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12月联考数学试卷

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2023届河南省部分学校高三12月大联考数学(理)试题(解析版)

2023届河南省部分学校高三12月大联考数学(理)试题(解析版)

2023届河南省部分学校高三12月大联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}e x B y y a ==+（a ∈R ），若A B ⋂=∅，则a 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞- B ．(),1-∞- C ．()3,+∞ D ．[)3,+∞【答案】D【分析】分别求出集合A 和集合B ，再由A B ⋂=∅进行求解.【详解】由已知，集合A 即函数y = 由不等式2320x x +-≥，即2230x x --≤，解得13x -≤≤，∴{{}[]131,3A x y x x ===-≤≤=-，集合B 即函数e x y a =+的值域，因为指数函数e x y =的值域为()0,∞+，所以函数e x y a =+的值域为(),a +∞，∴{}()e ,xB y y a a ∞==+=+，∵A B ⋂=∅，∴a 的取值范围是[)3,+∞. 故选：D.2．已知复数z 满足(86i)512i z +=+，则z =（ ）A B ．1310C ．1714D ．1513【答案】B【分析】先由复数的运算化简z ，再计算模长.【详解】()512i (86i)11266i 5633i (86i)(86i)10050z +-++===+-，1310z === 故选：B3．已知直线12:210,:220l x y l x my --=++=，若12l l ∥，则1l 与2l 之间的距离为（ ）A ．1B ．2C D 【答案】A【分析】根据直线平行求出m ，再由平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为12l l ∥，所以40m +=，解得4m =-，经检验符合题意；所以2:210l x y -=， 所以1l 与2l之间的距离1d ===， 故选：A4．我国古代历法从东汉的《四分历》开始，就有各节气初日晷影长度和太阳去极度的观测记录，漏刻、晷影成为古代历法的重要计算项目．唐代僧一行在编制《大衍历》时发明了求任何地方每日晷影长和去极度的计算方法——“九服晷影法”，建立了晷影长l 与太阳天顶距θ之间的对应数表（世界上最早的正切函数表）．根据三角学知识知：晷影长l 等于表高h 与天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=．若对同一表高进行两次测量，测得晷影长分别是表高的2倍和3倍，记对应的天顶距分别为1θ和2θ，则()12tan θθ-=（ ） A ．1- B ．17-C ．13D ．1【答案】B【分析】根据已知条件得出12,tan tan θθ的值，利用两角差的正切公式可得结果. 【详解】由题意知12tan 2,tan 3θθ==，所以()121212tan tan 231tan 1tan tan 1237θθθθθθ---===-++⨯故选：B.5．已知12,F F 是平面内两个不同的定点，P 为平面内的动点，则“12PF PF -的值为定值m ，且12m F F <”是“点P 的轨迹是双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】直接利用双曲线的定义，直接判断，可得答案.【详解】“12PF PF -的值为定值m ，12m F F <”，若0m =，则P 点的轨迹不是双曲线，故充分性不成立；“点P 的轨迹是双曲线”，则必有12,F F 是平面内两个不同的定点，且满足1212PF PF m F F -=<，故必要性成立； 故选：B6．已知()sin 2tan 1f x x x =++，则曲线()y f x =在点ππ,44f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（ ） A ．26π0x y ++-= B ．23π0x y -+-= C ．426π0x y -+-= D ．426π0x y -++=【答案】C【分析】根据导数几何意义可求得切线斜率π4f ⎛⎫' ⎪⎝⎭，结合π34f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得切线方程. 【详解】()212cos 2cos f x x x'=+，2ππ12cos 2π42cos 4f ⎛⎫'∴=+= ⎪⎝⎭， 又πππsin tan 13424f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，∴所求切线方程为：π324y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即426π0x y -+-=.故选：C.7．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过Fl 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ） A ．2 BCD【答案】C【分析】分别表示出A 、B 坐标，利用||||OA OB =求得3a b ，即可求出离心率.【详解】因为F 为双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的下焦点，不妨设()0,F c -，所以过Fy c =-，所以),0B .因为1l 是C 的斜率大于0的渐近线，所以可设1:al y x b=.由y x ca y x b⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩联立解得：A .因为||||OA OB =，所以2223c +=，解得：3ab .所以离心率c e a ====. 故选：C8．函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象，则()g x =（ ）A ．2cos2xB π326x ⎛⎫- ⎪⎝⎭C π326x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．π2sin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由函数周期可求出ω，又由特殊值5π()=012f 和(0)=1f ，可求得ϕ和A ，进而可得()f x 的解析式，再利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式．【详解】依题意有2π11π5π2π1212ω⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，得2ω=， 又5π5π()sin 2+=01212f A ϕ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，所以5π2+π2π,Z 12k k ϕ⨯=+∈，且π02ϕ<<，得π=6ϕ，又π(0)sin =16f A =，得=2A ，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()πππ2sin 22cos 2666g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A ．9．已知12F F 、分别是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆C 过(2,0)A -和(0,1)B 两点，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅的取值范围为（ ）A ．11,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．371,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[2,1]-D ．11,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】根据椭圆过点求出,a b ，再求出焦点坐标，利用数量积的坐标运算结合二次函数的最值求解. 【详解】因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A -和(0,1)B ，所以224,1a b ==，可得223c a b - 所以1(3,0)F -，23)F ，设(,)P x y ，由题意直线AB 的方程为12xy +=-，即220x y ， 因为点P 在线段AB 上，所以(,)P x y 满足20,01x y -≤≤≤≤，则222212(,),)3(22)3PF PF x y x y x y y y ⋅=--⋅-=+-=-+-224115815()55y y y =-+=--，[0,1]y ∈，当45y =时，12min 11()5PF PF ⋅=-，当0y =时，12max ()1PF PF ⋅=， 所以12PF PF ⋅的取值范围为11,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D10．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①0,()0x f x ∀><；②对任意正数x ，y ，当x y <时，()()yf x xf y >恒成立．若(0.1)(sin0.1)sin0.1,,(tan0.1)tan0.110f a f b c f ===，则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】A【分析】根据函数性质可知，()f x x在(0,)+∞上单调递减，又根据0,()0x f x ∀><，可构造函数()xf x ，且函数()xf x 为单调递减，又因为sin0.10.1tan0.1<<，即可得出a b c >>. 【详解】由题意可知，对任意正数x ，y ，当x y <时，()()yf x xf y >，即()()f x f y x y> 所以函数()f x x在(0,)+∞上单调递减，即导函数2()()0xf x f x x -<'在(0,)+∞恒成立； 可得()()xf x f x '<；构造函数()()g x xf x =，则()()()2()0g x f x xf x f x ''=+<<， 所以，()()g x xf x =在(0,)+∞上单调递减；设函数()sin ,(0,1)h x x x x =-∈，则()cos 10h x x '=-<，即()h x 在(0,1)为单调递减，所以(0.1)(0)0h h <=,即sin 0.10.1<； 设函数()tan ,(0,1)x x x x ϕ=-∈，则221()1tan 0cos x x xϕ'=-=-<， 即()ϕx 在(0,1)为单调递减，所以(0.1)(0)0ϕϕ=<，即0.1tan 0.1<； 综上可知，sin0.10.1tan0.1<<，(sin 0.1)(0.1)(tan 0.1)g g g >> 即(0.1)(sin 0.1)sin 0.10.1(0.1)(tan 0.1)tan 0.110f f f f =>> 即得a b c >>. 故选：A.11．在四面体ABCD 中，,AB AC AB BD ⊥⊥，异面直线AC 与BD 所成的角为30︒，二面角C AB D--为锐二面角，4,5,3AB AC BD ===，则四面体ABCD 的体积为（ ） A ．234153- B ．3C ．5D ．10【答案】C【分析】根据题意，如图，将四面体放在长方体中，为三棱锥D ABC -，过点D 作DE BE ⊥于E ，则DE ⊥平面ABC ，结合二面角和异面直线所成的角的定义可得30DBE ︒∠=，求出DE ，利用三棱锥的体积公式计算即可.【详解】如图，在长方体中，4,5,3AB AC BD ===， 过点D 作DE BE ⊥于E ，则DE ⊥平面ABC ， 所以DBE ∠为二面角C AB D --的所成角，为锐角，DBE ∠为异面直线AC 与BD 的所成角，所以30DBE ︒∠=，所以1322DE BD ==. 由题意知，该四面体ABCD 为三棱锥D ABC -， 由1102ABCSAC AB =⋅=， 所以该三棱锥D ABC -的体积为113105332D ABC ABCV SDE -=⋅=⨯⨯=. 故选：C.12．将曲线221:1(0)169x y C x +=≤和曲线222:1(0)49x y C x +=>合成曲线E ．斜率为k 的直线l 与E 交于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，则下列判断错误的是（ ） A ．曲线E 所围成图形的面积小于36 B ．曲线E 与其对称轴仅有两个交点 C ．存在k ，使得点P 的轨迹总在某个椭圆上 D ．存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上 【答案】D【分析】画出曲线表示的图形，分析AB 选项；选项C ，分析当0k =时，设()()1122,,,A x y B x y ，且12x x <，()00,P x y ，然后根据题意分析点P 的轨迹总在某个椭圆上即可；选项D ，结合C 的部分条件，加上中点公式，以及差点法，若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上，则0000(R)y k x k -∈为常数，化简分析即可解决问题. 【详解】选项A ：如图，曲线E 所围成图形在正方形PQGH 内部，由正方形PQGH 的面积为6636⨯=，所以曲线E 所围成图形的面积小于36，故A 正确； 由A 中图形可知，曲线E 关于x 轴对称，所以曲线E 与其对称轴仅有两个交点，故B 正确； 选项C ：设()()1122,,,A x y B x y ，且12x x <，()00,P x y 1212022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 当0k =时，12120,x x y y <<=221122221169149x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减的：22112202164x x x x -=⇒=- 所以222200200122222x x x x x x y y y y y -+⎧=-==-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪==⎩， 又2222149x y +=，所以()22220000114992y y x x -+=⇔+= 故存在0k =，使得点P 的轨迹总在某个椭圆上，C 正确选项D ： 由()00,P x y ，1212022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，由题意若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上，则221122221169149x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：2222121201649x x y y --+=即()()2212121201649y y y y x x --++=， 又12012122y y y y y k x x +=⎧⎪-⎨=⎪-⎩，所以()2201212201649ky x x x x --+=， 即()222101294162x x y k x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-， 又1202x x x +=， 所以若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上， 则0000(R)y k x k -∈为常数，即()222112012941622x x x x k k x x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭--()()()()2221012121212941622x x kk x x x x k x x k x x ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=--- ()()2222210121294162x x kk x x k x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=- ()22020112994162kk x kk x k x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-为定值， 因为分子分母12,x x 次数不同，故若上式为定值，则22020*******kk x kk x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即00990416kk kk +=+=，无解，假设不成立， 所以不存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上 所以选项D 不正确； 故选：D.二、填空题13．已知向量,a b 满足||3,||1,||2a b a b ==+=，则a b +与a b -的夹角为_______________． 【答案】π3【分析】根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】()222||242431240a b a ba b a b a b a b +=⇒+=⇒++⋅=⇒++⋅=⇒⋅=，()2222312a b a b a b a b -=-=+-⋅=+-，设a b +与a b -的夹角为([0,π])θθ∈，()()22311cos 2242a b a b ab a b a bθ⋅-+--==⨯⋅-==+， 因为[0,π]θ∈， 所以π3θ=， 故答案为：π314．直线l 过点(2,1)且与圆22:(1)9C x y ++=相切，则直线l 的方程为______________． 【答案】2x =或43110x y +-=.【分析】先求出圆的圆心和半径，然后分直线l 的斜率不存在和存在两种情况求解即可. 【详解】由22(1)9x y ++=，得圆心为(1,0)C -，半径3r =，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，此时直线恰好与圆相切，符合题意， 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(2)y k x -=-，则3=，22(13)9(1)k k -=+，解得43k =-，所以直线l 的方程为41(2)3y x -=--，即43110x y +-=，综上，直线l 的方程为2x =或43110x y +-=， 故答案为：2x =或43110x y +-=.15．如图，直线x t =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ，B 两点，D 为C 上异于A ，B 的一点，若AD BD ⊥，则点D 到直线x t =的距离与p 的比值为__________．【答案】2【分析】根据题意得到,A B 的坐标，设(002D x px ，由题意可得1AD BD k k ⋅=-，列出方程即可得到结果.【详解】因为直线x t =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ，B 两点，不妨设((2,,2A t pt B t pt 且D 为C 上异于A ，B 的一点，由抛物线的对称性，不妨设(002D x px则00002222AD BD px pt px ptk k -+由AD BD ⊥000022221px pt px pt-+=-化简可得()()02021p x t x t -=--，因为0x t ≠，则02p t x =-即点D 到直线x t =的距离与p 的比值为02t x p-= 故答案为:216．若12,x x 是函数()()21e 12xf x ax a =-+∈R 的两个极值点，且212x x ≥，则实数a 的取值范围为_____________． 【答案】2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据极值点定义可将问题转化为y a =与()e xg x x=有两个不同交点12,x x ；利用导数可求得()g x 单调性，并由此得到()g x 的图象；采用数形结合的方式可确定1201x x <<<且e a >；假设212x x t ==，由()()12g x g x =可确定2ln 2t =，进而得到()1g x 的值，结合图象可确定a 的取值范围. 【详解】()e x f x ax '=-，12,x x 是()f x 的两个极值点，12,x x ∴是e 0x ax -=的两根，又当0x =时，方程不成立，y a ∴=与e xy x=有两个不同的交点；令()e x g x x =，则()()21e x x g x x -'=， ∴当()(),00,1x ∈-∞时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>；()g x ∴在()(),0,0,1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则()g x 图象如下图所示，由图象可知：1201x x <<<且e a >； 212x x ≥，212x x ∴≥； 当212x x =时，不妨令212x x t ==，则2e e 2ttt t =，即2e 2e t t =，2e 2t∴=，解得：2ln 2t =，∴当212x x =时，()()2ln 212e 22ln 2ln 2g x g x ===， ∴若212x x ≥，则2ln 2a ≥，即a 的取值范围为2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故答案为：2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点求解参数范围问题，可将问题转化为已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，解决此类问题的常用的方法有： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin ()sin a A c C b c B -=-． (1)求A 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，求bc 的取值范围．【答案】(1)π3(2)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据正弦定理可得到222a b c bc =+-，进而得到2cos 1A =，即可求出A 的大小； （2）根据三角形内角和为π，且ABC 为锐角三角形，从而可得出C 的取值范围，再将bc 转化为关于tan C 的函数即可求解．【详解】（1）由sin sin ()sin a A c C b c B -=-，则根据正弦定理有22()a c b c b -=-，即222a b c bc =+-， 又由余弦定理有2222cos a b c bc A =+-，得2cos 1A =， 所以在ABC 中，得π3A =；（2）由ABC 为锐角三角形，且π3A =，则有π022ππ032C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，得ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，即(1tan C ∈，所以根据正弦定理有π1sin sin sin 111322,2sin sin sin tan 22C C Cb Bc C C C C ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭====+∈ ⎪⎝⎭． 18．已知直线12:20,:20()l x ay l ax y a a -+=+-=∈R ，若1l 与2l 的交点P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)若圆22:220E x y mx ny +--=的圆心在直线y =上，且与曲线C 相交所得公共弦MN的长为m ，n 的值． 【答案】(1)224(2)x y x +=≠(2)1,m n =1,m n =-=【分析】（1）由12,l l 判断出点P 的轨迹为以AB 为直径的圆(除去点(2,0)B )，进而求其方程; （2）由圆E 的圆心的位置得m ,n 的关系,两个圆方程相减得MN 的方程,由弦长求m ,n . 【详解】（1）当0,2y x ==-故直线1:20l x ay -+=过定点(2,0)A -，直线2:l (2)0a x y -+=，当2,0x y ==，故其过定点(2,0)B ， 又110a a ⨯-⨯=,所以12l l ⊥,所以点P 的轨迹为以AB 为直径的圆， 当0a =时，两直线交点为()2,0A -，但交点P 无法与点B 重合， 故需除去点()2,0B其圆心为原点O ,半径为2r =,所以曲线C 的方程为224(2)x y x +=≠； （2）由(1)知,曲线C 的方程为224(2)x y x +=≠，又圆22:220E x y mx ny +--=的圆心为(,)E m n 在直线y =上,所以n =,0m ≠，两圆方程作差得两个圆的公共弦MN 的方程为224mx ny +=,即20mx -=,因为两个圆的公共弦MN 的长为原点O 到直线MN 的距离为1||d m ==,所以=解得1m =或1m =-,所以1,m n =1,mn =-=19．在正项数列{}n a 中，11a =，2n ∀≥，12113232n n a a a a n --+++=-． (1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足11b a =，221b a =-，且21ln ln 2ln n n n b b b +++=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：221n n n T T T ++⋅<．【答案】(1)21n a n =- (2)证明见解析【分析】（1）由12113232n n a a a a n --+++=-可得到12121n n a n a n ++=-，根据累乘法求通项的方法，即可求出{}n a 的通项公式；（2）由21ln ln 2ln n n n b b b +++=可知221n n n b b b ++⋅=，可判断数列{}n b 为等比数列，根据等比数列的前n项和公式求出n T ，2210n n n T T T ++⋅<-即可求证. 【详解】（1）解：已知1211,23232n n a a a a n n --+++=≥-①， 则212312a a a -=⇒=，且11211,323212n n n a a a aa n n -+-++++=--②， -②①，得1212n n n a a an +-=-，整理得121,221n na n n a n ++=≥-， ∴3253a a =，3475a a =，，212325n n a n a n ---=-12123n n a n a n --=-，， 由累乘法可得()`2212133n n a n a n n a -=-=⇒≥， 又11a =，23a =，符合上式， 所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.（2）由（1）可知111b a ==，221312b a =-=-=，因为21ln ln 2ln n n n b b b +++=，所以221n n n b b b ++⋅=，则数列{}n b 是首项为1，公比为212b b =的等比数列， ∴()1122112n n n T -==--，()()()222121212121n n n n n n T T T ++++∴⋅---=⋅--()2222222221221n n n n n ++++=--+--+20n =-<，即221n n nT T T ++⋅<，得证.20．在边长为2的正方形ABCD 外作等边BCQ △（如图1），将BCQ △沿BC 折起到PBC 处，使得PD =E 为AB 的中点（如图2）．(1)求证：平面PDE ⊥ 平面PCD ； (2)求二面角E PD A --的正弦值． 【答案】(1)答案见解析 7【分析】取BC 中点为O ，建立以O 为原点的空间直角坐标系.（1）设平面PDE 法向量为m ，平面PCD 法向量为n ， 利用0m n ⋅=可证面面垂直.（2）求得平面P AD 的法向量t ，后用向量法可求得二面角E PD A --的余弦值，后可求得正弦值. 【详解】（1）因四边形ABCD 为正方形，则DC CB ⊥.又在三角形PCD 中，2PC CD ==，22PD =222PC CD PD +=， 则DC PC ⊥.又CB ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，∩CBPC C =， 则DC ⊥平面PCD .取BC 中点为O ，AD 中点为F ，连接PO ，OF . 则//,,OF CD PO BC OF BC ⊥⊥.又PO ⊂平面PCD ，则DC PO ⊥， 得FO PO ⊥.故如图建立以O 为原点，以射线OB 方向为x 轴正方向，射线FO 方向为y 轴正方向， 射线OP 方向为z 轴正方向的空间直角坐标系.则()()()()()000120100100120,,，,,，,,，,,，,,O A B C D ----， (()003110,，,,P E -.得()()(103123113,,，,,，,,PC PD PE =--=---=--， 设平面PDE 法向量为()111,,m x y z =，则11111123030PD m x y z PE m x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取(123,,m =-.设PCD 法向量为()222,,x n y z =，则2222223030PD n x y z PC n x z ⎧⋅=---=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取()3,0,1n =-. 因330m n ⋅=-+=，则平面PDE ⊥ 平面PCD .（2）由（1）分析可知，平面PDE 法向量为()123,,m =-. 又()123,,PA =--，设平面P AD 的法向量()333,,t x y z =， 则333332230230PD t x y z PA n x y z ⎧⋅=---=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取()032,,t =-. 则434342714334227cos ,m t m t m t⋅====++⨯+⨯⋅，又由图可知二面角E PD A --平面角α为锐角，则427cos α=， 得二面角E PD A --的正弦值4271497sin α=-=.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为1(1,0)F -，其左顶点为A ，上顶点为B ，且1F 到直线AB 的距离为7||7OB （O 为坐标原点）．(1)求C 的方程；(2)若椭圆2222:(01)x y E a bλλλ+=>≠且，则称椭圆E 为椭圆C 的λ倍相似椭圆．已知椭圆E 是椭圆C的3倍相似椭圆，直线:l y kx m =+与椭圆C ，E 交于四点（依次为M ，N ，P ，Q ，如图），且2PQ NQ MQ +=，证明：点(,)T k m 在定曲线上． 【答案】(1)22143x y +=； (2)证明见解析.【分析】（1）由已知条件推导出2227(1)a b a +=-，221b a =-，由此能求出椭圆C 的方程． （2）分别联立直线与椭圆C 、椭圆E 的方程消元，可证明线段NP 、MQ 中点相同，然后结合2PQ NQ MQ +=可得3MQ PN =，由此可证明.【详解】（1）()(),0,0,A a B b -，∴直线AB 的方程为1x ya b+=-，即0bx ay ab -+=，1(1,0)F ∴-到直线AB 的距离为d ==， 2227(1)a b a ∴+=-，又221b a =-，解得2a =，b = ∴椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）椭圆C 的3倍相似椭圆E 的方程为221129x y +=， 设N ，P ，M ，Q 各点坐标依次为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，3(x ，3)y ，4(x ，4)y ， 将y kx m =+代入椭圆C 方程，得：222(34)84120k x kmx m +++-=， ∴222221(8)4(34)(412)48(43)0km k m k m ∆=-+-=+->，(*)122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+，12x x ∴-， 将y kx m =+代入椭圆E 的方程得222(34)84360k x kmx m +++-=，342834km x x k ∴+=-+，234243634m x x k -=+，34x x -1234x x x x ∴+=+，∴线段NP ，MQ 中点相同，MN PQ ∴=，由2PQ NQ MQ +=可得NM PN =，3P MQ N ∴=，所以3412||3||x x x x -=-，∴3=化简得221294k m +=，满足(*)式，∴2244193m k -=，即点(,)k m 在定曲线2244193y x -=上．22．已知()2ln =++f x x x a x （a ∈R ）．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若1a =，函数()()1g x x f x =+-，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，()()122112x g x x g x x x λ->-恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】(1)当0a ≥时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；当a<0时，()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. (2)15,ln 222⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦【分析】（1）先求出()f x 的导数()22x x af x x'++=，根据a 的取值范围进行分类讨论即可；（2）当120x x >，时，()()122112x g x x g x x x λ->-⇔()()21212111g x g x x x x x λ->-，去绝对值后，构造函数求解即可.【详解】（1）由已知，()2ln =++f x x x a x （a ∈R ）的定义域为()0,∞+，()2221a x x a f x x x x++'=++=，①当0a ≥时，0f x在区间()0,∞+上恒成立，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；②当0a <时，令()0f x '=，则220x x a ++=，180a ∆=->，解得10x =<（舍），20x >，∴当x ⎛∈ ⎝⎭时，220x x a ++<，∴()0f x '<， ∴()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，220x x a ++>，∴0f x ，∴()f x在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增， 综上所述，当0a ≥时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；当a<0时，()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. （2）当1a =时，()()221ln ln 1g x x x x x x x =+-++=--+，()0,x ∈+∞，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠， ()()122112x g x x g x x x λ->-等价于()()1221121212x g x x g x x x x x x x λ-->， 即()()21212111g x g x x x x x λ->-， 令()()g x h x x=，()0,x ∈+∞，则()()212111h x h x x x λ->-恒成立 ()()()()2222212ln 1ln 2x x x x xg x g x x x x h x x x x ⎛⎫-----+ ⎪'---⎝⎭'===， 令()2ln 2F x x x =--，()0,x ∈+∞，则()21122x F x x x x-'=-=，令()0F x '=，解得x =x ⎛∈ ⎝⎭时，()0F x '>，()Fx 在区间⎛ ⎝⎭单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0F x '<，()F x 在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减，∴当()0,x ∈+∞时，()Fx的最大值为1152ln 20222F =--=--<⎝⎭， ∴当()0,x ∈+∞时，()215ln 2ln 2022F x x x =--≤--<，即()22ln 20x x h x x --'=<，∴()()g x h x x=在区间()0,∞+上单调递减，不妨设12x x <，∴1x ∀，2(0,)x ∈+∞，有()()12h x h x >，又∵1y x=在区间()0,∞+上单调递减， 1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，有1211x x >， ∴()()212111h x h x x x λ->-等价于()()121211h x x x x h λ⎛⎫->- ⎪⎝⎭， ∴()()2121h x x x h x λλ->-，设()()G x h x xλ=-，()0,x ∈+∞，则1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，()()2121h x x x h x λλ->-等价于()()12G x G x >，即()G x 在(0,)+∞上单调递减，∴()()20G x h x xλ''=+≤，∴()2x h x λ'≤-，∴()222ln 2x x x F x xλ--≤-⋅=-， ∵当()0,x ∈+∞时，()F x的最大值为15ln 222F =--⎝⎭， ∴()F x -的最小值为15ln 222+，∴15ln 222λ≤+，综上所述，满足题意的实数λ的取值范围是15,ln 222⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦.【点睛】本题第（2）问解题的关键点有两个，一个是将()()122112x g x x g x x x λ->-等价转换为()()21212111g x g x x x x x λ->-，便于构造函数；另一个是通过构造函数()()g x h x x =，借助导数判断出函数()h x 的单调性去绝对值.。

湖北武汉部分学校2023-2024学年八年级上学期月考数学试题(原卷版)

湖北武汉部分学校2023-2024学年八年级上学期月考数学试题(原卷版)

武汉市部分学校八年级12月联考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 在ABC 中，40B ∠=°，80C ∠=°，则A ∠度数为（ ）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60° 2. 一个八边形的内角和的度数为（ ）A. 720°B. 900°C. 1080°D. 1260° 3. 已知点(),2A m 和()3,B n 关于y 轴对称，则()2023m n +的值为（ ） A. 1− B. 0 C. 1 D. ()20205− 4. 如图，AB ∥CD ，∠A =35°，∠C =80°，那么∠E 等于（ ）A. 35°B. 45°C. 55°D. 75° 5. 如图，在等边 ABC 中，AD 是它的角平分线，DE ⊥AB 于E ，若AC =8，则BE =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46. 如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，AD 的中垂线交AB 于点F ，交BC 的延长线于点E .以下四个结论：(1)∠EAD ＝∠EDA ；(2)DF ∥AC ；(3)∠FDE =90°；(4)∠B ＝∠CAE .恒成立的结论有（ ）A. (1)(2)B. (2)(3)(4)C. (1)(2)(4)D. (1)(2)(3)(4) 7. 对于实数a 、b ，定义一种运算：()2*a b a b =−．给出三个推断：①**a b b a =；②()222**a b a b =；③()()**a b a b −=−，其中正确的推断个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 38. 等腰三角形的周长为12,则腰长a 的取值范围是( )的A. a>6B. a<3C. 4<a<7D. 3<a<69. 如图，ABC 是等边三角形，E 、F 分别在AC 、BC 上，且AE CF =，则下列结论：①AF BE =，②60BDF ∠=°，③BD CE =，其中正确的个数是（ ）个A. 1B. 2C. 3D. 410. 如图，AF D C ∥，BC 平分ACD ∠，BD 平分EBF ∠，且BC BD ⊥，下列结论：①BC 平分ABE ∠；②AC BE ；③90BCD D∠+∠=°；④60DBF ∠=°，其中正确个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（每小题3分，共18分）11. 已知等腰三角形的两边长分别为5 cm ，8 cm ，则该等腰三角形的周长是______cm ．12. 如图，点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，欲证ABC DEF ∆≅∆，已知AC DF =，AB DE =，还可以添加的条件是______.13. 五条线段的长度分别为1cm ，2cm ，3cm ，4cm ，5cm ，以其中三条线段为边长共可以组成_____个三角形.14 分解因：22424x xy y x y −−++=______________________．15. 如图，在ABC 中，AC 的垂直平分线PD 与BC 的垂直平分线PE 交于点P ，垂足分别为D ，E ，连接PA ，PB ，PC ，若45PAD ∠=°，则ABC ∠=_____°．的.16. 如图，在四边形ABCD 中，ACBC ⊥于点C ，且AC 平分BAD ∠，若ADC △的面积为210cm ，则ABD △的面积为________2cm ．三、解答题（共8小题，共72分）17. 因式分解：（1）3−a b ab ；（2）22363ax axy ay ++18. 在ABC 中，2B A ∠=∠，40C B ∠=∠+°．求ABC 的各内角度数．19. 如图所示，已知点A 、E 、F 、D 在同一条直线上，AE=DF ，BF ⊥AD ，CE ⊥AD ，垂足分别为F 、E ，BF=CE ，求证：（1）△ABF ≌△DCE（2）AB ∥CD20 先化简，再求值：（x +3y ）2﹣2x （x +2y ）+（x ﹣3y ）（x +3y ），其中x ＝﹣1，y ＝2．21. 如图，在平面直角坐标系中，点()30A −,，点()1,5B −. （1）①画出线段AB 关于y 轴对称的线段CD ；②在y 轴上找一点P 使PA PB +的值最小（保留作图痕迹）； （2）按下列步骤，用不带刻度直尺在线段CD 找一点Q 使45BAQ ∠=°. ①在图中取点E ，使得BE BA =，且BE BA ⊥，则点E 的坐标为___________； ②连接AE 交CD 于点Q ，则点Q 即为所求.22. 如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=°，ABC 的角平分线AE 、CF 相交于点D ，点G 为AB 延长线上一点，DG 交BC 于点H ，ACD AGD △≌△，21GDF ∠=∠．（1）求证：GD CF ⊥；（2）求证：CH AF AC +=．.的23. 已知等边ABC ，AD 是BC 边上的高．（1）如图1，点E 在AD 上，以BE 为边向下作等边BEF △，连接CF ． ①求证：AE CF =；②如图2，M 是BF 的中点，连接DM ，求证：12DM AE =； （2）如图3，点E 是射线AD 上一动点，连接BE ，CE ，点N 是AE 的中点，连接NB ，NC ，当90BNC ∠=°时，直接写出BEC ∠的度数为______ ．24. 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,4（1）如图1，若点B 的坐标为()3,0，ABC 是等腰直角三角形，BA BC =，90ABC ∠=°，求C 点坐标；（2）如图2，若点E 是AB 的中点，求证：2AB OE =； （3）如图3，ABC 是等腰直角三角形，BA BC =，90ABC ∠=°，ACD 是等边三角形，连接OD ，若30AOD ∠=°，求B 点坐标。

河北省高二上学期12月联考数学试题(解析版)

河北省高二上学期12月联考数学试题(解析版)

一、单选题1．一箱脐橙共有21个，其中有3个是坏果，若从中随机取一个，则取到的脐橙不是坏果的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．17374767【答案】D【分析】根据古典概型的概率计算公式可得答案. 【详解】依题意可得，取到的脐橙不是坏果的概率为. 2136217-=故选：D2．若数列的前n 项和，则（ ）{}n a 331nn S n =++3a =A ．18 B ．19 C ．20 D ．21【答案】D【分析】利用与的关系可得，计算即可. n S n a 332a S S =-【详解】． 332371621a S S =-=-=故选：D ．3．设椭圆的上顶点、右顶点分别为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的方程为（ ）22194x y +=A ．B ．()22313124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭()22313122x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭C ．D ．()22313124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭()22313122x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据椭圆的性质和圆的标准方程求解.【详解】依题意可得AB 的中点为，(0,2),(3,0)A B 3,12⎛⎫⎪⎝⎭故以线段AB 为直径的圆的方程为．()22313124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭故选:A.4．在四面体ABCD 中，，则（ ）2CE ED = BE =A ．B ．2133AB AC AD -++ 1233AB AC AD -++C ．D ．1233AB AC AD ++ 2133AB AC AD ++【答案】B【分析】利用平面向量的线性运算即可求解.【详解】因为，所以，则2CE ED =23CE CD = .()212333BE BA AE AB AC CE AB AC AD AC AB AC AD =+=-++=-++-=-++ 故选：.B 5．跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，令肌肉量适当地恢复正常的水平，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质．小孟最近给自己制定了一个218千米的跑步健身计划，第一天他跑了1千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要（ ） A ．29天 B ．28天C ．27天D ．26天【答案】A【分析】依题意可得，小孟从第一天开始每天跑步的路程依次成等差数列，且首项为1，公差为0.5，然后利用等差数列的前项和公式即可求解.n 【详解】依题意可得，小孟从第一天开始每天跑步的路程依次成等差数列，且首项为1千米，公差为0.5千米．设经过n 天后他完成健身计划， 则，整理得．因为函数在上为增函()1121822n n n -+⨯≥238720n n +-≥()23f x x x =+-872[)1,+∞数，且，， ()280f <()290f >所以． 29n ≥故选：.A 6．已知平面的一个法向量为，向量，，则平面与平α()2,1,1m =-- ()0,1,2AB =- ()1,1,0AC =-α面ABC 夹角的正切值为（ ） AB ．2C D【答案】C【分析】根据面面角的向量求法求出平面与平面ABC 夹角的余弦值，即可根据同角三角函数的α关系得出答案.【详解】设为平面ABC 的法向量，(),,n x y z =则，令，得．200n AB y z n AC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 2x =()2,2,1n =r所以平面与平面ABC 夹角的余弦值为αcos ,m n n m m n ⋅==则平面与平面ABC α=所以平面与平面ABCα=故选：C.7．在首项为的数列中，，，，设，则数列的前12{}n a m ∀*n ∈N 12m n m n a a a +=2log n n b a =11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭100项和为（ ） A ．B ．C ．D ．10020120020150101100101【答案】A【分析】令得出，即可得出的通项公式，再将的通项公式代入1m =114n n a a +={}n a {}n a 2log n n b a =中求得，再代入中，由裂项相消即可求得数列的前100项和.n b 11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭【详解】令，得，所以是首项为，公比为的等比数列，1m =111124n n n a a a a +=={}n a 1214所以，，， 11211224n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭2log 12n n b a n ==-()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以数列的前100项和为． 11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭11111110012335199201201⎛⎫-+-++-=⎪⎝⎭ 故选：A.8．已知F 为抛物线的焦点，过F C 于A ，B 两点，过A ，()2:20C y px p =>B 两点作准线的垂线，垂足分别为，，线段交y 轴于，线段交y 轴于，1A 1B1A F 2A 1B F 2B ，则p 的值为（ ）222A B =A ．2 B ．4C D ．【答案】C【分析】设，，由题意可知为的中位线，则()11,A x y ()22,B x y 22A B 11FA B A，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求解即可.11221224A B A B y y ==-=【详解】设，，()11,A x y ()22,B x y 由题意可知为的中位线，则， 22A B 11FA B A 11221224A B A B y y ==-=过F，,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭2p yx ⎫=-⎪⎭联立得，则，， 2,22,p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩220y py p -=12y y p +=212y y p =-则，解得124y y -==p ==p =故选：C ．二、多选题9．在正项等差数列中，，在正项等比数列中，，则（ ） {}n a 912a ={}n b 246b b +=A ． B ．的最大值为3 152136a a a ++=3b C ． D ．32302a a <-<()3135236b b b b ++>【答案】ABC【分析】由等差数列的通项公式可判断A ；由基本不等式及等比数列的性质可判断B ；由题意且，即可判断C ；由等比数列的性质可判断D. 320d aa =->1981280a a d d =-=->【详解】由等差数列的通项公式可知，故A 正确；()152********a a a a d a ++=+==在正项等比数列中，，当且仅当时，等号成立，则的最大{}n b 24362b b b =+≥=243b b ==3b 值为3，故B 正确；设的公差为d ，因为，所以，且，所以，{}n a 0n a >320d a a =->1981280a a d d =-=->302d <<即，故C 正确； 32302a a <-<，故D 错误，()()222231351333522442422236b b b b b b b b b b b b b b b ++=++=++=+=故选：ABC.10．已知P 为直线上的动点，过点P 作圆（C 为圆心）的切:70l x y +-=()()22:121C x y -+-=线，A 为其中的一个切点，则（ ）A ．的最小值为PCB ．的最小值为3PAC ．sin ACP ∠D ．当B 为另一个切点时，的最小值为 PA PB ⋅3-【答案】AC【分析】直线l 与圆C 相离，则的最小值为C 到直线l 的距离，即可判断A ；由PCB ；在直角三角形中求得C ；设sin ACP ∠=APC θ∠=，，结合函数的单调性可判断D ．()2212sin PA PB PA θ⋅=- 2223PC PC=+-【详解】圆的圆心，半径为1， C ()1,2因为C 到直线l ，所以直线l 与圆C 相离，所以的最小值为1>PC 故A 正确；因为，B 错误；AP AC ⊥min PA =C 正sin ACP ∠sin ACP ∠确；设，，则APC θ∠=sin 1AC PC PCθ==()222cos 212sin PA PB PA PA θθ⋅==- ，令，由对勾函数的性质可知，()222222113PC PC PC PC ⎛⎫=- -⎪=+- ⎪⎝⎭2t PC =[)8,∈+∞在上单调递增，则当时，的最小值为，故D 错误．23PA PB t t⋅=+- [)8,t ∈+∞8t =PA PB ⋅ 214故选：AC ．11．如图，在四棱锥中，平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且，E ，P ABCD -PA ⊥2PA AB ==F 分别为PD ，PB 的中点，则（ ）A ．平面PAC EF ⊥B ．平面EFC//AB C ．点F 到直线CDD ．点A 到平面EFC【答案】AD【分析】以A 为坐标原点，，，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标ABAD AP 系，由，，利用线面垂直的判定定理可判断A 正确；求出平面EFC 的法向0EF AP ⋅= 0EF PC ⋅=量、的坐标，利用可判断B ；设点A 到平面EFC 的距离为d ，由可判AB20AB m ⋅=≠ AC m d m⋅= 断D ；设点F 到直线CD 的距离为h ，计算可判断C ． 222CF CD h CF CD ⎛⎫⋅ ⎪=- ⎪⎝⎭【详解】以A 为坐标原点，，，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立如图空间直角坐ABAD AP 标系，则，,，，，，()0,0,0A ()002P ,,()2,2,0C ()0,1,1E ()1,0,1F ()0,2,0D 则，，，， ()1,1,0EF =- ()0,0,2AP =()2,2,2PC =- ()2,1,1EC =- 因为，，0000EF AP ⋅=-+=2200EF PC ⋅=-+= 所以，，即，，EF AP ⊥ EF PC ⊥EF AP ⊥EF PC ⊥又，平面PAC ， AP PC P = AP PC ⊂、所以平面PAC ，A 正确；EF ⊥设平面EFC 的法向量为，则，令，得，(),,m x y z = 0,20,x y x y z -=⎧⎨+-=⎩1x =()1,1,3m = 因为，所以，B 不正确；()2,0,0AB = 20AB m ⋅=≠设点A 到平面EFC 的距离为d ，，则，D 正确；()2,2,0AC = AC m dm ⋅=== 设点F 到直线CD 的距离为h ，，，()1,2,1CF =--()2,0,0CD =-则，即C 不正确．2225CF CD h CF CD ⎛⎫⋅ ⎪=-= ⎪⎝⎭h =故选：AD.12．已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过点的直线C ()222210,0x ya b a b-=>>()1,0F c -()2,0F c 1F 与双曲线的左支交于点，与双曲线的其中一条渐近线在第一象限交于点，且l C A C B （是坐标原点），下列结论正确的有（ ）122F F OB =O AB ．若，则双曲线12AB F A= C C ． 122BF BF a ->D ． c a --【答案】ABD【分析】根据可得，根据勾股定理可判断A ，根据向量共线可得122F F OB =21BF BF ⊥，代入双曲线方程可得离心率，进而判断B ，根据双曲线的定义及三角形的三边关系2,33a c b A -⎛⎫ ⎪⎝⎭即可判断C ，根据点点距离以及的坐标的范围即可判断D. A 【详解】由于,因此,1221222F F OB OF OF ===21BF BF ⊥,故A 正确，由于，因此易得，，则 2222,tan ,b OB c BOF c a b a=∠==+(),B a b ()1,0F c -，由，则，进而，将代()1,F B a c b =+ 12AB F A = 111,333a c b F A F B +⎛⎫==⎪⎝⎭ 2,33a c b A -⎛⎫ ⎪⎝⎭2,33a c b A -⎛⎫⎪⎝⎭入双曲线的方程中得，化简得，解得，故22222331a cb a b -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=24490e e --=e =1e >B 正确， e =设直线与双曲线的右支交于点,则由双曲线的定义可知：，由三角形三边关系l M 122MF MF a -=可得，则，故，故22MB MF BF >-121212MF MF BF MB MF BF BF -=+->-122BF BF a -<C 错误，设，，则(),A x y ()0x <， a ==+由于，所以 ，进而，0B y y b <<=22222212y a x a a b ⎛⎫<=+< ⎪⎝⎭x a <<-故，故D 正确， 1cc a AF x a a a-<=--<-故选：ABD三、填空题13．空间向量，满足，且，则______. a b2a b a b +=- ()2,1,3b =- a b ⋅= 【答案】7-【分析】先由空间向量的模的坐标表示求，把两边同时完全平方，化简可求.b 2a b a b +=- a b ⋅【详解】由 ()2,1,3b =-=因为，所以，所以，2a b a b +=- 222a b a b +=- ()()222a ba b +=- 所以，所以，所以，2222442a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ 63140a b ⋅+⨯= 7a b ⋅=- 故答案为：.7-14．若等比数列的前n 项和，则__________．{}n a 156n n S a +=+⋅=a 【答案】56-【分析】由求出，结合等比数列求得值．n S n a a 【详解】由题意时，，2n ≥115()56656n n n n nn a a a a S S +-+⋅-==+-⋅=⋅当时，，又是等比数列，所以，解得．1n =11536a S a ==+{}n a 53656a a +=⨯56a =-故答案为：．56-15．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心F 位于焦点处，以顶点O 为坐标原点，建立如图2所示6AB =2MO =的平面直角坐标系xOy ，若P 是该抛物线上一点，点，则的最小值为15,28Q ⎛⎫⎪⎝⎭PF PQ +__________．【答案】3【分析】由题意可知点在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求()2,3的最小值.PF PQ +【详解】设抛物线的方程为，()220y px p =>因为，，所以点在抛物线上，所以，故， 6AB =2MO =()2,3A 94p =94p =所以抛物线的方程为， 292y x =所以抛物线的焦点，准线方程为，F 9,08⎛⎫⎪⎝⎭98x =-在方程中取可得，所以点在抛物线内， 292y x =158x =2135416y =>Q 过点作与准线垂直，为垂足，点作与准线垂直，为垂足，P PP 'P 'Q QQ 'Q '则，所以，当且仅当直线与准线垂直时等PF PP '=159388PF PQ PP PQ QQ ''+=+≥=+=PQ 号成立，所以的最小值为3. PF PQ +故答案为：3.四、双空题16．对正整数n ，函数是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目．此函数以其首名研究()n ϕ者欧拉命名，故被称为欧拉函数．根据欧拉函数的概念，可得______，数列的前()441ϕ=(){}7nn ϕn 项和______． n S =【答案】 252()61716n n -+【分析】由质因数分解求得的所有质因数，利用质因数结合定义可求得，因为除了7的441(441)ϕ倍数外，其他数都与互质，因此易得，然后由错位相减法求得数列的前项和． 7n (7)n ϕ{(7)}n n ϕn 【详解】因为，2244137=⨯所以不大于441的数中，能被i （i ＝3，7）整除的数与441都不互质， 所以． ()4414414414414412523721ϕ=--+=因为除了7的倍数外，其他数都与互质，所以，7n()1777677nnnn ϕ-=-=⨯则，所以，()161277n n S n -=⨯+⨯++⨯ ()2767277n n S n =⨯+⨯++⨯ 所以，()()11766177767167117n n nn n n S n n n -⎛⎫--=⨯+++-⨯=⨯-⨯=-- ⎪-⎝⎭故． ()61716n nn S -+=故答案为：252；．()61716n n -+【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：等差数列和等比数列直接应用其前项和公式计算；n （2）裂项相消法：最典型的数列：是公差为且各项均不为0的等差数列，数列的项{}n a d 11{}n n a a +需变形：，然后求和； 111111()n n n n a a d a a ++=-（3）错位相减法：是等差数列，是等比数列，则数列的前项和需用此法； {}n a {}n b {}n n a b n （4）分组（并项）求和法：例如是等差数列，是等比数列，则数列的前项可用{}n a {}n b {}n n a b +n 分组求和法；（5）倒序相加法：与等差数列有类似性质的数列：首末两项及与首末两项等距离的两项的和相等，则可用倒序相加法求和．五、解答题17．在等差数列中，，． {}n a 1019a =5099a =(1)求的通项公式；{}n a (2)求数列的前n 项和．123nn a ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⨯⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭n S 【答案】(1) 21n a n =-(2)n S 2113nn ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【分析】(1)设等差数列的公差为，由条件结合等差数列通项公式求和，由此可求通项公{}n a d d 1a 式；(2)利用分组求和法结合等差数列和等比数列求和公式求. n S 【详解】（1）设等差数列的公差为d ， {}n a 因为，，1019a =5099a =所以， 11919,4999a d a d +=+=所以， 1a 1,d 2==故．21n a n =-（2）由(1) ，()11221233nnn a n ⎛⎫⎛⎫+⨯=-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()2311111232522123333nn S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯++⨯++⨯+⋅⋅⋅+-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()2311111352123333nn S n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以()1112113212313nn n n S ⎛⎫- ⎪+-⎝⎭=+⨯⨯-故.2113nn S n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭18．某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7，第二关､第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.3，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲､乙两位选手参加本次活动. (1)求甲最后没有得奖的概率；(2)已知甲和乙都通过了前两关，求甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率. 【答案】(1) 0.825(2) 0.105【分析】（1）分第一关未通过，第一关通过第二关未通过，前两关通过第三关未通过三种情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式，求解即可；（2）若奖金为900，则甲和乙一人得一等奖一人得二等奖，计算对应概率即可.【详解】（1）记第一关未通过为事件，第一关通过第二关未通过为事件，前两关通过第三关未A B 通过为事件，甲最后没有得奖为事件，C D 则，，，()0.3P A =()()0.710.50.35P B =⨯-=()()0.70.510.50.175P C =⨯⨯-=故.()()()()0.825P D P A P B P C =++=（2）记通过了前两关时最后获得二等奖为事件，通过了前两关时最后获得一等奖为事件， E F 则，.()()0.510.30.35P E =⨯-=()0.50.30.15P F =⨯=因为甲和乙最后所得奖金总和为900元，所以甲和乙一人得一等奖一人得二等奖， 故甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率为.0.350.150.150.350.105⨯+⨯=19．已知圆，圆，圆P 与圆M ，圆N 都外切，圆P 的圆心的()22:316M x y ++=()22:34N x y -+=轨迹记为Q ． (1)求Q 的方程；(2)若直线与Q 交于A ，B 两点，求．:34l y x =-AB 【答案】(1)()22118y x x -=>(2)【分析】（1）设圆P 的半径为r ，由圆P 与圆M 和圆N 都外切，得出等于定值，由双PM PN -曲线的定义知，轨迹Q 为双曲线的右支（除去顶点），写出方程即可． （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理和弦长公式求出即可． AB 【详解】（1），，，()3,0M -()3,0N 6MN =设圆P 的半径为r ，因为圆M 与圆N 的半径分别为4，2， 所以，，所以， 4PM r =+2PN r =+2PM PN -=又圆M 与圆N 相切于点，()1,0所以轨迹Q 为以，为焦点，实轴长为2的双曲线的右支（除去顶点），()3,0M -()3,0N 故Q 的方程为．()22118y x x -=>（2）联立得， 221,834,y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩224240x x -+=设，，由韦达定理可得， ()11,A x y ()22,B x y 121224x xx x +===20．在等比数列中，，且．{}n a 24a =3438a a -=(1)求的通项公式； {}n a(2)若，，求数列的前n 项和．34a ≠n nb a ={}n b n S 【答案】(1)24nn n a a ==或(2) 122n n S +-【分析】（1）设公比为，根据条件列出方程，求出与的值，进一步可得；q 1a q n a（2）求得，从而利用裂项相消法即可求出．(1222n n nn b +=⋅=n S 【详解】（1）设公比为，因为，且， q 24a =3438a a -=所以，解得或． 21248q q -=1q =2q =当时，，；1q =14a =4n a =当时，，．2q =12a =1222n nn a -=⨯=（2）因为，所以，34a ≠2n n a =所以，(1222n n nn b +=⋅=所以.2321122222222n n n n S ++=++=- 21．如图1，在平行四边形中，，，，分别为，的中ABCD 24AB AD ==60DAB ∠=︒E F AB CD 点.将沿折起到的位置，使得平面平面，将沿折起到ADE V DE 1A DE △1A DE ⊥BEDF BCF △BF 的位置，使得二面角的大小为，连接，，，得到如图2所示1BC F △1E BF C --120︒11A C 1A F 1C E 的多面体.11A C BEDF(1)证明：.1DE A F ⊥(2)求直线与平面所成角的正弦值.1BC 11A C E【答案】(1)证明见解析；.【分析】(1)取的中点，连接，证明，由线面垂直判定定理证明DE O 1,AO FO 1,A O DE FO DE ⊥⊥平面，由此证明；DE ⊥1A OF 1DE A F ⊥(2)由面面垂直性质定理证明平面，建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平1A O ⊥BEDF 1BC 面法向量，利用向量夹角公式求两向量夹角余弦可得结论.11A C E 【详解】（1）在图1中，连接因为四边形为平行四边形，，分别为，的中,EF ABCD E F AB CD 点，，所以，，4AB =//DF AE 2DF AE ==所以四边形为平行四边形，又，所以四边形为菱形， AEFD 2AD AE ==AEFD 故，同理可证四边形为菱形， AE EF FD DA ===BCFE 故，BC CF FE EB ===所以在图2中，连接，取的中点，连接， ,EF 11,A D A E FD FE ==DE O 1,AO FO 则，1,A O DE FO DE ⊥⊥又平面，平面，， 1A O ⊂1A OF FO ⊂1A OF 1A O FO O = 所以平面，又平面，所以；DE ⊥1A OF 1A F ⊂1A OF 1DE A F ⊥（2）由(1)，因为平面平面，平面平面，平面1AO DE ⊥1A DE ⊥BEDF 1A DE BEDF DE =1A O ⊂，1A DE 所以平面，又平面，所以，1A O ⊥BEDF FO ⊂BEDF 1A O FO ⊥因为，，， 1AO DE ⊥1A O FO ⊥FO DE ⊥如图以点为原点，以分别作为轴的正方向，建立空间直角坐标系，O 1,,OE OF OA,,x y z 因为，，所以，，， 2AE EF FD DA ====160D AE ∠=︒(1A ()1,0,0E ()B 取的中点，连接，因为图1中， BF M 1,C M EM BC CF FE EB ===所以图2中，，所以， EB EF =11C B C F =1,C M BF EM BF ⊥⊥所以为二面角的平面角，1C ME ∠1E BF C --因为二面角的大小为，所以，1E BF C --120︒1120C ME ∠=过点作，垂足为，则，在中，1C 1C N EM ⊥N 160C MN ∠=1C MN A ，，，160C MN ∠=1C M =190C NM ∠= 所以，，所以点的坐标为， 132C N=MN =1C 32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以，，，132BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭(11,0,A E =132EC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设平面的法向量为，11A C E ()111,,,n n x y z =因为，所以，取， 1100n A E n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11110302x y z ⎧=+=1z=113,1x y ==-故向量为平面的一个法向量，(3,n =-所以111cos ,BC n BC n BC n⋅===⋅ 设直线与平面所成角为，则1BC 11A C E θsin θ==所以直线与平面1BC 11A C E22．已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆经过点，．CM )1N-(1)求的方程；C (2)已知点，直线与交于两点，且直线的斜率之和为()3,0D ():3,0l x ty n n t =+≠≠C ,A B ,DA DB 1t，证明：点在一条定抛物线上．(),t n 【答案】(1)22193x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆标准方程求法，列方程组解决即可；（2）设直线的斜率分别为，，，．将代入，得,DA DB 1k 2k ()11,A x y ()22,B x y x ty n =+22193x y+=， ，根据韦达定理化简得即可解()2223290ty tny n +++-=()22121230k k t y y n +=--=223n t =+决.【详解】（1）依题意设的方程为， C 221px qy +=因为经过点，，C M)1N-所以，解得，32161p q p q +=⎧⎨+=⎩1913p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故的方程为．C 22193x y +=（2）证明：设直线的斜率分别为，，，．,DA DB 1k 2k ()11,A x y ()22,B x y 将代入，得．x ty n =+22193x y +=()2223290t y tny n +++-=由题设可知，，，()2212390t n ∆=-+>12223tn y y t +=-+212293n y y t -=+所以 ()()()()()()()()1221122112121212213333333333y x y x y ty n y ty n y yk k x x x x ty n ty n -+-+-++-+=+==----+-+-， ()()()()1212221212231(3)3ty y n y y tt y y t n y y n +-+==+-++-所以，()221230t y y n --=所以． ()()()22222293333033n n t n n t n t t -+⎡⎤--=---=⎢⎥++⎣⎦因为， 3n ≠所以， ()223303n tn t +--=+所以，223n t =+故点在抛物线上，即点在一条定抛物线上．(),t n 223y x =+(),t n。

浙江省杭州市2023_2024学年高二数学上学期12月阶段联考试题含解析

浙江省杭州市2023_2024学年高二数学上学期12月阶段联考试题含解析

考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､学号和姓名；考场号､座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.准线方程为2y =的抛物线的标准方程是（）A.24x y = B.24x y =-C.28x y= D.28x y=-2.直线210x ay +-=和直线()3110a x ay ---=垂直，则a =（）A.1B.12C.1或12D.1或12-3.已知在等比数列{}n a 中，4816a a ⋅=，则6a 的值是（）A.4B.-4C.±4D.164.如图，在三棱台111ABC A B C -中，且112AB A B =，设1,,AB a AC b AA c ===，点D 在棱11B C 上，满足112B D DC = ，若AD xa yb zc =++，则（）A.11,,163x y z === B.111,,632x y z ===C.11,,136x y z === D.111,,362x y z ===5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且202220230,0S S ><，则下列说法错误的是（）A.10120a < B.10110a >C.数列{}n a 是递减数列D.{}n S 中1010S 最大6.已知圆221:20(0)C x ax y a -+=>，直线:0l x =，圆1C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则圆1C 与圆222:(1)(1C x y -+=的位置关系是（）A.内切B.相交C.外切D.相离7.已知圆22:(4)1C x y +-=上有一动点P ，双曲线22:197x y M -=的左焦点为F ，且双曲线的右支上有一动点Q ，则PQ QF +的最小值为（）A.1- B.5- C.7D.58.阅读材料：空间直角坐标系O xyz -中，过点()000,,P x y z 且一个法向量为(),,n a b c =的平面α的方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为21x y z -+=，点()3,1,1Q -，则点Q 到平面α距离为（）A.6B.2C.102D.34二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知()()2,2,2,1,2,1a b =-=-，则下列说法正确的是（）A.()1,4,1a b +=-B.a∥bC.a b⊥D.3cos ,23a ab -=10.已知直线()():2220l mx m y m m R ++--=∈，圆22:(1)(2)25C x y -+-=，点P 为圆C 上的任意一点，下列说法正确的是（）A.直线l 恒过定点()1,1B.直线l 与圆C 恒有两个公共点C.直线l 被圆C 截得最短弦长为D.当1m =-时，点P 到直线l 距离最大值是252+11.已知数列{}{},n n a b 满足()*123111,23n n n a a a a b n N S n++++=∈ 是{}n a 的前n 项和，下列说法正确的是（）A.若2n a n n =+，则232n n nb +=B.若n b n =，则{}n a 为等差数列C.若1n b n =+，则{}n a 为等差数列D.若2nn b =，则()122nn S n =-⋅+12.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M ，过M 的直线l 与抛物线C 相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，点D 是点A 关于x 轴的对称点，则下列说法正确的是（）A.124y y =- B.4AF BF +的最小值为10C.,,B F D 三点共线D.0MB MD ⋅>三､填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.在空间直角坐标系O xyz -中，已知点()()3,1,4,2,1,5M N -，则MN =__________.14.过点()0,0作圆22:430C x y y +-+=的两条切线，切点为A B ､，则劣弧长 AB =__________.15.如图，已知正方形0000A B C D 的边长为2，分别取边00000000,,,D A A B B C C D 的中点1111,,,A B C D ，并连接形成正方形1111A B C D ，继续取边11111111,,,D A A B B C C D 的中点2222,,,A B C D ，并连接形成正方形2222A B C D ，继续取边22222222,,,D A A B B C C D 的中点3333,,,A B C D ，并连接形成正方形3333,A B C D ，依此类推；记011A A B 的面积为1122,a A A B 的面积为2,a ，依此类推，()*1n n n A A B n N -∈ 的面积为n a ，若12310231024n a a a a +++=，则n =__________.16.设12F F ､是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，点,P Q 为椭圆C 上的两点，且满足21260,2PF Q PF QF ∠==，则椭圆C 的离心率为__________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,3,4AB AD AA ===，点,E F 分别为棱1,AB DD的中点，（1）求证：1C F ⊥平面BCF ；（2）求直线1C F 与平面1DEC 所成角的正弦值.18.（本题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，点()*111,n n n N a a +⎛⎫∈⎪⎝⎭在直线210x y -+=上.（1）求证：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）求满足11635n a ≤≤的n 的取值构成的集合.19.（本题满分12分）已知动点P 与两个定点()()1,0,4,0A B 的距离的比是2.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）直线l 过点()2,1，且被曲线C 截得的弦长为3，求直线l 的方程.20.（本题满分12分）已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，满足343,10a S ==.数列{}n b 满足12b =，*112,n n n nb a n N b a ++=∈.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）设数列{}nc 满足()*1(1)32,n n n n n c n N a b +-+=∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .21.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2,,AB PA E F ==分别为,PB PD 的中点.（1）求平面CEF 与底面ABCD 所成角的余弦值；（2）求平面CEF 与四棱锥P ABCD -表面的交线围成的图形的周长.22.（本题满分12分）已知双曲线C 的中心为坐标原点，上顶点为()0,2，离心率为2.（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）记双曲线C 的上､下顶点为12,,A A P 为直线1y =上一点，直线1PA 与双曲线C 交于另一点M ，直线2PA 与双曲线C 交于另一点N ，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标.2023学年第一学期金华卓越联盟12月阶段联考高二年级数学参考答案命题人：东阳二中吕夏雯陆琳琳；审题人：汤溪中学张拥军一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.D 【解析】242pp =⇒=，又抛物线开口向下，所以抛物线的方程为28,D x y =-正确.2.C 【解析】()()311201a a a a -⋅+⋅-=⇒=或1,C 2a =正确.3.C 【解析】2486616,4,C a a a a ⋅==∴=±正确.4.A 【解析】1111111111111212,,3333AD AA A D A D A B AC AD AA A B AC =+=+∴=++又111111111,,,2263A B a AC b AA c AD a b c ===∴=++ ，A 正确.5.D 【解析】()()120222022101110121011101220221011002a a S a a a a +==+>⇒+>()1202320231012101220232023002a a S a a +==<⇒<，则10110a >所以数列{}n a 单调递减，{}n S 中1011S 最大.D 正确.6.B 【解析】圆上3个点到直线的距离是1，则圆心到直线的距离应是1,12aa a -∴=-，则2a =，圆1C 的圆心为()2,0，半径是2，圆2C 的圆心为(，半径是1，则12C C =，所以两圆的位置关系是相交.B 正确.7.D 【解析】圆心()0,4C ，取双曲线的左焦点()224,0,1,6F PQ QC QF QF ≥-=+ ，则()22216555PQ QF QC QF QC QF CF +≥-++=++≥+=PQ QF ∴+的最小值为5+，D 正确.8.A 【解析】平面α的法向量()1,1,2n =-，在平面α上任取一点()1,0,1A -，则()4,1,0QA =- ，556A 66QA n d n ⋅== 正确.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.ACD 【解析】()1,4,1a b +=- ，选项A 正确，a b λ≠ ，选项B 错误；()()2122210a b -⋅+⋅+⋅-=∴⊥选项C 正确；()12324,2,4cos ,23236a b a a b -=--∴->=⋅，选项D 正确，正确答案是A.C.D 10.ABD 【解析】直线():2220l m x y y +-+-=，所以恒过定点()1,1.选项A 正确；因为定点()1,1在圆C 内，所以直线l 与圆C 恒有两个公共点.选项B 正确；l 被圆C 截得的最短弦长2516-=C 错误；当1m =-时，:0l x y -=，点P 到直线l 的距离的最大值是25522+=+，选项D 正确.正确答案是A.B.D11.ABD 【解析】当2n a n n =+，则11n a n n =+，所以()221322n n n n n b +++==，选项A 正确；已知12311123n a a a a n n++++= ，当1n =时，11a =，当2n ≥时，12311111231n a a a n n -++++=-- ，则(11,1n n a a n n n=∴==时也成立），所以{}n a 为等差数列，选项B 正确；已知123111123n a a a a n n++++=+ ，当1n =时，12a =，当2n ≥时，1231111231n a a a a n n -++++=- ，则(11,1n n a a n n n=∴==时不成立），所以{}n a 不是等差数列，选项C 不正确；已知123111223n n a a a a n++++= ，当1n =时，12a =，当2n ≥时，112311112231n n a a a a n --++++=- ，则1112,2(1n n n n a a n n n--=∴=⋅=时不成立)，所以12,1;2,2n n n a n n -=⎧=⎨⋅≥⎩当1n =时，12S =，1n =时，12112,222322n n a S n -==+⋅+⋅++⋅ ()2122222122n nn S n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅ ()()22314122022222212212n n n nnn S n n n ----=++++-⋅=+-⋅=-⋅-- 所以()122,1nn S n n =-⋅+=时也成立，选项D 正确.正确答案是A.B.D 12.CD【解析】设直线:1l x my =-，联立方程组224,4401y x y my x my ⎧=-+=⎨=-⎩，则121244y y m y y +=⎧⎨=⎩，选项A 不正确；221212144y y x x =⋅=，所以()121244114559AF BF x x x x +=+++=++≥=当且仅当2142x x ==时等号成立，所以4AF BF +的最小值为9，选项B 不正确；()11,D x y -，设:l x ny t =+，联立方程组224,440y x y ny t x ny t ⎧=--=⎨=+⎩，则121244y y my y t -+=⎧⎨-=-⎩，所以1t =，即直线BD 过点F ，选项C 正确；对于D 选项，()()22111,,1,MB x y MD x y =+=+-，22121212114214440MB MD x x x x y y m m ∴⋅=+++-=+-++=+>，选项D 正确.正确答案是C.D三､填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.【解析】()1,2,1,MN MN =-∴==.14.23π【解析】圆C ：22(2)1x y +-=，2,63COB COA ACB ππ∠∠∠∴==∴=，故劣弧长23AB π=.15.10【解析】由题意可知三角形的面积构成首项为12，公比为12的等比数列，12311122110231,1012102412nnn a a a a n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴+++==-=∴=-.16.9【解析】如图，过1F 作12F M QF = ，连接2MF ，因为122PF QF = ，所以12260F PF PF Q ∠∠==，设2QF t =，则11222,,22,2PF t MF t PF a t MF a t ===-=-，在2PMF 中，222222||||PM PF PM PF MF +-=，即22222294846644t a at t at t a at t +-+-+=-+，化简得1210859,,99a t PF a PF a ===，所以1006480221299c t a ==，所以离心率219c a =.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）方法一：因为F 是1DD 的中点，所以111112,D F D C FD DC D FC ==== 和FDC 是等腰直角三角形，所以1145D FC CFD ∠∠==，1C F CF ∴⊥，因为BC ⊥平面111,CDD C C F ⊂平面11CDD C ，所以1BC C F ⊥，,BC CF ⊂平面11BCF C F ∴⊥平面BCF方法二：以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，()()()()()()()110,3,0,2,3,0,0,0,2,0,2,4,2,0,0,0,2,2,0,2,2,C B F C CB CF C F ==-=--所以111440,0,C F CF C F CB C F ⋅=-=⋅=∴⊥平面BCF ；（2）()()13,1,0,0,2,4DE DC == ，设平面1DEC 的法向量为(),,n x y z =，则130240DE n x y DC n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，所以取()2,6,3n =- ，又()10,2,2C F =--，11132sin cos ,14||C F n C F n C F n θ⋅∴==== .直线1C F 与平面1DEC所成角的正弦值为14.18.【解析】（1）由已知得111212121,21111n n n n nn a a a a a a ++++=+∴==++，且11120a +=≠，所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，112n n a ∴+=，则1;21n n a =-（2）因为11635n a ≤≤，所以111,52163,626463215n n n ≤≤≤-≤∴≤≤-，得2log 66n ≤≤，又因为*n N ∈，所以n 的取值构成的集合是{}3,4,5,6.19.【解析】（1）设点(),P x y=，化简得2210210x y x +-+=，所以动点P 的轨迹C 的方程为22(5)4x y -+=；（2）由（1）可知点P 的轨迹C 是以()5,0为圆心，2为半径的圆，可计算得圆心()5,0到直线l的距离1d ==，①当直线l 的斜率不存在时，圆心到直线l 的距离是3，不符合条件，②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()12y k x -=-，即210kx y k --+=，所以1d ==，化简得229611k k k ++=+，解得0k =或34k =-，所以直线l 的方程是1y =或34100x y +-=.20.【解析】（1）设数列{}n a 的公差为1123,4610a d d a d +=⎧∴⎨+=⎩，解得11,1,n a d a n ==∴=.()11211,2n n n n b n b n b b n n ++++=∴= ，且121b =，所以n b n ⎧⎫⎨⎩⎭是等比数列，2,2n nn n b b n n∴=∴=⋅（也可用累乘法求{}n b 的通项公式）（2）()()()()1111(1)3211(1)(1)(1)12212212n n n nn n n n n n n c n n n n n n ++++⎛⎫-+--==-+=- ⎪ ⎪+⋅⋅+⋅⋅+⋅⎝⎭，()1111(1)212n n n T n ++∴=---+⋅21.【解析】（1）以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，平面ABCD 的法向量为()0,0,1m =，()()()()()2,2,0,1,0,1,0,1,1,1,2,1,1,1,0C E F CE EF =--=- ，设平面CEF 的法向量为(),,n x y z = ，所以200CE n x y z EF n x y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，所以取()1,1,3n = ，所以cos ,||||11m n m n m n ⋅〈〉=== ，所以平面CEF 与底面ABCD所成角的余弦值为11；（2）由对称性可知平面CEF 与棱PA 交于一点，设交点()()40,0,,1,0,1,1330,3Q t QE t QE n t t =-⋅=+-=∴= ，103QE QF ∴==又CE CF ==，所以围成的图形的周长为210263+22.【解析】（1）设双曲线方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，由上顶点坐标可知2a =，则由52c e a ==可得225,1c b c a ==-，双曲线的渐近线方程为2y x =±.（2）由（1）可得()()120,2,0,2A A -，设()()1122,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为y kx m =+，与2214y x -=联立可得()2224240k x kmx m -++-=，且()22Δ1640k m =-+>，则212122224,44km m x x x x k k --+==--，()2212122248,44k m m y y y y k k -+-∴+==--设()1213,1,,A P A P P t k k t t ∴=-=，2111233,4A P A P MA MA MA k k k k k ∴=-=-⋅= ，得2212MA NA k k ⋅=-2221221222441641612,124y y k m m k x x m ++---+-∴⋅=-=--，化简得22(2)3,4m m +=-。

辽宁省名校联考2024届高三上学期12月联合考试数学试题

辽宁省名校联考2024届高三上学期12月联合考试数学试题

16．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1 3 ， BC 6 ， AB AC 3 2 ， P 为线段
A1B1 上的一点，且二面角 A BC P 的正切值为 3，则三棱锥 A A1C1P 的外接球的体积
为
.
四、解答题 17．已知, 为锐角， tan 2,sin( ) 10 ．
A．22
B．23
C．24
D．25
11．已知 f x 为定义在 R 上的偶函数且 f x 不是常函数，
F x f 1 x 1, g x f x 1 1，若 g x 是奇函数，则（ ）
A． y f x 的图象关于 1,1 对称
B． f x f x 4
C． F x 是奇函数
D． F x 与 g x 关于原点对称
辽宁省名校联考 2024 届高三上学期 12 月联合考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．若复数 z 满足 (1 i)z 3 i ，则 | z | （ ）
A． 5
B．5
C． 2 5
D．20
2．若角 的终边上有一点 P 2, m ，且 sin 5 ，则 m （ ）
(1)求证： A1O BD ；
(2)若直线
EC
和平面
DEF
所成角的正弦值为
4 5
，求三棱锥
A1
DEF
的体积．
22．已知函数 f x ax a e loga x ,a 0 且 a 1．
(1)讨论 f x 的单调性．
(2)若 f x 有且仅有两个零点，求 a 的取值范围．
试卷第 4页，共 4页
B．函数 f x 的图象的一条对称轴方程为 x

湖北省优质重点高中2023届高三12月联考数学试题和参考答案

湖北省优质重点高中2023届高三12月联考数学试题和参考答案

湖北省优质重点高中2023届高三12月联考数学试题和参考答案一、选择题1.已知函数 $f(x)=ax^2+bx+c$（$a>0$），当 $x\in[-2,2]$ 时，$f(x)$ 的最小值为 $-4$，则 $f(x)$ 最小值的取值为（）A. $-4-\dfrac{b^2}{4a}$B. $-4-\dfrac{4ac-b^2}{4a}$C. $-4+\dfrac{b^2}{4a}$D. $-4+\dfrac{4ac-b^2}{4a}$2.若 $a,b,c$ 均为正整数，且 $a+b+c=10$，则下列四个式子中最大的是（）A. $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{10}$B. $\sqrt[3]{abc}$C. $ab+bc+ca$D. $\dfrac{10!}{a!b!c!}$3.已知 $\triangle ABC$ 中，$AB=3$，$AC=4$，$\angle BAC=120^\circ$，则 $\sin B+\sin C=$（）A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$B. $\dfrac{13\sqrt{3}}{24}$C. $\dfrac{\sqrt{21}}{4}$D. $\dfrac{11\sqrt{3}}{24}$4.设 $a$，$b$，$c$ 为实数，若 $ab+bc+ca=0$，则 $(a+b+c)^3=$（）A. 0B. $a^3+b^3+c^3$C. $3abc$D. $a^3+b^3+c^3+3abc$二、填空题1.在 $x\in[0,1]$ 的条件下，求 $f(x)=\sin(x\pi)+\sin^2(2x\pi)$ 的最大值为\underline{\hphantom{~~~~~~~~~}}。

2.若曲线 $y=\dfrac{2x^3-3x^2+4}{x^2+1}$ 的渐近线为 $y=2x-1$，则曲线 $y=\dfrac{2x^3-3x^2+4}{x^2+1}-2x+1$ 的极限是\underline{\hphantom{~~~~~~~~~}}。

浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题(含答案)

浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题(含答案)

2023学年第一学期浙南名校联盟12月联考高一年级数学学科试题考生须知：1.本卷共5页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分（共60分）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若命题2:,220P x R x x m ∃∈++-<是假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A.1m > B.1m ≤ C.1m < D.1m ≥2.已知函数()f x 的定义域{}2248xa a x a -<<-∣是关于x 的不等式()()220x a x ++->的解集的子集，则实数a 的取值范围是（ ）A.)26,∞⎡++⎣B.][(),226,∞∞-⋃++C.(2,26⎤+⎦ D.(]2,33.如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形.设弧AD 的长度是1l ，弧BC 的长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，扇形AOD 周长为定值L ，圆心角为α，若123l l =，则当1S 取得最大值时，圆心角为α的值为（ ）A.1B.2C.3D.44.今有一组实验数据及对应散点图如下所示，则体现这些数据关系的最佳函数模型是（ ）x10 20 29 41 50 58 70 y123.87.4111521.8A.log a y A x p =+B.x y A a p =⋅+C.2y ax bx c =++D.y kx b =+5.若12,x x R ∈，则“()3321210x x x -<”是“12x x <”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.函数()cos 1cos 1x x xe f x xe ⎛⎫-=⋅ ⎪+⎝⎭在0,,22x πππ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭内的大致图像为（ ） A. B.C. D.7.已知函数()()2ln f x x x =+，设()()0.5514.1log ,cos14a f b f c f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.b a c <<B.c a b <<C.c b a <<D.a c b <<8.定义在R 上的函数()f x 和()g x ，其中()f x 满足()()f x f x -=且在[)0,∞+上单调递减，()g x 满足()()11g x g x -=+且在()1,∞+上单调递减，令()()()()()12F x f x g x f x g x ⎡⎤=++-⎣⎦，则对x R ∀∈，均有（ ）A.()()11F x F x -≥+B.()()11F x F x -≤+C.()()2211F xF x -≥+ D.()()2211F x F x -≤+二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《研智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知非零实数,a b 满足1133a b>，则（）A.11a b> B.a a b b > C.()()222233a a bb ab +>+ D.11b ba a+>+ 10.已知,a b 为正数，1181a b ab++=，则下列说法正确的是（ ） A.()ln ln a b ab +≥B.22(1)(1)a b +++的最小值为18C.9a b +的最小值为8D.33a b +的最小值为1811.已知函数()()112,20222,04x x f x f x x +⎧⋅-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，则下列命题正确的是（ ）A.存在k R ∈，使得()f x k =有3个不同的实数根B.存在k R ∈，使得()f x kx =有4个不同的实数根C.若函数()()g x f x k =-有2个零点12,x x ，则12x x +的值为2,2-或6D.能使得关于x 的方程()()2[]310f x mf x m +++=有4个不同的实数根的m的取值范围是12⎛- ⎝⎭12.函数()f x 定义在区间D 上，若满足：12,x x D ∀∈且12x x <，都有()()12f x f x ≥，则称函数()f x 为区间D 上的“不增函数”，若()f x 为区间[]0,4上的“不增函数”，且()()()04,134f f x f x =++-=，又当[]3,4x ∈时，()82f x x ≥-恒成立，下列命题中正确的有（ ）A.313444f f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.[]()1,4,2x f x ∃∈>C.413436f f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.[]()()()0,2,24x f f x f x ∀∈-≥- 非选择题部分（共90分）三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算：2523log 9332742log 2log 5649-⎛⎫+--= ⎪⎝⎭__________. 14.已知O 为坐标原点，若角α的终边上一点P 的坐标为()1,m -，且sin 10α=-，线段OP 绕点O 逆时针转动90后，则此时点P 的坐标为__________. 15.不等式()722ln01x x x x e e e e --+-<+-的解集是__________.16.已知0b >，若对任意的()0,x ∞∈+，不等式324820ax x abx b +--≤恒成立，则224a a b ab +++的最小值为__________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知集合{}22211,2102x A xB x x ax a x -⎧⎫=≤=-+-≤⎨⎬-⎩⎭∣∣.（1）当2a =时，求A B ⋃； （2）当RB A B ⋂=时，求实数a 的取值范围.18.（本题满分12分）已知()()()()()sin 4cos tan 33sin tan 2f παπαπααπαα--+=⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （1）若()()0,22f ααπ=-∈，求α的值； （2）若()725f f παα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，求tan α. 19.（本题满分12分）随着环保意识的增强，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于60km /h ）测试发现：①汽车每小时耗电量P （单位：KWh ）与速度v （单位：km /h ）的关系满足()()20.0020.04560120P v v v v =-+≤≤；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A 地经高速公路（最低限速60km /h ，最高限速120km /h ）驶到距离为500km 的B 地，出发前汽车电池存量为75KWh ，汽车到达B 地后至少要保留5KWh 的保障电量.（假设该电动汽车从静止加速到速度为v 的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. （1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B 地并说明理由；（2）若途径服务区充电桩功率为15kw （充电量=充电功率⨯时间），求到达B 地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）.20.（本题满分12分）已知函数()()2log 21kxf x x =++为偶函数.（1）求实数k 的值； （2）若关于x 的方程()()21xf b f=-（b 为常数）在x R ∈上有且只有一个实数根，求实数b 的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数()f x 对,x y R ∀∈，都有()()()()()()21211f x y f x y f x f y ++-=--+且()314f =. （1）求证：()()01f x f +≥； （2）求()2024f 的值.22.（本题满分12分）已知函数()()f x x a x b =+-，其中,a b 为常数. （1）当1b =时，求函数()y f x =的单调区间； （2）当0a =时，存在2023个不同的实数()1220231,2,2023,03i x i x x x =≤<<<≤，使得()()()()()()12232022202312f x f x f x f x f x f x -+-++-=求实数b 的取值范围.2023学年第一学期浙南名校联盟12月联考高一年级数学学科参考答案一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二､选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.7914.()3,1- 15.{ln2ln2}xx -<<∣16.16-四､解答题：本大题共6小题，共70分.17.【答案】（1）[)[][]1,2,1,1,2,1,3A B a a a A B =-=-+=∴⋃=- （2）[)()3,,2∞∞+⋃--【解析】（1）()()21110{12022x x A xx x x x x x -+⎧⎫⎧⎫=≤=≤=+-≤⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭∣∣∣且[)20}1,2x -≠=- {}()(){}[]222101101,1B x x ax a x x a x a a a ⎡⎤⎡⎤=-+-≤=---+≤=-+⎣⎦⎣⎦∣∣[]2,1,3a B ==， []1,3A B ∴⋃=-（2）,RB A B A B ⋂=⇔⋂=∅,12A B a ≠∅≠∅∴-≥或11a +<-3a ∴≥或 2.a <-18.【答案】（1）()0,23παπα∈∴=或23πα=（2）4tan 3α=或34【解析】（1）()()()()()()()()sin 4cos tan 3sin cos tan sin 3cos tan sin tan 2f παπαπααααααπαααα--+--===-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭()sin 0,23πααπα∴=∈∴=或23πα=（2）()777,sin sin sin cos 25255f f ππαααααα⎛⎫⎛⎫++=-∴--+=-∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7sin cos 5αα∴=- 227cos cos 15αα⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭即：()()5cos 310cos 80αα--= 3cos 5α∴=或4cos 5α=当3cos 5α=时，4sin 4sin ,tan 5cos 3αααα∴=∴==， 当4cos 5α=时，3sin 3sin tan 5cos 4αααα∴=∴== 则4tan 3α=或34（其他解法酌情给分）19.【答案】（1）该车不能在不充电的情况下到达B 地. （2）该汽车到达B 地的最少用时为223【解析】（1）设匀速行驶速度为v ，耗电量为()f v ， 则()()()50025002060120f v P v v v v v=⋅=+-≤≤ 函数()f v 在区间[]60,120单调递增()min 245()607553f v f ∴==≥- 该车不能在不充电的情况下到达B 地（2）设匀速行驶速度为v ，总时间为t ，行驶时间与充电时间分别为12,t t . 若能到达B 地，则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量即()275155t f v +-≥ 解得25006153v t v≥+-.125005002000226661531533v v t t t v v v ∴=+≥++-=+-≥=. 当且仅当2000153v v=，即100v =时取到等号 所以该汽车到达B 地的最少用时为22320.【答案】（1）2k =- （2）0,1b b =≥或1b ≤-【解析】（1）()()2log 21kx f x x =++为偶函数()()2log 21kx f x x -∴-=+-()()()()222221log 21log 212log 2021kx kxkxxkx f x f x x -⎛⎫+∴--=+-++== ⎪+⎝⎭22212122121kx x kx x kx -⎛⎫+∴=∴⋅= ⎪+⎝⎭2k ∴=-..（1）法2：由()()()()2211log 211log 2112kkf f k =-⇒++=+-⇒=-.当2k =-时，()()()()222224141log 21log 2log log 2242x x xx x x x x f x x f x --⎛⎫⎛⎫++=++===+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2k ∴=-（2）()()()222224141log 21log 2log log 2242x x xx x x x x f x x --⎛⎫⎛⎫++=++===+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22x x -+在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增令222log x xt y t -=+=在()2,∞+上递增()()2log 22x x f x -∴=+在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增.又()()2log 22x x f x -=+是偶函数则由()()21xf b f =-有且只有一个实数根，21x b ∴=-有且只有一个实数根0,1b b ∴=≥或1b ≤-（其他解法酌情给分）21.【答案】（1）见详解.（2）()120244f = 【解析】（1）取x y ､都为2x 时，()()2021112x f x f f⎛⎫⎛⎫+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭思路2：0x y ==，则()()220(201)1f f =-+，可得()102f =或当()102f =时，令0y =，则()1f x =，即()12f x =与()314f =矛盾 所以()01f =， 即证()0f x ≥取x y ､都为2x 时，()()2021112x f x f f ⎛⎫⎛⎫+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()314f =，可得()()()()()1132304561444f f f f f =⇒=⇒=⇒=⇒= 令1y =，则()()()()()()()1112121112f x f x f x f f x ++-=--+=+即()()()111,2f x f x f x ++-=+即()()()1212f x f x f x ++=++()()211f x f x ∴++-=用3x +代x 可得()()521f x f x +++=()()51f x f x ∴+=-，即()()6f x f x += ()()202422f f ==22.【答案】（1）当1a =-时，()f x 在R 上单调递增. 当1a >-时，()f x 在()1,,1,2a ∞∞-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,12a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 当1a <-时，()f x 在()1,1,,2a ∞∞-⎛⎫-+⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. （2）b 的取值范围是][(),17,∞∞--⋃+ 【解析】（1）()()()()221,111,1x a x a x f x x a x x a x a x ⎧+--⎪=+-=⎨---+<⎪⎩1当1a =-时，()()22(1),1,(1),1x x f x f x x x ⎧-=⎨--<⎩在R 上单调递增. 2当1a >-时，()f x 在()1,,1,2a ∞∞-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,12a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. 3当1a <-时，()f x 在()1,1,,2a ∞∞-⎛⎫-+⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. （2）()22,,x bx x bf x x x b x bx x b ⎧-=-=⎨-+<⎩1当02b≤即0b ≤时，()2f x x bx =-在[]0,3上单调递增，因为12202303x x x ≤<<<≤，所以()()()()1202303f f x f x f ≤<⋯<≤，则()()()()()()12232022202312f x f x f x f x f x f x =-+-++- ()()()()()()()()213220232022f x f x f x f x f x f x =-+-++-()()()()203313093f x f x f f b =--=-解得1b ≤-；2当32b即6b 时，()2f x x bx =-+在[]0,3上单调递增，因为12202303x x x ≤<<<≤，所以 ()()()()20331123093f x f x f f b =--=-+，解得7;b3当3322b<<即36b <<时，()()()()22612203293992422b b b b b f f f b -⎛⎫⎛⎫--=⨯-+--+=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矛盾；4当3022b <≤即03b <≤时， ()()()()()261223029399222b b b b f f f f b b -⎛⎫+--=+-=+< ⎪⎝⎭，矛盾.综上所述，b 的取值范围是][(),17,.∞∞--⋃+。

高三数学12月联考

高三数学12月联考

2020-2021学年度上学期高三12月份联考数学试卷考试时间：120分钟，试卷满分：150分 命题人：许安第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.(2,1),(,2)()x x ===已知，若∥，则a b a b .4A .1B - .1C .4D -2. ={|1},{|(2)(3)0},=,()A x m x n B x x x A B m n ≤+≤=--≤+=已知集合若则.5A .6B .7C .8D3. ,,tan 3,sin()()A B C ABC A B C ∆=+=角是直角的内角，且则.A.B.C.D 4. 20,(1,0)l x y m l l m +-=-直线：直线过点且与垂直，则与的交点坐标是()31.(,)22A 13.(,)22B 31.(,)22C -- 13.(,)22D --5. 432120192020{}4()12,n n S a n S S S a a a -=-+=-是各项均为负数的等比数列的前项和，且，若 20202021()a a +=则.48A .48B - .24C .24D -6. 1212,,(1,0).||1,60C F F F P C OP POF ︒-=∠=已知椭圆的左右焦点分别是且点为上一点，, 则此椭圆的离心率为().1A.1B.2C.3D 7. 1ln ,y x M M =+过原点的直线与曲线相切于点则的坐标是( ).(,2)A e .(,1)B e .(1,1)C .(2,1ln 2)D +8. 某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金.某顾客要购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在左盘，将m 克黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将5克的砝码放入右盘，将n 克黄金放于左盘使之平衡后又给顾客.则顾客实际所得黄金m n +（ ）.A 小于10克 .B 大于10克 .C 小于等于10克 .D 大于等于10克二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东深圳龙岗区四校2024届高三上学期12月联考数学试题(解析版)

广东深圳龙岗区四校2024届高三上学期12月联考数学试题(解析版)

龙岗区2024届高三年级12月四校联合考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项考试时间120分钟，满分150分是符合题目要求．1. 设集合{}2,1,0,1,2U =--，{}1,2A =-，{}1,0,1B =−，则()U B A ∪=（ ）A. {}2,1,1,2−−B. {}2,1,2−−C. {}2,2−D. {}2【答案】B 【解析】【分析】根据集合的运算，即可得到结果. 【详解】{}22U B =−, ，(){}2,1,2U B A ∪=−− ，故选：B 2.复数z =） A. i B. i −C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据复数的乘除运算可得解.【详解】3ii 3z ==.故选：A.3. 陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县新石器时代遗址中发现的.如图所示是一个陀螺立体结构图，已知底面圆的直径8cm AB =，圆柱体部分的高5cm =BC ，圆锥体部分的高3cm CD =，则这个陀螺的表面积（单位：2cm ）是（ ）A. 60πB. 76πC. 92πD. 96π【答案】B 【解析】【分析】根据已知求出圆锥的母线长，从而可求出圆锥的侧面积，再求出圆柱的侧面积和底面面积，进而可求出陀螺的表面积【详解】由题意可得圆锥体的母线长为5l ，所以圆锥体的侧面积为58π20π2×=， 圆柱体的侧面积为8π540π×=，圆柱的底面面积为2π416π×=， 所以此陀螺的表面积为40π20π16π76π++=（2cm ）， 故选：B4. 设x ∈R ，则“124x<”是“220x x −>”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数的性质和不等式的解法，分别求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由124x<，可得222x −<，解得<2x −，即集合{|2}A x x =<− 又由不等式220x x +−>，可得(2)(1)0x x +−>，解得{|2B x x =<−或1}x >， 因为集合A B ，所以124x<是220x x +−>的充分不必要条件. 故选：A.5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为2，且234,3,a a a +成等差数列，则5S =（ ）A. 62B. 93C. 96D. 64【答案】B 【解析】【分析】利用给定条件求出2a ，进而求出1a ，再利用等比数列前n 项和公式计算即得. 【详解】等比数列{}n a 的公比为2，由234,3,a a a +成等差数列，得2432(3)a a a +=+，即222446a a a +=+，解得216,3a a ==，所以553(12)9312S −==−．故选：B6. 已知(0,π)α∈，若πsin 6α −πsin 26α +=（ ） A. 13−B. 23C.13D. 13±【答案】C 【解析】【分析】根据诱导公式及二倍角余弦公式求解.【详解】因为πsin 6α −所以2ππππ21sin 2sin 2cos 212sin 1623633αααα +=+=−=−−=−=， 故选：C7. 随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明迟到的概率是（ ） A. 0.24 B. 0.14C. 0.067D. 0.077【答案】D 【解析】【分析】根据题意，结合相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的，以及互斥事件的概率加法公式，准确计算，即可求解.【详解】记小明步行上班为事件A ，骑共享单车上班为事件B ，乘坐地铁上班为事件C ， 小明上班迟到为事件H ，则()0.2P A =，()0.3P B =，()0.5P C =，(|)1(|)0.09,(|)1(|)0.08,(|)1(|)0.07P H A P H A P H B P H B P H C P H C =−==−==−=，所以()()()()()(|)()(|)()(|)P H P AH P BH P CH P A P H A P B P H B P C P H C =++=⋅+⋅+⋅ 0.20.090.30.080.50.070.077=×+×+×=，所以某天上班他迟到的概率是0.077. 故选：D.8. 若函数()()π2sin ,03f x x ωω =−>，π0,2x ∈ 的值域为2 ，则ω的取值范围是（ ） A. 5,43B. 510,63C. 55,63D. 510,33【答案】D 【解析】【分析】利用π0,2x∈ 可得ππππ,3323x ωω −∈−−，再由三角函数图像性质可得πππππ3322ω≤−≤+，解不等式即可求得ω的取值范围. 【详解】根据题意可知若π0,2x∈ ，则可得ππππ,3323x ωω −∈−−；显然当0x =时，可得π2sin 3x ω −，由()f x 的值域为2 ，利用三角函数图像性质可得πππππ3322ω≤−≤+， 解得51033ω≤≤，即ω的取值范围是510,33. 故选：D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法正确的是（ ）A. 一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位数为14B. 若随机变量X 服从正态分布()23,X σ，且()40.7P X ≤=，则()340.2P X <<= C. 若线性相关系数r 越接近1，则两个变量的线性相关性越强D. 对具有线性相关关系得变量,x y ，其线性回归方程为ˆ0.3y x m =−，若样本点的中心为(),2.8m ，则实数m 的值是4− 【答案】BCD 【解析】【分析】利用百分位数的定义即可判断选项A ，利用正态分布的性质即可判断选项B ，根据线性相关系数的性质即可判断选项C ，利用线性回归方程中的基本量即可判断选项D. 【详解】因为1060%6×=，所以第60百分位数为1416152+=，A 错误； 若随机变量X 服从正态分布()23,X σ，且()40.7P X ≤=， 则()()4140.3P X P X >=−≤=， 则()()340.540.2P X P X <<=−>=，B 正确； 若线性相关系数r 越接近1，则两个变量的线性相关性越强，C 正确； 对于D ，样本点的中心为(),x y ， 所以x m =， 2.8y =，而对于回归直线方程ˆˆˆy bx a =+， 因为此时线性回归方程为ˆ0.3y x m =−， 所以ˆ0.3b =，2.80.3m m =−，所以4m =−，D 正确. 故选：BCD10. 函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ=+><部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） 的A. 函数()f x 最小正周期为πT =B. π6ϕ=C. ()f x 在区间5ππ,126−−上单调递减D. 方程()12f x =在区间[]0,2π内有3个根 【答案】AC 【解析】【分析】根据函数图象可求出函数的最小正周期，进而可求出ω，再利用待定系数法求出ϕ，再根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可.【详解】由图可知函数()f x 最小正周期5ππ2π63T=−=，故A 正确； 2ππω=，所以2ω=，则()()sin 2f x x ϕ=+， 又π2πsin 133f ϕ=+=， 所以2ππ2π32k ϕ+=+，所以π2πZ 6,k k ϕ=−+∈， 又π2ϕ<，所以π6ϕ=−，故B 错误；所以()πsin 26f x x =−， 由5ππ,126x∈−−，得ππ3ππ2π,,6222x −∈−−⊆−− ，所以()f x 在区间5ππ,126−−上单调递减，故C 正确；令()π1sin 262f x x=−=，得ππ22π66x k −=+或π5π22π66x k −=+， 所以ππ6xk =+或ππ,Z 2x k k =+∈，又[]0,2πx ∈，所以π6x =或π2或7π6或3π2， 所以方程()12f x =在区间[]0,2π内有4个根，故D 错误.故选：AC .11. 已知等差数列 {}n a 首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，若 1089S S S <<，则下列说法正确的是（ ） A. 1 0a d >> B. 使得0n S >成立的最大自然数18n = C. 891011 a a a a +<+ D. n n S a中最小项为1100S a 【答案】ACD 【解析】【分析】结合题意：利用等差数列及1089S S S <<，判断出10a d >>，并可以分析出91090a a a +<<，再利用数列的相关知识即可判断.【详解】根据题意：89989109109100,,0S S S S a S S S S a <−=> ∴<−=< 即9110180,90a a d a a d −=−−< =+< 两式相加， 解得：100a d ><，故A 正确. 由108S S <，可得到91090a a a +<<，所以8110a a +<，()10118940a a a a d +−+=<，1011890a a a a +++<，所以891011a a a a +<+，故C 正确；由以上可得：123910110a a a a a a >>>…>>>>>…，()117179171702a a S a +==>，而()()1181891018902a a S a a +==+<， 当17n ≤时，0n S >；当18n ≥时，0nS <；要使得0n S >成立的最大自然数17n =，故B 错误.当9n ≤，或18n ≥时，0n n S a >；当918n <<时，0nnS a <； 由1011170a a a >>>…>，10111217S 0S S S >>>…>>, 所以n n S a中最小项为1100S a ，故D 正确. 故选：ACD.的12. 如图，正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，点E 是1AA 的中点，点F 是侧面11ABB A 内一动点，则下列结论正确的为（ ）A. 当F 在1A B 上时，三棱锥1F CD E −的体积为定值B. CE 与BF 所成角正弦的最小值为23C.过1D 作垂直于CE 的平面α截正方体1111ABCD A B C D −所得截面图形的周长为D. 当1D F CE ⊥时，BCF △ 【答案】ABD 【解析】【分析】证明出1//A B 平面1CD E ，可知11111F CD E A CD EC ADE V V V −−−==，可判断A 选项；利用线面角角的定义可判断B 选项；分别取线段AB 、AD 的中点M 、N ，连接AC 、11A C 、11B D 、BD 、MN 、1D N 、1B M ，证明出CE ⊥平面11B D NM ，并计算出四边形11B D NM 的周长，可判断C 选项；分析可知，当BF B M ⊥1时，BF 的长取最小值，可求出BCF △面积的最小值，可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，连接1CD 、1A B ，如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D −中，11//A D BC 且11A D BC =， 故四边形11A BCD 为平行四边形，所以，11//A B CD ，因为1A B ⊄平面1CD E ，1CD ⊂平面1CD E ，所以，1//A B 平面1CD E ， 当F 在1A B 上时，点F 到平面1CD E 的距离等于点1A 到平面1CD E 的距离，所以，111111111122123323F CD E A CD E C A D E A D E V V V S CD −−−===⋅=××××=△，A 对； 对于B 选项，连接BE ，因为BF ⊂平面11AA B B ，所以，CE 与BF 所成的最小角为直线CE 与平面11AA B B 所成的角， 因为BC⊥平面11AA B B ，所以，CE 与平面11AA B B 所成角为BEC ∠，因为BE ⊂平面11AA B B ，所以，BC BE ⊥，因为BE =，2BC =，所以，3CE =，所以，2sin 3BC BEC CE ∠==，故CE 与BF 所成角正弦的最小值为23，B 对；对于C 选项，分别取线段AB 、AD 的中点M 、N ，连接AC 、11A C 、11B D 、BD 、MN 、1D N 、1B M ，因为四边形1111D C B A 为正方形，则1111B D A C ⊥，又因为1AA ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，则111⊥B D AA ，因为1111AA AC A ∩=，1AA 、11AC ⊂平面11AACC ，所以，11BD ⊥平面11AAC C ， 因为CE ⊂平面11AAC C ，则11CE B D ⊥，在Rt ABE △和1Rt BB M 中，AE BM =，1AB BB =，190BAE B BM ∠=∠=， 所以，1Rt Rt ABE BB M △≌△，则1BMB AEB ∠=∠，所以，190ABE BMB ABE AEB ∠+∠=∠+∠=，则90BOM ∠= ，即1B M BE ⊥，因为BC⊥平面11AA B B ，1B M ⊂平面11AA B B ，则1B M BC ⊥，因为BC BE E = ，BC 、BE ⊂平面BCE ，所以，1B M ⊥平面BCE ， 因为CE ⊂平面BCE ，所以，1CE B M ⊥， 因为M 、N 分别为AB 、AD 的中点，则//MN BD ，因为11//BB DD 且11BB DD =，故四边形11BB D D 为平行四边形，所以，11//B D BD ， 所以，11//MN B D ，则N 、M 、1B 、1D 四点共面，因为11CE B D ⊥，1CE B M ⊥，1111B M B D B ∩=，1B M 、11B D ⊂平面11B D NM ， 所以，CE ⊥平面11B D NM ，过1D 作垂直于CE 的平面α截正方体1111ABCD A B C D −所得截面，则截面为梯形11B D NM ，由勾股定理可得1B M =同理可得1D N =，MN =11B D =所以，截面周长为1111B D MN B M D N ++++C 错； 对于D 选项，由C 选项可知，CE ⊥平面11B D NM ，则点F 的轨迹为线段1B M ， 因为BC⊥平面11AA B B ，BF ⊂平面11AA B B ，则BC BF ⊥，则12BCF S BC BF BF =⋅=△， 当BF B M ⊥1时，即当点F 与点O 重合时，BF 的长取最小值，此时，1min 1BM BB BF B M⋅==，所以，BCF S BF =≥△，D 对. 故选：ABD.【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知向量(),2a x = ，()3,4b =，若()a b b +⊥ ，则x =______.【答案】11− 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算的坐标表示求得a b +，进而根据向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】因为(),2a x = ，()3,4b =，所以()3,6a b x +=+ ，又因为()a b b +⊥ ，所以()0a b b +⋅=， 即()33460x ++×=，解得11x =−. 故答案为：11−.14. 二项式62x展开式的常数项为______．【答案】60 【解析】【分析】利用二项式定理计算，取3602r −=，解得4r =，代入计算得到答案.【详解】62x 展开式的通项为()()36662166C 2C 21rr r r r r r r T x x −−−+ =⋅⋅=⋅⋅−⋅， 取3602r −=，解得4r =，常数项为()44646C 2160−⋅⋅−=. 故答案为：60.15. 近年来，随着我国城镇居民收入的不断增加和人民群众消费观念的改变，假期出游成为时尚.某校高三年级7名同学计划高考后前往黄山､九华山､庐山三个景点旅游.已知7名同学中有4名男生，3名女生.其中2名女生关系要好，必须去同一景点，每个景点至少有两名同学前往，每位同学仅选一处景点游玩，则7名同学游玩行程安排的方法数为__________. 【答案】150 【解析】【分析】7个人去三个景点，每个景点至少2人，则两个景点两人，一个景点3人，两个关系好的女生要在一起，则为特殊元素，可以分为，她俩单独一个景点和她俩和另外一位同学一个景点，分类相加即可. 【详解】由题，两个关系好的女生要在一起，则为特殊元素，可以分为，她俩单独一个景点和她俩和另外一位同学一个景点，第一类：仅要好的两位女生去同一景点3353C A 60=；第二类：要好的两位女生和另一位同学去同一景点112534C C C 90=， 总方法数为6090150+=. 故答案为：150. 16. 已知数列{}n a 满足()122222n na a a n n ∗+++=∈N ，()214n n b a n n λ=−−+，若数列{}n b 为单调递增数列，则λ的取值范围为______．【答案】38+∞,【解析】【分析】由数列的递推公式可得2,nn a =n ∗∈N ，()2214nnb n n λ=−−+，再由数列的单调性的定义及不等式恒成立思想，结合参变分离法，计算即可求得所求的范围. 【详解】有题意可知，1n =时，12a =， 当2n ≥时， 由()122222n n a a a n n ∗+++=∈N ， 得()112211222n n a a a n n ∗−−+++=−∈N ， 两式相减得：(1)12n n an n =−−=， 所以2n n a =，当1n =，也满足此式， 故2n n a =，n ∗∈N ，则()214nn b a n n λ=−−+=()2214nn n λ−−+， 若数列{}n b 为单调递增数列，则1n n b b +>恒成立， 即()()12221(1)4(1)214n n n n n n λλ+−−+++>−−+，即232nn λ−>对n ∗∈N 恒成立， 设232n nn c −=，则111212352,222n nn n n n n nc c +++−−−−=−=当1,2n =时，321c c c >>，当3n ≥时，数列{}n c 为递减数列，即345c c c >>>⋅⋅⋅， 可得3c 为最大值，且338c =， 则38λ>. 故答案为：38 +∞,.四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18～22题12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos 2b a B c +=， （1）求A ∠；（2）若a =ABCABC 的周长. 【答案】17. π318. 3+ 【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换分析求解；（2）根据面积公式可得2bc =，利用余弦定理可得3b c +=，即可得结果.小问1详解】因为2cos 2b a B c +=，由正弦定理可得sin 2sin cos 2sin B A B C +=，又因为()sin sin sin cos cos sin CA B A B A B =+=+， 即sin 2sin cos 2sin cos 2cos sin B A B A B A B +=+，则sin 2cos sin B A B =， 且()0,πB ∈，则sin 0B ≠，可得1cos 2A =， 因为()0,πA ∈，所以π3A ∠=. 【小问2详解】 因为ABC的面积为11sin 22==bc A bc ，可得2bc =， 【由余弦定理可得2222cos c b bc A a +−=，即223b c bc +−=， 整理得()2339+=+=b c bc ，可得3b c +=， 所以ABC的周长为3a b c ++=+.18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且2375,a S a ==. （1）数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =，求数列{}+n n a b 前n 项和.【答案】（1）21n a n =+ （2）28(41)23n n n −++【解析】【分析】（1）根据等差数列的概念得到数列的通项公式；（2）由第一问得到212n n b +=，+n n a b 是一个等差和一个等比，分组求和即可． 【小问1详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d1115336a d a d a d+=+=+ ，解得13a =，2d = 由()11n a a n d +−=，则21n a n =+ 因此，通项公式为21na n =+. 【小问2详解】由（1）可知:21na n =+，则212n nb += ()211121242n n n n b b ++++==因为3128b ==，所以{}n b 是首项为8，公比为4q =的等比数列. 记{}n n a b +的前n 项和为n T ，则()()()1122nn n T a b a b a b =++++⋅⋅⋅++()()1212n n a a a b b b =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()11121nn b q n a a q−++−()284123n n n −=++19. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，2PA PB AD ===，4BC =.（1）若PB 的中点为E ，求证：//AE 平面PCD ； （2）若2AB =，求平面PCD 与平面PBD 的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2. 【解析】【分析】（1）取PC 的中点F ，连接,EF DF ，由已知易证四边形ADFE 是平行四边形，即//DF AE ，再由线面平行的判定证结论；（2）设O 是AB 中点，根据题设构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】如图，取PC 的中点F ，连接,EF DF ， ∵E 、F 分别为,PB PC 的中点，∴//EF BC ，122EF BC == ∵//AD BC 且122AD BC ==， ∴//EF AD 且EF AD =，故四边形ADFE 是平行四边形，∴//DF AE ，AE ⊄平面PCD ，DF ⊂平面PCD ， ∴//AE 平面PCD.【小问2详解】设O 是AB 中点，作//Oy BC ，由底面ABCD 为直角梯形且//AD BC ，得Oy AB ⊥， 因为PA PB =，所以PO AB ⊥，由面PAB ⊥面ABCD ，面PAB ∩面ABCD AB =，PO ⊂面PAB ，故PO ⊥面ABCD ， 以O 为原点，,,OB Oy OP 所在直线分别为,,x y z 轴建空间直角坐标系，如下图所示：∴()1,0,0A −、()1,0,0B 、()1,4,0C 、()1,2,0D −、(P ，则(BP =−，(1,2,PD =− ，()2,2,0DC =， 设面PBD 的法向量(),,n x y z =，则020n BP x n PD x y ⋅=−= ⋅=−+=，取x =)n = ； 设面PCD 的法向量(),,m a b c =，则22020m DC a b m PD a b ⋅=+= ⋅=−+=，取1a =，得(1,1,m − ； 设平面PCD 与平面PBD 的夹角为θ，则cos m n m nθ⋅==⋅ ∴平面PCD 与平面PBD. 20. 在ABC 中，2B A C =+，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ． （1）若a a bb a b c+=++，判断ABC 的形状； （2）若ABC 不是钝角三角形，求ac的取值范围． 【答案】（1）ABC 为直角三角形（2）1,22【解析】【分析】（1）由2B A C =+得π3B =，由a a bb a bc +=++化简后结合余弦定理得2c a =，由正弦定理有πsin sin 2sin 3C A A=+=，求出A 即可判断ABC 的形状；（2）ABC 不是钝角三角形，则有ππ62C ≤≤，由正弦定理sin 1sin 2a A c C ==+可.【小问1详解】因为2,πB A C A B C =+++=，所以3πB =，即π3B =． 因为a a bb a b c+=++，所以()()a a b c b a b ++=+，即22a ac b +=． 由余弦定理222222cos b a c ac B a c ac =+−=+−，得222a ac a c ac +=+−，即2c a =． 由正弦定理得sin 2sin C A =，即()πsin π=sin 2sin 3A B A A−++=，则有1sin 2sin 2A A A +=，即cos A A =，得tan A =． 由()0,πA ∈，则ππ,62A C ==，所以ABC 为直角三角形． 【小问2详解】因2π3A C +=，所以2π3A C =−． 由ABC 不是钝角三角形，可知2ππ032π02C C<−≤<≤ ，所以ππ62C ≤≤．由正弦定理得πsin sin 13sin sin 2C a A c C C+ ===， 当π2C =时，cos 0C =，所以12a c =． 为当ππ62C ≤<时，12a c =，因为ππ62C ≤<，所以tan C ≥，所以10tan C <≤，所以302<≤，所以122a c <≤． 综上，a c 的取值范围是1,22． 21. 在高三一轮复习中，大单元复习教学法日渐受到老师们的喜爱，为了检验这种复习方法的效果，在A ，B 两所学校的高三年级用数学科目进行了对比测试．已知A 校采用大单元复习教学法，B 校采用传统的复习教学法．在经历两个月的实践后举行了考试，现从A ，B 两校高三年级的学生中各随机抽取100名学生，统计他们的数学成绩（满分150分）在各个分数段对应的人数如下表所示： [)0,90[)90,110[)110,130[]130,150A 校 6 14 50 30B 校 14263822（1）若把数学成绩不低于110分的评定为数学成绩优秀，低于110分的评定为数学成绩不优秀，完成22×列联表，并根据小概率值0.01α=的独立性检验，分析复习教学法与评定结果是否有关； 数学成绩不优秀 数学成绩优秀 总计 A 校 B 校 总计（2）在A 校抽取的100名学生中按分层抽样的方法从成绩在[)0,90和[)90,110内的学生中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行访谈，记抽取的3人中成绩在[)0,90内的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++．α0.10 0.01 0.001 x α2.7066.63510.828【答案】（1）列联表见解析，有关 （2）分布列见解析，期望为910【解析】【分析】（1）由题意可得列联表，计算2χ的值，与临界值表比较，即得结论；（2）根据分层抽样确定[)0,90和[)90,110内抽取人数，确定X 的取值，结合超几何分布的概率计算求得每个值相应的概率，即可得分布列，根据期望公式求得数学期望. 【小问1详解】由题意完成22×列联表如下：零假设为0H ：复习教学法与评定结果无关． 则()220.01200206040809.524 6.63560140100100x χ××−×≈>=×××，∴根据小概率值0.01α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为复习教学法与评定结果有关，此推断犯错误的概率不大于0.01． 【小问2详解】按分层抽样的方法从成绩在[)0,90和[)90,110内的学生中随机抽取10人， 则成绩在[)0,90内的人数为3，成绩在[)90,110内的人数为7，故X 的所有可能取值为0，1，2，3，()()03123737331010C C C C 7210,1,C 24C 40P X P X ====== ()()21303737331010C C C C 712,3C 40C 120P X P X ======， 故X 的分布列为则()721719012324404012010E X =×+×+×+×=． 22. 已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且22n +与4n S 的等差中项为*1,N n S n +∈.（1）求数列{}n a 的通项公式. （2）设()1311nn n n n a b a a ++=-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21nna =− （2）()11121nn n T +-=-+-【解析】【分析】（1）利用等差中项，构造数列，等比数列的知识得出； （2）采用裂项相消法，注意分n 为奇数偶数. 【小问1详解】因为22n +与4n S 的等差中项为1n S +，所以12422n n S S n +=++，即121n n S S n +=++. 当1n =时，2121224S a a S =+=+=，则23a =.当2n ≥时，12n n S S n −=+， 所以11221n n n n S S S S +−−=−+，所以121n n a a +=+，可变形为()1121n n a a ++=+， 所以112(2)1n n a n a ++=≥+，且21121a a +=+也符合，所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a +=，所以21nna =−， 即数列{}n a 的通项公式为21n n a =−. 【小问2详解】方法一()()()()()1113132211111.21212121n n n n n n n n n n n n a b a a +++⎛⎫+⋅- ⎪=-⋅=-⋅=-⋅+ ⎪----⎝⎭ 当n 为奇数时，22334111111111111212121212121212121n n n n T ++=--++--+--=----------- . 当n 为偶数时， 22334111111111111212121212121212121n n n n T ++=--++--+++=-+--------- . 所以数列{}n b 的前n 项和为()11121n nn T +-=-+-. 方法二()()()()()111313221111121212121n n n n n n n n n n n n a b a a +++⎛⎫+⋅- ⎪=-⋅=-⋅=-⋅+ ⎪----⎝⎭. ()()223341111111111111212121212121212121n n n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+++-+++-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .。

山东2024届高三12月全省大联考数学试题(解析版)

山东2024届高三12月全省大联考数学试题(解析版)

山东中学联盟2021级高三12月全省大联考数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅管把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.）1. 设集合{}14A x x =<<，2{|ln(23)}B x yx x ==−−，则A B = （ ） A. ()1,4 B. ()3,4C. ()1,3D. ()1,2【答案】B 【解析】【分析】集合2{|ln(23)}B x y x x ==−−表示的是函数的定义域，求出定义域后和集合A 求交集即可. 【详解】集合2{|ln(23)}B x y x x ==−−中函数成立，只需2230x x −−>， 得一元二次不等式的解集为(,1)(3,)B =−∞−+∞ ，所以(3,4)A B = . 故选：B. 2. 复数2i2iz −=+（其中i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据复数的四则运算法则计算化简，再求出共轭复数，得到共轭复数所在象限.【详解】因22i (2i)34i 2i (2i)(2-i)5z −−−===++， 故34i5z +=第一象限. 故选：A ．3. 若点,,A B C 不共线，则“BA 与BC的夹角为钝角”是“BA BC AC +< ”的（ ）在A. 充分不必要条件B. 充分必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先将不等式BA BC AC +< 转化为BA BC BA BC +<− ，平方后得到0BA BC ⋅<后，排除掉BA 与BC的方向相反即可.【详解】不等式BA BC AC +<等价于BA BC BA BC +<− ，两边平方可得：40BA BC ⋅< ，即0BA BC ⋅<，其中0BA BC ⋅< 当且仅当BA 与BC 的夹角为钝角或BA 与BC的方向相反， 由于点,,A B C 不共线，所以0BA BC ⋅< 当且仅当BA 与BC的夹角为钝角，故选：B .4. 地震级别常用里氏级M 表示，它与地震强度E 满足的关系为lg M E =.如中国汶川2008年地震是8.0级，中国玉树2010年地震是7.1级，则2008年汶川大地震强度是玉树2010年地震强度的（ ）倍（参考数值lg20.3≈） A. 3 B. 6C. 8D. 9【答案】C 【解析】【分析】利用地震级别M 与地震强度E 之间的关系式，代入由对数运算法则计算即可求得128E E ≈. 【详解】设中国汶川2008年地震强度为1E ，中国玉树2010年地震强度为2E ； 即可得128.0lg 7.1lg E E == ，两式相减可得11228.07.1lg lg lg E E E E −−，可得12lg0.9E E =，所以0.93lg 2lg8121010108E E =≈==， 因此2008年汶川大地震强度是玉树2010年地震强度的8倍. 故选：C5. 调和信号是指频率恒定的一种信号，三角函数性质可以表达调和信号的周期性，指数函数可用来描述信号的衰减.已知一个调和信号的函数为()sin2e 1x xf x =−，它的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据函数在()4,0−内的零点个数和奇偶性判断.【详解】解：令()0f x =，则sin 20x =，2π,Z x k k =∈，解得π,Z 2k x k ∈， 则在()4,0−内有π,π2−−两个零点，故排除选项A ，D ， 又()f x 不具有奇偶性，则图象既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，故排除选项C ， 故选：B6. 已知()3cos 5βα−=，1tan tan 2αβ=，则()cos2αβ+=（ ） A. 225−B.2325C.225D. 2325−【答案】D 【解析】【分析】利用三角恒等变换求解即可.【详解】()3cos cos cos sin sin 5βαβαβα−=+=， sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==，2sin sin cos cos αβαβ=. 所以12sin sin ,cos cos 55αβαβ==. 所以()()()22cos22cos 12cos cos sin sin 1αβαβαβαβ+=+−=−−123212525=×−=−. 故选：D7. 已知双曲线2221(0)2x y b b −=>，抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M 到直线1:4380l x y −+=和2:3l x =−的距离之和的最小值为（ ） A.115B.145C.165D.215【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，借助双曲线求出抛物线焦点F 的坐标，再结合抛物线定义及几何意义求解最值作答.【详解】双曲线2221(0)2x y b b−=>的渐近线0bx ±=，右焦点F ，=b =，因此抛物线的焦点为(2,0)F ，方程为28y x =，其准线为2x =−，由243+8=0=8x y y x− 消去x 并整理得：26160y y −+=，264160∆=−×<，即直线1l 与抛物线28y x =相离，过点F 作1FP l ⊥于点P ，交抛物线于点M ，过M 作2MQ l ⊥于点Q ，交直线2x =−于点N ，则有21||||||||||||||1||115MP MQMP MN NQ MP MF FP +=++=++=+==，在抛物线28y x =上任取点M ′，过M ′作1M P l ⊥′′于点P ′，作2M Q l ⊥′′于点Q ′，交准线于点N ′，连,M F FP ′′，如图，显然||||||||||||||1||||M P M Q M P M N N Q M P M F FP FP ′′′′′′′′′′′′′′+=++=++≥≥，当且仅当点M ′与点M 重合时取等号，所以抛物线上一动点M 到直线1:4380l x y −+=和2:3l x =−的距离之和的最小值为215. 故选：D【点睛】思路点睛：涉及抛物线上的点到定点与到焦点距离和或到定直线与准线距离和的最小值问题，利用抛物线定义转化求解即可.8. 已知函数()2e xf x =,()1g x x =+,对任意1R x ∈,存在()21,x ∈−+∞,使()()12f x g x =成立,则21x x −的最小值为（ ）A. 1ln22−B. 1C. 11ln222−+ D. 2ln2−+【答案】C 【解析】【分析】令()()120,f x g x m ==>将12,x x 用m 表示,从而可将21x x −构造为关于m 函数,再利用导数求出函数的最小值即可.【详解】由题意,令()()120,f x g x m ==>则122e ,1,x m x m =+=所以121ln ,1,2x m x m ==− 故2111ln .2x x m m −=−−令()()11ln 0,2h m m m m =−−>则()11,2h m m =−′令()0,h m ′=得1,2m = 所以当10,2m∈时,()()0,h m h m ′<单调递减; 当1,2m ∞∈+时,()()0,h m h m ′>单调递增.的所以当12m =时,()h m 有最小值11ln222−+,即21x x −的最小值为11ln222−+.故选：C .【点睛】本题考查导数的综合应用,利用导数研究函数的单调性与最值,化归转化思想,属中档题.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9. 已知()1210,0a b a b+=>>，则下列结论正确的是（ ）A. ab 的最小值为8B. a b +的最小值为3+C.21a b +的最大值为2 D.2214a b +的最小值为12【答案】ABD 【解析】【分析】由121a b+=得2a b ab +≥A 判断；由“1”的代换结合基本不等式即可对B 判断；由21322a b b +=−<即可对C 判断；由22222221214214142a b a b ab a b a b +=++×≤+++即可对D 判断；【详解】对A ：由121a b+=，得2a b ab +≥8ab ≥，当且仅当2,4a b ==时取等号，故A 正确；对B ：()12233a b a b a b a b b a+=++=++≥+，当且仅当2b ==+时取等号，故B 正确； 对C ：由121a b +=，得121a b =−，所以2132a b b+=−，因为0b >，所以322b −<，故C 错误；对D ：22222221214214142a b a b ab a b a b +=++×≤+++，令2214,0t t a b =+>，得21t ≥，解得12t ≥，当且仅当12a b=，即2,4a b ==时取等号，故D 正确. 故选：ABD.10. 已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）A. 函数()f x 的图象关于5,012−对称B. 函数()f x 在1,14的值域为 −C. 函数()f x 在73,62单调递减D. 要得到函数()()cos g x A x ωϕ=+的图象，只需将函数()f x 的图象向左平移14个单位 【答案】BCD 【解析】【分析】根据图象求解出()f x 的表达式，然后逐项判断即可求解. 【详解】由题中图可知2A =1113124=−=，得1T =，所以2π2πT ω==，所以()()2sin 2πf x x ϕ=+， 当112x =时，112sin 2π21212f ϕ =×+= ，即πsin 16ϕ+=，所以ππ2π62k ϕ+=+，k ∈Z ， 因为π2ϕ<，所以π3ϕ=，所以函数()π2sin 2π3f x x=+. 对A ：55ππ2sin 2π2sin 2121232f−=−×+=−=−，故A 错误；对B ：当1,14x∈时，π5π7π2π,363x+∈ ，所以()f x ∈− ，故B 正确；对C ：当73,62x∈时，π8π10π2π,333x+∈ ，此时()f x 单调递减，故C 正确；对D ：将函数()π2sin 2π3f x x=+的图象向左平移14个单位，则得到的新的函数解析式为 ()()1ππππ2sin 2π2sin 2π2cos 2π43323h x x x x g x=++=++=+=，故D 正确.故选：BCD.11. 如图，已知菱形ABCD 的边长为2，60ADC ∠=°，将ACD 沿AC 翻折为三棱锥−P ABC ，点P 为翻折过程中点D 的位置，则下列结论正确的是（ ）A. 无论点P 在何位置，总有AC PD ⊥B. 点P 存在两个位置，使得1P ABC V −=成立C. 当PB =ADD. 当2PB =时，M 为PB 上一点，则AM CM +的最小值为 【答案】AC 【解析】【分析】对于选项A ，设菱形ABCD 对角线的交点为O ，AC OP ⊥，AC OD ⊥，在旋转过程中一直成立，得AC ⊥平面OPD ，AC PD ⊥成立；对于选项B ，平面APC ⊥平面ADC 时，使得1P ABC V −=成立，不存在两个解；对于选项C ，当PB =易得平面APC ⊥平面ADC ，边AD 旋转所形成的曲面是“以A 为顶点，以OP 为半径的圆锥”的一部分，求解即可；对于选项D ，AM CM +取最小值时，由对称性，可以判断点M 为PB 中点，求解即可.【详解】选项A ，设菱形ABCD 对角线的交点为O ，如上图所示，无论点P 在何位置，总有AC OP ⊥，AC OD ⊥，因为AC OP ⊥，AC OD ⊥，OP ⊂平面OPD ，OD ⊂平面OPD ，OP OD O ∩=， 所以AC ⊥平面OPD ；又因为PD ⊂平面OPD ，且AC ⊥平面OPD ，所以AC PD ⊥成立，选项A 正确； 选项B ，点P 旋转到使得平面APC ⊥平面ADC 成立时，P ABC V −取得最大值，其中11||||||||136A P ABC CD V S OP AC OD OP −=⋅⋅=⋅⋅= ，使得1P ABC V −=成立，只有平面APC ⊥平面ADC 成立时的一个点，选项B 错误；选项C ，由于OP OD ==PB =OP OD ⊥，边AD 旋转所形成的曲面是“以A 为顶点，以OP 为半径的圆锥”的表面的14，其面积为112π242××，C 正确； 选项D ，当2PB =时，易得,PAB PCB 都为正三角形，AM CM +取最小值时，点M 为PB 中点，AM CM +的最小值为，D 不正确；故选：AC.12. 已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ，()()123f x g x ++−=，()()11f x g x −−−=，且()12g −=，()1g x −为偶函数，下列结论正确的是（ ）A. ()f x 的周期为4B. ()32g =C.20241()4048k g k ==∑D.20241()4048k f k ==∑【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案.【详解】对A ：由于()1g x −为偶函数，图象关于y 轴对称，所以()g x 图象关于=1x −对称； 所以()()()()()()21111g x g x g x g x −=−+−=−−−=−所以()()()()1213f x g x f x g x ++−=++−=①，而()()11f x g x −−−=②，将两式相加得：()()114f x f x ++−=， 则()()24f x f x ++=③，所以()()()()()()4224244f x f x f x f x f x +=++=−+=−−=， 所以4是()f x 一个周期，故A 正确； 对B 、C 、D ：由A 项知令1x =，由③得()()134f f +=，由①()()()21223f g f +−=+=， 得()21f =，由②得()()()01021f g f −−=−=，()03f =则()()403f f ==，所以()()()()12348f f f f +++=，所以()202412024840484k f k ==×=∑， 故D 正确；由①令=1x −，得()()()01313f g g +=+=，()10g =， 由()()123f x g x ++−=，()()11f x g x −−−=，得()()33f x g x +−=，()()11f x g x −−−= 两式相减得()()312g x g x −+−−=， 即()()312g x g x −+−=，且()g x 关于()2,1−对称，()21g −=， 所以()()22g x g x ++=④，所以()()()()()()4222222g x g x g x g x g x +=++=−+=−−=， 所以()g x 是周期为4的周期函数，所以()()312g g =−=，故B 正确；由④令2x =，得()()242g g +=，所以()()()()12344g g g g +++=，所以的()202412024420244k g k==×=∑，故C 错误； 故选：ABD.【点睛】关键点睛：分别求出()g x ，()f x 的奇偶性及周期，从而求解.三、填空题（每小题5分，共20分）13. 已知函数()2log ,0sin ,0x x f x x x > = −≤ ，则π4f f−=______. 【答案】12−##0.5− 【解析】【分析】先求出π4f−f 即可求解.【详解】由题意得ππsin 44f−=−−，所以2π1log 42f f f−==−. 故答案为：12−. 14. 已知圆C 上的点()2,0A 关于直线360x y +−=的对称点仍然在这个圆上，且圆C 的圆心在x 轴上，则圆C 的标准方程是___________. 【答案】22(6)16x y −+= 【解析】【分析】由题意可知直线360x y +−=过圆心，进而求圆心和半径，即可得圆的方程. 【详解】由题意可知直线360x y +−=过圆心，且直线360x y +−=与x 轴的交点为(6,0)， 则(6,0)C ，可得4r CA ==，所以圆C 的标准方程是22(6)16x y −+=.故答案为：22(6)16x y −+=.15. 米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，其外形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为4和2，侧棱长为______.【解析】【分析】根据棱台和球的性质得外接球的球心O 落在直线12O O 上，根据勾股定理列式求出球的半径，即可求解.【详解】由题意，米斗的示意图如下：设棱台上底面中心为1O ，下底面中心为2O ， 由棱台的性质可知，外接球的球心O 落在直线12O O 上，由题意该四棱台上下底面边长分别为4和2，侧棱长为则1O A =，2O B =，AB =所以12O O =设外接球的半径为R ，2OO h =，则1OO h =，则()(22211222OO O A R h R +=−+=，解得h =R =，所以该米斗的外接球的体积为34π3R =，. 16. 已知数列{}n a 满足132a =，()2*11n n n a a a n +=−+∈N ，数列1n a的前n 项和为nS，设x ∈R ，[]x 表示不大于x 的最大整数.则[]2023S =______.【答案】1 【解析】【分析】根据已知关系式可得()2110n n n a a a +−=−>，知数列{}n a 为递增数列；采用裂项相消法可求得1121n n S a +=−−，知20232024121S a =−−，由数列单调性可求得20242a >，由此可推导得到202312S <<，从而求得结果.【详解】因为()2111n nn n n a a a a a +−=−=−，则()11111111n n n n na a a a a +==−−−−， 即111111n n n a a a +=−−−， 可得121122311111111111111111−+=++⋅⋅⋅++=−+−+⋅⋅⋅+−−−−−−−nn n n n S a a a a a a a a a a 1111112111++=−=−−−−n n a a a ， 即20232024121S a =−−；又因为211n n n a a a +=−+，则()221211n n n n n a a a a a +−=−+=−，且132a =，则10n a −≠，可得10n n a a +−>，所以数列{}n a 为递增数列； 且1322a =<，22117124a a a =−+=<，2322371216a a a =−+=>， 即20242023432>>⋅⋅⋅>>>a a a a ，则20241011<<−a ，可得202411221<−<−a ，所以[]20231S =. 故答案为：1.【点睛】关键点睛：本题解题关键是能够将数列递推关系式进行变形，得到10n n a a +−>、111111n n n a a a +=−−−，从而确定2023S 的表达式.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知()()2cos cos 0f x x x x ωωωω=−>的最小正周期为π.（1）求2π3f 的值； （2）在ABC 中内角，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若3a c =，b =，()12f B =，求c 的值.【答案】（1）1− （2【解析】【分析】（1）由三角恒等变换公式将()f x 化简成正弦型函数，再根据周期求ω，最后代入解析式求2π3f的值.（2）由()12f B =得3B π=，再根据余弦定理求c. 【小问1详解】()2cos cos f x x x xωωω=−111cos2sin 22262x x x πωωω−−=−−由函数()f x 的最小正周期为π，即22ππω=，得1ω=， ()1sin 262f x x π =−− ，213f π=−. 【小问2详解】 由()12f B =得，sin 216B π−=， 角B 为三角形ABC 的内角，3Bπ∴=.3a c =，b =，1cos 2B =，由余弦定理222cos 2a c b B ac+−=， 得12=，即227c =，c ∴.18. 已知数列{}n a 是等差数列，其前n 和为n S ，2310a a +=，10110S =，数列{}n b 的前n 项和为n T 满足321n n T b =+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）把数列{}n a 和数列{}n b 中的相同项按从小到大的顺序组成新数列{}n c ，n M 是数列{}n c 的前n 项和，求n M .【答案】（1）2n a n =，()12n n b −=−（2）1443n n M +−=【解析】【分析】（1）根据等差数列定义即可求出2n a n =，再由321n n T b =+的关系式可得()12n n b −=−；（2）由（1）可知数列{}n c 是以4为首项，4为公比的等比数列，利用等比数列的前n 项和公式可得1443n n M +−=. 【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则2312310a a a d +=+=，1011045110S a d =+= 解得2d =，12a =，可得()()112212n a a n d n n =+−=+−=.因为321n n T b =+① 所以当2n ≥时11321n n T b −−=+② ①－②可得，12n n b b −=− 当1n =时，11b =.所以数列{}n b 是以1为首项，2−为公比的等比数列. 所以()12n n b −=−即2n a n =，()12n n b −=−【小问2详解】由（1）可知，数列{}n a 和数列{}n b 的相同项即为数列{}n b 的所有大于等于3的奇数项，即是22，42，62，82，102，122，…，即224n nn c ==， 可知数列{}n c 是以4为首项，4为公比的等比数列，所以()141444143n n nM +−−==−. 19. 设函数()e 1xf x ax =−−（1）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程. （2）讨论函数()f x 在区间[]0,1上零点的个数. 【答案】（1）()e 11y x =−− （2）答案见解析 【解析】【分析】（1）先求得导函数，()1e 1f ′=−是切线的斜率，利用点斜式方程求切线方程即可；（2）先对参数a 分类讨论研究函数的单调性，结合函数的最值和区间的边界值，利用零点存在性定理判断零点个数即可. 【小问1详解】因为()e 1xf x x =−−，所以()e 1xf x ′=−，则()1e 1f ′=−，()1e 2f =−所以，切线方程为()()()e 2e 11y x −−=−− 即()e 11y x =−− 【小问2详解】由（1）知，()e xf x a ′=−.①当1a ≤时，()f x ′在区间()0,1上大于零，()f x 在区间[]0,1上单调递增，且()00f =，所以()f x 在区间[]0,1上有一个零点.②当e a ≥时，()f x ′在区间()0,1上小于零，()f x 在区间[]0,1上单调递减，且()00f =，所以()f x 在区间[]0,1上有一个零点.③当1e a <<时，()f x ′在区间()0,ln a 上小于零，()f x ′在区间()ln ,1a 上大于零， 所以()f x 在区间[]0,ln a 上单调递减，在(]ln ,1a 上单调递增， 而()1e 1f a =−−.当e 10a −−≥，即1e 1a <≤−时，()f x 在区间[]0,1上有两个零点. 当e 10a −−<，即e 1e a −<<时，()f x 在区间[]0,1上有一个零点. 综上可知，当1a ≤或e 1a >−时，()f x 在[]0,1上有一个零点， 当1e 1a <≤−时，()f x 在区间[]0,1上有两个零点.20. 如图，在四棱锥P ABCD −中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ==ABCD 为直角梯形，其中BC AD ∥，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，12PF FD = ．（1）求证：PB 平面ACF ；（2）在线段PB 上是否存在一点H ，使得CH 与平面ACF PH 的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，PH =PH =【解析】【分析】（1）连接BD 交AC 于M ，由12BM BC MD AD ==，可证BM PF MD FC=，可得PB FM ∥，即可证得结论；（2）取AD 中点O ，则PO AD ⊥，结合已知条件可证得PO ⊥底面ABCD ，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求平面ACF 的一个法向量，设)01(PH PB λλ=≤≤，用向量法表示CH 与平面ACF所成角的正弦值得λ的方程，求解即可． 【小问1详解】 连接BD 交AC 于M ，BC AD ，12BM BC MD AD ∴==， 12PF FD = ，12PF FD ∴=， BM PF MD FD∴=，PB FM ∴∥， 又FM ⊂平面ACF ，PB ⊄平面ACF ，PB ∴ 平面ACF ． 【小问2详解】设线段PB 上存在一点H ，使得CH 与平面ACF， 即CH 与平面ACF，设)01(PH PB λλ=≤≤ ，取AD 中点O ，连接,OC OP ，,PA PD PO AD =∴⊥ ，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD AD =，PO ⊂侧面PAD ，PO ∴⊥底面ABCD ，∵,,222BC AD AB AD AD AB BC ⊥===∥，CO AD ∴⊥， 以O 为坐标原点，分别以,,OC OD OP 所在直线为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()121,0,0,0,1,0,(0,,),0,0,1,1,1,033C A F P B −−，的则42(1,1,0),(,3,30)AC AF == ， 设平面ACF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0,4233n AC x y n AF y z ⋅=+=⋅=+=令1y =，则1,2x z =−=−， ∴平面ACF 的一个法向量为()1,1,2n =−−，又(1,1,1)PB −−，())1,1,1(,,PH λλλλ∴=−−=−−，又()1,0,1CP =− ，(1,,1)CH CP PH λλλ∴+−−−+，设CH 与平面ACF 所成角θ，则sin cos ,n CH n CH n CHθ⋅===整理得23410λλ−+=，解得1λ=或13λ=， 当1λ=时，PH PB ==，当13λ=时，13PH PB ==故在线段PB 上存在一点H ，使得CH 与平面ACFPH =或PH =21.已知圆22:100C x y ++−=，点P 是圆C上的动点，点)F 是圆C 内一点，线段PF 的垂直平分线交CP 于点Q ，当点P 在圆C 上运动时点Q 的轨迹为E . （1）求E 的方程；（2）设M ，N 是曲线E 上的两点，直线MN 与曲线()2220x y bx +=>相切.证明：当MN=,,M N F 三点共线.【答案】（1）2213x y +=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据圆方程可求得()C ，再根据垂直平分线性质以及对称性可得QC QF +=>，即可求出E 的方程；（2）设出直线方程并与椭圆联立，利用韦达定理和点到直线距离可求得MN =时，直线方程为y x =y x =−+，恒过点F ，即可得出证明.【小问1详解】由22100x y ++−=，得(2212x y +=，故()C ，半径QC = 由题意知QP QF =，如下图所示：QC QF QC QP ∴+=+=>∴对Q 的轨迹是以C 、F 为焦点的椭圆.设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>则a =c =1b =所以椭圆方程为2213x y +=；【小问2详解】由（1）得曲线为()2210x y x +=>，表示右半圆，即为图中虚线圆的右半部分（不包括和y 轴交点）； 由题意可知直线MN 的斜率存在且不为0，由对称性可设直线():,0MN y kx m km =+<，()()1122,,,M x y N x y ，如下图所示：由直线MN 与曲线()2210x y x +=>1=，所以221m k =+， 联立2213y kx m x y =+ += 可得()222136330k x kmx m +++−=， ()()()222222Δ641333*********km k m k m k =−+−=−+=>， 所以122613km x x k +=−+，21223313m x x k−⋅=+，可得MN ====， 化简得()22310k −=，所以1k =±，所以1k m = =或1k m =− =:MN y x=或y x =−+，所以直线MN 过点)F ， 即可得,,M N F 三点共线.【点睛】关键点点睛：在求解,,MN F 三点共线时，由于已知)F ，因此可证明直线MN 过点F 即可；将问题转化为直线过定点并求出直线MN 方程即可得出结论. 22. 已知函数()2ln ,R a x f x x a x =+∈. （1）当12a =−时，求函数()f x 的极值； （2）若()f x 有两个极值点12x x ，，求证：()()12124f x f xx x +>+.【答案】22. 有极小值1,无极大值；23. 证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导函数研究函数的极值即可；（2）根据题意得出12x x ，是方程22ln 20x a x a −+=的两个根，结合函数表达式将问题转化为证12a x x >，利用极值点偏移构造函数()()a H x h x h x =−，判定其单调性计算即可. 【小问1详解】 当12a =−时，函数()()()22ln ln 10x x x f x x x f x x x+′−=−>⇒=， 易知()2ln 1g x x x =+−在定义域上单调递增，且()10g =， 所以当()0,1x ∈时，()()00g x f x ′<⇒<，即此时()f x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()()00g x f x ′>⇒>，即此时()f x 单调递增， 故()f x 在1x =时取得极小值，()11f =，无极大值；【小问2详解】由()()2ln a x f x x f x x =+⇒′= 令()0f x ′=，即22ln 20x a x a −+=，由题意可知12x x ，是方程22ln 20x a x a −+=的两个根， 则2112222ln 202ln 20x a x a x a x a −+= −+= ， 欲证()()12124f x f x x x +>+， 即证221212121212121212122ln 2ln 22224a x a x x a x a x x x x x x x x a x x x x x x ++++++++==+>++， 即证12a x x >，令()()()22222ln 20x a h x x a x a x h x x −=−+>⇒=′， 若0a ≤，()()0h x h x ′>⇒定义域上单调递增，不存在两个零点，舍去； 则0a >，可知在(x ∈时，()()0h x h x ′<⇒单调递减，在)x ∈+∞时，()()0h x h x ′>⇒单调递增，要符合题意则需()33ln 0e ,h a a a a ∞−<⇒∈+， 又0x →时，()0h x >，x →+∞时，()0h x >，此时不妨令120x x <<<，构造函数()()(0a H x h x h x x =−<< ()()222223222220a a x a x a a x H x a x x x x − −− ⇒=+⋅′=≥，即()H x 定义域内单调递增，即()()0a H x H h x h x <=⇒<， 所以()()121a h x h x h x =<，因为120x x <<<，所以1a x >，且在)x ∈+∞时，()h x 单调递增，故2121a x x x a x <⇒<，得证. 【点睛】本题关键在于先转化问题为证12a x x >，利用极值点偏移构造函数()()(0a H x h x h x x =−<< ，判定其单调性及最值得出()()121a h x h x h x =< 即可. 在。

2024届高三12月大联考(全国乙卷)文科数学及答案

2024届高三12月大联考(全国乙卷)文科数学及答案

绝密★启用前2024届高三12月大联考（全国乙卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}0,1,4,0,3,4M N ==，则()U M N ⋂=ð（ ）A.{}3B.{}0,2,3,4C.{}0,1,2,4D.{}0,1,2,3,42.若复数z 满足216i z z =+-（i 为虚数单位），则z =（ ）3.已知实数,x y 满足不等式组202406120x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩，则3z x y =-的最小值是（ ）A.1B.2C.3D.64.已知α为第二象限角，且终边与单位圆的交点的横坐标为45-，则5cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.C.5.已知P 是抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，它在抛物线C 的准线l 上的射影为点,Q F 是抛物线C 的焦点，若FPQ 是边长为2的等边三角形，则抛物线C 的准线l 的方程为（ ）A.14x =-B.12x =-C.1x =- D.2x =-6.某班举办趣味数学活动，规则是：某同学从分别写有1至9这9个整数的9张卡片中随机抽取两张，将卡片上较大的数作为十位数字，较小的数作为个位数字组成一个两位数.若这个两位数与将它的个位数字与十位数字调换后得到的两位数的差为45，就视为该同学获奖.若该班同学A 参加这项活动，则他获奖的概率为（ ）A.172 B.136C.118D.197.已知函数()()cos (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2，则ϕ=（ ）A.6πB.3πC.4πD.23π8.某校为庆祝建校60周年，有奖征集同学们设计的文创作品.王同学设计的一款文创水杯获奖，其上部分是圆台（多功能盖），下部分是正六棱台（水杯），圆台与棱台的高之比为0.382：0.618，寓意建校60周年，学校发展步入黄金期.这款水杯下部分的三视图如图所示，则这款水杯下部分的容（体）积约为（）A.B.C.D.9.已知函数()()[)2log ,43,4,3x x f x x x ∞⎧∈⎪=⎨∈+⎪-⎩，则满足()13f x ≤≤的x 的取值范围为（ ）A.][0,24,6⎡⎤⋃⎣⎦B.[]11,4,682⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦C.[]11,2,482⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦D.[]11,2,682⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦10.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin cos2A Cb B C a ++=，且ABC的面积为，则22a c b+的最小值为（）A.2C.4D.11.已知双曲线2222:1(0,0)y x E a b a b-=>>，过点(),0M b -的两条直线12,l l 分别与双曲线E 的上支､下支相切于点,A B .若MAB 为锐角三角形，则双曲线E 的离心率的取值范围为（）A.⎛ ⎝B.⎛ ⎝C.∞⎫+⎪⎪⎭ D.∞⎫+⎪⎪⎭12.已知323sin ,,ln 232a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A.b a c >> B.a b c>>C.a c b>> D.b c a>>二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()1,,2,1a m b ==-.若()2a b + ∥()2a b - ，则实数m 的值为__________.14.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,2,ABC AB AC BC PA ====，则三棱锥P ABC -的内切球的表面积等于__________.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3220,21n n S na n S -+==-，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________.16.设函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且x ∀∈R ，都有()()20f x f x --=.当(]0,1x ∈时，()ln 21f x x x =+-，则函数()f x 在区间19,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有__________个零点.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）某社区为了解居民生活垃圾分类的投放情况，对本社区10000户居民进行问卷调查（满分：100分），并从这10000份居民的调查问卷中，随机抽取100份进行统计，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）估计该社区10000份调查问卷得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和这10000户居民中调查问卷得分不低于85分的居民户数；（2）该社区从调查问卷得分为满分的居民中随机挑选了6户，其中两户为,A B ，并将这6户居民随机分配到社区两个宣传点，每个宣传点3户，且每户居民只能去一个宣传点，帮助社区工作人员开展宣传活动，求,A B 两户居民分在不同宣传点的概率.18.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，4,2,,PA PD AD AB M N ====分别为,PD AB 的中点.（1）求证：AM ⊥平面PCD ；（2）求证：MN ∥平面PBC ；（3）求三棱锥A CMN -的体积.19.（12分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且1328,327a a ==，213n n nn b a -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别为())12,F F ，点P 在椭圆E 上，且满足2PF x ⊥轴，12tan PF F ∠=.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆E 的右顶点为A ，左顶点为B ，是否存在异于点A 的定点(),0(0)Q m m >，使过定点(),0Q m 的任一条直线l 均与椭圆E 交于()()1122,,,M x y N x y （异于,A B 两点）两点，且使得直线AN 的斜率为直线BM 的斜率的2倍？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.21.（12分）已知函数()eexax f x x +=+，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数.（1）当1a =-时，求函数()f x 的最值；（2）当(]0,e a ∈时，讨论函数()f x 的极值点个数.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l 的参数方程为4334x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为8cos 6sin ρθθ=+.（1）求直线l 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线M 交于,A B 两点，求AOB 的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()|1|||f x x x m =--+.（1）当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）若()3f x ≤恒成立，求实数m 的取值范围.2024届高三12月大联考（全国乙卷）文科数学·全解全析及评分标准一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A 【解析】因为全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}0,1,4M =，所以{}U 2,3M =ð.又{}0,3,4N =，所以(){}U3M N ⋂=ð.故选A.2.A 【解析】设()i ,z a b a b =+∈R ，则()i 2i 16i a b a b +=-+-，所以21,26a a b b =+=--，解得1,2a b =-=-，所以z ==，故选A.3.C 【解析】作出不等式组202406120x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩所表示的可行域，如图中阴影部分所示.3z x y =-，即3y x z =-.当直线3y x =自左上向右下平移时，z -逐渐减小，z 逐渐增大，所以当直线3y x z =-经过直线20x y -=与直线6120x y --=的交点()3,6C 时，z 取得最小值，最小值为3363⨯-=.故选C .4.D 【解析】由题意，得43cos ,sin 55αα=-=，所以5333cos cos cos cos sin sin 4444ππππαααα⎛⎫⎛⎫-=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选D.5.B 【解析】不妨设点P 的坐标为()()1111,0,0x y x y >>，依题意，得FQ PQ =，即12p x =+①.又2112y px =②，联立①②，解得113,2p x y ==.22p ==，得1p =，所以抛物线C 的准线l 的方程为122p x =-=-，故选B .6.D 【解析】设同学A 随机抽取得到的两位数的十位数字为x ，个位数字为()y x y >.依题意，若2x =，则1y =，有1种情况；若3x =，则1,2y =，有2种情况⋅ 若9x =，则1,2,,8y = ，有8种情况，共计有12836+++= 种情况，其中满足获奖的情况是()()101045x y y x +-+=，即5x y -=，也即获奖情况只有6,1;7,2;8,3;9,4x y x y x y x y ========，这4种情况，所以该班同学A 参加这项活动获奖的概率为41369=.故选D.7.B 【解析】因为()()cos (0)f x x ωϕω=+>在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且263f f ππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2,1366T f ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以2,cos 13πωϕ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，所以()23k k πϕπ=+∈Z .又0ϕπ<<，所以3πϕ=，故选B.8.A 【解析】由三视图，知这款水杯的下部分是上底边长为4，下底边长为3，高为6的正六棱台，226364S S ====下底上底，所以这款水杯下部分的容（体）积约为(11633V S S h =++⨯=⨯⨯=下底上底.故选A.9.D 【解析】令()1f x =，则()()2log 10,4xx =∈∣或[)()314,3x x ∞=∈+-，解得12x =或2x =或6x =.令()3f x =，则()()2log 30,4xx =∈∣或[)()334,3x x ∞=∈-，解得18x =或4x =.画出函数()f x 图象的草图（如图），得满足()13f x ≤≤的x 的取值范围为[]11,2,682⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦.故选D.10.B 【解析】由正弦定理和()sin cos 2A Cb B C a ++=，得sin sin sin sin 2B B A A ⋅=⋅.因为sin 0,sin02B A >>，所以1cos 22B =.因为0,22B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以23B π=.又ABC1sin 2ac B =，所以4ac =.由余弦定理，得222222cos 312b a c ac B a c ac ac =+-=++≥=，当且仅当a c =时取等号，所以b ≥，所以22244a cb b b b b+-==-.因为函数4y b b =-在)∞⎡+⎣上单调递增，所以当b =时，22a c b +故选B.11.D 【解析】如图，设过点(),0M b -的直线()1:(0)l y k x b k =+>，联立()22221y k x b y x ab ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，整理，得()()222232222220b k axb k x b b k a -++-=，依题意，得()2642222Δ440b k bb ka=--=，所以2222a k b=.由双曲线的对称性，得201k <=<，所以()2222a c a <-，整理，得双曲线E的离心率c e a =>故选D.12.B 【解析】方法一：因为sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以32sin sin 233a b π=>=>=.设()1ln g x x x =--，则()111x g x x x -=-='，当[)1,x ∞∈+时，()10x g x x-=≥'，所以()3111ln102g g ⎛⎫>=--= ⎪⎝⎭，所以331ln 22->，即13ln 22>，所以213ln 322b c =>>=.综上，得a b c >>，故选B .方法二：因为sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以32sin sin 233a b π=>=>=.又213ln 322b c =>=>==.综上，得a b c >>，故选B.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.12-【解析】因为()()1,,2,1a m b ==- ，所以()()24,21,23,2a b m a b m +=--=-+ .又()2a b + ∥()2a b - ，所以()()423210m m ++-=，解得12m =-.故填12-.14.1225π【解析】如图，由已知，得ABC 的面积为112⨯=三棱锥P ABC -在底面ABC 上的高为PA =，等腰三角形PBC 底边BC 上的高为2，所以三棱锥P ABC -的表面积1122222S =⨯⨯+⨯⨯=，体积113V ==.又三棱锥P ABC -的体积13V Sr =（其中r 为三棱锥P ABC -内切球的半径），所以r =，所以三棱锥P ABC -的内切球的表面积为212425r ππ=.故填1225π.15.53n -+ 【解析】方法一：当1n =时，11220S a -+=，解得12a =-.又220n n S na n -+=，所以()()1222n n n n a n a a S -+==，所以数列{}n a 为等差数列.又321S =-，所以()313212a a +=-，解得312a =-，所以数列{}n a 的公差3152a a d -==-，所以数列{}n a 的通项公式为53n a n =-+.故填53n -+.方法二：*,220n n n S na n ∀∈-+=N 恒成立，当1n =时，11220S a -+=，解得12a =-.当3n =时，332360S a -+=，且321S =-，解得312a =-.当2n ≥时，()()1121210n n S n a n ----+-=①，又220n n S na n -+=②，①-②，得()()12120n n n a n a -----=③，所以()1120n n n a na +---=④.④-③，得()()11120n n n n a a a +---+=.因为2n ≥，所以1120n n n a a a +--+=，即11n n n n a a a a +--=-.又132,12a a =-=-，所以数列{}n a 是首项为-2，公差为-5的等差数列，所以数列{}n a 的通项公式为53n a n =-+.故填53n -+.16.6 【解析】如图，因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()f x f x -=-，且()00f =.又()()20f x f x --=，即()()2f x f x =-，所以函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以4是函数()f x 的一个周期，所以()()()0240f f f ===.易知函数()ln 21f x x x =+-在(]0,1上单调递增，且()11ln 11ln20,1ln1211022f f ⎛⎫=+-=-<=+-=>⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间()0,1上仅有1个零点，且零点在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上.由对称性，知函数()f x 在区间()1,2上有且仅有1个零点.因为()f x 是定义域为R 的奇函数且是4是它的一个周期，所以()()40f x f x -+=，所以函数()f x 的图象关于点()2,0中心对称，所以函数()f x 在区间()2,4上有且仅有2个零点.因为函数()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有零点，所以函数()f x 在区间94,2⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点.结合()()240f f ==，得函数()f x 在区间19,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有6个零点.故填6.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）【解析】（1）由频率分布直方图，得样本平均数为()550.008650.012750.024850.040950.01610x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯79.4=，所以估计该社区10000份调查问卷得分的平均数为79.4.因为这10000户居民中调查问卷得分不低于85分的频率为()90850.0400.016100.36-⨯+⨯=，所以估计该社区这10000户居民中调查问卷得分不低于85分的居民户数为100000.363600⨯=.（2）将6户居民分别记为,,,,,A B c d e f ，依题意，6户居民被随机分到两个宣传点的所有情况有(),ABc def ，()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,ABd cef ABe cdf ABf cde Acd Bef Ace Bdf Acf Bde Ade Bcf Adf Bce ，()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,Aef Bcd Bcd Aef Bce Adf Bcf Ade Bde Acf Bdf Ace Bef Acd cde ABf ，()()(),,,,,cdf ABe cef ABd def ABc ，共20种，其中,A B 两户居民分在不同宣传点的情况有()()()()(),,,,,,,,,Acd Bef Ace Bdf Acf Bde Ade Bcf Adf Bce ，()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,Aef Bcd Bcd Aef Bce Adf Bcf Ade Bde Acf Bdf Ace Bef Acd ，共12种，所以,A B 两户居民分在不同宣传点的概率123205P ==.另解：若采用排列组合解答酌情给分：6户居民均分到两个宣传点共有36C 种情况，其中,A B 两户居民分在相同宣传点有142C 种情况，所以,A B 两户居民分在不同宣传点的概率14362C 31C 5P =-=.18.（12分）【解析】（1）因为底面ABCD 为矩形，所以AD CD ⊥.又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面,ABCD AD CD =⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD .又AM ⊂平面PAD ，所以CD AM ⊥.因为在PAD 中，,PA PD AD M ==为PD 的中点，所以AM PD ⊥.又,CD PD D CD ⋂=⊂平面,PCD PD ⊂平面PCD ，所以AM ⊥平面PCD .（2）如图，取PC 的中点E ，连接,ME BE .因为M 为PD 的中点，所以ME ∥CD ，且12ME CD =.又N 为AB 的中点，底面ABCD 为矩形，所以BN∥CD ，且12BN CD =，所以BN ∥EM ，且BN EM =，所以四边形NBEM 为平行四边形，所以BE ∥NM .又BE ⊂平面,PBC MN ⊄平面PBC ，所以MN∥平面PBC .（3）如图，因为,4,2A CMN M ACN V V PA PD AD AB --=====，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以点P 到平面ABCD 的距离即为等边三角形PAD 的高，所以点P 到平面ABCD 的距离为4=.又M 为PD 的中点，所以点M 到平面ANC 又11422ANC S =⨯⨯= ，所以123M ACN V -=⨯=A CMN -.19.（12分）【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.由1328,327a a ==，得228327q =，解得249q =.因为{}n a 的各项均为正数，所以23q =，所以数列{}n a 是以23为首项，23为公比的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为1222333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（2）由（1）得21212132233n nn n n n n n n b a ---===⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，所以1221321222n n n n T b b b -=+++=+++ ，231113212222n n n T +-=+++ ，两式相减，得23111111212222222n n n n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 1111112142212212n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⨯--1323,22n n ++=-所以2332n nn T +=-.20.（12分）【解析】（1）因为2PF x ⊥12tan PF F ∠，解得21,2PF =所以172PF ==.根据椭圆的定义，得12712422a PF PF =+=+=，解得2a =.又c =，所以2221b a c =-=，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=.（2）假设存在满足题意的定点(),0Q m .依题意，设直线l 的方程为,0x ty m m =+>，联立2214x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理，得()2224240t y tmy m +++-=，由()()()22222Δ(2)4441640tm t mt m =-+-=-+>，得224m t <+.由根与系数的关系，得212122224,44tm m y y y y t t -+=-=++.由()()2,2,0,2,0ANBM k k A B =-，得2121222y y x x =⋅-+，所以2121222y y ty m ty m =⋅+-++，即()()1212222m y m y ty y --++=，所以()()()212242224t m m y m y t ---++=+，所以()()()21221224222424t m m y m y t tm y y t ⎧-⎪--++=⎪+⎨⎪+=-⎪+⎩，所以()()()()()21212222222224m y m y tm m m y m y t ⎧⎪--++=⎪⎨+⎪+++=-⎪+⎩②，②-①，得()()()12232324t m m m y t -+--=+，当320m -≠时，解得()()12222424t m y t t m y t ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩，所以()()22122244t m y y t-=+.又212244m y y t -=+，所以()()2222224444t m mt t --=++.因为上式在t 变化时恒成立，所以240m -=.又0m >，所以2m =.此时点Q 与点A 重合，不合题意，舍去；所以320m -=，即23m =，此时点2,03Q ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 的内部，满足直线l 均与椭圆E 交于,M N 两点，所以存在定点2,03Q ⎛⎫⎪⎝⎭满足题意，23m =.21.（12分）【解析】（1）当1a =-时，()e e x x f x x -+=+，则()e 1e e 11e ex x xx x f x '--+--=+=.令()e e 1xx x ϕ=+--，则()x ϕ在R 上单调递增，且()1e 1e 10ϕ=+--=，所以当(),1x ∞∈-时，()0x ϕ<，即()0f x '<；当()1,x ∞∈+时，()0x ϕ>，即()0f x '>，所以()f x 在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以函数()f x 在1x =处取得极小值()112ef =-，即()f x 有最小值12e-，没有最大值.（2）因为()e e x ax f x x +=+，其中(]0,e a ∈，所以()()()2e e e e e 1e ex x x x x a ax ax a f x -+⋅'-+-=+=.令()e e xg x ax a =-+-，则()e xg x a '=-.因为0a >，令()e 0xg x a =-='，则ln x a =，所以当(),ln x a ∞∈-时，()0g x '<；当()ln ,x a ∞∈+时，()0g x '>，所以()g x 在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增，所以()min ()ln 2ln e g x g a a a a ==--.设()2ln e h a a a a =--，其中(]0,e a ∈，则()1ln h a a =-'.令()1ln 0h a a =-='，解得e a =.当(]0,e a ∈时，()0h a '≥，所以()h a 在(]0,e 上单调递增，所以()max ()e 2e elne e 0h a h ==--=.所以当()0,e a ∈时，min ()2ln e 0g x a a a =--<；当e a =时，min ()0g x =.①当e a =时，min ()0g x =，即()0g x ≥，也即()0f x '≥，所以()f x 在R 上单调递增，所以()f x 没有极值点.②当()0,e a ∈时，()ln 1,a g x <在(),ln a ∞-上单调递减.设()e e ln ln t a a a a a ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，则当()0,e a ∈时，()221e e 0a t a a a a '-=-=<，所以()()e 20t a t >=>，即当()0,e a ∈时，eln a a-<.又()g x 在(),ln a ∞-上单调递减，所以()g x 在e ,a ∞⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减，且在e ,ln a a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以当e ,x a ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()e ee e e e e 0aa g x g a a a --⎛⎫>-=++-=+> ⎪⎝⎭，所以()g x 在e ,a ∞⎛⎫--⎪⎝⎭上没有零点，且()e ln 0g g a a ⎛⎫-⋅< ⎪⎝⎭.又()g x 在e ,ln a a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以在e ,ln a a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭内存在唯一0x ，使()00g x =，所以当()0,x x ∞∈-时，()0g x >；当()0,ln x x a ∈时，()0g x <，也即当()0,x x ∞∈-时，()0f x '>；当()0,ln x x a ∈时，()0f x '<，所以0x 为()f x 的一个极大值点.又()()10,g g x =在()ln ,a ∞+上单调递增，ln 1a <，所以当()ln ,1x a ∈时，()0g x <；当()1,x ∞∈+时，()0g x >，即当()ln ,1x a ∈时，()0f x '<；当()1,x ∞∈+时，()0f x '>，所以1为()f x 的一个极小值点，所以当()0,e a ∈时，()f x 有2个极值点.综合①②，当()0,e a ∈时，()f x 有2个极值点；当e a =时，()f x 没有极值点.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）直线l 的参数方程为4334x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数t 并整理，得4370x y --=.因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的极坐标方程为4cos 3sin 70ρθρθ--=.（2）由（1）知直线l 的普通方程为4370x y --=.曲线M 的极坐标方程为8cos 6sin ρθθ=+，化为直角坐标方程为22(4)(3)25x y -+-=，所以曲线M 是圆心为()4,3，半径为5的圆.又直线l 过圆心()4,3，所以10AB =，所以原点O 到直线l的距离75d ，所以AOB 的面积1710725AOB S =⨯⨯= .23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）当1m =时，()2,1112,11,2,1x f x x x x x x -≥⎧⎪=--+=--<<⎨⎪≤-⎩所以()1f x ≥可化为211x ≥⎧⎨≤-⎩，或2111x x -≥⎧⎨-<<⎩，或211x -≥⎧⎨≥⎩，解得1,2x ≤-所以不等式()1f x ≥的解集为1,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.（2）()3f x ≤恒成立，即13x x m --+≤恒成立.因为||1|||||1|x x m m --+≤+恒成立，所以13m +≤，解得42m -≤≤，所以实数m 的取值范围是[]4,2-.。

福建省福州市2023-2024学年高一数学上学期12月联考模拟试题(含答案)

福建省福州市2023-2024学年高一数学上学期12月联考模拟试题(含答案)

福建省福州市2023-2024学年高一数学上学期12月联考模拟试题本试卷分第II 卷（选择题）和两部分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若角2α与220角的终边相同，则α=（）A. ()110360Z k k +⋅∈ B.()110180Z k k +⋅∈ C.()220360Z k k +⋅∈ D.()220180Z k k +⋅∈ 【正确答案】B【分析】利用终边相同的角的特征即可得解.【详解】因为角2α与220角的终边相同，所以2α=()220360Z k k +⋅∈ ，则α=()110180Z k k +⋅∈ .故选：B.2. 若函数()f x 的定义域为[]22-,的定义域为（）A.(]1,3 B.[]1,3 C.(]1,3- D.[]1,3-【正确答案】A【分析】根据抽象函数定义域的求法以及二次根式、分式有意义的条件列出不等式组即可求解.【详解】若函数()f x 的定义域为[]22-,有意义当且仅当212010x x -≤-≤⎧≠-≥⎩，解得13x <≤的定义域为(]1,3.故选：A.3. 若函数()f x 的图象在R 上连续不断，且满足()()()10,20,30f f f <<>，则下列说法正确的是（）A. ()f x 在区间()1,2上一定有零点，在区间()2,3上一定没有零点B. ()f x 在区间()1,2上一定没有零点，在区间()2,3上一定有零点C. ()f x 在区间()1,2上一定有零点，在区间()2,3上可能有零点D.()f x 在区间()1,2上可能有零点，在区间()2,3上一定有零点【正确答案】D【分析】直接根据存在定理即可得结果.【详解】因为()()10,20f f <<，所以()f x 在区间()1,2上可能有零点，因为()()20,30f f <>，()()230f f ⋅<，所以在区间()2,3上一定有零点，故选：D.4. 设集合{}(){}()2R |,|log 10,A x x a B x x B A=≤=-≥⊆ð，则a 的取值范围为（）A. 2a >B. 2a <C. 2a ≥D. 2a ≤【正确答案】C【分析】由题意解对数函数不等式得到集合B ，由()RB A ⊆ð即可得解.【详解】由题意{}|A x x a =≤，(){}{}2|log 10|2B x x x x =-≥=≥，则{}R |2B x x =<ð，若()RB A ⊆ð，则2a ≥.故选：C.5. 已知幂函数()nf x x =的图象过点()2,8，设()()()0.3222,0.3,log 0.3a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系是（）A. b c a << B. a c b <<C. a b c << D. c b a<<【正确答案】D【分析】根据幂函数过点求出解析式，由解析式可得函数单调性，再比较0.3222,0.3,log 0.3大小得解.【详解】因为幂函数()nf x x =的图象过点()2,8，所以82n=，解得3n =，即3()f x x =，故函数在R 上为增函数，因为0.30221>=，2000.30.31<<=，22log 0.3log 10<=，所以()()()0.32220.3log 0.3a f b f c f =>=>=.故选：D6. 如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD 的长度是1l ，弧BC 的长度是2l，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若125l l =，则12S S =（）A. 9B. 10C. 24D. 25【正确答案】C【分析】根据题意，由125l l =可得5OA OB =，再由扇形的面积公式即可得到结果.【详解】设BOC α∠=，由125l l =，得5OA OA OB OB αα⋅==⋅，即5OA OB =，所以222222122221125222412OA OB OA OB OB OB S S OB OB OB ααα---====故选：C.7. 23a ≤≤是函数()2log 2(0a y x ax a =-+>且1)a ≠在[]0,1是减函数的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】令()log a f x u =，2222224a a u x ax x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，u 图象的对称轴为直线2a x =，判断u 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，若要满足()2log 2(0a y x ax a =-+>且1)a ≠在[]0,1单调递减，则()log a f x u =单调递增，进而得到不等式组，求出a 的范围，利用逻辑推理判断选项.【详解】令()log a f x u =，2222224a a u x ax x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，则u 图象的对称轴为直线2ax =，所以u 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，若要满足()2log 2(0a y x ax a =-+>且1)a ≠在[]0,1单调递减，则()log a f x u=单调递增，则2112120a a a >⎧⎪⎪≥⎨⎪-+>⎪⎩，解得123a a a >⎧⎪≥⎨⎪<⎩,故23a ≤<，则23a ≤≤是函数()2log 2(0a y x ax a =-+>且1)a ≠在[]0,1单调递减的必要不充分条件.故选：B8. 设函数()2f x ax bx c =++(,,a b c R∈，且0a >)，则（ ）A. 若02b f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则()()f f x 一定有零点B. 若02b f f a ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()f f x 无零点C. 若02b f f a ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且02b f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则()()f f x 一定有零点D. 若02b f f a ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()f f x 有两个零点【正确答案】D 【分析】根据选项条件，逐一画图判断，能画出反例的即可排除.【详解】对于A ，如图02b f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，此时()min 2b f x f f a ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭，当min 2b f a ≥-，()()()min 0f f x f f ≥>，此时()()f f x 无零点；对于B ，()min2b f x f f a ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，如图时，()min 0f f >，如图()()f f x 在()min ,2b f x f a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，02b f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，此时()()f f x 有零点；对于C ，反例图如选项A ，此时()()f f x 无零点；对于D ，设()()()10f f x f x x =⇒=，()2f x x =，又因为1min 22b x f f x a ⎛⎫<-=< ⎪⎝⎭，所以()1f x x =无解，()2f x x =有两解，故选：D.本题考查函数图像的应用，考查二次函数的性质，考查学生运用图像画反例的能力，是一道难度较大的题目.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 若角α的终边经过点()3,4(0)P t t t ->，则下列结论正确的是（）A. α是第二象限角B. α是钝角C.4tan 3α=-D. 点()cos ,sin αα在第二象限【正确答案】ACD【分析】根据P 点的坐标、象限角、三角函数的定义等知识确定正确答案.【详解】由点()3,4(0)P t t t ->在第二象限，可得α是第二象限角，但不一定是钝角，A 正确，B 错误；44tan 33t t α==--，C 正确；由sin 0α>，cos 0α<，则点()cos ,sin αα在第二象限，D 正确.故选：ACD.10. 对于实数,,a b c ，下列说法正确的是（）A. 若22ac bc >，则a b>B. 若a b >，则11a b<C. 若0a b >>，则2ab b<D. 若c a b >>，则a bc a c b>--【正确答案】AC【分析】由特值法可判断BD ，由不等式的性质判断A ，由作差法判断C ，从而得解.【详解】对于A ，因为22ac bc >，所以0c ≠，则20c >，则a b >，故A 正确；对于B ，取1,1a b ==-，则1111ab =>-=，故B 错误；对于C ，若0a b >>，则()20ab b b a b -=-<，即2ab b <，故C 正确；对于D ，因为c a b >>，当0c =时，1a b c a c b ==---，故D 错误．故选：AC ．11. 已知函数221()1x xf x x x +=++，则下列结论正确的是（）A. ()f x 为奇函数B. ()f x 值域为(,2][2,)-∞-+∞C. 若12120,0,x x x x >>≠，且12()()f x f x =，则122x x +>D. 当0x >时，恒有5()2f x x≥成立【正确答案】AC【分析】应用奇偶性定义判断A ；在,()0x ∈+∞上，令211x t x x x +==+研究其单调性和值域，再判断()f x 的区间单调性和值域判断B ；利用解析式推出1(()f f x x =，根据已知得到211x x =，再应用基本不等式判断C ；特殊值法，将2x =代入判断D.【详解】由解析式知：函数定义域为{|0}x x ≠，且2222()11()()()()11x x x xf x f x x x x x -+-+-=+=-+=---++，所以()f x 为奇函数，A 对；当,()0x ∈+∞时，令2112x t x x x +==+≥=，当且仅当1x =时等号成立，由对勾函数性质知：1t x x =+在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，且值域为[2,)t ∈+∞，而1()f x t t =+在[2,)t ∈+∞上递增，故()f x 在(0,1)x ∈上递减，在(1,)x ∈+∞上递增，且5()[,)2f x ∈+∞，由奇函数的对称性知：()f x 在(,1)x ∈-∞-上递增，在(1,0)x ∈-上递减，且5()(,2f x ∈-∞，所以()f x 值域为55(,][,)22-∞-+∞ ，B 错；由222211()111(()111()1x x x x f f x x x x x x ++=+=+=++，若12120,0,x x x x >>≠且12()()f x f x =，所以211x x =，故121112x x x x +=+≥=，当且仅当11x =时等号成立，而11x =时211x x ==，故等号不成立，所以122x x +>，C 对；由412295(2)25241102f +=+=<⨯=+，即2x =时5()2f x x <，D 错；故选：AC关键点点睛：对于C 选项，根据解析式推导出1()()f f x x =，进而得到211x x =为关键.12. 已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，对(),0,x y ∀∈+∞，都有()()()f xy f x f y =+，且当1x >时，()0f x >，且112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A.()10f =B. 函数()f x 在()0,∞+上单调递增C.()()()1112320232023232023f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 满足不等式()()22f x f x --≥的x取值范围为82,3⎛⎤⎥⎝⎦【正确答案】ABD【分析】对于A ，利用赋值法求得()10f =，从而得以判断；对于B ，根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，从而判断函数的单调性；对于C ，利用抽象函数的性质求得式子的值，由此得以判断；对于D ，先求得113f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将不等式转化为()()918f x f x ≥-，从而得到关于x 的不等式，解之即可判断.【详解】对于A ，因为()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，得()()()()11121f f f f =+=，所以()10f =，故A 正确；对于B ，令10y x =>，得()()110f f x f x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则()()()2212111x f x f x f x f f x x ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为211x x >，所以210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()()210f x f x ->，所以()()12f x f x <，所以()f x 在()0,∞+上是增函数，故B 正确；对于C ，()()()111232023232023f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()()11123202311110232023f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=++⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ，因为112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()()f xy f x f y =+，所以1112422f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()42f =，由()()22f x f x --≥得()()()24f x f x f --≥即()()48f x f x ≥-，因为()f x在()0,∞+上是增函数，所以2048xxx x>⎧⎪->⎨⎪≥-⎩，解得823x<≤，所以不等式()()22f x f x--≥的解集为82,3⎛⎤⎥⎝⎦，故D正确.故选：ABD.关键点睛：对于解含抽象函数的不等式问题，一般先利用抽象函数的性质求得其在定义域上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，1(2P为其终边上一点，则sin()2πα+=________【正确答案】【分析】由三角函数的定义可求出cosα的值，然后由诱导公式可得sin()cos2παα+=得到答案.【详解】点1()2P在角α的终边上，则1r OP==.由三角函数的定义可得：cosxrα==又sin()cos2παα+==故本题考查三角函数的定义和诱导公式，属于基础题.14. 若命题“2000R,10x mx mx∃∈++≤”是假命题，则实数m的取值范围是__________.【正确答案】[) 0,4【分析】易知0m =不等式成立，当0m ≠时，根据一元二次不等式恒成立即可判断.【详解】因为命题“2000R,10x mx mx ∃∈++≤”是假命题，所以210mx mx ++>在R 上恒成立，当0m =时，不等式210mx mx ++>化为10>，恒成立；当0m ≠时，由不等式210mx mx ++>恒成立，得20Δ40m m m >⎧⎨=-<⎩，解得：04m <<，因此实数m 的取值范围为[)0,4．故答案为.[)0,415. 音量大小的单位是分贝()dB ，对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由公式010lgII η=⋅（其中0I 是人耳能听到的声音的最低声波强度）计算得到，设170dB η=的声音的声波强度为12,65d I B η=的声音的声波强度为2I ，则1I 是2I 的__________倍.【分析】由题意根据指数、对数互换运算即可求解.【详解】由题意10010I I η=，所以12706511101022101010I I ηη--====.故答案为16. 设函数()541,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的函数()()()()2g 23x f x a f x =-++恰好有四个零点，则实数a 的取值范围是__________.【正确答案】[)2,+∞【分析】画出()541,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩图象，换元后分析可知方程的一根在区间(]0,1上，另一根在区间()2,∞+上，利用二次函数根的分布列出不等式组，求出实数a 的取值范围.【详解】作出函数()541,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象如图，令()f x t=，函数()()()()2g 23x f x a f x =-++恰好有四个零点．则方程()()()2230f x a f x -++=化为()2230t a t -++=，设()2230t a t -++=的两根为12,t t ，因为123t t =，所以两根均大于0，且方程的一根在区间(]0,1内，另一根在区间()2,∞+内．令()()223g t t a t =-++所以()()()()2Δ2120001020a g g g ⎧=+->⎪>⎪⎨≤⎪⎪<⎩，解得：2a ≥，综上：实数a 的取值范围为[)2,.∞+故[)2,.∞+关键点点睛：复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.17. （1）计算：13ln 2431e log 9log 427-⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭；（2）已知11223(1)m mm -+=>，求22m m --的值.【正确答案】（1）11π-；（2）【分析】（1）结合指对数的运算性质化简即可；（2）结合两次平方关系即可求得22m m --.【详解】（1）原式()133433π422log 3log 434π2211π--=+-++⋅=+-++=-.（2）2112223m m -⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，17m m -∴+=，()2127m m -∴+=即2247m m-+=，()2122245m m m m --∴-=+-=，1m >，1m m -∴-=，()()2211m m m m m m ---∴-=+-=18. 在①()tan 3απ+=；②()()πsin πsin 2cos 2ααα⎛⎫---=- ⎪⎝⎭；③π3π3sin cos 22αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题.已知__________.（1）求3sin 2cos sin cos αααα+-的值；（2）当α为第三象限角时，求()()π3πsin cos πcos sin 22αααα⎛⎫⎛⎫--+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【正确答案】（1）选①②③，答案均为112（2【分析】（1）若选①，利用诱导公式得到tan 3α=，化弦为切，代入求值即可；若选②和③，利用诱导公式和同角三角函数关系得到tan 3α=，化弦为切，代入求值即可；（2）根据tan 3α=，利用同角三角函数关系求出cos ,sin αα，利用诱导公式化简，代入求值.【小问1详解】若选①()tan 3απ+=，则tan 3α=，所以3sin 2cos 3tan 233211sin cos tan 1312αααααα++⨯+===---；若选②()()πsin πsin 2cos 2ααα⎛⎫---=- ⎪⎝⎭，则sin cos 2cos ααα-=，即sin 3cos αα=，则tan 3α=，所以3sin 2cos 3tan 233211sin cos tan 1312αααααα++⨯+===---；若选③π3π3sin cos 22αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 3cos αα=，即tan 3α=，所以3sin 2cos 3tan 233211sin cos tan 1312αααααα++⨯+===---.【小问2详解】由（1）得tan 3α=，即sin 3cos αα=，由22sin cos 1αα+=，则22(3cos )cos1αα+=，解得cos α=，αQ为第三象限角，cos αα∴==，()()π3πsin cos πcos sin 22αααα⎛⎫⎛⎫∴--+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos sin cos αααα=-++⎛=+= ⎝.19. 已知函数()24(0)f x ax ax b a =-+>在[]0,3上的最大值为3，最小值为-1.（1）求()f x 的解析式；（2）若[)2,x ∃∈+∞，使得()f x mx<，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）()243f x x x =-+（2）1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据二次函数的最大值、最小值求出函数的解析式；（2）分离参数，根据存在性转化为求出函数的最小值，利用对勾函数单调性得解.【小问1详解】依题意得()()2(2)403f x a x b a x =-+-≤≤，[]0,20,3a >∈ ，()min ()21f x f ∴==-，()()0,33f b f b a b ==-< ，()max ()03f x f ∴==，413b a b -=-⎧∴⎨=⎩，即13a b =⎧⎨=⎩，()243f x x x ∴=-+.【小问2详解】[)2,x ∃∈+∞，使得()[)32,,4f x mx x x m x ∞<⇔∃∈++-<，令()()342g x x x x =+-≥，由对勾函数的单调性知，()g x在)+∞上单调递增，2x ≥ ，∴当2x =时，min 31()2422g x =+-=-，m ∴的取值范围为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.20. 已知函数()3log f x x=.（1）设函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()g x f x =，求函数()g x 的解析式；（2）已知27x ⎤∈⎦时，函数()39a xx h x f f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为2-，求实数a 的值.【正确答案】（1）()()33log ,00,0log ,0x x g x x x x ⎧>⎪==⎨⎪--<⎩（2）2- 5.【分析】（1）由奇函数的性质结合()f x 的解析式可求()g x 的解析式；（2）首先化简得()()233log 2log 2h x x a x a=-++，再利用换元法结合二次函数的性质求a 的值即可.【小问1详解】 当0x <时，0x ->， 当0x >时，()()()3log ,g x f x x g x ==为R 上的奇函数()()()()3log ,00g x g x x g ∴=--=--=综上所述，函数()g x 的解析式为()()33log ,00,0log ,0x x g x x x x ⎧>⎪==⎨⎪--<⎩；【小问2详解】27x ⎤∈⎦()()()()2333333log log log log 2log 2log 23939aa xx x x h x f f x a x x a x a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⋅=⋅=--=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设3log t x =，则1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()h x 化为()()2222(2)2224a a s t t a t a t +-⎡⎤=-++=--⎢⎥⎣⎦.①当2123a +≤，即43a ≤-时，函数()s t 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数()h x ∴的最小值为min 55()239s t a =-=-，解得1315a =-（不合题意，舍去）②当232a +≥，即4a ≥时，函数()s t 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数()h x ∴的最小值为()min ()332s t s a ==-=-，解得5a =③当12332a +<<，即433a -<<时，函数()s t 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有最小值22a s +⎛⎫ ⎪⎝⎭()h x ∴的最小值为2min2(2)()224a a s t s ++⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭解得2a =-或2a =+综上所述，实数a的值为2- 5.21. “双11”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元．例如，一次购买商品的价格为150元，则实际支付额15015051505260⎡⎤-⨯=-⨯⎢⎥⎣⎦=140元，其中[x]表示不大于x 的最大整数．又如，一次购买商品的价格为810元，则实际支付额8108105401810560⎡⎤-⨯-⨯=-⨯⎢⎥⎣⎦13-40=705元．（1）小芳计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，她是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；（2）已知某商品是小芳常用必需品，其价格为30元/件，小芳趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求她应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？【正确答案】（1）一次支付好，理由见解析（2）15件或16件，25元/件【分析】(1)分别按两次支付及一次支付求出支付额，进行比较即可求解；(2) 设购买x （x ∈N *）件，平均价格为y 元/件，当1≤x ≤14时，及当15≤x ≤19时，求出最低平均价格即可求解.【小问1详解】解：（1）分两次支付：支付额为2506502505650540230600407906060⎡⎤⎡⎤-⨯+-⨯-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦元，一次支付：支付额为900900540274560⎡⎤-⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦元因为745＜790，所以一次支付好．【小问2详解】（2）设购买x （x ∈N *）件，平均价格为y 元/件．由于预算不超过500元，最多购买19件，当1≤x ≤14时，不能享受每满400元再减40元的优惠，当1≤x ≤14时，130530530602x x y x x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-⨯=-⨯ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，n ∈N *，当x ＝2n 时，53027.52y n n =-⨯=，n ∈N *．当x ＝2n+1时，()555303027.5212221y n n n =-⨯=-+>++，n ∈N *．所以当1≤x ≤14时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件．当15≤x ≤19时，能享受每满400元再减40元的优惠，1305403054030602x x y x x x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-⨯-=-⨯- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，当x ＝2n 时，540203027.522y n n n n =-⨯-=-，当n ＝8，x ＝16时，y min ＝25，当x ＝2n+1时，()540575303021212221y n n n n =-⨯-=--+++，y 随着n 的增大而增大，所以当n ＝7，x ＝15时，y min ＝25．综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件．22. 已知函数()xf x -=3，函数()g x 的图像与()f x 的图像关于y x =对称.（1）求()9g 的值；（2）若函数()3y f x k=--在[]2,1x∈-上有且仅有一个零点，求实数k的取值范围；（3）是否存在实数m，使得函数()()23log440f xy m xx-=-->在[],a b上的值域为[]2,2a b，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.【正确答案】（1）2-（2）{8|63k k<≤或}0k=（3）存在，(),0∞-【分析】（1）由题意()13logg x x=，将9x=代入可得答案.（2）由题意即关于x的方程33xk-=-在[]2,1x∈-上有且仅有一个实根，设()33xh x-=-,作出其函数图像，数形结合可得答案.（3）设记()44F x m xx=-+-，则函数()F x在[],a b上单调递增，根据题意若存在实数m满足条件，则a，b是方程()2F x x=的两个不等正根，由二次方程的根的分布的条件可得答案.【小问1详解】由题意，()13logg x x=，所以()139log92g==-【小问2详解】由题意即关于x的方程33xk-=-在[]2,1x∈-上有且仅有一个实根，设()33xh x-=-，作出函数()33xh x-=-在[]2,1x∈-上的图像（如下图）()26h -=，()813h =，由题意，直线y k =与该图像有且仅有一个公共点，所以实数k 的取值范围是{8|63k k <≤或}0k =【小问3详解】记()()23log 4444f x F x m m x xx -=--=-+-，其中0x >，()F x 在定义域()0,+∞上单调递增，则函数()F x 在[],a b 上单调递增，若存在实数m ，使得()F x 的值域为[]2,2a b ，则()()22F a a F b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即a ，b 是方程()2F x x =的两个不等正根，即a ，b 是()2440x m x +-+=的两个不等正根，所以()2Δ4160,40,40,m a b m a b ⎧=-->⎪+=->⎨⎪⋅=>⎩解得0m <，所以实数m 的取值范围是(),0-∞.思路点睛：函数的零点问题可转化为两个熟悉函数的图象的交点问题来处理，而二次方程的零点问题，可结合判别式的正负、特殊点处的函数值的正负、对称轴的位置等来处理.。

高三数学12月联考试题含解析 试题

高三数学12月联考试题含解析 试题

卜人入州八九几市潮王学校、、江都2021届高三数学12月联考试题〔含解析〕一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共计70分.请把答案填写上在答题卡相应位置上.(1,3]A =-，{2,3,4}B =那么A B 的子集个数为_______________.【答案】4 【解析】 【分析】可根据交集定义和子集个数进展求解 【详解】(1,3]A =-，{2,3,4}B =，那么{}2,3A B =，那么A B 的子集个数为224=个故答案为：4【点睛】此题考察集合的交集运算和子集个数的求法，属于根底题 x 2-2y 2=1的渐近线方程为______．【答案】2y x =±【解析】由双曲线的方程知1,2a b ==，所以双曲线的渐近线方程为2b y x x a =±=±． 考点：双曲线的几何性质．2()cos 2f x x x =+，假设(2)(1)f a f a =-，那么实数a 的值是____________.【答案】1-或者13【解析】 【分析】 根据()f x 表达式可判断为偶函数，再结合偶函数性质即可求解【详解】由2()cos 2f x x x =+可判断函数为偶函数，又(2)(1)f a f a =-，故21a a =-或者()210a a +-=，解得1a =-或者13故答案为：1-或者13【点睛】此题考察由偶函数的性质求解参数，属于根底题{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，448a b ==，那么33a b +=________．【答案】293【解析】 【分析】根据等差等比数列的性质先求得公比公差,再求得33a b +即可.【详解】由4137173733a a d d a -==⇒=⇒=,34182b q q b ==⇒=,34b =,那么331729433a b +=+=． 故答案为：293【点睛】此题主要考察了等差等比数列的根本性质与运用,属于根底题型.0x R ∃∈，使得201k x >+k 的取值范围是________．【答案】(,1]-∞ 【解析】 【分析】x R ∀∈,都有21k x ≤+恒成立〞,再求21x +的最小值即可.【详解】“0x R ∃∈,使得201k x >+x R ∀∈,都有21k x ≤+211x +≥,即21x +的最小值为1,要使“21kx ≤+恒成立〞,只需()2min1k x ≤+,即1k ≤．故答案为：(,1]-∞ ,属于简单题型.log (1)2a y x =++的图像必过定点_____________.【答案】()0,2【解析】 【分析】根据函数图像平移法那么即可求解 【详解】由log a y x =根据平移法那么向左平移1个单位，再向上平移2个单位，可得到log (1)2a y x =++，log ay x =经过()1,0，那么log (1)2a y x =++经过()02,故答案为：()02,【点睛】此题考察对数函数过定点问题，属于根底题A ，F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的右顶点和右焦点，1B ，2B 为椭圆C 短轴的两个端点，假设点F 恰为12AB B ∆的重心，那么椭圆C 的离心率的值是__________. 【答案】13【解析】 【分析】结合题意表示出四点坐标，再由重心坐标公式即可求解 【详解】如图：由题可知，()()()120,,0,,,0B b B b A a -，(),0F c ，那么3a c =，即13c e a ==， 故答案为：13【点睛】此题考察椭圆的根本性质，重心坐标公式的应用，属于根底题 8.圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，那么该圆柱的外表积为． 【答案】6.π 【解析】试题分析：因为圆柱的外表积为222,1,2r rl r l ππ+==，所以圆柱的外表积为6.π考点：圆柱的侧面积ABC ∆的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，sin()sin sin a c A C b c A C-+=-+，那么角A 为___________. 【答案】3π 【解析】 【分析】结合正弦定理的角化边和余弦定理的代换即可求解 【详解】222sin sin sin a c B ba cb bc b c A C a c-==⇒-=-⇒-++ 故答案为：3π 【点睛】此题考察三角形的性质和正弦定理、余弦定理，考察转化才能和运算求解才能，一般的，在关系式中，假设既含有边又含有角，通常的思路是将角都化成边或者将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角，属于中档题,,a b c 满足0a b c ++=且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，||2b =，那么a c ⋅的值是___________.【答案】45【解析】 【分析】 可设,,AB a BC b CA c===，由题意可得11tan ,tan 23B C ==，由两角和的正切公式，可得tan A ，再由同角的根本关系式可得sin ,sin B C ，再由正弦定理可得AB ，AC ，由数量积的定义即可得到所求值． 【详解】解：可设,,AB a BC b CA c ===，由题意可得11tan ,tan 23BC ==， 那么11tan tan 23tan tan()1111tan tan 123B C A B C B C ++=-+=-=-=---⨯，即为135A ︒=， 又,B C 为锐角，22sin 1sincos 1,cos 2B B B B +==，可得5sin 5B =，同理可得10sin 10C=，由正弦定理可得2||||sin135510510c a ︒==，即有21025,55c a ==，那么2102524||||cos 455525a cc a ︒⋅=⋅⋅=⋅⋅=． 故答案为：45． 【点睛】此题考察向量的数量积的定义，考察正弦定理和三角函数的化简和求值，以及运算求解才能，属于中档题．11.定义：曲线C 上的点到直线l 的间隔的最小值称为曲线C 到直线l 的间隔．曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的间隔等于C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的间隔，那么实数a ＝______________． 【答案】94【解析】试题分析：由新定义可知，直线与曲线相离，圆的圆心到直线的间隔为，此时直线与圆相离，根据新定义可知，曲线到直线的间隔为，对函数求导得，令，故曲线在处的切线方程为，即，于是曲线到直线的间隔为，那么有，解得或者，当时，直线与曲线相交，不符合题意；当时，直线与曲线相离，符合题意.综上所述，.a ，b 满足0b >，||1a b +=，那么120192019||a a b++的最小值为__________.【答案】2021 【解析】 【分析】可采用“1〞的代换，将12019||a a +中的“1〞代换成||a b +，同时2019b 可代换成()2019||a b b⋅+，再结合根本不等式特征求解【详解】||1a b +=，()12019||2019||2019||2019||a a a b a b a b a b+++∴+⇔+⋅+，即20191120192201920192019201920192019a a b a a ab a ⎛⎫++++≥+++ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当222019b a =时取到等号， 又111220192201920212019201920192019a a +++≥-+++=所以120192019||a a b++的最小值为：2021故答案为：2021【点睛】此题考察根本不等式最值的求解，“1〞的代换是关键，属于中档题13.数列{}n a 满足13a =，且对任意的*,m n ∈N ，都有n mn ma a a +=，假设数列{}nb 满足23log ()1n n b a =+，那么数列21{}n n b b +的前n 项和n T 的取值范围是_______. 【答案】12[,)2115【解析】 【分析】由任意的m ，n∈N *，都有n m ma a +=a n ，令m=1，可得113n na a q a +===，可得a n =3n，求解b n =2n+1，数列{21n n b b +}的通项c n =()()12125n n ++，利用裂项相消求解T n ，即可求解取值范围．【详解】由题意m ，n∈N *，都有n mma a +=a n ，令m=1，可得：113n na a q a +===， 可得a n =3n， ∵b n =log 3〔a n 〕2+1， ∴b n =2n+1，那么数列{21n n b b +}的通项c n =()()12125n n ++=11121254n n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．那么：T n =c 1+c 2+……c n =14〔1137-+1159-+11711-+……112123n n --++112125n n -++〕=111113523245n n ⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭ =181********154n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭＜， 当n=1时，可得T 1=121， 故得T n的取值范围为[121，215〕，故答案为[121，215〕．【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，打破这一难点的方法是根据式子的构造特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；〔21k=；〔3〕()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；〔4〕()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或者多项的问题，导致计算结果错误.R 的函数2log (1),1()1,12,1x x f x x x +>-⎧⎪==-⎨⎪<-⎩假设关于x 的方程2()()0f x bf x c --=有无数个不同的实数解，但只有三个不同的实数解123,,[1,)x x x ∈-+∞，那么()123f x x x b c ++++=____________.【答案】2log 5 【解析】 【分析】 由题可知，1x =-必为其中一个解，当1x <-时，()2f x =也一定满足方程2()()0f x bf x c --=，可联立求解得3,2b c ==-，那么当1x >-时，可解得对应的23,x x ，进而得解【详解】由题可知，当1x >-时，函数()f x 单调递增，那么关于2()()0f x bf x c --=在()1,-+∞至多两解，故1x =-必为其中一个解，即11x =-，即当11x =-时，2()()0f x bf x c --=，此时由()1f x =可得10b c --=①，又关于x 的方程2()()0f x bf x c --=有无数个不同的实数解，那么当1x <-时，()2f x =也一定满足方程2()()0f x bf x c --=，即420b c --=②， 联立①②得3,2b c ==-，那么当1x >-时，22()()0()3()20f x bf x c f x f x --=⇔-+=，解得()2221log (1)x x f =+=，此时21x =，()3232log (1)x x f =+=，此时33x =，那么故答案为：2log 5【点睛】此题考察分段函数分类讨论的思想，运算及推导才能，分析解决问题的才能，函数与方程的转化思想，属于中档题二、解答题：本大题一一共6小题，一共90分.请在答题卡指定区域内答题.解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足sin 3sin B C =，||5AB AC -=52AB AC ⋅=. 〔1〕求22b c +的值；〔2〕求sin()A B -的值.【答案】 【解析】 【分析】 〔1〕联立||5AB AC -=52AB AC ⋅=化简即可求得22b c +； 〔2〕由sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-可知，需分别求出sin cos sin cos A A B B ，，，，先由余弦定理可得a 的值，再由三边关系求出cos B ，进而推出sin B ，即可求解【详解】〔1〕因为5AB AC -=，所以2225b c AB AC +-⋅=，又52AB AC ⋅=，所以2210b c +=. 〔2〕因为sin 3sin B C =，由正弦定理，得3b c =， 又2210b c +=，所以3b =，1c =.由〔1〕552cos 36AB AC A bc ⋅===，sin A ==， 由余弦定理知222cos2a c b B ac +-==.从而sinB ==〔也可由正弦定理求sin B 〕所以sin()sin cos cos sin 15A B A B A B --=-=【点睛】此题考察正弦定理，余弦定理解三角形，同角三角函数的根本关系，运算才能，熟悉公式运用是解题关键，属于中档题16.如图，在四棱锥S ABCD -中，SA SB =，四边形ABCD 是平行四边形，且平面SAB ⊥平面ABCD ，点M ，N 分别是SC ，AB 的中点.〔1〕求证：//MN 平面SAD ；〔2〕求证：SNAC ⊥.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】 【分析】〔1〕可作SD 的中点E ，连EM ,EA ，通过中位线定理证明四边形EMNA 是平行四边形，即可得证； 〔2〕要证SNAC ⊥，即证SN ⊥平面ABCD ，即证SN AB ⊥，由题设条件平面SAB ⊥平面ABCD 即可求证，按照合理顺序整理思路即可求证【详解】〔1〕取SD 的中点E ，连EM ,EAM 是中点，//EM CD ∴，且12EMCD = 底面ABCD 是矩形，N 为AB 中点//AN CD ∴，且12AN CD =，//,EM AN EM AN ∴=∴四边形EMNA 是平行四边形MN ⊄平面SAD ，AE ⊂平面SAD ，所以//MN 平面SAD .〔2〕SA SB =，N 是AB 中点平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB平面ABCD AB =，SN ⊂平面SABSN ∴⊥平面ABCD AC ⊂平面ABCD【点睛】此题考察线面平行的证明，线面垂直的性质定理和断定定理，属于中档题17.如图，三个校区分别位于扇形OAB 的三个顶点上，点Q 是弧AB 的中点，现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P 〔不与点O ，Q 重合〕，为小区铺设三条地下电缆管线PO ，PA ，PB ，OA ＝2千米，∠AOB＝3π，记∠APQ ＝θrad，地下电缆管线的总长度为y 千米． 〔1〕将y 表示成θ的函数，并写出θ的范围；〔2〕请确定工作坑P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小．【答案】〔1〕7,612ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭〔2〕P 与O 的间隔为3时，地下电缆管线的总长度最小【解析】 【分析】〔1〕首先根据Q 为弧AB 的中点，得到知PA ＝PB ，∠AOP ＝∠BOP ＝6π，利用正弦定理得到()sin sinsin 66PA OAOPπππθθ==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据OA ＝2，得到PA ＝1sin θ，OP ＝2sin 6sin πθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而得到y ＝PA+PB+OP ＝2PA+OP ＝22sin 6sin πθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝，根据题意确定出7,612ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；〔2〕对函数求导，令导数等于零，求得3πθ=，确定出函数的单调区间，从而求得函数的最值.【详解】〔1〕因为Q 为弧AB 的中点，由对称性，知PA ＝PB ，∠AOP＝∠BOP＝6π， 又∠APO＝πθ-，∠OAP＝6πθ-，由正弦定理，得：()sin sinsin 66PAOAOPπππθθ==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，又OA ＝2， 所以，PA ＝1sin θ，OP ＝2sin 6sin πθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以，y ＝PA+PB+OP ＝2PA+OP ＝22sin 6sin πθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∠APQ＞∠AOP，所以，6πθ>，∠OAQ＝∠OQA＝152612πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以，7,612ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； 〔2〕令()f θ=，7,612ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭()212cos '0sin f θθθ-==，得：3πθ=，()f θ在,63ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭上递减，在7,312ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增所以，当3πθ=，即OP ()f θ有唯一的极小值，即是最小值：()min f θ＝答：当工作坑P 与O 时，地下电缆管线的总长度最小．【点睛】该题考察的是应用题，涉及到的知识点有圆的相关性质，正弦定理，应用导数研究函数的最值问题，属于较难题目.18.如图，椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的1F ，2F ，过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 过1F 时，2F AB ∆的周长为8. 〔1〕求椭圆C 的方程； 〔2〕当2PB AP =时，求直线l 方程；〔3〕点()0,2Q ，直线QA ，QB 的斜率分别为1k ，2k .问是否存在实数λ，使得120k k λ+=恒成立？【答案】(1)2214x y +=(2)1102y x =±+(3)存在，1λ=【解析】 【分析】〔1〕由焦点三角形的周长特点可求出a 值，再结合椭圆离心率是2，可求出c ，进而求得椭圆HY 方程；〔2〕，设直线方程为1:2l y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，可联立直线方程和椭圆HY 方程，得出两根和与积的表达式，再结合2PBAP =，代换出1x 与k 的关系式；〔3〕先用必要性探路，找特殊情况，当//AB x 轴可知120k k +=，此时存在1λ=使得120k k λ+=成立，根据题意和斜率定义表示出12k k +，结合〔2〕中韦达定理即可得证【详解】〔1〕由椭圆定义知2F AB ∆的周长为4a ， 所以48a =，所以2a=又离心率c a =c =1b = 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.〔2〕当lx ⊥轴，2PB AP ≠ 所以可设1:2l y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y 那么221214y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得()2214430k x kx ++-=所以122122414314k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩(*) 因为2PB AP =，所以2102x x -=-，即212x x =-代入(*)化简得122124143214k x k x k -⎧-=⎪⎪+⎨-⎪-=⎪+⎩所以22231424114k k k ⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭解得10k=±所以直线l方程为：1102y x =±+， 〔3〕当//AB x 轴可知120k k +=，此时存在1λ=使得120k k λ+=成立，下面证明当1λ=时120k k λ+=恒成立因为()12122233343226402142142k kx x x x k k k k k --⎛⎫⎛⎫-+=-=---= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以120k k +=恒成立即存在1λ=，使得120k k λ+=恒成立.【点睛】此题考察椭圆HY 方程的求法，椭圆中的直线满足某条件求直线方程，椭圆中的直线斜率满足某条件的求法，韦达定理在解析几何中的应用，对运算才能要求高，属于难题()ln f x x =，()bg x ax c x=+-〔,,a b c ∈R 〕. 〔1〕当0c时，假设函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有一样的切线，求,a b 的值；〔2〕当3b a =-时，假设对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；〔3〕当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.【答案】〔1〕1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩〔2〕3〔3〕见解析【解析】试题分析：〔1〕由导数几何意义可得()()111g f ''==，又()()11f g =，解方程组可得,a b 的值；〔2〕先转化条件为对应方程有两个不等实根，再根据实根分布充要条件列不等式组，解得c 的最小值；(3)先根据零点表示b ，代入要证不等式化简得1222111ln 1x x xx x x -<<-.再构造函数()1ln 1t t tϕ=+-，以及()ln 1m t t t =-+，结合导数研究其单调性，即证得结论试题解析：解：〔1〕由()ln f x x =，得()10f =，又()1f x x'=，所以()11f '=，. 当0c =时，()bg x ax x=+，所以()2b g x a x -'=，所以()1g a b '=-.因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有一样的切线，所以()()()()1111f g f g ⎧==''⎪⎨⎪⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.〔2〕当01x >时，那么()00f x >，又3b a =-，设()0t f x =，那么题意可转化为方程3(0)aax c t t x-+-=>在()0,+∞上有相异两实根12,x x ． 即关于x 的方程()()230(0)axc t x a t -++-=>在()0,+∞上有相异两实根12,x x ．所以()()212120343030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得()()203430a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩， 所以()23ca a t >--对()()0,,0,3t a ∈+∞∈恒成立．因为03a <<，所以〔当且仅当32a=时取等号〕， 又0t -<，所以的取值范围是(),3-∞，所以3c．故c 的最小值为3. 〔3〕当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222b lnx x c x b lnx x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln 1x x b x x x x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭.要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln 1x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--<-<- ⎪-⎝⎭，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x xx x x -<<-. 令21x t x =，那么1t >，此时即证11ln 1t t t-<<-．令()1ln 1t t t ϕ=+-，所以()221110t t t t tϕ'-=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增． 又()10ϕ=，所以()1ln 10t t t ϕ=+->，即11ln t t-<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以()1110tm t t t-=-=<'，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又()10m=，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．综上所述，实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.〔2〕根据条件，寻找目的函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或者利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.{}n a 的首项1a a =，其前n 和为n S ，且满足213(1)n n S S n ++=+()*n ∈N .〔1〕用a 表示2a 的值； 〔2〕求数列{}n a 的通项公式；〔3〕当32a =时，证明：对任意*n N ∈，都有2222232121111112n na a a a -++++<. 【答案】(1)2122a a =-(2)2,13(62)(1),2n n a n a n a n -=⎧=⎨+--≥⎩(3)证明见解析 【解析】 【分析】〔1〕令1n =即可求解；〔2〕当2n ≥时，通过作差法可求得163n n a a n ++=+，再书写一项2169n n a a n +++=+，通过两式作差可得26n n a a +-=()2n ≥，分类讨论n 的奇偶，即可求解；〔3〕可结合放缩法公式22111n n <-，()2111nn n <-，分别对化简后的表达式22222211111111935(21)3612(1)n n ⎡⎤⎡⎤=⨯++++⨯+++⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦进展放缩，再结合裂项公式()()21111212n n n =⋅-+-，()11111n n n n=---的特点即可进一步求解 【详解】〔1〕由条件1n =得12112a a a ++=，2122a a =-.〔2〕由条件213(1)n n S S n ++=+得，213n n S S n -+=()2n ≥两式相减得163n n a a n ++=+()2n ≥，故2169n n a a n +++=+，两式再相减得26n n a a +-=()2n ≥，246,,a a a ∴构成以2a 为首项，公差为6的等差数列； 357,,,a a a 构成以3a 为首项，公差为6的等差数列；由〔1〕得2662na n a =+-；由条件2n =得1231227a a a a a ++++=，得332a a =+，从而21632n a n a +=-+，解法2：设()1(1)n n a x n y a xn y ++++=-++，即122n n a a xn y x +=----那么263230x x y x y ⎧-==-⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩∴有()13(1)3n n a n a n +-+=-- 2n ∴≥时，()2236(1)n n a n a --=-⋅-，即23(62)(1)n na n a -=+-⋅-〔3〕证明：当32a=时，且2n ≥，由〔2〕可知3(1)nn a n ⎡⎤=+-⎣⎦ ①当1n =时，222111912a =< ②当2n ≥时，216(1)n a n -=-，23(21)n a n =+ 1111112361112n n ⎛⎫=--< ⎪+-⎝⎭. 【点睛】此题主要考察分组讨论法求数列通项公式，放缩法和裂项相消法求证不等式恒成立，对于运算才能，分析转化才能有较高要求，属于难题数学Ⅱ附加题局部〔本局部总分值是40分，时间是30分钟〕解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤 21.[选修42：矩阵与变换]矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为21α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 假设x a A y b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求x ，y 的值．【答案】x ，y 的值分别为0，1．【解析】试题分析：利用矩阵的乘法法那么列出方程，解方程可得x ，y 的值分别为0，1．试题解析：由条件知，2A αα=，即][1222111a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，即][2422a b +⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦，所以24,{22,a b +=-+=解得2,{ 4.a b ==所以1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． 那么][][][12221444xx x y A y y x y +⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦，所以22,{44,x y x y +=-+=解得0,{ 1.x y == 所以x ，y 的值分别为0，1．xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线2sin()()4l m m R πρθ-=∈，圆C的参数方程为13cos 23sin x ty t =+⎧⎨=-+⎩〔t 为参数〕．当圆心C 到直线l 2时，求m 的值。

2023-2024学年河南省青桐鸣高三上学期12月大联考数学试题+答案解析

2023-2024学年河南省青桐鸣高三上学期12月大联考数学试题+答案解析

2023-2024学年河南省青桐鸣高三上学期12月大联考数学试题✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则()A. B.C.D.2.已知，i 为虚数单位，则复数()A. B. C. D.3.“，”是“”的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量，，则在上的投影向量的坐标为()A. B.C.D.5.若，则()A. B.C. D.6.已知，，，则a ，b ，c 之间的大小关系为()A.B.C.D.7.在四棱锥中，底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且，平面平面ABCD ，，若，，则四面体ACFE 的体积为()A.B.C.D.8.如图，已知C 是半径为1的扇形OAB 内的一点，且，，，则阴影部分的面积为()A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知点A，B为不同的两点，直线，，为不同的三条直线，平面，为不同的两个平面，则下列说法正确的是()A.若，，则B.若，，则C.若，，，，则D.若，，，，，，则直线10.1889年瑞典的阿伦尼乌斯提出了阿伦尼乌斯公式：和A均为大于0的常数，k为反应速率常数与反应速率成正比，T为热力学温度，在同一个化学反应过程中为大于0的定值.已知对于某一化学反应，若热力学温度分别为和时，反应速率常数分别为和此过程中A，R与的值保持不变，则()A.若，则B.若，则C.若，，则D.若，，则11.已知函数的部分图象如图所示，则()A.，B.将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象C.点为图象的一个对称中心D.函数在上的值域为12.若方程有且仅有2个根，，则下列说法正确的是()A. B.C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量，，，若，则实数__________.14.已知正项等比数列满足，，则__________.15.已知函数，的定义域为R，且，，若为奇函数，则__________.16.在棱长为1的正方体中，M，N分别为线段和上的动点，且，则MN的最小值为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。

广西壮族自治区柳州市2024-2025学年高一上学期12月联考数学试题

广西壮族自治区柳州市2024-2025学年高一上学期12月联考数学试题

广西壮族自治区柳州市2024-2025学年高一上学期12月联考数学试题一、单选题1．函数()11f x x =-的定义域为（）A ．[)0,+∞B ．[)()0,11,+∞ C ．()()0,11,+∞ D ．[)1,+∞2．命题“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是（）A ．20,10x x ax ∃>+-<B ．20,10x x ax ∀>+->C ．20,10x x ax ∀<+-<D ．20,10x x a x ∃<+-<3．对数lg a 与lg b 互为相反数，则有（）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．1ab =D ．1a b=4．下面四个条件中，使a b >成立的一个必要不充分条件是（）A ．2a b >-B ．22a b >C ．1>a bD ．2a b >+5．已知函数()f x 的对应关系如下表，函数()g x 的图象如下图所示，则()()3f g =（）x 014()f x 269A ．2B ．6C ．9D ．06．已知1x >-，则41x x ++的最小值为（）A ．4-B ．0C ．1D ．37．一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为（）A ．30k -<<B ．30k -<≤C ．34k -<<D ．304k -<≤8．已知函数()2xf x x =+，()2log g x x x =+，()3h x x x =+的零点分别为a b c ，，，则a b c，，的大小顺序为（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b>>D ．b a c>>二、多选题9．与y x =表示同一个函数的是（）A ．y =B ．2y =C ．,0,0t t y t t ≥⎧=⎨-<⎩D ．2x y x=10．已知()2211x f x x +=-，则()f x 满足的关系式有（）A ．()()=f x f x -B ．()()f x f x =--C ．()1f f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭11．设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如，[]3.54-=-，[]2.12=.则下列关于函数()[]f x x =的说法正确的是（）A ．()1x f x x -<≤B ．()f x 在R 上单调递增C ．对任意R x ∈，Z k ∈，都有()()f x k f x k+=+D ．对于任意实数x ，y ，()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件三、填空题12)0x >写成指数幂形式为．13．幂函数=的图像经过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则2f ⎛⎝⎭的值为.14．已知函数y =f (x )的图象如图所示，则y =f (x )的定义域是，值域是.四、解答题15．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,4,5A =，{}1,3,5,7B =.(1)求()U A B ∩ð，()()U U A B ⋂痧；(2)若集合()(){}20C x x x a =--=，是否存在实数a ，使得A C A ⋃=？若存在，试求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.16．已知函数()21x f x ax b+=+经过()1,2，52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭两点.(1)求函数()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 在()0,1上的单调性并用定义进行证明；(3)当11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()m f x ≥，求实数m 的最小值.17．某地区在政策指导下，根据当地气候､土质等条件，推广种植某种市场畅销水果果树.经调研发现该果树的单株产量()P x （单位：千克）与施肥量x （单位：千克）满足函数关系：()()242(02)36(26)1x x P x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，且单株果树的肥料成本投入为16x 元，其他成本投入（如培育管理､施肥人工费等费用）为()2005x +元.已知这种水果的市场售价为21元/千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为()f x （单位：元）.(1)求函数()f x 的解析式；(2)当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？18．设函数()e e 2x x f x --=，()2x xe e g x -+=.(1)判断函数()f x 的奇偶性，并讨论函数()f x 的单调性（不需证明单调性）；(2)求证：()()()222g x g x f x =+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；(3)若()()()22ln 42ln 2x x xh x f t f =-+⋅在区间[]1,1-上的最小值为78-，求t 的值.19．已知有限实数集{}()12,,,2,N n A a a a n n =≥∈ ，若1212n n a a a a a a +++= ，则称A 为“和积平衡集”.(1)分别判断集合{}1,2P =、集合{}1,2Q =--是否为“和积平衡集”；(2)已知集合M 为“和积平衡集”，且*N M ⊆，请用列举法表示集合M （不需要说明理由）；(3)已知实数,x y ，若集合{},x y 为“和积平衡集”，是否存在实数z 满足2z xy =，并且使得{},,x y z 为“和积平衡集”？若存在，求出所有满足条件的实数z ，若不存在，请说明理由.。

广西柳州市2022-2023学年高一上学期12月联考数学试题(解析版)

广西柳州市2022-2023学年高一上学期12月联考数学试题(解析版)

2022-2023学年广西柳州市高一上学期12月联考数学试题一、单选题1．设集合{1,2,3,4,5}A =，{}2540B x x x =-+<，则A B =（ ）A ．{1}B ．{1,2}C ．{2,3}D ．∅2．下列函数中，与 y x =是同一个函数的是（ ） A ．()2y x =B ．33u v =C ．2y x =D ．2n m n=3．已知5cos 13α=-，且α为第二象限角，则tan α=（ ） A ．125-B ．512-C ．1213-D ．1312-4．已知a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式成立的是 A ．22a b >B ．a b >C ．a c b c +>+D ．ac bc >5．已知2(1)2()f x x x x +=+∈R ，则函数()f x 的解析式是（ ） A ．2()1()f x x x =+∈R B ．2()1()f x x x =-∈R C ．2()1(1)f x x x =-≥D ．2()1(1)f x x x =+≥6．如图，ABC 是边长为2的等边三角形，点E 由点A 沿线段AB 向点B 移动，过点E 作AB 的垂线l ，设AE x =，记位于直线l 左侧的图形的面积为y ，那么y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为%y ，且y 随时间t （单位：分钟）的变化规律可以用函数()100.05e ty λλ-=+∈R 描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（ ）（参考数据ln3 1.1≈） A ．8.8分钟B ．11分钟C ．13.2分钟D ．22分钟8．已知()f x 是奇函数，在区间(),0∞-上是增函数，又()30f -=，那么()0xf x <的解集是（ ） A ．{30x x -<<或}3x > B ．{3x x <-或}3x > C ．{3x x <-或}03x << D ．{30x x -<<或}03x <<二、多选题9．与835-︒终边相同的角有（ ） A ．245-︒B ．245︒C ．115-︒D ．475-︒10．下列大小关系中正确的是（ ） A ． 1.52.793>B ．43773477⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．13211log log 32<D ．0.2 2.11.70.9>11．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆O 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列结论正确的是（ ）A ．对于任意一个圆O ，其“太极函数”有无数个B ．函数3()f x x =可以同时是无数个圆的“太极函数”C ．函数1()f x x=可以是某个圆的“太极函数” D ．函数()y f x =是“太极函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形12．已知函数121,2()3log ,22x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎩，若()()f x a f x +≥恒成立．则实数a 的取值可以是（ ） A ．2 B ．3-C ．94-D ．1-三、填空题13．函数()1f x =的定义域为________．14．已知函数()e ,0=ln ,>0x x f x x x ≤⎧⎨⎩，则1e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 15．若一元二次不等式234204kx kx +-<对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围为________． 16．若函数()23f x x =-+经过点(,)a b ，0a >且0b >，则121a b++的最小值为________． 四、解答题17．已知集合{}121P x a x a =+≤≤+，集合{}25Q x x =-≤≤ （1）若3a =，求集合()R C P Q ； （2）若P Q ⊆，求实数a 的取值范围. 18．已知2212sin cos 2cos sin αααα+=-．(1)求tan α的值；(2)求222sin 3sin cos cos αααα+-的值． 19．化简求值（需要写出计算过程） (1)若1004a =，1025b =，求2a b +的值；(2)23ln 213248e log log 32log 327-⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭．20．某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前()*n n ∈N 年的支出成本为()2102n n -万元，每年的销售收入98万元．(1)估计该设备从第几年开始实现总盈利； (2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理． 哪种方案较为合理？并说明理由．（注：年平均盈利额=总盈利额年度）21．已知()f x 定义域为R ，对任意,x y ∈R 都有()()()1f x y f x f y +=+-，当0x >时，()1f x >，(1)2f -=． (1)试判断()f x 在R 上的单调性，并证明；(2)解不等式：()23422()4f x x f x --+>．22．已知函数2()2x x b cf x b⋅-=+，1()log a x g x x b -=+（0a >且1a ≠），()g x 的定义域关于原点对称，(0)0f =．(1)求b 的值，判断函数()g x 的奇偶性并说明理由； (2)求函数()f x 的值域；(3)若关于x 的方程2[()](1)()20m f x m f x ---=有解，求实数m 的取值范围．2022-2023学年广西柳州市高一上学期12月联考数学试题一、单选题1．设集合{1,2,3,4,5}A =，{}2540B x x x =-+<，则A B =（ ）A ．{1}B ．{1,2}C ．{2,3}D ．∅【答案】C【分析】根据题意，解出集合{}14B x x =<<，根据交集运算即可得出结果. 【详解】由题意知，集合B 对应的不等式解集为2540x x -+<， 即(1)(4)0x x --<，得{}14B x x =<<， 所以，{}2,3A B ⋂=. 故选：C.2．下列函数中，与 y x =是同一个函数的是（ ） A．2y =B．u C．y D ．2n m n=【答案】B【分析】根据函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项分析即得. 【详解】对于A，函数[)20,y x x ==∈+∞，，与函数R y x x =∈，的定义域不同，不是同一个函数；对于 B，函数R u v v =∈，，与函数R y x x =∈，的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数； 对于 C，函数R s t t ==∈，，与函数R y x x =∈，的对应关系不同，不是同一个函数；对于 D ，函数()()2,00,n m n n n==∈-∞⋃+∞，，与函数R y x x =∈，的定义域不同，不是同一个函数. 故选：B. 3．已知5cos 13α=-，且α为第二象限角，则tan α=（ ） A ．125-B ．512-C ．1213-D ．1312-【答案】A【分析】根据同角三角函数基本公式计算即可.【详解】由题意得12sin 13α=，所以12sin 1213tan 5cos 513ααα===--.故选：A.4．已知a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式成立的是 A ．22a b > B ．a b > C ．a c b c +>+ D ．ac bc >【答案】C【解析】利用特殊值法可判断A 、B 选项的正误，利用不等式的基本性质可判断C 、D 选项的正误. 【详解】取2a =-，3b =-，则22a b <，a b <，A 、B 选项错误；a b >，R c ∈，由不等式的基本性质可得a c b c +>+，C 选项正确；当0c <时，a b >，则ac bc <，D 选项错误. 故选：C.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的基本性质、作差法、特殊值法、函数单调性以及中间值法来判断，考查推理能力，属于基础题.5．已知2(1)2()f x x x x +=+∈R ，则函数()f x 的解析式是（ ） A ．2()1()f x x x =+∈R B ．2()1()f x x x =-∈R C ．2()1(1)f x x x =-≥ D ．2()1(1)f x x x =+≥【答案】B【分析】利用换元法求函数解析式即可.【详解】令1,t x =+由于x ∈R ，则t ∈R ， 1,x t =-所以，22(1)()(1)2(1)1f x f t t t t +==-+-=-，得2()1,()f t t t =-∈R ； 所以，函数()f x 的解析式为2()1()f x x x =-∈R ； 故选：B.6．如图，ABC 是边长为2的等边三角形，点E 由点A 沿线段AB 向点B 移动，过点E 作AB 的垂线l ，设AE x =，记位于直线l 左侧的图形的面积为y ，那么y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据三角形面积公式，结合锐角三角函数定义进行求解即可.【详解】当01x ≤≤时，213tan 602y x x x ︒=⋅⋅⋅=，显然此时函数的图象是抛物线的一部分；当12x <≤时，211132(2tan 60)(2)[(2)tan 60]2)3222y x x x ︒︒=⨯⨯⨯⨯-⨯-⋅-⋅=-显然此时函数的图象是抛物线的一部分，综上所述：y 与x 的函数关系的图象大致是选项D ， 故选：D7．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为%y ，且y 随时间t （单位：分钟）的变化规律可以用函数()100.05e t y λλ-=+∈R 描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（ ）（参考数据ln3 1.1≈） A ．8.8分钟 B ．11分钟 C ．13.2分钟 D ．22分钟【答案】B【分析】首先根据初始值，求λ，再根据不等式100.050.15e 0.1t-+≤，利用指对互化，求t 的取值范围. 【详解】当0=t 时，0.050.2y λ=+=，解得：0.15λ=， 所以100.050.15et y -=+，当100.050.15e 0.1t-+≤，解得10ln311t ≥≈，所以至少需要11分钟. 故选：B8．已知()f x 是奇函数，在区间(),0∞-上是增函数，又()30f -=，那么()0xf x <的解集是（ ） A ．{30x x -<<或}3x > B ．{3x x <-或}3x > C ．{3x x <-或}03x << D ．{30x x -<<或}03x <<【答案】D【分析】由奇函数的性质结合已知条件可得()f x 在()0,∞+内也是增函数，()30f =，然后分0x >，0x <和=0x 三种情况求解即可 【详解】解：()f x 是奇函数，()30f -=，且在(),0∞-内是增函数，()30f ∴=，且()f x 在()0,∞+内是增函数， 因为()0xf x <，所以①当0x >时，原不等式可化为()()03f x f <=，又()f x 在()0,∞+内是增函数， 所以03x <<，②当0x <时，原不等式可化为()()03f x f >=-，又()f x 在区间(),0∞-上是增函数，所以30x -<< ③当0x =时，()0xf x =，与()0xf x <矛盾，所以0x =不是不等式()0xf x <的解， 综上，()0xf x <的解集是{30x x -<<或}03x <<. 故选：D.二、多选题9．与835-︒终边相同的角有（ ） A ．245-︒ B ．245︒C ．115-︒D ．475-︒【答案】BCD【分析】根据终边相同的角，相差360°的整数倍判断即可. 【详解】与835-︒终边相同的角可表示为835360,Z k k -︒+⨯︒∈，1k =时，为475-︒；2k =时，为115-︒；3k =时，为245︒；故选：BCD.10．下列大小关系中正确的是（ ） A ． 1.5 2.793> B ．43773477⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．13211log log 32<D ．0.2 2.11.70.9>【答案】ABD【分析】对A ，731.5 2.933=>正确；对B ，借助中间量3737⎛⎫ ⎪⎝⎭可知正确；对C ，由换底公式1221log log 30,3=>而331log log 102<=，所以C 错误；对D ，借助中间值1即可比较出结果； 【详解】对于A ，因为31.593=，而3x y =是增函数，所以23.733>，即 1.5 2.793>，故A 正确；对于B ，根据指数函数37xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减可知，43773377⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又由幂函数37y x =为单调递增可知，37373477⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以433777334777⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确； 对于C ，由换底公式可知1221log log 33=， 根据对数函数单调性可知1221log log 303=>， 331log log 102<=, 所以13211log log 32>，故C 错误； 对于D ，由指数函数单调性可知0.20.1021.7 1.71,0.90.91>=<=，所以0.2 2.11.70.9>，故D 正确； 故选：ABD.11．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆O 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列结论正确的是（ ）A ．对于任意一个圆O ，其“太极函数”有无数个B ．函数3()f x x =可以同时是无数个圆的“太极函数”C ．函数1()f x x=可以是某个圆的“太极函数” D ．函数()y f x =是“太极函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形 【答案】AB【分析】选项A ，过圆心的直线都可以满足已知条件；选项B ，函数3()f x x =关于原点中心对称，是圆心在原点的圆O 的“太极函数”； 选项C 错误，函数1()f x x=的图象是一三象限的两支曲线，不存在圆可以让函数1()f x x=将其的周长和面积同时等分；选项D 可以通过举出两个反例分别进行说明. 【详解】选项A 正确，过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时等分成两部分，故对于任意一个圆O ，其“太极函数”有无数个，故A 正确；选项B 正确，函数3()f x x =为奇函数，其图象关于原点对称，它可以将圆的周长和面积同时等分成两部分，故3()f x x =是圆心在原点的圆O 的“太极函数”，故B 正确；选项C 错误，函数1()f x x =的图象是一三象限的两支曲线，不存在圆让函数1()f x x=的图象将其的周长和面积同时等分成两部分，所以函数1()f x x=不可以是某个圆的“太极函数”, 故C 错误；选项D 错误，函数1()f x x =的图像是中心对称图形，但1()f x x=不是 “太极函数”；反之，如图，函数()y f x =是“太极函数”，但其图象不是中心对称图形，故D 错误.故选：AB ．12．已知函数121,2()3log ,22x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎩，若()()f x a f x +≥恒成立．则实数a 的取值可以是（ ） A ．2 B ．3-C ．94-D ．1-【答案】BC【分析】利用数形结合思想，结合函数的单调性和图象的平移分类讨论进行求解即可. 【详解】函数图象如下图所示：当0a ≥时，x a x +≥，当2x >时，函数单调递减，有()()f x a f x +≤，显然()()f x a f x +≥不恒成立； 当0a <时，()()()()021,1 2.50f f f f ====， ()f x a +可看做是()f x 向右平移a -个单位，要使()()f x a f x +≥恒成立，即()f x a +的图象一直在()f x 的非下方， 通过平移可发现，只需22a a -≥⇒≤-，显然选项BC 符合， 故选：BC【点睛】关键点睛：根据函数的单调性运用数形结合思想是解题的关键.三、填空题13．函数()1f x =的定义域为________． 【答案】[]2,1-【分析】根据函数解析式有意义，可得出关于x 的不等式组，由此可解得原函数的定义域.【详解】要使函数()f x 有意义，则1020x x -≥⎧⎨+≥⎩，解得21x -≤≤.因此，函数()f x 的定义域为[]2,1-. 故答案为：[]2,1-.14．已知函数()e ,0=ln ,>0x x f x x x ≤⎧⎨⎩，则1e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 【答案】-1【分析】根据分段函数的定义，可得答案. 【详解】由10e>，则11ln 1e e f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1-.15．若一元二次不等式234204kx kx +-<对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围为________． 【答案】()3,0-【分析】直接由根据开口方向与判别式解不等式即可.【详解】一元二次不等式234204kx kx +-<对一切实数x 成立， ∴20Δ4120k k k <⎧⎨=+<⎩，解得：30k -<< k ∴的取值范围是：()3,0-故答案为：()3,0-．16．若函数()23f x x =-+经过点(,)a b ，0a >且0b >，则121a b++的最小值为________． 【答案】85【分析】运用代入法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】因为函数()23f x x =-+经过点(,)a b ，所以()2323215b a a b a b =-+⇒+=⇒++=，因为0a >且0b >，所以()()41112118[21]44515155a b a b a b a b ⎡+⎡⎤⎛⎫+++≥++≥+=⎢⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎣⎦⎣，当且仅当()411a ba b+=+时取等号，即当且仅当15,42a b ==时取等号， 故答案为：85四、解答题17．已知集合{}121P x a x a =+≤≤+，集合{}25Q x x =-≤≤ （1）若3a =，求集合()R C P Q ； （2）若P Q ⊆，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}24x x -≤<；（2）(,2]-∞【详解】试题分析;（1）将a 的值代入集合P 中的不等式，确定出P ，找出P 的补集，求出补集与Q 的交集即可；（2）根据P 为Q 的子集列出关于a 的不等式组，求出不等式组的解集即可得到a 的范围． 试题解析;(1)当3a =，{|47}P x x =≤≤，{|47}R C P x x x ∴=或,(){|47}{|25}{|24}R C P Q x x x x x x x ∴⋂=⋂-≤≤=-≤<或.（2）①当P φ=时，满足P Q ⊆,有21a a +<+1，即0a <②当P φ≠时，满足P Q ⊆，则有21121512a a a a +≥+⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩，02a ∴≤≤综上①②a 的取值范围为(],2-∞ 18．已知2212sin cos 2cos sin αααα+=-．(1)求tan α的值；(2)求222sin 3sin cos cos αααα+-的值． 【答案】(1)13(2)15【分析】（1）先利用22cos sin 1αα+=，将2212sin cos 2cos sin αααα+=-整理化简可得sin cos 2cos sin αααα+=-，再将分子分母同时除以cos α，可得1tan 21tan αα+=+，求解方程即可；（2）将原式除以1，再将1用22cos sin αα+替换，分子分母同时除以2cos α，可得222tan 3tan 1tan 1ααα+-+，将（1）中tan α的值代入即可求出结果.【详解】（1）解：22212sin cos (sin cos )cos sin (cos sin )(cos sin )αααααααααα++=--+ sin cos 1tan 2cos sin 1tan αααααα++===--，解得：1tan 3α=（2）解：2222222sin 3sin cos cos 2sin 3sin cos cos sin cos αααααααααα+-+-=+ 2222112312tan 3tan 1133tan 15113ααα⎛⎫+⨯- ⎪+-⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭19．化简求值（需要写出计算过程） (1)若1004a =，1025b =，求2a b +的值；(2)23ln 213248e log log 32log 327-⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭．【答案】(1)2 (2)1-【分析】（1）先取对数将,a b 表示出来，代入计算即可；（2）直接计算即可.【详解】（1）1004lg100lg 42lg 4a a a =⇒=⇒=，1025lg 25b b =⇒=，得2lg 4lg 25lg1002a b +=+==（2）原式223135232222log 2log 2log 33-⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫=++- ⎪⎝⎭2212534-⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭91344=-1=- 20．某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前()*n n ∈N 年的支出成本为()2102n n -万元，每年的销售收入98万元．(1)估计该设备从第几年开始实现总盈利； (2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理． 哪种方案较为合理？并说明理由．（注：年平均盈利额=总盈利额年度）【答案】(1)3(2)方案二更合理，理由见解析【分析】（1）先设()f n 为前n 年的总盈利额，由题中条件得出()f n ，列出不等式求解，即可得出结果；（2）分别求出两种方案的总利润，以及所需要的时间，即可得出结论. 【详解】（1）设()f n 为前n 年的总盈利额，单位：万元；由题意可得()()()()2298102160101001601028f n n n n n n n n =---=-+-=---，由()0f n >得28n <<，又*n ∈N ，所以该设备从第3年开始实现总盈利； （2）方案二更合理，理由如下：方案一：由（1）知，总盈利额()()221010016010590f n n n n =-+-=--+， 当5n =时，()f n 取得最大值90；此时处理掉设备，则总利润为9020110+=万元；方案二：由（1）可得，平均盈利额为()210100160161010010020f n n n n nn n -+-⎛⎫==-++≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当16n n=，即4n =时，等号成立；即4n =时，平均盈利额最大，此时()80f n =， 此时处理掉设备，总利润为8030110+=万元；综上，两种方案获利都是110万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适.21．已知()f x 定义域为R ，对任意,x y ∈R 都有()()()1f x y f x f y +=+-，当0x >时，()1f x >，(1)2f -=． (1)试判断()f x 在R 上的单调性，并证明；(2)解不等式：()23422()4f x x f x --+>．【答案】(1)单调递增，证明见解析；(2)()()1,1,3-∞-⋃+∞.【分析】（1）利用赋值法结合单调性的定义判断和证明即可；（2）根据()()()1f x y f x f y +=+-将不等式整理为()()23221f x x f -->-，然后根据单调性列不等式，解不等式即可.【详解】（1）()f x 在R 上单调递增，证明如下， 令1x y x +=，2x x =，12y x x =-，且12x x >， 则()()()12121f x f x f x x -=--，因为12x x >，所以120x x ->，()121f x x ->，即()()120f x f x ->，()()12f x f x >， 所以()f x 在R 上单调递增.（2）()()234224f x x f x --+>()()()234213f x x f x f x --+->-+()()23323f x x f x -->-+ ()()233212f x x f x --+-> ()()232221f x x f -->=-，因为()f x 在R 上单调递增，所以23221x x -->-，整理得()()1310x x -+>，解得13x <-或1x >，所以不等式的解集为()()1,1,3-∞-⋃+∞.22．已知函数2()2x x b cf x b⋅-=+，1()log a x g x x b -=+（0a >且1a ≠），()g x 的定义域关于原点对称，(0)0f =．(1)求b 的值，判断函数()g x 的奇偶性并说明理由； (2)求函数()f x 的值域；(3)若关于x 的方程2[()](1)()20m f x m f x ---=有解，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)1b =，()g x 为奇函数 (2)()1,1-(3)(3,3,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据()g x 的定义域关于原点对称可得1b =，再求解可得()()0g x g x -+=判断即可； （2）根据指数函数的范围逐步分析即可；（3）参变分离，令()()21,3t f x =-∈，将题意转换为求()()222tm t t =---在()1,3t ∈上的值域，再根据基本不等式，结合分式函数的范围求解即可. 【详解】（1）由题意，1()log ax g x x b-=+的定义域10x x b ->+，即()()10x x b -+>的解集关于原点对称，根据二次函数的性质可得1x =与x b =-关于原点对称，故1b =. 此时1()log 1ax g x x -=+，定义域关于原点对称，11()log log 11a a x x g x x x --+-==-+-，因为1111()()log log log log 101111aa a a x x x x g x g x x x x x -+-+⎛⎫-+=+=⨯== ⎪+-+-⎝⎭. 故()()g x g x -=-，()g x 为奇函数.（2）由（1）2()21x x c f x -=+，又(0)0f =，故002121c -=+，解得1c =，故212()12121x x x f x -==-++，因为211x +>，故20221x <<+，故211121x-<-<+，即()f x 的值域为()1,1-（3）由（2）()f x 的值域为()1,1-，故关于x 的方程2[()](1)()20m f x m f x ---=有解，即()()()22f x m f x f x -=-在()()()1,00,1f x ∈-⋃上有解.令()()()21,22,3t f x =-∈⋃，即求()()212223tm t t t t==---+-在()()1,22,3t ∈⋃上的值域即可.因为2333t t +-≥=，当且仅当t =时取等号，且21301+-=，223333+-=，故)2233,00,3t t ⎛⎫⎡+-∈⋃ ⎪⎣⎝⎭，故13,223m t t∞∞⎛⎛⎫=∈-⋃+ ⎪ ⎝⎭⎝+-，即m的值域为(3,3,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭，即实数m 的取值范围为(3,3,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭.。

2022-2023学年湖南省益阳市高二上学期12月大联考数学试题(解析版)

2022-2023学年湖南省益阳市高二上学期12月大联考数学试题(解析版)

2022-2023学年湖南省益阳市高二上学期12月大联考数学试题一、单选题1．已知两点()0,2,3A ，()1,0,1B -，则AB =（ ） ABC．D【答案】D【分析】根据两点间距离公式，直接求解. 【详解】(1AB =故选：D ．2．若直线230ax y --=与210ax y +-=垂直，则a 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．2-或2 D ．0【答案】C【分析】根据给定条件，利用两条直线垂直的条件列式求解作答.【详解】直线230ax y --=与210ax y +-=的斜率分别为2a ，2a-，依题意，()122a a ⋅-=-，解得2a =±，所以a 的值为2-或2. 故选：C3．已知i 为虚数单位，则复数()()1i 2i --=（ ） A ．13i -- B ．13i -+ C ．13i - D ．13i +【答案】C【分析】根据复数乘法的运算性质进行求解即可 【详解】()()1i 2i 2i 2i 113i --=---=-， 故选：C4．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，843S S =，则6824a a a a ++的值为（ ） A ．2 B ．C ．4 D ．【答案】A【分析】运用基本量法解，()11,11,11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩，需要分类讨论公比是否为1.【详解】当1q =时，18413812S a a S =≠=，不成立； 当1q ≠时，843S S =，即841111·311q q a a q q--=⋅--，解得42q =， 574681132411 2.a a a q a q q a a a q a q++===++ 故选：A ．5．已知正方形ABCD ，以A ，C 两点为焦点的椭圆恰好过正方形四边的中点，则椭圆的离心率为（ ） A ．22B ．512- C ．1022- D ．53【答案】C【分析】根据题意可设正方形的边长为t ，从而根据椭圆定义以及勾股定理可得离心率. 【详解】以正方形的中心为原点，以A C 为x 轴建立坐标系，如图所示：设正方形的边长为()0t t >，则AD t =，12DM t =，5AM =，2AC t ，椭圆中5122a AM MC t =+=+，22c AC t =， 故离心率)2251221022451ct e at t -====+ 故选：C ．6．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为1，2，5，10，17，26，37，则该数列的第20项为（ ） A ．324 B ．325 C ．362 D ．399【答案】C【分析】先由条件判断该高阶等差数列为逐项差数之差成等差数列，进而得到121n n a a n +-=-，再利用累加法求得()211n a n =-+，进而可求得20a ．【详解】设该数列为{}n a ，则由21211a a -=-=，32523a a -=-=，431055a a -=-=，5417107a a -=-=，可知该数列逐项差数之差{}n b 成等差数列，首项为1，公差为2，故()12121n b n n =+-=-， 故121n n n a a b n +-==-，则211a a -=，323a a -=，435a a -=，，123n n a a n --=-，上式相加，得()()()()()21112313523122n n n a a n n n -+--=++++-==-≥，即221(1)(1)1n a n a n =-+=-+，故220191362.a =+=故选：C ．7．已知实数x ，y 满足2241x y xy ++=，且不等式20x y t +-<恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．58t >B ．t >C ．t >D ．85t >【答案】B【分析】不等式20x y t +-<恒成立，即()max 2t x y >+，由2241x y xy ++=利用基本不等式，求2x y +的最大值.【详解】2241x y xy ++=，()2231x y xy +-=，()()22332213121222x y x y xy xy +⎛⎫+=+=+≤+⋅ ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时等号成立，()()2232128x y x y +≤++，()25218x y +≤，()2825x y +≤，2+x y -≤≤，2x y ≤+≤当x =y =()max 2x y +=()max 2t x y >+，t > 故选：B8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:1O x y +=，222:(4)4O x y -+=，动点P 在直线0-=x b 上，过P 点分别作圆1O ，2O 的切线，切点分别为A ，B ，若存在点P 满足2PB PA =，则实数b 的取值范围是（ ） A ．2812,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[)28,12,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦C ．20,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)20,4,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】分别求出两圆圆心和半径，利用PA PB 2PB PA =可求点P 轨迹方程为圆，又P在直线0-=x b 上，结合圆心到直线的距离小于等于半径可求b 的取值范围. 【详解】由题意()10,0O ，11r =，()24,0O ，22r =，设(),P x y ，若2PB PA =，PA PB=()2222(4)4x y x y∴-+=+，22816033x y x ∴++-=，即2246439x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，圆心坐标为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为83，动点P 在直线0-=x b 上，存在点P 满足2PB PA =，∴直线与圆22816033x y x ++-=有交点，∴圆心到直线的距离83d =≤，2043b ∴-≤≤， 即实数b 的取值范围是20,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：C ．二、多选题9．下列各式中，值为12的是（ ）A ．5sin6π B ．2sin15cos15︒︒ C ．22cos 151︒-D ︒ 【答案】ABD【分析】根据诱导公式sin(-)sin παα=可判断A ；由二倍角的正弦公式sin22sin cos ααα=可计算B ；由二倍角的余弦公式2cos22cos 1αα=-可判断C ；由诱导公式tan()tan παα+=可计算D. 【详解】对于A ：51sinsin(-)sin 6662ππππ===，所以A 正确; 对于B ：12sin15cos15sin302==，所以B 正确; 对于C ：232cos 151cos302-==，所以C 不正确;对于D 33331tan(18030tan(3022232))=+=⨯==，所以D 正确， 故选：ABD.10．已知双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为A ，B ，点P 在双曲线上（异于左右顶点），则下列结论正确的是（ ） A ．该双曲线的离心率为53B ．若112PF F F ⊥，则12PF F △的面积为1603C ．点P 到两渐近线的距离乘积为14425D ．直线PA 和直线PB 的斜率乘积为169【答案】ACD【分析】根据离心率的公式即可判断A,根据三角形面积公式即可判断B,设出点的坐标，根据点到直线的距离公式以及斜率公式即可判断CD.【详解】由双曲线方程得3a =，4b =， 5.c ==离心率为53，A 正确;若112PF F F ⊥，不妨设Pc,y ，将其代入双曲线方程得2b y a =±，所以21163b PF y a ===，122F F c =，1222180·2?23PF F b b c Sc a a ===，B 错误; 设(),P x y ，则221916x y -=，22169144x y -=，渐近线方程为430x y ±=， 点P221691442525x y -==，C正确; ()30A -,，()3,0B ，2222116916·33999PA PBx y y y k k x x x x ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭⋅====+---，D 正确. 故选:ACD ．11．在矩形ABCD 中，2,AB AD ==，沿对角线AC 将矩形折成一个大小为θ的二面角B AC D --，若1cos 3θ=，则下列各选项正确的是（ ）A ．四面体ABCD 外接球的表面积为16πB ．点B与点D 之间的距离为C ．四面体ABCD D ．异面直线AC 与BD 所成的角为45︒ 【答案】ACD【分析】求出24R AC ==，即可判定 A 正确；分别作,BE AC DF AC ⊥⊥，垂足为E ，F ，利用向量法求出||22BD →=，即可判定B 错误；证明CD ⊥平面ABD ，求出423V =，故C 正确；利用向量法求出,45AC BD →→=︒，所以异面直线AC 与BD 所成的角为45︒，故D 正确，【详解】解：如图，因为ABC 和ADC △都是以AC 为斜边的直角三角形，则AC 为四面体ABCD 外接球的直径．因为2,23AB BC ==，则24R AC ==，所以四面体ABCD 外接球的表面积为2416S R ππ==，故A 正确； 分别作,BE AC DF AC ⊥⊥，垂足为E ，F ，则,EB FD θ→→=．由已知可得，3,1,2EB FD AE CF EF =====．因为BD BE EF FD →→→→=++，则222||()BD BD BE EF FD →→→→→==++=2222BE EF FD BE FD →→→→→+++⋅343233cos()8πθ=+++⋅-=，所以||22BD →=，故B 错误； 因为22212CD BD BC +==，则CD BD ⊥．同理AB BD ⊥．又CD AD ⊥，,,AD BD D AD BD =⊂平面ABD ， 则CD ⊥平面ABD ，所以1114222223323ABDV SCD =⨯=⨯⨯⨯⨯=，故C 正确； 由已知可得，30CAD ∠=︒，60CAB ∠=︒，则()423cos3042cos608AC AD AB AC AD AC AB AC BD →→→→→→→→→⋅=⋅-=⋅-⋅=⨯︒-︒⨯=，则82cos ,2422||||AC BD AC BD AC BD →→→→→→⋅===⨯，得,45AC BD →→=︒， 所以异面直线AC 与BD 所成的角为45︒，故D 正确， 故选：ACD ．12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，.该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n F 称为斐波那契数列，现将{}n F 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n M ，则下列结论中正确的是（ ） A ．20221M =B ．()*62646521,n n n M M M n n ---=+≥∈NC ．2222123202120212022F F F F F F ++++=D ．123202120221F F F F F ++++=-【答案】BC【分析】写出{}n M 的前几项，通过观察可得数列的周期，进而结合数列{}n F 的性质以及{}n M 的定义，可判断A 、B 项；因为2112F F F =，可推得()2221212221223F F F F F F F F F F ++===+，逐项代入即可得到C 项；由21n n n F F F ++=+，可得21n n n F F F ++=-，逐项代入即可得到 12320212023220231F F F F F F F =++++-=-，从而得到D 项错误.【详解】因为11M =，21M =，32M =，43M =，51M =，60M =，根据数列{}n F 的性质以及{}n M 的定义可得，71M =，81M =，92M =，103M =，111M =，120M =.同理可推得，当*k ∈N 时，有651k M -=，641k M -=，632k M -=，623k M -=，611k M -=，60k M =，所以{}n M 是以6为周期的周期数列，所以2022633760M M M ⨯===，所以A 项错误；由周期性可知623n M -=，641n M -=，652212n M -=⨯=，故B 正确；因为2112F F F =，可推得()2221212221223F F F F F F F F F F ++===+，逐项代入，可得2222222123202112232021F F F F F F F F F ++++=++++()2221232021F F F F F =++++222332021F F F F =+++=()20212020202120212022F F F F F =+=，所以C 正确；因为1232021F F F F ++++()()()()()()324354202120202022202120232022F F F F F F F F F F F F =-+-+-++-+-+-2023220231F F F =-=-，所以D 错误. 故选：BC ．三、填空题13．圆22:4O x y +=和圆22:6290M x y x y +--+=公切线的条数为__________． 【答案】4【分析】判断两圆的位置关系即可确定公切线条数. 【详解】圆22:(3)(1)1M x y -+-=，()3,1M ，1021OM =>+，因此两圆外离， 则有4条公切线． 故答案为：4.14．点()1,3-关于直线20x y ++=的对称点的坐标为__________． 【答案】()5,1--【分析】设点为()00,x y ，根据条件可得00311y x -=+以及00132022x y -+++=，解出即可得到. 【详解】设点()1,3-关于直线20x y ++=对称的点为()00,x y . 因为直线20x y ++=的斜率为1-，由对称关系，两点连线与直线20x y ++=垂直，所以00311y x -=+， 又因为两点连线段的中点0013,22x y -+⎛⎫⎪⎝⎭在直线20x y ++=上， 代入得00132022x y -+++=， 两式联立0000311132022y x x y -⎧=⎪+⎪⎨-+⎪++=⎪⎩，即可解得0051x y =-⎧⎨=-⎩，所以对称点为()5,1--．故答案为：()5,1--．15．六氟化硫，化学式为6SF ，在常压下是一种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示.若此正八面体的内切球的半径为6，则该正八面体的表面积为___________.【答案】723【分析】先由正八面体的结构特征求出内切球半径663a =，求出3a =，即可求出正八面体的表面积.【详解】如图，连接AC ，BD 相交于O ，连接OP .取BC 的中点E ，连接OE ，PE . 设2AB a =，可得()()2212222OA OB OC OD a a a ====+=，所以2222422OP AP OA a a a =-=-=. 由BE CE =，可得BC OE ⊥，BC PE ⊥. 又OE PE E ⋂=,所以BC ⊥平面POE . 过点O 作OH PE ⊥，可得OH ⊥平面PBC . 由正八面体的结构特征可得OH 的长为内切球半径.又由OE a =，2223PE a a a =+=，有22633OP OE a OH a PE a⨯===，可得663a =，解得3a =，∴该正八面体的表面积为2138672322⨯⨯⨯=.故答案为：723四、双空题16．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点()2,0D ，过F 的直线交抛物线C 于M ，N 两点.设直线MD ，ND 与抛物线C 的另一个交点分别为A ，B .（1）当直线MD 垂直于x 轴时，MF =__________； （2）记直线MN ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k 的值为__________. 【答案】 3 2【分析】（1）利用抛物线的定义进行求解即可；（2）利用直线斜率公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可. 【详解】空一：直线MD 垂直于x 轴时，2M D x x ==，213;2M pMF x =+=+= 空二：设211,4y M y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，222,4y N y ⎛⎫⎪⎝⎭，233,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线:1MN x my =+， 由21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩可得2440y my --=，124y y =-， 由斜率公式可得12221212444MN y y k y y y y -==+-，34223434444AB y y k y y y y -==+-，直线112:2x MD x y y -=⋅+，代入抛物线方程可得()1214280x y y y --⋅-=，138y y =-，所以322y y =，同理可得412y y =，所以()34124422MN AB k k y y y y ===++，即122k k =，则122k k =． 故答案为：3；2【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.五、解答题17．在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，()cos ,sin m A A =，()cos ,sin n A A =-，向量m ，n 的夹角为23π． (1)求角A ； (2)若a =ABC 周长的取值范围． 【答案】(1)3A π=；(2)⎝⎦.【分析】（1）根据给定条件，利用向量数量积的定义及坐标表示列式求解作答. （2）由（1）的结论结合正弦定理边化角，利用三角恒等变换及三角函数性质求解作答. 【详解】（1）因()cos ,sin m A A =，()cos ,sin n A A =-，则22cos sin cos2m n A A A ⋅=-=，而||||1m n ==，且向量m ，n 的夹角为23π，则21||||cos32m n m n π⋅==-， 因此1cos22A =-，在锐角ABC 中，02A π<<，则223A π=，解得3A π=，所以3A π=.（2）由（1）知3A π=，又a =21sin sin sin sin 3b c a B C A π====， 则sin b B =，sin c C =，而23C B π=-，由锐角ABC 得，022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，即有62B ππ<<，21sin sin sin sin()sin sin )32b c B C B B B B B π+=+=+-=++3sin )26B B B π==+ 显然有2363B πππ<+<sin()16B π<+≤，有32b c <+≤a b c <++ 所以ABC周长的取值范围为. 18．在平面直角坐标系中，已知圆22:20C x y y +-=，直线l 的方程为20x y m -+=，点()1,0A -． (1)若l 与圆C 相切，求m 的值；(2)若过点A 的直线l '截得圆C的弦长MN l '的斜率的取值范围． 【答案】(1)2m =2(2)⎣⎦【分析】(1)根据题意，圆C 与直线l 相切，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解； (2)根据题意得到圆心C 到直线'l 的距离为1'2d ≤，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）由题意知，圆22:(1)1C x y +-=，即圆心()0,1C ，半径为1， 圆心C 到直线l的距离1d ===，解得2m =2（2）若直线'l 斜率不存在，即'l 的方程为=1x -，此时直线'l 与圆C 相切，不满足题意，舍去， 若直线'l 斜率存在，设其为k ，则直线'l 的方程为()1y k x =+，即0kx y k -+=，设圆心C 到直线'l 的距离为'd ，有22(')()12MN d +=，因为MN 1'2d ≤，即1'2d ==≤k ≤≤ 故'l的斜率的取值范围为.⎣⎦19．已知各项为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2421n nn S a a =++. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设12n n n b a a +=，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：213n T ≤<． 【答案】(1)21n a n =- (2)证明见解析【分析】（1）利用公式11a S =，2n ≥时，1n n n a S S -=-，代入化简得到数列{}n a 的递推公式，即可求解通项公式；（2）由（1）的结果，利用裂项相消法求和，再结合数列的单调性证明不等式.【详解】（1）当1n =时，2111421a a a =++，解得11a =；当2n ≥时，由2421n n n S a a =++，得2111421n n n S a a ---=++，两式相减可得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，()22112n n n n a a a a ---=+，又0n a >，12n n a a -∴-=，即{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列， 因此，{}n a 的通项公式为21n a n =-； （2）证明：由()1可知21n a n =-，所以()()21121212121n b n n n n ==--+-+， 1211111111335212121n n T b b b n n n =+++=-+-++-=--++， 因为1021n >+恒成立，所以1n T <， 又因为()()11202123n nn T T b n n ++-==>++，所以{}n T 单调递增，所以1123n T T b ≥==， 综上可得213n T ≤<．20．在四棱锥A BCDE -中,底面BCDE 为正方形,平面ADE ⊥平面BCDE ,2AE BE ==,22AD =,M 是AB 的中点,点N 是线段BC 上靠近C 点的一个三等分点,(1)证明：EM AN ⊥;(2)求二面角M EN B --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 217【分析】(1)根据勾股定理证明DE AE ⊥,根据题意可得DE BE ⊥,从而证明DE ⊥平面ABE ,因为//BC DE ,所以BC ⊥平面ABE ,得到EM BC ⊥,再根据已知得到EM AB ⊥,证明EM ⊥平面ABC 即可得证.(2)分别以EB ,ED ,EA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,计算得到平面EMN 的法向量和平面EBN 的法向量即可得到结果. 【详解】（1）2AE ED ==,22AD =∴222AE ED AD +=,DE AE ∴⊥,又DE BE ⊥,AE BE E =,AE ⊂平面ABE ,BE ⊂平面ABE ,∴DE ⊥平面ABE ,//BC DE ,BC ∴⊥平面ABE , EM ⊂平面AEB ,∴EM BC ⊥,M 是AB 中点,AE BE =,∴EM AB ⊥,又AB BC B ⋂=,AB ⊂平面ABC ,BC ⊂平面ABC , ∴EM ⊥平面ABC ,AN ⊂平面ABC ,∴.EM AN ⊥（2）平面ADE ⊥平面BCDE ,平面ADE 平面BCDE DE =,AE DE ⊥, ∴⊥AE 平面BCDE,BE ⊂平面BCDE ,∴AE BE ⊥,如图所示,分别以EB ,ED ,EA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系, 则()0,0,0E ,()2,0,0B ,()0,0,2A ,()1,0,1M ,42,,03N ⎛⎫⎪⎝⎭,设平面EMN 的法向量为()1,,n x y z =,()41,0,1,2,,03EM EN ⎛⎫== ⎪⎝⎭,则00n EM n EN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即04203x z x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩, 取43x =,则144,2,33n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取平面EBN 的法向量为()20,0,1n =,二面角M EN B --的平面角为锐角,设大小为θ,则121242173cos 1616·499n n n n θ⋅===++即二面角M EN B --217. 21．读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情.树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图. 男生一周阅读时间频数分布表小时频数[)0,29[)2,425[)4,6 3[)6,8 3(1)由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和75%分位数；(2)由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数z；(3)从一周课外阅读时间为[)4,6的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率.（注：以各组的区间中点值代表该组的各个值）【答案】(1)75%分位数是163，众数是3(2)3.6(3)1 3【分析】(1)根据频率分布直方图，结合众数、百分位数的求法计算即可；(2)根据频数分布表直接求出男生一周课外阅读时间平均数x，根据频率分布直方图，结合平均数的求法求出女生一周课外阅读时间的平均数y，即可求出总样本的平均数；(3)根据频数分布表与频率分布直方图求出一周课外阅读时间为[)4,6的男生与女生人数，结合古典概型的概率公式计算即可.【详解】（1）由女生一周阅读时间的频率分布直方图知，阅读时间的众数是3， 设女生一周阅读时间的75%分位数为a ，()111322424484a ⨯+⨯+-=， 解得163a =； （2）由频数分布表估计男生一周课外阅读时间平均数193255373340x ⨯+⨯+⨯+⨯==由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数1111212325274244812y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 所以估计总样本的平均数3404603.6100z ⨯+⨯==（3）由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为[)4,6的学生中男生有3人，女生有1260158⨯⨯=（人）若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为a ， 女生有5人，记为1b ，2b ，3b ，4b ，5b ，则样本空间{}1234512131415232425343545Ω,,,,,,,,,,,,,,ab ab ab ab ab bb bb bb bb b b b b b b b b b b b b =， 共有15个样本点.记事件A =“恰好一男一女”，则{}12345,,,,A ab ab ab ab ab = 故所求概率()51153P A ==. 22．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点F 与上下顶点构成一个等腰直角三角形，且直线0x y +=与椭圆E 仅有一个公共点．(1)求椭圆E 的方程；(2)斜率不为0的直线l 过点F ，与椭圆E 交于A ，B 两点，弦AB 的中点为H ，O 为坐标原点，直线OH 与椭圆E 交于点M ，N ，求四边形AMBN 面积S 的最小值．【答案】(1)2212x y +=(2)2【分析】（1）由题意得b c =，联立直线与椭圆方程得到一元二次方程，根据Δ0=即可求得结果； （2）若直线l 的斜率不存在，可求得2S =；若直线l 的斜率存在，设():1l y k x =-，0k ≠，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式求得AB ，利用点差法求OH 斜率并求其方程，与椭圆方程联立，可得M ，N 两点的坐标，再利用点到直线的距离公式求得,M N 到直线AB 的距离之和，进一步求四边形的面积及最值即可．【详解】（1）由题知，b c =，222a b ∴=，即椭圆方程为222220x y b +-=联立2220,220,x y x y b ⎧+⎪⎨+-=⎪⎩消去y得223620x b ++-=由()2212620b ∆=--=，解得21b =，22a ∴=则椭圆E 的方程为2212x y +=．（2）由（1）知()1,0F若直线l 的斜率不存在，其方程为1x =，可得,A B坐标为(1,，AB 弦AB 的中点H 的坐标(1,0)，可得,M N坐标为(，MN =122S AB MN ==若直线l 的斜率存在，设():1l y k x =-，0k ≠由()221,21,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()2222124220k x k x k +-+-= 设()11,A x y ，()22,B x y ，可知2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+则)22112k AB k ++由,A B 在椭圆E 上得221122221,21,2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得2222121202x x y y -+-= 整理得12121212122H H y y x x x k x x y y y -+-==-⋅=-+，则12H OHH y k x k ==- 则直线OH 的方程为12y x k=-由221,21,2x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即,M N的坐标为⎛⎫，⎛⎫点,M N 到直线AB 的距离之和为M N d d +=显然M 和N 在直线l 的异侧，故()1M M k x y --和()1N N k x y --异号M N d d +===则四边形AMBN 面积())221112212M N k S AB d d k +=+=⨯⨯=+由()210212k >+恒成立，得2S > 综上，四边形AMBN 面积S 的最小值为2．。

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2009年度九年级12月月考数学试卷
一、选择题(每题3分，共30分) 1、下列二次根式：4，12，50，
2
1
中与2是同类二次根式的个数为（ ）。

A 、1 B 、2 C 、3 D 、
2、将如图所示的图案，绕其中心旋转n °时，与原图形重合，
那么n 的最小值是（
）。

A 、60
B 、90
C 、120
D 、180 3、关于x 的一元二次方程01)1(2
2
=-++-a x x a 的一个根为0， 则a 的值为（ ）。

A 、1
B 、1-
C 、1- 或1
D 、
2
1
4、如图：将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好过圆心O ， 则折痕AB 的长为（ ）。

A 、2cm B 、3cm C 、23cm D 、5cm
5、下列成语所描述的事件是必然发生的是（ ）。

A 、水中捞月 B 、拔苗助长
C 、守株待兔
D 、瓮中捉鳖
6、小明的作业本上有以下四题：①416a =2
4a ；②a 5·a 10= 5a 2； ③a
a
1
)0(12≠=∙=a a a a ； ④a a a =-23，做错的题是（ ）。

A 、① B 、② C 7、如图，在三个等圆上各有一条劣弧AB 、弧CD 、弧
EF ，若弧AB+弧CD=弧EF ，那么AB+CD 与EF 的
大小关系是（ ）。

A 、AB+CD=EF B 、AB+CD ＞EF C 、AB+CD ＜EF D 、不能确定 8、若关于x 的一元二次方程0122
2
=--x kx ，
有两个不等的实数根，则k 的取值范围是（ ）。

A 、k ＞-1
B 、k ＞-1且k ≠0
C 、k ＜1
D 、k ＜1且k ≠0
9、如图，水平地面上有一面积为30πcm 2
的扇形AOB ，半径OA=6cm ，且OA 与地面垂直，在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止，则O 点移动的距离为（ ）。

10、如图，一个跳水运动员从距水面10米高的跳台向上跳起0.5米，
最后以14米/秒的向下运动速度入水，他在空中每完成一个翻滚动作需用时间0.2秒，并至少在离水面3.5米处停止做翻滚动作准备入水，该运动员在空中至多能做翻滚动作（ ）。

A 、6个 B 、5个 C 、4个 D 、3个 二、填空题（每题2分，共18分） 11、函数3
||2
--=
x x y 的自变量的取值范围是____________________
12、如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘 上的点A 处安装了一台监视器，
它的监控角度是65°，为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器 _________台。

13、若方程022=++a ax x 的两实根为1x ，2x ，且满足122
221=+x x ，则实数a 的值为 _________。

14、4cm 和5cm 的两圆相交，它们的公共弦长为6cm ，则这两圆的圆心距等于_________。

那么，该班共有________人，随机地抽取1人，恰好是获得30分的学生的概率是______。

16、如图：表2是从表1中截取的一部分，则a =_____________。

三、解答题（9小题，共72分）
17、（7分）已知05242
2=+-++a b b a ，求b
a
a b -+-
的值。

18、（7分）已知一元二次方程042
=+-k x x 有两个不相等的实数根。

（1）求k 的取值范围。

（2）若k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程042
=+-k x x 与012
=-+mx x 有一个相同的根，求此时m 的值。

19、（7分）阅读材料：对于1027-可进行如下化简： 原式=25)25()2(252)5(21025222-=-=+⨯-=
+-
请仿照上述材料化简求值：已知526-=x ，求)
2(24
)2121(2--⨯
++-x x x x 的值。

20、（8分）如图，在RtABC 中，∠C=90°，∠A=α，将RtABC 在平面内绕点A 逆时针方向旋转，设点B 旋转到点B ’时，点C 旋转到点C ’。

（1）问旋转角β为多少时（用α表示），点B ’在BC 的延长线上？ （2）当0°＜β＜2α时，试找出∠B ’BC ＋∠B ’C ’C 与α的关系，并说明你的结论。

21、（8分）
理，以承受重返地球大气层时与空气摩擦而产生的高热。

（1）求该太空舱要接受防高热处理的面积（结果保留π
）； （2）现在一只蚂蚁在太空舱A 点上， 要爬到P 点（P 点 为棱OB 的中点）处，求蚂蚁爬行的最短路线的长。

22、（8分）设一个点只落在平面直角坐标系上由x 轴，y 轴及
直线x+y=2所围成的三角形内（包括边界），并且落在这个三
角形内任何区域的可能性相等。

（1）求此点落在直线2
1
=
x 的左边的概率是多少？ （2）求此点落在直线1=y 与直线2
3
=
y 之间的概率是多少？
23、（8分）如图，⊙O 是RtABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC=30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F 。

（1）判断△DCE 的形状。

（2）设⊙O 的半径为1，且OF=2
1
3-，
求证：△DCE ≌△OCB 。

24、（9分）2009年4月7日，国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案（2009—2011）》。

某市政府决定2009年投入6000万元用于改善医疗卫生服务，比2008年增加了1250万元，投入资金的服务对象包括“需方”（患者等）和“供方”（医疗卫生机构等），预计2009年投入“需方”的资金将比2008年提高了30%，投入“供方”的资金将比2008年提高20%。

（1）该市政府2008年投入改善医疗卫生服务的资金是多少万元？
（2）该市政府2009年投入“需方”和“供方”的资金分别是多少万元？
（3）该市政府预计2011年将7260万元投入改善医疗卫生服务，若从2009年—2011年 每年的资金投入按相同的增长率递增，求2009—2011年的年增长率。

25、（10分）如图，在直角坐标系中，直线AB 的解析式为64
3
+-
=x y ，⊙P 和△ABO 三边相切于点E 、F 、G ，CD 和⊙P 相切于Q ，交AC 于C ，交AB 于D ，且OC 、BD 的长是方程0
92
=+-k x x 的两个整数根。

（1）求的⊙P 面积，四边形B0CD 的周长和CD 的长； （2）求k 的值；
（3）符合上述条件的点C 能否和P 、B 在同一直线上？说明理由。

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