中考复习专题：路径问题

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中考专题复习——最短路径问题(有答案)

B CD AL 中考专题复习——路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。

（构建“对称模型”实现转化）三、例题：例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是。

②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。

②如图，直线L 同侧有两点A 、B ，已知A 、B 到直线L 的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L 上找一个点P ，使PA+PB 的和最小。

请在图中找出点P 的位置，并计算PA+PB 的最小值。

③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km 和3Km ，张村与李庄的水平距离为3Km ，则所用水管最短长度为。

四、练习题（巩固提高）张村李庄ABCD 图(2)EBDACP图(3)D OP（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

2、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为。

3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为。

4、正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN的最小值为。

第4题第5题第6题第7题5、在菱形ABCD 中，AB=2， ∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为。

中考专题复习——最短路径问题

word专业资料-可复制编辑-欢迎下载A B C DABABL A BCDDO CP中考专题复习——路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。

（构建“对称模型”实现转化）三、例题：例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是。

②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。

②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。

请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。

③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为。

四、练习题（巩固提高）（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为。

3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm，底面圆的周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为。

4、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN第2题张村李庄张村李庄AABB第1题第3题图(2)EBDACP＋MN 的最小值为。

第4题第5题第6题第7题 5、在菱形ABCD 中，AB=2， ∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为。

中考数学《最短路径问题2》专题复习

中考压轴题（5）最短路径问题2【典型例题】1．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为_______．2．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．点A、B、M、N均在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹．（1）在图①中的线段MN上确定一点P，使PA+PB的值最小．（2）在图②中的线段MN上确定两点C、D，使CD=2，且AC+CD+DB的值最小．知识点思想方法步骤其他【对应练习】3．如图，在Rt ABC中，90ACB∠︒＝，6AC=，8BC=，AD平分CAB∠交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，求CE EF+的最小值．4．如图，在锐角ABC中，7AC cm=，221ABCS cm=，AD平分BAC∠，M N、分别是AD和AB 上的动点，求BM MN+的最小值并说明理由.5．如图1，△ABC中AB=AC，DE垂直平分AB分别交AB，AC于点D，E．（1）若∠C=70°，则∠A的大小为；（2）若AE=BC，求∠A的度数；（3）如图2，点M是边BC上的一个定点，若点N在直线DE上，当BN+MN最小时，点N在何处？请用无刻度直尺作出点N的位置．（不需要说明理由，保留作图痕迹）6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点(0,6)B ，AB AC =，AB AC ⊥，30BAO ∠=︒．（1）如图①，若点D 为AB 的中点，求OD 的长；（2）如图②，若点E 在x 轴上，且45OEB ∠=︒，求ACE ∠的度数；（3）如图③，设BF 平分ABO ∠交x 轴于点P ，点M 是射线BF 上一动点，点N 是射线PA 上一动点，OM MN -的最大值为m ，判断是否存在这样点M ，N ，使m 的值最小？若存在，请在答题卷上作出点M ，N ，并直接写出作法和m 的最小值；若不存在，请说明理由．7．阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点()11,A x y ，()22,B x y 之间的位置关系有以下三种情形； ①如果ABx 轴，则12y y =，12AB x x =-②如果AB y ∥轴，则12x x =，12AB y y =-③如果AB 与x 轴、y 轴均不平行，如图，过点A 作与x 轴的平行线与过点B 作与y 轴的平行线相交于点C ，则点C 坐标为()21,x y ，由①得12AC x x =-；由②得12BC y y =-；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式()()221212AB x x y y =-+-．（1）若点A 坐标为(4,6)，点B 坐标为(1,2)则AB =________；（2）若点A 坐标为(3,3)，点B 坐标为(6,6)，点P 是x 轴上的动点，直接写出AP PB +最小值=_______；（3）已知22(6)16(3)4M x x =-++-+，22(6)16(3)4N x x =-+--+根据数形结合，求出M的最小值？N 的最大值？。

中考数学复习最短路径问题专项训练题

中考数学复习最短路径问题专项训练题一、两条线段和最短1、如图，在平面直角坐标中，二次函数图象的顶点坐标为C (4，－3），且在x 轴上截得的线段AB 的长为6．（1)求二次函数的解析式；(2)点P 在y 轴上，且使得△P AC 的周长最小，求： ①点P 的坐标；②△P AC 的周长和面积；2、使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如,对于函数y=x ﹣1,令y=0，可得x=1,我们就说1是函数y=x ﹣1的零点．己知函数y=x 2﹣2mx ﹣2（m+3）（m 为常数）．（1）当m=0时,求该函数的零点;（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；(3)设函数的两个零点分别为x 1和x 2，且，此时函数图象与x 轴的交点分别为A 、B(点A 在点B 左侧），点M 在直线y=x ﹣10上,当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．y x B A O C二、三条线段和最短3、如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3），与x 轴分别交于B (1，0）、C （5，0）两点．(1）求此抛物线的解析式；（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ）,再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ．求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．三、线段的平移4、如图，已知点A （－4,8）和点B （2,n ）在抛物线y ＝ax 2上．（1)求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标,并在x 轴上找一点Q ，使得AQ ＋QB 最短，求出点Q 的坐标;（2）平移抛物线y ＝ax 2,记平移后点A 的对应点为A ′,点B 的对应点为B ′，点C （－2,0）和点D (－4，0）是x 轴上的两个定点．① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C ＋CB ′最短，求此时抛物线的函数解析式; ② 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A ′B ′CD 的周长最短？若存在,求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．5、（2013•泉州）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点A （﹣6，0)，过点E(﹣2,0）作EF ∥AB ，交BO 于F;(1)过点F 作直线l 分别与直线AO 、直线BC 交于点H 、G ；过点G 作直线GD ∥AB ，交x 轴于点D ，以圆O 为圆心,OH 长为半径在x 轴上方作半圆（包括直径两端点），使它与GD 有公共点P ．如图2所示，当直线l 绕点F 旋转时，点P 也随之运动，证明：=.(2）在（1）中，若点M(2，），探索2PO+PM 的最小值．O y xAB C y O A 2 4 68-2-4-2 -4 2 4 x B CD练习：1．(2013•广安）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点,已知点A（﹣3，0），B（0，3）,C（1，0)．（1）求此抛物线的解析式．(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E,作PD⊥AB于点D．①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN,随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）2．如图(1）抛物线y=ax2+bx+c（a≠o）的顶点为C（1，4）,交x轴于A、B两点,交y轴于点D，其中点B的坐标为（3,0）（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图（2）T是抛物线上的一点，过点T作x轴的垂线,垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N,连接MD，若△DNM∽△BMD,求点T的坐标；（3）如图（3),过点A的直线与抛物线相交于E，且E点的横坐标为2，与y轴交于点F；直线PQ是抛物线的对称轴,G是直线PQ上的一动点，试探究在x轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点围成的四边形周长最小?若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2014•宝安区二模）已知：如图1，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心P（3,0)，半径为5,⊙P与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的交点A、B、C刚好落在坐标轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线的顶点，经过C、D的直线是否与⊙P相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由；（3）如图2，点F是点C关于对称轴PD的对称点，若直线AF交y轴于点K，点G为直线PD上的一动点,则x轴上是否存在一点H,使C、G、H、K四点所围成的四边形周长最小？若存在,求出这个最小值及点G、H的坐标;若不存在，请说明理由．4．（2014•黄冈二模）如图，菱形ABCD的边长为6且∠DAB=60°，以点A为原点、边AB 所在的直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系．动点P从点D出发沿折线DCB 向终点B以2单位/每秒的速度运动，同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以1单位/秒的速度运动，当点P到达终点时停止运动,运动时间为t，直线PQ交边AD于点E．（1）求出经过A、D、C三点的抛物线解析式；(2）是否存在时刻t使得PQ⊥DB，若存在请求出t值，若不存在,请说明理由；（3）设AE长为y，试求y与t之间的函数关系式；(4）若F、G为DC边上两点，且点DF=FG=1,试在对角线DB上找一点M、抛物线ADC对称轴上找一点N，使得四边形FMNG周长最小并求出周长最小值．。

【配套K12】中考数学专题复习六求最短路径问题

中考数学专题复习学案六求最短路径问题【专题思路剖析】知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

这类问题在中考中出现的频率很高，一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密切解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【典型例题赏析】类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题例题1：（2015•辽宁省盘锦,第15题3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为．考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．分析：连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；由菱形的性质得出∠BPC=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出PE=BE，证明△PBE是等边三角形，得出PB=BE=PE=1，即可得出结果．解答：解：连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA=2，∴∠BPC=90°，∵E为BC的中点，∴BE=BC=1，PE=BC=1，∴PE=BE，∵∠DAB=60°，∴∠ABC=120°，∴∠PBE=60°，∴△PBE是等边三角形，∴PB=BE=PE=1，∴PB+BE+PE=3；故答案为：3．点评：本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．【方法点评】本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点．【变式练习】（2015•福建第16题 4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A 长度的最小值是．考点：翻折变换（折叠问题）．.分析：首先由勾股定理求得AC的长度，由轴对称的性质可知BC=CB′=3，当B′A有最小值时，即AB′+CB′有最小值，由两点之间线段最短可知当A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值．解答：解：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC===4，由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，∵CB′长度固定不变，∴当AB′+CB′有最小值时，AB′的长度有最小值．根据两点之间线段最短可知：A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值，∴AB′=AC﹣B′C=4﹣3=1．故答案为：1．点评：本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理和线段的性质，将求B′A的最小值转化为求AB′+CB′的最小值是解题的关键．类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题例题2：（2015•四川凉山州第26题5分）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．考点：菱形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题．.分析：点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为EP+BP最短，解答即可．解答：解：连接ED，如图，∵点B的对称点是点D，∴DP=BP，∴ED即为EP+BP最短，∵四边形ABCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB=60°，∴点D的坐标为（1，），∴点C的坐标为（3，），∴可得直线OC的解析式为：y=x，∵点E的坐标为（﹣1，0），∴可得直线ED的解析式为：y=（1+）x﹣1，∵点P是直线OC和直线ED的交点，∴点P的坐标为方程组的解，解方程组得：，所以点P的坐标为（），故答案为：（）．点评：此题考查菱形的性质，关键是根据一次函数与方程组的关系，得出两直线的解析式，求出其交点坐标．【方法点评】“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点的和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点与直线的交点就是所求的点；“一点两线型”求三角形周长最短问题，作点关于两直线的对称点，连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形；“两点两线型”求四边形的周长最短类比“一点两线型”即可．【变式练习】（2015•营口，第10题3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°考点：轴对称-最短路线问题．分析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．解答：解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴CM+DN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；故选：B．点评：本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．类型3、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。

2024年中考数学最值和路径专题练习--逆等线模型(无答案)

逆等线模型一、模型介绍(一) 基本模型(二) 结论推导结论：BE+CD 的最小值为线段BF 的长.证明: ∵将△ADC 拼接到△CEF, ∴△ADC ≌△CEF,∴CD=EF, ∴BE+CD=BE+EF≥BF∴BE+CD 的最小值为线段BF 的长.(三) 满分策略遇到两条首尾不相连的相等线段，要求另外两条线段和的最小值，可以在等线段处构造全等三角形，将要求的两条线段拼接到一起，使条件集中，为了便于计算，应该使拼接后的角为特殊角. 如果线段和带系数，则需要在其中一条线段处构造相似，将系数化为相似比，通过三角形相似、勾股定理以及两点之间线段最短求出带系数的线段和最小值.二、典型例题例1 如图, 正方形 ABCD 的边长为4, 点E, F 分别是边BC, CD 上的动点, 且BE=CF, 连接BF, DE,则 BF+DE 的最小值为.考点分析：正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理.思路点拨: 将△CDE 拼接到△DGF,则△CDE ≌△DGF, DG=CD, DE=GF, 所以, BF+DE=BF+GF≥BG ，用勾股定理求出线段BG 的长，即为BF+DE 的最小值.例2 如图,在△ABC 中, AB=AC=4,∠BAC=120°, 点D, E 分别是边AB,BC 上的动点,且AD=BE,连接AE, CD, 当AE+CD 的值最小时, ∠AEB 的度数为 ( ).A. 90°B. 120°C. 135°D. 150°考点分析：等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和.思路点拨: 将△ADC 拼接到△BEF,则△ADC ≌△BEF, CD=EF,所以, AE+CD=AE+EF≥AF,当A, G, F 三点共线时, AE+CD的已知: 在△ABC 中, D,E 分别是AB, AC 上的动点,且AD=CE, 求BE+CD 的最小值. 将△ADC 拼接到△CEF, 连接BF.结论: BE+CD 的最小值为线段BF 的长.值最小,此时△ABF 是等腰三角形, AB=BF,∠ABF=150°,可得∠AEB=135°.例3 如图,在矩形ABCD中, AB=5, AD=6, 点E, F分别为边BC, CD 上的动点, 且BE=2DF, 连接AF, DE, 则2AF+DE的最小值为 .考点分析：矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理.思路点拨: 延长AB到点G,使BG=2AD,证△BGE∽△DAF,可得GE=2AF,则2AF+DE=GE+DE=DG，用勾股定理求出线段DG的长，即为2AF+DE的最小值.三、提分必练(一) 基础1. 如图, 在边长为2的正方形 ABCD 中,点E, F分别是对角线AC和边AD上的动点,且AF=CE,连接BE, CF, 则BE+CF的最小值为 .2. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°, BC=2, 点D为BC边上一动点, 将线段BD绕点 B 逆时针旋转90°到BE, 连接AD,CE, 则AD+CE的最小值为 .3.如图, 在△ABC中, AB=AC=2,∠BAC=90∘,,点 M, N分别是边 BC, AC上的动点,且AN=CM, 连接AM, BN, 当AM+BN的值最小时, CM的长为 .4. 如图, 在 Rt△ABC中,∠A=90°, AB=3, AC=4, 点D, E分别是边AC, AB 上的动点, 且AD=BE,连接BD, CE, 则BD+CE的最小值为 .(二) 提升1. 如图,矩形ABCD 中,AB=2,∠ABD=60°, 点E, F分别是对角线BD 和边 CD 上的动点, 且BE=DF, 连接AE, AF, 则AE+AF的最小值是 .2. 如图, 在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°, AC=2,点D为AB的中点, 点E, F分别为边 AC,BC上的动点, 且AE=CF, 连接DE, AF, 则 DE+AF的最小值为 .3. 如图, 在等边△ABC中,点D为BC边上一动点,点E为△ABC内一点，满足DE‖AB,且DE=BD,连接BE, CE, 点F为AB边上一点, AF=BE, 当( CE+CF的值最小时，∠ECF的度数为 .4.如图,在△ABC中,∠BAC=50°, AB=AC, BD⊥AC于点D,点M,N分别是线段BD, BC上的动点,且BM=CN,当AM+AN的值最小时, ∠AMD 的度数为 .5. 如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°, ∠ABC=30°, 点 D, E 分别是线段AB和 BA 延长线上的动点,且BD=AE, 连接CD, C的值为 .E, 当CD+CE的值最小时, BDAD(x+3)(x−a)与x轴交于A,B(4,0)两点,点C在y轴上，且OC=OB，点D 6.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=14是线段AC上的动点(不与端点重合).(1) 求抛物线的解析式；(2) 将△BCD沿x轴翻折得到△BFG,当点G落在抛物线上时, 求点 G 的坐标;(3)如图2,点E 是线段AB上的动点, 且CD=AE,连接BD, CE, 求 BD+CE的最小值.。

初中数学_中考专题复习——最短路径问题教学设计学情分析教材分析课后反思

中考专题复习教学目标知识与技能1.建立数学模型，能利用轴对称变换找对称点，并用两点之间线段最短的方法来求最短路径。

2.借助特殊四边形、一次函数、反比例函数以及二次函数的图像等这些基本图形，运用对称变换的方法，能清晰的抓住求最短路径问题的本质。

3．在探索最短路径的过程中，体会轴对称、“桥梁”作用，感悟转化思想，一题多解，一题多变的思想。

过程与方法经历探索最短路径过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，培养学生的解题技能技巧。

情感态度与价值观体验数学活动来源于生活又服务于生活，体会异侧直接连，同侧找对称点，提高学生的学习兴趣。

重点利用轴对称数学知识，将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”问题，增强解决实际问题的能力。

掌握解决问题的方法和技巧。

难点综合运用轴对称数学知识，将同侧的两定点通过轴对称变换转化到已侧，从而借助两点之间线段最短解决线段和（周长）最小值问题。

活动一：旧知回顾师生行为设计意图问题1 A，B是路边两个新建小区，要在路边增设一个公共汽车站C。

使两个小区到车站的路程最短，该公共汽车站应建在什么地方？问题2相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？师生集体宣誓师：提出问题。

生：讨论交流，板书作图过程师：提出问题导入课题。

师：请思考问题1和问题2的相同点是解决的那类问题？不同点是什么？解决问题的方法和技巧是什么？1、活跃课堂气氛，使学生在轻松愉快的环境中学习。

2、复习两点之间线段最短，从而引出课题3、渗透转化思想，了解解题方法和解题技巧。

4、建立数学模型：将军饮马问题5、探究解题方法：异侧直接连，同侧找对称点6、发现解题技巧活动二：典题赏析类型一：四边形中的最短路径问题培养学生善于思考、善于观察的良好习惯例1 生：一生读题一生解答师：配合学生完成审题过程师：提出新问题若本题其它条件不变。

中考复习总结突破--最短路径问题教学设计

中考复习突破-最短路径问题一、最短路径问题：最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。

二、涉及知识：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”。

通常出题点结合角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等知识点中出现。

三、解题思路：找对称点实现化“折” 为“直” 。

四、十二个基本问题（前6个）：问题1、如图，在直线 L 上求一点 P , 使 PA + PB 值最小。

作法：如图，连接 AB ，与 L 交点即为 P 。

原理：两点之间线段最短，PA + PB 最小值为 AB 。

问题2（将军饮马）、如图，在直线 L 上求一点 P , 使 PA + PB 值最小。

作法：作点 B 关于 L 的对称点 B' ，连接 AB' ，与 L 交点即为 P 。

原理：两点之间线段最短，PA+PB 最小值为 A B＇。

问题3、如图，在直线 Ll 、L2 上分别求点 M、N，使△PMN 的周长最小。

作法：分别作点 P 关于两直线的对称点 P' 和P “，连P'P“，与两直线交点即为 M，N 。

原理：两点之间线段最短 , PM + MN + PN 的最小值为线段 P'P'' 的长。

问题4、如图，在直线 L1 、L2 上分别求点 M、N，使四边形 PQMN 的周长最小。

作法：分别作点 Q 、P 关于直线 Ll , L2 的对称点 Q＇和 P＇，连 Q＇P＇，与两直线交点即为 M，N 。

原理：两点之间线段最短，四边形 PQMN 周长的最小值为线段 QP + Q'P' 的长。

问题5（造桥选址）、如图，直线m ∥ n ，在m 、 n ，上分别求点 M、N，使 MN⊥m，且 AM+MN+BN 的值最小。

作法：将点 A 向下平移 MN 的长度单位得 A＇，连 A＇B，交 n 于点 N，过点 N 作 NM⊥m 于点 M 。

中考数学专题专题8最短路径及最值问题

专题8最短路径及最值问题【例1】如图，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，连接AE ，AF ，EF ．（1）如图①，AB AD =，120BAD ∠=︒，60EAF ∠=︒．求证：EF BE DF =+；（2）如图②，120BAD ∠=︒，当AEF 周长最小时，求AEF AFE +∠∠的度数；（3）如图③，若四边形ABCD 为正方形，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且45EAF ∠=︒，若3BE =，2DF =，请求出线段EF 的长度．【例2】如图，等边ABC 的边长为6，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接BE ．（1）如图①，求点D 到线段BE的最短距离；（2）点P ，N 分别是BE ，BC 上的动点，连接PN 、PD ．①如图②，当PN PD +的长度取得最小值时，求BP 的长度；②如图③，点Q 在BE 上，若1BQ =，连接QN ，求QN NP PD ++的最小值．【例3】如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，30C ∠=︒，4BC =，O 是ABC 的外接圆，D 是CB 延长线上一点，且2BD =，连接DA ，点P 是射线DA上的动点经典例题的切线；（1）求证：DA是O∠的度数最大，最大度数是多少？请说明理由；（2）DP的长度为多少时，BPC+的值能否达到最小，若能，求出这个最小值；若不能，请说明理由．（3）点P运动的过程中，PB PC【例4】在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；EF的取值范围；①把图形补充完整（无需写画法）；②求2(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．【例5】已知边长为10的菱形ABCD，对角线BD＝16，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向AB、AD作垂线段，垂足分别为E、F．（1）如图1，求证：△PBE∽△PDE；（2）连接PC，当PE+PF+PC取最小值时，求线段BP的长；（3）如图2，对角线BD、AC交于点O，作以PO为半径，点P为圆心（PO＞0）的⊙P，试求①⊙P与线段BC有一个公共点，线段BP长度的取值范围；②⊙P与线段BC有两个公共点时，线段BP【例6】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y+3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标；（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．培优训练一、解答题1．如图，在平面直角坐标系中，直线l平行于x轴，l上有两点A、B，且点A坐标为（－14，8），点B位于A点右侧，两点相距8个单位，动点P、Q分别从A、B出发，沿直线l向右运动，点P速度为2个单位/秒，点Q速度为6个单位/秒，设运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示P、Q的坐标：P（_________），Q（_________）；（2）在P、Q运动过程中，取线段PQ的中点D，当 OBD为直角三角形时，求出t的值及相应的点D的坐标；（3）取满足（2）中条件最右侧的D点，若坐标系中存在另一点E（133，－4），请问x轴上是否存在一点F，使FD－FE的值最大，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．2．如图，已知正方形ABCD 的边长为4、点P 是AB 边上的一个动点，连接CP ，过点P 作PC 的垂线交AD 于点E ，以PE 为边作正方形PEFG 、顶点G 在线段PC 上，对角线EG 、PF 相交于点O ．（1）若AP ＝1，则AE ＝；（2）①点O 与△APE 的位置关系是，并说明理由；②当点P 从点A 运动到点B 时，点O 也随之运动，求点O 经过的路径长；（3）在点P 从点A 到点B 的运动过程中，线段AE 的大小也在改变，当AP ＝，AE 达到最大值，最大值是．3．以BC 为斜边在它的同侧作Rt △DBC 和Rt △ABC ，其中∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝AC ，AC 、BD 交于点P ．（1）如图1，BP 平分∠ABC ，求证：BC ＝AB +AP ；（2）如图2，过点A 作AE ⊥BP ，分别交BP 、BC 于点E 、点F ，连接AD ，过A 作AG ⊥AD ，交BD 于点G ，连接CG ，交AF 于点H ，①求证：△ABG ≌△ADC ；②求证：GH ＝CH ；（3）如图3，点M 为边AB 的中点，点Q 是边BC 上一动点，连接MQ ，将线段MQ 绕点M 逆时针旋转90°得到线段MK ，连接PK 、CK ，当∠DBC ＝15°，AP ＝2时，请直接写出PK +CK 的最小值．4．在平面直角坐标系中，OABC 如图所示，(5,0)A ，(9,6)B ．点P 从点O 出发在线段OA 上以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时点Q 从点B 出发在线段BC 上以每秒2个单位的速度向点C 运动．其中一个点到达终点时，停止运动,连接PQ ．（1）如图1，连接OB 交PQ 于点D ，则点D 的坐标为________；⊥于点H，求OH的最小值；（2）如图2，过A作AH PQ（3）如图3，在PQ上取一点M，使得45∠=︒，那么点M的纵坐标是否存在最大值，若存在，求出此AMP时OP的长；若不存在，说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣1x﹣2分别与x、y轴交于A、C两点，点B（1，0）在x轴上．2（1）求直线BC的解析式；（2）若点C关于原点的对称点为C′，问在AB的垂直平分线上是否存在一点G，使得△GBC′的周长最小？若存在，求出点G的坐标和最小周长；若不存在，请说明理由．（3）设点P是直线BC上异于点B、C的一个动点，过点P作PQ∥x轴交直线AC于点Q，过点Q作QM ⊥x轴于点M，再过点P作PN⊥x轴于点N，得到矩形PQMN，在点P的运动过程中，当矩形PQMN为正方形时，求该正方形的边长．6．（问题提出）（1）如图1，四边形ABCD是正方形，ABE△是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60︒得到BN，连接EN、AM，CM．若连接MN，则BMN△的形状是________．（2）如图2，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，10AB AC +=，求BC 的最小值．（问题解决）（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园ABCD ，6AB BC +=千米，60ABC ∠=︒，公园内有一个儿童游乐场E ，分别从A 、B 、C 向游乐场E 修三条,,AE BE CE ，求三条路的长度和（即AE BE CE ++）最小时，平行四边形公园ABCD 的面积．7．问题发现：（1）正方形ABCD 和正方形AEFG 如图①放置，AB ＝4，AE ＝2.5，则DG CF＝___________．问题探究：（2）如图②，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点P 在矩形的内部，∠BPC ＝135°，求AP 长的最小值．问题拓展：（3）如图③，在四边形ABCD 中，连接对角线AC 、BD ，已知AB ＝6，AC ＝CD ，∠ACD ＝90°，∠ACB ＝45°，则对角线BD 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．8．在平行四边形ABCD 中，已知∠A ＝45°，AD ⊥BD ，点E 为线段BC 上的一点，连接DE ，以线段DE 为直角边构造等腰Rt DEF ，EF 交线段AB 于点G ，连接AF 、DG ．（1）如图1，若AB ＝BE ＝5，则DE 的长为多少？（2）如图2，若点H ，K 分别为线段BG ，DE 的中点，连接HK ，求证：AG ＝2HK ；（3）如图3，在（2）的条件下，若BE ＝2，BG ＝G 为圆心，AG 为半径作⊙G ，点M 为⊙G 上一点，连接MK ，取MK 的中点P ，连接AP ，请直接写出线段AP 的取值范围．9．问题提出（1）在图1中作出点B 关于直线AC 的对称点'B 问题探究（2）如图2，在ABC 中，6AB AC ==，120BAC ∠=︒，D 为AC 的中点，P 为线段BC 上一点，求AP DP +的最小值.问题解决（3）如图3，四边形ABCD 为小区绿化区，DA DC =，90ADC ∠=︒，6AB =+12BC =，30B ∠=︒， AC 是以D 为圆心，DA 为半径的圆弧.现在规划在 AC ，边BC 和边AC 上分别取一点P ，E ，F ，使得DP PE EF PF +++为这一区域小路，求小路长度的最小值.10．如图①，将一个矩形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点A 的坐标是()3,0，点C 的坐标是()0,2，点O 的坐标是()0,0，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将BDA V 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处．（1）求点E 、F 的坐标；（2）如图②，若点P 是线段DA 上的一个动点（点P 不与点D ，A 重合），过点P 作PH DB ⊥于点H ，设OP 的长为x ，DPH △的面积为S ，请求出S 关于x 的关系式；（3）如图③，在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？若存在，请求出四边形MNFE 周长的最小值及此时点M 、N 的坐标；若不存在，请说明理由11．已知在Rt OAB V 中，90OAB ∠=︒，30ABO ∠=︒，4OB =，将Rt OAB V 绕点O 顺时针旋转60°，得到ODC △，点D 在BO 上，连接BC ．（1）如图①，求线段BC 的长；（2）如图②，连接AC ，作OP AC ⊥，垂足为P ，求OP 的长度；（3）如图③，点M 是线段OC 的中点，点N 是线段OB 上的动点（不与点O 重合），求CMN △周长的最小值．12．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A -、B 两点，与y 轴交于点()0,3C -．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，连接BC ，点P 是抛物线在第四象限上一点，连接PB ，PC ，求BCP 面积的最大值；（3）如图②，点D 为抛物线的顶点，点C 关于抛物线对称轴的对称点为点E ，连接DE ．将抛物线沿x 轴向右平移t 个单位，点A ，B 的对应点分别为A '、B '，连接A D '、B E '，当四边形A DEB ''的周长取最小值时，求t 的值．13．将纸片△ABC 沿AD 折叠，使C 点刚好落在AB 边上的E 处，展开如图（1）．＝12；【操作观察】（1）作DF⊥AC，且DF＝3，AB＝8，则S△ABD【理解运用】如图（2）若∠BAC＝60°，AC＝8，F是AC的中点，连接EF交AD于点M，点P是AD 上的动点，连接PF和PC，试说明：PF+PC≥43；【拓展提高】请根据前面的解题经验，解决下面问题：如图（3），在平面直角坐标系中，A点的坐标为（1，3），B点的坐标为（3，﹣2），点P是x轴上的动点，连接AP、BP，求AP﹣BP的最大值，并写出P点的坐标．14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=132+−3与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，连接BC．过点A作BC的平行线交抛物线于点D．（1）求△ABC的面积；（2）已知点M是抛物线的顶点，在直线AD上有一动点E，x轴上有一动点F，当ME+BE最小时，求|CF ﹣EF|的最大值及此时点F的坐标；（3）如图2，在y轴正半轴上取点Q，使得CB＝CQ，点P是x轴上一动点，连接PC，将△CPQ沿PC 折叠至△CPQ′．连接BQ，BQ′，QQ′，当△BQQ′为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：①连接AM，作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2交点为P；②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线连接起来．（1）画出曲线L，观察、猜想它是我们学过的哪种曲线，请求出曲线的解析式；（2）连接AP，当点M不与原点重合时，设l1与y轴交于点N，连接MN，证明：四边形APMN是菱形；（3）若点Q（﹣2，5），点R是曲线上一动点，连接QR，AR，当QR+AR的值最小时，求点R的坐标及最小值．16．如图，直线y＝kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y＝﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y＝kx+b的函数解析式；（2）若点P（x，y）是抛物线y＝﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x 的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y＝﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．17．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=−34x+94与x轴交于点A，与y轴交于点B；抛物线y＝ax2+bx+94（a≠0）过A，B两点，与x轴交于另一点C（﹣1，0），抛物线的顶点为D（1）求出A，B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（3）在直线AB上方的抛物线上有一动点E，求出点E到直线AB的距离的最大值；（4）如图2，直线AB与抛物线的对称轴相交于点F，点P在坐标轴上，且点P到直线BD，DF的距离相等，请直接写出点P的坐标．18．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=122−2−3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，过点B作BC的垂线，交对称轴于点E．（1）求证：点E与点D关于x轴对称；（2）点P为第四象限内的抛物线上的一动点，当△PAE的面积最大时，在对称轴上找一点M，在y轴上找一点N，使得OM+MN+NP最小，求此时点M的坐标及OM+MN+NP的最小值；（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在射线AD上移动，点D平移后的对应点为D′，点A 的对应点A′，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，将△FBC沿BC翻折，使点F落在点F′处，在平面内找一点G，若以F′、G、D′、A′为顶点的四边形为菱形，求平移的距离．19．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−14x2+32x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y 轴交于点C．（1）求抛物线的对称轴及△ABC的周长；（2）点D是线段AC的中点，过点D作BC的平行线，分别与x轴、抛物线交于点E、F，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，连接PD交线段BC于点G，当四边形PGEF面积最大时，点Q从点P出发沿适当的路径运动到x轴上的点M处，再沿射线DF方向运动5个单位到点N处，最后回到直线BC上的点H处停止，当点Q的运动路径最短时，求点Q的最短运动路径长及点H的坐标；（3）如图2，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A、C的对应点分别为点A1、C1，且点A1落在线段AC上，再将△A1OC1沿y轴平移得△A2O1C2，其中直线O1C2与x轴交于点K，点T是抛物线对称轴上的动点，连接KT、O1T，△O1KT能否成为以O1K为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点T的坐标；若不能，请说明理由．20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−13x2++3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD 的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A 的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由．21．如图1，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小，做法是：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．（1）如图2，在等边三角形ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法是：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，这点就是所求的点P，故BP+PE的中点，在直径CD上作出点P，（2）如图3，已知⊙O的直径CD为2，A的度数为60°，点B是A使BP+AP的值最小，则BP+AP（3）如图4，点P是四边形ABCD内一点，BP＝m，∠ABC＝α，分别在边AB、BC上作出点M、N，使△PMN的周长最小，求出这个最小值（用含m、α的代数式表示）．22．（1）画图探究：如图1，若点A、B在直线m同侧，在直线m上求作一点P，使AP+BP的值最小，保留作图痕迹，不写作法；（2）实践运用：如图2，在等边△ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，点P是高AD上一个动点，求BP+PE的最小值（3）拓展延伸：如图3，四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，并求此时∠MAN的度数．23．【观察发现】（1）如图1，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．作法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P．（2）如图2，在等边三角形ABC中，AB＝4，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE 的值最小．作法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为2【实践运用】如图3，菱形ABCD中，对角线AC、BD分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，若点P是BD 上的动点，则MP+PN的最小值是5．【拓展延伸】（1）如图4，正方形ABCD的边长为5，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是522；（2）如图5，在四边形ABCD的对角线BD上找一点P，使∠APB＝∠CPB．保留画图痕迹，并简要写出画法．24．在平面直角坐标系xOy中，已知线段a，P为线段a上任意一点，已知图形M，Q为图形M上任意一点，当P，Q两点间的距离最小时，将此时PQ的长度称为图形M与线段a的近点距；当P，Q两点间的距离最大时，将此时PQ的长度称为图形M与线段a的远点距．根据阅读材料解决下列问题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，﹣2），正方形ABCD的对称中心为原点O．（1）线段AB与线段CD的近点距是4，远点距是（2）如图2，直线y＝﹣x+6与x轴，y轴分别交于点E，F，则线段EF和正方形ABCD（3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴，y轴分别交于点R，S，线段RS与正方形ABCD的近距点是22，则b的值是±8；（4）在平面直角坐标系xOy中，有一个矩形GHMN，若此矩形至少有一个顶点在以O为圆心1为半径的圆上，其余各点可能在圆上或圆内，将正方形ABCD绕点O旋转一周，在旋转过程中，它与矩形GHMN 的近点距的最小值是1，远点距的最大值是+1．25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−322+92x+6与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，且点A的横坐标为4，点D和点B关于抛物线的对称轴对称．（1）求线段AC的长；（2）如图1，在线段OA上有一动点E，过点E作OA的垂线交直线CD于点N，交抛物线于点P，当线段PN取得最大值时，如图2，将此时的线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0＜a＜90°），连接AB、E′A、E′B，求E′A+16E′B的最小值．（3）如图3，抛物线y=−322+92x+6沿x轴正方向平移得到新的抛物线y′，y′经原点O，y′与x轴的另一个交点为F，设点Q是抛物线钱y′上任意一点，点M为原抛物线对称轴上任意一点，能否存在点Q，使得△MQF是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．。

最短路径问题(中考复习)

m的函数关系式，s是否存在最大值，若存在，求出最大值，若
不存在，说明理由。
y
A
O
Bx
P
C
一点两线型：
例：如图，∠AOB=45，角内有一动点P ，
PO=10，在AO，BO上有两动点QR，求
△PQR周长的最小值。
.
P1
A
P Q
45°
O
R
B
P2
两点两线型：
饮马模型: 如图牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径。
一所候车亭P，要使候车亭到村庄A到公路的距离最短，试确定候车亭P的位置。
A
∟
P P′
l
★理论依据：垂线段最短.
。
1.如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2-2x+2
上运动,过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩
形ABCD,连接BD,则对角线BD的最小值为
.
∟
H
2、如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴
距离AC=8,B到MN的距离BD=5,CD=4,P在直线MN
上运动,则｜PA-PB ｜的最大值为：
。
H P
2线（、1已）y2 知求点反12 x比A 12（例1函与，数双a）解曲是析线反式交比于例B函、数D两y点1 ，mx 且上B一（点3，，直-1）（2）求点D的坐标，并直接写出y1<y2时的取值范围。（3）动点P在x轴正半轴上运动，当线段PA与PB之差最大时求P点坐标。
AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针
转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF
的最小值是
．

中考数学复习指导：《最短路径问题》的反思及应用

《最短路径问题》的反思及应用我们知道，有效地开发和利用课本，对于学生的学习具有重要的意义。

学生对于课本上例题或习题能否吃透，直接影响着学生的学习效果。

因此教师要引导学生挖掘教材，引导学生进行反思，从中领悟问题解决过程的数学内涵。

有这样一个问题：如图1所示，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。

牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短?分析我们把河边近似看做一条直线l(如图2)，P为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点P在直线l的什么位置时，AP与PB的和最小。

AB，交直线l于点P，则点P就如图3所示，作点B关于直线l的对称点'B，连接'AB最短，由对称性质知，是牧马人到河边饮马的位置。

事实上，点'B与点A的线段'+=+=，即点P到点A、B的距离之和最小。

PA PB PA PB AB'PB PB=，因为''上述路径问题，是利用轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离，基本思路是运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长。

从解题过程不难看出，本题蕴含着三个数学思想方法:数学模型思想，转化思想，对称思想。

如果学生一旦认识或明白这些思想方法，就能举一反三，再复杂的问题也会迎刃而解。

一、基本应用如图4，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O BC=，则折痕CE的长为多少?重合，若3分析沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，则点B、点O关于直线CE对称，3CO CB ==，1122ACB ∠=∠=∠，点O 是矩形ABCD 的中心，知26AC CO ==。

所以12302ACB ∠=∠=︒，又在Rt CBE ∠中，30BCE ∠=︒，3BC =，若设BE x =，则2CE x =，得222(2)3x x -=，1x =2x （舍去），所以2CE x == 二、拓展应用如图5两条公路BA 、BC 相交于点B ，在两条公路之间的P 点有一个油库，若要在公路BA 、BC 上各设置一个加油站Q 和R ，设置在何处，可使油车从油库出发经过一个加油站Q (或R )，再到另一个加油站R (或Q )，最后回到油库所走的路程最短，即PQ QR RP ++最小。

人教版初中数学《中考专题复习最短路径问题》

中考专题复习最短路径问题
复习目标
1.能够利用垂线段最短原理确定最短路径 2.能够利用“两点之间、线段最短” 原理确定最短路径 3.熟练构建“对称模型”确定最短路径
垂线段最短
两点之间，线段最短
两点之间，线段最短
问题1：如图1所示，Ａ为植树地点，L为水渠，图1 图2 图3 将取水口 C设在L上何处，才能使铺设的水管最短？问题2：如图 2所示，Ａ、Ｂ两点为植树地点，L为我们通常利用轴对称、平移等变换把不在水渠，将取水口 C设在L上何处，才能使铺设的水管一条直线上的两条线段转化到一条直线上，总和AC+BC 最短？从而作出最短路径的方法来解决问题．问题3：如图3所示，Ａ、Ｂ两点为植树地点，L为水渠，将取水口C设在L上何处，才能使铺设的水管总和AC+BC最短？
课堂小结
这节课你有哪些收获呢？与大家分享一下吧！
拓广探索
如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（ C ） A.2 B.4 C. 2 2 D. 4 2
作业布置：如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上， ∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA题目已知的两个定点中，先找原图中是否存在已知定点的对称 1.如图，等边△ABC 中，AB=2，点E是AB的中点，点，若有，直接连接即可。 AD是高，P为AD上一点，则 BP+PE的最小值等（先找后作）
．
步骤： 1.抽象模型 2.作或者找对称点 3.连线段定交点 4.求线段长度
2.如图所示，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

2024年中考数学复习几何专项练习：动点运动路径之瓜豆原理(含答案解析)

2024年中考数学复习几何专项练习：动点运动路径之瓜豆原理（含答案解析）一、填空题1．如图，等边三角形ABC 中，AB =4，高线AHD 是线段AH 上一动点，以BD 为边向下作等边三角形BDE ，当点D 从点A 运动到点H 的过程中，点E 所经过的路径为线段CM ，则线段CM 的长为，当点D 运动到点H ，此时线段BE 的长为．【答案】2【分析】由“SAS ”可得△ABD ≌△CBE ，推出AD =EC ，可得结论，再由勾股定理求解2,BH =当,D H 重合时，2,BE BH ==从而可得答案.【详解】解：如图，连接EC ．∵△ABC ，△BDE 都是等边三角形，∴BA =BC ，BD =BE ，∠ABC =∠DBE =60°，∴∠ABD =∠CBE ，在△ABD 和△CBE 中，BA BC ABD CBE BD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△CBE （SAS ），∴AD =EC ，∵点D 从点A 运动到点H ，∴点E的运动路径的长为CM AH ==，当,D H 重合，而BDE △（即BHE ）为等边三角形，,BE BH \=4,,AB AH AH BC ==^Q2,BH ==2,BE ∴=故答案为：．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，动点的轨迹等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．2．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且1BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边EFG∆，连接CG ，则CG 的最小值为．【答案】52【分析】由题意分析可知，点F 为主动点，G 为从动点，所以以点E 为旋转中心构造全等关系，得到点G 的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG 最小值．【详解】由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动将EFB ∆绕点E 旋转60︒，使EF 与EG 重合，得到EFB EHG ∆≅∆，从而可知EBH ∆为等边三角形，点G 在垂直于HE 的直线HN 上，作CM HN ⊥，则CM 即为CG 的最小值，作EP CM ⊥，可知四边形HEPM 为矩形，则1351222CM MP CP HE EC =+=+=+=.故答案为52．【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G 的运动轨迹，是本题的关键．3．如图，等边ABC 中，8AB =，O 是BC 上一点，且14BO BC =，点M 为AB 边上一动点，连接OM ，将线段OM 绕点O 按逆时针方向旋转60︒至ON ，连接BN CN 、，则BCN △周长的最小值为．【答案】8+8【分析】过点N 作ND BC ⊥于点D ，过点O 作OH BM ⊥于点H ，则90OHM ODN ∠=∠=︒，证明HOM DNO ≌，可得DN OH =，从而得到点N 的运动轨迹是直线，且该直线与直线BC 平行，在BC 的左侧，与BCC 关于该直线的对称点E ，连接BE 交该直线于N ，即当点B ，N ，E 三点共线时，BCN △的周长最小，连接CE 交该直线于G ，则22CE CG DN ===CE BC ⊥，求出BE ，即可求解．【详解】解：如图，过点N 作ND BC ⊥于点D ，过点O 作OH BM ⊥于点H ，则90OHM ODN ∠=∠=︒，∵ABC 为等边三角形，∴60ABC ∠=︒，8BC AB ==，∴120BMO BOM ∠+∠=︒，根据题意得：60MON ∠=︒，OM ON =，∴120NOD BOM ∠+∠=︒，∴NOD BMO ∠=∠，∴HOM DNO ≌，∴DN OH =，∵14BO BC =，∴2BO =，∵60ABC ∠=︒，∴30BOH ∠=︒，∴112BH OB ==，∴DN OH ==∴点N 的运动轨迹是直线，且该直线与直线BC 平行，在BC 的左侧，与BC作点C 关于该直线的对称点E ，连接BE 交该直线于N ，即当点B ，N ，E 三点共线时，BCN △的周长最小，连接CE 交该直线于G ，则22CE CG DN ===，CE BC ⊥，∴BE =∴△ACN 的周长的最小值为8+故答案为：8+．【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，轴对称，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．4．如图，正方形ABCD 的边长为P 是CD 边上的一动点，连接AP ，将AP 绕点A 顺时针方旋转60︒后得到AQ ，连接CQ ，则点P 在整个运动过程中，线段CQ 所扫过的图形面积为．【答案】3-【分析】根据题意画出点P 在CD 上移动的过程，线段CQ 所扫过的面积就是COQ 的面积，根据正方形的性质，等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，得出线段CQ 所扫过的图形面积()12ACQ AOQ S S S =- ，再根据等边三角形，等腰直角三角形面积的计算方法进行计算即可．【详解】解：如图，当点P 在点D 时，相应的点Q 落在点O ，当点P 移动到点C 时，相应的点Q 在点Q ，CQ 扫过的面积就是COQ 的面积，由题意可知，AOD △、ACQ 都是等边三角形，AO DO AD ∴===AQ CQ AC ====，四边形ABCD 是正方形，AOD △是等边三角形，906030ODC ∴∠=︒-︒=︒，45ACD ∠=︒，OD CD = ，18030752DOC DCO ︒-︒∴∠=∠==︒，754530ACO ∴∠=︒-︒=︒，45607530QCO QCD DCO ∠=∠-∠=︒+︒-︒=︒，ACO QCO ∴∠=∠，AC QC = ，CO CO =，AOC ∴ ≌()SAS QOC ，AO QO ∴=，604515CQO CAO ∠=∠=︒-︒=︒，()3601801530290AOQ ∴∠=︒-︒-︒-︒⨯=︒，即AOQ △是等腰直角三角形，∴线段CQ 所扫过的图形面积()12ACQ AOQ S S S =- 111222⎛=⨯⨯⨯ ⎝3=，故答案为：3．【点睛】本题考查正方形、等边三角形，等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性质，掌握正方形、等边三角形，等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性质是正确解答的前提．5．如图，点D 是等边ABC 边AB 上的一动点(不与端点重合)，点D 绕点C 引顺时针方向旋转60 得点E ，所得的CDE 边DE 与BC 交于点F ，则CF DE的最小值为．【分析】由旋转的性质得CDE 为等边三角形，由CEF CAD ∽△△得到CF CE CD AC =，即CF CD DE AC =，从而得到当CD 最小时，比值最小，再由“垂线段最短”得到当CD AB ⊥时，CD 值最小，作出对应图形，利用“ACD 是含30︒角的直角三角形”求出CD AC，从而得解．【详解】解：由旋转的性质得：CD CE =，60DCE ∠=︒，CDE ∴ 为等边三角形，DE CD CE ∴==，60A DEC ∠=∠=︒60ACD DCB ∠+∠=︒60DCB ECF ∠+∠=︒ACD ECF∴∠=∠∵60A DEC ∠=∠= ，ACD ECF∠=∠CEF CAD∴ ∽CF CE CD AC ∴=，即CF CD DE AC=AC 为定值，∴当CD 最小时，比值最小．根据“垂线段最短”可知：当CD AB ⊥时，CD 值最小，过点C 作CD AB ⊥于D ，并补全图形如下：ABC 是等边三角形，CD AB ⊥，60ACB ∠=︒∴1302ACD ACB ∠=∠=︒设AC 2a =，则12AD AC a ==∴CD ==，∴此时CF CD DE AC ==即CF DE 的最小值为2．故答案为：2．【点睛】此题考查图形的旋转变化与性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，含30︒角的直角三角形的性质，垂线段最短，理解“垂线段最短”和利用相似三角形的性质将CF DE转化为CD AC 是解题的关键．6．如图，在ACB △中，60ACB ∠=︒，75BAC ∠=︒，12AC =，点D 是边BC 上的一动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 按逆时针方向旋转75︒得到线段AE ，连接CE ，则线段CE 长度的最小值是．【答案】/-【分析】过点A 作AF BC ⊥于点F ，在AB 上取点N ，使12AN AC ==，连接DN ，过点N 作点NM BD ⊥于点M ，证明()SAS NAD DAE ≌，求出CE DN =，得出当DN 最小时，CE 最小，根据垂线段最短，得出当点D 与点M 重合时，DN 最小，则CE 最小，求出最小结果即可．【详解】解：过点A 作AF BC ⊥于点F ，在AB 上取点N ，使12AN AC ==，连接DN ，过点N 作点NM BD ⊥于点M ，如图所示：根据旋转可知，AD AE =，75DAE ∠=︒，∵75BAC DAE ==︒∠∠，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即NAD CAE =∠∠，∵AN AC =，AD AE =，∴()SAS NAD CAE ≌，∴CE DN =，∴当DN 最小时，CE 最小，∵垂线段最短，∴当点D 与点M 重合时，DN 最小，则CE 最小，∵90AFC ∠=︒，60BCA ∠=︒，∴906030CAF ∠=︒-︒=︒，∴162CF AC ==，∴AF ==，∵45BAF BAC CAF =-=︒∠∠∠，90AFB ∠=︒，∴904545B ∠=︒-︒=︒，∴B BAF ∠=∠，∴BF AF ==∴AB ==∴12BN AB AN =-=-，∵90BMN ∠=︒，45B ∠=︒，∴904545BNM =︒-︒=︒∠，∴B BNM =∠∠，∴BM NM =，∵222BN NM BM =+，∴()22212NM =-，解得：NM =-，∴CE 的最小值为-．故答案为：【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判断和性质，直角三角形的性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明CE DN =．7．如图，点A 的坐标为3⎫⎪⎪⎝⎭，点B 是x 轴正半轴上的一点，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转60︒得到线段AC ．若点C 的坐标为(,4)k ，则k 的值为．【分析】连接BC ，过A 点作AF x ⊥轴于F ，C 作CD x ⊥轴于点D ，CE AF ⊥于点E ，则四边形DCEF 是矩形，根据将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转60︒得到线段AC ，可得ABC 是等边三角形，AB AC BC ==，由点A 的坐标为，(,4)C k ，有AC ==，而BD ==FB ==OF BF BD OD k ++==，可得k =，解方程可得答案．【详解】解：连接BC ，过A 点作AF x ⊥轴于F ，C 作CD x ⊥轴于点D ，CE AF ⊥于点E ，则四边形DCEF 是矩形，如图：∵将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转60︒得到线段AC ，∴AB AC =，60BAC ∠=︒，∴ABC 是等边三角形，∴AB AC BC ==，∵点A 的坐标为，(,4)C k ，，∴3CE k FD =-=，4CD =，3AF =，∴1AE EF AF CD AF =-=-=，∴AC BC AB ====，在Rt BCD 中，BD =，在Rt AFB 中，FB =∵OF BF BD OD k ++==，∴3k =，设k x =x =，化简变形得：42346490x x -=-，解得21x =-（舍去）或2493x =，∴3x =或3x =-（不符合题意，舍去），∴k ，∴k =，．【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含k 的代数式表示相关线段的长度．8．如图，在边长为6的等边ABC 中，直线AD BC ⊥，E 是AD 上的一个动点连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针方向旋转60︒得到FC ，连接DF ，则点E 运动过程中，DF 的最小值是．【答案】32【分析】取线段AC 的中点G ，连接EG ，根据等边三角形的性质可得出CD CG =以及FCD ECG Ð=Ð，由旋转的性质可得出EC FC =，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS 证出FCD ≌ECG ，进而即可得出DF GE =，再根据点G 为AC 的中点，即可得出EG 的最小值，此题得解．【详解】解：取线段AC 的中点G ，连接EG ，如图所示．ABC 为等边三角形，6AC BC ==，且AD 为ABC 的对称轴，132CD CG AB ∴===，60ACD ∠=︒，60ECF =︒∠ ，FCD ECG \Ð=Ð．FCD ∴ ≌()ECG SAS ，DF GE ∴=．当EG BC ∥时，EG 最小，点G 为AC 的中点，∴此时1133222EG DF CD ===⨯=．故答案为：32．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF GE =．9．如图，在ABC ∆中，90ACB ︒∠=，点D 在BC 边上，5BC =，2CD =，点E 是边AC 所在直线上的一动点，连接DE ，将DE 绕点D 顺时针方向旋转60︒得到DF ，连接BF ，则BF 的最小值为．【答案】72【分析】当E 与点C 重合时，点F 与等边三角形CDG 的点G 重合，当点F 开始运动时，△ECD ≌△FGD ，故点F 在线段GF 上运动，根据垂线段最短原理，当BF ⊥GF 时，BF 有最小值，根据直角三角形的性质计算即可．【详解】当E与点C重合时，点F与等边三角形CDG的点G重合，∵DE绕点D顺时针方向旋转60 得到DF，∴△DEF是等边三角形，∴∠GDC=∠FDE=60°，ED=FD，∴∠GDC-∠GDE=∠FDE-∠GDE，∴∠EDC=∠FDG，∵△DEF是等边三角形，∴CD=GD，∴△ECD≌△FGD，∴EC=GF，∠ECD=∠FGD=90°，∴点F在线段GF上运动，根据垂线段最短原理，当BF⊥GF时，BF有最小值，如图，当旋转到BF∥DG 时,BF⊥GF，垂足为F，过点D作DH⊥BF，垂足为H，∵∠FGD=90°，∴四边形FGDH是矩形，∴∠GDH=90°，GD=FH=2，∵∠GDC=60°，∴∠BDH=30°，∵BD=BC-CD=5-2=3，∴BH=1232 BD=，∴BF=FH+BH=2+32=72，故答案为：7 2．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定，灵活运用直角的判定和直角三角形的性质是解题的关键．10．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且1BE=，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF 烧点E顺时什旋转60°得到EG，连接CG，则CG的最小值为．【答案】5 2【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G 的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．【详解】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EBH为等边三角形，△EBF≌△EHG，∴∠EHG=∠ABC=90°，HE=BE=1，∠BEH=60°，∴点G在垂直于HE的直线HN上．作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，∴∠CEP=180°-60°-90°=30°，∴CP=12CE=12×(4-1)=32，则CM=MP+CP=35122 HE PC+=+=，即CG的最小值为5 2．故答案为5 2．【点睛】本题考查了旋转的性质，线段最值问题，全等三角形的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，以及垂线段最短等知识，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．11．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是AB上异于A，B的一动点，将△ACD绕点C逆时针旋转60°得△BCE，则旋转过程中△BDE周长的最小值【答案】．【分析】由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD ，由垂线段最短得到当CD ⊥AB 时，△BDE 的周长最小，于是得到结论．【详解】∵将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ，∴∠DCE=60°，DC=EC ，∴△CDE 是等边三角形，由旋转的性质得，BE=AD ，∴C △DBE =BE+DB+DE=AB+DE=4+DE ，∵△CDE 是等边三角形，∴DE=CD ，∴C △DBE =CD+4，由垂线段最短可知，当CD ⊥AB 时，△BDE 的周长最小，此时，∴△BDE 的最小周长，故答案为．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．12．如图，在ABC 中，8AC BC ==，60BCA ∠= ，直线AD BC ⊥，E 是AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 按逆时针方向旋转60 得到FC ，连接DF ，则点E 运动过程中，DF 的最小值是．【答案】2【分析】根据题意取线段AC 的中点G ，连接EG ，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD=CG 以及∠FCD=∠ECG ，由旋转的性质可得出EC=FC ，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS 证出△FCD ≌△ECG ，进而即可得出DF=GE ，再根据点G 为AC 的中点，即可得出EG 的最小值．【详解】取线段AC 的中点G ，连接EG，如图所示．8AC BC == ，60BCA ∠= ，ABC ∴为等边三角形，且AD 为ABC 的对称轴，142CD CG AB ∴===，60ACD ∠= ，60ECF ∠= ，FCD ECG ∴∠=∠．在FCD 和ECG 中，FC EC FCD ECG DC GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，FCD ∴ ≌()ECG SAS ，DF GE ∴=．当//EG BC 时，EG 最小，点G 为AC 的中点，∴此时11224EG DF CD BC ====．故答案为2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出.DF GE =本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键．13．如图，等边△AOB 的边长为4，点P 从点O 出发，沿OA 以每秒1个单位的速度向点A 匀速运动，当点P 到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．将线段BP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转60°得点C ，点C 随点P 的运动而运动，连接CP 、CA ．在点P 从O 向A 运动的过程中，当△PCA 为直角三角形时t 的值为.【答案】2或83【详解】如图（1）过点P 作PD ⊥OB 于点D ，过C 作CE ⊥OA 于E ，∴∠PDO=∠PEC=90°，∵∠O=60°，∴∠OPD=30°，∴OD=12t ，∴BD=4-12t ，，∵线段BP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转60°得点C ，∴∠BPC=60°，BP=2PC ，∵∠OPD=30°，∴∠BPD+∠CPE=90°，∴∠DBP=∠CPE ，∴△PCE ∽△BPD ，∴CE PE PC PD BD PB==，11242PE t ==-，∴，PE=2-14t ，OE=2+34t ，如图（2）当∠PCA=90度时，作CF ⊥PA ，∴△PCF ∽△ACF ，∴△PCF ∽△ACF ，∴PF CF CF AF =，∴CF 2=PF•AF ，∵PF=2-14t ，AF=4-OF=2-34t ，，）2=（2-14t ）（=2-34t ），∴t=2，这时P 是OA 的中点；如图（3）当∠CAP=90°时，此时OA=OE ，∴2+34t=4，∴t=83，故答案为2或83.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，等边三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质等，正确地添加辅助线，求出OE 的长是解题的关键.二、解答题14．在平面直角坐标系中，A （a ，0）、B （b ，0），且a ，b 满足26930a a b -+++=，C 、D 两点分别是y 轴正半轴、x 轴负半轴上的两个动点；（1）如图1，若C （0，4），求△ABC 的面积；（2）如图1，若C （0，4），BC =5，BD=AE ，且∠CBA=∠CDE ，求D 点的坐标；（3）如图2，若∠CBA =60°，以CD 为边，在CD 的右侧作等边△CDE ，连接OE ，当OE 最短时，求A ，E 两点之间的距离．【答案】（1）△ABC 的面积为12；（2）D 点的坐标为（-2，0）；（3）A ，E 两点之间的距离为32【分析】（1）利用完全平方式和绝对值的性质求出a ，b ，然后确定A 、B 两点坐标，从而利用三角形面积公式求解即可；（2）根据题意判断出CBD DAE △≌△，从而得到CB AD =，然后利用勾股定理求出CB ，及可求出结论；（3）首先根据“双等边”模型推出DCB ECA ≌，得到120DBC EAC ∠=∠=︒，进一步推出AE BC ∥，从而确定随着D 点的运动，点E 在过点A 且平行于BC 的直线PQ 上运动，再根据点到直线的最短距离为垂线段的长度，确定OE 最短时，各点的位置关系，最后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）∵26930a a b -+++=，∴()2330a b -++=，由非负性可知，3030a b -=⎧⎨+=⎩，解得：33a b =⎧⎨=-⎩，∴()3,0A ，()3,0B -，()336AB =--=，∵()0,4C ，∴4OC =，∴11641222ABC S AB OC ==⨯⨯= ；（2）由（1）知()3,0A ，()3,0B -，∴OA OB =，∵OC AB ⊥，∴90AOC BOC ∠=∠=︒，在AOC 和BOC 中，OA OB AOC BOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AOC BOC SAS △≌△，∴CBO CAO ∠=∠，∵CDA CDE ADE BCD CBA ∠=∠+∠=∠+∠，CBA CDE ∠=∠，∴ADE BCD ∠=∠，在BCD △和ADE V 中，BCD ADE CBD DAE BD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BCD ADE AAS ≌，∴CB AD =，∵()3,0B -，()0,4C ，∴3OB =，4OC =，∴5BC ==，∴5AD BC ==，∵()3,0A ，∴()2,0D -；（3）由（2）可知CB =CA ，∵∠CBA =60°，∴△ABC 为等边三角形，∠BCA =60°，∠DBC =120°，∵△CDE 为等边三角形，∴CD =CE ，∠DCE =60°，∵∠DCE =∠DCB +∠BCE ，∠BCA =∠BCE +∠ECA ，∴∠DCB =∠ECA ，在△DCB 和△ECA 中，CD CE DCB ECA CB CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()DCB ECA SAS ≌，∴120DBC EAC ∠=∠=︒，∵12060180EAC ACB ∠+∠=︒+︒=︒，∴AE BC ∥，即：随着D 点的运动，点E 在过点A 且平行于BC 的直线PQ 上运动，∵要使得OE 最短，∴如图所示，当OE ⊥PQ 时，满足OE 最短，此时∠OEA =90°，∵120DBC EAC ∠=∠=︒，60CAB ∠=︒，∴60OAE EAC CAB ∠=∠-∠=︒，30AOE ∠=︒，∵()3,0A ，∴3OA =，∴1322AE OA ==，∴当OE 最短时，A ，E 两点之间的距离为32．【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等边三角形的判定与性质等，理解平面直角坐标系中点坐标的特征，掌握等腰或等边三角形的性质，熟练使用全等三角形的判定与性质是解题关键．15．在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6．点E'在BC边上且BE'＝4，将B E'绕点B逆时针旋转a°得到BE（0°＜a＜180°）．(1)如图1，当∠EBA＝90°时，求S△BCE；(2)如图2，在旋转过程中，连接CE，取CE中点F，作射线BF交直线AD于点G．①求线段BF的取值范围；②当∠EBF＝120°时，求证：BC﹣DG＝2BF；(3)如图3．当∠EBA＝90°时，点S为线段BE上一动点，过点E作EM⊥射线AS于点M，N为AM中点，直接写出BN的最大值与最小值．=6；【答案】(1)S△BCE(2)①1＜BF＜5；②证明见解答；(3)BNBN的最大值为【分析】（1）如图1，过点E 作EF ⊥BC 交CB 的延长线于点F ，根据题意求得∠EBF =180°-∠EBA -∠ABC =180°-90°-60°=30°，再根据特殊直角三角形的性质进而求得BC 上的高EF =2，代入面积公式算出结果；（2）①如图，在线段FG 上截取FK =BF ，连接EK 、CK ，可证得四边形BCKE 是平行四边形，得出：BE =CK =BE '=4，BC =6，再运用三角形三边关系即可求得答案；②可证△EKB ≌△BGA （AAS ），得出BK =AG ，由AG =AD -DG ，即可推出结论；（3）连接AE ，取AE 的中点P ，PA 的中点Q ，连接BP 、NP 、NQ 、BQ ，可证△ABE 是等腰直角三角形，得出：AE AB P 是AE 的中点，可得：BP ⊥AE ，且BP =AP =EP ，利用勾股定理得BQ，当B 、Q 、N 三点共线时，BN 的最小值=BQ -NQ，当点S 与点E 重合时，EM =0，PN =0，此时，BN 的最大值=BP 【详解】（1）解：如图1，过点E 作EH ⊥BC 交CB 的延长线于点H ，∴∠EHC =90°，∵∠ABC =60°，∠EBA =90°，∴∠EBH =180°-∠EBA -∠ABC =180°-90°-60°=30°，∵点E '在BC 边上且BE '=4，将B E '绕点B 逆时针旋转α°得到BE ，∴BE =B E '=4，∴EH =12BE =12×4=2，又∵BC =6，∴S △BCE =12BC •EH =12×6×2=6；（2）解：①如图，在线段FG 上截取FK =BF ，连接EK 、CK ，∵EF=FC，BF=FK，∴四边形BCKE是平行四边形，∴BE=CK=BE'=4，BC=6，在△BCK中，BC-CK＜BK＜BC+CK，∴6-4＜BK＜6+4，即2＜2BF＜10，∴1＜BF＜5；②证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC=60°，AB=4，∴∠A=180°-∠ABC=180°-60°=120°，AD∥BC，AD=BC，BE=AB，∵∠EBF=120°，即∠EBK=120°，∴∠EBK=∠A，∵EK∥BC，∴EK∥AD，∴∠EKB=∠BGA，在△EKB和△BGA中，EKB BGAEBK ABE AB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EKB≌△BGA（AAS），∴BK=AG，由①知：BK=2BF，又∵AG=AD-DG，∴2BF =BC -DG ；（3）解：连接AE ，取AE 的中点P ，PA 的中点Q ，连接BP 、NP 、NQ 、BQ ，∵∠ABE =90°，AB =BE =4，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE ，∵点P 是AE 的中点，∴BP ⊥AE ，且BP =AP =EP ，∵N 是AM 的中点，P 是AE 的中点，∴PN 是△AEM 的中位线，∴PN ∥EM ，∴∠ANP =∠AME =90°，∵点Q 是AP 的中点，∴QN =PQ =12AP在Rt △BPQ 中，BQ =当B 、Q 、N 三点共线时，BN 的最小值=BQ -NQ 当点S 与点E 重合时，EM =0，PN =0，此时，BN 的最大值=BP 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．16．如图，线段AB ＝10cm ，C 是线段AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），在AB 上方分别以AC 、BC 为边作正△ACD 和正△BCE ，连接AE ，交CD 于M ，连接BD ，交CE 于N ，AE 、BD 交于H ，连接CH .(1)求sin ∠AHC ；(2)连接DE ，设AD ＝x ，DE ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式；(3)把正△BCE 绕C 顺时针旋转一个小于60°的角，在旋转过程中H 到△DCE 的三个顶点距离和最小，即HC +HD +HE 的值最小，HC +HD +HE 的值总等于线段BD 的长.若AC ＝，旋转过程中某一时刻2AH ＝3DH ，此刻△ADH 内有一点P ，求PA +PD +PH 的最小值.【答案】(1)2；(2)y0＜x ＜10）；【分析】（1）过点C 作CT ⊥AE 于点T ，CR ⊥BD 于点R ，先证△ACE ≌△DCB 得∠CAM ＝∠HDM ，由直角三角函数可得sin sin ＝CT CA CAM CD HDM CR ∠=∠= ，从而得CH 平分∠AHB ，进而求得∠AHC ＝∠BHC ＝60°即可求解；（2）如图2中，如图，过点D 作DP ⊥CE 于点P ，先由三角函数求得CP ＝12CD ＝12x ，DP ＝2x ，又由AB ＝10cm ，得CE ＝CB ＝（10﹣x ）cm ，进而得PE ＝|10﹣x ﹣12x |＝|10﹣32x |，最后由勾股定理即可求得y 与x 之间的函数关系式；（3）如图3中，以AD 为边向外作等边△ADW ，连接WH ，由题意WH 是PA +PD +PH ．过点D 作DS ⊥AH 于H ，过点W 作WG ⊥AD 于点G ，过点H 作HK ⊥AD 于K ，过点W 作WQ ⊥HK 于点Q ．假设AH ＝3k ，DH ＝2k ，由勾股定理得AH ＝6，DH ＝4，DSHKDKWQ ＝KGGW ＝KWHQWH 的长即PA +PD +PH 的最小值．【详解】（1）解：过点C 作CT ⊥AE 于点T ，CR ⊥BD 于点R．∵△ADC ，△ECB 都是等边三角形，∴CA ＝CD ，CE ＝CB ，∠ACD ＝∠ECB ＝60°，∴∠ACE ＝∠DCB ，在△ACE 和△DCB 中，CA CD ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴∠CAM ＝∠HDM ，∵CT ⊥AE ，CR ⊥BD ，∴sin sin ＝CT CA CAM CD HDM CR ∠=∠= ，∴CH 平分∠AHB ，∵∠AMC ＝∠DMH ，∴∠AHM ＝∠ACM ＝60°，∴∠AHC ＝∠BHC ＝60°，∴sin ∠AHC ＝2；（2）解：如图2中，如图，过点D 作DP ⊥CE 于点P ．∵AC ＝CD ＝x （cm ），∠DCE ＝60°，∴CP ＝12CD ＝12x ，DP ，∵AB ＝10cm ，∴BC ＝AB ﹣AC ＝（10﹣x ）cm ，∴CE ＝CB ＝（10﹣x ）cm ，∴PE ＝|10﹣x ﹣12x |＝|10﹣32x |，∴y ＝DE （0＜x ＜10）；（3）解：如图3中，以AD 为边向外作等边△ADW ，连接WH ，由题意WH 是PA +PD +PH ．过点D 作DS ⊥AH 于H ，过点W 作WG ⊥AD 于点G ，过点H 作HK ⊥AD 于K ，过点W 作WQ ⊥HK 于点Q ．∵2AH ＝3DH ，∴可以假设AH ＝3k ，DH ＝2k ，∵∠DHS ＝60°，DS ⊥AH ，∴SH ＝12DH ＝k ，DS ，AM ＝2k ，∵AD 2＝AS 2+DS 2，∴（）2＝（2k ）2+）2，∴k ＝2（负根已经舍弃），∴AH ＝6，DH ＝4，DS∵12•AH •DS ＝12•AD •HK ，∴HK ＝7，DK 7，∵AG ＝DG WQKG 是矩形，∴WQ ＝KG GW ＝KW∴HQ ＝KH +KQ ＝7，∴WH ＝∴PA +PD +PH 的最小值为【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题是解本题的关键．17．在学习了图形的旋转知识后，某数学兴趣小组对教材中有关图形旋转的问题进行了进一步探究．（1）问题梳理，问题呈现：如图1，点D 在等边ABC 的边BC 上，过点C 画AB 的平行线l ，在l 上取CE BD =，连接AE ，则在图1中会产生一对旋转图形．请结合问题中的条件，证明：ABD ACE ≌△△；（2）初步尝试：如图2，在ABC 中，AB AC =，点D 在BC 边上，且BD DC <，将ABD △沿某条直线翻折，使得AB 与AC 重合，点D 与BC 边上点F 重合，再将ACF △沿AC 所在直线翻折，得到ACE △，则在图2中会产生一对旋转图形．若30BAC ∠=︒，6AD =，连接DE ，求ADE V 的面积；（3）深入探究：如图3，在ABC 中，60ACB ∠=︒，75BAC ∠=︒，6AC =，点D 是边BC 上的任意一点，连接AD ，将线段AD 绕点A 按逆时针方向旋转75°，得到线段AE ，连接CE ，求线段CE 长度的最小值．【答案】（1）见解析；（2）9；（3）【分析】（1）根据△ABC 是等边三角形，可得AB ＝AC ，∠BAC ＝∠B ＝60°，进而利用SAS 可证明△ABD ≌△ACE ．（2）如图2，过点E 作EH ⊥AD 于H ，由翻折可得△ACE ≌△ABD ≌△ACF ，可得AE ＝AD ＝6，EH ＝3，再运用S △ADE ＝12×AD ×EH ，即可求得答案．（3）如图3中，在AB 上截取AN ＝AC ，连接DN ，作NH ⊥BC 于H ，作AM ⊥BC 于M ．利用SAS 证明△EAC ≌△DAN ，推出当DN 的值最小时，EC 的值最小，求出HN 的值即可解决问题．【详解】（1）如图1，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝∠B ＝60°，∵CE ∥AB ，∴∠ACE ＝∠BAC ＝60°，∴∠B ＝∠ACE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC B ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ）；（2）如图2，过点E 作EH ⊥AD 于H，∵由翻折可得：△ACF ≌△ABD ，△ACE ≌△ACF ，∴△ACE ≌△ABD ≌△ACF ，∴AE ＝AD ＝6，∠CAE ＝∠BAD ，∴∠DAE ＝∠BAC ＝30°，∵EH ⊥AD ，∴EH ＝12AE ＝3，∴S △ADE ＝12×AD ×EH ＝12×6×3＝9；（3）如图3中，在AB 上截取AN ＝AC ，连接DN ，作NH ⊥BC 于H ，作AM ⊥BC 于M．∵∠CAB ＝∠DAE ，∴∠EAC ＝∠DAN ，∵AE ＝AD ，AC ＝AN ，∴△EAC ≌△DAN （SAS ），∴CE ＝DN ，∴当DN 的值最小时，EC 的值最小，在Rt △ACM 中，∵∠ACM ＝60°，AC ＝6，∴30CAM ∠=︒,∴132CM AC ==,∴AM∵∠MAB ＝∠BAC −∠CAM ＝75°−30°＝45°，∴AMB 为等腰直角三角形，∴AB=，∴NB ＝AB −AN ＝−6，在Rt △NHB 中，∵∠B ＝45°，∴NBH △为等腰直角三角形，∴NH根据垂线段最短可知，当点D 与H 重合时，DN 的值最小，∴CE 的最小值为．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．18．（一）发现探究在△ABC中AB＝AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ；【发现】如图1如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是；【探究】如图2，如果点P为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；（二）拓展应用【应用】如图3，在△DEF中，DE＝6，∠EDF＝60°，∠DEF＝90°，P是线段EF上的任意一点连接DP，将线段DP绕点D顺时针方向旋转60°，得到线段DQ，连接EQ请求出线段EQ长度的最小值．【答案】【发现】BQ＝PC；【探究】BQ＝PC仍然成立，证明见解析；【应用】线段EQ长度的最小值为3．【分析】[发现]先判断出∠BAQ＝∠CAP，进而用SAS判断出△BAQ≌△CAP，即可得出结论；[探究]结论BQ＝PC仍然成立，理由同【发现】的方法；[应用]在DF上取一点H，使DH＝DE，连接PH，过点H作HM⊥EF于M，构造出△DEQ≌△DHP，得出EQ＝HP，当HP⊥EF（点P和点M重合）时，EQ最小，求HM即可．【详解】[发现]由旋转知，AQ＝AP，∵∠PAQ＝∠BAC，∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，∴∠BAQ＝∠CAP，∵AB＝AC，∴△BAQ≌△CAP（SAS），∴BQ＝CP，故答案为：BQ＝PC；【探究】结论：BQ＝PC仍然成立，理由：由旋转知，AQ＝AP，∵∠PAQ＝∠BAC，∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，∴∠BAQ＝∠CAP，∵AB＝AC，∴△BAQ≌△CAP（SAS），∴BQ＝CP，【应用】如图3，在DF上取一点H，使DH＝DE，连接PH，过点H作HM⊥EF于M，由旋转知，DQ＝DP，∠PDQ＝60°，∵∠EDF＝60°，∴∠PDQ＝∠EDF，∴∠EDQ＝∠HDP，∴△DEQ≌△DHP（SAS），∴EQ＝HP，求EQ最小，就是求HP最小，当HP⊥EF（点P和点M重合）时，HP最小，最小值为HM，∵∠EDF＝60°，∠DEF＝90°，∴∠F＝30°，∵DE＝6，∴DF＝2DE＝12，∵DH＝DE=6，∴FH＝6，∵∠F＝30°，∴HM=3．线段EQ长度的最小值为3．．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，恰当的作辅助线，把所求线段转化为与动点P有关的线段，根据垂线段最短确定线段位置是解本题的关键．。

中考专题立体图形中的最短路径问题

中考复习专题1——立体几何中的最短路径问题姓名：（蚂蚁沿阶梯、正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题）1、台阶问题如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？2、圆柱问题有一圆形油罐底面圆的周长为24m ，高为6m ，一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？变式1：有一圆柱形油罐，已知油罐底面圆周长是12m ，高AB是5m ，要从点A处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达A 点的正上方B 处，问梯子最短有多长？变式2：桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的 B 处时，突然发现了蜜糖。

问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。

3、正方体问题如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是（）. （A ）3 （B ） 5 （C ）2 （D ）1A BABcABCABD C D 1C 1①421AC 1=√42+32=√25;②A B B 1CA 1C 1412AC 1=√62+12=√37;A B 1D 1D A 1C 1③412AC 1=√52+22=√29 .4、长方体问题如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？分析：展开图如图所示，372925<<路线①即为所求。

小结：长、宽、高中，较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边，斜边长即为最短路线长。

5、圆锥问题如图，已知O 为圆锥的顶点，MN 为圆锥底面的直径，一只蜗牛从M 点出发，绕圆锥侧面爬行到N 点时，所爬过的最短路线的痕迹（虚线）在侧面展开图中的位置是（）．练习：1、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为。

初中数学中考复习专题最短路径问题 24张

A●
●
A' ●
P
B ● l
最短路径问题是初中阶段图论研究中的经典算法问题，旨在寻找图（有结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径算法形式包括：
一、确定起点的最短路径问题
二、确定终点的最短路径问题
三、确定起点、终点的最短路径问题
四、全局最短路径问题
问题原型 “将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”
作B关于l 的对称点B ＇,作直线 A B＇与l 交点即为P
．
图形
原理
三角形任意两边之差小于第三边︱PA-PB︱≤AB＇．︱PA-PB︱最大值＝AB＇
问题12 “费马点”
作法
图形
原理
所求点为“费马点”，
既满足
△ABC中每一内角都小于
∠APB=∠BPC=∠ APC=1200.以AB、
1200，在 △ABC内求一
AM+MN+NB的值最小．
作点A关于l2的对称点A＇，作点B关于l1的对称点B＇，连A ＇B＇交l2于M
，交l1于N．
图形
原理
两点之间线段最短．
AM+MN+NB 的最小值为线段A＇B＇的
长
问题9
作法
A
B l
在直线l上求一点P，使︱PAPB︱的值最小
连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P
AC为边向外作等边 △ABD、△ACE,连
点P，使

CD、BE相交于P，
PA+PB+PC最点P即为所求点.
小．
两点之间线段最
短.PA+PB+ PC最小值
=CD.
随堂练习一
如图,已知正方形ABCD，点M为BC边的中点，