谐振管实验讲义(中文)

在合成波的表达式中，y 与 t 和 x 的关系分别出现在两个因子之中，不同x 处，
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合成波的振幅不同，由因子 2 A coskx ( 2 1 ) / 2 确定，只要 coskx ( 2 1 ) / 2 不变 符号，不同x处的合成振动的位相都是 t (2 1 ) / 2 ，这些点的振动位相仅随 t 增加， 不再随 x 的增加而减少，亦即不呈现位相在空间的传播，仅在 coskx ( 2 1 ) / 2 易 号时位相才发生变化。因此，合成波实际上是一种振动，不再是振动的传播，故称为驻 波。驻波中，振动的振幅在空间有一定的分布规律 1）当 kx
2、管中的驻波 当介质中有反向进行的两个同频率的波存在时，这两个波叠加后将产生干涉现象。 为了简单起见，设两波具有相同的振幅，它们的运动方程为：
y1 A cos(t kx 1 )
合成后，运动方程为：
y 2 A cos(t kx 2 )
1 1 y y1 y 2 2 A cos kx 2 cos t 2 2 2
l n / 2, n (1,2,...)
对于一端固定，一端自由的弦，由于固定端是波节，自由端是波腹，所以波长必须 满足式：
l (2n 1) / 4, n (1,2,...)
正如以上所述，当波从管尾反射，反射波和原来的波发生干涉时就会产生驻波，但 是，声波却可在管的两端来回反射好几次，所有这些复合的反射波将一起发生干涉，一 般来说，这些复合的反射波的位相不一定相同，因此合成的振幅会比较小，然而在某些 特定的频率，其位相一致时，将产生一个振幅非常大的驻波，这些频率称为谐振频率。 在实验1中，研究谐振发生时管的长度和频率之间的关系。可以发现用波长比频率 更容易描述谐振的条件，谐振状态也与管的关闭与否有关。对于一个闭管来说，波长满 足以下条件时就会发生谐振：
相邻波腹的距离为 / 2 。 2） kx
2 1
2
(2n 1)

2
, 即 x (2n 1)

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2 1 , (n 0,1,2...) 时， 2 2
1 cos kx 2 0, 振幅为零，这种位置称为波节。相邻波节的距离也是 / 2 。 2
l n / 2, n (1,2,...) (其中 l 为管长)，
这些波长将会在管的两端产生声波波节（或声压波腹），也可以说当管长为半波长 的整数倍时会发生共振。 对开管来说，波长满足以下条件时，就会发生谐振：
l (2n 1) / 4, n (1,2,...) ，
这些波长将会在管的开端产生声波波腹（或声压波节），因此，当管长为四分之一 波长的奇数倍时发生共振。 上面所说的公式和图像只是一个理想的理论情况，主要是因为，波在管中的传播还 依赖于管的直径和波的频率，波节和波腹不会刚好出现在管的两端，用麦克风来研究管 的两端的波形是一个很有用的实验，下面给出一个更加精确的描述管中驻波的经验公 式： 闭管： l 0.8d n / 2, 开管： l 0.4d n 普通物理实验室
3、谐振 由以上讨论可见，驻波实际上是一种振动，是多自由度的振动。因而，对于一定的 驻波系统，也有固有频率，只是固有频率不只一个，而有许多个。例如，对两端固定的 弦，其上任一扰动经两端反射即成为两列反向行进波，叠加后形成驻波。这样的系统所 能激发的驻波，在弦的两端必须为波节，因而其波长有一定的限制，弦长 l 必为半波长 的整数倍，即：
当波在绳子的一端被反射回来时，会和原来的波发生干涉，产生驻波，声波从管的 另一端反射回来时也会产生驻波。在绳上的驻波中，无上下振动的点称为波节，绳子以 最大振幅上下振动的点称为波腹。类似地，空气不振动的点称为声波的波节，空气振动 最大的点称为声波的波腹。表征声压大小的波节和波腹也存在于波形中。事实上，声波 的波腹点为压力的最小点，这称为声压节点，同样地，声波的波节点称为声压腹点。这 其实是很容易理解的，假设两个声波的波腹点相向运动，中间的空气将要被挤压，这就 形成了声压波腹点；当两个声波的波腹相互远离的时候，中间的空气就要膨胀，形成声 压波节点。 声波反射可以发生在闭合管或打开管的尾部，如果管尾闭合，我们称之为闭管，此 时空气被阻挡，则声波的波节出现在管尾，如果管尾开放，我们称之为开管，此时管内 外的压力相当，我们称之为开管，此时管内外的压力相当，则声波的波腹出现在管尾。 现在对声波在管尾反射的情况作一个理论解释。当 x l 的管端开向自由空间的时候，即 使对波长比管子的直径大得多的情况，开口上的流动条件和压力分布也不会是均匀的。 但在波长很长的极限情况下，能够在管道中传播的唯一波是平面波，即基频方式的波， 此时在 x l 处， 开端的空气有类似活塞的作用， 向开阔空间辐射出声音， 同时向 x 0 处 反射回一部分声音，当波长非常长时，从开端辐射出去的声音很少，因而在管子内部就 建立起很强的驻波。
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（说明：实验室里没有下列文档的纸质版）
声波谐振管实验
【实验目的】 1.研究声波在谐振管中的运动规律； 2.利用共振法和回声法测量声波的传播速度。 【实验仪器】 PASCO WA-9612型谐振管装置，示波器，信号发生器。 【实验原理】 1、声波 当扬声器的膜片振动时，声波便会产生并通过空气传播。声波是由空气分子在扬 声器的轴线方向上作来回的微小的位移形成的。 假如你可以看到扬声器附近的一小块空 气的话，你将发现这块空气并没有移动得很远，而是以与扬声器相同的频率在轴线方向 上来回移动。这种振动与波在一根绳子上的传播的形式十分相似，一个很大的不同点就 是，如果你在观察绳上的一小部分的时候，你会发现它的振动与绳上波的传播方向是垂 直的，而空气的振动与波的传播方向是一致的。因此，声波是纵波。 声波形成的另一种方式是一系列的压缩和膨胀，当扬声器的膜片向外运动时，附 近的空气就会被挤压，形成一小部分的高压空气，这一小部分的高压空气又挤压它周围 的空气，如此循环下去。因此高压空气就会远离扬声器传播开去，当扬声器的膜片向里 运动的时候，周围的空气就会膨胀，产生低压空气并远离扬声器传播开去。 一般来说，声波会朝各个方向传播，但是我们在研究声波的时候可以将其简化成只 朝一个方向传播，例如在谐振管里面，我们近似地认为声波沿管的轴线方向传播。
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注意：开管指一端闭合，另一端是打开的，而闭管是两端都闭合的。
图 3 仪器安装图
参考说明：该讲义参考了网上和同行的相关资料，在此表示感谢！
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n 1,2,3,... n 1,2,3,...
l 为管长， d 为直径 l 为管长， d 为直径
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注意：四种谐振状态描述如图1，第一种（n=1）被称作基音，其他的叫做泛音，每一种描述都 是有联系的。
图 1 四种谐振状态
【PASCO WA-9612型谐振管装置介绍】 PASCO WA-9612型谐振管可用来研究声波在管中的传播，也可以用来观察一端封闭或 两端封闭的谐振管中的驻波图样和研究当管长变化时波节和波腹的位置， 也可以通过测 量共振波形频率和波长的方法来间接测量声速或更加直接地利用示波器的触发方式来 测量声波脉冲在管中传播的时间来测定声速。 声波可通过扬声器来产生并通过微型麦克风来探测。 麦克风既可固定在扬声器的旁 边来检测谐振波形，也可以固定在一根金属杆上，使之可在管中来回移动并检测管中的 波形特性。 WA-9612型谐振管及其配件：（如图2） 1、90cm长的壁上带有十进制刻度的透明塑料管； 2、两个塑料管底座，其中一个内置扬声器与麦克风； 3、带有放大器的小型麦克风和一根可直接连接到示波器的信号线； 4、可移动的活塞； 5、麦克风探测杆（ 86cm铜杆）；
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6、可用来覆盖孔的夹子。
图 2 谐振管及其配件
谐振管的安装与调试： 1、按图3连接仪器，麦克风可被放在位于扬声器下的麦克风孔里面，或者像下面插 图所示的那样，把它捆在麦克风探测杆的末端并从探测管伸入谐振管，使之可用来确定 波节和波腹的位置。你还可以通过移动活塞来改变谐振管的有效长度，位于管外的活塞 连接杆的尾部应该用支架支撑起来，以免给活塞过大的负荷。 2、数字万用表与函数发生器的直流输出端连接，这样就可以很方便地读出函数发 生器输出信号的频率（具体方法见附录）。把函数发生器的频率置于大约 100Hz，并使 振幅为 0，然后打开发生器，慢慢增大振幅直到你能听到扬声器的声音。
2 1
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n , 即 x
n ( 2 1 ) / 2 n 2 1 , (n 0,1,2...) 时， k 2 2 2
1 cos kx 2 1, 振幅最大，这种位置称为波腹，这时质点的振幅为分波腹的两倍。 2
警告：过大的驱动电流会损坏扬声器，缓慢地增大振幅，直到可以听见扬声器的声音，但不 要太大。注意大多数的函数发生器在高频时更有效，因此当你增大频率时要适当地减小振幅。
3、打开示波器与放大器的电源，设置扫描频率和发生器的频率大概一致，选择适 当的增益使你可以清晰地看到由麦克风探测到的声音信号。 如果在最大的增益时你也看 不见信号，调整信号发生器的频率直到从扬声器发出的声音达到最大值，然后增大信号 发生器的振幅直到你能在示波器上清晰地看见图像。 4、调整声波的频率或管的长度来使声波发生谐振，并且可以通过听到一个最大的 声音或在示波器上观察到最大的波形信号来确定共振的产生。