；第二类：要好的两位女生和另一位同学去同一景点112534C C C 90=， 总方法数为6090150+=. 故答案为：150. 16. 已知数列{}n a 满足()122222n na a a n n ∗+++=∈N ，()214n n b a n n λ=−−+，若数列{}n b 为单调递增数列，则λ的取值范围为______．【答案】38+∞,【解析】【分析】由数列的递推公式可得2,nn a =n ∗∈N ，()2214nnb n n λ=−−+，再由数列的单调性的定义及不等式恒成立思想，结合参变分离法，计算即可求得所求的范围. 【详解】有题意可知，1n =时，12a =， 当2n ≥时， 由()122222n n a a a n n ∗+++=∈N ， 得()112211222n n a a a n n ∗−−+++=−∈N ， 两式相减得：(1)12n n an n =−−=， 所以2n n a =，当1n =，也满足此式， 故2n n a =，n ∗∈N ，则()214nn b a n n λ=−−+=()2214nn n λ−−+， 若数列{}n b 为单调递增数列，则1n n b b +>恒成立， 即()()12221(1)4(1)214n n n n n n λλ+−−+++>−−+，即232nn λ−>对n ∗∈N 恒成立， 设232n nn c −=，则111212352,222n nn n n n n nc c +++−−−−=−=当1,2n =时，321c c c >>，当3n ≥时，数列{}n c 为递减数列，即345c c c >>>⋅⋅⋅， 可得3c 为最大值，且338c =， 则38λ>. 故答案为：38 +∞,.四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18～22题12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos 2b a B c +=， （1）求A ∠；（2）若a =ABCABC 的周长. 【答案】17. π318. 3+ 【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换分析求解；（2）根据面积公式可得2bc =，利用余弦定理可得3b c +=，即可得结果.小问1详解】因为2cos 2b a B c +=，由正弦定理可得sin 2sin cos 2sin B A B C +=，又因为()sin sin sin cos cos sin CA B A B A B =+=+， 即sin 2sin cos 2sin cos 2cos sin B A B A B A B +=+，则sin 2cos sin B A B =， 且()0,πB ∈，则sin 0B ≠，可得1cos 2A =， 因为()0,πA ∈，所以π3A ∠=. 【小问2详解】 因为ABC的面积为11sin 22==bc A bc ，可得2bc =， 【由余弦定理可得2222cos c b bc A a +−=，即223b c bc +−=， 整理得()2339+=+=b c bc ，可得3b c +=， 所以ABC的周长为3a b c ++=+.18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且2375,a S a ==. （1）数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =，求数列{}+n n a b 前n 项和.【答案】（1）21n a n =+ （2）28(41)23n n n −++【解析】【分析】（1）根据等差数列的概念得到数列的通项公式；（2）由第一问得到212n n b +=，+n n a b 是一个等差和一个等比，分组求和即可． 【小问1详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d1115336a d a d a d+=+=+ ，解得13a =，2d = 由()11n a a n d +−=，则21n a n =+ 因此，通项公式为21na n =+. 【小问2详解】由（1）可知:21na n =+，则212n nb += ()211121242n n n n b b ++++==因为3128b ==，所以{}n b 是首项为8，公比为4q =的等比数列. 记{}n n a b +的前n 项和为n T ，则()()()1122nn n T a b a b a b =++++⋅⋅⋅++()()1212n n a a a b b b =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()11121nn b q n a a q−++−()284123n n n −=++19. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，2PA PB AD ===，4BC =.（1）若PB 的中点为E ，求证：//AE 平面PCD ； （2）若2AB =，求平面PCD 与平面PBD 的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2. 【解析】【分析】（1）取PC 的中点F ，连接,EF DF ，由已知易证四边形ADFE 是平行四边形，即//DF AE ，再由线面平行的判定证结论；（2）设O 是AB 中点，根据题设构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】如图，取PC 的中点F ，连接,EF DF ， ∵E 、F 分别为,PB PC 的中点，∴//EF BC ，122EF BC == ∵//AD BC 且122AD BC ==， ∴//EF AD 且EF AD =，故四边形ADFE 是平行四边形，∴//DF AE ，AE ⊄平面PCD ，DF ⊂平面PCD ， ∴//AE 平面PCD.【小问2详解】设O 是AB 中点，作//Oy BC ，由底面ABCD 为直角梯形且//AD BC ，得Oy AB ⊥， 因为PA PB =，所以PO AB ⊥，由面PAB ⊥面ABCD ，面PAB ∩面ABCD AB =，PO ⊂面PAB ，故PO ⊥面ABCD ， 以O 为原点，,,OB Oy OP 所在直线分别为,,x y z 轴建空间直角坐标系，如下图所示：∴()1,0,0A −、()1,0,0B 、()1,4,0C 、()1,2,0D −、(P ，则(BP =−，(1,2,PD =− ，()2,2,0DC =， 设面PBD 的法向量(),,n x y z =，则020n BP x n PD x y ⋅=−= ⋅=−+=，取x =)n = ； 设面PCD 的法向量(),,m a b c =，则22020m DC a b m PD a b ⋅=+= ⋅=−+=，取1a =，得(1,1,m − ； 设平面PCD 与平面PBD 的夹角为θ，则cos m n m nθ⋅==⋅ ∴平面PCD 与平面PBD. 20. 在ABC 中，2B A C =+，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ． （1）若a a bb a b c+=++，判断ABC 的形状； （2）若ABC 不是钝角三角形，求ac的取值范围． 【答案】（1）ABC 为直角三角形（2）1,22【解析】【分析】（1）由2B A C =+得π3B =，由a a bb a bc +=++化简后结合余弦定理得2c a =，由正弦定理有πsin sin 2sin 3C A A=+=，求出A 即可判断ABC 的形状；（2）ABC 不是钝角三角形，则有ππ62C ≤≤，由正弦定理sin 1sin 2a A c C ==+可.【小问1详解】因为2,πB A C A B C =+++=，所以3πB =，即π3B =． 因为a a bb a b c+=++，所以()()a a b c b a b ++=+，即22a ac b +=． 由余弦定理222222cos b a c ac B a c ac =+−=+−，得222a ac a c ac +=+−，即2c a =． 由正弦定理得sin 2sin C A =，即()πsin π=sin 2sin 3A B A A−++=，则有1sin 2sin 2A A A +=，即cos A A =，得tan A =． 由()0,πA ∈，则ππ,62A C ==，所以ABC 为直角三角形． 【小问2详解】因2π3A C +=，所以2π3A C =−． 由ABC 不是钝角三角形，可知2ππ032π02C C<−≤<≤ ，所以ππ62C ≤≤．由正弦定理得πsin sin 13sin sin 2C a A c C C+ ===， 当π2C =时，cos 0C =，所以12a c =． 为当ππ62C ≤<时，12a c =，因为ππ62C ≤<，所以tan C ≥，所以10tan C <≤，所以302<≤，所以122a c <≤． 综上，a c 的取值范围是1,22． 21. 在高三一轮复习中，大单元复习教学法日渐受到老师们的喜爱，为了检验这种复习方法的效果，在A ，B 两所学校的高三年级用数学科目进行了对比测试．已知A 校采用大单元复习教学法，B 校采用传统的复习教学法．在经历两个月的实践后举行了考试，现从A ，B 两校高三年级的学生中各随机抽取100名学生，统计他们的数学成绩（满分150分）在各个分数段对应的人数如下表所示： [)0,90[)90,110[)110,130[]130,150A 校 6 14 50 30B 校 14263822（1）若把数学成绩不低于110分的评定为数学成绩优秀，低于110分的评定为数学成绩不优秀，完成22×列联表，并根据小概率值0.01α=的独立性检验，分析复习教学法与评定结果是否有关； 数学成绩不优秀 数学成绩优秀 总计 A 校 B 校 总计（2）在A 校抽取的100名学生中按分层抽样的方法从成绩在[)0,90和[)90,110内的学生中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行访谈，记抽取的3人中成绩在[)0,90内的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++．α0.10 0.01 0.001 x α2.7066.63510.828【答案】（1）列联表见解析，有关 （2）分布列见解析，期望为910【解析】【分析】（1）由题意可得列联表，计算2χ的值，与临界值表比较，即得结论；（2）根据分层抽样确定[)0,90和[)90,110内抽取人数，确定X 的取值，结合超几何分布的概率计算求得每个值相应的概率，即可得分布列，根据期望公式求得数学期望. 【小问1详解】由题意完成22×列联表如下：零假设为0H ：复习教学法与评定结果无关． 则()220.01200206040809.524 6.63560140100100x χ××−×≈>=×××，∴根据小概率值0.01α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为复习教学法与评定结果有关，此推断犯错误的概率不大于0.01． 【小问2详解】按分层抽样的方法从成绩在[)0,90和[)90,110内的学生中随机抽取10人， 则成绩在[)0,90内的人数为3，成绩在[)90,110内的人数为7，故X 的所有可能取值为0，1，2，3，()()03123737331010C C C C 7210,1,C 24C 40P X P X ====== ()()21303737331010C C C C 712,3C 40C 120P X P X ======， 故X 的分布列为则()721719012324404012010E X =×+×+×+×=． 22. 已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且22n +与4n S 的等差中项为*1,N n S n +∈.（1）求数列{}n a 的通项公式. （2）设()1311nn n n n a b a a ++=-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21nna =− （2）()11121nn n T +-=-+-【解析】【分析】（1）利用等差中项，构造数列，等比数列的知识得出； （2）采用裂项相消法，注意分n 为奇数偶数. 【小问1详解】因为22n +与4n S 的等差中项为1n S +，所以12422n n S S n +=++，即121n n S S n +=++. 当1n =时，2121224S a a S =+=+=，则23a =.当2n ≥时，12n n S S n −=+， 所以11221n n n n S S S S +−−=−+，所以121n n a a +=+，可变形为()1121n n a a ++=+， 所以112(2)1n n a n a ++=≥+，且21121a a +=+也符合，所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a +=，所以21nna =−， 即数列{}n a 的通项公式为21n n a =−. 【小问2详解】方法一()()()()()1113132211111.21212121n n n n n n n n n n n n a b a a +++⎛⎫+⋅- ⎪=-⋅=-⋅=-⋅+ ⎪----⎝⎭ 当n 为奇数时，22334111111111111212121212121212121n n n n T ++=--++--+--=----------- . 当n 为偶数时， 22334111111111111212121212121212121n n n n T ++=--++--+++=-+--------- . 所以数列{}n b 的前n 项和为()11121n nn T +-=-+-. 方法二()()()()()111313221111121212121n n n n n n n n n n n n a b a a +++⎛⎫+⋅- ⎪=-⋅=-⋅=-⋅+ ⎪----⎝⎭. ()()223341111111111111212121212121212121n n n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+++-+++-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .。

江西省“三新”协同教研共同体2024届高三上学期12月联考数学试题

江西省“三新”协同教研共同体2024届高三上学期12月联考数学试题

试卷第 5页，共 5页
青少年 中年人 老年人
只去庐山旅游
0.1
0.3
0.2
只去三清山旅游
0.2
0.2
0.3
庐山、三清山都去旅游 0.05
0.1
0.1
(1)若从该地居民（仅指青少年、中年人、老年人）中任选一人，求此人寒假去庐山旅游 的概率；
(2)若甲，乙分别是该地居民中的一位中年人、老年人，记这两人中寒假去三清山旅游的
人数为 X ，求 X 的分布列.
X
~
B(100,
p)
0
p
1 2
，且
D(X )
16 ，则
E(X
)
.
15．请写出一个同时满足下列两个条件的函数： f x
.
① f x f x x2 ；②函数 y f x 在 0, 上单调递增.
x
16．已知双曲线 C 的两个焦点为 F1 ， F2 ， P 为 C 上一点， PF1 F1F2 ， PF1F2 36 ，
(2)求数列an bn 的通项公式.
21．过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 E ，且该垂线与抛物线 x2 4y 交于点 F ，
| PE |2 | EF |1 ，记动点 P 的轨迹为曲线 C . (1)试问 C 为何种圆锥曲线？说明你的理由. (2)圆 Q 是以点 Q(1,0) 为圆心， r(0 r 1) 为半径的圆，过点 B(0, 1) 作圆 Q 的两条切线，
A．当 f (x) 取得最大值时， g(x) 取得最小值
B．当 g(x) 取得最大值时， f (x) 1
C．
f
(x)
与
g(x)
的图象关于点
3
, 0
对称

辽宁省沈阳市五校协作体2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题及答案

辽宁省沈阳市五校协作体2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题及答案

2022-2023(上）沈阳市五校协作体高三联考考试时间：120分钟考试分数：150分试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷选择题（1－12题，共60分）和第Ⅱ卷(非选择题，13－22题，共90分)。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

作答时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合，则（）....2、设，若复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则（）....3、已知，则（）....4、设则的大小关系为（）....5、攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑。

如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该屋顶的体积为（）....6、已知双曲线的渐近线方程为，则（）....7、已知直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（）....8、已知，若函数有且只有两个零点，则实数的取值范围为（）....二、多选题（每题5分，共20分，全部选对得5分，漏选得2分，错选得0分）9、数列的首项为，且，是数列的前项和，则下列结论正确的是（）..数列是等比数列..10、已知抛物线的焦点为，是抛物线上两动点，且的最小值为，是线段的中点，是平面内一定点，则下列结论正确的是（）..若，则到轴距离为.若，则.的最小值为11、设函数，则下列结论正确的是（）.若，则.存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称.若在上有且仅有个零点，则的取值范围为.在上单调递增12、如图，在棱长为的正方体中，分别是的中点，则下列结论正确的是（）.四点共面.异面直线与所成角的余弦值为.平面截正方体所得截面为等腰梯形.三棱锥的体积为第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题（每题5分，共20分）13、若向量的夹角为，，则___________。

江苏省决胜新高考2022-2023学年高三上学期12月大联考数学试题(含答案解析)

江苏省决胜新高考2022-2023学年高三上学期12月大联考数学试题(含答案解析)

江苏省决胜新高考2022-2023学年高三上学期12月大联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知z =i 为虚数单位，则||z =（）A ．12B ．2C D ．22．已知向量,a b 满足||||||a b a b ==+ ，则a 与b的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π33．给定空间中的直线l 与平面α，则“直线l 与平面α垂直”是“直线l 垂直于α平面内无数条直线”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．立德中学举行“学习党代会，奋进新征程”交流会，共有6位老师、4位学生进行发言．现用抽签的方式决定发言顺序，事件(110,)k A k k ≤≤∈N 表示“第k 位发言的是学生”，则（）A ．()235P A =B ．()12325P A A =C ．()10213P A A =∣D ．()1245P A A +=5．已知π1sin cos 62αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则5πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．34C ．12D ．34-6．疫情防控期间，某单位把120个口罩全部分给5个人，使每人所得口罩个数成等差数列，且较大的三份之和是较小的两份之和的3倍，则最小一份的口罩个数为（）A ．6B ．10C ．12D ．147．设()363e log 2,log 4,log 2e a b c ===，则（）A ．c b a<<B ．a b c<<C ．b a c<<D ．a c b <<8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22:12x C y +=上，且直线,OA OB 的斜率之积为12-，则22221122x y x y -+-=（）A ．1B ．3C ．2D ．52二、多选题9．已知32()29f x x x ax b =-++在1x =处取得极大值，若()f x 有三个零点，则（）A ．2a =B ．54b -<<-C ．()f x 的极小值为4b+D ．()2()f b f b >-10．已知函数()π()2sin 13f x x ωω*⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭N 在区间[0,]π上有且仅有2个零点，则（）A ．2ω=B ．()f x 的图象关于π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 的图象关于直线π12x =对称D ．()f x 在区间π5π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．正多面体统称为柏拉图体．若连接某正方体1111ABCD A B C D -的相邻面的中心，可以得到一个新的体积为43的柏拉图体Ω．则（）A ．Ω是正六面体B ．正方体1111ABCD A BCD -的边长为2C ．Ω与正方体1111ABCD A B C D -D ．平面11ACC A 与Ω12．已知曲线22:1C x y xy --=，则（）A ．曲线C 关于坐标原点对称B ．曲线C 关于y 轴对称C ．5x ≤-或5x ≥D ．22425x xy y -+≥三、填空题13．101(1)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中4x 的系数是_____________．14．写出一个同时满足下列性质①②的函数()f x =_____________．①()()()f xy f x f y =+；②()f x 在定义域上单调递增．15．已知抛物线21:4C y x =的焦点F 与双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b的右焦点重合，1C 与2C 的公共点为M ，N ，且4MN =，则2C 的离心率是_____________．四、双空题16．已知半径为O 的表面上有A ，B ，C ，D 四点，且满足AD ⊥平面ABC ，,BC AB BC =⊥，则四面体D ABC -的体积最大值为_____________；若M 为AD的中点，当D 到平面MBC 的距离最大时，MBO △的面积为_____________．五、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知B 为锐角，且2sin b A =．(1)求B ；(2)求sin sin A C +的最大值．18．甲、乙两台机床加工同一规格（直径20.0mm ）的机器零件，为了比较这两台机床生产的机器零件精度的差异，随机选取了一个时间段，对该时间段内两台机床生产的所有机器零件直径的大小进行了统计，数据如下：甲：19.7，19.8，19.8，19.9，19.9，19.9，20.0，20.0，20.0，20.0，20.1，20.1，20.1，20.1，20.2，20.2，20.2，20.3乙：19.5，19.6，19.7，19.8，19.9，20.0，20.0，20.1，20.1，20.2，20.3，20.4规定误差不超过0.2mm 的零件为一级品，误差大于0.2mm 的零件为二级品．附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≤0.1000.0500.0100.0050.0010k 2.7063.8416.6357.87910.828(1)根据以上数据完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为甲、乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异：一级品二级品总计甲机床乙机床总计(2)以该时间段内两台机床生产的产品的一级品和二级品的频率代替概率，从甲机床生产的零件中任取2个，从乙机床生产的零件中任取3个，比较甲、乙机床取到一级品个数的期望的大小．19．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，O 是AD 的中点，点E 在PC 上，且AP 平面BOE．(1)求PEPC的值；(2)若OP ⊥平面,,2,60ABCD OE PC AB BAD ⊥=∠=︒，求直线OE 与平面PBC 所成角的正弦值．20．已知n T 为正项数列{}n a 的前n 项的乘积，且2113,n n n a T a +==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()()13411n n n n n a b a a ++=++，求证：11243n n b b b +⎛⎫+++< ⎪⎝⎭．21．已知函数()ln ()af x x a x=+∈R ．(1)若()f x 的最小值为1，求实数a 的值；(2)若关于x 的方程()f x ax =有3个不同的实数根，求a 的取值范围．22．在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且12OA OB ⋅=-．(1)求抛物线C 的方程；(2)直线,AO BO 分别交直线:(0)l x t t =<于,A B ''两点，圆1O 是以线段A B ''为直径的圆．从下面①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立．①直线l 是抛物线C 的准线；②直线AB 与圆1O 相切．参考答案：1．B【分析】化简z ，利用复数求模公式计算.【详解】因为)i i1i iz ==-⋅，所以2z =，故选：B.2．D【分析】由||||||a b a b ==+ 两边平方，得到21||2a b a ⋅=- ，再根据平面向量数量积的定义得到1cos ,2a b <>=-r r ，根据向量夹角的范围可求出夹角.【详解】因为||||||a b a b ==+，所以2222||2a b a a b b a +=+⋅+= ，所以21||2a b a ⋅=- ，所以21||||cos ,||2a b a b a ⋅<>=-，所以1cos ,2a b <>=-r r ，因为0,πa b ≤<>≤，所以2π,3a b <>=所以a 与b 的夹角为23π．故选：D 3．A【分析】根据直线与平面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解．【详解】由题意，若“直线l 与平面α垂直”则“直线l 垂直于α平面内无数条直线”成立的，所以充分性是成立的；若“直线l 垂直于α平面内无数条直线”则直线“直线l 不一定平面α垂直”，所以必要性不成立，所以“直线l 与平面α垂直”是“直线l 垂直于α平面内无数条直线”成立的充分不必要条件．故选A ．【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记直线与平面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．4．C【分析】根据排列数的计算，结合古典概型的概率计算公式即可根据选项逐一求解.【详解】因为()194921010C A 2A 5P A ==，所以A 错误．因为()2848121010A A 2A 15P A A ==，所以B 错误．因为()()()284810102101022A A A 1235P A A P A A P A ===∣，所以C 正确．因为()()286812121010A A 211A 3P A A P A A +=-=-=，所以D 错误．故选：C 5．C【分析】根据两角差的正弦公式化简得π1sin 62α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而采用换元法，结合诱导公式以及二倍角公式即可求解.【详解】因为π1sin cos 62αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以πππsin cos sin cos cos sin cos 666ααααα⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭1cos 22αα=+π1sin 62α⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．令6t απ=+，则π1,sin 62t t α=-=，所以25ππ5ππ1sin 2sin 2sin 2cos 212sin 66622t t t t α⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=+==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：C 6．C【分析】利用等差数列前n 项和公式及等差数列通项公式联立方程组解出即可.【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为0d >，由条件可知，51545120,2S a d ⨯=+=()345123a a a a a ++=+，即()()113332a d a d +=+，即1122420a d a d +=⎧⎨-=⎩，解得112,6a d ==，所以最小一份的口罩个数为12个，故选：C ．7．B【分析】由对数运算性质化简，结合不等式性质或构造lg 2()lg 3xf x x+=+讨论单调性即可判断.【详解】lg 2lg 4lg 2lg 2lg(2e)lg 21,,lg3lg6lg3lg 2lg(3e)lg31a b c ++=====++，解法一：因为(0,0)n n k k m n m m k+<>>>+，所以a b c <<．解法二：设lg 2lg 2lg3()1lg3lg3x f x x x+-==+++，则(0),(lg2),(1)a f b f c f ===，又因为()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以a b c <<．故选：B 8．A【分析】利用椭圆方程和,OA OB 的斜率之积为12-，建立A 、B 两点坐标的关系，代入原式化简计算即可.【详解】因为()()1122,,,A x y B x y 在椭圆上，所以222212121,122x x y y +=+=，因为121212OA OB y y k k x x =⨯=-，所以12122x x y y =-，所以22222222221212121212441142222x x x x y y x x x x ⎛⎫⎛⎫==--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22122x x +=，所以222222222212121122123311212222x x x x x y x y x x ⎛⎫⎛⎫-+-=--+--=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：A.9．BCD【分析】根据极大值点可求解12a =，可判断A,进而可得()f x 的单调性，可判断C,根据三个零点得54b -<<-可判断C ，由单调性即可判断D.【详解】因为2()618f x x x a -'=+，所以(1)6180f a =-+='，所以12a =．故A 错，因为32()2912,f x x x x b =-++2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--，当12x <<时，()0f x '<，当1x <和2x >时，()0f x ¢>，所以()f x 在2x =处取得极小值，在1x =处取得极大值，极小值为(2)4f b =+，极大值为(1)5f b =+，若()f x 有三个零点，所以40,50b b +<+>，所以54b -<<-，故BC 正确，因为54b -<<-，所以245,1625b b <-<<<，又因为()f x 在(2,)+∞上单调递增，所以()2()f b f b >-,故D 正确，故选：BCD 10．ACD【分析】根据零点可得11562ω≤<，结合ω*∈N ，所以2ω=，进而得π()2sin 213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，根据选项即可逐一求解.【详解】令()0f x =，则π1sin 32x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π+36x k ω+=或π5π2π+()36x k k ω+=∈Z ，即π2π6k x ω-=或π2π2()k x k ω+=∈Z ，由于函数()f x 在区间[0,]π上有且仅有2个零点，当0k =时，π2x ω=，当1k =时，π2π6x ω-=，π2π2x ω+=，所以π2π6πx ω-=≤且π2π2πx ω+=>，所以11562ω≤<，由于ω*∈N ，所以2ω=，所以A 正确．因为π()2sin 213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当π,6x =-π16f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于π,16⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故B 错误，当π12x =，π112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，为最大值，故()f x 关于直线π12x =对称，故C 正确，当π5π,612x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π7ππ3π2,,33622x ⎡⎤⎡⎤+∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在π5π,612x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以D 正确．故选：ACD 11．BCD【分析】画出图形可判断A ；设正方体1111ABCD A B C D -的边长为a ，求出Ω的体积31463=a ，求出a 可判断B ；求出正方体的表面积，Ω的表面积可判断C ；画出截面EQFP ，且EQFP 是菱形，求出面积可判断以D ．【详解】对于A ，如图，Ω是各棱长均相等的正八面体，所以A 错误；对于B ，设正方体1111ABCD A B C D -的边长为a ，Ω是正八面体，且NGMH 是底面是对角线长为a 的正方形，上下两个四棱锥的高都为2a ，则Ω的体积为31114232263a a a a ⨯⨯⨯⨯⨯==，所以2a =，所以B 正确；对于C ，正方体1111ABCD A B C D -的表面积是62224⨯⨯=，Ω等边三角形，所以Ω的表面积是182⨯=C 正确；对于D ，如图平面11ACC A 与Ω相交所得截面EQFP ，P Q 、分别是HM NG 、的中点，且EQ QF FP PE 、、、相等，////EQ FP QF PE 、，四边形EQFP 是菱形，2=EF PQ ，其面积为122⨯=D 正确．故选：BCD.12．ACD【分析】A 选项，利用对称性质判断即可，取特殊点验证即可B 选项；将方程转化为关于y 的二次方程，由方程有解即可判断C 选项；换元法，令t x y =-，则x y t =+代入原方程中，利用方程有解判别式解之即可得D 选项.【详解】因为点(,)P x y 在曲线22:1C x y xy --=上，所以点1(,)P x y --满足2222()()()()1x y x y x y xy ------=--=，所以A 正确；若(2,1)P ，因为点(2,1)P '-不满足C 的方程，所以B 错误；因为221x y xy --=，所以2210y xy x ++-=，所以()22410x x --≥，所以5x ≤-或5x ≥，所以C 正确；设t x y =-，则x y t =+，所以22()()1y t y y t y +--+=，所以2210y ty t -+-=，所以()22410t t --≥，所以245t ≥，所以22425x xy y -+≥，所以D 正确．故选：ACD 13．120-【分析】根据二项式展开式的通项特征，即可求解.【详解】101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为10102110101C C N (1),010,rr r rr r r T r x x r x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭≤≤∈．由于101010111(1)x x x x x x x x =+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令710232r r -=⇒=（舍去），令10243r r -=⇒=，所以3344410C (1)120T x x =-=-，综上，4x 的系数是120-，故答案为：120-14．2log x （满足log (1)a x a >均可）【分析】由基本初等函数性质筛选判断即可【详解】log ()log log a a a MN M N =+，且()log (1)a f x x a =>单调递增．故答案为：2log x （满足log (1)a x a >均可）151+##1【分析】根据抛物线和双曲线的对称性可得2M y =，1M x =，且MF '=的定义可得a 的值，进而求解.【详解】因为1C 与2C 交于点M ，N ，所以M ，N 关于x 轴对称，所以2M y =，所以1M x =．因为(1,0)F ，所以FM x ⊥轴.记椭圆2C 的另一焦点为F '，所以MF =='22a =-，所以212c e a ===+．1.16．【分析】第一空，设AD h BC ===，则满足()22242a h r +=，即可列出体积函数()V h ，由导数法求最值.第二空在平面ABD 内过点D 向BM 作垂线，垂足为H ，则D 到平面MBC 的距离为DH ，由ABM HDM △∽△求得DH =DH 最大值，即可得MBO △的各边长，从而求得面积.【详解】第一空，设AD h BC ===，球心O 即为CD 的中点，所以22432a h +=．四面体D ABC -的体积)23113232V h h h =⨯=-，所以)2323V h '=-，令0V '=，得h =，当h ⎛∈ ⎝时，0V '>，V 单调递增：当h ⎫∈+∞⎪⎭时，0V '<，V单调递减，所以当h =max V =第二空，在平面ABD 内过点D 向BM 作垂线，垂足为H ，则D 到平面MBC 的距离为DH ．∵,BAM DHM BMA DMH ∠=∠∠=∠，∴ABM HDM △∽△，∴DH DMAB BM=,即2h a DH =因为222222222241414116118(88)3232322a h a h h a ha h a ⎛⎫+⎛⎫+=+=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当224a h =时等号成立，所以4,2h a ==．此时122MB OB OM AC ====，所以MBO △的面积为122⨯=.17．(1)π3B=【分析】（1）由2sin b A=结合正弦定理得到sin 2B =，再根据B 为锐角，求出B 即可得解；（2）将sin sin A C +π6A ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭可求出结果.【详解】（1）因为2sin b A =，所以b a =在ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin B b A a =，所以sin sin B A =因为0πA <<，所以sin 0A ≠，所以sin 2B =．又因为B 为锐角，所以π3B =．（2）因为π0π,3A B <<=，所以sin sin sin sin(π)sin sin()A C A A B A A B +=+--=++πππ3sin sin sin sin cos cos sin sin 33322A A A A A A A⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭π6A ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭π3A C ==时等号成立，所以sin sin A C +18．(1)表格见解析，没有；(2)甲的期望大．【分析】（1）根据题中数据，可以得出两机床一、二级品的数量，将得到的数据补充在22⨯列联表中，根据公式即可解出2K 的值；（2）由题意可设这2个零件中一级品的个数为X ，3个零件中一级品的个数为Y ，则随机变量X ，Y 服从二项分布，根据二项分布，即可解出期望值，得出结果.【详解】（1）由已知可得，甲机床的二级品有19.7，20.3，共2个，其余16个为一级品；乙机床的二级品有19.5，19.6，19.7，20.3，20.4，共5个，其余7个为一级品.所以，22⨯列联表如下：一级品二级品总计甲机床16218乙机床7512总计23730根据列联表得2230(16527)6053.7582371812161K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，因为3.758 3.841<，所以没有95%的把握认为甲、乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异．答：没有95%的把握认为甲、乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异．（2）由（1）可知，从甲机床生产的零件中任取1个，取到一级品的概率为1168189p ==，从甲机床生产的零件中任取1个，取到一级品的概率为2712p =.从甲机床生产的零件中任取2个，设这2个零件中一级品的个数为X ，从乙机床生产的零件中任取3个，设这3个零件中一级品的个数为Y ，则随机变量X ，Y 服从二项分布，即82,9X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，73,12Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以81664()29936E X =⨯==，7763()312436E Y =⨯==，所以甲的期望的大．答：甲的期望的大．19．(1)13PE PC =【分析】（1）根据线面平行的性质可得线线平行，根据平行成比例即可求解，（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角.【详解】（1）连接AC 与BO 交于点F ，因为底面ABCD 是菱形，O 是AD 的中点，所以//AO BC ，且12AO BC =，所以12AF FC =．因为//AP 平面,BOE AP ⊂平面APC ，平面APC 平面BOE EF =，所以//AP EF ，所以12AF PE FC EC ==，所以13PE PC =（2）解法一：因为底面ABCD 是菱形，O 是AD 的中点，60BAD ∠=︒，所以BO AD ⊥．因为OP ⊥平面,ABCD AD ⊂平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD ，所以,OP AD OP BO ⊥⊥，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．则(0,0,0),(1,0,0),(O A B C -．设(0,0,)P h ，0h >，则()h PC =--，所以1223333h OP PE P E OP C O ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭ ．因为OE PC ⊥，所以2421033h OE PC ⋅=+-=，解得2h =．所以2,(2,0,0),3332BC P E B O ⎛⎛=-=-= ⎝⎭⎝⎭．设(,,)n x y z =为平面PBC 的法向量，则0,0n BC n PB ⋅=⋅=，得002x z =⎧⎪-=，取z =n =为平面PBC 的一个法向量．因为cos ,13n OE 〈〉= ，所以直线OE 与平面PAB解法二：因为底面ABCD 是菱形，O 是AD 的中点，2AB =，60BAD ∠=︒，所以120,2,1CDO CD OD ∠=︒==．在CDO 中，由余弦定理2222cos120OC CD OD CD OD =+-⨯⨯⨯︒，得OC =因为OP ⊥平面,ABCD OC ⊂平面ABCD ，所以OP OC ⊥．设,2PE a CE a ==，在直角CDO 中，由射影定理2OE PE CE =⨯，得OE =．在直角CEO 中，由勾股定理222OC OE CE =+，得276a =，所以22723OE a ==，所以,32OE OP ===．在直角OBP 中，作斜边BP 上的高OH ，因为1122OH BP OB OP ⨯⨯=⨯⨯，所以OH =因为OP ⊥平面,ABCD BC ⊂平面ABCD ，所以OP BC ⊥．又因为,OB BC OB ⊥⊂平面,OBP OP ⊂平面,OBP OB OP P = ，所以BC ⊥平面OBP ，因为OH ⊂平面OBP ，所以BC OH ⊥．又因为,OH BP BC ⊥⊂平面,PBC BP ⊂平面,PBC BC BP B = ，所以OH ⊥平面PBC ．因为3OHOE==所以直线OE 与平面PAB20．(1)3nn a =；(2)证明见解析【分析】（1）由122112,n n n n n n T a T a ++++==，两式相除结合对数运算得1lg lg 1n na a n n+=+，代入数值可得数列lg n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，即可得通项公式；（2）不等式由裂项相消法求和放缩即可证.【详解】（1）122112,n n n n n n T a T a ++++==，所以22211121n n n n n n nT a a T a +++++==，所以11n n n n a a ++=，所以()()11lg lg nn n na a ++=，即1lg (1)lg n n n an a +=+，所以1lg lg 1n na a n n+=+，当2n =时，()2232122T a a a ==，解得29a =，所以21lg lg lg321a a ==，所以数列lg n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，所以1lg lg lg31n a a n ==，所以lg lg3lg3n n a n ==，所以3nn a =．（2）证明：因为()()()()()()111133344441131313131nn nn n nnn n n nn n a b a a ++++++===-++++++，所以2321122321444444313131313131n nn n n b b b +++++=-+-++-++++++ 11111111144444413131313133n n n n n n n n n +++++++++⎛⎫=-=<<= ⎪++++⎝⎭21．(1)1；(2)102a <<.【分析】（1）根据导数求解函数的单调性，由单调性即可求解最值，进而可求解a ，（2）分类讨论，利用导数求解函数的零点.【详解】（1）因为()f x 的定义域为()0,∞+，又221()a x af x x x x-'=-=，所以若0,()0,()a f x f x '≤>单调递增，无最小值，不成立．若0a >，当(0,)x a ∈时，()0,()'<f x f x 单调递减，当(,)x a ∈+∞时，()0,()'>f x f x 单调递增，所以min ()()ln 11,1f x f a a a ==+==．（2）设()ln a g x x ax x =-+，则2221()a ax x ag x a x x x-+-=--'=．当0a ≤时，()()0,g x g x '>单调递增，所以()g x 至多一个零点．当12a ≥时，因为2140a -≤，所以20ax x a -+-≤，所以()0,()g x g x '≤单调递减，所以()g x 至多一个零点．当102a <<时，令()0g x '=，得12x x ==当12x x x <<时，()0,()g x g x >'单调递增，又()10g '>，所以1201x x <<<，且(1)0g =，又因为()g x 是连续的函数，所以()()120,0g x g x <>且()g x 在()12,x x 上只有一个零点．当2x x >时，()0,()g x g x <'单调递减，因为33221111ln 2ln g a a a a a a a ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，设311()2ln 02h a a a a a ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭，则422221321()30a a h a a a a a-+++='=-，所以()h a 单调递增，所以11()ln 42028h a h ⎛⎫<=-+< ⎪⎝⎭，得210g a ⎛⎫< ⎪⎝⎭．因为2211x a a =<<，又因为()g x 是连续的函数，所以()g x 在221,x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上只有一个零点，可得()g x 在()2,x +∞上只有一个零点0x ．因为()00000000111ln ln 0a g x g x ax a ax x x x x ⎛⎫+=-++-+= ⎪⎝⎭，所以010g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且102110x x x <<=，又因为()g x 是不间断的函数，所以()g x 在()10,x 上只有一个零点01x ．综上可知，当102a <<时，()g x 在(0,)+∞上有且仅有三个零点，即关于x 的方程()f x ax =有3个不同的实数根．【点睛】策略点睛：利用导数求解函数零点问题或者方程解的问题是高考命题的重点也是难点，其中函数的零点、方程的根、曲线的交点三个问题可以相互转化.导数中的函数零点问题常采用两种求解方式，根据原函数与x 轴的交点分离构造函数，结合极值点判断函数图象的变化趋势.讨论零点的常用步骤为：(1)求函数的定义域，(2)构造函数，求导，(3)分类讨论函数的单调性，极值，最值，(4)结合零点存在性定理，以及函数单调性去顶图象变化趋势确定零点的个数.22．(1)28y x =；(2)证明见解析【分析】（1）设直线AB 的方程为2px my =+，设221212,,,22y y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立抛物线结合韦达定理及向量数量积运算即可解得p ；（2）由211,8y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭得直线AO 的方程，结合（1）中韦达定理可得2,2ty A t ⎛'⎫- ⎪⎝⎭，同理得1,2ty B t ⎛'⎫- ⎪⎝⎭，即可得出圆1O 方程.由①证明②，结合点线距离证明圆心1O 到直线AB 的距离等于半径；由②证明①，结合点线距离，圆心1O 到直线AB 的距离等于半径求得2pt =-.【详解】（1）设直线AB 的方程为2px my =+，由22,,2y px p x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得2220y pmy p --=．设221212,,,22y y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以212y y p =-．因为2222212123122244y y p p OA OB y y p p p ⋅=⋅+=-=-=- ，所以4p =，所以抛物线的方程为28y x =．（2）因为211,8y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线AO 的方程为18y x y =，则18,t A t y '⎛⎫⎪⎝⎭．因为1216y y =-，所以2,2ty A t ⎛'⎫- ⎪⎝⎭．同理可得：1,2ty B t ⎛'⎫- ⎪⎝⎭，所以圆1O 的方程为：()()2221212()44t t x t y y y y y ⎛⎫⎛⎫-+++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由（1）知：12128,16y y m y y +==-．由①证明②．因为直线l 是抛物线C 的准线，所以2t =-．所以圆1O 的方程为：()()222121211(2)22x y y y y y ⎛⎫⎛⎫++-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以圆心1O 到直线AB==122y y -=，所以直线AB 与圆1O 相切．由②证明①．直线AB 的方程为2px my =+，即()128160x y y y -+++=．因为直线AB 与圆1O()124t y y -=，所以()()212221122816244t y y t t y y y y --+-++=，所以()()21222121644t y y t y y --+=，所以()()222222121212121628444t t t y y y y y y y y t ⎡⎤-+=-+-=-+-⎣⎦，解得2t =-，所以直线l 是抛物线C 的准线．。

湖北省部分优质重点高中2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题

湖北省部分优质重点高中2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题

湖北省优质重点高中高三联考数学考试注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号，座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

可答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，不等式，三角函数与解三角形，平面向量与复数，数列，立体几何，直线与圆。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}221,2A x x x B x x x =>-=<，则AB =（ ）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1(,0)0,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1(,0),12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭2．若复数z 满足方程2460z z -+=，则z =（ ）A ．2±B ．2±C ．2-±D ．2-±3．在公比为负数的等比数列{}n a 中，12731,256a a a a +=-=，则3452a a a ++=（ ） A ．48 B ．48- C ．80 D ．80-4．已知函数22,2,()2,2,x x x f x x a x ⎧+<=⎨+≥⎩则“2a ≤-”是“()f x 有2个零点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．智能降噪采用的是智能宽频降噪技术，立足于主动降噪原理，当外界噪音的声波曲线为sin()y A x ωϕ=+时，通过降噪系统产生声波曲线sin()y A x ωϕ=-+将噪音中和，达到降噪目的．如图，这是某噪音的声波曲线sin()0,0,||2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的一部分，则可以用来智能降噪的声波曲线的解析式为（ ）A ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．2cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．2cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭6．已知某圆台的体积为(9π+，其上底面和下底面的面积分别为3,6ππ，且该圆台两个底面的圆周都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．25π B ．26π C ．27π D ．28π7．若直线0x y m ++=是曲线352y x nx =+-与曲线23ln y x x =-的公切线，则m n -=（ ）A ．30-B ．25-C ．26D ．288．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PAB △是边长为2的正三角形，E ，F 分别是棱,PD PC 上的动点，则AE EF BF ++的最小值是（ ）A 2B 3C 2+D 1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数()f x =设命题p ：对任意(0,),()m f x ∈+∞的定义域与值域都相同．下列判断正确的是（ ）A ．p 是真命题B ．p 的否定是“对任意(0,),()m f x ∈+∞的定义域与值域都不相同”C ．p 是假命题D ．p 的否定是“存在(0,)m ∈+∞，使得()f x 的定义域与值域不相同” 10．某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费．抽奖结果共分5个等级，等级工与购物卡的面值y（元）的关系式为ax by ek +=+，3等奖比4等奖的面值多100元，比5等奖的面值多120元，且4等奖的面值是5等奖的面值的3倍，则（ ） A ．ln5a =- B ．15k =C ．1等奖的面值为3130元D ．3等奖的面值为130元11．已知点(2,0),(,0)A u B u +-，若圆22:(4)(4)9C x y -+-=上存在唯一的点P ，使得PA PB ⊥，则u 的值可能为（ ） A ．9- B ．5- C ．1 D ．712．已知1019ln02121+>，设 2.1 1.9 2.11.9,4, 2.1,2a b c d ====，则（ ） A ．a b > B ．c b > C ．c a > D ．d c >三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量,a b 的夹角的余弦值为13-，且|2||3|6a b ==，则|2|a b +=___________． 14．sin12345︒的值为___________． 15．若1a b >>，且35a b +=，则141a b b +--的最小值为___________，2ab b a b --+的最大值为___________．（本题第一空2分，第二空3分）16．颇受青年朋友喜欢的蛋白石六角锥灵摆吊坠如图（1）所示，现在我们通过DIY 手工制作一个六角锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O ，半径为10cm ，该纸片上的正六边形ABCDEF 的中心为111111,,,,,,O A B C D E F 为圆O 上的点，如图（2）所示．111111,,,,,A AB B BC C CD D DE E EF F FA △△△△△△分别是以,,,,,AB BC CD DE EF FA 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以,,,,,AB BC CD DE EF FA 为折痕折起111111,,,,,A AB B BC C CD D DE E EF F FA △△△△△△，使111111,,,,,A B C D E F 重合，得到六棱锥，当底面六边形的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为___________3cm ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）a ，b ，c 分别为ABC △的内角A ，B ，C 的对边．已知5cos()cos()cos a A b C c B ππ-=--．（1）求cos A ；（2）若221,4b c a b c -==+，求ABC △的面积．18．（12分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，点E 在1CC 上，且122CE EC ==．（1）若平面1A BE 与11D C 相交于点F ，求1D F ； （2）求二面角1A BE A --的余弦值． 19．（12分）将函数2sin 3cos3y x x x =+的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度后得到函数()f x 的图象．（1）若()f x 为奇函数，求ϕ的值； （2）若()f x 在19,18ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，求ϕ的取值范围． 20．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,n n na a S ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列． （1）求{}n a 的通项公式以及100S ； （2）证明：12111322n a a na +++<．21．（12分）已知圆W 经过(3,3),(2,A B C -三点． （1）求圆W 的方程．（2）若经过点(1,0)P -的直线1l 与圆W 相切，求直线1l 的方程．（3）已知直线2l 与圆W 交于M ，N （异于A 点）两点，若直线,AM AN 的斜率之积为2，试问直线2l 是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 22．（12分）已知函数2e ()2ln xf x kx k x x=-+．（1）若1k =，求()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≥，求k 的取值范围．参考答案1．D 因为{}11,02x x B x x x ⎧⎫<=<>⎨⎬⎩⎭或，所以1(,0),12A B ⎛⎫=-∞ ⎪⎝⎭．2．B 由2460z z -+=，得2(2)2z -=-，则2z -=，故2z =±． 3．A 设公比为q ，由73256a a =，得4256q =，因为0q <，所以4q =-．故()()2334534451212248a a a a a a a q a a q a a ++=+++=+++=．4．C 当2x <时，()f x 只有1个零点，且该零点为负数；当2x ≥时，若()f x 有零点，2≥，即2a ≤-，此时()f x 只有1个零点，且该零点为正数．故“2a ≤-”是“()f x 有2个零点”的充要条件．5．C 由图可知，2A =，噪音的声波曲线的最小正周期2T ππω==，则2ω=．因为噪音的声波曲线过点,23π⎛⎫⎪⎝⎭，所以22,32k k ππϕπ+=+∈Z ，则2,6k k πϕπ=-+∈Z ．又||2πϕ<，所以6πϕ=-，即噪音的声波曲线为2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则可以用来智能降噪的声波曲线为2sin 22cos 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．6．D 设该圆台的高为h ，则1(9(36)3h πππ+=+，解得3h =．设球心O 到下底面的距离为t ，则226(3)3t t +=-+，解得1t =，则球O 的半径R ==O 的表面积为2428R ππ=．7．C 设直线0x y m ++=与曲线352y x nx =+-切于点(,)a a m --，与曲线23ln y x x =-切于点(,)b b m --．对于函数233ln ,2y x x y x x =-=-'，则321b b -=-，解得1b =或32-（舍去）．所以13ln11m -=--，即2m =-．对于函数3252,3y x nx y x n '=+-=+，则()23231,31522a n a a a a +=--+-=-+，整理得327,3a a =-=-，所以23128n a =--=-，故26m n -=．8．D 如图，将平面,,PAD PCD PBC展开到一个平面内，由题意可知2,PA AD PB BC CD PC PD =======345,cos 4APD BPC CPD ∠=∠=︒∠==，从而sin CPD ∠=()cos cos 90sin 4APB CPD CPD ∠=∠+=-∠=-︒．在PAB △中，由余弦定理可得22222cos 44881)AB PA PB PA PB APB =+-⋅⋅∠=++=+=+，则1AB =+．9．AD 当(0,)m ∈+∞时，()04m f x x ⎫=≤≤⎪⎭，则()f x 的定义域与值域均为0,4m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以p 是真命题，且p 的否定是“存在(0,)m ∈+∞，使得()f x 的定义域与值域不相同”．10．ACD 由题意可知，4等奖比5等奖的面值多20元，所以()()()()34455a ba b a a ba be k e k e e k ek ++-+++-+==+-+，则ln5a =-，由()()()3431100a b a b a b aek e k e e ++++-+=-=，可知3125a b e +=．由()453a b a be k e k +++=+，解得5k =，则3等奖的面值为130元，321252553130a ba ba e e k k e+++=+=⨯+=，故1等奖的面值为3130元．11．ACD 因为AB 的中点为定点(1,0),||2|1|N AB u =+，且PA PB ⊥，所以P 在以N 为圆心，|1|u +为半径的圆N 上，依题意可得圆N 与圆C只有一个公共点，则两圆外切或内切，则|||1|3NC u ==++或|||1|3NC u ==+-，解得9,3,1,7u =--．12．BCD 令24()(2)ln(2),()ln(2)ln(2)122x f x x x f x x x x x -=-+=-++=-+-+'++， 则()f x '在12,10⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减，所以11019()ln0102121f x f ⎛⎫>=+> ⎪⎝⎭''， 则()f x 在12,10⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，所以(0.1)(0)(0.1)f f f >>-， 即1.9ln2.12ln2 2.1ln1.9>>，即 1.92 2.1ln2.1ln2ln1.9>>，即c b a >>．令()(2)ln(2)(2)ln2g x x x x =-+-+，24()ln(2)ln 2ln(2)1ln 222x g x x x x x -=-++-=-++--'++， 所以()g x '在[0,)+∞上单调递减，所以()(0)12ln20g x g <=-'<'， 得()g x 在[0,)+∞上单调递减， 则 1.92.1(0.1)ln 2.1ln 2(0)0g g =-<=，即d c >．13．42 由题意可知222||3,||2,2,|2|(2)44368a b a b a b a b a a b b ==⋅=-+=+=+⋅+=-=14．4 ()()sin12345sin 34360105sin 60454︒=⨯︒+︒=︒+︒=． 15．25；116 由1a b >>，可知0a b ->，10b ->，()4(1)34541a b b a b -+-=+-=-=，14()4(1)4[()4(1)]4(1)4()17111a b b a b b b a b a b b a b b a b b -+--+---+=+=++------1725≥+=，当且仅当115a b b -=-=时，等号成立，故141a b b +--的最小值为25．又1()4(1)a b b =-+-≥=，当且仅当14(1)2a b b -=-=时，等号成立，所以21()(1)16ab b a b a b b --+=-⋅-≤，故2ab b a b --+的最大值为116．16．3连接1OE ，交EF 于点H ，由题意得1OE EF ⊥，设2cm EF x =，则1cm,(10)cm OH E H ==，因为0210,10,x <<⎧⎪⎨->⎪⎩所以x ⎛∈ ⎝⎭，六棱锥的高h ===．正六边形ABCDEF的面积2226(2)cm 4S x =⨯⨯=，则六棱锥的体积31133V Sh ==⨯=．令函数45()100,0,3f x x x ⎛=-∈ ⎝⎭，则343()400100(4)f x x x '=-=-，当0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<所以()f x在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减，所以23max33V ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 17．解：（1）因为5cos()cos()cos a A b C c B ππ-=--，所以5cos cos cos a A b C c B -=--，即5cos cos cos a A b C c B =+， 所以5sin cos sin cos sin cos A A B C C B =+， 即5sin cos sin()sin A A B C A =+=， 又sin 0A >，所以1cos 5A =． （2）因为22222cos 4a b c bc A b c =+-=+，所以245b c =-， 又1b c -=，解得6,5b c ==，所以ABC △的面积11sin 30225S bc A ==⨯⨯=． 18．解：（1）如图，连接1,A F EF ，因为1A B ∥平面11CDD C ，平面1A BE平面11CDD C EF =，所以1A B EF ∥．连接1CD ，因为11A B CD ∥，所以1EF CD ∥，所以11112C F C ED F CE ==， 又112C D =，所以1112433D F C D ==． （2）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则11(2,0,0),(2,0,3),(2,2,0),(0,2,2),(0,2,0),(2,0,2),(0,2,3)A A B E AB BE A B ==-=-． 设平面ABE 的法向量为()111,,m x y z =，则11120,220,y x z =⎧⎨-+=⎩令11x =，得(1,0,1)m =．设平面1A BE 的法向量为()222,,n x y z =，则2222220,230,x z y z -+=⎧⎨-=⎩令23y =，得(2,3,2)n =．cos ,17||||2m n m n m n ⋅〈〉===⨯．由图可知二面角1A BE A --为锐角，故二面角1A BE A --的余弦值为17． 19．解：（1）因为2sin 3cos3sin 62sin 63y x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭， 所以()2sin 663f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 因为()f x 为奇函数，所以6()3k k πϕπ+=∈Z ，即()618k k ππϕ=-∈Z ，又02πϕ<<，所以ϕ的值为54,,9189πππ． （2）因为19,18x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以26666,66333x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭． 因为02πϕ<<，所以1022116,,6,333333ππππππϕϕ⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又()f x 在19,18ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以23662332ππππϕϕ≤+<+≤或325662332ππππϕϕ≤+<+≤或527662332ππππϕϕ≤+<+≤， 所以ϕ的取值范围是57111317,,,363636363636ππππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 20．（1）解：由题意可知12(1)21n n nan n S =+-=-，整理可得21n n nS a n =⨯-，① 则11121n n n S a n +++=⨯+，② 由②-①可得1112121n n n n na a a n n +++=⨯-⨯+-， 整理可得1121,212121n n n n n n a n a a n n a n +++⨯=-⨯=-+--， 因为11a =，所以2311123521(1)(21)1321nn n n a a a n a n a a a n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯=-⨯-⨯⨯-=-+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为01(1)(201)a -⨯+=，所以1(1)(21)n n a n -=--，()()()10012349910050(2)100S a a a a a a =++++++=⨯-=-．（2）证明：当1n =时，11312a =<成立． 当2n ≥时，1211111121123(21)n a a na n n +++=+++⨯⨯⨯-11111111113521222132(1)23222n n n n ⎛⎫⎪⎡⎤=++++<++++⎪⎢⎥-⨯⨯⨯-⎣⎦⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭1111111122231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1113111222n ⎛⎫=+-<+= ⎪⎝⎭．综上，12111322n a a na +++<得证． 21．解：（1）设圆W 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则33180,2120,2120,D E F D F D F +++=⎧⎪+++=⎨⎪-++=⎩解得6,0,0,D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩则圆W 的方程为2260x y x +-=．（2）由（1）可知，圆W 的圆心坐标为(3,0)，半径为3．若直线1l 的斜率不存在，则直线1l 的方程为1x =-，圆心W 到直线1l 的距离为3(1)43--=>，不符合题意．若直线1l 的斜率存在，设直线1l 的方程为(1)y k x =+，则圆心W 到直线1l3=，解得7k =±，故直线1l的方程为1)7y x =±+． （3）若直线2l 的斜率不存在，则设直线2l 的方程为()()00000,,,,x x M x y N x y =-， 则000033233MM AN y y k k x x ---⋅=⋅=--，整理得()2200239x y -+=． 又()220039x y -+=，解得03x =，所以直线2l 的方程为3x =，此时2l 经过点A ，不符合题意． 若直线2l 的斜率存在，则设直线2l 的方程为()()1122,,,,y tx b M x y N x y =+，联立方程组22,60,y tx b x y x =+⎧⎨+-=⎩整理得()2221(26)0t x tb x b ++-+=， 则2212122262424360,,11tb b b tb x x x x t t -∆=--+>+==++． ()()()()()()22121212121212121233(3)6933333339AM AN tx b tx b t x x tb t x x b b y y k k x x x x x x x x +-+-+-++-+--⋅=⋅==-----++22229618692969t b tb t b t b tb ++--+==++-，则2296186270t b tb t b ++++-=，整理得2(3)6(3)27(39)(33)0t b t b t b t b +++-=+++-=，得39b t =--或33b t =-+（舍去）．故直线2l 的方程为39y tx t =--，经过定点(3,9)-．综上所述，直线2l 经过定点，且该定点的坐标为(3,9)-．22．解：（1）当0k =时，2(),0x e f x x x =>，则3(2)()xx e f x x-'=． 当(0,2)x ∈时，()0,()f x f x <'单调递减，当(2,)x ∈+∞时，()0,()f x f x >'单调递增， 则22()(2)12e f x f ≥=>，即210(0)xe x x ->>． 当1k =时，22(2)1()2ln ,()x x e x x ef x x x f x x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-+'=． 当(0,2)x ∈时，()0f x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 的单调递增区间为(2,)+∞，单调递减区间为(0,2)．（2）2ln 2()2ln (2ln )xx x e f x kx k x e k x x x-=-+=--．令()2ln h x x x =-，则2()x h x x-='，当(0,2)x ∈时，()0,()h x h x <'单调递减，当(2,)x ∈+∞时，()0,()h x h x >'单调递增，故()(2)22ln2h x h ≥=-． 令2ln t x x =-，则()0f x ≥等价于0t e kt -≥．因为22ln2(0,1)-∈，所以0te kt -≥等价于te k t≤． 令(),22ln 2t e t t t ϕ=≥-，则2(1)()t t e t t ϕ-'=，当[22ln 2,1)t ∈-时，()0,()t t ϕϕ<'单调递减，当(1,)t ∈+∞时，()0,()t t ϕϕ>'单调递增，则()(1)t e ϕϕ=． 故k 的取值范围为(,]e -∞。

2022年高三12月大联考(全国乙卷)理科数学试题及参考答案

2022年高三12月大联考(全国乙卷)理科数学试题及参考答案

2022年高三12月大联考（全国乙卷）理科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.砸每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{},0322>-+=x x x A {}1-≥=x x B ，则=B A （）A .()∞+，1B .[)∞+-，1C .(]13，-D .[)11，-2.已知()i i z 7432+-=+⋅，i 为虚数单位，则复数z 在复平面内所对应的点的坐标是（）A .()1,1B .()12，C .()2,1D .()2,23.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1674-=+S a ，48a a -=，则=10a （）A .1B .2C .3D .44.已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，直线1-=kx y 过点F 且与抛物线C 交于B A ,两点，则=AB （）A .8B .6C .2D .45.已知向量()3,1=a ，()4,3-=b ，()2,7=c，则下列结论正确的是（）A .15-=⋅b aB .55=++c b aC .b a +与a的夹角为钝角D .b a +与c 垂直6.将函数()162sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()x g 的图象，则()x g 图象的对称中心可以为（）A .⎪⎭⎫⎝⎛03πB .⎪⎭⎫ ⎝⎛-0125πC .⎪⎭⎫⎝⎛13，πD .⎪⎭⎫ ⎝⎛-1125π7.中国古代“刍童”作为长方棱台（上、下底面均为矩形的棱台）的专用术语.关于计算的描述，《九章算术》中记载：“倍上袤，下袤从之亦倍下袤，上袤从之各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一”.即体积计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，所得结果再与上底面的宽相乘：将下底面的长乘二，与上底面的长相加，所得结果再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，所得结果与高相乘，再取其六分之一.按照此算法，如图，现有体积为328的长方棱台1111D C B A ABCD -，其高为2，上底面矩形的长11B A为a 2，宽11D A 为a ，下底面矩形的长AB 为a 4，则该长方棱台的三视图中侧视图的面积为（）A .7B .3C .17D .1938.将2个红球、2个白球、1个绿球放入编号分别为①②③的三个盒子中，其中，两个盒子各放1个球，另外一个盒子放3个球，这5个球除颜色外其他都一样，则不同的放法有（）A .24中B .30种C .62种D .41种9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13+=nn S ，则数列{}2na 的前n 项和为（）A .236-⨯nB .22331++n C .2239+n D .23391-+n 10.若实数y x ,满足()yxyx22244+=+，则1122--+y x 的值可以是（）A .21B .1C .23D .2511.已知e 为自然对数的底数，若()()ea b e b e a ba 122214221-->-+--，且0<a ，则下列结论一定正确的是（）A .322+>b aB .12+>b a C .ab <+32D .eb a +<212.已知圆1C ：31633222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+y x 过双曲线2C ：()0,012222>>=-b a b y a x 的左、右焦点21F F ，，曲线1C 与曲线2C 在第一象限的交点为M ，若1221=⋅MF MF ，则双曲线2C 的离心率为（）A .2B .3C .2D .3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.现从某校2022年高三上学期某次测试成绩中随机抽取部分学生的物理成绩ξ作为样本进行分析，成绩ξ近似服从正态分布()273σ，N ，且()78.077=<ξP ，则()=<<7369ξP .14.()51-x 的展开式中所有有理项的系数之和为.15.已知函数()x f 的导函数()()()m x x m x f -+-='2，若()x f 在m x =处取到极小值，则m 的取值范围是.16.如图，ED 是边长为2的正三角形ABC 的一条中位线，将ADE ∆沿DE 折起，构成四棱锥BCDE F -，若CD EF ⊥，则四棱锥BCDE F -外接球的表面积为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）在ABC ∆中，点D 在边BC 上，2=BD ，4=CD ，AB AC >.（1）若32=AB ，6π=C ，求AD 的长；（2）若32π=∠BAC ，求ACD ∆的面积S 的取值范围.18.（12分）2022年11月12日，在湖北黄石举行的2022年全国乒乓球锦标赛中，樊振东最终以4:2战胜林高远，夺得2022年全国乒乓球锦标赛男子单打冠军.乒乓球单打规则时是首先由发球员合法发球，再由接发球员合法还击，然后两者交替合法还击，胜利者得1分.在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10平后，先多得2分的一方为胜方.甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次合法发球中，得1分的概率为53，乙在一次合法发球中，得1分的概率为52，设在一局比赛中第n 个合法发球出现得分时，甲的累积得分为n a .（假定在每局比赛中双方运动员均为合法发球）（1）求随机变量3a 的分布列及数学期望；（2）求621,,a a a 成等比数列的概率.19.（12分）已知几何体1111D DCC A ABB -为正四棱柱1111D DEE A ABB -沿1DD 和BE 的中点C 截去一个三棱柱后的剩余部分，其中2==BC AB ，如图，平面1CDD 与直线11E B的交点记为1C .（1）过A 点作与平面D BC 1平行的平面α，试确定平面α与11B A 的交点位置，并证明；（2）求二面角B DC A --11的正弦值.20.（12分）已知曲线C 上任意一点()y x P ,满足方程()()4112222=++++-y x y x .（1）求点P 的轨迹方程；（2）如果直线l 交曲线C 于B A ,两点，且0=⋅OB OA ，过原点O 作直线AB 的垂线，垂足为H .判断OH 是否为定值，若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.21.（12分）已知函数()x x f cos =，其导函数为()x f '.（1）若对任意0≤x ，()ax x f ≤'恒成立，求实数a 的取值范围；（2）判断函数()()⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x f x g 2ln π的零点个数，并证明.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty tx 211（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()1sin 1=-θρ.（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的直角坐标方程；（2）设()1,1M ，曲线1C ，2C 的交点为B A ,，求MB MA ⋅的值.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()124123---=x x x f .（1）求不等式()2>x f 的解集；（2）若不等式()x k x f ≤恒成立，求实数k 的取值范围.参考答案一、选择题1.A解析：由0322>-+x x ，得1>x 或3-<x ，∴{}31-<>=x x x A 或，又{}1-≥=x x B ，∴()∞+=，1B A .2.C解析：由()i i z 7432+-=+⋅，得()()()()i i i i i ii z 21323232743274+=-+-+-=++-=，∴复数z 在复平面内所对应的点的坐标为()2,1.3.D解析：设等差数列()n a 的公差为d ，由1674-=+S a ，48a a -=，可得：()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⨯+++016217774814a a d a a ，即⎩⎨⎧=+++-=+++0371621731111d a d a d a d a ，解得⎩⎨⎧=-=151d a ，∴()611-=-+=n d n a a n ，则410=a .4.A解析：由题意知抛物线C ：x y 42=的焦点F 的坐标为()0,1，2=p ，又直线1-=kx y 过抛物线C 的焦点()01，F ，∴01=-k ，解得1=k ，∴直线的方程为1-=x y ，由⎩⎨⎧=-=xy x y 412得0162=+-x x ，设()()B B A A y x B y x A ,,，，∴6=+B A x x ，∴826=+=++=p x x AB B A .5.D 解析：∵()3,1=a，()4,3-=b ，∴9123=+-=⋅b a ，A 错误；∵()9,5=++c b a ，∴1068125=+=++c b a，B 错误；∵()019>=⋅+a b a ，∴b a +与a的夹角为锐角，C 错误；由题意，知()7,2-=+b a ，又()2,7=c，∴()0=⋅+c b a ，则b a +与c 垂直，D 正确.6.D解析：由题意得()162sin 1662sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππx x x g ，令Z k k x ∈=-,62ππ，得122ππ+=k x ，Z k ∈，当1-=k 时，125122πππ-=+-=x ，∴⎪⎭⎫⎝⎛-1125π为函数()x g 图象的一个对称中心.7.B 解析：由题意，的长方棱台的体积()()[]()32832822086122284461222==⨯+=⨯⋅++⋅+⨯=a a a a a a a a a V ，∴1=a ，∴该长方棱台的三视图中侧视图为等腰梯形，其上底长为1，下底长为2，高为2，则侧视图的面积为()322121=⨯+⨯=S .8.A解析：第一步，选一个盒子放3个球，则这样的选法有313=C （种）；第二步，假设③号盒子放3个球，若③号盒子放1绿2白或1绿2红，则①②号盒子只有1种放法，若③号盒子放1红1白1绿，则①②号盒子有2种放法，若③号盒子放2红1白或2白1红，则①②号盒子有2种放法.∴，不同的放法有()242221113=++++⨯C （种）.9.C解析：由13+=n n S 得当2≥n 时，1311+=--n n S ，以上两式相减，得132-⨯=n n a ，又当1=n 时，41=a ，∴⎩⎨⎧≥⨯==-2,321,41n n a n n ，∴⎩⎨⎧≥⨯==-2,941,1612n n a n n ，其前n 项和为()2239919941699941121+=--⨯+=+++⨯=+=-n n n n T .10.C 解析：()y x y xyx22222442⋅⋅-+=+，()y xy x 22212211+=+--，设()022>=+t t yx，则由题意得t t yx22222=⋅⋅-，即t t yx22222-=⋅⋅.∵222222220⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅≤⋅⋅<y x yx ，即42022t t t ≤-<，当且仅当yx22=，即1==y x 时等号成立，解得42≤<t ，∴1122--+y x 的取值范围是(]2,1.11.B 解析：由题意，知()()122214212-->-+-+a b e b e a b a，∴()()b eb a e a b a 212124212+->++-+，∴()()beb a e a b a2212122212+-+>++-+∴()[]()()21221222212+++-+>++-+b eb a e a b a，设()()22++-=x e x x f x ，则()()11+-='x e x x f ，李陵()()x f x g '=，则()xxe x g ='，当0<x 时，()0<'x g ，()x f '单调递减，∴()()00='>'f x f ，∴()x f 单调递增，∴()()00=<f x f ；当0>x 时，()0>'x g ，()x f '单调递增，∴()()00='>'f x f ，∴()x f 单调递增，∴()()00=<f x f .∴()()00=<f a f .，∴()()()1220+>>>b f a f a f ，∴()()12+>b f a f ，∴12+>b a .12.C 解析：由题意，知圆1C 的圆心坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3320，，半径334=r ，()()02,0221，，F F -，则421=F F ，在O C F Rt 11∆中（其中O 为坐标原点），∵334332111==F C O C ，，∴︒=∠6011O C F ，∴︒=∠=∠︒=∠602112021121211F C F MF F F C F ，，在21MF F ∆中，由余弦定理得：()221221212221221460cos 2a MF MF MF MF MF MF MF MF F F =+-=︒-+=1612=+，∴1=a ，又2=c ，∴双曲线2C 的离心率为2=e .又11296lg 3125lg 6lg 5lg 5log 45456>==，∴545log 6>=c ，∴c b <.∴c b a <<.二、填空题13.28.0解析：由随机变量ξ服从正态分布()2,73σN ，()78.077=<ξP ，得()()22.06977=≤=≥ξξP P ，∴()28.022.05.07369=-=<<ξP .14.16-解析：由二项式定理，可得()51-x 的展开式通项为()()r rrr x C T 1551-=-+，5,4,3,2,1=r ，当42,05，=-r ，即1,3,5=r 时，1+r T 为有理项，∴所有有理项的系数之和为()()()()16510111115353555-=++-=-+-+-C C C .15.()2,0解析：由题意得0≠m ，当0>m 时，()x f '为图象开口向下的二次函数，若()x f 在m x =处取到极小值，则有20<<m ；当0<m 时，()x f '为图象开口向上的二次函数，若()x f 在m x =处取到极小值，则有2>m ，与0<m 矛盾，不符合题意，故m 的取值范围是()2,0.16.π211解析：由EF BE AE ==得BF AF ⊥，同理CF AF ⊥，又F CF BF = ，∴⊥AF 平面BCF ，如图，取BC 的中点G ，连接AG FG EG ,,，则AC EG ∥，又AC EF ⊥，∴EG EF ⊥，∴在EFG Rt ∆中，2=FG ，在AFG Rt ∆中，122=-=FG AG AF ，∴三棱锥ADE F -为正四面体，设AG 与ED 的交点为M ，易知M 为ED 的中点，连接FM ，则23==MG FM ，在FMG ∆中，由余弦定理得312cos 222-=⋅-+=∠MG FM FG MG FM FMG ，设正三角形EFD 的中心为I ，易知等腰梯形BCDE 的外接圆圆心为BC 的中点G ，设四棱锥BCDE F -外接球的球心为O ，连接OG OI ,，则⊥OI 平面EFD ，⊥OG 平面BCDE ，连接GI ，在MGI ∆中，131236322363cos 222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∠⋅-+=FMG MG MI MG MI GI ，易知I O G M ,,,四点共圆，设四边形MGOI 外接圆的半径为r ，结合正弦定理，得223sin 2=∠==GMI GI r OM ，8322=-=MG OM OG ，设四棱锥BCDE F -外接球的半径为R ，则811831222=+=+=OG BG R，∴四棱锥BCDE F -外接球的表面积为π211.三、解答题17.解：（1）由题意知6=BC ，在ABC ∆中，由余弦定理得C AC BC AC BC AB cos 2222⋅⋅-+=，即236236122⨯⨯⨯-+=AC AC ，即024362=+-AC AC ，解得32=AC 或34=AC ，∵AB AC >，∴34=AC .在ADC ∆中由余弦定理得：C AC DC AC DC AD cos 2222⋅⋅-+=，即1623344248162=⨯⨯⨯-+=AD ，∴4=AD .（2）∵326π=∠=BAC BC ，，∴在ABC ∆中，由正弦定理得34sin sin sin =∠==BACBCB AC C AB ，∴C AB sin 34=，⎪⎭⎫⎝⎛-==C B AC 3sin 34sin 34π，∴C C C AC CD S sin 3sin 34421sin 21⋅⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯=⋅⋅=πC C C C C C 2sin 34cos sin 12sin sin 21cos 2338-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=()3262sin 342cos 21322sin 6-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=πC C C .又AB AC >，则60π<<C ，∴2626πππ<+<C ，∴162sin 21<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<πC ，可得320<<S ，∴ACD ∆的面积S 的取值范围为()32,0.18.解：（1）随机变量3a 的可能取值为0,1,2,3.()12585203033=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C a P ；()12536525312133=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯==C a P ；()12554525322233=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C a P ；()125275333333=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C a P .随机变量3a 的分布列为∴()59125273125542125361125803=⨯+⨯+⨯+⨯=a E .（2）若621a a a ，，成等比数列，则11=a ，当12=a 时，则16=a ，()156259652531,1,15621=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯====a a a P ；当22=a 时，则46=a ，()1562519445253534,2,122242621=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛====C a a a P ∴事件621a a a ，，成等比数列的概率31254081562519441562596=+=P .19.解：（1）由题意，知1C 为11E B 的中点，如图，取11D A 的中点P ，连接AP P C ，1，则1111112C B P A C B P A ∥，==，∴四边形111B PC A 为平行四边形，∴111B A PC ∥，∴AB PC ∥1，又AB PC =1，∴四边形B APC 1为平行四边形，∴1BC AP ∥，又⊄AP 平面D BC 1，⊂1BC 平面D BC 1，∴AP ∥平面D BC 1，连接11D B ，同理可证11D B BD ∥，设11B A 的中点为Q ，连接AQ PQ ,，则11D B PQ ∥，∴BD PQ ∥，又⊄PQ 平面D BC 1，⊂BD 平面D BC 1，∴PQ ∥平面D BC 1，又P PQ AP = ，∴平面APQ ∥平面D BC 1，从而平面APQ 即为平面α，故平面α与11B A 的交点为11B A 的中点Q .（2）以1A 为坐标原点，11111D A B A A A ，，所在的直线分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，如图所示.3a 0123P1258125361255412527则()()()()0,2,222040200011B C D A ，，，，，，，，，，∴()4021，，=D A ，()22011，，=C A ，()420，，-=BD ，()2021，，-=BC .设平面D C A 11的法向量为()1111,,z y x n =，∵⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011111n C A n D A ，∴⎩⎨⎧=+=+022*******z y z x ，令11=y ，∴()1,1,21-=n 即平面D C A 11的一个法向量为()1,1,21-=n.设平面D BC 1的法向量为()2222,,z y x n =，∵⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00212n BC n BD ，∴⎩⎨⎧=+-=+-022*******z x z y ，令12=x ，∴()1,2,12=n ，∴平面D BC 1的一个法向量为()1,2,12=n.∴21663,cos 212121=⨯=⋅=n n n n n n.设二面角B DC A --11的大小为θ，则23211sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=θ，∴二面角B DC A --11的正弦值为23.20.解：（1）由题意知，点P 的轨迹是椭圆，设椭圆的标准方程为()012222>>=+b a b y a x ，且12==c a ，，∴32=b ，∴点P 的轨迹方程为13422=+y x .（2）当直线l 的斜率不存在时，0=⋅OB OA ，不妨设点A 在第一象限，易得⎪⎪⎭⎫⎝⎛72127212，A ，∴7212=OH .当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：m kx y +=，且与曲线C 的交点分别为()()2211,,y x B y x A ，，联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 13422，化简得()0124843222=-+++m kmx x k ，∴()0434822>-+=∆mk ，即2243k m+<，且222122143124438k m x x k km x x +-=+-=+，，由此可得2222143123k k m y y +-=，又0=⋅OB OA ，∴0431********22222121=+-++-=+k k m k m y y x x ，即01212722=--k m ，∴()222431712k k m +<+=，则721271212==+=km OH ，综上，OH 为定值7212.21.解：（1）由()x x f cos =可得()x x f sin -='，令()()ax x ax x f x h --=-'=sin ，则()a x x h --='cos .当1-≤a 时，()0cos 1≥-≥'x x h ，()x h 在(]0，∞-上单调递增，故()()00=≤h x h ，符合题意；当1≥a 时，()0cos 1≤--≤'x x h ，()x h 在(]0，∞-上单调递减，故()()00=≥h x h ，不符合题意；当11<<-a 时，方程()0='x h 在(]0，∞-上有无数个解，记其中最大的负数解为0x ，则当()0,0x x ∈时，()0<'x h ，故()()00=>h x h ，不符合题意.综上，1-≤a ，即实数a 的取值范围为(]1，∞-.（2）()⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x x g 2ln cos π的定义域为⎪⎭⎫⎝⎛∞+-2π，①当⎪⎭⎫⎝⎛∞+∈2πx 时，1cos ≤x ，1ln 2ln >>⎪⎭⎫⎝⎛+ππx ，∴()0<x g ，此时函数()x g 无零点.②当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，()021sin <+--='xx x g π，()x g 在⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单调递减，∵()02ln10>-=πg ，0ln 02<-=⎪⎭⎫⎝⎛ππg ，∴函数()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有且仅有1个零点.③当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈0,2πx 时，令()2ln 22ln πππ--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x p ，则()022221>⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+='ππππx xx x p ，∴()x p 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π上单调递增，故()()00=<p x p ，即2ln 22ln πππ+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x .令()2ln 2cos ππ--=x x x q ，⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx ，则()π2sin --='x x q ，令()π2sin --=x x n ，⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx ，则()0cos <-='x x n ，可得()x n 在⎪⎭⎫⎝⎛-0,2π上单调递减，又02>⎪⎭⎫ ⎝⎛-πn ，()00<n ，故存在⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,20πx 使()00=x n ，则存在⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,20πx ，使得()00='x q ，且当⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,20πx 时，()00>'x q ，()x q 单调递增，当()0,0x x ∈时，()00<'x q ，()x q 单调递减，又()02ln 102>-==⎪⎭⎫⎝⎛-ππq q ，∴当02<<-x π时，()0>x q ，即2ln 2cos ππ+>x x ，∴⎪⎭⎫⎝⎛+>x x 2ln cos π，即当⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx 时，()0>x g ，∴()⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x x g 2ln cos π在⎪⎭⎫⎝⎛-0,2π上无零点.综上，函数()x g 有1个零点.（二）选考题22.解：（1）∵曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=②，①t y t x 21,1，则①-⨯2②，得122-=-y x ，∴曲线1C 的普通方程为：0212=-+-y .由()1sin 1=-θρ得1sin +=θρρ，两边同时平方得1sin 2sin 222++=θρθρρ，将y =θρsin ，222y x +=ρ代入上式，得12222++=+y y y x ，化简得122+=y x ，∴曲线2C 的直角坐标方程为21212-=x y .（2）将曲线1C 的参数方程化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+='+=t y t x 361331，代入21212-=x y 得()0662322=-'-+'t t ，设B A ,两点对应的参数分别为21t t ''，，则621-=''t t .∴621='⋅'=⋅t t MB MA .23.解：()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤+-<=4,43,2473,x x x x x x x f ，（1）①当3<x 时，2>x ，即32<<x ；②当43≤≤x 时，2247>+-x ，解得722<x ，即7223≤≤x ；③当4>x 时，2>-x ，解得2-<x ，则()2>x f 无解.综上所述，不等式()2>x f 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛7222，.（2）①当0=x 时，显然成立；②当0≠x 时，不等式()x k x f ≤可化为xx xx x k 124123124123---=---≥.又1124123124123=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤---x x x x ，当且仅当0124123≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 且xx 124123->-时等号成立，∴实数k 的取值范围为[)∞+，1.。

【2019最新】高三数学第二次联考(12月)试题 理

【2019最新】高三数学第二次联考(12月)试题 理

二、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合M={x|x2-2x≤0},N={x|log2(x-1)<1}，则M∪N=（）A.[0,3)B. [0,3]C. [1,2)D. [1,2]2.已知a为实数,若复数z=a2-3a-4+(a-4)i为纯虚数,则复数a-ai在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A.y=cos2xB. y=-x2+1C. y=lg2x+1D. y=lg|x|4.某班k名学生在一次考试中数学成绩绘制的频率分布直方图如图,若在这k名学生中,数学成绩不低于90分的人数为34,则k=（）A. 40B. 46C. 48D.505.如图所示的程序框图,运行程序后,输出的结果等于（）A.2B.3C.4D.56.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A.14B.10C.12D. 16 37.设a、b为两条不同的直线、为两个不同的平面.下列命题中,正确的是（）则若则C. 若则若在△ABC中,AB=AC=,BC=2,点D是AC的中点,点E在AB上,且·=-,）且它的图象关于点对称且它的图象关于直线则-) =__________已知(x+))x的展开式中前三项系数成等差数列在锐角三角形中,角A,B,C对边分别为a,b,c,Q(1,) .24(Ⅰ) 将曲线C的方程化成直角坐标方程P、Q两点的最短距离。

2022—2023学年南京市第一学期12月份高三六校联考期末考试试卷

2022—2023学年南京市第一学期12月份高三六校联考期末考试试卷

2022-2023学年第一学期12月份高三六校联考数学试题一､单选题1. 已知集合2{|230}A x Z x x =∈-++，{|2}B y y =<，则(A B = )A ．∅B ．[1-，2)C ．{0，1}D ．{1-，0，1}2. 已知复数z 的共轭复数z 满足(1)35(z i i i +=+为虚数单位），则复数(z = ) A ．14i + B ．14i -+ C ．4i - D ．4i +3. “8a <”是“方程22240x y x y a ++++=表示圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4. 抛物线24y x =-上的一点M 到焦点距离为2，则点M 的纵坐标是( ) A ．3116- B ．3316-C ．1-D ．3-5. 2008年北京奥运会游泳中心（水立方）的设计灵感来于威尔⋅弗兰泡沫，威尔⋅弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1，则该多面体表面积是( )A ．936B ．938C ．1236+D ．12386. 有甲乙丙丁4名人学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶，短道速滑、花样滑冰3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率( ) A ．16 B ．14C ．29D ．1367. 已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心、||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（ ） A. 15 B. 3 C. 23 D. 28. 设sin(810)a =-︒，33tan()8b π=-，15c lg =，则( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c a b <<二､多选题9. 已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示，则下列说法正确的是( )A ．甲组数据的极差大于乙组数据的极差B ．若甲，乙两组数据的平均数分别为12,x x ，则12x x >C ．若甲，乙两组数据的方差分别为21s ，22s ，则2212s s >D ．甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数10. 已知m ，n 是两条不相同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中真命题有( ) A ．若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβ B ．若m α⊥，m β⊥，n α⊂，则//n β C ．若αβ⊥，m α⊥，m n ⊥，则//n β D ．若//αβ，m α⊥，//n β，则m n ⊥11. 已知O 为坐标原点，1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在C 的右支上．若122||9||PF PF ，且222122||4||||PF OF PF =-，则双曲线C 的离心率可能是( ) A ．857B ．1C ．856D ．854812. 在长方体1111ABCD A B C D -中，111BB B D =，点E 是1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题，其中真命题的是( ) A ．四棱锥11B BED F -的体积恒为定值B ．对于棱1CC 上任意一点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得//CG 平面1EBD C ．存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD ED ．存在唯一的点E ，使得截面四边形1BEDF 的周长取得最小值三､填空题13. 函数2sin cos y x x =+在x π=处的切线方程是 ．14. 已知数列{}n a 满足11a =，且11009(*)n n a a n n N ++=-∈，该数列的前n 项和为n S ，则2019S = ．15. 已知随机变量2~(1,)X N σ，且(0)()P X P X a =，则3252(1)()ax x x++的展开式中4x 的系数为________16. 在平面直角坐标系xOy 中，设点A 是抛物线22(0)y px p =>上的一点，以抛物线的焦点F 为圆心、以FA 为半径的圆交抛物线的准线于B ，C 两点，记记BFC θ∠=，若22sin sin 23cos sin θθθθ-=-，且ABC ∆的面积为1283，则实数p 的值为___________四､解答题17． 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，sin sin 2A Cc b C +=． （1）求角B 的大小； （2）若112tan tan tan A C B+=，2b =，求ABC ∆的面积．18. 已知数列{}n a 满足15a =，2123n n a a n +=+-． （1）求证：数列2{2}n a n n --为等比数列； （2）若数列{}n b 满足2n n n b a =-，求12111n nT b b b =++⋯+．19. 经观测，某昆虫的产卵数y 与温度x 有关，现将收集到的温度i x 和产卵数(1i y i =，2，⋯，10)的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表．101i i x =∑101ii y=∑101ii z=∑1021()ii xx =-∑101()()ii i xx y y =--∑ 101()()i i i x x z z =--∑275 731.1 21.7 150 2368.36 30表中i i z lny =，110i i z z ==∑（1）根据散点图判断，y a bx =+，y a x =21c x y c e =哪一个适宜作为y 与x 之间的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据． ①试求y 关于x 回归方程；②已知用人工培养该昆虫的成本()h x 与温度x 和产卵数y 的关系为()( 2.4)170h x x lny =-+，当温度(x x 取整数）为何值时，培养成本的预报值最小？附：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，(n u ⋯，)n v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，v u αβ=-．20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(2,0)F ，2(2,0)F -．过点1F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，过点1F 作AB 的垂线交椭圆C 于M ，N 两点，2MNF ∆的周长为46 （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求||||MN AB 的取值范围．21. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(2,0)F ，2(2,0)F -．过点1F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，过点1F 作AB 的垂线交椭圆C 于M ，N 两点，2MNF ∆的周长为46 （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求||||MN AB 的取值范围．22．已知函数2()(,)f x ax bx lnx a b R =-+∈． （1）当1a =，3b =时，求()f x 的单调区间；（2）当2b =时，若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且不等式1212()()f x f x x x t +>++有解，求实数t 的取值范围；（3）设2()()g x f x ax =-，若()g x 有两个相异零点1x ，2x ，求证：212x x e >．2022-2023学年第一学期12月份高三六校联考数学试题一､单选题1. 已知集合2{|230}A x Z x x =∈-++，{|2}B y y =<，则(A B = )A ．∅B ．[1-，2)C ．{0，1}D ．{1-，0，1}【解答】解：2{|230}{1A x Z x x =∈-++=-，0，1，2，3}，{|2}B y y =<，{1AB ∴=-，0，1}，故选：D ．2. 已知复数z 的共轭复数z 满足(1)35(z i i i +=+为虚数单位），则复数(z = ) A ．14i +B ．14i -+C ．4i -D ．4i +【解答】解：由(1)35z i i +=+， 得35(35)(1)8241(1)(1)2i i i iz i i i i ++-+====+++-， 则复数4z i =-． 故选：C ．3. “8a <”是“方程22240x y x y a ++++=表示圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解答】解：方程22240x y x y a ++++=表示圆， 41640a ∴+->，5a ∴<，(-∞，5)(⊆-∞，8)，8a ∴<是方程22240x y x y a ++++=表示圆的必要不充分条件，故选：B ．4. 抛物线24y x =-上的一点M 到焦点距离为2，则点M 的纵坐标是( ) A ．3116-B ．3316-C ．1-D ．3-【解答】解：24y x =-，214x y ∴=-，∴其焦点F 的坐标为1(0,)16F -， 抛物线24y x =-上的一点0(M x ，0)y 到焦点距离为2， 由抛物线的定义得：01216y -=， 03116y ∴=-，即点M 的纵坐标是3116-． 故选：A ．5. 2008年北京奥运会游泳中心（水立方）的设计灵感来于威尔⋅弗兰泡沫，威尔⋅弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1，则该多面体表面积是( )A ．936B ．938C ．1236+D ．1238【解答】解：棱长为1的正方形的面积为111⨯=， 正六边形的面积为13336112⨯⨯⨯=又正方形有4个顶点，正六边形有6个顶点，该多面体共有24个顶点， 则最多有6个正方形，最少有4个正六边形，一个正六边形与3个正方形相连， 所以该多面体有6个正方形，正六边形有6438⨯÷=个． 故该多面体表面积是33611812362⨯⨯+=． 故选：C ．6. 有甲乙丙丁4名人学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶，短道速滑、花样滑冰3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率( ) A ．16B ．14C ．29D ．136【解答】解：甲被安排到了冰壶的情况共有32233212A C A +⋅=（种)，甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的情况共有222A =（种)，故在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率为21126=．故选：A ．7. 已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心、||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（ ）A. 15B.3 C. 23 D. 2【解答】解：如图所示，设线段PF 的中点为M ，连接OM ． 设椭圆的右焦点为F '，连接PF '．则//OM PF '． 又||||2OM OF c ===，11||||(22)122FM PF a c a c ==-=-=． 设MFO α∠=，在OMF ∆中，2222121cos 2214α+-==⨯⨯，215sin 1cos αα∴-， tan 15α∴=；15．8. 设sin(810)a =-︒，33tan()8b π=-，15c lg =，则( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c a b <<【解答】解：sin(810)sin(90)1a =-︒=-︒=-，331tan()tan()tan 128882b πππ=-=-=-=-， 15c lg =，112c ∴-<<-，a cb ∴<<，故选：B ．二､多选题9. 已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示，则下列说法正确的是( )A ．甲组数据的极差大于乙组数据的极差B ．若甲，乙两组数据的平均数分别为12,x x ，则12x x >C ．若甲，乙两组数据的方差分别为21s ，22s ，则2212s s >D ．甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数 【解答】解：由折线图得：对于A ，甲组数据的极差小于乙组数据的极差，故A 错误； 对于B ，甲组数据除第二天数据图低于乙组数据， 其它天数数据都高于乙组数据，可知12x x >，故B 正确； 对于C ，甲组数据比乙组数据稳定，2212s s <，故C 错误； 对于D ，甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，故D 正确． 故选：BD ．10. 已知m ，n 是两条不相同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中真命题有( ) A ．若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβ B ．若m α⊥，m β⊥，n α⊂，则//n β C ．若αβ⊥，m α⊥，m n ⊥，则//n βD ．若//αβ，m α⊥，//n β，则m n ⊥【解答】解：若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβ或α与β相交，故A 错误； 若m α⊥，m β⊥，则//αβ，又n α⊂，则//n β，故B 正确；若αβ⊥，m α⊥，则m β⊂或//m β，又m n ⊥，//n β∴或n β⊂或n 与β相交，故C 错误； 若//αβ，m α⊥，则m β⊥，又//n β，m n ∴⊥，故D 正确． 故选：BD ．11. 已知O 为坐标原点，1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在C 的右支上．若122||9||PF PF ，且222122||4||||PF OF PF =-，则双曲线C 的离心率可能是( ) A ．857B ．1C ．856D ．8548【解答】解：可设1||PF m =，2||PF n =，由双曲线的定义可得2m n a -=， 即有2m n a =+，由122||9||PF PF ，即29m n ，可得2(2)9n a a +， 即47a n， 222122||4||||PF OF PF =-，即22222444m c n n an a =-=++， 可得2222221616424424497a a c n an a a =++⋅++，化为228549c a ， 即有857c e a=． 则Γ的离心率的取值范围是85[，)+∞． 故选AC12. 在长方体1111ABCD A B C D -中，111BB B D =，点E 是1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题，其中真命题的是( ) A ．四棱锥11B BED F -的体积恒为定值B ．对于棱1CC 上任意一点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得//CG 平面1EBD C ．存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD ED ．存在唯一的点E ，使得截面四边形1BEDF 的周长取得最小值 【解答】解：对于A ，由111111E BB D F BB D B BED V V V ---=+，且11////CC AA 平面11BB D ， 所以点E ，F 到平面11BB D 的距离为定值， 则四棱锥11B BED F -的体积为定值， 故选项A 正确；对于B ，可作出过CG 的平面与1EBD 平行，由面面平行的性质定理可得，存在无数个点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得//CG 平面1EBD ，同理可得，也存在无数个点E ，对棱1AA 上任意的点G ，直线CG 与平面1EBD 均相交， 故选项B 错误；对于C ，因为111BB B D =，可得对角面11BB D D 为正方形， 所以11B D BD ⊥，若1BE B C ⊥，由三垂线定理可得，1B D BE ⊥， 又1BD BE B =，BD ，BE ⊂平面1BD E ，所以1B D ⊥平面1BD E ， 故选项C 正确；对于D ，由面面平行的性质定理可得，四边形1BED F 为平行四边形， 由对称性可得，当四边形为菱形时，周长取得最小值， 存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值， 故选项D 正确． 故选：ACD ．三､填空题13. 函数2sin cos y x x =+在x π=处的切线方程是 ． 【解答】解：2cos sin y x x '=-，∴切线的斜率|2x k y π=='=-，切点坐标(,1)π-∴切线方程为(1)2()y x π--=--，即221y x π=-+-．故答案为：221y x π=-+-．14. 已知数列{}n a 满足11a =，且11009(*)n n a a n n N ++=-∈，该数列的前n 项和为n S ，则2019S = ． 【解答】解：由题意，可知20191234520182019S a a a a a a a =+++++⋯++ 1234520182019()()()a a a a a a a =+++++⋯++1(21009)(41009)(20181009)=+-+-+⋯+- 1(242018)10091009=+++⋯+-⨯ 1009(22018)1100910092⨯+=+-⨯1010=．故答案为：1010．15. 已知随机变量2~(1,)X N σ，且(0)()P X P X a =，则3252(1)()ax x x++的展开式中4x 的系数为________【解答】解：因为随机变量2~(1,)X N σ，且(0)()P X P X a =， 所以2a =，代入可得3252(12)()x x x ++，该式展开式中含4x 的项为：22320322333444535322()()()()(2)40640680C x C C x C x x x x x x+=+=．故4x 的系数为680．16. 在平面直角坐标系xOy 中，设点A 是抛物线22(0)y px p =>上的一点，以抛物线的焦点F 为圆心、以FA 为半径的圆交抛物线的准线于B ，C 两点，记记BFC θ∠=，若22sin sin 23cos sin θθθθ-=-，且ABC ∆的面积为1283，则实数p 的值为___________ 【解答】解：由22sin sin 23cos sin θθθθ-=-，得22cos 3cos 2sin sin 2θθθθ+-=-， (2cos 1)(cos 2)sin (12cos )θθθθ-+=-，(2cos 1)(cos 2sin )0θθθ-++=，所以1cos 2θ=，结合图象3πθ=，所以BFC ∆为等边三角形， ||FD p ∴=，23||||BC FB p ∴==， 即圆的半径23||FA p =，设0(A x ，0)y ， 01||2ABC S BC x ∆∴=，2211232128|||||()222333p BC FA p p +====， 解得8p =，四､解答题17． 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，sin sin 2A Cc b C +=． （1）求角B 的大小； （2）若112tan tan tan A C B+=，2b =，求ABC ∆的面积． 【解答】解：（1）由sinsin 2A C c b C +=及正弦定理得，sin sin sin sin (*)2A CC B C +=， 因为B ，(0,)C π∈，所以sin 0C >，(0,)22B π∈， 所以sin sinsin cos 222A CB BB π+-===， 代入(*)式化简得，2sin cos cos 222B B B =，即1sin 22B =， 所以26B π=，即3B π=． （2）11cos cos cos sin cos sin sin()sin tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin A C A C C A A C B A C A C A C A C A C +++=+===，22cos 1tan sin sin B B B B==， 因为112tan tan tan A C B+=，所以2sin sin sin A C B =， 由正弦定理，得24ac b ==， 故1sin 32ABC S ac B ∆==18. 已知数列{}n a 满足15a =，2123n n a a n +=+-． （1）求证：数列2{2}n a n n --为等比数列； （2）若数列{}n b 满足2n n n b a =-，求12111n nT b b b =++⋯+． 【解答】解：（1）由已知有：2221(1)2(1)23(1)2(1)n n a n n a n n n +-+-+=+--+-+222242(2)n n a n n a n n =--=--， 211212a --⨯=，∴{}22n a n n --为等比数列；（2）由（1）可得：212222n n n a n n ---=⨯=，∴222n n a n n =++，∴222(2)n n n b a n n n n =-=+=+， ∴1111111111[(1)()()]132435(2)23242n T n n n n =+++⋯+=-+-+⋯+-⨯⨯⨯++ 11113111(1)()22124212n n n n =+--=-+++++．19. 经观测，某昆虫的产卵数y 与温度x 有关，现将收集到的温度i x 和产卵数(1i y i =，2，⋯，10)的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表．101i i x =∑101ii y=∑101ii z=∑1021()ii xx =-∑101()()ii i xx y y =--∑ 101()()i i i x x z z =--∑275 731.1 21.7 150 2368.36 30表中i i z lny =，110i i z z ==∑ （1）根据散点图判断，y a bx =+，y a x =21c x y c e =哪一个适宜作为y 与x 之间的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据． ①试求y 关于x 回归方程；②已知用人工培养该昆虫的成本()h x 与温度x 和产卵数y 的关系为()( 2.4)170h x x lny =-+，当温度(x x 取整数）为何值时，培养成本的预报值最小？附：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，(n u ⋯，)n v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，v u αβ=-．【解答】解：（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围， 所以21c x y c e =适宜作为y 与x 之间的回归方程模型；⋯⋯（2分） （2）①令z lny =，则21z c x lnc =+，⋯⋯（3分）10121021()()3011505()iii ii x x zz c x x ==--===-∑∑；⋯⋯（5分） 12 3.33lnc z c x =-=-，⋯⋯（6分）13.3375z x ∴=-；⋯⋯（7分） y ∴关于x 的回归方程为 13.335ˆx zye e -==；⋯⋯（8分）②成本函数()h x 与x 和y 的关系为 ()( 2.4)170h x x lny =-+ 1( 3.33 2.4)1705x x =--+215.731705x x =-+，⋯⋯（10分） ∴当 5.7314125x =≈⨯时，培养成本的预报值最小．⋯⋯（12分）20. 四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，//AE BF ，22AE BF ==． （1）证明：平面EAC ⊥平面EFC ；（2）若CF 与平面AEC 所成角为30︒，求二面角F EC D --的余弦值．【解答】解：（1）取EC 的中点G ，连接BD 交AC 于M ，连接GM ，GF ， 因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，且M 是AC 的中点，所以//GM AE 且12GM AC =，又//AE BF ，22AE BF ==， 所以//GM BF 且GM BF =，所以四边形BMGF 是平行四边形， 所以//GF BM ，又EA ⊥平面ABCD ，所以EA BM ⊥， 又因为ACEA A =，所以MB ⊥面EAC ，所以GF ⊥面EAC ， 又GF ⊂面EFC ，所以面EFC ⊥面EAC ；（2）以A 为原点，AD ，AB ，AE 为坐标轴建立空间直角坐标系， 由（1）知FCG ∠为CF 与平面AEC 所成的角，所以30FCG ∠=︒， 所以12GF CF =，又设BC a =，则21CF a =+2GF MB =，所以解得1a =，所以(1D ，0，0)，(1C ，1，0)，(0E ，0，2)，(0F ，1，1)则(0DC =，1，0)，(1DE =-，0，2)，(1CF =-，0，1)，(1CE =-，1-，2)， 设平面CDE 的一个法向量(n x =，y ，)z20n DC y n DE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩．则，令2x =，则0y =，1z =， 所以平面CDE 的一个法向量(2n =，0，1)， 设平面CFE 的一个法向(m a =，b ，)c ，20m CF a c m CE a b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1c =，则1a =，1b =， 所以平面CFE 的一个法向(1m =，1，1)， cos n <，31535m >=⨯ 所以二面角F EC D --的余弦值为15．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(2,0)F ，2(2,0)F -．过点1F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，过点1F 作AB 的垂线交椭圆C 于M ，N 两点，2MNF ∆的周长为46 （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求||||MN AB 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）依题意可得2c =，过点1F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，过点1F 作AB 的垂线交椭圆C 于M ，N 两点，2MNF ∆的周长为46446a =6a =， 可得222b a c =-故椭圆的方程为22162x y +=．（Ⅱ）①当直线l 斜率不存在时，MN 与x 轴重合，不合题意，舍．②当直线l 斜率为0时，||26AB a ==MN 的方程为2x =，不妨设M 在N 上方， 则66(2,M N ，从而26||MN ． 所以||1||3MN AB =． ③当直线l 斜率存在且不为0时，设其方程为(2)(0)y k x k =-≠， 则MN 的方程为1(2)(0)y x k k=--≠．由22(2)162y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得2222(13)121260k x k x k +-+-=．所以△224(1)0k =+>．设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2212122212126,1313k k x x x x k k -+==++． 因为222121212||(1)|(1)[()4]AB k x x k x x x x +-=++- 所以22222221212626(1)||(1)[()4]1313k k k AB k k k -+=+-⨯=++ 同理，将上式中k 换为1k -，得222126(1())26(1)||113()k k MN k +-+==+-． 所以22222||3139883(0)||333MN k k k AB k k k ++-===-≠+++．由23(3,)k +∈+∞，得221188(0,),(,0)3333k k ∈-∈-++， 所以2||813(,3)||33MN AB k =-∈+． ④综上，由①②③，||||MN AB 的取值范围为1[,3)3．22．已知函数2()(,)f x ax bx lnx a b R =-+∈． （1）当1a =，3b =时，求()f x 的单调区间；（2）当2b =时，若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且不等式1212()()f x f x x x t +>++有解，求实数t 的取值范围；（3）设2()()g x f x ax =-，若()g x 有两个相异零点1x ，2x ，求证：212x x e >． 【解答】解：（1）当1a =，3b =时，2()3f x x x lnx =-+，∴21231(1)(21)()23x x x x f x x x x x-+--'=-+==， 0x >，令()0f x '>，则102xx <或， 令()0f x '<，则112x <<， ()f x ∴的单调递增区间为1(0,),(1,)2+∞，单调递减区间为1(,1)2；（2）证明：由题可得2221()(0)ax x f x x x-+'=>，函数2()2f x ax x lnx =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，∴方程22210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有121248010102a x x a x x a ⎧⎪=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩解得102a <<．不等式1212()()f x f x x x t +>++有解，1212[()()()]max t f x f x x x ∴<+-+．22121211122212()()()22()f x f x x x ax x lnx ax x lnx x x +-+=-++-+-+2121212122[()2]3()()1(2)a x x x x x x ln x x ln a a=+--++=---．设h （a ）211(2)(0)2ln a a a =---<<，h '（a ）220aa -=>，故h （a ）在1(0,)2上单调递增，故h （a ）1()52h <=-，5t ∴<-．故实数t 的取值范围为(,5)-∞-．（3）()g x lnx bx =-，设()g x 的两个相异零点为1x ，2x ， 设120x x >>，欲证212x x e >，需证122lnx lnx +>． 1()0g x =，2()0g x =， 110lnx bx ∴-=，220lnx bx -=，1212()lnx lnx b x x ∴-=-，1212()lnx lnx b x x +=+．要证122lnx lnx +>，即证12()2b x x +>， 即1212122lnx lnx x x x x ->-+，即1122122()x x x ln x x x ->+，设121x t x =>上式转化为2(1)(1)1t lnt t t ->>+， 设2(1)()1t G t lnt t -=-+，22(1)()0(1)t G t t t -'=>+．()G t ∴在(1,)+∞上单调递增， ()G t G ∴>（1）0=，∴2(1)1t lnt t ->+， 122lnx lnx ∴+>，∴212x x e >．。

2023-2024学年河南省青桐鸣高三上学期12月大联考数学试题+答案解析

2023-2024学年河南省青桐鸣高三上学期12月大联考数学试题+答案解析

2023-2024学年河南省青桐鸣高三上学期12月大联考数学试题✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则()A. B.C.D.2.已知，i 为虚数单位，则复数()A. B. C. D.3.“，”是“”的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量，，则在上的投影向量的坐标为()A. B.C.D.5.若，则()A. B.C. D.6.已知，，，则a ，b ，c 之间的大小关系为()A.B.C.D.7.在四棱锥中，底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且，平面平面ABCD ，，若，，则四面体ACFE 的体积为()A.B.C.D.8.如图，已知C 是半径为1的扇形OAB 内的一点，且，，，则阴影部分的面积为()A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知点A，B为不同的两点，直线，，为不同的三条直线，平面，为不同的两个平面，则下列说法正确的是()A.若，，则B.若，，则C.若，，，，则D.若，，，，，，则直线10.1889年瑞典的阿伦尼乌斯提出了阿伦尼乌斯公式：和A均为大于0的常数，k为反应速率常数与反应速率成正比，T为热力学温度，在同一个化学反应过程中为大于0的定值.已知对于某一化学反应，若热力学温度分别为和时，反应速率常数分别为和此过程中A，R与的值保持不变，则()A.若，则B.若，则C.若，，则D.若，，则11.已知函数的部分图象如图所示，则()A.，B.将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象C.点为图象的一个对称中心D.函数在上的值域为12.若方程有且仅有2个根，，则下列说法正确的是()A. B.C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量，，，若，则实数__________.14.已知正项等比数列满足，，则__________.15.已知函数，的定义域为R，且，，若为奇函数，则__________.16.在棱长为1的正方体中，M，N分别为线段和上的动点，且，则MN的最小值为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。

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河北省涞水波峰中学、高碑店三中2017届高三数学12月联考试题 理一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．是虚数单位，若，则A ．1B ．C ．D ． 2．已知集合，，则 A ．B ．C ．D ．3．在中，是边的中点，，，则A ．B ．C ．D ．4．若等差数列满足，则的前2016项之和A ．1506B ．1508C ．1510D ．1512 5．若，，，则 A ．B ．C ．D ．6．在平面直角坐标系中，“直线与直线平行”是“”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 7．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点， 用过点A 、E 、C 1的平面截去该正方体的下半部分，则 剩余几何体的正视图（也称主视图）是8．如图，空间四边形中，点分别上，，则A ．B ．ABCDA B C D 1111EC． D．9．已知函数，则下列说法正确的是A．的图象向右平移个单位长度后得到的图象B．若，则，C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称10．已知（），把数列的各项排成如图所示的三角形数阵，记表示该数阵中第行中从左到右的第个数，则A．67 B．69 C．73 D．7511．过抛物线（）焦点的直线与抛物线交于两点，以为直径的圆的方程为，则A． B． C． D．12．设实数，满足，则的最小值是A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若、满足约束条件，则的最大值为．14．如图，是棱长均为1的正四棱锥，顶点在平面内的正投影为点，点在平面内的正投影为点，则．15．．16．对于函数，有如下三个命题：①的单调递减区间为()②的值域为③若，则方程在区间内有3个不相等的实根其中，真命题是 ．（将真命题的序号填写在横线上） 三.解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3sin cos C cB b=.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 为边AB 上的一点，记BDC θ∠=，若2πθπ<<，2,CD =5AD =，855a =，求sin θ与b 的值。

18.(本小题满分12分)已知两数列{}n a ，{}n b 满足13n n n b a =+(*n N ∈)，11310b a =，其中{}n a 是公差大于零的等差数列，且2a ，7a ，21b -成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S .19.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为等腰梯形，E 为PD 中点，PA ⊥平面ABCD ，//,,24AD BC AC BD AD BC ⊥==．（1）证明：平面EBD ⊥平面PAC ；（2）若直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求二面角A BE P --的余弦值．20.（本小题满分12分）小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友A ，如果A 猜中，A 将获得红包里的所有金额；如果A 未猜中，A 将当前的红包转发给朋友B ，如果B 猜中，A B 、平分红包里的金额；如果B 未猜中，B 将当前的红包转发给朋友C ，如果C 猜中，A B 、和C 平分红包里的金额；如果C 未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A B C 、、猜中的概率分别为111,,323，且A B C 、、是否猜中互不影响．（1）求A 恰好获得4元的概率；（2）设A 获得的金额为X 元，求X 的分布列；（3）设B 获得的金额为Y 元，C 获得的金额为Z 元，判断A 所获得的金额的期望能否超过Y 的期望与Z 的期望之和． 21、（本小题满分12分）给定椭圆C ： =1（a ＞b ＞0），称圆x 2+y 2=a 2+b 2为椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C 的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，与其“伴随圆”交于C ，D 两点，当|CD|=时，求△AOB面积的最大值．22.（本小题满分12分）设函数()ln af x x x x=+-． （1）当2a =-时，求()f x 的极值； （2）当1a =时，证明：()10xf x x e -+>在()0,+∞上恒成立．波峰中学2016-2017学年度第一学期期末模拟卷参考答案一、选择题CDDD BBAB CABB 二、填空题13.4；14.；15.；16.①②（仅填①、仅填②、填①②③给2分，其它错误结果给0分）17.（Ⅰ）由已知3sin cos C c B b =，得 3sin sin cos sin C CB B=，sin 0C >，sin 3tan cos 3B B B ∴==，0B π<<，6B π∴=. ………………...4分（Ⅱ）在BCD ∆中，sin sin sin CD BC aB BDC θ==∠, 8525sin 30sin θ∴=，25sin θ∴=. .…………...8分θ为钝角，∴ADC ∠为锐角，25cos cos()1sin 5ADC πθθ∴∠=-=-=， 在ADC ∆中，由余弦定理，得2222cos b AD CD AD CD θ=+-⨯5542525=+-⨯⨯5=，所以5b =. …………...12分18.（Ⅰ）设{}n a 的公差为d (0d >),11310b a =,113(13)10a a ∴+=,13a ∴=.又213a a d d =+=+，7163(12)a a d d =+=+，22199(3)b a d -==+，由2a ，7a ，21b -成等比数列，得229(12)9(3)d d +=+，0d >，123d d ∴+=+，2d =，3(1)221n a n n ∴=+-⨯=+. ………………...6分（Ⅱ）因为21n a n =+，所以1(21)3nn b n =++，于是，2(133)(153)(1(21)3)nn S n =+⨯++⨯+⋅⋅⋅+++⨯，令()123353213nT n =⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯ ① 则()23133353213n T n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯ ②①-②，得 ()1231233232323213nn T n +-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯()211133922132313n n n n n +++-=+⨯-+=-⨯-，∴ 13n T n +=⋅， 故113(13)n n n S n n n ++=+⨯=+． ………………...12分19.解：（1）因为PA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．1分 又因为,AC BD PAAC A ⊥=，所以BD ⊥平面PAC ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 而BD ⊂平面EBD ，所以平面EBD ⊥平面PAC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）设AC 和BD 相交于点O ，连接PO ， 由（1）知，BD ⊥平面PAC ，所以DPO ∠是直线PD 与平面PAC 所成的角，从而030DPO ∠=， 在Rt POD ∆中，由030DPO ∠=，得2PD OD =， 因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC BD ⊥， 所以,AOD BOC ∆∆均为等腰直角三角形，所以2,22OB OA ==，所以22242,4PD OD PA PD AD ===-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 以O 为原点，分别以,OB OC 为,x y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()0,22,0,2,0,0,2,0,22,0,0,0,22,4,2,2,2A BC D P E -----．．．．．．．．．8分所以()()()()2,22,0,22,2,2,2,22,4,32,0,0BA BE BP DB =--=--=--=， 设平面ABE 的一个法向量为()111,,m x y z =，由0,0m BA m BE ==得1111120220x y x y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令12x =，得32,1,22m ⎛=- ⎝，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 设平面BDP 的一个法向量为()222,,n x y z =，由0,0n DB n BP ==得2222320220x x y z ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，令22y =，得()0,2,1n =，所以3022572cos ,571932m n -+==⨯，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 因为二面角A BE P --的平面角为锐角， 所以二面角A BE P --的余弦值为5757．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）A 恰好获得4元的概率为21113239⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 （2）X 的可能取值为0，4，6，12，()()121224,093239P X P X ====⨯⨯=，()()21116,123233P X P X ==⨯===，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 所以X 的分布列为：X 0 4 6 12 P29 19 13 13．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （3）Y 的可能取值为0，4，6；Z 的可能取值为0，4．因为()()()1212521112110,4,6332393239323P Y P Y P Y ==+⨯⨯===⨯⨯===⨯=，．．．．．．．8分 ()()121212821110,433232393239P Z P Z ==+⨯+⨯⨯===⨯⨯=，．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 所以51122814046,049939999EY EZ =⨯+⨯+⨯==⨯+⨯=，所以269EY EZ +=，又2111580461299339EX =⨯+⨯+⨯+⨯=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分由于EX EY EZ >+，所以A 所获得的金额的期望能超过Y 的期望与Z 的期望之和．．．．．．．．．．．12分21．解：（Ⅰ）由题意得，e 2==1﹣=，又∵b=1，∴a2=3，∴椭圆C的方程为+y2=1，（Ⅱ）“伴随圆”的方程为x2+y2=4，①当CD⊥x轴时，由|CD|=，得|AB|=．②当CD与x轴不垂直时，由|CD|=，得圆心O到CD的距离为．设直线CD的方程为y=kx+m，则由=，得m2=（k2+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0．∴x1+x2=，x1x2=．当k≠0时，|AB|2=（1+k2）（x1﹣x2）2，=（1+k2）[﹣]，=，=3+，=3+，≤3+=4，当且仅当9k2=，即k=±时等号成立，此时|AB|=2．当k=0时，|AB|=，综上所述：|AB|max=2，此时△AOB的面积取最大值S=|AB|max×=．22.解：（1）当2a =-时，()()()()2221212ln ,1x x f x x x f x x x x x-+'=--=+-=-，．．．．．．．2分∴当()0,2x ∈时，()0f x '>；当()2,x ∈+∞时，()0f x '<．∴()f x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ∴()f x 在2x =处取得极大值()()2ln 23,f f x =-无极小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）当1a =时，()111ln x xf x x x e x e -+=+-， 下面证11ln x x x e +>，即证ln 1x xx x e+>．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分设()ln 1g x x x =+， 则()1ln g x x '=+，在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()()0,g x g x '<是减函数；在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()()0,g x g x '>是增函数．所以()111g x g e e⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8分 设()x x h x e =， 则()1xxh x e -'=， 在()0,1上，()()0,h x h x '>是增函数；在()1,+∞上，()()0,h x h x '<是减函数，所以()()1111h x h e e≤=<-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以()()h x g x <，即ln 1x x x x e <+，所以ln 10x x x x e +->，即11ln 0x x x e+->，即()10x f x x e-+>在()0,+∞上恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12分高三数学试题试题答题纸一、选择题：123456789101112二、填空题：13. 14. 15. 16.三、解答题：17.18.19.20.21.22.。

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