高中数学新课集合与简易逻辑教案

课 题：1.4

绝对值不等式的解法（二）

教学目的： （1）巩固c b ax <+与)0(>>+c c b ax 型不等式的解法，并能熟练地应用它解决问题；掌握分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式；

（2）培养数形结合的能力，分类讨论的思想，培养通过换元转化的思想

方法，培养抽象思维的能力；

（3）激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想

教学重点：分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式 教学难点：如何正确分类与分段，简单的参数问题授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

内容分析：（略）

教学过程：

一、复习引入：

a x <与)0(>>a a x 型不等式c

b ax <+与)0(>>+

c c b ax 型不等

式的解法与解集 不等式)0(>>a a x 的解集是{}a x a x x -<>或, 不等式)0(><+c c b ax 的解集为 {})0(|><+<-c c b ax c x ; 不等式)0(>>+c c b ax 的解集为 {})0(,|>>+-<+c c b ax c b ax x 或

二、讲解范例：

例1 解不等式 1≤ | 2x-1 | < 5.

分析：怎么转化？怎么去掉绝对值？

方法：原不等式等价于⎩⎨⎧≥-<-1

|12|5|12|x x

⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧≥-->-<-112512512x x x ① 或

⎪⎩

⎪⎨⎧-≤-->-<-112512512x x x ② 解①得：1≤x<3 ; 解②得：-2< x ≤0.

∴原不等式的解集为 {x | -2< x ≤0或1≤x<3}

方法2：原不等式等价于 1≤2x-1<5或 –5<2x-1≤ -1

即2≤2x<6 或 –4<2x ≤0.

解得 1≤x<3 或 –2< x ≤0.

∴原不等式的解集为{x | -2< x ≤0或1≤x<3}

小结：比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是 a ≤| x |≤b ⇒ a ≤x ≤b 或 -b ≤x ≤-a (a ≥0).

练习：解下列不等式:7522≤-

≤-627231|x x x 或 例2 解不等式：|4x-3|>2x+1.

分析：关键是去掉绝对值

方法1：原不等式等价于⎩⎨⎧+>--<-⎩⎨⎧+>-≥-1

2)34(0341234034x x x x x x 或， 即⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧<<⎪⎩⎪⎨⎧>≥3143243x x x x 或， ∴x>2或x<31， ∴原不等式的解集为{x| x>2或x<

31}. 方法2：整体换元转化法

分析：把右边看成常数c ，就同)0(>>+c c b ax 一样

∵|4x-3|>2x+1⇒4x-3>2x+1或4x-3<-(2x+1) ⇒ x>2 或x<

31， ∴原不等式的解集为{x| x>2或x<3

1}.

例3 解不等式：|x-3|-|x+1|<1.

分析：关键是去掉绝对值

方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义）

①当1-

∴1)1()3(<++--x x ∴ 4<1 φ∈⇒x

②当31<≤-x 时

∴1)1()3(<+---x x ⇒21>

x ，∴}32

1|{<

综上 原不等式的解集为}21|{>x x

也可以这样写：

解：原不等式等价于①⎩⎨⎧<++---<1)1()3(1x x x 或②⎩⎨⎧<+---<≤-1)1()3(31x x x 或 ③⎩⎨⎧<+--≥1

)1()3(3x x x ，

解①的解集为φ，②的解集为{x|

21

2

1}. 方法2：数形结合 从形的方面考虑，不等式|x-3|-|x+1|<1表示数轴上到3和-1两点的距离之差小于1的点

∴原不等式的解集为{x|x>2

1}. 练习：解不等式：| x+2 | + | x | >4.

分析1：零点分段讨论法

解法1：①当x ≤-2时，不等式化为 -（x+2）- x > 4 即x<-3. 符合题义

②当 –2x 即2>4.不合题义，舍去

③当x ≥0时，不等式化为x+2+x>4即x>1.符合题义

综上：原不等式的解集为{x | x<-3或x>1}.

分析2：从形的方面考虑，不等式| x+2 | + | x | >4表示数轴上到-2和0两点的距离之和大于4的点

解法2：因取数轴上点1右边的点及点-3左边的点到点-2、0的距离之和均大于4

∴原不等式的解集为 {x | x<-3或 x>1}.

例4.解关于x 的不等式①)(R a a x ∈<,②)(R a a x ∈>

解：∵R a ∈，分类讨论如下

① Ⅰ.,0∅≤时，解集为当a

Ⅱ },|{0a x a x a <<->时，解集为当

① Ⅰ.,0R a 时，解集为当<

Ⅱ },0|{0≠=x x a 时，解集为当

Ⅲ },|{0a x a x x a >-<>或时，解集为当

例5.解关于x 的不等式)(132R a a x ∈<-+.

解:原不等式化为：132+<+a x ,在求解时由于a+1的正负不确定，需分情况讨论.

①当a+1≤0即a ≤-1时，由于任何实数的绝对值非负，∴解集为∅.

②当a+1>0即a> -1时，- (a+1)<2x+3< a+1 => 24+-a < x <2

2-a . 综上得： ①；时，解集为∅-≤1a ②}2

224|{1-<<+-

->a x a x a 时，解集为. 练习：课本第16页练习1、2