导电媒质中的波阻抗

考虑到 k ，得
vp k
1
1
0 0
1
r r
c c
r r
在理想介质中，均匀平面波的相速与媒质特性有关。
考虑到一切媒质相对介电常数 r 1，又通常相对磁导率 r 1， 因此，理想介质中均匀平面波的相速通常小于真空中的光速。
注意，电磁波的相速有时可以超过光速。因此，相速不一定代表 能量传播速度。
3 z 2
可见，电磁波向正 z 方向传播。
上式中 t 称为时间相位。kz 称
为空间相位。空间相位相等的点组成 的曲面称为波面。
由上式可见， z = 常数的平面为 波面。因此，这种电磁波称为平面波。
因 Ex(z) 与 x, y 无关，在 z = 常 数的波面上，各点场强振幅相等。因 此，这种平面波又称为均匀平面波。
由上述关系可得 在真空中，
vp f (m) f (MHz) 300
平面波的频率是由波源决定的，但是平面波的相速与媒质特性有关。 因此，平面波的波长与媒质特性有关。
由上述关系还可求得
式中
vp
1
0
f f 00 rr rr
0 f
1
00
0 是频率为 f 的平面波在真空中传播时的波长。
由上式可见， 0 ，即平面波在媒质的波长小于真空中波长。这 种现象称为波长缩短效应，或简称为缩波效应。
第八章 平面电磁波
主要内容 理想介质中的平面波，平面波极化特性，平面边界 上的正投射，任意方向传播的平面波的表示，平面边界 上的斜投射，各向异性媒质中的平面波。
1. 波动方程 在无限大的各向同性的均匀线性媒质中，时变电磁场的方程为
2
E
(r
,
t
)
2 E (r , t ) t 2
J (r,t) t
1
由上式又可得
k 2π
因空间相位变化 2 相当于一个全波，k 的大小又可衡量单位长度 内具有的全波数目，所以 k 又称为波数。
根据相位不变点的轨迹变化可以计算电磁波的相位变化速度，这
种相位速度以 vp 表示。令 t kz 常数，得 dt kdz 0，则相位速
度 vp 为
vp
dz dt
k
相位速度又简称为相速。
2 2
H H
x y
(r (r
) )
k k
2H 2H
x y
(r) (r)
0 0
2H z (r) k 2H z (r) 0
这些方程称为齐次标量亥姆霍兹方程。
由于各个分量方程结构相同，它们的解具有同一形式。
在直角坐标系中，若时变电磁场的场量仅与一个坐标变量有关， 则该时变电磁场的场量不可能具有该坐标分量。
2Ez z 2
2Ez z 2
0
2Hz
2Hz x 2
2Hz y 2
2Hz z 2
2Hz z 2
0
Ez H z 0 z z
代入标量亥姆霍兹方程，即知 z 坐标分量 Ez H。z 0
2. 理想介质中的平面波
已知正弦电磁场在无外源的理想介质中应满足下列齐次矢量亥 姆霍兹方程
2 E(r) k 2 E(r) 0 2 H (r) k 2 H (r) 0
ez
E x z
得
H
e
y
j
E x z
eyHy
Hy
j
E x z
已知电场强度分量 Ex 满足齐次标量亥姆霍兹方程，考虑到
E x x
E x y
0
得
d2Ex dz 2
k 2Ex
0
这是一个二阶常微分方程，其通解为
Ex Ex0e jkz Ex0e jkz
上式第一项代表向正 z 轴方Biblioteka Baidu传播的波，第二项反之。
由关系式
Hy
j可得E x
z
式中
Hy
Ex0e jkz
H y0e jkz
H y0
Ex0
可见，在理想介质中，均匀平面波的电场与磁场相位相同，且两者 空间相位均与变量 z 有关，但振幅不会改变。
首先仅考虑向正 z 轴方向传播的波，即 Ex (z) Ex0e jkz
式中Ex0 为 z = 0 处电场强度的有效值。
Ex(z) 对应的瞬时值为
Ez(z, t)
O
2
t1 = 0
t2
T 4
t3
T 2
Ex (z,t) 2Ex0 sin( t kz)
电场强度随着时间 t 及空间 z 的 变化波形如图示。
时间相位变化 2 所经历的时间称为电磁波的周期，以 T 表示，而
一秒内相位变化 2 的次数称为频率，以 f 表示。那么由 T 2π的关系
式，得
T 2π 1
f
空间相位 kz 变化 2 所经过的距离称为波长，以 表示。那么由关
系式 k 2π，得
2π
k
由上可见，电磁波的频率是描述相位随时间的变化特性，而波长描述相 位随空间的变化特性。
例如，若场量仅与 z 变量有关，则可证明 Ez H z 0，因为若场
量与变量 x 及 y 无关，则
E
Ex x
E y y
Ez z
Ez z
H
H x x
H y y
H z z
H z z
因在给定的区域中， E 0, ， H由上0 两式得
考虑到
2Ez
2Ez x 2
2Ez y 2
(r , t )
2H (r,t)
2H (r,t) t 2
J (r, t)
上式称为非齐次波动方程。
式中
J (r,t) J (r,t) E(r,t),
其中J (r,是t)外源。电荷体密度 (r, t)与传导电流 (E ) 的关系为 (E)
t
若所讨论的区域中没有外源，即 J ' = 0 ，且媒质为理想介质，
即 = 0，此时传导电流为零，自然也不存在体分布的时变电荷，即
= 0，则上述波动方程变为
2
E
(r
,
t
)
2 E (r , t ) t 2
0
2 H
(r,t)
2H (r,t) t 2
0
此式称为齐次波动方程。
对于研究平面波的传播特性，仅需求解齐次波动方程。
若所讨论的时变场为正弦电磁场，则上式变为
若电场强度E 仅与坐标变量 z 有关，与 x , y 无关，则电场强度不可 能存在 z 分量。
令电场强度方向为 x方向，即 E ex Ex，则磁场强度 H 为
H
j
E
j
(ex Ex )
j
[(Ex ) e x
Ex ex
]
j
(E x
)ex
因
E x
ex
E x x
ey
E x y
ez
E x z
2 E(r) k 2 E(r) 0
2
H
(r
)
k
2
H
(r
)
0
此式称为齐次矢量亥姆霍兹方程，式中 k
在直角坐标系中，可以证明，电场强度 E 及磁场强度 H 的各个分 量分别满足下列方程：
2 2
Ex Ey
(r) (r)
k k
2Ex 2Ey
(r) (r)
0 0
2Ez (r) k 2Ez (r) 0