2019-2020学年河南省郑州市中牟县枫杨外国语学校九年级(下)第一次月考数学试卷

2019-2020学年河南省郑州市中牟县枫杨外国语学校九年级（下）第一次月考数
学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）在实数3.14，﹣π，，﹣中，倒数最小的数是（）
A．B．C．﹣πD．3.14
2．（3分）无锡的光伏技术不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.000 000 7mm2，这个数用科学记数法表示为（）
A．7×10﹣6mm2B．0.7×10﹣6mm2
C．7×10﹣7mm2D．70×10﹣8mm2
3．（3分）下列计算错误的是（）
A．a•a2＝a3 B．（3ab3）2＝9a2b6
C．（x2）3＝x6D．2a2+3a2＝5a4
4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，∠BCD＝95°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）
A．∠α+∠β＝95°B．∠β﹣∠α＝95°C．∠α+∠β＝85°D．∠β﹣∠α＝85°
6．（3分）将一个圆柱和一个正三棱柱如图放置，则所构成的几何体的主视图是（）
A．B．C．D．
7．（3分）为了解居民用电情况，小陈在小区内随机抽查了30户家庭的月用电量，结果如下表：月用电量/度4050608090100
户数679521则这30户家庭的月用电量的众数和中位数分别是（）
A．60，60B．60，50C．50，60D．50，70
8．（3分）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（）A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2D．y2＞y1＞2
9．（3分）如图：已知菱形ABCD的顶点B（﹣2，0），且∠ABC＝60°，点A在y轴的正半轴上．按以下步骤作图：
①以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边AB、BC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于MN
的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P；③作射线BP，交菱形的对角线AC于点E，则点E的坐标为（）
A．（1，）B．（1，2）C．（，1）D．（）
10．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8cm，CH是AB边上的高，正方形DEFG的边DE在高CH上，F，G两点分别在AC，AH上．将正方形DEFG以每秒1cm的速度沿射线DB方向匀速运动，当点G与点B重合时停止运动．设运动时间为ts，正方形DEFG与△BHC重叠部分的面积为Scm2，则能反映S 与t的函数关系的图象（）
A．B．
C．D．
二．填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）计算﹣32﹣＝．
12．（3分）若关于x的方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有两个实数根，则m的取值是．
13．（3分）一个不透明的口袋里有4张形状完全相同的卡片，分别写有数字1，2，3，4，现随机从口袋里取出两张卡片，则两次摸出的卡片的数字之和等于5的概率．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，BC是半圆O的直径，则图中阴影部分的面积为．
15．（3分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，则所有这样的m的取值范围为．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1＝0．
17．（9分）《中国诗词大会》以“赏中华诗词，寻文化基因、品生活之美”为基本宗旨，力求通过对诗词知识的比
拼及赏析，带动全民重温那些曾经学过的古诗词，分享诗词之美，感受诗词之趣，从古人的智慧和情怀中汲取营养，涵养心灵，自开播以来深受广大师生的喜爱，某中学为了解学校学生的诗词水平，从八、九年级各随机抽取了20名学生进行了测试，并将八、九年级测试成绩（百分制，单位：分）整理如下：
收集数据
八年级93 92 84 55 85 82 66 74 88 67 87 87 67 61 87 61 78 57 72 75
九年级68 66 79 92 86 87 61 86 90 83 90 78 70 67 53 79 86 71 61 89
整理数据按如下分数段整理数据，并补全表格：
测试成绩x（分）
50≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100
年级
八24
九15563
说明：测试成绩x（分），其中x≥80为优秀，70≤x＜80为良好，60≤x＜70为合格，0≤x＜60为不合格）分析数据补全下列表格中的统计量：
年级平均数中位数众数
八75.976.5
九77.17986
得出结论
（1）在此次测试中，有位同学的成绩是78分，在他所在的年级属于中等偏上，则这位同学属于哪个年级？
（2）若九年级有800名学生，估计九年级诗词水平达到优秀的学生有多少名？
18．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，CD平分∠ACB交AB于点D，点O在AC上，以CO为半径的圆经过点D，AE切⊙O于E．
（1）求证：AD＝AE．
（2）填空：
①当∠ACB＝时，四边形ADOE是正方形；
②当BC＝时，四边形ADCE是菱形．
19．（9分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A（﹣4，﹣2）和B（a，4），直线AB交y轴于点C，连接QA、OB．
（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标：
（2）根据图象回答，当x的取值在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）求△AOB的面积．
20．（9分）如图所示，建筑物MN一侧有一斜坡AC，在斜坡坡脚A处测得建筑物顶部N的仰角为60°，当太阳光线与水平线夹角成45°时，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA处，另一部分影子落在斜坡上AP处，已知点P的距水平地面AB的高度PD＝5米，斜坡AC的坡度为（即tan∠P AD＝），且M，A，D，B在同一条直线上．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）
（1）求此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长；
（2）求建筑物MN的高度．
21．（10分）坚持农业农村优先发展，按照产业兴旺、生态宜居的总要求，统筹推进农村经济建设洛宁县某村出售特色水果（苹果）．规定如下：
品种购买数量低于50箱购买数量不低于50箱
新红星原价销售以八折销售
红富士原价销售以九折销售
如果购买新红星40箱，红富士60箱，需付款4300元；如果购买新红星100箱，红富士35箱，需付款4950元（1）每箱新红星、红富士的单价各多少元？
（2）某单位需要购置这两种苹果120箱，其中红富土的数量不少于新红星的一半，并且不超过60箱，如何购买付款最少？请说明理由；
22．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
探索发现：
图1中，的值为；的值为．
（2）拓展探完
若将△CDE绕点C逆时针方向旋转一周，在旋转过程中的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决
当△CDE旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BE的长．
23．（11分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+P A的最小值；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年河南省郑州市中牟县枫杨外国语学校九年级（下）第一次月考数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．【解答】解：在3.14，﹣π，，﹣中，倒数最小的数是两个负数中一个，
所以先求两个负数的倒数：﹣π的倒数是﹣≈﹣0.3183，﹣的倒数是﹣≈﹣4472，
所以﹣＞﹣，
故选：A．
2．【解答】解：0.000 000 7＝7×10﹣7，
故选：C．
3．【解答】解：A、a•a2＝a3，正确，不合题意；
B、（3ab3）2＝9a2b6，正确，不合题意；
C、（x2）3＝x6，正确，不合题意；
D、2a2+3a2＝5a2，原式计算错误，符合题意；
故选：D．
4．【解答】解：解不等式x﹣1＜1，得：x＜2，
解不等式x+1≥0，得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
故选：A．
5．【解答】解：过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠1＝∠α，∠2＝180°﹣∠β，
∵∠BCD＝95°，
∴∠1+∠2＝∠α+180°﹣∠β＝95°，
∴∠β﹣∠α＝85°．
故选：D．
6．【解答】解：根据主视图的概念可知，从物体的正面看得到的视图是选项A．故选：A．
7．【解答】解：这组数据的众数为60，中位数为＝60，故选：A．
8．【解答】解：当x＝1时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（1+1）2+2＝﹣2；
当x＝2时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（2+1）2+2＝﹣7；
所以2＞y1＞y2．
故选：A．
9．【解答】解：如图，作EH⊥BC于H．
∵四边形ABC都是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵B（﹣2，0），
∴OB＝2，OA＝2，
由作图可知：BE平分∠ABC，
∴BE⊥AC，
∴BE＝OA＝2，
∴EH＝，BH＝EH＝3，
∴OH＝1，
∴E（1，），
故选：A．
10．【解答】解：由题意得：AH＝BH＝CH＝4，FE＝FG＝GH＝EH＝2，
（1）当0≤t≤2时，
如图1，设EF交CH于点K，
则S＝S矩形EDHK＝t×2＝2t；
（2）2＜t≤4时，
如图2，设EF与BC交于点M，DE于BC交于点N，
S＝S正方形DEFG﹣S△EMN＝4﹣×[2﹣（4﹣t）]2＝﹣（t﹣2）2+4；
（3）4＜t≤6时，
如图3，设GF交BC于点L，
S＝S△BGL＝×[2﹣（t﹣4）]2＝（t﹣6）2；
故选：B．
二．填空题（每题3分，共15分）
11．【解答】解：原式＝﹣9﹣3
＝﹣12．
故答案为：﹣12．
12．【解答】解：由题意可知：△＝4﹣4（m﹣2）≥0，
∴m≤3，
∵m﹣2≠0，
∴m≠2，
故答案为：m≤3且m≠2
13．【解答】解：根据题意画树状图如图：
共有12种情况，两次摸出的卡片的数字之和等于5的有4种，
∴两次摸出的卡片的数字之和等于5的概率为＝，
故答案为：．
14．【解答】解：如图，连接OF．
S阴＝（S扇形OFC﹣S△OFC）+（S△ABC﹣S△OFC﹣S扇形OBF）
＝﹣•×+×2×﹣××﹣
＝﹣+﹣
＝+，
故答案为：+．
15．【解答】解：如图2中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3．作EQ⊥BC于Q，EM⊥DC于M．则EQ＝3，CE＝DC＝4，
易证四边形EMCQ是矩形，
∴CM＝EQ＝3，∠M＝90°，
∴EM＝＝＝，
∵∠DAC＝∠EDM，∠ADC＝∠M，
∴△ADC∽△DME，＝，
∴＝，
∴AD＝4，（当AD＝4时，直线BC上方还有一个点满足条件，见图2）如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3．作EQ⊥BC于Q，延长QE交AD于M．则EQ＝3，CE＝DC＝4
在Rt△ECQ中，QC＝DM＝＝，
由△DME∽△CDA，
∴＝，
∴＝，
∴AD＝，
综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，这样的m的取值范围≤m＜4，
故答案为：≤m＜4．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．【解答】解：
＝
＝
＝，
∵x2﹣x﹣1＝0
∴x2＝x+1，
∴原式＝＝1．
17．【解答】解：把八年级的测试成绩从小到大排列为：55，57，61，61，66，67，67，72，74，75，78，82，84，85，87，87，87，88，92，93．
60≤x＜70有5人；80≤x＜90有7人；90≤x≤100有2人．
故答案为：5；7；2；
∵87出现的次数最多，故87是这组数据的众数．
故答案为：87；
得出结论
（1）在此次测试中，有位同学的成绩是78分，在他所在的年级属于中等偏上，则这位同学属于八年级；
（2）（人），
若九年级有800名学生，估计九年级诗词水平达到优秀的学生有360名．
18．【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠ODC＝∠DCB，
∴OD∥BC，
∵∠B＝90°，
∴∠ODA＝90°，
∵OD是半径，
∴AD是圆的切线，
∵AE切⊙O于E，
∴AE＝AD；
（2）①当四边形ADOE是正方形时，∠AOD＝45°，
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠ACB＝45°，
②当四边形ADCE是菱形，
∴AD＝CD＝CE＝AE，AC⊥DE，
∴△CED是等边三角形，
∴∠DCE＝60°，
∴∠DCA＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∵AB＝6，
∴BC＝AB．
故答案为：45°；2．
19．【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y＝（k≠0），∵反比例函数图象经过点A（﹣4，﹣2），
∴﹣2＝，
∴k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵B（a，4）在y＝的图象上，
∴4＝，
∴a＝2，
∴点B的坐标为B（2，4）；
（2）根据图象得，当x＞2或﹣4＜x＜0时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）设直线AB的解析式为y＝ax+b，
∵A（﹣4，﹣2），B（2，4），
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+2，
∴C（0，2），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×4+＝6．
20．【解答】解：（1）如图，作PH⊥MN于H．则四边形PDMH是矩形．
∵tan∠P AD＝＝，PD＝5，
∴AD＝15，P A＝＝5（米），
∴此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长为5米．
（2）∵∠NPH＝45°，∠PHN＝90°，
∴∠PNH＝∠NPH＝45°，
∴NH＝PH，设NH＝PH＝x米，则MN＝（x+5）米，AM＝（x﹣15）米，
在Rt△AMN中，∵tan60°＝，
∴MN＝AM，
∴x＝5＝（x﹣15）
解得x＝（10+25）（米），
∴MN＝x+5＝（10+30）米．
21．【解答】解：（1）设每箱新红星a元，每箱红富士b元，由题意可得：
，
解得，
答：每箱新红星40元，每箱红富士50元；
（2）设购置新红星x箱，则购置红富士（120﹣x）箱，所需的总费用为y元，由题意可得：，
解得60≤x≤80，
所以新红星箱数x的取值范围60≤x≤80，
设购买付款费用为y元，则
当60≤x≤70时，y＝40×0.8x+50×0.9（120﹣x）＝﹣13x+5400，
∵k＝﹣13＜0，∴y随x的增大而减小，
∴当x＝70时，y的值最小，最小值为：y＝﹣13×70+5400＝4490；
当70＜x≤80时，y＝40×0.8x+50（120﹣x）＝﹣18x+6000，
∵k＝﹣18＜0，∴y随x的增大而减小，
∴当x＝80时，y的值最小，最小值为：y＝﹣18×80+6000＝4560，
∵4490＜4560，
∴购买新红星70箱，红富士50箱，费用最少，最少费用为4490元．22．【解答】解：（1）如图1，连接AE，
∵AB＝AC＝2，点E分别是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠BEC＝90°，
∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
在Rt△ABE中，AE＝AB＝1，根据勾股定理得，BE＝
∵点E是BC的中点，
∴BC＝2BE＝2，
∴＝＝，
∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD＝AC＝1，
∴＝＝，
故答案为：，；
（2）无变化，理由：
由（1）知，CD＝1，CE＝BE＝，
∴＝，，
∴＝，
由（1）知，∠ACB＝∠DCE＝30°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴，
（3）当点D在线段AE上时，
如图2，过点C作CF⊥AE于F，∠CDF＝180°﹣∠CDE＝60°，
∴∠DCF＝30°，
∴DF＝CD＝，
∴CF＝DF＝，
在Rt△AFC中，AC＝2，根据勾股定理得，AF＝＝，
∴AD＝AF+DF＝，
由（2）知，，
∴BE＝AD＝
当点D在线段AE的延长线上时，
如图3，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于G，∵∠CDG＝60°，
∴∠DCG＝30°，
∴DG＝CD＝，
∴CG＝DG＝，
在Rt△ACG中，根据勾股定理得，AG＝，∴AD＝AG﹣DG＝，
由（2）知，，
∴BE＝AD＝
即：线段BE的长为或．
23．【解答】解：（1）将点B的坐标为（4，m）代入y＝﹣x+，m＝﹣4+＝﹣，
∴B的坐标为（4，﹣），
将A（3，2），B（4，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，
解得b＝1，c＝，
∴抛物线的解析式y＝；
（2）设D（m，），则E（m，﹣m+），
DE＝（）﹣（﹣m+）＝＝﹣（m﹣2）2+2，∴当m＝2时，DE有最大值为2，
此时D（2，），
作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．
PD+P A＝PD+P A'＝A'D，此时PD+P A最小，
∵A（3，2），
∴A'（﹣1，2），
A'D＝＝，
即PD+P A的最小值为；
（3）作AH⊥对称轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，
∵抛物线的解析式y＝，
∴M（1，4），
∵A（3，2），
∴AH＝MH＝2，H（1，2）
∵∠AQM＝45°，
∠AHM＝90°，
∴∠AQM＝∠AHM，
可知△AQM外接圆的圆心为H，
∴QH＝HA＝HM＝2
设Q（0，t），
则＝2，
t＝2+或2﹣
∴符合题意的点Q的坐标：Q1（0，2﹣）、Q2（0，2）．。