第十七章勾股定理全章教案

八年级数学教学设计

创设情境，以美引新：

请同学们欣赏美丽的海螺图案，在数学中也有这样一幅美丽的“海螺”图案！同学们知道是怎么画

出来的吗？它是依据

什么数学知识画出来

的？

人教版八年级下册第17章勾股定理考点和答案

勾股定理考点及答案 1701 勾股定理一．选择题（共4 小题）〖案例分析〗如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°．ED 是BC 的垂直平分线，BD 平分∠ABC，AD＝〖课后巩固〗则CD 的长为（） A．6 B．5 C．4 D．3 〖课堂练习〗如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于D，若AC＝2，BC＝，则CD 为（） A．B．2 C．D．3 〖课后巩固〗如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AE 为△ABC 的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD 的长（） A．2 B．3 C．4 D．5 〖考前再练〗在Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝4，则AC 的长是（）A．3 B．4 C．3 或D．

一．解答题（共 4 小题） 1702 勾股定理的证明〖案例分析〗如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，正方形 IECF 中，IE ＝EC ＝CF ＝FI ＝ x （1）小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得 BD ＝BE ＝a ﹣x ，AD ＝AF ＝b ﹣x 因为 AB ＝BD +AD ，所以 a ﹣x +b ﹣x ＝c ，解得 x ＝（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用 S △ABC ＝S △AIB +S △AIC +S △BIC 可以得到 x 与 a 、b 、c 的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．〖课堂练习〗阅读理解：【问题情境】教材中小明用 4 张全等的直角三角形纸片拼成图 1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4 个直角三角形的面积从而得数学等式：；（用含字母 a 、b 、c 的式子表示）化简证得勾股定理：a 2+b 2＝c 2 【初步运用】（1）如图 1，若 b ＝2a ，则小正方形面积：大正方形面积＝；

(完整版)新人教版初二数学下册第十七章勾股定理知识点总结

勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。 2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。，那么这个三角形是直角三角形。 a . 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法 b .若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； c .定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222 a c b +=，那么以a ，b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 4.直角三角形的性质（1）、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° （2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式

第十七章勾股定理复习教案

第十七章勾股定理教学目标： 1.会用勾股定理解决简单问题。 2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。教学重点：回顾并思考勾股定理及逆定理教学难点：勾股定理及逆定理在生活中的广泛应用。教学过程：一、出示目标 1.会用勾股定理解决简单问题。 2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。二、知识结构图三、知识点回顾 1.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题（4）勾股定理的直接作用是知道直角三角形任意两边的长度，求第三边的长．这里一定要注意找准斜边、直角边；二要熟悉公式的变形： 22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=．

勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理． 2.如何判定一个三角形是直角三角形（1）先确定最大边（如c ）（2）验证2c 与22b a +是否具有相等关系（3）若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若 2c ≠22b a +，则△ABC 不是直角三角形。 3、三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若2 22c b a =+，则三角形是直角三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2 <+c b a 22，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边 4、勾股数满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数如（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 四、典型例题分析例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少? 分析：这里知道了直角三角形的两条边的长度，应用勾股定理可求出第三条边的长度，再求周长．但题中未指明已知的两条边是_________还是_______，因此要分两种情况讨论．例2：如图19—11是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm ，高为15cm ，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?

八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理教案(新版)新人教版

勾股定理（1）知识与技能：掌握勾股定理和他的简单的应用，理解定理的一般探究方法。过程与方法：在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，让同学们经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数与形结合的数学思想。情感态度与价值观：在数学活动中发现探索意识和合作交流的良好学习习惯。教学重点：经历探索和验证勾股定理的过程，会利用两边求直角三角形的另一边的长。教学难点：拼图法验证勾股定理，会利用两边求直角形另一边的长。教具准备：方格纸、4个全等的三角形，小黑板等。教与学互动设计：一、创设情境导入新课引导学生观察课本第64页的地面图形，说说你发现了什么？提问：①图中有些什么形状？ ②三个正方形之间有什么关系？ ③通过②的结论你能有什么猜想？说说看。二、实验操作探求新知 1.数格子（1）要求学生在准备好的方格纸中作一个任意的等腰直角三角形，分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。（2）要求学生在方格纸中作一个任意的直角三角形，分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。（3）要求学生在方格纸中作一个任意的非直角三角形，分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。讨论、得出结论：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.证明猜想。要求用四个全等到的直角三角形拼成一个以斜边为边长的正方形，推理得出 a2+b2=c2

10c 20cm 3.得出结论定理：经过证明被确认的命题叫做定理。勾股定理：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。三、应用迁移例1.求下图中的字母A ，B 所代表的正方形的面积。例2.一个文具盒的尺如图，一根长30cm 的细木棒能否放进这个文具盒，为什么？练习：填空（1）在Rt ?ABC 中，∠C=90°，a=5,b=12,则c = (2) 在Rt ?ABC 中，∠B=90°，a=3,b=4, 则c = (3) 在等腰Rt ?ABC 中，AC=BC ，∠C=90°，AC ：BC ：AB= （4）在Rt ?ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC ：AC ：AB= 探究2.

第17章勾股定理知识点及典型

第17章勾股定理知识点及典型一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证

a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=?，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体

第十七章《勾股定理》教材分析及教学建议

第十七章《勾股定理》教材分析及教学建议本章主要内容是勾股定理及其逆定理。首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。本章教学时间约需8课时，具体安排如下： 18．1 勾股定理 4 课时 18．2 勾股定理的逆定理 3课时数学活动小结 1课时一、教科书内容和课程学习目标本章知识结构框图：直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质。

勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义，发现勾股定理，尤其在2000多年前，是非常了不起的成就。在第一节中，教科书让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理。勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍的是一种面积证法。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。在教科书中，图－3（1）中的图形经过割补拼接后得到图－3（3）中的图形。由此就证明了勾股定理。通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理。由勾股定理可知，已知两条直角边的长a,b，就可以求出斜边c的长。由勾股定理可得或，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长。也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长。教科书相应安排了三个探究栏目，让学生运用勾股定理解决问题。在第二节中，教科书让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形是直角三角形。从而猜想如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。这个猜想可以利用全等三角形证明，得到勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法。教科书安排了两个例题，让学生学会运用这种方法。这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它通过代数运算“算”出来。实际上利用计算证明几何问题学生已经见过，计算在几何里也是很重要的。从

人教版第17章《勾股定理》单元测试(含答案)

第十七章勾股定理单元测试（题数： 20 道测试时间： 45 分钟总分： 100 分）班级： _______ 姓名： ________ 得分： ________ 、单选题（每小题 3分，共 24 分） 1．在△ ABC 中， AB= 2 ，BC= 5，AC= 3，则（） A. ∠ A=90 B. ∠ B=90 C. ∠ C=90 D. ∠ A=∠B 5．如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为 13cm ，则图中所有的正方形的面积之和为（） A. 169 cm 2 B. 196 cm 2 C. 338cm 2 D. 507 cm 2 6．如图，一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体纸箱的 A 点沿纸箱表面爬到 B 点，那么它所爬行的最短路线的长是（） A. 2 B. 3 C. 5 D. 2 7 ．在直角三角形中，有两边分别为 3 和 4 ，则第三边是（） A. 1 B. 5 C. 7 D. 5 或 7 8．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，其面积标记为 S 1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 S 2， ? ，按照此规律继续下去，则 S 9 的值为（） 2．如图，在 Rt △ABC 中，∠ B ＝ 90°， BC ＝15， AC ＝17，以 AB 为直径作半圆，则此半圆的 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．已知 VABC 中， A 1 B 1 C ，则它的三条边之比为（ 23 A. 1:1: 2 C. 1: 2: 3 D. 1:4:1

第十七章17.1勾股定理

17. 1勾股定理（一）、学习目标 1?了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2 .培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3 ?介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。、教学重难点 1?重点：勾股定理的内容及证明。 2 ?难点：勾股定理的证明。三、评价任务 1?例1 （补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性； 2?通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 3?例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。四、教学过程导入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ ABC,用刻度尺量出AB的长。以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3,长的直角边（股）的长是4,那么斜边（弦）的长是5。再画一个两直角边为5和12的直角△ ABC,用刻度尺量AB的长。你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即有勾2+股2=弦2。对于任意的直角三角形也有这个性质吗? 32+42=52, 52+122=132,那么就 D C

新人教版八年级下册数学第十七章勾股定理教案

八年级下册数学第十七章勾股定理集体备课（教案） 17．1 勾股定理（一）一、教学目标 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。二、教学重点、难点 1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。三、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。对于任意的直角三角形也有这个性质吗命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么。四、合作探究：方法1：已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。求证：a 2＋b 2=c 2。分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。 ⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正 A B

第十七章-勾股定理第一节《勾股定理(3)》教学设计

17.1 勾股定理（3）一、教学目标知识与技能 1．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点． 2．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，?并能用勾股定理解决简单的实际问题．过程与方法 1．经历在数轴上寻找表示地理数的总的过程，?发展学生灵活勾股定理解决问题的能力． 2．在用勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，?发展学生的动手操作能力和创新精神． 3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，?并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．情感、态度与价值观 1．在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，?体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．2．在解决实际问题的过程中，?形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．二、教学重、难点重点：……这样的表示无理数的点．难点利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．三、教学准备多媒体课件四、教学方法分组讨论，讲练结合五、教学过程 (一)复习回顾，引入新课复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。

思考：在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？先画出图形，再写出已知、求证. 探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在设计意图：上一节，我们利用勾股定理可以解决生活中的不少问题．在初一时我们 ……这样的无理 ……可以当直角三用．师生行为：学生小组交流讨论 ……这样的包含在直角三角形中的线段．此活动，教师应重点关注： ②学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志； ③学生能否积极主动地交流合作．师：所以只需画出长 1的直角三角形的斜边．生：设两直角边为a，b，根据勾股定理a2+b2=c2即a2+b2=13．若

第十七章勾股定理小结教案

勾股定理复习小结一、二. 1、勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、如何判定一个三角形是直角三角形（1）先确定最大边（如c ）（2）验证2c 与22b a +是否具有相等关系（3）若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠22b a + 则△ABC 不是直角三角形。 3、勾股数满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数如（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 二、练习题 1．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法中正确的是（） A. 第三边一定为10 B.三角形的周长为24 C.三角形的面积为24 D.第三边有可能为10 2．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 3．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（） A 、a=1.5，b=2, c=3 B 、a=7,b=24,c=25 C 、a=6, b=8, c=10 D 、a=3,b=4,c=5 3．三角形的三边长为（a+b ）2=c 2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形. 4、一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是( ) A ．4 B ．310 C.25 D ．5 12 5．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（） A 、24cm 2 B 、36cm 2 C 、48cm 2 D 、60cm 2

人教初中数学第十七章勾股定理知识点

人教版初中数学第十七章勾股定理知识点

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第十七章勾股定理 17.1 勾股定理 1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +＝勾股定理的证明：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ ∴222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 17.2 勾股定理的逆定理 2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +＝，那么这个三角形是直角三角形. 3、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等 b a c b a c c a b c a b c b a H G F E D C B A a b c c b a E D C B A

第十七章勾股定理

第十七章勾股定理一、选择题（共18小题；共90分） 1. 若直角三角形的三边长分别为，，，则的可能值有 ( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 三角形的三边长，，满足，则此三角形是 ( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 3. 已知的三边长分别为，，，则的面积为 ( ) A. B. C. D. 不能确定 4. 设，是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为，斜边长为，则的值是 ( ) A. B. C. D. 5. 下列各组数中是勾股数的是 ( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 如果将长为，宽为的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是 ( ) A. B. C. D. 7. 中，，，高，则的长为 ( ) A. B. C. 或 D. 以上都不对 8. 三角形的三边长分别为（是自然数），这样的三角形是 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形或直角三角形 9. 下列各组正数为边长，能组成直角三角形的是 ( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为 A. B. C. D. 11. 已知，，是的三边长，且满足，则的形状是 ( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形

12. 如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点处，则点表示的数是 A. B. C. D. 13. 如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交，于点，，连接，则的长为 A. B. C. D. 14. 如图是一个的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，的顶点都是图中的格点，其中点、点的位置如图所示，则点可能的位置共有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 15. 2002 年8 月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示)，如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的短直角边为，较长直角边为，那么的值为 A. B. C. D. 16. 小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走米，小丽走直线用了分钟，小芳先去家拿了钱去图书馆，小芳到家用了分钟，从家到图书馆用了分钟，则以公园、图书馆和小芳家这三个地方为顶点所组成三角形为 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 17. 已知的三边为、、，且，，，则是 ( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形

第十七章勾股定理数学活动课教学设计比赛

第十七章《勾股定理》数学活动教学设计【教材】人教版数学八年级下册【课时安排】1课时【教学对象】育才学校八（2）班学生【教材分析】本节课是人教版义务教育课程标准试验教科书《数学》八年级下册第十七章《勾股定理》中的数学活动，即通过“爽弦图”来进一步对勾股定理的证明。教学时数为1课时。勾股定理是直角三角形的重要性质，它把三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边之间的“数”的关系，它是数形结合的典。是初中数学教学容重点之一。勾股定理可以解决许多直角三角形中的计算问题，是直角三角形特有的性质，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值．【学情分析】学生在以前学习和掌握了一般三角形的基本性质，现在将进一步学习一种特殊三角形-直角三角形的三边关系“勾股定理”。以与勾股定理有关的历史知识为背景展开对直角三角形三边关系的讨论，能激发学生的学习兴趣。【教学目标】知识技能：1、理解并掌握勾股定理的容及其证明方法，能运用勾股定理解决实际问题。 2、了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理探索过程。数学思考：在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想．问题解决：1．通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维． 2．在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究

过程。情感态度：1、通过对勾股定理历史的了解，增强学生爱国情操，激发学生学习兴趣。 2、在探究活动中，培养学生的合作交流意识和积极探索精神【教学重点】1．掌握勾股定理的容。 2、理解勾股定理的证明 3、运用勾股定理解决具体问题。【教学难点、关键】利用“拼图”、“数形结合”的方法验证勾股定理. 【教学方法】观察法、小组讨论法、引导练习法、启发式教学及探究式教学法。【教学手段】三角尺、拼图、多媒体投影、课件【教学过程设计】一、教学流程设计

第十七章_人教版勾股定理教案

第十七章勾股定理（一）教材所处的地位教材分析：本章是人教版《数学》八年级下册第17章，本章的主要内容是勾股定理及勾股定理的应用，教材从实践探索入手，给学生创设学习情境，接着研究直角三角形的勾股定理，介绍勾股定理的逆定理（直角三角形的判定方法），最后介绍勾股定理及勾股定理逆定理的广泛应用。勾股定理是直角三角形的一个很重要的性质，反映了直角三角形三边之间的数量关系。在理论和实践上都有广泛的应用。勾股定理逆定理是判定一个三角形是不是直角三角形的一种古老而实用的方法。在“四边形”和“解直角三角形”相关章节中，勾股定理知识将得到更重要的应用。（二)单元教学目标（包括情感目标）知识与技能目标： 1、经历由情境引出问题，探索掌握有关数学知识，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力。 2、体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理，会运用勾股定理解决相关问题。 3、掌握勾股定理的逆定理（直角三角形的判定方法），会运用勾股定理逆定理解决相关问题。 4、运用勾股定理及其逆宣解决简单的实际问题。情感与态度目标： 5、感受数学文化的价值和中国传统数学的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情。（三）单元教学重难点教学重点： 1、探索勾股定理并掌握勾股定理； 2、直角三角形的判定方法（勾股定理的逆定理）； 3、勾股定理及其逆定理的应用；教学难点： 1、从多个角度（代数、几何）探究勾股定理； 2、勾股定理逆定理的应用；

3、在勾股定理的应用过程中构造适用勾股定理的几何模型。（四）单元教学策略 1、学时安排全章教学时间为9课时，建议分配如下： §17.1 勾股定理--------------------3课时 §14.2 勾股定理的逆定理--------------3课时复习-------------------------------2课时 2、教学步骤： ①整个章节的教学可分四步：探索结论——验证结论——初步应用结论——应用结论解决实际问题。 ②在探索结论阶段，应调动学生的积极性，让学生充分参与。 ③初步应用结论阶段的重点是让学生明确：在直角三角形中，知道两边，可以求第三边。 ④应用结论解决实际问题分两类：探索性问题和应用性问题。 3、实施建议 ①注重使学生经历探索勾股定理等过程；本章从实践探索入手，创设学习情境，研究直角三角形的勾股定理及它的逆定理，并运用于解决一些简单的数学问题与实际问题。在整个学习过程中应注意培养学生的自主探索精神，提高合作交流能力和解决实际问题的能力。 ②注重创设丰富的现实情境，体现勾股定理及其逆定理的广泛应用；本章从勾股定理的探索就来源于生活，而本章勾股定理的应用又直接应用于生活。因此，在探索、验证、应用等各阶段都应更多地设置与生活密切联系的现实情境，使学生能根据生活经验和情境类比较好地进行勾股定理应用的建模过程。教学时可更多地利用多媒体辅助教学手段以丰富课堂教学。 ③尽可能地介绍有关勾股定理的历史，体现其文化价值；与勾股定理有关的背景知识丰富，在教学中，应注意展现与勾股定理有关的背景知识，使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾股定理的丰富文化内涵，激发学生的学习兴趣。

第17章勾股定理

17.3勾股定理复习【学习目标】：能利用勾股定理及其逆定理求三角形的边长或证明三角形是直角三角形【学习重点】：勾股定理及其逆定理的应用。【学习难点】：利用定理解决实际问题。【导学过程】： -、知识要点1：直角三角形中，已知两边求第三边 1. 勾股定理：若直角三角形的三边分别为 a ， b ， c ，C =90 ?，则 _______________________ (1)在 Rr ABC 中，若/ C =90 , ⑵在 Rr ABC 中，若.B =90°， ⑶在Rr ABC 中，若.A =90 , 二、知识要点2：利用勾股定理在数轴找无理数。例2：在数轴上画出表示5的点. 在数轴上作出表示10的点. 三、知识要点3：判别一个三角形是否是直角三角形。例3：分别以下列四组数为一个三角形的边长： (1) 3、4、5 (2) 5、12、13 (3) 8、15、17 ( 4) 4、5、6,试找出哪些能够成直角三角形。 1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是( ) A . 12, 15, 17 B . 9, 16, 25 C. 5a , 12a , 13a (a>0) D . 2, 3, 4 2、判断由下列各组线段 a , b , c 的长，能组成的三角形是不是直角三角形，说明理由 . (1) a = 6.5, b = 7.5, c=4 ； (2) a =11 , b = 60 , c = 61 ; 8 10 3 1 (3) a , b=2, a ； (4) a=3— , b=2, c = 4 ； 3 3 4 4 四、知识要点4:利用列方程求线段的长例4:如图，铁路上 A , B 两点相距25km , C, D 为两村庄，DA 丄AB 于A , CB 丄AB 于B , 已知DA=15km , CB=10km ,现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E ,使得C , D 两村到E 站的距离相等，贝U E 站应建在离A 站多少km 处？公式变形 ①: 若知道 a , b ，贝V c - 公式变形 ②: 若知道 a , c ,则 b = 公式变形③: 若知道 b , c ，则 a = a =4， b =3，贝U c= a=9, b = 41,贝U c = a=7 , b=5，贝U c = 例1：求图中的直角三角形中未知边的长度： b = _______ ， c = _____ . 24

人教版八年级数学第17章勾股定理教案

第十七章勾股定理教案课题：勾股定理（1）课型：新授课【学习目标】：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。【学习重点】：勾股定理的内容及证明。【学习难点】：勾股定理的证明。【学习过程】一、课前预习 @ 1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：（2）若D 为斜边中点，则斜边中线（3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： 2、（1）、同学们画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。（2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长问题：你是否发现2 3+24与2 5，2 5+212和2 13的关系，即2 3+24 2 5，2 5+2 12 2 13，二、自主学习 # 思考：：（图中每个小方格代表一个单位面积）（2）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系吗图1－2中的呢（3）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 围成的直角三角形三边的关系吗（4）你能发现课本图1－3中三个正方形A ，B ，C 围成的直角三角形三边的关系吗！（5）如果直角三角形的两直角边分别为个单位长度和个长度单位，上面所猜想的数量关系还成立吗说明你的理由。 A B D （1）观察图1－1。 A 的面积是__________个单位面积； B 的面积是__________个单位面积； C 的面积是__________个单位面积。

第十七章勾股定理知识点总结

第十七章勾股定理知识点总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第十七章勾股定理知识点总结一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∠=?，则 ?中，90 C c=，b=，a）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C 为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2