4土中应力

第4章 土中应力4.1 概 述土中应力按其起因分为：自重应力和附加应力。

自重应力——由土体本身有效重量产生的应力称为自重应力。

两种情况：（1）在自重作用下已经完成压缩固结，自重应力不再引起土体或地基的变形；（2）土体在自重作用下尚未完成固结，它将引起土体或地基的变形。

自重压力——土中竖向自重应力 附加压力——土中竖向附加应力某点总应力=土中某点的自重应力+附加应力4.2 土中自重应力自重应力：由土体本身有效重量产生的应力称为自重应力。

一般而言，土体在自重作用下，在漫长的地质历史上已压缩稳定，不再引起土的变形（新沉积土或近期人工充填土除外）。

一、竖直向自重应力自重应力——土体初始应力，指由土体自身的有效重力产生的应力。

假定⎩⎨⎧平面均不存在剪应力土体中所有竖直面和水无限弹性体土体具有水平表面的半1、竖直自重应力cz σ（称为自重应力，用c σ表示）设地基中某单元体离地面的距离z ，土的容重为γ，则单元体上竖直向自重应力等于单位面积上的土柱有效重量，即z cz ⋅=γσ可见，土的竖向自重应力随着深度直线增大，呈三角形分布。

注：（1）计算点在地下水为以下，由于水对土体有浮力作用，则水下部分土柱的有效重量应采用土的浮容重'γ或饱和容重sat γ计算；① 当位于地下水位以下的土为砂土时，土中水为自由水，计算时用'γ。

② 当位于地下水位以下的土为坚硬粘土时0<L I ，在饱和坚硬粘土中只含有结合水，计算自重应力时应采用饱和容重。

③ 水下粘土，当L I ≥1时，用'γ。

④ 如果是介乎砂土和坚硬粘土之间的土，则要按具体情况分析选用适当的容重。

（2）自重应力是由多层土组成，注意分层计算【思考】为何要如此假设？ 对于天然重度为γ 的均质土：z cz γσ=对于成层土，并存在地下水：ini i n n cz h h h h ∑==+⋅⋅⋅++=12211γγγγσ式中 ：i γ――第i 层土的重度，kN/m 3，地下水位以上的土层一般采用天然重度，地下水位以下的土层采用浮重度，毛细饱和带的土层采用饱和重度.注意：① 在地下水位以下，若埋藏有不透水层（如基岩层、连续分布的硬粘性土层），不透水层中不存在水的浮力，层面及层面以下的自重应力按上覆土层的水土总重计算；② 新近沉积的土层或新近堆填的土层，在自重应力作用下的变形尚未完成，还应考虑它们在自重应力作用下的变形。

【课堂讨论】地下水位的升降是否会引起土中自重应力的变化？——地下水位的升降会引起土中自重应力的变化，例如，大量抽取地下水造成地下水位大幅度下降，使原水位以下土体中的有效应力增加，造成地表大面积下沉。

二、水平向自重应力根据弹性力学广义虎克定律和土体的侧限条件，推导得cz cy cz K σσσ0＝＝式中 K 0――土的静止侧压力系数（也称静止土压力系数）。

4.3 基底压力一、基本概念基底压力——建筑物上部结构荷载和基础自重通过基础传递给地基，作用于基础底面传 至地基的单位面积压力，又称接触压力。

基底反力——基底压力的反作用力即地基土层反向施加于基础底面上的压力。

影响基底压力的分布和大小的因素⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧基础的埋深，好坏）地基土性质（力学性质荷载（大小、分布）基础（大小、刚度）⑴ 对于刚性很小的基础和柔性基础，其基底压力大小和分布状况与作用在基础上的荷载大小和分布状况相同。

（因为刚度很小，在垂直荷载作用下几乎无抗弯能力，而随地基一起变形）。

⑵ 对于刚性基础：其基底压力分布將随上部荷载的大小，基础的埋置深度和土的性质而异。

如：砂土地基表面上的条形刚性基础，由于受到中心荷载作用时，基底压力分布呈抛物线，随着荷载增加，基底压力分布的抛物线的曲率增大。

这主要是散状砂土颗粒的侧向移动导致边缘的压力向中部转移而形成的。

又如粘性土表面上的条形基础，其基底压力分布呈中间小边缘大的马鞍形（如图），随荷载增加，基底压力分布变化呈中间大边缘小的形状。

二、基底压力的简化计算 1. 中心荷载作用下的基底压力当基础宽度不太大，而荷载较小的情况下，基底压力分布近似按直线变化考虑，根据材料力学公式进行简化计算，即AG F p +＝ ，kPa 。

G ——基础自重及其上回填土重的总重，Ad G G γ=，G γ为平均重度，一般取3/20m KN ，d 为基础埋深对于荷载沿长度方向均匀分布的条形基础，则沿长度方向截取1m 的基底面积来计算，单位为kN /m 。

2.偏心荷载作用下的基底压力 （1）单向偏心荷载设计时，通常基底长边方向取与偏心方向一致，两短边边缘应力按下式计算：WM bl G F p p ±+=minmaxW ——基础底面的抵抗矩，62bl W =l ——矩形基底的长度；b ——矩形基底的宽度。

又GF Me +=得 ⎪⎭⎫⎝⎛±+=l e bl G F p p 61minmax讨论：当6le <时，基底压力呈梯形分布； 当6le =时，基底压力呈三角形分布；当6le >时，基底压力0min <p ，表明基底出现拉应力，此时，基底与地基间局部脱离，而使基底压力重新分布。

注意：一般而言，工程上不允许基底出现拉力，因此，在设计基础尺寸时，应使合力偏心矩满足 ① ble <的条件，以策安全。

② 为了减少因地基应力不均匀而引起过大的不均匀沉降，通常要求：0.3~5.1minmax≤P P ；对压缩性大的粘性土应采取小值；对压缩性小的无粘性土，可用大值。

当计算得到P min <0时，一般应调整结构设计和基础尺寸设计，以避免基底与地基间局部脱离的情况。

对作用于建筑物上的水平荷载，计算基底压力时，通常按均匀分布于整个基础底面计算。

（2）双向偏心荷载当矩形基础上作用着竖直偏心荷载P 时，则任意点的基底压力，可按材料力学偏心受压的公式进行计算：y yx x W M W M A G F p p ±±+=min max yyx x W M W M A G F p p ±±+=21 x M 、y M ——荷载合力分别对矩形基底x 、y 对称轴的力矩；x W 、y W ——基础底面分别对x 、y 轴的抵抗矩。

【小结】1．非均质土中自重应力沿深度呈折线分布；2．自重应力分布在重度变化的土层界面和地下水位面上发生转折； 3．自重应力分布在不透水层面处发生突变； 4．地下水位下降会引起自重应力增加。

5．中心、偏心荷载作用下的基底压力计算。

三、基底附加压力基底附加压力——作用在基础底面的压力与基底处建前土中自重应力之差，即导致地基中产生附加应力的那部分基底压力。

如，作用于地基表面，由于建造建筑物而新增加的压力。

基底附加压力在数值上等于基底压力扣除基底标高处原有土体的自重应力。

即 基底压力均匀分布时：d P P P m ch γσ－＝－＝0ch σ——基底处土中自重应力，kPa ；m γ——基底标高以上天然土层的加权平均重度；)/()(212211 ++++=h h h h γγγ ，其中地下水位下的重度取有效重度，3/m KN一般，为了考虑坑底的回弹和再压缩而增加沉降，取ch P P σ)10(0--－＝基底压力呈梯形分布时，基底附加压力为：d P P P P m γ－＝minmaxmin 0max 0 式中 P 0――基底附加压力设计值，kPa ；P ――基底压力设计值，kPa ；d ――从天然地面起算的基础埋深，m 。

4、4 地基附加应力附加应力——新增外加荷载在地基土体中引起的应力。

地基附加应力主要是针对竖向正应力z σ而言。

假定——地基土是连续、均匀、各项同性的半无限完全弹性体。

空间问题——附加应力是三维坐标x 、y 、z 的函数； 平面问题——附加应力是二维坐标x 、z 的函数。

一、竖向集中力下的地基附加应力 1. 布辛奈斯克解（略）如图3－13，当半无限弹性体表面上作用着竖直集中力p 时，弹性体内部任意点M 的六个应力分量zx xz zy yz yx xy z y x ττττττσσσ===,,,,,，由弹性理论求出的表达式为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+---+⋅=23232252)()2()(32123Z R R Z R x Z R R z Rz R R Z X p x μπσ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+---+⋅=23232252)()2()(32123Z R R Z R y Z R R z Rz R R Z Y p y μπσ 5323R Z p z ⋅=πσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋅-+⋅==235)()2(32123Z R R Z R xy R xyz p yx xy μπττ 5223R yz p yzzy ⋅==πττ－5223Rxz p xz zx ⋅==πττ－⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=)()21(2)1(3Z R R xR xz E P u μπμ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=)()21(2)1(3Z R R yR yz E P v μπμ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=R R z E P 1)1(22)1(32μπμω式中：z y x σσσ,,——x,y,z 方向的法向应力zy xz xy τττ,,——剪应力μ——土的泊松比R ——M 点至坐标原点o 的距离22222z r z y x R +=++=u 、v 、ω——M 点沿坐标轴z y x ,,方向的位移。

上式为著名的布辛奈斯克（Boussinesq ）解答，它是求解地基中附加应力的基本公式。

对于土力学来说，z σ具有特别重要的意义，它是使地基土产生压缩变形的原因。

2. 等代荷载法22z r R +=，则22/52253)(112323z p z r z p R z p z ⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅=⋅=αππσα——集中力作用下的地基竖向附加应力系数，简称集中应力系数，按z r /值由表查用。

2/52)(1123⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅=z r πα 若干个竖向集中力时，分别求出各集中力对该点所引起的附加应力，然后进行叠加，即：ini i n n z Pzz p z p z p ∑==+++=1222222111αααασ式中：n ααα ,,21分别为集中力n p p p ,,,21 作用下的竖向应力分布函数。

竖直集中力作用下的竖向应力分布函数，它是zr的函数；可由图和表中查得。

（1）在集中力作用线上（即223,23,0zp r z ⋅===πσπα），附加应力z σ随着深度z 的增加而递减；（2）离集中力作用线某一距离r 时，在地表处的附加应力z σ＝0，随着深度的增加，z σ逐渐递增，但到一定深度后，z σ又随着深度z 的增加而减小；（3）当z 一定时，即在同一水平面上，附加应力z σ随着r 的增大而减小。