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学而思讲义

【例1】请画出拉力F的力臂、均匀杆的重力G及其力臂。

的力臂均匀杆的重力及其力臂物体重力示意图和力F的力臂。

图臂测量方便测量。

如图所示的四种用具中()如图所示的四种用具中，属于费力杠杆的是( )【例5】A．镊子B．钢丝钳C．核桃夹D．起子【例6】园艺师傅使用如图所示的剪刀修剪树枝时，常把树枝尽量往剪刀处靠近这样做的目的是为了轴O处靠近，这样做的目的是为了()A．增大阻力臂，减小动力移动的距离B．减小动力臂，减小动力移动的距离C．增大动力臂，省力【例7】如图所示，要把圆筒B推上台阶。

请在图中画出最小推力F。

【例8】如图所示，一位母亲推着婴儿车行走，当前轮遇到障碍物时，母亲向下按扶把，若把婴儿车视为障，，车杠杆，这时杠杆的支点是；当后轮遇到障碍物时，母亲向上抬起扶把，这时婴儿车可视为杠杆(填“省力”或“费力”)。

向不变将杠杆从位置的过程中力向不变，将杠杆从A位置匀速提升到B位置的过程中，力F将。

N。

挂(AO＝3OB)，当在B端挂一个重物时，木棒恰在水平位置平衡。

求此重物的质量是多少？则杆重N。

如果绳重摩擦及风的阻力不计那么在守如果绳重、摩擦及风的阻力不计，那么在守桥士兵将吊桥由水平位置缓慢拉至图中虚线竖置缓慢拉图中虚线直位置的过程中，L1，L2，填F L2。

(填大小变化)＝杠杆(自重不计)，已知AO2OB、固定O点，使OB处于水平位置，此时B端挂一重为40N的物体，要使杠杆不发生转动，至少需在A 端施加F＝___N的力。

时秤杆又处于平衡状态那么被测物体的质量为量为m 2时，秤杆又处于平衡状态。

那么，被测物体的质量为。

物体B ．物体A 受到的重力为3N C ．物体B 向右移动1小格格，物体A 受到的拉力增大2N D ．物体B 1物体向右移动小格，物体A 受到桌面的支持力减小1N。

学而思加乘原理初步课件

加乘原理的重要性
加乘原理在数学中的应用
培养逻辑思维
加乘原理是数学中基本运算之一，对于进行各种复杂的计算具有重要的实际意义。
学习加乘原理有助于培养逻辑思维，提高对数学问题的分析和解决能力。
加深对数学概念的理解
通过学习加乘原理，可以更深入地理解数学中的一些基本概念，如代数、函数等。
加乘原理的应用范围
劣势3
加乘原理的应用需要投入时间和精力，需要进行必要的准备和规划。
对加乘原理未来的展望和期待
发展方向1
深入研究加乘原理的理论和实践，探索其应用范围和领域，推动其在更广泛领域的应用和发展。
发展方向2
加强加乘原理与其他理论或技术的结合，形成新的理论或技术体系，为解决复杂问题提供更多有效的工具和方法。
到一个整体，这个整体的效果大于各个部分的效果之和。
总结2
02
加乘原理可以应用于各种领域，如数学、物理、化学等，以及
商业、管理、教育等方面。
总结3
03
加乘原理是一种思维方式和工具，可以帮助人们更好地理解和
解决复杂问题，提高效率和效果。
分析加乘原理的优势和劣势
优势1
加乘原理可以帮助人们更好地认识事物的本质和规律，从而更好地进行决策和行动。
和融合，能够产生新的工作思路和方法，从而更好地完成工作任务。
03
职业规划与发展
加乘原理可以帮助我们更好地规划职业发展，通过将不同的职业领域进
行关联和整合，能够更好地了解职业发展趋势和机会。
生活上的应用
提高生活质量
加乘原理可以帮助我们更好地管理生活，通过将不同的生活领域进行优化和整合，能够提高生活质量。
案例二：力量的加乘
总结词

学而思七年级数学培优讲义word版

第1讲与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（） A ．－18% B ．－8% C ．＋2% D ．＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ．－5吨 B ．＋5吨 C ．－3吨 D ．＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____【例２】在－227，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0．1 5，－12，－，－18，，－3 001中，负分数为，整数为，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置 15，－19，215，－138，．－，123,【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14．－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007.【变式题组】 01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 . 02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03．（茂名）有一组数l ，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____. 【例４】（2008年河北张家口）若l ＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____.【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题m2＝－4,m ＝－8【变式题组】 01．（四川宜宾）－5的相反数是( ) A ．5 B ． 15 C ．－5 D ．－1502．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方形A 、B 、C 内的三个数依次为( )A ．－ 1 ,2，0B ． 0，－2，1C ．－2，0，1D ． 2，1，0 【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b|＞a ，则a,b 、－a,－b 的大小顺序是( ) A ． b ＜－a ＜a ＜－b B ． –a ＜b ＜a ＜－b C ． –b ＜a ＜－a ＜b D ． –a ＜a ＜－b ＜b【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,即|a|,用式子表示为|a|＝0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩(.本题注意数形结合思想，画一条数轴标出a 、b,依相反数的意义标出－b,－a,故选A ．【变式题组】 01．推理①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a |≠|b|；④若|a |≠|b|，则a ≠b ，其中正确的个数为（）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝ .03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a|＋b |b|＋c|c|的值可能是____.【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a+bab的值.【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即|a |≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，又|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a+b ab ＝1232＝38【变式题组】01．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ． 02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( ) A ．－4 B ．－1 C ． 0 D ． 403．已知|a|＝8，|b|＝2，且|a －b|＝b －a ，求a 和b 的值【例７】（第l8届迎春杯）已知(m ＋n)2＋|m|＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．【解法指导】本例关键是通过分析(m ＋n)2＋|m|的符号，挖掘出m 的符号特征,从而把问题转化为(m ＋n)2＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径. 解：∵(m ＋n )2≥0，|m |≥O∴(m ＋n)2＋|m |≥0，而(m ＋n)2＋|m|＝m ∴ m ≥0,∴(m ＋n)2＋m ＝m ，即(m ＋n)2＝0 ∴m ＋n ＝O ① 又∵|2m －n －2|＝0 ∴2m －n －2＝0 ②由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－49【变式题组】01．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5且|2a －b –l|＝0，求a －B ． 02．（第16届迎春杯）已知y ＝|x －a|＋|x ＋19|＋|x －a －96|，如果19＜a ＜96．a ≤x ≤96,求y 的最大值. 演练巩固·反馈提高01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第9个数是( )A ．156 B ． 172 C ． 190 D ． 111002．（芜湖）－6的绝对值是( )A ． 6B ．－6C ． 16D ．－1603．在－227,π,8..0.3四个数中，有理数的个数为( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 04．若一个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )A ． a －bB ． b －aC ． –a ＋bD ． –a －b05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( ) A ． 0和6 B ． 0和－6 C ． 3和－3 D ． 0和3 06．若－a 不是负数，则a( )A ．是正数B ．不是负数C ．是负数D ．不是正数 07．下列结论中，正确的是( )①若a ＝b,则|a|＝|b| ②若a ＝－b,则|a|＝|b| ③若|a|＝|b|，则a ＝－b ④若|a|＝|b|,则a ＝bA ． ①②B ． ③④C ． ①④D ． ②③08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ，－a ，|b|的大小关系正确的是( )A ． |b|＞a ＞－a ＞bB ． |b| ＞b ＞a ＞－aC ． a ＞|b|＞b ＞－aD ． a ＞|b|＞－a ＞b09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____.10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝____.11．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求|a|a ＋|b|b ＋|abc|abc ＋|c|c12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a 、a ＋b 也可以表示成0、b 、ba 的形式，试求a 、b 的值.13．已知|a|＝4，|b|＝5，|c|＝6，且a ＞b ＞c ，求a ＋b －C ．14．|a|具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x 为有理数时，|x －l|＋|x －3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.15．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b|??当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．回答下列问题:⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是, 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是, 3，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 4；⑵数轴上表示x和－1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是|x+1|，如果|AB|＝2，那么x＝1或3；⑶当代数式|x＋1|＋|x－2|取最小值时，相应的x的取值范围是7．培优升级·奥赛检测01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为199919的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )A ． 1998B ． 1999C ． 2000D ． 2001 02．（第l8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①abc ＜0;②|a －b|＋|b －c|＝|a －c|；③（a －b ）(b －c)(c －a)＞0；④|a|＜1－bc ．其中正确的结论有( )A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个03．如果a 、b 、c 是非零有理数，且a ＋b ＋c ＝0．那么a |a|＋b |b|＋c |c|＋abc|abc|的所有可能的值为（）A ．－1B ． 1或－1C ． 2或－2D ． 0或－2 04．已知|m|＝－m ，化简|m －l|－|m －2|所得结果( )A ．－1B ． 1C ． 2m －3D ． 3－ 2m05．如果0＜p ＜15，那么代数式|x －p|＋|x －15|＋|x －p －15|在p ≤x ≤15的最小值( ) A ． 30 B ． 0 C ． 15 D ．一个与p 有关的代数式 06．|x ＋1|＋|x －2|＋|x －3|的最小值为 .07．若a ＞0，b ＜0，使|x －a|＋|x －b|＝a －b 成立的x 取值范围 . 08．（武汉市选拔赛试题）非零整数m 、n 满足|m|＋|n|－5＝0所有这样的整数组(m ，n)共有组09．若非零有理数m 、n 、p 满足|m|m ＋|n|n ＋|p|p ＝1．则2mnp|3mnp|＝ .10．（19届希望杯试题）试求|x －1|＋|x －2|＋|x －3|＋…＋|x －1997|的最小值.11．已知(|x ＋l|＋|x －2|)（|y －2|＋|y ＋1|）（|z －3|＋|z ＋l|）＝36，求x ＋2y ＋3的最大值和最小值.12．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好，试求k0所表示的数.13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15台、7台、1l台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.第02讲有理数的加减法考点·方法·破译1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.经典·考题·赏析【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了元，下午收盘时又涨了元，则股票A这天的收盘价为（）A．元B．元C．元D．18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－）＋（）＝，故选C．【变式题组】01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（）A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85【变式题组】01．（－）＋（－312）＋（－134）＋（－114）02．（－）＋＋（－）＋（－）03．＋314＋（－318）＋1123＋（－）【例３】计算111112233420082009++++⨯⨯⨯⨯【解法指导】依111(1)1n n n n =-++进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.解：原式＝1111111(1)()()()2233420082009-+-+-++-＝111111112233420082009-+-+-++-＝112009-＝20082009【变式题组】01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算11111111248163264128256+++++++＝__________.【例４】如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0，那么下列关系中正确的是（） A ．a ＞b ＞－b ＞－a B ．a ＞－a ＞b ＞－b C ．b ＞a ＞－b ＞－a D ．－a ＞b ＞－b ＞a【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论. 解：∵a ＜0，b ＞0，∴a ＋b 是异号两数之和又a ＋b ＜0，∴a 、b 中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |将a 、b 、－a 、－b 表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a ＞b ＞－b ＞a 【变式题组】01．若m＞0，n＜0，且| m |＞| n |，则m＋n ________ 0.（填＞、＜号）02．若m＜0，n＞0，且| m |＞| n |，则m＋n ________ 0.（填＞、＜号）03．已知a＜0，b＞0，c＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a、b、c、a＋b、a＋c的大小【例５】425－（－33311）－（－）－（－21811）【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.解：425－（－33311）－（－）－（－21811）＝425＋33311＋＋21811＝＋＋（33311＋21811）＝6＋55＝61【变式题组】01．21511 ()()()()(1) 32632 --+---+-+02．434－（＋）－（－314）＋（－）03．178－－（－43221）＋1531921－【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n个数是多少？⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169【变式题组】01．(杭州)观察下列等式1－12＝12，2－25＝85，3－310＝2710，4－417＝6417…依你发现的规律，解答下列问题.⑴写出第5个等式；⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？02．观察下列等式的规律9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律；⑵当这个等式的右边等于2008时求n.【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋（15＋25＋35＋45）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.解：设S＝12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）则有S＝12＋（23＋13）＋（34＋24＋14）＋…＋（4950＋4850＋…＋250＋150）将原式和倒序再相加得2S＝12＋12＋（13＋23＋23＋13）＋（14＋24＋34＋34＋24＋14）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950＋4950＋4850＋…＋250＋150）即2S＝1＋2＋3＋4＋…＋49＝49(491)2⨯+＝1225∴S＝1225 2【变式题组】01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋21002．（第8届希望杯试题）计算（1－12－13－…－12003）（12＋13＋14＋…＋12003＋12004）－（1－12－13－…－12004）（12＋13＋14＋…＋12003）演练巩固·反馈提高01．m是有理数，则m＋|m|（）A．可能是负数B．不可能是负数C．比是正数D．可能是正数，也可能是负数02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（）A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±503．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）A． 1 B．0 C．－1 D．－304．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（）A．两数一定都是正数B．两数都不为0C．至少有一个为负数D．至少有一个为正数05．下列等式一定成立的是（）A．|x|－x ＝0 B．－x－x ＝0 C．|x|＋|－x| ＝0 D．|x|－|x|＝006．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（）A．－4℃B．4℃C．－3℃D．－5℃07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（）A．－a B．0 C．2a D．－2a08．设x是不等于0的有理数，则||||2x xx-值为（）A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2 09．（济南）2＋(－2)的值为__________10．用含绝对值的式子表示下列各式：⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________11．计算下列各题：⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－＋－＋－⑶－－314＋－712⑷－－（－）－|－2310|12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－9913．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5⑴问收工时距离A地多远？⑵若每千米耗油千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？14．将1997减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15……以此类推，直到最后减去余下的11997，最后的得数是多少？15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界着名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如13＋115来表示25，用14＋17＋128表示37等等.现有90个埃及分数：12，13，14，15， (1)90，191，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗？培优升级·奥赛检测01．（第16届希望杯邀请赛试题）1234141524682830-+-+-+-+-+-+-等于（） A ．14B ．14-C ．12D ．12-02．自然数a 、b 、c 、d 满足21a ＋21b ＋21c ＋21d ＝1，则31a ＋41b ＋51c ＋61d 等于（） A ．18B ．316C ．732D ．156403．（第17届希望杯邀请赛试题）a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441，则a ＋b ＋c ＋d 值是（） A ．30 B ．32 C ．34 D ．3604．（第7届希望杯试题）若a ＝1995199519961996，b ＝1996199619971997，c ＝1997199719981998，则a 、b 、c大小关系是（）5343332313A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜b ＜a D ．a ＜c ＜b05．11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++⨯⨯⨯⨯⨯的值得整数部分为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 06．(－2)2004＋3×(－2)2003的值为（） A ．－22003 B ．22003 C ．－22004 D ．2200407．（希望杯邀请赛试题）若|m|＝m ＋1，则(4m ＋1)2004＝__________08．12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋ … ＋（160＋260＋…＋5960）＝__________ 09．19191976767676761919-＝__________10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________ 11．求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________ 12．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5，且|2a －b －1|＝0，求aB ．13．计算(11998－1)(11997－1) (11996－1) … (11001－1) (11000－1)14．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋…＋n3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋…＋1003的值.第03讲有理数的乘除、乘方考点·方法·破译1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.经典·考题·赏析【例１】计算⑴11()24⨯-⑵1124⨯⑶11()()24-⨯-⑷25000⨯⑸3713 ()()(1)() 5697 -⨯-⨯⨯-【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.解：⑴11111 ()() 24248⨯-=-⨯=-⑵11111() 24248⨯=⨯=⑶11111 ()()() 24248 -⨯-=+⨯=⑷250000⨯=⑸3713371031 ()()(1)()() 569756973 -⨯-⨯⨯-=-⨯⨯⨯=-【变式题组】01．⑴(5)(6)-⨯-⑵11()124-⨯⑶(8)(3.76)(0.125)-⨯⨯-⑷(3)(1)2(6)0(2)-⨯-⨯⨯-⨯⨯-⑸111112(2111)42612-⨯-+-02．24(9)5025-⨯3．1111(2345)()2345⨯⨯⨯⨯---04．111 (5)323(6)3333 -⨯+⨯+-⨯【例２】已知两个有理数a、b，如果ab＜0，且a＋b＜0，那么（）A．a＞0，b＜0 B．a＜0，b＞0C．a、b异号D．a、b异号且负数的绝对值较大【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a、b异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.解：由ab＜0知a、b异号，又由a＋b＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D．【变式题组】01．若a＋b＋c＝0，且b＜c＜0，则下列各式中，错误的是（）A．a＋b＞0 B．b＋c＜0 C．ab＋ac＞0 D．a＋bc＞002．已知a＋b＞0，a－b＜0，ab＜0，则a___________0，b___________0，|a|___________|b|.03．(山东烟台)如果a＋b＜0，ba>，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 04．(广州)下列命题正确的是（）A．若ab＞0，则a＞0，b＞0 B．若ab＜0，则a＜0，b＜0C．若ab＝0，则a＝0或b＝0 D．若ab＝0，则a＝0且b＝0 【例３】计算⑴(72)(18)-÷-⑵11(2)3÷-⑶13()()1025-÷⑷0(7)÷-【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.解：⑴(72)(18)72184 -÷-=÷=⑵1733 1(2)1()1()3377÷-=÷-=⨯-=-⑶131255 ()()()() 10251036 -÷=-⨯=-⑷0(7)0÷-=【变式题组】01．⑴(32)(8)-÷-⑵112(1)36÷-⑶10(2)3÷-⑷13()(1)78÷-02．⑴12933÷⨯⑵311()(3)(1)3524-⨯-÷-÷⑶530()35÷-⨯03．113()(10.2)(3) 245÷-+-÷⨯-【例４】（茂名）若实数a、b满足a ba b+=，则abab＝___________.【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a、b的取值范围，进一步代入结论得出结果.解：当ab＞0，2(0,0)2(0,0)a ba ba ba b>>⎧+=⎨-<<⎩；当ab＜0，a ba b+=，∴ab＜0，从而abab＝－1.【变式题组】01．若k是有理数，则(|k|＋k)÷k的结果是（）A．正数B．0 C．负数D．非负数02．若A．b都是非零有理数，那么aba ba b ab++的值是多少？03．如果x yx y+=，试比较xy-与xy的大小.【例５】已知223(2),1 x y=-=-⑴求2008xy的值；⑵求32008xy的值.【解法指导】na表示n个a相乘，根据乘方的符号法则，如果a为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.解：∵223(2),1 x y=-=-⑴当2,1x y==-时，200820082(1)2xy=-=当2,1x y=-=-时，20082008(2)(1)2xy=-⨯-=-⑵当2,1x y ==-时，332008200828(1)x y ==- 当2,1x y =-=-时，3320082008(2)8(1)x y -==--【变式题组】 01．（北京）若2(2)0m n m -+-=，则nm 的值是___________.02．已知x 、y 互为倒数，且绝对值相等，求()n nx y --的值，这里n 是正整数.【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（）A ．×106B ．×106C ．×107D ．×107 【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式，其中a 的整数位数是1位.故答案选B ．【变式题组】 01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（） A ．×105 B ．×105 C ．×104 D ．103×103 02．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数法表示正确的是（）A ．×105亩B ．×106亩C ．253×104亩D ．×107亩【例７】（上海竞赛）222222221299110050002200500010050009999005000k k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+【解法指导】找出21005000k k -+的通项公式＝22(50)50k -+原式＝2222222222221299(150)50(250)50(50)50(9950)50k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ ＝222222222222199298[][](150)50(9950)50(250)50(9850)50++++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ 222222222495150[](4950)50(5150)50(5050)50++-+-+-+＝49222+1++⋅⋅⋅+个＝99【变式题组】3333+++=( ) 2+4+6++10042+4+6++10062+4+6++10082+4+6++2006⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅A．31003B．31004C．1334D．1100002．（第10届希望杯试题）已知111111111. 2581120411101640+++++++=求11111111 2581120411101640---+--++的值.演练巩固·反馈提高01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．1个或3个02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（）A．互为相反数B．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数C．都是负数D．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数03．已知abc＞0，a＞0，ac＜0，则下列结论正确的是（）A．b＜0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＞0，c＞0 04．若|ab|＝ab，则（）A．ab＞0 B．ab≥0 C．a＜0，b＜0 D．ab＜005．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则代数式a bm cdm+-+的值为（）A．－3 B．1 C．±3 D．－3或106．若a＞1a，则a的取值范围（）A．a＞1 B．0＜a＜1 C．a＞－1 D．－1＜a＜0或a＞107．已知a、b为有理数，给出下列条件：①a＋b＝0；②a－b＝0；③ab＜0；④1 ab=-，其中能判断a、b互为相反数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个08．若ab≠0，则a ba b+的取值不可能为（）A．0 B．1 C．2 D．－209．1110(2)(2)-+-的值为（）A ．－2B ．(－2)21C ．0D ．－21010．(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正确的是（）A ．×107B ．×106C ．×105D ．×10411．已知4个不相等的整数a 、b 、c 、d ，它们的积abcd ＝9，则a ＋b ＋c ＋d ＝___________. 12．21221(1)(1)(1)n n n +--+-+-（n 为自然数）＝___________.13．如果2xy x y+=，试比较xy -与xy 的大小.14．若a 、b 、c 为有理数且1a b ca b c++=-，求abc abc的值.15．若a 、b 、c 均为整数，且321a b c a -+-=.求a c cb b a-+-+-的值.培优升级·奥赛检测01．已知有理数x 、y 、z 两两不相等，则,,x y y z z xy z z x x y ------中负数的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个或2个02．计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测201021-的个位数字是（）A ．1B ．3C ．7D ．5 03．已知23450ab c d e ＜，下列判断正确的是（）A ．abcde ＜0B ．ab2cd4e ＜0C ．ab2cde ＜0D ．abcd4e ＜004．若有理数x 、y 使得,,,xx y x y xy y +-这四个数中的三个数相等，则|y|－|x|的值是（）A ．12-B ．0C ．12D ．3205．若A ＝248163264(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)+++++++，则A －1996的末位数字是（）A ．0B ．1C ．7D ．906．如果20012002()1,()1a b a b+=--=，则20032003a b+的值是（）A．2 B．1 C．0 D．－107．已知5544332222,33,55,66a b c d====，则a、b、c、d大小关系是（）A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．a＞d＞b＞c08．已知a、b、c都不等于0，且a b c abca b c abc+++的最大值为m，最小值为n，则2005()m n+＝___________.09．（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是___________.第一组：15,3,4.25,5.753-第二组：11 2,315 -第三组：5 2.25,,412-10．一本书的页码从1记到n，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少？11．（湖北省竞赛试题）观察按下列规律排成一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，3 2，41，15，24，23，42，51，16，…(＊)，在(＊)中左起第m个数记为F(m)，当F(m)＝12001时，求m的值和这m个数的积.12．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：11,,1,2,4,8,16,32,6442填入方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x的值.13．(第12届“华杯赛”试题)已知m、n都是正整数，并且111111(1)(1)(1)(1)(1)(1);2233A m m =-+-+⋅⋅⋅-+ 111111(1)(1)(1)(1)(1)(1).2233B n n =-+-+⋅⋅⋅-+证明：⑴11,;22m n A B m n ++==⑵126A B -=，求m 、n 的值.第04讲整式考点·方法·破译1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念. 3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值. 经典·考题·赏析【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.(1)x +1 (2)1x (3)πr 2 (4)−32a 2b【解法指导】理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，π是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数. 解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算； ⑵不是，因为代数式是与x 的商； ⑶是，它的系数为π，次数为2；⑷是，它的系数为32-，次数为3.【变式题组】01．判断下列代数式是否是单项式 (1)a (2)−12 (3)1+x 2(4)x π(5)xy (6)2πx02．说出下列单项式的系数与次数(1)−23x 2y (2)mn (3)5a 2 (4)−72ab 2c【例２】如果2x n y 4与12m 2x 2y |m−n |都是关于x 、y 的六次单项式，且系数相等，求m 、n的值.【解法指导】单项式的次数要弄清针对什么字母而言，是针对x或y或x、y等是有区别的，该题是针对x与y而言的，因此单项式的次数指x、y的指数之和，与字母m无关，此时将m看成一个要求的已知数.解：由题意得n+4=6,2+|m−n|=6,2=12m2∴m=−2,n=2 【变式题组】01．一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3.且当x＝2,y＝－1时，这个单项式的值为32，求这个单项式.02．（毕节）写出含有字母x、y的五次单项式______________________.【例３】已知多项式−45x2y2+23x4y3−xy+1⑴这个多项式是几次几项式？⑵这个多项式最高次项是多少？二次项系数是什么？常数项是什么？【解法指导】n个单项式的和叫多项式，每个单项式叫多项式的项，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数.解：⑴这个多项式是七次四项式；(2)最高次项是23x4y3,二次项系数为－1，常数项是1.【变式题组】01．指出下列多项式的项和次数⑴a3−a2b+ab2−b3(2)3n4−2n2+102．指出下列多项式的二次项、二次项系数和常数项⑴x3+x2−x−2(2)−4x3−x2+x−4【例４】多项式7x m+kx2−(3n+1)x+5是关于x的三次三项式，并且一次项系数为－7.求m+n－k的值【解法指导】多项式的次数是单项式中次数最高的次数，单项式的系数是数字与字母乘积中的数字因数.解：因为7x m+kx2−(3n+1)x+5是关于x的三次三项式，依三次知m＝3，而一次项系数为－7，即－（3n+1）＝－7，故n＝2.已有三次项为7x3,一次项为－7x，常数项为5，又原多项式为三次三项式，故二次项的系数k＝0，故m+n－k＝3+2－0＝5.【变式题组】01．多项式3x|m|y2+(m+2)x2y−1是四次三项式，则m的值为（）A．2 B．－2 C．±2 D．±102．已知关于x、y的多项式ax2+2bxy+x2−x−2xy+y不含二次项，求5a－8b的值.03．已知多项式−56x2y m+2+xy2−12x3+6是六次四项式，单项式23x3n y5−m z的次数与这个多项式的次数相同，求n的值.【例５】已知代数式3x2−2x+6的值是8,求32x2−x+1的值.【解法指导】由3x2−2x+6=8，现阶段还不能求出x的具体值，所以联想到整体代入法.解：由3x2−2x+6=8得由3x2−2x=23 2x2−x+1=12（3x2−2x+2)=12×(2+2)=2【变式题组】01．(贵州)如果代数式－2a+3b+8的值为18，那么代数式9b－6a+2的值等于（）A．28 B．－28 C．32 D．－3202．（同山）若a2+a=0,则2a2+2a+2008的值为_______________.03．（潍坊）代数式3x2−4x+6的值为9,则x2−43x+6的值为______________.【例６】证明代数式16+m−{8m−[m−9−(3−6m)]}的值与m的取值无关.【解法指导】欲证代数式的值与m的取值无关，只需证明代数式的化简结果不出现字母即可.证明：原式＝16+m−8m+[m−9−(3−6m)]=16+m−8m+m−9−3+6m=4∴无论m的值为何，原式值都为4.∴原式的值与m的取值无关.【变式题组】01．已知A=2x2+3ax−2x−1,B=−x2+ax−1,且3A+6B的值与x无关，求a的值. 02．若代数式(x2+ax−2y+7)−(bx2−2x+9y−1)的值与字母x的取值无关，求a、b 的值.【例７】（北京市选拔赛）同时都含有a、b、c，且系数为1的七次单项式共有（）个A．4 B．12 C．15 D．25【解法指导】首先写出符合题意的单项式a x b y c z,x、y、z都是正整数，再依x+y+z＝7来确定x、y、z的值.解：a x b y c z为所求的单项式，则x、y、z都是正整数，且x+y+z＝7.当x＝1时，y＝1,2,3,4,5,z ＝5,4,3,2,1.当x＝2时，y＝1,2,3,4,z＝4,3,2,1. 当x＝3时，y＝1,2,3,z＝3,2,1.当x＝4时，y ＝1,2,z＝2,1.当x＝5时，y＝z＝1.所以所求的单项式的个数为5+4+3+2+1＝15，故选C．【变式题组】01．已知m、n是自然数，a m−3b2c−17a2b n−3c4+112a m+1b n−1c是八次三项式，求m、n值.02．整数n＝___________时，多项式5x n+2−2x2−n+2是三次三项式.演练巩固·反馈提高01．下列说法正确的是（）A．x−y2是单项式B．3x2y3z的次数为5 C．单项式ab2系数为0 D．x4−1是四次二项02．a表示一个两位数，b表示一个一位数，如果把b放在a的右边组成一个三位数.则这个三位数是（）A．100b+a B．10a+b C．a+b D．100a+b03．若多项式2y2+3x的值为1，则多项式4y2+6x−9的值是（）A．2 B．17 C．－7 D．704．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n元，降低m 元后，又降低20%，那么该电脑的现售价为（）A．(15n+15m)元B．(45n−45m)元C．(1−15m)元D．(15n−m)元05．若多项式k(k−1)x2−kx+x−3是关于x的一次多项式，则k的值是（）A．0 B．1 C．0或1 D．不能确定06．若（1−n2)x n y3是关于x、y的五次单项式，则它的系数是____________.07．电影院里第1排有a个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有_______个座位.08．若3a m b3+4a n+1b m+2=7a x+1b y,则代数式xy+mn值为________.09．一项工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，如果甲、乙合做7天完成工作量是____________.10．(河北)有一串单项式x,−2x2,3x3,−4x4,?,−10x10,?(1)请你写出第100个单项式；⑵请你写出第n个单项式.11．（安徽）一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3,且当x＝2，y＝－1时，这个单项式值为32，求这个单项式.12．（天津）已知x＝3时多项式ax3+bx+5的值为－1，则当x＝－3时这个多项式的值为多少？13．若关于x、y的多项式2x2y−23x3y4+(2a−3)x3y5与多项式−x2b y4+3x2y−1的系数相同，并且最高次项的系数也相同，求a－b的值.14．某地电话拨号入网有两种方式，用户可任取其一.A：计时制：元/分B：包月制：50元/月（只限一部宅电上网）.此外，每种上网方式都得加收通行费元/分.⑴某用户某月上网时间为x小时，请你写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；(2)若某用户估计一个月内上网时间为20小时，你认为采用哪种方式更合算.培优升级·奥赛检测01．（扬州）有一列数a1、a2、a3?a n,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差.若a1=2,则a2007为（）A．2007 B．2 C．1D．－12,则下列等式02．（华师一附高招生）设记号*表示求a、b算术平均数的运算，即a∗b=a+b2中对于任意实数a、b、c都成立的是（）①a+(b∗c)=(a+b)∗(a+c)②a∗(b+c)=(a+b)∗c+(b∗2c)③a∗(b+c)=(a∗b)+(a∗c)④(a∗b)+c=a2A．①②③B．①②④C．①③④D．②④03．已知−1<b<0,0<a<1,那么在代数式a−b,a+b,a+b2,a2+b中，对任意的a、b，对应的代数式的值最大的是（）A．a−b B．a+b C．a+b2D．a2+b04．在一个地球仪的赤道上用铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道上一个铁丝箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n大小关系（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不能确定05．（广安）已知4m=a,4n=b,则42m+n−1=_____________.06．某书店出售图书的同时，推出一项租书业务，每租看一本书，租期不超过3天，每天租金a元，租期超过3天，从第4天开始每天另加收b元，如果租看1本书7天归还，那么租金为____________元.＝_____________.07．已知a−b=2004,b−c=2005,c−d=2007.则(a−c)(b−d)a−d08．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，|a+b|+|c−a|+|b−c|化简后的结果是______________.09．已知−m+2n=5,则5(m−2n)2+6n=3m−60＝______________.10．（全国初中数学竞赛）设a、b、c的平均数为M,a、b的平均数为N,又N、c的平均数为P，若a＞b＞c，则M与P大小关系______________.。

学而思六年级数学讲义

学而思六年级数学讲义第一章：整数的运算1. 整数的概念整数是由正整数、零、负整数组成的数集，用于表示有方向的量和相反的数。

2. 整数的加法与减法•整数的加法：同号相加，异号相减。

例如，(2) + (3) = 5，(-2) + (-3) = -5，(-2) + 3 = 1。

•整数的减法：加上相反数。

例如，(5) - (2) = 3，(-5) - (-2) = -3，(-5) - 2 = -7。

3. 整数的乘法与除法•整数的乘法：规律同整数的加法，同号相乘为正，异号相乘为负。

例如，(2) × (3) = 6，(-2) × (-3) = 6，(-2) × 3 = -6。

•整数的除法：除数与被除数同号时为正，异号时为负。

例如，(6) ÷(3) = 2，(-6) ÷ (-3) = 2，(-6) ÷ 3 = -2。

4. 混合运算整数的加减乘除可以进行混合运算，按照运算顺序进行计算，并注意运算符的优先级。

例题：计算：(4 + 6) × (-2) ÷ (-2) - 5解答：首先计算括号内的加法，得到10。

然后进行乘法，得到-20。

接下来进行除法，答案为10。

最后减去5，最终得到5。

第二章：小数的运算1. 小数的概念小数是由整数部分和小数部分组成的数，小数部分用十进制表示。

小数可以表示较小或无法用整数表示的数。

2. 小数的加法与减法•小数的加法：对齐小数点，逐位相加。

例如，1.2 + 3.4 = 4.6，5.8 +0.7 = 6.5。

•小数的减法：转换成加法，被减数加上减数的相反数。

例如，5.2 -1.3可以转换为5.2 + (-1.3)。

3. 小数的乘法与除法•小数的乘法：按照小学乘法的规则进行计算，然后确定小数点的位置。

例如，1.2 × 3 = 3.6，0.5 × 0.4 = 0.2。

•小数的除法：先将除法转化为乘法，然后确定小数点的位置。

学而思第1课讲义

板块一：方阵问题基本题型板块二：方阵问题变型版本板块三：方阵问题难题挑战方阵问题板块一：方阵问题基本题型1一群士兵排成了一个单层的空心方阵，每条边上有7个人，那么这个空心方阵中一共包含多少名士兵？【拓展】一共100个士兵排成了一个单层的空心方阵，每条边上应该排几个人？(★★)士兵们天天都是在操练单层方阵，觉得已经没有意思了，于是他们今天排出了一个双层的空心方阵，这个方阵的外层每条边上有10人，那么这个方阵一共有多少人？【拓展】一共120名战士排成了一个三层的空心方阵，那么这个方阵的最外层有多少人？(★★★)将军又找来了一些士兵，现在排成了一个实心方阵，最外层每条边上有12个人，那么这个实心方阵一共有多少人？(★★★)今天将军排了一个更大的实心方阵，最外层每条边上有60人，那么这个方阵一共有多少层呢？(★★★)2板块二：方阵问题变型版本一群士兵排成了一个正六边形的圈，每条边上有20个人，那么一共有多少名士兵？板块三：方阵问题难题挑战战士们排练阵法，排成一个方阵。

中间的实心方阵是步兵，外面三层是弓箭兵，最外圈两层又是步兵。

已知方阵中弓箭兵的人数是120人。

问步兵有多少人？(★★★)(★★★★)方阵问题实战经验公式忘记时可以从简单情况出发寻找规律有一位聪明的将军，一次他带领360名士兵守卫一个城池，他把360个士兵分派在城的四面，每面城墙壁上有100名士兵。

战斗打得好激烈，不断有士兵阵亡，士兵只剩下了220人，但是通过将军的调遣，四面城墙上仍有100名士兵。

敌人见到守城的士兵没有减少，于是便撤兵了，你知道将军是怎么安置士兵的吗？答案【例1】24人【例1拓展】26个人【例2】64人【例2拓展】48人【例3】144人【例4】30层【精灵王子思考题】31层【例5】114名士兵【例6】169人3。

学而思讲义

计算常考题型与方法总结本讲学习任务：一、分数运算技巧二、叠分数运算三、放缩法求近似值板块一、分数运算⑴152531112 211113 3799111223⨯⨯⨯⨯⨯⨯⑵341344134441344444444134444444441 2389 275277527775277777777527777777775 +⨯+⨯++⨯+⨯(1)7121432381 379111223⨯⨯⨯⨯⨯=14(2) 例1计算：711471826213581333416⨯+⨯-÷例3(2008年“希望杯”五年级第2试) 计算：333111(128)(128)2008100425120081004251++÷++=201120112011200920092009()()2008100425120081004251++÷++=1112011()200810042511112009()20081004251⨯++⨯++=20112009例2计算：72772727327391()273273727727227-⨯=7271001273100191()27310017271001227⨯⨯-⨯⨯⨯ =72727391()273727227-⨯=2272727391()727273727273227-⨯⨯⨯=22(727273)91()727273227-⨯⨯=100045491727273227⨯⨯⨯=20002181例5计算：133.875380.090.1550.45418529112[(4.32 1.681)]116251173524⨯+⨯-÷+--⨯-÷+例4【阶段总结1】1.分数、小数四则混合运算： ①乘除法运算时：“带化假、除化乘，先约分、后运算”。

②注意运算顺序：括号＞乘除＞加减；把握好整体性。

2.平方差公式①计算22727273-时，由于两数和比较 “整”，平方差公式有奇效。

学而思初二物理目标班春季讲义

学而思初二物理目标班春季讲义学而思初二物理目标班春季讲义第一章：力学基础1.1 力与运动- 力的概念及分类- 牛顿第一定律- 牛顿第二定律- 牛顿第三定律1.2 运动的描述- 位移、速度、加速度- 直线运动与曲线运动- 匀速直线运动- 匀加速直线运动1.3 力的作用与受力分析- 力的合成与分解- 斜面上的物体- 常见力的分析第二章：能量与动量2.1 动能与势能- 动能的概念与计算- 势能的概念与计算- 动能与势能的转化- 能量守恒定律2.2 动量守恒定律- 动量的概念与计算- 动量守恒定律的应用- 弹性碰撞与非弹性碰撞- 撞击力与碰撞时间第三章：光学基础3.1 光的传播与反射- 光的传播及光的直线传播- 光的反射定律- 镜面反射与平面镜成像3.2 光的折射与光的色散- 光的折射定律- 球面镜成像- 双缝干涉与单缝衍射3.3 光的波动性质- 光的干涉- 光的波长与频率- 光的偏振与光的颜色第四章：电学基础4.1 电荷与电场- 电荷的守恒定律- 电场的概念与计算- 电场的叠加与电势能4.2 电路基础- 电流的概念与计算- 电阻与电阻定律- 欧姆定律与功率公式4.3 磁场与电磁感应- 磁场与磁感线- 安培力与磁感应强度- 电磁感应与法拉第电磁感应定律通过学习以上内容，学生将掌握力学、能量与动量、光学和电学的基本概念和理论知识，能够运用所学的物理知识解决实际问题。

课程设置理论与实践相结合，通过举例、实验和练习等方式培养学生的物理思维和实际应用能力。

同时，重点讲解典型题型和解题技巧，提高学生的解题能力和应试水平。

三年级学而思数学讲义

三年级学而思数学讲义第一章 - 加法与减法1.1 加法- 加法是一种基本的数学运算，用于将两个或多个数字相加。

- 如何进行加法运算的步骤如下：1. 对齐数位，从最右边的数位开始相加。

2. 如果相加的结果超过9，我们将进位到更高位。

3. 继续相加剩余的数位，直到所有数位都相加完毕。

4. 最后的结果就是两个数的和。

1.2 减法- 减法是一种用于求两个数之差的运算。

- 如何进行减法运算的步骤如下：1. 对齐数位，从最右边的数位开始相减。

2. 如果相减的结果小于0，我们将向更高位借位。

3. 继续相减剩余的数位，直到所有数位都相减完毕。

4. 最后的结果就是两个数的差。

第二章 - 乘法与除法2.1 乘法- 乘法是一种基本的数学运算，用于将两个或多个数字相乘。

- 如何进行乘法运算的步骤如下：1. 对齐数位，从最右边的数位开始相乘。

2. 按照乘法的规则进行计算，并将进位到更高位。

3. 继续相乘剩余的数位，直到所有数位都相乘完毕。

4. 最后的结果就是两个数的乘积。

2.2 除法- 除法是一种用于求两个数之商的运算。

- 如何进行除法运算的步骤如下：1. 对齐数位，从最高位开始进行整除。

2. 根据除法的规则进行计算，并将余数带下一位进行除法运算。

3. 继续进行剩余的数位的除法运算，直到所有的数位都被除完。

4. 最后的结果就是两个数的商和余数。

第三章 - 数学问题解决方法3.1 理解问题- 在解决数学问题时，首先要理解问题的要求和条件。

- 仔细阅读问题，并提取出关键信息。

- 可以通过画图、列出方程等方法来帮助理解问题。

3.2 探索解决方法- 根据问题的要求和条件，可以尝试不同的解决方法。

- 可以使用已知的数学知识和技巧来解决问题。

- 如果找到了一个解决方法，可以尝试将其应用到问题上。

3.3 验证答案- 在解决数学问题后，应该验证答案的正确性。

- 可以进行逆向计算或使用其他方法来验证答案。

- 如果验证结果与问题的要求一致，则可以确认答案的正确性。

学而思讲义

枚举组数1．用6、7、8、9四个数可以组成许多个没有重复数字的4位数，把它们从小到大排列起来，9768排在第（）个。

2．用数字1、2、3、4组成各位数字都不相同的两位数，并按从小到大的顺序排列，第10个数比第7个数大（）3．智慧爷爷今年已经有一百多岁了，如果把他的年龄的各位数字相加，和是9，如果把各位数字相乘，积等于16，那么今年智慧爷爷（）岁。

有一个四位数，它的各位数字和为9，积为24，那么组成这个数的四个数字中，奇数是（）。

横式数字谜4．“小朋友真厉害”这六个汉字分别表示1、2、3、4、6、7这6个数字，根据下面的算式，可以得到小=（），朋=（），友=（），真=（），厉=（），害=（）小+友+真=9小+朋=8友—真=4厉—害=小5．“万事如意”这四个汉字分别表示一个10以内不同的双数，根据下面的算式可以得到万=（），事=（），如=（），意=（）万—事如+意=9万—事如—意=1意—（万—事）如=3日历中的数学6．牛牛暑假跟着爸妈去海南旅游，他们一起连续玩了4天，这4天的日期数相加的和是70（不含月份），那么他们是从（）日玩到（）日的。

7．2015年1月和2月是寒假，乐乐寒假在奶奶家连续住了5天，这5天的日期数相加的和是67（不含月份），那么乐乐从（）月（）日开始住在奶奶家。

8．牛牛同学在某月的日历上圈出2 2个数（如图），正方形方框内的4个数的和是28，那么A=（），B=（），C=（），D=（）。

9．西西同学在日历上圈出5个数，呈十字框型（如图），他们的和是65，则正中间的C=（）10．某月有5个星期日，这5个星期日的日期之和为80（不含月份），则这个月中第一个星期日的日期数是（）。

11．某年的6月有4个星期一和5个星期日，那么这月的第一天是星期（）12．某年的10月有4个星期日和5个星期一，那么这个月的第一天是星期（）和差倍问题1.小林在课桌上摆了一排棋子，数一数，黑、白棋子共有56颗，其中白棋子的颗数正好是黑棋子的6倍，黑白棋子各有多少颗？2.果园里一共种有34棵桃树和杏树，其中桃树的颗数比杏树的3倍多6棵，两种树各种了多少棵？3.两筐水果共重50千克，其中第一筐比第二筐的2倍少13千克，请问两筐水果各重多少千克？4.甲、乙两桶共有油168千克，从甲桶倒出27千克后，甲桶剩下的油是乙桶的两倍，求甲乙两桶原来各有油多少千克？5.一个长方形，周长是30厘米，长是宽的2倍，求这个长方形的长和宽各是多少厘米？6.一个数除以另一个数，商是10，这两个数的和再加上商，和是87，被除数是（），除数是（）。

学而思网校物理第一课讲义

温度计的使用和校准一、温度计：1．温度定义：_______________________________________________________________ 温度计原理：_____________________________________________________________ 2．摄氏温度和热力学温度的关系：___________________。

常用单位和国际单位的区分。

3．常用温度计分类：实验室用温度计：(分度值)_________；(测量范围)_______________寒暑表：(分度值)_________________；(测量范围)_______________体温计：(分度值)_________________；(测量范围)_______________二、热膨胀：1．热膨胀一般规律：_____________2．水的反常膨胀规律：0℃－4℃：_____________；4℃：_____________。

3．热膨胀在技术上的意义：⑴在架桥、铺路、安装管道时，接触物间留有的空间，防止热胀冷缩的力产生破坏作用。

⑵利用不同材料在相同条件下热膨胀不同的双金属片，制成自动控制恒温箱、自动防火报警装置。

三、热传递：1．定义：____________________________________________________________________ 2．条件：____________________________________________________________________ 3．实质：________________________4．方式：传导、对流、辐射。

⑴热传导：____________________________⑵对流：___________________________________________________________⑶热辐射：_________________________________________________________________【例1】1988年中国科学家从实验室中获得了130K的低温超导体，130K相当于摄氏温度为______；在1标准大气压下沸水的热力学温度为______。

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第—険E2 2有时通分也可把分子变成一样/I优质参考文档33 通分：把多个分数的分母变成一样，如分子比分母小的分数，如分子比分母大的分数，如（0除外），分数的大小不变约分：分子分母同时除以公因数，如把假分数化成整数和真分数加在一起的分数，如100502544 312基本计算与比例初步84 2 小数点后有1位数，2位数，3位数…，分母分别为 10, 100, 1000 '分子就是小数点后的数=注意要化成最简分数 ----------------------------------------------------------2如=2 "5=0.4 53.分数的倒数倒数：乘积为1的两个数互为倒数分数：分子与分母的位置互换注意：0没有倒数分数和小数互化分数化小数：分子除以分母小数化分数：3= 1 +】=112 2 2分数的性质1•分子和分母同时乘以或除以相同的数,246女口一 = _ =3692•约分与通分4 2 —=—匚二＞最简分数50 25f 22況4 8内容提要：:号（分数厂:f “比例2 |分数分数的概念把整体平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数如2表示把整体平均分成 5份，占其中的2份5分母表示把一个物体平均分成几份，分子是表示取其中的几份注意：分母不能为 0 分数的种类3 34 12—■:；比较大小3 3 3 912 30.012 = =—— 1000 250分数的运算 1.加减法「同分母加减法： ■异分母加减法：先通分，变为分母相同的分数，分子再相加减分母不变，分子相加减，结果化为最简分数 2.<34—+ —=8 8 8 2 3 34 27 61 — r = -- r -- = --- 19 17 153 153 153乘除法乘法：分子乘分子，分母乘分母/ 334 3x4 12 3—汇 4 =—汇一— ---- = 如:8 8 1 8勺 8 2 〔3434 3x4 12 3 — - — — ------ --- --- ^ 8 5 8 5 8汉5 40 10除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数韦 3 . '3 】3- 12 1如OI例2先看看分数的加减法吧！；12 7；35288： 8 ] 8 ] 24 2注意：j ■分数的乘除法运算过程中可以先约分 t 分数的四则混合运算的规律与整数一样特殊的约分连锁约分整体约分连锁约分:整体约分:1汉2汉3 +2汉4汉6 +3沢6汉9 = 1汉2汉3汉(1 +23+33) = 1汉2汉= 21 3 52 6 103 9 15 = 1 3 5 (1 2333) = 1 3 5 (r 2333) = 5计算下列各式：空•上7111 111优质参考文档:我们来看看分数的乘除法计算下列各式：2^15= 3 15.亠_ , —・。

初三二次函数(广州学而思讲义)(完整资料).doc

此文档下载后即可编辑初三数学：二次函数考点分析二次函数的图像考点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点．二次函数：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）一般式：y=ax 2+bx+c ，三个点顶点式：y=a （x －h ）2+k ，顶点坐标对称轴顶点坐标（－2b a ，244ac b a -）．顶点坐标（h ，k ）a b c 作用分析│a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大，a ，b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－2b a <0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b•异号时，对称轴x=－2b a>0，即对称轴在y 轴右侧，c•的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y 轴交于正半轴；c<0时，与y•轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)，（有交点的情况）与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2对称轴为221x x h +=一、二次函数解析式及定义型问题(顶点式中考要点)１.把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为２.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与抛物线y= - 2x 2相同，这个函数解析式为________。

３.如果函数1)3(232++-=+-kx x k y k k 是二次函数,则k 的值是______４.已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线21y x =-上，下列说法中正确的是（）A ．若12y y =，则12x x =B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y >D ．若120x x <<，则12y y >５.抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为A . b=2， c=2 B. b=2，c=0C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2６.抛物线5)43()1(22+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。

学而思讲义数学

1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE＝CD＝8，则⊙O的半径为_______。

2.如图，AB是⊙O的直径，点E是BD上一点，∠DAC＝∠AED。

⑴求证：AC是⊙O的切线；⑵若点E是BD的中点，连结AE交BC于点F，当BD＝5，CD＝4时，求DF的值。

3.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CE⊥AB于E，CD平分∠ECB，交过点B 的射线于D，交AB于F，且BC＝BD。

若AE＝9，CE＝12，求BF的长。

4.已知：如图，AF为△ABC的角平分线，以BC为直径的圆与边AB交于点D，点E为弧BD的中点，连接CE交AB于H，交AF于G，AH＝AC，若AC＝6，AB＝10，求EC 的长。

5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K，若KG2＝KD·GE，sinE＝35，AK＝23，求FG的长。

6.在⊙O中，直径AB＝2，D为圆上的一点，tan∠BAD＝12，延长AD至点C，使CD＝55，连结BD，H为直径AB上一点，过点H作AB的垂线交⊙O于点E，交射线BD于点F，连结CF。

⑴求证：BC与⊙O相切；⑵当BH等于多少时，△BCF为等腰三角形？⑶当BH等于多少时，CF⊥AE。

【作业】1．如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ACD的外接圆。

（1）求BC的长；（2）求⊙O的半径。

2.如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交BC于点D，作BG⊥AC于点G，交⊙O于点E、F；（1）求证：∠EBC=∠DEC；（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于5，BD=4，求CG的长。

【选做】已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE。

连接AD并延长交BE于点F，若OB＝9，sin∠ABC＝23，求BF的长。

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真题精讲
1. 如图⑴，线段 MN 将长方形纸分成面积相等的两部分．沿 MN 将这张长方形纸对折后得到图⑵， 3 将图⑵沿对称轴对折，得到图⑶，已知图⑶所覆盖的面积占长方形纸面积的，阴影部分面积 10 为 6 平方厘米．则长方形的面积是多少平方厘米？
⑴ ⑵ ⑶ 【分析】根据折叠的过程可知，图⑶中阴影部分是 2 层，空白部分是 4 层，如果将阴影部分缩小一半，即 1 变为 3 平方厘米，那么阴影部分也变成 4 层，此时覆盖的面积占长方形纸片面积的，即缩小的 4 3 1 3 1 3 平方厘米相当于长方形纸片面积的 ( ) ，所以长方形纸片面积为 3 ( ) 60 平方厘米． 10 4 10 4
中，根据勾股定理，有： 4 x 32 x 2 ，
2
25 25 7 9 ， FD 4 ，那么 HE 3 ， FH 4 BE FD 4 2 FD ， 8 8 8 4 15 15 再由勾股定理，得 EF ．即折痕的长度为． 4 4
则x
［巩固］如右图，长方形的长为 8 ，宽为 4 ，将长方形沿一条对角线折起压平，求重叠部分(阴影部分)的面积．
｜六年级第八讲人大附分班考试班·教师版｜ 1
3.
已知 ABC 中， AB AC 12cm ， ABC 的面积是 42cm 2 ， P 是 BC 上任意一点， P 到 AB ， AC 的距离分别是 x 厘米、 y 厘米，那么 x y ．
A
B
P
C
【分析】如图所示，连接 AP ．三角形 ABC 的面积等于三角形 APB 与三角形 APC 的面积之和，而这两个三角形的底 AB 、AC 相 1 等，高分别为 x 和 y ，所以 12 x y 42 ，可得 x y 7 ． 2 1 本题也可运用特殊值法，设 P 在 B 点，则此时 x 0 ，那么 SABC AC y 42 ，得到 y 7 ， 2 x y 7． 4. 右图中，正方形 ABCD 的边长为 8 厘米，E 为 AD 的中点，F 为 CE 的中点，G 为 BF 的中点，H 为 AG 的中点．四边形 FGHI 的面积比三角形 DIE 的面积大平方厘米．

学而思课件

学而思课件
• 数学课件 • 语文课件 • 英语课件 • 物理课件 • 化学课件 • 生物课件
01
数学课件
代数部分
总结词
涵盖知识点、例题精讲、方法总结、习题训练
详细描述
代数部分是数学课件中的重要组成部分，涵盖了初中和高中阶段的代数知识。通过讲解知识点、例题精讲、方法总结和习题训练，帮助学生掌握代数的基本概念、原理和方法。
描述了酸碱反应的特点、原理和化学方程式的书写方法，以及酸碱反应在日常生活和工业生产中
的应用。
氧化还原反应
介绍了氧化还原反应的特点、原理和化学方程式的书写方法，以及氧化还原反应在日常生活和工业生产中的应用。
化学反应速率
详细解释了影响化学反应速率的因素，如温度、浓度、压力等，以及如何通过这些因素控制化学反应速率。
写作部分
总结词
帮助学生掌握写作技巧，提高写作水平
VS
详细描述
学而思语文课件中的写作部分，注重培养学生的写作思维和写作技巧。通过提供各种类型的写作题目，如记叙文、说明文、议论文等，以及写作指导和范文分析，引导学生逐步掌握写作的方法和技巧。此外，还鼓励学生通过写作表达自己的思想和情感，培养写作兴趣和自信心。
详细描述
概率与统计部分是数学课件中的另一个关键部分，涵盖了初中和高中阶段的概念和应用。通过知识点解析、案例分析、公式应用和实际应用的讲解，帮助学生理解概率与统计的基本概念、原理和应用。
02
语文课件
阅读理解部分
总结词
培养学生阅读兴趣，提高阅读理解能力
详细描述
学而思语文课件中的阅读理解部分，选取了适合该年级段的学生阅读的文章，涵盖了各种文体和主题，如寓言、童话、历史故事、科普知识等。同时，通过引导学生逐步完成阅读任务，如回答问题、提取信息、推理判断等，培养学生的阅读兴趣和阅读理解能力。

学而思讲义

小学阶段的几何知识主要包括直线型面积、曲线型面积、立体图形的表面积和体积等．初中阶段的几何知识以全等三角形、相似三角形及其性质定理和判定定理的应用为重点．分班考试的命题重在考查学生对这两部分知识关联性和数学思想转换的理解和应用．作为各类竞赛和考试的重点，几何问题一直是学生的一个难点，所以在本次分班考试课中，我们安排了两讲几何内容，通过对解决几何问题常用数学方法的分类学习，梳理小学和初中的几何知识，以期融会贯通之效．上一讲我们以“割补法”为主线，将小学阶段的直线型面积和初中阶段的平面几何融合在一起，初步探知全等三角形和相似三角形，涉及“平移”、“旋转”、“勾股定理”等知识．这一讲以立体几何为主，在探究趣味新题目的同时，学习折叠、全等三角形和相似三角形的基础知识以及简单的物理常识，培养空间思维能力．真题演练1.折叠后，原平行四边形面积是折叠后图形面积的1.5 倍．已知阴影部分面积之和为1 ，则重叠部分(即空白部分)的面积是多少？【分析】折叠后图形的面积为原来图形面积的 2 ，所以由于重叠而消失的面积等于原来面积的1 - 2 = 1，3 即右图中空白三角形的面积为原来图形面积的 1313 3，所以未重叠的阴影部分面积之和也等于原来图形面积的 3，即与重叠部分面积相等，所以重叠部分(即空白部分)的面积是1 ．2.将一正方形的纸对折 2 次后，还是正方形，用同样的方法，可把某种形状的纸对折 3 次后，成为三角形．已知可把 4 种形状的纸对折 3 次后，折成如图的三角形，请画出这 4 种形状．【分析】此题虽然不难，但需要用逆向思维解决．从小三角形开始，向外展开，分别讨论不同展开方向下变成的形状，可得如下 4 种：第 8 讲人大附分班考试真题与模拟专题之几何(二)HIFGHIFG3.已知∆ABC 中，AB =AC =12cm ，∆ABC 的面积是42cm2 ，P 是BC 上任意一点，P 到AB ，AC的距离分别是x 厘米、y 厘米，那么x +y = ．AP C【分析】如图所示，连接AP ．三角形ABC 的面积等于三角形APB 与三角形APC 的面积之和，而这两个三角形的底AB 、AC 相等，高分别为x 和y ，所以12 ⨯(x +y )⨯1 = 42 ，可得x +y = 7 ．2本题也可运用特殊值法，设P 在B 点，则此时x = 0 ，那么S x +y = 7 ．∆ABC=1AC ⨯y = 42 ，得到y = 7 ，24.右图中，正方形ABCD 的边长为8 厘米，E 为AD 的中点，F 为CE 的中点，G 为BF 的中点，H为AG 的中点．四边形FGHI 的面积比三角形DIE 的面积大平方厘米．A E D A E DB C B C【分析】如图，连接EG 、EH 、EB ．根据差不变原理，要求四边形FGHI 与三角形DIE 的面积差，相当于求四边形EFGA 与三角形DAH 的面积差．而三角形DAH 的面积等于三角形EAH 的面积的2 倍，三角形EAG 的面积也等于三角形EAH 的面积的2 倍，所以四边形EFGA 与三角形DAH 的面积差就等于∆EFG 的面积．根据题意，∆EFG 的面积等于∆EFB 的面积的一半，∆EFB 的面积等于∆ECB 的面积的一半，∆ECB的面积等于正方形ABCD 面积的一半，所以∆EFG 的面积等于正方形ABCD 面积的1⨯1⨯1=1，2 2 2 8为82 ⨯1= 8 平方厘米，所以四边形FGHI 的面积比三角形DIE 的面积大8 平方厘米．85.如图所示，铁板A 中有个半径为3.2cm 的圆形孔，孔内有96 个齿．还有一个半径为1.2cm ，且外侧有36 个齿的齿轮B ．其中在距齿轮B 的中心为0.6cm 的地方打了一个圆孔C ，圆孔C 内插有一枝圆珠笔．现转动笔让齿轮B 与A 相啮合并沿A 齿轮的齿作旋转．问此时圆珠笔所画出的图形是下图哪一个？ABCDEF【分析】先要确定齿轮 B 沿铁板 A 的内孔旋转多少周，圆珠笔才能回到初始位置．由于 A 齿轮有96 个齿，B 齿轮有36 个齿，由于(96,36) = 12 ，而96 = 12 ⨯ 8 ， 36 = 12 ⨯ 3 ，因此，考虑到在12 ⨯ 8 ⨯ 3 = 288 个齿咬合之后，则绕 A 孔旋转了 288 ÷ 96 = 3 圈，而齿轮 B 则旋转 288 ÷ 36 = 8 圈．这就是说，当齿轮 B 绕着 A 孔转了8 圈后便返回到原来所在的位置．由此可知，圆珠笔应该有8 次离 A 孔的距离最近．此后，圆珠笔则重复原来已画出的曲线，不会显出新图形．所以圆珠笔画出的图形应该有 8 个顶点， A 、 B 、 E 、 F 均不合题意．另外，而在绕 A 孔旋转一圈的过程里，齿轮 B 自身所转的圈数为 3 圈，而 D 图中的图形只转了 1 圈，不合题意，所以正确的图形应该是C 图．［拓展］如果齿轮 B 的半径是1.6cm ， B 圆周上的点C 画出来的轨迹是什么图形？［分析］此时齿轮 B 的半径等于 A 的圆形孔的半径的一半，点C 画出来的轨迹是圆形孔的一条直径．真题精讲1.如图⑴，线段 MN 将长方形纸分成面积相等的两部分．沿 MN 将这张长方形纸对折后得到图⑵，将图⑵沿对称轴对折，得到图⑶，已知图⑶所覆盖的面积占长方形纸面积的 310，阴影部分面积为 6 平方厘米．则长方形的面积是多少平方厘米？⑴ ⑵ ⑶【分析】根据折叠的过程可知，图⑶中阴影部分是 2 层，空白部分是 4 层，如果将阴影部分缩小一半，即变为 3 平方厘米，那么阴影部分也变成 4 层，此时覆盖的面积占长方形纸片面积的 1，即缩小的43 平方厘米相当于长方形纸片面积的( 3 - 1 ) ，所以长方形纸片面积为3 ÷ ( 3 - 1) = 60 平方厘米．10 4 10 4OOD EDBDE2.在长方形纸片 ABCD 中， AD = 4 ， AB = 3 ，现在将它折叠，使得 C 与 A 重合，则折痕的长度是． AFD ABCH F DEC【分析】如右图所示，连接 FC ，过 E 作 AD 的垂线 EH ．由于折痕 EF 过 AC 的中点，且与 AC 垂直，设 AF = CF = x ，则 FD = 4 - x ，在直角三角形 FDC中，根据勾股定理，有： (4 - x )2+ 32 = x 2 ，则 x = 25 ， FD = 4 - 25 = 7 ，那么 HE = 3 ， FH = 4 - BE - FD = 4 - 2FD = 9 ，8 8 8 4再由勾股定理，得 EF = 15 ．即折痕的长度为15．4 4［巩固］如右图，长方形的长为8 ，宽为 4 ，将长方形沿一条对角线折起压平，求重叠部分(阴影部分)的面积．8D［分析］如右上图，因为∠EDB = ∠EBD ，所以 BE = DE ，AE = CE ．设 BE = DE = x ，则 AE = CE = 8 - x ．由勾股定理得(8 - x )2+ 42 = x 2 ，解得 x = 5 ．所以 S = 1 ⋅ BE ⋅ CD = 1⨯ 5 ⨯ 4 = 10 ，所以重叠部分(灰2 2色三角形)的面积为10 ．3.如图，直角梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AB ⊥ BC ， AD = 2 ， BC = 3 ，将腰CD 以 D 为中心逆时针旋转90︒ 至 ED ，连接 AE 、CE ，则∆ADE 的面积是．FEAABCBHC【分析】如图所示，将∆ADE 以 D 为中心顺时针旋转90︒ ，到∆FDC 的位置．延长 FD 与 BC 交于H ．由于 ABCD 是直角梯形， AD 与 FD 垂直，则四边形 ADHB 是长方形，则 BH = AD ．由于∆ADE 与 ∆FDC 面积相等，而∆FDC 的底边 FD = AD = 2 ，高CH = BC - BH = 3 - 2 = 1 ，所以∆FDC 的面积为2 ⨯1 ÷ 2 = 1 ，那么∆ADE 的面积也为 1．4. 如下左图，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形，现在以点 P 为中心转动一个正方形．当BAB = 5 厘米， BC = 13 厘米， CA = 12 厘米时(如下右图)，求右图中的两个正方形相重叠部分的面积(注意，图的尺寸不一定准确)．【分析】右图由左图旋转而得，则右图中的 8 个空白小三角形都是完全相同的，右图中重叠部分的面积等于正方形面积减去 4 个小三角形的面积，从右图中可以看出正方形的边长为5 + 13 + 12 = 30 厘米，所以重叠部分的面积为： 302 - 4 ⨯ (5 ⨯12 ÷ 2) = 780 (平方厘米)．5.有 2 个大小不同的正方形 A 和 B ．如下左图所示的那样，在将 B 正方形的对角线的交点与 A 正方形的一个顶点相重叠时，相重叠部分的面积为 A 正方形面积的 1．求 9A 与B 的边长之比．如果当按下右图那样，将 A 和 B 反向重叠的话，所重叠部分的面积是 B 的几分之几？左图右图【分析】以 B 正方形为中心，将整体图形放大后，如右上图所示．图中，由于 A 和 B 均为正方形，所以可认为画阴影的两个三角形是以 B 的对角线的交点为中心转过90︒ 所形成的．因此，所求的 A 与 B 所重合部分的面积，只要让 B 的对角线的交点与 A 的一个顶点相重合，则不管什么情况下，该面积均为 B 正方形面积的 1 ．这样， A 4 的面积的 1 9 与 B 的面积的 1相等，故 A 与 B 的面积之比为49 : 4 ．因为二者均为正方形，所以其边长之比为3 : 2 ．如果 A 的对角线的交点与 B 的一个顶点相重合的话，所重合部分的面积仍为 A 的面积的 1．但是4由于 B 的面积是 A 的面积的 4 ，所以重合部分的面积应为 B 的面积的 1 ÷ 4 = 9．9 4 9 166.往容器里倒啤酒时，啤酒会分成液体部分和泡沫部分．过一会儿后泡沫会变成液体的啤酒，这时，1体积会缩小到 3(也就是说泡沫的体积是相应液体的3 倍)．另外，因倒入方法的不同而使液体与泡沫的比例不同．即使是往相同的容器里倒入的啤酒量，也会因倒入的方法不同而不同．如图，往深度为30 厘米的圆柱形的容器里倒入500 毫升的啤酒，从容器的底部到以上15 厘米高处的部分是液体，再往上一直到容器的顶端，全都是泡沫(第一次)．然后，往相同的容器里倒入700 毫升的啤酒，从容器的底部到以上 x 高处的部分是液体，再往上一直到容器的顶端，全都是泡沫(第二次)．求 x 的值．P第二次【分析】第一次泡沫全部变成液体时，高度是15 + 15 ÷ 3 = 20 (厘米)，因此高度1 厘米的液体是25 毫升；第二次泡沫全部变成液体时，高度是700 ÷ 25 = 28 (厘米)，高度是1 厘米的液体成为泡沫时变为高3 厘米，高度增加2 厘米，有(30 - 28) ÷ 2 = 1 厘米，即由泡沫变成的液体有 1 厘米，那么原有的液体为 x = 28 -1 = 27 (厘米)． 7.右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2 倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的倍．【分析】本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是⑾，四个侧面是⑺⑻⑼ ⑽，两个斜面是⑸⑹．对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分．由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套．对于左图来说，相当于由一个正方体切去 4 个角后得到(如下左图，切去 ABDA 1 、 CBDC 1 、D 1 A 1C 1D 、 B 1 A 1C 1B )；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去 2 个角后得到(如下右图，切去 BACB 1 、 DACD 1 )．⑵ ⑶⑴ ⑷⑸ ⑺⑻ ⑹⑾⑼ ⑽B1DB1DB HB C AB CA C1C1A1 D1 A1 D1假设左图中的立方体的棱长为 a ，右图中的立方体的棱长为b ，则以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积为：a3 -1a2 ⨯a ⨯1⨯ 4 =1a3 ，2 3 3以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积为b3 -1b2 ⨯b ⨯1⨯ 2 =2b3 ．2 3 3由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形⑾的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角形⑺分成4 个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的2 倍，即b = 2a ．那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积的比为：1a3 :2b3 =1a3 :2⨯(2a)3 =1:16，也就是说以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立3 3 3 3体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的16 倍．8.如图所示的立体ABCD -EFGH 是长1 米、宽1 米、高2 米的长方体的箱子，在这个箱子里有一根直棒，棒的一端在顶点G 处，另一端在棱AE 的中点I 处．在不考虑棒的粗细的情况下，请问：⑴在点 F 处有一亮着的灯泡，请画出棒IG 在面AEHD 和面DHGC 上形成的阴影；⑵在EF 边的中点J 处有一亮着的灯泡，请画出棒IG 在面AEHD 和面DHGC 上形成的阴影．D C CAIG GE F【分析】⑴棒IG 在面AEHD 和面DHGC 上形成的阴影是两条直线段，而且它们与∆IFG 在同一个平面上．连结IF ，过点I 作IK ∥FG 交DH 于K (实际上K 就是DH 的中点)，连结KG 即可．KBHABIHEJFDCADDCAIIKKGEF EHHGDCA D D CGIMEHHG⑵连结GJ 延长与 HE 的延长线交于点 M ，连结 MI 并延长与 DH 交于点 D ，连结 DG 即可．点评：本题涉及两个重要的知识点： ①光线的传播路径是直线；②公理：直线和不在这条直线上的一点共面．在本题的应用就是光源、棒 IG 、光线的传播路径、在面上形成的阴影共面．［拓展］如图，一个边长为5 厘米的正方体，这个正方体由边长为1 厘米的小正方体组成．A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 分别是大正方体的各个顶点， P 是 ABCD 面上 AC 与 BD 的交点，请问：A G⑴如右上图所示，用一个 E 、P 、F 三点所在的平面将大正方体切开，这时切开的面是什么形状？ ⑵经过⑴切开后剩下部分(包括 E 、 F 、G 、 H 面)的体积是多少？⑶再分别用 F 、P 、G 三点所在的平面， G 、P 、H 三点所在的平面， H 、P 、E 三点所在的平面进一步切割剩余部分，最后剩余的是一个包括 E 、 F 、G 、 H 面的立体图形，请写出这个立体图形的名称(即是哪种形状的立体图形)．⑷在最后剩下的立体图形中，包括几个完整的边长为1 厘米的小正方体？［分析］⑴切开的面是四边形，两组对边分别平行且相等，但相邻两边长度均不相等， 4 个角都是直角，所以是长方形．HGHG⑵切下部分的体积正好是原体积的 1 ，所以剩下部分的体积是5 ⨯ 5 ⨯ 5 ⨯ 3= 93.75 立方厘米．4 4D CPPPABHGEF E F EF⑶如上图，在 ABCD 面中最后剩下 P 点，底面 EFGH 完好，连结 PE 、PF 、PG 、PH ，所以剩下的立体图形是底面为正方形的正四棱锥，如右上图．⑷切完后，从正面、侧面看均如下图所示，从下往上数，第一层是 3 ⨯ 3 = 9 (个)，第二层是 3 ⨯ 3 = 9 (个)，第三层是1 个，第四层是1 个，共9 + 9 + 1 + 1 = 20 个边长为 1 厘米的小正方体．真题模拟1.右图为一个正八边形，它的每条边长都是10 厘米，每个内角都相等，求图中阴影部分与非阴影部分的面积之差．【分析】如右上图，延长正八边形的两组对边，并连接竖直方向的两条对角线．图中标有 1，2，3，4 的4 个等腰直角三角形合起来为一个边长为 10 厘米的正方形，所以它们的面积之和为10 ⨯10 = 100 平方厘米．而中间标有 5 的空白小正方形的面积也为10 ⨯10 = 100 平方厘米，所以这个空白小正方形的面积等于四个角上的小三角形的面积之和．至于剩下的部分，容易看出标有 6，7 的两个空白长方形与标有 8，9 的两个阴影长方形的面积相等，所以图中阴影部分与非阴影部分的面积相等，它们的面积差为零．2.将边长分别为 4、8、12、16、20 的正方形并排在一起(如图)，一条与正方形的边平行的直线CD 将该图形分为面积相等的两个部分，那么 AB 的长是多少？182657 394BBA BA 16 4CD81220A164CD81220【分析】如图所示，作出边长为 12 的正方形的上面的边所在的直线，这条直线也将整个图形分成两部分．整个图形的面积为42 + 82 + 122 + 162 + 202 = 42 ⨯ (12 + 22 + 32 + 42 + 52 ) = 16 ⨯ 1⨯ 5 ⨯ 6 ⨯11 = 880 ，所6以直线CD 所分成的两部分的面积都为880 ÷ 2 = 440 ．图中虚线所分成的两部分，上面的部分的面积为： 42 + (20 + 16)⨯ (20 - 12) = 304 ，所以这条直线与直线 CD 之间的图形的面积为 440 - 304 = 136 ．这个图形是一个长方形，它的长为12 + 20 + 16 = 48 ，所以它的宽为：136 ÷ 48 = 2 5．6那么 AB 的长为： 20 - 12 + 2 5 = 10 5．6 63.如图，在相距9cm 的平行线 a 和b 之间有一个直角三角形 A 和长方形 B ．直角三角形沿直线a 以1cm/s 、长方形 B 沿直线b 以3cm/s 的速度同时朝箭头所指方向开始运动．问 A 和 B 开始运动后从多少秒到多少秒 A 与 B 所重合部分的面积是一个定值(即保持不变)．a6cm b 12cm A 12cm B 20cma 6cmb图⑴aabb图⑵ 图⑶【分析】先考虑在长方形 B 的左上角顶点与直角三角形 A 接触时，位于直角三角形斜边的哪个位置．由于长方形 B 的高为6cm ，即上边离b 直线之距离为6cm ，所以上边到直线a 的距离是3cm ．另外，由于直角三角形 A 下边的顶点到直线a 的距离为6cm ，所以当直角三角形与长方形相交时，则长方形的上侧边通过直角三角形斜边的中点．这样，在重合之前的状态(图⑴)，各横向长度如图所示．在图⑴中，由于三角形上侧的边长为12cm ，而过斜边的中点的虚线长度6cm ，即是该直角三角形的切口长度，这个长度正好等于上侧边长的一半．A 与B 两图形重合时的面积保持定值是指从图⑵的重合状态到图⑶的重合状态，将该状态与图⑴ 时的状态相比较，可知，直角三角形与长方形所移动的长度之和分别是：到图⑵状态为20cm ，到图⑶状态则为26cm ．由于直角三角形的速度是1cm/s 、长方形的速度是3cm/s ，相加便知二者A BAB以每秒4cm 相互接近．所以到达图⑵状态时，需要20 ÷ 4 = 5(s) ；到达图⑶状态需要26 ÷ 4 = 6.5(s) ，也就是说，从5s ∼ 6.5s 之间重合的面积是定值．4.如图所示，圆紧贴着全长为30 厘米、有直角拐弯的折线从一端滚动到另一端(没有离开也没有滑动)，在圆周上设一个定点 P ，点 P 从圆开始滚动时是接触折线的，当圆停止滚动时也接触到折线，然而在圆滚动的全部过程中 P 点是不接触折线的．请问：圆的半径是多少厘米？( π = 3.14 ，保留两位小数)．⑴caba⑵⑶【分析】设半径为a 厘米，首先考虑一下圆在直线上滚动过的角度是90︒ 时转了 1 圈，如图⑴所示．图中 14 4圆的弧长和圆滚动过的距离相等，即 PQ = 2a ⨯ 3.14 ÷ 4 = 1.57a 厘米．由于本题中在圆滚动的全部过程中 P 点是不接触折线的，于是圆滚动到拐角时滚动过的角度有以下两种情况：①滚动到拐角时不满270︒ ：此时圆恰好转了270︒ ，即 3圈，而图⑵中的b + c 是圆滚动过的距离，4因此b + c = 1.57a ⨯ 3 ， b + a + a + c = 1.57a ⨯ 3 + a + a = 16 + 14 ，得到a ≈ 4.47 厘米；②滚动到拐角时滚动过的角度不小于270︒ 也不大于360︒ ：此时圆共转动了270︒ + 360︒ = 630︒ ，即圆恰好转 7圈，而图⑶中的d + e 是圆滚动过的距离，因此d + a + a + e = 1.57a ⨯ 7 + a + a = 16 + 14 ，4得到a ≈ 2.31 厘米．检验是否满足条件： d = 16 - 2.31 = 13.69 厘米；圆周 = 2.31⨯ 2 ⨯ 3.14 ≈ 14.51 > d > e ．所以在开始滚动和结束滚动以外，点 P 没有接触到折线，所以a = 2.31 厘米也满足条件．P14P16 O a P1.57 Qead aEF真题巩固1.以长方形 ABCD 的边 AB 和CD 为斜边向长方形内作等腰直角三角形 ABE 和CDF ，已知三角形 ABE 的面积为16 ，长方形的周长为 44 ，则三角形 BED 的面积是． A DB C【分析】由于三角形 ABE 是等腰直角三角形，所以四个这样的三角形可以拼成一个边长为 AB 的正方形，故16 = 1⨯ AB 2 ，得到 AB = 8 ．由周长为 44 可知 BC = 44 ÷ 2 - 8 = 14 ，4则 S ∆BED = S ∆ABD - S ∆ABE - S ∆AED = 14 ⨯ 8 ÷ 2 - 16 -14 ⨯ 4 ÷ 2 = 12 ． 2.如图，将边长为 1 的正三角形Ⅰ放在一条直线上，让三角形绕顶点C 顺时针转动到达Ⅱ，再继续这样转动到达Ⅲ，则 A 点走过的路程的长为．AC【分析】图中圆弧即为 A 点走过的路程，分为两段，均为圆心角为120︒ 、半径为 1 的扇形的圆弧．所以，两个扇形圆弧长之和= 2 ⨯ π ⨯1⨯ 120 ⨯ 2 = 4π ，即 A 点走过的路程的长是 4π．360 3 33.如右图，面积为 l 的 ∆ABC 中，BD : DE : EC = 1: 2 :1 ，CF : FG : GA = 1: 2 :1 ，AH : HI : IB = 1: 2 :1 ，求阴影部分面积．A ABCC【分析】设 IG 交 HF 于 M ， IG 交 HD 于 N ，如果能求出 IM 和 IG 以及 IN 和 IG 的长度之比，根据面积比例模型就可以求出∆HMN 的面积，进而求出阴影部分的面积．而要求 IM 和 IG 以及 IN 和 IG 的长度之比，只需要求 IM 和 MG 以及 IN 和 NG 的长度之比，为此连接 DI 、 DG 、 IF 、GH ．由于 S= 2 S= 2 ⨯ 1 ⨯ 3 S= 1 ， S = ⎛1 - 1 ⨯ 1 - 3 ⨯ 3 - 1 ⨯ 3 ⎫S = 3 ，∆HID 3 ∆HBD 3 4 4 ∆ABC 8∆HGD 4 4 4 4 4 4 ⎪∆ABC 16 ⎝ ⎭(如果对线段的平行关系较为熟悉，可以看出 HG ∥ BC ，GD ∥ AB ，所以 BDGH 是平行四边形，那么 S ∆HGD = S ∆BDH = 1 ⨯ 3 S 4 4 ∆ABC = 3 ) 16HGMIF NHGI FB Ⅰ ⅡⅢ根据蝴蝶定理， IN : NG = S∆HID : S ∆HGD = 1 : 3 8 16 = 2 : 3 ，所以 IN = 2IG ；5由于 S ∆HIF = 2 S 3 ∆AIF = 2 ⨯ 3 ⨯ 3 S 3 4 4 ∆ABC = 3 ， S 8 ∆HGF = 2 S 3 ∆HAF = 2 ⨯ 1 ⨯ 3 S 3 4 4 ∆ABC = 1，根据蝴蝶定理， 8IM : MG = S : S= 3 : 1 = 3 :1 ，所以 IM = 3IG ； ∆HIF ∆HGF8 8 4(同样地，有 HG ∥ BC ， IF ∥ BC ，所以 HG ∥ IF ，且 HG = 1 BC ， IF = 3BC ，根据相似三角4 4形性质，有 IM : MG = IF : HG = 3 :1 )所以 MN = IM - IN = 3 IG - 2 IG = 7IG ，4 5 20那么 S ∆HMN = 7 S 20 ∆HGI = 7 ⨯ 2 S 20 3 ∆AGI = 7 ⨯ 2 ⨯ 1 ⨯ 3 S 20 3 4 4 ∆ABC = 7 ． 160同理可得其他 5 个阴影小三角形的面积均为 7 ，所以阴影部分的面积为 7 ⨯ 6 = 21．160 160 804. 四个面积为1 的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【分析】如图，将原图扩展成一个大正三角形 DEF ，则∆AGF 与∆CEH 都是正三角形．假设正六边形的边长为为a ，则∆AGF 与∆CEH 的边长都是4a ，所以大正三角形 DEF 的边长为 4 ⨯ 2 - 1 = 7 ，那么它的面积为单位小正三角形面积的 49 倍．而一个正六边形是由 6 个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为 1 ，三角形 DEF 的面积为 49．6 6由于 FA = 4a ， FB = 3a ，所以∆AFB 与三角形 DEF 的面积之比为 4 ⨯ 3 = 12．7 7 49同理可知∆BDC 、∆AEC 与三角形 DEF 的面积之比都为 12，所以∆ABC 的面积占三角形 DEF 面49积的1 - 12 ⨯ 3 = 13 ，所以∆ABC 的面积的面积为 49 ⨯ 13 = 13．49 49 6 49 65.有同样大小的立方体 27 个，把它们竖 3 个，横 3 个，高 3 个，紧密地没有缝隙地搭成一个大的立方体．如果有 1 根很直的细铁丝穿过这个大立方体，最多可以穿透几个小的立方体？【分析】假设铁丝穿过3 ⨯ 3 ⨯ 3 的立方体每穿过一个小立方体就被小立方体的面给切断，那么本题可以先考虑铁丝最多可以被切成几段．由于3 ⨯ 3 ⨯ 3 的立方体内部有 6 个截面(每个方向 2 个)，铁丝穿过时不可能与其中的某个截面有 2 个或 2 个以上的交点，也就是说与每个截面最多有 1 个交点，那么与 6 个截面最多有 6 个交点，铁丝最多被切成 7 段．由于每一段铁丝对应一个小立方体，所以最多可以穿过 7 个小立方体．。

学而思网校讲义

一：同一直线上的二力合成力的作用效果是相同的！很多人才能拖动的物体，一头大象就能拖动。

1．合力：几个力的共同作用在一个物体上，它们的作用效果可以用一个力来代替，这个力叫那几个力的合力。

2．力的合成：已知作用在一个物体上的几个力的大小和方向。

求合力的大小和方向。

3．小练一下1．下面关于力的合成的说法正确的是( )A．只有作用在同一直线上的力才能合成。

B．只有作用在同一方向上的力才能合成。

C．只有作用在同一物体上的力才能合成。

D．任何几个力都能合成。

2．有关合力的说法错误的说法是( )A．合力和分力不一定是真实存在的。

B．合力的作用效果和分力的作用效果是一样的。

C．考虑合力时就不考虑分力了。

D．合力不可能为零。

4．实验探究二力合成及平衡力5．同一直线上二力合成规律⑴同向大小：F＝F1＋F2方向：同两力方向⑵反向大小：F＝F1－F2方向：同较大力(F1)6．力的合成知识的应用课堂练习：【例1】同一直线上两个向上的力分别为20牛和40牛，它们的合力为______牛，方向向____。

【例2】同一直线上同方向的两个力的合力为200牛，方向向下，其中一个力的大小为180牛，另一个力的大小为______牛，方向向_______。

【例3】耕地时，马的水平拉力是2000牛，土地对犁的阻力是1700牛，犁受到的合力是______牛，方向______________。

【例4】桌面放一个重力为3牛的茶杯，桌子对它的支持力是3牛，茶杯所受的合力是_____牛。

【例5】作用在一个物体上的两个力，分别为F1＝3N，F2＝5N，并且这两个力在同一条直线上，则F1与F2的合力可能是________。

【例6】水平面上的一个物体分别受到了向左向右的两个力的作用，开始时F右＞F左，当向左的力逐渐变大时，物体所受水平方向的合力大小______________。

【例7】质量为4t的汽车，在平直的公路上运动时，受地面的支持力为3.92×104N，受到的阻力为6×103N，汽车的牵引力为7×103N，求汽车所受合力是多大？二力平衡观察与分析静止的电灯受到几个力的作用？1．概念：平衡状态：平衡力：二力平衡：★请举出处于二力平衡的物体？★作用在一个物体上的二个力，符合什么条件才能使物体处于平衡？探究：二力平衡的条件2．二力平衡的条件：作用在同一物体上的两个力，如果大小相等、方向相反，并且在同一条直线上，这两个力就彼此平衡。

学而思2018春季八下培优班讲义1-15讲(word版)教师版

第1讲二次根式巩固1
第2讲勾股复习及综合13
第3讲中位线与斜边中线（一）25
第4讲中位线与斜边中线（二）37
第5讲几何最值49
第6讲期中复习之勾股定理59
第7讲期中复习之四边形69
同步中考培优课程
1二次根式巩固
知识目标与切片
目标一复习巩固二次根式相关基础概念
目标二熟练掌握二次根式的化简和计算
模块一二次根式回顾
∴DF＝2AP＝2AB＝2 AE.
例6★★
已知：在△ABC中，∠B＝2∠C，M是BC中点，AD⊥BC于D.求证：DM＝ AB.
证明：延长CB至点K，使BK＝AB，连接AK，则∠K＝∠C，AK＝AC，∵AD⊥BC，∴CD＝ CK，
∵M是BC中点，∴CM＝ BC，∴DM＝CD－CM＝ CK－ BC＝ (CK–BC)＝ BK＝ AB.
∴ ＝
1二次根式巩固
1．若与5 既是最简二次根式，又是同类二次根式，则x＝
解：4＋3x＝x＋6x＝1
2.若＋b2－2b＋1＝0，则－| －b|＝
答案：＋（b－1）2＝0
∴a2－3a＋1＝0b＝0∴a－3＋＝0，∴a＋＝3，∴ ＝7
原式＝1
3．计算：
(1) 3 －＋－ (2)7a －4a2 ＋7a
知识目标切片
目标一掌握斜边中线定理
目标二学会运用斜边中线
目标三掌握斜边中线的构造方法
模块一斜边中线定理
知识导航
直角三角形斜边中线（定理）：如果一个三角形是直角三角形三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，BD为△ABC斜边上的中线，求证：BD＝ AC
例5★★
把下列各式分母有理化

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