常微分方程自学练习题

常微分方程自学习题及答案

一 填空题:

1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.

2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.

3 方程0'2''=+-y y y 的基本解组是_________.

4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.

5 方程21y dx

dy -=的常数解是________. 6 方程0')('')(==+-x q x t p x t 一个非零解为 x 1(t) ,经过变换_______

7 若4(t)是线性方程组X t A X )('=的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________.

8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________.

9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.

10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________.

11 一阶线性方程)()('x q y x p y =+有积分因子(=μ ).

12 求解方程y x dx

dy /-=的解是( ). 13已知(0)()3222

=+++dy x y x dx y x axy 为恰当方程,则a =____________. 14 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=0

)0(22y y x dx dy ,1:≤x R ,1≤y 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ). 15方程0652=+-⎪⎭

⎫ ⎝⎛y dx dy dx dy 的通解是( ). 16方程534y x y dx dy =++⎪⎭

⎫ ⎝⎛的阶数为_______________. 17若向量函数)()();();(321x x x x n Y Y Y Y 在区间D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________.

18若P(X)是方程组Y =)(x A dx

dy 的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. 19、一般而言，弦振动方程有三类边界条件，分别为：第一类边界条件u(0,t)=g 1(t), ；第二类边界条件

)(),0(t u t x u =∂∂， ；第三类边界条件F )(),0(),0(0t u t u t x u k =-∂∂， T )(),(),(1t v t L u t L x

u k =-∂∂，其中k 0,k 1,T 都是大于零的常数，u(t),v(t)为给定的函数。 20、在偏微分方程组中，如果方程个数 未知函数的个数，则方程组为不定的。反之，如果方程的个数 未知函数的个数，则方程组称为超定的。（选填“多于”、“少于”或“等于”）

21、一般2个自变量2阶线性偏微分方程有如下形式：

+∂∂+∂∂+∂+∂∂+∂∂

∂∂y

u y x e x u y x d u y x c y x u

y x b u

y x a y x ),(),(),(),(2),(22222 ),(),(y x g u y x f =，其中a(x,y),b(x,y),c(x,y), d(x,y),e(x,y),f(x,y),g(x,y)都是（x,y ）的连续可微函数，a(x,y),b(x,y),c(x,y)不同时为0。方程中y x u y x c y x u y x b u y x a 22

222),(),(2),(∂+∂∂+∂∂∂∂称为方程的2阶主部。若其2阶主部的系数a,b,c 作成的判别式△=b 2-ac 在区域Ω中的某点（x 0,y 0）大于零，则称方程在

点（x 0,y 0）是 型的；如果△=0，则称方程在点（x 0,y 0）是 型的；如果△<0，则称方程

在点（x 0,y 0）是 型的。（选填“椭圆”、“双曲”、“抛物”）

二 单项选择:

1 方程y x dx dy +=-31

满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ). (A)上半平面 (B)xoy 平面 (C)下半平面 (D)除y 轴外的全平面

2 方程1+=y dx dy ( ) 奇解.

(A) 有一个 (B) 有两个 (C) 无 (D) 有无数个

3 在下列函数中是微分方程0''=+y y 的解的函数是( ).

(A) 1=y (B)x y = (C) x y sin = (D)x e y =

4 方程x e y y x ==-''的一个特解*y 形如( ).

(A)b ae x = (B)bx axe x + (C)c bx ae x ++ (D)c bx axe x ++

5 )(y f 连续可微是保证方程)(y f dx

dy =解存在且唯一的( )条件． （A ）必要 （B ）充分 (C) 充分必要 (D)必要非充分

6 二阶线性非齐次微分方程的所有解( ).

(A)构成一个2维线性空间 (B)构成一个3维线性空间

(C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间

7 方程323y dx

dy =过点(0,0)有( ). (A) 无数个解 (B)只有一个解 (C)只有两个解 (D)只有三个解

8 初值问题 ⎝⎛=10'x ⎪⎪⎭⎫01x , ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=11)0(x 在区间,∞<<∞-t 上的解是( ). (A) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t u t )( (B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t e u t )( (C) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=e t u t )( (D) ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=e e u t )( 9 方程0cos 2=++x y x dx

dy 是( ). (A) 一阶非线性方程 (B)一阶线性方程