水动力学及习题经典讲解
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a xd d u t u t u xd d x t u yd d y t u zd d z tut uuxvu ywuz
ay vtu xvv yvw vz az w tu w xv w yw w z
！流线能反映瞬时的流动方向 流线不能相交，不能为折线。
流线的性质：
a.同一时刻的不同流线，不能相交。因为根据
流线定义， 在交点的液体质点的流速向量 应同时与这两条流线相切，即一个质点有两个 速度向量，这显然矛盾的、不成立的。
b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲 线。因为流体是连续介质，各运动要素 是空间的连续函数。
注意: 严格的恒定流只可能发生在层流，在紊流中，由于流 动的无序，其流速或压强总有脉动，但若取时间平均流速 （时均流速）U(或V)，若其不随时间变化，则认为该紊流 为恒定流。
（2）非恒定流（unsteady flow）：又称非定常流，是指流 场中的流体流动空间点上各水力运动要素中，只要有任何一 个随时间的变化而变化的流动。
在的空间位置坐标，称为拉格朗日变
（t0）
量。
O M （a，b，c）
x
uxu(a,b,c,t) t
vyv(a,b,c,t) t
y
液体质点在任意时刻的速度。
wzw(a,b,c,t) t
其u 中 u x,v ： u y,w u z
• 加速度分量可写为
u 2x(a,b ,c,t) axax(a,b ,c,t) t t2
ax
dux(x, y, z,t) dt
ay
dv(x, y,z,t) dt
az
dwΒιβλιοθήκη Baidu(x, y,z,t) dt
？ 若x，y，z为常数，t为变数， ？ 若t 为常数， x，y，z为变数， ？ 若针对一个具体的质点，x，y ，z ，t均为
变数，且有 x（t），y （t） ，z （t） ，
质点通过流场中任意点的加速度
水动力学及习题
本章主要介绍与液体运动有关的基本概念及液体运 动所遵循的普遍规律并建立相应的方程式。
主要内容包括： 描述液体运动的两种方法 欧拉法的若干基本概念 恒定一元流的连续性方程式 实际液体恒定总流的能量方程式 能量方程式的应用举例 实际液体恒定总流的动量方程式 恒定总流动量方程式的应用举例
• 拉格朗日方法是跟随流体质点的研究方法，它关注的 是每个质点的具体历程。
x x(a,b,c,t) 空间坐标： y y ( a , b , c , t )
z z(a,b,c,t)
若给定a，b，c，即为某一质点的运 动轨迹线方程。
z (t)
其中：a，b，c为t=t0起始时刻质点所
M/（x，y，z）
§3.1 流体运动的描述方法
研究流体流动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法
• 拉格朗日法 ——以研究单个液体质点的运动过程作为 基础，综合所有质点的运动，构成整个液体的运动。
• 拉格朗日方法（lagrangian method）是以流场中每一流 体质点作为描述对象的方法，它以流体个别质点随时 间的运动为基础，通过综合足够多的质点（即质点系） 运动求得整个流动。——质点系法
• 流场运动要素是时空（x,y,z,t）的连续函数
pp(x,y,z,t)
uu(x,y,z,t)
vv(x,y,z,t)
ww(x,y,z,t)
x，y，z，t 称为欧拉变数 （量）
z
t 时刻
M （x，y，z） O
x
在工程流体力学中多采用欧拉法。
y
u u(x, y, z,t) v v(x, y, z,t) w w(x, y, z,t)
欧拉加速度 质点的加速度（流速对时间求导）由两部分组成： （1）时变加速度（当地加速度）（local acceleration）——流 动过程中流体由于速度随时间变化而引起的加速度； （2）位变加速度（迁移加速度）（connective acceleration）— —流动过程中流体由于速度随位置变化而引起的加速度。 由于位置又是时间t的函数，所以流速是t的复合函数，对流速 求导可得加速度:
• 欧拉法（Euler method）是以流体质点流经流场中各空间点 的运动即以流场作为描述对象研究流动的方法——流场法。
• 它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动液体质点的 空间——流场为对象。
• 研究各时刻质点在流场中的变化规律。将个别流体质点运动 过程置之不理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空 间中的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多的 空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流 线密集的地方流速大，稀疏的地方流速 小）。因为对不可压缩流体，元流的流 速与其过水断面面积成反比。
2、恒定流和非恒定流 （1）恒定流（steady flow）：又称定常流，是指流场中的空 间点上各水力运动要素均不随时间而变化。
对于恒定流来说：
三者都等于0。
（3）注意 a.在非恒定流情况下，流线的位置随时间而 变；流线与迹线不重合。 b.在恒定流情况下，流线的位置不随时间而 变，且与迹线重合。
c.在非恒定流情况下，位变加速度（迁移加 速度）与时变加速度（局地加速度）都不为 零。 d.在恒定流情况下，时变加速度（局地加速 度）为零，位变加速度（迁移加速度）可以 不为零。
ayay(a,b ,c,t) v t2y(a ,tb 2,c,t) azaz(a,b ,c,t) w t2z(a ,tb 2,c,t)
由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而实用上也无 须知道个别质点的运动情况，所以除了少数情况（如 波浪运动）外，在工程流体力学中很少采用拉格朗日 法。
等号右边第一项是时变加速度（局地加速度）；后三项 是位变加速度（迁移加速度）。
为什么？
§3.2 流体流动的基本概念 1、迹线与流线
迹线(path line)某一质点在某一时段内的运动 轨迹线。图中烟火的轨迹为迹线。
流线（stream line）是表示某一瞬时流场中各 空间点上流体质点的流动趋势的曲线，曲线上 任一点的切线方向与该点的流速方向重合。图 为流线谱中显示的流线形状。
ay vtu xvv yvw vz az w tu w xv w yw w z
！流线能反映瞬时的流动方向 流线不能相交，不能为折线。
流线的性质：
a.同一时刻的不同流线，不能相交。因为根据
流线定义， 在交点的液体质点的流速向量 应同时与这两条流线相切，即一个质点有两个 速度向量，这显然矛盾的、不成立的。
b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲 线。因为流体是连续介质，各运动要素 是空间的连续函数。
注意: 严格的恒定流只可能发生在层流，在紊流中，由于流 动的无序，其流速或压强总有脉动，但若取时间平均流速 （时均流速）U(或V)，若其不随时间变化，则认为该紊流 为恒定流。
（2）非恒定流（unsteady flow）：又称非定常流，是指流 场中的流体流动空间点上各水力运动要素中，只要有任何一 个随时间的变化而变化的流动。
在的空间位置坐标，称为拉格朗日变
（t0）
量。
O M （a，b，c）
x
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vyv(a,b,c,t) t
y
液体质点在任意时刻的速度。
wzw(a,b,c,t) t
其u 中 u x,v ： u y,w u z
• 加速度分量可写为
u 2x(a,b ,c,t) axax(a,b ,c,t) t t2
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？ 若x，y，z为常数，t为变数， ？ 若t 为常数， x，y，z为变数， ？ 若针对一个具体的质点，x，y ，z ，t均为
变数，且有 x（t），y （t） ，z （t） ，
质点通过流场中任意点的加速度
水动力学及习题
本章主要介绍与液体运动有关的基本概念及液体运 动所遵循的普遍规律并建立相应的方程式。
主要内容包括： 描述液体运动的两种方法 欧拉法的若干基本概念 恒定一元流的连续性方程式 实际液体恒定总流的能量方程式 能量方程式的应用举例 实际液体恒定总流的动量方程式 恒定总流动量方程式的应用举例
• 拉格朗日方法是跟随流体质点的研究方法，它关注的 是每个质点的具体历程。
x x(a,b,c,t) 空间坐标： y y ( a , b , c , t )
z z(a,b,c,t)
若给定a，b，c，即为某一质点的运 动轨迹线方程。
z (t)
其中：a，b，c为t=t0起始时刻质点所
M/（x，y，z）
§3.1 流体运动的描述方法
研究流体流动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法
• 拉格朗日法 ——以研究单个液体质点的运动过程作为 基础，综合所有质点的运动，构成整个液体的运动。
• 拉格朗日方法（lagrangian method）是以流场中每一流 体质点作为描述对象的方法，它以流体个别质点随时 间的运动为基础，通过综合足够多的质点（即质点系） 运动求得整个流动。——质点系法
• 流场运动要素是时空（x,y,z,t）的连续函数
pp(x,y,z,t)
uu(x,y,z,t)
vv(x,y,z,t)
ww(x,y,z,t)
x，y，z，t 称为欧拉变数 （量）
z
t 时刻
M （x，y，z） O
x
在工程流体力学中多采用欧拉法。
y
u u(x, y, z,t) v v(x, y, z,t) w w(x, y, z,t)
欧拉加速度 质点的加速度（流速对时间求导）由两部分组成： （1）时变加速度（当地加速度）（local acceleration）——流 动过程中流体由于速度随时间变化而引起的加速度； （2）位变加速度（迁移加速度）（connective acceleration）— —流动过程中流体由于速度随位置变化而引起的加速度。 由于位置又是时间t的函数，所以流速是t的复合函数，对流速 求导可得加速度:
• 欧拉法（Euler method）是以流体质点流经流场中各空间点 的运动即以流场作为描述对象研究流动的方法——流场法。
• 它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动液体质点的 空间——流场为对象。
• 研究各时刻质点在流场中的变化规律。将个别流体质点运动 过程置之不理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空 间中的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多的 空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流 线密集的地方流速大，稀疏的地方流速 小）。因为对不可压缩流体，元流的流 速与其过水断面面积成反比。
2、恒定流和非恒定流 （1）恒定流（steady flow）：又称定常流，是指流场中的空 间点上各水力运动要素均不随时间而变化。
对于恒定流来说：
三者都等于0。
（3）注意 a.在非恒定流情况下，流线的位置随时间而 变；流线与迹线不重合。 b.在恒定流情况下，流线的位置不随时间而 变，且与迹线重合。
c.在非恒定流情况下，位变加速度（迁移加 速度）与时变加速度（局地加速度）都不为 零。 d.在恒定流情况下，时变加速度（局地加速 度）为零，位变加速度（迁移加速度）可以 不为零。
ayay(a,b ,c,t) v t2y(a ,tb 2,c,t) azaz(a,b ,c,t) w t2z(a ,tb 2,c,t)
由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而实用上也无 须知道个别质点的运动情况，所以除了少数情况（如 波浪运动）外，在工程流体力学中很少采用拉格朗日 法。
等号右边第一项是时变加速度（局地加速度）；后三项 是位变加速度（迁移加速度）。
为什么？
§3.2 流体流动的基本概念 1、迹线与流线
迹线(path line)某一质点在某一时段内的运动 轨迹线。图中烟火的轨迹为迹线。
流线（stream line）是表示某一瞬时流场中各 空间点上流体质点的流动趋势的曲线，曲线上 任一点的切线方向与该点的流速方向重合。图 为流线谱中显示的流线形状。