2021年新人教版高二理科数学选修21测试题及答案
高二理科数学选修2-1期末质量检测试题(卷)含答案
高二理科数学选修2-1期末质量检测试题（卷）含答案本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题. 满分150分，考试时间100分钟.第一部分（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. “46k <<”是“方程22164x y k k +=--表示椭圆”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线24y x =仅有一个公共点，这样的直线有( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 3．下列命题：①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >,则A B >”的逆命题是真命题； ②命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y +≠，则p 是q 的必要不充分条件；③“任意32,10x R x x ∈-+„”的否定是“任意32,10x R x x ∈-+>”；④“若,a b >则221a b >-”的否命题为“若a b „，则221a b -„”； 其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有311488OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则P ，A ，B ，C 四点( )A ．不共面B ．共面C ．共线D ．不共线5．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是边OA 、CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量OA uu u r 、OB uuu r 、OC uuu r表示向量OG uuu r是( )A ．111633OG OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u rB ．112633OG OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u rC ．2233OG OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u rD ．122233OG OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r6．已知(4,2)是直线l 被椭圆221369x y +=所截得的线段的中点，则l 的方程是( ) A. 280x y ++=．280x y +-= C ．280x y --= D ．280x y -+=7．若椭圆22221x y a b+=过抛物线x y 82=的焦点，且与双曲线122=-y x 有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A ．12422=+y x B ．1322=+y x C ．14222=+y x D ．1322=+y x 8．已知直线1+-=x y 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( )A. 223 B ．423C ．2D ．29．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是( ) A. 3 B. 5 C. 3或5 D. 3或510．设p ：211x -?，q :()[(1)]0x a x a --+…，若q 是p 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是( )11．已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上一点A 关于原点的对称点为点,B F 为其右焦点，若BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,6ππα，则该椭圆离心率e 的取值范围为( )A. ]13,22[- B. )1,22[ C. ]23,22[ D. ]36,33[120,0)a b >>的左顶点与抛物线22y px =的焦点的距离为4(2,1)--，则双曲线的焦距为( )A. 第二部分（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分.13. 椭圆22259x y +＝1的两焦点为1F 、2F ，一直线过1F 交椭圆于P 、Q ，则2PQF ∆的周长为________． 14．已知下列命题：①命题“存在x R ∈，213x x +>”的否定是“任意x R ∈，213x x +<”； ②已知p ，q 为两个命题，若“p 或q ”为假命题，则“(p ⌝)且(q ⌝)为真命 题”；③“2a >”是“5a >”的充分不必要条件；④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题． 其中所有真命题的序号是________．15．直线32y x =与椭圆22221(0)+=>>x y a b a b 相交于A 、B 两点，过点A 作x 轴的垂线，垂足恰好是椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率是 ．16．已知点P 是抛物线x y 82-=上一点，设P 到此抛物线准线的距离是1d ，到直线010=-+y x 的距离是2d ，则21d d +的最小值是 ．三、解答题：本大题共4小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分16分）已知a 为实数，p ：点(1,1)M 在圆22()()4x a y a ++-=的内部； q ：任意,x R ∈都有21x ax ++0…. （1）若p 为真命题，求a 的取值范围； （2）若q 为假命题，求a 的取值范围；（3）若“p 且q ”为假命题，且“p 或q ”为真命题，求a 的取值范围． 18. (本小题满分17分)已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90ο底面ABCD ，且1PA AD DC ===，2AB =，M 是PB 的中点．（1）证明：面PAD ⊥面PCD ； （2）求AC 与PB 所成的角；（3）求面AMC 与面BMC 所成二面角的 余弦值．19. (本小题满分16分)双曲线C 的中心在原点，右焦点为23(,0)3F ，渐近线方程为3y x =±. （1）求双曲线C 的方程；（2）设直线l ：1y kx =+与双曲线C 交于A 、B 两点，问：当k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点； 20. (本小题满分17分)已知点(0,2)A -，椭圆2222:1x y E a b+=)0(>>b a 的离心率为3，(,0)F c 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为233,O 为坐标原点.（1）求E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与E 相交于P 、Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求直 线l 的方程.高二理科数学选修2-1期末质量检测试题参考答案一、选择题：1．C 2．C 3．C 4．B 5．A 6．B 7．A 8．B 9．C 10．A 11．A 12．B二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分.13．20 14．② 15．1216．2 三、解答题：本大题共4小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分16分）解：（1）由题意得，22(1)(1)4a a ++-<，解得11a -<<， 4分p 为真命题时a 的取值范围为(1,1)-． 5分（2）若q 为真命题，则240a =-≤D ，解得22a -≤≤， 8分故q 为假命题时a 的取值范围(,2)(2,)-∞-+∞U ． 10分 （3）由题意得，p 与q 一真一假，从而当p 真q 假时有11,22,a a a -<<⎧⎨<->⎩或 无解； 13分当p 假q 真时有11,22,a a a -⎧⎨-⎩≤或≥≤≤解得2112a a --≤≤或≤≤． 15分∴实数a 的取值范围是[][]2,11,2--U ． 16分18. (本小题满分17分) （1）【方法一】证明：PA ⊥Q 底面ABCD ，CD AD ⊥， ∴由三垂线定理得：CD PD ⊥， 2分因而CD 与面PAD 内两条相交直线AD 、PD 都垂直，∴CD ⊥面PAD . 4分又CD ⊂面PCD ，∴面PAD ⊥面PCD . 6分（1）【方法二】证明：由已知得：PA AD ⊥，PA AB ⊥，AD AB ⊥.以A 为坐标原点，AD 长为x 轴，AB 长为y 轴， AP 长为z 轴，建立空间直角坐标系，则各点坐标为1(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2A B C D P M . 2分 因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故 4分 由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线， 由此得DC ⊥面PAD .又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD . 6分 （2）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC 7分9分||||AC PB ⋅则AC 与PB 所成的角为 11分 （3）解：平面AMC 的一个法向量设为),,1(11z y n =，),21,1,0(),0,1,1(==AM AC ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∴0211111z y y ∴)2,1,1(-= 13分 平面BMC 的一个法向量设为),,1(22z y =，),21,1,0(),0,1,1(-=-=⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-∴02101222z y y ∴)2,1,1(= 15分 3266411,cos=⋅+->=<∴因为面AMC 与面BMC 所成二面角为钝角，所以面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值为32-． 17分19. (本小题满分16分) 解：（12分得2223a b c a b⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得331a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩5分 双曲线的方程是231x y -=. 7分（2）① 由221,31,y kx x y =+⎧⎨-=⎩得()223220k x kx ---=， 10分 由20,30k ∆>-≠且，得66,k -<<且 3k ≠±. 12分设()11,A x y 、()22,B x y ，因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA OB ⊥，所以 12120x x y y +=.又12223kx x k -+=-，12223x x k =-， 14分 所以 212121212(1)(1)()11y y kx kx k x x k x x =++=+++=， 所以22103k +=-，解得1k =±. 16分 20. (本小题满分17分) 解：（1）设，因为直线的斜率为，，所以，. 2分 又，解得， 5分 ，所以椭圆的方程为. 7分（2）设，由题意可设直线l 的方程为：，联立消去得， 9分当，所以，即或 11分.所以14分点到直线的距离所以，15分设，则，，当且仅当，即，解得时取等号，满足，所以的面积最大时直线的方程为：或. 17分。
高二数学选修21测试题及答案
4．双曲线 的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
5．中心在原点的双曲线，一个核心为 ，一个核心到最近极点的距离是 ，则双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．已知正方形 的极点 为椭圆的核心，极点 在椭圆上，则此椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
6．A
【解析】
试题分析：设正方形 的边长为1，则按照题意知，
，所以椭圆的离心率为
考点：本小题主要考查椭圆中大体量的运算和椭圆中离心率的求法，考查学生的运算求解能力.
点评：求椭圆的离心率关键是求出 ，而没必要别离求出
7．A
【解析】
试题分析：因为椭圆 与双曲线 有相同的核心，所以 ，且椭圆的核心应该在 轴上，所以 因为 ，所以
12．C
【解析】
试题分析：按照题意，由于直线 与圆 相切，则圆心（0,0）到直线x+y=m的距离为 ，则可知取得参数m的值为2，故答案为C.
考点：直线与圆的位置关系
点评：主如果考查了直线与圆的位置关系的运用，属于基础题。
13．
【解析】
试题分析：由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形，应用勾股定理得，直线 被圆 截得的弦长为 。
考点：空间向量与立体几何.
14．已知椭圆 的核心重合，则该椭圆的离心率是．
15．已知方程 表示椭圆，则 的取值范围为___________
16．在正方体 中， 为 的中点，则异面直线 和 间的距离．
三、解答题
17．求过点(－1，6)与圆x +y +6x－4y+9=0相切的直线方程．
18．求渐近线方程为 ，且过点 的双曲线的标准方程及离心率。
高中数学选修2-1综合测试卷带答案
高中数学选修2-1综合测试卷带答案解析：p是q的必要不充分条件，即p成立时q一定成立，但q成立时p不一定成立。
根据题目中的条件，当a＝3，b＝2，c＝5，d＝4时，q成立但p不成立。
因此选项A不成立，选项B、C、D均成立。
答案：BCD8．若f(x)＝x3－3x2－9x＋19，则f(x)的最小值为()A．－5B．－6C．4D．5解析：f(x)＝x3－3x2－9x＋19＝(x－1)3－9(x－1)＋10，令x－1＝t，则f(x)＝t3－9t＋10，f'(x)＝3t2－9＝0，解得t＝±1，代入f(x)得f(0)＝10，f(2)＝－5，所以f(x)的最小值为－5.答案：B9．已知等差数列{an}的公差为d，若a1＋a2＋a3＋a4＝10，a2＋a3＋a4＋a5＝20，则d的值为()A．2B．4C．6D．8解析：将等式a1＋a2＋a3＋a4＝10两边同时加上a5－a1，得a5＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5－2a1＝20－2a1.因为a2＋a3＋a4＋a5＝20，所以a5＋a2＋a3＋a4＝20－a1.联立以上两式，得2a1＝10，所以a1＝5.又因为a1＋a2＋a3＋a4＝10，所以2a1＋3d＝10，解得d＝2.答案：A10．已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)＝0，f(1)＝1，则必存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)＝ξ。
()A．正确B．错误解析：考虑函数g(x)＝f(x)－x，g(0)＝0，g(1)＝0，因此在区间[0,1]上必存在一点ξ，使得g'(ξ)＝0，即f'(ξ)－1＝0，即f(ξ)＝ξ。
答案：A11．已知圆锥的底半径为R，高为H，若圆锥的体积为底面积的三倍，则圆锥的母线长为()A．3RB．4RC．5RD．6R解析：设圆锥的母线长为l，则圆锥的底面积为πR2，体积为(1/3)πR2H，根据题意得(1/3)πR2H＝3πR2，解得H＝9R/π，根据勾股定理得l2＝H2＋R2，代入H的值，得l＝(82+π2)R/π，约等于5R。
最新人教A版高中数学选修2-1测试题全套及答案
高中数学选修2-1测试题全套及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．给出命题：“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．若命题p ∨q 与命题p ⌝都是真命题，则( )A ．命题p 不一定是假命题B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 与命题q 的真假相同3．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则（ ）A ．⌝p ：∀x ∈A ，2x ∉B B ．⌝p ：∀x ∉A ，2x ∉BC ．⌝p ：∃x 0∉A ，2x 0∈BD ．⌝p ：∃x 0∈A ，2x 0∉B4．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数5．设U 为全集，A,B 是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题（ ） A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题7．若“0＜x ＜1”是“(x －a )[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是（ ）A ．(－∞，0]∪[1，＋∞)B ．(－1，0)C ．[－1，0]D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)8．命题p ：若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p ∨q ”是真命题B ．“p ∧q ”是假命题C ．⌝p 为假命题D ．⌝q 为假命题9．下列命题中是假命题的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin BD ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数10．下面四个条件中，使a >b 成立的充分不必要的条件是（ ）A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 311．已知A ：13x -<，B ：(2)()0x x a ++<，若A 是B 的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是( )A ．(4，+∞)B ．[4，+∞)C ．(-∞，4]D ．(-∞，-4)12．已知命题p:不等式(x -1)(x -2)>0的解集为A ，命题q:不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集为B ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[－3,1]D ．[－2，＋∞)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上） 13若关于x 的不等式|x －m |＜2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，则实数m 的取值X 围是________．14．若命题“∪x ∪R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值X 围是________．15．关于x 的方程x 2－(2a －1)x ＋a 2－2＝0至少有一个非负实根的充要条件的a 的取值X 围是________．16．给出下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题；③“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件； ④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中说法不正确的序号是________．17．已知命题p ：∀x ∈[1,2]都有x 2≥a ．命题q ：∃x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋2－a ＝0成立，若命题p ∧q 是真命题，则实数a 的取值X 围是________．18．如果甲是乙的必要不充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则丁是甲的__________条件．三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）已知命题p:若,0≥ac 则二次方程02=++c bx ax 没有实根.(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假, 并证明你的结论.20．（10分）已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝φ”是假命题，XX 数m 的取值X 围．21．（10分）已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∪P 是x ∪S 的充要条件，若存在，求出m 的X 围；若不存在，请说明理由；(2)是否存在实数m ，使x ∪P 是x ∪S 的必要条件，若存在，求出m 的X 围；若不存在，请说明理由．22．（10分）已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；命题q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若命题p ∧q 为假，命题p ∨q 为真，XX 数c 的取值X 围．23．（10分）已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题p ∨q 是假命题，求a 的取值X 围．24．（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列． 证明：数列{a n }成等比数列的充要条件是a 1＝3.参考答案一、选择题1.D2.B3.D4.B5.C6.D7.C8.B9.D 10.A 11.D 12.A提示：1．逆命题为：若x ＝y ＝0，则x 2＋y 2＝0，是真命题．否命题为：若x 2＋y 2≠0，则x ≠0或y ≠0，是真命题．逆否命题为：若x ≠0或y ≠0，则x 2＋y 2≠0，是真命题．2．“p ⌝”为真命题，则命题p 为假，又p 或q 为真，则q 为真，故选B.3．由命题的否定的定义及全称命题的否定为特称命题可得．命题p 是全称命题：∀x ∈A ，2x ∈B ，则⌝p 是特称命题：∃x 0∈A ，2x 0∉B .故选D.4．原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是B 选项．5．6．原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题． 7．(x －a )[x －(a ＋2)]≤0⇒a ≤x ≤a ＋2，由集合的包含关系知：⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋2≥1，⇒a ∈[－1，0]． 8．因为当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，所以命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x >0，综上可知，“p 或q ”是假命题. 9．对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1＝⎝⎛⎭⎫lg x ＋122＋34≥34>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝π2时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项D 是假命题. 10.a >b ＋1⇒a －b >1>0⇒a >b ，但a ＝2，b ＝1满足a >b ，但a ＝b ＋1，故A 项正确．对于B ，a >b －1不能推出a >b ，排除B ；而a 2>b 2不能推出a >b ，如a ＝－2，b ＝1，(－2)2>12，但－2<1，故C 项错误；a >b ⇔a 3>b 3，它们互为充要条件，排除D.11．由题知1324x x -<⇔-<<，当2a <时，(2)()02x x a x a ++<⇔-<<-，若A 是B 的充分不必要条件，则有A B ⊆且B A ≠，故有4a ->，即4a <-；当2a =时，B=φ，显然不成立；当2a >时，(2)()02x x a a x ++<⇔-<<-，不可能有A B ⊆，故(),4a ∈-∞-.12.不等式（x -1）（x -2）>0，解得x >2或x <1，所以A 为(－∞，1)∪(2，＋∞)．不等式x 2＋(a －1)x －a >0可以化为(x －1)(x ＋a )>0，当－a ≤1时，解得x >1或x <－a ，即B 为(－∞，－a )∪(1，＋∞)，此时a ＝－1；当－a >1时，不等式(x －1)(x ＋a )>0的解集是(－∞，1)∪(－a ，＋∞)，此时－a <2，即－2<a <－1.综合知－2<a ≤－1.二、填空题13.(1，4) 14.[－8,0] 15.⎣⎡⎦⎤－2，9416.①② 17.(－∞，－2]∪{1} 18.充分不必要提示：13．由|x －m |＜2得－2＜x －m ＜2，即m －2＜x ＜m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m －2＜x ＜m ＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＜2m ＋2＞3，由此解得1＜m ＜4，即实数m 的取值X 围是(1，4)．14．由题意知，x 为任意实数时，都有ax 2－ax －2≤0恒成立．当a ＝0时，－2≤0成立．当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0得－8≤a ＜0， 所以－8≤a ≤0.15.设方程的两根分别为x 1，x 2，当有一个非负实根时，x 1x 2＝a 2－2≤0，即－2≤a ≤2；当有两个非负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2a －1）2－4（a 2－2）≥0，x 1＋x 2＝2a －1＞0，x 1x 2＝a 2－2≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧4a ≤9，a ＞12，a ≤－2或a ≥ 2.即2≤a ≤94.综上，得－2≤a ≤94. 16.①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x <12，则1x －12＝2－x 2x <0，解得x <0或x >2，所以“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．17.若p 是真命题，即a ≤(x 2)min ，x ∈[1,2]，所以a ≤1；若q 是真命题，即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有解，则Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2.命题“p 且q ”是真命题，则p 是真命题，q 也是真命题，故有a ≤－2或a ＝1.三、解答题19.解：(1)命题p 的否命题为:若,0<ac 则二次方程02=++c bx ax 有实根.(2)命题p 的否命题是真命题. 证明如下: ,04,0,02>-=∆>-<ac b ac ac 所以所以因为所以二次方程02=++c bx ax 有实根.故该命题是真命题.20.解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}． 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0⇒m ≥32. 又集合{m |m ≥32}关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}， 所以实数m 的取值X 围是{m |m ≤－1}．21.解：(1)不存在.由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为x ∈P 是x ∈S 的充要条件，所以P ＝S ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在．(2)存在.由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以m ≤3. 又1+m ≥1-m,所以m ≥0.综上，可知0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．22.解：因为函数y ＝c x 在R 上单调递减，所以0<c <1.即p ：0<c <1，因为c >0且c ≠1，所以⌝p ：c >1.又因为f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，所以c ≤12.即q ：0<c ≤12，因为c >0且c ≠1， 所以⌝q ：c >12且c ≠1. 又因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，所以p 真q 假或p 假q 真．①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. ②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12＝∪. 综上所述，实数c 的取值X 围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. 23.解：由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0,所以x ＝a 2或x ＝－a ， 所以当命题p 为真命题时⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，所以|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，所以Δ＝4a 2－8a ＝0，所以a ＝0或a ＝2.所以当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.所以命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2.因为命题“p 或q ”为假命题，所以a >2或a <－2.即a 的取值X 围为{a |a >2或a <－2}．24.证明: 因为数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列，所以S n ＋1＝S 1＋1·2n －1，即S n ＋1＝(a 1＋1)·4n －1.因为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2， 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，3（a 1＋1）·4n －2，n ≥2，显然，当n ≥2时，a n ＋1a n ＝4. ①充分性：当a 1＝3时，a 2a 1＝4，所以对n ∈N *，都有a n ＋1a n＝4，即数列{a n }是等比数列． ②必要性：因为{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝4， 即3（a 1＋1）a 1＝4，解得a 1＝3. 综上，数列{a n }成等比数列的充要条件是a 1＝3.第二章 圆锥曲线与方程 测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上，那么抛物线的方程是（ ）A ．y 2＝－16xB ．y 2＝12xC ．y 2＝16xD ．y 2＝－12x2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝5，则|PF 2|＝（ ）A ．5B ．3C ．7D ．3或73．已知椭圆x 225＋y 29＝1，F 1，F 2分别为其左、右焦点，椭圆上一点M 到F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的焦距为4，一个顶点是抛物线y 2＝4x 的焦点，则双曲线的离心率e 等于（ ）A ．2B ．3C ．32D ．26．已知点A （3，4），F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 是抛物线上的动点，当|AM |＋|MF |最小时，M 点坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（3，26）C ．（3，－26）D ．（2，4）7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的离心率为52，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为（ ）A ．12B ．33C ．32D ．228．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于（ ）A ．42B ．83C ．24D ．489．已知点A （1，2）是抛物线C ：y 2＝2px 与直线l ：y ＝k （x ＋1）的一个交点，则抛物线C 的焦点到直线l 的距离是（ ）A ．22B ．2C ．322D ．2210．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为（ ）A ．6B ．3C ．2D ．811．已知以F 1（－2，0），F 2（2，0）为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）A ．32B ．26C ．27D ．712．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的左、右支分别于点B 、C ，且|BC|=|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y=±3xB ．y=±22xC ．y=±（1+3）xD ．y=±（3－1）x 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）13．抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离是＿＿＿＿＿．14．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是＿＿＿＿＿．15．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：（x －5）2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：（x ＋5）2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是＿＿＿＿＿．16．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A （72，4），则|PA |＋|PM |的最小值是＿＿＿＿＿．17．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A 、B 两点，则|F 1A |＋|F 1B |的值为＿＿＿＿＿．18．过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点作斜率为3的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在y 轴上的正射影分别为D ，C ，若梯形ABCD 的面积为103，则p=＿＿＿＿＿． 三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）已知双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，求双曲线方程．20．（10分）已知点P （3，4）是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）上的一点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若PF 1⊥PF 2．试求：（1）椭圆的方程；（2）△PF 1F 2的面积．21．（10分）抛物线y 2＝2px （p >0）有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y ＝2x ，斜边长为513，求此抛物线方程．22．（10分）已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A 、B 是抛物线C 上的两个动点（AB 不垂直于x 轴），且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q （6，0），求此抛物线的方程．23．（10分）设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1（a >0）与直线l ：x ＋y ＝1相交于两点A 、B ． （1）求双曲线C 的离心率e 的取值X 围；（2）设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA →＝512PB →，求a 的值．24．（10分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a >b >0）的离心率为63，且经过点（32，12）． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点P （0，2）的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△AOB （O 为原点）面积的最大值．参考答案一、选择题1．C 2．D 3．D 4．B 5．A 6．D 7．C 8．C 9．B 10．A 11．C 12．C 提示：1．由题设知直线3x －4y －12＝0与x 轴的交点（4，0）即为抛物线的焦点，故其方程为y 2＝16x ．2．因为双曲线的定义可得||PF 1|－|PF 2||＝2，所以|PF 2|＝7或3．3．由题意知|MF 2|＝10－|MF 1|＝8，ON 是△MF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|MF 2|＝4． 4．若x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，所以2<m <6且m ≠4，故2<m <6是x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的必要不充分条件． 5．依题意，得c ＝2，a ＝1，所以e ＝ca ＝2．6．由题知点A 在抛物线内．设M 到准线的距离为|MK |，则|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MK |，当|MA |＋|MK |最小时，M 点坐标是（2，4）．7．因为在双曲线中，e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，在椭圆中，e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝1－14＝34，所以椭圆的离心率e ＝32．8．由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24．9．将点（1，2）代入y 2＝2px 中，可得p ＝2，即得抛物线y 2＝4x ，其焦点坐标为（1，0），将点（1，2）代入y ＝k （x ＋1）中，可得k ＝1，即得直线x －y ＋1＝0，所以抛物线C 的焦点到直线l 的距离d ＝|1－0＋1|2＝2．10．由椭圆方程得F （－1，0），设P （x 0，y 0），则OP →·FP →＝（x 0，y 0）·（x 0＋1，y 0）＝x 20＋x 0＋y 20，因为P 为椭圆上一点，所以x 204＋y 203＝1，所以OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3（1－x 204）＝x 204＋x 0＋3＝14（x 0＋2）2＋2，因为－2≤x 0≤2，所以OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6．11．根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1（b >0），则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4（b 2＋1）y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，因为椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，所以Δ＝（83b 2）2－4×4（b 2＋1）（－b 4＋12b 2）＝0，即（b 2＋4）·（b 2－3）＝0，所以b 2＝3，长轴长为2b 2＋4＝27．12．根据双曲线的定义有|CF 1|－|CF 2|=2a ，而|BC|=|CF 2|，那么2a=|CF 1|－|CF 2|=|CF 1|－|BC|=|BF 1|，而又由双曲线的定义有|BF 2|－|BF 1|=2a ，可得|BF 2|=4a ，由于过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的左、右支分别于点B 、C ，那么sin ∠BF 1F 2=c a ，那么cos ∠BF 1F 2=cb，根据余弦定理有cos ∠BF 1F 2=c b =ca a c a 222)4()2()2(222⨯⨯-+，整理有b 2－2ab －2a 2=0，即（a b）2－2a b －2=0，解得a b =1+3（a b =1－3<0舍去），故双曲线的渐近线方程为y=±abx=±（1+3）x ．二、填空题13．1814．x 281＋y 272＝115．10 16．9217．82318．3 提示：13．由x 2＝14y 知，p ＝18，所以焦点到准线的距离为p ＝18．14．依题意知：2a ＝18，所以a ＝9，2c ＝13×2a ，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，所以椭圆方程为x 281＋y 272＝1．15．依题意得，点F 1（－5，0）、F 2（5，0）分别为双曲线C 1的左、右焦点，因此有|PQ |－|PR |≤|（|PF 2|＋1）－（|PF 1|－1）|≤||PF 2|－|PF 1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ |－|PR |的最大值是10．16．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F （12，0），又点A （72，4）在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12，又|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|PA |＋|PM |≥92．17．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x －1，消去y 整理得3x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝43，易得点A （0，－1）、B （43，13）．又点F 1（－1，0），因此|F 1A |＋|F 1B |＝12＋(－1)2＋(73)2＋(13)2＝823．18．由抛物线y 2=2px （p>0）得其焦点F （2p ，0），直线AB 的方程为y=3（x －2p ），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（假定x 2>x 1），由题意可知y 1<0，y 2>0，联立⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(32，整理有3y 2－2py －3p 2=0，可得y 1+y 2=32p，y 1y 2=－p 2，则有x 1+x 2=35p ，而梯形ABCD的面积为S=21（x 1+x 2）（y 2－y 1）=65p212214)(y y y y -+=103，整理有p 2=9，而p>0，故p=3．三、解答题19．解：设双曲线的方程为42·x 2－32·y 2＝λ（λ≠0）， 从而有（|λ|4）2＋（|λ|3）2＝100，解得λ＝±576， 所以双曲线的方程为x 236－y 264＝1和y 264－x 236＝1． 20．解：（1）因为P 点在椭圆上，所以9a 2＋16b 2＝1，① 又PF 1⊥PF 2，所以43＋c ·43－c ＝－1，得：c 2＝25，②又a 2＝b 2＋c 2，③ 由①②③得a 2＝45，b 2＝20，则椭圆方程为x 245＋y 220＝1； （2）S 21F PF ∆＝12|F 1F 2|×4＝5×4＝20．21．解：设抛物线y 2＝2px （p >0）的内接直角三角形为AOB ，直角边OA 所在直线方程为y ＝2x ，另一直角边所在直线方程为y ＝－12x ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p ； 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，可得点B 的坐标为（8p ，－4p ）．因为|OA |2＋|OB |2＝|AB |2，且|AB |＝513， 所以⎝⎛⎭⎫p24＋p 2＋（64p 2＋16p 2）＝325， 所以p ＝2，所以所求的抛物线方程为y 2＝4x ．22．解：设抛物线的方程为y 2＝2px （p >0），其准线方程为x ＝－p2， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），因为|AF |＋|BF |＝8， 所以x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8，即x 1＋x 2＝8－p ，因为Q （6，0）在线段AB 的中垂线上，所以QA ＝QB ，即（x 1－6）2＋y 21＝（x 2－6）2＋y 22，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以（x 1－x 2）（x 1＋x 2－12＋2p ）＝0， 因为x 1≠x 2，所以x 1＋x 2＝12－2p ，故8－p ＝12－2p ，所以p ＝4， 所以所求抛物线方程是y 2＝8x ．23．解：（1）联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－a 2y 2－a 2＝0，x ＋y ＝1，消y 得x 2－a 2（1－x ）2－a 2＝0，即（1－a 2）x 2＋2a 2x －2a 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝－2a21－a 2.因为与双曲线交于两点A 、B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，可得0<a 2<2且a 2≠1，所以e 的取值X 围为（62，2）∪（2，＋∞）； （2）由（1）得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝－2a21－a2.因为P A →＝512PB →，所以x 1＝512x 2，则1712x 2＝－2a 21－a 2，①512x 22＝－2a 21－a 2，② 由①2②得，a 2＝289169，结合a >0，则a ＝1713． 24．解：（1）由e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝23，得b a ＝13，①由椭圆C 经过点（32，12），得94a 2＋14b 2＝1，②联立①②，解得b ＝1，a ＝3， 所以椭圆C 的方程是x 23＋y 2＝1；（2）易知直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2，将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得（1＋3k 2）x 2＋12kx ＋9＝0， 令Δ＝144k 2－36（1＋3k 2）>0，得k 2>1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2，所以S △AOB ＝|S △POB －S △POA |＝12×2×|x 1－x 2|＝|x 1－x 2|，因为（x 1－x 2）2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝（－12k 1＋3k 2）2－361＋3k 2＝36(k 2－1)(1＋3k 2)2，设k 2－1＝t （t >0）， 则（x 1－x 2）2＝36t(3t ＋4)2＝369t ＋16t＋24≤3629t ×16t＋24＝34， 当且仅当9t ＝16t ，即t ＝43时等号成立，此时k 2＝73，△AOB 面积取得最大值32．第三章 空间向量与立体几何一、选择题1．若A (0，－1，1)，B (1，1，3)，则|AB |的值是()． A ．5B ．5C ．9 D ．32．化简AB ＋CD －CB －AD ，结果为()．A ．0B ．ABC ．ACD ．3．若a ，b ，c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不成立的是()． A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c C ．m (a ＋b )＝m a ＋m b D ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )4．已知＋＝(2，－1，0)，a －b ＝(0，3，－2)，则cos<，>的值为()． A ．31B ．－32C ．33D ．375．若P 是平面α 外一点，A 为平面α 内一点，n 为平面α 的一个法向量，且<，n >＝40º，则直线PA 与平面α 所成的角为()．A ．40ºB ．50ºC ．40º或50ºD ．不确定6．若A ，B ，C ，D 四点共面，且 ＝ ＋ 3＋ 2＋ x ，则x 的值是()．A ．4B ．2C ．6D ．－67．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝5，∠BAD ＝90º，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60º，则AC 1的长等于()．A ．85B ．50C ．85D ．528．已知向量a ＝(2，－1，3)，b ＝(－4，2，x )，c ＝（1，－x ，2），若(a ＋b )⊥c ，则x 等于()．A ．4B ．－4C ．21D ．－6 9．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，考虑下列命题①(A A 1＋11D A ＋11B A )2＝3(11B A )2；②A 1·(11B A －A A 1)＝0；③向量1AD 与向量A 1的夹角为60º；④正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为|··|． 错误命题的个数是()．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知四边形ABCD 满足·＞0，·＞0，·＞0，·＞0，则该四边形为()．A ．平行四边形B ．梯形C ．任意的平面四边形D ．空间四边形 二、填空题11．设a ＝(－1，1，2)，b ＝(2，1，－2)，则a －2b ＝．1AA12．已知向量a ，b ，c 两两互相垂直，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，s ＝a ＋b ＋c ，则|s |＝． 13．若非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b 所成角的大小．14．若n 1，n 2分别为平面α，β 的一个法向量，且<n 1，n 2>＝60º，则二面角α－l －β 的大小为．15．设A (3，2，1)，B (1，0，4)，则到A ，B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x ，y ，z 应满足的条件是 ．16．已知向量n A A 1＝2a ，a 与b 夹角为30º，且|a |＝3，则21A A ＋32A A ＋…＋n n A A 1-在向量b 的方向上的射影的模为．三、解答题17．如图，在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面是平行四边形， O 是B 1D 1的中点．求证：B 1C //平面ODC 1．18．如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底边CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90º，棱AA 1＝2，M ，N 分别是11B A 、的中点．A A 1ABA 1B 1D CD 1C 1O（第17题）(1)求BN ·M C 1；(2)求cos<1BA ，1CB >．19．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．ACBA 1C 1B 1N M（第18题）(1)证明：D 1E ⊥A 1D ；(2)当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； (3)AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4．20．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，∠DAB 为直角，AB //CD ，AD ＝CD ＝2AB ，E ，F 分别为PC 、CD 中点．ABA 1D B 1C D 1C 1E（第19题）(1)试证：CD ⊥平面BEF ；(2)设PA ＝k ·AB ，且二面角E —BD —C 的平面角大于30º，求k 的取值X 围．参考答案一、选择题 1．D2．A3．D 4．B解析：两已知条件相加，得 a ＝（1，1，-1），再得 b ＝（1，－2，1），则cos<a ，b >＝||||b a •＝－32． 5．B6．D7．C8．B9．B 10．D解析：由AB ·BC ＞0得∠ABC ＞90º，同理，∠BCD ＞90º，∠CDA ＞90º，∠DAB ＞90º，若ABCD 为平面四边形，则四个内角之和为360º，这与上述得到结论矛盾，故选D ．二、填空题11．(－5，－1，6) ．12．14． 13．90°．BACPE FD（第20题）14．60º或120º． 15．4x ＋4y －6z ＋3＝0． 16．3． 三、解答题17．提示：∵C B 1＝D A 1＝11C A ＋D C 1＝21OC ＋D C 1． ∴ 直线B 1C 平行于直线OC 1与C 1D 所确定的平面ODC 1． 18．(1)0．提示：可用向量计算，也可用综合法得C 1M ⊥BN ，进而得两向量数量积为0． (2)1030． 提示：坐标法，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴．19．(1)提示：以D 为原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，可得1·E D 1＝0．(2)31． 提示：平面ACD 1的一个法向量为n 1＝(2，1，2)，d ＝11n n | |1·E D ＝31． (3)2－3．提示：平面D 1EC 的一个法向量为n 2＝（2－x ，1，2）（其中AE ＝x ），利用 cos 4x ＝2－3．20．(1)提示：坐标法，A 为原点，直线AD ，AB ，AP 分别为x ，y ，z 轴．(2)k ＞15152．提示：不妨设AB ＝1，则PA ＝k ，利用cos<n 1，n 2>＜23，其中n 1，n 2分别为面EBD ，面BDC 的一个法向量．。
高二数学选修2-1测试试题及答案
高二数学选修2-1测试试题及答案本试题满分150分，用时100分钟）一、选择题：1.命题“若a>b，则a-8>b-8”的逆否命题是（）A.若a<b，则a-8<b-8B.若a-8≤b-8，则a≤bC.若a≤b，则a-8≤b-8D.若a-8b2.如果方程x^2+ky^2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．(0.+∞)B．(0.2)C．(0.1)D．(1.+∞)3.已知x-3x+2≥0，2x-2≥1，则“非P”是“非Q”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4.双曲线16/(x^2)-9/(y^2)=1的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过点F1的弦AB的长为5，那么△ABF2的周长是（）A、24B、25C、26D、285.若焦点在轴上的椭圆x^2/3+y^2/2=1的离心率为e，则m=A.3B.38/2C.23/2D.33/26.在同一坐标系中，方程x^2/2+y^2/2=1与ax+by^2=(a>b>)的曲线大致是（）ab7.椭圆25x^2+16y^2=400的面积为（）A.9B.12C.10D.88.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则E到平面ABC1D1的距离是（）A.√2/2B.√6/2C.√3/2D.√29.若向量a与b的夹角为60°，b=4，(a+2b)(a-3b)=-72，则a=A.2B.4C.6D.1210.方程x^2/k-y^2/k=1表示双曲线，则k的取值范围是（）A．-1<k<1B．k>0XXX≥1D．k>1或k<-111.方程x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0,k>且k≠1)，与方程y^2/a^2+x^2/b^2=1的图形是（）两个坐标轴上的椭圆12.若x^2+y^2+z^2=1，则x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2的最大值为（）1/3二、填空题：13.当k>1时，曲线x^2/k-y^2/k=1是（）。
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高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]高中数学选修2-1 课后习题答案第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系练习（ P4）1、略 .2、（1）真；（2）假；（3）真；（4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题 .（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称.这是真命题.（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题 .练习（ P6）1、逆命题：若一个整数能被 5 整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题 .否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被 5 整除 . 这是假命题 .逆否命题：若一个整数不能被 5 整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题 .2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题 .否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题 .逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题 .3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题 .否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题 .逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题 .练习（ P8）证明：若 a b 1，则a2b22a 4b3( a b)( a b) 2( a b) 2b3a b 2 2b3a b 10所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.习题 1.1 A组（P8）1、（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是.2、（1）逆命题：若两个整数 a 与b的和a b 是偶数，则a,b都是偶数.这是假命题.否命题：若两个整数a,b 不都是偶数，则 a b 不是偶数.这是假命题.逆否命题：若两个整数 a 与b的和a b 不是偶数，则a, b不都是偶数.这是真命题.（2）逆命题：若方程 x2 x m 0 有实数根，则m 0. 这是假命题 . 否命题：若 m 0 ，则方程x2x m 0没有实数根.这是假命题.逆否命题：若方程x2x m 0 没有实数根，则m 0 .这是真命题.3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等 .逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题 .否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不相等 .这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上 .这是真命题.（ 2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题 .否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题 .逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题 .4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题 1.1 B组（P8）证明：要证的命题可以改写成“若p ，则 q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分 .此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设AB,CD 是e O的两条互相平分的相交弦，交点是 E ，若 E 和圆心 O 重合，则AB,CD是经过圆心 O 的弦，AB,CD是两条直径.若 E 和圆心 O 不重合，连结AO, BO,CO 和DO，则OE是等腰AOB ， COD 的底边上中线，所以，OE AB ，OE CD .AB 和 CD 都经过点 E ，且与 OE 垂直，这是不可能的.所以， E 和 O 必然重合.即 AB 和 CD 是圆的两条直径 .原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1.2充分条件与必要条件练习（ P10）1、（1）；（2）；（3）；（4）.2、（1）.3（ 1） .4、（1）真；（2）真；（ 3）假；（ 4）真 .练习（ P12）1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p 是 q 的必要条件.2、（1）p是q的必要条件；（2）p是q的充分条件；（ 3）p是q的充要条件；（4）p是q的充要条件.习题 1.2 A组（P12）1、略 .2、（ 1）假；（2）真；（3）真.3、（1）充分条件，或充分不必要条件；（2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件；（4）充分条件，或充分不必要条件.4、充要条件是 a2b2r 2 .习题 1.2 B组（P13）1、（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件.2、证明：（ 1）充分性：如果 a2b2c2ab ac bc ，那么 a2b2c2ab ac bc 0 .所以 (a b)2(a c)2(b c)20所以， a b 0 ， a c 0 ， b c0 .即 a b c ，所以，ABC 是等边三角形.（2）必要性：如果ABC是等边三角形，那么 a b c所以 (a b)2 (a c)2 (b c)2 0所以 a 所以 a 2b2c2ab ac bc 0 2b2c2ab ac bc1.3简单的逻辑联结词练习（ P18）1、（1）真；（2）假 .2、（1）真；（2）假 .3、（1）225，真命题；（ 2）3 不是方程 x290的根，假命题；（ 3）( 1)21，真命题.习题 1.3 A组（ P18）1、（1） 4{2,3}或 2 {2,3}，真命题；（2） 4{2,3}且 2 {2,3} ，假命题；（3）2 是偶数或 3 不是素数，真命题；（ 4） 2 是偶数且 3 不是素数，假命题 .2、（1）真命题；（ 2）真命题；（3）假命题 .3、（1） 2 不是有理数，真命题；（ 2）5 是 15 的约数，真命题；（3）2 3 ，假命题；（4）8715 ，真命题；（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.习题 1.3 B组（ P18）（1）真命题 . 因为p为真命题，q为真命题，所以p q为真命题；（2）真命题 . 因为p为真命题，q为真命题，所以p q为真命题；（3）假命题 . 因为p为假命题，q为假命题，所以p q为假命题；（4）假命题 . 因为p为假命题，q为假命题，所以p q为假命题 .1.4全称量词与存在量词练习（ P23）1、（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题 .2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题 .练习（ P26）1、（1） n0Z, n0Q ；（2）存在一个素数，它不是奇数；（ 3）存在一个指数函数，它不是单调函数 .2、（1）所有三角形都不是直角三角形；（2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）所有实数的绝对值都是正数 .习题 1.4 A 组（ P26）1、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）假命题 .2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题 .3、（1） x0N , x03x02；（2）存在一个可以被 5 整除的整数，末位数字不是0；（3） x R, x2x 10 ；（4）所有四边形的对角线不互相垂直 .习题 1.4 B组（ P27）（1）假命题 . 存在一条直线，它在y轴上没有截距；（2）假命题 . 存在一个二次函数，它的图象与 x 轴不相交；（3）假命题 . 每个三角形的内角和不小于180；（4）真命题 . 每个四边形都有外接圆 .第一章复习参考题 A 组（ P30）1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题；逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题 .2、略 .3、（ 1）假；（2）假；（3）假；（4）假.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真；（5）真.5、（1） n N ,n20 ；（2）P { P P 在圆x2y2r 2上 } ，OP r (O 为圆心)；（3）( x, y) {( x, y) x, y 是整数}，2x 4y 3；（ 4）x0{ x x 是无理数}， x03{ q q 是有理数} .6、（1）32，真命题；（2）5 4 ，假命题；（ 3） x0R, x0 0 ，真命题；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章复习参考题 B 组（ P31）1、（1）p q；（2） ( p) (q) ，或 ( p q) .2、（1）Rt ABC，C90 ，A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，则 c2a2b2；（2）ABC ，A,B,a b cC 的对边分别是 a, b,c ，则.sin A sin B sin C第二章 圆锥曲线与方程2.1曲线与方程练习（ P37）1、是 . 容易求出等腰三角形 ABC 的边 BC 上的中线 AO 所在直线的方程是 x 0 .2、 a32 ,b 18 .25253、解：设点 A, M 的坐标分别为 (t,0) ， ( x, y) .（1）当 t 2 时，直线 CA 斜率2 02kCAt2 t2所以， k CB1 t 2k CA2由直线的点斜式方程，得直线CB 的方程为 y2t2( x 2) .2令 x 0 ，得 y 4 t ，即点 B 的坐标为 (0,4 t ) .由于点 M 是线段 AB 的中点，由中点坐标公式得 xt, y4 t .t4 t ，22由 x得 t 2x ，代入 y 22 得 y42x，即 x y 20 ①2（ 2）当 t 2 时，可得点 A, B 的坐标分别为 (2,0) ， (0,2)此时点 M 的坐标为 (1,1) ，它仍然适合方程①由（ 1）（ 2）可知，方程①是点 M 的轨迹方程，它表示一条直线.习题 2.1 A 组（ P37）1、解：点 A(1, 2) 、 C (3,10) 在方程 x 2xy 2 y1 0 表示的曲线上；点 B(2, 3) 不在此曲线上2、解：当 c0 时，轨迹方程为 xc 1；当 c 0 时，轨迹为整个坐标平面 .23、以两定点所在直线为 x 轴，线段 AB 垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，得点M 的轨迹方程为 x 2y 2 4 .4、解法一：设圆 x 2y 2 6x 50 的圆心为 C ，则点 C 的坐标是 (3,0) .由题意，得 CM AB ，则有 k CM k AB1 .高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]yy1 (x 3, x 0)所以，3 xx化简得 x 2y 23x 0 (x 3, x 0)当 x 3 时， y 0 ，点 (3,0) 适合题意；当 x 0 时， y 0 ，点 (0,0) 不合题意 .解方程组x 2 y 23x 0， 得 x5, y2 5x 2y 26x 5 033所以，点 M 的轨迹方程是 x2y 23x 0 ，5x3.3解法二：注意到OCM 是直角三角形，利用勾股定理，得 x 2 y 2(x 3)2y 2 9 ，即 x 2y 2 3x0 . 其他同解法一 .习题 2.1 B 组（ P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线 l 的方程为xy 1.a b因为直线 l 经过点 P(3,4) ，所以341因此， ab 4a 3bab由已知点 M 的坐标为 (a,b) ，所以点 M 的轨迹方程为 xy4x 3 y 0 .2、解：如图，设动圆圆心M 的坐标为 (x, y) .y由于动圆截直线 3xy0 和 3x y 0 所得弦分别为BAB ， CD ，所以， AB8 ， CD 4 . 过点 M 分别CMFE作直线 3x y0 和 3x y0 的垂线，垂足分别为E ，DF ，则 AE4 ， CF2 . A3xy， MF3x yME1010 .Ox连接 MA ， MC ，因为 MAMC ，（第 2 题）2ME 2CF 2MF 2 则有， AE(3 x y) 2(3 x y) 210 .所以， 1610410，化简得， xy因此，动圆圆心的轨迹方程是 xy 10 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]2.2椭圆练习（ P42）1、 14. 提示：根据椭圆的定义，PF1PF220 ，因为 PF1 6 ，所以 PF22、（1）x2y2 1 ；（2） y2x21；（3） x2y21，或 y2x2 1616361636163、解：由已知，a 5， b 4 ，所以 c a2b2 3 .（1）AF1B 的周长AF1AF2BF1BF2.由椭圆的定义，得 AF1AF22a， BF1BF22a .所以， AF1B 的周长4a20.（2）如果AB不垂直于 x 轴， AF1B 的周长不变化 .这是因为①②两式仍然成立，AF1 B 的周长20，这是定值 .4、解：设点M的坐标为 ( x, y) ，由已知，得直线 AM 的斜率y(x1)kAM；x1直线 BM 的斜率y(x1) ；kBMx1由题意，得kAM2，所以y2y( x1, y0) kBM x 1x1化简，得 x3( y0)因此，点 M 的轨迹是直线 x 3 ，并去掉点( 3,0) .练习（ P48）yB2 1、以点 B2（或 B1）为圆心，以线段 OA2（或 OA1）为半径画圆，圆与 x 轴的两个交点分别为F1 , F2 .A 1F1O点 F1 , F2就是椭圆的两个焦点 .B 1这是因为，在 Rt B2OF2中，OB2 b ， B2 F2OA2 a ，（第 1 题）所以， OF2 c .同样有 OF1 c .2、（1）焦点坐标为(8,0) ， (8,0) ；14.1.F2 A 2x（2）焦点坐标为 (0,2) ， (0, 2) .3、（1）x2y 21；（2） y2x2 1 . 363225164、（1）x2y21（2） x2y 21，或 y2x2 1. 9410064100645、（1）椭圆 9x2y236 的离心率是22 ，椭圆 x2y2 1 的离心率是 1 ，316122因为221 ，所以，椭圆x2y2 1 更圆，椭圆 9x2y236 更扁；321612（2）椭圆 x29 y236 的离心率是22 ，椭圆 x2y2 1 的离心率是10 ，36105因为2210 ，所以，椭圆x2y2 1 更圆，椭圆 x29 y 236 更扁 . 356106、（1）(3,8（2） (0,2) ；（ 3）(487082 ) ；,) .7、. 537377习题 2.2 A组（ P49）1、解：由点 M (x, y) 满足的关系式x2( y3)2x2( y3)210 以及椭圆的定义得，点 M 的轨迹是以F1(0,3) ， F2 (0,3) 为焦点，长轴长为10 的椭圆 .它的方程是y2x21. 25162、（1）x2y 21；（ 2）y2x2 1 ；（3） x2y21，或 y2x2 1. 3632259494049403、（1）不等式2x 2 ， 4 y 4 表示的区域的公共部分；（2）不等式25x25 ，10y10表示的区域的公共部分 .图略 . 334、（1）长轴长2a8 ，短轴长 2b 4 ，离心率e 3 ，2焦点坐标分别是 (23,0)， (23,0)，顶点坐标分别为 (4,0)， (4,0)， (0,2) ， (0,2) ；（2）长轴长2a18 ，短轴长 2b 6 ，离心率e 2 2 ，3焦点坐标分别是 (0, 62)，(0,62)，顶点坐标分别为 (0, 9) ，(0,9) ， (3,0) ， (3,0) .5、（1）x2y2 1 ；（2） x2y21，或 y2x2 1 ；859819（3） x2y21，或 y 2x2 1 .2592596、解：由已知，椭圆的焦距F1F2 2 .因为PF1F2的面积等于1，所以，1F1F2y P1，解得y P1. 2代入椭圆的方程，得x211，解得 x15 .P54215l所以，点 P 的坐标是(1)，共有 4个 .,2QA 7、解：如图，连接 QA .由已知，得 QA QP .O所以， QO QA QO QP OP r .又因为点 A 在圆内，所以 OA OP（第 7 题）根据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以 O, A 为焦点， r 为长轴长的椭圆 .8、解：设这组平行线的方程为y 3 x m .2把 y 3 x m 代入椭圆方程x2y2 1 ，得 9x26mx2m218 0 .249这个方程根的判别式36m236(2 m 218)（ 1）由0 ，得 3 2 m 3 2 .当这组直线在 y 轴上的截距的取值范围是( 32,32) 时，直线与椭圆相交 .（ 2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段 AB 的中点为M (x, y) .则 x x1x2m .23因为点 M 在直线y 3 x m 上，与 x m联立，消去 m ，得 3x 2 y0 .23这说明点 M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上 .x2y29、3.5252 2.8752 1 .10、地球到太阳的最大距离为 1.5288 108 km，最下距离为 1.4712108 km.习题 2.2 B 组（ P50）1、解：设点M的坐标为 ( x, y) ，点P的坐标为 ( x0 , y0 ) ，则 x x0， y 3 y0 .所以 x0x ， y0 2 y① . 23因为点 P(x0, y0 ) 在圆上，所以 x02y02 4 ② .将①代入②，得点 M 的轨迹方程为x2 4 y24，即 x2y21949所以，点 M 的轨迹是一个椭圆与例 2 相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为P(x, y) ，半径为R，两已知圆的圆心分别为O1, O2 .分别将两已知圆的方程x2y26x 50 ， x2y 26x 910配方，得 (x 3)2y2 4 ，( x3) 2y2100当 e P 与e O1：( x3)2y2 4 外切时，有O1P R2①当 e P 与e O2：( x3)2y2100 内切时，有O2P10R ②①②两式的两边分别相加，得O1P O2 P12即， ( x 3)2y2(x 3)2y212③化简方程③ .先移项，再两边分别平方，并整理，得 2 (x 3)2y212x ④将④两边分别平方，并整理，得3x2 4 y2 108 0 ⑤将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得x2y2 1 ⑥3627由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12， 6 3 .解法二：同解法一，得方程( x 3)2y2( x 3)2y 212①由方程①可知，动圆圆心P(x, y) 到点 O1 ( 3,0) 和点 O2 (3,0)距离的和是常数12，所以点 P 的轨迹方程是焦点为( 3,0) 、 (3,0) ，长轴长等于 12 的椭圆 .并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在 x 轴上，于是可求出它的标准方程 .因为 2c 6 ， 2a 12 ，所以 c 3 ， a 6所以 b 2 36 927 .于是，动圆圆心的轨迹方程为x 2y2361.273、解：设 d 是点 M 到直线 x8 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合PMF 1 M2d( x2)2y 2 1由此得x28将上式两边平方，并化简，得3x24 y248 ，即x 2y 2 11612所以，点 M 的轨迹是长轴、短轴长分别为8， 4 3 的椭圆 .4、解：如图，由已知，得E(0, 3) ， F (4,0) ， G (0,3) ， H ( 4,0) .DyGLC因为 R,S,T 是线段 OF 的四等分点，R'MR , S ,T 是线段 CF 的四等分点，S' 所以， R(1,0), S(2,0), T (3,0) ；HN T'O RSTF xR (4, 9 ), S (4, 3),T (4, 3) .424直线 ER 的方程是 y 3x 3 ；直线 GR 的方程是 y3.AEBx 31632 , y 45 .（第 4 题）联立这两个方程，解得x17 17所以，点 L 的坐标是 (32 ,45) .17 17同样，点 M 的坐标是 (16 , 9) ，点 N 的坐标是 ( 96 , 21) .5 525 25由作图可见，可以设椭圆的方程为x 2y 21 (m 0, n 0) ①nm 22把点 L, M 的坐标代入方程①，并解方程组，得11，11m 22232.4 n高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]所以经过点 L, M 的椭圆方程为x 2y 21 .16 9把点 N 的坐标代入x 2y 2 ，得 1( 96 ) 2 1 ( 21)2 1，169 16 259 25所以，点 N 在x 2y 2 1 上 . 169因此，点 L, M , N 都在椭圆x 2y 2 1 上.1692.3双曲线练习（ P55）1、（1）x 2y 21 .（2） x 2y21.16 93（3）解法一：因为双曲线的焦点在y 轴上y 2x 21 ( a 0,b0)所以，可设它的标准方程为2b 2a将点 (2, 5) 代入方程，得254 1 ，即 a 2b 24a 2 25b 2 0a 2b 2又 a 2b 236解方程组a 2b 2 4a 2 25b 2 0a2b 236令 m a 2,nmn 4m 25n 0 b 2，代入方程组，得n 36m m 20 m 45 解得16，或9nn第二组不合题意，舍去，得a 2 20,b 2 16y 2x 2所求双曲线的标准方程为 120 16解法二：根据双曲线的定义，有 2a4 (5 6)24 (5 6)2 4 5 .所以， a 2 5高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]又 c6，所以 b23620 16由已知，双曲线的焦点在y2x2y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为 1 .20162、提示：根据椭圆中a2b2c2和双曲线中 a2b2c2的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标 .3、由 (2 m)( m 1) 0 ，解得m 2 ，或 m1练习（ P61）1、（1）实轴长 2a8 2 ，虚轴长2b 4 ；顶点坐标为(4 2,0),(42,0)；焦点坐标为 (6,0),(6,0)；离心率 e3 2 .4（2）实轴长2a 6 ，虚轴长 2b18 ；顶点坐标为(3,0),(3,0) ；焦点坐标为 (310,0),(310,0) ；离心率 e10 .（3）实轴长2a 4 ，虚轴长 2b 4 ；顶点坐标为(0,2),(0,2)；焦点坐标为 (0,22),(0,22) ；离心率 e 2 .（4）实轴长2a10，虚轴长2b14；顶点坐标为(0,5),(0,5) ；焦点坐标为 (0,74),(0,74) ；离心率 e74 .52、（1）x2y 2 1 ；（2） y2x2 1.3、 x2y21169362835 4、 x2y2 1 ，渐近线方程为y x .18185、（1） (6,2),( 14,2) ；（ 2） (25,3) 334习题 2.3 A组（ P61）y2x21 . 因为a 8，由双曲线定义可知，点P 到两焦点距1、把方程化为标准方程，得1664离的差的绝对值等于16. 因此点P到另一焦点的距离是17.2、（1）x2y2 1 .（2） x2y2120162575高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]3、（1）焦点坐标为 F 1 ( 5,0), F 2 (5,0) ，离心率 e5 ；3 （2）焦点坐标为 F 1 (0, 5), F 2 (0,5) ，离心率 e5 ；44、（1）x 2y 21.（ 2） y2x 2 1 2516916（3）解：因为 ec2 ，所以 c 22a 2 ，因此 b 2c 2 a 22a 2 a 2a 2 .a设双曲线的标准方程为x 2 y 21 ，或 y 2x 2 1.a 2 a 2a 2a 2将 ( 5,3) 代入上面的两个方程，得25 9 1 ，或 925 1 .a 2a 2 a 2a 2解得 a 216 （后一个方程无解） .所以，所求的双曲线方程为x 2 y 21 .16 165、解：连接 QA ，由已知，得 QA QP .所以， QA QO QP QO OP r .又因为点 A 在圆外，所以 OA OP .根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以 O, A 为焦点， r 为实轴长的双曲线 .6、 x 2 y 2 1 .8 8习题 2.3 B组（ P62）1、 x 2y 2116 92、解：由声速及 A, B 两处听到爆炸声的时间差，可知A, B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以 A, B 为焦点的双曲线上 .使 A, B 两点在 x 轴上，并且原点 O 与线段 AB 的中点重合，建立直角坐标系 xOy .设爆炸点 P 的坐标为 ( x, y) ，则 PA PB 340 3 1020 .即 2a 1020 ， a 510.又 AB1400，所以 2c 1400 ， c 700 ， b 2 c 2 a 2229900 .因此，所求双曲线的方程为x 2y22601001.2299003、 x 2y 2 1 a 2b 24、解：设点 A( x 1 , y 1) ， B( x 2 , y 2 ) 在双曲线上，且线段 AB 的中点为 M ( x, y) .设经过点 P 的直线 l 的方程为 y 1 k ( x 1) ，即 ykx 1 k把 ykx1 k 代入双曲线的方程 x 2y 2 1得2(2 k 2 )x 2 2k(1 k )x (1 k 2 ) 20 （ 2 k 2 0 ） ①所以， x x 1 x 2 k(1 k)22 k2由题意，得k (1k) 1，解得 k 2 .2k 2当 k 2 时，方程①成为 2x 2 4x 3 0 .根的判别式16 24 8 0 ，方程①没有实数解 .所以，不能作一条直线 l 与双曲线交于 A, B 两点，且点 P 是线段 AB 的中点 .2.4 抛物线练习（ P67）1、（1） y 2 12x ； （ 2） y 2x ；（3） y 24x, y 2 4x, x 2 4 y, x 24y .2、（1）焦点坐标 F (5,0) ，准线方程 x5 ； （ 2）焦点坐标 F (0, 1) ，准线方程 y1 ；88（3）焦点坐标 F ( 5 ,0) ，准线方程 x5； （ 4）焦点坐标 F (0, 2) ，准线方程 y 2 ； p . 8 83、（1） a ， a （ 2） (6,6 2) ， (6, 6 2)2提示：由抛物线的标准方程求出准线方程 . 由抛物线的定义，点 M 到准线的距离等于 9，所以 x 39 ， x 6， y 6 2 .yy 2= 4x练习（P72）y 2= 2x1、（1） y216 x ； （ 2） x220 y ；y 2=x52 1=（3） y 216 x ；（ 4） x 232 y .yx22、图形见右， x 的系数越大，抛物线的开口越大 .Ox3、解：过点 M (2,0) 且斜率为 1 的直线 l 的方程为 yx 2与抛物线的方程 y24x 联立y x 2y24x解得x 142 3 x 24 2 3，y 1 2 2 3y 2 2 2 3设 A(x 1, y 1 ) ， B(x 2 , y 2 ) ，则 AB( x 2 x 1) 2( y 2 y 1 )2( 4 3) 2( 4 3) 2 4 6 .4、解：设直线 AB 的方程为 xa ( a 0) .将 x a 代入抛物线方程 y 2 4x ，得 y 24a ，即 y 2 a .因为AB 2 y 2 2 a 4 a 4 3 ， 所以， a3因此，直线 AB 的方程为 x3 .习题 2.4 A 组（ P73）1、（1）焦点坐标 F (0, 1) ，准线方程 y1 ；22（2）焦点坐标 F (0,3) ，准线方程 y3 ；1616（3）焦点坐标 F ( 1 ,0) ，准线方程 x1 ；8 8 （4）焦点坐标 F ( 3 ,0) ，准线方程 x3 .222、（1） y 28x ；（ 2） (4,4 2) ，或 (4, 42)3、解：由抛物线的方程 y 2 2 px ( p0) ，得它的准线方程为 xp .2根据抛物线的定义，由 MF 2 p ，可知，点 M 的准线的距离为 2 p .设点 M 的坐标为 ( x, y) ，则xp 2 p ，解得 x3p .3 p 代入 y 222将 x2 px 中，得 y3 p .2因此，点 M 的坐标为 (3 p,3 p) ， (3 p,3 p) .224、（1） y 2 24 x ， y 2 24x ；（2） x 212 y （图略）5、解：因为xFM 60 ，所以线段 FM 所在直线的斜率 k tan 603 .因此，直线 FM 的方程为 y3( x 1)高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]与抛物线 y 24xy3( x1)L L 1联立，得y 24xL L 2将 1 代入 2 得， 3x210 x 3 0 ，解得， x 11， x 2 33把 x 11， x 2 3 分别代入①得y 12 3， y 2 2 333由第 5 题图知 (1 ,2 3) 不合题意，所以点 M 的坐标为 (3,2 3) .33因此， FM(3 1)2 (2 3 0) 246、证明：将 y x2 代入 y 22x 中，得 ( x2) 2 2x ，化简得 x 2 6x 4 0 ，解得 x35则 y 3 5 2 15因为 k OB1 5， k OA 1 535 35所以 k OB k OA1 5 1 5 153535 915所以 OA OB7、这条抛物线的方程是 x217.5 yy8、解：建立如图所示的直角坐标系，Ox设拱桥抛物线的方程为 x 22 py ，2l因为拱桥离水面 2 m ，水面宽 4 m所以222 p( 2) ， p 1因此，抛物线方程为 x 2 2y4①（第 8 题）水面下降 1 m ，则 y 3 ，代入①式，得 x 22 ( 3) ， x6 .这时水面宽为 2 6 m.习题 2.2 B 组（ P74）1、解：设垂线段的中点坐标为( x, y) ，抛物线上相应点的坐标为(x 1, y 1 ) .根据题意， x 1x ， y 1 2 y ，代入 y 122 px 1 ，得轨迹方程为 y21px .2由方程可知，轨迹为顶点在原点、焦点坐标为( p,0) 的抛物线 .82、解：设这个等边三角形 OAB 的顶点 A, B 在抛物线上，且坐标分别为( x 1 , y 1 ) ， (x 2 , y 2 ) ，则 y 12 2 px 1 ， y 22 2 px 2 .又 OAOB ，所以 x 12 y 12 x 22 y 22即 x 12 x 22 2 px 1 2 px 2 0， (x 12 x 22 ) 2 p( x 1 x 2 ) 0因此， ( x 1 x 2 )( x 1 x 2 2 p)因为 x 1 0, x 2 0,2 p 0 ，所以 x 1 x 2由此可得 y 1y 2 ，即线段 AB 关于 x 轴对称 .因为 x 轴垂直于 AB ，且AOx 30 ，所以y 1tan303 .x 13因为 x 1y 12 ，所以 y 1 2 3p ，因此 AB2 y 14 3 p .2 p3、解：设点 M 的坐标为 ( x, y)由已知，得 直线 AM 的斜率 k AMy ( x1) .x 1直线 BM 的斜率 k BMy ( x 1) .x 1由题意，得 k AMkBM2 ，所以，yy2( x1) ，化简，得 x 2( y 1)(x1)x 1 x 1第二章复习参考题 A 组（ P80）1、解：如图，建立直角坐标系， 使点 A, B, F 2 在 x 轴上， F 2 为椭圆的右焦点 （记 F 1 为左焦点） .因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为x 2 y 2.a2b 21(a b0)y则 a c OAOF 2 F 2 A 6371 439 6810，a c OBOF 2F 2B 6371 2384 8755 ，解得 a 7782.5 ， c 8755BF 1OF 2A x所以 ba 2c 2(a c)( ac)8755 6810用计算器算得 b 7722因此，卫星的轨道方程是x 2y 2 1.77832772222R r 1 r 2a cR r 1 a 22、解：由题意，得，解此方程组，得a c Rr 2r 1r 2c2因此卫星轨道的离心率 ecr 2 r 1 .a2R r 1r 23、（1） D ； （ 2） B .4、（1）当0 时，方程表示圆 .（2）当 090 时，方程化成 x 2y 21. 方程表示焦点在 y 轴上的椭圆 .1cos（3）当 90 时， x 2 1，即 x1，方程表示平行于 y 轴的两条直线 .（4）当 90180 时，因为 cos0，所以 x 2y 2 cos1 表示双曲线，其焦点在 x 轴上. 而当180 时，方程表示等轴双曲线 .5、解：将 ykx 1代入方程 x 2y 2 4得 x 2k 2 x 2 2kx 1 4 0即 (1 k 2 ) x 2 2kx 5 0 ①4k 2 20(1k 2 ) 20 16k 2令0 ，解得 k5，或 k522因为0 ，方程①无解，即直线与双曲线没有公共点，所以， k 的取值范围为 k5，或 k5226、提示：设抛物线方程为y 2 2 px ，则点 B 的坐标为 ( p, p) ，点 C 的坐标为 ( p, p)2 2 设点 P 的坐标为 ( x, y) ，则点 Q 的坐标为 ( x,0) .因为， PQ y2px ， BC 2 p ， OQ x .所以， PQ 2BC OQ ，即 PQ 是 BC 和 OQ 的比例中项 .7、解：设等边三角形的另外两个顶点分别是A, B ，其中点 A 在 x 轴上方 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]3 p直线 FA 的方程为 y( x)32与 y 22 px 联立，消去 x ，得 y 2 23 py p 2解方程，得 y 1 ( 3 2) p ， y 2 ( 3 2) p把 y 1( 3 2) p 代入 y3( xp ) ，得 x 1(72 3) p .322把 y 2( 3 2) p 代入 y3(xp) ，得 x 2 (72 3) p .322所以，满足条件的点 A 有两个 A 1 ((72 3) p,(3 2) p) ， A 2 ((72 3) p,(3 2) p) .22根据图形的对称性，可得满足条件的点B 也有两个B 1(( 72 3) p, (3 2) p) ，2 7( 32) p)B 2 ((2 3) p,2所以，等边三角形的边长是A 1B 12( 3 2) p ，或者 A 2 B 22(23) p .8、解：设直线 l 的方程为 y 2xm .把 y2x m 代入双曲线的方程 2x 23y 2 6 0 ，得 10x 2 12mx 3m 2 6 0 .x 1 x 26m， x 1x 2 3m 2 6 ①5 10由已知，得(1 4)[( x 1 x 2 ) 2 4x 1x 2 ] 16②210 把①代入②，解得m3210 所以，直线 l 的方程为 y2x39、解：设点 A 的坐标为 (x 1, y 1 ) ，点 B 的坐标为 ( x 2 , y 2 ) ，点 M 的坐标为 (x, y) .并设经过点 M 的直线 l 的方程为 y1 k (x 2) ，即 ykx 1 2k .22y把 y kx 1 2k 代入双曲线的方程 x1 ，得(2 k 2 )x 22k (1 2k )x(1 2k)2 2 0 (2 k 2 0) . ①高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]x 1 x 2 k (1 2k)所以， x22 k 2由题意，得k(12k) 2 ，解得 k42 k 2当 k4 时，方程①成为 14 x 2 56x 51根的判别式56 256 51 2800 ，方程①有实数解 .所以，直线 l 的方程为 y4x 7 .10、解：设点 C 的坐标为 (x, y) .由已知，得 直线 AC 的斜率 k ACy (x5)x 5直线 BC 的斜率kBCy 5 ( x 5)x 由题意，得 k AC k BCm . 所以， y y m( x5)5 x 5x化简得，x 2y 2 1(x 5)2525m当 m 0 时，点 C 的轨迹是椭圆 (m 1) ，或者圆 ( m 1) ，并除去两点 ( 5,0),(5,0) ；当 m 0 时，点 C 的轨迹是双曲线，并除去两点( 5,0),(5,0) ；11、解：设抛物线 y 2 4x 上的点 P 的坐标为 ( x, y) ，则 y 24x .点 P 到直线 yx 3 的距离 dx y 3y 2 4y 12 ( y 2)2824 24 2.当 y 2时， d 的最小值是2 .此时 x1，点 P 的坐标是 (1,2) .12、解：如图，在隧道的横断面上，以拱y顶为原点、拱高所在直线为y 轴Ox（向上），建立直角坐标系 .抛物线设隧道顶部所在抛物线的方程6 mE为 x 22 py因为点 C (4, 4) 在抛物线上DC所以 422 p( 4) 2 mFA3 m3 m2 p 4B解得高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]为 x 2 4 y .设 EFh 0.5. 则 F (3, h 5.5)把点 F 的坐标代入方程 x 24y ，解得 h3.25 .答：车辆通过隧道的限制高度为3.2 m.第二章复习参考题 B 组（ P81）1、SPF 1F 224 3 .2、解：由题意，得 PF 1x 轴.把 xc 代入椭圆方程，解得yb 2 . 所以，点 P 的坐标是 ( c, b 2)aa 直线 OP 的斜率 k 1b 2 .直线 AB 的斜率 k 2b .aca由题意，得b 2b，所以， b c ， a2c .ac a由已知及 F 1A a c ，得 ac 105所以 (1 2) c 105 ，解得 c5所以， a10 ， b5因此，椭圆的方程为x 2 y 2 1.1053、解：设点 A 的坐标 (x 1, y 1 ) ，点 B 的坐标 ( x 2 , y 2 ) .由 OA OB ，得 x 1x 2y 1y 2 0 .由已知，得直线 AB 的方程为 y2x 5 .则有 y 1 y 25( y 1 y 2 ) 25 0 ①由 y2x 5 与 y 22px 消去 x ，得 y 2py 5 p0 ②y 1y 2p ， y 1 y 25 p ③把③代入①，解得 p54高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]当 p5时，方程②成为 4 y 25y 25 0 ，显然此方程有实数根 .所以， p5444、解：如图，以连接 F 1 , F 2 的直线为 x 轴，线段 F 1 F 2 的中点为原点，建立直角坐标系 .对于抛物线，有p1763 529 2292 ，2所以， p4584 ， 2 p 9168 .对于双曲线，有c a 2080c a 529解此方程组，得 a 775.5， c 1304.5因此， b 2 c 2 a 2 1100320 .（第 4 题）所以，所求双曲线的方程是x 2y 2 601400.31 ( x 775.5) .1100320因为抛物线的顶点横坐标是 (1763 a)(1763 775.5)987.5所以，所求抛物线的方程是y 2 9168( x987.5)答：抛物线的方程为 y 29168( x 987.5) ，双曲线的方程是x 2y 21 ( x 775.5) .601400.311003205、解：设点 M 的坐标为 ( x, y)由已知，得 直线 AM 的斜率 k AMy ( x 1)x 1直线 BM 的斜率 k BMy ( x 1)x1由题意，得 kAMk2 ，所以y y 2( x1)，化简，得 xy x 2 1(x1)BMx1 x 1所以，点 M 轨迹方程是 xy x 21(x1) .6、解：（1）当 m 1时，方程表示 x 轴；（ 2）当m3 时，方程表示 y 轴；（3）当 m1,m 3 时，把方程写成x 2 y23 mm 1.1①当 1 m 3, m 2 时，方程表示椭圆；② m 2 时，方程表示圆；③当 m 1，或 m3时，方程表示双曲线 .7、以 AB 为直径的圆与抛物线的准线 l 相切 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]垂线，垂足分别为 D , E .由抛物线的定义，得AD AF ， BE BF .所以， AB AF BF AD BE .设 AB 的中点为 M ，且过点 M 作抛物线y22px ( p0) 的准线l的垂线，垂足为C .显然 MC ∥x轴，所以， MC 是直角梯形 ADEB 的中位线.于是， MC 1( AD BE )1AB .因此，点 C 在以 AB 为直径的圆上.22又 MC l ，所以，以 AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切.类似地，可以证明：对于椭圆，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相离；对于双曲线，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相交.高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算练习（ P86）1、略 .2、略 .uuuur uuuruuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur 3、 A C ABAD AA ， BD AB AD AA ， DB AA AB AD .练习（ P89）uuuruuuruuuur1、（1） AD ； （2） AG ；（3） MG .2、（1） x 1； （2） x y1； （3） x y1 .3、如图 .22A CPB QRSO（第 3 题）练习（ P92）1、 B .uuuur uuur uuuruuur2、解：因为 ACABADAA ，uuuur2uuur uuur uuur 所以 AC( AB AD AA )2uuur 2 uuur 2 uuur 2uuur uuur uuur uuur uuur uuurABADAA2( AB AD AB AA AD AA )uuuur 42 32 52 2 (0 10 7.5)8585所以 AC3、解：因为 AC所以 AC BD ， AC AB ，又知 BD AB .uuur uuur uuur uuur 0uuur uuur 0 .所以 AC BD 0 ， AC AB ，又知 BD AB uuur 2 uuur uuur CD CD CDuuur uuur uuuruuur uuuruuur(CA AB BD ) (CA ABBD )uuur 2 uuur 2uuur2CAAB BDa 2b 2c 2所以 CDa 2b 2c 2 .高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]r r r r rr r r r r 1、向量 c 与 a b ， a b 一定构成空间的一个基底 . 否则 c 与 ab ， a b 共面，r r r2、共面于是 c 与 a ， b 共面，这与已知矛盾 .uuur uuuruuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur r r r 2、（1）解： OB OBBB OA AB BB OA OC OO a b c ；uuur uuur uuur uuur uuuur r rBA BABBOC OOc buuur uuur uuur uuur uuur uuuur r r rCA CA AA OA OC OO a bcuuur uuur uuuruuur1 uuur r 1 rr 1rr1r（2） OGOC CGOCCBb (ac)ab2 c .222练习（ P97）1、（1） ( 2,7,4) ； （2） ( 10,1,16)； （3） ( 18,12,30) ； （ 4）2.2、略 .3、解：分别以 DA ,DC , DD 1 所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系 .则 D (0,0,0) ， B 1 (1,1,1)， M (1,1,0) ， C(0,1,0) 2uuuur uuuur 1所以， DB 1 (1,1,1)， CM (1, ,0) .2uuuur uuuur 1 1uuuur uuuurDB 1 CM 015所以， cos2.DB 1, CMuuuur uuuur 1 15DB 1 CM31D'4C'习题 3.1 A 组（ P97）A'B' Muuuruuur uuur D GC1、解：如图，（1） ABBC AC ；uuur uuur uuuruuur uuur uuur uuuur uuuur（2） AB AD AAACAA AC CC AC ；A（第 1 题） Buuur uuur1 uuuur uuur uuuuruuuur（3）设点 M 是线段 CC 的中点，则 ABADCCACCMAM ；1 uuur 21 uuuur（4）设点 G 是线段 AC 的三等分点，则uuur uuuruuur ( AB AD AA ) AC AG .uuur uuuur uuuur uuur33向量 AC , AC , AM , AG 如图所示 .2、 A .uuuur 2 uuur uuur uuur3、解： AC ( AB AD AA )2高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB AD AA 2( AB AD AB AA AD AA ) 52 32 722(5 3 1 5 72 3 7 2 )2 2298 56 2所以， AC13.3 .uuur uuuruuur uuur 1a2；4、（1） AB ACAB AC cos60uuur uuuruuur uuur21a 2；（2） AD DBAD DB cos120uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur1 a2 1 1（3） GF AC GF AC cos180 2 ( GF AC a) ；2 2 uuur uuur uuur uuur 1 a 2 uuur 1 uuur 1（4） EF BC EF BC cos60 4 ( EF 2 BD a) ； uuur uuur uuur uuur uuur uuur 21 2 1 1； （5） FG BA FG BA cos120 a ( FG2 AC a)4 2uuur uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur（6） GE GF(GCCB2 BA)CA21 uuuruuur1 uuur 1 uuur( DCCB2 BA)2 CA21 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur4 DC CA 2 CB CA 4 BA CA1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur4 DC CA cos120 2 CB CA cos604 BA CA cos601 a 245、（1） 60 ； （2）略 .r rr6、向量 a 的横坐标不为 0，其余均为 0；向量 b 的纵坐标不为 0，其余均为 0；向量 c 的竖坐标不为 0，其余均为 0.7、（1）9； （2） (14, 3,3) .rr r r 0 ，即 82 3x0 ，解得 x10 . 8、解：因为 ab ，所以 a buuuruuur3(5,1, 10)9、解： AB ( 5, 1,10) ， BAuuuur1 uuur uuur1 9 2) ，设 AB 的中点为 M ， OM2(OAOB )( , ,uuur 2 2所以，点 M 的坐标为 (1 , 9 ,( 5)2( 1)21021262) ， AB2 210、解：以 DA , DC , DD 1 分别作为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 O xyz .高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]则 C ,M , D 1 , N 的坐标分别为：uuuur 1 uuuur CM (1, 1, ) ， D 1 N2 uuuur12 ( 1)2 ( 1) 2 所以 CM2C (0,1,0) ， M (1,0, 1 1 ) ，D 1(0,0,1) ， N (1,1, ) .122(1,1, )23uuuur 121)23， D 1 N12 ( 22 2uuuur uuuur1 1 11 cos CM , D 1N9 4 94由于异面直线 CM 和 D 1N 所成的角的范围是 [0,]2因此， CM 和 D 1 N 所成的角的余弦值为 1.31911、 ( , ,3)2 2 习题 3.1 B组（ P99）1、证明：由已知可知，uuur uuur uuur uuurOA BC ， OB ACuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur∴ OA BC 0 ， OB AC 0 ，所以 OA (OC OB ) 0 ， OB (OC OA) 0 .uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur∴ OA OC OA OB ， OB OCOB OA .uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur∴ OA OC OB OC 0 ， (OAOB) OC 0 ， BA OC 0 .∴ OC AB .2、证明：∵点 E, F ,G , H 分别是 OA,OB, BC ,CA 的中点 . uuur1 uuuruuur1 uuuruuuruuur ∴ EFAB ， HGAB ，所以 EFHG22∴四边形 EFGH 是平行四边形 .uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuuruuur uuurEFEHABOC4 (OBOA) OC4(OB OCOA OC )2 2∵ OA OB ， CA CB （已知）， OC OC .∴ BOC ≌ AOC （ SSS ）∴ BOC AOCuuur uuur uuur uuur∴ OB OC OA OCuuur uuur ∴ EF EH 0uuur uuur ∴ EF EH∴ 平行四边形 □ EFGH 是矩形 .。
(2021年整理)高二理科数学选修2-1测试题(一)
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高二理科数学选修2—1测试题一、选择题(每小题5 分，共12小题，满分60分）1. 已知命题tan 1p x R x ∃∈=：，使，其中正确的是 （ )（A) tan 1p x R x ⌝∃∈≠：，使 (B) tan 1p x R x ⌝∃∉≠：，使 (C ） tan 1p x R x ⌝∀∈≠：，使 (D) tan 1p x R x ⌝∀∉≠：，使 2. 抛物线24(0)y ax a =<的焦点坐标是 （ )(A)(a ， 0） （B ）(－a ， 0) （C ）（0， a ） （D ）(0, －a ）3. 设a R ∈，则1a >是11a < 的 （ )（A ）充分但不必要条件 (B)必要但不充分条件 （C ）充要条件(D ）既不充分也不必要条件4。
已知△ABC 的三个顶点为A （3，3,2),B （4，－3，7）,C （0,5,1），则BC 边上的中线长为（ ）（A ）2 （B ）3 （C)4 （D ）5 5.有以下命题：①如果向量b a ,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么b a ,的关系是不共线; ②,,,O A B C 为空间四点，且向量OC OB OA ,,不构成空间的一个基底,则点,,,O A B C 一定共面； ③已知向量c b a ,,是空间的一个基底，则向量c b a b a ,,-+也是空间的一个基底。
高二数学选修2-1测试试题及答案
（选修2-1）模块测试试题命题人：铁一中 周粉粉（本试题满分150分，用时100分钟）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.命题“若a b >，则88a b ->-”的逆否命题是 （ ）A.若a b <，则88a b -<-B.若88a b ->-，则a b >C.若a ≤b ，则88a b -≤-D.若88a b -≤-，则a ≤b2．如果方程x 2+k y 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．(0, +∞)B ．(0, 2)C ．(0, 1)D ． (1, +∞)3.P:12≥-x ,Q:0232≥+-x x ，则“非P ”是“非Q ”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4．双曲线221169x y -=的左、右焦点分别为F 1，F 2，在左支上过点F 1的弦AB 的长为5，那么△ABF 2的周长是（ ）A 、24B 、25C 、26D 、 285.若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m=（ ） A.3 B.23 C.38 D.32 6．在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a by ax by a x 与的曲线大致是（ ）7.椭圆221259x y +=的两个焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1⊥PF 2，则∆PF 1F 2的面积为（ ）A.9B.12C.10D.8 8．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点，则E 到平面11ABC D 的距离是（ ） Ａ．32Ｂ．22Ｃ．12Ｄ．339．若向量a 与b 的夹角为60°，4=b ，(2)(3)72a b a b +-=-，则a =（ ） Ａ．2 Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．1210．方程22111x y k k表示双曲线，则k 的取值范围是（ ）A ．11<<-kB ．0>kC ．0≥kD ．1>k 或1-<k11.方程12222=+kb y ka x (a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)，与方程12222=+by a x (a ＞b ＞0)表示的椭圆（ ） （A ）有等长的短轴、长轴 （B ）有共同的焦点（C ）有公共的准线 （D ）有相同的离心率 12．如图1，梯形ABCD 中，AB CD ∥，且AB ⊥平面α，224AB BC CD ===，点P 为α内一动点，且APB DPC ∠=∠，则P 点的轨迹为（ ） Ａ．直线 Ｂ．圆 Ｃ．椭圆 Ｄ．双曲线二、填空题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分．将正确答案填在答题卷上对应题号的横线上．）13.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么丙是甲的 （①.充分而不必要条件，②.必要而不充分条件 ，③.充要条件） 14．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，向量1BA 与向量AC 所成的角为 ． 15.已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k= ．16.抛物线的的方程为22x y =，则抛物线的焦点坐标为____________17.以下三个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，K 为非零常数，若｜PA ｜－｜PB ｜＝K ，则动点P 的轨迹是双曲线。
高中数学选修21期末考试题与答案
（）
A8
B 16
C 32
D 64
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
６. 在同一坐标系中，方程 a 2 x2 b2 x 2 1与 ax by 2 0(a b 0) 的曲线大致是（
）
A．
７. 已知椭圆
x2 a2
（）
B
．
C
．
D
．
y2 b2
1( a
b >0) 的两个焦点 F1， F2，点 P 在椭圆上，则
１ 4.8 １ 5. ( ,4)
１6. 详解： 由对称性点 C 在平面 AOB 内的射影 D 必在 AOB的平分线上作 DE OA 于 E ，连结 CE 则由
PF1F2 的面积 最大值一定是
A a2
B
ab
C
a a2 b2
D
b a2 b2
８. 已知向量 a (1,1,0), b ( 1,0,2), 且ka b与2a b 互相垂直 , 则实数 k 的值是 (
)
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1
A ．1
B
．5
3 C． 5
7
D ．5
９. 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 是棱 A1B1 的中点，则 A1B 与 D1E 所成角的余弦值为（
）5A ．Fra bibliotek1010
B． 10
5
C． 5
10
D． 5
10. 若椭圆 mx2 ny2 1(m 0, n 0)与直线 y 1 x 交于 A，B两点 , 过原点与线段 AB中点的连线的斜率为
2
2，
n 则 m 的值是 ( )
A. 2
2 B.
2
(新)高中数学选修2-1综合测试卷(有详细答案)
模块综合测试时间：90 分钟分值： 150分第Ⅰ卷 (选择题，共 60分)一、选择题 (每小题 5 分，共 60分)1．命题“对任意的 x∈R，x3－x2＋1≤ 0”的否定是 ( )A ．不存在 x∈R， x3－x2＋ 1≤0B．存在 x∈R， x3－x2＋1≤0C．对任意的 x∈R，x3－ x2＋1>0D．存在 x∈R， x3－x2＋1>0解析：含有量词的命题的否定，一是要改变相应的量词，二是要否定结论．答案：D2．命题“若 A? B，则 A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有 ( )A．0 个B．2个C．3个D．4 个解析：逆命题与否命题正确，原命题与其逆否命题错误．答案：Bx 2y23．设椭圆的标准方程为k－x3＋5－y k＝1，其焦点在 x 轴上，则 k 的取值范围是 ( )A ．4<k<5 B． 3<k<5C． k>3 D． 3<k<4解析：由题意知， k－3>5－k>0，解得 4<k<5. 答案：A 4．已知α，β表示两个不同的平面， m 为平面α内的一条直线，则“ α⊥β”是“ m⊥β”的 ( )A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若 m⊥β，由面面垂直的判定定理，则α⊥β，反之不成立．答案：B5．已知条件 p：|x－1|<2，条件 q：x2－5x－6<0，则 p是 q的( )A ．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分又不必要条件解析：命题 p：－ 1<x<3，记 A＝{ x|－1<x<3} ，命题 q：－ 1<x<6，记 B＝{x|－1<x<6} ，∵A B，∴p是 q的充分不必要条件．答案：B16．已知命题 p：“x∈ R 时，都有 x2－x＋4<0”；命题q：“存在x∈R，使 sinx＋ cosx＝ 2成立”．则下列判断正确的是 ( ) A．p∨q为假命题B．p∧q 为真命题C．綈 p∧ q 为真命题D．綈 p∨綈 q 是假命题解析：易知 p假， q真，从而可判断得 C正确．答案：Cx 2y27．以双曲线x4－y5＝1 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 ( )A．y2＝12x B．y2＝－ 12xC．y2＝6x D．y2＝－ 6xx 2y2解析：由4－5＝1，得 a2＝4，b2＝5，∴c2＝a2＋b2＝9.∴右焦点的坐标为 (3,0)，故抛物线的焦点坐标为 (3,0)，顶点坐标为(0,0)．故p2＝3.∴抛物线方程为 y2＝12x.答案：A8．对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B、C，有如下关系：6O→P＝O→A＋2O→B＋3O→C，则 ( )A．四点 O、A、B、C 必共面B．四点 P、A、B、C 必共面C．四点 O、P、B、C 必共面D．五点 O、 P、A、 B、C 必共面1 1 1 1 1 1解析：由已知得 O→P＝6O→A＋3O→B＋2O→C，而6＋3＋2＝1，∴四点 P、A、B、C 共面．答案：B9．如图，将边长为 1的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角， 11 若点 P 满足B →P ＝12B →A －21B →C ＋B →D ，则|B →P|2的值为 ( )解析：由题可知 |B →A|＝1，|B →C|＝1，|B →D|＝ 2.〈B →A ，B →D 〉＝ 45 °， 〈 B →D ，B →C 〉＝ 45 °，〈B →A ，B →C 〉＝ 60 °.∴|B →P|2＝(12B →A －12B →C ＋B →D)2＝14B →A2＋14B →C2＋B →D2－12B →A ·B →C ＋ B →A ·B →D －B →C ·B →D1 1 1 12 2 9＝ 4＋4＋2－2×1×1×2＋1× 2× 2 －1× 2× 2 ＝4.答案：Dx2 y 210．已知 P 是双曲线 a 2－b 2＝1(a>0，b>0)上的点， F 1，F 2是其焦 点，双曲线的离心率是 54，且P →F 1·P →F 2＝0，若△2B3PF1F2的面积为 9，则 a＋b的值为 ( )A ．5 B． 6C． 7 D． 8解析： 由P →F 1·P →F 2＝0，得P →F 1⊥P →F 2，设 |P →F 1|＝m ，|P →F 2|＝n ，不妨设 m>n ，则 m 2＋n 2＝4c 2，m－n ＝ 2a ， 12mn ＝9，c a ＝54，解得 a ＝4，c ＝5，故 b ＝ 3.因此 a ＋ b ＝ 7，选 C. 答案：C11．在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线 BC 1 与平面 A 1BD 所成 角的余弦值为 ( )B.32D.23解析：建立如下图所示的空间直角坐标系． 设正方体的棱长为 1，则 D(0,0,0)， A 1(1,0,1)，B(1,1,0)，C 1(0,1,1)． ∴DA 1＝(1,0,1)，DB ＝(1,1,0)，BC 1＝(－1,0,1)． 设平面 A 1BD 的法向量为 n ＝(x ， y ，z)，则 n ·D →A 1＝0，n ·D →B ＝0.A.C.答案：C12．双曲线 a x2－ b y2＝1（a>0， b>0）的两个焦点为 F 1、F 2，若 P 为其上一点，且 |PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为 （ ）解析： 由题意知在双曲线上存在一点 P ，使得 |PF 1|＝ 2|PF 2|，如右 图所示．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点 P 使得|PF 2|＝2a ，即|AF 2|≤2a.x ＋z ＝0， x ＋y令 x ＝1，则 n ＝（1，－ 1，－1），∴cos 〈n ，BC 1〉 n ·B →C 1 ＝ －2＝－ 6|n||B →C 1| 3· 23∴直线BC 1与平面 A 1BD 所成角的正弦值为 6. 3. ∴直线BC 1与平面 A 1BD 所成角的余弦值为3.3.A ．(1,3) C ． (3，＋B ．(1,)∴|OF 2|－ |OA|＝ c－a≤ 2a.∴c≤ 3a. 又∵c>a，∴a<c≤3a.c∴1< ≤3，即 1<e≤3.a答案：B第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）二、填空题（每小题 5 分，共 20分）13．命题 p：? m∈ R，方程 x2＋mx＋ 1＝0 有实数根，则“非 p” 形式的命题是___________ ，此命题是命题（填“真”或“假” ）．解析：命题 p 为特称命题，所以綈 p 是全称命题，∴ 綈 p 是? m ∈R，方程 x2＋mx＋1＝0没有实数根．∵m≥2或m≤－2时，Δ≥0，即该方程有实数根，所以 p真，綈 p假．答案： ? m∈R，方程 x2＋mx＋1＝0没有实数根假14．双曲线x a2－b y2＝1 的离心率 e∈（1,2），则其中一条渐近线的斜率取值范围是．a2＋b2b解析： e＝a∈（1,2），解得 0<a b< 3，又双曲线的渐近线方 aa程为 y＝±a b x，故其中一条渐近线的斜率取值范围是（0，3）或（－ 3， 0））．答案：（0， 3）或（－ 3，0）15．如图，在四棱锥 O —ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正 方形， OA ⊥平面 ABCD ，OA ＝2，M 为 OA 的中点．则异面直线 OB 与 MD 所成角余弦值为解析：以 A 为原点建立空间直角坐标系，如图则O →B ＝（2,0，－2），M →D ＝（0,2，－1）．设O →B ，M →D 所成的角为 θ，O →B ·M →D ＝ 2 ＝ 10. |O →B||M →D |2 2·5 10 16．若直线 y ＝ kx －2 与抛物线 y 2＝8x 交于 A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标是 2，则|AB|＝ __ .y 2＝8x ， 4k ＋8解析： k 2x 2－（4k ＋8）x ＋4＝0，x 1＋x 2＝ k 2 ＝4，y ＝ kx －2， k则 cos θ＝ 答案：10 10得 k ＝－1或 2，当 k ＝－1 时，x 2－4x ＋4＝0 有两个相等的实数根，不合题意．当 k ＝2 时，|AB|＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝ 5 x 1＋x 2 2－ 4x 1x 2＝ 5 16－ 4＝2 15.答案： 2 15三、解答题 （写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共 70 分）轴上的椭圆； q ：实数 t 满足不等式 t 2－（a － 1）t －a<0.（1）若 p 为真，求实数 t 的取值范围；（2）若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．x 2 y 2解：（1）∵方程 x ＋ y ＝1 所表示的曲线为焦点在 x 轴上的椭圆，3－ t t ＋1∴3－t>t ＋1>0.解得－ 1<t<1.（2）∵p 是 q 的充分不必要条件，∴ { t|－1<t<1}是不等式 t 2－（a －1）t －a<0解集的真子集．解方程 t 2－（a －1）t －a ＝0得 t ＝－1或 t ＝a.①当 a>－1时，不等式的解集为 {t|－1<t<a}，此时，a>1.②当 a ＝－ 1时， 不等式的解集为 ?，不满足题意．③当 a<－1 时，不等式的解集为 {t|a<t< 17．（10 分）已知 p ：方程 223－t ＋t＋1 1 所表示的曲线为焦点在－1} ，不满足题意．综上， a>1.18．（12 分）ABC— A1B1C1 中， CA＝ CB，AB＝ AA1，∠ BAA1＝ 60°.(1)证明： AB⊥A1C；(2)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B，AB＝ CB，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值．解：(1)取 AB 的中点 O，连接 OC，OA1，A1B.因为 CA＝ CB，所以 OC⊥ AB.由于 AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B 为等边三角形，所以 OA1 ⊥AB.因为 OC∩OA1＝O，所以 AB⊥平面 OA1C.又 A1C? 平面 OA1C，故 AB⊥ A1C.(2)由(1)知 OC⊥ AB，OA1⊥AB.又平面 ABC⊥平面 AA1B1B，交线为 AB，所以 OC⊥平面AA1B1B，故 OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以 O 为坐标原点， O →A 的方向为 x 轴的正方向， |O →A|为单位长，建 立如图所示的空间直角坐标系 O － xyz.由题设知 A （1,0,0），A 1（0， 3， 0）， C （0,0，3），B （－1,0,0）．则B →C ＝（1,0， 3），B →B 1＝ A →A 1＝（－1， 3，0），A →1C ＝（0，－ 3， 3）．设 n ＝（x ，y ，z ）是平面 BB 1C 1C 的法向量，n ·B →C ＝0x ＋ 3z ＝ 0 则 → ，即n ·B →B 1＝0 －x ＋ 3y ＝ 0可取 n ＝（ 3，1，－ 1）．所以 A 1C 与平面 BB 1C 1C 所成角的正弦值为 19．（12 分）已知定点 F （0,1）和定直线 l 1：y ＝－ 1，过定点 F 与直 线 l 1 相切的动圆圆心为点 C.（1）求动点 C 的轨迹方程；（2）过点 F 的直线 l 2交轨迹于两点 P ，Q ，交直线 l 1于点 R ，求R →P ·R →Q 的最小值．解：（1）由题意，点 C 到点 F 的距离等于它到 l 1的距故 cos n ， A →1C n ·A →1C ＝－ 10 |n||A →1C| 5 105离，∴点C 的 轨迹是以 F 为焦点， l 1 为准线的抛物线．∴所求轨迹的方程为 x 2＝4y.（2）由题意，直线 PQ 的斜率存在，且不为 0，设直线 l 2 的方程为 y ＝kx ＋1（k ≠ 0），与抛物线方程联立消去 y ，得 x 2－ 4kx －4＝0.记 P （x 1， 2y 1），Q （x 2，y 2），则 x 1＋ x 2＝4k ，x 1x 2＝－ 4.易得点 R 的坐标为 －k ，－1 ， → → 2 2 2 2∴R →P ·R →Q ＝ x 1＋ k ， y 1＋ 1 ·x 2＋k ，y 2＋1 ＝ x 1＋ k x 2＋k ＋ （kx 1＋2）（kx 2 ＋ 2）＝ （1 ＋ k 2）x 1x 2 ＋ k 2＋2k （x 1 ＋ x 2） ＋ k 42 ＋ 4 ＝ － 4（1 ＋ k 2） ＋ 2 4 1 14k k ＋2k ＋k 2＋4＝ 4 k 2＋k 2 ＋8，∵k 2＋k 2≥ 2，当且仅当 k 2＝1 时取到 等号，∴R →P ·R →Q ≥4×2＋8＝16，即 R →P ·R →Q 的最小值为 16.x 2y220．（12 分）设 F 1，F 2 分别是椭圆： a 2＋b 2＝ 1（a>b>0）的左、右焦 点，过 F 1倾斜角为 45°的直线 l 与该椭圆相交于 P ，Q 两点，且 |PQ| 4＝3a.（1）求该椭圆的离心率．（2）设点 M （0，－ 1）满足|MP|＝|MQ|，求该椭圆的方程． 解：（1）直线 PQ 斜率为 1，设直线 l 的方程为 y＝ x＋c，其中 c＝ a2－b2.y＝x＋c，设 P（x1，y1），Q（x2，y2），则 P，Q 两点坐标满足方程组 x2 y2＋b2＝1，a2化简得（a2＋ b2）x2＋2a2cx＋a2（c2－ b2）＝0，－ 2a2c a2c2－b2则 x1＋ x2＝ 2 2， x1x2＝ 2 2.a2＋b2a2＋ b2所以 |PQ|＝ 2|x2－x1|＝ 2[ x1＋ x2 2－4x1x2] ＝34a.4 4ab2得34a＝a42＋ab b2，故a2＝2b2，(2)设 PQ 的中点为 N(x0，y0)，2x1＋ x2 －a2c 2 c y0＝x0＋c＝3由|MP|＝ |MQ|得 k MN＝－ 1.y0＋1即0x＋01＝－1，得 c＝3，从而 a＝3 2，b＝ 3.x 2y2 故椭圆的方程为1x8＋y9＝1.21．（12 分）所以椭圆的离如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中， PA⊥平面 ABCD，AC⊥AD， AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.(1)求证： PC⊥AD；(2)求二面角 A－ PC－D 的正弦值；(3)设E为棱 PA上的点，满足异面直线 BE与 CD所成的角为 30°，求 AE 的长．解：如右图所示，以点 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得11A(0,0,0)， D(2,0,0)，C(0,1,0)，B －2，2，0 ，P(0,0,2)．(1)证明： P→C＝(0,1，－2)，A→D＝(2,0,0)，所以P→C·A→D＝0，所以PC ⊥AD.（2）解：P →C ＝（0,1，－2），C →D ＝（2，－1,0）． 设平面 PCD 的法向量为 n ＝ （x ， y ， z ），故平面 PCD 的一个法向量为 n ＝（1,2,1）．可取平面 PAC 的法向量为 m ＝（1,0,0）．所以二面角 A —PC — D 的正弦值为 630.（3）解：设点 E 的坐标为 （0,0，h ），其中 h ∈[0,2] ，→1 1→ 由此得B →E ＝ 2，－2，h ，又C →D ＝（2，－1,0），以 ＝ cos30 ＝°2 ，解得 h ＝ 10 h ＝－ 1100舍去 ，即AE ＝10＋20h2 2 10 1010.10 .22．（12分）（2014 大·纲全国卷 ）已知抛物线 C ：y 2＝2px （p>0）的焦点5n ·PC ＝0， n ·C →D ＝0， y －2z ＝0， 即 2x －y ＝0.不妨令 z ＝ 1，则 x ＝1， y ＝ 2， 于是 cos m ， n m ·n 1 6|m| ·|n|＝ 6＝，从而 sinm ，n 30＝6，故 cos 〈 B →E ，C →D 〉 ＝B →E ·C →D |B →E| ·|12＋h 2× 5 10＋ 20h 2为 F，直线 y＝4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且|QF|＝4|PQ|.（1）求 C 的方程；（2）过 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，若 AB 的垂直平分线 l′ 与 C相交于 M，N两点，且 A，M，B，N四点在同一圆上，求 l 的方程．8解：（1）设 Q（x0,4），代入 y2＝ 2px 得 x0＝p.8 p p 8 所以|PQ|＝p，|QF|＝2＋x0＝2＋p.p 8 5 8由题设得2p＋8p＝45×p8，解得 p＝－ 2（舍去）或 p＝2.所以 C 的方程为 y2＝4x.（2）依题意知 l 与坐标轴不垂直，故可设 l 的方程为 x ＝ my＋ 1（m≠0）．代入 y2＝4x 得 y2－ 4my－ 4＝ 0.设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.故 AB 的中点为 D（2m2＋1,2m），|AB|＝ m2＋1|y1－ y2|＝4（m2＋ 1）．1又 l′的斜率为－ m，所以 l′的方程为 x＝－m y＋2m2＋3.4将上式代入 y2＝ 4x，并整理得 y2＋m y－4（2m2＋3）＝0.4设 M（x3，y3），N（x4，y4），则 y3＋y4＝－m，y3y4＝－ 4（2m2＋3）． 22故 MN 的中点为 E m2＋2m2＋3，－m，1 4 m 2＋1 2m2＋ 1|MN|＝ 1＋m2|y3－y4|＝m2 .由于 MN 垂直平分 AB，故 A，M，B，N 四点在同一圆上等价于 |AE|1 1 1＝|BE|＝2|MN|，从而4|AB|2＋|DE|2＝4|MN|2，22即 4（m2＋1）2＋ 2m＋m2＋m2＋ 2 24 m2＋1 2 2m2＋ 1＝m4，化简得 m2－1＝0，解得 m＝1 或 m＝－ 1.所求直线 l 的方程为 x－y－1＝0 或 x＋y－1＝0.。
2021年高二数学选修2 1同步模块综合测试题3套(人教版带答案和解释)
2021年高二数学选修2 1同步模块综合测试题3套（人教版带答案和解释）----f6bad6ac-6ea2-11ec-bb68-7cb59b590d7d2021年高二数学选修2-1同步模块综合测试题3套（人教版带答案和解释）实用精品文献共享2021年高二数学选修2-1同步模块综合测试题3套（人教版带答案（和解释）模块综合检测(a)(时间：120分钟满分：150分)一、如果命题A和命题B的总数为1.0，那么y=0.0，如果命题A和命题B的总数为12，那么命题y的总数为0.0，那么命题y的总数为0.0，那么命题y的总数为0.2，命题y的总数为0.0；命题q：如果a>b，那么1A<1b，给出以下四个复合命题：① P和Q；②P或Q；③? P④? q、真命题的数量是（）a.1b。
2c。
3d。
43.焦点为x24-y212=-1的椭圆方程为顶点，顶点的焦点为（）a.x216+y212=1b x212＋y216＝1c。
x216＋y24＝1d。
X24+y216=14。
如果a>0是已知的，那么x0满足关于X的方程AX=B的充分必要条件是（）a？十、∈r、 12ax2－bx≥12ax20－bx0b。
？十、∈r、 12ax2－bx≤12ax20－bx0c。
？十、∈r、 12ax2－bx≥12ax20－bx0d。
？十、∈ R、12ax2 bx≤ 12ax20-bx05。
已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），M是椭圆上的移动点，F1是椭圆的左焦点，那么线段MF1的中点P的轨迹是（）a.椭圆b.圆C.a.双曲线6的线段。
如果向量a=（1,0，z）和向量b=（2,1,2）之间的夹角的余弦是23，那么z等于（）a.0b。
1c.-1d。
27如图所示，立方体中的m abcdda′B′C′D′是AB的中点，sin的值＜cm→ > is（）a.12b 21015c。
23d。
11158.通过抛物线y2=4x的焦点在两点a（x1，Y1）和B（X2，y2）处形成一条与抛物线相交的直线。
(新)高中数学选修2-1综合测试卷(有详细答案)
模块综合测试时间：90分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0D．存在x∈R，x3－x2＋1>0解析：含有量词的命题的否定，一是要改变相应的量词，二是要否定结论．答案：D2．命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有()A．0个B．2个C．3个D．4个解析：逆命题与否命题正确，原命题与其逆否命题错误．答案：B3．设椭圆的标准方程为x2k－3＋y25－k＝1，其焦点在x轴上，则k的取值范围是()A．4<k<5 B．3<k<5C．k>3 D．3<k<4解析：由题意知，k－3>5－k>0，解得4<k<5.答案：A4．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若m⊥β，由面面垂直的判定定理，则α⊥β，反之不成立．答案：B5．已知条件p：|x－1|<2，条件q：x2－5x－6<0，则p是q的() A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分又不必要条件解析：命题p：－1<x<3，记A＝{x|－1<x<3}，命题q：－1<x<6，记B＝{x|－1<x<6}，∵A B，∴p是q的充分不必要条件．答案：B6．已知命题p：“x∈R时，都有x2－x＋14<0”；命题q：“存在x∈R，使sin x＋cos x＝2成立”．则下列判断正确的是() A．p∨q为假命题B．p∧q为真命题C．綈p∧q为真命题D．綈p∨綈q是假命题解析：易知p假，q真，从而可判断得C正确．答案：C7．以双曲线x 24－y 25＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．y 2＝6xD ．y 2＝－6x解析：由x 24－y 25＝1，得a 2＝4，b 2＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝9. ∴右焦点的坐标为(3,0)，故抛物线的焦点坐标为(3,0)，顶点坐标为(0,0)．故p2＝3.∴抛物线方程为y 2＝12x . 答案：A8．对于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，有如下关系： 6OP→＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( ) A ．四点O 、A 、B 、C 必共面 B ．四点P 、A 、B 、C 必共面 C ．四点O 、P 、B 、C 必共面 D ．五点O 、P 、A 、B 、C 必共面解析：由已知得OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，而16＋13＋12＝1，∴四点P 、A 、B 、C 共面．答案：B9．如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP →＝12BA →－12BC →＋BD →，则|BP→|2的值为( ) A.32 B ．2 C.10－24 D.94解析：由题可知|BA →|＝1，|BC →|＝1，|BD →|＝ 2.〈BA →，BD →〉＝45°，〈BD →，BC →〉＝45°，〈BA →，BC →〉＝60°.∴|BP →|2＝(12BA →－12BC →＋BD →)2＝14BA →2＋14BC →2＋BD →2－12BA →·BC →＋BA →·BD →－BC →·BD→ ＝14＋14＋2－12×1×1×12＋1×2×22－1×2×22＝94. 答案：D10．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1→⊥PF 2→，设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ，不妨设m >n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝5，故b ＝3.因此a ＋b ＝7，选C. 答案：C11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( )A.24B.23C.33D.32解析：建立如下图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)． ∴DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，BC 1→＝(－1,0,1)． 设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0.∴⎩⎨⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)，∴cos 〈n ，BC 1→〉＝n ·BC 1→|n ||BC 1→|＝－23·2＝－63. ∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为63. ∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为33. 答案：C12．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＝2|PF 2|，如右图所示．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ，即|AF 2|≤2a .∴|OF2|－|OA|＝c－a≤2a.∴c≤3a.又∵c>a，∴a<c≤3a.∴1<ca≤3，即1<e≤3.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．命题p：∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是________，此命题是________命题(填“真”或“假”)．解析：命题p为特称命题，所以綈p是全称命题，∴綈p是∀m ∈R，方程x2＋mx＋1＝0没有实数根．∵m≥2或m≤－2时，Δ≥0，即该方程有实数根，所以p真，綈p假．答案：∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0没有实数根假14．双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率e∈(1,2)，则其中一条渐近线的斜率取值范围是________．解析：e＝a2＋b2a∈(1,2)，解得0<ba<3，又双曲线的渐近线方程为y＝±ba x，故其中一条渐近线的斜率取值范围是(0，3)或(－3，0))．答案：(0，3)或(－3，0)15．如图，在四棱锥O —ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥平面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．则异面直线OB 与MD 所成角余弦值为________.解析：以A 为原点建立空间直角坐标系，如图 则OB→＝(2,0，－2)，MD →＝(0,2，－1)． 设OB→，MD →所成的角为θ， 则cos θ＝OB →·MD →|OB →||MD →|＝222·5＝1010.答案：101016．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标是2，则|AB |＝________.解析：⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0，x 1＋x 2＝4k ＋8k 2＝4，得k ＝－1或2，当k ＝－1时，x 2－4x ＋4＝0有两个相等的实数根，不合题意． 当k ＝2时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝516－4＝215.答案：215三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知p ：方程x 23－t ＋y 2t ＋1＝1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；q ：实数t 满足不等式t 2－(a －1)t －a <0.(1)若p 为真，求实数t 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)∵方程x 23－t ＋y 2t ＋1＝1所表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，∴3－t >t ＋1>0.解得－1<t <1.(2)∵p 是q 的充分不必要条件，∴{t |－1<t <1}是不等式t 2－(a －1)t －a <0解集的真子集．解方程t 2－(a －1)t －a ＝0得t ＝－1或t ＝a .①当a >－1时，不等式的解集为{t |－1<t <a }，此时，a >1.②当a ＝－1时，不等式的解集为∅，不满足题意．③当a <－1时，不等式的解集为{t |a <t <－1}，不满足题意．综上，a >1.18．(12分)如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．解：(1)取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA→的方向为x 轴的正方向，|OA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1,0,0)． 则BC →＝(1,0，3)，BB 1→＝AA 1→＝(－1，3，0)，A 1C →＝(0，－3，3)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量， 则⎩⎨⎧n ·BC→＝0n ·BB 1→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0－x ＋3y ＝0，可取n ＝(3，1，－1)． 故cosn ，A 1C →＝n ·A 1C →|n ||A 1C →|＝－105. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为105.19．(12分)已知定点F (0,1)和定直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解：(1)由题意，点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线．∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意，直线PQ 的斜率存在，且不为0，设直线l 2的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0.记P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.易得点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，－1，∴RP →·RQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ，y 2＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k 2＋4＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k ＋4k 2＋4＝4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2＋8，∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取到等号，∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ→的最小值为16. 20．(12分)设F 1，F 2分别是椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1倾斜角为45°的直线l 与该椭圆相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝43a .(1)求该椭圆的离心率．(2)设点M (0，－1)满足|MP |＝|MQ |，求该椭圆的方程． 解：(1)直线PQ 斜率为1， 设直线l 的方程为y ＝x ＋c ， 其中c ＝a 2－b 2.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则P ，Q 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b2.所以|PQ |＝2|x 2－x 1| ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝43a .得43a ＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22. (2)设PQ 的中点为N (x 0，y 0)， 由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－23c ，y 0＝x 0＋c ＝c3.由|MP |＝|MQ |得k MN ＝－1. 即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆的方程为x 218＋y 29＝1. 21．(12分)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，P A ＝AD ＝2，AC ＝1.(1)求证：PC ⊥AD ；(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；(3)设E 为棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．解：如右图所示，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0，P (0,0,2)． (1)证明：PC →＝(0,1，－2)，AD →＝(2,0,0)，所以PC →·AD→＝0，所以PC ⊥AD .(2)解：PC→＝(0,1，－2)，CD →＝(2，－1,0)． 设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·PC→＝0，n ·CD →＝0，即⎩⎨⎧y －2z ＝0，2x －y ＝0.不妨令z ＝1，则x ＝1，y ＝2，故平面PCD 的一个法向量为n ＝(1,2,1)．可取平面P AC 的法向量为m ＝(1,0,0)． 于是cos m ，n ＝m ·n |m |·|n |＝16＝66，从而sin m ，n ＝306，所以二面角A —PC —D 的正弦值为306.(3)解：设点E 的坐标为(0,0，h )，其中h ∈[0,2]， 由此得BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，h ，又CD →＝(2，－1,0)， 故cos 〈BE →，CD →〉＝BE →·CD →|BE →|·|CD →|＝3212＋h 2×5＝310＋20h2，所以310＋20h 2＝cos30°＝32，解得h ＝1010⎝ ⎛⎭⎪⎫h ＝－1010舍去，即AE ＝1010.22．(12分)(2014·大纲全国卷)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．解：(1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p .所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p .由题设得p 2＋8p ＝54×8p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3. 将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)． 故MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ，|MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4(m 2＋1)2m 2＋1m 2. 由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋22＝4(m 2＋1)2(2m 2＋1)m 4， 化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1. 所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.。
人教版选修2-1综合测试卷及答案
人教版选修2-1综合测试卷及答案已知命题p：“对于任意正整数n，都存在一个正整数m，使得m>n”，命题q：“存在一个正整数k，使得对于任意正整数m，都有m<k”，则下列说法正确的是（。
）。
A。
命题p是真命题，命题q是假命题B。
命题p是假命题，命题q是真命题C。
命题p和命题q都是真命题D。
命题p和命题q都是假命题答案：A解析：命题p中的“存在”可以换成“对于任意”，即“对于任意正整数n，都有一个正整数m，使得m>n”。
这是显然成立的，因为可以取m=n+1.所以命题p是真命题。
命题q中的“存在”不能换成“对于任意”，因为这样的话就是命题p了。
所以命题q是“存在一个k，使得对于任意m，都有m<k”的形式，即“存在一个正整数k，使得k是正整数中的最小值”。
这是显然不成立的，因为正整数中是没有最小值的。
所以命题q是假命题。
因此选A。
1、双曲线的离心率为$\sqrt{3}$。
2、抛物线方程为$y=ax^2$。
3、直线AE与平面AED所成角的大小为45°。
4、y轴与平面$\alpha$所成的角的大小为$\frac{\pi}{4}$。
5、k的值为$\frac{2}{\sqrt{5}}$。
6、2a-b的最大值为$5$。
7、椭圆的离心率为$\frac{1}{\sqrt{2}}$。
8、正确命题的序号为①、②、③、④。
9、解：由题意得$$\begin{cases}2x-1\frac{1}{2a}-1.\end{cases}$$ 因为$p\lor q$为真命题，所以$p$和$q$至少有一个为真命题。
若$p$为真命题，则$\frac{1}{2a}-10$。
综上可得，$a\in(0,\frac{1}{4})$。
10、解：由题意得$$\begin{cases}b=k\lambda a,\\ka\cdot b+kb\cdot a=18,\\(ka+b)\cdot(ka-b)=0.\end{cases}$$ 将第一条式子代入第二条式子，得$k\lambda a^2+kb^2=18$，即$k\lambda+k\frac{b^2}{a^2}=18$。
(完整版)数学选修2-1测试题(含答案)
数学选修2-1 综合测评时间：90分钟 满分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，1 B ．(－1，－3,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1 D ．(2，－3，－22)解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b ≠0，a ∥b ⇔a ＝λb ，a ＝(1，－3,2)＝－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1，故选C. 答案：C2．若命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan x >sin x ，则命题綈p ：( ) A ．∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan x 0≥sin x 0 B ．∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan x 0>sin x 0 C ．∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan x 0≤sin x 0 D ．∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞，tan x 0>sin x 0 解析：∀x 的否定为∃x 0，>的否定为≤，所以命题綈p 为∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan x 0≤sin x 0.答案：C3．设α，β是两个不重合的平面，l ，m 是两条不重合的直线，则α∥β的充分条件是( )A ．l ⊂α，m ⊂β且l ∥β，m ∥αB ．l ⊂α，m ⊂β且l ∥mC ．l ⊥α，m ⊥β且l ∥mD ．l ∥α，m ∥β且l ∥m解析：由l ⊥α，l ∥m 得m ⊥α，因为m ⊥β，所以α∥β，故C 选项正确． 答案：C4．以双曲线x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 24＋y 216＝1解析：由x 24－y 212＝1，得y 212－x 24＝1.∴双曲线的焦点为(0,4)，(0，－4)，顶点坐标为(0,23)，(0，－23)．∴椭圆方程为x 24＋y 216＝1.答案：D5．已知菱形ABCD 边长为1，∠DAB ＝60°，将这个菱形沿AC 折成60°的二面角，则B ，D 两点间的距离为( )A.32B.12C.32D.34解析：菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，则AC ′⊥BD ，沿AC 折叠后，有BO ⊥AC ′，DO ⊥AC ，所以∠BOD 为二面角B －AC －D 的平面角，即∠BOD ＝60°.因为OB ＝OD ＝12，所以BD ＝12.答案：B6．若双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．6解析：双曲线x 26－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，因为双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，故圆心(3,0)到直线y ＝±22x 的距离等于圆的半径r ，则r ＝|2×3±2×0|2＋4＝ 3. 答案：A7．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( ) A.83 B.38 C.43 D.34解析：取DA →，DC →，DD 1→分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，可求得平面AB 1D 1的法向量为n ＝(2，－2,1)．故A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝|AA 1→·n ||n |＝43. 答案：C8．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4,23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.答案：C9．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，CC 1的中点，P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与D 1N 所成的角，则α的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪π6≤α≤π2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ π4≤α≤π2D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ π3≤α≤π2 解析：取C 1D 1的中点E ，PM 必在平面ADEM 内，易证D 1N ⊥平面ADEM .本题也可建立空间直角坐标系用向量求解．答案：A10．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )A.12B.23C.13D.53解析：由PF 1→·PF 2→＝0，得△PF 1F 2为直角三角形，由tan ∠PF 1F 2＝12，设|PF 2|＝s ，则|PF 1|＝2s ，又|PF 2|2＋|PF 1|2＝4c 2(c ＝a 2－b 2)，即4c 2＝5s 2，c ＝52s ，而|PF 2|＋|PF 1|＝2a ＝3s ，∴a ＝3s 2，∴e ＝c a ＝53，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．若命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：原命题的否定形式为∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0，为真命题．即2x 2－3ax ＋9≥0恒成立，∴只需Δ＝(－3a )2－4×2×9≤0，解得－22≤a ≤2 2.答案：[－22，22]12．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则动点P 的轨迹方程是__________．解析：由OP →·OA →＝4得x ·1＋y ·2＝4，因此所求动点P 的轨迹方程为x ＋2y －4＝0.答案：x ＋2y －4＝013．在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为边长是1的正方形，P A ＝2，则AB 与PC 的夹角的余弦值为__________．解析：因为AB →·PC →＝AB →·(P A →＋AC →)＝AB →·P A →＋AB →·AC →＝1×2×cos45°＝1，又|AB →|＝1，|PC →|＝6，∴cos 〈AB →，PC →〉＝AB →·PC →|AB →||PC →|＝11×6＝66. 答案：6614．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为__________．解析：由题意，如图，在Rt △AOF 中，∠AFO ＝30°，AO ＝a ，OF ＝c ，∴sin 30°＝OA OF ＝a c ＝12.∴e ＝c a ＝2.答案：2三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．解：由于不等式|x －1|>m －1的解集为R ，所以m －1<0，m <1；因为f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，所以5－2m >1，m <2.即命题p ：m <1，命题q ：m <2.因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 和q 中一真一假．当p 真q 假时应有⎩⎨⎧ m <1，m ≥2，m 无解． 当p 假q 真时应有⎩⎨⎧ m ≥1，m <2，1≤m <2.故实数m 的取值范围是1≤m <2.16．(12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A ，B 两点，是否存在实数m ，使线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝22，a 2＝2b ，解得⎩⎨⎧ a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆的方程为x 2＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，Δ＝(2m )2－4×3×(m 2－2)>0，m 2<3，所以x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m 3，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3，2m 3.又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 32＝5，解得m ＝±3与m 2<3矛盾．∴实数m 不存在．17．(13分)已知点P (1,3)，圆C ：(x －m )2＋y 2＝92过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－322，点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，直线PF 与圆相切．(1)求m 的值与抛物线的方程；(2)设点B (2,5)，点Q 为抛物线上的一个动点，求BP →·BQ →的取值范围．解：(1)把点A 代入圆C 的方程，得(1－m )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3222＝92，∴m ＝1. 圆C ：(x －1)2＋y 2＝92. 当直线PF 的斜率不存在时，不合题意．当直线PF 的斜率存在时，设为k ，则PF ：y ＝k (x －1)＋3，即kx －y －k ＋3＝0.∵直线PF 与圆C 相切， ∴|k －0－k ＋3|k 2＋1＝322. 解得k ＝1或k ＝－1.当k ＝1时，直线PF 与x 轴的交点横坐标为－2，不合题意，舍去． 当k ＝－1时，直线PF 与x 轴的交点横坐标为4，∴p 2＝4.∴抛物线方程为y 2＝16x .(2)BP →＝(－1，－2)，设Q (x ，y )，BQ →＝(x －2，y －5)，则BP →·BQ →＝－(x －2)＋(－2)(y －5)＝－x －2y ＋12＝－y 216－2y ＋12＝－116(y ＋16)2＋28≤28.∴BP →·BQ →的取值范围为(－∞，28]．18．(13分)如图，在四棱锥A －BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，BC ＝2，CD ＝2，AB ＝AC .(1)证明：AD ⊥CE ；(2)设CE 与平面ABE 所成的角为45°，求二面角C －AD －E 的余弦值．解：①(1)证明：作AO ⊥BC ，垂足为O ，则AO ⊥底面BCDE ，且O 为BC 的中点．以O 为坐标原点，射线OC 为x 轴正方向，建立如图①所示的直角坐标系O －xyz .设A (0,0，t )．由已知条件知C (1,0,0)，D (1，2，0)，E (－1，2，0)，CE →＝(－2，2，0)，AD →＝(1，2，－t )，所以CE →·AD →＝0，得AD ⊥CE .(2)作CF ⊥AB ，垂足为F ，连接FE ，如图②所示．②设F (x,0，z )，则CF →＝(x －1,0，z )，BE →＝(0，2，0)，CF →·BE →＝0，故CF ⊥BE .又AB ∩BE ＝B ，所以CF ⊥平面ABE ，故∠CEF 是CE 与平面ABE 所成的角，∠CEF ＝45°. 由CE ＝6，得CF ＝ 3.又CB ＝2，所以∠FBC ＝60°，所以△ABC 为等边三角形，因此A (0,0，3)．作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接GE .在Rt △ACD 中，求得|AG |＝23|AD |.故G ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，223，33，GC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－223，－33， GE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，23，－33. 又AD →＝(1，2，－3)，GC →·AD →＝0，GE →·AD →＝0，所以GC →与GE →的夹角等于二面角C －AD －E 的平面角．故二面角C －AD －E 的余弦值cos 〈GC →，GE →〉＝GC →·GE →|GC →||GE →|＝－1010.。
2021年高中数学 综合测试卷(A)新人教版选修2-1
2021年高中数学综合测试卷（A）新人教版选修2-1一、选择题（每小题5 分，共10小题，满分50分）1．对抛物线，下列描述正确的是A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为D．开口向右，焦点为2．已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么是的A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．椭圆的一个焦点是，那么实数的值为A．B．C．D．4．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若, ，，则下列向量中与相等的向量是A．B． C． D．5．空间直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1，0），B（-1，3，0），若点C 满足=α+β，其中α，βR，α+β=1，则点C的轨迹为A．平面 B．直线 C．圆 D．线段6．已知=(1,2,3), =（3，0，-1），=给出下列等式：①∣∣=∣∣② = ③=④ =其中正确的个数是A．1个B．2个 C．3个 D．4个7．设，则方程不能表示的曲线为A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆8．已知条件p：<2，条件q：-5x-6<0，则p是q的A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件9．已知函数f(x)=，若，则k的取值范围是A．0≤k< B．0<k< C．k<0或k> D．0<k≤10．下列说法中错误．．的个数为①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③是的充要条件；④与是等价的；⑤“”是“”成立的充分条件。
A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（每小题6分，共6小题，满分36分）11．已知,(两两互相垂直)，那么= 。
12．以为中点的抛物线的弦所在直线方程为：。
13．在△中，边长为，、边上的中线长之和等于．若以边中点为原点，边所在直线为轴建立直角坐标系，则△的重心的轨迹方程为：。
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选修2－1参考答案2011.1
命题: 吴晓英(区教研室) 检测:张新会(石油中学)
一、选择题:本大题共10小题，每小题6分，共60分。
1. D.(教材习题改)
2. B ．
3.A ．(教材例题改)
4. A.(教材复习题改)
5. B.(西关中学牛占林供题改)
6. A.(西关中学牛占林供题改)
7. C.(教材习题改)
8. C.
9. A .(实验中学秦天武供题改) 10.C.(实验中学秦天武供题改)
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11.2
x y =或28y x =-(十二厂中学司秦霞供题改)
12.2(教材习题改) 13. 1,⎧⎪--⎨⎪⎪⎩⎭
(教材习题改) 14.1(教材复习题改) 15．－2(教材复习题改) 16．±1(教材习题改)
三、解答题:本大题共4小题，共60分。
17. (本小题满分15分)(教材例题改)
解:(Ⅰ)该命题是全称命题，(2分)
该命题的否定是:存在末尾数是偶数的数，不能被4整除；(2分) 该命题的否定是真命题. (1分)
(Ⅱ)该命题是全称命题，(2分)
该命题的否定是:存在实数,x 使得2230x x --≥；(2分) 该命题的否定是真命题. (1分)
(Ⅲ)该命题是特称命题，(2分)
该命题的否定是:方程2
560x x --=的两个根都不是奇数；(2分) 该命题的否定是假命题. (1分)
18. (本小题满分15分)(教材复习题改)
解:设双曲线的方程为 22
221x y a b
-= (3分)
椭圆22
1259
x y +=的半焦距4c ==，离心率为45，(6分) 两个焦点为(4，0)和(－4，0) (9分) ∴双曲线的两个焦点为(4，0)和(－4，0)，离心率144255e =
-= ∴42c a a
== ∴2a = (12分) ∴22212b c a =-= (14分) ∴双曲线的方程为 22
1412
x y -= (15分) 19.(本小题满分15分)(教材习题改)
解:(Ⅰ)以A 为坐标原点，分别以射线AB 、AD 、AS 为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0), B(1,0,0),C(1,1,0), D(0,2,0), S(0,0,1) (2分)∵(1,1,1)SC =-， (1,2,0)BD =- (6分)
∴15cos ,15
35SC BD
SC BD SC BD <>==
= (8分) ∴直线SC 与BD 夹角的余弦值为
15
(9分) (Ⅱ)设平面SCD 的一个法向量为(,,)n x y z = ∵(1,1,1)SC =-，(1,1,0)CD =-
则00
n SC n CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即00x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩ 取(1,1,2)n = (12分) 30cos ,65n BD
n BD n BD <>===∴设直线BD 与平面SCD 的夹角为θ
则30sin |cos ,|n BD θ=<>=
(14分) 故直线BD 与平面SCD (15分) 20. (本小题满分15分)(教材例题、复习题改编)
解:(Ⅰ)设椭圆的标准方程为22
221x y a b
+=(2分) 由已知有22222591444
a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩ (6分) 解得22106a b ⎧=⎨=⎩ (8分) ∴椭圆的标准方程为22
1106
x y += (9分) (也可利用椭圆定义求出a ，再求c ，b ，请参照以上标准给分) (Ⅱ)设1,1()A x y ，2,2()B x y ，
∵22111106x y +=，22221106x y +=， (11分) 两式相减，得1
2121212()()()()0106
x x x x y y y y +-+-+= ∵AB 的中点为P(－1，1)，∴12122,2x x y y +=-+= 代入上式，得121235y y x x -=- 即AB 的斜率为35
， (13分) ∴所求直线l 的方程为31(1)5y x -=
+， 化简得3580x y -+= (15分) (如用其它方法求解，请参照以上标准给分)。