四校联考数学试卷
广东省四校(华附、省实、广雅、深中)2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题(解析版)
华附､省实､广雅､深中2022级高二下学期四校联考数学注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名､姓名､考号､座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B 铅笔填涂相关信息.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后.再选涂其它答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟..1.若()i 11z +=（i为虚数单位），则z z −=（ ）A.2−B.2i− C.2D.2i【答案】D 【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简z ，即可求出其共轭复数，再由复数的减法计算可得.【详解】因为()i 11z +=，所以11i iz +==−，所以1i z =−−，则1i z =−+，所以()()1i 1i 2i z z −=−+−−−=.故选：D2.已知等比数列{}n a 中，1241,9a a a ==，则7a =（ ） A.3 B.3或-3C.27D.27或-27【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，计算得到等比数列的等比，结合通项公式计算得出答案；【详解】设等比数列{}n a 的公比为1212134,1,9,93q a a a qa a q q ==∴=⇒= ， 则6371327a a q ===， 故选：C.3. 已知圆22:2O x y +=与抛物线2:2(0)C x py p =>的准线相切，则p 的值为（ ）A. B.C. 4D. 2【答案】A 【解析】【分析】写出抛物线C 的准线方程，根据该准线与圆O 相切求出实数p 的值.【详解】由题意可知，圆O 的圆， 抛物线C 的准线方程为2py =−，由于抛物线C 的准线方程与圆O 相切，则2p=，解得p =. 故选：A.4. 如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】由扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得2π2π2R r =，求得4R =，进而由h =可求得圆锥的高.【详解】由图可知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为1r =， 设扇形半径为R ，则有π2π2R r =，解得4R =，所以圆锥的母线长为4R =，故圆锥的高h =故选：C.5. 某校高二年级下学期期中考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格.阅卷结果显示，全年级800名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（=平均分/150）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X N µσ ，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈. A. 127人 B. 181人 C. 254人 D. 362人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩()273.5,22X N ，再根据所给条件求出()5790P X ≤≤，即可求出()90P X ≥，即可估计人数.【详解】依题意可知平均分为1500.4973.5×=，又标准差为22， 所以学生的数学成绩()273.5,22X N ，即73.5µ=，22σ=，又9073.50.7522−=， 所以()()()00.57900.75.750.54775P X P X p µσµσ≤≤=−≤≤+=≈，所以()10.547900.22652P X −≥=≈=，又8000.2265181.2×=，所以该次数学考试及格的人数约为181人. 故选：B6. 已知双曲线2213y x −=的左、右焦点分别为12,F F ，直线y x =与双曲线的右支交于点P ，则12PF PF ⋅=（ ）A. 1−B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】【分析】首先求出焦点坐标，再联立直线与双曲线方程，求出交点P 的坐标，再由数量积的坐标表示计算可得.【详解】双曲线2213y x −=的左、右焦点分别为()12,0F −，()22,0F ，由2213y x y x −= =，解得x y= =x y = =P ，则12PF =−，22PF =− ，所以212221PF PF ⋅=−×+=− . 故选：A7. 现有一组数据0,1,2,3,4,5，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数小于3的概率为（ ） A.23B.1115C.45D.1315【答案】B 【解析】【分析】设删去的两数之和为x ，依题意可得15362x−<−，求出x 的范围，再列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得.【详解】依题意得这组数据各数之和为01234515+++++=， 设删去的两数之和为x ，若剩下数据的平均数小于3，则15362x−<−，解得3x >， 则删去的两个数可以为()0,4，()0,5，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5共11种情况，从0,1,2,3,4,5中任意取两个数有：()0,1，()0,2，()0,3，()0,4，()0,5，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5，共15种情况，故所求概率1115P=. 故选：B8. 若函数()()21e 12xg x x b x =−+−存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（ ） A. [0,)+∞ B. ()0,∞+C. (],0−∞D. (),0∞−【答案】D【解析】【分析】根据题意转化为导函数e 10x x b −+−<有解，参变分离e 1x b x <−++有解,设()e 1x f x x =−++，则实数max ()b f x <，求导计算可得解；【详解】函数()()21e 12xg x x b x =−+−的定义域为R , 求导得()e 1xg x x b ′=−+−，函数存在单调递减区间， 所以e 10x x b −+−<有解，即e 1x b x <−++有解， 设()e 1x f x x =−++，则实数max ()b f x <， 则()e 1x f x ′−+=，令()0f x ′=，得0x =， 当0x <时，()0,()′>f x f x 在(),0∞−上递增； 当0x >时，()0,()′<f x f x 在(),0∞−上递减； 所以函数()f x 有最大值(0)0f =， 因此0b <. 故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9. 若“2x k <−或x k >”是“23x −<<”的必要不充分条件，则实数k 的值可以是（ ） A. 3B. 3−C. 5D. 5−【答案】BCD 【解析】【分析】令{|2A x x k =<−或}x k >，{}|23B x x =−<<，依题意可得B 真包含于A ，即可求出参数的取值范围.【详解】令{|2A x x k =<−或}x k >，{}|23B x x =−<<，因为“2x k <−或x k >”是“23x −<<”的必要不充分条件， 所以B 真包含于A ，所以2k ≤−或23k −≥，解得2k ≤−或5k ≥，结合选项可知符合题意的有B 、C 、D. 故选：BCD10. 下列关于成对数据统计的表述中，正确的是（ ） A. 成对样本数据的经验回归直线一定经过点(),x yB. 依据小概率事件0.1α=的2χ独立性检验对零假设0H 进行检验，根据22×列联表中的数据计算发现20.10.837 2.706x χ≈<=，由()2 2.7060.1P χ≥=可推断0H 不成立，即认为X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过0.1C. 在残差图中，残差点的分布随解释变量增大呈现扩散的趋势，说明残差的方差不是一个常数，不满足一元线性回归模型对随机误差的假设D. 决定系数2R 越大，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 【答案】AC 【解析】【分析】根据经验回归方程的性质判断A ，根据独立性检验的基本思想判断B ，根据回归分析的相关知识判断C 、D.【详解】对于A ：成对样本数据的经验回归直线一定经过点(),x y ，故A 正确；对于B ：因为20.10.837 2.706x χ≈<=，由()22.7060.1P χ≥=可推断0H 成立，即认为X 和Y 独立，故B 错误；对于C说明残差的方差不是一个常数，不满足一元线性回归模型对随机误差的假设，故C 正确； 对于D ：决定系数2R 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故D 错误. 故选：AC11. 如图，心形曲线22:()1L x y x +−=与y 轴交于,A B 两点，点P 是L 上的一个动点，则（ ）A. 点和()1,1−均在L 上B. 点PC. OP 的最大值与最小值之和为3D. PA PB +≤ 【答案】ABD 【解析】【分析】点代入曲线判断A ，根据曲线分段得出函数取得最大值判断B ，应用三角换元再结合三角恒等变换求最值判断C ，应用三角换元结合椭圆的方程得出恒成立判断D. 【详解】令0x =，得出1y =±，则()()1,0,1,0,A B −对于A ：x =时，2112y += 得0y =或y =，=1x −时，()2111y +−=得1y =，所以和()1,1−均在L 上，A 选项正确；对于B ：因为曲线关于y 轴对称，当0x ≥时，()221x y x+−=，所以y x =+()()222221112y y x x x x ==+−+≤++−=，所以x =y B 选项正确；对于C ：OP =，因为曲线关于y 轴对称，当0x ≥时，设cos ,sin x y x θθ=−=， 所以()2222222cos cos sin 2cos sin 2sin cos OP x y θθθθθθθ=+=++=++()1cos23131sin2cos2sin222222θθθθθϕ+=++=++=++，因为θ可取任意角，所以OP 取最小值=，OP 取最大值=，C 选项错误；对于D ：PA PB +≤等价为点P 在椭圆22132y x +=内，即满足()222cos sin 3cos 6θθθ++≤，即()()31+cos221sin 262θθ++≤，整理得4sin23cos25θθ+≤，即()sin 21θβ≤+恒成立，故D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】方法点睛：应用三角换元，再结合三角恒等变换化简，最后应用三角函数值域求最值即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(21)x y +−的展开式中，所有项的系数和为__________. 【答案】64 【解析】【分析】令1xy ==计算可得. 【详解】令1xy ==，可得所有项的系数和为()642611+−=. 故答案为：6413. 如图，正八面体ABCDEF 的12条棱长相等，则二面角E AB F −−的余弦值为__________.【答案】13−.【解析】【分析】AB 的中点为G ，EGF ∠为二面角E AB F −−的平面角，结合正八面体的几何特征，利用余弦定理求值即可.【详解】连接,AC BD 交于点O ，连接EF ，取AB 的中点G ，连接,EG FG ，根据正八面体的几何特征，有EF 过点O ，EG AB ⊥，FG AB ⊥， 又EG ⊂平面ABE ，FG ⊂平面ABF ， 平面ABE ∩平面ABF AB =，所以EGF ∠为二面角E AB F −−的平面角.正八面体中， EF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 则EF AC ⊥，所以AOE △是直角三角形，设正八面体棱长为2，则AO =，2AE =，所以OE =，得EF =在AEB △中，EGAB =，同理GF =在EGF △中， 由余弦定理，可得2221cos 23EG FG EF EGF EG FG +−∠==−⋅⋅ 故答案为：13−.14. 数列{}n a 前n 项和为n S ，且111,22n n a a a n +=−=，则满足2024n S >的最小正整数n 为__________. 【答案】9 【解析】【分析】先构造等比数列，再应用等比等差数列前n 项和公式计算，最后判断最小值n 即可.【详解】因为122n n a a n +−=，所以()124244n n a n a n +++++， 所以()()124222n n a n a n +++=++,所以{}22n a n ++是公比为2首项为1225a ++=的等比数列，所以112252,5222n n n n a n a n −−++=×=×−−.则()()()()()0112512422522246225213122n n n n n n S n n n −−++=+++−++++=−=−−−− ,因为152220,n n a n −=×−−>则n S 单调递增，又因为()8285218385255642411872024S =−−−×=×−−=<,()9295219395511812724472024S =−−−×=×−−=>.则2024n S >的最小正整数n 为9. 故答案为：9.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin sin A B Cb c a b+=+−. 的（1）求A ；（2）如图，若点D 是BC 边上一点，且,2AB AD BD CD ⊥=，求ADB ∠. 【答案】（1）2π3A =（2）π3ADB ∠= 【解析】【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后利用余弦定理可求出角A ； （2）由AB AD ⊥结合2π3A =可得π6DAC ∠=，然后在ABD △和ACD 分别利用正弦定理结合已知条件可得b c =，进而可求出ADB ∠. 【小问1详解】 因sin sin sin A B Cb c a b+=+−，所以由正弦定理得a b b c bca +=+−，所以222ab bc c −=+， 所以222b c a bc +−=−所以由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +−−===−，因为()0,πA ∈，所以2π3A =； 【小问2详解】因为AB AD ⊥，所以π2BAD ∠=，所以2πππ326DAC BAC BAD ∠=∠−∠=−=， 在ABD △中，由正弦定理得πsin sin sin 2AB BD BD BDADB BAD ===∠∠， 在ACD 中，由正弦定理得2πsin sin sin 6AC CD CD CDADC DAC===∠∠， 因为πADB ADC ∠+∠=，所以sin sin ADB ADC ∠=∠为因为2BD CD =，所以AB AC =，即b c =，所以π6BC ==, 所以πππππ263ADB BAD B ∠=−∠−=−−=. 16. 如图，四棱锥P ABCD −的侧面PCD 为正三角形，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，平面PCD ⊥平面ABCD ，已知44CD AB ==，13PM MD =.（1）证明：AM //平面PBC ；（2）若,AC AD PA ==，求直线AM 与平面PAB 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）取PC 上的点N ，使14PN PC = ，可得MN AB =，则由线线平行可证线面平行；（2）取CD 中点O ，连,AO PO ，根据题意可证AO CD ⊥，PO ⊥平面ABCD ，所以以O 为坐标原点，,,OA OC OP分别为,,x y z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A xyz −，利用线面角的空间向量法求解. 【小问1详解】取PC 上的点N ，使14PN PC =，则()1144MN PN PM PC PD DC AB =−=−== ，所以四边形ABNM 为平行四边形，所以//AM BN ，又BN ⊂平面PBC ，AM ⊄平面PBC ，所以AM //平面PBC ； 【小问2详解】取CD 中点O ，连,AO PO ，因AC AD =，所以AO CD ⊥， 因为PCD为正三角形，所以,PO CD PO ⊥，又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PO ⊂平面PCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ，因为AO ⊂平面ABCD ，所以PO AO ⊥，AO ==以O 为坐标原点，,,OA OC OP分别为,,x y z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A xyz −，则A ，(0,2,0)C ，(0,2,0)D −，)B，(0,0,P ，则(0,1,0)AB =，PA =−，1142AM AP PD =+=−， 设(,,)n x y z =为平面PAB 的法向量，则0000y n AB n PA = ⋅=⇒ −=⋅=，可取)n = ，cos ,n AM n AM n AM⋅===⋅， 故直线AM 与平面PAB. 17. 一个袋子中有30个大小相同球，其中有10个红球､20个白球，从中随机有放回地逐次摸球作为样为的本，摸到红球或者第5次摸球之后停止.用X 表示停止时摸球的次数. （1）求X 的分布列和期望；（2）用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.1的概率. 【答案】（1）分布列见解析，()21181E X = （2）2081【解析】【分析】（1）对于有放回的摸球，()()112,33P A P A ==，且i A ()1,2,3,4,5i =相互独立的，X 的可能取值为1,2,3,4,5，依次求出概率，可得分布列，再由期望公式求解； （2）设样本中红球的比例为f ，B =“样本中有红球”，且7133030C f =≤≤ ，分B 不发生，和B 发生求概率，从而得解. 【小问1详解】设=i A “第i 次摸出红球”，1,2,3,4,5i =，对于有放回的摸球，()()1101202,303303P A P A ====，且i A ()1,2,3,4,5i =相互独立的， X 的可能取值为1,2,3,4,5，则由题意可知，()(()()11212121,23339P X P A P X P A A ======⋅=， ()()212321433327P X P A A A ===⋅= ，()()3123421843381P X P A A A A ===⋅=，()()412342165381P X P A A A A ====，期望()124816211123453927818181E X =×+×+×+×+×=. 【小问2详解】总体中的红球比例13，设样本中红球的比例为f ，设B =“样本中有红球”，且17130.133030C f f =−≤=≤≤ ， 若B 不发生，则0f =，此时C =∅，所以()0P BC =， 若B 发生，则1f X =，此时711330303030137BC X X =≤≤=≤≤， 所以()()()482034278181P BC P X P X =+===+=， 所以，()()()2081P C P BC P BC =+=. 18. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的长轴长为()()1,2,0,2,02M N −.（1）求椭圆E 的方程；（2）过()4,0P 作一条斜率存在且不为0的直线l 交E 于,A B 两点. （i ）证明：直线AM 和直线BM 的斜率均存在且互为相反数； （ii ）若直线AM 与直线BN 交于点Q ，求Q 的轨迹方程. 【答案】（1）22186x y +（2）（i ）证明见解析；（ii）()212,02x x y −=≠≠【解析】【分析】（1）根据已知条件直接计算出椭圆相关基本量即可；（2）（i ）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为()()40y k x k =−≠，联立方程组，利用韦达定理证明；（ii ）设直线，直线()()22:22BM x y y x +=+，联立方程组得204x x =，0202y y x =，采用代入法可得Q 的轨迹方程. 【小问1详解】根据题意，2a =，因为椭圆离心率为12，所以12c ea ==，所以c =6b =，所以椭圆的方程为22186x y +； 【小问2详解】（i ）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为()()40y k x k =−≠，联立方程()224186y k x x y =− += ，消去y 得：()2222343264240k x k x k +−+−=， 则()2Δ96340k=−>，即k <由韦达定理得，212232=34k x x k++，2122642434k x x k −⋅=+，当k =Δ0=，122x x ==，不合题意，故122,2x x ≠≠， 所以直线AM 和直线BM 的斜率均存在，1212,22B A M M y y k k x x =−−=， 所以()()()()()()122112121242422222AM BM k x x k x x y yk k x x x x −−+−−+=+=−−−− ()()222121212122616024k x x x x x x x x ⋅−++ =⋅−++， 即直线AM 和直线BM 的斜率均存在且互为相反数； （ii ）由（i ）知22x ≠，且222BM AM y k k x ==−−， 可设直线()()22:22AM x y y x −=−，直线()()22:22BM x y y x +=+，设()00,Q x y ，则()()()()202020202222x y y x x y y x −=−− +=+ ，整理得20202022x y y y y x = = ①，由题意知20y ≠，由①知000,0y x ≠≠， 所以由①知，204x x =，0202y y x =②， 将②代入2222186x y +=得2022002213y x x +=，化简得0022123x y −=，又因为22x ≠，所以02x ≠，所以Q 的轨迹方程为()2212,023x y x y −=≠≠..【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y ，()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为1212,x x x x +的形式； （5）代入韦达定理求解.19. 拟合（Fittiong ）和插值（Imorterpolation ）都是利用已知的离散数据点来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数，并以此预测或估计未知数据的方法.拟合方法在整体上寻求最好地逼近数据，适用于给定数点.适用于需要高精度模型的场景，实际应用中常用多项式函数来逼近原函数，我们称之为移项式插值.例如，为了得到1cos 2的近似值，我们对函数()πcos 2f x x=进行多项式插值.设一次函数()1L x ax b =+满足()()()()11001110L f L f == == ，可得()f x 在[]0,1上的一次插值多项式()11L x x =−+，由此可计算出1cos 2的“近似值”11111cos10.6822πππf L=≈=−≈，显然这个“近似值”与真实值的误差较大.为了减小插值估计的误差，除了要求插值函数与原函数在给定节点处的函数值相等，还可要求在部分节点处的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等.满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特（Hermite ）插值多项式.已知函数()πcos 2f x x = 在[]0,1上的二次埃尔米特插值多项式()2H x ax bx c ++满足()()()()()()001100H f H f H f =′=′ =（1）求()H x ，并证明当[]0,1x ∈时，()()f x H x ；（2）若当[]0,1x ∈时，()()2f x H x x λ− ，求实数λ的取值范围；（3）利用()H x 计算1cos 2的近似值，并证明其误差不超过140. （参考数据：2110.318,0.101ππ≈≈；结果精确到0.001） 【答案】（1）()21H x x =−+，证明见解析； （2）2π1,8−+∞（3）1cos 0.8992≈，证明见解析 【解析】【分析】（1）由题意列方程组求出,,a b c ，得()H x ；通过构造函数，利用导数求最值证明()()f x H x ≤；（2）令()()()()22π1cos 12G x H x f x x x x λλ=−−=−+−+，问题转化为()0G x ≤在[]0,1x ∈时恒成立，利用导数求函数单调性和最值，得条件满足时实数λ的取值范围；（3）由111cos 2ππf H =≈，代入求值即可，由误差2211π11ππ8πe f H =−≤− ，可证得结论.【小问1详解】()πcos 2f x x = ，()10f =，()01f =，()ππsin 22f x x′=−，()0 0f ′=，()2H x ax bx c ++，()2H x ax b ′=+，由()()()()()()001100H f H f H f =′=′=得100c a b c b = ++== ，解得101a b c =− = = ，因此()21H x x =−+. 设()()()2πcos 12F x f x H x x x =−=+−，[]0,1x ∈，()ππsin 222F x x x ′=−+ ，令()()1F x F x ′=，则()21ππcos 242F x x′=−+ ，因为()1F x ′在[0,1]上单调递增，且()21π0204F ′=−+<，()1120F ′=>，故存在()10,1x ∈使()110F x ′=，且()F x ′在()10,x 上单调递减，在()1,1x 上单调递增，又()00F ′=，()()100F x F ′′<=，()π120 2F ′=−+>， 所以()F x ′在()0,1上存在唯一的零点()21,1x x ∈，使得()20F x ′=， 且()F x 在()20,x 上单调递减，在()2,1x 上单调递增，又()()010F F ==，所以()0F x ≤，即()()f x H x ≤.【小问2详解】由（1）知()()2f x H x x λ−≤等价于()()2H x f x x λ−≤，且0λ≥，设()()()()22π1cos 12G x H x f x x x x λλ=−−=−+−+，[]0,1x ∈，则()0G x ≤， ()()ππ21sin 22G x x x λ′=−++， 令()()1G x G x ′=，则())21ππ21cos 42G x x λ′=−++， 令()()21G x G x ′=，则()32ππsin 082G x x′=−≤，所以1()G x ′在[]0,1上单调递减， 若2π18λ≥−，则()()()211π02104G x G λ′′≤=−++≤，所以()G x ′在[]0,1上单调递减，所以()()00G x G ′′≤=， 所以()G x 在[]0,1上单调递减，所以()(0)0G x G ≤=； 若2π018λ≤<−，则()21π(0)2104G λ′=−++>，而1(1)2(1)0G λ′=−+<，故存在()00,1x ∈，使10()0G x ′=，从而()00,x 上，1()0G x ′>，()G x ′单调递增，()()00G x G ′′>=， 在于是()G x 单调递增，()()00G x G >=不符合题意. 综上所述，λ的取值范围为2π1,8 −+∞. 【小问3详解】21111cos10.8992πππf H=≈=−+≈. 由（2）知，()()22π18f x H x x −≤−， 所以，误差22211π1111111ππ8π8π81040e f H =−≤−=−<−=. 【点睛】方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决. 不等式证明或不等式恒成立问题常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.。
浙江四校2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题及答案
2024学年第一学期高一年级10月四校联考数学学科试题卷命题人：浦江中学 徐德荣 校对人：浦江中学 于杭君考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场､座位号及准考证号（填涂）；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A BxA ==，则()AA B ∩= （）A.{}2,3,5 B.{}3,4,9 C.{}1,4,9 D.{}1,2,32.如图，已知全集U =R ，集合{}{}1,2,3,4,5,12A B xx ==−≤≤∣，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）A.3B.4C.7D.83.已知,x y ∈R ，则“0xy =”是“220x y +=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知0,0a b a +><，那么,,,a b a b −−的大小关系是（）A.b a b a >−>−>B.a b a b >−>−>C.b a a b>−>>− D.a b a b>>−>−5.命题“230,x x x ∃>>”的否定是（）A.230,x x x ∀>>B.230,x x x ∀>≤C.230,x x x ∀≤≤D.230,x x x ∃>≤6.若命题“[]21,3,20x x x a ∃∈−−−≤”为真命题，则实数a 可取的最小整数值是（ ）A.1− B.0 C.1 D.37.已知关于x 不等式()()20x ax b x c−+≥−的解集为(](],21,2∞−−∪，则（ ）A.2c =B.点(),a b 在第二象限C.22y ax bx a +−的最大值为3aD.关于x 的不等式20ax ax b +−≥的解集为[]2,1−8.若数集{}()1212,,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥ 具有性质P ：对任意的,(1),i j i j i j n a a ≤<≤与j ia a 中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则（）A.“权集”中一定有1B.{}1,2,3,6为“权集”C.{}1,2,3,4,6,12为“权集”D.{}1,3,4为“权集”二､多选题：本题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.9.中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二.五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知{}*32,A xx n n ==+∈N ∣，{}{}**53,,72,B xx n n C xx n n ==+∈==+∈N N ∣∣，若()x A B C ∈∩∩，则下列选项中符合题意的整数x 为（ ）A.23B.133C.233D.33310.根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（）A.自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积.B.购买同一种物品，可以用两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.用第一种方式购买比较经济.C.某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，则这两年的平均增长率等于2a b+.D.金店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店内购买20g 黄金，店员先将10g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.记顾客实际购得的黄金为g x ，则20x >.11.若正实数,x y 满足21x y +=，则下列说法正确的是（）A.xy 有最大值为18B.14x y+有最小值为6+C.224x y +有最小值为12D.()1x y +有最大值为12三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某学校举办秋季运动会时，高一某班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，借助韦恩图，可知同时参加田赛和径赛的有__________人.13.甲､乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度x （千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元.为使全程运输成本最小，汽车的速度是__________千米/时. 14.若一个三角形的三边长分别为,,a b c ，记()12p a b c =++，则此三角形面积S ，这是著名的海伦公式.已知ABC 的周长为9,2c =，则ABC 的面积的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为2的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底AD ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成60 ，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值.16.（本题满分15分）已知集合{}215A xx =−≤−≤∣､集合{}()121B x m x m m =+≤≤−∈R ∣.（1）若4m =，求()A B ∪R ；（2）设命题:p x A ∈；命题:q x B ∈，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围17.（本题满分15分）如图，ABDC 为梯形，其中,AB a CD b ==，设O 为对角线的交点.GH 表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），KL 表示平行于两底且使梯形ABLK 与梯形KLDC 相似的线段，EF 表示平行于两底且过点O 的线段，MN 表示平行于两底且将梯形ABDC 分为面积相等的两个梯形的线段.试研究线段,,,GH KL EF MN与代数式2112a b a b++之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系.你能用基本不等式证明所得到的猜测吗？18.（本题满分17分）已知二次函数22y ax x c=++（1）若0y >的解集为{23}xx −<<∣，解关于x 的不等式220x ax c +−<；（2）若a c >且1ac =，求22a ca c+−的最小值；（3）若2a <，且对任意x ∈R ，不等式0y ≥恒成立，求442a c a++−的最小值.19.（本题满分17分）已知集合A 为非空数集，定义：{},,S x x a b a b A ==+∈∣，{|,,}T x x a b a b A ==−∈（实数,a b 可以相同）（1）若集合{}2,5A =，直接写出集合S T ､；（2）若集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<，且T A =，求证：1423x x x x +=+；（3）若集合{}02021,,A x x x S T ⊆≤≤∈∩=∅N ，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值.2024学年第一学期高一年级10月四校联考数学学科参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 2 3 4 5 6 7 8 ADBCBADB二､多选题：本题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.12.4 13.5014.由海伦公式及基本不等式求解即：9,22pc AB ===，则a b +=周长927c −=−=，故()()()2972;p a p b p a b S −+−=−+=−=99222a b−+− ==≤=等号成立时，9922a b −=−，即72a b ==15.设()()m 0AB a a =>，上底()()m 0BC b b =>，分别过点,B C 作下底的垂线，垂足分别为,E F，则,2aBE AE DF ===，则下底22a aAD b a b =++=+，该等腰梯形的面积())22b a b S a b a ++==+=，所以()2300a b a +=，则30022ab a =−，所用篱笆长为300300322302222a a l a b a a a ++−+≥， 当且仅当300322aa =，即()()10m ,10m ab =时取等号.所以，当等腰梯形的腰长为10m 时，所用篱笆长度最小，其最小值为30m . 16.（1）由题意可知{}{}21516A xx x x =−≤−≤=−≤≤∣∣，若{}()4,57,{1,7}m B xx A B x x x ==≤≤∪=<−>R ∣∣ .（2） 命题p 是命题q 的必要不充分条件，∴集合B 是集合A .真子集，当B =∅时，121m m +>−，解得2m <，当B ≠∅时，12111216m m m m +≤−+≥− −≤（等号不能同时成立），解得722m ≤≤， 综上所述，实数m 的取值范围为7,2∞ −17.因为GH 是梯形ABDC 的中位线，所以22AB CD a bGH++==；因为梯形ABLK 与梯形KLDC 相似，所以AB KL KL CD=，所以KL；因为,AEO ACD DOF DAB ∽∽，所以,OE OA OF OD b DA a AD ==，所以1OE OF b a+=，所以111OE OF a b==+，所以211EF a b=+，设梯形,MNDC ABNMABDC 的面积分别为12,,S S S ，高分别为12,,h h h ，则()()()121211,22S S S a b h b MN h a MN h ==+=+=+， 所以()()1122a b h a b h h a MN b MN+++=++，所以()11112a b a MN b MN ++= ++ ，所以MN =由图可知，EF KL GH MN <<<，即2112a b a b+<<<+证明：显然2112a ba b +><+因为222a b ab +>， 所以()2222()a b ab +>+<，所以2112a b a b+<<<+18.（1）由已知220ax x c ++>的解集为{23}x x −<<∣，且0a <，所以2,3−是方程220ax x c ++=的解，所以()223,23ca a−+=−−×=，所以2,12a c =−=，所以不等式220x ax c +−<可化为24120x x −−<，所以26x −<<，故不等式220x ax c +−<的解集为{26}xx −<<∣（2）因为1ac =，所以()222()22a c a c ac a c a c a c a c+−+==−+−−−因为a c >，所以0a c −>，由基本不等式可得()222a c a c a c a c+=−+≥−−当且仅当1a cac −=时等号成立，即当且仅当ac 所以22a c a c+−的最小值为； （3）因为对任意x ∈R ，不等式220ax x c ++≥恒成立，所以0,440a ac >−≤，所以2444411440,1,22211c a c a a a a a ac a a a++++++>≥=≥−−−，令21t a =−，则20,1t t a >=+，所以()2(1)211444482t t a c t a t t++++++≥=++≥−，当且仅当23,1ac a==时等号成立， 即当且仅当23,32a c ==时等号成立，所以442a c a ++−的最小值为8.19.（1）因为集合{}{}2,5,,,,{|,,}A S x x a b a b A T x x a b a b A ===+∈==−∈∣， 所以由224,257,5510+=+=+=，可得{}4,7,10S =，220,550,253−=−=−=，可得{}0,3T =.（2）由于集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<，则T 集合的元素在2131413242430,,,,,,x x x x x x x x x x x x −−−−−−中，且2131414342410,x x x x x x x x x x x x <−<−<−−<−<−，而A T =，故A 中最大元素4x 必在T 中，而41x x −为7个元素中的最大者，故441x x x =−即10x =，故{}2340,,,A x x x =， 故T 中的4个元素为2340,,,x x x ，且324243,,x x x x x x −−−与234,,x x x 重复，而3230x x x <−<，故322x x x −=即322x x =， 而4340x x x <−<，故4340x x x <−<，故432x x x −=或433x x x −=， 若43224x x x ==，则{}2222220,,2,4,43A x x x x x x T =−=∉，与题设矛盾；故432x x x −=即4132x x x x +=+（3）设{}12,,k A a a a = 满足题意，其中12k a a a <<< ，则11213123122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a −<+<+<<+<+<+<<+< ，112131121,,k S k a a a a a a a a T k∴≥−−<−<−<<−∴≥ S T ∩=∅ ，由容斥原理31,S T S T k S T ∪=+≥−∪中最小的元素为0，最大的元素为2k a ，()21,312140431,k k S T a k a k k ∪≤+∴−≤+≤≥∈N ，即314043,1348k k −≤∴≤.实际上当{}674,675,676,2021A = 时满足题意，证明如下：设{},1,2,,2021,A m m m m =++∈N ，则{}2,21,22,,4042S m m m =++ ，{}0,1,2,,2021Tm − ，依题意有20212m m −<，即2673,3m >故m 的最小值为674，于是当674m =时，A 中元素最多，即{}674,675,676,,2021A = 时满足题意，综上所述，集合A 中元素的个数的最大值是1348.。
2024届广东省四校高三数学上学期11月联考卷附答案解析
2024届广东省四校高三数学上学期11月联考卷（试卷满分150分，考试时间120分钟）2023.11一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集为1R,10B x x ⎧⎫=+≥⎨⎬⎩⎭，则R B =ð（）A ．{10}xx -<<∣B ．{10}x x -≤<∣C ．{10}x x -<≤∣D ．{}10x x -≤≤∣2．“0x <”是“()ln 10x +<”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要3．复数z 满足：(2)i z z -⋅=（i 为虚数单位），z 为复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是（）A ．22iz =B ．2z z ⋅=C ．||2z =D ．0z z +=4．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．若//m n ，n ⊂α，则//m αB ．若//m α，n ⊂α，则//m nC ．若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβD ．若//αβ，m α⊂，则//m β5．在边长为2的等边三角形ABC 中，若1,3AE AC BF FC==，则BE AF ⋅= （）A ．23-B ．43-C ．83-D ．2-6．已知实数2log 3a =，cos4b π=，3log 2c =，则这三个数的大小关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b>>7．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（不含最底层正方体的底面面积）超过34，则该塔形中正方体的个数至少是（）A ．4B ．5C ．6D ．78．已知1a >，123,,x x x 为函数2()x f x a x =-的零点，123x x x <<，若1322x x x +=，则（）A ．322ln x a x <B ．322ln x a x =C ．322ln x ax >D ．32x x 与2ln a 大小关系不确定二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知53a =，39S =-，则有（）A ．15a =-B ．40a <C ．60S =D ．34S S <10．若0a b <<，则下列不等式正确的是（）A ．11a b >B ．22a ab b +<+C ．2b aa b +>D ．11022ab⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）在区间[]0,π上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（）A ．()f x 在区间()0,π上有且仅有3个不同的零点B ．()f x 的最小正周期可能是2πC ．ω的取值范围是1317,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增12．若函数()()2ln 21()f x x a x x a R =+-+∈存在两个极值点12,x x ()12x x <，则（）A ．函数()f x 至少有一个零点B ．0a ＜或2a >C ．1102x ＜＜D ．()()1212ln 2f x f x +>-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()21,02,0x bxx f x a x ⎧-≥=⎨-<⎩为R 上的奇函数，则实数b =.14．若曲线3y x ax =+在点()1,1a +处的切线方程为7y x m =+，则m =．15．如图，某中学校园中央有一座钟楼，某学生为了测量钟楼高AB ，该学生先在钟楼的正西方点C 处测得钟楼顶部的仰角为45°，然后从点C 处沿南偏东30°方向前进60m 到达点D 处，在D 处测得钟楼顶部的仰角为30°，则钟楼AB 的高度是m.16．已如平面内非零向量a ，b ，c 满足1a = ，2b = ，1a b ⋅= ，若2220c b c -⋅+= ，则c a- 的取值范围是.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ，1a ，341a -，42S 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和nT.18．设函数()ππsin sin 62f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中03ω<<，已知π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．(1)求ω；(2)将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由.20．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中%x （0100x <<）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为()30030180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩，，（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．21．某公园要建造如图所示的绿地,OABC OA OC ､为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB 与BC 的总长度为12米且BAO BCO ∠=∠.设π02BAO ∠αα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭.(1)当π3,3AB α==时，求OB 的长；(2)当6AB =时，求OABC 面积S 的最大值及此时α的值.22．已知函数21()e x x ax f x -+=(R a ∈).(1)讨论()f x 的单调性；(2)当0x ≥时，关于x 的不等式2()e a f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.注：e 2.71828= 是自然对数的底数1．C【分析】根据分式的性质，结合一元二次不等式的解法、集合补集的定义进行求解即可.【详解】由11100(1)0x x x x x ++≥⇒≥⇒+≥且0x ≠，0x ⇒>或1x ≤-，所以R B =ð{10}xx -<≤∣，故选：C2．B【分析】解出对数不等式，再根据必要不充分条件的判定即可得到答案.【详解】()ln 10x +<，()ln 1ln1x +<，则011x <+<，解得10x -<<，则反向可以推出，正向无法推出，则“0x <”是“()ln 10x +<”的必要不充分条件，故选：B.3．B【分析】由已知求得z ，然后逐一核对四个选项得答案．【详解】由（z ﹣2）•i ＝z ，得zi ﹣2i ＝z ，∴z ()()()2121111i i i i i i i -+-===---+，∴z2＝（1﹣i ）2＝﹣2i ，2||2z z z ⋅==，z =，2z z +=．故选B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4．D【分析】利用线面平行、面面平行的判定、性质定理，依次分析即得解【详解】选项A ：有可能出现m α⊂的情况；选项B ：m 和n 有可能异面；选项C ：α和β有可能相交；选项D ：由//αβ，m α⊂，得直线m 和平面β没有公共点，所以//m β，故选：D 5．D【分析】运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值．【详解】在边长为2的等边三角形ABC 中，若13AE AC= ，则BE AF ⋅=（AE AB- ）•12（AC AB +）＝（13AC AB- ）•12（AC AB + ）1123AC = （2AB - 223AB -•AC = ）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．6．A【分析】根据对数函数的图象和性质可得：1a c >>，然后再比较,b c 的大小关系即可.【详解】因为2233log 3log 21log 3log 2>==>，所以1a c >>，又因为21cos==423b π>=，而32log 2223c ==<=，所以1b c >>，所以a b c >>，故选：A .7．B【分析】设从最底层开始的第n 层的正方体棱长为na ，则{}n a 为等比数列，由此求出塔形表面积n S 的表达式，令34n S >即可得出n 的范围．【详解】设从最底层开始的第n 层的正方体棱长为n a ，12a =，212a ==3112a ==，则{}n a 为以2为首顶，以2为公比的等比数列，{}2n a ∴是以4为首项，以12为公比的等比数列．∴塔形的表面积2222212314444n n S a a a a a =+++++ 14132244361212n n⎛⎫- ⎪⎝⎭=⨯+=--，令3236342n ->，解得4n >，∴该塔形中正方体的个数至少为5个．故选：B ．8．C【分析】123,,x x x 为函数2()x f x a x =-的零点，则可以将三个根代入方程得到三个方程，再将这三个方程进行运算凑出1322x x x +=，可解出32x x 为定值，然后再根据函数有三个零点求出2ln a 的范围可得答案.【详解】易知1230,x x x <<<123,,x x x 为函数2()x f x a x =-的零点，()()11322321222244213221323,,,,x x x x x x a x a x a x x a x x x x a x +⎧=⎪∴=∴==∴=⎨⎪=⎩22130,x x x ∴+=又()22331322233222,20,210x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=∴+-=∴--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解之：321x x =，负根舍去；又2220,,ln l (n )x x f x a x x a x x a =∴∴==-=，即ln y x a =与2ln y x =有三个交点，交点横坐标分别为123,,x x x ，如下图先计算过原点的切线方程，不妨设切点为()()''22,2ln ,2ln ,,t t y x k x t==∴=切线方程为：()22ln y t x t t -=-过原点，et ∴=此时22,ln e k y x at ==∴=的斜率比切线斜率小，结合图像容易分析出，24ln ,2ln 2 1.e ea a ∴<∴<<<故选：C【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．9．ACD【分析】先由39S =-，以及等差数列的性质可得23a =-，5223a a d -==，然后根据等差数列通项公式，求和公式依次判断即可.【详解】由3123239S a a a a =++==-，得23a =-，设等差数列{}n a 的公差为d ，则有523a a d =+，所以523(3)233a a d ---===，所以2(2)3(2)227n a a n d n n =+-=-+-⨯=-，所以1275a =-=-，48710a =-=>，6656(5)202S ⨯=⨯-+⨯=，由43410S S a -==>，得43S S >，故选：ACD.10．AC【分析】计算得到110b a a b ab --=>，A 正确，22()()()(1)a a b b a b a b +-+=-++，1a b ++符号不定，B 错误，根据均值不等式得到C 正确，根据12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调性得到D 错误，得到答案.【详解】当0a b <<时，110b a a b ab --=>，所以11a b >，A 正确；22()()()(1)a a b b a b a b +-+=-++，0a b -<，1a b ++符号不定，所以2a a +与2b b +大小关系不能确定，B错误；2b a a b +>，()a b ≠，所以C 正确；12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(,0)-∞上单调递减，1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11022ab⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错误；故选：AC.11．BC【分析】根据三角函数对称轴情况可得ω的取值范围，进而判断各选项.【详解】解：由函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>），令42x k ππωπ+=+，Z k ∈，则()144k x πω+=，Z k ∈，函数()f x 在区间[]0,π上有且仅有4条对称轴，即()1404k ππω+≤≤有4个整数k 符合，由()1404k ππω+≤≤，得()14014k ω+≤≤，即0144k ω≤+≤，则0k =，1，2，3，即1434144ω+⨯≤<+⨯，131744ω∴≤<，C 正确；对于A ，()0,x π∈ ，,444x πππωωπ⎛⎫∴+∈+ ⎪⎝⎭，79,422πππωπ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭，当7,442x πππω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间()0,π上有且仅有3个不同的零点；当9,442x πππω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间()0,π上有且仅有4个不同的零点；故A 错误；对于B ，周期2T πω=，由131744ω≤<，则4141713ω<≤，881713T ππ<≤，又8821713πππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，所以()f x 的最小正周期可能是2π，故B 正确；对于D ，015x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ,，,44154x ππωππω⎛⎫∴+∈+ ⎪⎝⎭，又1317,44ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，78,1541515ωππππ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭又8152ππ>，所以()f x 在区间0,15π⎛⎫ ⎪⎝⎭上不一定单调递增，故D 错误；故选：BC ．12．ACD【分析】对于A ，只需将1x =代入验证即可，对于B ，通过函数存在2个极值点转化为导函数有2个变号零点问题，从而转化为二次函数根的分布问题即可，对于C ，利用B 选项的条件即可推导；对于D ，计算12()()f x f x +，构造函数()h a ，求函数()h a 的最小值即可【详解】对于A ，()()22ln 21ln (1)f x x a x x x a x =+-+=+-2(1)ln1(11)0f a =+-=，1x ∴=是()f x 的一个零点，故A 正确对于B ，21221()(22)ax ax f x a x x x -+'=+-=()f x 存在两个极值点1212,()x x x x <，22210ax ax ∴-+=有两个不相等的实数根，即()f x '有两个变号零点120,0x x >>0∴∆>，即22(2)421484(2)0a a a a a a --⨯⨯=-=->，20a a ∴><或又120,0x x >>，121210102x x x x a +=>⎧⎪∴⎨=>⎪⎩，解得0a >综上，2a >，故B 错误对于C ，由B 选项可得，121x x =+，211x x ∴=-，111x x ∴->，1102x ∴<<故C 正确对于D ，2212111222()()ln (21)ln (21)f x f x x a x x x a x x +=+-+++-+22121212ln [2()2]x x a x x x x =++-++将121211,2x x x x a +==代入上式212111()()ln(12212)ln 2(1)22f x f x a a a a a a+=+-⨯-⨯+=-+-ln 2ln 1ln ln 21a a a a =--+-=---令()ln ln 21(2)h a a a a =--->11()10a h a a a-'=-=>有()h a 在(2,)+∞上单调递增，()(2)2ln 2ln 2112ln 2h a h ∴>=---=-，故D 正确故选：ACD 13．1-【分析】由奇函数性质，设0x <，则0x ->，由奇函数性质求出0x <时()f x 表达式，根据对应关系可求b .【详解】由()f x 为R 上奇函数，则()()f x f x -=-，设0x <，则0x ->，()()()()21,120,1,1x x f x f x f x x a b --∴-=-=-∴=-<∴==-.故答案为：1-14．2-【分析】由导数求出参数a ，将切点代入切线方程即可求出m .【详解】23'=+y x a ,依题意得37a +=，即4a =，又因为17a m +=+，所以2m =-.故答案为：2-15．30【分析】先用AB 表示出BD 和BC ，再结合余弦定理即可求解.【详解】由题意知：45,60,30,60ACB BCD ADB CD ∠=∠=∠==，设AB x =，则,tan 45tan 30AB ABBC x DB ==== ，2222cos3BD CD CB CD CB π=+-⋅⋅，即221336002602x x x =+-⨯⨯⨯，解得30x =或60-（舍去）.故答案为：30.16．【分析】确定点C 的轨迹是以点B AB =.【详解】由2220c b c -⋅+= ，得2()2c b -= ，向量c 对应点C 的轨迹是以点Ba 对应点为A ，b 对应点为B ，c a BA BA ⎡-∈-+⎣ ，π,3a b = ，AB a b =-= ，于是c a -∈ .故答案为：.17．（1）2n n a =；（2）1(1)222n n n n T ++=-+.【分析】（1）由1a ，341a -，42S 成等差数列，可得()3142412a a S -=+，利用等比数列通项公式和求和公式，求解可得12a =，结合2q =，即得解（2）代入2n n a =可得2nn b n =+，分组求和即得解【详解】（1）由1a ，341a -，42S 成等差数列，且公比2q =，所以()3142412a a S -=+，即42111(12)822212a a a -⋅-=+⨯-，整理得11132230a a a -=+，解得12a =，所以数列{}n a 的通项公式为1=222n n n a -⨯=.（2）2log 2n n n n b a a n =+=+.所以{}n a 为等比数列，令1,1n n n c n c c -=-=，故{}n c 为等差数列因此分组求和可得：1231n n nT b b b b b -=+++++ ()()()()12312122232(1)2n n n n -⎡⎤=++++++++-++⎣⎦()123122222(12)n n n -=+++++++++ ()212(1)122n n n -+=+-1(1)222n n n ++=-+18．(1)2ω=(2)7π19π2π,2π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（Z k ∈）【分析】（1）先化简，再代入π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求值即可；（2）先变换再求递减区间即可.【详解】（1）由()ππsin sin 62f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得：()13cos cos sin cos 2222f x x x x x x ωωωωω=--=-，1πsin 23x x x ωωω⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，由π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭知ππsin 063ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πππ63k ω-=，Z k ∈，故62k ω=+，Z k ∈，又03ω<<，所以2ω=．（2）由（1）知()π23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由题意得()πππsin 4312g x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由ππ3π2π2π2122k x k +-+≤≤，Zk ∈解得7π19π2π2π1212k x k ++≤≤，Z k ∈，所以()g x 的单调递减区间为7π19π2π,2π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（Z k ∈）．19．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.【分析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)由几何体的空间结构特征首先证得线面垂直，然后利用面面垂直的判断定理可得面面垂直；(Ⅲ)由题意，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可找到满足题意的点.【详解】（Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA BD ⊥；因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥;因为PA AC A = ,,PA AC ⊂平面PAC ,所以BD ⊥平面PAC .（Ⅱ）证明：因为底面ABCD 是菱形且60ABC ∠=︒，所以ACD ∆为正三角形，所以AE CD ⊥,因为//AB CD ,所以AE AB ⊥；因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ,所以AE PA ⊥；因为PA AB A= 所以⊥AE 平面PAB ，AE ⊂平面PAE ,所以平面PAB ⊥平面PAE .（Ⅲ）存在点F 为PB 中点时，满足//CF 平面PAE ；理由如下:分别取,PB PA 的中点,F G ，连接,,CF FG EG ,在三角形PAB 中，//FG AB 且12FG AB =；在菱形ABCD 中，E 为CD 中点，所以//CE AB 且12CE AB =，所以//CE FG 且CE FG =，即四边形CEGF 为平行四边形，所以//CF EG ;又CF ⊄平面PAE ，EG ⊂平面PAE ，所以//CF 平面PAE .【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．(1)()45100x ，∈时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.【分析】（1）由题意知求出f （x ）＞40时x 的取值范围即可；（2）分段求出g （x ）的解析式，判断g （x ）的单调性，再说明其实际意义．【详解】（1）由题意知，当30100x <<时，()180029040f x x x =+->，即2659000x x -+>，解得20x <或45x >，∴()45100x ∈，时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当030x <≤时，()()30%401%4010xg x x x =⋅+-=-；当30100x <<时，()()218013290%401%585010x g x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭；∴()2401013585010xg x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩；当032.5x <<时，()g x 单调递减；当32.5100x <<时，()g x 单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．21．当3π8α=时，养殖场OABC最大的面积为18平方米.【分析】（1）利用正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.（2）根据三角形面积公式、正弦定理，结合辅助角公式、正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】（1）连接,AC OB ，设,OB m BOC β=∠=，在OAB 中，由正弦定理可知：33ππcos sin sin()32m ββ==-，在OBC △中，由正弦定理可知：9πsin sin 3m β=，于是有93sin 3cos sin cos ββββ=⇒=，而22sin cos 1ββ+=，解得cos β=，负值舍去，因此3333302πcos 2sin 3m m β⨯=⇒==，即3302OB =；（2）由题意，6AB BC ==，所以BCA BAC ∠=∠，而OA OC ⊥，BAO BCO ∠=∠，因此π4OCA OAC ∠=∠=，所以OA OC =，而AB BC =，所以OB 垂直且平分AC ，因此π4BOC ∠=，π3ππ44ABO CBO αα∠=∠=--=-，在△OBC 中，由正弦定理sin sin OB BC BOC α=∠，得OB α=．于是13π2sin 24S OB BA α⎛⎫=⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭sin 4αα3π⎛⎫=- ⎪⎝⎭22ααα⎫=+⎪⎪⎝⎭236sin cos 36sin ααα=+()18sin 2181cos 2αα=+-2184απ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，π02α<<．当ππ242α-=，即3π8α=时，S 取到最大值，最大值为18+．因此，当3π8α=时，养殖场OABC最大的面积为18平方米.22．(1)答案见解析(2)](),2∞∞--⋃+.【分析】(1)根据()f x 的导函数零点间的大小关系进行分类讨论求解即可；(2)根据特殊值法，结合(1)中的结论、导数的性质、分类讨论进行求解即可.【详解】（1）由2(2)1(1)(1)()e e x x x a x a x x a f x -++------='=，①当11a +=，即0a =时，因为2(0()1)x x f x --='≤e 恒成立，故()f x 在()-∞+∞，上为减函数；②当11a +>，即0a >时，由()0f x '<得，1x <或1x a >+；由()0f x '>得，11x a <<+，所以()f x 在()1-∞，和(1)a ++∞，上为减函数，在(1)1a +，上为增函数；③当11a +<，即a<0时，由()0f x '<得，1x a <+或1x >；由()0f x '>得，11a x +<<，所以()f x 在()1a -∞+，和(1)+∞，上为减函数，在()11a +，上为增函数.综上：当0a =时，()f x 在()-∞+∞，上为减函数；当0a >时，()f x 在()1-∞，和(1)a ++∞，上为减函数，在(1)1a +，上为增函数；当a<0时，()f x 在()1a -∞+，和(1)+∞，上为减函数，在()11a +，上为增函数.（2）因为0x ≥时，关于x 的不等式()2e a f x ≤恒成立，则()20e a f ≤，即21e a ≤，解得a ≤a ≥①当a ≤由(1)知，()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数，所以()f x 在[)0,∞+上的最大值为()1f ，故()21e a f ≤，即22e e aa -≤，解得2a ≤-或1a ≥，因为a ≤2a ≤-.②当a ≥由(1)知，()f x 在()0,1和()1,a ∞++上为减函数，在()1,1a +上为增函数，所以()f x 在[)0,∞+上的最大值为()(){}max 0,1f f a +，故()21e a f a +≤，即212ee a a a ++≤，整理得2e 20a a a --≥.记()2e 2,a g a a a a =--≥，()e 1,x t x x =--，所以()e 1x t x '=-，当0x <，()0t x '<，()t x 单调递减；当0x >，()0t x '>，()t x 单调递增，所以()()00t x t ≥=即e 10,x x --≥则()()232122g a a a a a a a ≥+--=+--，因为函数3y a =和22y a a =--在)+∞上均为增函数，所以())()e 2e 1e 20g a ≥-+->.综上：a 的取值范围是](),2∞∞--⋃+.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的单调区间，首先要求函数的定义域，当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，在确定导函数()f x '的正负时，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照()0f x '=是否有根，根的大小进行分类求解的．。
2023-2024学年广东省四校联考高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省四校联考高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．已知集合A ＝{x |lgx ≤0}，B ＝{x ||x ﹣1|≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．AB ．BC ．∁R AD ．∁R B2．已知向量a →=（﹣3，m ），b →=（1，﹣2），若b →∥（a →−b →），则m 的值为（ ） A ．﹣6B ．﹣4C ．0D ．63．若函数f （x ）={a x−3，x ≥4−ax +4，x ＜4（a ＞0，a ≠1）是定义在R 上的单调函数，则a 的取值范围为（ ）A ．(0，1)∪(1，54]B ．(1，54]C ．(0，45]D ．[45，1)4．若复数z 满足（1+i ）z ＝|1+i |，则z 的虚部为（ ） A ．−√2iB ．−√22C ．√22i D ．√225．数列{a n }满足a 1＝2019，且对∀n ∈N *，恒有a n+3=a n +2n ，则a 7＝（ ） A ．2021B ．2023C ．2035D ．20376．如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面α，使SB ∥α，设α与SM 交于点N ，则SM SN的值为（ ）A ．43B ．32C ．23D ．347．已知函数f （x ）及其导函数f ′（x ）的定义域均为R ，且f （x ）为偶函数，f(π6)=−2，3f （x ）cos x +f '（x ）sin x ＞0，则不等式f(x +π2)cos 3x +12＞0的解集为（ ）A ．(−π3，+∞)B ．(−2π3，+∞) C ．(−2π3，π3) D ．(π3，+∞)8．已知函数f(x)=√3sin 2ωx 2+12sinωx −√32(ω＞0)，若f （x ）在(π2，3π2)上无零点，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，29]∪[89，+∞)B ．(0，29]∪[23，89]C ．(0，29]∪[89，1]D ．(29，89]∪[1，+∞)二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省茂名市高州市四校联考2024-2025学年七年级上学期11月期中考试数学试题
广东省茂名市高州市四校联考2024-2025学年七年级上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．2023-的倒数是（）A ．2023B ．2023-C ．12023-D ．120232．海洋的中心部分是洋，边缘部分是海，地球上海洋的总面积约为3.6亿平方千米，约占地球表面积的71%．而根据《联合国海洋法公约》规定，我国对钓鱼岛、黄岩岛、仁爱礁、仙宾礁拥有无可争辩的主权．我国海洋面积大约是2997000平方千米，将数据2997000用科学记数法可表示为（）A ．3299710⨯B ．70.299710⨯C ．62.99710⨯D ．72.99710⨯3．如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是A ．B ．C ．D ．4．如图是一个数值转换机，若输入的a 值为6-，则输出的结果应为（）A ．8-B ．4C ．16D ．20-5．若代数式28x y --的值为2，则代数式364x y --的值为（）A ．30B ．26-C ．30-D ．266．下列变形中，正确的是（）A ．()2323x x +=+B ．()11x y x y --=--C ．()333m n m n --=--D ．()11a b a b --=-+7．下列说法正确的是（）A ．25xy -的系数是5-B ．单项式x 的系数为1，次数为0C ．222πxyz -的次数为6D ．多项式42242a a b b -+是四次三项式8．关于x ，y 的代数式()()33981kxy y xy x -++-+中不含二次项，则k =（）A ．4B ．13C ．3D ．149．若x 的相反数是3，6y =，且0x y +<，则x y -的值是（）A ．3B ．3或9-C ．3-或9-D ．9-10．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了()n a b +(n 为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”0()1a b +=1()a b a b +=+222()2a b a ab b +=+++=+++33223()33a b a a b ab b 4322344()464a b a a b a b ab b+=++++554322345()510105a b a a b a b a b ab b +=+++++⋯⋯则8()a b +展开式中所有项的系数和是（）A ．128B ．256C ．512D ．1024二、填空题11．比﹣5℃低7℃的温度是℃．12．若单项式22a x y -与323b x y 的和仍为单项式，则b a =．13．练习本每本2元，铅笔每支3元，某班需要购买a 本练习本和b 支铅笔，总共要花费元（用含a 、b 的代数式表示）．14．已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是2，则2||221a b cd m +--+的值为．15．如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n 个图案中有2020个白色纸片，则n 的值为．三、解答题16．计算：(1)()()15634+-+--(2)23428293⎛⎫-÷⨯- ⎪⎝⎭17．先化简，再求值：()2222332232x xy xy xy xy x ⎛⎫----+ ⎪⎝⎭，其中()22|3|0x y ++-=．18．新能源电动轿车越来越受现代家庭青睐．小明家买了一辆电动轿车，他连续10天记录了他家这辆轿车每天行驶的路程，以25km 为标准，超过或不足部分分别用正数、负数表示，得到的数据如下（单位：km ）：＋3，＋1，－4，＋1，－8，＋2，－6，＋2，－3，＋2．(1)请计算小明家这10天这辆轿车行驶的总路程；(2)若该轿车每行驶100km 耗电15度，且轿车充电的价格为每度1.5元，请估计小明家一个月（按30天算）电动轿车耗电费用．19．如图，是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体，其中每个小立方块的棱长均为2．(1)请按要求在方格内分别画出从左面，上面看到的这个几何体的形状图；(2)计算这个几何体的体积；(3)若抽出若干小立方块之后，该几何体从正面看到的形状图不变，则共有______种抽出方式．20．如图，在一块长方形土地上修建两个如图所示的四分之一圆水池，其余面积（阴影部分）进行绿化处理，两个四分之一圆的半径分别为a 、b ．(1)用含a ，b 的代数式表示长方形的长；(2)用含a ，b 的代数式表示绿化土地（阴影部分）的面积S ；(3)当3a m =，5b m =时，求绿化土地（阴影部分）的面积S ．21．大学毕业生小李选择自主创业，在家乡承包果树若干亩，今年投资13800元，收获水果总产量为18000kg ．此水果在果园直接销售每千克售b 元，在市场上每千克售a 元()b a <．将水果拉到市场出售平均每天出售1000kg ，需2人帮忙，每人每天付工资100元，运费及其他各项税费平均每天200元．(1)分别用含a 、b 的代数式表示两种方式出售水果的总收入；(2)若 4.5a =元，4b =元，且两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，请你通过计算说明选择哪种出售方式较好；(3)小李今年采用了（2）中较好的出售方式出售，并打算努力学习技术，加强果园管理，力争明年纯收入达到72000元，那么纯收入的增长率将是多少？（纯收入=总收入-总支出）22．学校体育节要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型：（1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成54⨯条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有54102⨯=条线段，所以该校一共要安排10场比赛．（2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，可知一共要安排______场比赛；（3）根据以上规律，若学校有n 支足球队进行单循环比赛，则一共要安排______场比赛．实际应用：（4）老师为了让数学兴趣班的同学互相认识，请班上35位同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手_______次．拓展提高：（5）往返于深圳和潮汕的同一辆高速列车，中途经惠州、陆丰、普宁、潮阳4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备多少种车票：请你求出来．23．如图：在数轴上点A 表示数a ，点B 表示数b ，点C 表示数c ，已知a 是3-，数b 是最大的负整数，c 是单项式212x y -的次数．(1)b =_____，c =_______．(2)点A ，B ，C 开始在数轴上运动，若点B 和点C 分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A 以每秒2个单位长度的速度向左运动，t 秒过后，若点A 与点B 之间的距离表示为AB ，点B 与点C 之间的距离表示为BC ．①AB =_____，BC =________．（用含t 的代数式表示）②探究：64BC AB -的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值．③若M 点A ，B ，C 与三点同时开始在数轴上运动，点M 从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，请含t 的式子表示MA MC +．。
江苏省四校联考2025届高三第三次测评数学试卷含解析
江苏省四校联考2025届高三第三次测评数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为1)-，则b c +=（ ）A ．5B ．C ．4D ．162．已知函数()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( )A ．3B ．2C ．4D ．53．直角坐标系 xOy 中，双曲线2222 1x y a b-=（0a b ，>）与抛物线2 2?y bx =相交于 A 、 B 两点，若△ OAB 是等边三角形，则该双曲线的离心率e =（ ） A ．43 B ．54 C ．65D ．764．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若111,,tan tan tan A B C依次成等差数列，则（ ）A ．,,a b c 依次成等差数列BC ．222,,a b c 依次成等差数列D ．333,,a b c 依次成等差数列5．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ）A ．B ．2C ．4D ．36．平行四边形ABCD 中，已知4AB =，3AD =，点E 、F 分别满足2AE ED =，DF FC =，且6AF BE ⋅=-，则向量AD 在AB 上的投影为（ ） A ．2B ．2-C ．32D ．32-7．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3%8．已知向量a ，b ，b =(1，3)，且a 在b 方向上的投影为12，则a b ⋅等于（ ） A ．2B ．1C ．12D ．09．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺 10．函数24y x =-A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =（ ）A ．{}12x x <≤B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<11．已知复数()()2019311i i z i --=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）A ．z 的虚部为4B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =-D ．25z =12．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则a 的最大值为（ ）． A ．2π B ．3π C ．512π D ．712π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江杭州周边重点中学四校2024年高二10月联考数学试题(原卷版)
2024学年第一学期高二年级10月四校联考数学 学科 试题卷命题人：浦江中学考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.310y −−=的倾斜角为（ ） A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2. 若圆锥的表面积为12π，底面圆的半径为2，则该圆锥的体积为（ ） A. 4√33πB.C.π3D.3. 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线1l ：ax ＋2y －1＝0与直线2l ：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 在四面体OABC 中，记OA a = ，OB b =，OC c = ，若点M 、N 分别为棱OA 、BC 的中点，则MN =（ ）A. 111222a b c ++B. 111222a b c −++C111222a b c −+D.111222a b c +−5. 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2222x y −+=上，则ABP面积的取.值范围是（ ） A []2,6B. []4,8C.D.6. 已知圆22:20C x y x +−=，直线:10l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线P A 、PB ，切点分别A 、B ，当·PC AB 最小时，直线AB 的方程为（ ）A. 0x y +=B. 0x y −=C. 2210x y −+=D. 2210x y ++=7. 设函数()()2ln f x x ax b x =++，若()0f x ≥，则a 的最小值为（ ）A. 2−B. 1−C. 2D. 18. 已知三棱锥A BCD −的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，90BAC ∠=°，2AD =，若球O 的表面积为29π，则三棱锥A BCD −的侧面积的最大值为A. 254B.C. 272+D. 252二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9. 已知圆()22:24C x y ++=，直线()():1210R l m x y mm ++−+=∈，则（ ） A. 直线l 恒过定点()1,1− B. 直线l 与圆C 有两个交点C. 当1m =时，圆C 上恰有四个点到直线l 的距离等于1D. 圆C 与圆222880x y x y +−++=恰有三条公切线10. 定义在R 上偶函数()f x ，满足()()()21f x f x f +−=，则（ ） A. ()10f =B. ()()110f x f x −++=C. ()()1212f x f x +=−D.201()10i f i ==∑11. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ，A ，B ，C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设a O 表示以O 为圆心，且过B ，C 的圆，同理，圆,b c O O 的劣弧,AC AB 的弧长分别记为,b c ，曲面ABC （阴影部分）叫做曲面三角形，a b c ==，则称其为曲面等边三角形，线段OA ，OB ，OC 与曲面ABC 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O ABC −．设.的,,BOC AOC AOB αβ∠=∠=∠=γ，则下列结论正确的是（ ）A. 若平面ABC2的等边三角形，则a b c R === B. 若222a b c +=，则222αβγ+=C. 若π3a b c R ===，则球面O ABC −的体积3V > D. 若平面ABC 为直角三角形，且π2ACB ∠=，则222a b c +=三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12 若圆()22121C x y −+=：与圆222:460C x y x y m ++++=有且仅有一条公切线，m =______ . 13. 已知函数()π2sin 0,02yx ωϕωϕ+>≤≤的图象经过点(，且在y 轴右侧的第一个零点为π4，当[]0,2πx ∈时，曲线sin y x =与()2sin y x ωϕ+的交点有__________个，14. 如图，在长方形ABCD 中，3AB =，2BC =，E 为DC 中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点.现将AFD △沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ，在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t ，则t 的取值范围是_______.四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 某校为提高学生对交通安全的认识，举办了相关知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，发现得分均在区间[]30,90内.现将100个样本数据按[)30,40，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[)70,80，[]80,90分成6组，并整理得到如下频率分布直方图..的（1）请估计样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（精确到0.1）； （2）学校决定表彰成绩排名前30％的学生，学生甲的成绩是76，请估计该学生能否得到表彰，并说明理由.16. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()1,1，动点P 满足PA =（1）求动点P 的轨迹C 的方程（2）若直线l 过点()1,2Q 且与轨迹C 相切，求直线l 的方程.17. 已知函数()2x xb a f x x a−=−（0a >且1a ≠b ∈R ）是定义在R 上的奇函数，且()512f =−； （1）求a ，b 的值； （2）解不等式()()21570f xf x −+−<．18. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线BD 和BF 上移动，且BM 和BN 的长度保持相等，记(0BM BN a a ==<<．（1）证明：//MN 平面BCE ；（2）当a =MNA 与平面MNB 夹角的余弦值． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC 的三个内角均小于120°时，使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=°的点P 即为费马点；当ABC 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . （1）若tan tan cos()cos tan tan 1A CA CB AC −+=−.①求B ；②若ABC P 为ABC 的费马点，求PA PC ⋅的取值范围；（2）若ABC 内一点P 满足PAB PBC PCA θ∠=∠=∠=，且PB 平分ABC ∠，试问是否存在常实数t ，使得2b tac =，若存在，求出常数t ；若不存在，请说明理由.。
2024届福建省四校联考高三下学期返校考数学试题及答案
安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2024年春高三返校联考考试科目：数学满分： 150分考试时间：120分钟第Ι卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的.1.已知集合A =x x -1 >2 ，B =x log 4x <1 ，则A ∩B =( )A.3,4B.-∞,-1 ∪3,4C.1,4D.-∞,42.若复数a +3i2+i是纯虚数，则实数a =( )A.-23B.23C.-32D.323.在△ABC 中，D 是线段BC 上一点，满足BD =2DC ,M 是线段AD 的中点，设BM=xAB +yAC ，则( )A.x -y =-12B.x +y =-12C.x -y =12D.x +y =124.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L =L 0D GG 0，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，L 0表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，G 0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下(不含0.05)所需的训练迭代轮数至少为( )(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)A.11B.22C.227D.4815.已知椭圆C :x 24+y 23=1的左右焦点为F 1、F 2,P 为椭圆C 上一点，∠PF 1F 2=π3，则△PF 1F 2的面积为( )A.3B.1C.3D.236.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C =2A ，a ，b ，c 成等差数列，则cosC =( )．A.18B.34C.-12D.457.已知双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右顶点为A 、B ，点P 、Q 均在C 上，且关于x 轴对称.若直线AP 、BQ 的斜率之积为-14，则该双曲线的离心率为( )A.72B.62C.52D.28.已知正数a ,b ,c 满足e a =b =lnc ,e 为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是( )A.a +c <2bB.a +c >2bC.ac <b 2D.ac >b 2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知A ，B 是直线y =32与函数f x =sin ωx +π6ω>0 图象的两个相邻交点，若|AB |=π6，则ω的值可能是( )A.2B.4C.8D.1010.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2，P 是正方形ABCD 内部(含边界)的一个动点，则( )A.存在唯一点P ，使得D 1P ⊥B 1CB.存在唯一点P ，使得直线D 1P 与平面ABCD 所成的角取到最小值C.若DP =12DB ，则三棱锥P -BB 1C 外接球的表面积为8πD.若异面直线D 1P 与A 1B 所成的角为π4，则动点P 的轨迹是抛物线的一部分11.学校食堂每天中午都会提供A ，B 两种套餐供学生选择(学生只能选择其中的一种)，经过统计分析发现：学生第一天选择A 套餐的概率为23，选择B 套餐的概率为13.而前一天选择了A 套餐的学生第二天选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34；前一天选择B 套餐的学生第二天选择A 套餐的概率为12，选择B 套餐的概率也是12，如此反复.记某同学第n 天选择A 套餐的概率为A n ，选择B 套餐的概率为B n .一个月(30天)后，记甲､乙､丙三位同学选择B 套餐的人数为X ，则下列说法中正确的是( )A.A n +B n =1 B.数列A n -25是等比数列C.E X =1.5D.P X =1 ≈36125第ΙΙ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡的相应位置.12.已知圆x2+y2=4,直线l:y=x+b,圆上恰好有两个点到直线l的距离等于1.则符合条件的实数b可以为.（只需写出一个满足条件的实数即可）13.梯形ABCD中，AD⎳BC，AB⊥AD，AD=AB=1，BC=2，分别以AB、BC、AD为轴旋转一周所得到的旋转体的体积的最大值为.14.若过点(1,0)可以作曲线y=ln(x+a)的两条切线，则实数a的取值范围为.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）如图为一块直四棱柱木料，其底面ABCD满足：AB⊥AD，AD∥BC．(1)要经过平面CC1D1D内的一点P和棱BB1将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？(借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明)(2)若AD=AB=2，BC=AA1=1，当点P在点C处时，求直线AP与平面CC1D1D所成角的正弦值．16.（15分）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，质点到达位置的数字记为X．(1)若该质点共移动2次，位于原点O的概率.(2)若该质点共移动6次，求该质点到达数字X的分布列和数学期望．17.（15分）有n 2n ≥4 个正数，排成n 行n 列的数表：a 11a 12a 13a 14...a 1n a 21a 22a 23a 24...a 2n a 31a 32a 33a 34...a 3n a 41a 42a 43a 44...a 4n ..................a n1a n2a n3a n4...a nn,其中a ij 表示位于第i 行，第j 列的数.数表中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等.已知a 24=1，a 42=18，a 43=316.(1)求公比.(2)求a 11+a 22+⋅⋅⋅+a nn .18.（17分）已知抛物线C :y 2=2px (p >0)经过点P (4,4).(1)求抛物线C 的方程及其准线方程.(2)设O 为原点，直线y =kx +2与抛物线C 交于M ,N （异于P )两点,过点M 垂直于x轴的直线交直线OP 于点T ，点H 满足MT =TH.证明:直线HN 过定点.19.（17分）已知函数f (x )=exlnx ，g (x )=x -1e2-1．(1)证明：对任意的x ∈(0，1)，都有f (x )≥g (x )．(2)若关于x 的方程f (x )=m 有两个不等实根x 1，x 2，证明：1+m <|x 2-x 1|<21+m ．安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2024年春高三返校联考数学参考答案题号123456答案A C BDAA题号7891011答案CBAD BCDABD1.答案:A解析：由x -1 >2，得x <-1或x >3，所以A =x x <-1或x >3 ，由log 4x <1，得0<x <4，所以B =x 0<x <4 ，所以A ∩B =x 3<x <4 .2.答案：C解析：a +3i 2+i =(a +3i )(2-i )5=2a +3+(6-a )i 5，则2a +3=0，有a =-32.3.答案：B解析：因为D 是线段BC 上一点，满足BD =2DC ，所以AD =AB +23BC =AB +23(AC -AB )=13AB +23AC ，又M 是线段AD 的中点，所以AM =12AD =16AB +13AC，所以BM =BA +AM =-AB +16AB +13AC =-56AB +13AC，所以x =-56,y =13，故x +y =-12.4.答案：D解析：由于L =L 0D G G 0，所以L =0.5×D G 22，依题意0.45=0.5×D 2222⇒D =910，则L =0.5×910G22，由L =0.5×910 G 22<0.05得910 G 22<110，lg 910 G 22<lg 110,G 22lg 910<-1，G ⋅lg9-lg10 <-22，G ⋅lg10-lg9 >22,G >22lg10-lg9，G >221-2lg3=221-2×0.4771=220.0458≈480.35，所以所需的训练迭代轮数至少为481轮.5.答案：A解析：P 为短轴上的顶点.6.答案：A解析：因为C =2A ，所以B =π-3A ．又因为a ，b ，c 成等差数列，则2b =a +c ．根据正弦定理可得：2sinB =sinA +sinC ，即2sin 3A =sinA +sinC ，展开得：2sin2AcosA +2cos2AsinA =sinA +sinC ，进一步得：sin2A 2cosA -1 =sinA 1-2cos2A ，因为sinA ≠0，可得8cos 2A -2cosA -3=0，又易知A 为锐角，所以cosA =34，则cosC =2×34 2-1=18，故A 正确.7.答案：C解析：设P (x 1,y 1),Q (x 1,-y 1),则y 1x 1+a ∙-y 1x 1-a =-14,-y 12x 12-a 2=-14,b 2a 2=14,e =52.8.答案：B解析：由题设a >0，则b >1，且a =lnb ,c =e b ，则a +c =lnb +e b ，令f (x )=lnx +e x -2x 且x >1，故f (x )=1x+e x -2，令g (x )=1x +e x -2，则g (x )=e x -1x2在(1,+∞)上递增，故g (x )>g (1)=e -1>0，所以g (x )=f (x )在(1,+∞)上递增，故f (x )>f (1)=e -1>0，所以f (x )在(1,+∞)上递增，故f (x )>f (1)=e -2>0，即lnx +e x >2x 在(1,+∞)上恒成立，故a +c >2b ，A 错，B 对；对于ac ,b 2的大小关系，令h (x )=e x lnx -x 2且x >1，而h (1)=-1<0，h (e )=e e -e 2>0，显然h (x )在(1,+∞)上函数符号有正有负，故e x lnx ,x 2的大小在x ∈(1,+∞)上不确定，即ac ,b 2的大小在b ∈(1,+∞)上不确定，所以C 、D 错.9.答案：AD解析：设函数f (x )的最小正周期为T,则AB =16T 或者AB =56T ，即2π6ω=π6或10π6ω=π6，解得ω=2或ω=10，10.答案：BCD解析：对于A 选项：正方形BCC 1B 1中，有BC 1⊥B 1C ，正方体中有AB ⊥平面BCC 1B 1，B 1C ⊂平面BCC 1B 1，AB ⊥B 1C ，又BC 1∩AB =B ，BC 1,AB ⊂平面ABC 1D 1，B 1C ⊥平面ABC 1D 1，只要D 1P ⊂平面ABC 1D 1，就有D 1P ⊥B 1C ，P 在线段AB 上，有无数个点，A 选项错误；对于B 选项：D 1D ⊥平面ABCD ，直线D 1P 与平面ABCD 所成的角为∠D 1PD ，D 1D =2，∠D 1PD 取到最小值时，PD 最大，此时点P 与点B 重合，B 选项正确；对于C 选项：若DP =12DB，则P 为DB 中点，△PBC 为等腰直角三角形，外接圆半径为12BC =1，三棱锥P -BB 1C 外接球的球心到平面PBC 的距离为12BB 1=1，则外接球的半径为2，所以三棱锥P -BB 1C 外接球的表面积为8π，C 选项正确；对于D 选项：以D 为原点，DA ,DC ,DD 1的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则D 10,0,2 ，A 12,0,2 ，B 2,2,0 ，P x ,y ,0 0≤x ≤2,0≤y ≤2 ，则有D 1P =x ,y ,-2 ，A 1B =0,2,-2 ，有cosD 1P ,A 1B =D 1P ⋅A 1BD 1P ⋅A 1B=2y +4x 2+y 2+4⋅8=cosπ4=22，化简得x 2=4y ，P 是正方形ABCD 内部(含边界)的一个动点，所以P 的轨迹是抛物线的一部分，D 选项正确.11.答案：ABD解析：由于每人每次只能选择A ，B 两种套餐中的一种，所以A n +B n =1，所以A 正确，依题意，A n +1=A n ×14+1-A n ×12，则A n +1-25=-14A n -25 n ≥1,n ∈N ，又n =1时，A 1-25=23-25=415，所以数列A n -25 是以415为首项，以-14为公比的等比数列，所以A n -25=415×-14 n -1,A n =25-1615×-14 n ,B n =1-A n =35+1615×-14 n ，当n >30时，B n ≈35，所以X ∼B 3,35,P X =1 =C 13×35×25 2=36125,E X =95，12.答案：符合2<b <32即可13.答案：7π3解析：如下图所示：由题意可知，四边形ABCD 是直角梯形，且AB 为直角腰，AB =AD =1，BC =2.①若以AB 为轴旋转一周，则形成的几何体为圆台，且圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为1，几何体的体积为V 1=13π+4π+π⋅4π ⋅1=73π；②若以BC 为轴旋转一周，则形成的几何体是由一个圆柱和一个圆锥拼接而成的几何体，且圆柱、圆锥的底面半径均为1，高均为1，几何体的体积为V 2=π×12×1+13×π×12×1=43π；③若以AD 为轴旋转一周，则形成的几何体是在一个圆柱中挖去一个圆锥所形成的几何体，圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥的底面半径与高均为1，几何体的体积为V 3=π×12×2-13×π×12×1=53π.因为V 1>V 3>V 2，因此，分别以AB 、BC 、AD 为轴旋转一周所得到的旋转体的体积的最大值为7π3.14.答案：-1<a <0解析：曲线y =ln (x +a )有渐近线x =-a ，且与x 轴交于点A (1-a ,0).结合图像可知，点(1,0)应位于A 与渐近线之间，故有-a <1<1-a ，解得：-1<a <0.15.解析：(1)过点P 作直线EF ⎳CC 1，分别交CD 、C 1D 1于E 、F ，连接BE 、B 1F.(2)以AA 1、AB 、AD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A -xyz.则A 0,0,0 ，D 0，0,2 ，D 11,0,2 ，C 0,2,1 ∴P 0,2,1AP =(0,2,1),CD =(0,-2,1),DD 1=(1,0,0).设平面CC 1D 1D 的法向量为n=x ，y ，z ，则n ⋅CD=-2y +z =0n ⋅DD 1=x =0 ，取n=0，1，2 .设直线AP 与平面CC 1D 1D 所成角为θ,sinθ=cos n ,AP =n ⋅AP n AP=45，所以直线AP 与平面CC 1D 1D 所成角的正弦值为45.16.解析：(1)质点移动2次，可能结果共有2×2=4种，若质点位于原点O ，则质点需要向左、右各移动一次，共有C 12=2种，故质点位于原点O 的概率P =24=12.(2)质点每次移动向左或向右，设事件A 为“向右”，则A为“向左”.故P (A )=P (A )=12,设Y 表示6次移动中向左移动的次数，则Y ∼B 6,12，质点到达的数字X =6-2Y,所以P (X =6)=P (Y =0)=C 06126=164,P (X =4)=P (Y =1)=C 1612 6=332，P (X =2)=P (Y =2)=C 2612 6=1564，P (X =0)=P (Y =3)=C 3612 6=516，P (X =-2)=P (Y =4)=C 4612 6=1564，P (X =-4)=P (Y =5)=C 5612 6=332，P (X =-6)=P (Y =6)=C 6612 6=164，所以X 的分布列为：X -6-4-20246P16433215645161564332164E (X )=E (6-2Y )=-2E (Y )+6=-2×6×12+6=0.17.解析：(1)第4行公差为d =a 43-a 42=116，a 44=a 43+116=14.由已知：a 24⋅q 2=14,所以q =±12.又每个数都是正数，所以q =12.(2)因为a 41=116，所以a 4k 是首项为116，公差为116的等差数列.故a 4k =k16.因为每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，所以a nk =a 4k ∙12 n -4=12n⋅k.故a nn =12n⋅n ，设a nn 的前n 项和为S n ,S n =a 11+a 22+⋅⋅⋅+a nn =1×12 1+2×12 2+3×12 2+⋅⋅⋅+n ×12n①,12S n =1×12 2+2×12 3+3×12 4+⋅⋅⋅+n ×12n +1②,①-②得12S n =12 1+12 2+12 3+⋅⋅⋅+12 n -n ×12n +1=121-12n 1-12-n ×12 n +1=1-12n -n 2n +1.所以S n =2-n +22n.18.解析：(1)由已知，16=8p ，所以p =2.抛物线C :y 2=4x ，准线方程为x =-1.(2)由y 2=4x y =kx +2 ，消去x ，得ky 2-4y +8=0.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，则k ≠0，Δ>0，且y 1+y 2=4k ，y 1y 2=8k.直线OP 方程为：y =x .所以T (x 1,x 1).又MT =TH ，则T 为MH 中点，所以H (x 1,2x 1-y 1).所以HN :y -y 22x 1-y 1-y 2=x -x 2x 1-x 2.令y =0,则x =x 2-y 2(x 1-x 2)2x 1-y 1-y 2=x 2(2x 1-y 1-y 2)-y 2(x 1-x 2)2x 1-y 1-y 2=x 2(2x 1-y 1)-y 2x 12x 1-y 1-y 2.又x 1y 2-x 2(2x 1-y 1)=y 21y 24-y 224y 212-y 1=y 1y 24y 1+y 2-y 1y 22 =y 1y 244k -4k=0.所以直线HN 过定点O.19.解析：(1)令h (x )=f (x )-g (x )=exlnx -x -1e2+1，x ∈(0，1)．则h (x )=e (lnx +1)-2x -1e =elnx -2x +e +2e ，h 1e =0．又当x ∈(0，1)时，h (x )=ex-2>e -2>0，所以h (x )在(0，1)上单调递增．所以当x ∈0，1e 时，h (x )<h 1e =0，当x ∈1e ，1 时，h (x )>h 1e =0．所以h (x )≥h 1e=0．故对任意的x ∈(0，1)，都有f (x )≥g (x )．(2)f (x )=e (lnx +1)，当x ∈0，1e时f (x )<0，f (x )单调递减，当x ∈1e ，+∞ 时f (x )>0，f (x )单调递增．又f 1e=-1，lim x →0f (x )=0，f (1)=0，所以-1<m <0．设函数g (x )的图象与直线y =m 的交点的横坐标分别为x 1和x 2.不妨设x 1<x 2，x 1<x 2，则x 1 <x 1<x 2<x 2，所以|x 2-x 1|<|x 2-x 1|．又方程m =x -1e 2-1可化为x 2-2e x +1e 2-1-m =0,其两根为x 1和x 2，所以x 1+x 2=2e ，x 1x 2=1e2-1-m ．所以|x 2-x 1|=(x 1'+x 2')2-4x 1'x 2'=21+m ．故|x 2-x 1|<21+m ．当x ∈0，1e 时，f (x )=exlnx <-ex ,函数f (x )图像在直线y =-ex 的下方.当x ∈1e ，+∞ 时，令k (x )=(e -1)lnx +1x-1,则k (x )=e -1x -1x 2=(e -1)x -1x 2.所以k(x)在(1e,1e-1)上递减，在(1e-1,1)上递增.又k(1e)=k(1)=0.所以当x∈1e，+∞时，k(x)=(e-1)lnx+1x-1<0.故f(x)=exlnx<ee-1(x-1),函数f(x)图像在直线y=ee-1(x-1)的下方.直线y=m与直线y=-ex的交点横坐标分别为x3，与直线y=ee-1(x-1)交点的横坐标为x4,则x3=-me,x4=m-me+1.所以|x2-x1|>x4-x3=m+1.综上，1+m<|x2-x1|<21+m．·7·。
浙江省杭州市周边重点中学四校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题含答案
2024学年第一学期高二年级10月四校联考数学学科试题卷（答案在最后）命题人：考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.直线310y --=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】A 【解析】【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角．【详解】因为该直线的斜率为33，所以它的倾斜角为30︒．故选：A ．2.若圆锥的表面积为12π，底面圆的半径为2，则该圆锥的体积为（）A.B. C.π3D.【答案】C 【解析】【分析】利用圆锥表面积公式求出圆锥的母线及高，再利用锥体的体积公式计算即得.【详解】圆锥底面圆半径r ，母线l ，高h ，由圆锥的表面积为12π，得π2+πr =12π，而2r =，解得4l =，因此h ==所以该圆锥的体积=13π2ℎ=13π×22×23=.故选：C3.设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线1l ：ax ＋2y －1＝0与直线2l ：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】∵当a =1时，直线1l ：x +2y ﹣1=0与直线2l ：x +2y +4=0，两条直线的斜率都是12-，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到21114a a -=≠+，解得a =﹣2，a =1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．4.在四面体OABC 中，记OA a = ，OB b =，OC c = ，若点M 、N 分别为棱OA 、BC 的中点，则MN = （）A.111222a b c ++B.111222a b c -++C.111222a b c -+ D.111222a b c +- 【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，即可求得答案.【详解】由题意得：11111()22222MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++，故选：B.5.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP 面积的取值范围是（）A.[]2,6 B.[]4,8 C. D.⎡⎣【答案】A 【解析】【分析】先求出,A B 两点坐标得到||AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线AB 距离的范围，由三角形的面积公式计算即可.【详解】因为线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，所以(2,0),(0,2)A B --，所以||AB ==由()2222x y -+=，可得圆的圆心为(2,0)因为点P 在圆()2222x y -+=上，所以圆心到直线AB 的距离为d ==故P 到直线AB 的距离1d 的范围为，则111||[2,6]2ABP S AB d ==∈ .故选：A.6.已知圆22:20C x y x +-=，直线:10l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别A 、B ，当·PC AB 最小时，直线AB 的方程为（）A.0x y +=B.0x y -=C.2210x y -+=D.2210x y ++=【答案】A 【解析】【分析】根据圆的切线的有关知识，判断出·PC AB 最小时，直线l 与直线PC 垂直，结合图象求得直线AB 的方程.【详解】圆C 的标准方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0，半径为1r =.依圆的知识可知，四点P ，A ，B ，C 四点共圆，且AB ⊥PC ，所以14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==⨯⨯⋅=△，而PA =，当直线PC ⊥l 时，PA 最小，此时PC AB ⋅最小.结合图象可知，此时切点为()()0,0,1,1-，所以直线AB 的方程为y x =-，即0x y +=.故选：A7.设函数()()2ln f x x ax b x =++，若()0f x ≥，则a 的最小值为（）A.2-B.1- C.2D.1【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数性质判断ln x 在不同区间的符号，在结合二次函数性质得1x =为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值.【详解】函数()f x 定义域为(0,)+∞，而01ln 0x x <<⇒<，1ln 0x x =⇒=，1ln 0x x >⇒>，要使()0f x ≥，则二次函数2y x ax b =++，在01x <<上0y <，在1x >上0y >，所以1x =为该二次函数的一个零点，易得1b a =--，则2(1)(1)[(1)]y x ax a x x a =+-+=-++，且开口向上，所以，只需(1)0101a a a -+≤⇒+≥⇒≥-，故a 的最小值为1-.故选：B8.已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AD =，若球O 的表面积为29π，则三棱锥A BCD -的侧面积的最大值为A.254+B.4+C.272+D.252【答案】A 【解析】【分析】由题意画出图形，设球O 得半径为R，AB=x，AC=y，由球O 的表面积为29π，可得x 2+y 2=25，写出侧面积，再由基本不等式求最值．【详解】设球O 得半径为R，AB=x，AC=y，由4πR 2=29π，得4R 2=29．又x 2+y 2+22=（2R）2，得x 2+y 2=25．三棱锥A-BCD 的侧面积：S=S △ABD +S △ACD +S △ABC =11122222x y xy ⋅+⋅+由x 2+y 2≥2xy，得xy≤252当且仅当x=y=2时取等号，由（x+y）2=x 2+2xy+y 2≤2（x 2+y 2），得,当且仅当x=y=2时取等号，∴+12522⨯=254+当且仅当x=y=522时取等号.∴三棱锥A-BCD 的侧面积的最大值为254+.故选A.【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知圆()22:24C x y ++=，直线()():1210R l m x y m m ++-+=∈，则（）A.直线l 恒过定点()1,1-B.直线l 与圆C 有两个交点C.当1m =时，圆C 上恰有四个点到直线l 的距离等于1D.圆C 与圆222880x y x y +-++=恰有三条公切线【答案】ABD 【解析】【分析】求出直线l 过的定点判断A ；判断定点与圆的位置关系判断B ；求出圆心到直线距离判断C ；判断圆与圆的位置关系判断D.【详解】对于A ，直线l 的方程为(1)210x m x y +++-=，由10210x x y +=⎧⎨+-=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩，直线l 过定点(1,1)-，A 正确；对于B ，()2212124-++=<，即定点(1,1)-在圆C 内，则直线l 与圆C 相交且有两个交点，B 正确；对于C ，当1m =时，直线:0l x y +=，圆心(2,0)C -到直线l 的距离为d ==，而圆C 半径为2，因此只有2个点到直线l 的距离等于1，C 错误；对于D ，圆222880x y x y +-++=的方程化为22(1)(4)9x y -++=，其圆心为(1,4)-，半径为3，两圆圆心距为532d '===+，两圆外切，因此它们有三条公切线，D 正确.故选：ABD.10.定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()()21f x f x f +-=，则（）A.()10f = B.()()110f x f x -++=C.()()1212f x f x +=- D.201()10i f i ==∑【答案】AC 【解析】【分析】利用特殊值及偶函数性质判断A ；根据已知条件得(2)()0f x f x +--=、(1)(1)0f x f x +--=判断B 、C ；根据函数的性质，举反例()0f x =判断D.【详解】由()()()21f x f x f +-=，令1x =-，则()()()0111(1)f f f f ⇒--==-，又()f x 为偶函数，则(1)(1)0f f =-=，A 对；由上，得()()0(2)()02f x f f x f x x ⇒=---+=+①，在①式，将1x -代换x ，得(1)(1)0f x f x +--=②，B 错；在②式，将2x 代换x ，得(21)(12)0(21)(12)f x f x f x f x +--=⇒+=-，C 对；由()()2f x f x +=且(1)(1)f x f x +=-，即()f x 周期为2且关于1x =对称，显然()0f x =是满足题设的一个函数，此时201()0i f i ==∑，D 错.故选：AC11.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ，A ，B ，C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设a O 表示以O 为圆心，且过B ，C 的圆，同理，圆,b c O O 的劣弧,AC AB 的弧长分别记为,b c ，曲面ABC （阴影部分）叫做曲面三角形，a b c ==，则称其为曲面等边三角形，线段OA ，OB ，OC 与曲面ABC V 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O ABC -．设,,BOC AOC AOB αβ∠=∠=∠=γ，则下列结论正确的是（）A.若平面ABC V 是面积为24R 的等边三角形，则a b c R ===B.若222a b c +=，则222αβγ+=C.若π3a b c R ===，则球面O ABC -的体积312V R >D.若平面ABC V 为直角三角形，且π2ACB ∠=，则222a b c +=【答案】BC 【解析】【分析】对于B ，利用,,a R b R c R αβγ===代入易得；对于C ，先求得三棱锥O ABC -的体积312O ABC V R -=，由球面O ABC -的体积O ABC V V ->即得；对于A ，由条件知ABC V 三边为R ，推得π3a b c R ===排除A ，对于D ，由余弦定理和题设可得cos cos cos 1αβγ+-=，取特殊值即可排除D.【详解】对于A ，因等边三角形ABC V 的面积为24R ，则AB BC AC R ===，又OA OB OC R ===，故αβγ==π,3=则π3a b c R ===，故A 错误；对于B ，由222a b c +=可得222()()()R R R αβγ+=，故222αβγ+=，即B 正确；对于C ，由π3a b c R ===可得，π,3αβγ===故AB BC AC R ===.由正弦定理，ABC V的外接圆半径为1π23sin 3R =，点O 到平面ABC的距离3h R ==，则三棱锥O ABC -的体积2311334312O ABC ABC V S h R R R -=⋅=⨯⨯= ,而球面O ABC -的体积312O ABC V V R ->=，故C 正确；对于D ，由余弦定理可知22222222222cos ,22cos ,22cos ,BC R R AC R R AB R R αβγ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩由π2C =可得，222BC AC AB +=，即2222242cos 2cos 22cos R R R R R αβγ--=-，化简得，cos cos cos 1αβγ+-=．取ππ,32αβγ===，则ππ,32a b R c R ===，则2222222ππ94a b R R +=<2c =，故D 错误．故选：BC三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若圆()22121C x y -+=：与圆222:460C x y x y m ++++=有且仅有一条公切线，m =______.【答案】23-【解析】【分析】根据两圆的位置关系先确定两圆内切，再由圆心距计算即可.【详解】由()()22222:4602313C x y x y m x y m ++++=⇒+++=-，显然()()1213,2,0,2,3m C C >--，又12,C C 只有一条公切线，所以12,C C 相内切，将2C 点坐标代入圆1C 方程知()()222231--+->，即2C 在圆1C 外部，所以圆1C 内切于圆2C ，则有1251C C ==，解之得23m =-.故答案为：23-13.已知函数()π2sin 0,02y x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤⎪⎝⎭的图象经过点(，且在y 轴右侧的第一个零点为π4，当[]0,2πx ∈时，曲线sin y x =与()2sin y x ωϕ=+的交点有__________个，【答案】6【解析】【分析】根据题意，求得函数的解析式为π2sin 34y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，画出sin y x =与π2sin 34y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上的图象，结合图象，即可求解.【详解】因为函数()2sin y x ωϕ=+的图象经过点(，可得2sin ϕ=，即sin 2ϕ=，又因为π02ϕ≤≤，所以π4ϕ=，因为π2sin (0)4y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在y 轴右侧的第一个零点为π,4所以πππ44ω+=，解得3ω=，所以π2sin 34y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，画出sin y x =与π2sin 34y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间[]0,2π上的图象，如图所示，由图可知曲线sin y x =与π2sin 34y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的交点有6个.故答案为：6.14.如图，在长方形ABCD 中，3AB =，2BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点.现将AFD △沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ，在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是_______.【答案】4,23⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】设DF x =，求得x 关于t 的表达式，根据x 的取值范围结合AK AD <求得t 的取值范围.【详解】如图，在平面ADF 内过点D 作DH AF ⊥，垂足为H ，连接HK ．过点F 作//FP BC ，交AB 于点P ．设FAB θ∠=，5,2AE AC ===，所以3cos ,135θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭．设DF x =，则332x <<．因为平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD ⋂平面ABC AB =，DK AB ⊥，DK ⊂平面ABD ，所以DK ⊥平面ABC ，又AF ⊂平面ABC ，所以DK AF ⊥．又因为DH AF ⊥，DK DH D = ，DK ，DH ⊂平面DKH ，所以AF ⊥平面DKH ，所以AF HK ⊥，即AHHK ⊥．在Rt ADF 中，AF =，DH =因为ADF △和APF 都是直角三角形，PF AD =，所以Rt Rt ADF FPA ≌△△，AP DF x ==．因为AHD ADF ∽△△，,2AHDH AH AH AD DF ===所以cos ,AH APAK AFθ===4x t=．因为332x <<，所以3432t<<，所以4833t <<．又AK AD <，即2t <，故423t <<.故答案为：4,23⎛⎫⎪⎝⎭四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某校为提高学生对交通安全的认识，举办了相关知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，发现得分均在区间[]30,90内.现将100个样本数据按[)30,40，40,50，50,60，60,70，[)70,80，[]80,90分成6组，并整理得到如下频率分布直方图.（1）请估计样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（精确到0.1）；（2）学校决定表彰成绩排名前30％的学生，学生甲的成绩是76，请估计该学生能否得到表彰，并说明理由.【答案】（1）样本数据的平均值为68.5，中位数为71.7；（2）学生甲不能得到表彰，理由见解析.【解析】【分析】（1）用每组数据中点值乘以该组数据的频率相加求和可得平均值，先估算中位数的范围，再列方程求中位数；（2）估算排名在70%的成绩，和76比较，得到结论.【小问1详解】样本数据的平均值为()350.005450.010550.010650.020750.030850.0251068.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=因为从左至右的前4组数据的频率为0.050.10.10.20.45+++=，从左至右的前5组数据的频率为0.050.10.10.20.300.75++++=，所以样本数据的中位数位于区间[)70,80内，设中位数为x ，则()0.45700.0300.5x +-⨯=，所以21571.73x =≈，【小问2详解】成绩低于70分的频率为0.45，成绩低于80分的频率为0.75，则被表彰的最低成绩为0.70.45701078.3333760.30-+⨯=>，所以估计学生甲不能得到表彰.16.在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()1,1，动点P 满足PA =（1）求动点P 的轨迹C 的方程（2）若直线l 过点()1,2Q 且与轨迹C 相切，求直线l 的方程.【答案】（1）222220x y x y +++-=；（2）1x =或512190x y -+=.【解析】【分析】（1）设(),P x y ，根据动点P 满足PA =，再用两点间距离公式列式化简作答.（2）讨论直线的斜率，设出直线l 的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解作答.【小问1详解】设(),P x y ，由||||PA PO =，得=，化简得222220x y x y +++-=，所以P 点的轨迹C 的方程为222220x y x y +++-=.【小问2详解】由（1）知，轨迹C ：22(1)(1)4x y +++=表示圆心为(1,1)C --，半径为2的圆，当直线l 的斜率不存在时，方程为1x =，圆心(1,1)C --到直线l 的距离为2，l 与C 相切；当直线l 的斜率存在时，设():21l y k x -=-，即20kx y k -+-=，2=，解得512k=，因此直线l的方程为51901212x y-+=，即512190x y-+=，所以直线l的方程为1x=或512190x y-+=.17.已知函数()2xxb af x xa-=-（0a>且1a≠b∈R）是定义在R上的奇函数，且()512f=-；（1）求a，b的值；（2）解不等式()()21570f x f x-+-<．【答案】（1）1,b=2a=，（2）{}23x x<<【解析】【分析】（1）根据()00f=和()512f=-即可联立求解，（2）根据函数的单调性以及奇偶性即可求解.【小问1详解】由题意可知：()00f=和()512f=-，故()01000bfa-=-=且()25112b afa-=-=-，故1,b=2a=，12a=-（舍去）【小问2详解】()2121222xxx xf x x x-=-=--，由于函数1,2,2xxy y y x==-=-均为单调递减函数，故()f x为单调递减，故()()()()221570175f x f x f x f x-+-<⇒-<-，即2175x x ->-，解得23x <<，故不等式的解为{}23x x <<18.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线BD 和BF 上移动，且BM 和BN 的长度保持相等，记(0BM BN a a ==<<．（1）证明：//MN 平面BCE ；（2）当2a =时，求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）由已知可证明//MN DF ，可得//MN CE ，由线面平行的判定定理得//MN 平面BCE ；（2）由题意，M ，N 分别BD 和BF 的中点，O 为MN 中点，连接,AO BO ，余弦定理求cos BOA ∠，可得平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值.【小问1详解】连接,DF CE ，ABCD ，ABEF 的边长都是正方形，则有BD BF ==又(0BM BN a a ==<<，则BDF V 中，BM BNBD BF=，所以//MN DF ，由////DC AB FE ，DC AB FE ==，则四边形CDFE 为平行四边形，有//DF CE ，所以//MN CE ，MN ⊄平面BCE ，CE ⊂平面BCE ，所以//MN 平面BCE.【小问2详解】当22a =时，M ，N 分别BD 和BF 的中点，连接,AM AN ，则22BM BN AM AN ====，平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，AD ⊂平面ABCD ，AD AB ⊥，则AD ⊥平面ABEF ，AF ⊂平面ABEF ，则AD AF ⊥，1AD AF ==，得2DF =，1222MN DF ==，O 为MN 中点，连接,AO BO ，则AO MN ⊥，BO MN ⊥，64AO BO ==，AOB V 中，由余弦定理，2221cos 23AO BO AB BOA AO BO +-∠==-⋅，所以平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值为13.【点睛】方法点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角，利用余弦定理求解；也可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC V 的三个内角均小于120︒时，使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒的点P 即为费马点；当ABC V 有一个内角大于或等于120︒时，最大内角的顶点为费马点.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .（1）若tan tan cos()cos tan tan 1A CA CB AC -+=-.①求B ；②若ABC V 的面积为3P 为ABC V 的费马点，求PA PC ⋅的取值范围；（2）若ABC V 内一点P 满足PAB PBC PCA θ∠=∠=∠=，且PB 平分ABC ∠，试问是否存在常实数t ，使得2b tac =，若存在，求出常数t ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）①π3B =；②2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭（2）存在，1t =【解析】【分析】（1）①根据三角形内角和定理结合两角和差的余弦公式化简即可得解；②在PAB ，PBC 中，分别利用正弦定理求出,PA PC ，再根据数量积的定义结合三角恒等变换化一，再根据三角函数的性质即可得解；（2）根据ABC PAB PBC PAC S S S S =++求出三角形ABC 面积的表达式，再在PAB ，PBC ，PAC 中，分别由余弦定理求出cos θ与,,a b c 的关系，再结合1sin 22ABC S ac θ= 化简即可得出结论.【小问1详解】①因为tan tan cos()cos tan tan 1A CA CB AC -+=-，且πA B C ++=，所以tan tan cos()cos()tan tan 1A CA C A C A C --+=-，所以sin sin cos cos sin sin (cos cos sin sin )sin sin cos cos A CA C A C A C A C A C A C+--=-，即sin sin 2sin sin cos()A CA C A C =-+，因为(0,π)A ∈，(0,π)C ∈，所以sin 0A ≠，sin 0C ≠，所以1cos 2B =，因为(0,π)B ∈，所以π3B =；②因为π3ABC ∠=，所以ABC V 的内角均小于2π3，所以点P 在ABC V 的内部，且2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，由1sin 2ABC S ac B == 4ac =，设ABP θ∠=，π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π3CPB θ∠=-，在PAB 中，由正弦定理得sin sin PA cAPB θ=∠，即sin ,PA θ=在PBC 中，由正弦定理得πsin sin 3PC aCPB θ=∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，即πsin 3PC θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2ππ1cos sin sin 332PA PC PA PC θθ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2π8πsin sin sin sin 3333ac θθθθ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭81811cos 2sin cos sin sin 23223422θθθθθ⎛⎫⎛⎫-=--=--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8114π2sin 2cos 2sin 23444363θθθ⎛⎫⎛⎫=-+-=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2,666θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin 2,162θ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以PA PC ⋅的取值范围为2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭；【小问2详解】因为111sin sin sin 222ABC PAB PBC PAC S S S S c AP a BP b CP θθθ=++=⋅+⋅+⋅ ，即1sin ()2ABC S c AP a BP b CP θ=⋅+⋅+⋅ ，所以2sin ABCS c AP a BP b CP θ⋅+⋅+⋅= ，在PAB ，PBC ，PAC 中，分别由余弦定理得：2222cos BP c AP c AP θ=+-⋅，2222cos CP a BP a BP θ=+-⋅，2222cos AP b CP b CP θ=+-⋅，三式相加整理得2222cos ()c AP a BP b CP a b c θ⋅+⋅+⋅=++，2222cos ()a b c c AP a BP b CP θ++=⋅+⋅+⋅，将2sin ABCS c AP a BP b CP θ⋅+⋅+⋅=代入得：22222cos sin ABCS a b c θθ++=⋅，因为PB 平分ABC ∠，所以2ABC θ∠=，1sin 22ABC S ac θ=，所以22222sin 22cos 2cos 4cos sin sin ABC S ac a b c ac θθθθθθ++=⋅=⋅= ，③又由余弦定理可得：()2222222cos 22cos sin a c b ac b ac θθθ+=+=+-，④由③-④得：()22222sin cos b b ac θθ=-++，所以()222sin cos b ac θθ=+，即2b ac =，所以常数1t =，使得2b ac =.【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：（1）利用正弦定理实现“边化角”；（2）利用余弦定理实现“角化边”.求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.。
上海市上海交通大学附属中学等四校联考2024-2025学年高一上学期10月数学试卷
上海市上海交通大学附属中学等四校联考2024-2025学年高一上学期10月数学试卷一、填空题1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=.2．不等式3102x x +≤-的解集是．3．已知,R b c ∈，关于x 的不等式20x bx c -+<的解集为()3,2-，则b c +=．4．已知方程22430x x +-=的两实根为12,x x ，则12x x -的值为．5．若:||1x m α-<是:04x β<<的充分非必要条件，则实数m 的取值范围是．6．化简：211133221566425a b a b a ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=.（其中0a >，0b >）7．已知,0x y >且31x y +=，则11x y+的最小值为8x 的分式方程3211m x x +=--有正数解，则符合条件的整数m 的和是．9．已知实数a b c >>，且0a b c ++=，则c a 的取值范围是．10．若关于x 的不等式()2220x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为.11．已知a ，b ，c 不全为无理数，则关于三个数a b +，b c +，c a +，下列说法正确的是（把所有正确选项都填上）①可能均为有理数②可能均为无理数③可能恰有一个为有理数④可能恰有两个为有理数12．已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，若集合{()0,13}A xf x x ==≤≤∣中恰有两个元素，则(2)f a 的取值范围为．二、单选题13．下列结论中错误的有（）A ．若a ，b 为正实数，a b >，则3322a b a b ab +>+B ．若a ，b ，m 为正实数，a b <，则a m ab m b+<+C ．若22a b c c >，则a b >；D ．当0x >时，2xx+的最小值为14．下列问题中，a ，b 是不相等的正数，比较x ，y ，z 的表达式．下列选项正确的是（）问题甲：一个直径a 寸的披萨和一个直径b 寸的披萨，面积和等于两个直径都是x 寸的披萨；问题乙：某人散步，第一圈的速度是a ，第二圈的速度是b ，这两圈的平均速度为y ；问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为a （天平平衡），放右边时左边砝码质量为b （天平平衡），物体的实际质量为z ．A ．x y z >>B ．x z y >>C ．z x y >>D ．z y x>>15．设1237 A A A A 、、、、是均含有2个元素的集合，且171(1,2,3,,6)i i A A A A i +=∅==∅ 、，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是（）A ．4B ．5C ．6D ．716．已知集合S 是由某些正整数组成的集合，且满足：若a S ∈，则当且仅当(a m n =+其中,m n S ∈且)m n ≠，或(a p q =+其中*,,,Z p q S p q ∉∈且)p q ≠.现有如下两个命题:①4S ∈；②集合{}35,N x x n n S =+∈⊆.则下列选项中正确的是（）A ．①是真命题，②是真命题；B ．①是真命题，②是假命题C ．①是假命题，②是真命题；D ．①是假命题，②是假命题.三、解答题17．设集合{}260P x x x =--<，{}23Q x a x a =≤≤+.(1)若Q P Q P ≠∅= 且，求实数a 的取值范围；(2)若P Q =∅ ，求实数a 的取值范围.18．已知函数()y f x =满足2()21f x x a x a =-+-+(1)当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；(2)若()4f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．19．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？(2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到x 元，公司拟投入()216006x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量a 至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时每件商品的定价．20．已知a b c d ,,,为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解决（3）中的实际问题.（1）请根据基本不等式2a b +≥（,a b R +∈），证明：4a b c d +++≥；（2）请利用（1）的结论，证明：3a b c ++≥（3）如图，将边长为1米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，在这层一个无盖纸盒.如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米？21．对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.。
广东省四校(佛山一中、广州六中、金山中学、中山一中)2024届高三上学期11月联考数学试题(解析版)
2024届高三级11月四校联考数学试题 佛山市第一中学、广州市第六中学 汕头市金山中学、中山市第一中学试卷总分：150分，考试时间：120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.本次考试采用特殊编排考号，请考生正确填涂.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第一部分 选择题（共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}lg 0A x x =≤，{}11B x x =−≤，则A B = （ ）A. AB. BC. R AD. B R【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数的性质、绝对值的性质确定集合,A B ，再由交集定义计算．【详解】由已知{|01}A x x =<≤，02{}|B x x ≤≤=， 所以{|01}A B x x =< ≤=A ， 故选：A2. 已知向量()3,a m =−，()1,2b =− ，若()//b a b −，则m 的值为（ ）A. 6−B. 4−C. 0D. 6【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标运算结合向量平行的坐标表示运算求解.【详解】由题意可得：()4,2−=−+a b m，若()//b a b −，则28m +=，解得6m =. 故选：D.3. 若函数 ()3,4,4,4x a x f x ax x − ≥= −+< （0,1a a >≠）是R 上的单调函数, 则a 的取值范围为（ ）A. ()50,11,4 ∪B. 51,4C. 4,15D. 40,5【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数和一次函数的单调性，结合分割点处函数值的大小关系，列出不等式，求解即可.【详解】因为 4y ax =−+是减函数，且()f x 是R 上的单调函数， 根据题意，()f x 为R 上的单调减函数；故可得 01,,44a a a <<≤−+ 解得405a <≤，即a 的取值范围为40,5 ． 故选：D .4. 若复数z 满足()1i 1i z +=+，则z 的虚部为 （ ）A. B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】先根据复数的模及除法运算求出复数z ，进而得到z ，从而求解.【详解】由()1i 1i z +=+=得z =，所以z=，即z 故选：D ．5. 数列{}n a 满足12019a =，且对*n ∀∈N ，恒有32n n n a a +=+，则7a =（ ） A. 2021 B. 2023C. 2035D. 2037【答案】D【解析】【分析】由已知可依次求出47,a a 的值，即可得出答案.【详解】由已知可得，14112202a a =+=，47472203a a =+=. 故选：D.6. 如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面α，使SB α∥，设α与SM 交于点N ，则SMSN的值为（ ）A.43B.32C.23D.34【答案】B 【解析】【分析】连接MB 交AC 于点D ，连接,,ND NA NC ，根据线面平行得性质证明SB DN ∥，再根据MC AB ∥可得DM MCDB AB=，进而可得出答案. 【详解】连接MB 交AC 于点D ，连接,,ND NA NC ，则平面NAC 即为平面α，因为SB α∥，平面SMB DN α∩=，SB ⊂平面SMB ，所以SB DN ∥， 因为AB 为底面圆的直径，点M ，C 将弧AB 三等分，所以30ABM BMC MBC BAC ∠=∠=∠=∠=°，12MCBC AB ==，所以MC AB ∥且12MC AB =，所以12DM MC DB AB ==， 又SB DN ∥，所以12MNDM SNDB ==，所以32SM SN =. 故选：B .7. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为ππ,22 − ，且()f x 为偶函数，π26f =−，()()3cos sin 0f x x f x x ′+>，则不等式3π1cos 024f x x+−>的解集为（ ）A. π,03−B. ππ,32C. 2ππ,33−D. 2π,03−【答案】D 【解析】【分析】构建()()3ππsin ,,22=∈− g x f x x x ，求导，利用导数判断原函数单调性，结合单调性解不等式.【详解】令()()3ππsin ,,22=∈−g x f x x x ，则()()()()()2323sin co 3cos s sin si sin n ′′=+=′+ g x f x x x f x x f x x f x x x ，因为ππ,22x∈−，则sin 0x >，且()()3cos sin 0f x x f x x ′+>， 可知()0g x ′>，则()g x 在ππ,22−上单调递增， 又因为()f x 为偶函数，ππ266f f −==−， 可得3πππ1sin 6664−=−−= g f 令()1π46>=−g x g ，可得ππ62x −<<， 注意到33ππππsin cos 2222g x f x x f x x+=++=+，不等式3π1cos 024f x x +−>，等价于ππ26+>−g x g ， 可得πππ622−<+<x ，解得2π03−<<x ， 所以不等式3π1cos 024f x x+−>的解集为2π,03 −. 故选：D.【点睛】关键点睛：构建函数()()3ππsin ,,22 =∈−g x f x x x ，利用单调性解不等式()14g x >，利用诱导公式可得3π1cos 024f x x +−>，等价于ππ26+>− g x g ，即可得结果. 8.已知函数21()sin 0)22xf x x ωωω=+>，若()f x 在3,22ππ上无零点，则ω的取值范围是（ ）A. 280,,99+∞B. 228(0,][,]939C. 28(0,][,1]99D. [)28,991,∞+ 【答案】B 【解析】【分析】先结合二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简,得到 ()sin 3f x x πω=−,由题可得323232T ωππωπππω −−−≤=和233(1)23k k ωπππωπππ ≤− +≥−,结合0ω>即可得解.【详解】因为211()sin 0)cos )sin 222xf x x x x ωωωωω+>−+−1sin sin 23x x x πωωω==−若322x ππ<<，则323323x ωπππωππω−<−<−，∴323232T ωππωπππω −−−≤=， 则21ω≤，又0ω>，解得01ω<≤.又233(1)23k k ωπππωπππ ≤−+≥− ，解得2282()339k k k Z ω+≤≤+∈. 228233928039k k k +≤+ +> ，解得4132k −<≤，k Z ∈ ，0k ∴=或1−.当0k =时，2839ω≤≤；当1k =−时，01ω<≤，可得209ω<≤.∴2280,,939ω∈. 故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，还涉及二倍角公式和辅助角公式，考查学生数形结合的思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有至少两项符合题目要求.全部选对的得2分，有选错的得0分）9. 若{}n a 是公比为q 的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ） A. 若{}n a 是递增数列，则1q > B. 若10a >，01q <<，则{}n a 是递减数列 C. 若0q >，则4652S S S +> D. 若1n nb a =，则{}n b 是等比数列 【答案】BD 【解析】【分析】对于AC ：举反例分析判断；对于B ：根据数列单调性的定义结合等比数列通项公式分析判断；对于D ：根据等比数列定义分析判断.【详解】对于选项A ：例如111,2a q =−=，则112n n a − =−，可知数列{}n a 是递增数列，但1q <，故A 错误；对于选项B ：因为()1111111n n n n n a a a q a qa q q −−+−=−=−，若10a >，01q <<，则110,0,10−>>−<n a q q ，可得10n n a a +−<，即1n n a a +<， 所以数列{}n a 是递减数列，故B 正确；对于选项C ：例如1q =，则11461541026=++==a a S S a S ， 即4652S S S +=，故C 错误； 对于选项D ：因为{}n a 是公比为q 的等比数列，则0n a ≠，则111111n n n n n nb a a b a q a +++===，所以数列{}n b 是以公比为1q 的等比数列，故D 正确； 故选：BD.10.已知(a = ，若1b = ，且π6,a b = ，则（ ）A. a b b −=B. b 在a方向上投影向量的坐标为 C. ()2a a b ⊥−D. ()23b a b ⊥−【答案】ACD 【解析】【分析】根据模长公式判断A 选项,根据投影向量公式判断B 选项,根据数量积公式结合向量垂直计算判断C,D 选项.【详解】(,a a =∴=，1a b −=, A 选项正确；b 在a方向上投影向量的坐标为π1cos 162a b a ⋅=×=， B 选项错误；()22π2=22cos 32106a a b a a b a a b ⋅−−⋅=−⋅=−×= ，()2a a b ∴⊥− ，C 选项正确；()22π23=232cos 321306b a b a b b a b b ⋅−⋅−=⋅−=×−= ，D 选项正确； 故选：ACD.11. 定义{}max ,a b 为a ，b 中较大的数，已知函数(){}max sin ,cos f x x x =，则下列结论中正确的有（ ）A. ()f x 的值域为[]1,1−B. ()f x 是周期函数C. ()f x 图像既有对称轴又有对称中心D. 不等式()0f x >的解集为π2π2ππ,2x k x k k−+<<+∈Z 【答案】BD 【解析】【分析】做出函数()f x 的图像，利用图像确定出值域，周期，单调区间，即可求解.【详解】做出函数()f x 的图像，如图所示：令sin cos x x =π04x−=，则ππ4x k −=，k ∈Z ，解得ππ4x k =+，k ∈Z ，当5π2π4xk =+，k ∈Z 时，()f x =由图可知，()f x 的值域为，故A 错误； 且()f x 是以2π为最小正周期的周期函数，故B 正确；由图可知函数()f x 有对称轴，但是没有对称中心，故C 错误； 由图可知，()π2π2ππ2k x k k −+<<+∈Z 时，()0f x >，故D 正确. 故选：BD.12. 定义在()1,1−上的函数()f x 满足()()1x y f x f y f xy−−=−，且当()1,0x ∈−时，()0f x <，则下列结论中正确的有（ ） A. ()f x 奇函数 B. ()f x 是增函数 C. 112243f f f+=D. 111342f f f+<【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ：根据题意结合奇函数的定义分析判断；对于B ：根据题意结合函数单调性分析判断；对于C ：根据题意令21,34==xy 代入运算即可；对于D ：令11,24x y ==，结合函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A ：因为()()1x y f x f y f xy −−=−，令0xy ==，则()()()000f f f −=，可得()00f =， 令y x =−得：22()()1x f x f x f x −−= +，再以x −代x ，得：22()()1x f x f x f x −−−=+，两式相加得：2222011x x f f x x −+=++，即222211x x f f x x −=− ++ ， 令()()22,1,11=∈−+x g x x x ，则()()()2222101−′=>+x g x x 对任意()1,1x ∈−恒成立， 可知()g x 在()1,1−上单调递增，且()()11,11g g −=−=， 所以()g x 在()1,1−内的值域为()1,1−， 由222211x x f f x x −=−++，()1,1x ∈−，即()()f x f x −=−，()1,1x ∈−， 是所以定义在(1,1)−上的函数()f x 为奇函数，故A 正确；对于选项B ：因为函数()f x 为定义在(1,1)−上的奇函数，且当(1,0)x ∈−时，()0f x <，不妨设1211x x −<<<，则121212()()1x x f x f x f x x−−=−，因为1211x x −<<<，则121201x x x x −<−且12121212(1)(1)1011x x x x x x x x −+−+=>−− 可知1212101x x x x −−<<−，所以121201x x f x x−< −， 则12())0(f x f x −<，即12()()f x f x <， 故函数()f x 在(1,1)−上为增函数，B 正确；对于选项C ，令21,34==x y ，且()()1x y f x f y f xy −−=−， 则211342−=f f f ，即112243f f f+=，故C 正确； 对于选项D ：令11,24x y ==，且()()1x y f x f y f xy −−= −， 则112247−=f f f ， 因为2173<，且函数()f x 在(1,1)−上为增函数，可得2173<f f ， 即111243−<f f f ，所以111342+>f f f ，故D 错误. 故选：ABC.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．第二部分 非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知()2y f x x =−为奇函数，且()13f =，则()1f −=________.【答案】1− 【解析】【分析】由题意()()2y g x f x x ==−为奇函数，所以由奇函数的性质有()()()()111120g g f f +−=+−−=，结合()13f =即可求解. 【详解】由题意()()2y g x f x x ==−为奇函数，所以由奇函数的性质可得()()()()()()()221111111120g g f f f f +−=−+−−−=+−−=，又因为()13f =，所以解得()11f −=−. 故答案为：1−.14. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2cos π3=−nnS n ，则6a =________. 【答案】212##10.5 【解析】【分析】根据n a 与n S 之间的关系，结合诱导公式运算求解.【详解】因为2cos π3=−n n S n ，则255ππ15cos π25cos 2π25cos 253332 =−=−−=−=−S ， 266cos 2π36135−−S ，所以665121352522=−=−−=a S S 故答案为：212. 15. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .120ABC ∠=°，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则43a c +的最小值为________.【答案】7+【解析】【分析】利用等面积法可得ac a c =+，从而111a c+=，再利用乘“1”法及基本不等式可求解． 【详解】因为ABCABD BCD S S S =+△△△， 所以111sin1201sin 601sin 60222ac c a ⋅°=××°+××°，所以ac a c =+，可得111a c+=． 所以()41134773437a c a c c a a c a c=+=+++≥+=++ .（当且仅当34c a a c=，即1a =+，1c =+．故答案为：7+16. 设()()ln ,024,24x x f x f x x <≤= −<<，若方程() f x m =恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为________；若方程() f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，且1234x x x x <<<，则()2221234x x x x +++的取值范围为______. 【答案】 ①. 6 ②. 45(22,)2【解析】【分析】由函数解析式知函数图象关于直线2x =对称，作出图象，可知212x <<，234x x +=，144x x +=，即可求得12348x x x x +++=，同时把()2221234x x x x +++用2x 表示，利用换元法，函数的单调性求得其范围．【详解】()(4)f x f x =−，因此()f x 的图象关于直线2x =对称，作出函数()f x 的图象，如图，作直线y m =，若是三个根，则1m =，12317,2,22x x x ===，1236x x x ++=， 若是四个根，由图可知212x <<，234x x +=，144x x +=，所以12348x x x x +++=， 12ln ln x x -=，因此121=x x ，()222222222123422222221121()(4)(4)28()34x x x x x x x x x x x x =++−+−=+−+++++22222112()8()30x x x x =+−++，令221t x x =+，则()222123422(2)22t x x x x +=+−++， 对函数1(12)y m m m=+<<，设1212m m <<<，1212121212111()(1)y y m m m m m m m m −=+−−=−−， 因为1212m m <<<，所以120m m −<，12110m m −>，所以120y y −<，即12y y <， 即1(12)y m m m=+<<是增函数，所以522y <<，因素2215(2,)2t x x =+∈，22(2)22y t =−+在5(2,)2t ∈时递增， 所以2452(2)22(22,)2y t =−+∈． 故答案为：6；45(22,)2．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 若()()πsin 0,0,2y f x A x A ωϕωϕ+>><的部分图象如图所示．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()y g x =的图象；若()y g x =图象的一个对称中心为5π06，，求θ的最小值． 【答案】（1）()π2sin 26f x x=+（2）π12【解析】【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由代入点法求出ϕ的值，从而可得函数的解析式． （2）根据函数sin()yA x ωϕ+的图象变换规律求得()g x 的解析式，再利用整体代换法与正弦函数的对称性得到θ关于k 的表达式，从而求得θ的最小值． 【小问1详解】根据()f x 的部分图象易知其最大值为2，又0A >，故2A =，周期11πππ1212T=−−=，则2ππω=，又0ω>，所以2ω=， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+， 又π,012−在图象上，所以π2sin 06ϕ −+=，故11π2π,6k k ϕ−+=∈Z ，则11π2π,6k k ϕ=+∈Z ， 又π2ϕ<，所以π6ϕ=， 所以()π2sin 26f x x=+. 【小问2详解】 将()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()()ππ2sin 22sin 2266y g x x x θθ==++=++的图象， 因为()y g x =图象的一个对称中心为5π06，，所以5ππ22π,66k k θ×++=∈Z ，即π11π,212k k θ=−∈Z ， 因为0θ>，所以π11π0212k −>，则116k >，又k ∈Z ，所以当2k =时，θ取得最小值为π12． 18. 已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，12a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11111,2n n n b a b b −−，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）2n a n =；（2）1n n S n =+. 【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，由等比中项的性质有()2(22)228d d +=+可求d ，进而写出{}n a 的通项公式；（2）应用累加法求{}n b 的通项公式，再由裂项相消法求{}n b 的前n 项和n S .【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由12a =，2319a a a =有：()2(22)228d d +=+，解得2d =或0d =(舍去)∴2n a n =. （2）1112n n n b b −−=， ∴()112211111112,21,,22n n n n n n b b b b b b −−−−=−=−−=× ，将它们累加得：2111 2.n n n b b −=+− ∴21n b n n=+，则()111111223111n n S n n n n =+++=−=××+++ . 19. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=°，侧面PAD 为等边三角形．（1）求证：AD PB ⊥；（2）若P AD B −−的大小为120°，求A PB C −−的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】(1)取AD 的中点O ，连接OB ，OP ，BD ，证明AD ⊥平面POB 即得；(2)在平面POB 内过O 作Oz OB ⊥，以射线OA ，OB ，Oz 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量推理计算即可得解.【详解】（1）取AD 的中点O ，连接OB ，OP ，BD ，如图，因PAD 为正三角形，则OP AD ⊥，又底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=°，则ABD △是正三角形，于是得OB AD ⊥，而OP OB O = ，,OP OB ⊂平面POB ，则AD ⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ， 所以AD PB ⊥；（2）由(1)知P AD B −−的平面角为POB ∠，即120POB ∠=°，==OP OB ，显然平面POB ⊥平面ABD POB 内过O 作Oz OB ⊥，平面POB 平面ABD OB =，则Oz ⊥平面ABD ，如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，B ，(C −，3(0,)2P ，(AB − ，3)2PB =− ，(2,0,0)CB = ，设平面PAB 的法向量为1111(,,)n x y z =，则1111113020n PB y z n AB x ⋅=−= ⋅=−+= ，令11y =，得1n =，设平面PBC 的法向量为2222(,,)n x y z =，则2222220302n CB x n PBz ⋅==⋅=−=，令21y =，得2n =，121212cos ||||n n n n n n ⋅〈⋅〉==⋅，设A PB C −−的大小为θ，从而得sin θ=， 所以A PB C −−. 20. 已知()()1ln 0f x x ax a x=−≥，e 为自然对数的底数. （1）若函数()f x 在e x =处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在1,e e上有且仅有两个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞（2）211e 2ea << 【解析】【分析】（1）求出()f x ′，利用导数的几何意义得到0a =，再利用导数与函数性质的关系即可得解； （2）构造函数()2ln xF x x=，将问题转化为()F x 与y a =的图象有两个交点，利用导数分析()F x 的性质，结合图象即可得解. 【小问1详解】 因为()()1ln 0f x x ax a x=−≥，所以()21ln x f x a x −′=−， 的又函数()f x 在e x =处的切线平行于x 轴，则()e 0f ′=，即21ln e0ea −−=，解得0a =， 此时()21ln xf x x−′=，令()0f x ′=，解得e x =， 当0e x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当e x >时，()0f x ′<，()f x 单调递减，所以()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞. 【小问2详解】因()f x 在1,e e上有且仅有两个零点，令()0f x =，则1ln 0x ax x −=，即2ln x a x =在1,e e上有且仅有两个零点，令()2ln x F x x =，1,e e x∈，则问题转化为()F x 与y a =的图象有两个交点， 又()312ln xF x x−′=，当1ex ∈ 时，()0F x ′>，)F x 单调递增，当)x ∈时，()0F x ′<，()F x 单调递减，所以()F x在x =12eF=， 又201e e F =− <，()2e e 1F =， 作出()F x 与y a =的大致图象，如图，为结合图象可得211e 2ea <<， 所以实数a 的取值范围为211e 2ea <<. 21. 某单位为端正工作人员仪容，在单位设置一面平面镜.如图，平面镜宽BC 为2m ，某人在A 点处观察到自己在平面镜中所成的像为A ′.当且仅当线段AA ′与线段BC 有异于B ，C 的交点D 时，此人能在镜中看到自己的像.已知π3BAC ∠=.（1）若在A 点处能在镜中看到自己的像，求ACAB的取值范围； （2）求某人在A 处与其在平面镜中的像的距离AA ′的最大值. 【答案】（1）1,22（2） 【解析】【分析】（1）设ACB θ∠=，则ππ62θ<<，利用正弦定理结合三角恒等变换可得)sin AC θθ=+，AB θ=，进而整理可得12AC AB =，结合正切函数运算求解；（2）根据（1）中结果结合三角恒等变换整理得π26AA θ=−+′，结合正弦函数分析求解. 【小问1详解】设ACB θ∠=，由题意可知ABC 为锐角三角形，则π022ππ032θθ<<<−<，可得ππ62θ<<，由正弦定理sin sin sinAC AB BCABC ACB BAC===∠∠∠，可得)πsin3AC ABCθθθ=∠=+=+，AB ACBθ=∠=，则12ACAB=+，因为ππ62θ<<，则tanθ>，可得1tanθ<<，即32<<，所以1,22ACAB∈.【小问2详解】由（1）可知：)sinACθθ=+，ABθ=，由题意可知：A A BC′⊥，AD AA=′，利用等面积法可得)1112sin222AAθθθ××=+′整理得2π4sin cos2sin2226 AAθθθθθθ==−−′，因为ππ62θ<<，则ππ5π2,666θ−∈，当ππ262θ−=，即π3θ=时，AA′取到最大值.22. 设()2cos1f x ax x=+−，a∈R.（1）当1πa=时，求函数()f x的最小值；（2）当12a≥时，证明：()0f x≥；（3）证明：()*1114coscos cos ,1233+++>−∈>n n n nN . 【答案】22. π14− 23. 证明见解析 24. 证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可知：()f x 为偶函数，所以仅需研究0x ≥的部分，求导，分π2x >和π02x ≤<两种情况，利用导数判断原函数的单调性和最值；（2）由题意可知：()f x 为偶函数，所以仅需研究0x ≥的部分，求导，利用导数判断原函数的单调性和最值，分析证明；（3）由（2）可得：()211cos12>−≥n n n ，分2n =和3n ≥两种情况，利用裂项相消法分析证明； 【小问1详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()()()22cos 1cos 1−−+−−+−f x a x x ax x f x ，所以()f x 为偶函数，下取0x ≥， 当1πa =时，()21cos 1π=+−f x x x ，则()2sin π′=−f x x x ， 当π2x >时，则()2sin 1sin 0π′=−>−≥f x x x x ，可知()f x 在π,2∞ +内单调递增， 当π02x ≤≤时，令()()g x f x ′=，则()2cos π′=−g x x ， 可知()g x ′在π0,2内单调递增， 因为201π<<，则0π0,2x ∃∈ ，使得02cos πx =， 当[)00,x x ∈时，()0g x ′<；当0π,2x x ∈ 时，()0g x ′>； 所以()g x 在[)00,x 上单调递减，在0π,2x上单调递增，且()π002g g == ，则()()0f x g x ′=≤在π0,2 内恒成立，可知()f x 在π0,2内单调递减； 综上所述：()f x 在π0,2 内单调递减，在π,2∞ + 内单调递增， 所以()f x 在[)0,∞+内的最小值为ππ124f =−， 又因为()f x 为偶函数，所以()f x 在R 内的最小值为π14−. 【小问2详解】由（1）可知()f x 为定义在R 上的偶函数，下取0x ≥，可知()2sin f x ax x ′=−，令()()2sin ϕ′==−x f x ax x ， 因12a ≥，则()2cos 1cos 0x a x x ϕ≥−′=−≥， 则()x ϕ在[)0,∞+内单调递增，可得()()00x ϕϕ≥=， 即()0f x ′≥在[)0,∞+内恒成立，可知()f x 在[)0,∞+内单调递增，所以()f x 在[)0,∞+内的最小值为()00f =，结合偶函数性质可知：()0f x ≥.【小问3详解】由（2）可得：当1a =时，()2cos 10=+−≥f x x x ，当且仅当0x =时，等号成立， 即2cos 1≥−x x ，令*1,2,=≥∈x n n nN ，则211cos 1>−n n ， 当2n =时，211324cos 1222433>−=>=−，不等式成立； 当3n ≥时，222114411cos 111124412121 >−=−>−=−− −−+n n n n n n ， 即111cos 122121 >−− −+n n n ，则有： 111cos 12235 >−− ，111cos 12357 >−− ，⋅⋅⋅，111cos 122121 >−− −+n n n ， 相加可得：()()11111425cos cos cos 12233213321− +++>−−−=−− ++n n n n n n ， 为因为3n ≥，则()250321−>+n n ，所以1114cos cos cos 233+++>− n n ； 综上所述：()*1114cos cos cos ,1233+++>−∈>n n n nN . 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()f x ；（3）利用导数研究()f x 的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式；特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。
高三数学：淮阴中学四校2023-2024学年高三下学期期初测试联考试题和答案
2024届高三年级第二学期期初测试数学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
共4页，总分150分，考试时间120分钟。
第I 卷(选择题共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x ∈R |x 2－2x －3＜0}，集合B ＝{x ∈R |log 2(x ＋2)＜1}，则A ∩B ＝A .(－3,2)B .(－2,3)C .(－2,0)D .(－1,0)2．已知复数z 满足(1－i )z ＝3－i ，则复数|z |＝A .2BC .D 3．在∆ABC 中，“A ＝B ”是“cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B ”的A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4．我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．在3,4,5,6,8,10,12,13这8个数中任取3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为A .47B .328C .1112D .3565．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为3π，则该圆台的体积为A .433B .533πC .733D .8336．若(2－x )10的展开式中二项式系数和为A ，所有项系数和为B ，一次项系数为C ，则A ＋B ＋C ＝A .4095B .4097C .－4095D .－40977．已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，则233x y x y x y+++的最大值为A .2425B .98-C .98-D .348．若x 1，x 2是关于x 的方程3sin2x －cos2x ＝a 在［0,2π］内的两根，则tan (x 1＋x 2)的值为A .－3B .3D .－13D .13二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
吉林省四校2023-2024学年高一下学期开学联考试题 数学含答案
2023—2024学年度下学期四校期初联考高一数学试题（答案在最后）本试卷满分150分，共4页。
考试时间120分钟。
考试结束后，只交答题卡。
第I 卷（选择题，共58分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上并将条形码粘贴在粘贴处。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
—、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{}122,lg(1)2x A x B x y x ⎧⎫=<<=+⎨⎬⎩⎭∣，则()R A B = ð（）A ．(,1)-∞B ．∅C ．(1,)-+∞D ．(,1)(1,1)-∞-- 2．设((5)),510,()215,10,f f x x f x x x +<<⎧=⎨-≥⎩则(9)f 的值为（）A ．9B ．11C ．28D ．143．“关于x 的不等式2(23)(23)40a x a x ---+≥的解集为R ”是“392a <<”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．函数3()1ln ||x f x x =+的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．5．设0.623log 6,log 12,2a b c ===，则（）A ．a b c<<B ．c a b<<C ．b a c<<D ．c b a<<6．已知函数()cos()0,0,||2f x M x M πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中,024A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,0,(0,2)24B C π⎛⎫⎪⎝⎭，现先将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，再向左平移24π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则5144g π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A B ．-C D 7．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足()()2xf xg x +=．若(())0g f x a -≥恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞8．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，则ω的取值范围为（）A ．22,93⎛⎫⎪⎝⎭B ．22814,,9399⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．22814,,9399⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭D ．22814,,9399⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．下列命题为真命题的有（）A ．若,a b ∈R ，则222a b ab +≥B ．若0,0a b m >>>，则a m ab m b+>+C ．若0a b <<，则11a b>D ．若22ac bc >，则a b>10．对于函数()tan 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的是最小正周期是πB ．函数()f x 的图象的对称中心是,0()48k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭C ．函数|()|y f x =的图象的对称轴是()48k x k Z ππ=+∈D ．不等式()f x ≥的解集是73,248 x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭11．设函数()f x 的定义域为R ，满足()()11f x f x +=--，且()()22f x f x +=-，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+，若(0)(3)6f f +=，则以下正确的是（）A ．(4)()f x f x +=B ．2a =-C ．2b =D ．1722f ⎛⎫=⎪⎝⎭第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知幂函数()122()32m f x m m x=-满足(2)(3)f f <．则m =______．13．已知0,0,3x y x y xy >>++=，且不等式2()()10x y a x y +-++≥恒成立．则实数a 的取值范围是______．14．已知函数()()()2154087lo 7g x f x m x x m ⎛⎫--<⎪⎝⎭-≤=恰有3个零点，则m 的取值范围是______．四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）求下列各式的值．（11220.25316(8)849-⎛⎫+-+⨯ ⎪⎝⎭；（2）()3log 314319lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯+-16．（15分）已知函数2()2cos cos (0,R)f x x x x a a ωωωω=++>∈．已知()f x 的最大值为1，且()f x 的相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）求函数()f x 的解析式．（2）求()f x 在[0,]π的单调递增区间；（3）将函数()f x 图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向右平移12π单位，得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间[0,]m 上的最小值为(0)g ，求m 的最大值．17．（15分）已知,0,,22ππαβπ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且2sin ,tan()1011αβα=--=-．（1）求cos 24πα⎛⎫+⎪⎝⎭；（2）求角2αβ+的大小．18．（17分）心理学家根据高中生心理发展规律，对离中生的学习行为进行研究，发现学生学习的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．上课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间学生的兴趣保持理想状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用()f x 表示学生掌握和接受概念的能力（()f x 的值越大，表示接受能力越强），x 表示提出和讲授概念的时间（单位：min ），满足以下关系：20.1 2.838,010,()56,1020,296,2040.x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩（1）上课多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？（2）有一道数学难题，需要54的接受能力及15min 的讲授时间：老师能否及时在学生处干所需接受能力的状态下讲授完成这道难题？19．（17分）已知函数2()log 1,()22xf x xg x =+=-．（1）求方程|()||()|f x g x =的解的个数（不要求详细过程，有简要理由即可）；（2）求函数()22()[()]2F x f x af x =-+在区间［2，4]上的最大值；（3）若函数()()()h x g f x =，且函数1(|()|)12y h g x =-的图象与函数3241|()|b y b g x +=--的图象有3个不同的交点，求实数b 的取值范围．2023—2024学年度下学期四校期初联考高一数学答案一．选择题（每小题5分，共8题，共40分）12345678ABCADCBD二．多选题（每小题6分，共3题，共18分）91011ACD BCABC1．A 【详解】1222x <<，得11x -<<，所以{11}A xx =-<<∣，函数()lg 1y x =+中，10x +>，即1x >-，所以{1}B xx =>-∣，{}R ð1B x x =≤-∣，所以()()R ð,1A B =-∞ ．故选：A 2．B【详解】()()()()()91421415132131511f f f f f ==⨯-==⨯-=．故选：B ．3．C【详解】当230a -=即32a =时，不等式20040x x ⨯-⨯+≥的解集为R ，符合题意；当230a -≠即32a ≠时，若不等式()()2232340a x a x ---+≥的解集为R ，可得()2230(23)16230a a a ->⎧⎨---≤⎩，解得31922a <≤，所以不等式()()2232340a x a x ---+≥的解集为R 可得31922a ≤≤，充分性不成立，若392a <<，则不等式()()2232340a x a x ---+≥的解集为R ，必要性成立，所以不等式()()2232340a x a x ---+≥的解集为R 是“392a <<”的必要不充分条件．故选：C ．4．A【详解】对于函数()f x ，有01ln 0x x ≠⎧⎨+≠⎩，解得0x ≠且1e x ≠±，所以，函数()f x 的定义域为1111,,00,,e ee e⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()()33()1ln 1ln x x f x f x x x --===-+-+，函数()f x 为奇函数，排除CD 选项，当10ex <<时，1ln 0x +<，则()301ln x f x x =<+，排除B 选项．故选：A ．5．D【详解】由6<，得225log 6log 2a =>=，由912<<，得333log 9log 12log <<，即522b <<，而0.61222c =<=，所以c b a <<．故选：D 6．C【详解】记函数()f x 的最小正周期为T ，由题意知7224244T πππ=-=，得2T π=，所以24Tπω==，故()()cos 4f x M x ϕ=+．因为()f x 的图象过点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭，所以()42242k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，得()23k k πϕπ=+∈Z ，又2πϕ<，所以3πϕ=，故()cos 43f x M x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的图象过点()0,2C ，所以cos23M π=，解得4M =，所以()4cos 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．将()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，得到4cos 123y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将所得图象向左平移24π个单位长度，得到函数()54cos 124cos 12236g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，所以554cos 4cos 4cos cos sin sin 14412464646g ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C ．7．B【详解】因为()(),f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以()()()(),f x f x g x g x -=-=-，因为()()2xf xg x +=，①所以()()2xf xg x --+-=，所以()()2xf xg x --=，②①+②得()()2222,22x x x xf xg x --+-==，因为2xy =在定义域R 上单调递增，2xy -=在定义域R 上单调递减，所以()222x xg x --=在R 上单调递增，又()00g =，若()()0g f x a -≥恒成立，则()()()0g f x a g -≥恒成立，所以()0f x a -≥恒成立，所以()f x a ≥恒成立，所以只需min ()a f x ≤，因为20,20xx->>，所以222x x -+≥=（当且仅当22x x -=，即0x =时取等号），所以()2212x xf x -+=≥（当且仅当0x =时，取等号），所以1a ≤，所以a 的取值范围为(],1-∞．故选：B ．8．D【详解】当,0,,1231233x x πππππωω⎛⎫⎛⎫∈--∈--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 在,012π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，故1232πππω--≥-，则02ω<≤；当33,,,2232323x x πππππππωωω⎛⎫⎛⎫∈-∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2,2333ππππω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，38,2333ππππω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，又因为()f x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，故讨论两种情况：①022323393023πππωωππωπ⎧-<-<⎪⎪⇒<<⎨⎪<-≤⎪⎩，②20814233399223πππωωπππωπ⎧≤-≤⎪⎪⇒<≤⎨⎪<-≤⎪⎩，综上：ω的取值范围为22814,,9399⎛⎫⎛⋃ ⎪ ⎝⎭⎝，故选：D ．9．ACD【详解】对于A ，因为2222()0a b ab a b +-=-≥，所以222a b ab +≥，故A 正确；对于B ，()()()b a ma m a ab bm ab am b m b b b m b b m -++---==+++，因为0,0a b m >>>，所以()()0,0b a m b b m -+，所以0a m a b m b +-<+，所以a m a b m b+<+，故B 错误；对于C ，若0a b <<，则110b a a b ab --=>，所以11a b>，故C 正确；对于D ，若22ac bc >，则20c >，所以a b >，故D 正确．故选：ACD ．10．BC【详解】函数()tan 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π，A 错误；由2,Z 42k x k ππ-=∈，解得,Z 48k x k ππ=+∈，则函数()f x 的图象的对称中心是(),0Z 48k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，B 正确；由于()tan 2tan 24444f x x x f x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则8x π=是()y f x =图象的一条对称轴，又()tan 2tan 24444f x x x f x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则8x π=-是()y f x =图象的一条对称轴，而函数()y f x =的最小正周期是2π，则,Z 28k x k ππ=+∈及,Z 28k x k ππ=-∈都是()y f x =图象的对称轴，所以函数()y f x =图象的对称轴是()Z 48k x k ππ=+∈，C 正确；不等式()tan 24f x x π⎛⎫≥⇔-≥ ⎪⎝⎭，则2,Z 342k x k k πππππ+≤-<+∈，解得73,22428k k x k Z ππππ+≤<+∈，即不等式()f x ≥的解集是()73,22428k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，D 错误．故选：BC 11．ABC【详解】因为()()11f x f x +=--，所以()][()1111f x f x ⎡⎤+-=---⎣⎦，即()()2f x f x =--，又()()22f x f x +=-所以()()2f x f x =-+，所以()()()()2224f x f x f x f x ⎡⎤=-+=++=+⎣⎦，A 正确；因为()()()()()032146f f f f a b a b +=-+=-+++=，所以2a =-，B 正确；在()()11f x f x +=--中，令0x =，得()()11f f =-，即()a b a b +=-+，解得2b =，C 正确；1711395822222242f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-=--⨯-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 错误．故选：ABC 12．13-【详解】由幂函数的定义可知，2321m m -=，即23210m m --=，解得1m =或13m =-．当1m =时，()12f x x-=在()0,+∞上单调递减，不满足()()23f f <；当13m =-时，()56f x x =在()0,+∞上单调递增，满足()()23f f <．综上，13m =-．故答案为：13-．13．37,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【详解】令t x y =+，则223412062x y x y xy t t t +⎛⎫++=≤⇒--≥⇒≥ ⎪⎝⎭，()21()10, x y a x y a t t+-++≥∴≤+ 在6t ≥恒成立，1y t t =+ 在[)6,+∞单调递增，min1376t t ⎛⎫∴+=⎪⎝⎭，37,6a ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故答案为：37,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．14．()()150,11,22,7⎛⎫⎪⎝⎭【详解】由()0f x =，得2log x m =或15477x m -=，函数()f x 在(]0,8上有3个零点，当且仅当直线y m =与函数2log y x =及15477xy =-在(]0,8内的图象有3个交点，函数2log y x =在(]0,1上单调递减，函数值集合为[)0,+∞，在[]1,8上单调递增，函数值集合为[]0,3，函数15477x y =-在(]0,1上单调递减，函数值集合为1715,77⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，显然直线15477x y =-与2log y x =的图象交于点1,24⎛⎫⎪⎝⎭和()2,1，在坐标系内作出直线y m =和函数2log y x =及15477xy =-在(]0,8内的图象，如图，观察图象知，当1507x <<，且1m ≠且2m ≠时，直线y m =与函数2log y x =及15477xy =-在(]0,8内的图象有3个交点，所以m 的取值范围是()()150,11,22,7⎛⎫ ⎪⎝⎭ ．故答案为：()()150,11,22,7⎛⎫⎪⎝⎭15．（1）9（2）196（1）原式()1231122333443134(2)22(2)47ππ-⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-++-+⨯+-⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦()131244134(2)22247ππ-⎛⎫=-++-+⨯+- ⎪⎝⎭1374944=++=．（2）()2log 31431lg25lg2log 9log 822-++-⨯+-23log 2lg9lg814lg5lg22lg4lg33=++-⨯+-2lg33lg2314lg102lg2lg323=+-⨯+-3141323=+-+-196=．16．（1）()22sin 21;0,,,663f x x ππππ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦（2）3π【详解】（1）()22cos cos f x x x x aωωω=++cos212sin 216x x a x a πωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭，31a +=，解得2;22T a π=-=，即22T ππω==，解得1ω=；()2sin 216f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；令222262k x k πππππ-+≤+≤+，得,Z 36k x k k ππππ-+≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；所以()f x 在[]0,π的单调递增区间为20,,,63πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）将函数()f x 图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到2sin 416y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，再向右平移12π单位，得到函数2sin 412sin 411266y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，即()2sin 416g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；因为[]0,x m ∈，所以4,4666x m πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为()g x 在区间[]0,m 上的最小值为()0g ，所以74660m m ππ⎧-≤⎪⎨⎪>⎩，解得03m π<≤．所以m 的最大值为3π．17．（1）50（2）74π【详解】（1）1,0,sin sin,,0210266πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-=->-=-∴∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos10α∴===，2124cos212sin12525αα∴=-=-=，7sin22sin cos25ααα==-，247cos2cos2cos sin2sin44425225250πππααα⎛⎫∴+=-=⨯+⨯⎪⎝⎭；（2）()2,,tan211πβπβα⎛⎫∈-=-⎪⎝⎭，()()()21tan tan1117tan tan211tan tan31117βααββααβαα⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭=-+===---⎛⎫⎛⎫--⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1355tan tan,3366ππββπ⎛⎫=->-=∴∈ ⎪⎝⎭，由倍角公式得222tan33tan211tan419βββ-===---，由（1）得1cos,tan107αα=∴=-，()13tan tan274tan21131tan tan2174αβαβαβ--+∴+===--⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎝⎭⎝⎭，21,0,sin sin,,0210266πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-=->-=-∴∈-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭372,2,224ππαβπαβ⎛⎫∴+∈∴+=⎪⎝⎭．18．（1）上课10分钟后，学生的接受能力最强，能维持10分钟19．（2）老师不能及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道题【详解】（1）解：由题知()20.1 2.838f x x x=++在(]0,10上单调递增，所以()max ()1056f x f ==又(]10,20x ∈时，()56f x =()296f x x =-+在(]20,40x ∈上单调递减，()(]16,56f x ∈，所以上课10分钟后，学生的接受能力最强，能维持10分钟．（2）当(]0,10x ∈时，令()54f x ≥，即20.1 2.83854x x -++≥，化简得2281600x x -+≤，解得820x ≤≤，又(]0,10x ∈，所以810x ≤≤，此时有效时间为2分钟当(]10,20x ∈时，()56f x =，有效时间为10分钟，当(]20,40x ∈时，令()54f x ≥，解得2021x <≤，有效时间为1分钟，由于讲授时间需15分钟，但有效时间210113++=分钟，1315<，所以老师不能及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道题．19．（1）3个（2）max 5115,2()563,2a a F x a a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（3）4,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【详解】（1）如图，由翻折变换分别作出函数22x y =-与函数2log 1y x =+的图象，因为两函数图象有3个不同的交点，所以方程()()f x g x =的解的个数3；（2）()()()22[]2F x f x af x =-+()222log 21log 3x a x a =+-+-，令][2log ,2,4,1,2t x x t ⎡⎤=∈∴∈⎣⎦，()F x 化为()()2213p t t a t a=+-+-()22[1]2t a a a =---++则函数()p t 的图象开口向上，且对称轴为1t a =-，当312a -≤即52a ≤时，()max max ()()2115F x p t p a ===-；当312a ->即52a >时，()max max ()()163F x p t p a ===-，max 5115,2();563,2a a F x a a ⎧-≤⎪⎪∴=⎨⎪->⎪⎩（3）()()()2log 12222x h x g f x x +==-=-，令(),(0)m g x m =>，()()()11222y h g x g x m =-=-=-，()32324141b b y b b m g x ++=--=--，令32241b m b m +-=--，即()214320m b m b -+++=①，函数()22x m gx ==-的图象如图，因为函数1(|()|)12y h g x =-的图象与函数3241|()|b y b g x +=--的图象有3个不同的交点，所以①式有2个不等的实根，且一根在(0,2)内，另一根为0或在[2,)+∞内；因为0m ≠所以方程①的两根一根在(0,2)内，另一根在[2,)+∞内．设2()(14)32m m b m b ϕ=-+++，当一根在(0,2)内，另一根在(2,)+∞内时，由(0)0(2)0ϕϕ>⎧⎨<⎩，即320450b b +>⎧⎨-<⎩，解得45b >；当一根为2时，由(2)0ϕ=解得45b =，验证：此时方程①为22122055m m -+=，解得2m =或11(0,2)5m =∉，故不合题意，舍去；综上所述，b 的取值范围是4,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．。
辽宁省四校联考2025届高三下学期联考数学试题含解析
辽宁省四校联考2025届高三下学期联考数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（ ） A ．12πB ．3π C ．6π D ．9π 2．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（ ） A ．10B ．16C ．20D ．243．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是（ ）A ．[)1,+∞B ．[)0,+∞C ．(],0-∞D ．(],1-∞4．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ）A ．当8n =时，该命题不成立B ．当8n =时，该命题成立C ．当6n =时，该命题不成立D ．当6n =时，该命题成立5．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ）AB ．C ．D ．6．若函数()2xf x e mx =-有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,78．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE 14SB =.，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（ ）A ．222B ．53C ．1316D ．1139．已知数列{}n a 满足：11,a =13,21,n n n nn a a a a a ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则6a =( )A ．16B ．25C ．28D ．3310．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-()()0≠f x ，且在区间()20172018,上单调递减，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，则()()sin cos f f βα,的大小关系是（ ） A ．()()sin cos βα<f f B ．()()sin cos βα>f f C ．()()sin =cos βαf fD ．以上情况均有可能11．执行如图所示的程序框图，若输入2020m =，520n =，则输出的i =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712．如图所示是某年第一季度五省GDP 情况图，则下列说法中不正确的是（ ）A ．该年第一季度GDP 增速由高到低排位第3的是山东省B ．与去年同期相比，该年第一季度的GDP 总量实现了增长C ．该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D ．去年同期浙江省的GDP 总量超过了4500亿元 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省襄阳市四校联考2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题
湖北省襄阳市四校联考2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题一、单选题1．一元二次方程x 2－3x ＝0的根是（）A ．x ＝0B ．x ＝3C ．x 1＝0，x 2＝3D ．x 1＝0，x 2＝－32．函数2(1)3y x =+-的最小值是（）A ．1B ．1-C ．3D ．3-3．将如图所示的图案绕它的旋转中心旋转一定角度后能与自身完全重合，则至少应将它旋转的度数是（）A ．45︒B ．90°C ．135︒D ．180︒4．某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率为x ，则可以列出方程（）A ．500(12)720x +=B ．()25001720x +=C ．()25001720x +=D ．()27201500x -=5．如图，O 的半径是3，点O 到AB 的距离是2，弦AB 的长是（）AB ．C ．D ．6．下列图标分别是中国银行、中国建设银行、兰州银行、湖州银行的LOGO ，其中不是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．7．抛物线()21y x k =-+经过()12,y -，()23,y 两点，则12y y 、的大小关系正确的是（）A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．不能确定8．将线段OA 绕点O 逆时针旋转90︒得到线段OA '，已知()3,2A -，则点A '的坐标是（）A ．()2,3-B ．()2,3--C ．2,3D ．()3,29．如图，四边形ABCD 内接于O ，若140BOD ∠=︒，则BCD ∠是（）A ．140︒B ．130︒C ．110︒D ．100︒10．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =，且经过()3,0，下列结论正确的是（）A ．0bc <B ．2b a >-C ．24b ac <D ．1x =-是20ax bx c ++=的一根二、填空题11．方程()()130x x -+=的根是．12．点A （－3，1）关于原点对称的点的坐标是．13．如图，AB 是O 的直径，过弦BC 的端点C 作O 的切线交BA 的延长线于点P ，若30P ∠=︒，1PA =，则O 的半径长是．14．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球的运动时间t （秒）之间的关系式是2=30506h t t t -≤≤（），运动2秒时，小球的高度是米．15．如图，在ABC V 中，90ACB AC BC ∠=︒=，，点D 在斜边AB 上，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90︒得到线段CE ，DCE ∠的平分线交AB 于点F ，连接BE ，若43BE BF ==，，则CD 的长为．三、解答题16．解方程∶23620x x --=．17．如图，将ABC V 以点C 为旋转中心旋转180︒得到DEC ，过点A 作AF BC ∥，交DE 的延长线于点F ，求证：=DE EF ．18．某小区为了美化环境，准备在一块长30米，宽20米的长方形场地上修筑两条宽度相等且互相垂直的道路，余下的部分作为草坪（图中阴影部分），若草坪的面积是551平方米，求道路的宽度．19．如图，抛物线232y x x =-+与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，抛物线顶点为D ．(1)求A ，B ，C ，D 四个点的坐标；(2)若点(),P m p 在抛物线232y x x =-+上，点(),Q m q 在直线BC 上，若对于m 的每一个取值总有p q <，请直接写出m 的取值范围．20．已知关于x 的一元二次方程210x x m -++=有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)若该方程的两个实数根分别为1x ，2x ，且212122x x x x m +-=-，求m 的值．21．如图，AB 是O 的直径，弦AD ，BC 相交于点E ， AC BD=，点F 在BC 的延长线上，EF AE =，连接AF ．(1)求证：AF 是O 的切线；(2)若4BD =，AF =AB 的长．22．综合与实践．活动名称：聪明果销售方案设计材料一：学校附近超市以每袋30元的价格购进了若干袋真空包装的聪明果进行销售，售价定为60元/袋，一周可以销售100袋．材料二：超市老板发现，聪明果销售单价每降低1元，每周销量增加10袋，决定降价销售，但售价高于进价．任务一：建立函数模型（1）设聪明果的销售单价为x （元/袋），每周的销售量为y （袋），每周的销售利润为W （元），分别写出y 与x ，W 与x 的函数解析式；任务二：设计销售方案（2）若每周的销售利润为3750元，销售单价应定为多少元？（3）销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少？23．已知正方形ABCD 和正方形CEFG ．(1)如图1，当正方形CEFG 在正方形ABCD 在外部时，连接BG ，DE ．求证：BCG DCE ≌△△；(2)如图2，将（1）中正方形CEFG 绕点C 旋转，使点G 落在DE 上．①若AB =EF =BG 的长；②如图3，连接AC ，若点O 是AC 的中点，连接OG ．判断线段OG 与AB 的数量关系并说明理由．24．在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()()1,0,3,0A B -，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上一动点，它的横坐标为m ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当点P 在第一象限时，点Q 与点P 关于抛物线的对称轴对称，若四边形AOPQ 是平行四边形，求m 的值；(3)过点P 作PM y ⊥轴于点M ，当点P 与点M 都不与点C 重合时，以,PM CM 为边作矩形PMCN ，设矩形PMCN 的周长为l ．①求l与m的函数解析式；②若对于l的每一个取值，都有四个m的值与它对应，写出l的取值范围．。
陕西省四校2025届高三上学期第二次质量检测联考数学试题
陕西省四校2025届高三上学期第二次质量检测联考数学试题一、单选题1．如图，已知全集U =R ，集合{}2340A x x x =-->，{}0B x x =>，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}0x x ≤B ．{}1x x ≥-C ．{}10x x -≤≤D ．{}04x x x 或2．若复数z 满足(13i)3i z -=-（i 为虚数单位），则z 的模z =（ ）A ．35B ．1CD ．53．设等比数列{}n a 前n 项和为n S ，且6634S =，135212a a a ++=，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为（ ）A ．32B ．16C ．128D ．644．已知向量,,a b c r r r ，满足1a =r ，2b =r ，3c =r ，π,,3a b a b c =+=n n r r rn n r r ，则a b +r r 在c r 方向上的投影向量为（ ）A B ．143c r CD ．76c r 5．柜子里有4双不同的鞋子，从中随机地取出2只，下列计算结果错误．．的是（ ） A ．“取出的鞋不成双”的概率等于67B ．“取出的鞋都是左鞋”的概率等于314C ．“取出的鞋都是一只脚的”概率等于37D ．“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”的概率等于576．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22430x y y +-+=，若直线1y kx =-上存在点P ，使以P 点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．11,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭C ．,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U7．已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点，过2F 的一条直线与C 交于A ，B 两点，且1AF AB ⊥，22BF =，则椭圆长轴长的最小值是（ ）A．12B ．3+C ．6D ．6+8．已知函数()3e ln xf x x x x a x =---，若对任意的0x >，()1f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]3,3-B ．[]22-,C ．[]4,4-D ．[]1,1-二、多选题9．甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记1A 表示事件“从甲袋摸出的是红球”，2A 表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记1B 表示事件“从乙袋摸出的是红球”，2B 表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（ ） A ．12,A A 是互斥事件 B ．12,A B 是独立事件 C ．()22711P B A =∣ D ．211210()()11P B A P B A +=10．我国在预测人口变化趋势上有直接推算法、灰色预测模型、V AR 模型、队列要素法等多种方法，直接推算法使用的公式是()()011nn P P k k =+>-，其中n P 为预测期人口数，0P 为初期人口数，k 为预测期内人口增长率，n 为预测期间隔年数，则下列说法正确的有（ ）A ．若在某一时期内10k -<<，则这期间人口数呈下降趋势B ．若在某一时期内0k >，则这期间人口数呈上升趋势C ．若在某一时期内01k <<，则这期间人口数摆动变化D ．若在某一时期内0k =，则这期间人口数不变 11．已知函数()cos2sin f x x a x =+，0a ≠，则（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．当1a =时，函数()f x 的值域为92,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．当2a =-时，函数()f x 的单调递增区间为()π7π2π,2π26k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭ZD ．当1a =时，若函数()f x 在区间()()0,πk k ∈Z 内恰有2025个零点，则1350k =三、填空题12．已知x ，y 为正实数，则2162y xx x y++的最小值为． 13．阅读材料：空间直角坐标系O xyz -中，过点()000,,P x y z 且一个法向量为(),,n a b c =r的平面α的方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为270x y z -+-=，直线l 是两平面10x y -+=与20y z -+=的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为.14．已知正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方形ABCD 的中心．M 为平面ABCD 上的一个动点，则下列命题正确的①若1||MA =，则M 的轨迹是圆；②若M 到直线11AB,A D 距离相等，则M 的轨迹是双曲线；③若M 到直线1,CD BB 距离相等，则M 的轨迹是抛物线四、解答题15．记锐角ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C 的角平分线交AB 于点D ，CD sinsin 2A Ba c A +=. (1)求C ；(2)求a b +的取值范围.16．如图1，平面图形PABCD 由直角梯形ABCD 和等腰直角PAD △拼接而成，其中1AB BC ==，BC AD ∥，90BAD o ∠=；PA PD ==90APD ∠=o ，点O 是AD 中点，现沿着AD 将其折成四棱锥P ABCD -（如图2）．(1)当二面角P AD C --为直二面角时，求点A 到平面PCD 的距离；(2)在（1）的条件下，设点Q 为线段PD 上任意一点（不与P ，D 重合），求二面角Q AC D --的余弦值的取值范围．17．甲、乙、丙参加某竞技比赛，甲轮流与乙和丙共竞技n 场，每场比赛均能分出胜负，各场比赛互不影响.(1)假设乙的技术比丙高，如果甲轮流与乙和丙竞技3场，甲只要连胜两局即可获胜，甲认为：先选择与实力弱的丙比赛有优势，判断甲猜测的正确性；(2)假设乙与丙的技术相当，且甲与乙，甲与丙竞技甲获胜的概率都是12，设()*3,n P n n ≥∈N 为甲未获得连续3次胜利的概率. ①求3P ，4P ； ②证明：1n n P P +≤.18．在平面内，若直线l 将多边形分为两部分，多边形在l 两侧的顶点到直线l 的距离之和相等，则称l 为多边形的一条“等线”．双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，其离心率为2，且点P 为双曲线E 右支上一动点，直线m 与曲线E 相切于点P ，且与E的渐近线交于A 、B 两点，且点A 在点B 上方．当2PF x ⊥轴时，直线1y =为12PF F V 的等线．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>在其上一点()00,P x y 处的切线方程为00221x x y y a b -=．(1)求双曲线E 的方程；(2)若y =是四边形12AF BF 的等线，求四边形12AF BF 的面积；(3)已知O 为坐标原点，设13OG OP =u u u r u u u r，点G 的轨迹为曲线Γ，证明：Γ在点G 处的切线n 为12AF F △的等线．19．已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均为幂函数.()ln h x kx =，且(2)(3)(3)(2)f g f g >.(1)若()()()u x f x g x =+，证明：102u ⎛⎫-> ⎪⎝⎭；(2)若()()()u x f x h x =-，(2)4f =，当0k >且函数()u x 有两个零点时，求实数k 的取值范围； (3)若()()()u x g x h x =，(2)1f =，()ln e k g =，证明：()u x 在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.。
福建省泉州市四校(泉州实验、安溪一中等)2024-2025学年七年级上学期期中联考数学试题(含答案)
四校联盟2024-2025学年上学期期中考试七年级数学试卷（全卷满分：150分 考试时间：120分钟）注意事项：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上.一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.在答题卡相应的答题区域内作答．1.的相反数是（ ）A.B. C.D.2.餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心.据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为（ ）A.千克 B.千克C.千克D.千克3.在有理数中，负分数有（ ）A.3个B.4个C.5个D.6个4.下列代数式符合书写要求的是（ ）A. B. C. D.3mn5.用四舍五入法，把5.86精确到十分位，取得的近似数是（ ）A.5.87B.5.9C.5.8D.66.已知单项式与的和是单项式，那么的值是（ ）A.9B. C.6D.7.实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D.8.下列说法不正确的是（ ）A.是整式B.单项式的次数为7C.3是单项式D.“a 的2倍与b 的立方的差”表示为9.烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，这类物质前四种化合物的分子结构模型图如图所示，其中黑球代表碳原子（较大的），白球代表氢原子（较小的）.第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中碳、氢原子的总个数是（ ）78-87-877878-95010⨯10510⨯9510⨯110.510⨯33,99,33%,,2024,0,0.01001410----112m3m ⨯2m n÷22mx y -335nx y ()nm -9-6-1b >-0a b +>0ab >||2b >24a b 253xy -32a b-图①图②图③图④…A.36个B.34个C.32个D.30个10.关于x 的多项式：，其中n 为正整数，各项系数各不相同且均不为0.当时，，交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”，给出下列说法：①多项式共有6个不同的“兄弟多项式”；②若多项式，则的所有系数之和为；③若多项式，则；④若多项式，则.则以上说法正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.在答题卡相应的答题区域内作答.11.中国是世界上最早使用负数的国家.负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3℃记作，则零下8℃记作__________℃.12.把多项式按字母x 的降幂排列为__________.13.若，则代数式__________.14.某地居民的生活用水收费标准为：每月用水量不超过，每立方米a 元；超过部分每立方米元.若该地区某家庭10月份用水量为，则应交水费__________元.15.若多项式是关于x 的五次三项式，则m 的值为__________.16.已知，则代数式的最大值是__________.三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在答题卡相应的答题区域内作答.17.（本小题8分）将下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号连接起来：18.（本小题8分）12212210nn n n n n n A a x a x a x a x a x a ----=++++++ 3n =3233210A a x a x a x a =+++3A (12)nn A x =-n A 1±55(21)A x =-420121a a a ++=-20242024(12)A x =-20242023202131132a a a a -++++= 3+℃2323573x y xy x y +--2240a a --=2361a a -+=315m (2)a +320m ||328(2)m xx m x +-+-()()|3||2||1||5|30x x y y ++--++=2x y -1|3|,(4),0,1,1.53-----计算：（1）；（2）.19.（本小题8分）当，时，求代数式的值.20.（本小题8分）已知，c 、d 互为倒数，m 的平方是81.（1）直接写出__________；（2）求代数式的值.21.（本小题8分）某水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃，若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，称重的记录如下表：与标准重量的差值（单位：千克）00.250.30.5箱数124652（1）求这20箱樱桃的总重量；（2）水果店打算以每千克24元销售这批樱桃，若全部售出可获利多少元？22.（本小题10分）已知，有7个完全相同的边长为m 、n 的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中.图1图2（1）请用含m ，n 的代数式表示下面的问题：①大长方形的长：__________；②阴影A 的面积：__________.（2）请说明阴影A 与阴影B 的周长的和与m 的取值无关.23.（本小题10分）综合与实践在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略.【洗衣过程】步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干.重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标.457136824⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭631(10.5)31(2)⎡⎤---÷⨯--⎣⎦1x =-32y =222x xy y -+2|8|(8)0a b ++-=a b +=2||315202511a b m cd m ++-+0.5-0.25-假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg 水.浓度关系式：.其中、分别为单次漂洗前后校服上残留洗衣液浓度；w 为单次漂洗所加清水量（单位：kg ）.【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%.【动手操作】请按要求完成下列任务：（1）如果只经过一次漂洗，只用9.5kg 清水，是否能达到洗衣目标？（2）如果把4kg 清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？（3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法.24.（本小题12分）定义一种对整数n 的“F ”运算：，以表示对整数n 进行k 次“F ”运算.例如，表示对2进行2次“F ”运算，因为2是偶数，所以，第一次运算的结果为，因为第一次运算的结果1是奇数，所以第二次运算的结果为，所以的运算结果是6.请回答下列问题：（1）直接写出的运算结果是__________.（2）若n 为偶数，且的运算结果为8，求n 的值.（3）若n 为奇数，且，，求n 的值.25.（本小题14分）阅读材料：如果数轴上有两点A ，B ，其表示的数分别为a ，b ，那么线段AB 的长度表示为，线段AB 的中点表示的数为.解决问题：如图，已知数轴上A ，B 两点分别位于原点O 两侧，点B 对应的数为18，且.（1）直接写出点A 对应的数是__________.（2）一动点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为t 秒（）.①试探究：P 、Q 两点到原点的距离可能相等吗？若能，请求t 的值；若不能，请说明理由；②若动点Q 从点B 出发后，到达原点O 后保持原来的速度向右运动，当点Q 在线段OB 上运动时，分别0.50.5d d w=+前后d 前d 后1( )()25( )n n F n n n ⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数(,)F n k (2,2)F 1212⨯=156+=(2,2)F (5,1)F (,2)F n (,1)0F n <(,3)0F n >a b -2a b+24AB =0t >取OB 和AQ 的中点E ，F ，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.AB OQEF2024-2025学年上学期七年级期中考试数学试题参考答案及评分标准（全卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.1..C 2.B 3.A 4.D 5.B 6.A7.D8.B9.C10.D二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.11.12.13.1314.15.16.9注：14题没有括号不扣分.三、解答题：本题共9小题，共86分.17.（本小题8分）解：如图所示.5分.8分18．（本小题8分）解：（1）原式2分3分4分（2）原式2分3分4分19.（本小题8分）解：当，时，3分6分8分20.（本小题8分）8-3232537x y x y xy -+-+(2010)a +2-1|3|10 1.5(4)3--<-<<<--457242424368⎛⎫=--⨯+⨯-⨯ ⎪⎝⎭()322021=--+-33=111[1(8)]23=--⨯⨯--312=--52=-1x =-32y =2222332(1)2(1)22x xy y ⎛⎫-+=--⨯-⨯+ ⎪⎝⎭9134=++254=（1）0；2分（2）解：依题意得，4分原式当时，原式6分当时，原式8分综上，原式的值为12或.21.（本小题8分）解：（1）依题意，得（千克）.5分答：这20箱樱桃的总重量是203千克.（2）依题意，得（元）.5分答：全部售出可获利1075元.22.（本小题10分）解：（1）①；2分②；注：不扣分.4分（2）由图得6分8分10分阴影A 与阴影B 的周长的和与m 的取值无关.23.（本小题10分）解：（1）依题意，得 ， 符合题意只经过一次漂洗，能达到洗衣目标.3分（2）第一次漂洗：，5分第二次漂洗：7分1cd =9m =±∴315m =-9m =12=9m =-42=-42-2010(0.5)2(0.25)060.2550.320.5⨯+-+⨯-++⨯+⨯+⨯203=2420320020872⨯-⨯=4m n +103m mn -(103)m n -2(103)A C m n =+-2(410)B C n m =+-2(103)2(410)A B C C m n n m ∴+=+-++-2(220)440n n =+=+∴0.2%d =前9.5w =0.50.2%0.01%0.59.5d ⨯∴==+后∴0.2%d =前12w =10.50.2%0.04%0.52d ⨯∴==+后22w =20.50.04%0.008%0.52d ⨯∴==+后0.008%0.01%<进行两次漂洗，能达到洗衣目标；8分（3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习.10分备注：①能发现不同（比较结果，都能达标，但用水量不同）给1分；②能发现哪种更优（回答内容涉及节水理念，改变用水方式，少次多量，用更少的清水就能达标），给1分.24.（本小题12分）解：（1）103分（2）为偶数 4分若是偶数 则 若是奇数 则 综上，n 的值是32或6.8分（3）为奇数 是偶数 若是偶数 则（与矛盾，舍）若是奇数 则 又为态数 的值是.12分25.（本小题14分）解：（1）2分（2）①P 、Q 两点到原点的距离能相等.理由：依题意得点P 所表示的数为，点Q 所表示的数为，解得或当或时，P 、Q 两点到原点的距离能相等.8分②的值是定值.理由：当时，点Q 所表示的数为.线段OB 的中点E 表示的数为9线段AQ 的中点F 表示的数为∴n 1(,1)2F n n ∴=2n1(,2)84F n n ==32n ∴=2n1(,2)582F n n =+=6n ∴=n (,1)50F n n ∴=+<5n ∴<-5n + 5(,2)2n F n +∴=52n +15(,3)022n F n +=⋅>5n ∴>-5n <-52n +5(,3)502n F n +=+>15n ∴>-155n ∴-<<-n n ∴13,11,9,7----6-32t --183t -|62||183|t t ∴--=-125t =24t =∴125t =24t =AB OQ EF-06t ≤≤183t -∴618312322t t-+--=，是定值.11分当时，点Q 所表示的数为.线段OB 的中点E 表示的数为9线段AQ 的中点F 表示的数为， 是定值.13分综上，当点Q 在线段OB 上运动时，是定值.14分183OQ t ∴=-362t EF +=2AB OQEF-∴=612t <≤318t -∴3242t -318OQ t ∴=-4232t EF -=2AB OQEF-∴=2AB OQEF-=。
江苏省盐城市四校2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题
江苏省盐城市四校2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题一、单选题1．已知集合{1,2,3,4},{2,4,6,8}A B ==，则A B =I （ ） A ．{2,3,4}B ．{2,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,2,3,4,6,8}2．若()()12i i 5z --=，则z =（ ）AB ．CD 3．设θ∈R ，则“sin tan 0θθ<”是“θ为第二象限角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．智能降噪采用的是智能宽频降噪技术，立足于主动降噪原理，当外界噪音的声波曲线为()cos y A x ωϕ=+时，通过降噪系统产生声波曲线()cos y A x ωϕ=-+将噪音中和，达到降噪目的．如图，这是某噪音的声波曲线()()cos 0,0,ππy A x A ωϕωϕ=+>>-<<的一部分，则可以用来智能降噪的声波曲线解析式为（ ）A ．π2cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．π2cos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin )()(sin sin )a A B b a c B C -+=+，则ABC V 面积的最大值为（ ）A ．14B ．12C D6．若πtan 24tan 04αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．45-B ．25-C ．25D ．457．已知数列{}n a 的前n 项和()()*11N 3n n S a n =-∈，若1423log n n b a +=，且数列{}nc 满足n n c b ，若集合{},R n n c λλ>∈中有三个元素，则实数λ的取值范围（ ） A ．15,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．15,28⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．57,88⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．57,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意R x ∈，满足(1)()1,(3)()3f x f x x f x f x x +-≥-+-≤，且(1)0f =，则(52)f =（ ）A ．651B ．676C ．1226D ．1275二、多选题9．已知向量(1,2),(3,4)a b =-=r r，则下列说法正确的是（ ）A ．a br r ∥ B ．()b a a -⊥rr rC ．与a r 同向的单位向量为⎛ ⎝⎭D ．a r 与b r 10．对于函数()y f x =，如果对于其定义域D 中任意给定的实数x ，都有x D -∈，并且()()1f x f x ⋅-=，则称函数()y f x =为“倒函数”.则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x x =“倒函数”B ．若函数()y f x =在R 上为“倒函数”，则(0)1f =C ．若函数()y f x =在R 上为“倒函数”，当210,()2x x f x x-≤=+，则20,()2x x f x x >=+ D ．若函数()y f x =在R 上为“倒函数”，其函数值恒大于0，且在R 上是单调增函数，记()()()1F x f x f x =-，若120x x +>，则()()120F x F x +>. 11．函数()()log 110,1a y x a a =-+>≠的图象恒过定点P ，若点P 在直线()0100,m m x ny n +->>=上，则（ ）A ．18mn ≥B ．22142m n +≥C ．214m n +>D ．1231m n+>+三、填空题12．若命题：“R x ∃∈，210ax x ++<”为假命题，则实数a 的取值范围为.13．已知平行四边形ABCD ，点E 在边CD 上（不与C 、D 两点重合），5AB =，AD =tan 7A =，45AE BE ⋅=u ur u uu u r ，则sin EBC ∠=．14．已知(0,)∀∈+∞x ，不等式1e 1(ln ln )xa a x x ⎛⎫+≥++ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围为．四、解答题15．已知(sin ,(cos ,cos 2)a x b x x ==r r，设()f x a b =⋅r r ．(1)当π3π[,]34x ∈，求函数()f x 的值域.(2)若05π2π[,]123x ∈，且04()25=x f ，求0πsin()12x -的值．16．已知数列{}n a 为等比数列，公比0q >，前n 项和为n S ，数列{}n b 为等差数列，且112a b ==，33a b =，35S b =．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式：(2)若12c =，()21nn n n c c b ++-=，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，求16T ．17．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．()2cos cos b c A a C -=. (1)求A ； (2)若2125a bc =，求sin sin B C +的值. 18．已知函数()31ln 22f x ax x x x=--(1)若1a =，（ⅰ）求函数()y f x =在()()1,1f 上的切线方程； （ⅱ）求函数()f x 的单调区间；(2)若1x ≥时，()2f x ≥-，求a 的取值范围．19．已知12:,,,k Q a a a L 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{}1,2,,n m ∈L ，在Q 中存在()12,,,,0i i i i j a a a a j +++≥L ，使得12i i i i j a a a a n +++++++=L ，则称Q 为m －连续可表数列．(1)判断Q ：1，3，2是否为6－连续可表数列?说明理由； (2)若12:,,,k Q a a a L 为8－连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a L 为20－连续可表数列，且1220k a a a ++⋯+<，求证：7k ≥．。
2023-2024学年天津市四校高一上学期期末联考数学试卷含详解
2023～2024学年度第一学期高一数学期末四校联考高一数学一、选择题（本愿共9小恩，每小题5分，共计45分、每小题有且仅有一项符合题目要求.）1.已知全集{}0,2,4,6,8,10U =，集合{}0,2,4A =，{}0,6,8B =，则()UA B ⋂=ð（）A.{}0 B.{}6,8 C.{}0,6,8 D.{}2,4,6,8 2.“π2π3x k =+，k ∈Z ”是3sin 2x =的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.命题“所有六边形得内角和都是720︒”的否定为（）A.存在一个六边形，它的内角和是720︒B.存在一个六边形，它的内角和不是720︒C.所有不是六边形的多边内角和都不是720︒D.所有六边形的内角和都不是720︒4.近年来，人们对健康环境、生态环境的关注越来越高，因此，低碳环保、城市可持续发展已经成为各方关注的热点话题.某市对居民计费方法如下表：若某户居民本月缴纳的电费为150元，则此户居民本月的用电量为（）生活用电实行分段计电价0~200度用电量0.3元/度201~400度用电量0.6元/度401度以上用电量0.9元/度A.250度B.350度C.450度D.500度5.设0.914a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.84b =，4πlog sin2c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >>B.b a c >>C.a c b>> D.b c a>>6.已知函数()f x 是定义城为R 的奇函数，当0x ≤时，()2322f x x x =++，则32f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）.A.474B.474-C.234D.234-7.若将函数ππ()sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移13个单位，得到函数图象解析式是（）A.πsin 2y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.πsin 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.πcos 2y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.πcos 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭8.若不等式()232911221e e x x a x x --++⎛⎫> ⎪⎝⎭对任意的()1,4x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（）A.(),5∞--B.(],5-∞-C.[)1,-+∞ D.(),1∞--9.音乐是用声音来表达人思想感情的一种艺术，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受.法国的数学家傅里叶说：“任何声乐都是形如‘()sin t A ωϕ+’的各项之和”，其中每一项都代表一种有适当频率和振幅的简单声音.某音乐的数学模型可以用函数()cos sin f x x x =⋅表示，则下列结论中正确的个数是（）①()f x 是周期为π的周期函数②,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数()f x 的一个单调递增区间③若()()1214f x f x =-，12x x ≠，则12x x -的最小值为2π④()f x 的对称中心为,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共计30分.）10.函数311x y a -=-（0a >且1a ≠）无论a 取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为________.11.15πlg 25lg 2sin 24++=______.12.tan 2x =，则3cos sin sin 5cos x xx x-=+________.13.若实数1a >，2b >，且满足250a b +-=，则1112a b +--的最小值为______.14.砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得图形，已知0.1m OA =，0.4m AD =，125AOB ∠=︒，则该扇环形砖雕的面积为________2m .15.已知函数()2ln 1,022,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩若函数()()22m g x f x =-有三个零点，则实数m 的取值范围________.三、解答题（本题共5小题，共75分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤，只有结果的不给分.）16.已知集合{}121A x a x a =+≤≤+，函数()23log 310y x x =--的定义域为B .（1）若集合R B C =ð，求集合C ；（2）在(1)条件下，若3a =，求()R A C ð；（3）在(1)条件下，若“x A ∈”是“x C ∈”充分不必要条件，求实数a 的取值范围.17.已知函数()23sin cos 32f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在2π,123π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值；（3）若π243f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求4πcos 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18.函数()22f x ax bx =++，,a b ∈R（1）若()0f x >的解集是{|1x x <或2}x >，求实数a ，b 的值；（2）当0a =时，若()()42ff x x =-，求实数b 的值；（3）a ∈R ，若()24f =，求()28f x x <-+的解集.19.已知函数()()21,mx f x m n x n+=∈+R 是奇函数，且()()2g x f x =-一个零点为1.（1）求m ，n 的值及()f x 解析式；（2）已知函数()f x 在()0,1单调递减，()t x 在()()1,00,1-U 满足()()t x t x -=，当0x >时，()()t x f x =，若不等式()1412t a t ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()()()()233ln 1ln 1h x f x x x k x =--++-+⎡⎤⎣⎦的一个零点为2，求函数()h x 的其余零点.20.已知()f x ，()g x 分别为定义在上的偶函数和奇函数，且()()2xf xg x +=.（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）利用函数单调性的定义证明()f x 在区间[)0,∞上是增函数；（3）已知()()()2449F x f x mf x =-+，其中m 是大于1的实数，当[]20,log x m ∈时，()0F x ≥，求实数m 的取值范围.2023～2024学年度第一学期高一数学期末四校联考高一数学一、选择题（本愿共9小恩，每小题5分，共计45分、每小题有且仅有一项符合题目要求.）1.已知全集{}0,2,4,6,8,10U =，集合{}0,2,4A =，{}0,6,8B =，则()UA B ⋂=ð（）A.{}0 B.{}6,8 C.{}0,6,8 D.{}2,4,6,8【答案】B【分析】根据集合的交集和补集的运算得到结果即可.【详解】因为{}0,2,4,6,8,10U =，{}0,2,4A =所以{}6,8,10U A =ð，又{}0,6,8B =所以(){}6,8U A B ⋂=ð，故选：B 2.“π2π3x k =+，k ∈Z ”是3sin 2x =的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件与必要条件的定义，结合三角函数的性质求解即可.【详解】若π2π3x k =+，k ∈Z ，则πsin sin 2π32x k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，充分性成立；若sin 2x =，则π2π3x k =+或2π2π3x k =+，k ∈Z ，必要性不成立，所以“π2π3x k =+，k ∈Z ”是3sin 2x =的充分不必要条件.故选：A.3.命题“所有六边形得内角和都是720︒”的否定为（）A.存在一个六边形，它的内角和是720︒B.存在一个六边形，它的内角和不是720︒C.所有不是六边形的多边内角和都不是720︒D.所有六边形的内角和都不是720︒【答案】B【分析】根据全称量词命题的否定的知识：“改量词，否结论”即可确定正确选项.【详解】“所有六边形得内角和都是720︒”的否定为“存在一个六边形，它的内角和不是720︒”.故选：B4.近年来，人们对健康环境、生态环境的关注越来越高，因此，低碳环保、城市可持续发展已经成为各方关注的热点话题.某市对居民计费方法如下表：若某户居民本月缴纳的电费为150元，则此户居民本月的用电量为（）生活用电实行分段计电价0~200度用电量0.3元/度201~400度用电量0.6元/度401度以上用电量0.9元/度A.250度B.350度C.450度D.500度【答案】B【分析】根据题意，得到本月缴纳的电费和居民用电量的函数关系式，结合题意，列出方程，即可求解.【详解】由题意，设某户居民用电量为x 度，本月缴纳的电费为y ，可得0.3,(0,200]600.6(200),(200,400]1800.9(400),(400,)x x y x x x x ∞∈⎧⎪=+⨯-∈⎨⎪+⨯-∈+⎩，当某户居民本月缴纳的电费为150元时，可得600.6(200)150x +⨯-=，解得350x =，即居民本月的用电量为350度.故选：B.5.设0.914a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.84b =，4πlog sin2c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >>B.b a c >>C.a c b >>D.b c a>>【答案】A【分析】利用指数指数函数的性质及特殊角的正弦值计算即可.【详解】易知00.9.9144a -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，由于4x y =单调递增，所以041a b >>=，而πsin12=，所以4log 10c ==，综上c b a <<.故选：A6.已知函数()f x 是定义城为R 的奇函数，当0x ≤时，()2322f x x x =++，则32f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）.A.474B.474-C.234D.234-【答案】D 【分析】由3322f f ⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求解.【详解】因为函数()f x 是定义城为R 的奇函数，233332332222224f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--+-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选：D7.若将函数ππ()sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移13个单位，得到函数图象解析式是（）A.πsin 2y x ⎛⎫=⎪⎝⎭ B.πsin 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.πcos 2y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.πcos 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用图象平移“左加右减”的原则，直接推出平移后的函数解析式即可．【详解】将函数ππ()sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移13个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：1π1ππππ()sin ()sin cos 3233222f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭．故答案为：C ．8.若不等式()232911221e e x x a x x --++⎛⎫> ⎪⎝⎭对任意的()1,4x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（）A.(),5∞--B.(],5-∞-C.[)1,-+∞ D.(),1∞--【答案】A【分析】化成同底数指数幂，然后参变分离，可知a 的取值范围.【详解】因为32219(1)221e()ex x x x a +--+>，所以32219(1)22e e x x x x a +++>，32219(1)22x x x x a ∴+>++，即324(1)x x x a ->+()1,4x ∈ ，241x x a ∴->+当2x =时，24x x -有最小值4-，145a a ∴+<-⇒<-，故选：A9.音乐是用声音来表达人思想感情的一种艺术，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受.法国的数学家傅里叶说：“任何声乐都是形如‘()sin t A ωϕ+’的各项之和”，其中每一项都代表一种有适当频率和振幅的简单声音.某音乐的数学模型可以用函数()cos sin f x x x =⋅表示，则下列结论中正确的个数是（）①()f x 是周期为π的周期函数②,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数()f x 的一个单调递增区间③若()()1214f x f x =-，12x x ≠，则12x x -的最小值为2π④()f x 的对称中心为,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C【分析】根据三角函数性质周期及对称中心判断①④，根据单调区间及值域分别判断②③.【详解】因为()()()()πcos πsin πcos sin f x x x x x f x +=++=-=-,所以周期不是π，①错误；πππ1πππ1cos sin cos -sin -444222444222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯=-=⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，ππ44f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不是的单调递增区间，②错误；()1sin2,sin 021sin2,sin 02x x f x x x ⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩,因为()()121,4f x f x =-设()()121122f x f x ==-，所以111222πππ,Z,π,Z 44x k k x k k ∈∈=+=-+,所以()121212ππ,Z 2x x k k k k ∈-=+--,所以12x x -的最小值为π2，③正确；()πππ22πcos 22πsin 22πcos sin 222f x k x k x k x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+=+⨯++⨯=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,④正确.故选：C.二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共计30分.）10.函数311x y a -=-（0a >且1a ≠）无论a 取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为________.【答案】1(,0)3【分析】根据题意，令310x -=，求得13x =和0y =，即可求解.【详解】由函数311x y a -=-（0a >且1a ≠），令310x -=，解得13x =，则0y =，所以函数恒经过定点1(,0)3.故答案为：1(,0)3.11.15πlg 25lg 2sin 24++=______.【答案】522-【分析】根据对数的运算性质和特殊角的三角函数值可求原式的值.【详解】原式13π32522lg 5lg 2ln e sin 1224222=⨯++-=+-=.故答案为：522-.12.tan 2x =，则3cos sin sin 5cos x xx x-=+________.【答案】17【分析】应用同角三角函数关系结合齐次式求解即可.【详解】因为tan 2x =所以3cos sin 3tan 321sin 5cos tan 5257x x x x x x ---===+++.故答案为：17.13.若实数1a >，2b >，且满足250a b +-=，则1112a b +--的最小值为______.【答案】3+##3【分析】将式子变形，利用常数代换，结合基本不等式即可求得最小值.【详解】因为250a b +-=，所以()()2121a b -+-=，又实数1a >，2b >，所以10,20a b ->->所以()()()211111221221121212a b a b a b a b a b --⎛⎫⎡⎤+=+-+-=+++ ⎪⎣⎦------⎝⎭()21233312a b a b --=++≥+=+--，当且仅当()21212250a b a b a b ⎧--=⎪⎨--⎪+-=⎩，即2221a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩时，等号成立，故答案为：3+14.砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得图形，已知0.1m OA =，0.4m AD =，125AOB ∠=︒，则该扇环形砖雕的面积为________2m .【答案】π12【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，准确计算，即可求解.【详解】因为扇形OAB 的院校为π25π12518036AOB ∠=⨯=，又因为0.1m OA =，0.4m AD =，所以，该扇环形砖雕的面积为()22125ππ0.50.123612S =⨯⨯-=.故答案为：π12.15.已知函数()2ln 1,022,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩若函数()()22m g x f x =-有三个零点，则实数m的取值范围________.【答案】()2,2-【分析】转化为=与22m y =的图象有3个交点，做出=的图象，结合图象可得答案.【详解】若函数()()22m g x f x =-有三个零点，则=与22m y =的图象有3个交点，()2ln 1,022,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，当0x ≤时，ln 10y x =-≥，当0x >时，()2222111y x x x =-+=-+≥，与y 轴的交点为0,2，()f x 的大致图象如下，要使=与22m y =的图象有3个交点，则2122m <<2m <<，或2m -<<.故答案为：()2,2-⋃.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是数形结合.三、解答题（本题共5小题，共75分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤，只有结果的不给分.）16.已知集合{}121A x a x a =+≤≤+，函数()23log 310y x x =--的定义域为B .（1）若集合R B C =ð，求集合C ；（2）在(1)条件下，若3a =，求()R A C ð；（3）在(1)条件下，若“x A ∈”是“x C ∈”充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}25x x -≤≤（2）4{|}2x x -≤<（3）(,2]-∞【分析】（1）由对数函数的性质，求得集合{2B x x =<-或5}x >，结合补集的运算，即可求解；（2）当3a =时，求得R {|4A x x =<ð或7}x >，结合集合交集的运算，即可求解；（3）根据题意，得到A 是C 的真子集，分类讨论，集合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：由函数23log (310)y x x =--的定义域为B ，可得23100x x -->，即(2)(5)0x x +->，解得2x <-或5x >，所以集合{2B x x =<-或5}x >，所以{}R 25B C x x ==-≤≤ð.【小问2详解】解：当3a =时，集合{|47}A x x =≤≤，可得R {|4A x x =<ð或7}x >，因为{|25}C x x =-≤≤，所以()R {|24}A C x x ⋂=-≤<ð.【小问3详解】解：若“x A ∈”是“x C ∈”的充分不必要条件，所以A 是C 的真子集，当121a a +>+时，即0a <时，此时A =∅，满足A 是C 的真子集；当A ≠∅时，则满足21121512a a a a +≥+⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩且不能同时取等号，解得02a ≤≤，综上，实数a 的取值范围为(,2]-∞.17.已知函数()23sin cos 2f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在2π,123π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值；（3）若π243f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求4πcos 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）π，单调减区间为()5π11ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.（2）min ()1f x =-，max ()1f x =（3）23-【分析】（1）化简函数为()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）由(1)得出函数()f x 的单调递增区间，结合π(12f -，5π()12f 和2π(3f 的值，即可求解；（3）根据题意，求得π3sin(2)62α+=，结合4ππ3πcos(2cos[(2)362αα-=+-，即可求解.【小问1详解】解：由函数()()22313sin cos 2sin cos 2cos 1222f x x x x x x x =-+=⨯--1πsin 22sin 223x x x ⎛⎫=-=- ⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，令ππ3π2π22π,Z 232k x k k +≤-≤+∈，可得5π11πππ,Z 1212k x k k +≤≤∈，所以()f x 的单调减区间为()5π11ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】解：由(1)知，函数的单调递增区间为π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，因为π2π,123x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在π5π,1212⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，在5π2π,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且π()112f -=-，5π(112f =，2π(03f =，所以min ()1f x =-，max ()1f x =.【小问3详解】解：由函数()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得ππ2()sin(2463f αα+=+=，因为π4π3π(2(2632αα+--=，所以4ππ3ππ2cos(2)cos[(2]sin(2)36263ααα-=+-=-+=-.18.函数()22f x ax bx =++，,a b ∈R （1）若()0f x >的解集是{|1x x <或2}x >，求实数a ，b 的值；（2）当0a =时，若()()42f f x x =-，求实数b 的值；（3）a ∈R ，若()24f =，求()28f x x <-+的解集.【答案】（1）1a =，3b =-（2）2b =-（3）答案见解析【分析】（1）根据三个二次的关系可求参数的值.（2）先求出()()f f x ，再根据代数式恒相等可求b 的值.（3）原不等式即为2(32)60ax a x +--<，就a 不同情形分类讨论后可得不等式的解.【小问1详解】不等式220ax bx ++>的解集为{|1x x <或2}x >，0a ∴>，且220ax bx ++=的两根为11x =，22x =，3b a∴-=，22a =，1a =，3b =-.【小问2详解】()2()(2)(2)22242f f x f bx b bx b x b x =+=++=++=-，得24222b b ⎧=⎨+=-⎩，2b ∴=-.【小问3详解】(2)4220f a b =+-=，21a b ∴+=，12b a∴=-即2(32)60ax a x +--<，(3)(2)0ax x ∴+-<（1）当0a =时，2x <（2）当0a ≠时，则3(2)0a x x a +-<，①当0a >时，32x a -<<；②当0a <时，若32a -<，即32a <-时，3x a <-或2x >，若32a -=，即32a =-时，2x ≠；若32a ->，即302a -<<时，2x <或3x a >-；综上所述：当32a <-时，不等式的解集为3{|x x a <-或2}x >；当32a =-时，不等式的解集为{|2}x x ≠；当302a -<<时，不等式的解集为{|2x x <或3}x a>-；当0a =时，不等式的解集为{|2}x x <；当0a >时，不等式的解集为3{|2}x x a-<<.19.已知函数()()21,mx f x m n x n+=∈+R 是奇函数，且()()2g x f x =-一个零点为1.（1）求m ，n 的值及()f x 解析式；（2）已知函数()f x 在()0,1单调递减，()t x 在()()1,00,1-U 满足()()t x t x -=，当0x >时，()()t x f x =，若不等式()1412t a t ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()()()()233ln 1ln 1h x f x x x k x =--++-+⎡⎤⎣⎦的一个零点为2，求函数()h x 的其余零点.【答案】（1）1m =，0n =，1()f x x x=+（2）3111[,(,]8448a ∈---- （3）0，4.【分析】（1）根据零点和奇函数的定义，联立方程组，解得,m n 的值，得到()f x 解析式，验证()f x 的奇偶性，即可得解；（2）依题意利用偶函数和单调性可得a 满足的条件，进而可求解a 的取值范围；（3）求出()h x 的解析式，依题意求出k ，进而可得ℎ的其他零点.【小问1详解】因为函数()g x 的一个零点是1，所以()10g =⇒(1)2f =，()f x 是奇函数，所以()12f -=-，所以，()()11211121m f n m f n +⎧==⎪⎪+⎨+⎪-==-⎪-+⎩，解得10m n =⎧⎨=⎩，()211x f x x x x+==+，定义域为()(),00,∞∞-⋃+.()(),00,x ∞∞∀∈-⋃+，都有()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，()f x 是奇函数，满足题意，故1m =，0n =，1()f x x x =+【小问2详解】函数()t x 满足()()t x t x -=，所以()t x 是偶函数且在(0,1)单调递减因为不等式()1412t a t ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭恒成立所以04111412a a ⎧<+<⎪⎨+≤⎪⎩，11102443188a a a ⎧-<<--<<⎪⎪⎨⎪-≤≤-⎪⎩或所以3111[,(,]8448a ∈---- 【小问3详解】()()21ln 1(3)h x k x x ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，因为函数ℎ的一个零点为2，所以210(23)k -=-，解得1k =.所以()()211ln 1(3)h x x x ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，令()0h x =，得2110(3)x -=-或ln(1)0x +=，解得0,2,4x =.所以函数()g x 的其余零点为0，4.20.已知()f x ，()g x 分别为定义在上的偶函数和奇函数，且()()2xf xg x +=.（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）利用函数单调性的定义证明()f x 在区间[)0,∞上是增函数；（3）已知()()()2449F x fx mf x =-+，其中m 是大于1的实数，当[]20,log x m ∈时，()0F x ≥，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()()1222x x f x -=+，()()1222x x g x -=-（2）证明见解析（3）(]1,3【分析】（1）由函数奇偶性，构造方程组即可求解；（2）利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理即得；（3）换元并求出新元的范围，转化为二次函数在闭区间上的最小值求解即可.【小问1详解】()f x ，()g x 分别为定义在上的偶函数和奇函数所以−=，()()g x g x -=-()()2x f x g x +=①，()()()()2x f x g x f x g x --+-=-=②，由①②可知，()()1222x x f x -=+，()()1222x x g x -=-【小问2详解】取120x x ∀>≥，()()()()11221211222222x x x x f x f x ---=+-+2112121212121222222222221212222x x x x x x x x x x x x x x --++--+-+--⎛⎫===- ⎪⎝⎭因为120x x >≥，所以12220x x ->，1221x x +>，121102x x +->，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，得证；【小问3详解】由已知()()()2449F x f x mf x =-+()2222244922x x x x F x m --⎛⎫⎛⎫++=⋅-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2222229x x x x m --=+-⋅++由(2)得()f x 在[]20,log m 上单调递增，1m ∴>，1()1,2m m f x ⎡⎤+⎢⎥∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦设122=2()2,x x t f x m m -⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦，令()2290G t t mt =-+≥0t > ，192m t t ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭，12,t m m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦而函数192y t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，在[]2,3t ∈上递减，在[]3,+t ∞∈递增①当13m m +≤时，35132m +<≤<，192t t ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，显然成立即312m +<≤②当13m m +>时，352m +>，min 193323y ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，3m ∴≤即353 2m+<≤综上所述，实数m的取值范围是(]1,3.。
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D C B
A 初2017级四校联考
数 学 试 题
（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：试题的答案书写在答题卷上，不得在试卷上直接作答．
参考公式：抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为2b x a =-． 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卷中.
1、－7的相反数是（ ）
A 、－7
B 、7
C 、1
7 D 、17
- 2．下列运算中，计算正确的是（ ）
A ．532532a a a =+
B ．422532a a a =+
C ．422632a a a =∙
D ．632532a a a =∙
3. 如图所示的几何体的左视图是（ ）
4.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
5．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好是9.4环，方差分 别是
=0.90，=1.22，=0.43，=1.68，在本次测试中，成绩最稳定的是（ ） A ． 甲 B ． 乙 C ． 丙 D ． 丁
6．如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 边上的高，AB =10㎝，BC =8㎝，则ACD ∠sin =（ ） A ．43 B ．53 C ．54 D ．3
4 7 不等式组的解集是（ ） A. x ≤1 B. x ＞﹣7 C. ﹣7＜x ≤1 D. 无解
8．如图，A 、B 、C 三点在⊙O 上，且∠ABO=50°，则∠ACB
等于（ ）
A ．100°
B ．80°
C ．50°
D ．40° A B
C O
9如图，把矩形ABCD 沿EF 翻转，点B 恰好落在AD 边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，
则矩形ABCD 的面积是（ ）
A ．12
B ．24
C ．123
D ．316
10. 一列货运火车从南安站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行
驶，过了一段时间，火车到达下一个车站停下，装完货以后，火车又
匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是（ ）
A B C D 11.用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第13个“口”字需用棋子颗数为（ ）
A ．52
B ．50
C ．48
D ．46
12．如图，矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA=3，
AB=2．抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 经过点A 和点B ，与x 轴分别交于
点D 、E （点D 在点E 左侧），且OE=1，则下列结论：①a ＞0；②c ＞3；
③2a ﹣b=0；④4a ﹣2b+c=3；⑤连接AE 、BD ，则9=A B D E
S 梯形.其中正确结论的个数为（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个
D ． 4个 二、填空题：(本题共6小题，每小题4分，共24分)
13．乌江画廊，阿依河，摩围山风景区已经成为彭水的旅游名片，中外游客纷纷来彭旅游，
据彭水县旅游局统计，去年来彭旅游的人数231000人．则数据231000用科学记数法表示为 ； .
14．合作交流是学习数学的重要方式之一，我校九年级每个班合作学习小组的个数分别是： 8，7，7，8，9，6，7，6，9，8，7，6这组数据的众数是 ；
15.若两个相似三角形的面积之比为1∶16，则它们的周长之比为__________；
16.分式方程
1223=-+-x
x x 的解为 ； 17. 在不透明的口袋中，有五个分别标有数字2-、1-、1、2、3的
完全相同的小球，从口袋中任取一个小球，将该小球上的数字作为
点C 的横坐标，并将该数字加1作为点C 的纵坐标，则点C 恰好与点A
（2-，2）、B （3，2）能构成直角三角形的概率是 ； 18.如图，反比例函数x k y =（x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别于AB 、BC 交于D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，则k 的值为 。
第1个“口” ……
第2个“口” 第3个“口”
三、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
19．计算：30220148)14.3(45sin 2)2
1(2)
1(+--︒+------π
20．作图题：（不写作法，只画图）； 如图所示，△ABC 在平面直角坐标系中，其中点A,B ,C 的坐
标分别为A （-7，5），B （-4，1 ）C （-4，3 ），
（1）作△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1，其中，点A 、B 、C
的对称点分别为点A 1、B 1、C 1；
（2）直接写出点A 1、B 1、C 1的坐标。
四、解答题（本大题包括4个小题，每个小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
21．先化简求值： 221()(1)211
x x x x x x x x +-÷---+-，其中x 满足230x x --=．
22．2013年5月31日是世界卫生组织发起的第
26个“世界无烟日” ．学校德育处鼓励学生积极
宣传，并设计调查问卷，以更好地宣传吸烟的
危害．九年级一班数学兴趣小组第一组的5名
同学设计了如下调查问卷，随机调查了部分吸
烟人群，并将调查结果绘制成统计图．根据以上信息，
解答下列问题：
（1）本次接受调查的总人数是 人，并把条
形统计图补充完整．
（2）在扇形统计图中，C 选项的人数所占百分比
是 ，E 选项所在扇形的圆心角的度数
是 ．
（3）学校九年级一班数学兴趣小组第一组的5名同学中有两名男同学，学校学生处准备从九年级一班数学兴趣小组第一组的5名同学中选取两名同学参加“世界无烟日”活动的总结会，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率。
23. 重百超市为“开业庆典”举行了优惠酬宾活动. 对A 、B 两种商品实行打折出售. 打折前，购买5件A 商品和1件B 商品需用90元；购买6件A 商品和3件B 商品需用126元. 在开业庆典期间，B 商品打4折销售，某顾客购买40件A 商品和50件B 商品时，他所用的钱数不低于584元.（1）打折前，A 、B 两种商品的价格分别是多少元？
（2）开业庆典期间，A 商品最低打了几折？
24.如图，已知正方形ABCD ，点E 是BC 上一点，点F 是CD 延长
线上一点，连接EF ，若BE =DF ，点P 是EF 的中点．
(1) 求证：AE = AF ；
(2) 若75AEB ∠=︒, 求CPD ∠的度数．
五、解答题：（本大题2个小题，每小题12分，共24分）
解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卷中对应的位置上.
25.如图，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A 、B 两点，点A
的坐标为（-1,0），抛物线的对称轴为直线x=2
3，点M 为 线段AB 上一点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于P ，交过
点A 的直线n x y +-=于点C ．
(1)求直线AC 以及抛物线的解析式；
(2)若PM=2
3，求PC 的长； (3)过P 作PQ ∥x 轴交抛物线于点Q ，过Q 作QN 上x 轴
于N ，若点P 在Q 左侧，矩形PMNQ 的周长记为d ，求d 的最大值．
26.如图26-1所示，一张三角形纸片ABC ，∠ACB =90°，AC =8cm ，BC =6cm ．沿斜边AB 的中线CD 把这张纸片剪成△AC 1D 1和△BC 2D 2两个三角形（如图26-2所示）．将纸片△AC 1D 1沿直线D 2B （AB ）方向平移（点A 、D 1、D 2、B 始终在同一直线上），当点A 与点B 重合时，停止平移．设平移的速度是1cm/秒，平移的时间为x （秒），△AC 1D 1与△BC 2D 2重叠部分面积为y （cm 2）．
(1)求CD 的长和斜边上的高CH ；
(2)在平移过程中(如图26-3)，设C 1D 1与BC 2交于点E ，AC 1与C 2D 2、BC 2分别交于F 、P ． 那么四边形FD 2 D 1E 是否可能是菱形？为什么？如果可能，请求出相应的x 的值；
(3)请写出y 与x 的函数关系式，以及自变量的取值范围；
C 1 C 2 B
D 1 D 2 A 26-2图 26-1图 H
C B
D A 26-3图 P
E F
C 2 B
D 2 A C 1 D 1。