逆变换与逆矩阵 (6)

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2016_2017学年高中数学第三讲逆变换与逆矩阵3.2二阶行列式与逆矩阵课件

-3 10
∴det(AB)= -5 12 = (−5) × 10 − (−3) × 12 = −14. ∴
-3 10
(AB)-1=
-
5 7
-
3 14
6
7 5
.
14
答案:
-
5 7
-
3 14
6
7 5
14
1234 5
5.判断所给矩阵是否有逆矩阵,若有,则求出逆矩阵.
31
m2
(1)A=
; (2)B=
.
0 -1
��
≠0
时,A
存在逆矩阵
A-1=
det�� -��
det��
-��
det�� .
�� det��
题型一题型二题型三题型四
题型一
行列式的计算
【例 1】
计算下列行列式:(1)
3 -1
2 5
;
(2) 7 -9 . 84
分析:根据行列式的定义,把对角线上的数相乘再相减即可.
解:(1)
32 -1 5
= 3 × 5 − (−1) × 2 = 17.
(2) 7 -9 = 7 × 4 − (−9) × 8 = 100. 84
题型一题型二题型三题型四
反思二阶行列式 ��
��
的展开式为ad-bc,它是位于两条对角线
上的元素的乘积之差.若行列式的两行或两列元素相同或对应成比
-�� -2��
-2
��-2�� .
�� -2��

《矩阵与变换》逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量

《矩阵与变换》逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量【考情分析】考试要求 1. 二阶逆矩阵，B 级要求；2. 二阶矩阵的特征值与特征向量，B 级要求；3. 二阶矩阵的简单应用，B 级要求．理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，会利用矩阵求解方程组．掌握矩阵特征值与特征向量的定义，会求二阶矩阵的特征值与特征向量，利用矩阵A 的特征值、特征向量给出A n α的简单表示，并能用它来解决问题．理解矩阵的简单应用．【知识清单】 1. 逆变换与逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B .(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (det A ＝ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc－b ad －bc－c ad －bc a ad －bc . (3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n 的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，其中A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc－b ad －bc－c ad －bc a ad －bc . 2．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量．(2)从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量. (3)特征多项式与特征方程设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的一个特征值，它的一个特征向量为X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，故⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0－cx ＋(λ－d )y ＝0⇔⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤λ－a －b －c λ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00(*) 则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0.记f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d 为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征多项式；方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0，即f (λ)＝0称为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征方程． (4)特征值与特征向量的计算如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ是特征方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0的一个根．解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝y 1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 2，记X 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，X 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2.则AX 1＝λ1X 1、AX 2＝λ2X 2，因此λ1、λ2是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征值，X 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，X 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2为矩阵A 的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量．【课前预习】1. 求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12的特征多项式．解析：f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－2＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2－3λ＋4. 2. （选修4-2P 65习题2.4第7题）已知可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 273的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b －2－7a ，求a 、b 的值．解析：由题意，知AA －1＝E ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 273⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b －2－7a＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab －1407b －213a －14＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎩⎪⎨⎪⎧ab －14＝1，7b －21＝0，3a －14＝1，解得a ＝5，b ＝3. 3.（选修4-2P 54例4改编）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，求(AB )－1.解析：因为 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0，设(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，所以 (AB )(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. 所以 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－c －d 2a 2b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. 所以 ⎩⎪⎨⎪⎧－c ＝1，－d ＝0，2a ＝0，2b ＝1，故a ＝0，b ＝12，c ＝－1，d ＝0.即(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 012－10. 4. (选修4-2P 73习题第1题改编)求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16－2 －6 的特征值．解析：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－62λ＋6＝(λ＋2)(λ＋3)，令f (λ)＝0，得M 的特征值为λ1＝－2，λ2＝－3.5. 已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.，求矩阵A .解析：由特征值、特征向量定义可知，A α1＝λ1α1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1.同理可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝12，3c ＋2d ＝8，解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1.因此矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1. 【典型例题】目标1 求逆矩阵与逆变换例1求矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 35 6的逆矩阵．解析：（法一）设矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 35 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 5x ＋6z 5y ＋6w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，2y ＋3w ＝0，5x ＋6z ＝0，5y ＋6w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，z ＝53，w ＝－23.故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 153 －23. （法二）注意到2×6－3×5＝－3≠0，故A 存在逆矩阵A －1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6－3 －3－3－5－3 2－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 153 －23. 【借题发挥】变式1 (2016·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤102－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －122，求矩阵AB .解 B ＝(B －1)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 12202 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 14012. ∴AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120－2·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 14012＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1540 －1. 解：设a b B c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1110120102a b B B c d ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1110220122a c b d c d ⎡⎤--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故1121022021a c b d c d ⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪=⎩，解得114012a b c d ⎧⎪⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩，所以114102B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 因此，151121440210102AB ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 变式2 已知关于直线y ＝2x 的反射变换对应的矩阵为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 4535，切变变换对应的矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－2 1，试求出(AB )－1. 解析：反射变换和切变变换对应的矩阵都是可逆的，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 45 35，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1，(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1021⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 45 35＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45－25115. 【规律方法】求一个矩阵A 的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法．法一：待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义AB ＝BA ＝E ，应用矩阵相等的定义列方程组求解，若方程组有解，即可求出其逆矩阵，若方程组无解，则说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法．法二：利用逆矩阵公式，对矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ： ①若ad －bc ＝0，则A 的逆矩阵不存在．②若ad －bc ≠0，则A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc－b ad －bc－c ad －bc a ad －bc . 【同步拓展】(2017·常州期末)已知矩阵，列向量，若AX=B ，直接写出A ﹣1，并求出X ．解析：解法一∵矩阵，∴A ﹣1=，∵AX=B ，∴X=A ﹣1B==．解法二：∵矩阵，∴A ﹣1=，∵AX=B ， ∴=，∴，解得，∴X=．目标2 特征值与特征向量的计算与应用例2 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a21，其中a ∈R ，若点P (1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4，0)．(1) 求实数a 的值；(2) 求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解析：(1) 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0，得2－2a ＝－4⇒a ＝3. (2) 由(1)知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0－2x ＋（λ－1）y ＝0，x ＋y ＝0，∴矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1；当λ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0－2x ＋（λ－1）y ＝02x －3y ＝0.∴矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.【借题发挥】变式1 已知二阶矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3，属于特征值3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A .解析：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －3b ＝－1，c －3d ＝3，a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝3，d ＝0.∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 0. 变式2 （2015·江苏高考）已知R y x ∈,，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0的属于特征值2-的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值.解析：由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 ，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－2，y ＝2，，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，，所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 2 0．从而矩阵A 的特征多项式()()()21f λλλ=+-，所以矩阵A 的另一个特征值为1．【规律方法】1．求矩阵A 的特征值与特征向量的一般思路为：先确定其特征多项式f (λ)，再由f (λ)＝0求出该矩阵的特征值，然后把特征值代入矩阵A 所确定的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0，即可求出特征向量．2．根据矩阵A 的特征值与特征向量求矩阵A 的一般思路：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，根据Aα＝λα构建a ，b ，c ，d 的方程求解．【同步拓展】已知二阶矩阵M 有特征值λ＝3及对应的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(9,15)，求矩阵M .解析：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤915，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝9，－c ＋2d ＝15.联立以上两方程组解得a ＝－1，b ＝4，c ＝－3，d ＝6，故M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 4－3 6. 目标3 根据A ，α计算A n α(n ∈N *)例3 给定的矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32. (1)求A 的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2； (2)求A 4B .解析： (1)设A 的一个特征值为λ，由题意知：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝0，即(λ－2)(λ－3)＝0，∴λ1＝2，λ2＝3. 当λ1＝2时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值2的特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ2＝3时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值3的特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(2)由于B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝α1＋α2，故A 4B ＝A 4(α1＋α2)＝24α1＋34α2＝16α1＋81α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3216＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤8181＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11397. 【规律方法】已知矩阵A 和向量α，求A n α(n ∈N *)，其步骤为：(1)求出矩阵A 的特征值λ1，λ2和对应的特征向量α1，α2. (2)把α用特征向量的组合来表示：α＝s α1＋t α2.(3)应用A n α＝sλn 1α1＋tλn2α2表示A n α.【同步拓展】已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 5β. 解析：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3. 令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.令β＝m α1＋n α2，则m ＝4，n ＝－3.M 5β＝M 5(4α1－3α2)＝4(M 5α1)－3(M 5α2)＝4(λ51α1)－3(λ52α2)＝4×35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×(－1)5⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤975969.【归纳分析】1.不是每个二阶矩阵都可逆，只有当⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 中ad －bc ≠0时，才可逆，如当A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0，因为1×0－0×0＝0，找不到二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E 成立，故A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0不可逆． 2.逆矩阵的性质：(1)若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是惟一的．(2)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1.(3)已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .3.如果向量α是属于λ的特征向量，将它乘非零实数t 后所得的新向量t α与向量α共线，故t α也是属于λ的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．4. 由于特征向量的存在，求矩阵幂的作用结果，可以转化成求数的幂的运算结果. 【课后作业】 1．已知矩阵1012,0206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,求矩阵B A 1-. 解析：设矩阵A 的逆矩阵为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1,即⎣⎢⎡⎦⎥⎤-a -b 2c 2d =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1, 故a =-1,b =0,c =0,d =21∴矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 12. 所以B A1-=⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 -20 3 . 2. 求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 41－1的特征值及对应的特征向量．解析：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－4－1λ＋1＝λ2－λ－6＝(λ－3)(λ＋2)，令f(λ)＝0，得到M 的特征值λ1＝3，λ2＝－2.当λ1＝3时，矩阵M 的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤41；当λ2＝－2时，矩阵M 的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.3. 已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12 －12，求矩阵A 的特征值．解析：因为A －1A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1434 12 －12，所以A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.4. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10012，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12001，试求曲线y ＝cos x 在矩阵M－1N 变换下的函数解析式．解析：由M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，得M －1N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12002，即在矩阵M －1N 的变换下有如下过程，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x 2y ，则12y ′＝cos2x ′，即曲线y ＝cos x 在矩阵M －1N 的变换下的解析式为y ＝2cos2x .5. 已知二阶矩阵A 的属于特征值－2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3，属于特征值2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A .解析：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，即⎩⎪⎨⎪⎧a －3b ＝－2，c －3d ＝6，a ＋b ＝2，c ＋d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，c ＝3，d ＝－1，∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 13 －1. 6. 已知α是矩阵M 的属于特征值λ＝3的一个特征向量，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a m 2b ，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 5，且a ＋b ＋m ＝3，求a ，b ，m 的值．解析：因为α是矩阵M 的属于特征值λ＝3的一个特征向量，所以Mα＝λα，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a m 2 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 5＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 5，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋5m ＝－3，－2＋5b ＝15，由a ＋b ＋m ＝3，解得a ＝16，b ＝175，m ＝－1730.7. (2016·泰州期末)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 n m 1的一个特征值为λ＝2，它对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.(1) 求m 与n 的值； (2) 求A －1.解析：(1) 由题意得：Aα＝λα⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 n m 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎩⎪⎨⎪⎧2＋2n ＝2，m ＋2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝0，m ＝2.(2) 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 02 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝E ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，2b ＝0，2a ＋c ＝0，2b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝－1，d ＝1，所以 A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120－11. 8. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200－1有特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，相应的特征值为λ1，λ2.(1) 求矩阵M 的逆矩阵M －1及λ1，λ2；(2) 对任意向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，求M 100α.解析：(1) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00－1变换的意义知 M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 0－1，又Me 1＝λ1e 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝λ1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，故λ1＝2，同理Me 2＝λ2e 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝λ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，故λ2＝－1. (2) 因为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝x e 1＋y e 2，所以M 100α＝M 100(x e 1＋y ·e 2)＝x M 100e 1＋y M 100e 2＝x λ1001e 1＋y λ2100e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2100x y.9. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 4. (1)求矩阵M 的逆矩阵；(2)求矩阵M 的特征值及特征向量．解析：(1)因为2×4－1×3＝5≠0，所以M 存在逆矩阵M －1，所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 45 －15－35 25. (2)矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－3 λ－4＝(λ－2)(λ－4)－3＝λ2－6λ＋5，令f (λ)＝0，得矩阵M 的特征值为1或5，当λ＝1时，由二元一次方程⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，－3x －3y ＝0，得x ＋y ＝0，令x＝1，则y ＝－1，所以特征值λ＝1对应的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.当λ＝5时，由二元一次方程⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，－3x ＋y ＝0，得3x －y ＝0，令x ＝1，则y ＝3，所以特征值λ＝5对应的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13.10.二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y ＝4，求l 的方程．解析：(1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，从而M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 132－12. (2)设直线l 上任意一点(x ，y )，在变换M 作用下对应直线m 上任意一点(x ′，y ′)，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ，且m ：2x ′－y ′＝4，所以2(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即直线l 的方程为x ＋4＝0.11. 已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换成(－2，4). 求：(1) 矩阵M;(2) 矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系；(3) 直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程．解析：(1) 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－24，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4. 联立以上两方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244. (2) 由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M 的另一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0. (3) 设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程后并化简，得x ′－y ′＋2＝0，即x －y ＋2＝0. 【提优训练】1．利用逆矩阵的知识解方程MX ＝N ，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5241，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－8. 解析：设M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x yz w，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5241⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5x ＋2z 5y ＋2w 4x ＋z 4y ＋w＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2z ＝1，5y ＋2w ＝0，4x ＋z ＝0，4y ＋w ＝1，解之得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝－13，y ＝23，z ＝43，w ＝－53.所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－132343－53.。

第四讲矩阵的运算与逆矩阵

a11b12 a12b22 a13b32 a21b12 a22b22 a23b32 2×2
（2）乘法的定义与运算规律
定义4 设 A aij 是一个 m×s 矩阵,B bij 是一个s×n 矩阵,
那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个m×n 矩阵 C cij ,
s
c 其中 ij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aik bkj i 1,2,, m; j 1,2,, n k 1
a1, a2 ,
bn n1
b1a1 b1a2 b1an
, an
1n
b2a1
bna1
b2a2
bna2
b2an
bnan
nn
（3）矩阵运算的性质（与实数运算的对比）
通过以上对矩阵运算的了解，尤其是对矩阵乘法运算的
分析，我们可以对比一下矩阵的代数运算与我们所熟悉
的实数的代数运算，并找出它们之间的本质区别：
3. 对于两个 n 阶矩阵，一般
ABk Ak B k . AB2 ABAB A2 B2
如
A
2 3
46,
B
2 1
42,
AB 00
00,
AB2
0 0
0 0
;
A2 128
16 24
,
B2
8 4
016,
A2 B 2
0 0
128 192
.
线性代数第二章矩阵及其运算
11
第四讲矩阵的运算与逆矩阵
注4：方阵A的多项式定义：已知f ( x) a0 a1 x a2 x2 an xn 则对应A的多项式为：f ( A) a0E a1 A a2 A2 an An;请看下例：

逆矩阵的几种求法与解析很全很经典

-1
-1
0 ù A22 ú û
两边求逆得
é I - A11-1 A12 ù é A11 ê ú ê I ë0 û ë0
A12 ù é A11-1 =ê A22 ú û ë 0 0 ù ú A22 -1 û 0 ù ú A22 -1 û
所以
é A11 ê0 ë
A12 ù é I - A11-1 A12 ù é A11-1 =ê úê A22 ú I û ë0 ûë 0 é A11 -1 =ê ë 0
其中A ij 是 A 中元素a ij 的代数余子式.
A21 A22 ... A2 n
... An1 ù ú ... An 2 ú ... ... ú ú ... Ann û
é A11 ê A 矩阵 ê 12 ê ... ê ë A1n
证明
A21 A22 ... A2 n
... An1 ù ú ... An 2 ú 1 称为矩阵A的伴随矩阵，记作A 3 ，于是有A -1 = A3. A ... ... ú ú ... Ann û
6．利用线性方程组求逆矩阵
若n阶矩阵A可逆，则A A -1 =E，于是A -1 的第i列是线性方程组AX=E的解， i=1,2,…,n,E是第i个分量是I的单位向量.因此，我们可以去解线性方程组AX=B，其中B=（b 1 ,b 2 ,…,b n ） T , 然后把所求的解的公式中的b 1 ,b 2 ,…,b n 分别用 E 1 =（1,0,0,…,0）， E 2 =（0,1,0,…,0）， ……，
0 ù é 1 0 ... 0 ù ú 0 ú ê 0 1 ... 0 ú ú =I =ê ... ú ê... ... 1 ...ú ú ê ú A û ë 0 0 ... 1 û
同理可证BA=I. 由此可知，若A可逆，则A -1 =

人教版高中数学选修 4-2矩阵变换第三章第一节逆变换与逆矩阵

导入新课除了我们已学过的一些矩阵的性质之外还有其他性质么?知识回顾矩阵乘法的运算性质结合律(ab)c=a(bc)交换律ab=ba消去律设a≠0,若ab=a,则b=c;若ba=ca,则b=c.类比实数的乘法运算中有一条重要的运算性质：.aa a a ,a 1=1•=•10则如果 ≠把恒等变换I 和单位矩阵E 作为数1的类比对象知识与能力掌握逆矩阵的概念和简单性质过程与方法●通过线性变换理解逆矩阵的性质情感态度与价值观●培养学生提出问题,解决问题的能力重点：●逆矩阵的概念与简单性质.●逆矩阵的概念;●用线性变换的角度理解逆矩阵的简单性质.难点：探究1对于一个线性变换ρ,是否存在一个线性变换σ,使得σ·ρ=ρ·σ= I ?对于一个二阶矩阵A,是否存在一个二阶矩阵B,使得AB=BA=E?Oyx30°R －30°R 30°αα′例1 旋转变换R 30°：.y x y ,y x x 23+21=′2123=′－R －30°：.y x y ,y x x 23+21=′21+23=′－对于直角坐标系xOy 内的任意一个向量α由图可得：α′ αα有：（R 30°· R －30°）= R 30°（R －30°）= α α α同理可得：R －30°· R 30°=I∴R 30°· R －30°= I23212123－23212123－对于二阶矩阵,存在二阶矩阵,使得23212123－23212123－23212123－23212123－==E 2思考一般的旋转变换Rψ,也有相似的结论么?探究2对于切变变换、伸缩变换、反射变换等线性变换,能否找到一个线性变换,使得它们的复合变换是恒等变换I?同学们:我会了哦!你们会了么?类比书本看看答对了么?定义设ρ是一个线性变换,若存在线性变换σ,使得σρ=ρσ= I,则称变换ρ可逆,并称σ是ρ的逆矩阵.用矩阵的语言表述:设A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B,使得AB=BA=E2,则称矩阵A可逆,或A是可逆矩阵,并称B是A的逆矩阵.设A是一个二阶可逆矩阵,对于对应的线性变换为ρ,由矩阵和变换的对应关系,得到A的逆矩阵就是ρ逆变换对应的矩阵.思考是否每一个二阶矩阵都可逆?若能,请说明理由;若不能,请举例说明.答案:不是.如A =0012探究31.若一个线性变换是可逆的,则它的逆变换是唯一的么?2.若一个二阶矩阵是可逆的,则它的逆矩阵是唯一的么?以例1中的两个旋转变换为例反证法证明:假设不唯一,则存在变换R 30°的任意一个逆变换σ,使得σ R 30°= R 30°σ= I .∴对平面上任意一个向量有,α()()()()()().R I R R R R R R R I α=α=ασ•=ασ=ασ=ασ=ασ°30°30°30°30°30°30°30°30 －－－－－）（.=σ°30假设不成立－,R ∴∴逆变换是唯一的.性质1设A是一个二阶矩阵,若A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.证明：设B,B2都是A的逆矩阵,则1B1A=AB1=E2,B2A=AB2=E2.∴B=E2B1=(B2A)B1=B2(AB1）1=B2E2=B2.即：B=B2.1探究4两个可逆变换的复合变换仍可逆么?yy ,x x 2=′=′伸缩变换ρ:yx y ,y x x 23+21=′2123=′－旋转变换R 30°:它们的逆矩阵分别为:y y ,x x 21=′=′：－ρ1yx y ,y x x 23+21=′21+23=′－R －30°:任意一个平面向量: = .αy x 先经ρ·R 30°的复合变换,再经R －30°·ρ－1,最终仍得到α如图:ρOyxαR °30－R °30ρ1－()()().RR R R .I R R I R R 1°301°3011°30°30°301°30°30°301ρ=ρ=ρ•,ρ•=ρ•ρ•=ρ••ρ－－－－－－－－－且可逆即：变换）（类似：；）（∴性质2设A , B是二阶矩阵,若A,B都可逆,则AB 也可逆,且(AB)－1=B－1A－1.证明：∵(AB)(B－1A－1)=A(BB－1)A－1=AE2A－1=AA－1=E2,(B－1A－1) (AB)= B－1( AA－1)B= B－1E2B= B－1B=E2,即:(AB)(B－1A－1)=(B－1A－1)(AB)=E2∴AB可逆,且(AB)－1 = B－1A－1.课堂小结1. A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B,使,则称矩阵A可逆.得AB=BA=E22.A是一个二阶矩阵,若A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.3.A, B是二阶矩阵,若A,B都可逆,则AB也可逆,且(AB)－1=B－1A－1.教材习题答案：）伸缩变换（ρ11.：其逆变换为可逆σ,kyy ,x x =′=′yky ,x x 1=′=′：轴的反射变换）关于（ρ2x 可逆，yy ,x x －=′=′.y y ,x x －=′=′：其逆变换为ρ1201－1201）（12.其逆矩阵为可逆,10021021）（2其逆矩阵为可逆,1000）（3不可逆θθθθcos sin sin cos －θθθθcos sin sin cos －）（4其逆矩阵为可逆,()()..I I .I ,I ,.逆变换是唯一的则矩阵都是它的逆，是可逆的，设线性变换∴∴σ=σ•=σ•ρ•σ=σ•ρ•σ=•σ=σ=ρ•σ=σ•ρ=ρ•σ=σ•ρσσρ322212*********().A AA .E A A A A ,E A A A A ,A .=====41111111－－－－－－－可逆且即：则可逆设二阶矩阵∴()()()()()().A A A .E A A EA A A A A A A A ,E A A A AE A AAA A A .E A A A A ,A .211221111221111121211===========5－－－－－－－－－－－－－－也可逆且则可逆设二阶矩阵∴∴∴。

高等数学逆矩阵

2 3 −1 不可逆. 由于 | B | = − 1 − 3 不可逆 5 = 0, 故B不可逆 1 5 − 11 a b 例4: 求的逆矩阵( 的逆矩阵 ad – bc ≠ 0 ). c d 用伴随矩阵的方法求A逆阵逆阵. 解: 用伴随矩阵的方法求逆阵 a b , | A | = ad – bc 0. 则A可逆且可逆且 ≠ 设 A= c d A11 = d, A21 = –b, A∗ = A11 A21 = d − b . A A − c a A12 = –c, A22 = a . 12 22 1 ∗ 1 d − b −1 A = 则 A = − c . a | A| ad − bc
§2.3 逆矩阵
一、逆矩阵的概念和性质
在数的运算中, 在数的运算中当数 a ≠ 0 时, 有 aa-1 = a-1a = 1. 1 −1 = 的倒数, 或称a的逆的逆(元为a 的倒数或称的逆元). 其中 a a 在矩阵的运算中, 单位阵E相当于数的乘法运算中在矩阵的运算中单位阵相当于数的乘法运算中那么, 对于矩阵A, 如果存在一个矩阵A 的1, 那么对于矩阵如果存在一个矩阵 -1, 使得 AA-1 = A-1A = E, 则矩阵A称为可逆矩阵称为可逆矩阵, 逆阵. 则矩阵称为可逆矩阵称A-1为A逆阵逆阵定义: 对于n 阶方阵A, 如果存在一个n 阶方阵B, 定义对于阶方阵如果存在一个阶方阵 AB = BA = E 使得则称矩阵A是可逆的并称矩阵B为的逆矩阵的逆是可逆的, 的逆矩阵. 则称矩阵是可逆的并称矩阵为A的逆矩阵 A的逆矩阵记作A 矩阵记作 -1.
下列矩阵A,B是否可逆若可逆求其逆矩阵是否可逆? 例3: 下列矩阵是否可逆若可逆, 求其逆矩阵. 3 − 1 1 2 3 2 A = 2 1 2 , B = − 1 − 3 5 . 1 3 3 1 5 − 11 解: 1 2 3 1 2 3 −3 −4 | A |= 2 1 2 = 0 − 3 − 4 = 1 0 = 4 ≠ 0 1 3 3 0 1 0 所以, 可逆可逆. 所以 A可逆由于 A11 = 1 2 = −3, A12 = − 2 2 = −4, A13 = 2 1 = 5, 1 3 1 3 3 3 同理可得 A21 = 3, A22 = 0, A23 = −1, A31 = 1, A32 = 4, A33 = −3. 所以, 所以 A21 A31 A 1 1− 3 3 1 ∗ 1 11 A −1 = A = A12 A22 A32 = − 4 0 4 . 4 5 − 1 − 3 | A| | A|A 13 A23 A33

第六次课逆矩阵

A = − 1 ≠ 0 ⇒ A 可逆 0 1 1 − 2
-4-
A
−1
例2
求A的逆矩阵的逆矩阵
1 2 3 A = 2 2 1 3 4 3
1 2 3 ∵ A = 2 2 1 =2≠0 3 4 3
∴ A−1存在.
2 1 A11 = = 2, 4 3
2 1 A12 = − = − 3, 3 3
-2-
定理2.3.1 定理2.3.1 证 (⇒ ) ⇒
A 可逆 ⇔ A ≠ 0
设 AB = E , 由行列式乘法定理
A B = E =1⇒ A ≠ 0
(⇐ ) ⇐
1 ∗ 1 ∗ 设 A ≠ 0 ，由 A( A ) = ( A ) A = E A A
得
A
−1
1 ∗ = A A
称为奇异矩阵否则称为非奇异矩阵当 A = 0 时,A称为奇异矩阵否则称为非奇异矩阵称为奇异矩阵,否则称为非奇异矩阵. 该定理也给出了求逆矩阵的方法之一。该定理也给出了求逆矩阵的方法之一。
-3-
例1
a A= c
b d
A可逆 ⇔ A = ad − bc ≠ 0 可逆
A
−1
1 = A
A11 A12
A21 1 d = A22 ad − bc − c
1 0
− 1 = 2
− b a
如
2 A= 1
0 = − −1
(1)待定系数法;
A∗ (2)利用公式 A−1 = ; A (3)初等变换法 (下一章介绍 ).
-21-
思考题：思考题：
若 A可逆 , 那么矩阵方程 AX = B是否有唯一解 X = A −1 B ? 矩阵方程 YA = B 是否有唯一解 Y = BA −1 ?

逆矩阵计算方法范文

逆矩阵计算方法范文逆矩阵是线性代数中的重要概念之一，它在很多领域如工程、物理、计算机科学等都有广泛的应用。

一个矩阵的逆矩阵是指能与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵，它可以看作是原矩阵的倒数。

在计算逆矩阵时，我们需要确定矩阵是否可逆。

矩阵可逆的充要条件是它的行列式不为零。

只有当矩阵是方阵且行列式不为零时，才存在逆矩阵。

计算逆矩阵的方法有多种，下面介绍一些常用的计算逆矩阵的方法。

1.初等行变换法：初等行变换法是一种直接计算逆矩阵的方法。

我们可以将原矩阵与单位矩阵拼接在一起，通过一系列的初等行变换将原矩阵变为单位矩阵，同时对单位矩阵进行相同的初等行变换，最终得到的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。

步骤如下：a)将原矩阵A与n阶单位矩阵I拼接起来，得到增广矩阵[A，I]。

b)通过一系列的初等行变换，将增广矩阵[A，I]转化成[A'，B']，其中A'为单位矩阵。

c)则B'即为原矩阵A的逆矩阵。

2.矩阵的伴随法：矩阵的伴随法是一种基于代数余子式的方法。

通过计算原矩阵的伴随矩阵，再除以原矩阵的行列式，就得到了原矩阵的逆矩阵。

步骤如下：a) 计算出原矩阵A的伴随矩阵Adj(A)，其中每个元素的值为原矩阵A对应位置的代数余子式。

b) 计算原矩阵A的行列式det(A)。

c) 则原矩阵A的逆矩阵为A^{-1} = (1/det(A)) * Adj(A)。

3.克拉默法则：克拉默法则是一种解线性方程组的方法，利用克拉默法则也可以计算矩阵的逆矩阵。

克拉默法则是通过比例关系计算未知数的值的方法。

步骤如下：a) 对于一个n阶矩阵A，计算出它的行列式det(A)。

b)对于每个未知数x_i，构造一个新的矩阵B_i，将矩阵A的第i列替换成方程的右侧值。

c) 计算B_i的行列式det(B_i)。

d) 则原矩阵A的第i个未知数x_i的值为x_i = det(B_i) /det(A)。

e)通过计算所有x_i的值，得到原矩阵A的逆矩阵。

苏教版高中数学选修4-2：逆矩阵的概念_课件1

阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由．
课堂互动
1 (1)A＝0
120；(2)B＝10
－12；
课时作
探
业
究
1 1
(3)C＝21 21；(4)D＝01 －01.
2 2
菜单
课前
【思路探究】矩阵→对应的几何变换→
当堂
自
双
主导
判断是否存在逆变换→若存在写出逆变换→逆矩阵
基达
学
标
【自主解答】 (1)矩阵 A 对应的是伸压变换，它将平面
内点的横坐标保持不变，纵坐标沿 y 轴方向压缩为原来的12，
课
堂因此，它存在逆变换：将平面内的点的横坐标保持不变，纵课
互
时
动坐标沿 y 轴方向伸长为原来的 2 倍，所对应的变换矩阵记为
堂
课
互
(1)注意到 1×3－2×1＝1≠0，故 A 存在逆矩阵 A－1，且时
动
作
探究
3 A－1＝－121
－111＝－32 1
－11.
业
菜单
课前
当
(2)注意到 2×5－4×3＝－2≠0，故 B 存在逆矩阵 B－1，堂
自
双
主且
导
基达
学
5 －3
标
课
B－1＝－－24 －2
的，B 称为 A 的逆矩阵，记作：A－1＝B.
菜单
课
当
前
3．逆矩阵的性质
自
堂双
主导
基
(1)若二阶矩阵 A 存在逆矩阵 B，则逆矩阵是惟一的．达
学
标
(2)若二阶矩阵 A，B 均存在逆矩阵，则 AB 也存在逆矩

逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)

E-A) 1= E + A + 2 K1 + … +A(E- A )(E+A + A 2+…+ AK 1)= E-A K(E-A) (E+A+A 2 + …+A K 1)=E，逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容 ,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷 .逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容 , 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一 .本文将给出几种求逆矩阵的方法 .1. 利用定义求逆矩阵定义：设A、B都是n阶方阵,如果存在n阶方阵B使得AB= BA = E,则称A为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证：如果方阵A满足A k= 0,那么EA是可逆矩阵,且证明因为E与A可以交换，所以因A K= 0 ,于是得同理可得( E + A + A 2 + … +A K 1 )(E-A)=E ，因此E-A是可逆矩阵，且(E-A) 1 = E + A + A 2 +…+A K 1同理可以证明 (E+ A) 也可逆,且E-A 的逆矩阵.(E+ A) 1 = E -A + A 2+…+ (-1 ) K1A K1.由此可知，只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E A 的逆矩阵.例2 设 A =00 20 00 03,求0003 0000分析由于A 中有许多元素为零，考虑A K是否为零矩阵，若为零矩阵，则可以采用例2的方法求E-A 的逆矩阵.解容易验证00 2 00 0 0 6200 0 630 0 0 04A 2=■A 3=， A 4 =000 0 00 00 0000 00 0 0 0而 (E-A)(E+A+ A2+ A 3 )=E , 所以1 12 61230 12 6 (E-A)E+A+ A2+ A.0 0 1 30 00 12. 初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法 •如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵R,P 2 , P S 使（1） p 1 p 2 p s A=I ，用 A 1右乘上式两端，得：（2） p 1 p 2 p s I= A 1比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1.用矩阵表示（ A I ）为（ I A 1 ），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法 .需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换 .同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵 .2 3 1例1 求矩阵A的逆矩阵•已知A= 0 1 31 2 52 3 1 1 0 0 1 2 5 0 0 1解[A I] 0 1 3 0 1 0 0 1 3 0 1 01 2 5 0 0 1 2 3 1 1 0 01 2 5 0 0 1 1 0 0 1/6 13/6 4/30 1 3 0 1 0 0 1 0 1/2 3/2 10 0 1 1/6 1/6 1/3 0 0 1 1/6 1/6 1/31/6 13/6 4/3故 A 1 = 1/2 3/2 11/6 1/6 1/3在事先不知道n阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法•如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为 0，则意味着A不可逆，因为此时表明A =0，则A 1不存在.1 2 3例 2 求 A= 4 5 6.7 8 91 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0解[A E]= 4 5 6 0 1 0 0 3 6 4 1 07 8 9 0 0 1 0 6 12 7 0 11 2 3 1 0 00 3 6 4 1 0 .0 0 0 1 2 1由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A不可逆.3. 伴随阵法定理 n阶矩阵A=[a j ]为可逆的充分必要条件是A非奇异.且A n1A n2矩阵A 21.A n1A 22...A 12称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1=-A A 3'' ''' )A 2n.A nnB=A n A 2n 由此可知，若A 可逆，则AA 3.其中A j 是A 中元素a j 的代数余子式.证明必要性：设A 可逆，由A A 1=I ，有AA 1 = l |，则A A 1 =|l |，所以A 0 , 即A 为非奇异.充分性：设A 为非奇异，存在矩其中a11 a12 ...a 1nA 11 A21...A n1 a 21a22...a2 n1 A 12A22A n2 AB=... ... ...A・・・an1an2...a nnA 1nA2n...A nnA 0...0 1 0=丄oA ...0 =010 = -1=A ... ... A ...1T0 0...A0 01同理可证BA=I.用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有A|2nAiA2 A inAI2A 22A nn证明因为A =A ii0 0A22其中X A ii A 11A ii0 A 22=A 1i | |A22An 0 0A 22 i0,所以A 可逆.YW ，于是有X Y A ii ZWA22I n 00 I m n，丫 A22 =0， ZA ii =0，W A 22 I m .又因为A ii 、A 22都可逆，用22 i 分别右乘上面左右两组等式得:规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可•若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过 AA 1=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4 .分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题设A il 、A 22都是非奇异矩阵，且A il 为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵iiX= A ii ，Y=0，Z=0，W= A 22A 2i =Aii0 A 22 i把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即:iA i iA2 A2i42准三角形矩阵求逆命题设A11、A 22都是非奇异矩阵，则有A11 1 1A12 A111A11 A12 A22 10 A22 0 A22 1证明因为A11 A12 I 1A11 A12 =An 0 0 A22 0 I 0 A22两边求逆得I A11 1 1A12 A1 1 A12 1= A11 100 I 0 A22 0 A22 所以A11A12 1 _ I A11 A12 A1 100 A22 0 I 0 A22 1=A11 11 1 A11 A12 A220 A22 1 同理可证A1110 A11 10A21 A221 1A11 A21 A22 A22 1此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵•是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用•5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用 AA 1=E，把题目中的逆矩阵化简掉。

矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等晚练专题练习(六)含答案人教版高中数学考点大全

8．已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，
属于特征值1的一个特征向量为．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、填空题
1．，………………4分设为椭圆上任一点，它在的作用下所对应的点为，则，………………6分∴，即，………………10分代入得，………………12分∴.………………14分
所以，………………………………………………………………………6分
．………………………………………………………………………10分
8．解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为可得，，
即c＋d＝6；………………………………………2分
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为，可得，
即3c－2d＝－2，…………………………………………6分
高中数学专题复习
《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
评卷人
得分
一、填空题
1．在直角坐标系中，已知椭圆，矩阵阵，，求在矩阵作用下变换所得到的图形的面积.
2．方程组对应的增广矩阵为.
解析：，………………4分
设为椭圆上任一点，它在的作用下所对应的点为，则，………………6分
∴ ，即，………………10分
代入得，………………12分
∴ .………………14分
2．
评卷人
得分
二、答题
3．选修4—2：矩阵与变换
解：设矩阵A的逆矩阵为，则 = ，…………………1分
即 = ，…………………4分

逆矩阵的几种求法及解析

. .. . .. ..逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1求证: 如果方阵A 满足A K= 0, 那么E-A是可逆矩阵, 且（E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K证明因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K,因A K= 0 ,于是得(E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E，同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E，因此E-A是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K.同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K.由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001 故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111 其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A *，于是有A 1-=A 1 A *.证明必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性：设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111，其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1 A *. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡WZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00, 其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A4.2.准三角形矩阵求逆命题设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。

总结求矩阵的逆矩阵方法

华北水利水电学院总结求矩阵的逆矩阵方法课程名称：线性代数专业班级：成员组成：联系方式：浅析求矩阵的逆矩阵方法摘要：矩阵理论在《线性代数》课程中有着重要的地位,矩阵和数相仿可以运算,特别是乘法和数一样有逆运算,其定义为:对于 n 阶方阵 A,如果存在 n 个阶段 B 使得 AB=BA=E,则 n 个阶方阵 A 为可逆的,B 为 A 的逆矩阵。

下面对求逆矩阵方法进行全面论述,并做一步探讨。

关键字矩阵逆矩阵可逆1矩阵求逆常见的几种方法 1.1 用伴随矩阵法求逆矩定理1.1.1：n 阶矩阵)(ij a A =可逆的充要条件0≠A ，而且当)2(≥n 阶矩阵A 有逆矩阵，*-=A AA11，其中*A 伴随矩阵。

例1 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=412112013A 是否可逆？若可逆，求1-A 解：A A ∴≠=05可逆又511=A ，421=A ，3131=A ，1012=A ，1222=A ，332-=A ，013=A ，123=A ，133=A∴*-=A AA11例 2 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，*A 是A 的伴随矩阵，求()1-*A解：1-*=A A A ，又()kB kB 11--=，所以()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡====---*5430220011011011111A A A AA A且有规律可循。

对于三阶以上方阵用该方法逆矩阵,不仅计算量大且易出错,一般不用此种方法。

对求出逆矩阵正确与否,一般用E AA A A ==--11来检验是否正确。

1.2 用初等变换法求逆矩阵定理 1.2.1 如果n 阶方阵A 可逆，则存在有限个初等矩阵，l P P P 21,使得l P P P A 21=。

如果A 可逆，则1-A 也可逆，由上述定理，存在初等矩阵l Q Q Q ,,,21 使得l Q Q Q A 211=-那么A A AAE 11--==即A Q Q Q E l 21= E Q Q Q Al 211=-于是我们得到一个求逆矩阵的方法如下：如果n 阶方阵A 可逆，作一个n n 2⨯的矩阵E A ，然后对此矩阵施以初等行换，使A 化为单位矩阵E 同时化为1-A ，即：E A 1-−−−→−A E 初等行变换例1 用初等行变换求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=521310132A 的逆矩阵解：=E A →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100132310521100010001521310132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--201010100910310521211010100600310521⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→316161100123210103461361001316161100010310100521 故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=-3161611232134613611A 同理，如果n 阶矩阵A 可逆，作一个n n ⨯2的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡E A ，然后此矩阵施以初等变换，使矩阵A 化为单位阵E ，则同时E 化为1-A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1A E E A 初等列变换。

人教版高中数学选修4-2课件：2.4 逆变换与逆矩阵 (共49张PPT)

4．求矩阵乘积 AB 的逆矩阵．
(1)A＝02 10，B＝01 40； (2)A＝－01 －10，B＝31 42.
解：(1)(AB)－1＝B－1A－1
1 ＝0
0 1 1 2 4 0
01＝120
0 1. 4
(2)(AB)－1＝B－1A－1
－2 1
＝3 2
－12
－1
0
0 －1
2 －1
＝－32
求满足 AXB＝C 的矩阵 X.
[思路点拨] 由 AXB＝C 得 X＝A－1CB－1，从而求解．
[精解详析] ∵A－1＝－23 －12，
B－1＝－21 －32，
∴X＝A－1CB－1＝－23
－2 0 1 1
1
2
0 －1
＝－12
－3
2
2 －1
－23＝－10
01.
－3 2
此种题型要特别注意左乘还是右乘相应的逆矩阵，若位置错误，则得不到正确结果，原因是矩阵乘法并不满足交换律．
则xy′′＝10
－2 1
xy＝x－y2y.
∴xy′′＝＝yx.－2y，故xy＝＝yx.′′＋2y′， ∴P(x′＋2y′，y′)．又 P 点在圆上，∴(x′＋2y′)2＋(y′)2＝1. 展开整理为(x′)2＋4x′y′＋5(y′)2＝1. 故所求曲线方程为 x2＋4xy＋5y2＝1.
[例 4] 已知矩阵 A＝－21 －32，B＝12 23，C＝10 01，
－y＋2w＝1.
x＝25，解得yz＝＝15－，15，
w＝25.
2 故矩阵 A 的逆矩阵为 A－1＝51
5
－15 2. 5
1 0
1
6．已知矩阵 M＝0
1，N＝2

逆矩阵与逆变换

逆变换与逆矩阵教学目标1.逆矩阵的概念；2.逆矩阵的性质。

教学重点及难点逆矩阵的概念与简单性质。

教学过程一、逆变换与逆矩阵1.逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I，（I是恒等变换），则称变换ρ可逆，其中σ是ρ的逆变换。

2.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得BA=AB=E2,则称矩阵Ａ可逆，其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。

符号、记法：1A-，读作Ａ的逆。

一般地，设A是一个二阶可逆矩阵，对应的线性变换为ρ，由矩阵与线性变换的对应关系可以看出，A的逆矩阵就是ρ的逆变换所对应的矩阵。

【应用】1.试寻找Ｒ30o的逆变换。

【应用】1.A ＝3142⎛⎫⎪⎝⎭，问A 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1A -。

2. A ＝2142⎛⎫ ⎪⎝⎭，问A 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1A -。

由以上两题，总结一般矩阵A ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭可逆的必要条件。

二、逆矩阵的性质1.二阶矩阵可逆的唯一性。

性质1：设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的。

性质2：.设A 、B 是二阶矩阵，如果A 、B 都可逆，则AB 也可逆，且111()AB B A ---=。

【练习：P 50】补充练习：1.下列变换不存在逆变换的是（）A.沿x 轴方向，向y 轴作投影变换。

B.60oR 变换。

C.横坐标不变，纵坐标增加横坐标的两倍的切变变换。

D.以y 轴为反射变换2.下列矩阵不存在逆矩阵的是（）A. 0110⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 0.5001⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 0110-⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3.设A,B 可逆，下列式子不正确的是（）A.111()AB A B ---=B. 111()AB B A ---=C.11()A A --=D. 2112()()A A --=4.关于x 轴的反射变换对应矩阵的逆矩阵是5.变换ρ将（3，2）变成（1，0），设ρ的逆变换为ρ－1，则ρ－1将（1，0）变成点6.矩阵0111⎛⎫ ⎪⎝⎭的逆矩阵为 7.设ρ：''x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1101-⎛⎫ ⎪⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点（－2，3）在ρ－1的作用下的点的坐标为8.A ＝1101-⎛⎫ ⎪⎝⎭122122⎛- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= 答案：1.A 2.D 3.A 4. 1001⎛⎫⎪-⎝⎭ 5.（3，2） 6. 1110-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 7.（1，3）。