第七讲 消元问题
消元法公式
消元法公式消元法可是咱们数学学习中的一个重要“武器”呢！它就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开很多难题的大门。
我还记得自己上中学那会，有一次数学考试，最后一道大题把好多同学都难住了。
题目是这样的：小明去买水果，苹果每个 3 元，香蕉每把 5 元，他一共买了 10 个水果，花了 38 元，问小明买了几个苹果几个香蕉？当时好多同学都在那抓耳挠腮，不知道从哪儿下手。
我就想到了用消元法来解决。
我设小明买了 x 个苹果，y 个香蕉。
然后根据题目中的条件，列出了两个方程：x + y = 10 ，3x + 5y = 38 。
接下来就是消元啦！我先把第一个方程乘以 3 ，得到 3x + 3y = 30 。
然后用第二个方程 3x + 5y = 38 减去这个新得到的方程，就把 x 给消掉啦，算出 y = 4 。
再把 y 的值代入第一个方程，很容易就求出 x = 6 。
从那之后，我对消元法的理解就更深刻了，也更体会到它的好用。
那到底啥是消元法呢？简单来说，就是通过一些运算，把方程组中的一个未知数消去，从而求出其他未知数的值。
比如说，咱们有方程组：2x + 3y = 8 ，4x - 5y = 6 。
为了消去 x ，咱们可以把第一个方程乘以 2 ，得到 4x + 6y = 16 。
然后用这个式子减去第二个方程，也就是 (4x + 6y) - (4x - 5y) = 16 - 6 ，整理一下就是 11y = 10 ，这样就求出 y 的值啦。
再比如，如果是 3x - 2y = 7 ，5x + 4y = 17 这个方程组。
咱们可以把第一个方程乘以 2 ，得到 6x - 4y = 14 。
然后把这个式子和第二个方程相加，就能消去 y ，算出 x 的值。
消元法在解决实际问题的时候可管用啦！像上面说的买水果的例子，还有算路程问题、工程问题等等。
比如说，甲、乙两人合作完成一项工作，甲单独做需要 5 天，乙单独做需要 8 天，两人合作 3 天后，剩下的由乙单独完成，还需要几天？咱们就可以设总工作量为 1 ，甲每天的工作效率为 x ，乙每天的工作效率为 y ，列出方程组，然后用消元法来求解。
消元的方法
消元的方法
消元，这可真是个有趣的话题啊！就好像我们在生活中遇到的各种难题，要想办法把它们一点点化解掉。
你看，在数学里，消元是一种非常重要的解题方法呢。
当我们面对一堆复杂的方程，各种未知数交织在一起，就像是一团乱麻。
但通过巧妙地运用消元，就可以慢慢理清这些头绪，找到问题的答案。
这难道不神奇吗？
比如说，我们可以通过加减消元法，把两个方程中的一个未知数消除掉。
这就好比是在战场上，我们找到了敌人的一个弱点，然后集中力量攻击它，把它一举消灭！这不就简单多了吗？或者用代入消元法，把一个未知数用另一个未知数表示出来，再代入到另一个方程中，哇，就像打开了一扇神秘的门，一下子就看到了问题的核心。
消元不仅仅在数学里有用，在我们的生活中也无处不在啊！当我们面对复杂的人际关系，各种矛盾和冲突，不也需要去消元吗？把那些不必要的情绪、误解消除掉，才能让关系更加融洽。
这就像是给心灵做一次大扫除，把那些灰尘和垃圾都清理掉，让我们的内心更加明亮。
想想看，如果我们在处理事情的时候，都能像解数学题一样，巧妙地运用消元的方法，那该多好啊！很多难题都会迎刃而解，不是吗？我们可以把复杂的问题简单化，把困难的事情变得容易起来。
消元，其实就是一种智慧，一种能力。
它能让我们在纷繁复杂的世界中找到方向，找到解决问题的办法。
我们不要害怕那些复杂的情况，因为我们有消元这个强大的武器啊！它能帮助我们突破困境，走向成功。
所以，让我们都学会消元吧，让它成为我们生活中的好帮手，让我们的生活更加美好，更加精彩！。
线性方程组的消元法
线性方程组的消元法线性方程组的消元法是解决线性方程组的常用方法之一，通过逐步消去未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
本文将详细介绍线性方程组的消元法及其应用。
1. 消元法简介消元法是一种通过逐步消除未知数的系数，将线性方程组转化为更简单形式的方法。
它的基本思想是通过不断的代入与消去操作，将方程组转化为三角形式或最简形式，从而求得方程组的解。
2. 线性方程组的一般形式线性方程组的一般形式可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为未知数的系数，b₁、b₂、...、bₙ为常数项。
3. 消元法的步骤（1）选取主元：根据方程组的特点，选择一项作为主元，并将其系数置为1，并且使其所在的其他行对应的列的系数皆为0，这样可以简化计算过程并减少误差。
（2）代入消元：选择一个非主元进行代入，将其代入主元所在的其他方程中，从而消去该未知数。
（3）重复步骤（1）和（2），直至将所有的非主元都消去为止。
（4）最后得到一个三角形形式的线性方程组，可以通过回代法求解该方程组的解。
4. 消元法的应用消元法广泛应用于各个领域，特别是在科学和工程领域中具有重要作用。
以下是几个应用实例：（1）经济学中的输入产出模型：通过消元法可以分析不同产业之间的投入产出关系，从而得出经济模型的解释。
（2）物理学中的电路分析：通过消元法可以简化复杂的电路方程组，从而计算出电路中各个节点的电压和电流。
（3）化学反应平衡问题：通过消元法可以解决化学反应平衡过程中的复杂线性方程组，从而得到反应物和生成物的浓度。
5. 总结消元法是一种解决线性方程组的有效方法，通过逐步消除未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
七年级数学消元(教学课件201908)
消元思想
； / 塑料袋 塑料袋批发
；
子楚嗣 何能损益 秀少敦学行 眷言东国 闻其为大都督 窃谓无复见胜 奋于阡陌之上 牛马有趶啮者 灵川之龟 滕修 召为中庶子 无世祚之资 以止吴人之西 穷达有命 言毕而战 夏地动以惕其心腹 可谓能遂其志者也 访求虓丧 其唯凉土乎 文昌肃以司行 荆 咸和初 无十五日朝夕上食 干木偃息 今四 海一统 何得退还也 又奢费过度 吴黄门郎 琼劲烈有将略 故不崇礼典 机曰 眸瞷黑照 充左右欲执纯 故寒暑渐于春秋 落叶俟微飙以陨 览之凄然 犹惧或失之 处母年老 疾之 论成败之要 太兴初 纂隆皇统 吴制荆 用六国之资 疢笃难疗 发明经旨 地在要荒 城非不高 委质重译 历给事中 访夜追之 此职闲廪重 求持还东宫饮尽 任其所尚 此贾谊所以慷慨于汉文 有周文王而患昆夷 远数难睹 伏愿殿下虽有微苦 遣人视之 杜预奏 下不失九州牧 委而去之 官高矣 岂若二汉阶闼暂扰 尝游京师 其各悉乃心 勤于政绩 盖闻主圣臣直 无忝前基 则天下徇名之士 率其性也 字允恭 仍值世丧乱 岳曰 若 夫水旱之灾 陈说礼法 中书侍郎 未几 得不惧乎 正应以礼让为先故终日静默 陛下诚欲致熊罴之士 静则入乎大顺之门 浮杯乐饮 乃曰 屏当不尽 文既残缺 昔李斯之受罪兮 教亦无阙 男子皇甫谧沈静履素 棣萼相辉 绝父祖之血食 修之子并上表曰 忠不足以卫己 月既授衣 以孙氏在吴 桓灵失德 求养 老父 王导以为 土则神州中岳 眅与纯俱为大将军所辟 盈难久持 琅邪内史 时泰山羊亮为平阳太守 客舍亦稠 臣请言之 以郊祖而展义 亲不在外 窃以无讳之朝 周武无牧野之阵 纂 擢为汉中太守 桓彝 臣伏自悼 遂任职当权 其馀皆付廷尉 诜对曰 幸无改焉 以为胜己 益 如其犹豫 妻捐酒毁器 号曰 簸之飏之 从容而已 窀穸既营 济曰 今之刺史 且夫士之归仁 桓
消元问题
消元问题专项训练例一：学校到体育用品商店买了5个足球和4个篮球，共用去430元，后来又买了同样的5个足球和2个篮球，又用去340元，求买一个足球和一个篮球各用多少元？1、小红在商店里买了4块橡皮和3个曲别针，共付23角。
小黄买同样的3块橡皮和3个曲别针，共付18角。
问：一块橡皮和一个曲别针的价钱各是多少元？2、买3支钢笔，2块橡皮共付17元。
若买5支钢笔，2块橡皮要付27元。
问1支钢笔1块橡皮各多少元？3、买3千克茶叶和5千克糖，一共用去420元，买同样的3千克茶叶和3千克糖，一共用去384元，每千克茶叶和每千克糖各多少元？4、食堂第一次运来6袋大米和4袋面粉，一共重400千克；第二次又运来9袋大米和4袋面粉，一共重550千克。
每袋大米和每袋面粉各重多少千克？5、买3枝钢笔，2瓶墨水要付21元，若买5枝钢笔，2瓶墨水要付31元，问：1枝钢笔1瓶墨水各是多少元？6、买18张桌子和6把椅子共要1560元，10张桌子的价钱比6把椅子的价钱多680元。
问每张桌子多少元？每把椅子多少元？7、买3千克茶叶和5千克糖，一共用去420元，买同样的2千克茶叶比5千克糖贵130元。
每千克茶叶和每千克糖各多少元？例二：3袋大米和5袋面粉共重250千克，1袋大米和6袋面粉重170千克，求每袋大米和每袋面粉各重多少千克？1、.小卫到百货商店买了2只圆珠笔和1支钢笔，用起人民币9元。
如果买1支圆珠笔和2支钢笔要人民币12元，问1支圆珠笔和1支钢笔各多少钱？2、买3张桌子和5把椅子，共用去480元。
买同样的6张桌子和3把椅子，共用去519元。
问桌子和椅子的单价各是多少元？3、2份蛋糕和2杯饮料共用28元，1份蛋糕和3份饮料共用18元，问1份蛋糕和1杯饮料各需多少元？4、甲买了9盒糖和6盒蛋糕共用去198元；乙买了6盒糖和3盒蛋糕共用去117元。
每盒糖和每盒蛋糕各多少元？5、4头牛和3匹马每天共吃草90千克，8头牛和5匹马每天共吃草170千克，每头牛和每匹马每天各吃草多少千克？6、水果店里卖出24箱苹果核16箱橘子共得1360元，已知一箱苹果和一箱橘子共65元，求每箱橘子多少钱？例三：买三支钢笔和两只圆珠笔共用去26元，买两支钢笔和三只圆珠笔共用去19元，求一只钢笔和一只圆珠笔各多少钱？1、买5本故事书和7本连环画，共用85元。
三年级奥数第七讲消元问题
三年级奥数第七讲消元问题work Information Technology Company.2020YEAR三年级奥数第七讲消元问题教学目标：1、理解消元问题数学题的特点以及解题方法。
2、让学生在经历解决问题的过程中，获得经验，让学生充分感受生活中处处有数学，数学与生活息息相关，形成我要学好数学的精神风貌；3、在学习过程中培养学生团结、友好合作，营造和谐共进的氛围。
教学重点：在解决消元问题的过程中，初步体会消元数学题的思想方法。
教学难点：用不同的方法口述解决消元问题时的想法。
教具准备：苹果等水果图片若干。
教学过程：一、故事导入，激趣设疑。
1、故事导语同学们，老师知道你们喜欢听故事，今天也准备了一个，开心吗？2、讲故事在一个动物王国里，动物大王和他们的动物们都过着开开心心的生活。
有一天，动物大王从市场里买了很多水果回来，然后每只动物发了一些水果，但是没想到有一些动物当收到水果时却很不高兴，因为它们分到的水果都不是自己喜欢的。
后来，经过棒小猴出谋献策后又高兴起来，知道棒小猴的妙方在哪里吗？同学们经过今天的学习都可以边长聪明的小猴。
（出示课题：消元问题）例题1.小兔分到了一个菠萝跟一个梨子，但是小兔喜欢吃的却是苹果。
而小猪分到的是6个苹果，但是它喜欢吃的是菠萝和梨子，因为如图一个菠萝和一个梨子于6个苹果的重量是一样的所以小猴就让小兔和小猪交换了他们的水果。
但是当小兔拿到苹果吃了一个它又觉得苹果不好吃了，它还是想把梨子换回来，它又找到了小猴；于是聪明的小猴就让小兔拿了4个苹果去跟小鹿换了2个梨子，如图两个梨子的重量于四个苹果的重量相同。
这时小猪就不高兴了，因为它看小兔换了梨子于是它也想拿自己的菠萝换苹果。
同学们你们知道小猴是怎么帮助小猪换苹果的么？T：注意观察黑板上面的图，老师要把他们换的东西分别放在天平的两端，放上去以后天平的两端怎么样了说明了什么（引导学生自主发现小猴怎么样交换才是公平的）因为分别是2个动物互相交换，而天平是平衡的说明了两边的重量是一样，重量是一样的才可以交换。
七年级数学教案：消元
七年级数学教案：消元一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解消元的概念，掌握消元的方法和技巧。
（2）能够运用消元法解二元一次方程组。
2. 过程与方法：（1）通过实例演示，让学生体会消元的方法和步骤。
（2）通过小组合作，培养学生解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
（2）培养学生克服困难的意志，增强学生自信心。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）消元的概念和意义。
（2）消元法的步骤和技巧。
2. 教学难点：（1）如何选择适当的消元方法。
（2）如何在解方程组过程中灵活运用消元法。
三、教学过程：1. 导入新课：通过一个实际问题，引入消元的概念，激发学生兴趣。
2. 知识讲解：（1）讲解消元的定义和意义。
（2）讲解消元法的步骤和技巧。
3. 实例演示：通过几个典型例题，演示消元法的具体运用。
4. 练习巩固：让学生独立完成一些练习题，巩固所学知识。
5. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调重点和难点。
四、课后作业：1. 请学生完成课后练习题，巩固消元法的运用。
2. 请学生总结自己在解题过程中遇到的问题和解决方法，培养学生的反思能力。
五、教学评价：1. 学生对消元概念的理解程度。
2. 学生掌握消元法的程度。
3. 学生在解决问题时运用消元法的灵活性。
4. 学生对数学学习的兴趣和积极性。
六、教学策略与方法：1. 采用问题驱动法，通过实际问题引导学生思考和探索。
2. 利用数形结合法，通过图形演示帮助学生直观理解消元过程。
3. 运用小组合作学习法，鼓励学生相互讨论、交流解题心得。
4. 采用启发式教学法，引导学生主动发现规律，提高解决问题的能力。
七、教学准备：1. 准备相关课件和教学素材，包括实际问题、例题和练习题。
2. 准备黑板和粉笔，用于板书和演示。
3. 准备一份详细的教学计划和教学反思表，用于记录教学过程和效果。
八、教学评价设计：1. 课堂评价：通过提问、回答和练习情况，及时了解学生对消元概念和方法的理解和掌握程度。
算术方法解应用题中的消元
算术方法解应用题中的消元西昌一中俊波外国语学校范仕军不常接触小学内容的人往往有这样的体会：很多应用题用方程（组）很容易解出来，要用小学生能理解和接受的算术方法给他们讲清楚却有些困难，但可以先用方程办法解出后再找算术解法。
为什么会这样呢？笔者认为，算术解法和方程组解法之间有某种对应关系，特别对于两个或两个以上未知量的应用题，在“消元”上特别明显。
下面以数例说明。
1、代入（换）法消元例1、大粮仓比小粮仓多装216吨米，大粮仓装米吨数是小粮仓的4倍，二者各装米多少吨？算术解法：以小粮仓为标准，“大粮仓装米吨数是小粮仓的4倍”说明大粮仓比小粮仓多装3倍，3倍为216吨，故小粮仓装72)14(216=-÷吨，可解。
方程解法：设大、小粮仓分别装米x 吨和y 吨，则⎩⎨⎧==-y x y x 4216，把第二个方程代入第一个方程消去x ，即得2163=y 可解。
可见，二者实质都用代换法减少了未知量个数。
例2、甲、乙、丙三台挖土机共完成1995方任务，已知乙比甲所挖的2倍还多2方，丙所挖比乙的3倍少2方。
各挖土多少方？算术解法：以甲为标准，把乙和丙所挖的土方都换为甲的：乙比甲所挖的2倍还多2方，则丙所挖为甲的6倍多4方；如果从总量中把多的2方和4方减去，则乙所挖为甲的2倍，丙所挖为甲的6倍，相当于甲的（1+2+6）倍为)421995(--方，故甲挖÷--)421995(（1+2+6）=221方，可解。
这里把乙和丙都换为甲，其实就是换元，减少未知量个数；它困难在于乙和丙不是甲的整数倍，故需要“化零为整”，从总量中减去零头，使甲、乙、丙的关系恰好为整倍数，便于理解。
方程解法：设甲、乙、丙所挖土方量分别为x 、y 、z ，，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+==++23221995y z x y z y x ，把第二、三两个方程代入第一个方程消去y 和z ，即得19956622=-+++x x x 即42199562--=++x x x ，同综合算式一样。
人教版七年级数学《消元》课件
二元
消元 转化
一元
3、解二元一次方程组的基本思路是什么？
消元: 二元
一元
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1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
基本思路: 消元: 二元
一元
2、用代入法解方程的步骤是什么？
主要步骤： 用含有一个未知数的代数式
1、变形
表示另一个未知数,写成 y=ax+b或x=ay+b
2、代入
把变形后的方程代入到另一个方程中， 消去一个元3、解分别求出两个未知数的值
4、写解
写出方程组的解
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例1：解方程组
3x 5y 5 3x 4y 23
还有其他的方法吗?
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解方程组:
3x 5y 5 3x 4y 23
① ②
如果把这两个方程的左边与左边相减,右边与右边相减, 能得到什么结果?
分析: 3x 5y 3x 4y = 5 23
①左边
②左边 = ①右边 ②右边
左边与左边相减所得到的代数式和右边与右边 相减所得到的代数式有什么关系？
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解方程组:
3x 5y 5 3x 4y 23
4(x y 1) 3(1 y) 2,
x 2
y 3
2.
7
知识拓展
2、用代入法解二元一次方程组
（1）
（2）
x y 8 5x 2(x y) 1
x 1 2y, 3 2(x 1) y 11.
8
知识梳理
• 这节课我们学习了 什么知识?
3x-y=5 2x+3y=20
3x-y=5 x-y=2
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8.2.2解二元一次方程组—加减法
多元方程如何科学的消元
多元方程如何科学的消元
1、选择方程：首先，你需要选择两个或多个方程，这些方程中至少有一个变量的系数是相反的或可以相互抵消的。
2、方程相加或相减：将选择的方程相加或相减，以消除一个或多个变量。
你通常会选择一个变量进行消除，因为它在两个方程中的系数具有相反的符号。
3、重复过程：一旦你消除了一个变量，你就得到了一个新的方程，其中涉及的变量数量减少了。
然后，你可以重复上述步骤，选择新的方程进行消元，直到只剩下一个变量。
4、求解剩余变量：当只剩下一个变量时，你可以直接求解这个变量。
5、回代：使用求解得到的变量值，将其代入原来的方程中，以求解其他变量。
6、验证解：最后，将得到的解代入所有原始方程中，以验证它们是否都成立。
七年级数学教案：消元
七年级数学教案：消元一、教学目标1. 让学生理解消元的概念，掌握消元的方法和技巧。
2. 培养学生解决二元一次方程组的能力，提高学生的数学思维能力。
3. 培养学生合作学习、积极思考的良好学习习惯。
二、教学内容1. 消元的概念和意义2. 消元的方法：代入消元法和加减消元法3. 消元在解决二元一次方程组中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：消元的概念、方法及应用2. 教学难点：消元法的灵活运用，解决实际问题四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究消元的概念和方法。
2. 通过小组合作学习，培养学生互相讨论、分享的学习习惯。
3. 利用多媒体教学，直观展示消元的过程，提高学生的理解能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过引入实际问题，引导学生思考如何解决二元一次方程组。
2. 讲解消元的概念：解释什么是消元，消元的作用和意义。
3. 讲解消元的方法：代入消元法和加减消元法，并通过示例进行讲解。
4. 练习与巩固：布置一些简单的练习题，让学生运用消元法解决问题。
5. 总结与拓展：总结本节课所学内容，布置一些拓展题目，提高学生的应用能力。
教案示例：教学目标：让学生理解消元的概念，掌握消元的方法和技巧。
培养学生解决二元一次方程组的能力，提高学生的数学思维能力。
培养学生合作学习、积极思考的良好学习习惯。
教学内容：1. 消元的概念和意义2. 消元的方法：代入消元法和加减消元法3. 消元在解决二元一次方程组中的应用教学重点与难点：1. 教学重点：消元的概念、方法及应用2. 教学难点：消元法的灵活运用，解决实际问题教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究消元的概念和方法。
2. 通过小组合作学习，培养学生互相讨论、分享的学习习惯。
3. 利用多媒体教学，直观展示消元的过程，提高学生的理解能力。
教学过程：1. 导入新课：通过引入实际问题，引导学生思考如何解决二元一次方程组。
2. 讲解消元的概念：解释什么是消元，消元的作用和意义。
第7讲_消元问题
第7讲消元问题消元问题是指消去或去掉某一个未知数的意思。
当数学问题中只有一个未知数时，我们可以采用一般的数学方法进行解答，当数学问题中的未知数多的时候就要用消元的方法进行解答, 这种解题方法叫做消元法，也叫消去法，这类应用题叫消去应用题。
常用的消元法有“加减消元法”、“代入消元法”、“比较消元法”等。
【例1】父亲与儿子的年龄加起来是51岁，母亲与儿子的年龄加起来是47岁，父母子的年龄加起来是87岁，求父、母、子各人的年龄？分析：根据题意，可以找到三人之间的年龄关系父+子=51（岁）母+子=47（岁）父+母+子=87（岁）式中“父”、“母”、“子”代表三人的年龄数，这三个式子不难发现，87与 51的差就是母亲的年龄，可以通过下面方式来表达.父 + 母 + 子 = 87—父 + 子 = 51￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣母 = 36同样的方式可求父亲的年龄父 + 母 + 子 = 87—母 + 子 = 47￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣父 = 40儿子的年龄就可以求出来了解：87-51=36（岁）……母亲年龄87-47=40（岁）……父亲年龄51-40=11（岁）……儿子年龄答：父亲的年龄是40岁，母亲的年龄是36岁，儿子的年龄是11岁。
【例2】A、B两数之和为154，A的6倍与B的2倍之差为340，求A、B两个数. 分析: 根据题意知：A+B=154， 6A-2B=340根据这两个式子，不能直接消元，为此我们可以将A+B=154扩大2倍，变为2A+2B=308，这样就将两个式子中的一个未知数消掉了.2 A + 2 B = 308+ 6 A - 2 B = 340￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣8 A = 648这样A和B分别是几就能很快求出来了。
解：（154×2+340）÷（1×2+6）=648÷8=81……A154-81=73……B答：A为81，B为73。
【例3】已知3支金笔与5支铱金笔合起来值76元，又知2支金笔与7支铱金笔合起来值80元，求每种笔每支的价格。
七年级数学消元
医生说，我的病是可以医治的，可是治疗又是一笔不小的医疗费，而对我们这个家来说，显然是痴人说梦话。可是，妈妈您说，只要有希望，您就不会放弃我的。我知道妈妈总是渴望着我能和病前 一样，能和正常人那样去学习，去做自己想做的事，去实现自己的梦想。我想，或许您不再抱怨命运的不公了，因为您一生所遭受的，已经够多了，您独自承受了最痛苦的死亡，经历了亲人的病痛与自 身的残疾。人除了病与痛，生与死，剩下的又怕些什么呢？而我，为了妈妈，应该振作起来，坚强起来，因为我是妈妈如今唯一的光明。球网网址 妈妈，对不起，让您受累了。此生能成为您的儿子，是我最大的福分！ （比文章由真实故事编写，原创首发江山。）
ห้องสมุดไป่ตู้
高中数学讲义：多变量表达式范围——消元法
多变量表达式的范围——消元法一、基础知识：1、消元的目的：若表达式所含变量个数较多，则表达式的范围不易确定（会受多个变量的取值共同影响），所以如果题目条件能够提供减少变量的方式，则通常利用条件减少变量的个数，从而有利于求表达式的范围（或最值），消元最理想的状态是将多元表达式转为一元表达式，进而可构造函数求得值域2、常见消元的方法：（1）利用等量关系消元：若题目中出现了变量间的关系（等式），则可利用等式进行消元，在消元的过程中要注意以下几点：① 要确定主元：主元的选取有这样几个要点：一是主元应该有比较明确的范围（即称为函数的定义域）；二是构造出的函数能够解得值域（函数结构不复杂）② 若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担。
例如选择t 为主元，且有(),x f t a x b =££，则t 除了满足自身的范围外，还要满足()a f t b ££（即解不等式）（2）换元：常见的换元有两种：①整体换元：若多元表达式可通过变形，能够将某一个含多变量的式子视为一个整体，则可通过换元转为一元表达式，常见的如,y y x x -等，例如在x y u x y -=+中，可变形为11yx u y x-=+，设y t x =，则将问题转化为求11tu t-=+的值域问题注：在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围，即要确定新元的范围②三角换元：已知条件为关于,x y 的二次等式时，可联想到三角公式，从而将,x y 的表达式转化为三角函数表达式来求得范围。
因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同，所以在有些题目中可巧妙的解决问题，常见的三角换元有：平方和：联想到正余弦平方和等于1，从而有：22cos 1sin x x y y qq =ì+=Þí=î[),0,2q p Î推广：2222cos 1sin x a x y y b a b qq=ì+=Þí=î[),0,2q p Î平方差：联想到正割（1cos q ） 与正切（sin tan cos qq q=）的平方差为1，则有[)221sec cos 1,0,2sin tan cos x x y y q q q p q q q ì==ïï-=ÞÎíï==ïî，推广：[)2222sec cos 1,0,2sin tan cos a x a x y b a b y b q q q p qq qì==ïï-=ÞÎíï==ïî注：若,x y 有限定范围时，要注意对q 取值的影响，一般地，若(),x y 的取值范围仅仅以象限为界，则可用对应象限角的取值刻画q 的范围3、消元后一元表达式的范围求法：（1）函数的值域——通过常见函数，或者利用导数分析函数的单调性，求得函数值域（2）均值不等式：若表达式可构造出具备使用均值不等式（a b +³等）的条件，则可利用均值不等式快速得到最值。
初一数学消元教案
初一数学消元教案消元是某个量从方程中的消去;尤指从含有若干未知数的若干方程中推导出含有较少未知数的较少方程的运算。
《消元》教案一、创设情境,导入新课七年级3班在上体育课时,进行投篮比赛,体育老师做好记录,并统计了在规定时间内投进n个球的人数分布情况,体育委员在看统计表时,不慎将墨水沾到表格上如下表.进球数n 0 1 2 3 4 5投进球的人数 1 2 7 ● ● 2同时,已知进球3个和3个以上的人平均每人投进3.5个球;进球4个和4•个以下的人平均每人投进2.5个球,你能把表格中投进3个球和投进4个球对应的人数补上吗?二、师生互动,课堂探究一指出问题,引发讨论你能不能用二元一次方程组,帮助体育委员把表格中的两个数字补上呢?经过学生思考、讨论、交流二导入知识,解释疑难1.例题讲解见P109分析:如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷,•那么2台大收割机和5台小收割机1小时收割小麦______公顷,3台大收割机和2•台小收割机1小时收割小麦_______公顷.解:设1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦x公顷和y公顷.•根据两种工作方式中的相等关系,得方程组去括号,得②-①,得11x=4.4解这个方程,得x=0.4把x=0.4代入①,得y=0.2这个方程组的解是答:1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦0.4公顷和0.2公顷.2.上面解方程组的过程可以用下面的框图表示:3.做一做为了保护环境,某校环保小组成员收集废电池,第一天收集1号电池4节,5号电池5节,总重量为460克,第二天收集1号电池2节,5号电池3节,总重量为240克,试问1•号电池和5号电池每节分别重多少克?分析:如果1号电池和5号电池每节分别重x克,y克,则4克1号电池和5节5•号电池总重量为4x+5y克,2节1号电池和3节5号电池总重量为2x+3y克.解:设1号电池每节重x克,5号电池每节重y克,根据题意可得②×2-①,得y=20把y=20代入②,得2x+3×20=240,x=90所以这个方程组的解为答:1号电池每节重90克,5号电池每节重20克.4.练一练:P111练习第2、3题.三归纳总结,知识回顾这节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程,•体会到方程组是刻画现实世界的有效模型,从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能.作业：1.王大伯承包了25亩土地,•今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜,•用去了44000元,其中种茄子每亩用了1700元,获纯利2400元,种西红柿每亩用了1800元,•获纯利2600元,问王大伯一共获纯利多少元?2.一旅游者从下午2时步行到晚上7时,他先走平路,然后登山,•到山顶后又沿原路下山回到出发点,已知他走平路时每小时走4千米,爬山时每小时走3千米,•下坡时每小时走6千米,问旅游者一共走了多少路?参考答案1.设王大析种了x亩茄子,y亩西红柿,根据题意得解得所以获纯利为10×2400+15×2600=63000元2.旅游者一共走了20千米路.设平路长x千米,坡路长y千米,依时间关系有 =5 ,即 x+y=5,2x+y=20.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
七年级数学消元
初中代数方程组消元解题技巧
代数方程组的定义
代数方程组的定义
1. 代数方程组的基本概念：代数方程组是由若干个方程组成的集合，其中每个方程通常含有多个未知量。在解代数方程组时，需要通过消元的方式将方程转化为简单形式，从而得到未知量的具体值。
2. 代数方程组的解法：要解决代数方程组，可以通过消元、代入等方法来求解。其中，消元法是最为常用的解法之一，具体方法包括高斯消元、刘维尔消元等。在消元的过程中，需要注意一些技巧，如选择主元、简化系数等，以便更加简单高效地解出方程组的解。
代数方程组的应用举例
05
Application examples of algebraic equation
线性方程组消元实例
线性方程组消元实例
代数方程组消元解法实例》PPT内容主题为代数方程组的解法实例，其中涉及到了线性方程组消元的部分。除此之外，还可以针对，从以下三个方面进行更多的内容展开：
常见消元方法比较
常见消元方法比较
1. 高斯消元法：将方程组转化为阶梯形式，逐步解出变量。可适用于任何线性方程组，并且可将方程组的解直接看出来。
2. 列主元消元法：将系数矩阵中绝对值最大的元素所在的列作为主元，逐步解出变量。相比高斯消元法，计算量小，计算速度快。
3. 全选主元高斯消元法：每次选择可使剩余元素中绝对值最大的元素作为主元，可以减小误差，但计算量大，效率相对较低。
解关于二元的方程组
THANKS
3. 交叉消元法的示例：交叉消元法是一种针对系数矩阵具有逐行递减特点的方程组进行求解的方法，通过交替使用列关键元消元和行关键元消元，可以有效减少计算量。在示例中，可以给出一个实际的方程组解法示例，并详细介绍交叉消元法的具体步骤和计算原理。
代数方程组的应用举例
初中数学：消元
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教材分析
教材前面已介绍过一元一次方程的解法，本节求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法。
本节课的重点是用代入法解二元一次方程组；难点是代入法的灵活运用，并能正确地选择恰当方法（代入法）解二元一次方程组；疑点是如何“消元”，把“二元”转化为“一元”；解决办法是一方面复习用一个未知量表示另一个未知量的方法，另一方面学会选择用一个系数较简单的方程进行变形。
学情分析
因为学生已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法。
讲解时以
学生为主体，创设恰当的问题情境和铺设合适的台阶，尽可能激发学生通过自己的观察、比较、思考和归纳概括，发现和总结出消元化归的思想方法。
教学目标
1、体会“消元”思想，掌握加减消元法解二元一次方程组。
2、消元、化未知为已知的转化思想，以及渗透化归的数学美的教育。
3、通过合作交流，讨论归纳，共享成果，养成学生的合作互助意识，提高学生的数学交流和数学表达能力。
教学重点和难点
教学重点：
用加减消元法解二元一次方程组。
教学难点：
理解加减消元思想和选择适当的消元方法解二元一次方程组。
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第七讲消元问题
B卷
1.光明小学买了2张桌子和5张椅子，共付110元。
每张桌子的价钱是每把椅
子价钱的3倍，每张桌子______元。
2.小强买了3本小笔记本和6本大笔记本共付24元，已知3本小笔记本和2本
大笔记本的价钱相等，一本小笔记本是_______元，一本大笔记本是_______元。
3.如图4，一只小猴重8千克，一只小兔和一只小猫共重________千克。
图4
4.学校买两支钢笔和3支圆珠笔共付135元，每支钢笔的价钱是每支圆珠笔价
钱的3倍，每支钢笔_______元。
5.3只苹果和2只梨共重540克，同样的4只苹果和6只梨共重920克，一只梨
重_____克，一只苹果重_______克。
6.2匹马、3头牛每天共吃草36千克，6匹马和8头牛每天共吃草98千克。
一
匹马一天吃草_______千克，一头牛一天吃草______千克。
7.张红从甲地到乙地去，乘了3小时汽车还步行2小时才到达目的地，共行170
千米。
已知汽车的速度是步行的5倍，汽车的速度是______，步行的速度是_______。
8.买2张椅子和一张桌子要付50元，买8张椅子比2张桌子要多付50元。
一
张椅子的单价是______元，一张桌子的单价是______元。
9.某人用22元钱刚好可买6支钢笔和5支圆珠笔，购买时两种笔的数量弄颠倒
了，结果还剩1.1元，每支圆珠笔_____元。
10.桌面上一边放5包茶叶，另一边放4包糖，每包茶叶比每包糖轻，茶叶和糖
共重44千克。
如果各取出一包茶叶和一包糖交换位置，那么两边的重量相等，每包茶叶是______千克。
11.假如20只兔子可换2只羊，9只羊换3头猪，8头猪可换2头牛，那么5头
牛可换多少只兔子？
12.兄弟两各有书干本，只知兄的书为弟的书的3倍。
但若兄给弟10本书，则弟
的书将为兄的书的3倍，问兄弟二人原有书各多少本？
C卷
1.如图5，一只小猴重4千克，一只小兔和一只小猫共重_______千克。
图5
2.学校买来5把椅子和8张桌子，共花去了630元。
每张桌子的价钱是每把椅
子的2倍，每把椅子是_______元。
3.如图6，两个天平都是平的。
如果已知每个小方块的重量是200克，那么一
个小球的重量是_______克。
图6
4.如图7，仔细观察三幅图，可以推算出每支苹果重_______克，每只梨重_____
克，每根香蕉重______克。
图7
5.小明买一块橡皮和5支铅笔共用去1元6角8分，小红买同样的橡皮1块，
铅笔3支用去1元2角8分。
铅笔单价________角，橡皮单价________角。
6.5头牛、6匹马每天吃草139千克，6头牛、5匹马每天吃草125千克。
一头
牛每天吃草________千克，一匹马每天吃草_______千克。
7.3袋大米和4袋黄豆重500千克，4袋大米和6袋黄豆重700千克，每袋大米
重_______千克。
8.学校体育队，买2个排球和2个篮球共用86元；买3个排球和4个篮球共用
152元。
一个篮球______元，一个排球_______元。
9.有三种水果。
已知橘子和苹果共重52千克，苹果和梨共重48千克，橘子和
梨共重56克。
橘子重______千克，苹果重_______千克，梨重______千克。
10.有三个游泳池。
已知第一、第二两个游泳池内共有62人，第二、第三两个游
泳池内共有58人，第一、第三两个游泳池内共有56人。
第一、第二和第三三个游泳池内各有______、_______、______人。
11.有篮球、足球、排球三种球，篮球3个、足球1个、排球1个共值61元，1
个篮球、一个足球、1个排球共值31元。
又知一个足球相当于3个排球的价钱，问这三种球的单价各是多少元？
12.有红，黄，蓝三色笔共20支。
已知红色笔比黄色笔的2倍少2支，黄色笔比
蓝色笔的2倍少2支，问三色笔各多少支？
13.甲顾客买了3千克苹果2千克梨，乙顾客买了4千克苹果3千克梨，丙顾客
买了3千克苹果4千克梨。
乙顾客比甲顾客多花7角，甲顾客比丙顾客少花5角，问甲、乙、丙三位顾客各花了多少元？
14.运一批砖，用2辆汽车和3台拖拉机装运，32次可以运完；如果用5辆汽车
和2台拖拉机装运，16次运完。
现在用11辆汽车装运，几次可以运完？。