渗流数学模型
多相多组分渗流数学模型——by 赵文齐
多相多组分渗流数学模型一、 模型的假设条件1. 油藏中的渗流为等温渗流；2. 油藏中的流体为油、气、水三相；3. 油藏内流体的流动为线性流动，即符合Darcy 定律；4. 油藏流体共分为Nc+1个组分，其中i=1、2、3、…、Nc 为烃、非烃组分，i=Nc+1为水组分；5. 油藏中油、气两相瞬时达到相平衡状态；6. 忽略重力的影响；7. 油水以及气水之间互不相容。
二、 渗流数学模型1、由连续性方程的一般形式()()0div q tρφρν∂++=∂ ，结合多相多组分渗流的特点，得到其连续性方程为：水组分的守衡方程：()()0w w w w w S div q tρφρν∂++=∂ (1) 对于任意烃非烃组分i 的守衡方程：()()0o g i o o i g g i o i g i o i g x S y S div x y x q y q t ρρφρνρν∂⎡⎤+++++=⎣⎦∂ （1,2,3,,i Nc = ） (2)2、系统中i 组分的摩尔总量方程：i i i Lx Vy z += (3)其中， 1L V += (4)3、相平衡方程： o g i i f f = （1,2,3,,i Nc = ） (5)4、组分约束方程：11Ncii x==∑ (6)11Ncii y==∑ (7)11Ncii z==∑ (8)5、毛管力约束方程：cow o w p p p =- (9) cgo g op p p =- (10)6、饱和度约束方程：1o g w S S S ++= (11)注：以上各式中，独立方程个数24Nc +，求解未知量为i x ，i y (1,2,3,,i Nc = )，o p ，o S ，w S ，L ，共24Nc +个，可以封闭求解。
g S 可由（11）求得， w p 和g p 可分别由（9）和（10）求得，i z 可由（3）求得，V 可由（4）求得。
渗流模型 临界指数
渗流模型临界指数摘要：1.渗流模型的概述2.临界指数的定义与性质3.渗流模型在实际应用中的重要性4.临界指数在渗流模型中的作用5.总结正文：1.渗流模型的概述渗流模型，是一种描述流体在多孔介质中流动过程的数学模型。
它主要研究流体在多孔介质中的渗流规律，以及多孔介质对流体渗流的影响。
渗流模型广泛应用于地下水文学、土壤力学、石油工程等领域。
2.临界指数的定义与性质临界指数，又称临界渗透率，是指多孔介质中流体渗流由非线性变为线性的临界值。
它反映了多孔介质中流体渗流的一个重要特征，即渗流速度与渗透率的关系。
临界指数是一个重要的物理参数，它直接影响着渗流模型的建立和求解。
3.渗流模型在实际应用中的重要性渗流模型在实际应用中具有重要意义。
首先，通过渗流模型可以研究地下水的运动规律，为地下水资源的合理开发和管理提供理论依据。
其次，渗流模型可以分析土壤中的水分分布和变化规律，为土壤改良和农业生产提供参考。
此外，渗流模型还可以应用于石油工程中，帮助研究油藏的开发和生产过程。
4.临界指数在渗流模型中的作用临界指数在渗流模型中起着关键作用。
首先，临界指数是渗流模型中一个重要的边界条件，它直接影响着渗流模型的求解。
其次，临界指数可以用来判断多孔介质中的渗流过程是线性还是非线性，从而为渗流模型的建立和求解提供依据。
最后，临界指数还可以用来分析多孔介质中流体的渗流特性，为渗流模型的改进和优化提供参考。
5.总结渗流模型是一种重要的数学模型，它广泛应用于地下水文学、土壤力学、石油工程等领域。
临界指数是渗流模型中一个关键参数，它反映了多孔介质中流体渗流的重要特征。
渗流模型 临界指数
渗流模型临界指数摘要：一、渗流模型的概念和基本原理1.渗流模型的定义2.渗流模型的基本方程3.渗流模型的应用领域二、临界指数的概念和计算方法1.临界指数的定义2.临界指数与渗流模型的关系3.计算临界指数的方法三、渗流模型临界指数的实际应用1.地下水资源的开发和管理2.土壤侵蚀和治理3.环境保护和治理正文：渗流模型是一种描述流体在多孔介质中运移的数学模型，广泛应用于地下水资源开发、土壤侵蚀、环境保护等领域。
临界指数是渗流模型中的一个重要参数，它反映了多孔介质中流体运移的特性，对于理解渗流模型的行为和预测实际渗流过程具有重要意义。
渗流模型根据流体在多孔介质中的运移机制可分为达西模型、修正达西模型和双常数模型等。
这些模型的基本方程描述了流体在多孔介质中的渗流速度、水力梯度、渗流量等参数之间的关系。
通过求解这些方程，可以得到渗流模型中的临界指数。
临界指数通常表示为K和Nc，分别称为渗透率和临界水力梯度。
渗透率K 反映了多孔介质中的流体运移能力，与介质的结构和性质有关。
临界水力梯度Nc是指当水力梯度超过这个值时，渗流过程将从线性过渡到非线性阶段，流体运移特性发生显著变化。
渗流模型的临界指数在实际应用中具有重要意义。
在地下水资源开发中，了解临界指数有助于合理设计井网、优化开采方案，以保证水资源的可持续利用。
对于土壤侵蚀和治理，临界指数可以帮助预测土壤的抗侵蚀性能，为土壤保持和治理提供科学依据。
在环境保护方面，临界指数有助于评估污染物在土壤和水体中的运移行为，为污染治理提供参考。
总之，渗流模型临界指数的研究对于理解多孔介质中流体运移的特性以及实际应用具有重要意义。
第二章油气渗流的数学模型
第二章 油气渗流的数学模型
主要内容
§2.1 概述 §2.2 渗流基本微分方程的建立 §2.3 典型数学模型 §2.4 定解条件
§2.1 概
一、建立数学模型的基础
述
油气渗流数学模型的研究方法是把一定地质条件下油气渗 流的力学问题转换为数学问题，然后求解， 流的力学问题转换为数学问题，然后求解，再联系油气田开发 的实际条件应用到生产当中去。 的实际条件应用到生产当中去。 渗流形态和类型不同，所遵循的力学规律有差异， 渗流形态和类型不同，所遵循的力学规律有差异，伴随渗 流过程出现的物理化学现象也不同， 流过程出现的物理化学现象也不同，故有很多类型的渗流数学 模型。 模型。
§2.1 概
三、建立数学模型的步骤
述
3、确定未知数（因变量）和其他物理量之间的关系 确定未知数（因变量） 确定选用的运动方程 确定所需的状态方程 确定连续性方程 确定伴随渗流过程发生的其他物理化学作用的函 数关系
§2.1 概
三、建立数学模型的步骤
述
4、推导数学模型所需的综合微分方程 用连续性方程作为综合方程，把其他方程代入连续 性方程中，得到描述渗流过程全部物理现象的统一微分 方程或微分方程组。
§2.1 概
述
二、油气渗流数学模型的一般结构
油气渗流基本微分方程体现了在渗流过程中需要研究的流 体力学、物理学和化学问题的总和， 体力学、物理学和化学问题的总和，并且还要描述这些现象的 内在联系。因此，建立基本渗流微分方程要考虑包括以下几方 内在联系。因此， 面的因素： 面的因素： 渗流过程是流体运动的过程，必然受运动方程支配； 渗流过程是流体运动的过程，必然受运动方程支配； 渗流过程又是流体和岩石的状态不断改变的过程， 渗流过程又是流体和岩石的状态不断改变的过程，所以 需要建立流体和岩石的状态方程； 需要建立流体和岩石的状态方程；
地下水渗流基本方程及数学模型总结
常可忽略。
（二）含水层的状态方程
含水层弹性存储的概念： 弹性储存：当地下水水头（水压）降低（或升高）时， 含水层、弱透水层释放（或储存）地下水的性质。 含水层弹性存储的物理意义：
（承压含水层）弹性储存与（潜水）重力储存不同；
第一步：化简方程左端项： 当渗流满足达西定律，且取坐标与各向异性主轴方向一致，有：
H v x K xx x
H v y K yy y
H v z K zz z
( v x ) H H H ( K xx ) [ K xx (K xx )] x x x x x x x
§5 描述地下水运动的数学模型及解算方法
一、各向异性含水层中地下水三维流的基本微 分方程的推导 二、地下水运动微分方程的各种形式 三、地下水运动数学模型的建立及求解
§5 描述地下水运动的数学模型及解算方法
一、各向异性含水层中地下水三维流基本微分方程的推导 为反映含水层地下水运动的普遍规律，研究选定在各向 异性多孔介质中建立地下三维不稳定流动连续性方程。 水均衡的基本思想，对某一研究对象：
描述地下水运动的数学模型及解算方法二地下水运动微分方程的各种形式zzyyxxzzyyxx使潜水面边界处理的简单化直接近似地在微分方程中处理dsdh此时1潜水面比较平缓等水头面呈铅直水流基本水平可忽略渗流速度的垂直分量v2隔水底板水平铅垂剖面上各点的水头都相等各点的水力坡度和渗流速度都相等sin可以近似地用tg代替此即著名的dupuit假设
m d( )
m
1 d d ( )
渗流力学 第二章 数学模型
第二节 运动方程
渗流服从线性规律时，渗流速度为: v K P
L
其微分形式为： v K dP
dL
将上式从均质地层的稳定渗流 推广到非均质地层的不稳定渗流
性压缩系数C、导压系数æ等)和流体的物理参数（如 粘度μ、密度ρ、体积系数B等)
第一节 建立数学模型的原则
2.研究各物理量的条件和状况
过程状况：是等温过程还是非等温过程； 系统状况：是单组分系统还是多组分系统，甚至是凝
析系统； 相态状况：是单相还是多相甚至是混相； 流态状况：是服从线性渗流规律还是服从非线性渗流
液体的状态方程 气体的状态方程 岩石的状态方程
第三节 状态方程
一、液体的状态方程
液体具有压缩性，随着压力降低，体 积膨胀，其特性可用压缩系数来描述：
CL
1 VL
dVL dP
(1)
根据质量守恒原理，在压缩或膨胀时
液体质量M不变,即
M VL (2)
微分上式得：
dVL
M
2
d
(3)
将VL、dVL代入(1)式得：
v K gradP
或写成：
K P
vx
x
vy
K
P y
vz
K
P z
第三节 状态方程
渗流是一个运动过程，而且也是一个状态不断变化的过程， 由于和渗流有关的物质（岩石、液体、气体）都有弹性。因 此，随着状态变化，物质的力学性质会发生变化。所以，描 述由于弹性而引起力学性质随状态而变化的方程式称为“状 态方程”。
发生变化，故孔隙度是随压力而变化的状态函数； ②由于
渗流力学--模型
常见的连续性方程有：
单相流体渗流的连续性方程； 两相渗流连续性方程； 带传质扩散过程的连续性方程
一、单相渗流的连续性方程
• 质量守恒方程的建立方法
– 微分法（无穷小分析法） – 积分法（矢量场分析法）
vvx,vy,vz
z
vx
y
vz
dx v y
dz dy
x
以x方向为例。
= 流入 — 流出 质量变化量
t时刻
t+dt
dt时间内油相 的饱和度变化 量为
So
So
So t
dt
S o dt t
油相
dt时间内单元体内油相的质量变化总量为
So t
odxdyddzt
油相
o x v ox o y v oy o z v o z dxd d t S y to d o dzxd d
建立数学模型的步骤
第二步:研究各物理量的条件和情况
• 过程状况:等温或非等温 • 系统状况:单组分或多组分 • 相态状况:单相 多相或混相 • 流态状况:达西流或非达西流
建立数学模型的步骤
第三步:确定未知量和其他物理量之关系
• 确定选用的运动方程 v K dp dx
• 确定所需要的状态方程
将两种流体分别用下标1和2表示若不计重力则其方程组为驱油动力渗流阻力非线性渗流的数学描述?用不同斜率的直线组合来描述渗流过程?初始段用幂律关系来描述后一段用直线关系描述gradp051过渡流05完全紊流平方区惯性力成为主要作用力dldpdldp气体分子的平均自由程接近通道的大小时界面上的分子都将处于运动状态两相渗流的数学描述gradp第四节油气渗流的基本数学模型概念
渗流模型的概念
渗流模型的概念
渗流模型是描述地下水流动和物质迁移过程的数学模型。
它基于渗透性介质（如土壤、岩石）中的流体流动定律和质量守恒原理，通过建立一组偏微分方程来描述渗流过程中的压力场、速度场和浓度场。
渗流模型的建立通常需要考虑渗透性介质的物理性质、边界条件以及流体的性质。
常用的渗流模型包括达西定律模型、理化性质模型和多相流模型等。
在模型的建立过程中，需要通过实验和观测数据进行参数估计和模型验证。
渗流模型的应用范围广泛，涉及地下水资源管理、地下水污染修复、地下水动力学研究等领域。
通过渗流模型的分析和预测，可以帮助解决地下水资源开发利用和环境保护等问题，为决策者提供科学依据。
M2第二章油气渗流数学模型
第二章油气渗流数学模型科学的数学化是当代科学发展的一个主要趋向，当代高科技的本质正是数学技术。
利用数学科学既能够定量描述科学研究的对象，又可以对实际问题进行理论分析和科学预测，从而把科学研究推向更高的阶段。
诚如马克思所说：“一种科学只有成功地应用数学时，才算达到了真正完善的地步”。
在现今的油气田开发过程中，应用渗流力学理论建立数学模型，并由此进行定量分析和预测是解决实际问题的关键课题。
2-1 数学模型渗流系统是客观存在的，在数学建模中，称这种客观存在的渗流系统为原型（Prototype）。
在油气田开发过程中，原型总是处于运动变化的过程之中，如何把握它们的规律性，是研究渗流系统的根本问题。
所谓模型（Model）是指为了某个特定目的将原型所具有本质属性的某一部分信息经过简化、提炼而构造的原型替代物。
模型所反映的内容将因其使用的目的不同而不同。
模型一般分为具体模型和抽象模型两大类，具体模型有直观模型、物理模型等，抽象模型有思维模型、符号模型、数学模型等。
2-1-1 物理模型和数学模型直观的物理模型是抽象的数学模型之基础。
渗流物理模型目标在于归纳渗流系统的主要特征并作相应简化，形成比较合理的物理描述。
描述一个渗流系统，就要根据已有的静态资料描述它所包含的岩石和流体的物理性质，确定渗流系统的区域及其宏观性质，如系统几何特征如何、何种岩石、渗透性、储容性等是否均匀、何种流体、发生何种渗流方式等，还要选择描述渗流问题的自变量（压力P），确定基本假设等。
渗流物理模型实际上是对渗流系统静态的描述，即建立地质模型。
渗流数学模型是为一定目的而对渗流系统做出的抽象、简化的数学符号系统，它反映部分现实世界的特征和数量关系。
数学模型不是原型的复制品，而是为一定目的对原型所作的一种抽象模拟，它用数学式子、数学符号、程序、图表等刻画原型的本质属性与内在了解，是对现实世界的抽象、简化而又本质的描述。
数学模型源于现实且高于现实，它可以解释渗流系统状态的变化，可以预测渗流系统将来的行为，或者能为控制渗流系统的发展提供最优化策略。
第二章-渗流数学模型
微分法
在地层中取一微小的平行六面体单元如图：
z
dz
( vx ) dx vx x 2
M
M 点质量流速： v 分速度分别为： v x v y vz
M
M
( vx ) dx vx x 2
dy
dx
o
y
x
●同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差
变化较小，看成常数
P
0e
C L ( P P0 )
104 (1 / MPa)
按麦克劳林级数展开，取前两项
1 2 1 3 x e 1 x x x 2! 3!
0 [1 CL ( P P0 )]
§2.2 渗流基本微分方程的建立
2.岩石的状态方程 ( )
(t 0)
内边界条件
q r rw 2Kh
r re
定解条件
P r
0 (t 0)
外边界条件
例： 对于封闭弹性不稳定渗流，其数学模型为：
●适用条件：
★单相微可压缩液体；
★地层岩石均质微可压缩
★线性渗流规律
★弹性不稳定渗流
★等温渗流过程
建立数学模型的基本原则——§ 2.1 基本方程——§ 2.2、 2.3、 2.4
渗流基本微分方程。
式中
2 为拉普拉斯算子（算符）。
2 2 2 2 2 2 x y z 2 为哈密尔顿算子（算符）。 i j k x y z
( ) v t ( v ) 0
1.液体的状态方程 ( )
1 VL CL VL P
流体质量 M VL
渗流数学模型的边界条件(一)
渗流数学模型的边界条件(一)渗流数学模型的边界条件引言•渗流数学模型是描述地下水或气体在多孔介质中传输的数学模型。
•边界条件是模型中的重要组成部分，它们决定了模型的真实性和准确性。
为什么边界条件重要•边界条件是模型的外部限制，它们影响着模型的输出结果。
•正确的边界条件可以使模型更符合实际情况，有效预测地下水或气体的迁移行为。
边界条件的分类1.Dirichlet边界条件–指定了场变量在边界上的固定值。
–适用于已知边界条件的情况，例如固定压力或浓度的边界。
2.Neumann边界条件–指定了场变量的梯度在边界上的固定值。
–适用于通量已知的情况，例如通过壁面的固定流量。
3.混合边界条件–同时指定了场变量的值和梯度在边界上的固定值。
–适用于既有流量又有固定值的情况，例如某个区域的流出量和浓度。
边界条件的选取原则•边界条件的选取需要根据具体情况和已知信息进行判断。
•应尽可能利用已知的观测数据来确定边界条件。
•对于缺乏观测数据的情况，可以采用数值模拟和试验结果进行确定。
边界条件的验证和调整•在模型求解之后，应对边界条件进行验证和调整，以提高模型的准确性。
•可以使用灵敏度分析和误差分析等方法来评估边界条件对结果的影响。
•根据模拟结果和现场监测数据，适时调整边界条件，使模型更符合实际情况。
结论•渗流数学模型的边界条件是模型准确性的关键因素。
•正确选取和调整边界条件可以提高模型的预测能力和适用性。
•在实际应用中，应灵活运用各种边界条件的类型以适应不同情况。
以上是关于渗流数学模型的边界条件的相关文章。
边界条件的选取和调整是模型求解中的重要步骤，它们直接影响到模型的结果。
正确认识和使用边界条件，可以提高模型的准确性和实用性。
边界条件的影响•渗流数学模型中的边界条件对模型结果具有重要的影响。
•如果边界条件选择不合适或者设定不准确，将导致模型预测结果与实际情况偏差较大。
•因此，在进行数学模型建立时，正确选择和设定边界条件是至关重要的。
3_单相液体渗流数学模型
3 单相液体渗流数学模型
第一节 渗流数学模型的建立原则 第二节 渗流数学模型的微分方程 第三节 渗流数学模型的定解条件
3
3 单相液体渗流数学模型
第一节 渗流数学模型的建立原则
4
3 单相液体渗流数学模型
一、建立数学模型的基础
油气渗流力学的研究方法：是把一定地质条件下油气 渗流的力学问题转换为数学问题，对数学问题利用合适的 方法求解后，运用到油气田开发的实际生产中。
数学模型建立后，用数学理论论证是否有解？连续？唯一？
7、给出初始条件，边界条件
13
3 单相液体渗流数学模型
第二节 渗流数学模型的微分方程
14
3 单相液体渗流数学模型
一、运动方程
服从达西定律： v K p K gradp
vx
K
p x
vy
K
p y
K p
vz z
15
3 单相液体渗流数学模型
服从非达西定律：
dp ( v v2 )
dL K
v C dp n dL
1 2
n
1
16
3 单相液体渗流数学模型
二、 状态方程
描述由于弹性而引起力学性质随状态而变化的方程式 称为状态方程。
1、液体的状态方程
定义
C
1 VL
dVL dp
8
3 单相液体渗流数学模型
三、建立渗流数学模型的步骤
1、确定建立模型的目的和要求 明确数学模型解决什么问题。
数学模型解决的问题有四类： （1）压力分布，p=f(x,y,z,t) （2）渗流速度分布，v=f(x,y,z,t) （3）饱和度分布，S=f(x,y,z,t) （4）界面移动规律，分界面~t
渗流数学模型
1 d CL dP
第三节 状态方程
大气压力(或 初始压力)
P0下流体 的密度
分离变量，CL取常数，并设P=P0时，ρ=ρ0积分(4)式： CL ( P P 0) (5) 0 将(5)式按麦克劳林级数展开，取其前两项已具有足够的精 确性：
e
0[1 CL ( P P0 )]
3.确定未知数和其它物理量之间的关系
dP vi f A, B, dx 状态方程：物理参数和压力的关系
运动方程：速度和压力梯度的关系 Ai=fi(P，T);Bi=fi(P，T) 连续性方程：渗流速度v和坐标及时间的关系或饱和度与 坐标和时间的关系：
v= f(x，y，z，t，A，B)(对单相流体) S= f(x，y，z，t，A，B)(对两相流体)
第三节 状态方程
一、液体的状态方程
液体具有压缩性，随着压力降低，体 C 积膨胀，其特性可用压缩系数来描述： L 根据质量守恒原理，在压缩或膨胀时 液体质量M不变,即
1 dVL VL dP
(1)
M VL
(2)
微分上式得：
dVL
M
2
d
(3) (4)
将VL、dVL代入(1)式得：
六面体在dt时间x方向流入流出的流量差为：
( vx ) dxdydzdt x
第四节 质量守恒方程
同理，可求得沿y方向、z方向流入流出的流量差分别为：
( v y ) y
dxdydzdt
( v z ) dxdydzdt z
dt时间内六面体内流入与流出的总的质量流量差为：
第四节 质量守恒方程
3-单相液体渗流数学模型
量纲分析可以检验所建数学模型是否正确。检查 所建数学模型量纲是否一致，是否是齐次的。
12
6、确定数学模型的适定性
数学模型建立后，用数学理论论证是否有解？连续？唯一？
7、给出初始条件，边界条件
13
第二节 渗流数学模型的微分方程
14
一、运动方程
服从达西定律： v K p K gradp
z
M
x y
质量M1与流出小单元体的流体
质量M2之差。
M M1 M2
30
• M点的流速：vx
b
b
M
质量流速：vx M
M
x
• M点的质量流速： a dx
a
dz
vx
(vx
x
)
dx 2
M M M
dy dx
• dt时间经M点（ a b ）流入的质量流量：
(vx
2
第一节 渗流数学模型的建立原则 第二节 渗流数学模型的微分方程 第三节 渗流数学模型的定解条件
3
第一节 渗流数学模型的建立原则
4
一、建立数学模型的基础
油气渗流力学的研究方法：是把一定地质条件下油气 渗流的力学问题转换为数学问题，对数学问题利用合适的 方法求解后，运用到油气田开发的实际生产中。
适用条件： 单相均质液体 线性运动规律 不考虑多孔介质及流体的压缩性 稳定渗流 渗流过程等温
44
第三节 渗流数学模型的定解条件
45
定解条件：边界条件和初始条件
边界条件：在研究区域上，对物理过程空间位置状况 的规定条件。这类问题称为“边值问题”。
初始条件：在研究区域上，对物理过程开始瞬间状况 的规定条件。即初始条件是对时间而规定 的条件，这类问题称为“初始值问题”。 如开始状况的压力分布、饱和度分布等。
渗流模型 临界指数
渗流模型临界指数
渗流模型是描述流体在多孔介质中渗透的数学模型。
它通常用于研究地下水流动、油田开发等领域。
渗流模型可以根据多孔介质的性质和边界条件，利用连续介质力学和达西定律等理论，建立起描述渗流过程的方程或关系。
临界指数是指在渗流模型中用于描述多孔介质渗流特性的一个重要参数。
在渗流过程中，临界指数与多孔介质的渗透能力和渗流速度之间存在一定的关系。
临界指数越大，表示多孔介质的渗透能力越强，渗流速度也会相应增加；反之，临界指数越小，表示多孔介质的渗透能力较弱，渗流速度较慢。
具体而言，临界指数可以通过实验测定或数值模拟得到。
对于不同类型的多孔介质，其临界指数可能存在差异。
例如，在岩石中的渗透性通常由渗透率描述，而在土壤中则常用孔隙度来衡量。
这些参数的大小和分布情况将影响到临界指数的计算和渗流模型的建立。
总之，渗流模型和临界指数是研究渗透过程中重要的概念和参数，能够帮助我们理解和预测多孔介质中的流体运动行为。
1。
油气渗流的数学模型
油气渗流的数学模型引言油气渗流是指石油、天然气等油气在岩石中的渗透、扩散和运移过程。
掌握油气渗流的规律对于石油开采和储层评价具有重要意义。
油气渗流的数学模型就是用数学语言对岩石孔隙中油气运移的规律进行描述，它是石油地质学、地球物理学等科学领域中重要的研究内容。
数学模型在石油开采过程中，地层中的油气从高压区域向低压区域运动，其运动过程中受到许多因素的影响，如孔隙度、渗透率、岩石成分、温度等。
为了描述这些影响因素对油气运动的影响，需要建立数学模型。
Darcy’s LawDarcy’s Law是描述渗流过程的基础方程之一，它表述了渗流速度与压力梯度成正比的关系。
在考虑流体分布的情况下，Darcy’s Law的表达式为：q = -K * ∇P其中，q为单位时间内流体通过单位面积的体积，K是渗透率，∇P表示压力梯度的梯度算子。
宏观模型在石油开采过程中，由于储层的尺度较大，往往需要采用宏观模型对渗流过程进行描述。
宏观模型分为多相流模型和单相流模型，其中多相流模型更符合实际。
多相流模型多相流模型用于描述储层中油气和水等多种流体同时存在的情况。
这种情况下，需要考虑流体间的相互作用和相互作用对于岩石颗粒和孔隙的影响。
其中，多相流动的数学模型通常采用Navier-Stokes方程组进行描述。
单相流模型单相流模型用于描述只有一种流体或只有一种相存在的情况。
这种情况下，通常采用Darcy’s Law描述渗流过程。
微观模型在油气渗流研究中，微观模型通常采用孔喉模型或者离散模型。
在孔喉模型中，通过建立孔隙和喉道的几何模型来描述渗流过程。
而在离散模型中，则用粒子模型或者格子模型进行描述。
数值模拟油气渗流数学模型的研究离不开数值计算的支持。
计算机模拟可以加快研究过程，减少试验成本，并且得到更为精确的数值结果。
在油气渗流数值模拟中，通常采用有限元法、有限差分法、蒙特卡罗模拟法等数值分析方法。
根据模拟结果，可以对储层产能进行预测，指导石油开采过程。
第三章 单相液体渗流数学模型
第一节 渗流数学模型的建立原则 二、渗流数学模型的结构
1、运动方程（流速与压力的关系）
2、状态方程（由于弹性而引起的状态随压力的变化）
3、质量守恒方程（流入质量-流出储量=单元内质量变化）
4、能量守恒方程（流入能量-流出能量=单元内能量变化）
5、附加方程（针对特殊渗流过程）
关键词：数学模型的构成
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分析实际 过程
第一节 渗流数学模型的建立原则
油气渗流力学的研究方法
简化物理 模型
建立数 学模型
求解数 学方程
指导现场 生产
n 油气藏类型及其外部形态的简化 n 油气藏内部储集空间结构的简化 n 多孔介质及连续介质场 n 渗流过程概念及渗流形态的简化
运动方程
v K (p p p )
x y z
状态方程
0[1c(pp0)] 0[1c(PP0)]
连续性方程
( xvx)( yvy)( zvz)( t )
?
?
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第二节 渗流数学模型的微分方程
四、典型渗流数学模型的微分方程
2、单相微可压缩流体在均质、弹性地层中线性、不稳定渗流的微分方程
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第一节 渗流数学模型的建立原则 三、建立渗流数学模型的步骤
4、构造数学模型的综合微分方程组
（1）连续性方程【 f(x,y,z,t) 】体现了建模目的（求解连续 介质的属性分布），可作为基础方程
（2）将其它方程代入到连续性方程
=> 得到描述渗流过程全部物理现象的统一微分方程
三、质量守恒（连续性）方程
渗流模型在环境修复工程中的应用
渗流模型在环境修复工程中的应用一、渗流模型概述渗流模型是环境工程领域中用于模拟液体在多孔介质中运动的数学模型。
这种模型对于理解和预测地下水、污染物、营养物质等在土壤、岩石和沉积物中的迁移具有重要意义。
渗流模型的应用，不仅有助于环境修复工程的设计和实施，还能够对环境风险进行评估和管理。
1.1 渗流模型的基本概念渗流模型基于流体力学和扩散原理，通过数学方程描述流体在多孔介质中的运动。
这些模型通常包括连续性方程、运动方程和扩散方程，它们共同描述了流体的流动和物质的传输。
1.2 渗流模型的应用领域渗流模型在多个领域中都有广泛的应用，包括但不限于：- 地下水资源的评估和管理- 污染物的迁移和扩散模拟- 土壤和地下水的修复工程- 农田排水和灌溉系统的优化- 环境风险评估和污染源控制二、渗流模型的分类与特点渗流模型可以根据其复杂程度和应用场景被分为不同的类型。
每种模型都有其特定的适用范围和特点。
2.1 确定性与随机性模型确定性模型基于已知的物理定律和边界条件，提供确定性的预测结果。
而随机性模型则考虑了系统中的不确定性因素，如介质的非均质性，提供概率性的预测。
2.2 宏观与微观模型宏观模型关注整个系统的大尺度行为，而微观模型则深入到介质的微观结构，研究流体在微观层面的运动。
2.3 一维、二维与三维模型根据研究对象的空间维度，渗流模型可以分为一维、二维和三维模型。
一维模型适用于垂直流动问题，二维模型适用于平面流动问题，而三维模型则能够模拟复杂的空间流动。
2.4 稳态与非稳态模型稳态模型假设系统在长时间尺度上达到平衡状态，而非稳态模型则考虑了随时间变化的过程。
三、渗流模型在环境修复工程中的应用渗流模型在环境修复工程中的应用是多方面的，它们为工程师提供了强有力的工具来设计和评估修复策略。
3.1 污染物迁移模拟渗流模型可以模拟污染物在土壤和地下水中的迁移过程，帮助工程师确定污染物的分布和扩散范围，为修复工程提供基础数据。
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PV nRT
P—气体压力 V—压力P时的气体总体积 T—绝对温度 R—气体常数 n—气体摩尔数
真实气体的状态方程
PV Z nRT
z—压缩因子，z=f(P，T)，在给定温度压力下实际气体占 有的体积与同条件下理想气体占有体积之比。
第三节 状态方程
M
2
d
(3)
将VL、dVL代入(1)式得：
1 d
CL dP
(4)
第三节 状态方程
大气压力(或 初始压力)
P0下流体 的密度
分离变量，CL取常数，并设P=P0时，ρ=ρ0积分(4)式：
eCL (PP0 ) 0
(5)
将(5)式按麦克劳林级数展开，取其前两项已具有足够的精
确性：
0[1 CL (P P0 )] (6)
C流在L中1值0-，是4(1油一/M气个P层变a)温左量度右，大。它致随不温变度，和可压把力C不L同值略看有成改常变数，;在数地量下级渗
渗流过程若是弹性液体，应将液体状态方程列入描述渗流 力学过程的数学模型。
第三节 状态方程
二、气体状态方程
第二章 油气渗流的数学模型
建立数学模型的原则 运动方程 状态方程 质量守恒方程 数学模型的初边值条件
第一节 建立数学模型的原则
建立数学模型的基础 油气渗流数学模型的一般结构 建立数学模型的步骤
第一节 建立数学模型的原则
二、油气渗流数学模型的一般结构
(l)运动方程（所有数学模型必须包括的组成部分）。 (2)状态方程（在研究弹性可压缩的多孔介质或流体时需要包括）。 (3)质量守恒方程（又称连续性方程，它可以将描述渗流过程各个
单相渗流的连续性方程 两相渗流的连续性方程
第四节 质量守恒方程
第一节 建立数学模型的原则
三、建立数学模型的步骤 1.确定建立模型的目的和要求
解决的问题:①压力P的分布②速度v的分布（包括求流 量） ③ 饱和度S的分布④ 分界面移动规律。
自变量：空间和时间，(x,y,z)或(r,θ,z)和时间t 因变量：压力P和速度v；两相或多相流S分布 其它参数：地层物性参数(如渗透率K、孔隙度ф、弹
液体的状态方程 气体的状态方程 岩石的状态方程
第三节 状态方程
一、液体的状态方程
液体具有压缩性，随着压力降低，体 积膨胀，其特性可用压缩系数来描述：
CL
1 VL
dVL dP
(1)
根据质量守恒原理，在压缩或膨胀时
液体质量M不变,即
M VL (2)
微分上式得：
dVL
v K gradP
或写成：
K P
vx
x
vy
K
P y
vz
K
P z
第三节 状态方程
渗流是一个运动过程，而且也是一个状态不断变化的过程， 由于和渗流有关的物质（岩石、液体、气体）都有弹性。因 此，随着状态变化，物质的力学性质会发生变化。所以，描 述由于弹性而引起力学性质随状态而变化的方程式称为“状 态方程”。
5.根据量纲分析原则检查所建立的数学模型量纲是否一致 6.确定数学模型的适定性:解的存在、唯一、稳定性问题 7.给出问题的边界条件和初始条件
第二节 运动方微分形式为： v K dP
dL
将上式从均质地层的稳定渗流 推广到非均质地层的不稳定渗流
规律，是否物理化学渗流或非牛顿液体渗流。
第一节 建立数学模型的原则
3.确定未知数和其它物理量之间的关系
运动方程：速度和压力梯度的关系
vi f
状态方程：物理参数和压力的关系
A,
B,
dP dx
Ai=fi(P，T);Bi=fi(P，T) 连续性方程：渗流速度v和坐标及时间的关系或饱和度与
坐标和时间的关系：
v= f(x，y，z，t，A，B)(对单相流体)
S= f(x，y，z，t，A，B)(对两相流体)
确定伴随渗流过程发生的其它物理化学作用的函数关系 （如能量转换方程、扩散方程等等）
第一节 建立数学模型的原则
4.写出数学模型所需的综合微分方程(组)
用连续性方程做为综合方程，把其它方程都代入连续性方程中， 最后得到描述渗流过程全部物理现象的统一微分方程或微分方程 组。
侧面的诸类方程综合联系起来，是数学模型必要的部分）。 以上三类方程是油气渗流数学模型的基本组成部分。 (4)能量守恒方程（只有研究非等温渗流问题时才用到）。 (5)其它附加的特性方程（特殊的渗流问题中伴随发生的物理或化
学现象附加的方程。如物理化学渗流中的扩散方程等）。 (6)有关的边界条件和初始条件（是渗流数学模型必要的内容）。
三、岩石的状态方程
岩石的压缩性对渗流的影响：①压力变化会引起孔隙大小
发生变化，故孔隙度是随压力而变化的状态函数； ②由于
孔隙大小变化引起渗透率的变化。
岩石的压缩性用压缩系数描述： C f
△φ —当压力变化ΔP时的孔隙度的改变量
V f Vf
1 d
P P dP
分离变量，Cf取常数，并设P=P0时，φ
=
φ
积分
0
0 C f (P P0 )
不同岩石的压缩系数是不同的，一般在1.5×10-4~3×10-41/MPa之间。 在弹性变形外，会产生塑性变形，此时应考虑塑性变形状态方程
第四节 质量守恒方程
渗流过程必须遵循质量守恒定律(又称连续性原理）。 即：在地层中任取一微小单元体,在单元体内若没有源和汇 存在,那么包含在单元体封闭表面之内的液体质量变化应等 于同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差。用质量 守恒原理建立起来的方程叫连续性方程。在稳定渗流时,单 元体内质量应为常数。
性压缩系数C、导压系数æ等)和流体的物理参数（如 粘度μ、密度ρ、体积系数B等)
第一节 建立数学模型的原则
2.研究各物理量的条件和状况
过程状况：是等温过程还是非等温过程； 系统状况：是单组分系统还是多组分系统，甚至是凝
析系统； 相态状况：是单相还是多相甚至是混相； 流态状况：是服从线性渗流规律还是服从非线性渗流