韩信点兵(同余问题)

二信点兵例1我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

例2有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23….它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，….除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，….它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9，….一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.如果我们把问题改变一下：有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数是几？不求被12除的余数，而是求这个数是几？.很明显，这个数最小是5，满足条件的数是很多的，它们是5＋12×n (n=0，1，2，3…)，事实上，我们首先找出5后，注意到12是3，4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.题目中提出的条件有三个，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.例3朝末年，楚汉相争.信帅1500名将士与楚王大将锋交战。

苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是信整顿兵马也返回大本营。

当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。

只见远方尘土飞扬，杀声震天。

汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。

信急速点兵迎敌。

他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。

信马上向将士们宣布：我军有1073人，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。

一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.解：第1步先列出满足其中一个条件的数（一般从小到大），即除以3余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，…，第2步再列出满足其中第二个条件的数，即除以5余3的数：3，8，13，18，23，28，….第3步归纳前面第3步首先出现的公共数是8.8就是满足除以3余2，除以5余3的最小的那个数。

3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8＋15×n (n=0，1，2，…)。

列出这一串数是8，23，38，…，第4步再列出满足其中第三个条件的数，即除以7余2的数2，9，16，23，30，…，第5步归纳第3步第4步得到的数列。

就得出符合题目条件的最小数是23. 事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个。

3，5，7的最小公倍数是105 ，满足三个条件的所有数是23+105×n(n=0，1，2，…)第6步那么信点的兵在1000-1100之间，应该是23+105×10=1073人如果你随便拿一把蚕豆（数目约在100粒以），假如3粒一数余1粒，5粒一数余2粒，7粒一数余2粒，那么，原有蚕豆有多少粒呢？中国剩余定理（信点兵）的计算方法是：第1步用3个一数剩下的余数，将它乘以70（因为70既是5与7的倍数，又是以3去除余1的数）；第2步用5个一数剩下的余数，将它乘以21（因为21既是3与7的倍数，又是以5去除余1的数）；第3步7个一数剩下的余数，将乘以15（因为15既是3与5的倍数，又是以7去除余1的数），第4步将这些数加起来，若超过105（105是3,5,7的最小公倍数），就减掉105，如果剩下来的数目还是比105大，就再减去105，直到得数比105小为止。

这样，所得的数就是原来的数了。

根据这个道理，你可以很容易地把前面的题目列成算式：1×70＋2×21＋2×15－105 ＝142－105 ＝37因此，可以知道，原来这一堆蚕豆有37粒。

【例4】求最小非负整数N，使他在除以5,7,11以后所得余数分别是a,b,c。

【信点兵法口诀的原理】①能被7,11除尽数是77k,当k=3，即231除5正好余1，231a 除5正好余a。

②能被5,11除尽数是55k,当k=6，即330除7正好余1，330b 除7正好余b。

③能被5,7除尽数是35k,当k=6，即210除11正好余1，210c 除11正好余c。

那么231a+330b+210c 除以5,7,11以后所得余数一定分别是a,b,c。

5,7,11的最小公倍数是385，根据【符合要求的最小数N必满足0≤N＜385】，所以当231a+330b+210c 大于或等于385时，还必须减去若干个385 直到比385小为止，才可以得到符合题意要求的最小数。

【说明】231a+330b+210c + 385k 也一定满足“除以5,7,11以后所得余数分别是a,b,c”。

【例5】求最小非负整数N，使他在除以5,7,11以后所得余数分别是3,5,7。

【解】231a+330b+210c=231×3+330×5+210×7=3813.因为3813＞385，所以减去9个385后，得到比385小的3813-9×385=348 就是符合题意的最小非负整数了这些题可转化为余数问题解决。

如果你知道中国剩余定理，可直接用，如果不知道，也没有关系，可采取余数常用方法，先找一个最小的满足第一个数，然后调整一下满足第二个数，再调整满足第三个数。

在调整时，一定不要改变你前面已经满足的数的特点，每次加前面已经满足的数的最小公倍数，这样它的余数就不会被改变。

课堂练习(用上面介绍的两种方法)1 有一个数，除以3余1，除以5余3，问这个数除以16余几？2 信带1500名兵士打仗，战死四五百人。

信令活着的兵士3人站一排，多出2人；5人站一排，多出4人；7人站一排，多出6人。

信有多少士兵？人数：10493 有一堆苹果五个五数剩3，七个七数剩1，九个九数剩2，这堆苹果最少有多少个？？？同余问题上面的问题，也有人称为“信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中的解同余式。

一同余的定义：如果两个正整数a和b除以n后余数相同，那么我们就说a和b关于模n同余，记作：a ≡b (mod n) 读作a与b同余，mod为n。

或者a同余于b模m表示同余关系的数学表达式，与等式相似。

将等式中的等号“=”换成同余符号“≡”，在式尾缀以(mod n) 注明模n（即除数），就是同余式。

含有未知数的同余式叫做同余方程，求未知数的值就是解同余式。

上面求到余数的和或者积，如果比除数大，所求的余数等于余数的和或者积再除以c的余数。

三弃九法原理：++++=是不是正确的检验算式12341898189226789671789028899231234除以9的余数为1，1898除以9的余数为8，18922除以9的余数为4，678967除以9的余数为7，178902除以9的余数为0，这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。

即：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

这个特性，不仅可以检验几个数相加的结果有没有错误，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。

例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。

(注)X6000能够被8除尽，故（2）式里不列出它先试除得3对19可除尽，把1919个2对19一组折算成为3对19一组，即3838个19。

3837个可以除尽，剩下下一个就是余数。

97+23=120 答；除数与余数的和是120练习1 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【解析】被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115，所以被除数=2083-115=1968．2已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10即1998的约数，同时还要满足大于10这个条件．这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，319982337=⨯⨯，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11个．3有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数． 【解析】 (法1) 39336-=，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．4有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______． 【解析】 (70110160)50290++-=，50316......2÷=，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，11058 1......52÷=，5052>，所以除数不是58．7029 2......12÷=，11029 3......23÷=，16029 5......15÷=，50152312=++，所以除数是295用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________． 【解析】 n 能整除258251299163=-++．因为2538...1÷=，所以n 是258大于8的约数．显然，n 不能大于63．符合条件的只有43．6一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？ 【解析】 这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90164254+=后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是25422034-=的约数，又大于10，这个自然数只能是17或者是34．如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17，那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17．7甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A 除甲数所得余数是A 除乙数所得余数的2倍，A 除乙数所得余数是A 除丙数所得余数的2倍．求A 等于多少？ 【解析】 根据题意，这三个数除以A 都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：11603A K r ÷= 22939A K r ÷= 33393A K r ÷=由于122r r =，232r r =，要消去余数1r ， 2r ， 3r ，我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减． 这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4． 于是我们可以得到下面的式子：11603A K r ÷= ()22939222A K r ⨯÷= ()33393424A K r ⨯÷= 这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被A 整除．93926031275⨯-=，3934603969⨯-=，()1275,96951317==⨯．51的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以A 等于17．820032与22003的和除以7的余数是________．【解析】 找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…，2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222⨯+=，所以20032除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以22003除以7余1．故20032与22003的和除以7的余数是415+=．【巩固】2008222008+除以7的余数是多少？【解析】 328=除以7的余数为1，200836691=⨯+，所以200836691366922(2)2⨯==⨯＋，其除以7的余数为：669122⨯=；2008除以7的余数为6，则22008除以7的余数等于26除以7的余数，为1；所以2008222008+除以7的余数为：213+=．【例 1】 (2009年走美初赛六年级)有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？【解析】 由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，……可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数． 由于200954014÷=，所以前2009个数中，有401个是5的倍数．【巩固】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？【解析】 斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0．【例 2】 (1997年全国小学数学奥林匹克试题)将12345678910111213......依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是 ________．【解析】 本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和．19～共有9个数字，1099～共有90个两位数，共有数字：902180⨯= (个)， 100999～共900个三位数，共有数字：90032700⨯= (个)，所以数连续写，不会写到999，从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，(19979180)3602......2--÷=，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位．从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来．因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：702978÷= (组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为9-27 =．【例 3】 有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和．【解析】 本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数．因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以9的余数分别为1和8，所以等式一边除以9的余数为8，那么□1031除以9的余数也必须为8，□只能是3．将31031分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，即31031311001143217=⨯=⨯所以两个三位数是143和217，那么两个三位数的和是360【例 4】 设20092009的各位数字之和为A ，A 的各位数字之和为B ，B 的各位数字之和为C ，C 的各位数字之和为D ，那么D =？ 【解析】 由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以20092009与A 、B 、C 、D 除以9都同余，而2009除以9的余数为2，则20092009除以9的余数与20092除以9的余数相同，而6264=除以9的余数为1，所以()334200963345652222⨯+==⨯除以9的余数为52除以9的余数，即为5．另一方面，由于20092009803620091000010<=，所以20092009的位数不超过8036位，那么它的各位数字之和不超过9803672324⨯=，即72324A ≤；那么A 的各位数字之和9545B <⨯=，B 的各位数字之和9218C <⨯=，C 小于18且除以9的余数为5，那么C 为5或14，C 的各位数字之和为5，即5D =．同余补充练习1有四个自然数A 、B 、C 、D ，它们的和不超过400，并且A 除以B 商是5余5，A 除以C 商是6余6，A 除以D 商是7余7。