吉林大学高数BII作业答案.
高数B1作业-吉林大学数学学院

高数B1作业-吉林大学数学学院高等数学作业BⅠ吉林大学数学中心2013年3月第一次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1.以下各组中()中()f x 与()g x 为同一函数.(A )2()ln ,()2ln f x x g x x ==;(B )22()sin ,()sin f x x g x x ==;(C )2(),()f x x g x x ==;(D )3(),()f x x g x x x ==.2.在)0,(-∞上,下列函数中无界的函数是( ).(A )x y 2=;(B )x y arctan =;(C )112+=x y ;(D )x y 1=. 3.下列函数中是奇函数的为( ).(A )x x ||;(B )21010xx -+;(C )x x cos 3+;(D )x x sin .4.函数x x y 3cos 2sin +=的周期为( ).(A )π;(B )π32;(C )π2;(D )π6.5.设<≥=,0,,0,)(2x x x x x f 45)(-=x x g ,则)]0([g f = ( ).(A )0;(B )4-;(C )16;(D )16-.二、填空题1.设}4|{},53|{>=<<=x x B x x A ,则B A \= . 2.设32)(+=x x f ,则]3)([-x f f = . 3.将复合函数1sin2+=x a y 分解成简单函数为.4.函数12)(-=x x f 的反函数)(1x f -= .5.已知)(x f 的定义域为[0, 1],则)(ln x f 的定义域是.三、计算题1.设x x f cos 12sin +=??? ?,求)(cos x f .2.讨论函数e e ()||e e x xx xf x x ---=+的奇偶性.四、证明题已知函数)()(R ∈x x f 的图形关于直线a x =与)(b a b x <=均对称,证明)(x f 是周期函数.第二次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1.已知0)(>x f ,且k x f x =→)(lim γ,则必有( ).(A )k ≥0;(B )0>k ;(C )0=k ;(D )0<="">2.已知)]()([lim x g x f x +→γ存在,则)(lim x f x γ→与)(lim x g x γ→( ).(A )均存在;(B )均不存在;(C )至少有一个存在;(D )都存在或都不存在. 3.“)0(0-x f 与)0(0+x f 存在且相等”是“)(lim 0x f x x →存在”的( )条件.(A )充分;(B )必要;(C )充分且必要;(D )非充分且非必要.4.当∞→x 时,x x y cos =是( ).(A )无穷大;(B )无界函数但不是无穷大;(C )有界函数;(D )无穷小. 5.已知011lim 2=--++∞→b ax x x x ,则( ).(A )1==b a ;(B )1-==b a ;(C )1,1=-=b a ;(D )1,1-==b a .6.0=x 是x y 1arctan =的( )间断点.(A )可去;(B )跳跃;(C )无穷;(D )振荡.7.0=x 是函数xx x f )1ln()(+=的( ).(A )连续点;(B )跳跃间断点;(C )无穷间断点;(D )可去间断点.二、填空题1.设21e )1(lim =-→xx kx ,则k = .2.-++++∞→nn n n n n n n n 11cos 1sin 1lim 23= .3.??? ?-??? ??-??? ??-∞→22211311211lim n n = .4.=+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim . 5.??? ?+++++++++∞→n n 2113211211lim = 6.当0→x 时,x x sin tan -是x 的阶无穷小.7.142e sin lim ||1e x n x x x →∞??+ ?+= ? ?+??. 8.设函数>+=<=,0,23,0,,0,2sin )(x x x a x x xx f 在0=x 点连续,则=a . 9.函数xx x x x x f sin )1()23(||)(22-++=的无穷间断点是.三、计算与解答题1.已知0→x 时,><+-=0,sin 0,)e 1(1e )(/1x x ax x xx f x x 有极限,求??? ??2πf .2.求nnn n 1)321(lim ++∞四、证明题1.设 ,2,1,6,611=+==+n x x x n n ,证明n x x ∞→lim 存在,并求之.2.设)(x f 在]2,0[a 上连续,且)2()0(a f f =,证明方程)()(x f a x f =+在],0[a 上至少有一个实根.第三次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1.设22t x =,t y 2=,则==222d d t x y( ).(A )41;(B )81;(C )641-;(D )161-.2.设方程e e =+xy y 确定了y 是x 的函数,则='=0x y ( ).(A )1;(B )e1-;(C )1-;(D )e3.已知)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f =',则)()4(x f 为( ).(A )5)]([!4x f ;(B )6)]([!4x f ;(C )5)]([4x f ;(D )5)]([x f .4.设|1|ln x y -=,则='y ( ).(A )|1|1x -;(B )|1|1x --;(C )x-11;(D )x--11. 5.函数??=≠=,0,0,0,1arctan )(x x xx x f 则)(x f 在0=x 处( ).(A )不连续;(B )连续但不可导;(C )可导但导数不连续;(D )可导且导数连续.6.()()()f x x a x ?=-,且lim ()0,()1x ax a ??→==,则()f a '= ( ).(A )0;(B )a ;(C )1;(D )不存在.7.设)(x ?在a x =连续,)(||)(x a x x f ?-=,若)(x f 在a x =可导,则)(x ?应满足( ).(A )0)(>a ?;(B )0)((D )0)(=a ?.8.若)(x f 在a x =处左,右导数)(),(a f a f +-''都存在,但)()(a f a f +-'≠',则)(x f 在a x =处( ).(A )不连续;(B )连续但不可导;(C )可导;(D )以上都不对.二、填空题1.曲线x x y e +=在0=x 处的切线方程是. 2.设)(2e x fy =,其中)(x f 可微,则=y d .3.若)(x f 在0x x =处可导,并且3)(0='x f ,则=--→)()(lim000x f h x f hh .4.设x a y -=,则=)(n y .5.设3)(x x f =,则=')2(f ,[]=')2(f . 6.已知x x f x 11d d =????????? ??,则=??'21f . 7.≤>=0,00,1sin )(x x xx x f α)0(>α,则当α 时,)(x f 在0=x 连续;当α 时,)(x f 在0=x 可导;当α 时,)(x f '在0=x 连续.8.设函数()y f x =在点0x 可导,且则0()0f x '≠,则0d lim x y yx→?-=? .三、计算题1.设)ln(22a x x xa y x +++=,)1,0(≠>a a ,求0='x y .2.设241ln 2arctan 2x x x y +-=,求y ''.3.设x x y xsin e 1=,求y '.4.设)(x f ''存在,)(ln x f y =,求22d d xy.5.设()y f x =由方程e 1yy x -=所确定,求22d d x yx=.6.已知)(x f 在1=x 处具有连续的导数,且2)1(='f ,求)(cos d d lim0x f xx +→.四、证明题设函数)(x f 对任何实数b a ,有)()()(b f a f b a f ?=+,且1)0(='f ,试证:)()(x f x f ='.第四次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1.下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是( ).(A )]1,1[|,|-=x y ;(B )],0[,sin πx y =;(C )]e ,1[,ln x y =;(D )]1,0[,arctan x y =. 2.)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,)()(b f a f <,则( ).(A )必存在),(b a ∈ξ,使0)(='ξf ;(B )不存在),(b a ∈ξ,使0)(='ξf ;(C )必存在),(b a ∈ξ,使0)(>'ξf ;(D )必存在),(b a ∈ξ,使0)(<'ξf .3.设2)e 1()21ln()cos 1(tan lim 2=-+--+-→x x d x c x b x a ,其中022≠+c a ,则必有( ).(A )d b 4=;(B )d b 4-=;(C )c a 4=;(D )c a 4-=.4.=??-→x x x x 1sin 1cot lim 0( ).(A )31;(B )61;(C )121;(D )0.5.下列各极限都存在,能用洛必达法则求的是( ).(A )xx x x sin 1sinlim20→;(B )xx xx x sin cos lim+++∞→;(C )xx x arccot 2arctan lim π-+∞→;(D )xx xx x --+∞→+-e e e e lim .二、填空题1.设)3)(2)(1()(---=x x x x x f ,则方程0)(='x f 的实根个数为个,它们分别在区间.2.()xx x 11lim ++∞→= .3.已知111e lim2=----→xb ax x x ,则=a ,=b .4.当1≥x 时,≡+-xx 1arcsin1arctan2 . 5.2()ln(1)f x x x =+,则()(0)n f = ,(2)n >.三、计算题1.利用泰勒公式求极限 6202c o s 2e e lim x x x x x x --+-→.2.求)cos 1(sin e e e e 2e lim 2230x x x x xx x x x x -++--→.3.求lim nn n→∞.四、证明题1.证明:|||arctanarctan|abab-≤-.2.)(x f 为],[b a 上正值连续函数,在),(b a 内可导,则至少存在一点),(b a c ∈,使得)()()()()(lna b c f c f a f b f -'=.3.)(x f 在[0,3]上连续,在(0, 3)内可导,(0)1,(1)(2)(3)3f f f f =++=.证明至少存在一点(0,3)ξ∈,使得()0f ξ'=.第五次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1.设))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点,则在该点处( ).(A )0)(0=''x f ;(B )曲线)(x f y =必有切线;(C )0)(0='x f ;(D )曲线)(x f y =可能没有切线. 2.曲线≠>-≤<<=2,1,2ln 10,e 0,e 1x x x xx x y x x 的垂直渐近线是( ).(A )0,2==x x ;(B )2=x ;(C )1,2==x x ;(D )1,0==x x . 3.设)(x f 在[0, 1]上有二阶导数,且0)(>''x f ,则下列不等式中正确的是( ).(A ))0()1()0()1(f f f f ->'>';(B ))0()0()1()1(f f f f '>->';(C ))0()1()0()1(f f f f '>'>-;(D ))0()1()0()1(f f f f '>->'.4.)(x f 二阶可导 0)(>'x f ,()0f x ''<,则在点0x 处,当0x ?>时,有().(A )d 0y y ?<<;(B )0y y >?>d ;(C )d 0y y ?>>;(D )d 0y y5.设)(x f 有二阶连续的导数,且0)0(='f ,1)(lim 0=''→xx f x ,则( ).(A ))0(f 是)(x f 的极大值;(B ))0(f 是)(x f 的极小值;(C )))0(,0(f 是)(x f y =的拐点;(D )C B A ,,都不对.6.)(x f 在a x =的某邻域内连续,且1)()()(lim20-=--→a x a f x f x ,则)(x f 在a x =处( ).(A )不可导;(B )可导,且0)(≠'a f ;(C )取得极小值;(D )取得极大值.二、填空题1.x x x f -+=1)(的单调减少区间是.2.0)(0='x f 是可微函数)(x f 在0x 取得极值的条件.3.函数|e |x x y -=的极小值点为,极小值为,极大值4.函数c bx ax x y +++=23的图形上有一拐点)1,1(-,且在点0=x 处取极大值1,则=a ,=b ,=c .5.曲线)1)(1()1sin(-+-=x x x y 的水平渐近线为,铅直渐近线为.-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 在π=t 处的曲率为.三、计算题1.求函数23()(2)(2)f x x x =-+的单调区间和极值.2.求函数22e )(x x x f -=)40(≤≤x 的最大值,最小值,凹凸区间和拐点.3.从南到北的铁路干线经过甲,乙两城,两个城市相距15(km),位于乙城正西2(km)处有一工厂,现要把货物从甲城运往工厂,铁路运费为3元/km ,公路运费为5元/km .为使货物从甲城运往工厂的运费最省,应该从铁路干线的何处修建一条公路到工厂?四、证明题证明:当0>x 时,221)1ln(1x x x x +>+++.阶段测试题学院班级姓名学号一、单项选择题(每小题3分,共24分)1.以下计算()正确.(A )sin lim1x xx→∞=(B )sin lim1x xxπ→=(C )1lim sin1x x x→∞=lim sin0x x x→∞= 2.设0lim (),lim (),lim ()x x x x x x f x g x h x A →→→=+∞=+∞=,则下列命题不正确的是()(A )[]0lim ()()x x f x g x →+=+∞(B )[]0lim ()()x x f x h x →?=∞(C )[]0lim ()()x x f x h x →+=+∞(D )0lim ()()x x f x g x →?=+∞3.0x +→时,()中两个函数为等价无穷小(A )1cos x -与2x(B )x x +与4x (C )2e 1x -与ln(1)x +(D )2x x +与2arctan x4.0x =为()中函数的可去间断点(A )31arctan ,0()0,0x x f x xx ?≠?=??=? (B )31()arctanf x x = (C )()||x f x x =(D )1||1()1ex f x =+5.下列命题正确的是()(A )若()f x 在0x 连续,则|()|f x 在0x 连续.(B )若|()|f x 在0x 连续,则()f x 在0x 连续.(C )若()f x 在0x 不连续,则|()|f x 在0x 不连续.(D )若|()|f x 在0x 不连续,则()f x 在0x 可能连续. 6.设(ln )y xf x =,()f u 可微,则d y =()(A )[(ln )(ln )]d f x xf x x + (B )1(ln )d f x x x' (C )[(ln )(ln )]dln xf x xf x x '+ (D )[(ln )(ln )]d(ln )f x f x x '+7.下列命题正确的是()(A )如()f x '在0x 连续,则必有00lim ()lim ()x x x x f x f x →→''=(B )如()f x 可导,则00()lim ()x x f x f x →''=(C )如0()f x '不存在,则曲线()y f x =在0x x =必无切线(D )如0()f x '不存在,则曲线()y f x =在0x x =可能有切线 8.设()f x 处处可导,则()(A )当-∞=-∞→)(lim x f x 时,必有-∞='-∞→)(lim x f x(B )当-∞='-∞→)(lim x f x 时,必有-∞=-∞→)(lim x f x(C )当+∞=+∞→)(lim x f x 时,必有+∞='+∞→)(lim x f x(D )当+∞='+∞→)(lim x f x 时,必有+∞=+∞→)(lim x f x二、填空题(每小题3分,共21分) 1.2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+=++ . 2.设)20(e2sin π<<=x y x,则=y d x 2sin d .3.函数23()(2)||f x x x x x =---不可导点的个数是. 4.()f x 在0x =可导,则=--→xx f x f x )()(lim__________.5.若00()()f x x f x +?-与21x ?-为当0x ?→时的等价无穷小,则0()f x '=______.6.3214lim 1x x ax x x →---++有极限l ,则a =________,l =_________.7.()lim sin 1sin x x +-=________________.。
高等数学BII样题

高等数学BII样题一、判断题1、积分-=11)()()(2dx x f e e dx x f e dy xyy.( ) 2、二重积分-=Ddx x f ab dxdy byf a x f 211])([)()(,其中D :a x ≤||,b y ≤||.( )3、若积分区域}20,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D ,则4)1(1≤++≤Dd y x σ.( )4、积分区域D 为椭圆12222=+b y a x 所围成的闭区域,则ab dxdy Dπ=??.( )5、若极坐标下的积分区域为}20,30|),{(πθθ≤≤≤≤=r r D ,则49πθ=Drdrd .( ) 6、若积分区域D 为22(1)1x y -+=所围成的区域,则在极坐标下{(,)|01,0}2D r r πθθ=≤≤≤≤.( )7、若积分区域D 为22(2)4x y +-=所围成的区域,则在极坐标下表示为{(,)|04sin ,0}D r r θθθπ=≤≤≤≤.( )8、若积分区域D 为22199x y +=所围成的区域,则在极坐标下表示为{(,)|03,0}D r r θθπ=≤≤≤≤.( )9、一阶微分方程的通解中含有一个任意常数. ( ) 10、dx x dy y231=是可分离变量的微分方程. ( ) 11、01'=-y xy 的通解为y Cx =. ( ) 12、xe y x y x=+1'通解为x e C y x +=. ( )13、'ln '''y y xy =的通解中有两个相互独立的任意常数. ( )14、某商品的需求量Q 对价格P 的弹性ln 3P -,若该商品的最大需求量为1200,当价格为1元时,市场对该商品的需求量为400()15、如果幂级数n n n a x ∞=∑的所有系数0n a ≠,设1limn n na a ρ+→∞=,若ρ=∞,则级数的收敛半径0R =. ( ) 16、设级数n n a x∞=∑和nn n b x∞=∑的收敛半径分别为12,R R ,且12min{,}R R R =,那么级数nn n a x∞=∑±nn n b x∞=∑的收敛区间为(,)R R -. ( )17、级数n n n a x ∞=∑,0n n n b x ∞=∑的收敛半径分别为12,R R ,则级数0nnn n nn a xb x∞=∞=∑∑的收敛半径为12R R . ( ) 18、幂级数n n a x∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上连续. ( )19、对幂级数nn n a x∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 的积分,可以表达成对原级数各项积分和的形式. ( ) 20、幂级数nn n a x∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 的导函数,可以表达成对原级数各项求导和的形式. ( )二、选择题 1、二重积分??+=Ddxdy y x I 22,其中区域D 为圆222a y x ≤+在第二象限的部分,则=I ( ).选项A)33a π选项B)93a π选项C)3a π选项D) 02、设平面区域0,1:22≥≤+y y x D ,则积分??=Dxd σ( ).选项A)π 选项B) 31 选项C)4π 选项D) 03、设区域D 由直线3,1==x x 和0,==y x y 所围成,则在极坐标系下二重积分=??Ddxdy y x f ),(( ).选项A)20cos 3cos 1)sin ,cos (πθθθθθrdr r r f d选项B)40cos 3cos 1)sin ,cos (πθθθθθrdr r r f d选项C) ?203)sin ,cos (πθθθrdr r r f d选项D)20cos 3cos 1)sin ,cos (πθθθθθdr r r f d4、设),(y x f 是连续函数,则二次积分? =xdy y x f dx I 2040),(交换次序后为( ).选项A)14140),(dx y x f dy选项B)-24140),(y ydx y x f dy 选项C)441402),(y dx y x f dy选项D) ?141942),(y dx y x f dy5、??=Dd xy I σ2,D 是由圆周422=+y x及y 轴所围成的右半闭区域,则=I ( ).选项A)--240222y dx xy dy 选项B)-24022y dx xy dy选项C) ?-24022x dx xy dy 选项D)-222x dy xy dx6、设区域}10,10|),{(:≤≤≤≤y x y x D ,则=++Dd y y x xσ)3(323( ).选项A)316 选项B) 2 选项C) 1选项D) 317、设区域D 是由两坐标轴以及直线2=+y x 围成的闭区域,则=+Ddxdy y x )23(( ).选项A)38选项B) 35选项C) 6选项D) 3208、设D 为圆域222R y x ≤+,则??=+Ddxdy y x 22( ).选项A) 3R Rdxdy Dπ??=选项B) ??R rdr d 0220πθπ选项C) ??=RR dr r d 0322032πθπ选项D)=RR dr R d 032202πθπ9、某城市受地理限制呈直角三角形分布,斜边临一条河,由于交通关系,城市发展不均衡,这一点可从税收状况反映出来,若以两直角边为坐标轴建立直角坐标系,则位于x 轴和y 轴上的城市长度各为16km 和12km ,且税收与地理位置关系大体为(x,y)20x 10R y =+(万元/平方千米)则该市总的税收收入为()选项A) 14080万元选项B) 12000万元选项C)24000万元选项D) 36000万元10、设D 是由x y x y =-=,及1=y 所围成的闭区域,则=??dxdy y x D2( ).选项A)74 选项B) 2选项C) 81选项D) 011、设积分区域D 为14922≤+y x ,则??=Ddxdy 4( ).选项A)π24选项B) π6 选项C) π36 选项D) π3212、微分方程2'2y xy =的通解是( ). 选项A )x y ce = 选项B )2x y ce = 选项C )210x c y++= 选项D )032=++y y x13、微分方程''2'20y y y -+=的通解为( ). 选项 A) 212x x y C e Ce -=+ 选项 B) 212x x y C e C e --=+ 选项 C) 3212x x y C e C e -=+ 选项 D 12(sin cos )x y e C x C x =+14、微分方程200''(y')1,|0,'|0x x y y y ==+===的特解为( ). 选项A) 2ln(1)y x =+ 选项B) 32y x x =- 选项C) ln(e e )ln 2x xy -=+-选项D) 41(1)2y x =+15、微分方程''2'20y y y -+=的通解为( ). 选项 A) 212x x y C e Ce -=+ 选项 B) 212x x y C e C e --=+ 选项 C) 3212x x y C e C e -=+ 选项 D 12(sin cos )x y e C x C x =+ 16、求0',|0x y x y e y +===的特解( ).选项 A) 21(1)2y x e e =+选项 B) 21(1)2x y e =+选项 C) (2)y x e e -=-- 选项 D) 1(ln 1)2y e x =+17、微分方程''2'50y y ++=的特征根为( ). 选项 A) 1,1- 选项 B) 12i -± 选项 C) 1,1-- 选项 D) 2,1-18、微分方程'cos y x =的通解为( ). 选项 A) sin y x C =+ 选项 B) cos y x C =+ 选项 C) cos y x C =-+ 选项 D)tan y x C =+19、微分方程2dx x y dy y+=的通解为( ). 选项 A) tan yCy x= 选项 B) 21()y C x y-= 选项 C) 2x Cy e = 选项 D) 1tany Cy x+=20、下列微分方程可分离变量的是( ). 选项A)xy dxdy2= 选项B) 4()20x y x y dy xe dx +++= 选项C)2x y xe e y=+? 选项D) ''2'y y xy x ++=21、微分方程xy y 2'=的通解是( ). 选项A) x y ce = 选项B) 2x y ce = 选项C) 24x y += 选项D) 032=++y y x22、微分方程dy x y dx y x )1()1(22+=+在1,1x y ==处的特解( ). 选项A) y x = 选项B) 12=+x y 选项C) 2y x = 选项D) 2 x y =参考答案:A23、以下不是级数的是 ( ). 选项A)2111n nn ∞=++∑ 选项B)2211n nn ∞=++∑ 选项C)2311n nn ∞=++∑ 选项D)102111n nn=++∑24、级数()选项A) 收敛选项B) 发散选项C)敛散性不确定选项D) 以上都不正确 25、幂级数的收敛半径 ( ).选项A) 0 选项B) 1 选项C) 选项D) 26、级数的和是()选项A) 1选项B)选项C)选项D)27、以下级数中收敛的是 ( ). 选项A)选项B)选项C)选项D)28、设,且正项级数收敛,则( ). 选项A)选项B) 选项C)选项D)可取任意正数11(1)nn n ∞=+∑1!nn n x∞=∑R =n +∞11(4)(5)n n n ∞=++∑14151911n n ∞=∑1n ∞=n ∞=1n n ∞=∑0a >111nn a ∞=+∑1a >01a <<1a =a29、以下级数中收敛的是 ( ). 选项A) 选项B)选项C)选项D)30以下级数中收敛的是 ( ). 选项A) 选项B)选项C)选项D)参考答案判断题1、正确2、正确3、错误4、正确5、正确6、错误7、正确8、错误9、正确10、正确11、正确12、正确13、正确14、正确15、正确16、正确17、错误 18、正确19、正确、20、正确二、选择题CDBCA CDCAD ACDCD CBABA BADBA CCACC113n n∞=∑n ∞=112nn n ∞=+∑121nn n ∞=+∑2112n n n ∞=++∑1!3n n n ∞=∑1()21nn nn ∞=+∑11ln(1)n n ∞=+∑。
高等数学I试题解答 吉大大一

高等数学I 试题解答一、1.解:cos ()()0y yy y x e xe y x ''⋅++=y xe e x y yycos )(+-=',1)0(-='y2.解: ⎰+dx x x )cos (sin5dxx xdx ⎰⎰+=cos sin 53.解:⎰⎰+-+=+6 2 624111421412dxx x dx x x4.解:3sin sin sin 2 22 2=-==⎰⎰⎰dx x dx x dx x S ππππππ二、1.解:2)ln(limnx m be a x x +++∞→n nx be a nx m be x x x 1)()(lim 2=++=+∞→2.解:因1)1(-=y ,得2-=++c b a 。
b ax x x y ++='23)(2,a x x y 26)(+=''。
由0)1(=''y 得3-=a ,由0)0(='y 得0=b ,所以1=c 。
由)2(363)(2-=-='x x x x x y ,易得2=x 是)(x y 的极小值点,3)2(-=y 。
3.解:t t dxdy -+-=11,323222)1(2121)11(y t tt t dx y d -=--=+'-+-=,即02223=+dx y d y 。
三、解:令()2sin [0,]f x x x k C =--∈+∞所以)(x f 在)3,0(+k 有一正根,即方程k x x =-sin 2至少有一正根。
x四、解:如图,设切点为00(,)M x y (026x <<),01)(x x y =',切线方程:0ln 1x x xy +-=00ln 16)6(x x y +-=,所以所求图形的面积为)14(4)(020x x x S +-=',令0)(0='x S ,得唯一驻点40=x 。
2009~2010学年第二学期《高等数学BII》半期试题参考答案

2009~2010学年第二学期《高等数学BII》半期试题参考答案西南交通大学2009-2010学年第(二)学期半期考试题一、单项选择题(共5个小题,每小题4分,共20分).1.累次积分cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ??可表示成【 D】(A )100(,)dy f x y dx ?(B )10(,)dy f x y dx(C )10(,)dx f x y dy ?(D )10(,)dx f xy dy ?解:根据该二重积分可知,积分区域为半圆域:01,0x y ≤≤≤≤,所以应选D 。
2. 两直线1112y z x λ+--==与11x y z +=-=相交,则必有【 D 】(A )1λ= (B )32λ=(C )54λ=- (D )54λ=解:直线11x y z +=-=的参数方程为:11x t y t z t =-??=+??=?,将此参数方程代入直线1112y z x λ+--==,得2122t t t λ+--==,解得654t λ=??=??,故应选(D )。
3.极限332200lim x y x y x xy y →→+-+=【 A 】(A) 0 (B) 1 (C)12(D)不存在极限解;因为33222222000000()()lim lim lim()0x x x y y y x y x y x xy y x y x xy y x xy y →→→→→→++-+==+=-+-+,故应选(A )。
4.曲面2xyz =的切平面与三个坐标面所围四面体的体积V =【 C 】 (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12解:设曲面2xyz =在第一卦限的任意一个切点为(,,)x y z ,则切平面方程为:班级学号姓名密封装订线密封装订线密封装订线()()()0yz X x xz Y y xy Z z -+-+-=,其中2xyz =,即36yzX xzY xyZ xyz ++==,则该切平面与三个坐标轴的交点分别为:6(,0,0)yz,6(0,,0)xz ,6(0,0,)xy ,则该切平面与三个坐标面所围四面体的体积221666363696()2V yz xz xy xyz ====,故应选(C )。
吉林大学 微积分BII 习题课 多元函数微分法

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令 x a2 a2 2 2 2 0 Fx 2 x x a b2 b2 y 2 2 2 0 Fy 2 y y b
唯一驻点
c2 c2 z 2 2 2 0 Fz 2 z z c
由实际意义可知
为所求切点 .
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y2 2 f 22 ) x
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设 提示: 由 z uv , 得 z u v v u x x x
求
①
z
②
z u v v u y y y
u u
u v x yx y
由 x e cos v, y e sin v , 得
d x eu cos v d u eu sin v d v d y eu sin v d u eu cos v d v
提示: 设所求点为
y0
利用 得
x0
1
法线垂直于平面 点在曲面上
y0 x0 1 1 3 1 z0 x0 y0
x0 3 , y0 1 , z0 3
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2. 在第一卦限内作椭球面
的切平面
使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.
提示: 设切点为
Fz 2( x y 2 z 2)(2) 0
z x2 y2
1 1 1 解此方程组得唯一驻点 x , y , z . 4 4 8 由实际意义最小值存在 , 故
7 4 6
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练习题:
1. 在曲面 平面 上求一点 , 使该点处的法线垂直于 并写出该法线方程 . 则法线方程为
高数BII答案(1)

2009~2010学年第二学期《高等数学BII 》试卷答案一、填空题(共6道小题,每小题3分,满分18分)1、2x ;2、3260x y z +-+=;3、32;4、y ;5、(1);6、12. 二、选择题(共6道小题,每小题3分,满分18分) 1、B ;2、C ;3、B ;4、A ;5、D ;6、C.三、计算题(共5个小题,每小题8分,满分40分)1、求函数222z x y =+在点(1,1)处沿l i j =--方向上的方向导数.解:(1,1)4,(1,1)2x y z z ''== ..........2分 (1,1)(1,1)cos (1,1)cos x y z z z l αβ∂''=+∂ .......6分554cos 2sin44ππ=+=- ........8分 2、改变二次积分111I d xx y --=⎰⎰的积分次序,并求积分I 的值.解: 交换次序为111I d y y x -=⎰⎰ .............4分 13112I [1]d 23y y -=--⎰ ..........................6分 1302(1)d 312y y =--=⎰ ........8分3、计算第一型曲面积分I ()d x y z S ∑=++⎰⎰,其中曲面∑为平面5y z +=被柱面2225x y +=所截得的部分.解::5,d d d z y S x y x y ∑=-==......4分注意到d d 0Dx x y =⎰⎰,所以I ()d (d Dx y z Sx x y ∑=++=+⎰⎰⎰⎰ .................7分 d d Dx y == .........................8分4、计算211I ()d d ()d d d d x x f y z f z x z x y y y x y∑=++⎰⎰,其中()f u 具有一阶连续偏导数,∑为柱面221x y +=、1z =及平面2z =所围立体的表面外侧.解:由高斯公式 2211I [()()2]dv 2dv x x f f z z y y y y ΩΩ''=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ......... 4分 212001d d 2d r r z z πθ=⎰⎰⎰ .......... 7分 3π=. ........... 8分5、求级数112n n n ∞=⋅∑的和. 解:设11()n n S x x n∞==∑,其收敛域为11x -≤< .............2分则 0111()()d ln(1)nx n n n t S x x t x n n ∞∞=='===--∑∑⎰ .............6分 从而 111211ln 22n n x n n x n n ∞∞=====⋅∑∑ ..............8分四、解答下列各题(共3个小题,每题8分,满分24分)1、已知()1ϕπ=,试确定()x ϕ,使曲线积分I [sin ()]d ()d BA y x x x x y x ϕϕ=-+⎰ 与路径无关,并求当A 、B 两点分别为(1,0),(,)ππ时这曲线积分的值.解:根据曲线积分与路径无关的充要条件,有Q P x y ∂∂=∂∂ 从而()[(sin ())]x y x x x y x ϕϕ∂∂=-∂∂,得到 1sin ()()x x x x x ϕϕ'+=.......4分 其通解为1()(cos )x x C xϕ=-+ ...............6分 由()1ϕπ=,得1C π=-,所以1()(cos 1)x x xϕπ=-+- 代入原式,经计算得I π=. ...............8分 注:由于曲线积分与路径无关,路径不唯一,根据具体情况酌情给分.2、 将函数20()e d x t f x t -=⎰展开成x 的幂级数. 解:由于0e ,!nx n x x n ∞==-∞<<+∞∑, .............................2分所以。
吉林大学历届高数考题及答案

2008~2009学年第一学期《高等数学B Ⅰ》试卷2009年1月12日一、填空题(共7道小题,每小题3分,满分21分)1.2lim 1nn n n →∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭.2.设2log y =d y = .3.若00()()f x x f x +∆-与sin2x ∆为0x ∆→时的等价无穷小,则0()f x '= .4.设函数)(x y y =由方程331,x t y t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩所确定,则1d d t y x == .5.曲线2610y x x =-+在点(3,1)处的曲率为 .6.设()d cos f x x x C =+⎰,则()()d n f x x ⎰= .7.31211d 1x x x -+=+⎰ .1.下列叙述正确的是(A )有界数列一定有极限. (B )无界数列一定是无穷大量. (C )无穷大量数列必为无界数列. (D )无界数列未必发散. [ ]2.设数列(){}0,1,2,n n a a n >=满足1lim 0n n n a a +→∞=,则 (A )lim 0n n a →∞=.(B )lim 0n n a C →∞=>.(C )lim n n a →∞不存在.(D ){}n a 的收敛性不能确定.[ ]3.设()f x ,()g x 在区间[,]a b 上可导,且()()f x g x ''>,则在[,]a b 上有 (A )()()0f x g x ->.(B )()()0f x g x -≥.(C )()()()()f x g x f b g b ->-.(D )()()()()f x g x f a g a ->-. [ ]4.设()f x 有三阶连续导数,且满足000()()0,()0f x f x f x ''''''==<,则下列结论正确的是(A )()f x '的极小值为0. (B )0()f x 是()f x 的极大值.(C )0()f x 是()f x 的极小值. (D )点00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点.[ ]5.已知||e d 1k x x +∞-∞=⎰,则k =(A )0.(B )-2.(C )-1.(D )-0.5. [ ]6.摆线(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩的一拱与x 轴所围的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积x V =(A )2220(1cos )d[(sin )]aa t a t t ππ--⎰. (B )2220(1cos )d a t t ππ-⎰. (C )2220(1cos )d aa t t ππ-⎰.(D )2220(1cos )d[(sin )]a t a t t ππ--⎰. [ ]7.设向量,a b 满足||||-=+a b a b ,则必有(A )-=a b 0. (B )+=a b 0. (C )0⋅=a b . (D )⨯=a b 0. [ ]1.设21cos ,0,()0,0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 求()f x '.2.求极限 0lim →x 222010cos d x x t tx-⎰.3.设()f x 的一个原函数为sin x ,求 2()d x f x x ''⎰.4.计算 12x ⎰.5.若点M 与(2,5,0)N 关于直线4120:2230x y z l x y z --+=⎧⎨+-+=⎩对称,求点M 的坐标.四、应用题(满分8分)设曲线2=->.过点(2,0)(4)(0)y a x a-及(2,0)作曲线的两条法线,求a的值,使得曲线与这两条法线所围成的平面图形面积最小.五、证明题(共2道小题,每小题5分,满分10分)1.设()f x 在[0,1]上连续,在()0,1内可导,且(1)0f =.证明在()0,1内至少存在一点ξ,使得 ()()f f ξξξ'=-.2. 设130d 1sin n n tx t t=+⎰,12n n u x x x =+++,证明数列{}n u 收敛.2008~2009学年第一学期《高等数学B Ⅰ》试卷 答案 2009年1月12日一、填空题(共7道小题,每小题3分,满分21分)1.2lim 1nn n n →∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭3e - .. 2.设2log y =,则dy =223(1)ln 2xdx x -- .. 3.若00()()f x x f x +∆-与sin2x ∆为0x ∆→时的等价无穷小,则0()f x '= 2 .4.设函数)(x y y =由方程331,x t y t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩所确定,则1t dy dx == 23 .5.曲线2610y x x =-+在点(3,1)处的曲率为 2 .6.设()d cos f x x x c =+⎰,则()()d n f x x ⎰=cos 2n C x π⎛⎫++⎪⎝⎭.7.31211d 1x x x -+=+⎰ 2π .二、单选题(共7道小题,每小题3分,满分21分)1.下列叙述正确的是 (A )有界数列一定有极限; (B )无界数列一定是无穷大量; (C )无穷大量数列必为无界数列;(D )无界数列未必发散。
高等数学BII复习题(附答案版)

高数 BII 复习题
第 2页 共 20页
高数 BII 复习题
3
U n >0
Vn >0 如果 lim
Un 0 则 U n 与 Vn 具有相同的敛散 其中, n V n 1 n 1 n
性。 比值判别法: U n
n 1
U lim n 1 n U n
又 n1 n2 2 4 (2) (7) 3 (2) 0 直线上一点(-2,-7,3)带入平面中不成立,故其关系为平行。
lim 4、设 f x ( x 0 , y 0 ) 存在,则 x
0
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 x , y0 ) =( x
n 0
复习例题如下
高数 BII 复习题
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高数 BII 复习题
4
一、单项选择题 1、由两条抛物线 y 2 x 和 y x 2 所围成的图形的面积为(
2 A、 0 ( x x )dx 1 2 B、 0 (x x )dx 1 2 C、 -1 (x x )dx 1
二、二重积分与曲线积分: ① 1dxdy D 的面积
D
② L1ds L 的长度
高数 BII 复习题
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高数 BII 复习题
2
③格林公式: L P( x, y )dx Q ( x, y )dy (
D
Q P )dxdy 其中 L 为闭曲线且取正 x y
2
解:积分区域前半部分由 y=1 和 x=2y 围成,后半部分有 1≤y≤3 和 x=3-y 围
成,总的区域面积 如图三角形部分,故其积分为 0 dx x ( x , y )dy
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高等数学作业答案BⅡ吉林大学公共数学教学与研究中心2013年3月第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题 1.22003limx y xyx y→→=+( D ). (A )32; (B )0; (C )65; (D )不存在.2.二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在)0,0(处( C ).(A )连续,偏导数存在; (B )连续,偏导数不存在; (C )不连续,偏导数存在;(D )不连续,偏导数不存在.3.设22(,)(1)(2)f x y y x x y =-+-,在下列求(1,2)x f 的方法中,不正确的一种是( B ).(A )因2(,2)2(1),(,2)4(1)x f x x f x x =-=-,故1(1,2)4(1)|0x x f x ==-=; (B )因(1,2)0f =,故(1,2)00x f '==;(C )因2(,)2(1)(2)x f x y y x y =-+-,故12(1,2)(,)0x x x y f f x y ====;(D )211(,2)(1,2)2(1)0(1,2)lim lim 011x x x f x f x f x x →→---===--.4.若(,)f x y 的点00(,)x y 处的两个偏导数都存在,则( C ). (A )(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内有界; (B )(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内连续;(C )0(,)f x y 在点0x 处连续,0(,)f x y 在点0y 处连续; (D )(,)f x y 在点00(,)x y 处连续.5.设22(,),2zz f x y y∂==∂,且(,0)1,(,0)y f x f x x ==,则(,)f x y 为( B ).(A )21xy x -+; (B )21xy y ++; (C )221x y y -+; (D )221x y y ++. 二、填空题1.z =的定义域为2224,01y x x y ≤<+<. 2.00x y →→= 1/2 .3.设22),(y x y x y x f +-+=,则=')4,3(x f 2/5,=')4,3(y f 1/5 . 4.设ln(32)u x y z =-+,则d u =3232dx dy dzx y z-+-+.5.设yz x =,则2z x y∂=∂∂()11ln y x y x -+.三、计算题1.已知2)z f =+,且当1y =时z x =,求()f t 及z 的表达式.将1,y z x ==代入,)12x f =+有)21fx =-解一:)))222423f=-+ ∴()243f t t t =-+解二:令2t =,则()22x t =-∴()()221f t t =--∴)22211z x =--=-2.讨论函数2222222,0,(,)0,0x xyx y f x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩的连续性..解一:当(),p x y 沿y 轴(x=0)趋于0(0,0)时, 当(),p x y 沿y x =,趋于0(0,0)时,∴()0lim,x y f x y →→不存在 ∴不连续解二:当(),p x y 沿y kx =趋于0(0,0)时,()()222222200011lim lim 11x x y kx k x x xy k x y k k x →→=→+++==+++ 与k 有关,∴不连续 3.设(1)y z xy =+,求d z . 解一:取对数()ln ln 1z y xy =+()1ln 11z x xy y z y xy ∂⋅=++⋅∂+,∴()()1ln 11y z xy xy xy y xy ⎡⎤∂=+++⎢⎥∂+⎣⎦解二:()()()()ln 1ln 1e ,e ln 111yy xy y xy z x xy y xy y xy ++⎡⎤∂∂==⋅++⋅=+⎢⎥∂+⎣⎦∴()()()12d 1d 1ln 1+xy d 1y y x z y xy x xy y xy -⎡⎤=++++⎢⎥+⎣⎦4.求2e d yzt xz u t =⎰的偏导数.5.设r =0r ≠时,有2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂.222223xr x rr x r xr r-⋅∂-==∂,同理:2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂ ∴()2222222222233322r x y x r r r r x y z r r r-++∂∂∂++===∂∂∂ 6.证明函数(,)f x y =(0, 0)处:(1)连续;(2)偏导数存在;(3)不可微.(1)0ε∀>0=≤0ε-<ε<<取δ=,则当0δ<<0ε<,∴()()000lim ,lim00,0x x y y f x y f →→→→===(或:()00lim00,0x y f →→==),(),f x y =(2)()(),00,0,0x f x f =;()()0,0,0,00y f y f == (3)()()0,00,0x y z z f x f y =-⋅-=V V V V 考察:000limlimx x y y →→→→=V V V V 当(),p x y 沿直线y kx =趋于0(0,0)有00limlimx x y k x →→=⋅→=V V V V 与k 有关∴上式不存在,不可微第二次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题 1.设22()y z f x y =-,其中()f u 为可导函数,则zx∂∂=( B ). (A )2222()xyf x y --;(B )222222()()xyf x y f x y '---;(C )22222()()yf x y f x y '---;(D )2222222()()()f x y yf x y f x y '-----.2.设方程(,,)0F x y y z z x ---=确定z 是x ,y 的函数,F 是可微函数,则z x∂∂=( D ).(A )13F F '-'; (B )13F F ''; (C )x zy zF F F F --;(D )1323F F F F ''-''-.3.设(,),(,),(,)x x y z y y z x z z x y ===都由方程(,,)0F x y z =所确定的隐函数,则下列等式中,不正确的一个是( C ).(A )1x yy x∂∂=∂∂; (B )1x zz x∂∂=∂∂; (C )1x y zy z x∂∂∂=∂∂∂;(D )1x y zy z x∂∂∂=-∂∂∂.4.设(,),(,)u u x y v v x y ==都是可微函数,C 为常数,则在下列梯度运算式中,有错误的是( A ).(A )0C ∇=;(B )()Cu C u ∇=∇; (C )()u v u v ∇+=∇+∇;(D )()uv v u u v ∇=∇+∇.5.()u f r =,而r =,且函数()f r 具有二阶连续导数,则22ux∂+∂2222u uy z ∂∂+=∂∂( B ).(A )1()()f r f r r '''+; (B )2()()f r f r r '''+;(C )211()()f r f r r r '''+; (D )212()()f r f r r r '''+.二、填空题1.已知(1,2)4,d (1,2)16d 4d ,d (1,4)64d 8d f f x y f x y ==+=+,则(,(,))z f x f x y =在点(1, 2)处对x 的偏导数为 192 .2.由方程e z xy yz zx -+=所确定的隐函数(,)z z x y =在点(1, 1)处的全微分为 d dy x +.3.r 在点(0, 0)处沿x 轴正向的方向导数为 1 .4.函数2222u x y z xy yz =++-+在点(1,2,3)--. 三、计算与解答题 1.设f 是C (2)类函数,22(e ,)xyz f x y =-,求2zx y∂∂∂.2.设32(32)x y z x y -=-,求d z .解一:解二:,32,32vz u u x y v x y ==-=- ∴()()()32d 32ln 3213d 2dy x yz x y x y x -=--+-⎡⎤⎣⎦3.设f ,ϕ是C (2)类函数,x y z yf x y x ϕ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,证明:(1)2220z z x y x x y ∂∂+=∂∂∂; (2)2222220z z x y x y ∂∂-=∂∂. 证21z y y yf x f x y x x ϕϕϕϕ∂⎛⎫''''=⋅++⋅⋅-=+- ⎪∂⎝⎭4.设arctan yx,求22d d y x .''2222x yy y x yx y x y+-=++∴ ()(),x yy x y x y y x y+''-=-+=-一阶:()()22222222112,ln arctan ,221x y y x x y x F x y x y F x x y x y y x -+=+-=⋅-=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭22222211221y y y x x F y x y x y x-=⋅-=+++∴d d y Fx x y x y x Fy y x x y ++=-=-=-- 二阶:5.设e sin ,e cos ,uux u v y u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩求,u v x y ∂∂∂∂. ∴()()1sin cos d d d sin cos 1sin cos 1u D v vu x y D e v v eu v v ==--+-+ ∴()sin e sin cos 1u u v x v v ∂=∂-+ ∴()()()2u cos e d e sin d d e sin -cos 1u uv x v y D v D u v v -++==⎡⎤+⎣⎦∴()e sin e sin cos 1u u v vy u v v ∂+=∂-+ 6.设2(,,),(,e ,)0,sin y u f x y z x z y x ϕ===,其中求f ,ϕ是C (1)类函数,求d d ux. ∴''12''332e ,y x z Fx z Fyx Fz y Fz ϕϕϕϕ∂∂=-=--=-=--∂∂ 解二:全微分'''123'''123d d d d 2d e d d 0d cos d y u f x f y f z x x y z y x x ϕϕϕ⎧=⋅++⎪⋅+⋅⋅+=⎨⎪=⎩ 即'''231'''231d d d d e d d 2d d cos d yu f y f z f x y z x x y x x ϕϕϕ⎧--=⎪+=-⎨⎪=⎩代入消元解得:'sin ''''12123'32cos d cos d x x e x u f f x f x ϕϕϕ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭∴…… 7.求函数ln()z x y =+的点(1, 2)处沿着抛物线24y x =的该点切线方向的方向导数.∴()()()111,21111,2cos 1,2cos 32323zzx zy αβ∂=⋅+=⋅+⋅=∂l第三次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1.在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线( B ). (A )只有一条;(B )只有两条;(C )至少有三条; (D )不存在.2.设函数(,)f x y 在点(0, 0)附近有定义,且(0,0)3,(0,0)1x y f f ==,则( C ). (A )d (0,0)3d d z x y =+;(B )曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的法向量为{3,1,1}; (C )曲线(,),0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为{1,0,3};(D )曲线(,),0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为{3,0,1}.3.曲面()z x f y z =+-的任一点处的切平面 ( D ). (A )垂直于一定直线;(B )平等于一定平面; (C )与一定坐标面成定角;(D )平行于一定直线.4.设(,)u x y 在平面有界闭区域D 上是C (2)类函数,且满足20ux y∂≠∂∂及22220u ux y ∂∂+=∂∂,则(,)u x y 的 ( B ). (A )最大值点和最小值点必定都在D 的内部; (B )最大值点和最小值点必定都在D 的边界上; (C )最大值点在D 的内部,最小值点在D 的边界上; (D )最小值点在D 的内部,最得到值点在D 的边界上. 二、填空题1.如果曲面6xyz =在点M 处的切平面平行于平面63210x y z -++=,则切点M 的坐标是 (-1,2,-3) .2.曲线2224914,1x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,1,1)-处的法平面方程是 13x -10y -3z -6=0 .3.22z x y =+在条件1x y +=下的极小值是12.4.函数u 在点(1,1,1)M 处沿曲面222z x y =+在该点的外法线方向的方向导数是13.三、计算题1.求曲线222226,x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点(1,1,2)处的切线方程. 解一:22222yy zz x yy z x ''⎧+=-⎪⎨''-+=⎪⎩①②①+②:0z '=代入(),1,1,21xy y y''=-=- ∴()1,1,0s =-v切成:112110x y z ---==,即112x y z -=-⎧⎨=⎩解二:()()2221,,6,2,2,2,2,2,4F x y z x y z Fx x Fy y Fz z n =++-====u u v取()1121,1,2,n s n n ==⨯u v v u v u u v1s 切平面:()()()1111220260x y z x y z ⋅-+⋅-+-=+-=即+2s 切平面:()()()21212020x y z x y z -+---=--=即:2+2∴2602220x y z x y z ++-=⎧⎨+--=⎩2.过直线102227,0x y z x y z +-=⎧⎨+-=⎩作曲面222327x y z +-=的切平面,求其方程.解:设切点为0000(,,)M x y z ,切平面方程为:0003270x x y y z z +--=……① 过已知直线的平面束方程为()1022270x y z x y z λ+--++-= 即:()(10)2(2)270x y z λλλ++++---=……②当①②为同一平面时有:000103,2,2x y z λλλ+=+=--=-且222000327x y z +-=解得00000033117117x x y y z z ==-⎧⎧⎪⎪==-⎨⎨⎪⎪==-⎩⎩或对应的切平面方程为:927091717270x y z x y z +--=+-+=3.证明曲面2/32/32/32/3(0)x y z a a ++=>上任意点处的切平面在各个坐标轴上的截距平方和等于2a ..设000M x 0(,y ,z )为曲面上任一点 切平面方程为:()()111333000000222()0333x x x y y y z z z ----+-+-=即:11123333000x x y y z z a --++= 令0y z ==得x 轴截距1233x n a = 同理121233332,Y z a Z z a ==∴222422223333()X Y Z x y z a a ++=++=4.求函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值..①令222(2)02ln 10x y f x y f x y y '⎧=+=⎪⎨'=++=⎪⎩ ②得驻点10,e M ⎛⎫ ⎪⎝⎭③2212(2),4,2xx xy f y f xy fyy x y =+==+④M 处: AC-B 2>0,A>0,∴极小值110,f e e⎛⎫=-⎪⎝⎭5.求函数22(,)1216f x y x y x y =+-+在区域22{(,)|25}D x y x y =+≤上的最大值和最小值.2120621608fx x x fy y y =-==⎧⎧⎨⎨=+==-⎩⎩ 不在D 内,∴D 内无极值点 在边界2225x y +=上,(),251216f x y x y =-+12201620Lx x Ly y λλ=-+=⎧⎨=+=⎩ 解得3344x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ ()3,475f -=- 最小()3,4125f -= 最大61的一个切平面,使其在三个坐标轴上的截距之积为最大. 设切点为()()0000,,,,,1M x y z F x y zFn Fy ==)))0000x x y y z z -+--=1=令0y z==,得x轴截距X=x z==,得y轴截距Y=x y==,得z轴截距Z=令113 fx yz yzx xfy xz xzy yfz xy xyz z⎧===⎪⎪⎪=+==⎪⎪⎨⎪=+==⎪====19x y z===即切点为111,,999⎛⎫⎪⎝⎭切平面为:13x y z++=第四次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1.设(,)f x y 连续,且(,)(,)d d Df x y xy f x y x y =+⎰⎰,其中D 是由0y =,2y x =,1x =所围区域,则(,)f x y 等于( C ).(A )xy ;(B )2xy ;(C )18xy +; (D )1xy +.2.设D 是xOy 平面上以(1, 1), (-1, 1)和(-1, -1)为顶点的三角形区域,D 1是D 的第一象限部分,则(cos sin )d d Dxy x y x y +⎰⎰等于( A ).(A )12cos sin d d D x y x y ⎰⎰;(B )12d d D xy x y ⎰⎰;(C );14cos sin )d d D xy x y x y +⎰⎰( (D )0.3.设平面区域22:14,(,)D x y f x y ≤+≤是在区域D 上的连续函数,则d d Df x y ⎰⎰等于 ( A ).(A )212()d rf r r π⎰;(B )21002()d ()d rf r r rf r r π⎡⎤+⎣⎦⎰⎰;(C )2212()d rf r r π⎰; (D )2122002()d ()d rf r r rf r r π⎡⎤+⎣⎦⎰⎰.4.设有空间区域22221:,0x y z R z Ω++≤≥及22222:x y z R Ω++≤,0x ≥,0y ≥,0z ≥,则( C ).(A )12d 4d x V x V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰; (B )12d 4d y V y V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰;(C )12d 4d z V z V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰;(D )12d 4d xyz V xyz V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.二、填空题1.积分2220d e d y x x y -=⎰⎰()-411e 2-. 2.交换积分次序:14012d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y -+=⎰⎰⎰⎰()2221d ,d y yy f x y x +-⎰⎰.3.设区域D 为||||1x y +≤,则(||||)d d Dx y x y +=⎰⎰43. 4.设区域D 为222x y R +≤,则2222d d Dx y x y a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰⎰422114R a b π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.5.直角坐标中三次积分22110d (,,)d x y I x y f x y z z +-=⎰⎰⎰在柱面坐标中先z 再r 后θ顺序的三次积分是()221d d cos ,sin ,d r r f r r z r z πθθθ⎰⎰⎰三、计算题1.计算|cos()|d d Dx y x y +⎰⎰,其中D 是由直线,0,2y x y x π===所围成的三角形区域.原式()()12cos d d cos d d D D x y x y x y x y =+-+⎰⎰⎰⎰=[][]240411cos 2cos 2122242y x ππππππ+++=- 2.计算sin d d Dx yx y y⎰⎰,其中D 是由2y x =和y x =所围成的区域. ①图交点,先x,②:01y x D y ⎧≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩③21100sin sin d d d 22y y y y F f x y y y ⎛⎫==⋅- ⎪⎝⎭⎰⎰3.计算22()d d Dx y x y +⎰⎰,其中{(,)|02,D x y x y =≤≤≤.①图,极坐标,方程②2cos 2:02r D θπθ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩ ③22202cos d d I r r r πθθ=⋅⎰⎰4.计算23d xy z V Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面z xy =与平面,1y x x ==和0z =所围成的闭或区域.①图,投影域Dxy②0:001z xy y y x ≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎩③1230d d d x xyI x y sy z z =⎰⎰⎰5.计算d I xyz V Ω=⎰⎰⎰,其中222{(,,)|1,0,0,0}x y z x y z x y z Ω=++≤≥≥≥.①图,已求坐标r=1②01:0202r πϕπθ⎧⎪≤≤⎪⎪Ω≤≤⎨⎪⎪≤≤⎪⎩③1222d d sin cos sin sin cos sin d I x r r r r r ππϕϕθϕθϕϕ=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎰⎰⎰6.设()d F t fV Ω=⎰⎰⎰,其中2222:,()x y z t f t Ω++≤在0t =可导,且(0)0f =,求4()lim t F t tπ+→. ∴()()()()()()02043000040lim lim lim lim '040t t t t F t f t t f t f t f f t t t t πππ→→→→⋅-+====- 四、证明题设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且恒大于零,证明2d ()d ()()bbaaxf x x b a f x ≥-⎰⎰. 证明:设:a x bD a y b≤≤⎧⎨≤≤⎩∵2d d 0D x y ≥⎰⎰ 即:()()()()d d 2d d D Df x f y x y x y f y f x ⎡⎤+≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ ∴()()()()()211d d d d 2b bb b aaa a f x x y f y y xb a f y f x +⋅≥-⎰⎰⎰⎰∴()()()212d d 2bbaaf x x x b a f x ⋅≥-⎰⎰∴()()()21d d bbaaf x x x b a f x ⋅≥-⎰⎰第五次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1.设L 是圆周222x y a +=,则22()d nL x y s +=⎰Ñ(D ) .(A )2n a π; (B )12n a π+; (C )22n a π; (D )212n a π+.2.设L 是由(0, 0), (2, 0), (1, 1)三点连成的三角形边界曲线,则d L y s =⎰Ñ( A ).(A(B )2+(C )(D )2+3.设∑是锥面222x y z +=在01z ≤≤的部分,则22()d x y S ∑+=⎰⎰( D ). (A )1300d d r r πθ⎰⎰; (B )21300d d r r πθ⎰⎰;(C 1300d d r r πθ⎰;(D 21300d d r r πθ⎰.4.设∑为2222(0)x y z a z ++=≥,1∑是∑在第一卦限中的部分,则有(C ). (A )1d 4d x S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(B )1d 4d y S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(C )1d 4d z S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(D )1d 4d xyz S xyz S ∑∑=⎰⎰⎰⎰.二、填空题1.设曲线L 为下半圆y =22()d L x y s +=⎰1d π1LS =⋅⎰.2.设L 为曲线||y x =-上从1x =-到1x =的一段,则d L y s =⎰3.设Γ表示曲线弧,,,(02)2tx t y t z t π==≤≤,则222()d xy z s Γ++=⎰332ππ23+. 4.设∑是柱面222(0)x y a a +=>在0z h ≤≤之间的部分,则2d x S ∑=⎰⎰3a h π.5.设∑是上半椭球面2221(0)94x y z z ++=≥,已知∑的面积为A ,则222(4936)d x y z xyz S ∑+++=⎰⎰36A .三、计算题1.计算L s ⎰Ñ,其中L 为圆周222x y a +=,直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.解:所以:原式=2(1-ae )+4aπa e2.2d z s Γ⎰Ñ,其中2222,:0.x y z a x y z ⎧++=Γ⎨++=⎩.(222d d d rrrx s y s z s ==⎰⎰⎰Q蜒?)3.计算曲面积分()d xy yz zx S ∑++⎰⎰,其中曲面:z ∑=被柱面222x y x +=所截得部分。