高考数学秒杀干货盘点

高考数学秒杀干货内容盘点高考数学秒杀干货内容盘点板块一：函数板块秒杀干货1：已知函数奇偶性求解参数的值【策略】带一对数值秒解，比如为偶函数，则(1)(1)f f −=即可；甚至如果为奇函数，且0x =可取，则(0)0f =，计算更快。

【例题】若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则=a _____________.【解析】(0)0f =，则2a =秒杀干货2：“奇函数+常数”模型 【策略】()()2f f −+=常数【例题】函数)(1sin )(3R x x x x f ∈++=，若2)(=a f ，则)(a f −的值为（ ） 3.A0.B1.−C2.−D【解析】()()()02f a f a f a −+=⇒−=1【例题】设，已知，求的值____________ 【解析】(7)(7)5(7)272f f f −+=⇒=:秒杀干货3：函数周期性结论()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=−+=+=−+=−+=−−+=−⎧−⎨+=−⎩+=−⎧⎨⎩+=−−⎧−⎨+=−−⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=−−⎧⎨⎩+=−⎧−⎨+=−−⎩+=−⎧⎨⎩+=−−⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数注：记住结论，可以大幅度提高我们解题速度和准度，不用现场推算。

7()5f x ax bx =++(7)17f −=−(7)f秒杀干货4：函数周期性与对称性结论（可简单记录为：“同2异4”）（1）若函数)(x f y =有两条对称轴)(,b a b x a x <==，则函数)(x f 是周期函数，且)(2a b T −=；（2）若函数)(x f y =的图象有两个对称中心))(,(),,(b a c b c a <，则函数)(x f y =是周期函数，且)(2a b T −=；（3）若函数)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心))(0,(b a b <，则函数)(x f y =是周期函数，且)(4a b T −=.秒杀干货1：三点共线定理平面内三点A ，B ，C 共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OC OA OB λμ=+,其中1λμ+=，O 为平面内一点.注：这个地方要记住快速表达形式，若::BD CD λμ=则AD AC AB λμλμλμ=+++（具体过程最好能自己推一推，我上课也讲过） 秒杀干货2：向量与三角形四心用向量有关知识表示三角形的内心、外心、垂心、重心的位置实质是描述三角形的角平分线、垂直平分线、高及中线. （1）内心：三角形的内心在向量AB AC ABAC+所在的直线上.0AB PC BC PC CA PB ++=⇔P 为△ABC 的内心.（2）外心：PA PB PC ==⇔P 为△ABC 的外心.（3）垂心：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅⇔P 为△ABC 的垂心. （4）重心：0PA PB PC ++=⇔P 为△ABC 的重心.【例题】O 为△ABC 所在平面内一定点，动点P 满足()AB AC OP OA ABACλ=++,(0,)λ∈+∞,则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A.外心B.内心C.重心D.垂心 【解析】因为AB AB为AB 方向上的单位向量，AC AC为AC 方向上的单位向量，则AB AC ABAC+的方向为∠BAC 的角平分线AD 的方向，又(0,)λ∈+∞.所以()AB AC ABACλ+的方向与AB AC ABAC+方向相同，而()AB AC ABACλ+=AP ，即AP 与AD 同方向，所以点P的轨迹一定通过△ABC 的内心.故选B.秒杀干货1：公式类直接秒杀（1）已知2n S An Bn =+，则数列的通项为2n a An B A =+−（2）已知2n S An Bn C =++，则数列的通项为,12,2n A B C n a An B A n ++=⎧=⎨+−≥⎩【例题】已知数列的前n 项和为232n S n n =+，则该数列的通项公式61n a n =− 【例题】已知数列的前n 项和为2323n S n n =++，则该数列的通项公式8,161,2n n a n n =⎧=⎨−≥⎩秒杀干货2：你不知道的等差数列重要结论(1)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m a m a n m n m n N *==≠∈,则0m n a +=.【例题】在等差数列{}n a 中，若355,3a a ==，则8a = . 【解析】0【例题】在等差数列{}n a 中，若61111,6a a ==，则17a = . 【解析】0(2)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m S m S n m n m n N *==≠∈,则()m n S m n +=−+.【例题】等差数列{}n a 中,若81010,8S S ==,则18S = . 【解析】-18【例题】等差数列{}n a 中,若72222,7S S ==,则29S = . 【解析】-29(3)等差数列{}n a 中,若(,,)n m S S m n m n N *=≠∈,则0m n S +=.【例题】等差数列{}n a 中,若916S S =,则25S = . 【解析】0【例题】等差数列{}n a 中,若711S S =,则18S = . 【解析】0(4)若{}n a 与{b }n 为等差数列,且前n 项和为n S 与n T ,则2121n n n n a S b T −−=. 【例题】已知数列{}n a 和{}n b 都是等差数列,其前n 项和依次为,n n S T ，且123n n S n T n +=−，求99a b 的值. 【解析】92*911792*91171831a S Sb T T −−=== 秒杀干货3：已知等差数列某等式，求前n 项和 【策略】等差数列常数化.【例题】在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列的前11项和11S 等于（ ） A 、58 B 、88 C 、143 D 、176【解析】条件中2个数之和为16，看作常数处理。

每个数为8，所以11S 就是11个8相加，为88.【例题】在等差数列{}n a 中，24)(3)(2119741=++++a a a a a ，则该数列的前13项和13S 等于（ ）A 、13B 、26C 、52D 、156【解析】条件中12个数之和为24，看作常数处理。

每个数为2，所以13S 就是13个2相加，为26.秒杀干货4：利用数列和性质秒杀难点 利用等差数列中232,,,k k k k k S S S S S −−成等差数列；等比数列中232,,,k k k k k S S S S S −−（当1−=q 时m 不为偶数成等比数列求解）【例题】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22=S ,104=S ,则6S 等于（ ） A 、12 B 、18 C 、24 D 、42【解析】62,102,10S −−也是等差数列，则62(102)102S −=−+，所以624S =【例题】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若336=S S ，则=69S S （ ） A 、2B 、37C 、38D 、3【解析】取633,1S S ==，36396,,S S S S S −−也是等比数列，则()()263396S S S S S −=−，所以97S =，所以9673S S =秒杀干货5：差比数列求和秒杀法 若数列的通项为()1n n a an b q −=+⋅，则该数列的前n 项和为()nn S An B q B =+⋅−其中,11a b A A B q q −==−−板块四：立体几何秒杀干货1：常见几何体的内接球、外接球半径 （一）柱体类（1）长方体的外接球：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=（2）正方体的外接球：正方体的棱长为a ，则正方体的体对角线为a 3，其外接球的半径R .（3）其它直棱柱的外接球（如：三棱柱）方法：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.快速计算公式：22222sin h a R A ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭秒杀干货2：非常规几何体的外接球、内切球半径计算非常规空间几何体的外接球我们重点：寻找球心，构造直角三角形。

因为非常规，无固定做题套路。

在题中出现了两个及以上的垂直模型时，常常将该几何体放入到长方体当中研究，方便处理。

板块五：圆锥曲线秒杀干货1：椭圆中焦点三角形的周长（1）已知1F ，2F 分别为椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，P 是椭圆上的动点，则12PF F △的周长恒为定值22a c +．（2）已知1F ，2F 分别为椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，l 过焦点1F 且与椭圆交于A B ，两点，则2F AB △的周长恒为定值4a ．秒杀干货2：圆锥曲线中焦点三角形的面积（1）已知1F ，2F 为椭圆22221x y a b +=的两个焦点，M 是椭圆上的动点，则12MF F △的面积为()212tan2M S c y b F MF θθ===∠．（2）已知1F ，2F 为双曲线22221x y a b−=的两个焦点，M 是双曲线上的动点，则12MF F △的面积为()212tan2M b S c y F MF θθ===∠．秒杀干货3：圆锥曲线的切线方程（1）若点00(,)P x y 是椭圆22221x y a b+=上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：00221x x y ya b+=. （2）若点00(,)P x y 是双曲线22221x y a b−=上任一点，则双曲线过该点的切线方程为：00221x x y ya b−=. （3）若点00(,)P x y 是抛物线22y px =上任一点，则抛物线过该点的切线方程是00()y y p x x =+秒杀干货4：圆锥曲线离心率取值范围问题秒杀方法1（1）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其左右焦点分别为12,F F ，若在该椭圆上存在一点P ，使12PF PF λ=，则该椭圆的离心率取值范围为：1,11λλ⎡−⎫⎪⎢+⎣⎭； （2）已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b−=>，其左右焦点分别问12,F F ，若在该双曲线上存在一点P ，使12PF PF λ=，则该双曲线的离心率取值范围为：11,1λλ⎛+⎤⎥−⎝⎦【例题】点P 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上任意一点，12,F F 是其左右焦点，且122PF PF =，求该椭圆离心率范围.【解析】211,1,1213e −⎡⎫⎡⎫∈=⎪⎪⎢⎢+⎣⎭⎣⎭秒杀干货5：圆锥曲线离心率取值范围问题秒杀方法21F ，2F 为椭圆22221x y a b+=的左右焦点，P 是椭圆上的动点，若12F PF θ=∠，则椭圆离心率e 的取值范围为sin 12e θ≤＜．【例题】1F ，2F 为椭圆()222210x y a b a b +=＞＞的左右焦点，如果椭圆上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则离心率e 的取值范围为__________．【解析】2sin ,122e π⎡⎫⎫⎪⎢∈=⎪⎪⎢⎪⎣⎭⎪⎢⎣⎭秒杀干货6：圆锥曲线中的焦半径问题-利用焦半径秒杀高考数学难题（1）椭圆类：如图所示，F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞的左焦点，AB 是过焦点的弦且直线AB 的倾斜角为θ，点A 在x 轴上方，则2cos bAF a c θ=−．注：①由于x 的正半轴到AF 的角为θ，则x 的正半轴到BF 的角为θπ+，故只需将AF 中的θ换成θπ+就可以直接得到2cos b BF a c θ=+，还可以得到一些重要的表达式，如22222cos ab AB AF BF a c θ=+=−，cos cos AF a c BF a c θθ+=−等． ②如果F 是椭圆的右焦点，其他的已知条件不变，则2cos b AF a c θ=+．③对于焦点在y 轴的位置，读者可以按照上述方法自行推导．【例题】已知椭圆2222:1x y C a b +=，过右焦点F 且斜率为()0k k ＞的直线与C相交于A B ，两点．若3AF FB =，则k =（ ） A ．1BCD ．2【解析】B（2）双曲线类：如图所示，F 为双曲线2222:1x y C a b −=的右焦点，AB 是过焦点的弦且直线AB 的倾斜角为θ，点A 在x 轴上方，则2cos b AF a c θ=−．注：①由于x 的正半轴到AF 的角为θ，则x 的正半轴到BF 的角为θπ+，故只需将AF 中的θ换成θπ+就可以直接得到2cos b BF a c θ=+，还可以得到一些重要的表达式，如22222cos ab AB AF BF a c θ=+=−，cos cos AF a c BF a c θθ+=−等． ②如果F 是双曲线的左焦点，其他条件不变，则2cos b AF a c θ=+．③对于焦点在其他位置的情形，读者可以按照上述方法自行推导．设圆锥曲线C 的焦点F 在x 轴上，过点F 且斜率为k 的直线l 交曲线C 于A B ，两点，若()0AF FB λλ=＞，则e = （3）抛物线类：如图所示，F 为抛物线()2:20C y px p =＞的焦点，AB 是过焦点的弦且直线AB 的倾斜角为θ，则1cos pAF θ=−．注：由于x 的正半轴到AF 的角为θ，则x 的正半轴到BF 的角为θπ+，故只需将AF 中的θ换成θπ+就可以直接得到1cos pBF θ=+，还可以得到一些重要的表达式如22221cos sin p pAB AF BF θθ=+==−，1cos 1cos AF BF θθ+=−等．对于焦点在其他位置的情形，读者可以按照上述方法自行推导．【例题】过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若111AF BF−=，则直线l 的倾斜角02πθθ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜≤等于（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【解析】B秒杀干货7：抛物线中的面积公式过焦点的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若直线的倾斜角为α，则三角形AOB 的面积为22sin AOBp S α=秒杀干货8：过圆锥曲线焦点F 的直线与圆锥曲线相交于,A B 两点，则有114AF BF L+=（L 指对应圆锥曲线的通径：椭圆、双曲线的通径为22b a，抛物线的通径为2p ）秒杀干货9：圆锥曲线大题第二问基本套路切记按照下面套路执行，会有的分步骤的，一定严格执行，不然多半不会对的。