矩阵分析 习题

114试证1-1412k
k
m n
n m
××试证：tr tr ()(),
,,1,2,AB BA A C
B C
k =∈∈=
证：
m
n
⎛n m
tr 11()ik ki i k AB a b ==⎞=⎜⎟⎝⎠∑∑=tr 11
()
jl lj j l b a BA ==⎛⎞
=⎜⎟⎝⎠∑∑()
tr tr ()())k
AB ABAB A B = ()=tr tr ()()
k
B ABAB A BA =
证明22设，证明：阶矩阵
0ε≠n ⎡2-2
1a ⎤⎢⎥ a ε⎡⎤
⎢⎥ 1a A ⎢⎥=⎢⎥⎥ a B ε⎢⎥=⎢⎥⎥ 与a ⎢⎣⎦a ⎢⎣
⎦相似。

121()()()1,
n D D D λλλ−=== ()()
n
n D a λλ=−
n 阶矩阵
2-3
1a ⎡⎤
1a ⎡⎤a A ⎢⎥⎢
⎥=⎥ 与a B ⎢⎥⎢⎥=⎥
1⎢⎢⎥ 1⎢
⎢⎥
a ⎣⎦a ε
⎣⎦不相似。

=== n =−0ε≠121:()()()1,n A D D D λλλ−()()
n D a λλ()()
n
n D a λλ≠−121:()()()1,n B D D D λλλ−===
27(4)求方阵308⎡⎤
⎢⎥2-7(4)
316205A =−⎢⎥−−⎢⎥⎣⎦
的Jordan 标准形及其相似变换矩阵。

P 解：首先用初等变换法求其Jordan 标准形：
3
08100λλλ−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥2
316010205001()I A λλλ−=+−+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦
A 故的初等因子为
2
1,(1)λλ++从而的Jordan 标准形为
A ()
100−⎡⎤
⎢⎥−011001J =⎢⎥−⎢⎥⎣⎦
再求相似变换矩阵：
则−设所求矩阵为，则，按列分块记为
P 1
P AP J =P =[]
123,,P X X X
于是有
123123,,,,AP A X X X AX AX AX ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
100−⎡⎤123011001,,PJ X X X ⎢⎥==−⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥−1223,,X X X X ⎣⎦=−−−⎡⎤⎣⎦
从而可得
1122323
,,AX X AX X AX X X =−=−=−
整理以后可得三个线性方程组
整以后可得个线性方程组1()0I A X +=2()0I A X +==32
()I A X X +前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的个基础解系
T T
==−一个基础解系：[][]
120,1,0,2,0,1αα可以取，但是不能简单地取这11X α=,X α=是因为如果选取不当，会使得第三个非齐次线性方程组无解。

由于
222X
12,αα的任意线性组合都是前两个方程组的解，所以
应该取21122
X k k αα=+使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，容易计算出其系数矩阵的秩为1，从而应该使得增广矩阵
[]
2,
I A X +即
的秩也为1。

即4082k −⎡⎤
221306,
I A X k ⎢⎥+=⎡⎤⎣⎦⎢⎥2204k ⎢⎥−−⎣⎦
容易看出只需令32−就会使得上述矩阵的秩为1，123,k k ==于是
[]
212324,3,2T
X αα=−=−再由第个方程解出个特解再由第三个方程解出一个特解为
100T
[]
31,0,X =那么所求相似变换矩阵为
041⎡⎤
[]123,,130P X X X ⎢⎥==⎢⎥−020⎢⎥⎣⎦
A Hermite 矩阵且2
3-13
设A 是Hermite 矩阵，且则存在
酉矩阵U 使得
,A A =⎡00
0r
H
I U AU ⎤=⎢
⎥⎣⎦
A 是Hermite 矩阵，所以存在酉矩阵U 使得
diag 12(,,,)
H
n U AU λλλ= 2
122
,
A A =,1,2,.
i
i i n λλ== 设)=)0秩(A )= r
特征根有r 个1，(n -r ) 个0.调整U 的列向量(特征向量)的顺序，使得前r 个对1
应特征值1.
证明m n ×H
H
3-27
设证明：半正定矩阵, 且的非零特征值相同.,A C
∈,AA A A ,H
H
AA A A 都是
,H
H
H
H
H
m
=(
)
0,
x x A x
A x C
AA x ≥∈()0,
H
H H
n
y y Ay Ay C
A A y =≥∈半正定
H
H
H
i H
i x x A A AA A x A x
λλ=→=(0,
H
A x ≠0,0,0,H
i i AA x x x λλ→====否则或矛盾)
,,
H
i i AA x λλ是的非零特征值是对应于的特征向量
,H H
i i A A A x λλ则也是的特征值是对应于的特征,,1,0i ip i x x λ≠ 设线性无关是对应于的特征向量,.i i i p p λ设代数重数为则几何重数也为向量.i p 则.
1,,i H
H
i ip A x A x 也线性无关1122(0
i i H H H
i i p ip k A x k A x k A x +++= 110i i H
H
i p ip k AA x k AA x =++ ()
11i i
i i p ip
k x k x λ=++ 120)
i p k k k ====
.
H
A A p λ∴的特征值的重数不小于),(()H H r AA r A A =∵又i i H H
AA A A 与非零特征值
的个数相同.
H
H
AA A A ∴与非零特征值的完全相同.
证明
:,A B 设为两个正定矩阵例，证明：d t()d t()d t()
det(det(det(A B A B +≤+由Hermite 矩阵偶在复相合下的标准形定理知，存在可逆矩阵P ，使得
1λ⎡1,1H H
P AP P BP λ⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥
⎦⎦
n ⎢⎥⎢⎥⎣⎣0,1,2,.
i n λ>= ,,,i
举例说明可对角化的矩阵不一定可酉对角化例：举例说明：可对角化的矩阵不一定可酉对角化.设X , Y 是两个线性无关但是不正交的向量，比如⎡⎤⎡取P =[X 10,21⎢⎥1001D ⎤
=⎢⎥
−⎦
，Y ]=
⎣⎦
⎣10⎡⎤⎥10⎡⎤10⎡⎤则1
A PDP −==21⎢⎣⎦01⎢⎥−⎣⎦21⎢⎥
−⎣⎦
⎡1041⎤=⎢⎥−⎣⎦
可对角化，但不能酉对角化
例a b 用矩阵分析的方法证明：如果正整数a, b 均可以表示成四个整数的平方和，那么ab 也可以表示成四个整数的平方和.2222,
a m m m m =+++2222
b n n n n
=+++1
2
3
4
1234
记
m m m m −−⎡⎤
12342143m m m m A ⎢⎥−−⎢⎥=34124
3
2
1m m m m m m m m −−⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
1234n n n n β=⎡⎤⎣⎦
则
,
T
AA aI =.
T
b ββ=()T
T
ab a aI ββββ==()T
T
T
AA A A ββββ==记,A p p p p =⎡⎤则
1
23
4β⎣⎦1234
p p p p ，，，均为整数, 且
2
222=+++1
2
3
4
.
ab p p p p
求矩阵例：求矩阵A 的满秩分解
⎡1415
620046
−⎤⎢⎥⎢
⎥=124419121116A −−−−⎢⎥⎢⎥−−−−⎦
⎣003⎡1201012⎤
⎢⎥⎢⎥
0011500000⎢⎥
⎢⎥
行变换⎣⎦
⎡取
141200
−⎤⎢⎥10023⎡⎤⎥,124B ⎢
⎥=−−⎢⎥⎢⎥010*******C ⎢=⎢⎥121−−⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
则A =BC , 是A 的满秩分解.注：满秩分解不唯一。

一般方法: 设秩(A )= r
,m n
A ×∈
A 初等行变换
行简化阶梯形J
设主元在列，则选取
12,,,r i i i A 中的第列组成矩阵12,,,r i i i ,
m r
B ×∈ r n
C ×∈
去掉J 中的零行，剩下的组成A =BC
例：设矩阵的满秩分解为A=BC, 证明：
=⇔=
AX CX
00
充分性：CX=0BCX=0, 即AX=0;
必要性：AX=0BCX=0,
A=BC 为满秩分解，所以B的列向量线性无关，为满秩分解的列向量线性无关
BY=0 .
方程组0只有零解.
所以CX=0.。