第6章_梁的弯曲应力分析
6第六章-梁的应力详解精选全文完整版
需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我们所标示 的z轴。
Ⅱ. 纯弯曲理论的推广
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面
由于切应力的存在而发生翘曲。此外，横向力还使各纵向
线之间发生挤压。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假
设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性
力学的分析结果表明，受分布荷载的矩形截面简支梁，当
A
将
E
y
r
代入上述三个静力学条件，有
FN
dA E
A
r
y d A ESz
A
r
0
(a)
M y
z d A E
A
r
yz d A EIyz
A
r
0
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EIz
A
r
M
(c)
以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相 关的几何量，统称为截面的几何性质，而
图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力[]=152 MPa 。试
选择工字钢的号码。
(a)
(b)
解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示 Mmax 375kN m
强度条件 Mmax 要求：
Wz
Wz
M max
梁的弯曲正应力实验报告
梁的弯曲正应力实验报告梁的弯曲正应力实验报告引言：弯曲是一种常见的力学现象，广泛应用于工程和建筑领域。
梁是一种常见的结构，在受到外力作用时会发生弯曲变形。
为了研究梁的弯曲行为，本实验通过对梁进行弯曲试验，测量梁上的正应力分布，以便了解梁的强度和稳定性。
实验目的：1. 通过实验测量梁上的正应力分布，了解梁的弯曲行为；2. 分析梁的弯曲现象对梁的强度和稳定性的影响；3. 探究不同材料和截面形状对梁的弯曲正应力分布的影响。
实验原理：当一根梁受到外力作用时，梁会发生弯曲变形。
在梁的顶部和底部，会出现正应力和负应力。
本实验主要关注梁上的正应力分布。
根据梁的弯曲理论，梁上的正应力与梁的截面形状、材料性质、外力大小和位置等因素有关。
实验装置和步骤：实验装置包括一根长梁、测力计、测量仪器等。
具体步骤如下：1. 将长梁固定在实验台上，确保梁的两端支持牢固；2. 在梁上设置几个不同位置的测力计，用于测量梁上的正应力；3. 施加外力于梁上，使其发生弯曲变形；4. 通过测力计测量梁上各位置的正应力，并记录数据；5. 根据实验数据，绘制梁上的正应力分布曲线。
实验结果与分析：根据实验数据，我们可以得出梁上的正应力分布曲线。
通常情况下，梁上的正应力分布呈现出一定的规律性。
在梁的顶部和底部，正应力较大，逐渐向中间递减，最终趋近于零。
这是因为在梁的顶部和底部，受力较大，产生了较大的正应力；而在梁的中间，受力相对较小，正应力逐渐减小。
实验中还可以观察到不同材料和截面形状对梁的弯曲正应力分布的影响。
例如，对比不同材料的梁，我们可以发现不同材料的梁上的正应力分布曲线有所差异。
这是因为不同材料的梁具有不同的弹性模量和抗弯强度，从而导致不同的正应力分布。
此外，梁的截面形状也对梁的弯曲正应力分布有影响。
例如，对比矩形截面和圆形截面的梁，我们可以发现矩形截面的梁上的正应力分布曲线相对均匀，而圆形截面的梁上的正应力分布曲线则呈现出较大的集中度。
第6章 弯曲应力
称为抗弯截面系数
只有一根对称轴的横截面形状: yt，max yc，max O y
O y
z
t,max
My t ,max Iz
c,max
Myc,max Iz
z
简单截面的弯曲截面系数 b h ⑴ 矩形截面
z
bh3 Iz 12 b3h Iy 12
⑵ 圆形截面
y d
Iz bh2 Wz h/2 6 Iy b2h Wy 源自/2 63()
Ⅱ .纯弯曲理论的推广 对于细长梁（ l/h > 5 ），纯弯曲时的正应力计算 公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。 F
l
M ( x) y Iz
Fl
4
max
M ( x) Wz
解：
由弯曲曲率公式 可得：
M EIz
M EI z
1
代入弯曲正应力公式：
M EIZ Ed 533.3MPa WZ WZ 2
3.正应力的正负号与弯矩 及点的坐标 y的正负号有关。实际计算中，可根 据截面上弯矩的方向，直接判断中性 轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生 压应力，而不必计及M和y的正负。
三、最大弯曲正应力 有两根对称轴的横截面形状: b h
z
y y
z
max
M M Mymax I z Wz Iz y max
基本假设2:
梁内各纵向纤维无挤压 假设，纵向纤维间无正应 力。
中性层与中性轴
纵向对称面 中性层 Z 中性轴
中性层 根据变形的连续性 可知，梁弯曲时从其凹 入一侧的纵向线缩短区 到其凸出一侧的纵向线 伸长区，中间必有一层 纵向无长度改变的过渡 层，称为中性层 。 中性轴: 中性层与横截面的交 线就是中性轴。
梁的弯曲正应力实验报告
一、实验目的1. 通过实验，了解梁在弯曲状态下的应力分布规律；2. 验证梁的弯曲正应力计算公式的准确性；3. 掌握应变电测法的基本原理和操作方法；4. 培养学生严谨的实验态度和科学的研究方法。
二、实验原理梁在弯曲状态下，其横截面上各点的正应力可以用以下公式计算：\[ \sigma = \frac{M y}{I_z} \]其中，\(\sigma\) 为正应力，\(M\) 为弯矩，\(y\) 为梁横截面上某点到中性轴的距离，\(I_z\) 为梁截面对中性轴的惯性矩。
实验中，通过测量梁横截面上不同位置的应变，根据虎克定律，可计算出相应位置的应力。
实验装置主要包括梁、应变片、静态数字电阻应变仪等。
三、实验仪器与设备1. 梁材料：矩形截面试件，尺寸为 \(b \times h\)；2. 应变片：电阻应变片，用于测量梁横截面上的应变；3. 静态数字电阻应变仪：用于测量应变片输出的电阻变化，从而计算出应变；4. 加载装置：用于对梁施加弯矩；5. 游标卡尺：用于测量梁的尺寸；6. 计算器：用于计算实验数据。
四、实验步骤1. 准备实验装置，包括梁、应变片、应变仪等；2. 将应变片粘贴在梁的预定位置，确保应变片与梁表面紧密贴合；3. 接通应变仪电源，调整应变仪的量程和灵敏度；4. 使用游标卡尺测量梁的尺寸，记录数据；5. 在梁上施加预定的弯矩，确保梁处于弯曲状态；6. 使用应变仪测量梁横截面上不同位置的应变，记录数据；7. 根据实验数据和应变片的位置，计算出梁横截面上不同位置的应力；8. 比较实验测得的应力与理论计算值，分析误差原因。
五、实验结果与分析1. 实验数据：表1：梁横截面上不同位置的应变测量值| 测点位置 | 应变值（με） || -------- | ------------ || A点 | 120 || B点 | 100 || C点 | 80 || D点 | 60 |表2：梁横截面上不同位置的应力计算值| 测点位置 | 应力值（MPa） || -------- | ------------ || A点 | 12.00 || B点 | 10.00 || C点 | 8.00 || D点 | 6.00 |2. 结果分析：通过实验数据与理论计算值的比较，可以看出，在梁的弯曲状态下，应力在梁横截面上呈线性分布。
工程力学第6节 弯曲切应力
* z
上式表明腹板上的切应力按抛物线规律变化。
最大弯曲切应力 max 发生在中性轴 y 0 处，故
相差不大，当 d b 时，腹板上的切应力可认为均匀 分布。由于工字钢腹板上切应力的合力与截面剪力十 分接近，故工程中常将剪 翼缘 力除以腹板面积来计算工 min 腹板 字形截面梁的 max 。即
一、矩形截面梁 的切应力 假设
截面上任一点 切应力 的方 向均平行于剪 力 FS ； 切应力沿矩形 截面的宽度 b 均匀分布，即 切应力的大小 只与 y 有关
C
在横截面上距中性轴为
y 处的切应力 * FS S z Izb
距中性轴为 y 处横线以下面积对中性轴的面积矩为
hy 2 h b h * 2 2 S z b( y ) （y ) ( y ) 2 2 2 4 bh 3 Iz 12
二、圆形截面梁的切应力
AB 弦上的最大切应力在端点 A 或 B ，切应力为
FS R R y 3Iz
2
2
其中
Iz
d
4
64
R
4
4
max
FS R R y 3Iz
2
2
其中
Iz
d
4
64
R
4
4
在中性轴上，y 0 得到切应力最大值
max
4 FS 2 3R
绘制梁的剪力图 绘制梁的弯矩图
2
8
1 FS max ql 2
最大剪力和最大弯矩
1 2 M max ql 8
材料力学第6章弯曲应力
图6.5
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
例6.1如图6.6所示，矩形截面悬臂梁受集中力和集中力偶作用。试求Ⅰ—Ⅰ 截面和固定端Ⅱ—Ⅱ截面上A，B，C，D ４点处的正应力。
图6.6
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材料力学
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解矩形截面对中性轴的惯性矩为 对于Ⅰ—Ⅰ截面，弯矩MⅠ=20 kN·m，根据式(6.2)，各点正应力分别为
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材料力学
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(1)变形几何关系 弯曲变形前和变形后的梁段分别表示于图6.4(a)和(b)。以梁横截面的对称 轴为y轴且向下为正(见图6.4(c))。以中性轴为z轴，但中性轴的位置尚待确 定。在中性轴尚未确定之前，x轴只能暂时认为是通过原点的横截面的法 线。根据弯曲平面假设，变形前相距为dx的两个横截面，变形后各自绕中性 轴相对旋转了一个角度dθ ，且仍然保持为平面。这就使得距中性层为y的纵 向纤维bb的长度变为
式中积分
是横截面对y轴和z轴的惯性积。由于y轴是横截面的对
称轴，必然有Iyz=0(见附录)。所以式(g)是自然满足的。 将式(b)代入式(e)，得
式中积分∫Ay2dA=Iz是横截面对z轴(中性轴)的惯性矩。于是式(h)改写为 式中 ——梁轴线变形后的曲率。
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式(6.1)表明，EIz越大，则曲率 越小，故EIz称为梁的抗弯刚度。从式 (6.1)和式(b)中消去 ，得
而对于变截面梁，虽然是等截面梁但中性轴不是横截面对称轴的梁，在计算 最大弯曲正应力时不能只注意弯矩数值最大的截面，应综合考虑My/Iz的值 (参看例6.5和例6.8)。
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引用记号
梁的弯曲(应力、变形)
梁的弯曲类型
01
02
03
自由弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端不受约束，可以自由 转动。
简支弯曲
梁在受到外力作用时，其 一端固定，另一端可以自 由转动。
固支弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端均固定，不能发生转 动。
梁的弯曲应用场景
桥梁工程
桥梁中的梁常常需要进行弯曲变形以承受车辆和 行人等载荷。
稳定性。
06 梁的弯曲研究展望
CHAPTER
新材料的应用研究
高强度材料
随着材料科学的进步，高强度、轻质的新型 材料不断涌现，如碳纤维复合材料、钛合金 等。这些新材料在梁的弯曲研究中具有广阔 的应用前景，能够显著提高梁的承载能力和 刚度。
功能材料
新型功能材料如形状记忆合金、压电陶瓷等， 具有独特的力学性能和功能特性，为梁的弯 曲研究提供了新的思路和解决方案。
反复的弯曲变形可能导致疲劳裂纹的 产生和扩展，影响结构的疲劳寿命。
对使用功能的影响
弯曲变形可能导致结构使用功能受限 或影响正常使用。
04 梁的弯曲分析方法
CHAPTER
理论分析方法
弹性力学方法
01
基于弹性力学理论，通过数学公式推导梁在弯曲状态下的应力
和变形。
能量平衡法
02
利用能量守恒原理，通过计算梁在不同弯曲状态下的能量变化，
详细描述
常见的截面形状有矩形、工字形、圆形等。应根据梁的用途和受力情况选择合适的截面形状。例如， 对于承受较大弯矩的梁，采用工字形截面可以有效地提高梁的承载能力和稳定性。
支撑结构优化
总结词
支撑结构是影响梁弯曲性能的重要因素，合理的支撑结构可以提高梁的稳定性，减小梁 的变形。
第六章 弯曲剪应力
所 以 d m in 1 3 7m m
[例6-7]两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如图 所示。若材料许用应力为[]，其许可载荷[P]为多少？如将两 个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？若螺栓许 用剪应力为[τ]，求螺栓的最小直径？
L
FQ
P
-PL
M
P
解：叠梁承载时，每
梁都有自己的中性层
§6-3 弯曲剪应力和强度校核
一.具有纵对称轴截面梁的剪应力
对于薄壁、高截面的梁须计算弯曲剪应力
My
Iz
q(x) x dx
P
bh
z
q(x)
M(x)
M (x)dM (x)
y
FQ
FQ dFQ
在hb的情况下
假设 1)的 ：方向F都 Q平与 行
2)沿宽度均布。
y
NI
N II
NI A*ⅠdA
M ydA M
(1)当外力偶作用在平行于形心主惯性平面的任一平 面内时,梁产生平面弯曲。
(2)当横向外力作用在平行于形心主惯性平面的平面 内，并且通过特定点时，梁发生平面弯曲。否则将 会伴随着扭转变形。但由于实体构件抗扭刚度很大
，扭转变形很小，其带来的影响可以忽略不计。
二. 开口薄壁截面的弯曲中心
对于开口薄壁截面梁，即使横向力作用于形心主惯性 平面内(非对称平面)，则梁除发生弯曲变形外，还将 发生扭转变形。
b(x)
3P
4[]h
即： b(x)min4[3P]h
P/2
P
A
C
xL
P/2 同理：若b为常量，高度h=h(x)
B W(x)1bh2(x) Px
6
2[]
h(x) 3Px 半抛物线
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Miy
zE ydA 0
A
E yzdA 0
A
自然满足
I yz
yzdA 0
A
将应力表达式代入(3)式，得
Miz
yE ydA M
A
E y2dA M
A
E
Iz
M
1M
E Iz
EIz ——梁的抗弯刚度 9
第六章 梁的弯曲应力
首页
将
1 M
EIz
代入
σE y
得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:
14
第六章 梁的弯曲应力
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例题: 悬臂梁荷载及几何尺寸如图所示，试求：
(1) 1-1截面上A、B、C、D四点的正应力。
(2) 求梁上最大正应力。
3m 4m
20kNm 15kN 1
A
B CD
1 1m
90 90
A
150
B
30
50 C
x
150
D
y
15
第六章 梁的弯曲应力
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解：(1) 画出梁的弯矩图
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4
第六章 梁的弯曲应力
2.提出假设
（a）平面假设：变形前为平面的横截面 变形后仍保持为平面且垂直于变形 后的梁轴线；
（b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤 压，只受单向拉压.
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推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性层与横截面的交线，称为中性轴。
中性轴⊥横截面对称轴
5
第六章 梁的弯曲应力
3. 变形几何学方面
l bb bb
l
bb
bb oo
oo
yd d
y d
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F
F
mn
o
o
yb
b
x
mn
y
x
dx
d
m
M
y o' b' m
n
M
o'
b'
n
6
第六章 梁的弯曲应力
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§6.3 纯弯曲梁截面上的正应力
1、物理关系
胡克定律 σ Eε M
13
第六章 梁的弯曲应力
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弯曲问题中，正应力通常是强度计算的主要因素，切应力
是次要因素。
横跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式 对于横力弯曲近似成立。
横力弯曲最大正应力
max
M max ymax IZ
x
dx
1、两点假设： 剪应力与剪力平行；
FS(x)+d FS (x) 矩中性轴等距离处，剪应力 相等。
20kNm
3m
15kN 1
A
B CD
4m
1m
1
M (kNm)
25
+ 20
M11 20kN m
16
第六章 梁的弯曲应力
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(2) 计算A、B、C、D四点的正应力。
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M11 20kN m
90 90
A
Iz
bh3 12
180 300 3 12
10 12
150 B
405106 m4
30
σ My Iz
M为梁横截面上的弯矩； y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离； Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.
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10
第六章 梁的弯曲应力
3、最大正应力：
正应力分布
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中性层 M
ymax
M ymax
max
M Wz
Wz
I z ymax
抗弯截面模量。
11
第六章 梁的弯曲应力
4.93MPa
D
M 11 Iz
yD
7.41MPa
A 7.41MPa 18
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(3) 求最大正应力 对任一截面而言，最大正应力发生
在最上缘或最下缘，对全梁而言，最大 正应力发生在最大弯矩所在面的最上或 最下缘。这个面通常称为“ 危险截 面”。
19
第六章 梁的弯曲应力
第六章 梁的弯曲应力
第六章 梁的弯曲应力
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第六章 梁的弯曲应力
§6.1 梁的弯曲形式 §6.2 弯曲理论的基本假设 §6.3 纯弯曲梁截面上的正应力 §6.4 横力弯曲梁截面上的应力 §6.5 梁的强度条件 §6.6 提高弯曲强度的措施
2
第六章 梁的弯曲应力
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§6.1 梁的弯曲形式
)
/(h0
/ 2)
12
第六章 梁的弯曲应力
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§6.4 横力弯曲梁截面上的应力
6.4.1梁横力弯曲时横截面上的正应力
纯弯曲正应力公式成立的前提：平面假设，纵向纤
维间无挤压。
A
Fs
A
对于横力弯曲，纯弯曲时关于变形的两个假设，均不 成立。剪应力（分布不均匀）的存在对正应力分布规律有影 响。
所以
σE y
z
O
x
应力分布规律：
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性 轴的距离成正比.
7
第六章 梁的弯曲应力
2、静力关系
横截面上内力系为垂直于横截
面的空间平行力系，这一力系简化 M
得到三个内力分量. 内力与外力相平衡可得
FN
AdFN
σdA 0
A
（1）
M y
AdM y
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20 +
25 M (kNm)
max
M max Iz
ymax
25 405
10 3 10 6
150
10 3
9.26
10 6
Pa
9.26MPa
最大拉应力在最上缘，最大压应力在最下缘。
20
第六章 梁的弯曲应力
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6.4.2 梁横力弯曲时横截面上的切应力
y M(x)
FS
一、 矩形截面梁
纯 弯 曲——横截面上只有M、没有FQ的弯曲
剪力弯曲——横截面上既有M、又有FQ的弯曲
F
F
A C
a
F
+
B
D
a
+
F
3
Fa
第六章 梁的弯曲应力
§6.2 弯曲理论的基本假设
1.变形现象
纵向线 各纵向线段弯成弧线， 且靠近顶端的纵向线缩短， 靠近底端的纵向线段伸长.
横向线 各横向线仍保持为直线， 相对转过了一个角度， 仍与变形后的纵向弧线垂直.
zσdA 0 （2）
A
M z
AdMz
yσdA M（3）
A
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z
O
x
y
dFN σdA
dM y zdA
dMz y dA
8
第六章 梁的弯曲应力
将应力表达式代入（1）式，得
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y
FN
E dA 0
A
E
A
ydA
0
Sz
ydA 0
A
中性轴通过横截面形心
将应力表达式代入（2）式，得
50 C
x
150
A
M11 Iz
yA
20103 405106
150103
D
y
7.41106 7.41MPa
17
第六章 梁的弯曲应力
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90 90
A
B 0（在中性轴上）
150
B
C
M 11 Iz
yc
30
50 C
x
150
D
y
20 103 100 10 3 405 10 6
4.93 106
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常见截面的 IZ 和 WZ
IZ y2dA
A
WZ
IZ y max
空心矩形截面
圆截面 空心圆截面
矩形截面
IZ
d 4
64
WZ
d 3
32
IZ
D4
64
(1
4)
WZ
D3
32
(1
4)
bh3 IZ 12
WZ
bh2 6
IZ
b0h03 12
bh3 12
WZ
( b0 h03 12
bh3 12