第二讲 整数与数列(下)学而思
学而思八年级数学下1-14讲
第一讲不等式基本性质第二讲不等式应用题第三讲不等式与一次函数应用第四讲不等式专题第五讲分解因式专题第六讲因式分解专题1第七讲因式分解(完全平方) 第八讲因式分解(十字相乘法) 第九讲分式的基本性质第十讲分式的运算第十一讲分式(计算)专题第十二讲分式方程应用题第十三讲期中考试计算专题第十四讲期中考试应用专题第一讲 不等式基本性质【知识要点:】1．不等式基本性质：①．不等式两边都_________同一个整式，不等号的方向__________。
若a ＞b, 则 a+c______b+c ；若a ＞b, 则 a-c______b-c 。
②．不等式两边都_________同一个正数，不等号的方向__________。
若a ＞b 且c ＞0,则ac________bc ； 若a ＞b 且c ＞0,则____________。
③．不等式两边都____________同一个负数，不等号方向____________。
若a ＞b 且c ＜0则ac_________bc ； 若a ＞b 且c ＜0，则___________。
2. 不等式常用结论性质：①．不等式的互逆性: 若a ＞b, 则b ＜a ；②．不等式的传递性: 若a ＞b, b ＞c ，则a ＞c ；③．不等式的同号合并性: 若 ,a b c d >>，则a c b d +>+；若,a b c d <<，则a c b d +<+。
3.不等式解集的表示方法与取值（若已知a<b ）。
（1）⎩⎨⎧〉〉b x ax 的解集为x ＞b 同大取大（2）⎩⎨⎧〈〈b x ax 的解集为x ＜a 同小取小（3）⎩⎨⎧〈〉b x ax 的解集为a ＜x ＜b 大小小大取中间（4）⎩⎨⎧〉〈b x a x 无解。
大大小小解不见【经典例题：】例1.用不等号填空题：（1）.若a b >，则12a - 12b -，21a + 21b +；（2）.若0,0,0x y z <><，则()x y z - 0；（3）.若a b >，则43a -+ 43b -+； （4）.若362x ->，则x －4；（5）.若,0a b c >>，则ac c + bc c +。
学而思教材目录
一年级寒假班第一讲突破加减竖式第二讲巧填算符初步第三讲剪拼图形第四讲图文代换第五讲巧移物体第六讲左右脑开发3（逻辑推理）第七讲期末测评二年级寒假班第一讲认识倍第二讲带余除法初步第三讲有趣的自然数串第四讲分割图像第五讲枚举法的妙用第六讲鸡兔同笼初步第七讲期末测评三年级寒假班第一讲角度初识第二讲速算与巧算之四则运算第三讲字母表示数第四讲和差倍第五讲倒退与图示第六讲方阵三年级春季班第一讲巧填算符第二讲小数的认识第三讲平行四边形与梯形第四讲年龄问题第五讲带余除法初步第六讲简单统计第七讲图形计数初步第八讲组合中的点线关系第九讲等差数列初步第十讲页码问题第十一讲标数法第十二讲简易方程第十三讲简易方程应用第十四讲路程速度与时间第十五讲期末测评四年级暑假班第一讲简单抽屉原理第二讲奇数和偶数第三讲二次相遇问题第四讲应用题：假设法和还原法（鸡兔同笼，还原问题，方阵综合应用）第五讲应用题：图示法和对应法（年龄，盈亏，平均数综合）第六讲图形计数进阶第八讲四边形中的基本图形第九讲体育比赛中的数学第十讲期末测评四年级秋季班第一讲定义新运算第二讲体育比赛中的数学问题第三讲图形计数进阶第四讲多位数计算第五讲等积变型第六讲一半模型第七讲最值问题初步第八讲数阵图初步—从幻方谈起第九讲平均数进阶第十讲破译乘除法竖式第十一讲方程和方程组第十二讲方程组解应用题第十三讲环形跑道第十四讲火车过桥第十五讲期末测评四年级寒假班第一讲小数巧算第二讲格点与割补第三讲数表从日历谈起第四讲第五种运算（乘方的认识，运算性质，平方差认识）第五讲质数合数初步第六讲包含与排除第七讲期末测评四年级春季班第一讲等积变形第二讲整数与数列第三讲统筹和最优化第四讲加乘原理进阶第五讲最值问题进阶第六讲抽屉原理初步第七讲流水行船第八讲方程与方程组第九讲一半模型第十讲相遇与追及综合第十一讲平移、选择和对称第十二讲破译横式（奇偶分析，枚举试算）第十三讲进位制初步第十四讲数阵图进阶第十五讲期末测评五年级暑假班第一讲分数乘除第二讲分数加减第三讲棋盘中的数学第四讲枚举法进阶第五讲排列组合初步第六讲质数合数进阶（因数个数、因数个数的正反应用）第七讲列方程组解应用题第八讲牛吃草第九讲数阵图综合第十讲比和比例第十一讲比例模型第十二讲分组和配对（高斯求和，分组和配对思想）第十三讲容斥原理第十四讲必胜策略第十五讲期末测评五年级秋假班第一讲因数和倍数初步第二讲循环小数第三讲鸟头模型第四讲分数应用题第五讲电梯和发车第六讲神奇的9第七讲蝴蝶模型第八讲排列组合进阶第九讲工程问题初步第十讲几何计数进阶第十一讲数字谜中的最值第十二讲燕尾模型第十三讲定义新运算进阶第十四讲方程法解行程第十五讲期末测评五年级寒假班第一讲长方体正方体第二讲数表—从杨辉三角谈起第三讲比例应用题第四讲时钟问题第五讲圆与扇形初步第六讲因数倍数进阶第七讲期末测评五年级春季班第一讲勾股定理第二讲分数四则混合运算第三讲带余除法进阶第四讲同余第五讲不定方程第六讲浓度问题第七讲圆与扇形进阶（弓，镰刀，谷子形，环形）第八讲完全平方数第九讲比较和估算第十讲比例法解行程第十一讲位值原理第十二讲立体图形和空间想象第十三讲概率初识第十四讲从反面情况考虑（几何，数论，计数中的反面情况考虑）第十五讲期末测评六年级暑假班第一讲分数列项第二讲归纳和递推（找规律计数，斐波那契数列，汉诺塔）第三讲切片与染色第四讲韩信点兵第五讲应用题综合选讲（和差、年龄、盈亏、鸡兔、牛吃草）第六讲整数列项与通项归纳第七讲弦图第八讲逻辑推理综合第九讲数论中的组合（最值与计数）第十讲特殊图形（正六边形正十二边形的特征与性质）第十一讲从整体考虑（由换元发引出整体打包思想）第十二讲多次相遇和追及第十三讲应用题综合（分百、比例）第十四讲最值问题综合（最值定理、构造中的最值）第十五讲期末测评六年级秋假班第一讲数形结合（平方和公式、立方和公式、代数公式的几何表示）第二讲圆柱和圆锥第三讲复合图形分拆（模型复习、添加辅助线技巧）第四讲经济问题第五讲数论中的规律第六讲旋转与轨迹（圆柱和圆锥的旋转，圆中的滚动扫过面积）第七讲算两次（方程思想；综合其他模块，行程和计数）第八讲从极端考虑（几何、数论、行程中的极端思想）第九讲数字谜中的计数第十讲工程问题进阶第十一讲变速问题第十二讲进位制进阶第十三讲应用题综合三（复习经济、工程、浓度，方程思想）第十四讲抽屉原理进阶第十五讲期末测评六年级寒假班第一讲计算问题综合选讲（一）第二讲图形问题综合选讲（一）第三讲整数问题综合选讲（一）第四讲组合问题综合选讲第五讲应用题问题综合选讲第六讲行程问题综合选讲第七讲期末测评六年级春季班第一讲计算问题综合选讲（二）第二讲图形问题综合选讲（二）第三讲整数问题综合选讲（二）第四讲计算问题综合选讲（三）第五讲图形问题综合选讲（三）第六讲整数问题综合选讲（三）第七讲计数数问题综合选讲第八讲小升初代数衔接第九讲小升初几何衔接第十讲小升初分班模拟考。
学而思各年级数学大纲
1.通过动手操作学习倒油取水问题，进行条件判断分析； 2.通过动手测量，判断物品的真假，培养学生的逻辑推理能力。 探索多种类型数学游戏中的乐趣，感受数学之美，拓展思维。 阶段学校效果检测，帮助学生查漏补缺，有利于后期学习方法的改进。 主要内容 学会通过观察数字和得数，利用倒推思想适当添加运算符号使算式成立，并通过“24点”益 智游戏提高学习兴趣，培养学生数感。 理解小数的意义，学会读写小数并会比较小数大小；会解决生活中简单小数问题。 面积认知进阶，通过观察掌握平行四边形及梯形特征；引导学生通过转化思想推导出平行四 边形及梯形面积公式；学会利用面积公式解决实际几何问题。 利用差不变思想解决常见年龄问题。 复习余数，倍数概念。掌握带余数除法的计算及各数之间关系。 学会读懂简单的条形统计图和折线统计图，并会分析统计图提出合理性建议；学会分析表格 中通的过数找据规，律结与合递逻推辑思推想理解、决列经方典程种等树方问法题解中决的一经些典应排用列性方问式题问。题及多线交点个数、分平面个 数方法。 掌握等差数列的概念及识别方法；熟练掌握等差数列的通项公式、项数公式、求和公式、中 项定理、连续奇数和公式等重要结论并会运用；学会利用等差数列解决应用题。 学习和解决各种以数字与数值为内容的文字数字谜问题，包括数字组成的多位数，数字在运 算下的变化，数的分解、分拆与排列。
★★★
★★★
计算
几何
应用
应用 应用
逻辑 应用
巧算加减法
几何计数问题进阶
有趣的周期问题
和差问题 移多补少应用题
推理综合 重叠问题
几何
计算 应用 方法
巧求周长
数阵图 猜猜他几岁 逆向思考
学而思初一数学秋季班第2讲.有理数综合运算.尖子班.教师版
学而思初一数学秋季班第2讲.有理数综合运算.尖子班.教师版1初一秋季·第2讲·尖子班·教师版如何计算？实数7级实数初步实数6级绝对值实数5级有理数综合运算满分晋级阶梯漫画释义2有理数综合运算2初一秋季·第2讲·尖子班·教师版知识点切片（4个） 7+2+1+1知识点目标有理数综合运算（7）1、有理数加减法则；2、有理数加法的运算律；3、有理数减法法则；4、有理数乘法法则；5、有理数除法法则；6、有理数乘方；7、有理数混合运算的运算顺序裂项技巧（2）1、分数裂项；2、整数裂项连锁约分（1） 1、连锁约分，简便运算整体思想（1）1、整体思想，化繁为简题型切片（6个）对应题目题型目标乘法分配律的应用例1、练习1 连续自然数的加减交替例2、练习1 有理数综合运算例3、练习2裂项例4、例5、练习3、练习4 连锁约分例6、练习5 整体思想例7、练习6有理数综合运算1．有理数加法法则：① 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．② 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③ 一个数同0相加，仍得这个数．2．有理数加法的运算律：①两个加数相加，交换加数的位置，和不变．a b b a +=+（加法交换律）②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． ()()a b c a b c ++=++（加法结合律）.3．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，()a b a b -=+-.4. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 任何数同0相乘，都得0.5. 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.1a b a b÷=?，(0b ≠)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0. 6. 有理数乘方知识导航知识、题型切片3初一秋季·第2讲·尖子班·教师版概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数.含义：n a 中，a 为底数，n 为指数，它表示a 的个数，n a 表示有n 个a 连续相乘. 特别注意:负数及分数的乘方，应把底数加上括号.7. 有理数混合运算的运算顺序：① 先乘方，再乘除，最后加减；② 同级运算，从左到右进行；③ 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算.同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，先算三级运算，然后二级，最后一级；如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.④ 在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.【例1】计算：⑴735(1)(36)1246??-+---?-⑵11171110()71110++⑶111(0.25)(5)( 3.5)()2244-?-+?-+-?⑷371(8)32-?-⑸112571113623461236-÷+---+ ? ?????【解析】⑴原式=()735(36)(36)36(1)(36)21273036121246-?-+?-+-?---?-=-+-=- ? ?????.⑵原式11107107111107077257=?+?+?=++=.⑶原式111111()(5)()( 3.5)()2()(5 3.52)0424442=-?---?-+-?=-?-++=.⑷原式33337187188568568323244?=+?=?+?=+= .⑸设112571113623461236a b =-=+---+，，题目中要求a b ，可以先求ba ，则原式=()125711136=182********=7723461236??+---+?---+++- ，∴原式=177.【例2】连续自然数加减交替问题乘法分配律的应用4初一秋季·第2讲·尖子班·教师版⑴填空：12344950-+-++-=L L ；123499100101-+-++-+=L L ；⑵计算：()112341n n +-+-++-?L L .【解析】⑴25-，51；⑵2n -（n 为偶数）或12n+（n 为奇数）.针对例2的拓展：⑴1234567891011122009201020112012--++--++--+++--+L ；⑵1234567891011122009201020112012+--++--++--+++--L . 【解析】⑴原式()()()()12345678910111220092010201120120=--++--++--+++--+=L .⑵原式()()()()12345678910111213200620072008200920102011201 2=+--++--++--+++--++--L 1201020112012=+-- 2012=-..【例3】计算：⑴()216123113284 2.5242523412??-÷-?+++--? ???⑵()22213111112190.75242222÷÷-+÷--?--?? ? ?????????⑶()()3220132231313 1.20.33??--?-÷--?÷⑷()()231814511722851755??-?-+-?----?-?? ? ?????????⑸()2323510.3534124111159650.52-÷-÷-?-? ? ? ÷【解析】⑴解：原式16132 6.25121618222532?=--?-+++-- ? ??11 6.251250=++-1.02 6.2512=+- 4.73=-.有理数综合运算5初一秋季·第2讲·尖子班·教师版⑵解：原式341119199232244216=??-+÷-?- ? ????? 11199122216??=-+?-?- 1991816=---69121616=----15316=-.⑶解：原式()32213 1.2 1.23130.30.30.3=?÷-- 14803=--14803=-.⑷解：原式()()11716525285525??=-?-+----?-16112517165=-++-1241 3.2=-++ 119.8=-.⑸解：原式()322855255159650.52-=?÷?-? ???????????÷2281093=÷-? ? ????? 0=.1.分数裂项技巧：⑴()11111n n n n =-++；⑵()1111n n k k n n k ??=- ?++??；⑶()()()()()1111122112n n n n n n n ??=-??+++++；⑷()()()()()1111222n n k n k k n n k n k n k ??=-??+++++.2.整数裂项技巧：⑴()()()()()()()()111121121133n n n n n n n n n n n n +=++--=++--+；⑵思路导航6初一秋季·第2讲·尖子班·教师版()()()()()()()()()()()()1112123112311244n n n n n n n n n n n n n n n n ++=+++--=+++--++.3.连锁约分多个分数相乘通过约掉分子分母中的相同因数简便运算.【例4】计算：⑴11111161111161621212626313136+++++；⑵2310011(12)(12)(123)(1299)(12100)----++++++++++L L L . 【解析】⑴原式1111111111111561111161621212626313136??=-+-+-+-+-+-1115636??=- 136=. ⑵注意到每一项分母两个因子的差恰好等于分子，因此考虑拆项；经过尝试，发现有：2111(12)12=-?++，311(12)(123)12123=-++++++…，所以原式111111212123=----- ? ?++++11129912100??-- ?++++++??L L L112100=+++L 15050=.针对例4的铺垫：计算：⑴1111223344599100+++++L ⑵111113355720112013++++L 【解析】⑴原式111111112233499100=-+-+-++-L11100=- 99100=.⑵原式11111111123355720112013??=?-+-+-++-L11122013??=?- 分数裂项运算7初一秋季·第2讲·尖子班·教师版1201222013=?10062013=. 针对例4的拓展计算：⑴111111315131517293133+++L ；⑵1111111111234567892612203042567290++++++++；⑶11120101111201022009201012011120092200820091??+ ++-+++ L L . 【解析】⑴原式111111120411131315131515172931313313299=-+-++-= ?L . ⑵原式1111111111234567892612203042567290=+++++++++++++++++ ? ? ? ? ? ? ? ? ????()1111111111+2+3+4+5+6+7+8+92612203042567290??=+++ ++++++1111111451223349101945(1)=451010=+-+-+-++-=+-L⑶原式11111201011111111120112010220092010201120102009220082009=++++++-?++++++ ? L L 1111111111111201120102200920102009220082009??=++++++-++++++ ? ?????????L L 1220112010=12021055=.【例5】计算：⑴12233499100?+?+?++?L ；⑵1335579799?+?+?++?L ；⑶123234484950??+??++??L .【解析】⑴原式()()()11232341345299100101983=??+??-+??-++??-L ()11231232342343459899100991001013=??-??+??-??+??--??+??L 333300=.⑵原式()()()()11351357157939799101956=??++??-+??-++??-L ()1313513535735757995979997991016=+??-??+??-??+??--??+??L 整数裂项运算8初一秋季·第2讲·尖子班·教师版161651=.⑶原式()()()11234234513456248495051474=+-+-++-?L ()11234123423452345345647484950484950514=-+-+--+L 1499400=.【例6】计算：⑴11111111111111241035911+++---- ??? ????? ?????????????????L L⑵11111111111113243546979998100+?+?+?+??+?+ ? ? ? ? ? ???????????????????L【解析】⑴原式3579112468101246810357911==.⑵原式1312413514619799198100113243546979998100+?+?+?+?+?+=L 2222222345989913243546979998100=L 299100?=9950=.【例7】⑴已知1111111112581120411101640+++++++=，111111112581120411101640---+--++的值为. ⑵计算：11111111111111232006232005232006232005+++?++++-++++?+++ ? ? ? ?L L L L .【解析】⑴1111111111111111111225811204111016401111016402581 120411101640---+--++=++-+++++++ ? ?11121111101640??=++-1121101640??=+-165211640=?-131164=-. 整体思想连锁约分运算9初一秋季·第2讲·尖子班·教师版⑵设111232005a =+++L ，则原式 ()22111111200620062006200620062006a a a a a a a a a a =++-++=+++-++= ? ? ? ?.10 初一秋季·第2讲·尖子班·教师版训练1. 计算：1111111261220304256--+-++--+--+ ? ? ? ???????【解析】 4756.训练2. 计算：1111113243517191820+++++L 【解析】原式111111111111232242171921820=-+-++-+- ? ? ? ?????????L1111111111111123351719224461820=-+-++-+-+-++- ? ?????L L1111112192220=-+- ? ?????995311940760=+=.训练3. 33221129234+==??；33322112336344++==??；33332211234100454+++==??；……．⑴ 若n 为正整数，猜想3333123n ++++=L ；⑵ 利用上题的结论来比较3333123100++++L 与()25000-的大小．【解析】⑴()22114n n ??+; ⑵ 3333221123100100101255025004++++=??=L∵2550250025000000>∴()233331231005000++++>-L .训练4. 设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1a b a +，，的形式，又可分别表示为0bb，，的形式，则20042001a b +=【解析】先找出这三个数中的1和0．由已知，这两个数组分别对应相等，于是可断定，a b +与a 中有一个为0，ba与b 中有一个为1．但若0a =，则ba 无意义，所以0a ≠，只能0ab +=，于是a b =-．又0a ≠，那么1ba=-，则1b =，故1a =-．此时，()2004200420012001112a b +=-+=．11初一秋季·第2讲·尖子班·教师版乘法分配律的应用、连续自然数的加减交替【练习1】⑴ 计算：()()(){}()34|15|73-+---+-----；⑵ 计算：1111181232-÷-+- ? ?????；⑶ 计算： 135********++++-----L L .【解析】⑴26-；⑵29；⑶50-.有理数综合运算【练习2】计算：4343(27)(2)(2)3-÷---?-+-【解析】 25.裂项【练习3】计算：1111112612203042-----= ．【解析】原式11111111111122334455667223677=-----=-----= ? ??L .【练习4】计算：2446688101012?+?+?+?+?. 【解析】原式()()1246468210121486=??+??-++??-L ()1246246468468810121012146=??-??+??-??+-??+??L 11012146=280=. 连锁约分【练习5】计算：111111111111111122334420132013+-+-+-+- ??????????? ???????????????????L【解析】原式111111111111111122334420132013=-+-+-+-+ ??????????? ???????????????L1324352012201422334420132013=L 1201422013=?10072013=. 整体思想【练习6】计算：()()()()222222222222123492350123502349+++++++-+++++++L L L L .【解析】设2222349a =+++L ，则原式()()()()()22222221501505050502500a a a a a a a a a a =++-++=+++-++=数学史复习巩固12 初一秋季·第2讲·尖子班·教师版1+1=2吗？皮亚诺（Peano,Giuseppe ）意大利数学家。
三年级下册数学讲义-竞赛专题：第二讲-整数与数列(含答案解析)人教版
知识概述在等差数列中：1、通项公式：第n项=首项+（n-1）×公差。
2、项数公式：项数=（末项-首项）÷公差＋1。
3、求和公式：和=（首项＋末项）×项数÷2。
4、中项定理：若某个等差数列的项数为奇数，则有中间数，中间数=（首项+末项）÷2，数列的和=中间数×项数。
5、常见结论：1+3+5+…+（2n+1）=n²1+3+5+…+n+…+3+2+1=n²经过观察与归纳找出数与图的规律。
观察是寻找规律不可少的手段，是发现本质、归纳规律的先导，有些问题解答不出来，究其原因，与其说是“想不出”，不如说是“看不出”。
在寻找规律的过程中，必须要高度重视对数、形、式等现象的观察，善于抓住问题的本质特征进行归纳，从而得出规律。
只有经过观察、思考和试算，发现数与数、图形与图形相互之间的关系，才能得到题目的答案。
同学们，通过学习，希望你在平时多积累，多归纳，善于发现、总结一些规律，因为学会发现往往比学会几道题目重要得多。
名师点题整数与数列例1观察下列各题，找到规律填空（1）1，5，11，19，29，________，55（2）1，3，4，7，11，18，_________，_________，76（3）11，22，43，84，165，________【解析】数列问题的求解关键是通过观察已知的项，找出数列的规律.（1）是递增的数列，相邻两项的差分别为4、6、8、10.容易看出相邻两项的差每次增加2，因此下一个差应该是10+2=12，补填的数应该是29+12=41.（2）每一项都等于前两项的和.所以空格里面应该填11+18= 29 ，29+18= 47.（3）观察会发现每个数的个位数字是很有规律的，分别是1，2，3，4，5，那么可大胆猜测空里的数个位是6，那么除了个位之外其它数位的规律在哪里呢？我们不妨把个位数字去掉，数列变成了1，2，4，8，16，…，相信同学们做到这里就豁然开朗了，没错，这个数列就是用两个很简单的数列拼合起来的，所以，空里的数字前几位应该是16×2=32，和6拼在一起，就是这道题的正确答案是326.例2利用求和公式求解下列3题：（1）11＋12＋13＋…＋31（2）1＋3＋5＋7＋…＋41（3）5＋8＋11＋14＋ (50)【解析】（1）这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）利用求和公式得到：原式=（11+31）×21÷2=441。
2020学而思教材讲义高一数学寒假(目标班、尖子班) 高一寒假 第2讲 与数列的第一次亲密接触 教师版 目标班
第2讲与数列的第一次亲密接触满分晋级数列3级等差数列深入数列2级数列的小伙伴们数列1级与数列的第一次亲密接触知识切片<教师备案>本讲主要是数列的概念和等差数列的初步认识，包括等差数列的通项和求和公式，以及等差数列最简单的几个性质，更多的性质会在春季同步时再深入研究．本讲内容较多，下讲内容较少，可以与下一讲作个时间上的均衡．数列的引入我们已经学习过整数、有理数和无理数，它们可以用来表示某些数量．不过有些时候，表示的会比较不一般．比如下面这个著名的问题（兔子问题）：1202年，意大利数学家斐波那契（Leonardo Fibonacci ）在他的一本书中提出的一个问题．一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来．如果所有兔子都不死，年初由一对初生的小兔子开始，一年以后共有多少对兔子？要解决这个问题，我们可以列一个表： 时间（月） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 兔宝宝（对） 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 成熟兔（对） 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 兔总数（对） 1123581321345589144如果我们只是单纯的写出最后的答案，我们会错过很多有趣的结论．我们将每个月最后的兔子数写成一列112358，，，，，，，就得到一列数，研究这一列数的规律，容易发现它们满足：从第3项起，每一项都等于前两项的和，由这条规律我们就可以知道两年后乃至若干年后的兔子总数了．这一列数就称为数列．还有很多其它的数列，各个数列其各自的项之间都有其内在关系和规律，研究数列的规律和性质是我们接下来两讲要学习的内容． （斐波那契数列有视频，可结合视频说明）考点1：数列的定义与分类1．数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…，所以，数列的一般形式可以写成：123a a a ，，，简记为{}n a ．<教师备案>以前面的斐波那契数列为例，12341123a a a a ====，，，，， 需要注意的：① 数列中每一项都和它的序号有关，数列中的数是按一定次序排列的．如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是相同的数列．如：数列1，2，3，4，5与5，2.1数列的认识知识点睛4，3，2，1是不同的数列．数列12341235a a a a ====，，，，和斐波那契数列也是不同的数列．② 数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同．因此，同一个数在数列中可以重复出现．如：1，1-，1，1-，1，…；2，2，2，2，2，…等．③ {}n a 与n a 是不同的概念．{}n a 表示数列1a ，2a ，3a ，…，n a …，而n a 仅表示数列{}n a 的第n 项．2．数列的分类① 按照数列的项数的多少可分为：有穷数列与无穷数列．项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列．② 按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列．从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．③ 按照任何一项的绝对值是否小于某一正数可分为：有界数列和无界数列． <教师备案>斐波那契数列是无穷数列，递增数列，无界数列．更多的例子见例1【例1】 ⑴下面数列哪些是递增数列，递减数列，常数列，摆动数列？哪些是有穷数列，无穷数列？①全体自然数组成数列：0，1，2，3，…；②某校6个班学生人数构成的数列：15，16，18，20，22，30； ③数列：5，1-，3， 2.6-， 1.5-，8； ④数列：5，5，5，5，5；⑤数列：100，90，80，70，60，50，…． ⑵根据数列的规律填空①1 1 2 3 5 8 ＿＿②5 3 10 6 15 12 ＿＿ ＿＿ ③3 5 9 17 33 ＿＿④1 2 2 3 4 6 ＿＿⑶（2010湖南文20）给出下面的数表序列：12845314311表3表2表1其中表(123)n n =，，，有n 行，第1行的n 个数是1，3，5，…，21n -，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和，写出表4．【解析】 ⑴ ①递增数列 无穷数列 ②递增数列 有穷数列③摆动数列 有穷数列 ④常数列 有穷数列 ⑤递减数列 无穷数列 ⑵ ①13．经典精讲此数列为著名的斐波那契数列，从第三项起每一项是前两项之和． ②20，24．此数列是混合数列，奇数项为首项为5，公差为5的等差数列，偶数项是首项为3，公比为2的等比数列，按顺序应填20，24． ③65根据数列的规律每一项为21n +． ④9从第三项起每一项为前两项之和减1，所以空格应填9． ⑶<教师备案>趣味数列：（供课堂增加趣味性，活跃气氛选用）1．请写出下列数列的下一项：2，12，1112，3112，211213，______．2．按规律填空：①17＿＿ 9 100；②3 6 21 42 84 69 291 ＿＿ ＿＿；【解析】 1．这个数列中每一项都和前一项和读法有关，第一项是2，第二项是一个2，第三项是一个1一个2，第四项是三个1一个2，往后以此类推．所以应该填入的数列为：312213．2．①101278910-，所以应该填1；②将数列的前几项反过来写：3612244896192，，，，，，，所以，以此类推后边应该为 384768，，所以应该填483867，考点2：数列的通项公式与递推公式数列的表示方法：⑴ 图象法：数列是以正整数集*N （或它的有限子集{}12n ，，，）为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的顺序取值时，所对应的项是一系列函数值．所以，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点作图来表示这个数列．全体正偶数组成的数列246，，，用图象法表示为（如图）： 数列图象与一般函数图象的区别在于数列的图象是一系列孤立的点． ⑵ 列表法：与函数一样，数列也可以用列表的方法来表示．如：全体正偶数按从小到大的顺序构成的数列2，4，6，8，…用列表法可表示为n 1 2 3 … k …n a2 4 6 … 2k …列表法可以清楚地反映出数列的许多具体的项，但由于受某些条件的限制，用列表的方法有时不能完整的反映一个数列，或数列的具体规律，所以并不是每一个数列都可以用列表的方法表示．知识点睛10865443221O na n 12322012847531<教师备案>图象法可以比较清楚的揭示数列的变化规律，列表法表示数列能使人一目了然，但它们的缺点就是数列的项数比较多时，表示起来一般会非常费劲，比如斐波那契数列用这两种方法就不好表示．数列更多的是用下面两种方法来表示．⑶ 递推公式法：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任意一项n a 与它相邻的一项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做数列的递推公式．如：数列3，4，5，6，7，…用递推公式可这样表示：13a =，11n n a a +=+，n *∈N ．⑷ 通项公式法：数列{}n a 的第n 项n a 也叫做数列的通项．如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可用一个函数关系()n a f n =来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．⑶中的数列可以用()*2n a n n =+∈N 来表示．<教师备案>理解数列的通项公式：① 数列的通项公式实际上是一个以正整数集*N 或它的有限子集{}12n ，，，为定义域的函数的表达式；② 如果知道了数列的通项公式，那么依次用12n ，，，去替代公式中的n 就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的项，如果是的话，是第几项．③ 数列的通项公式形式不是惟一的，如111111---，，，，，，，它可以写成(1)n n a =-，也可以写成cos πn a n =或11n n a n -⎧=⎨⎩，为奇数，，为偶数.．④ 不是所有的数列都有通项公式，好比不是所有的函数都有解析式一样．有穷数列一定有通项公式．无穷数列不一定有．比如由全体质数组成的数列2357，，，，，目前就没有通项公式． 前面提过的斐波那契数列的递推公式：121a a ==，()112n n n a a a n n +-=+∈N ≥，， 通项公式为11515225n nn a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，这是一个正整数列用无理数来表示通项的例子．高中阶段只学习比较简单的递推形式的通项公式，象斐波那契这种比较复杂的递推和通项仅作为帮助了解数列的相关概念．【例2】 ⑴观察数列前几项，求出下列数列的一个通项公式① 1111--，，，，； ② 0101，，，，； ③ 1234--，，，，； ④ 1111111111，，，，； ⑤ 131793832435--，，，，，； ⑥ 11315228432，，，，，…； ⑵已知数列{}n a 满足11a =，11n n na a n -=+（*2n n ∈N ，≥），则2a =_____；5a =______． ⑶已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a -=+（*2n n ∈N ，≥）），则2a =_____；10a =______．⑷（目标班专用）（2010西城二模理14）我们可以利用数列{}n a 的递推公式经典精讲2,,n n n n a a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数()n *∈N ，求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．则2425a a +=_________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第_____项．【解析】 ⑴ ①(1)n n a =-或cos πn a n =（可以不讲）或11n n a n -⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数．②()112nn a +-=或01n n a n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数； ③ 1(1)n n +-⋅；④ 1(101)9n -；⑤ 121(1)(2)n n n a n n +-=-⋅+；（观察分子觉得分子可能为13579，，，，，从而得到分母为38152435，，，，） ⑥2n n na =；（观察分母得分母都为2k ，将分母整理为2481632，，，，，得到规律）． ⑵2133，； 212233a a ==；323142a a ==；434255a a ==；545163a a ==．可以推断21n a n =+； ⑶31023，； 21213a a =+=；32217a a =+=；415a =；531a =．可以推断21n n a =-．101023a =．⑷28；640．2412633a a a a ====，同时2525a =，因此242528a a +=；第k 个5出现在第152k -⋅项，因此第8个5是该数列的第752640⋅=项．【例3】 ⑴根据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式，并分析． ① 24816⋅⋅⋅，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？②111124816⋅⋅⋅，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？ ③111124816----⋅⋅⋅，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？ ④ 111124816--⋅⋅⋅，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？ ⑵类比函数的单调性、有界性来分析数列的性质．① 数列{}n a 的通项公式是2610n a n n =-+，*n ∈N ，当n 取何值时，n a 最小？ ② 数列{}n a 的通项公式是()23.61n a n =-+，*n ∈N ，当n 取何值时，n a 最小？【解析】⑴ ① 2n n a =，最小值为首项2，没有最大值，该数列为单调递增数列． ② 12n n a =，最大值为首项12，没有最小值，该数列为单调递减数列．③ 12n n a =-，最小值为12-，没有最大值，该数列为单调递增数列．④ ()1112n n n a +=-⋅，最大值为12，最小值为14-，该数列不是单调数列．⑵ ①3n =时，n a 最小为1． 该数列无最大值． ②4n =时，n a 最小为1.16．该数列无最大值．【点评】 引出用函数的分析方法分析数列的取值，强调数列是一种特殊的函数，用函数的方法进行分析时，要注意其定义域是大于0{}()12n a f n n ⇔=，，，【拓展】若25n a n n λ=-+，当且仅当3n =时n a 有最小值，问λ的取值范围．【解析】 函数2()5f x x x λ=-+的对称轴为2x λ=，故3x =离2λ最近， 即3222λλ-<-且3422λλ-<-，解得57λ<<．考点3：数列的前n 项和n S数列{}n a 的前n 项和用n S 来表示，如果n S 与n 的关系可用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的前n 项和公式．数列的前n 项和121n n n S a a a a -=++++．于是有1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩，，≥111n n n S S n a S n --=⎨=⎩，≥，知识点睛数列12a a ，， 函数()f x 定义域{}12，，前n 项和减去前1n -项和第1项12n n S a a a =+++<教师备案>等差等比数列的前n 项和公式我们会在相关小节学习，数列求和的常用方法我们会在春季同步讲义时系统学习，这里可以举一些最简单的可以求和的例子：如求常数列{}n a ：5n a =的前n 项和．或者求数列111n a n n =-+的前10项的和等．如果有学生问斐波那契数列的前n项和公式的话，也可以提一下，它是两个等比数列的和，且1221n n a a a a ++++=-． 后面的例题主要是练习给定n S 的通项公式求n a ，要注意1n n n a S S -=-只对2n ≥成立，用n S 求n a 时，1n =必须单独讨论，忽视这个很容易造成错误，见易错门诊．【铺垫】⑴已知数列{}n a 的前n 项和3n S n =，则1a =______，3a =_____，通项n a =______．⑵已知数列{}n a 的前n 项和1n n S n+=，则1a =_____，6a =______． 【解析】⑴113a S ==；3323a S S =-=；2n ≥时，13n n n a S S -=-=，故对*n ∈N ，有3n a =． ⑵112a S ==；6657616530a S S =-=-=-；【例4】 ⑴已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，则其通项n a =＿＿；若它的第k 项满足58k a <<，则k =＿＿．⑵已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则其通项n a =______；满足2013k a <的最大正整数k 为______．【解析】⑴ 210n -；8． 118a S ==-；2n ≥时，1210n n n a S S n -=-=-，对1n =也满足；由52108k <-<得：1592k <<，故8k =．⑵ 1211n -，； 111a S ==；2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，对1n =也满足；故12n n a -=； 122013k k a -=<，由101121024201320482=<<=知，满足不等式的最大的k 为11．1．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+-，求n a ．【解析】 当1n =，110a S ==2n ≥， 1n n n a S S -=-222(1)(1)2n n n n =+-----+2n =经典精讲∴0122n n a n n =⎧=⎨⎩，，≥．2．已知数列{}n a 的前n 项和2n n S =，求n a ．【解析】 112a S ==；111222n n n n n n a S S ---=-=-=，故12122n n n a n -=⎧=⎨⎩，，≥．【点评】 强调利用前n 项和求通项的时候，对首项要单独处理．<教师备案>前面我们对于一般的数列学习了一些基本概念和知识，总体而言，大部分数列是没什么规律的，小部分规律明显，接下来我们学习一类有迹可循的特殊数列．例如：自然数数列，每个数都比它后面的数小1，正偶数数列，从第二项起，每项都比它前面的数多2，等等．这一类特殊的数列就是等差数列．考点4：等差数列的概念定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示． <教师备案>先从直观上认识等差数列，通过一些具体的数列感觉等差数列，之后再学习等差数列的通项公式，熟悉通项公式以及正确计算等差数列的项数．再学习等差数列的求和公式，以及一些简单的性质．希望把概念分开讲解，分别配例题．【例5】 下列数列是等差数列吗？如果是求出公差，如果不是请说明理由．①13579，，，，，；②5137--，，，，；③5555，，，，； ④222222---，，，，，，；⑤531123---，，，，，，； 【解析】 ①是．2d =；②是，4d =；③是．d =0；④不是；⑤不是．考点5：等差数列的通项公式已知等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ，第n 项（通项）为n a ，通项公式：()11n a a n d =+-．2.2等差数列基本量计算经典精讲知识点睛知识点睛首项 公差1a a n d =+-<教师备案>通项公式的推导：我们可以说明第二项与第一项相差d ，第三项与第一项相差2d ，第n 项与第一项相差()1n d -，所以()11n a a n d =+-．还可以用叠加法求其通项公式．叠加法：1n n a a d --= 12n n a a d ---=23n n a a d ---=21a a d -= 将这1n -个式子左右分别相加可得1n a a -=()1n d -，故()11n a a n d =+-． 知道数列的首项与末项，可以求项数，公式为11n a a n d-=+．【例6】 ⑴已知等差数列{}n a 的通项公式为73n a n =-，则公差为_______，首项为_____．⑵等差数列951，，，的第4项4a =_______，第20项20a =_______． ⑶等差数列3711103，，，，的项数n =______，第5项为_______．⑷已知数列{}n a 是等差数列，且22a =-，510a =，则数列{}n a 的通项n a =_______．【解析】 ⑴ 3-，4．∵73n a n =-，∴1734a =-=，21a =，故3d =-（也可直接由通项公式看出）； ⑵3-，67-；()1(1)9(1)4413n a a n d n n =+-=+-⨯-=-+，43a =-，2067a =-． ⑶2619，；公差734d =-=，故10331264n -=+=，再写两项即得第5项为19()37111519，，，，． 也可以先写出通项公式41n a n =-，于是1034261=⨯-为第26项；519a =． ⑷ 解法一：设{}n a 的公差为d ，由已知条件112410a d a d +=-⎧⎨+=⎩ 解出4d =，16a =-，所以1(1)6(1)4n a a n d n =+-=-+-⨯644n =-+-410n =-．解法二：52310(2)12d a a =-=--= ∴4d =，12a d +=-，∴16a =-，∴410n a n =-．<教师备案>例6给出了等差数列的通项公式与项数的常规求法，如果把数列看成特殊的函数，可以将通项公式整理成1()n a dn a d =+-，故n a 是关于n 的一次函数（在0d ≠时），从这个角度出经典精讲等差数列{}n a 第n 项发，给出等差数列的通项公式可以马上得出公差，即n 前的系数，给出公差也可以立刻得到一次项，再结合给出的某项的值即得到通项公式．具体见下面的练习． 准确快速地求出等差数列的项数非常重要，可以结合“挑战5分钟”多练多算．【挑战5分钟】 ⑴已知43n a n =-，则d =______．⑵已知1001n a n =-，则d =______．⑶已知123a d ==，，则n a =______．⑷已知512a d ==-，，则n a =______．⑸已知4132a d ==，，则n a =______．⑹已知315122a d ==-，，则n a =_____．⑺等差数列34575，，，，的项数为______． ⑻等差数列42026-，，，，的项数为_______． ⑼等差数列3032013-，，，，的项数为______．⑽等差数列110824--，，，，的项数为______．【解析】 ⑴3-；⑵100；⑶31n -；n a 等于3n 加上某数，由12a =知，31n a n =-．⑷211n -+；2n a n λ=-+，则51a =知11λ=．⑸112n +；12n a n λ=+，4231a λλ=+=⇒=．⑹192n -+；12n a n λ=-+，3315922a λλ=-+=⇒=．⑺73；⑻16；⑼673；⑽35．考点6：等差数列的求和公式已知等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ，通项为n a ，前n 项和为n S ． 前n 项和n S 的公式：⑴()12n n n a a S +=；⑵()112n n n S na d -=+．1n n a d n a S ，，，，知三求二，可考虑根据公式统一转化为两个基本量．()()11122n n n a a n n S na d +-==+<教师备案>相信大家对高斯小时候算123100++++的故事耳熟能详，对于怎么算也知道的八九不离十，那对于一般的等差数列，前n 项和公式怎么求呢，类似的推导如下： 若等差数列{}n a 的公差为d ，n S 为数列{}n a 前n 项和，可以用倒序相加法求和． 倒序相加法：[]1231111()(2)(1)n n S a a a a a a d a d a n d =++++=+++++++-把项的顺序反过来：[]121()(2)(1)n n n n n n n n S a a a a a a d a d a n d --=++++=+-+-++--两式相加得11112()()()()n n n n n S a a a a a a a a =++++++++，知识点睛项数 首项 等差数列前n 项和 第n 项 公差得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+．<教师备案>从函数角度看等差数列的前n 项和公式：将前n 项和公式整理成2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，故0d ≠时，n S 是关于n 的常数项为0的二次函数，从函数的角度看n S 知，当0d >时，n S 有最小值；当0d <时，n S 有最大值．可以结合下面例7的拓2理解一下这个结论，这方面的更多性质及其应用会在春季同步时展开． 由等差数列求和公式的形式，我们可以直接看出公差d 的值，如29n S n n =-⇒2d =；22n S n n =-+，则4d =-；若n S 是n 的二次函数，那么这个数列一定是等差数列吗？举例22n S n n =++，则n a 不是等差数列，首项会出问题，从第二项起是公差为2的等差数列．如果n S 的表达式不含常数项，则{}n a 是等差数列．所以由前n 项和判断是不是等差数列，一定要检验一下前两项满不满足．【铺垫】⑴等差数列371179，，，，的各项的和为_______．⑵已知数列{}n a 是等差数列，13a =，2d =，则20S =________．【解析】 ⑴ 820；∵134a d ==，，∴1120n a a n d -=+=，20379208202S +=⋅=． ⑵ 440；20201920324402S ⨯=⨯+⨯=；【例7】 ⑴已知数列{}n a 是等差数列，15a =，525a =，则前n 项和n S =________．⑵已知数列{}n a 是等差数列，14a =，716a =，则使得154n S =的项数n =________． ⑶已知等差数列{}n a 的前n 项和236n S n n =+，则1a =_____，n a =_______．⑷（2010辽宁文14）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若36324S S ==，，则9a = ． ⑸（目标班专用）（2010丰台一模理8）已知正整数按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第60个数对是（ ）A ．()10,1B ．()2,10C ．()5,7D ．()7,5【解析】 ⑴25522n n +；∵1425a d +=，∴5d =．2(1)5555222n n n S n n n -=+⨯=+． ⑵ 11；经典精讲∵14a =，716a =，∴71612d a a =-=，∴2d =．∵1(1)(1)4215422n n n n n S a n d n --=+=+⨯=，有4(1)1540n n n +--=，即231540n n +-=，(14)(11)0n n +-=，∴11n =或14n =-（舍去）． ⑶ 963n +，； 119a S ==；由32d=⇒6d =，故63n a n =+．（也可求出1n n n a S S -=-求和）． ⑷ 15；316132332656242S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩，解得112a d =-⎧⎨=⎩，∴91815a a d =+=． ⑸（目标班）C根据题中数列的规律，坐标和为k 的数有1k -个： 和为2：()1,1、 和为3：()1,2、()2,1、和为4：()1,3、()2,2，()3,1，和为5：()1,4，()2,3，()3,2，()4,1， ……(1)122n n n ++++=，10111112556022⨯⨯=<<， 即和小于等于11的数有55个，从而第60项的和为12， 前几项依次为：(111)(210)(39)(48)(57)，，，，，，，，，，……，因此第60项为()5,7．<教师备案>学过了等差数列的基本概念和简单的计算后，我们会发现等差数列只需要确定两个基本量1a d ，，然后不管条件怎么变，等差数列的题都可以由这两个数经过一定的运算求出来．不过在求解的过程中，如果只是生搬等差数列最基本的公式，有的题目的运算量就会比较大，导致计算出错的可能就会增加．如何尽可能避免很多不必要的繁琐的计算，这就要学习一点点小技巧，这些小技巧就是我们要学的等差数列的性质．2.3 等差数列性质初步O123456654321考点7：等差数列的性质1．等差中项：若x A y ，，成等差数列，则A 称为x y ，的等差中项，2x yA +=． 2．等差数列{}n a 的简单性质（其中公差为d ）： ⑴ ()n m a a n m d =+-（*m n ∈N ，）；⑵ 若p q m n +=+，则有p q m n a a a a +=+；若2m p q =+，则有2m p q a a a =+（p ，q ，m ，n *∈N ）；若p q m n +=+p q m n a a a a +=+⑶ 在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即n a ，n m a +，2n m a +，，为等差数列，公差为md ；⑷{}n a 的前n 项和为n S ，则()2121n n S n a -=-． (2121n n -=-<教师备案>对于性质⑴可以举简单的例子，353a d ==，，求6a ，可以先求1a ，再由1a 和d 求6a ，也可以引入性质⑴求解．对于⑵，可以由一些简单的例子1423a a a a +=+之类的得出猜想，然后进行证明． 对于性质⑶，可以从隔项取一个的等差数列进行探索，然后隔两个，隔多个进行考虑．<教师备案>这一讲对等差数列的性质只学习它常用的几条，其它性质我们还会在春季同步班重点学习．对性质⑵⑶⑷的简单证明如下：⑵()()()1111122p q a a a p d a q d a p q d +=+-++-=++-，同理可得()122m n a a a m n d +=++-，∵p q m n +=+，∴p q m n a a a a +=+． ⑶()11n a a n d =+-，()11n m a a n m d +=++-，()2121n m a a n m d +=++-， ∴()()1111n m n a a a n m d a n d md +-=++----=， ()()211211n m n m a a a n m d a n m d md ++-=++---+-=，∴n a ，n m a +，2n m a +，，为等差数列，公差为md ；知识点睛下标和相等对应项的和相等211221n n S a a a --=+++ 项数中间项⑷()()121211221212n n n n a a S a a a ----+=+++=，∵1212n n a a a -+=，∴()2121n n S n a -=-．这条性质是⑵的推论，性质⑵是等差数列题目中经常出现的．【铺垫】⑴在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10⑵在等差数列{}n a 中，37513a a ==，，则d =_______．11a =______．13S ＝_______．【解析】 ⑴ A ；由等差数列性质1得1952a a a +=，所以55a =；⑵221169，，；7324a a d -==；1173221a a a =-=；13713169S a ==．【例8】 ⑴①a 是42-与42+的等差中项，则a = ；②220180a ，，为等差数列，则a = ．⑵（2010全国卷Ⅱ6）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127a a a +++=（ ）A ．14B ．21C ．28D ．35⑶设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，128a =-，99S =-，则16S = ． ⑷已知等差数列{}n a 满足244a a +=，7910a a +=，则其前10项的和10S =______．⑸（目标班专用）在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值为________．【解析】 ⑴①4；()()424242a -++==；②200；1802202002a +==．⑵C ；由34512a a a ++=，得44a =， 所以 12717417()7282a a a a a a +++=⨯⨯+==．⑶ 955991S a a ==-⇒=-，5121616722a a S +=⨯=-． ⑷35；2433242a a a a +==⇒=；79882105a a a a +==⇒=；1101038105()352a a S a a +=⨯=+=． ⑸16；468101281205a a a a a a ++++==，故824a =．()9118881122324163333a a a d a d a -=+-+=⨯=⨯=．<教师备案>本题可以让学生先用普通方法做一遍，然后再介绍利用等差数列性质解题的简便方法，通过这个对比说清学习等差数列性质的重要性，并说明春季我们会介绍更多的性质．【拓展】（第21届希望杯全国数学邀请赛高一16）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不经过点O 的直线上的三点A B C 、、满足32008OB a OA a OC =+，则2010S =_________．【解析】 1005A 、B 、C 三点共线，则由32008320081OB a OA a OC a a =+⇒+=．经典精讲又∵{}n a 为等差数列∴120102200932008100510061a a a a a a a a +=+=+==+=∴2010122010S a a a =+++1201010051006()()a a a a =++++1005=．【演练1】 写出下列数列{}n a 的通项n a ：⑴ 9999999999，，，，；⑵1313，，，；⑶24816--，，，，．【解析】 ⑴101n n a =-；⑵2(1)n n a =+-；⑶(2)n n a =--．【演练2】 数列{}n a ：111234，，，，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？【解析】 1()1n a f n n ==+，n a 有最大值12，没有最小值．【演练3】 已知数列{}n a 是一个等差数列，且48a =-，820a =-，则数列{}n a 的通项n a =______． 【解析】34n a n =-+； 解法一：设{}n a 的公差为d ，由已知条件1138720a d a d +=-⎧⎨+=-⎩ 解出3d =-，11a =，()1(1)1(1)3n a a n d n ∴=+-=+-⨯-133n =-+34n =-+．解法二：84420(8)12d a a =-=---=- ∴3d =-，138a d +=-，∴11a =．∴34n a n =-+．【演练4】 ⑴已知等差数列{}n a 满足3824a a +=，则它的前10项的和10S 为________．⑵在等差数列{}n a 中，{}n a 的前n 项和为n S ，若515S =，则24a a += ．【解析】 ⑴120法一：∵3824a a +=，∴111272924a d a d a d +++=+=，()10111045529120S a d a d =+=+=． 法二：∵3824a a +=，∴1103824a a a a +=+=，()11010101202a a S +==．⑵ 6；∵53515S a ==，∴33a =，24326a a a +==．实战演练【演练5】 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，求5a 的值，当n S 取最小值时n的值．【解析】 设该数列的公差为d ，由等差数列的性质46526a a a +==-，53a ∴=-，111a =-，()5143118d a a =-=---=，解得2d =，所以22(1)11212(6)362n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值．【演练6】 在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，第1列 第2列 第3列 …第1行 1 2 3 ... 第2行 2 4 6 (3)369… … … … ……那么位于表中的第n 行、第1n +列的数是 ．【解析】 2n n +．第n 行第1列的数为n ，第n 行的数构成公差为n 的等差数列， 故第n 行，第1n +列的数为2(11)n n n n n ++-=+．1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n a =___________．2．等差数列{}n a 的前n 项和公式n S =_______________=_____________． 3．等差数列{}n a ，若2p q m +=，则p q a a +____2m a谷神星的发现1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学教师，把下面的数列： 3，6，12，24，48，96，192…… 的前面加上0，即：0，3，6，12，24，48，96，192……然后再把每个数字都加上4，就得到了下面的数列： 4，7，10，16，28，52，100，196…… 再把每个数都除以10，最后得到： 0.40.711.6 2.8 5.21019.6，，，，，，，，令提丢斯惊奇的是，他发现这个数列的每一项与当时已知的六大行星（即水星、金星、地球、火星、木星、土星）到太阳的距离比例（地球到太阳的距离定为1个天文单位）有着一定的联系．水星 金星 地球 火星 谷神星 木星 土星 天王星 …计算距离 0.4 0.7 1.0 1.6 2.8 5.2 10 19.6 …提丢斯的朋友，天文学家波得深知这一发现的重要意义，就于1772年公布了提丢斯的这一发现，这串数从此引起了科学家的极大重视；并被称为提丢斯——波得定则即太阳系行星与太阳的平均距离． 当时，人们还没有发现天王星、海王星，以为土星就是距太阳最远的行星．概念要点回顾1781年，英籍德国人赫歇尔在接近19.6的位置上（即数列中的第八项）发现了天王星，从此，人们就对这一定则深信不疑了．根据这一定则，在数列的第五项即2.8的位置上也应该对应一颗行星，只是还没有被发现．于是，许多天文学家和天文爱好者便以极大的热情，踏上了寻找这颗新行星的征程．1801年新年的晚上，意大利天文学家皮亚齐还在聚精会神地观察着星空．突然，他从望远镜里发现了一颗非常小的星星，正好在提丢斯——波得定则中2.8的位置上．可是，当皮亚齐再想进一步观察这颗小行星时，他却病倒了．等到他恢复健康，再想寻找这颗小行星时，它却不知去向了．皮亚齐没有放弃这一偶然的机会，他认为这可能就是人们一直没有发现的那颗行星，并把它命名为“谷神星”．在高斯之前，著名数学家欧拉曾经研究出了一种计算行星轨道的方法．可是，这个方法太麻烦．高斯决心去寻找一种简便易行的方法．在前人的基础上，高斯经过艰苦的运算，以其卓越的数学才能创立了一种崭新的行星轨道计算理论．他根据皮亚齐的观测资料，利用这种方法，只用了一个小时就算出了谷神星的轨道形状，并指出它将于何时出现在哪一片天空里．1801年12月31日夜，德国天文爱好者奥伯斯，在高斯预言的时间里，用望远镜对准了这片天空．果然不出所料，谷神星出现了！高斯的计算方法成功了．高斯从笔尖上寻找到的这颗行星，在隐藏了整整一年后，向人们显示了数学在科学研究中的巨大作用．。
学而思初一数学春季班第2讲-目标中考满分班-教师版
函数1级平面直角坐标系认识初步 函数2级平面直角坐标系中的变换函数3级 函数初步暑期班 第二讲春季班 第一讲减肥记漫画释义满分晋级阶梯2平面直角坐标系中的变换编写思路：本讲求面积时主要让学生掌握将点坐标转化为线段长度的过程.一：让学生亲自动手在坐标系中画出某个点关于横轴、纵轴以及原点的对应点，并且让他们自己总结两个对称点的横、纵坐标关系。
二：（1）对于点的平移：让学生亲自动手将某个点进行上、下、左、右平移，并且自己总结点的坐标变化规律。
对于任意的平移，可以将其理解先上下平移、后左右平移的组合。
（2）对于图形的平移：让学生充分认识本质就是图形上的每个点都进行同一过程的平移，即对应点之间的平移过程完全一样。
从而将图形的平移转化成为点的平移。
并让学生体会平移前后的两个图形完全一样。
三、简单的数形结合：求三角形面积问题。
让学生充分掌握割补法求三角形面积，并理解为何要用割补法。
让学生熟练掌握并体会坐标与线段长的计算关系。
四、找规律问题：老师可带着学生探索常见找规律问题的思路和方法.点()P a b ，关于x 轴的对称点是()P a b '-，，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． 点()P a b ，关于y 轴的对称点是()P a b '-，，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 点()P a b ，关于坐标原点的对称点是()P a b '--，，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 点()P a b ，和点()Q c d ，的中点是22a c b d M ++⎛⎫⎪⎝⎭，．（选讲）思路导航知识互联网题型一：坐标系中的对称【引例】 在平面直角坐标系中，()45P -，关于x 轴的对称点的坐标是 ，关于y 轴的对称点的坐标是 ，关于原点的对称点是 ．【解析】 关于x 轴的对称点横坐标不变，纵坐标互为相反数，坐标是()45--，； 关于y 轴的对称点纵坐标不变，横坐标互为相反数，坐标是()45，； 关于原点的对称点横、纵坐标都互为相反数，坐标是()45-，．【例1】 ⑴ 点()35P -，关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．()35--， B ．()53，C ．()35-，D ．()35，⑵ 点()21P -，关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A ．()21--，B ． ()21，C ．()21-，D ．()21-，⑶ 在平面直角坐标系中，点()23P -，关于原点对称点P '的坐标是 ．⑷ 点()23，P 关于直线3x =的对称点为 ，关于直线5y =的对称点为 ． ⑸ 已知点()121P a a +-，关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围．【解析】 ⑴ D ；⑵ B ；⑶ ()2,3-；⑷ ()43，，()27，；⑸ 112a -<<．【例2】 如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．实验与探究：⑴ 由图观察易知()20A ，关于直线l 的对称点A '的坐标为()02，，请在图中分别标明()53B ，，()25C -，关于直线l 的对称点B '、C '的位置，并写出它们的坐标：B ' ，C ' ；归纳与发现：⑵ 结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点()P a b ，关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P '的坐标为 （不必证明）；⑶ 点()A a b ，在直线l 的下方，则a ，b 的大小关系为 ；若在直线l 的上方，则 ．典题精练例题精讲【解析】 ⑴ ()35B '，，()52C '-，； ⑵ ()b a ，； ⑶ a b >，b a >．⑴ 点平移：①将点()x y ，向右（或向左）平移a 个单位可得对应点()x a y +，或()x a y -，． ②将点()x y ，向上（或向下）平移b 个单位可得对应点()x y b +，或()x y b -，．⑵ 图形平移：①把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位．②如果把图形各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位．注意：平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化．【引例】 点()35M --，向上平移7个单位得到点1M 的坐标为 ；再向左平移3个单位得到点2M 的坐标为 ．【解析】 点向上平移7个单位，则横坐标不变，纵坐标增加7，即1M 坐标为()32-，，再向左平移3个单位，则纵坐标不变，横坐标减少3，即2M 坐标为()62-，．【例3】 ⑴ 平面直角坐标系中，将(2,1)P -向右平移4个单位，向下平移3个单位，得到'P ，CB A'A-1-2-3-3-2-1O yx123456654321l 典题精练例题精讲思路导航题型二：坐标系中的平移⑵ 平面直角坐标系中，线段11A B ′′是由线段AB 经过平移得到的，点()14A --，的对应点为 ()111A -，′，那么此过程是先向 平移 个单位再向 平移 个单位得到的，则点B ()11，的对应点1B 坐标为 ． ⑶将点()21，P m n -+沿x 轴负方向平移3个单位，得到()112，P m -，则点P 坐标是 ． （一五六中学期中）⑷ 平面直角坐标系中，线段A B ′′是由线段AB 经过平移得到的，点()21，A -的对应点为 ()34，A ′，点B 的对应点为()40，B ′，则点B 的坐标为（ ）A ．()93，B ．()13，--C ．()33，-D ．()31，--（一五六中学期中）【解析】 ⑴ ()22-，； ⑵ 右2，上3，()3,4；⑶ ()12，．由题意知23112m m n --=-⎧⎨+=⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩．故点()12P ，．⑷ B ；可知线段AB 向右平移5个单位，向上平移3个单位得到A B ''，故点B 坐标是()13，--．【例4】 ⑴ 如下左图，在平面直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移得到的，左边图案中左、右眼睛的坐标分别是(42)-，，(22)-，，右边图案中左眼的坐标是(34)，，则右边图案中右眼的坐标是_______．（北京十二中期中） ⑵ 如下右图是由若干个边长为1的小正方形组成的网格，请在图中作出将“蘑菇”ABCDE 绕A 点逆时针旋转90︒再向右平移2个单位的图形（其中C 、D 为所在小正方形边的中点）．⑶ 如图，把图1中的A e 经过平移得到O e （如图2），如果图1中A e 上一点P 的坐标为()m n ，，那么平移后在图2中的对应点P '的坐标为 ．（三帆中学期中）【解析】 ⑴ 左眼坐标由(42)-，变为(34)，，由此可知由左图得到右图是向上平移2个单位，向右平移7个单位，从而得到右眼平移后的坐标为(54)，． ⑵ 图略；A B CDE -3图1-图2⑶ ()21m n +-，；A e 向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到O e ．在平面直角坐标系或网格中求面积，一般将难以求解的图形分割成易求解的图形的面积，可以用大图形的总面积减去周围小三角形的面积．一般方法有割补法和等积变换法．找规律的题目一定要先找123n =、、几个图形规律，再推广到n 的情况．从简单情形入手，从中发现规律，猜想、推测、归纳出结论，这是创造性思维的特点．【引例】 如图，直角坐标系中，ABC △的顶点都在网格点上，其中点A 坐标为()21-，，则ABC △的面积为 平方单位． 【解析】 长方形FDEB 的面积是12平方单位，ADC △的面积是1.5平方单位，AEB △的面积是4个平方单位，BFC △的面积是1.5平方单位，所以ABC △的面积为124 1.5 1.55---=平方单位．【例5】 ⑴ 直角坐标系中，已知()10A -，、()30B ，两点，点C 在y 轴上，ABC △的面积是4，则点C 的坐标是 ．⑵ 如右图，已知直角坐标系中()14A -，、()02B ，，平移线段AB ， 使点B 移到点()30C ，，此时点A 记作点D ，则四边形ABCD 的 面积是 ．（161中学期中）【解析】 ⑴ ()02，或()02，-；⑵ 4；点A 平移后的坐标为()22D ，，所以BD x ∥轴，2BD =，故122242ABCD S =⨯⨯⨯=．【例6】 ⑴ 如下左图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 各顶点的坐标分别为(00)A ，，(90)B ，，(75)C ，，(27)D ，．求四边形ABCD 的面积．典题精练例题精讲思路导航题型三：坐标系中的面积与规律问题OF EDCBA y x1O yxDC BA54321Ay D (2,7)C (7,5)y⑵如上右图，ABC △，将ABC △向右平移3个单位长度，然后再向上平移2个单位长度，可以得到111A B C △．①画出平移后的111A B C △；②写出111A B C △三个顶点的坐标；（在图中标出）③已知点P 在x 轴上，以1A 、1B 、P 为顶点的三角形面积为4，求P 点的坐标．【解析】 ⑴ 本题的关键是根据平面直角坐标系的长度单位、原点和坐标轴方向的意义解决简单的面积问题．可以把图形分割成3个直角三角形和1个正方形，问题就迎刃而解了．如右图，分别过点D 、C 作x 轴的垂线，过C 作y 轴的垂线，则可把图形分割成特殊的4部分，因此(275225)25542ABCD S =⨯+⨯+⨯÷+⨯=四边形．⑵ ①略；②()()()111042041A B C ，，，，，;③ ()00，或()40，．【探究对象】平面直角坐标系中求面积的方法【探究目的】熟练利用几种方法快速准确求面积，为以后学习函数综合题打好基础 建议教师：先让学生自由发散，最后教师再总结方法 方法一、割补法（割：分割后再加；补：补全再减.）【探究1】如图所示，()()()1,4,4,3,5,0A B C ,求图形OABC 的面积.解析： 割：如上左图，分别过点A 、B 做x 轴的垂线段AD 、BE OAD BCE OABC ABED S S S S =++△△四边形梯形 ()111=14+4+33+13=14222⨯⨯⨯⨯⨯⨯补：如上右图，先补全为长方形再减去其余图形OAD BCE ABE OABC ODEC S S S S S =---△△△四边形四边形 111=54141414=14222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯【探究2】如下图所示，()()354,3A B -，，，求图形OAB 的面积.解析：补：如上右图所示，补全图形为ABD △OAB ABD AOD BOD S S S S =--△△△△111117838372222=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=割：利用一次函数可求出直线AB 解析式为：811=77y x -，故117OC =()1111134272OAB OAC OBC S S S =+=⨯⨯+=△△△ 【此法教师备选】方法二、容斥法：面积差【探究3】如图所示，求12S S -的值.解析：1211=6424822ABD ACD S S S S --=⨯⨯-⨯⨯=△△【教师备选】B B方法三、转化法：平行线，一边转到轴上【探究4】如图所示，求三角形AOB 的面积.解析：过点A 做OB 的平行线，交y 轴于点C ，连接BC由一次函数知识可求出直线1=2OB y x ：，设直线1=+2AC y x b ：求得1=+22y x ，得()0,2C由等积变换可知1=24=42AOB BOC S S =⨯⨯△△【探究5】如图所示，求三角形ABC 的面积.解析：过点A 作BC 的平行线交y 轴于点D ，连接DC 利用一次函数求得:=2+2BC y x ，设直线:=2+AD y x b 求得=2+7y x ，()0,7D由等积变换可知15=15=22ABC DBC S S =⨯⨯△△【点评】方法一和二为坐标系中求面积的常用方法，方法三转化法用到了一次函数的知识，作为教师备选，建议教师可给学生传递这种求面积的思想，即把其中的一条边转化为坐标轴，从而快速的求出面积.【变式】已知，在平面直角坐标系中，A 、B 两点分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且3OB OA ==．⑴直接写出点A 、B 的坐标； ⑵若点()22C -，，求BOC △的面积；⑶点P 是与y 轴平行的直线上一点，且点P 的横坐标为1，若ABP △的面积是6，求点P 的坐标．【解析】 ⑴()()3,00,3A B ，;⑵13232BOC S =⨯⨯=△;⑶ 分两种情况：①当点P 在第一象限时，设()1,,>0P a a ，如图1所示AOB ABP BDP AODP S S S S =++△△△四边形即()()1911+3=+6+3222a a ⨯-，解得=6a ()1,6P②当点P 在第四象限时，设()1,,<0P a a ，如图2所示 ABP AOB BDP AODP S S S S =+-△△△四边形 即()()911+1+313+=6222a a ⨯-⨯⨯解得=2,a 故=2a -. 即()1,2P -图1 图2【例7】 ⑴ 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，图中的正方形的四个顶点都在格点上，观察图中每一个正方形四 条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形四条边 上的整点个数共有 个．（清华附中期中）⑵ 如图，在平面直角坐标系中，第1次将OAB △变换成11OA B △，第二次将OAB △变换成22OA B △，第3次将OAB △变换成33OA B △．已知()13A ，，()123A ，，()243A ，，()383A ，，()20B ，，()140B ，，()280B ，，()3160B ， 观察每次变化前后的三角形，找出规律，按此变化规律再将33OA B △变换成44OA B △，则点4A 的坐标是 ，点4B 的坐标是 ，点n A 的坐标是 ，点n B 的坐标是 ．【解析】 ⑴ 40；⑵ ()163，，()320，，()23，n ，()120，n +【例8】 一个粒子在第一象限内及x 轴、y 轴上运动，在第1min 内它从原点运动到(10)，，而后接着按如图所示方式在与x 轴、y 轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么，在2013min 后，求这个粒子所处的位置坐标．【解析】 弄清粒子的运动规律，并求出靠近1989min 后粒子所在的特殊点的坐标，最后确定所求点的坐标．对于这种运算数较大的题目，我们首先来寻找规律，先观察横坐标与纵坐标相同的点： (00)，，粒子运动了0min ．(11)，，粒子运动了122(min)⨯=，向左运动． (22)，，粒子运动了236(min)⨯=，向下运动． (33)，，粒子运动了3412(min)⨯=，向左运动． (44)，，粒子运动了4520(min)⨯=，向下运动．……于是点(4444)，处粒子运动了44451980(min)⨯=．这时粒子向下运动，从而在运动了2013min 后，粒子所在的位置是(444433)-，，即(4411)，．【变式】将正整数按如图所示的规律在平面直角坐标系中进行排列，每个正整数对应一个整点坐标()x y ，，且x ，y 均为整数．如数5对应的坐标为()11-，，则数 对应的坐标是()23-，，数2012对应的坐标是 ． （2012年101中期中）【拓展】 数1950对应的坐标是 .【解析】 36，()922-，. ()22,9- 真题赏析12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637 xy如右图所示，可观察到奇数平方数的规律如下数字 坐标21=1 ()0,023=9 ()11-， 25=25 ()22-，……那么由245=2025可得数2025对应的坐标为()2222-，， 故数2012对应的坐标为()221322--，，即()922-，. 拓展：由于2012比较接近45的平方，而1950接近44的平方，故观察偶数平方数的规律数字 坐标22=4 ()0,124=16 ()12-， 26=36 ()23-，……由244=1936可得数1936对应的坐标为()21,22-，此时再往左一个数字1937对应坐标为()22,22-，此后向下数字变大，故1950对应的坐标为()22,2213--，即()22,9-.【教师备选】【备选1】类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位，用实数加法表示为()321+-=．若坐标平面上的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，平移a个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对{}a b ，叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{}a b ，与“平移量”{}c d ，的加法运算法则为{}{}{}a b c d a c b d +=++，，，． 解决问题：⑴ 计算：{}{}3112+，，； ⑵ 动点P 从坐标原点O 出发，先按照“平移量”{}31，平移到A ，再按照“平移量”{}12， 平移到B ；若先把动点P 按照“平移量”{}12，平移到C ，再按照“平移量”{}31，平移，最后的位置还是点B 吗？在图1中画出四边形OABC ．⑶ 如图2，一艘船从码头O 出发，先航行到湖心岛码头()23P ，，再从码头P 航行到码头()55Q ，，最后回到出发点O ，请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．（2012北京101中期中）【解析】 ⑴}{4,3；⑵是，如图所示；⑶}{}{}{}{2,3+3,2+5,5=0,0--.【备选2】观察下列有规律的点的坐标：()111A ，，()224A -，，()334A ，，()442A -，，()557A ，，6463A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()7710A ，，()881A -，依此规律，11A 的坐标为 ，12A 的坐标为 ．（2012年101中期中）【解析】 ()1111,16A ，12212,3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭.横坐标的规律很明显，而纵坐标414,427,,10, 1 (3)----，，，中的奇数数列1,4,7,10是公差为3的等差数列，11A 的纵坐标为16，偶数数列可转化为4444,,,1234----，故12A 的纵坐标为42=63--. 【备选3】一个动点P 在平面直角坐标系中作折线运动，第一次从原点运动到（1，1），然后按图中箭头所示方向运动，每次移动三角形的一边长.即（1，1）→（2，0）→（3，2）→（4，0）→（5，1）→……，按这样的运动规律，经过第17次运动后，动点P 的坐标是 ，经过第2011次运动后，动点P 的坐标是 .【解析】 ()()17,12011,2，.【备选4】如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A 、B两点在网格格点上，若点C 也在网格格点上，以A 、B 、C 为顶 点的三角形面积为2，则满足条件的点C 个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2（2012清华附中期中） 【解析】 B .【备选5】在平面直角坐标系中，已知()22A -，，在y 轴上确定点P ，使AOP △为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个（2012陈分期中考试）【解析】 C题型一 坐标系中的对称 巩固练习【练习1】 ⑴ 在平面直角坐标系中，点()25A ，与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标是（ ） A ．(52)--， B ．()25--，C ．()25，-D ．()25，-⑵ 已知点()P x y ，，()Q m n ，，如果00x m y n +=+=，，那么点P Q ，（ ） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于过点()()0011，，，的直线对称 ⑶ 已知：()2|1|20x y -++=，则()x y ，关于原点对称的点为 ．(12，0)(10，0)(8，0)(6，0)(4，0)(2，0)(11，2)(9，1)(7，2)(5，1)(3，2)(1，1)O 复习巩固（北京十二中）⑷ 已知点()33P a b +，与点()52Q a b -+，关于x 轴对称，则a = ，b = ．【解析】 ⑴ Ｃ；⑵ A ；⑶ ()12-，；⑷ 12a b ==-，；由3523a b a b +=-⎧⎨+=-⎩解得12a b =⎧⎨=-⎩． 题型二 坐标系中的平移 巩固练习【练习2】 ⑴线段CD 是由线段AB 平移得到的，点()15A -，的对应点是()42C ，，则点()41B -，的对应点D 的坐标为 ．⑵在平面直角坐标系中有一个已知点A ，现在x 轴向下平移3个单位，y 轴向左平移2个单 位，单位长度不变，得到新的坐标系，在新的坐标系下点A 的坐标为()12-，，在旧的坐标系下，点A 的坐标为 ．【解析】 ⑴()9,4-；⑵()31--，．【练习3】 如图，在平面直角坐标系中，若每一个方格的边长代表一个单位．⑴ 线段DC 是线段AB 经过怎样的平移得到的？ ⑵ 若C 点的坐标是()41，，A 点的坐标是()12--，，你能写出B 、D 两点的坐标吗？⑶ 求平行四边形ABCD 的面积．（首师大二附中期中）【解析】 ⑴ 先向右平移1个单位再向上平移3个单位．⑵ ()32B -，，()01D ，． ⑶ 4312ABCD S =⨯=Y ．题型三 坐标系中的面积和规律问题 巩固练习【练习4】 ⑴ 已知()02，A -，()50，B ，()43，C ，求△ABC 的面积． （四中期中） ⑵ 已知：()40A ，，()10B x -，，()13C ，，ABC △的面积6=， 求代数式22225432x x x x x -++--的值．（人大附中期中）【解析】 ⑴ 172．⑵ 由题可得4AB =，得1441x x --=±⇒=或7x =-，原式化简222254322x x x x x x -++--=--，代入得3-或5【练习5】 如图，长为1，宽为2的长方形ABCD 以右下角的顶点为中心顺时针旋转90︒，此时A 点的坐标为 ；依次旋转2009次，则顶DCBA点A 的坐标为 ．【解析】 ()32，，()30152，．第十四种品格：信念你的意念能跳多高布勃卡是举世闻名的奥运会撑杆跳冠军，享有“撑杆跳沙皇”的美誉。
学而思各年级数学大纲
一年级课次主题1巧算加减法2图形的计数3我会排一排4单数与双数5智趣推理6生活中的数学7付钱的方法8有趣的数字谜9有趣的数阵图10摸彩球11钟表数学(2)12间隔之谜13趣题巧解14感受对称之美15期末测评二年级1巧算加减法2几何计数问题进阶3有趣的周期问题4和差问题5移多补少应用题6推理综合7重叠问题8巧求周长9数阵图10猜猜他几岁11逆向思考12等式加减法13数学广角14经典数学游戏15期末测评三年级课次主题1巧填算符2小数的认识3平行四边形与梯形4年龄问题5带余除法初步6简单统计7点线排布8等差数列初步9页码问题10标数法11图形计数12简易方程13简易方程的应用14路程速度与时间15期末测试主要内容1.利用凑整的方法进行连续几个加数相加的计算；2.对于加减混合的计算，利用带符号搬家进行凑整计算；学习掌握加减法巧算的两个核心基本点：凑整和“抱”符号搬家。
根据所学巧算的方法来进行图形的计数，灵活掌握有规律图形计数方法。
这节课重在向学生渗透简单的排列、组合的数学思想方法，初步培养学生有顺序、全面地思考问题的意识。
认识单数与双数及加减特性，会用单双数思想解决一些实际的生活问题。
通过创设情景，让学生经历对生活中某些现象推理、判断的过程，学会用排序、画表等多种方法进行推理判断。
分析常见的应用题，进一步学习“比多比少”的应用题及简单的重叠问题，灵活运用画图法分析、解应用题。
1.让学生会计算所付人民币的总钱数；2.会根据自己手中人民币的数量来付钱，学习列表法和枚举法。
通过对不同的符号、汉字或字母组成的竖式数字谜的接触，让学生根据竖式的结构特点，寻求突破口、找出“关键位置”来计算未知的数字。
1.通过一些简单的填数字游戏，让学生初步感知数阵，让学生用自己喜欢的方法来巧填数字，培养思维能力；2.引导学生去发现数阵的简单规律以及填数阵的基本方法，通过找数阵中的关键数来找到解决问题的钥匙，在今后的学习中，能把这种方法灵活应用到生活中去。
学而思寒假七年级尖子班讲义第2讲实数三大概念
专题二实数的三大概念目标一理解算术平方根、平方根、立方根的概念目标二掌握开平方、开立方的计算方法目标三熟练运用..a的双重非负性表二表三106、、25642的平方根为 __________题型一：概念应用例 1(1)求下列各数的算术平方根和平方根被开方 数4225169361121 361? 160.09 0.16 0.0001 算术平 方根平方根被开方数232234537262190.1算术平方 根平方根(3)求下列各数的算术平方根和平方根:81U _6)2.0.01,081 .0.04.324124 25、:J900的平方根为 ______ J （ 6）2的算术平方根为 _________例2（1） 一个非负数的平方根是 2a 1和a 5，则这个非负数是多少（2）已知2a 1与 a 2是m 的平方根，求 m 的值。
练（1）（洪山区2015-2016七下期中）一个正数 a 的平方根是3x 4与2 2x ,则这个正数 （2）已知x 1与2x 4是k 的平方根，求k 的值。
（、、2013）2 =（5）2的算术平方根为 _______J 0.1）2 —竞赛链接（2009联赛）已知a,b是正整数, 且满足2 t15 , 是整数, 则这样的有序数对(a,b)共有例 3 （1）若•一x 1 y 3 0 ,求.x y 的值。
（2）已知3x 2y 1 、5x_5，求6x 3y的平方根练若（x 2y 2）2与2x_y—5互为相反数，求x y的算术平方根例4 （1）若根式j x—2有意义，则x应满足_______若根式45—x有意义，则x应满足_________若根式J3 x和J x 3有意义，则x应满足____________若根式&~x 丘~1有意义，则x应满足_________________ _ ___ 5⑵已知y . 2x 3 . 3 2x 5，求x y 的平方根2(3)(梅苑中学2015-2016七下期中)若y勺x? 4 J4 x?，则2x y的平方根为________________x 2练(1)若(x y)2.，厂..^"X，求x y的值(2)已知y , 2x 1 J 2x 16x，求、.xy的平方根例5(1)已知2015 a J a 2016 a，求a 20152的值(2)已知2a 4 b 2 J(a 3)b2 4 2a，求a b 的值练已知5 x j x—6 x 4，求―2的平方根拓已知....X y 8 8 x y , x 2y a x y a，求x y a的算术平方根模块二立方根3^25 ______ 勺64 ------------------ 旷27 ___V27 _ 引0.0008 _ V 512 __ 旷27的立方根等于_______ 3G03的立方根等于 ___________________________ 3 ~ a^64的立方根为_______ 3 ( 2)3__38的立方根为 ________書64的立方根为_______ 旷8的立方根为________例7（1）（洪山区2015-2016七下期中）求一个数的立方根，有些可以直接求，如 3 8 2，有些数则不能直接求得，如39，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：已知V2"16 1-293,V21?6 2785，返16 6，运用你发现的规律，求321600000(2) 7036 _________ 屈_________________ 73600 ______________已知V102.01 10.1，则V1-0201 _______已知J1.477 1.215,(4.77 3.843,则J0.01477 ______练（汉阳区2015-2016七下期中）观察下列计算过程，猜想立方根3 3 3 3 3 3 3 3 31 1,2 8,3 27,4 64,5 125,6 216,7 343,8 512,9 729 。
学而思六年十二级体系大纲
组合 43级
构造与论证
期末测试
春季 计算 29级 组合 44级 几何 32级 几何 33级 数论 22级 数学 23级 应用题 44级 行程 17级 组合 45级
期末测试
春季 简单的速算 图形的计数 我会排一排 单数与双数 智趣推理 生活中的数学 付钱的方法 有趣的数字迷 有趣的数阵图 摸彩球
钟面上的数学 2 间隔之谜 趣题巧解
秋季 组合 10级 趣味数学 13级 计算 8级 数列与数表 3级 数列与数表 4级 组合 11级
二年级
几何 6级 组合 9级 趣味数学 12级
图形的等积变换 你有几种答案
数学乐园 期末测试
计算 11级 几何 9级 数字谜 6级 计算 12级 应用题 19级 应用题 20级 数论 2级 几何 10级 趣味数学 18组
寒假
春季
计算 15级
速算与巧算之四则运算
数字谜 7级
几何 11级
面积的认识
数列与数表 7级
应用题 26级
和差倍运用
数字谜 8级
应用题 27级
间隔与方阵
数论 3级
应用题 28级
有趣的余数问题
趣味数学 21级
应用题 29级
倒推与图示
数论 4级
期末测试
数列与数表 8级
数字谜 9级
应用题 30级
数论 5级
代数 5级
期末测试与试卷讲评
春季 小数
等积变形 格点与割补 组合(插板、定序) 染色与覆盖 最值问题 1 破译字母竖式与横式
问题 整除特征 2 几何计数 1
数独 解二元一次方程组
专题类行程 统筹与最优化 期末总复习 期末测试与试卷讲评
春季 分数四则混合运算 勾股定理 长方体与正方体 立体图形与空间想象
四年级数学竞赛秋季班-第02讲-整数与数列(下)
A．4893；
B．4900；
C．4891；
D．4901；
5．(★★★★)计算：1＋4＋9＋16＋…＋1089
A．12526
B．12527
C．12528
D．12529
6．(★★★★★)计算52＋62＋72＋…＋1002
A．338280
B．338320
(★★★)
计算：
20×20－19×19＋18×18－17×17＋…＋2×2－1×1
(★★★)
计算：
12－22＋32－42＋52－62＋72－82＋92－102＋112
(★★★★)
(22＋42＋62＋…＋1002)－(12＋32＋52＋…＋992)
⑴(★★★)
利用“平方差公式”，我们还可以巧算下列各题，让我们来试试吧。
和过往的你
记挂你的现今
和现今的你
遐想你的将来
和将来的你
难了难了
相思可以这一世
---------------------谢谢喜欢--------------------
羡你悠然书气
人生若只如初见
任你方便时来
随你心性而去
却为何，有人
为一眼而愁肠百转
为一见而不远千里
晨起凭栏眺
但见云卷云舒
风月乍起
春寒已淡忘
如今秋凉甚好
几度眼迷离
感谢喧嚣
把你高高卷起
砸向这一处静逸
惊翻了我的万卷
和其中的一字一句
幸遇只因这一次
被你拥抱过，览了
被你默诵过，懂了
被你翻开又合起
被你动了奶酪和心思
不舍你的过往
C．338350
D．338380
学而思想奥数全能版目录
第一专题：计算专题共34讲【强化篇17讲竞赛篇17讲】一、计算竞赛篇共17讲竞赛1-加减法巧算之凑整与组合思想之竞赛篇(第1讲)竞赛2-乘除法巧算之提取公因式与组合思想之竞赛篇(第2讲)竞赛3-四则混合巧算只综合技巧之竞赛篇(第3讲)竞赛4-定义新运算之速算与巧算之竞赛篇(第4讲)竞赛5-数列求和与公式技巧之竞赛篇(第5讲)竞赛6-多位计算与归纳思想之竞赛篇(第6讲)竞赛7-小数计算与换元思想之竞赛篇(第7讲)竞赛8-数表计算与代数公式应用之竞赛篇(第8讲)竞赛9-循环小数互化与错位相减技巧之竞赛篇(第9讲)竞赛10-分数(繁分数)计算综合与比例转化之竞赛篇(第10讲)竞赛11-比较与估算综合技巧之竞赛篇(第11讲)竞赛12-分数计算之拆分、裂项与通项归纳之竞赛篇(第12讲)竞赛13-分数计算之换元与缩放之竞赛篇(第13讲)竞赛14-定义新运算之复杂运算与抽象运算之竞赛篇(第14讲)竞赛15-四大杯赛中的计算综合思想之竞赛篇(第15讲)竞赛16-计算综合之复杂分数裂项计算综合之复杂整数裂项之竞赛篇(第16讲) 竞赛17-计算综合之复杂公式与复杂换元计算之竞赛篇(第17讲)二、计算强化篇共17讲第一讲加减法巧算之凑整与组合思想(第18讲)第二讲乘除法巧算之提取公因式与组合思想(第19讲)第三讲四则混合巧算只综合技巧(第20讲)第四讲定义新运算之速算与巧算(第21讲)第五讲数列求和与公式技巧(第22讲)第六讲多位计算与归纳思想(第23讲)第七讲小数计算与换元思想(第24讲)第八讲数表计算与代数公式应用(第25讲)第九讲循环小数互化与错位相减技巧(第26讲)第十讲分数(繁分数)计算综合与比例转化(第27讲)第十一讲比较与估算综合技巧(第28讲)第十二讲分数计算之拆分、裂项与通项归纳(第29讲)第十三讲分数计算之换元与缩放(第30讲)第十四讲定义新运算之复杂运算与抽象运算(第31讲)第十五讲四大杯赛中的计算综合思想(第32讲)第十六讲计算综合之复杂分数裂项与整数裂项(第33讲)第十七讲计算综合之复杂公式与复杂换元计算(第34讲)第二专题数论专题计算专题共38讲【强化篇19讲竞赛篇19讲】一、数论竞赛篇第一讲奇偶数的性质与应用之竞赛篇(第35讲)第二讲有趣余数之性质与周期之竞赛篇(第36讲)第三讲整数分拆之分类与计数之竞赛篇(第37讲)第四讲整数分拆之最值与应用之竞赛篇(第38讲)第五讲数的整除之性质与求法之竞赛篇(第39讲)第六讲数的整除之代数思想与运用之竞赛篇(第40讲)第七讲数的整除之四大判断法综合运用之竞赛篇(第41讲)第八讲质数、合数与两大约数定理之竞赛篇(第42讲)第九讲因数与倍数之最大公因数与最小公倍数之竞赛篇(第43讲)第十讲因数与倍数之综合应用之竞赛(第44讲)第十一讲完全平方数之竞赛篇(第45讲)第十二讲带余除法之竞赛篇(第46讲)第十三讲同余问题之竞赛篇(第47讲)第十四讲中国剩余定理之竞赛篇(第48讲)第十五讲进制与位值原理之竞赛篇(第49讲)第十六讲四大杯赛的数论综合思想之竞赛篇(第50讲)第十七讲数论综合之整除相关问题之竞赛篇(第51讲)第十八讲数论综合之余数相关问题之竞赛篇(第52讲)第十九讲数论在方程、计数、最值、行程等问题中的应用之竞赛篇(第53讲) 二、数论强化篇第一讲奇偶数的性质与应用(第54讲)第二讲有趣余数之性质与周期(第55讲)第三讲整数分拆之分类与计数(第56讲)第四讲整数分拆之最值与应用(第57讲)第五讲数的整除之性质与求法(第58讲)第六讲数的整除之代数思想与运用(第59讲)第七讲数的整除之四大判断法综合运用(第60讲)第八讲质数、合数与两大约数定理(第61讲)第九讲因数与倍数之最大公因数与最小公倍数(第62讲)第十讲因数与倍数之综合应用(第63讲)第十一讲完全平方数(第64讲)第十二讲带余除法(第65讲)第十三讲同余问题(第66讲)第十四讲中国剩余定理(第67讲)第十五讲进制与位值原理(第68讲)第十六讲四大杯赛中的数论综合思想(第69讲)第十七讲数论综合之整除相关问题(第70讲)第十八讲数论综合之余数相关问题(第71讲)第十九讲数论在方程、计数、最值、行程等问题中的应用之竞赛篇(第72讲) 第三专题行程专题计算专题共30讲【强化篇15讲竞赛篇15讲】一、行程竞赛篇第一讲基础行程之竞赛篇(第73讲)第二讲简单相遇、追及之竞赛篇(第74讲)第三讲复杂相遇、追及之竞赛篇(第75讲)第四讲猎狗追兔之竞赛篇(第76讲)第五讲火车过桥之竞赛篇(第77讲)第六讲多次相遇之竞赛篇(第78讲)第七讲多人行程之竞赛篇(第79讲)第八讲流水行船之竞赛篇(第80讲)第九讲简单环形之竞赛篇(第81讲) 第十讲复杂环形之竞赛篇(第82讲) 第十一讲接送问题之竞赛篇(第83讲) 第十二讲间隔发车之竞赛篇(第84讲) 第十三讲电梯问题之竞赛篇(第85讲) 第十四讲变速变道之竞赛篇(第86讲) 第十五讲综合行程之竞赛篇(第87讲) 二、行程强化篇第一讲基础行程(第88讲)第二讲简单相遇、追及(第89讲)第三讲复杂相遇、追及(第90讲)第四讲猎狗追兔(第91讲)第五讲火车过桥(第92讲)第六讲多次相遇(第93讲)第七讲多次行程(第94讲)第八讲流水行船(第95讲)第九讲简单环形(第96讲)第十讲复杂环形(第97讲)第十一讲接送问题(第98讲)第十二讲间隔发车(第99讲)第十三讲电梯问题(第100讲)第十四讲变速变道(第101讲)第十五讲综合行程(第102讲)第四专题应用题专题共16讲一应用题1和差倍问题(第103讲)盈亏问题(第104讲)二应用题2还原问题(第105讲)鸡兔同笼(第106讲)三应用题3年龄问题(第107讲)周期问题(第108讲)四应用题4平均数问题(第109讲)统筹与规划问题(第110讲)五应用题5分数百分数问题(第111讲)牛吃草(第112讲)六应用题6比和比例(第113讲)工程问题(第114讲)七应用题7经济问题(第115讲)浓度问题(第116讲)八应用题8方程解复杂应用题(第117讲)应用题综合(第118讲)第五专题：几何专题计算专题共4讲【5级2讲6级2讲】一、几何专题能力进阶五级：五大模型及常用思维与方法第一讲五大模型(第119讲)第二讲常用思维与方法(第120讲)二、几何专题能力进阶六级：曲线型与立体几何第一讲曲线型(第121讲)第二讲立体几何(第122讲)。
学而思七年级数学培优讲义word版（全年级章节培优-绝对经典）[精品文档]
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学⽽思七年级数学培优讲义word版（全年级章节培优-绝对经典）[精品⽂档]第1讲与有理数有关的概念考点·⽅法·破译1．了解负数的产⽣过程，能够⽤正、负数表⽰具有相反意义的量.2．会进⾏有理的分类，体会并运⽤数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会⽤数轴⽐较两个有理数的⼤⼩，会求⼀个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7⽶⑵收⼈－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】⽤正、负数表⽰实际问题中具有相反意义的量．⽽相反意义的量包合两个要素：⼀是它们的意义相反．⼆是它们具有数量．⽽且必须是同类两，如“向前与⾃后、收⼊与⽀出、增加与减少等等”解：⑴向前－7⽶表⽰向后7⽶⑵收⼊－50元表⽰⽀出50元⑶体重增加－3千克表⽰体重减⼩3千克.【变式题组】01．如果＋10%表⽰增加10%，那么减少8%可以记作（）A ．－18%B ．－8%C ．＋2%D ．＋8%02．（⾦华）如果＋3吨表⽰运⼊仓库的⼤⽶吨数，那么运出5吨⼤⽶表⽰为( )A ．－5吨B ．＋5吨C ．－3吨D ．＋3吨03．（⼭西）北京与纽约的时差－13（负号表⽰同⼀时刻纽约时间⽐北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____【例２】在－227，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限⼩数和⽆限循环⼩数，因为π＝3.1415926…是⽆限不循环⼩数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数0.033.3是⽆限循环⼩数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0．1 5，－12，－301.31.25，－18，100.l ，－3 001中，负分数为，整数为，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填⼊图中适当位置15，－19，215，－138，0.1．－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有⼀列数为－1，12，－13，14．－15，16，…，找规律到第2007个数是 . 【解法指导】从⼀系列的数中发现规律，⾸先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进⾏验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分⼦部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分⼦也是1．分母是2007，并且是⼀个负数，故答案为－12007. 【变式题组】01．（湖北宜宾）数学解密：第⼀个数是3＝2 ＋1，第⼆个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四⼗数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 .02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了⼀种“馨折形”填数法，如图则？填____.03．（茂名）有⼀组数l ，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____.【例４】（2008年河北张家⼝）若l ＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和⼏何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.⼏何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表⽰的数叫互为相反数，本题m 2＝－4,m ＝－8 【变式题组】01．（四川宜宾）－5的相反数是( )A ．5B ． 15C ．－5D ．－1502．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______03．如图为⼀个正⽅体纸盒的展开图，若在其中的三个正⽅形A 、B 、C 内分别填⼈适当的数，使得它们折成正⽅体.若相对的⾯上的两个数互为相反数，则填⼈正⽅形A 、B 、C 内的三个数依次为( )A ．－ 1 ,2，0B ． 0，－2，1C ．－2，0，1D ． 2，1，0【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b|＞a ，则a,b 、－a,－b 的⼤⼩顺序是( )A ． b ＜－a ＜a ＜－bB ． –a ＜b ＜a ＜－bC ． –b ＜a ＜－a ＜bD ． –a ＜a ＜－b ＜b【解法指导】理解绝对值的⼏何意义：⼀个数的绝对值就是数轴上表⽰a 的点到原点的距离,即|a|,⽤式⼦表⽰为|a|＝0)0(0)(0)a a a a a >??=??-标出a 、b,依相反数的意义标出－b,－a,故选A ．【变式题组】01．推理①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a |≠|b|；④若|a |≠|b|，则a ≠b ，其中正确的个数为（）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c＝ .03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a|＋b |b|＋c |c|的值可能是____. 【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a+b ab的值. 【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运⽤，因为任何有理数a 的绝对值都是⾮负数，即|a |≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.⽽两个⾮负数之和为0，则两数均为0.解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，⼜|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a+b ab ＝1232＝38【变式题组】01．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ．02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( )A ．－4B ．－1C ． 0D ． 403．已知|a|＝8，|b|＝2，且|a －b|＝b －a ，求a 和b 的值【例７】（第l8届迎春杯）已知(m ＋n)2＋|m|＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．【解法指导】本例关键是通过分析(m ＋n)2＋|m|的符号，挖掘出m 的符号特征,从⽽把问题转化为(m ＋n)2＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径.解：∵(m ＋n )2≥0，|m |≥O∴(m ＋n)2＋|m |≥0，⽽(m ＋n)2＋|m|＝m∴ m ≥0,∴(m ＋n)2＋m ＝m ，即(m ＋n)2＝0∴m ＋n ＝O ①⼜∵|2m －n －2|＝0∴2m －n －2＝0 ②由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－49【变式题组】01．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5且|2a －b –l|＝0，求a －B ．02．（第16届迎春杯）已知y ＝|x －a|＋|x ＋19|＋|x －a －96|，如果19＜a ＜96．a ≤x ≤96,求y 的最⼤值.演练巩固·反馈提⾼01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第9个数是( ) A ． 156 B ． 172 C ． 190 D ． 111002．（芜湖）－6的绝对值是( )A ． 6B ．－6C ． 16D ．－1603．在－227,π,8..0.3四个数中，有理数的个数为( ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个04．若⼀个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )A ． a －bB ． b －aC ． –a ＋bD ． –a －b05．数轴上表⽰互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )A ． 0和6B ． 0和－6C ． 3和－3D ． 0和306．若－a 不是负数，则a( )A ．是正数B ．不是负数C ．是负数D ．不是正数07．下列结论中，正确的是( )①若a ＝b,则|a|＝|b| ②若a ＝－b,则|a|＝|b|③若|a|＝|b|，则a ＝－b ④若|a|＝|b|,则a ＝bA ．①②B ．③④C ．①④D ．②③08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所⽰,则a 、b ，－a ，|b|的⼤⼩关系正确的是( )A ． |b|＞a ＞－a ＞bB ． |b| ＞b ＞a ＞－aC ． a ＞|b|＞b ＞－aD ． a ＞|b|＞－a ＞b09．⼀个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____.10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝____.11．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求|a|a ＋|b|b ＋|abc|abc ＋|c|c12．若三个不相等的有理数可以表⽰为1、a 、a ＋b 也可以表⽰成0、b 、b a的形式，试求a 、b 的值.13．已知|a|＝4，|b|＝5，|c|＝6，且a ＞b ＞c ，求a ＋b －C ．14．|a|具有⾮负性，也有最⼩值为0，试讨论：当x 为有理数时，|x －l|＋|x －3|有没有最⼩值，如果有，求出最⼩值；如果没有，说明理由.15．点A、B在数轴上分别表⽰实数a、b，A、B两点之间的距离表⽰为|AB|．当A、B两点中有⼀点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b| 当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．回答下列问题:⑴数轴上表⽰2和5的两点之间的距离是, 数轴上表⽰－2和－5的两点之间的距离是, 3，数轴上表⽰1和－3的两点之间的距离是 4；⑵数轴上表⽰x和－1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是|x+1|，如果|AB|＝2，那么x＝1或3；⑶当代数式|x＋1|＋|x－2|取最⼩值时，相应的x的取值范围是7．。
北师大版数学六年级下册2.整数(2)课件
8.三个连续偶数的和是42，这三个数的最小公倍数是 （ 336 ）。 9.连续三个自然数的和是33，这三个数的最小公倍数 是（ 660 ）。 10.2个质数的最小公倍数是21,这2个质数是( 3和7 )。
课堂小结
通过本节课的复习你有哪些收获？
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
举两个不同的例子，向同伴解释1万有多大、1 亿有多大。
我走一万步大约有4千米。 一万滴水相当于一瓶矿泉水。 一亿张纸就有一万米高,比珠穆朗玛峰还高。 一亿个小学生手拉手可绕地球赤道3圈半。
巩固应用
1.在正整数的范围内，最小的质数是（ 2 ），最小的 合数是（ 4 ），最小的奇数是（ 1 ），最小的偶数是 （2 ），最小的自然数是（ 0 ）。 2.与6互质的最小合数是（25）。
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰 凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯 上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们 ：和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来 。对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜 春风来，千树万树梨花开。真好看呀！ ►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的 荒原上，闪着寒冷的银光。
3.（29）的最大因数是29，最小公倍数是（29）. 4.数a与数b是互质的，它们的最大公因数是（ 1 ），最 小公倍数是（ ab ）
5.a和b都是自然数，且5a=b，那么a与b的最小公倍数 是（ b ），最大公因数（ a ）。 6.三个连续的自然数的和是21，这三个数的最小公倍 数是（336）。 7.一个三角形的三条边分别是15米、18米和27米，要 给它的三边上栽上树（三个顶点都栽），且每相邻两 棵树间距都相等，最少需要（ 20 ）棵树。（提示： 先考虑相邻两棵树间的距离）
2017二年级学而思秋季数学超常班讲义第二讲
二年级超常班第二讲藏在宝石里的数【例1】找出下面数列的规律，在“()”里填上适当的数．⑴1，2，4，8，（），（），64，128．⑵2，6，18，( ) ，( ) ，486，1458．⑶1，10，100，1000，( ) ，( ) ，1000000，10000000．【分析】这是一组等比数列，通过这个题的学习老师引导学生认识什么是等比数列．⑴⑵⑶这三个数列每组数列每相邻两个数之间相乘的数都是一样的，这样的数列是等比数列．【例2】找出下面数列的规律，在“( )”里填上适当的数．⑴1，1，2，8，（），1024．⑵1，1，3，27，( ) ，59049．【分析】这是一组二级等比数列，通过这个题的学习老师引导学生认识什么是二级等比数列．⑴⑵【例3】找出下面数列的规律，在“()”里填上适当的数．⑴1，2，2，4，8，( )，256．⑵2，3，6，18，（），1944．【分析】⑴从第三个数开始，每一项是前两项的积，故（）里应是；后一个数应该是．⑵从第三个数开始，每一项是前两项的积，故（）里应是；后一个数应该是【例4】根据前几幅图的规律，在下列各图中填出问号处的数．【分析】每个图中数的排列是有规律的，具体分析如下：⑴左数第一个数加第二个数再减去第三个数，就得到第四个数．如13+14-15=12，17+18-19=16，那么第三个图中“？”处就应该是：20+21-22=19．⑵这个图中三个数的规律是：三个角上的数相加等于中间的数．如5+6+7=18，8+9+10=27那么第三个图中“？”处就应该是：11+12+13=36.⑶每个三角形上面的数与左边的数相加再减去右边的数恰好等于三角形内的数．如22+23-20=25，37+38-25=50，所以“？”处应填41+42-23=60．【例5】根据规律，填出所缺的数．【分析】这个数表的每一行的第一个数组成了一个自然数列．第二行中后一个数比前一个数多2，第三行中从第二个数起，每个数比前一个数多3，第四行中每个数比前一个数多4，第五行中每个数应该比前一个数多5，所以第五行第4个数是15+5=20．第六行第4个数是18+6=24．【超常挑战】1.在下面数表中，第10 行的第3 个数是几（从左往右数）？2.在下面数表中，第10 行的第3 个数是几（从左往右数）？3.观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数．⑴1，4，9，（），64，169，441．⑵1，2，6，16，44，（），328．4.根据前几幅图的规律，在下列各图中填出问号处的数．【分析】1.观察可知在图形中第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，…，第9行有9个数，前9行一共有1+2+3+4+5+6+7+8+9=45个数，所以第9行的最后一个数为45，那么第10行为：46，47，48，49，…这样就可以得出第10行的第3个数应该是48．2.观察发现，奇数行的数从左往右写，偶数行的数从右往左写，第10 行最左端第一个数为55，所以第10 行的数从左往右是：55，54，53，从左往右数第三个数为53．3.⑴第一个数是，第二个数是，第三个数是，第五个数是第六个数是，第七个数是，这个数列中每个数都是兔子数列中的数自己乘自己，因此第四个数应该是．⑵从第三个数开始都是前两个数和的2倍．4.每个图中数的排列是有规律的，具体分析如下：⑴左数第一个数乘第二个数再减去第三个数，就得到第四个数．如，，那么第三个图中“？”处就应该是：．⑵这个图中三个数的规律是：左边两个数相乘减去3就等于右边的数．如，，那么第三个图中“？”处就应该是：⑶每个三角形上面的数与左边的数相乘再减去右边的数恰好等于三角形内的数．如，，所以“？”处应填．。
学而思七年级数学下1-10讲
学而思七年级数学下1-10讲第一讲、整式第二讲同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方第三讲同底数幂的除法与整式的乘除第四讲整式的除法第五讲平方差公式第六讲完全平方公式第七讲、整式的除法第八讲测试第九讲中考经典第十讲平行线与相交线余角与补角第一讲、整式知识要点：1、单项式的意义：数与字母的乘积的代数式叫做单项式。
（单独的一个数或字母也是单项式） 2b 与 2b的区别2、单项式中的数字因数叫做叫做这个单项式的系数3、单项式中所有字母的指数和叫做叫做这个单项式的次数。
4、几个单项式的和叫做多项式5、组成多项式的每一个单项式叫做多项式的项6、多项式里此数目最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
7、整式的意义：单项式和多项式统称为整式。
（分母中含有字母的代数式不是整式）8、整式的加减：求几个整式的和或差的运算，运算结果仍是整式9、整式加减的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项10、整体代入法：11、整式的运算对数的运算的指导性作用：例1、填空题：（1）单项式213x -的系数是，次数是；（2）单项式222a b c-的系数是，次数是；（3）单项式 22x y z π的系数是，次数是；例2、填空：（1）多项式23x +是次项式，最高次项是，常数项是。
（2）多项式43923101232x y x x y -++是次项式，最高次项的系数是，常数项是。
例3 、已知多项式4212331534a x y xy x y +--+（1）求多项式中各项的系数与次数。
（2）若多项式是8次三项式，求a 的值例4、（1）25ax -与24x a -的差是（2）与2421x x ++的差是24x2例5、若2,3xy x y =-+=，求代数式[](310)5(223xy y x xy y x++-+-的值。
例6、证明：对于任意一个三位数字，交换它的百位数和个位数又得到一个一个数，两个数相减，所得结果能被99整除。
例7、甲、乙两种服装的成本共600元，商店老板为获取利润，决定将甲种服装按60%的利润率定价，在实际出售时，两种服装均按八五折出售。
学而思七年级数学下1-10讲
第一讲、整式第二讲同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方第三讲同底数幂的除法与整式的乘除第四讲整式的除法第五讲平方差公式第六讲完全平方公式第七讲、整式的除法第八讲测试第九讲中考经典第十讲平行线与相交线余角与补角第一讲、整式知识要点：1、 单项式的意义： 数与字母的乘积的代数式叫做单项式。
（单独的一个数或字母也是单项式） 2b 与 2b的 区别2、 单项式中的数字因数叫做叫做这个单项式的系数3、 单项式中所有字母的指数和叫做叫做这个单项式的次数。
4、 几个单项式的和叫做多项式5、 组成多项式的每一个单项式叫做多项式的项6、 多项式里此数目最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
7、 整式的意义： 单项式和多项式统称为整式。
（分母中含有字母的代数式不是整式）8、 整式的加减：求几个整式的和或差的运算，运算结果仍是整式9、 整式加减的一般步骤：（1） 去括号； （2）合并同类项 10、整体代入法：11、整式的运算对数的运算的指导性作用： 例1、 填空题：（1）单项式213x -的系数是 ，次数是 ；（2） 单项式222a b c-的系数是 ，次数是 ；（3） 单项式 22x y z π的系数是 ，次数是 ；例2、 填空：（1） 多项式23x +是 次 项式，最高次项是 ，常数项是 。
（2） 多项式43923101232x y x x y -++是 次 项式，最高次项的系数是 ，常数项是 。
例3 、 已知多项式4212331534a x y xy x y +--+（1） 求 多项式中各项的系数与次数。
（2） 若多项式是8次三项式，求a 的值例4、（1）25ax -与24x a -的差是 （2） 与2421x x ++的差是24x（3）已知A=21x x -+, B= 2x -，23A B -=例5、 若2,3xy x y =-+=，求代数式[](310)5(223xy y x xy y x ++-+-的值。
例6、 证明：对于任意一个三位数字，交换它的百位数和个位数又得到一个一个数，两个数相减，所得结果能被99整除 。
数列的概念 高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册
本质引领 实际运用
第三关 ：你能写出这个数列的一个通项公式吗？ 9，99，999，9999，…
an 10n 1
（附加题）1，11，111，1111，… 这个数列的通项公式呢？
例1：已知数列{an}的通项公式为an nn 1 , 写
出这个数列的首项、第2项和第3项．
解： 首项为
a 1 11 2 1
第2项为 a2 2 2 1 6
第3项为 a3 3 3 1 12
通项公式 的作用
每个序号都对应着一个 数（项）
设某一数列的通项公式为
序号 1 2 3 4
6、数列的实质
项 2 6 12 20
从函数的观点看，数列项
是 序号的函数。
函数值
y f x
自变量
y f x
序号
项
an 通项 n （正整数或它
公式
的有限子集）
例2：写出下面数列的一个通项公式：
解：它的一个通项公式是
an
1 n1 nn 1
本节课学习的主要内容有： 1.数列的有关概念; 2.数列的通项公式； 3.数列的实质（特殊的函数）；
作业：
（1）习题1-1 A组
（2）请写出数列6，66，666，6666，…… 的一个通项公式。
关于数列的通项公式的几点说明：
（1）并不是所有的数列都有通项公式。 （2） 有些数列通项公式不唯一。例如 -1， 1 ，-1， 1，… ,该数列的通项公式可
以是 an 1n 或者
本质引领 实际运用 第一关： 观察规律填空：
1，4 ，9 ，16 ，25
本质引领 实际运用
第二关： 第4个图案中绿色小三角形 的个数为__2_7__。
an 是数列的第n项．