部编人教版高中数学A版必修 不同函数增长的差异

答案:C 反思感悟 用函数图象分析函数模型是一种常见的题型.主要考 查学生的识图能力,利用图象信息分析问题和解决问题的能力.这 类问题应结合图象的特征,观察坐标轴所代表的含义,紧扣题目的 语言描述,并把它转化为数学特征(单调性、最值等),即可得到完美 的解决.
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对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1 000]上递增,而且当x=1 000 时,y=log71 000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要 求.
当再x∈计[1算0,按1 0模00型]时y=,是lo否g7x有+1������������奖=励log时7������������,+奖1≤金0是.2否5 成不立超.过利润的25%,即 令y=log7x+1-0.25x,x∈[10,1 000].利用计算机作出函数f(x)的图象
对于模型y=0.25x,它在区间[10,1 000]上递增,当x∈(20,1 000) 时,y>5,因此该模型不符合要求;
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对于模型y=1.002x,由函数图象,并利用计算器,可知在区间
(805,806)内有一个点x0满足1.002x=5,由于它在区间[10,1 000]上递 增,因此当x>x0时,y>5,因此该模型y=1.002x也不符合要求;
当0<x<2时,2x>x2>log2x. 当2<x<4时,x2>2x>log2x. 当x>4时,2x>x2>log2x.
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反思感悟 在(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=x2都 是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上,随着x
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解:借助计算机作出函数y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x在第一 象限内的大致图象(如图所示):
观察图象发现,在区间[10,1 000]上,模型y=0.25x,y=1.002x的图象
都有一部分在直线y=5的上方,只有模型y=log7x+1的图象始终在 y=5的下方,这说明只有按模型y=log2x+1进行奖励时才符合公司的 要求,下面通过计算确认上述判断.
一二
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2.填空
(1)一般地,虽然对数函数y=logax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)在区 间(0,+∞)上都单调递增,但它们的增长速度不同.随着x的增大,一次
函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度,而对数函数y=logax(a>1)的增 长速度越来越慢.不论a的值比k的值大多少,在一定范围内,logax可 能会大于kx,但由于logax的增长慢于kx的增长,因此总会存在一个x0, 当x>x0时,恒有logax<kx.
思维脉络
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一二
一、指数函数与一次函数、二次函数增长的差异比较 1.(1)阅读下面材料并回答问题 1859年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草, 而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到100年,兔子们占领了 整个澳大利亚,数量达到75亿只,可爱的兔子变得可恶起来,75亿只 兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低, 而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不已.他们采用 各种方法消灭这些兔子,直至二十世纪五十年代,科学家采用载液 瘤病毒杀死了百分之九十的兔子,澳大利亚人才算松了一口气. 想想看,澳大利亚的兔子为什么在不到100年的时间内发展到75 亿只? 答案:由于兔子在适宜环境下,其繁育的数量呈指数增长趋势,指 数增长又称为“爆炸性增长”,因此发展十分迅猛.
一二
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二、对数函数与一次函数、二次函数增长的差异比较
1.log2x=x有根吗?log2x=x2呢?在(0,+∞)内存在x使log2x>x吗?对于 log2x>x2结论又如何?
答案:结合图象(略)分析可知,
log2x=x只有一个根,log2x=x2也只有一个根. 存在这样的x0∈(0,+∞)使log2x0>x0,同样也存在这样的x0∈(0,+∞) 使log2x0> ������02 成立,但最终随着x取值足够大,log2x<x2,log2x<x恒成立.
在(0,+∞)上,当0<x<2或x>4时均有2x>x2成立. 2.填空 (1)一般地,指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长差异 都与上述情况类似.即使k的值远远大于a的值,y=ax(a>1)的增长速 度最终都会大大超过y=kx(k>0)的增长速度,即总存在这样的 x0∈(0,+∞),当x>x0时,恒有 ������������0>kx0(k>0)成立. (2)对于y=ax(a>1)与二次函数y=x2也有这样的结论,即存在 x0∈(0,+∞),使当x>x0时总有 ������������0 > ������02成立.
模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合该公司的要 求?
分析:某个奖励模型符合公司要求,就是依据这个模型进行奖励时, 奖金总数不超过5万元,同时奖金总数不超过利润的25%,由于公司总 的利润目标为1 000万元,所以部门销售利润一般不会超过公司总的 利润.
于是,只需在区间[10,1 000],分别检验三个模型是否符合公司要求.
x -2.0
-1.0
0 1.00
2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中a,b为待定系
数)( )
A.y=a+bx
B.y=bx
C.y=������������2+b
D.y=������������
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研究函数y=2x,y=x2,y=log2x的增长差异 例1在同一坐标系内作出函数y=2x,y=x2,y=log2x的图象并探究它 们的增长情况.
分析:先比较y=2x和y=x2,再比较y=log2x和y=x2,最后综合判断得 出整体规律.
解:在同一直角坐标系内作出函数y=2x,y=x2,y=log2x 的图象,如图所示,观察归纳可知,
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变式训练2在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组 实验数据(见下表).现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这 些数据的规律,其中最接近的一个是( )
x 1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
y 0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
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一二
(2)你能借助图象得出在x∈R时,2x=x,2x=x2的根的个数吗?在 (0,+∞)上存在满足2x<x的x吗?在(0,+∞)上满足2x>x2的x的范围是什 么?
答案:2x=x无根,2x=x2的根有3个(2正1负);
在(0,+∞)上,存在这样的数x0满足 2������ 0<x0.
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解析:由题意,“生活费收入指数”减“生活费价格指数”所得的差是 逐年增大的,故(1)正确;“生活费收入指数”在2016~2017年最陡,故(2) 正确;“生活费价格指数”在2017~2018年最平缓,故(3)不正确;由于 “生活费价格指数”略呈下降趋势,而“生活费收入指数”曲线呈上升 趋势,故(4)正确.
(2)对于y=logax(a>1)与y=x2也存在类似结论,即总会存在一个x0, 当x>x0时,恒有logax<x2.
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3.做一做 (1)下列函数增长速度最快的是( ) A.y=log2x B.y=log6x C.y=log8x D.y=lg x (2)方程x2-log2x=0的解的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.0 解析:(1)四个选项中的对数函数在区间(0,+∞)上均是增函数,选 项A中y=log2x的底数2最小,则函数y=log2x的增长速度最快. 答案:(1)A (2)D
一二
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3.做一做
(1)下列函数中,增长速度最快的是( )
A.y=2x
B.y=3x
C.y=5x
D.y=10x
(2)在x∈(0,+∞)时,满足2x<x2的x的取值范围为
.
解析:(1)四个选项中的函数都是指数函数,且底数均大于1,D项中
底数10最大,则函数y=10x的增长速度最快.
答案:(1)D (2)2<x<4
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选择恰当函数模型解决实际问题
典例 某公司为了实现1 000万元利润的目标,准备制定一个激励销 售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励, 且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总 数不超过5万元,同时奖金总数不超过利润的25%.现有三个奖励方案
A.y=2x