小学奥数韩信点兵典型例题和解题思路

合集下载

23小学六年级奥数第二十三讲：韩信巧点兵

第二十三讲：韩信巧点兵例1．一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求满足条件的最小数。

例2．有一队少先队员，一至三报数余2人，一至五报数余3人，一至七报数余4人。

这队少先队员有多少人？例3．有一筐鸡蛋，每次取出5只，最后还剩3只；每次取出6只，最后还剩2只；每次取出其不7只，最后还剩1只。

这筐鸡蛋至少有多少只？例4．在1000以内，除以4余3，除以5余2，除以7余4，的最大数是几？例5．在1000以内，除以5余3，除以7余6，除以9余7的数有多少个？例6．一个三位数，除以7余1，除以8余2，除以9余3，求该数。

例7．我国古代算术中有一道“韩信点兵”的题：有卫兵若干，列成五行纵队，末行一人；列成六行纵队，末行五人；列成七行纵队，末行四人；列成十一行纵队，末行十人。

求至少有卫兵多少人？例8．一个数被2除余a, 被3除余b, 被5除余c, 被7除余d.这个数最少是多少？第二十三讲：韩信巧点兵练习姓名_____________ 2011.7.8 1．一个数被3除余2, 除以5余4，除以7余5，求适合条件的最小数。

2．有一箱橘子，每次取出3只，最后还剩1只；每次取出5只，最后还剩2只；每次取出7只，最后还剩3只。

这箱橘子至少有多少只？3．在2000~5000之间，除以3余1，除以5余3，除以7余4的数有多少个？4．有兵100多人，如排成三列不多也不少，如排成五列则少2人；如排成七列则少4人。

一共有多少人？5．七数剩一，八数剩二，九数剩四，问本数。

（杨辉《续古摘奇算法》）6．召开学生座谈会，每组五人则多1人，每组六人则多2人，每组七人则缺4人，至少有学生多少人？7．水果箱内有苹果若干只，每次取出3只，最后还剩1只；每次取出5只或八只，最后都剩4只；水果箱里至少有苹果多少只？8．把几十个苹果平均分成若干份，每份9个余8个，每份8个余7个，每份4个余3个。

这堆苹果共有多少个？9．有一堆棋子，三个三个地数，最后还剩二个；十三个十三个地数，最后还剩三个；十九个十九个地数，最后还剩五个。

韩信点兵应用题1

1、兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？2、老年人跳广场舞，4人一排余2个，5个人一排余3人，9个人一排余下4人，问有多少老人？3、操场上有一群学生，3个3个的数多2个，4个4个的数多3个，7个7个的数多5个，问至少有几个学生？4、班长小英让N个同学去种树，已知树苗总数不足100，如果每名同学种7棵，则余下5棵，如果每名同学种8棵，则有一名同学只种6棵。

问有多少棵树？N是多少？有一个数，除以7余2，除以8余4，除以9余3，这个数至少是多少？2、582除以一个数所得的不完全商是11，并且除数与余数的差是6，除数、余数各是多少？3、63285与70352的积被7除，余数是多少？4、阳历1992年1月1日是星期三，阳历2004年1月1日是星期几？5、甲、乙、丙、丁四个小朋友玩报数游戏，从1起按下面顺序进行：甲报1、乙报2、丙报3、丁报4、丙报5、乙报6、甲报7、乙报8、丙报9……这样，报2003这个数的是谁？6、节日的街上挂起了长长的一排彩灯，共有2013盏，从第1盏开始，按照5盏红灯，4盏黄灯，3盏蓝灯，2盏绿灯，不断地排下去。

问：(1)第1982盏灯是什么颜色？(2)蓝灯共有多少盏？7、两个数相除商5余3，如果被除数、除数都扩大到原来的2倍，则被除数、除数、商、余数之和为101，求原来的被除数和除数？8、有一类自然数，其中每个数与3的和都是5的倍数，与4的差都是7的倍数，这类自然数中最小是多少？9、50以内被5除余2，被6除余5的数是什么？10、有一些物品，如果3个3个的数，最后剩2个；如果5个5个的数，最后剩3个；如果7个7个的数，最后剩2个；求这些物品一共有多少？11、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。

求适合这些条件的最小的数。

12、一个数除以3余2，除以5余2，除以7余4，求适合这些条件的最小的数。

13、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合这些条件的最小的数。

韩信点兵同余问题

二韩信点兵例1我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

例2有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23….它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，….除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，….它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9，….一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.如果我们把问题改变一下：有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数是几？不求被12除的余数，而是求这个数是几？.很明显，这个数最小是5，满足条件的数是很多的，它们是5＋12×n (n=0，1，2，3…)，事实上，我们首先找出5后，注意到12是3，4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.题目中提出的条件有三个，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.例3秦朝末年，楚汉相争.韩信帅1500名将士与楚王大将李锋交战。

苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。

当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。

只见远方尘土飞扬，杀声震天。

汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。

韩信急速点兵迎敌。

他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。

韩信马上向将士们宣布：我军有1073人，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。

韩信点兵程序实例

算法：解决问题的方法与步骤。每一步都必须是确定的、能行的、不能有二义性。
穷举法就是通过把需要解决问题的所有可能情况逐一试验来找出符合条件的解的方法，是效率最低的一种算法，优点是思路简单，编程容易。每位同学都启动Visual Basic 程序设计环境，输入程序代码，并调试运行。
分析问题(找出已知和未知、列出已知和未知之间的关系)
写出解题步骤
结果
分析问题和解题步骤
——算法1：穷举法求解
分析问题(找出已知和未知、列出已知和未知之间的关系)
写出解题步骤
1、令X为1 2、如果X整除3余1，X整除5余2 设所求的数为X，，X整除7余4，这就是题目要求则X应满足：的数，则记下这个X X整除3余1 3、令X为X+1（为算下一个作准 X整除5余2 备） X整除7余4 4、如果算出，则结束；否则跳穷举法转2 5、写出答案
士兵数：67
拓展
“韩信点兵”问题2：求整除3余1、整除5余2、整除7余4、整除13余6、整除17余8的最小自然数。上机任务二：分析上述问题并写出算法，修改程序，调试运行，检测结果。
士兵数：18232
小结

用计算机程序解决问题的基本过程
设计算法编写程序调试程序检测结果
分析问题

人工解题与计算机解题的异同点
解析法与穷举法应用实例
韩信点兵
韩信是我国西汉初著名的军事家，刘邦得天下，军事上全依靠他。韩信点兵，多多益善，不仅如此，还能经常以少胜多，以弱胜强。在与楚军决战时韩信指挥诸侯联军，在垓下十面埋伏，击败楚军，楚霸王项羽因此自杀。韩信说：“如果每3个人编为一队，那最后剩下1 个人；如果每5个人编为一队，那最后剩下2个人；如果每7个人编为一队，最后剩下4个人。请你自己算一下，我有多少士兵？”（假设士兵总数不超过100人）

韩信点兵

韩信点兵例今有物不知其数，凡三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思为：一个数除以3余2，，除以5余3，除以7余2，求适合这个条件的最小数。

解答方法一：先分别求出能被5和7整除而被3除余1的数（70），能被3和7整除而被5除余1的数（21），能被3和5整除而被7除余1的数（15），然后用原题中被3、5、7除所得的余数2、3、2分别去乘70、21、15，再把所得的积相加。

70×2＋21×3＋15×2＝233例1一个数除以3余2，，除以5余2，除以7余4，求适合这个条件的最小数。

例2一个数除以5余3，，除以6余4，除以7余1，求适合这个条件的最小数。

解答方法二［6、7］=42 而42÷5余2 并且2×（4）=8 8÷5余3 所以取42×4=168［5、7］=35 而35÷6余5 并且5×（2）=10 10÷6余4 所以取35×2=70［5、6］=30 而30÷7余2 并且2×（4）=8 8÷7余1 所以取30×4=120168+70+120=358 而［5、6、7］=210 358—210=148 所以：适合条件的数为148。

例3 篮子里有鸡蛋若干只，每次取出3只，最后剩1只；每次取出5只，最后剩2只；每次取出7只，最后剩3只；问篮子里至少有多少只鸡蛋？例4 一个自然数被7、8、9除分别余1、2、3，并且三个商数的和使570，求这个自然数。

例5 有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1，这个数除以12余数是几？例6 卫兵一队列成5行纵队，末行1人；列成6行纵队，末行5人；列成7行纵队，末行4人；列成11行纵队，末行10人；求兵数。

课后练习：1 一个数除以3余2，，除以5余3，除以7余4，求适合这个条件的最小数。

2 一筐苹果，三三数之余一，四四数之余三，五五数之不足一只，这筐苹果最少有几只?3 召开学生座谈会，每组5人则多1人，每组6人则多2人，每组7人则多3人，问至少有多少个学生？4 某班学生若4人一组多1人，5人一组正好分，6人一组少3人，这个班最少有几人？5 用一辆卡车运货，如果每次运9袋余1袋，如果每次运8袋余3袋，如果每次运7袋余2袋，问这批货物至少有多少袋？6 今有物不知其数，九九数之，八八数之，七七数之……三三数之，二二数之皆余一，问物至少几何？7 篮子里有鸡蛋若干只，每次取出3只，最后剩2只；每次取出5只，最后剩3只；每次取出7只，最后剩1只；问篮子里至少有多少只鸡蛋？8 有铅笔若干支，若按12支一扎多11支，按15支一扎多14支，原有铅笔多少支？9 箩筐里有一批橘子，三个三个一数余一个，五个五个一数余四个，七个七个一数余二个，箩筐里原有多少个橘子？10 一个数除以5余数是2，除以3余数是1，这个数除以15余数是几？11 一排吊灯，3个3个的数剩2个，4个4个的数剩3个，6个6个的数剩5个，这排吊灯至少有几个？12 某数被2、3、4、5、6除都余1，正好被7整除，求符合条件的最小数。

穷举法—韩信点兵

穷举法—韩信点兵1. 问题描述：韩信点兵。

韩信有⼀队兵，他想知道有多少⼈，便让⼠兵排队报数。

按从1⾄ 5报数，最末⼀个⼠兵报的数为1；按从1⾄6报数，最末⼀个⼠兵报的数为5；按从 1⾄ 7报数，最末⼀个⼠兵报的数为 4；按从 1⾄ 11报数，最末⼀个⼠兵报的数为 10。

你知道韩信⾄少有多少兵吗？2、【算法思想】设兵数为x，则按题意x应满⾜下述关系式：x%5 ==1 && x%6==5 &&x %7==4 && x%11==10采⽤穷举法对x从 1开始试验，可得到韩信⾄少有多少兵。

3、代码实战：穷举法，设置标志find#include<stdio.h>#include "stdlib.h"int main( ){int x =1;int find = 0; /*设置找到标志为假*/while (!find){if (x % 5 == 1 && x % 6 == 5 && x % 7 == 4 && x % 11 == 10){find = 1;}x++;printf(" x = %d\n", x);}system("pause"); /*解决快闪问题*/}运⾏结果：（运⾏结果是从1—找到的最⼩数）4、其他代码：goto1 #include<stdio.h>2 #include "stdlib.h"3int main( )4 {5int x ;6for(x=1; ;x++)7 {8if(x % 5 == 1 && x % 6 == 5 && x % 7 == 4 && x % 11 == 10 ) 9 { printf("最⼩值是x= %d\n ",x);10goto end;11 }12 }13 end:;14 system("pause");15 }break语句执⾏代码1 #include<stdio.h>2 #include "stdlib.h"3int main( )4 {5int x ;6for(x=1; ;x++)7 {8if(x % 5 == 1 && x % 6 == 5 && x % 7 == 4 && x % 11 == 10 ) 9 { printf("最⼩值是x= %d\n ",x);10break;11 }12 }1314 system("pause");15 }结果相同，不再赘述。

奥数韩信点兵

[阅读材料]世界名题与小升初之：韩信点兵问题在各类竞赛中，各类小升初考试中相关的世界名题出现的概率极高，这是由小升初与数学竞赛的特点决定，这特点便是：知识性，趣味性，思想性相结合。

例1：韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然後再加3，得9948（人）这个数就满足要求。

韩信点兵问题，是后人对物不知其数问题的一种故事化。

这个问题俗为［韩信点兵］，又叫做「秦王暗点兵」、「鬼谷算」、「隔墙算」、「剪管术」、「神奇妙算」、「大衍求一术」等等），它属于数论(Number theory) 中的「不定方程问题」(Indeterminate equations)。

例2：物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。

在《孙子算经》里（共三卷，据推测约成书于公元400年左右），下卷的第26题，就是鼎鼎有名的「孙子问题」原题为："今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何？"这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。

如果三件三件地数，就会剩下两件；如果五件五件地数，就会剩下三件；如果七件七件地数，也会剩下两件。

问：这批物品共有多少件？变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2。

求这个数。

这个问题很简单：用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。

这个问题之所以简单，是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。

韩信点兵问题的初等解法

韩信点兵问题的初等解法
“韩信点兵”的由来
据说有一次韩信出兵千余人打仗，让军士清点人数，军士回报说：士兵们站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。

韩信稍加思索就得到了准确的士兵数量：1049人。

这个小故事就成为了“韩信点兵”问题的由来了。

事实上，早在《孙子算经》当中就曾经出现过类似的问题：
今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
用“韩信点兵”的表达方式就是：每3个士兵站一排，那么就多出来2个人；每5个士兵站一排，就多出来3个人；每7个士兵站一排，就多出来2个人。

那么士兵总共有多少人？
大家可以发现这两道题的相似之处了吧，这就是“韩信点兵”问题通常的题目结构，在数学上属于初等数论当中的“解同余式”问题。

“韩信点兵”的解题思路
通常我们接触到的这类题目都会出现3个左右的同余式。

我们简单的解题技巧就是两两处理已知条件。

实际上对于这个问题是可以利用口诀进行解题的，即：
三人同行七十稀，五树梅花二十一。

七子团圆正半月，除百零五便得知。

这个口诀其实是针对《孙子算经》中那道题目的一个通用解题规则的，四句话意思是：
三人同行七十稀：将除以3的余数乘以70
五树梅花二十一：将除以5的余数乘以21
七子团圆正半月：将除以7的余数乘以15（正半月即15）
除百零五便得知：将以上三个数字相加，求得这个和除以105的余数。

这样就很容易知道《孙子算经》当中所要求的数为23了。

韩信点兵类似题解题思路

韩信点兵类型题解题思路题目：站队：如：每队3人多2人，每队5人多4人，每队7人多5人，最少有多少人？如果在1000——1200人之间，这个数是多少？分物体：如：2个2个地分多1个，5个5个地分多3个，9个9个地分多6个，最少多少个？如果在200——400个之间，这个数是多少？等类似题思路：总的数除以A，余几（A′）；除以B，余几（B′）；除以C，余几（C′）方法：1、首先找被A和B整除（也就是AB的最小公倍数），被C 除余1 的数是多少，以AB乘积翻倍去找，直到找到满足被C 除余1用这个数×C′=D2、再找被A和C整除（也就是AC的最小公倍数），被B除余1 的数是多少，以AC乘积翻倍去找，直到找到满足被B除余1用这个数×B′=E3、再找被B和C整除（也就是BC的最小公倍数），被A除余1 的数是多少，以BC乘积翻倍去找，直到找到满足被A除余1用这个数×A′=F4、找ABC最小公倍数是多少（G）5、（D+E+F）÷G=H……KK就是这题的答案（最少的这个数），如果指定在某一范围内，则用G（ABC的最小公倍数）乘以整数倍后加上K（保证得数在指定的范围内的数），就是答案。

例题：一堆苹果，每次拿3个最后剩余2，每次拿7个最后剩3个，每次拿8个最后剩5个，问这堆苹果最少是多少？如果个数在800到1000之间，这堆苹果是多少个？解答：1、首先找被3和7整除（21），被8 除余1 的数（21、42、63、84、105……）是105 105×5=5252、被3和8整除（24），被7除余1 的数是（24、48、72、96、120……）是120120×3=3603、被7和8整除（56），被3除余1 的数是（56、112……）是112112×2=2244、3和7和8两两互质的整数故其最小公倍数是168（525+360+224）÷168=6 (101)101就是最少的苹果数。

人教版五年级下册数学奥数-韩信点兵(课件)

A-4满足是9的倍数
所以：A-4=20k-2-4
有满足k的值，使20k-2-4能被9整
除
当k=1时，带入式子中 A-4=20×1-2-4=14不符合当k=2时，带入式子中 A-4=20×2-2-4=34不符合当k=3时，带入式子中 A-4=20×3-2-4=54 符合
A=54+4 A=58
答：至少有58个老人。
整除
当k=1时，带入式子中 A-1=30×1-2-1=27不符合当k=2时，带入式子中 A-1=30×2-2-1=57不符合当k=3时，带入式子中 A-1=30×3-2-1=87不符合当k=4时，带入式子中 A-1=30×4-2-1=117不符合
当k=5时，带入式子中 A-1=30×5-2-1=147符合
A=15 答：这个数最小为15.
例2、一百多个苹果，3个3个数多2个，5个5个数剩2个，7个7 个数缺5个，则苹果有多少个！
解：设苹果有A个.
A÷3...2
A-2满足3的倍数
A÷5...2
A-2满足5的倍数
A÷7...2
A-2满足7的倍数
3、5和7的最小公倍数是105，
A-2=105×k=105k
A=147+1=148
例6.老年人跳广场舞，4人一排余2个，5个人一排余3人，9个人一排余下4人，问至少有多少老人？
解：设至少有A个老人.
A÷4...2
A+2满足4的倍数
A÷5...3
A+2满足5的倍数
A÷9...4
A-4满足9的倍数
4和5的最小公倍数是20，
A+2=20×k=20k
A =20k-2
练习题3：某数除以7余6，除以5余1，除以11余3，求此数最小值。

韩信点兵数学题

韩信点兵数学题公元前202年，刘邦率军攻打楚国，而楚王项羽听信谗言，派遣将领韩信前去抢夺荆州，此时刘邦已经率领大部分军队前往攻打襄阳，只留下3万人守卫荆州，而韩信率领20余万楚军进攻荆州。

刘邦听说此事，便让将军邹阳前去协助抵抗，但荆州城仅半日便被攻陷，荆州守将伍翕只身逃脱。

面对强大的楚军，邹阳决定出奇制胜，派出间谍韩信前去窃听楚军军情。

韩信前往楚军营地，偷听得到楚王项羽的点兵数：三人一排、四人余二、五人余三、六人一排。

韩信把数目记在腰带上，趁夜回到刘邦军营。

当韩信向邹阳报告楚军的点兵数时，邹阳很快就弄明白了他是怎么记下这些数字的，并看出了楚军的实力。

邹阳决定利用这些信息来计算出楚军的兵力，以制定有效的作战计划，但他并不知道楚军的精确人数，所以他请求韩信帮他解决这个难题。

于是，韩信开始思考这个数学问题，他的计算依据4个方程式：1. 三人一排，余x，当排数为n时，总人数为3n+x。

2. 四人余二，当排数为m时，总人数为4m+2。

3. 五人余三，当排数为p时，总人数为5p+3。

4. 六人一排，当排数为q时，总人数为6q。

韩信想到了用这些方程来求解楚军的人数，他认为：每个方程都是一个线性同余方程，可以直接通过计算求解x的值，再带入相应的方程式即可求出楚军的人数。

韩信迅速解出了4个余数分别是2、3、0和5，这些余数分别对应第1、2、3、4个方程式，于是他可以通过计算5p+3和4m+2的公倍数，来确定原有的战士人数。

其他3个方程式的余数并不需要用到。

韩信解算后得出，楚军的人数为：20×3+2=62×4+2=26×5+3=113×6=66。

邹阳看到计算结果后，深感惊讶，因为楚军的最终人数比他预料的要少得多。

他感慨万分，这说明了韩信不仅智谋非凡，而且数学能力也非常突出，这是一个完美的将领应该具备的优秀素质。

本题的解法，可以通过解线性同余方程的方法来解决。

套用韩信解题的公式，我们可以写出：3n+x ≡ 2(mod 4)3n+x ≡ 3(mod 5)3n+x ≡ 0(mod 6)根据同余原理，我们可以将最后一行转化为：3n ≡ -x(mod 6)然后，代入第二个方程式中，得到：x ≡ 3n+3(mod 5)再代入第一个方程式中，得到：3n+3 ≡ 2(mod 4)将上式化简得到：n ≡ 3(mod 4)然后将n的值代入上面的方程中，可以解得x的值为2。

韩信点兵问题

韩信点兵问题韩信点兵问题又称“中国剩余定理”或“孙子定理”。

这种问题好多老师的讲解方法很笨拙，同学们做起来也很吃力，不少好学生在考试时，用了大量的时间研究这道题，为了提高我们的解题速度及正确率，现将我的经验和解题技巧提供给大家。

这类问题的解法根据是：1、如果被除数增加除数的若干倍，除数不变，那么余数不变。

例如：19÷7=2 (5)（19+2×7）÷7=4 (5)2、如果被除数扩大若干倍，除数不变，那么余数也扩大同样的倍数。

例如：20÷9=2 (2)（20×3）÷9=6 (6)例1、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1.求适合这些条件的最小数。

【5，6】=30 因为30÷7=4……2 不余1，要想余数为1，就得将余数2扩大4倍，即被除数扩大4倍，得30×4=120，所以120除以7余1。

【5，7】=35 因为 35÷6=5……5 ，要想余数为4，就得将余数5扩大2倍，那么被除数30就得扩大2倍，即35×2=70所以70÷6余4.【6，7】=42 因为42÷5=8……2 要想符合题中要求余3的话，余数2就得扩大4倍，即被除数扩大4倍，得42×4=168，168除以5余3.现找到的符合题中条件的一个数为：120+70+168=358 ，但不是最小的数，要想最小，就得减去除数5、6、7的最小公倍数，直到不够减为止。

【5，6，7】=210 ， 358-210=148 ，所以答案为148完整的算式为：【5，6】=30 30÷7=4……2 30×4=120【5，7】=35 35÷6=5……5 35×2=70【6，7】=42 42÷5=8……2 42×4=168【5，6，7】=210120+70+168=358 358-210=148答：符合条件的最小的数是148.注：也可能会出现四个除数，不管有几个除数，都是用其它几个数的最小公倍数除以另外一个数，再找符合该条件的余数的被除数。

用图片详细讲小学奥数题-韩信点兵

余数都为2满足题目条件，即汤姆最少有2张积分卡。
②汤姆积分卡的数量大概是一百多，题目可理解为：求100~200间满足分别除以4、5、7 余数都2的数。
即转化为求4、5、7的公倍数再加上余数2 [4，5，7] = 140 + 2 = 142。（题目要求最少多少张积分卡，取最小公倍数）
韩信点兵—同补
韩信点兵—逐级满足（二）
有这样一个数：除以4余3，除以5余3，除以7余6，求满足条件最小的数是多少？
第一步：根据前两个条件“除以4余3”、“除以5余3”，可以“同余”的方法解得：3、23、43、63、83、103。第二步：从“3、23、43、63、83、103”中寻找满足“除以7余6”的数为：83。
用图片详细讲小学奥数题
韩信点兵—同余
汤姆有一些积分卡，4张4张地数还剩2张，5张5张地数也剩2张，7张7张的数还是剩2张，问： ①汤姆最少有几张积分卡？ ②如果积分卡的数量大概是一百多，那么汤姆最少有多少张积分卡？
①假设汤姆有未知数X张积分卡，则X满足： X ÷ 4 的余数为2 X ÷ 5 的余数为2 X ÷ 7 的余数为2
①除以7余5的最小自然数是5，依次加7后，这五个自然数分别是5、12、19、26、33
②”除以7余5”从①中可得，再满足“除以5余1”即定位该自然数为26，再加上[5，7]的最小公倍数35，所以答案为：26，61，96。（两个条件逐级满足） ③题利用①和②的思路，先求出100以内“满足除以5余3”的数，根据这个结果再求出“满足除以8余4”的数为：2样一个数：除以3余2，除以5余3，除以7余4，求满足条件最小的数是多少？
第一步：可以先从“除以7余4”条件入手（余4最大），得到一串数字为：4、11、18、25、32、39、46、53、60、67、74、81…… 第二步：分析同时满足“除以5余3”的情况，筛选第一步中那串数字还剩下：18、53…… 第三步：继续分析同时满足“除以3余2”的情况，筛选第二步中那串数字还剩下：53…… 最终可得满足题目三个条件的最小的数是：53。

小学数学应用题分类解题--韩信点兵应用题

小学数学应用题分类解题－韩信点兵问题汉代大将韩信擅长用兵。

听说韩信每当军队集合，他只要求手下士兵作1~3、1~五、1~7报数后，报告一下特各次的余数，即可知道出操公倍数和缺额。

这个问题及其解法，大世界数学史上颇负盛名，中外数学家都称之为“孙子定理”或“中国剩余定理”。

这类问题的解题依据是：1、如果被除数增加(或减少)除数的若干倍，除数不变，那么余数不变。

例如：20÷3=6 (2)(20-3×5)÷3=21 (2)(20+3×15)÷3=1 (2)2、如果被除数扩大(缩小)若干倍，除数不变，那么余数也扩大(缩小)同样的倍数。

例如：20÷9=2 (2)(20×3)÷9=6 (6)(20÷2)÷9=1 (1)例1、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。

求适合这些条件的最小的数。

1、求出能被5和7整除，而被3除余1的数，并把这个数乘以2。

70×2=1402、求出能被3和7整除，而被5除余1的数，并把这个数乘以3。

21×3=633、求出能被5和3整除，而被7除余1的数，并把这个数乘以2。

15×2=304、求得上面三个数的和140+63+30=2335、求3、57的最小公倍数［3、5、7］=1056、如果和大于最小公倍数，要从和里减去最小公倍数的若干倍233–105×2=23例2、一个数除以3余2，除以5余2，除以7余4，求适合这些条件的最小的数。

解法一：70×2+21×2+15×4=242［3、5、7］=105242–105×2=32解法二、35+21×2+15×4=137［3、5、7］=105137–105=32例3、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合这些条件的最小的数。

1、因为［6、7］=42，而42÷5余2，根据第二个依据，42×4÷5应余8(2×4)，实际余3，所以取42×4=1682、因为［7、5］=35，而35÷6余5，则取35×2=703、［5、6］=30,30÷7余2，则取30×4=1204、［5、6、7、］=2105、168+70+120–210=148例4、我国古代算书上有一道韩信点兵的算题：卫兵一队列成五行纵队，末行一人；列成六行纵队末行五人；列成七行纵队，末行四人；列成十一行纵队，末行十人。

四年级数学A班奥数专题-“韩信点兵”出新招

四年级数学A班奥数专题->“韩信点兵”出新招（韩信点兵）有兵3万多，若均分成5营，则余1人；均分成6营，则余5人；均分成7营，则余4人；均分成11营，则余10人；均分成13营，则余5人。

求兵数。

这是我国古代的一道著名算题，用有关同余的理论来解答此题比较简便，但用整除的知识来解答确也是一个好方法。

解设兵数为x，由题目可知：①30000＜x＜40000②“均分成5营，则余1人”使我们知道：x的末尾数字是1或6，然后又均分成6营，余5人，因5是奇数，6是偶数，所以x末尾数字不可能为6，只可能为1。

抓住“均分成6营，则余5人”和“均分成13营，则余5人”就得到：13|（x-5）、6|（x-5），因（13，6）=1，所以78|（x-5），且经计算商的范围在385和512之间，若设商为n，那么兵数x可以表示为78n＋5（385≤n≤512），x的末尾数字是1，那么x-5的末尾数字一定是6，（x-5）÷78的商n的末尾数字也只能是2或7，这就是说x可能为：30191、30581、30971、31361、31751、32141……39941（相邻两数之差是390）。

但由于“均分成7营，则余4人；均分成11营，则余10人”，因此还得将以上的数检验一下，为了方便起见，可用数的整除特征来检验。

当检验得知32141符合题意时，还得继续往下检验，因为有可能不止这一个数，但不必重复前面的步骤。

具体做法如下：32141-10=32131，又32131＋390m＜40000，则m≤20，已知11|32131，如11|390m，就有11|32131＋390m，仅当m=11时。

则从中可知36431除以11余10，但用来除以7时并不余4，而是余3，表明x=36431是不符合题意的。

由此就可确定此题有唯一解，即x=32141。

六年级奥数思维训练韩信巧点兵

六年级奥数思维训练韩信巧点兵
汉代有位大将叫韩信。

他每次集合部队，只要求部下先后按l～3、1～5、1～7报数，然后再报告一下各队报数的余数，他就知道到了多少人。

他的这种巧妙算法，人们称为鬼谷算，或称为韩信点兵，外国人还称它为“中国剩余定理”。

到了明代，数学家程大位用诗歌概括了这一算法：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。

这首诗的意思是：用3除所得的余数乘上70，加上用5除所得余数乘以21，再加上用7除所得的余数乘上15，结果大于105就减去105的倍数，这样就知道所求的数了。

训练营地
1、韩信让士兵排成3列纵队，余2人；排成5列纵队，余2人，排成7列纵队，余4人。

已知士兵人数在300至400人之间，求这队士兵的人数。

2、一篮鸡蛋，三个三个地数余1，五个五个地数余2，七个七个地数余3，篮子里有鸡蛋多少个？
3、新华小学订了若干张《中国少年报》，如果三张三张地数，余数为1张；五张五张地数，余数为2张；七张七张地数，余数为2张。

新华小学订了多少张《中国少年报》呢？
4、小红暑假期间帮着张二婶放鸭子，她总也数不清一共有多少只鸭子。

她先是3只3只地数，结果剩3只；她又5只5只地数，结果剩4只；她又7个7个地数了一遍，结果剩6只。

她算来算去还是算不清一共有多少只鸭子。

小朋友，请你帮着小红算一下，张二婶一共喂着多少只鸭子？。

五年级第五讲韩信点兵

第五讲韩信点兵一、学法指导我国古代“算经十书”之一的《孙子算经》中，有这样一道题：“今有物不知其数，凡三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这就是著名的韩信点兵问题，这道题的意思是，一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合这个条件的最小数。

在带余数的除法中，被除数= 除数×商+余数。

由此可以推出我们常用到的下列性质：1.一个自然数n被另一个自然数m除时，余数只可能是：0，1，2，……，（m-1）。

2.如果两个整数a、b除以同一个数m，而余数相同（即同余），那么a和b的差能被m整除。

3.如果除数不变，同余的两个被除数扩大同样的倍数后，仍然同余；同余的两个数分别加上除数的倍数后，余数不变。

4. 如果整数a和b除以自然数m，所得余数相同，那么a n和b n除以m，所得的余数也相同。

二、例题：例1、有一堆苹果，不论分成5个一堆，还是8个一堆，最后都多出2个。

这堆苹果至少有多少个？例2、一个自然数，除以4余2，除以10余8，除以25余23.这个数最小是多少？例3、一堆糖果，4个一数多1个，9个一数多4个，11个一数多9个，这堆糖果至少有多少个？例4、一个数，除以5余1，除以7余2，除以9余4. 这个数最小是多少？例5、某班同学排队，如果每队3人，就多出1人；每排5人，就多出3人；每排7人，就多出2人.这个班至少有多少同学？例6、学生们在操场上列队做操，只知道人数在90～110之间。

如果排成3列则人数不多也不少；如排成5列则少2人；如排成7列则少4人，问其有学生多少人？例7、如果某数除492，2241，3195都余15，那么这个数是多少？例8、713，1103，830，947被某一自然数除，所得余数相同（不为零），求除数。

三、练习A卷、基本能力训练1.同学们做操,无论排成6人一行,8人一行,10人一行,最后一行都只站3人。

至少有多少人做操?2.一个整数,除以8缺3,除以12余5，除以18余5.这个数最小是多少?3.一个数除以5余4,除以9余7.这个数最小是多少?4.一个数,除以3余2,除以5余4,除以7余3,这个数最小是多少?5.一个数除以3余1, 除以5余3,除以7余4,这个数最小是多少?6.一个数除以6余1,除以11余4,这个数最小是多少?7.在1—100中,哪个自然数除以3,除以5都余1.且能被7整除?8.有一堆小棒,9根一捆多7根.10根一捆多8根.15根一捆多13根。