正弦、余弦定理习题精选精讲

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正余弦定理(精讲)(解析版)

考法二正弦定理
【例 2】（1）（2020·辽宁锦州市·高一期末）在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，a 2 ，
c 2 3 ， A 30 ，则角 C 为（）
A．60°
B．60°或 120°
C．45°
D．45°或 135°
3 / 11
（2）（2020·湖北黄冈市·高一期末）在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a ，b，c，已知 cos A 3 ， 5
A． 3
B． 2 2
C． 2 3
D． 5
（3）（2020·全国高一课时练习）已知钝角三角形的三边长分别为 k, k 2, k 4 ，则 k 的取值范围是（）
A．(-2,6)
B．(0,2)
C．(0,6)
D．(2,6)
【答案】（1）A（2）D（3）D
【解析】（1）在 ABC 中, a 1, b 2 , C 60 ,由余弦定理得 c2 12 22 2 1 2 cos 60 3 ,
2 / 11
（3）由题：钝角三角形的三边长分别为 k、k 2、k 4，
k k
k
2
k
2k4
22 k
4 2
解得：
k
2, 6
.故选：D
【一隅三反】
1．（2020·全国高一）在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，右 a=1，c=2，∠B=600，则 b=（）
A．1
，所以
B
6
．故选：B．
b c a 3 （3）A＝60°，a 3 ，由正弦定理可得， sinB sinC sinA 3 2，
2 ∴b＝2sinB，c＝2sinC，则 b c 2．故选：D．

第04讲正弦定理和余弦定理 (精讲)-2(含答案解析)

第04讲正弦定理和余弦定理(精讲）-2第04讲正弦定理和余弦定理(精讲）角度4：正余弦定理综合应用例题（2022·山西·高一阶段练习）1．在ABC 中，已知cosA =1tan 2B =，若ABC 边长为（）A BC D ．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））2．已知在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A ＝60°，BC =4，则△ABC 的周长的取值范围为（）A ．(4,12⎤⎦B ．(]8,12C ．)4,12⎡⎣D ．(]10,12（2022·山东菏泽·高一期中）3．在△ABC 中，2cos 3C =，AC =4，BC =3，则sin B =（）A ．19B C ．1D ．3（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））4．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足222533a b c +=，则sin A 的最大值是__________.（2022·山东·临沭县教育和体育局高一期中）5．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ABC 的面积S 根据此公式，若()cos 2cos 0a B b c A +-=，且2224b c a +-=，则ABC 的面积为______.题型归类练（2022·江苏·高一课时练习）6．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60m ，则河流的宽度BC 等于（）A ．)2401m B ．)1801mC ．)1201mD ．)301m（2022·天津河北·高一期中）7．在 ABC 中，120B ∠= ，AB =∠A 的角平分线AD则|AC |＝（）A ．2B ．3C D（2022·四川绵阳·高一期中）8．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC )222a b c +-，则角C ＝（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）9．为了测量一个不规则公园,C D 两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1km 的,A B 两点，点B 在点A 的正东方向上，且,,,A B C D 四点在同一水平面上．从点A 处观测得点C 在它的东北方向上，点D 在它的西北方向上；从点B 处观测得点C 在它的北偏东15︒方向上，点D 在它的北偏西75 方向上，则,C D 之间的距离为______km.（2022·江西萍乡·三模（理））10．已知,,a b c分别为锐角ABC 的内角,,A B C 的对边，若in 2s c a A ==，则ABC 面积的最大值为_________．高频考点二：判断三角形的形状例题（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一期中）11．在ABC 中，已知()sin 2sin cos C B C B =+，那么ABC 一定是（）A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形（2022·河南·安阳一中高一阶段练习）12．若在,2cos ABC a B c ⋅=△中，则三角形的形状一定是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形（2022·江苏南通·模拟预测）13．小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1则（）A ．能制作一个锐角三角形B ．能制作一个直角三角形C ．能制作一个钝角三角形D ．不能制作这样的三角形题型归类练（2022·全国·高一单元测试）14．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos a bA B=，222c a b ab =+-，则ABC ∆是（）A ．钝角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形（2022·江苏南通·高一期中）15．在ABC 中，若22cos a b c B -=，cos cos 1A B +=，则ABC 一定是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．无法确定（2022·天津市第二十一中学高一期中）16．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A =，则△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形（2022·安徽·安庆一中高一期中）17．已知在ABC 中，22cos sin sin cos a A B b A B =，则ABC 的形状为（）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形（2022·江苏徐州·高一期中）18．在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．若1111sin sin tan tan c A c B b A a B-=-，则ABC 为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形参考答案：1．A【分析】由题意求得sin ,sin A B ，判断a b <，求出cos C ，判断出最短边和最长边，利用正弦定理求得答案.【详解】在ABC中，因为cos A =sin A =因为1tan 2B =，所以sin B =，因为sin sin A B <，所以a b <，所以()()cos cos πcos 052C A B A B ⎛⎫=--=-+=--=-<，即C 为最大角，sinC 2=，故最短边为a ，最长边为c，所以a =由正弦定理得12=c =，故选:A 2．A【分析】利用正弦定理将周长表达为关于B 的函数，然后利用△ABC 为锐角三角形求出定义域，再算值域即可.【详解】由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，又A ＝60°，BC =4所以)()4sin sin 4sin sin a b c B C B A B ++=++=+++148cos 48sin 26B B B p 骣琪=++=++琪桫桫因为△ABC 为锐角三角形，所以0,2,620,2B B C ππππ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⎛⎫⇒∈⎨⎪⎝⎭⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎩所以2,633B πππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 6B π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦所以周长的取值范围是(4,12⎤⎦.故选：A.3．B【分析】利用余弦定理求出边AB ，再利用正弦定理计算作答.【详解】在ABC中，3AB =，而sin C，由正弦定理得：4sin 3sin 3AC C B AB ===所以sin 9B =.故选：B4．35##0.6【分析】由余弦定理结合基本不等式可得4cos 15A ≤<，从而得到sin A 的最大值.【详解】由222533a b c +=得：222335c b a -=故22222222233445cos 22555c b b c b c a c b A bc bc bc bc -+-+-+===≥=，当且仅当2c b =时取等号，由于()0,A π∈，故4cos 15A ≤<，则229sin 1cos 0,25A A ⎛⎤=-∈ ⎥⎝⎦，则3sin 0,5A ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即sin A 的最大值是35故答案为：355【分析】首先根据正弦定理化简已知，求得1cos 2A =，再根据余弦定理求bc ，最后代入面积公式求解.【详解】解：由正弦定理边角互化可知cos (2)cos 0a B b c A +-=化简为()sin cos sin 2sin cos 0A B B C A +-=，sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A+=即()sin sin 2sin cos A B C C A+==sin 0C ≠ ，1cos 2A ∴=,∴222141cos 2222b c a A bc bc +-==⇔=，解得：4bc =，根据面积公式可知S =6．C【分析】根据题目所给俯角，求出ABC 内角，利用正弦定理求解即可.【详解】从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，气球的高度是60m ，所以105,30,45ABC ACB CAB ∠=︒∠=︒∠=︒所以260120AC =⨯=，由正弦定理可得，60sin 75AB =，sin 30sin 45AB BC = ，所以sin 45601)sin 30sin(3045)AB BC ===+ .故选：C.7．C【分析】在 ABD 中，利用正弦定理求得45ADB ∠= ，进而得到 ABC 是等腰三角形，再利用余弦定理求解.【详解】解：在 ABD 中，120B ∠= ，AB =A 的角平分线AD由正弦定理得sin sin 120ADABADB=∠，则sin 2ADB ∠=，所以45,15ADB DAB ∠=∠= ，则30A = ，所以 ABC 是等腰三角形，即==AB BC 所以2222cos 1206ACABBCAB BC =+-⋅⋅= ，故AC =，故选：C 8．A【分析】化简已知得1sin cos 26ab C C =，解方程即得解.【详解】解：1sin 2ABC S ab C = ，由余弦定理得2222cos b a c ab C +-=，∴结合)22212ABC S b a c =+-△，得1sin cos 26ab C C =，sin C C ∴=，()0,πC ∈ ，所以cos 0C ≠，∴tan C =6C π∴=．故选：A ．9．2【分析】由题意确定相应的各角的度数，在ABC 中，由正弦定理求得BC ,同理再求出DB ，解DBC △，求得答案.【详解】由题意可知，904545,9045135,9015105CAB DAB CBA ∠=-=∠=+=∠=+= ,157590,15CDB DBA ∠=+=∠= ,故在ABC 中，1804510530ACB ∠=--= ，故sin sin BD AB DAB ADB =∠∠，1sin 45sin 30BC ⨯==，在ABD △中，1801513530ADB ∠=--= ，故sin sin BC AB CAB ACB =∠∠，1sin135sin 30BD ⨯=所以在DBC △中，90CBD ∠= ，则2CD =,故答案为：210．4【分析】先由正弦定理求得3C π=，再由余弦定理求出23ab c ≤=，即可求出ABC 面积的最大值.【详解】因为in 2s c a A =，由正弦定理可得：2sin sin c a C A ==，所以sin 2c C ==又ABC 为锐角三角形，所以3C π=.由余弦定理得：2222cos 2c a b ab C ab ab ab =+-≥-=（当且仅当a =b 时等号成立）即23ab c ≤=，所以11sin 322ABC S ab C =≤⨯=△a =b ，即ABC 为等边三角形时等号成立）.所以ABC故答案为：4.11．B【分析】由两角和的正弦公式结合正弦定理和余弦定理可求出a b =，即可判断ABC 的形状.【详解】因为()sin 2sin cos C B C B =+，sin()sin B C A +=，所以sin 2sin cos C A B =，所以由正余弦定理得22222a c b c a ac+-=⋅，化简得22a b =，所以a b =，所以ABC 为等腰三角形.故选：B.12．B【分析】根据余弦定理角化边可得结果.【详解】由2cos a B c ⋅=以及余弦定理得22222a c b a c ac+-⋅=，化简得a b =，所以三角形的形状一定是等腰三角形.故选：B 13．C【分析】由向量关系与余弦定理列方程求解三条边长后判断【详解】设三角形的三条边为a ，b ，c ，设BC 中点为D ，1()2AD AB AC =+，则()222124AD AB AC AB AC=++⋅ ()2222222211222424b c a c b bc b c a bc ⎛⎫+-=++⋅=+- ⎪⎝⎭，∴2222228b c a +-=同理，2222222228,224a b c a c b +-=+-=∴2222831003283a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，∴3a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩，33a c +=>，∴可以构成三角形2225610044333a cb +-=-=-，∴cos 0B <，∴ABC 为钝角三角形，故选：C 14．B【分析】利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状.【详解】在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a bA B =，而cos cos a b A B=，∴sin sin cos cos A BA B=，即tan tan A B =，又∵A 、B 为ABC ∆的内角，∴A B =，又∵222c a b ab =+-，∴222ab a b c =+-，∴由余弦定理得：2221cos 22a b c C ab +-==，∴3C π=，∴ABC ∆为等边三角形.故选：B.15．A【分析】由22cos a b c B -=，利用余弦定理可求C ，再利用三角形内角的关系结合两角和与差的三角函数可求A ，进而可得三角形的形状.【详解】解：由22cos a b c B -=，根据余弦定理，故222222a c b a b c ac+--=，所以222a b c ab +-=，所以1cos 2C =，()0C π∈，，所以3C π=，所以23A B π+=，因为cos cos 1A B +=，所以2221cos cos cos cos cos sin sin cos cos sin 133322πππ⎛⎫+-=++=-+= ⎪⎝⎭A A A A A A A A ，即1cos 122A A +=，所以sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()0A π∈，，所以62A ππ+=，所以3A π=，从而3B AC ππ=--=.所以三角形为等边三角形，故选:.A 16．C【分析】先依据条件222b c a bc +=+求得π3A =，再利用2sin sin sinBC A =可以求得b c =，从而判断△ABC 的形状是等边三角形【详解】△ABC 中，222b c a bc +=+，则2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又0πA <<，则π3A =由2sin sin sinBC A =，可得2a bc =，代入222b c a bc+=+则有222b c bc bc bc +=+=，则()20b c -=，则b c =又π3A =，则△ABC 的形状是等边三角形故选：C17．D【分析】利用正弦定理与二倍角公式化简，再根据三角形的内角范围分析即可【详解】由正弦定理有22sin cos sin sin sin cos A A B B A B =，因为sin ,sin 0A B ≠，故sin cos sin cos A A B B =，故2sin cos 2sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，又(),0,A B π∈，故22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，故ABC 的形状为等腰三角形或直角三角形故选：D18．D【分析】利用正弦定理，化简得sin cos sin cos 0A C B C -=，进而对cos C 进行分类讨论，分为①cos 0C =；②cos 0C ≠两种情况进行求解，即可得到答案.【详解】1111sin sin tan tan c A c B b A a B -=-，利用正弦定理，可得，1111sin sin sin sin sin tan sin tan C A C B B A A B-=-，11cos cos sin sin sin sin sin sin A B C A C B B A--=，sin sin sin cos sin cos B A C A C B -=-，sin()sin()sin cos sin cos A C B C C A C B +-+=-，sin cos sin cos 0A C B C -=，①cos 0C =时，有等式成立，此时2C π=；②cos 0C ≠时，有sin sin A B =，因为0,0A B ππ<<<<，所以，A B =.故ABC 为等腰或直角三角形.故选：D。

正弦定理和余弦定理(含解析)

弦定理和余弦定理(含解析)第七节正弦定理和余弦定理[知识能否忆起]1．正弦定理分类内容定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R是△ABC 外接圆的半径)变形公式①a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C，②sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c，③sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R解决的问题①已知两角和任一边，求其他两边和另一角，②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 2．余弦定理分类内容定理在△ABC 中，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C变形公式cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab解决的问题 ①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．[小题能否全取]1．(2012·广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝() A．43B．2 3C. 3D.3 2解析：选B由正弦定理得：BCsin A＝AC sin B，即32sin 60°＝ACsin 45°，所以AC＝3232×22＝2 3.2．在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A 等于()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：选C∵cos A＝b2＋c2－a22bc＝1＋4－32×1×2＝12，又∵0°<A <180°，∴A ＝60°.3．(教材习题改编)在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定解析：选B ∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b a sin A ＝2418sin 45°，∴sin B ＝223.又∵a <b ，∴B 有两个．4．(2012·陕西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c＝23，则b ＝________.解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝4＋12－2×2×23×32＝4，所以b＝2.答案：25．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．解析：设BC＝x，由余弦定理得49＝25＋x2－10x cos 120°，整理得x2＋5x－24＝0，即x＝3.因此S△ABC ＝12AB×BC×sin B＝12×3×5×32＝1534.答案：153 4(1)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.(2)在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sinAb sinA<a<ba≥b a>b解的个数一解两解一解一解利用正弦、余弦定理解三角形典题导入[例1](2012·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝3a cos B.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．[自主解答](1)由b sin A＝3a cos B及正弦定理asin A＝bsin B，得sin B＝3cos B，所以tan B＝3，所以B＝π3.(2)由sin C＝2sin A及asin A＝csin C，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝3，c＝23.在本例(2)的条件下，试求角A的大小．解：∵asin A＝bsin B，∴sin A＝a sin Bb＝3·sinπ33＝12.∴A＝π6.由题悟法1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．2．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．以题试法1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求ba；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.解：(1)由正弦定理得，sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A.故sin B＝2sin A，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cos B＝(1＋3)a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝1 2，又cos B>0，故cos B＝22，所以B＝45°.利用正弦、余弦定理判定三角形的形状典题导入[例2] 在△ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．[自主解答] (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )·b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，∵0<A <180°，∴A ＝120°. (2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝34.又sin B＋sin C＝1，解得sin B＝sin C＝1 2.∵0°<B<60°，0°<C<60°，故B＝C，∴△ABC是等腰的钝角三角形．由题悟法依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．[注意]在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．以题试法2．(2012·安徽名校模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m＝(4，－1)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos 2A 2，cos 2A ，且m ·n ＝72. (1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状．解：(1)∵m ＝(4，－1)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos 2A 2，cos 2A ， ∴m ·n ＝4cos 2A 2－cos 2A ＝4·1＋cos A 2－(2cos 2A －1)＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3.又∵m ·n ＝72， ∴－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝72，解得cos A ＝12. ∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝3， ∴(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc .① 又∵b ＋c ＝23，∴b ＝23－c ，代入①式整理得c 2－23c ＋3＝0，解得c ＝3，∴b ＝ 3，于是a ＝b ＝c ＝ 3，即△ABC 为等边三角形．与三角形面积有关的问题典题导入[例3] (2012·新课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .[自主解答] (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A －π6＝12. 又0＜A ＜π，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.由题悟法1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的．解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．2．在解决三角形问题中，面积公式S ＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用．以题试法3．(2012·江西重点中学联考)在△ABC中，12cos 2A＝cos2A－cos A.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，sin B＝2sin C，求S△ABC.解：(1)由已知得12(2cos2A－1)＝cos2A－cosA，则cos A＝12.因为0<A<π，所以A＝π3.(2)由bsin B＝csin C，可得sin Bsin C＝bc＝2，即b＝2c.所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝4c2＋c2－94c2＝12，解得c ＝3，b ＝23，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×3×32＝332.1．在△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，条件“a cos B ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C a cos B .2．(2012·泉州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为2，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3 解析：选D 由已知得12bc sin A ＝12×1×c ×sin π3＝32，解得c ＝2，则由余弦定理可得a 2＝4＋1－2×2×1×cos π3＝3⇒a ＝ 3. 3．(2013·“江南十校”联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tan A tan B＝2c b ，则C ＝( ) A ．30° B ．45°C ．45°或135°D ．60°解析：选B 由1＋tan A tan B＝2c b 和正弦定理得 cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ，即sin C ＝2sin C cos A ，所以cos A ＝2，则A ＝60°. 由正弦定理得23sin A ＝22sin C，则sin C ＝22，又c <a ，则C <60°，故C ＝45°.4．(2012·陕西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12 D ．－12解析：选C 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C ＝12(a 2＋b 2)，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12. 5．(2012·上海高考)在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定解析：选C由正弦定理得a2＋b2<c2，所以cos C＝a2＋b2－c22ab<0，所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形．6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2a sin B，则角A的大小为________．解析：由正弦定理得sin B＝2sin A sin B，∵sin B≠0，∴sin A＝12，∴A＝30°或A＝150°.答案：30°或150°7．在△ABC中，若a＝3，b＝3，A＝π3，则C的大小为________．解析：由正弦定理可知sin B＝b sin A a＝3sin π33＝12，所以B ＝π6或5π6(舍去)，所以C ＝π－A －B ＝π－π3－π6＝π2. 答案：π28．(2012·北京西城期末)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝25，B ＝π4，sinC ＝55，则c ＝________；a ＝________. 解析：根据正弦定理得b sin B ＝c sin C，则c ＝b sin C sin B ＝22，再由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2－4a －12＝0，(a ＋2)(a －6)＝0，解得a ＝6或a ＝－2(舍去)．答案：22 69．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：根据余弦定理代入b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－14，解得b ＝4. 答案：410．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .解：(1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64. 故a ＝b ×sin A sin B ＝2＋62＝1＋3， c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6. 11．(2013·北京朝阳统考)在锐角三角形ABC中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足3a －2b sin A ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝5，且a >c ，b ＝7，求AB ·AC 的值．解：(1)因为3a －2b sin A ＝0，所以 3sin A －2sin B sin A ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B ＝32. 又B 为锐角，所以B ＝π3. (2)由(1)可知，B ＝π3.因为b ＝ 7. 根据余弦定理，得7＝a 2＋c 2－2ac cos π3，整理，得(a ＋c )2－3ac ＝7.由已知a ＋c ＝5，得ac ＝6.又a >c ，故a ＝3，c ＝2.于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝7＋4－947＝714，所以AB ·AC ＝|AB |·|AC |cos A ＝cb cos A＝2×7×714＝1. 12．(2012·山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列；(2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S . 解：(1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，所以sin B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin C cos C ，因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ，所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C .又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ，因此sin 2B ＝sin A sin C .由正弦定理得b 2＝ac ，即a ，b ，c 成等比数列．(2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝12＋22－22×1×2＝34，因为0B >C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4解析：选D 由题意可得a >b >c ，且为连续正整数，设c ＝n ，b ＝n ＋1，a ＝n ＋2(n >1，且n ∈N *)，则由余弦定理可得3(n ＋1)＝20(n ＋2)·(n ＋1)2＋n 2－(n ＋2)22n (n ＋1)，化简得7n 2－13n －60＝0，n ∈N *，解得n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.2．(2012·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，且a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为________．解析：因为4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，所以2[1－cos(A ＋B )]－2cos 2C ＋1＝72， 2＋2cos C －2cos 2C ＋1＝72，cos 2C －cos C ＋14＝0，解得cos C＝12.根据余弦定理有cos C＝1 2＝a2＋b2－72ab，ab＝a2＋b2－7,3ab＝a2＋b2＋2ab－7＝(a＋b)2－7＝25－7＝18，ab＝6，所以△ABC的面积S△ABC＝12ab sin C＝12×6×32＝332.答案：33 23．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cos A－a cos C＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，S△ABC＝334，试判断△ABC的形状，并说明理由．解：(1)法一：由(2b－c)cos A－a cos C＝0及正弦定理，得(2sin B－sin C)cos A－sin A cos C＝0，∴2sin B cos A－sin(A＋C)＝0，sin B (2cos A －1)＝0.∵0<B <π，∴sin B ≠0，∴cos A ＝12. ∵0<A <π，∴A ＝π3. 法二：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0，及余弦定理，得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc－a ·a 2＋b 2－c 22ab＝0，整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝334，即12bc sin π3＝334， ∴bc ＝3，①∵a2＝b2＋c2－2bc cos A，a＝3，A＝π3，∴b2＋c2＝6，②由①②得b＝c＝3，∴△ABC为等边三角形．1．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sin C＝________.解析：在△ABC中，A＋C＝2B，∴B＝60°.又∵sin A＝a sin Bb＝12，∴A＝30°或150°(舍)，∴C＝90°，∴sin C＝1.答案：12．在△ABC中，a＝2b cos C，则这个三角形一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解析：选A 法一：(化边为角)由正弦定理知：sin A ＝2sin B cos C ，又A ＝π－(B ＋C )， ∴sin A ＝sin(B ＋C )＝2sin B cos C .∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0，∴sin(B －C )＝0.又∵B 、C 为三角形内角，∴B ＝C .法二：(化角为边)由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， ∴a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－c 2a ， ∴a 2＝a 2＋b 2－c 2，∴b 2＝c 2，∴b ＝c .3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．解：(1)因为cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，且0<C <π，所以sin C ＝104. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝4.由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14，及0<C <π得cos C ＝±64. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0，解得b ＝6或26，所以⎩⎨⎧ b ＝6，c ＝4或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4. 4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值．解：(1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103，所以a ＝53. (2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35，所以310ac ＝3，ac ＝10. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40. 所以a ＋c ＝210.。

正弦定理和余弦定理 (含详解)

第三章第七节正弦定理和余弦定理1.(2009·广东高考)已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2，且∠A ＝75°，则b ＝ ( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2解析：如图所示．在△ABC 中，由正弦定理得sin 30b == =4， ∴b=2. 答案：A2．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC cos A的值等于______，AC 的取值范围为________．解析：由正弦定理得AC sin2A ＝BC sin A. 即AC 2sin A cos A ＝1sin A .∴AC cos A ＝2. ∵△ABC 是锐角三角形，∴0＜A ＜π2，0＜2A ＜π2，0＜π－3A ＜π2，解得π6＜A ＜π4. 由AC ＝2cos A 得AC 的取值范围为(2，3)．答案：2 (2，3)3．(2009·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，求b .解：由余弦定理得a 2－c 2＝b 2－2bc cos A .又a 2－c 2＝2b ，b ≠0，所以b ＝2c cos A ＋2.①又sin A cos C ＝3cos A sin C ，sin A cos C ＋cos A sin C ＝4cos A sin C ，sin(A ＋C )＝4cos A sin C ，sin B ＝4sin C cos A .由正弦定理得sin B ＝b c sin C ，故b ＝4c cos A .②由①、②解得b ＝4.4.(2010·天津模拟)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c，(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为 ( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形解析：∵cos 2B 2＝a ＋c 2c ，∴cos B ＋12＝a ＋c 2c，∴cos B ＝a c ， ∴a 2＋c 2－b 22ac＝a c ， ∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．答案：B5．在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形解析：法一：因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，即C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin(A ＋B )．由2sin A cos B ＝sin C ，得2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0.又因为－π＜A －B ＜π，所以A －B ＝0，即A ＝B .所以△ABC 是等腰三角形．法二：利用正弦定理和余弦定理2sin A cos B ＝sin C 可化为2a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ，即a 2＋c 2－b 2＝c 2，即a 2－b 2＝0，即a 2＝b 2，故a ＝b .所以△ABC 是等腰三角形．答案：B6.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝π6，则△ABC 的面积等于 ( ) A.32 B.34 C.32或 3 D.32或34解析：由正弦定理知AB sin C ＝AC sin B ，∴sin C ＝AB sin B AC ＝32， ∴C ＝π3或2π3，A ＝π2或π6，∴S ＝32或34. 答案：D7．在△ABC 中，面积S ＝a 2－(b －c )2，则cos A ＝ ( )A.817B.1517C.1315D.1317解析：S ＝a 2－(b －c )2＝a 2－b 2－c 2＋2bc ＝2bc －2bc cos A ＝12bc sin A ，∴sin A ＝4(1－cos A ),16(1－cos A )2＋cos 2A ＝1，∴cos A ＝1517. 答案：B8．(2009·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB ·AC ＝3. (1)求△ABC 的面积；(2)若c ＝1，求a 的值．解：(1)因为cos A 2＝255，所以cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45. 又由AB ·AC ＝3，得bc cos A ＝3，所以bc ＝5. 因此S △ABC ＝12bc sin A ＝2. (2)由(1)知，bc ＝5，又c ＝1，所以b ＝5，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20，所以a ＝2 5.9.若△ABC ( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：依题意及面积公式S ＝12bc sin A ，得103＝12bc sin60°，得bc ＝40. 又周长为20，故a ＋b ＋c ＝20，b ＋c ＝20－a ，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，故a 2＝(20－a )2－120，解得a ＝7.答案：C10．(文)在三角形ABC 中，已知∠B ＝60°，最大边与最小边的比为3＋12，则三角形的最大角为 ( )A ．60°B ．75°C ．90°D ．115°解析：不妨设a 为最大边．由题意，a c ＝sin A sin C ＝3＋12，即sin A sin(120°－A )＝3＋12， ∴sin A 32cos A ＋12sin A ＝3＋12， (3－3)sin A ＝(3＋3)cos A ，∴tan A ＝2＋3，∴A ＝75°.答案：B(理)锐角△ABC 中，若A ＝2B ，则a b的取值范围是 ( ) A ．(1,2) B ．(1，3) C ．(2，2) D ．(2，3)解析：∵△ABC 为锐角三角形，且A ＝2B ，∴⎩⎨⎧0＜2B ＜π2，0＜π－3B ＜π2，∴π6＜B ＜π4， ∴sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ，a b ＝sin Asin B ＝2cos B ∈(2，3)．答案：D11．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )，若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________.解析：∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0，∴tan A ＝3，∴A ＝π3. ∵a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，∴sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C sin C ，∴sin(A ＋B )＝sin 2C ，∴sin C ＝sin 2C ，∵sin C ≠0，∴sin C ＝1.∴C ＝π2，∴B ＝π6. 答案：π612．(文)(2010·长郡模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3＜C ＜π2且b a －b ＝sin2C sin A －sin2C(1)判断△ABC 的性状；(2)若|BA ＋BC |＝2，求BA ·BC 的取值范围．解：(1)由b a －b ＝sin2C sin A －sin2C及正弦定理得sin B ＝sin2C ， ∴B ＝2C ，且B ＋2C ＝π，若B ＝2C ，π3＜C ＜π2， ∴23π＜B ＜π，B ＋C ＞π(舍)； ∴B ＋2C ＝π，则A ＝C ，∴△ABC 为等腰三角形．(2)∵|BA ＋BC |＝2，∴a 2＋c 2＋2ac ·cos B ＝4，∴cos B ＝2－a 2a 2(∵a ＝c )，而cos B ＝－cos2C ，π3＜C ＜π2， ∴12＜cos B ＜1， ∴1＜a 2＜43，又BA ·BC ＝ac cos B ＝2－a 2，∴BA ·BC ∈(23，1)．(理)(2010·广州模拟)在△ABC 中，A ，B ，C 分别是三边a ，b ，c 的对角．设m ＝(cos C 2，sin C 2)，n ＝(cos C 2，－sin C 2)，m ，n 的夹角为π3. (1)求C 的大小；(2)已知c ＝72，三角形的面积S ＝332，求a ＋b 的值．解：(1)m ·n ＝cos 2C 2－sin 2C 2＝cos C ，又m ·n ＝|m ||n |cos π3＝12，故cos C ＝12，∵0＜C ＜π，∴C ＝π3. (2)S ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝34ab ，又已知S ＝332，故34ab ＝332，∴ab ＝6. ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，c ＝72， ∴494＝a 2＋b 2－2ab ×12＝(a ＋b )2－3ab . ∴(a ＋b )2＝494＋3ab ＝494＋18＝1214， ∴a ＋b ＝112.。

正弦定理和余弦定理知识点讲解+例题讲解(含解析)

导数的概念及运算一、知识梳理1.正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：4.三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2.5.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形.( ) 解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比. (3)已知三角时，不可求三边.(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 不一定为锐角三角形. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC ＝( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，由A ∈(0，π)，得A ＝2π3，即∠BAC ＝23π. 答案 C3.在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________. 解析由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 答案等腰三角形或直角三角形4.(2018·烟台质检)已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b 等于( ) A.2B.1C. 3D.2解析由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin π6＝bsin π4，∴112＝b22，∴b ＝ 2.答案 D5.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( ) A.4 2B.30C.29D.25解析由题意得cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝4 2.答案 A6.(2019·荆州一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝22，cos A ＝34，sin B ＝2sin C ，则△ABC 的面积是________. 解析由sin B ＝2sin C ，cos A ＝34，A 为△ABC 一内角，可得b ＝2c ，sin A ＝1－cos 2A ＝74， ∴由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得8＝4c 2＋c 2－3c 2，解得c ＝2(舍负)，则b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×4×74＝7. 答案 7考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.(2)(2019·枣庄二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 (a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则A ＝( ) A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3(3)(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6解析 (1)由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22，结合b <c 得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. (2)∵(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，∴由正弦定理得(a ＋b )(a －b )＝c (c －b )，即b 2＋c 2－a 2＝bc . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(3)因为a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，且S △ABC ＝a 2＋b 2－c24，所以S △ABC ＝2ab cos C 4＝12ab sin C ，所以tan C ＝1.又C ∈(0，π)，故C ＝π4. 答案 (1)75° (2)B (3)C【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12B.π6C.π4D.π3(2)(2019·北京海淀区二模)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2cos 2A ＋B2－cos 2C ＝1，4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( )A.13B.7C.37D.6(3)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定解析 (1)由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，则sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，因为C ∈(0，π)，所以sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π4.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得2sin 3π4＝2sin C ，则sin C ＝12，又C ∈(0，π)，得C ＝π6.(2)由2cos 2A ＋B 2－cos 2C ＝1，可得2cos 2A ＋B 2－1－cos 2C ＝0，则有cos 2C ＋cos C ＝0，即2cos 2C ＋cos C －1＝0，解得cos C ＝12或cos C ＝－1(舍)，由4sin B ＝3sin A ，得4b ＝3a ，① 又a －b ＝1，②联立①，②得a ＝4，b ＝3，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋9－12＝13，则c ＝13.(3)∵b sin A ＝6×22＝3，∴b sin A <a <b . ∴满足条件的三角形有2个. 答案 (1)B (2)A (3)B 考点二判断三角形的形状【例2】 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形D.等边三角形(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解析(1)由cb<cos A，得sin Csin B<cos A，又B∈(0，π)，所以sin B>0，所以sin C<sin B cos A，即sin(A＋B)<sin B cos A，所以sin A cos B<0，因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.(2)由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形.答案(1)A(2)B【训练2】若将本例(2)中条件变为“c－a cos B＝(2a－b)cos A”，判断△ABC的形状.解∵c－a cos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，∴由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，∴sin A cos B＋cos A sin B－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，∴cos A(sin B－sin A)＝0，∴cos A＝0或sin B＝sin A，∴A＝π2或B＝A或B＝π－A(舍去)，∴△ABC为等腰或直角三角形.考点三和三角形面积、周长有关的问题角度1 与三角形面积有关的问题【例3－1】 (2017·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积. 解 (1)由sin A ＋3cos A ＝0及cos A ≠0，得tan A ＝－3，又0<A <π，所以A ＝2π3.由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c ·cos 2π3.即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6. 故△ABD 与△ACD 面积的比值为12AB ·AD sin π612AC ·AD＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3. 角度2 与三角形周长有关的问题【例3－2】 (2018·上海嘉定区模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A .若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________. 解析由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22，则(b＋c)2≤64，即b＋c≤8(当且仅当b＝c＝4时等号成立)，∴△ABC周长＝a＋b＋c＝4＋b＋c≤12，即最大值为12.答案12【训练3】(2019·潍坊一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋b cos A＝0.(1)求B；(2)若b＝3，△ABC的周长为3＋23，求△ABC的面积.解(1)由已知及正弦定理得(sin A＋2sin C)cos B＋sin B cos A＝0，(sin A cos B＋sin B cos A)＋2sin C cos B＝0，sin(A＋B)＋2sin C cos B＝0，又sin(A＋B)＝sin C，且C∈(0，π)，sin C≠0，∴cos B＝－12，∵0<B<π，∴B＝23π.(2)由余弦定理，得9＝a2＋c2－2ac cos B.∴a2＋c2＋ac＝9，则(a＋c)2－ac＝9.∵a＋b＋c＝3＋23，b＝3，∴a＋c＝23，∴ac＝3，∴S△ABC ＝12a a c sin B＝12×3×32＝334.三、课后练习1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝223，b cos A＋a cosB＝2，则△ABC的外接圆面积为()A.4πB.8πC.9πD.36π解析由题意及正弦定理得2R sin B cos A＋2R sin A cos B＝2R sin(A＋B)＝2(R为△ABC的外接圆半径).即2R sin C＝2.又cos C＝223及C∈(0，π)，知sin C＝13.∴2R＝2sin C＝6，R＝3.故△ABC 外接圆面积S ＝πR 2＝9π. 答案 C2.(2019·武汉模拟)在△ABC 中，C ＝2π3，AB ＝3，则△ABC 的周长为( ) A.6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3 B.6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3 C.23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3D.23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3解析设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝3sin 2π3＝23，于是BC ＝2R sin A ＝23sin A ，AC ＝2R sin B ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A .于是△ABC 的周长为23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＋3＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3. 答案 C3.(2019·长春一模)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －sin C cos A ＝sin A cos C ，且a ＝23，则△ABC 面积的最大值为________. 解析因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －sin C cos A ＝sin A cos C ，所以12b cos A －sin C cos A ＝sin A cosC ，所以12b cos A ＝sin(A ＋C )，所以12b cos A ＝sin B ，所以cos A 2＝sin Bb ，又sin B b ＝sin A a ，a ＝23，所以cos A 2＝sin A 23，得tan A ＝3，又A ∈(0，π)，则A ＝π3，由余弦定理得(23)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤12(当且仅当b ＝c ＝23时取等号)，从而△ABC 面积的最大值为12×12×32＝3 3. 答案 334.(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值.解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37. 因为a <c ，故cos A ＝27. 因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437， cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.5.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 222.若a 2sin C ＝4sin A ，(a ＋c )2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为________. 解析根据正弦定理及a 2sin C ＝4sin A ，可得ac ＝4，由(a ＋c )2＝12＋b 2，可得a 2＋c 2－b 2＝4，所以S △ABC ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 222＝14×（16－4）＝ 3. 答案3。

《正弦定理和余弦定理》典型例题

《正弦定理和余弦定理》典型例题【1】透析类型一：正弦定理的应用：例1．已知在ABC ∆中，10c =，45A =，30C =，解三角形.思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b .解析：sin sin a cA C =，∴sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯===，∴180()105B A C =-+=，又sin sin b c B C =， ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ⨯+====⨯=+．总结升华：1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。

【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理，0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ；根据正弦定理，00sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A【变式2】在∆ABC 中，已知075B =，060C =，5c =，求a 、A .【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=，根据正弦定理5sin 45sin 60oo a =，∴563a =.【变式3】在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c【答案】根据正弦定理sin sin sin a b cA B C ==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==.例2．在3,60,1ABC b B c ∆===中，，求：a 和A ，C ．思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a .解析：由正弦定理得：sin sin b cB C =， ∴sin 1sin 601sin 23c B C b ⨯===，（方法一）∵0180C <<， ∴30C =或150C =，当150C =时，210180B C +=>，（舍去）；当30C =时，90A =，∴222a b c =+=．（方法二）∵b c >，60B =， ∴C B <， ∴60C <即C 为锐角，∴30C =，90A =∴222a b c =+=．总结升华：1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。

正余弦定理知识点+经典题(有问题详解)

正余弦定理1.定理容：〔1〕正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即2sin sin sin a b cR A B C=== 〔2〕余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。

即：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-〔3〕面积定理：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆=== 2.利用正余弦定理解三角形：〔1〕一边和两角：〔2〕两边和其中一边的对角：〔3〕两边和它们所夹的角：〔4〕三边：正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，如此b 等于( )A.6B. 2C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，如此b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3233．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，如此角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，如此sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，假如A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，如此c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.146．在△ABC 中，假如cos A cos B ＝ba，如此△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 7．△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，如此△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或3D.34或328．△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .假如c ＝2，b ＝6，B ＝120°，如此a 等于( )A.6B ．2C.3D. 29．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，假如a ＝1，c ＝3，C ＝π3，如此A ＝________.10．在△ABC 中，a ＝433，b ＝4，A ＝30°，如此sin B ＝________.11．在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，如此a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，如此△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，如此a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________.14．△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，如此a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.15．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，如此b ＝________.16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，如此此三角形有________组解．17．如下列图，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，如此货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，假如a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 与b 、c .19．(2009年高考卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)假如a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于()A ．6B ．26C ．36D ．4 62．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，如此c 等于()A. 3B.2C. 5 D ．23．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，如此∠A 等于()A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，假如(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，如此∠B 的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，如此a cos B ＋b cos A 等于()A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，如此这个新的三角形的形状为()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定7．锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，如此AB →·AC →的值为()A ．2B ．－2C ．4D ．－48．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，如此a 为()A.3B ．23C.3或23D ．29．△ABC 的三个角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，如此边BC 上的中线AD 的长为________． 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．11．a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，假如a ＝4，b ＝5，S ＝53，如此边c 的值为________． 12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，如此cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，如此b ＝________.14．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，如此AB →·BC →的值为________．15．△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，如此角C ＝________.16．(2011年调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，如此最小角的余弦值为________． 17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．18．△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)假如△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．20．在△ABC 中，(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，如此b 等于( )A.6B. 2C. 3 D ．2 6解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin Bsin A＝ 6.2．在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，如此b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A＝4 6.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，如此角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°.4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，如此sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，假如A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，如此c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.14解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.6．在△ABC 中，假如cos A cos B ＝ba，如此△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A，sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.7．△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，如此△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ，∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．8．△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .假如c ＝2，b ＝6，B ＝120°，如此a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，如此C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，假如a ＝1，c ＝3，C ＝π3，如此A ＝________.解析：由正弦定理得：a sin A ＝csin C，所以sin A ＝a ·sin C c ＝12.又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6.答案：π610．在△ABC 中，a ＝433，b ＝4，A ＝30°，如此sin B ＝________.解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32.答案：3211．在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，如此a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3. 答案：8 312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，如此△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得 2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，C=30°如此a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 614．△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，如此a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin Csin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：215．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，如此b ＝________.解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43，解得b ＝2 3. 答案：2 316．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，如此此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2，∴c <b sin C ，∴此三角形无解．答案：0 17．如下列图，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，如此货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20，∠ABC ＝140°－110°＝30°， ∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，假如a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 与b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6.由sin B sin C ＝cos 2A2，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]，即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，得b ＝c ＝a sin Bsin A ＝23×1232＝2.故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2.19．(2009年高考卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)假如a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010，∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010.又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4.(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22.由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C得5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5.20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ，∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°.又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C . 当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝bsin B，∴b ＝215.当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)．故边b 的长为215.余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于()A ．6B ．2 6C ．3 6D ．4 6 解析：选A.由余弦定理，得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，如此c 等于() A. 3 B. 2 C. 5 D ．2解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2， ∴c ＝ 2.3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，如此∠A 等于() A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°解析：选D.cos ∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32，∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，假如(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，如此∠B 的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B .显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，如此a cos B ＋b cos A 等于() A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对解析：选C.a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c＝c .6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，如此这个新的三角形的形状为() A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，如此c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，如此AB →·AC →的值为() A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4解析：选A.S △ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A＝12×4×1×sin A ， ∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×1×12＝2.8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，如此a 为() A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.9．△ABC 的三个角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，如此边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝1＋4－2×1×2×12＝ 3.答案： 310．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)， ∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 11．a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，假如a ＝4，b ＝5，S ＝53，如此边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61. 答案：21或6112．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，如此cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设a ＝2k (k ＞0)，如此b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2k 2＋4k 2－3k 22×2k ×4k ＝1116，同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，如此b ＝________.解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223. 又S △ABC ＝12ab sin C ＝43，即12·b ·32·223＝43， ∴b ＝2 3.答案：2 314．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，如此AB →·BC →的值为________．解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5＝1935， ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×(－1935) ＝－19. 答案：－1915．△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，如此角C ＝________. 解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°. 答案：45°16．(2011年调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，如此最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，如此⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4， ∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78. 答案：7817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12. 又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12) ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab＝(23)2－2＝10，∴AB ＝10.18．△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)假如△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解：(1)由题意与正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝AC ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12，所以C ＝60°.19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A，得AB ＝sin C sin ABC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255，于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45， cos 2A ＝cos 2A －sin 2A ＝35. 所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.20．在△ABC 中，(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin C sin B ＝c b. 由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b. 又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，因此△ABC 为等边三角形．。

高考复习第4篇第6讲正弦定理和余弦定理知识点+例题+练习含答案

第6讲正弦定理和余弦定理知识梳理1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bc cos Ab2＝a2＋c2－2ac cos Bc2＝a2＋b2－2ab cos C常见变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sinB，c＝2R sin C；(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；(3)a∶b∶c＝sin A∶sinB∶sin Ccos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝a2＋c2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22ab解决的问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b解的个数一解两解一解一解(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．(2)S＝12bc sin A＝12ab sin C＝12ac sin B.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)．辨析感悟1．三角形中关系的判断(1)在△ABC中，sin A＞sin B的充分不必要条件是A＞B.(×)(2)(教材练习改编)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，则A＝60°或120°.(√) 2．解三角形(3)(2013·北京卷改编)在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝13，则sin B＝59.(√)(4)(教材习题改编)在△ABC中，a＝5，c＝4，cos A＝916，则b＝6.(√)3．三角形形状的判断(5)在△ABC中，若sin A sin B＜cos A cos B，则此三角形是钝角三角形．(√)(6)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则此三角形是锐角三角形．(×)[感悟·提升]一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B，如(1)．判断三角形形状的两种途径一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.考点一利用正弦、余弦定理解三角形【例1】(1)(2013·湖南卷改编)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝3b，则角A等于______．(2)(2014·杭州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝42，B＝45°，则sin C＝________.解析(1)在△ABC中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B＝3sin B，∵B 为△ABC 的内角，∴sin B ≠0. ∴sin A ＝32.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.(2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－82×22＝25，即b ＝5. ∴sin C ＝C sin B b ＝42×225＝45. 答案 (1)π3 (2)45规律方法已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．【训练1】 (1)在△ABC 中，a ＝23，c ＝22，A ＝60°，则C ＝________. (2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________.解析 (1)由正弦定理，得23sin 60°＝22sin C ，解得：sin C ＝22，又c ＜a ，所以C ＜60°，所以C ＝45°. (2)∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理，得c ＝23b ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，又A 为三角形的内角，∴A ＝30°.答案 (1)45° (2)30°考点二判断三角形的形状【例2】 (2014·临沂一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．解 (1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°. 由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， ∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. ∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°. ∴B ＋30°＝90°，B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，△ABC 为等边三角形．规律方法解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．【训练2】 (1)(2013·山东省实验中学诊断)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 的形状是________三角形．(填“直角”、“钝角”或“锐角”等)(2)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，则△ABC 的形状是________三角形．(填“锐角”、“直角”、“等腰”或“等腰或直角”)解析 (1)由2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，得a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12ab2ab ＝－14＜0，所以90°＜C ＜180°，即△ABC 为钝角三角形． (2)由已知(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，得b 2[sin(A －B )＋sin C ]＝a 2[sin C －sin(A －B )]，即b 2sin A cos B ＝a 2cos A sin B ，即sin 2 B sin A cos B ＝sin 2 A cos A sin B ，所以sin 2B ＝sin 2A ，由于A ，B 是三角形的内角，故0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π. 故只可能2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．答案 (1)钝角 (2)等腰或直角考点三与三角形面积有关的问题【例3】 (2013·浙江卷)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．审题路线 (1)把2a sin B ＝3b 变形为2a ＝3b sin B ⇒利用正弦定理a sin A ＝bsin B ⇒得到sin A ＝？⇒A 为锐角，得出A ＝？(2)由(1)知cos A 的值⇒利用余弦定理⇒又b ＋c ＝8，求bc 的值⇒利用三角形面积公式S ＝12bc sin A 求得．解 (1)由2a sin B ＝3b ，得2a ＝3bsin B ，又由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin A ＝2a 3，所以sin A ＝32，因为A 为锐角，所以A ＝π3.(2)由(1)及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝36，又b ＋c ＝8，所以bc ＝283，由S ＝12bc sin A ，得△ABC 的面积为733.规律方法在解决三角形问题中，面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．【训练3】 (2013·湖北卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1. (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．解 (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12 bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20. 又b ＝5，所以c ＝4.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21.又由正弦定理，得sin B sin C ＝b a sin A ·ca sin A ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57.1．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解． 2．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化．如a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可以转化为sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C －2sin B sin C cos A ，利用这些变形可进行等式的化简与证明．答题模板6——解三角形问题【典例】 (13分)(2013·重庆卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc . (1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值．[规范解答] (1)由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32. 又因为0＜A ＜π，所以A ＝5π6.(4分) (2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3，得S ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A ·a sin C ＝3sin B sin C ，(6分) 因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C )＝ 3cos(B －C )．(9分)所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时， S ＋3cos B cos C 取最大值3.(13分)[反思感悟] (1)在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．(2)在本题第(2)问中，不会结合正弦定理表达S 的角的形式是失分的主要原因．答题模板第一步：定已知.即梳理已知条件，确定三角形中已知的边与角；第二步：选定理.即根据已知的边角关系灵活地选用定理和公式；第三步：代入求值. 【自主体验】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A . (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c . 解 (1)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理，得 3sin A sin C －cos A ·sin C －sin C ＝0，由于sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，又0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8，解得b ＝c ＝2.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．(2013·盐城模拟)在△ABC 中，若a 2－c 2＋b 2＝3ab ，则C ＝________. 解析由a 2－c 2＋b 2＝3ab ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32，所以C ＝30°. 答案 30°2．(2014·合肥模拟)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为________．解析 S ＝12×AB ·AC sin 60°＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，所以BC ＝ 3. 答案33．(2013·新课标全国Ⅱ卷改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为________．解析由正弦定理b sin B ＝csin C 及已知条件得c ＝22，又sin A ＝sin(B ＋C )＝12×22＋32×22＝2＋64. 从而S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×22×2＋64＝3＋1. 答案3＋14．(2013·山东卷改编)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝________.解析由a sin A ＝b sin B ，得a sin A ＝b sin 2A ，所以1sin A ＝32sin A cos A ，故cos A ＝32，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2，c ＝a 2＋b 2＝12＋(3)2＝2.答案 25．(2013·陕西卷改编)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为________三角形(填“直角”、“锐角”或“钝角”)．解析由正弦定理及已知条件可知sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2 A ，即sin(B ＋C )＝sin 2 A ，而B ＋C ＝π－A ，所以sin(B ＋C )＝sin A ，所以sin 2 A ＝sin A ，又0＜A ＜π，sin A ＞0，∴sin A ＝1，即A ＝π2. 答案直角6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析由题意知，sin B ＋cos B ＝2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，所以B ＝π4，根据正弦定理可知a sin A ＝b sin B ，可得2sin A ＝2sin π4，所以sin A ＝12，又a ＜b ，故A ＝π6.答案 π67．(2014·惠州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为________．解析由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝32，∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 答案π3或2π38．(2013·烟台一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B 等于________．解析由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，即c ＝2.由cos C ＝14得sin C ＝154.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝22×154＝154(或者因为c ＝2，所以b ＝c ＝2，即三角形为等腰三角形，所以sin B ＝sin C ＝154)．答案154二、解答题9．(2014·扬州质检)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且a ＝12c ＋b cos C . (1)求角B 的大小；(2)若S △ABC ＝3，b ＝13，求a ＋c 的值．解 (1)由正弦定理，得sin A ＝12sin C ＋sin B cos C ，又因为A ＝π－(B ＋C )，所以sin A ＝sin(B ＋C )，可得sin B cos C ＋cos B sin C ＝12sin C ＋sin B cos C ，即cos B ＝12，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为S △ABC ＝3，所以12ac sin π3＝3，所以ac ＝4，由余弦定理可知b 2＝a 2＋c 2－ac ，所以(a ＋c )2＝b 2＋3ac ＝13＋12＝25，即a ＋c ＝5.10．(2013·深圳二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，b ＝5，c ＝7.(1)求角C 的大小；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3的值．解 (1)由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋52－722×3×5＝－12.∵0＜C ＜π，∴C ＝2π3.(2)由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝5sin 2π37＝5314，∵C ＝2π3，∴B 为锐角， ∴cos B ＝1－sin 2 B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫53142＝1114. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3 ＝5314×12＋1114×32＝437.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·温岭中学模拟)在锐角△ABC 中，若BC ＝2，sin A ＝223，则A B →·A C →的最大值为________．解析由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ×13＝4，由基本不等式可得4≥43bc ，即bc≤3，又∵sin A＝223，∴cos A＝13，所以A B→·A C→＝bc cos A＝13bc≤1.答案 12．(2013·青岛一中调研)在△ABC中，三边长a，b，c满足a3＋b3＝c3，那么△ABC的形状为________三角形．(填“锐角”、“钝角”或“直角”)．解析由题意可知c＞a，c＞b，即角C最大，所以a3＋b3＝a·a2＋b·b2＜ca2＋cb2，即c3＜ca2＋cb2，所以c2＜a2＋b2.根据余弦定理，得cos C＝a2＋b2－c22ab＞0，所以0＜C＜π2，即三角形为锐角三角形．答案锐角3．在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________ .解析由正弦定理知ABsin C＝3sin 60°＝BCsin A，∴AB＝2sin C，BC＝2sin A.又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120°－C)＝2(sin C＋2sin 120°cos C－2cos 120°sin C)＝2(sin C＋3cos C＋sin C)＝2(2sin C＋3cos C)＝27sin(C＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角，由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，因此AB＋2BC有最大值27.答案27二、解答题4．(2013·长沙模拟)在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足b cos C＝(3a－c)cos B.(1)求cos B；(2)若B C →·B A →＝4，b ＝42，求边a ，c 的值．解 (1)由正弦定理和b cos C ＝(3a －c )cos B ，得sin B cos C ＝(3sin A －sin C )cos B ，化简，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝3sin A cos B ，即sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，故sin A ＝3sin A cos B ，所以cos B ＝13.(2)因为B C →·B A →＝4，所以B C →·B A →＝|B C →|·|B A →|· cos B ＝4，所以|B C →|·|B A →|＝12，即ac ＝12.①又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝13，整理得，a 2＋c 2＝40.②联立①②⎩⎨⎧ a 2＋c 2＝40，ac ＝12，解得⎩⎨⎧ a ＝2，c ＝6或⎩⎨⎧ a ＝6，c ＝2.。

高中数学正弦定理与余弦定理习题及详解

高中数学正弦定理与余弦定理习题及详解一、选择题1．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且sin 2A －sin 2C ＝(sin A －sin B )sin B ，则角C 等于( )A.π6B.π3C.5π6D.2π3 [答案] B[解析] 由正弦定理得a 2－c 2＝(a －b )·b ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， ∵0<C <π，∴C ＝π3. 2．(文)(2010·泰安模拟)在△ABC 中，若A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．45°或135°[答案] B[解析] ∵AC ·sin60°＝42×32＝26<42<43，故△ABC 只有一解，由正弦定理得，42sin B ＝43sin60°， ∴sin B ＝22，∵42<43，∴B <A ，∴B ＝45°. (理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c ＝( ) A ．1B ．2 C.3－1D. 3[答案] B[解析] ∵b sin A ＝32<1<3，∴本题只有一解． ∵a ＝3，b ＝1，A ＝π3， ∴根据余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋c 2－32c ＝12，解之得，c ＝2或－1，∵c >0，∴c ＝2.故选B.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝22，且三角形有两解，则角A 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，3π4D.⎝⎛⎭⎫π4，π3[答案] A[解析] 由条件知b sin A <a ，即22sin A <2，∴sin A <22， ∵a <b ，∴A <B ，∴A 为锐角，∴0<A <π4. [点评] 如图，AC ＝22，以C 为圆心2为半径作⊙C ，则⊙C上任一点(⊙C 与直线AC 交点除外)可为点B 构成△ABC ，当AB 与⊙C 相切时，AB ＝2，∠BAC ＝π4，当AB 与⊙C 相交时，∠BAC <π4，因为三角形有两解，所以直线AB 与⊙C 应相交，∴0<∠BAC <π4. 4．(2010·湖南理)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 [答案] A[解析] ∵∠C ＝120°，c ＝2a ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C∴a 2－b 2＝ab ，又∵a >0，b >0，∴a －b ＝ab a ＋b >0，所以a >b . 5．(文)(2010·天津理)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] A[解析] 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc， ∵sin C ＝23sin B ，∴c ＝23b ，∴c 2＝23bc ，又∵b 2－a 2＝－3bc ，∴cos A ＝32，又A ∈(0°，180°)，∴A ＝30°，故选A.(理)(2010·山东济南)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3 [答案] D[解析] 由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 得，a 2＋c 2－b 2ac·tan B ＝3，再由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac 得，2cos B ·tan B ＝3，即sin B ＝32，∴角B 的值为π3或2π3，故应选D. 6．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 3[答案] C[解析] 12ac sin B ＝12，∴ac ＝2，又2b ＝a ＋c ，∴a 2＋c 2＝4b 2－4，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b ＝3＋33. 7．(2010·厦门市检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( )A. 2B. 3C.32 D ．2 [答案] C[解析] ∵A 、B 、C 成等差数列，∴B ＝60°，∵b sin B ＝a sin A ，∴sin A ＝a sin B b ＝1×323＝12， ∴A ＝30°或A ＝150°(舍去)，∴C ＝90°，∴S △ABC ＝12ab ＝32. 8．(2010·山师大附中模考)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形[答案] A [解析] ∵cos 2B 2＝a ＋c 2c ，∴1＋cos B 2＝sin A ＋sin C 2sin C， ∴sin C cos B ＝sin A ，∴sin C cos B ＝sin(B ＋C )，∴sin B cos C ＝0，∵00，cos B >0知A 、B 均为锐角， ∵tan A ＝12<1，∴0<A <π4，cos B ＝31010>32， ∴0<B <π6，∴C 为最大角，由cos B ＝31010知，tan B ＝13，∴B <A ，∴b 为最短边，由条件知，sin A ＝15，cos A ＝25，sin B ＝110， ∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝15×310＋25×110＝22，由正弦定理b sin B ＝c sin C 知，b 110＝122，∴b ＝55. 10．(2010·山东烟台)已知非零向量AB →，AC →和BC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AC →·BC →|AC →|·|BC →|＝22，则△ABC 为( ) A ．等边三角形B ．等腰非直角三角形C ．直角非等腰三角形D ．等腰直角三角形[答案] D[解析] ∵AC →·BC →|AC →|·|BC →|＝cos ∠ACB ＝22， ∴∠ACB ＝45°，又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0， ∴∠A ＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形，故选D.二、填空题11．(文)判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是________．①a ＝1，b ＝2，B ＝45°；②a ＝5，b ＝15，A ＝30°；③a ＝6，b ＝20，A ＝30°；④a ＝5，B ＝60°，C ＝45°.[答案] ①④[解析] ①一解，a sin B ＝22<1<2，有一解． ②两解，b ·sin A ＝152<5<15，有两解； ③无解，b ·sin A ＝10>6，无解．④一解，已知两角和一边，三角形唯一确定．(理)在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值范围是________．[答案] 3<c < 5[解析] 边c 最长时：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋4－c 22×1×2>0， ∴c 2<5.∴0<c < 5.边b 最长时：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋c 2－42c>0， ∴c 2>3.∴c > 3.综上，3<c < 5.12．(2010·上海模拟)在直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－1,0)，C (1,0)，顶点B 在椭圆x 24＋y 23＝1上，则sin A ＋sin C sin B的值为________．[答案] 2[解析] 由题意知△ABC 中，AC ＝2，BA ＋BC ＝4，由正弦定理得sin A ＋sin C sin B ＝BC ＋BA AC＝2. 13．(文)(2010·沈阳模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若b 2＋c 2＝a 2＋bc ，且AC →·AB →＝4，则△ABC 的面积等于________．[答案] 2 3[解析] ∵b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵AC →·AB →＝4，∴b ·c ·cos A ＝4，∴bc ＝8，∴S ＝12AC ·AB sin A ＝12×bc ·sin A ＝2 3. (理)(2010·北京延庆县模考)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝c＝2b 且sin B ＝45，当△ABC 的面积为32时，b ＝________. [答案] 2[解析] ∵a ＋c ＝2b ，∴a 2＋c 2＋2ac ＝4b 2(1)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝25ac ＝32，∴ac ＝154(2) ∵sin B ＝45，∴cos B ＝35(由a ＋c ＝2b 知B 为锐角)， ∴a 2＋c 2－b 22ac ＝35，∴a 2＋c 2＝92＋b 2(3) 由(1)、(2)、(3)解得b ＝2.14．(2010·合肥市质检)在△ABC 中，sin A －sin B sin (A ＋B )＝2sin A －sin C sin A ＋sin B，则角B ＝________. [答案] π4[解析] 依题意得sin 2A －sin 2B ＝sin(A ＋B )(2sin A －sin C )＝2sin A sin C －sin 2C ，由正弦定理知：a 2－b 2＝2ac －c 2， ∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ，由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22， ∴B ＝π4. 三、解答题15．(文)(2010·广州六中)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3. (1)求△ABC 的面积；(2)若b ＋c ＝6，求a 的值．[解析] (1)∵cos A 2＝255， ∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45. 又由AB →·AC →＝3得，bc cos A ＝3，∴bc ＝5，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝2. (2)∵bc ＝5，又b ＋c ＝6，∴b ＝5，c ＝1或b ＝1，c ＝5，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20，∴a ＝2 5.(理)(2010·山东滨州)已知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长．[解析] (1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由于sin(A ＋B )＝sin C .∴m ·n ＝sin C .又∵m ·n ＝sin2C ，∴sin2C ＝sin C ，∴2sin C cos C ＝sin C .又sin C ≠0，所以cos C ＝12.而0<C <π，因此C ＝π3. (2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列得，2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得，2c ＝a ＋b .∵CA →·(AB →－AC →)＝18，∴CA →·CB →＝18.即ab cos C ＝18，由(1)知，cos C ＝12，所以ab ＝36. 由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－3ab .∴c 2＝4c 2－3×36，∴c 2＝36.∴c ＝6.16．(文)在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2.(1)若cos B ＝－36，求sin C 的值； (2)求角C 的取值范围． [解析] (1)在△ABC 中，由余弦定理知，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝3＋4－2×23×⎝⎛⎭⎫－36＝9. 所以AC ＝3.又因为sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫－362＝336，由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B. 所以sin C ＝AB AC sin B ＝116. (2)在△ABC 中，由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ，∴3＝AC 2＋4－4AC ·cos C ，即AC 2－4cos C ·AC ＋1＝0.由题意知，关于AC 的一元二次方程应该有解，令Δ＝(4cos C )2－4≥0，得cos C ≥12，或cos C ≤－12(舍去，因为AB <BC ) 所以，0<C ≤π3，即角C 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π3. [点评] 1.本题也可用图示法，如图：A 为⊙B 上不在直线BC 上的任一点，由于r ＝AB ＝3，故当CA 与⊙B 相切时∠C 最大为π3，故C ∈⎝⎛⎦⎤0，π3. 2．高考命题大题的第一题一般比较容易入手，大多在三角函数的图象与性质、正余弦定理、平面向量等内容上命制，这一部分要狠抓基本原理、公式、基本方法的落实．(理)(2010·东北师大附中、辽宁省实验中学联考)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a cos C ＋12c ＝b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．[解析] (1)由a cos C ＋12c ＝b 得 sin A cos C ＋12sin C ＝sin B又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C∴12sin C ＝cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，又∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)解法1：由正弦定理得：b ＝a sin B sin A ＝23sin B ，c ＝23sin C l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C ) ＝1＋23(sin B ＋sin(A ＋B )) ＝1＋2⎝⎛⎭⎫32sin B ＋12cos B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6 ∵A ＝π3，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1. 故△ABC 的周长l 的取值范围是(2,3]．解法2：周长l ＝a ＋b ＋c ＝1＋b ＋c由(1)及余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴b 2＋c 2＝bc ＋1，∴(b ＋c )2＝1＋3bc ≤1＋3⎝⎛⎭⎫b ＋c 22，∴b ＋c ≤2，又b ＋c >a ＝1，∴l ＝a ＋b ＋c ∈(2,3]，即△ABC 的周长l 的取值范围为(2,3]．17．(文)△ABC 中内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B 2－1)且m ∥n . (1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．[分析] (1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数，利用三角恒等变换知识解决；(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决．[解析] (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝⎛⎭⎫2cos 2B 2－1＝－3cos2B ∴sin2B ＝－3cos2B ，即tan2B ＝－ 3又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3，b ＝2， ∴由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac得， a 2＋c 2－ac －4＝0又∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)， [点评] 本题将三角函数、向量与解三角形有机的结合在一起，题目新疑精巧，难度也不大，即符合在知识“交汇点”处构题，又能加强对双基的考查，特别是向量的坐标表示及运算，大大简化了向量的关系的运算，该类问题的解题思路通常是将向量的关系用坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式结合正、余弦定理求解．(理)(2010·山师大附中模考)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin B ＝513，且a 、b 、c 成等比数列． (1)求1tan A ＋1tan C的值； (2)若ac cos B ＝12，求a ＋c 的值．[解析] (1)依题意，b 2＝ac由正弦定理及sin B ＝513得，sin A sin C ＝sin 2B ＝25169. 1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin (A ＋C )sin A sin C ＝sin B sin A sin C ＝135. (2)由ac cos B ＝12知cos B >0，∵sin B ＝513，∴cos B ＝1213(b 不是最大边，舍去负值) 从而，b 2＝ac ＝12cos B＝13. 由余弦定理得，b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B .∴13＝(a ＋c )2－2×13×⎝⎛⎭⎫1＋1213. 解得：a ＋c ＝37.。

(完整版)正弦定理和余弦定理典型例题

《正弦定理和余弦定理》典型例题透析类型一：正弦定理的应用：例1．已知在ABC ∆中，10c =，45A =o ，30C =o ，解三角形.思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b . 解析：sin sin a c A C=Q ， ∴sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯===oo∴ 180()105B A C =-+=o o ，又sin sin b c B C=， ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ⨯====⨯=o o o 总结升华：1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。

【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理，0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ；根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在∆ABC 中，已知075B =，060C =，5c =，求a 、A .【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=，根据正弦定理5sin 45sin 60o o a =，∴56a =【变式3】在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c 【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2．在3,60,1ABC b B c ∆===o 中，，求：a 和A ，C ．思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a .解析：由正弦定理得：sin sin b c B C=， ∴sin 1sin 23c B C b ===o ，（方法一）∵0180C <<o o ， ∴30C =o 或150C =o ，当150C =o 时，210180B C +=>o o ，（舍去）；当30C =o 时，90A =o ，∴222a b c =+=．（方法二）∵b c >，60B =o ， ∴C B <，∴60C <o 即C 为锐角， ∴30C =o ，90A =o ∴222a b c =+=．总结升华：1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。

高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解

高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解一、选择题1．(2010·广东六校)两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )km.( )A ．a B.2a C ．2aD.3a[答案] D[解析] 依题意得∠ACB ＝120°.由余弦定理cos120°＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120° ＝a 2＋a 2－2a 2⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2 ∴AB ＝3a .故选D.2．(文)(2010·广东佛山顺德区质检)在△ABC 中，“sin A >32”是“∠A >π3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 在△ABC 中，若sin A >32，则∠A >π3，反之∠A >π3时，不一定有sin A >32，如A ＝5π6时，sin A ＝sin 5π6＝sin π6＝12. (理)在△ABC 中，角A 、B 所对的边长为a 、b ，则“a ＝b ”是“a cos A ＝b cos B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 当a ＝b 时，A ＝B ， ∴a cos A ＝b cos B ；当a cos A ＝b cos B 时，由正弦定理得 sin A ·cos A ＝sin B ·cos B ， ∴sin2A ＝sin2B ， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.则a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.所以“a ＝b ”⇒“a cos A ＝b cos B ”， “a cos A ＝b cos B ”⇒/ “a ＝b ”，故选A.3．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，观测得∠ABC ＝120°，则AC 两地的距离为( )A ．10km B.3kmC ．105kmD ．107km[答案] D[解析] 如图，△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，∠B ＝120°，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120° ＝102＋202－2×10×20×⎝⎛⎭⎫－12＝700， ∴AC ＝107km.∴选D.4．(文)在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b2c (a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形[答案] B[解析] sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c ，∴cos A ＝bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc，∴a 2＋b 2＝c 2，故选B.(理)(2010·河北邯郸)在△ABC 中，sin 2A ＋cos 2B ＝1，则cos A ＋cos B ＋cos C 的最大值为( )A.54B. 2 C ．1D.32[答案] D[解析] ∵sin 2A ＋cos 2B ＝1，∴sin 2A ＝sin 2B ， ∵0<A ，B <π，∴sin A ＝sin B ，∴A ＝B . 故cos A ＋cos B ＋cos C ＝2cos A －cos2A ＝－2cos 2A ＋2cos A ＋1＝－2(cos A －12)2＋32，∵0<A <π2，∴0<cos A <1，∴cos A ＝12时，取得最大值32.5．(文)(2010·广东汕头一中)已知△ABC 的外接圆半径为R ，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B ，那么角C 的大小为( )A.π3B.π2C.π4D.2π3[答案] C[解析] 由正弦定理得，a 2－c 2＝2ab －b 2， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∵0<C <π，∴C ＝π4.(理)已知a 、b 、c 是△ABC 三内角A 、B 、C 的对边，且A 为锐角，若sin 2A －cos 2A ＝12，则( )A ．b ＋c <2aB ．b ＋c ≤2aC ．b ＋c ＝2aD ．b ＋c ≥2a[答案] B[解析] ∵sin 2A －cos 2A ＝12，∴cos2A ＝－12，又A 为锐角，∴A ＝60°，∴B ＋C ＝120°， ∴b ＋c 2a ＝sin B ＋sin C2sin A＝2sinB ＋C 2cos B －C23＝cos B －C 2≤1，∴b ＋c ≤2a .6．(2010·北京顺义一中月考)在△ABC 中，已知cos A ＝513，sin B ＝35，则cos C 的值为( )A.1665B.5665C.1665或5665D ．－1665[答案] A[解析] ∵cos A ＝513，∴sin A ＝1213>35＝sin B ，∴A >B ，∵sin B ＝35，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.[点评] 在△ABC 中，有sin A >sin B ⇔A >B .7．在地面上一点D 测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m ，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________m ．( )A ．237B ．227C ．247D ．257[答案] A[解析] 如图，∠D ＝45°，∠ACB ＝60°，DC ＝100，∠DAC ＝15°， ∵AC ＝DC ·sin45°sin15°，∴AB ＝AC ·sin60° ＝100·sin45°·sin60°sin15°＝100×22×326－24≈237.∴选A.8．(文)(2010·青岛市质检)在△ABC 中，∠B ＝π3，三边长a 、b 、c 成等差数列，且ac ＝6，则b 的值是( )A. 2B. 3C. 5D. 6[答案] D[解析] 由条件2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝a 2＋c 2＋2ac ＝a 2＋c 2＋12，又cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴12＝a 2＋c 2－b212，∴a 2＋c 2＝6＋b 2， ∴4b 2＝18＋b 2，∴b ＝ 6.(理)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24D.23[答案] B[解析] ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ，又∵c ＝2a ， ∴b 2＝2a 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ×2a＝34.[点评] 在知识的交汇处命题是高考命题的基本原则．本题融数列与三角函数于一体，集中考查正弦定理、余弦定理、等比数列等基础知识．同时也体现了数列、三角函数等内容是高考中的热点问题，复习时要注意强化．9．如图所示的曲线是以锐角△ABC 的顶点B 、C 为焦点，且经过点A 的双曲线，若△ABC 的内角的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝6，c sin A a ＝32，则此双曲线的离心率为( )A.3＋72B.3－72C ．3－7D ．3＋7[答案] D [解析]c sin A a ＝32⇒a sin A ＝c 32＝c sin C⇒sin C ＝32，因为C 为锐角，所以C ＝π3，由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋62－2×4×6×12＝28，∴c ＝27∴e ＝a b －c ＝66－27＝3＋7.10．(文)(2010·山东济南)设F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac (c 为半焦距)，则双曲线的离心率为( )A.3－12B.3＋12 C ．2D.5＋12[答案] D[解析] 由条件知，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，根据双曲线定义得：4a 2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2－4ac ＝4c 2－4ac ，∴a 2＋ac －c 2＝0，∴1＋e －e 2＝0， ∵e >1，∴e ＝5＋12. (理)(2010·安徽安庆联考)如图，在△ABC 中，tan C 2＝12，AH →·BC →＝0，AB →·(CA →＋CB →)＝0，经过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为( )A.5＋12B.5－1C.5＋1D.5－12[答案] A[解析] ∵AH →·BC →＝0，∴AH ⊥BC ， ∵tan C 2＝12，∴tan C ＝2tanC21－tan 2C 2＝43＝AHCH，又∵AB →·(CA →＋CB →)＝0，∴CA ＝CB ， ∴tan B ＝tan ⎝⎛⎭⎫180°－C 2＝cot C 2＝2＝AHBH ，设BH ＝x ，则AH ＝2x ，∴CH ＝32x ，AB ＝5x ，由条件知双曲线中2C ＝AH ＝2x,2a ＝AB－BH ＝(5－1)x ，∴e ＝c a ＝25－1＝5＋12，故选A.二、填空题11．如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A ，B 和对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，则河的宽度为________米．[答案] 60(3－1)[解析] 过C 点作CD ⊥AB 于D ，设BD ＝x ，则CD ＝x ，AD ＝120－x ，又∵∠CAB ＝30°，∴x 120－x ＝33，解之得，x ＝60(3－1)． 12．(2010·福建三明一中)如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°方向，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处．则两艘轮船之间的距离为________海里．[答案]13[解析] 如图可知，∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，∴AC ＝5，∠BAC ＝60°，从而∠DAC ＝45°，又AD ＝32，∴由余弦定理得， CD ＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos45°＝13.13．(文)(2010·山东日照模拟)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3，△ABC 的面积等于3，则a ＋b ＝________.[答案] 4[解析] 由条件知，12ab sin π3＝3，∴ab ＝4，∵cos π3＝a 2＋b 2－42ab，∴a 2＋b 2＝8，∴(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝8＋8＝16， ∴a ＋b ＝4.(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，若a ＝10，则bc 的最大值是______．[答案] 100＋50 2[解析] 由题意得，12bc sin A ＝14(b 2＋c 2－a 2)，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc sin A ，结合余弦定理得，sin A ＝cos A ，∴∠A ＝π4，又根据余弦定理得100＝b 2＋c 2－2bc ≥2bc －2bc ，∴bc ≤1002－2＝100＋50 2.14．(文)(2010·山东日照)一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是________海里/小时．[答案] 10[解析] 设该船的速度为v 海里/小时，如图由题意知，AD ＝v 2，AC ＝32v ，∵tan75°＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝2＋3，又tan75°＝ABAD，∴2＋3＝10＋3v2v 2，解得v ＝10. (理)(2010·合肥质检)如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进m km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．[答案] m cos αcos β>n sin(α－β)[解析] ∠MAB ＝90°－α，∠MBC ＝90°－β＝∠MAB ＋∠AMB ＝90°－α＋∠AMB ，∴∠AMB ＝α－β，由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BM sin (90°－α)＝m sin (α－β)，解得BM ＝m cos αsin (α－β)，要使船没有触礁危险需要BM sin(90°－β)＝m cos αcos βsin (α－β)>n ，所以α与β满足m cos αcos β>n sin(α－β)时船没有触礁危险．三、解答题15．(2010·河北唐山)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且a cos B ＋b cos A ＝1.(1)求c ；(2)若tan(A ＋B )＝－3，求CA →·CB →的最大值． [解析] (1)由a cos B ＋b cos A ＝1及正弦定理得， c sin A sin C ·cos B ＋c sin Bsin C ·cos A ＝1， ∴c sin(A ＋B )＝sin C ，又sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ≠0， ∴c ＝1.(2)∵tan(A ＋B )＝－3，0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝2π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π3.由余弦定理得，12＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝ab ＝2CA →·CB →，∴CA →·CB →≤12，当且仅当a ＝b ＝1时取“＝”号．所以，CA →·CB →的最大值是12.16．(文)(2010·广东玉湖中学)如图，要计算西湖岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两点，现测得AD ⊥CD ，AD ＝10km ，AB ＝14km ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝135°，求两景点B 与C 的距离(精确到0.1km)．参考数据：2＝1.414，3＝1.732，5＝2.236.[解析] 在△ABD 中，设BD ＝x ，则BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ，即142＝x 2＋102－2·10x ·cos60°，整理得：x 2－10x －96＝0，解之得，x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，由正弦定理得， BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，∴BC ＝16sin135°·sin30°＝82≈11.3(km)答：两景点B 与C 的距离约为11.3km.(理)(2010·湖南十校联考)长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域可近似为半径是R 的圆面．该圆的内接四边形ABCD 是原棚户建筑用地，测量可知边界AB ＝AD ＝4万米，BC ＝6万米，CD ＝2万米．(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD 的面积及圆面的半径R 的值；(2)因地理条件的限制，边界AD 、CD 不能变更，而边界AB 、BC 可以调整．为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在ABC 上设计一点P ，使得棚户区改造的新建筑用地APCD 的面积最大，并求出其最大值．[解析] (1)因为四边形ABCD 内接于圆，所以∠ABC ＋∠ADC ＝180°，连接AC ，由余弦定理：AC 2＝42＋62－2×4×6cos ∠ABC ＝42＋22－2×2×4cos ∠ADC .∴cos ∠ABC ＝12.∵∠ABC ∈(0，π)，∴∠ABC ＝60°.则S 四边形ABCD ＝12×4×6×sin60°＋12×2×4×sin120°＝83(万平方米)．在△ABC 中，由余弦定理： AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝16＋36－2×4×6×12＝28，故AC ＝27.由正弦定理得，2R ＝AC sin ∠ABC ＝2732＝4213，∴R ＝2213(万米)．(2)S 四边形APCD ＝S △ADC ＋S △APC ， S △ADC ＝12AD ·CD ·sin120°＝2 3.设AP ＝x ，CP ＝y ，则S △APC ＝12xy ·sin60°＝34xy .又由余弦定理：AC 2＝x 2＋y 2－2xy cos60°高考总复习含详解答案＝x 2＋y 2－xy ＝28.∴x 2＋y 2－xy ≥2xy －xy ＝xy .∴xy ≤28，当且仅当x ＝y 时取等号．∴S 四边形APCD ＝23＋34xy ≤23＋34×28＝93，即当x ＝y 时面积最大，其最大面积为93万平方米．17．(2010·上海松江区模拟)如图所示，在一条海防警戒线上的点A 、B 、C 处各有一个水声监测点，B 、C 两点到点A 的距离分别为20千米和50千米．某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A 、C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值．(2)求P 到海防警戒线AC 的距离(结果精确到0.01千米)．[解析] (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12.在△P AB 中，AB ＝20cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB ＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x同理，在△P AC 中，AC ＝50cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x， ∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ，∴3x ＋325x ＝25x，解之得，x ＝31. (2)作PD ⊥AC 于D ，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝2531得， sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131， ∴PD ＝P A sin ∠APD ＝31·42131＝421≈18.33千米，答：静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为18.33千米．。

(完整版)正弦定理和余弦定理典型例题(最新整理)

【答案】根据余弦定理可得：
cos A b2 c2 a2 8 8 4 3 4 3
2bc
22 2 6 2 2
∵ 0 A 180 ， ∴ A 30 ；
∴由正弦定理得： sin C c sin A
6 2 sin 30
6 2
.
a
2
4
【变式 2】在 ABC 中，已知 B 750 ， C 600 ， c 5 ，求 a 、 A .
【答案】 A 1800 (B C) 1800 (750 600 ) 450 ，
根据正弦定理
a
5
，∴ a 5
6
.
sin 45o sin 60o
3
【变式 3】在 ABC 中，已知 sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 ，求 a : b : c 【答案】根据正弦定理 a b c ，得 a : b : c sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 .
【答案】根据三角形内角和定理， C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ；
根据正弦定理，
b
asin B sin A
42.9sin81.80 sin32.00
80.1(cm)
；
根据正弦定理，
c
asinC sin A
42.9sin 66.20 sin32.00
74.1(cm).
sin A sin B sin C
例 2．在 ABC中，b 3, B 60, c 1，求： a 和 A ， C ．
思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角 C ，然后用三角形内角和求出角 A ，最后用正弦定理求出边 a .

第8讲正弦定理和余弦定理5种常见题型(解析版)

第8讲正弦定理和余弦定理5种常见题型【考点分析】考点一：三角形中常用知识①任意三角形的内角和为180°；三条边满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.②大边对大角，小边对小角，B A b a B A sin sin >⇔>⇔>，所以在ABC ∆中B A B A sin sin >>是的充要条件①在锐角ABC ∆中，一定有A C C B B A cos sin ,cos sin ,cos sin >>>，即一个角的正弦值一定大于另一个角的余弦值，从而可以得到锐角ABC ∆中，一定有C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ 考点二：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即R CcB b A a 2sin sin sin ===．考点三：由正弦定理推出的几个结论 ①a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sinC ．①B R C B R B A R a sin 2,sin 2,sin 2===③由等比性质和圆的性质可知，a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R .其中，R 为△ABC 外接圆的半径．④A <B ⇔a <b ⇔sin A <sin B ．考点四：由三角形性质和诱导公式导出的几个结论 ①22,ππ=++=++C B A C B A ，所以()()C C B A sin sin sin =-=+π，同理()A C B sin sin =+，()B C A sin sin =+，()()C C B A cos cos cos -=-=+π，同理()A C B cos cos -=+，()B C A cos cos -=+， ()()C C B A tan tan tan -=-=+π，同理()A C B tan tan -=+，()B C A tan tan -=+，所以2cos 22sin 2sin C C B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛+π，同理2cos 2sin A C B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，2cos 2sin B C A =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，考点五：三角形面积公式S ①ABC ＝12 ah (h 表示边a 上的高) ；S ①ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；由正弦定理可得RabcR c ab C ab S ABC 4221sin 21===∆ C B A R C B R A R C ab S ABC sin sin sin 2sin sin 2sin 221sin 212=⋅==∆ 海伦公式：()()()c p b p a p p S ABC ---=∆，其中()c b a p ++=21三角形面积和内切圆半径的关系：()r c b a S ABC ⋅++=∆21（其中r 为三角形内切圆的半径）【题型目录】题型一：正弦定理运用题型二：余弦定理运用题型三：三角形面积公式运用题型四：正弦定理解答题题型五：余弦定理解答题【典型例题】题型一：正弦定理运用【例1】在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1sin 3A =，a =3b =，则sin B =（）． A ．23BC2D．3【例2】在①ABC 中，已知4sin sin sin a b cA B C+-=+-，则其外接圆的直径为______.【分析】设ABC 外接圆半径为【详解】设ABC 外接圆半径为由正弦定理可得：sina sin sinbc B +--所以ABC 外接圆直径为故答案为：4.【例3】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =2b =，60A =︒，则sin B = ．【答案】721【解析】由正弦定理可得B b A a sin sin =，即B sin 2237=，所以721sin =B 【例4】在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若A ∠：B ∠：1C ∠=：2：3，则a ：b ：c =（） A ．1：2：3 B ．3：2：1 C ．21 D ．12【答案】43π=B 【解析】由正弦定理可得R BbA a 2sin sin ==，可得B R b A R a sin 2,sin 2==，所以0cos sin 2sin sin 2=+B A R A B R ，即0cos sin sin sin =+B A A B ，因0sin ≠A ，所以0cos sin =+B B ，所以1tan -=B ，因()π,0∈B ，所以43π=B 【例6】ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )B A C C +- 0=，2a =，c =C =A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π【答案】B【解析】由()C A B +=sin sin ，可得()sin sin (sin cos )0A C A C C ++-=，所以sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即cos sin sin sin 0A C A C +=，因0sin ≠C ，所以0cos sin =+A A ，所以1tan -=A ，因()π,0∈A ，所以43π=A ，由正弦定理可得CcA a sin sin =，即C sin 2222=，所以21sin =C ，所以6π=C【例7】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【答案】5，10【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=,5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以5BD =ππcos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【例8】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为，，．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是A ．B ．C ．2A B =D ．2B A =【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+，所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，故选A.【例9】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ．【答案】2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[π()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C =-+=+=+=，又因为sin sin a bA B=，所以a b c 2a b =2b a =sin 21sin 13a Bb A ==. 【例10】在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 . 【答案】8.【解析】，又，因此即最小值为8. 【题型专练】1.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．若a =1sin 2B =，6C π=，则b = ．【答案】1=b【解析】由1sin 2B =，6C π=，可得6B π=，所以32π=A ,由正弦定理可得Bb A a sin sin =，即21233b=，所以1=b2．在锐角①ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，R 是①ABC 的外接圆半径，且cos cos b a C c A ++=，则B ＝（） A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3sin sin()2sin sin tan tan 2tan tan A B+C B C B C B C ==⇒+=tan tan tan tan tan 1B+CA=B C -tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan tan tan tan 8,A B C A B C A B C A B C =++=+≥≥3.在，内角所对的边长分别为,,a b c ．若sin cos a B C +sin cos 2c B A b =，且a b >，则B ∠=A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意知1sin sin sin sin sin cos sin 2A B C C B A B +=，即1sin sin sin cos 2A C C A += 所以()1sin 2A C +=，所以21sin =B ，因a b >，所以6π=B 故选A.4.设①ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a ,b ,c ,若,则①ABC 的形状为A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】B【解析】由题意知sin cos sin cos sin sin B C C B A A +=，即()sin sin sin B C A A += 所以sin 1A =，所以2π=A故选B5.ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin sin cos a A Bb A +=，则=abA ．B ．CD【答案】D【解析】由题意知2sin sin sin sin cos A A B B A A +=，即()22sin sin cos B A A A+=所以sin B A =，所以a b 2=，所以2=ab故选D6.ABC ∆的内角A ,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = 【答案】3π 【解析】由题意知2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+，即()2sin cos sin sin B B A C B =+=ABC ∆,,A B C 6π3π23π56πcos cos sin b C c B a A +=所以1cos 2B =，所以3π=B7.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知60C =，b =3c =，则A =_______．【答案】︒=75A【解析】由正弦定理可得BbC c sin sin =，即B sin 6233=，所以22sin =B ，所以︒=45B ，因π=++C B A ，所以︒=75A8.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2a b ==，sin cos B B +=A 的大小为．【答案】6π=A【解析】因为sin cos 4B B B π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭()0,B π∈，所以42B ππ+=，所以4B π=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 2A =1sin 2A =，因为b a <，所以6π=A 题型二：余弦定理运用【例1】在①ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（）A B ．C ．D ．【答案】C【分析】设,,AB c BC a CA b ===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=2221cos sin tan 29a c b B B B ac +-==∴===故选：C【例2】在ABC △中，cos25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ．BCD ．【解析】因为223cos 2cos 121,255C C ⎛=-=⨯-=- ⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则 A.【例3】①ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =2c =，2cos 3A =，则b =A B C ．2 D ．3【答案】D 【解析】2222452cos 2223b c a b A bc b +-+-===⨯⨯，所以b b 8332=-，即03832=--b b故()133b =-或舍去. 【例4】在 ABC 中，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边，222c ab a b +=+，则角C 的正弦值为（）A B C ．12D ．1【例5】已知ABC 的三边之比为3:5:7，则最大角为（） A ．2π3B ．3π4C ．5π6D ．7π12，由条件结合余弦定理可求ABC 的最大角不妨设ABC 的三边满足因为ABC 的三边之比为由ABC 中最大边所对的角最大，可得ABC 的最大内角为C ∠22291cos 222a c x C +-+===-，又()0,πC ∠∈所以【例6】在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ．已知()()22232cos b c b c a abc C -+-=．则tan A =（）AB ．CD ．【例7】黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形．其中顶角为36°，这种黄金三角形被认为是最美的三角形．根据这些信息，则cos36︒=（）A B C D【例8】设的内角所对边的长分别为．若，则则角_____．【答案】4【分析】由3sin 5sin A B =，可得35a b =，因a c b 2=+，设3=b ，则7,5==c a ，结合余弦定理：222cos 2a b c C ab+-=，可得2135249925cos -=⨯⨯-+=C ，解得：23C π= 【例9】在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若222a c b +=，则B ∠=_________；若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值_________. 而此时ABC 为等腰直角三角形，与题设矛盾，故ABC ∆,,A B C ,,a b c 2b c a +=3sin 5sin ,A B =C =【题型专练】1．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若1,a b c ===B =_________．【答案】5π6##150︒2.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，sin cos 1sin 2C C C +=-．若()2248a b a b +=+-，则边c 的值为______．1##1(0,πC ∈即sin 2C -sin C ∴=cos C ∴=3.在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于13BC ,则cos A （）（A （B （C ）1010 （D ）31010【答案】C【解析】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，所以AC =，AB =．由余弦定理，知222222cos210AB AC BC A AB AC +-===-⋅，故选C ．4.在①ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．【答案】7，3【解析】由正弦定理得sinsin a A b B =，所以πsin sin 3B == 由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）. 5.在ABC 中，已知120B =︒，AC 2AB =，则BC =（）A ．1 BCD ．3【答案】D【分析】设,,AB c AC b BC a ===，结合余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：21942cos120a a =+-⨯⨯，即：22150a a +-=，解得：3a =（5a =-舍去），故3BC =.6.已知锐角的内角的对边分别为，223cos A +cos20A =，，，则A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由题意得2223cos 2cos 10A A +-=，即225cos 10A -=，因为锐角三角形，所以51cos =A ，结合余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=，可得b b ⨯⨯-+=624936512 即：2450152b b -=-，解得：5b =（135b =-舍去）故选：D.7.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2a =，1cos 4C =-，3sin 2sin A B =，则c =________．【答案】4【分析】由3sin 2sin A B =，可得32a b =，所以3=b ，结合余弦定理：222cos 2a b c C ab+-=，可得32294412⨯⨯-+=-c ，解得：4c = 题型三：三角形面积公式运用【例1】记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c60B =︒，223a c ac +=，则b =________．【答案】【分析】由题意，1sin 24ABCSac B ac ===，所以224,12ac a c =+=，所以22212cos 122482b ac ac B =+-=-⨯⨯=，解得b =（负值舍去）.故答案为：【例2】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4Cπ，则ABC ∆的ABC ∆,,A B C ,,a b c 7a =6c =b =10985ABC ∆A ．2+B 1C ．2-D 1【答案】B【详解】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以【例3】ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC 的面积为__________.【答案】【分析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得c c ==-，所以2a c ==11sin 22ABC S ac B ∆==⨯= 【例4】已知ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且::2:3:4a b c =，则ABC 的面积为（）A 2B 2C ．212aD ．212b【例5】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2．点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，①ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，①1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==，①1sin 22BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=△． ①2ABC BDC ∠=∠，①21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos BDC ∠=或cos BDC ∠=（舍去）．综上可得，①BCD 面积为2，cos 4BDC ∠=．【例6】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c+-，则C =A ．π2 B ．π3 C ．π4 D ．π6【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以2222sinC a b c ab +-=，由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =，因为()0,πC ∈，所以π4C =，故选C. 【例7】①ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则①ABC 的面积为________．【分析】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=，结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且cos A =，从而求得bc =，所以ABC ∆的面积为111sin 222S bc A ===. 【例8】在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．点D 为BC 的中点，π1,3AD B ==，且ABCc =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【题型专练】1.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为．【答案】34【分析】详解：由1cos 4A =-，可得215cos 1sin 2=-=A A ，因1sin 2ABC S bc A ∆=，所以12bc =，所以12=bc ，由余弦定理可得()4124244222cos 222222-=-+=-+-=-+=a bc a bc c b bc a c b A ，解得34=a2.钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC =AC =A ．5BC ．2D ．1 【答案】B【分析】因11sin 22ABC S ac B ∆==，所以111sin 22B ⨯=，所以22sin =B ，所以434ππ或=B ，当4π=B 时，22212212cos 2222=⨯⨯-+=-+=b ac b c a B ，解得1=b ，此时2π=A ，不合题意；当43π=B 时，22212212cos 2222-=⨯⨯-+=-+=b ac b c a B ，解得5=b ，此时5=AC . 3.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若2c =2()6a b -+，3C π=，则ABC ∆的面积是A ．3B ．239C ．233 D ．33 【答案】C【分析】由余弦定理可得()21226222cos 2222222=-+-=-+-=-+=ab c ab c ab c ab b a ab c b a C ，解得6=ab因11sin 622ABC S ab C ∆==⨯=4.在ABC ∆中，60A ∠=︒，1b =，ABC S ∆=，则2sin 2sin sin a b cA B C++=++（）ABCD．【答案】A1sin 424ABC S bc A c ∆====利用余弦定理得到：2222cos 116413a b c bc A a =+-=+-=∴=正弦定理：sin sin sin a b cA B C==故2sin 2sin sin sin a b c a A B C A ++===++ 故选A5．在①AB C 中，若2221()4ABCS b c a =+-，则A =（） A ．90° B ．60°C ．45°D ．30°ABCS=222b c bc +1，又A 6．已知ABC 中，设角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，ABC 的面积为S ，若()223sin 2sin sin sin 2sin sin B C A A B C +=+，则2Sb 的值为（） A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B【分析】首先根据正弦定理将等式中的角转化成边得：222322sin b c a bc A +=+，通过余弦定理可将等式化简0b >，c 又2b c c +综上所述：故得：b c+7．在ABC 中，已知π24B C ∠=∠=，AC ＝4，则ABC 的面积为（） A ．2 B ．)21C ．4D ．)41题型四：正弦定理解答题【例1】在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b ccos C c =-. (1)求角B ； (2)若3cos 5C =，4BD DC =，ABD △的面积为75，求c 的值.为ABC 的内角，得2cos 2B =，为ABC 的内角，所以）解：已知4BD DC =，则BD 114sin 225ABDSAB BD B c a ==⋅由3cos 5C =，可得sin 1cos =-C )sin sin cos4A B C π∴=+=【例2】在ABC 中，已知30A =，120B =，5b =， (1)求c 的值； (2)求①ABC 的面积.）30A =︒，sin sin c C =532，， 11531253sin 5223212bc A . 【例3】已知三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos 0a c B b C --=． (1)求角B ；(2)若b ＝2，求a c +的取值范围．①22()416,a c b +≤=即4a c +≤，当且仅当2a c ==时取等，又2a c b +>=，①a c +的取值范围为(]2,4．【题型专练】1．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 已知2sin 0b A = (1)求角B 的大小； (2)若2,4a A π==，求ABC 的面积. 所以ABC 的面积2．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()22cos 2cos 2Ca c A Cb b +++=.(1)求B ；(2)如图，若D 为ABC 外一点，且712BCD π∠=，AB AD ⊥，1AB =，AD =sin BDC ∠.并求BC .2222132BDABAD，tan ABD ∠π3ABD =，所以CBD ABC ABD ∠=∠-∠=7πBCD =，所以πBDC BCD CBD ∠=-∠-∠3．在锐角ABC 中，角A B C ，，所对的边为a b c ，，，且()cos 1cos a B b A ⋅=+. (1)证明:2A B =(2)若2b =，求a 的取值范围.4．已知ABC 中，角A B C ，，的对边分别为,,a b c ，π4A =，cos cos b C cB -. (1)求()sin BC -的值；(2)若a =ABC 的面积．ABCS=题型五：余弦定理解答题【例1】在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足()2cos cos b a C c A -=． (1)求角C ；(2)已知7a b +=，ABC ，求ABC 的边AB 上的高h ．）解：在ABC 中，cos A ，根据正弦定理得sin cos C =cos sin C C =cos sin C +）解：在ABC 中，33， 342=，根据余弦定理得2cos ab C ABCS=11h ∴=【例2】如图，在平面四边形ABCD 中，90,60,23,4DAB DCB ABC AB AD ∠∠∠=====.(1)求cos DBC ∠的值； (2)求AC 的长度. )60cos60cos sin60sin ABD ABD ABD -∠=∠+∠ 7321714=； 90=，所以cos 33BC BD DBC ∠=⋅=，在ABC 中，由余弦定理得：【例3】在ABC 中，2220b c a bc +-+=，sin C =，a = (1)求A ∠的大小； (2)求ABC 的面积. 【答案】(1)所以ABC 的面积【例4】如图，在ABC 中，已知2AB =，AC =45BAC ∠=︒，BC 边上的中线为AM ．(1)求AM 的值； (2)求sin BAM ∠．在ABC 中，利用余弦定理求，在ABM ，△，由此列方程求在ABM 中由余弦定理求）由余弦定理，得22cos AB AC AB AC +-⋅BM CM =在ABM 中，由余弦定理，得222BM AM AB BMA BM AM +-=⋅ACM △中，由余弦定理，得2CM CMA =BMA ∠与∠2）在ABM 中，由余弦定理，得【例5】在①ABC 中，已知222)ABC S a b c =+-△. (1)求角C 的大小； (2)求sin sin A B +的最大值. ABCS =转化为同一个角表示，然后根据两角和的正弦定理可得答案．ABCS=sin C20A <<当π6A +=sin sin A ∴+【题型专练】1．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C cos B b -，ABC 的面积214S c =．(1)求C ； (2)求sin sin AB的值．ABCS=，根据正弦定理即可求出2a -2．已知ABC 的三个角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足)2222sin ab C a b c +-．(1)求C ；(2)若4a =，5b =，求点C 到边AB 的距离．ABC S =3．在①2cos22cos 12B B +=；①2sin tan b A a B =；()()sin sin sin a c A c A B b B -++=，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若 .(1)求角B ；(2)若2b =，且ABCABC 的周长.4．记ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知22cos cos 1c B b C bc b c ++=+．(1)求角A 的大小；(2)若点D 在边BC 上，AD 平分BAC ∠，2AD =，且2b c =，求a ．5．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，)2222sin ab C b c a =+-. (1)求A ；(2)若34b c =，且a b +=ABC 的面积. 所以ABC 的面积。

正弦定理和余弦定理_知识点及典型例题精编版

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯正弦定理和余弦定理重点梳理1．正弦定理abcsin A sin B2 Rsin C此中 R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理能够变形为：(1)a ∶ b ∶ c ＝ sin A ∶ sin B ∶ sin C ；(2)a ＝ 2Rsin A ， b ＝ 2Rsin B ， c ＝ 2Rsin C ；abc(3)sin A ＝ 2R ， sin B ＝2R ， sin C ＝ 2R 等形式，以解决不一样的三角形问题．2．三角形面积公式1 1 1 abc 1(a ＋ b ＋ c) ·r(r 是三角形内切圆的半径 )，并可由此计算 R 、 r.S △ABC ＝ absin C ＝ bcsin A ＝ acsin B ＝ 4R ＝22223．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，c 2＝a 2＋b 2－2abcos C .余弦定理能够变形为：b2c2a2a2c2b2a 2b 2c 2cos A ＝2bc， cos B ＝2ac， cos C ＝2ab .4．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1) 已知两角及任一边，求其余边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其余边或角．状况 (2) 中结果可能有一解、二解、无解，应注意划分．余弦定理可解决两类问题：(1) 已知两边及夹角或两边及一边对角的问题； (2)已知三边问题．基础自测2π.1．在 △ ABC 中，若 b ＝1， c ＝，则 a ＝3，C ＝ 32．已知 △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 c ＝ 2， b ＝ 6， B ＝ 120 °，则 a ＝ ________.93．在 △ ABC 中，若 AB ＝ 5， AC ＝ 5，且 cos C ＝ 10，则 BC ＝ ________ . 4．已知圆的半径为 4， a 、 b 、 c 为该圆的内接三角形的三边，若 abc ＝ 16 2，则三角形的面积为 ()2 A ．2 2 B ．8 2 C. 2D. 2题型分类深度解析题型一利用正弦定理求解三角形例 1 在△中，＝ 3，＝ 2，＝45°. 求角、和边c .ABC a b B A C1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯变式训练 1 已知 a ， b ， c 分别是△ ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若 a ＝ 1， b ＝ 3， A ＋ C ＝ 2B ，则 A＝题型二利用余弦定理求解三角形例 2 在△ ABC 中， a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边，且cos B＝ cos Cb2a c.（ 1）求角 B 的大小；(2)若 b ＝ 13， a ＋ c ＝ 4，求△ ABC 的面积．变式训练 2 已知 A 、 B 、 C 为△ ABC 的三个内角，其所对的边分别为a 、b 、c ，且 2cos 2A+cos A=0 .2(1)求角 A 的值；(2) 若 a ＝ 2 3， b ＋ c ＝ 4，求△ ABC 的面积．题型三正、余弦定理的综合应用例 3. 在 △ABC 中， a 、b 、c 分别是角 A 、B 、 C 的对边已知 22(sin 2 A sin 2 C ) (a b)sin B ,△ABC 外接圆半径为2 .（ 1）求角 C 的大小；（ 2）求 △ABC 面积的最大值.变式训练 3 在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边长分别是a ，b ， c.π(1) ，且△ ABC 的面积为 3，求 a ， b 的值；若 c ＝ 2， C ＝ 3 (2)若 sin C ＋ sin(B － A)＝ sin 2A ，试判断△ ABC 的形状．例 4 设△ ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，且 acosC ＋ 1 c ＝ b.2(1)求角 A 的大小； (2)若 a ＝ 1，求△ ABC 的周长 l 的取值范围．2。

正弦定理、余弦定理精讲精析(解析版)

正弦定理、余弦定理精讲精析点点突破热门考点01 正弦定理正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，以解决不同的三角形问题．面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B【典例1】（2019·全国高考真题（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】34π. 【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠得sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=故选D ．【典例2】（2020·江苏省高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）5sin C =；（2）2tan 11DAC ∠=.【解析】（1）由余弦定理得22222cos 9223252b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，所以5b =. 由正弦定理得sin 5sin sin sin 5c b c B C C B b =⇒==. （2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos 1sin C C =-=. 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅325452555⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2115cos 1sin DAC DAC ∠=-∠=. 所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.【总结提升】已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＜b sin Aa ＝b sin Ab sin A ＜a＜ba ≥ba ＞ba ≤b解的个数无解一解两解一解一解无解热门考点02 余弦定理余弦定理：2222cos a b c ab C +-= ， 2222cos b c a ac A +-= ， 2222cos c a b ac B +-=.变形公式cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，os C ＝a 2＋b 2－c 22ab【典例3】（2020·全国高考真题（理））如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，3AB AD ==，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14- 【解析】AB AC ⊥，3AB =1AC =，由勾股定理得2BC ==，同理得BD =BF BD ∴==在ACE △中，1AC =，AE AD ==，30CAE ∠=，由余弦定理得2222cos3013211CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF 中，2BC =，BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为：14-. 【典例4】（2019·北京高考真题（文））在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-．（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin （B +C ）的值．【答案】（Ⅰ）7,5b c ==；. 【解析】（Ⅰ）由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==-，因为3a =，所以22390c b c -++=；因为2b c -=，所以解得75b c =⎧⎨=⎩.（Ⅱ）由（Ⅰ）知3,7,5a b c ===，所以22213cos 214b c a A bc +-==；因为A 为ABC ∆的内角，所以sin A ==.因为sin()sin()sin B C A A +=π-==. 【总结提升】应用余弦定理解答两类问题：热门考点03正弦定理与余弦定理的综合运用【典例5】（2020·北京高考真题）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）, ；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, .【解析】选择条件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：选择条件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）【典例6】（2019·全国高考真题（理））ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22-=-．(sin sin)sin sin sinB C A B C（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）3A π=；（2）sin 4C =. 【解析】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,πA ∈3Aπ（2）22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C +=整理可得：3sin C C =22sin cos 1C C += (()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin C =因为sin 2sin 2sin 0B C A C ==>所以sin C >，故sin C =（2）法二：22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin 63cos C C -=，即3sin 3cos 23sin 66C C C π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭2sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭ 由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+ 62sin sin()46C ππ+=+=. 【总结提升】应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．热门考点04 应用正弦定理、余弦定理判定三角形形状【典例7】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】D 【解析】因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ，所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ，所以A ＝2π或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形．【规律方法】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范对三角函数值的限制．热门考点05 与三角形面积有关的问题【典例8】（2018·全国高考真题（文））△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．. 【解析】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=，结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且cos A =，从而求得bc =，所以ABC ∆的面积为111sin 222S bc A ===.【典例9】（2017·上海高考真题）已知函数()221cos sin 2f x x x =-+，()0,x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC ∆为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）[,)2ππ;（2 【解析】（1）函数2211()cos sin cos 2,(0,)22f x x x x x π=-+=+∈ 由222,k x k k Z πππ-≤≤∈，解得,2k x k k Z πππ-≤≤∈1k =时，12x ππ≤≤，可得()f x 的增区间为[,)2ππ（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =B 所对边b=5，若()0f A =，即有1cos 202A += 解得223A π=，即3A π= 由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bc cos A ，化为c 2﹣5c +6=0，解得c =2或3，若c =2，则cos 0B =<即有B 为钝角，c =2不成立，则c =3，△ABC 的面积为11sin 532224S bc A ==⨯⨯⨯=【总结提升】1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．提醒：正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．热门考点06 与三角形周长有关的问题【典例10】（2017课标1，理17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【答案】【解析】【典例11】（2019·江西洪都中学高二月考（理））在ABC △中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且cos 4c A =，sin 5a C =．（1）求边长c ；（2）若ABC △的面积20S =．求ABC △的周长．【答案】（141（2）8241+【解析】（1）由正弦定理可得：2sin sin sin a b cR A B C===，可得sin sin a C c A =，因为sin 5a C =，可得sin 5c A =，所以5sin A c=，又由cos 4c A =，可得4cos A c=，又因为22222516sin cos 1A A c c+=+=，解得c = （2）由题意，ABC ∆的面积1sin 202S ab C ==，sin 5a C =，解得8b =，由余弦定理，可得2222cos 64412841a b c bc A =+-=+-=，解得a =，所以ABC ∆的周长88L a b c =++=+=+【总结提升】应用正弦定理、余弦定理，建立边长的方程，是解答此类问题的基本方法，解答过程中，要注意整体代换思想的应用，如果遇到确定最值问题，往往要结合均值定理求解.热门考点07 三角形中的最值与范围问题【典例12】（2018·江苏高考真题）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．【答案】9 【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.【典例13】（2020·全国高考真题（理））ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+，ABC ∴周长的最大值为3+【典例14】（2019·全国高考真题（文））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1) 3B π=;(2). 【解析】 (1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=. 0<B <π，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B =π，所以3B π=. (2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =，由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=又因,tan 623C C ππ<<>,故3188tan 82C <+<，故82ABCS <<. 故ABCS的取值范围是【总结提升】三角形中的最值范围问题，往往有三种情况，一是转化成三角函数的值域问题，利用三角函数的图象和性质；二是利用基本不等式求最值，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误；三是利用函数的单调性.热门考点08 应用正弦定理、余弦定理解决实际问题【典例15】（2019·上海市金山中学高一月考）如图，在笔直的海岸线l 上有两个观测点A 和B ，点A 在点B 的正西方向，2AB km =．若从点A 测得船C 在北偏东60°的方向，从点B 测得船C 在北偏东45°的方向，则船C 离海岸线l 的距离为______km ．（结果保留根号）【答案】13+ 【解析】如图所示，过点C 作CD AB ⊥，交AB 的延长线与点D ，设CD x =，45CBD BCD ∴∠=∠=，设BD CD x ==，又2AB =，2AD AB BD x ∴=+=+，30,tan CDCAD CAD AD︒∠=∠=， 323x x ∴=+，解得：13x =+所以船C 离海岸线l 的距离为(13)km ，故答案为：13+【典例16】（2018届山东、湖北部分重点中学高考冲刺（二））我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇：“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?”请你计算出海岛高度为__________步.（参考译文：假设测量海岛,立两根标杆，高均为5步,前后相距1000步,令前后两根标杆和岛在同一直线上,从前标杆退行123 步, 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行127步, 人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少？岛与前标杆相距多远?）（丈、步为古时计量单位，当时是“三丈=5步”）【答案】1255步【解析】如图所示，设岛高步，与前标杆相距步，由相似三角形的性质有，解得：，则海岛高度为1255步.【典例17】（2019·海南高一期中）在海岸A 处发现北偏东45︒方向，距A 处()31-海里的B 处有一艘走私船.在A 处北偏西75︒方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.【答案】缉私船应沿北偏东60︒的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟. 【解析】如图，设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获走私船（在D 点），则3CD t =海里，10BD t =海里，在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅))2212212cos1206=+-⋅⋅⋅︒=，解得=BC 又sin sin BC ACBAC ABC=∠∠，sin sin2AC BAC ABC BC ⋅∠∴∠===45ABC ∴∠=︒，故B 点在C 点的正东方向上，9030120CBD ∴∠=︒+︒=︒，在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin BD CDBCD CBD=∠∠，sin sin BD CBDBCD CD⋅∠∴∠=12==. 30BCD ∴∠=︒，∴缉私船沿北偏东60︒的方向行驶.又在BCD ∆中，120CBD ∠=︒，30BCD ∠=︒，30D ∴∠=︒，BD BC ∴=，即10t =解得t =15≈分钟. ∴缉私船应沿北偏东60︒的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.【总结提升】1.测量距离问题，归纳起来常见的命题角度有：（1）两点都不可到达；（2）两点不相通的距离；（3）两点间可视但有一点不可到达. 2. 求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 3. （1）测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．（2）解决角度问题的注意事项①测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． ②求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．③在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．巩固提升1．（2020·全国高考真题（文））在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（）A B ．C ．D ．【答案】C 【解析】设,,AB c BC a CA b ===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=2221cos sin tan 29a c b B B B ac +-==∴===故选：C2．（2020·全国高考真题（理））在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（） A ．19B ．13C ．12 D ．23【答案】A 【解析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB = 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.3. （2019·上海市金山中学高一月考）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B 【解析】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件故选：B4．（2016·全国高考真题（文））△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b=（） A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】D 【解析】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.5．（2018·全国高考真题（理））在ABC ∆中，cos 2C =，则AB=（）A ．BCD ．【答案】A 【解析】因为223cos 2cos 121,25C C =-=⨯-=-所以22232cos 125215()325c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯-=∴= A.6．（2012·陕西高考真题（理））在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（）A B C ．12D ．12-【答案】C 【解析】2221()2c a b =+，由余弦定理得,222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥当且仅当a b =时取“=”，cos C ∴的最小值为12，选C.7．（2019·吴起高级中学高二期中（文））在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a,b,c ，60B =，b =则ABC ∆外接圆的面积是（） A ．2π B ．πC ．34πD ．2π 【答案】B 【解析】设ABC △外接圆的半径r ，则22sin sin 60b r B ===，解得1r =， ∴ABC △外接圆的面积21ππ=⨯=，8．（2019·榆林市第二中学高二期中（文））在ΔABC 中，4a =，5b =，A =45°，则此三角形解的情况是( ) A ．两解 B ．一解C ．一解或两解D ．无解【答案】A 【解析】因为4a =，5b =，A =45°,所以由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,所以290c -+=,解得2c =或2c =, 所以此三角形解有两解. 故选:A .9．（2019·榆林市第二中学高二期中（文））已知△ABC 中，sin sin sin c b Ac a C B-=-+，则B =( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 【答案】C 【解析】因为sin sin sin c b Ac a C B -=-+,利用正弦定理角化边得c b a c a c b-=-+,所以()()()c b c b a c a -+=-, 所以222c b ac a -=-, 所以222a c b ac +-=,所以222122a cb ac +-=,根据余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==,因为0B π<<,所以3B π=.10．（2019·陕西高三（理））在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos cos sin A B Ca b c+=，若22285b c a bc +-=，则tan B 的值为（） A ．13- B ．13C ．3-D ．3【答案】C 【解析】ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，由cos cos sin A B C a b c +=，得：cos cos sin 1sin sin sin A B CA B C +==，故111tan tan A B+=，若22285b c a bc +-=，则222425b c a bc +-=，即4cos 5A =．3sin 5A ∴=，故3tan 4A =，代入111tan tan A B+=，解得tan 3B =-．故选：C ．11．（2019·四川高三月考（理））已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin a b A c C b B -⋅=-，若ABC △的面积为ABC △的周长的最小值为（）A ．B ．3+C ．D ．3+【答案】C 【解析】()sin sin sin a b A c C b B -⋅=-,∴222a ab c b -=-,∴222a b c ab +-=,∴222cos 122a b c C ab +-==,∴3C π=, 1sin2S ab C ==∴12ab =,222212c a b ab ab ab =+-≥-=（当且仅当c =时取等号）,∴c ≥∴222()3()36c a b ab a b =+-=+-,∴a b +=，∴a b c c ++=设()f c c =()f c 单调递增,c ≥,∴a b c ++≥=故选：C.12．（2019·全国高考真题（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 13.（2018·全国高考真题（文））ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C 【解析】由题可知222124ABCa b c SabsinC +-==所以2222absinC a b c +-= 由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.14.（2020·江苏省高考真题）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫-⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， ∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0，当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.15．（2019·江苏高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b =2，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）3c =；（2）25. 【解析】（1）因为23,2,cos 3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)3c c +-=，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b=，由正弦定理sin sin a b A B=，得cos sin 2B Bb b =，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos B =. 因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 16．（2020·山东海南省高考真题）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析【解析】解法一：由可得：，不妨设，则：，即.选择条件①的解析：据此可得：，，此时.选择条件②的解析：据此可得：，则：，此时：，则：.选择条件③的解析：可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,∴, 若选①，,∵,∴,∴c=1; 若选②，,则,;若选③,与条件矛盾.。

第04讲正弦定理和余弦定理 (精讲)(学生版)

第04讲正弦定理和余弦定理 (精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：利用正、余弦定理解三角形角度1：三角形个数问题角度2：利用正弦定理解三角形角度3：利用余弦定理解三角形角度4：正余弦定理综合应用高频考点二：判断三角形的形状高频考点三：三角形面积相关问题角度1：求三角形面积角度2：根据面积求参数角度3：三角形面积的最值第四部分：高考真题感悟1、正弦定理1.1正弦定理的描述①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.②符号语言：在ABC ∆中，若角A 、B 及C 所对边的边长分别为a ，b 及c ，则有sin sin sin a b cA B C==1.2正弦定理的推广及常用变形公式在ABC ∆中，若角A 、B 及C 所对边的边长分别为a ，b 及c ，其外接圆半径为R ，则 ①2sin sin sin a b cR A B C=== ②sin sin a B b A =；sin sin b C c B =；sin sin a C c A =； ③sin :sin :sin ::A B C a b c = ④2sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b c a b a c b cR A B C A B C A B A C B C+++++=======+++++ ⑤2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =（可实现边到角的转化） ⑥sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R=（可实现角到边的转化） 2、余弦定理2.1余弦定理的描述①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在ABC ∆中，内角,,A B C ，所对的边分别是,,a b c ,则：2222cos a b c bc A =+-； 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-2.2余弦定理的推论222cos 2b c a A bc +-=； 222cos 2a c b B ac +-=； 222cos 2a b c C ab+-=3、三角形常用面积公式①12S =⨯⨯底高； ②111=sin sin sin 222S ab C ac B bc A ==； ③1()2S a b c r =++（其中，,,a b c 是三角形ABC 的各边长，r 是三角形ABC 的内切圆半径）； ④4abcS R=(其中，,,a b c 是三角形ABC 的各边长，R 是三角形ABC 的外接圆半径). 4、常用结论在三角形中的三角函数关系①sin()sin A B C += ②cos()cos A B C +=- ③tan()tan A B C +=- ④sin()cos 22A B C+= ⑤cos()sin 22A B C+= ⑥若sin sin A B A B =⇔=⑦若sin 2sin 2A B =⇔A B =或2A B π+=一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）在ABC 中，若sin sin A B>，则A B > ( )2．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）在ABC 中，若()()()a c a c b b c +-=+，则60A ∠=( ) 二、单选题3．（2022·河南·安阳一中高一阶段练习）若在,2cos ABC a B c ⋅=△中，则三角形的形状一定是（） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形4．（2022·天津市微山路中学高一阶段练习）在ABC 中，a =1b =，60A =︒，则B =（） A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°高频考点一：利用正、余弦定理解三角形角度1：三角形个数问题例题1．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（理））已知△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，“满足2b =，6A π=的ABC 有两个”的必要不充分条件是（） A ．1a > B ．12a << C ．2a > D ．01a <<例题2．（2022·河南宋基信阳实验中学高一阶段练习）下列条件判断三角形解的情况，正确的的个数是（）． ①8a =，16b =，30A =︒，有两解； ②18b =，20c =，60B =︒，有一解； ③15a =，2b =，90A =︒，无解； ④40a =，30b =，120A =︒，有一解．A ．1B ．2C ．3D ．4例题3．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）在ABC ∆中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A ．a =8b =，60A =︒B ．5a =，6b =，120A =︒C ．3a =，4b =，45A =︒D ．4a =，3b =，60A =︒题型归类练1．（2022·山西运城·高一期中）在ABC 中，2AB =，60A =︒，BC m =，若满足条件的三角形有两个，则m 的取值范围为（）A ．12m <2．（2022·重庆一中高一阶段练习）若满足,6,4ABC AC BC k π∠===的ABC 恰有一个，则实数k 的取值范围是（）A ．(]0,6B ．(]{}0,662C ．{D ．(3．（2022·山东省实验中学高一期中）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，30C =，10c =.如果ABC 有两解，则a 的取值范围是（）A ．[]10,20B ．⎡⎣C ．(D ．()10,20角度2：利用正弦定理解三角形例题1．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高一期中）在ABC 中，15,10,60BC AC A ===，则cos B =（）A ．BC ．D 例题2．（2022·湖北·华中师大一附中高一期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中2a =，b =，若满足条件的三角形有且只有两个，则角A 的取值范围为（） A ．π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3π,2π4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π3π0,,2π44⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例题3．（2022·辽宁·鞍山一中高一期中）ABC 中，3A π=，4B π=，BC =ABC 的周长是______．例题4．（2022·河南新乡·高一期中）一艘轮船从A 地开往北偏西30方向上的B 地执行任务，完成任务后开往北偏东45︒方向上的C 地，轮船总共航行了966km ，若C 地在A 地北偏东15︒的方向上，则A ，B 两地相距约为___________km . 1.414）题型归类练1．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin C =2c =,3b =，则cos B 的值为（）A ．BC ．D ．2．（2022·重庆·高一阶段练习）在ABC 中，3cos 5A =-，a =5b =，则B 为（）A ．π4B ．π3C ．π4或34πD ．π3或2π33．（2022·浙江杭州·高一期中）设ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足π3A =，5π12B =，2c =，则=a （）A 1B 1C D 4．（2022·江苏·吴江汾湖高级中学高一期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1,2,60==∠︒=b c C ．若D 是边BC 上一点且B DAC ∠=∠，则AD =（）ABC D5．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中34C π=，c =且1sin sin 8A B =，则ABC 的面积为___________.6．（2022·重庆·高一阶段练习）已知轮船A 和轮船B 同时从C 岛出发，A 船沿北偏东30的方向航行，B 船沿正北方向航行（如图）．若A 船的航行速度为nmile /h ，1h 后，B 船测得A 船位于B 船的北偏东45︒的方向上，则此时A ，B 两船相距____________nmile .角度3：利用余弦定理解三角形例题1．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）已知ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1cos 4C =，4a =，8b =，则ABC 的周长为（）A ．9B ．10C ．20D ．24例题2．（2022·河北·高一期中）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin cos 1B C B C A +-+=，则A =（）． A ．π6B ．5π6 C ．π3D ．2π3例题3．（2022·四川·成都七中高一期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin a A b B c b C =+-，AD 是ABC ∆的角平分线，D 在BC 边上，AD =3b c =，则a 的值为（）A B C D 例题4．（2022·吉林毓文中学高一期中）在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，14AB =，60BDA ∠=，120BCD ∠=，则BC 的长为______．题型归类练1．（2022·全国·高一单元测试）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3cos 10C =，若92CB CA ⋅=，则c 的最小值为（）A ．2B ．4CD ．172．（2022·江苏常州·高一期中）ABC 中，2AB =，3BC =，4AC =，D 为AC 的中点，则BD 长为（）A B ．52C D3．（2022·辽宁·鞍山一中高一期中）已知ABC 中，4AB =，1AC =，BC =ABC 的面积是（）AB ．C ．6D ．4．（2022·湖北·高一阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c （a cos B －b cos A ）＝16，a －b ＝2，∠C ＝60，则c 的值等于___．5．（2022·广东·广州市为明学校高一期中）如图，要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度，在塔的同一侧选择C ，D 两观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45,30︒︒．在水平面上测得120BCD ∠=︒，C ，D 两地相距600m ，则铁塔AB 的高度是_______m ．6．（2022·安徽·高一期中）在某个位置测得一旗杆的仰角为θ，对着旗杆在平行地面上前进60米后测得旗杆仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进4倍，则该旗杆的高度为______米．角度4：正余弦定理综合应用例题1．（2022·山西·高一阶段练习）在ABC 中，已知cos A =1tan 2B =，若ABC ，则其最长边长为（）AB C D ．例题2．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））已知在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且60A =，4BC =，则ABC ∆的周长的取值范围为（）A ．(4,12⎤⎦B ．(]8,12C ．)4,12⎡⎣D ．(]10,12例题3．（2022·山东菏泽·高一期中）在ABC ∆中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则sin B =（）A ．19B C ．1 D ．3例题4．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足222533a b c +=，则sin A 的最大值是__________.例题5．（2022·山东·临沭县教育和体育局高一期中）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ABC 的面积S =根据此公式，若()cos 2cos 0a B b c A +-=，且2224b c a ，则ABC 的面积为______.题型归类练1．（2022·江苏·高一课时练习）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60m ，则河流的宽度BC 等于（）A ．)2401mB ．)1801mC ．)1201mD ．)301m2．（2022·天津河北·高一期中）在 ABC 中，120B ∠=，AB =∠A 的角平分线AD |AC |＝（）A．2B ．3C D3．（2022·四川绵阳·高一期中）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC )222a b c +-，则角C ＝（） A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 4．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）为了测量一个不规则公园,C D 两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1km 的,A B 两点，点B 在点A 的正东方向上，且,,,A B C D 四点在同一水平面上．从点A 处观测得点C 在它的东北方向上，点D 在它的西北方向上；从点B 处观测得点C 在它的北偏东15︒方向上，点D 在它的北偏西75方向上，则,C D 之间的距离为______km.5．（2022·江西萍乡·三模（理））已知,,a b c 分别为锐角ABC 的内角,,A B C 的对边，若in 2s c a A =，则ABC 面积的最大值为_________．高频考点二：判断三角形的形状例题1．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一期中）在ABC 中，已知()sin 2sin cos C B C B =+，那么ABC 一定是（）A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形例题2．（2022·河南·安阳一中高一阶段练习）若在,2cos ABC a B c ⋅=△中，则三角形的形状一定是（） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形例题3．（2022·江苏南通·模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1，则（）A ．能制作一个锐角三角形B ．能制作一个直角三角形C ．能制作一个钝角三角形D ．不能制作这样的三角形题型归类练1．（2022·全国·高一单元测试）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos a bA B=，222c a b ab =+-，则ABC ∆是（） A ．钝角三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形2．（2022·江苏南通·高一期中）在ABC 中，若22cos a b c B -=，cos cos 1A B +=，则ABC 一定是（） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．无法确定3．（2022·天津市第二十一中学高一期中）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A =，则△ABC 的形状是（） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形4．（2022·安徽·安庆一中高一期中）已知在ABC 中，22cos sin sin cos a A B b A B =，则ABC 的形状为（） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形5．（2022·江苏徐州·高一期中）在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．若1111sin sin tan tan c A c B b A a B-=-，则ABC 为（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形高频考点三：三角形面积相关问题角度1：求三角形面积例题1．（2022·江西宜春·模拟预测（文））ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若56A π=，a ==c ，则ABC 的面积为（）A ．BCD ．例题2．（2022·吉林长春·模拟预测（文））ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a c ac b ++=，且3ac =，则ABC 的面积为（）A ．34B C D ．32例题3．（2022·内蒙古包头·二模（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知135B =︒，a =，b =ABC 的面积为（）A ．9B ．6C ．92D ．72例题4．（2022·全国·高一单元测试）锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若7a =、8b =，1,cos 2m A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(sin n A =，，且m n ⊥，则ABC 的面积为（）AB ．C ．D ．例题5．（2022·江西·模拟预测（文））在ABC 中，3cos ,2,4A AB BC ===ABC 的面积为（）A B C D ．例题6．（2022·新疆·乌市八中高一期中）在ABC 中，21,2,3AB AC B C π==-=，则ABC ∆的面积为（）A BC D 角度2：根据面积求参数例题1．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin sin sin a b A c C b B -=-，若ABC 的面积为c 的最小值为（）A ．B ．C ．2D ．4例题2．（2022·全国·二模（理））ABC ∆中，2172cos cos 20224C C --=，若4AB =，则AB 边上的高的最大值为（）A ．2B ．3C ．D ．例题3．（2022·江苏·东海县教育局教研室高一期中）在ABC ∆中，点D 为边AC 上靠近A 的四等分点，ABD ACB ∠=∠，CB BD ⊥，15ABC S =△，则AB =（）A ．5B ．3C ．D ．例题4．（2022·河南新乡·高一期中）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2,3,3===πa c B ，则AC 边上的高为（）A B C D ．7例题5．（2022·陕西·模拟预测（理））已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且60C =︒，3a =，ABC S =△，则AB 边上的中线长为（） A ．49 B ．7 C ．494 D ．72角度3：三角形面积的最值例题1．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2b =，且2cos cos cos a B a C c A a b -=+-，则ABC 面积的最大值是（）AB C ．2 D例题2．（2022·天津·高一期中）设锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2B B +=，2c =，则ABC 面积的取值范围为（）A ．⎝B ．⎝C ．⎝D ．⎝⎭例题3．（2022·江苏·盐城中学高一期中）在四边形ABCD 中，AC AB =，3AD =，1CD =，3ABC π∠=，则四边形ABCD 面积的最大值为（）A B ．3C D ．4例题4．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos 2cos ,+=⋅=a B b A c A a ABC 的面积的最大值为（）A ．B ．3CD 例题5．（2022·江苏省震泽中学高一期中）ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin 4sin sin ,4a A b B C a B c +=+=，则ABC 面积的最大值为（）A ．B ．C ．4D ．例题6．（2022·重庆市第二十九中学校高一期中）在面积为S 的ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2243tan S b c A +=+，且6A π=，则S 的最大值为（）A ．34B ．32C ．D题型归类练1．（2022·山西运城·模拟预测（理））某公同管理处规划一块三角形地块ABC 种植花卉，经测量60,2,9m A AC AB BC =︒==，则该地块的而积为___________2m .2．（2022·湖南·高二阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin c b A A -.(1)求角B ；(2)若4,a b ==ABC 的面积.3．（2022·广东汕头·高二阶段练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(2sin )cos B C a A ⋅.(1)求角A 的值：(2)当4,8a b c =+=时，求ABC 的面积.4．（2022·海南·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知π4A =，b =．(1)求tan C ；(2)若a =ABC 的面积．5．（2022·全国·模拟预测）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()π2sin πcos tan cos 2C B A B ⎛⎫-++=⋅ ⎪⎝⎭． (1)求A ；(2)若sin b A B ，求△ABC 的面积的最大值．6．（2022·河北·高一期中）如图，在ABC 中，2AB =，1AC =，π6B =，点D 在边BC 上，且cos ADB ∠=．(1)求AD ；(2)求ACD △的面积．1．（2021·全国·高考真题（文））在ABC 中，已知120B =︒，AC 2AB =，则BC =（） A ．1 B C D ．3 2．（2021·全国·高考真题（理））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60B =︒，223a c ac +=，则b =________．3．（2021·全国·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．4．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件②：ABC 的周长为4+条件③：ABC5．（2021·全国·高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.。

高中数学正弦定理与余弦定理习题及详解

正弦定理余弦定理

【基础知识精讲】1.正弦定理、三角形面积公式正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于该三角形外接圆的直径，即：A a sin =B b sin =C csin =2R. 面积公式：S △=21bcsinA=21absinC=21acsinB.2.正弦定理的变形及应用变形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC (2)sinA ∶sinB ∶sinC=a ∶b ∶c (3)sinA=R a 2,sinB=R b 2,sinC=Rc 2. 应用(1)利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：a.已知两角和任一边，求其他两边和一角.b.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况. ①A 为锐角时②A 为直角或钝角时.(2)正弦定理，可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如：在判断三角形形状时，经常把a 、b 、c 分别用2RsinA 、2RsinB 、2RsinC 来代替.3.余弦定理在△ABC 中，有a 2=b 2+c 2-2bccosA; b 2=c 2+a 2-2accosB ； c 2=a 2+b 2-2abcosC ；变形公式：cosA=bc a c b 2222-+,cosB=ac b a c 2222-+,cosC=abc b a 2222-+在三角形中，我们把三条边(a 、b 、c)和三个内角(A 、B 、C)称为六个基本元素，只要已知其中的三个元素(至少一个是边)，便可以求出其余的三个未知元素(可能有两解、一解、无解)，这个过程叫做解三角形，余弦定理的主要作用是解斜三角形.4.解三角形问题时，须注意的三角关系式：A+B+C=π 0＜A ，B ，C ＜πsin2B A +=sin 2C -π=cos 2Csin(A+B)=sinC特别地，在锐角三角形中，sinA ＜cosB,sinB ＜cosC,sinC ＜cosA.【重点难点解析】掌握正、余弦定理，并学会用其余弦定理解三角形.例1 在△ABC 中，已知A ＞B ＞C ，且A=2C,b=4,a+c=8，求a 、c 的长.解：由正弦定理A a sin =C c sin 及A=2C 得C a 2sin =C c sin ,即C C a cos sin 2=Ccsin , ∴cosC=ca 2. 由已知a+c=8=2b 及余弦定理，得cosC=abcb a 2222-+=)()2(222c a a c c a a +-++ =)(4))(35(c a a c a c a ++-=a ca 435-.∴ca 2=a ca 435-，整理得(2a-3c)(a-c)=0∴a ≠c,∴2a=3c. ∵a+c=8,∴a=524,c=516. 例2 在△ABC 中，如果lga-lgc=lgsinB=-lg 2，且B 为锐角，试判断此三角形的形状.解：∵lga-lgc=lgsinB=-lg 2,∴sinB=22 又∵0°＜B ＜90°，∴B=45° 由lga-lgc=-lg 2,得c a = 22. 由正弦定理得c A sin sin = 22.即2sin(135°-C)= 2sinC即2［sin135°cosC-cos135°sinC ］=2sinC.∴cosC=0,得C=90° 又∵A=45°,∴B=45°从而△ABC 是等腰直角三角形.例3 如图已知：平行四边形两邻边长为a 和b(a ＜b)，两对角线的一个交角为θ(0°＜θ＜90°)，求该平行四边形的面积.分析：由于已知了平行四边形相邻两边长和对角线的一个交角，再考虑到平行四边形的面积是△AOB 的四倍，因此只要求OA ·OB ·sin θ即可.解：设平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O.AB=a,BC=b,∠AOB=θ，又设OA=x,OB=y.在△AOB 中，应用余弦定理可得： a 2=x 2+y 2-2xycos θ ① 在△BOC 中，应用余弦定理可得： b 2=x 2+y 2-2xycos(180°-θ) ② 由②-①得： b 2-a 2=4xycos θ∵0°＜θ＜90°，∴xy=θcos 422a b - (b ＞a)∴S □=4S △AOB =2xysin θ=222b a -tan θ例4 在△ABC 中，已知4sinBsinC=1,b 2+c 2-a 2=bc,且B ＞C ，求A 、B 、C.分析：由于题设条件b 2+c 2-a 2=bc 十分特殊，将它与余弦定理对照可得A=60°,这样B+C=120°，于是再利用条件4sinBsinC=1，可求得B 与C.解：由余弦定理cosA=bca c a 2222-+=bc bc 2=21.又∵0°＜A ＜180°∴A=60°∴B+C=120°,又由于4sinBsinC=1 ∴4sinBsin(120°-B)=1 ∴4sinB(23cosB+21sinB)=1∴3sin2B+2sin 2B=1 ∴3sin2B=cos2B∴tan2B=33,∴2B=30°或2B=210°由于B+C=120°,且B ＞C ，60°＜B ＜120° ∴2B=210°,∴B=105°,从而C=15° ∴A=60°,B=105°,C=15°例5 已知△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且a+c=2b ，A-C=3π,求sinB 的值. 解法一：由正弦定理和已知条件a+c=2b ，得sinA+sinC=2sinB ，由和差化积公式得 2sin2C A +·cos 2CA -=2sinB 由A+B+C=π，得 sin2C A +=cos 2B 又A-C=3π,得 23cos 2B =sinB∴23cos 2B =2sin 2B ·cos 2B又∵0＜2B ＜2π,cos 2B≠0 ∴sin2B =43 从而cos2B =2sin 12B -=413 ∴sinB=23·413 =839. 解法二：由正弦定理和已知条件a+c=2b ，得sinA+sinC=2sinB∵A-C=3π,A+B+C=π 两式相减可得B=32π-2C∴sin(3π+C)+sinC=2sinB 得sin 3πcosC+cos 3πsinC+sinC=2sinB∴23cosC+23sinC=2sinB即3cos(3π-C)=2sinB ∴3cos 2B =4sin 2B ·cos 2B∵0＜B ＜π,∴cos 2B≠0∴sin2B =43 cos2B =2sin 12B -=413 ∴sinB=23·cosB=839【难题巧解点拔】例1 △ABC 中，若a=5,b=4,cos(A-B)=3231，求AB. 分析：很明显，只要求cosC 的值，应用余弦定理即可求出AB. 解法一：由已知条件a=5,b=4b a b a -+=B A B A sin sin sin sin -+=2sin2cos 2cos2sinB A B A BA B A -+-+=9，①由已知cos(A-B)= 3231,根据半角公式有sin2B A +=2)cos(1B A --=81,cos 2B A -=2)cos(1B A -+=863代入①式得tg2B A +=639∵tg 2B A +=ctg 2C , ∴tg2C = 963,根据万能公式cosC=81∴c 2=a 2+b 2-2abcosC=36,AB=c=6解法二：∵A ＞B ，如图，作∠BAD=∠B,∴AD=BD∠CAD=∠A-∠B 令AD=BD=y,CD=x,由余弦定理cos(A-B)=boyx y b 2222-+= 3231,x=a-y,∴yy 8910-= 3231,y=4,x=1 △CAD 中再由余弦定理cosC=81,∴c=6 评析：上述解法反映边向角的转化，也可由角向边转化直接求出边.例2 半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，且OA=2，B 为半圆周上任意一点以AB 为边向形外作等边三角形ABC(如图)，问B 点在什么位置时，边形OACB 的面积最大，并求出这个最大面积.解：设∠AOB=x ，则 S △AOB =21·2·1·sinx=sinx, AB 2=OA 2+OB 2-2·OA ·OB ·cosx=5-4cosx. S △ABC =43AB 2=43 (5-4cosx)= 45-3cosx ∴S OACB =S △AOB +S △ABC=sinx-3cosx+435 =2sin(x-3π)+435 ∵0＜x ＜π,-3π＜x-3π＜32π ∴x-3π=2π时，∴即x=65π时,S OACB 有最大值2+435(平方单位) 例3 已知△ABC 中，AB=AC=a,∠BAC=φ，等边三角形PQR 的三边分别通过A ，B ，C 三点.试求△PQR 的面积的最大值.分析：先依题意画出图形(如图).因为变动三角形PQR 为正三角形，它的面积S=43PQ 2，问题可转化为求边长PQ 的最大值.为此需要建立PQ 的函数式，这又必须选取适当的量作为自变量.观察图形可以发现，PQ 的位置是随着∠PAB 的大小变化而变化的.不妨就以∠PAB 为自变量.以下的程序就是应用三角形的边角关系，求出以∠PAB 的三角函数表示PQ 的解析式，最后求它的最大值.解：设∠PAB=x,那么∠PBA=120°-x,∠QAC=180°-x-φ，∠QCA=x+φ-60°.在△PAB 中，∵)120sin(x PA-︒=︒60sin AB ，∴PA=32a sin(120°-x),在△AQC 中，)60sin(︒-Φ+x AQ=︒60sin AC∴AQ=32a sin(x+φ-60°)∴PQ=PA+AQ=32a ［sin(120°-x)+sin(x+φ-60°)=34a sin(2Φ+30°)cos(90°-2Φ-x). 因为其中a,2Φ+30°都是常量，所以当90°-2Φ-x=0即x=90°-2Φ时，取得 (PQ)max =34a sin(2Φ+30°) 同时也就取得了 (S △)max =43 (PQ)2max=334a 2sin 2(2Φ+30°)例4 在△ABC 中，已知A=2C ，求证：3b ＜c-a ＜2b.证明：在△ABC 中，由A=2C ，得C=2A ，∴B=π-3A,∴0＜A ＜3πb ac - =B A C sin sin sin -=)sin(sin sin C A A C +-=2cos2sin 2sin2cos 2C A C A A C A C ++-+ =23sin 2sin A =2sin 2cos 2sin 42sin2A A A A -=12cos 412-A =1cos 21+A .∵0＜A ＜3π，∴21＜cosA ＜1，即2＜2cosA+1＜3∴31＜b a c -＜21,故3b ＜c-a ＜2b.评析：解本题的关键是利用正弦定理及三角公式将b a c -转化为1cos 21+A ，结合角A的取值范围推得结论.【课本难题解答】课本第132页，习题5.9第8题：｜F ｜≈132N ，β≈38° 第9题两条对角线的长分别是415cm 和43cm,面积是48cm 2.【命题趋势分析】本节主要考查：1.根据已知条件，求三角形的末知元素，或判断三角形的形状. 2.运用正、余弦定理及关系式A+B+C=π解决三角形中的计算和证明问题. 3.利用所学的三角知识解决与三角形有关的三角函数问题和简单的实际问题. 根据考试的方向，可以预见，利用正、余弦定理解斜三角形问题将会与三角函数、数列、方程、向量等知识相结合，尤其是与生活、生产、科学实验实际相结合，考查综合运用数学知识的能力.【典型热点考题】例1 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，设a+c=b ，A-C=3π，求sinB 的值.解：根据正弦定理和已知可得：sinA+sinC=2sinB,A+B+C=π 则2sin2C A +·cos 2CA -=2sinB.又A-C=3π,sin 2C A -=cos 2B∴2cos 2B cos 6π=2sinB=4sin 2B cos 2B又∵0＜2B ＜2π∴sin2B =43 cos2B =2sin 12B -= 413 ∴sinB=2·413·43=839例2 若△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且最大边为最小边的2倍，则三内角之比为 .解：设三角形三内角从小到大依次为B-d,B,B+d, 则B-d+B+B+d=180°∴B=60° 设最小边为x ，则最大边为2x,从而)60sin(d x -︒=)60sin(2d x +︒⇒tand=33,d=30° 所以三内角分别为A=30°,B=60°,C=90°,得三内角之比为1∶2∶3. ∴应填1∶2∶3.例3 在△ABC 中，A 、B 、C 三顶点所对边分别为a,b,c ，试证明b 2=c 2+a 2-2accosB.证明：因为=+则有：2=·=(+)·(+)=2+2+2·=AB 2+BC 2+2｜AB ｜·｜BC ｜cos(180°-B)=c 2+a 2-2accosB 所以b 2=c 2+a 2-2ac ·cosB例4 求sin 220°+cos 280°+3sin20cos80°的值.解：设△ABC 中的A=10°,B=20°,C=150°对应边分别为a,b,c. △ABC 的外接圆半径为2R ，则由正弦定理得： a=2Rsin10°,b=2Rsin20°,c=2Rsin150° 由余弦定理，得：(2Rsin150°)2=(2Rsin10°)2+(2Rsin20°)2-2(2Rsin10°)(2Rsin20°)cos150°即：sin 2150°=sin 210°+sin 220°+3sin10°sin20°则：cos 280°+sin 220°+3sin20°cos80°=41 说明：本题采用了构造法，题中余弦变正弦之后，注意到3=-2cos(180°-10°-20°).【同步达纲练习】一、选择题1.在△ABC 中，已知a=52,c=10,A=30°，则B 等于( ) A.105°B.60°C.15°D.105°或15°2.在△ABC 中，若b=22,a=2，且三角形有解，则A 的取值范围是( ) A.0°＜A ＜30° B.0°＜A ≤45° A.0°＜A ＜90°D.30°＜A ＜60° 3.在△ABC 中，若2cos A a =2cos B b =2cosC c，则△ABC 的形状是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4.在△ABC 中，若a=2,b=22,c=6+2，则∠A 的度数是( )A.30°B.45°C.60°D.75°5.设m 、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是( ) A.0＜m ＜3 B.1＜m ＜3 C.3＜m ＜4 D.4＜m ＜66.在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于( )A.75°B.120°C.135°D.150°7.△ABC 中，若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( ) A.60°B.120°C.60°或120°D.45°8.在△ABC 中，若A=60°,b=16,且此三角形的面积S=2203，则a 的值是( ) A. 2400B.25C.55D.499.在△ABC 中，若acosA=bcosB,则△ABC 是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角10.在钝角三角形ABC 中，三边长是连续自然数，则这样的三角形( ) A.不存在 B.有无数多个 C.仅有一个 D.仅有两个二、填空题1.在△ABC 中，A=120°,B=30°,a=8,则c= .2.在△ABC 中，已知a=32,cosC=31,S △ABC =43，则b= . 3.已知锐角三角形边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是 . 4.在△ABC 中，A=60°,b ∶c=8∶5,其内切圆关径r=23,则a= ，b= ,c= .5.在△ABC 中，A=60°,b=1,面积为3，则CB A cb a sin sin sin ++++= .6.在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，且边b=2，则外接圆半径R= .三、解答题1.设三角形三边长分别为15，19，23，现将三边长各缩短x 后，围成一个钝角三角形，求x 的取值范围.2.在△ABC 中，已知它的三边a ，b ，c 成等比数列，试证明：tan 2A tan 2C ≥31.3.已知在△ABC 中，c=22,a ＞b,C=4π,tanA ·tanB=6,试求a,b 以及此三角形的面积.【素质优化训练】1.在△ABC 中，已知a-b=4,a+c=2b ，且最大角为120°，求△ABC 的三边长.2.如图，在60°的∠XAY 内部有一点P ，P 到边AX 的距离是PC=2，P 到边AY 的距离是PB=11，求点P 到顶点A 的距离.3.在△ABC 中，若C=3B ，求bc的取值范围.4.已知△ABC 是钝角三角形，∠B ＞90°,a=2x-5,b=x+1,c=4,求x 的取值范围.5.在△ABC 中，已知cos 2B+cos 2C=1+cos 2A,且sinA=2sinBcosC,cosC=sinB ，求证：b=c 且A=90°.6.在△ABC 中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 的对边，若a 2+c 2=2001c 2,求BA Ccot cot cot +的值.【生活实际运用】某人在塔的正东方沿南60°西的道路前进40米后，望见塔在东北方向上，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高.解：如图，由题设条件知： ∠CAB=∠1=90°-60°=30°∠ABC=45°-∠1=45°-30°=15° ∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC =180°-30°-15°=135° 又∵AB=40米.在△ABC 中，由正弦定理知：︒15sin AC =︒135sin 40∴AC=︒︒135sin 15sin 40=402sin(45°-30°)=402 (sin45°cos30°-cos45°sin30°) =402 (22·23-22·21)=20(3-1)在图中，过C 作AB 的垂线，设垂足为E ，则沿AB 测得塔的最大仰角就是∠CED ，∴∠CED=30°.在Rt △ACE 中，EC=AC ·sinBAC=AC ·sin30°=20·(3-1)·21=10(3-1) 在Rt △DCE 中，塔高CD=CE ·tan ∠CED=10(3-1)·tan30°=3)33(10- (米).【知识验证实验】外国船只除特许者外，不得进入离我国海岸线d 海里以内的海域.设B 和C 是我国的两个设在海边的观测站，B 与C 之间的距离为m 海里，海岸线是过B 、C 的直线.一外国船在A 点处，现测得∠ABC=α、∠ACB=β.试求α、β满足什么关系时，就应向示经特许的外国船只A 发出警告?解：如图所示，作AD ⊥BC ，垂足为D ，在△ABC 中，∠BAC=180°-(α+β)∴sin ∠BAC=sin(α+β).由正弦定理得：βsin AB =)sin(βα+BC ,αsin AC =)sin(βα+BC. ∵BC=m ，故有： AB=)sin(sin βαβ+m ,AC=)sin(sin βαα+m由于S △ABC =21BC ·AD=21 m ·AD 且S △ABC =21AB ·AC ·sin(α+β). 所以21)sin(sin βαα+m ·)sin(sin βαβ+m ·sin(α+β)= 21mAD.从而有：AD=)sin(sin sin βαβα+m因此，当AD ≤d,即)sin(sin sin βαβα+m ≤d 时，就应向外国船只A 发出警发.【知识探究学习】如图，在四边形ABCD 中，BC=m,DC=2m,四个内角A 、B 、C 、D 之比为3∶7∶4∶10,试求△ABD 的面积.解：由于四个内角A 、B 、C 、D 比为3∶7∶4∶10，所以可设它们的大小依次为：3x 、7x 、4x 、10x.由四边形的内角和为360°，所以有：3x+7x+4x+10x=360°，可求得：x=15°. 在△BCD 中，由余弦定理得； BD 2 =BC 2+DC 2-2BC ·DC ·cosC.=m 2+(2m)2-2·m ·(2m)cos60° =3m 2∴BD=3m.这时，在△BCD 中，BD 2+BC 2=DC 2,所以△BCD 是直角三角形，DC 是斜边. ∴∠CDB=30°,∠ADB=120°. 在△ABD 中，由正弦定理得：AB=A ADB BD sin sin ∠∙=︒︒45sin 120sin 3m =223m,另外∠ABD=105°-90°=15°,BD=3m.所以S △ADB =21AB ·BD ·sin15°=21·223m ·3m ·sin15° =8239-m 2.参考答案【同步达纲练习】一、1.D 2.B 3.B 4.A 5.B 6.B 7.B 8.C 9.D 10.C二、1.338 2.213 3.(5，13) 4.14，10，16 5. 338 6. 332 三、1.3＜x ＜112.提示可证：a+c ≥2b ，再得sinA+sinC ≥2sinB ，和差化积可得结论3.a=5106,b=558,S △=524【素质优化训练】1.a=14,b=10,c=62.143.1＜b c＜3 4. 310＜x ＜4 5.可求出B=C=45° 6.1000。

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正、余弦定理的五大命题热点知识点：1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ． 3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac+-B =，222cos 2a b c C ab +-=．6、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >．正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。

主要有以下五大命题热点：一、求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 1、ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（）A ．33sin 34+⎪⎭⎫⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB 2、在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值．3、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，a ，则 A.a ＞b B.a ＜b C. a ＝b D.a 与b 的大小关系不能确定4、在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若22a b -=，sin C B =，则A= （A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150 5、在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos B =A －3 B 3 C －336、在△ABC 中，若b = 1， c =3，23C π∠=，则a = 。

7、在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.8、在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于，AC 的取值范围为 . 9、△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+,sin()cos B A C -=.（1）求,A C ；（2）若33ABC S ∆=+,求,a c .二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 1、在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 2、18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 三、解决与面积有关问题：主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题． 1、在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝_________四、求值问题1、在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件222a bc cb =-+和321+=b c ，求A ∠和B tan 的值． 2、在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b a C a b +=，则tan tan tan tan C CA B+=_________。

3、在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.五、正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一.）测量问题 1、如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。

（二.）遇险问题2、某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。

若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？西北南东 A BC30° 15° 图2图1 A B CD（三.）追击问题 3、如图3，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9n mile 并以20n mile/h 的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航行，应沿什么方向，用多少h 能尽快追上乙船？五、交汇问题是指正余弦定理与其它知识的交汇，如与不等式、数列、立体几何(特别是求角与距离)、解析几何、实际问题等知识交汇． 1、△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，.43cos =B （Ⅰ）求cot A +cot C 的值；（Ⅱ）设32BA BC ⋅=，求a ＋c 的值.易错题解析例题1 在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果a b c 222<+，求A 的取值范围。

错解：∵a b c b c a 2222220<++->，∴。

则cos A b c a bc=+->22220，由于cosA 在（0°，180°）上为减函数且cos90090°，∴°=<A又∵A 为△ABC 的内角，∴0°＜A ＜90°。

辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。

题设是a 为最大边，而错解中只把a 看做是三角形的普通一条边，造成解题错误。

正解：由上面的解法，可得A ＜90°。

又∵a 为最大边，∴A ＞60°。

因此得A 的取值范围是（60°，90°）。

例题2 在△ABC 中，若a bA B 22=tan tan ，试判断△ABC 的形状。

错解：由正弦定理，得sin sin tan tan 22A B A B = 即sin sin sin cos cos sin sin sin 2200A BA AB B A B =>>·，∵， ∴，即sin cos sin cos sin sin A A B B A B ==22。

∴2A ＝2B ，即A ＝B 。

故△ABC 是等腰三角形。

辨析：由sin sin 22A B =，得2A ＝2B 。

这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏。

正解：同上得sin sin 22A B =，∴2A ＝22k B π+或222A k B k Z =+-∈ππ()。

∵000<<<<==A b k A B ππ，，∴，则或A B =-π2。

故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。

例题3 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S ABC △=3，求a b cA B C++++sin sin sin 的值。

错解：∵A ＝60°，b ＝1，S ABC △=3，又S ABC △=12bc A sin ，图3C°∴312=c sin 60°，解得c ＝4。

由余弦定理，得a b c bc A =+-=+-222116860cos cos °=13又由正弦定理，得sin sin C B ==6393239，。

∴a b c A B C ++++=++++sin sin sin 1314323239639。

辨析：如此复杂的算式，计算困难。

其原因是公式不熟、方法不当造成的。

正解：由已知可得c a ==413，。

由正弦定理，得213602393R a A ===sin sin °。

∴a b c A B C R ++++==sin sin sin 22393。

例题4 在△ABC 中，c =+62，C ＝30°，求a ＋b 的最大值。

错解：∵C ＝30°，∴A ＋B ＝150°，B ＝150°－A 。

由正弦定理，得a Ab A sin sin()sin =-=+1506230°°∴a A =+262()sin ， b A =+-262150()sin()°又∵sin sin()A A ≤-≤11501，°∴a b +≤+++=+262262462()()()。

故a b +的最大值为462()+。

辨析：错因是未弄清A 与150°－A 之间的关系。

这里A 与150°－A 是相互制约的，不是相互独立的两个量，sinA与sin(150°－A)不能同时取最大值1，因此所得的结果也是错误的。

正解：∵C ＝30°，∴A ＋B ＝150°，B ＝150°－A 。

由正弦定理，得a Ab A sin sin()sin =-=+1506230°°因此a b A A +=++-262150()[sin sin()]°sin 75cos(75)cos(75)(875)8A A A =-=-=+-≤+°°°° ∴a ＋b 的最大值为843+。

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