统计概率与数列结合经典考题

1.1统计概率与数列结合

1.（2019全国I 理21）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．

（1）求X 的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i (i =0,1, ,8)表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p 0=0，p 8=1，p i =ap i -1+bp i +cp i +1(i =1,2, ,7)，其中a =P (X =-1)，b =P (X =0)，c =P (X =1)．假设α=0.5，β=0.8．

(i)证明：{p i +1-p i }(i =0,1,2, ,7)为等比数列；

(ii)求p 4，并根据p 4的值解释这种试验方案的合理性．

解：X 的所有可能取值为-1,0,1.

P (X =-1)=(1-α)β，P (X =0)=αβ+(1-α)(1-β)，P (X =1)=α(1-β)，所以X 的分布列为

（2）（i ）由（1）得0.4,0.5,0.1a b c ===.

因此11=0.4+0.5 +0.1i i i i p p p p -+，故()()110.10.4i i i i p p p p +--=-，

即()114i i i i p p p p +--=-.

因为1010p p p -=≠，所以{}1(0,1,2,,7)i i p p i +-= 为公比为4，首项为1p 的等比数列．

（ii ）由（i ）可得p 8 =p 8-p 7+p 7-p 6+ +p 1-p 0+p 0

()()()88776101413

p p p p p p p -=-+-++-= .由于8=1p ，故18341

p =-，所以()()()()44433221101411.325 7

p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257

p =

≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.

【点评】看似很复杂，实则简单。在实际问题情境中，数列知识与概率相结合。这在清北的自主招生或竞赛题中都有所见，此题可以视为2011清华大学七校联考自主招生考试中的15题的改编。

变式1：（2011清华大学七校联考自主招生第15题）将一枚质量均匀的硬币连续抛掷n 次，以n p 表示未出现连续3次正面的概率。

（1）求1234,,,p p p p ；

（2）探究数列{}n p 的递推公式，并给出证明；

（3）讨论数列{}n p 的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。

变式2：

（2012全国高中数学联赛第8题）某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）2.