十、立体几何

十、 立体几何1．右图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的体积为__________．323π⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭2．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积 相等，那么这个圆锥的母线长为___________cm ．173．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为__________．328π4．设地球的半径为R ，已知赤道上两地B A ,间的球面距离为R 2π，若A 地为东经 0，则B 地的经度为 ．东经︒90或西经︒905．若棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点都在球O 的表面上，则A ，1A 两点之间的球面距离为 ．31arccos 236．（2012年高考（上海理））若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为_________ ．[解析] 如图,ππ2221=l ⇒l =2,又2πr2=πl =2π⇒r =1, 所以h=3,故体积ππ33231==h r V ．7．（2012．6金山高二）直线l 上有两点到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是 ． 平行、相交、直线在面内8．（2012．6金山高二）若球O 1、O 2的表面积之比为12S S =9，则它们的半径之比12RR = ．39．（2012年高考（江苏））如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,3cm AB AD ==,12cm AA =,则四棱锥11A BB D D -的体积为____cm 3． 【答案】6．【解析】∵长方体底面ABCD 是正方形,∴△ABD 中=32BD cm,BD 边上的高是322cm(它也是11A BB D D -中11BB D D 上的高)．∴四棱锥11A BB D D -的体积为133222=632⨯⨯⨯．10．（2012年高考（上海春））已知空间三条直线.l m n 、、若l 与m 异面,且l 与n 异面,则（ ） A ．m 与n 异面． B ．m 与n 相交． C ．m 与n 平行． D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能． D 11．（2012．5浦东三模文）下列命题正确的是（ ）A ． 三点确定一个平面；B ． 三条相交直线确定一个平面；C ． 对于直线a 、b 、c ，若,a b b c ⊥⊥，则//a c ；D ． 对于直线a 、b 、c ，若//,//a b b c ，则//a c ． 【答案】D 12．（2012．6青浦高二）有下列四个命题：（1）过平面α外一点，有且只有一个平面与α垂直； （2）互相平行的二直线在同一平面内的射影必是平行线；DABC1C1D1A1B（3）直线l 上存在两个不同的点到平面α的距离相等是α//l 的必要非充分条件； （4）平面α内存在无数条直线与已知直线l 垂直是α⊥l 的充分非必要条件． 其中正确命题的个数是（ ）．A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4A 13．（2012．5松江三模）如右图所示，在正三棱锥V ABC -中，,,DEF 分别是 ,,VC VA AC 的中点，P 为VB 上任意一点，则直线DE 与PF 所成的角的大小是（ ） A ．030 B ． 090 C ． 060 D ．随P 点的变化而变化．B14．下列命题正确的是（ ） A ． 三点确定一个平面； B ． 三条相交直线确定一个平面；C ． 对于直线a 、b 、c ，若,a b b c ⊥⊥，则//a c ；D ． 对于直线a 、b 、c ，若//,//a b b c ，则//a c ． D15．已知空间三条直线a b m 、、及平面α，且a 、b ≠⊂α．条件甲：,m a m b ⊥⊥；条件乙：m ⊥α，则“条件乙成立”是“条件甲成立”的（ ）A ．充分非必要条件．B ．必要非充分条件．C ．充要条件．D ．既非充分也非必要条件．A 16．（上海理17）设54321,,,,A A A A A 是空间中给定的5个不同的点，则使054321=++++MA MA MA MA MA 成立的点M 的个数为 ( )A ．0B ．1C ．5D ．10 B 17．（2012年高考（上海春））如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1,高为2,M 为线段AB 的中点．求:(1)三棱锥1C MBC -的体积;(2)异面直线CD 与1MC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)解(1)1111224ABC S ∆=⨯⨯=,又1CC 为三棱锥1C MBC -的高,11111123346C MBC ABC V S CC -∆∴=⋅=⨯⨯=(2)//CD AB ,所以1C MB ∠或其补角为导面直线CD 与1MC 所成的角．连接1,B C A B ⊥ 平面11,BCC B AB BC ∴⊥,在1Rt MBC ∆中,11415,2BC MB =+==15tan 2512C MB ∠==,故1arctan 25C MB ∴∠=,即异面直线CD 与1MC 所成的角为arctan 2518．（20121．5嘉定三模文改）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，2=AB ，41=AA ，E 为棱1BB 的中点．（1）求三棱柱111C B A ABC -的表面积S ； （2）求异面直线E A 1与BC 所成角的ABCDA 1B 1C 1D 1M大小（结果用反三角函数值表示）； （3）求点1A 到平面11B BCC 的距离；（4）若点F 为棱1CC 的中点，求二面角11B EF A --的大小 （结果用反三角函数值表示）．（1）32432=⋅=∆ABC S ， 2446=⨯=侧S ． 所以侧S S S ABC +=∆22432+=．（2）取1CC 中点F ，连结EF 、F A 1．因为EF ∥BC ，所以EF A 1∠就是异面直线E A 1与 BC 所成角（或其补角）． 在△EF A 1中，2=EF ，2211==F A E A ，42cos 1=∠EF A ． 所以异面直线E A 1与BC 所成角的大小为42arccos ．（3）3（4）23arctan19．（20121．5嘉定三模理）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，2==BC AC 且BC AC ⊥，直线B A 1与平面11B BCC 所成角的大小为33arcsin ． （1）求三棱锥111BC A B -的体积； （2）求点C 到平面11BC A 的距离．（1）解法一：由1111C B C A ⊥，C C C A 111⊥得⊥11C A 平面11B BCC ，所以11BC A ∠就是直线B A 1与平面11B BCC 所成角．设h C C =1，则22212112121118h BC C C C A BC C A B A +=++=+=，由已知33sin 11=∠BC A ，即33822=+h，解得2=h ，即21=C C ． 所以，3422261213111111111111=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==--BB C B C A V V C B A B BC A B ．所以三棱锥111BC A B -的体积为34．解法二：以C 为原点，射线CA 、CB 、1CC 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正半轴，建立空间直角坐标系．则)0,0,0(C ，)0,2,0(B ，设h CC =1，则),0,0(1h C ，),0,2(1h A ． 由BC AC ⊥，C C AC 1⊥得⊥AC 平面11B BCC ，所以，平面11B BCC 的一个法向量为)0,0,2(=CA ，),2,2(1h BA -=，ABC 1C B 1A 1FE CBAA 1B 1C 1由题意，33||||||11CA BA CA BA ⋅⋅=，即即33822=+h，解得2=h ，即21=CC ． 所以，3422261213111111111111=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==--BB C B C A V V C B A B BC A B ．所以三棱锥111BC A B -的体积为34． （2）解法一：以C 为原点，射线CA 、CB 、1CC 分别为x 轴、y 轴、z轴正半轴，建立空间直角坐标系．……（7分） 则)0,0,0(C ，)2,0,2(1A ，)0,2,0(B ，)2,0,0(1C ，所以)0,0,2(11=A C ，)2,2,0(1-=B C ，设平面11BC A 的一个法向量为),,(z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0111B C n A C n 得⎩⎨⎧=-=,022,02z y x所以0=x ，取1==z y ，则)1,1,0(=n．又)0,2,0(=CB ，所以点C 到平面11BC A 的距离2||||=⋅=n CB n d． 解法二：342131311111111=⋅⋅⋅⋅=⋅=∆-BC CC C A BC S V CC A CC A B ，设点C 到平面11BC A 的距离为d ，则d S V V BC A BC A C CC A B ⋅⋅==∆--11111131，因为222111111=⋅=∆BC C A S BC A ，所以34322=⋅d ，解得2=d ． 所以点C 到平面11BC A 的距离为2． 20．（2012．5松江三模）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥， 12AB AC AA ===，E 是BC 的中点．（1）求四棱锥11C A B BA -的体积；（2）求异面直线AE 与A 1C 所成的角． 解：（1）四棱锥11C A B BA -的底面积11224A B BA S =⨯=， 高2AC =∴11184233C A B BA V -=⨯⨯= （2）取B 1C 1的中点E 1，连A 1E 1，E 1C ，则AE ∥A 1E 1，∴∠E 1A 1C 是异面直线AE 与A 1C 所成的角． 由12AC AB AA ===，知112A E =，122A C =，1111122E C B C == ∴2211116E C E C C C =+= C E A 11∆在 中，112861cos 22222E AC +-∠==⨯⨯． 所以异面直线AE 与A 1C 所成的角为3π．21．（2012．5虹口三模）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点．A B C 1 CB 1A 1zxy（1）求证：⊥CF E B 1； （2）求三棱锥EFC B V -1的体积． （1）证明：E 、F 分别为1D D ，DB 的中点，则BD CF ⊥，又D D CF 1⊥∴⊥CF 平面D D BB 11，∴⊥CF E B 1 （6分） （2）解：CF ⊥ 平面11BDD B ，1CF EFB ∴⊥平面，2CF BF ==，1132EF BD == ，222211(2)26B F BF BB =+=+=，222211111(22)3B E B D D E =+=+=∴22211EF B F B E +=，即190EFB ∠=，11113B EFC C B EF B EF V V S CF --∆∴==⋅⋅=11362132⨯⨯⨯⨯=22．设在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，90BAC ∠= ，,E F 依次为1,C C BC的中点．（1）求异面直线1A B 、EF 所成角θ的大小（用反三角函数值表示） （2）求点C 到平面AEF 的距离．（1）36arccos=θ （2）6323．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．已知60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． （1）证明：⊥AD 平面PAB ；（2）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； *（3）求二面角A BD P --的大小． 解：（1）证明：在PAD ∆中，由题设22,2==PD PA 可得222PD AD PA =+于是PA AD ⊥．在矩形A B C D 中，AB AD ⊥．又A AB PA = ， 所以⊥AD 平面PAB ．（2）解：由题设，AD BC //，所以PCB ∠（或其补角）是异面直线PC 与AD 所成的角． 在PAB ∆中，由余弦定理得7cos 222=∠⋅⋅-+=PAB AB PA AB PA PB ，由（1）知⊥AD 平面PAB ，⊂PB 平面PAB ，所以PB AD ⊥，因而PB BC ⊥，于是PBC ∆是直角三角形，故27tan ==BC PB PCB ． 所以异面直线PC 与AD 所成的角的大小为27arctan． （3）解：过点P 做AB PH ⊥于H ，过点H 做BD HE ⊥于E ，连结PE因为⊥AD 平面PAB ，⊂PH 平面PAB ，所以PH AD ⊥．又A AB AD = ， 因而⊥PH 平面ABCD ，故HE 为PE 再平面ABCD 内的射影．由三垂线定理可知， PE BD ⊥，从而PEH ∠是二面角A BD P --的平面角．由题设可得，NMA BDCO134,13,2,160cos ,360sin 22=⋅==+==-==⋅==⋅=BH BD AD HE AD AB BD AH AB BH PA AH PA PH 于是再PHE RT ∆中，439tan =PEH 所以二面角A BD P --的大小为439arctan． *24．如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2，AB=1，E 是DD 1的中点．（1）求直线B 1D 和平面A 1ADD 1所成角的大小； （2）求证：B 1D ⊥AE ； （3）（理）求二面角C —AE —D 的大小． 解：（1）30；（2）略；（3）60．25．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4ABC π∠=, OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．（1）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （2）求四棱锥O ABCD -的体积． （1）方法一：因为CD ‖AB,所以MDC ∠为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角）作,AP CD P ⊥于连接MP ，因为⊥OA 平面A B C D ，所以⊥CD MP 因为,4ADP π∠=所以22DP =222MD MA AD =+=，所以1cos ,23DP MDP MDC MDP MD π∠==∠=∠=，所以 AB 与MD 所成角的大小为3π． 方法二：设AB 与MD 所成的角为θ,因为22(1,0,0),(,,1)22AB MD ==-- 所以1cos ,23AB MD AB MD πθθ===⋅ , AB 与MD 所成角的大小为3π．（2）11221123323O ABCD ABCD V S OA -=⋅=⋅⋅⋅⋅=． 26．如图，一吊灯的底是直径为4米的圆形，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，底面呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB )为2米，在圆周上设置三个等分点123 A A A 、、，点C 为OB 上一点(不包含端点 O B 、)， 同时点C 与点123 A A A B 、、、均用细绳相连接，且细绳123 CA CA CA 、、 的长度相等．设1CAO θ∠=，细绳的总长为y 米． (1)将y 表示成θ的函数，并指出定义域；(2)请你设计：当C 离B 多远时，细绳总长y 与角θ余弦值的积为CB2565+． 解：(1)1232(0)cos 4CA CA CA πθθ===<<，于是622tan (0)cos 4y πθθθ=-+<<(2)由(1)知，()cos 2(cos sin )622cos()64g y πθθθθθ==-+=++由25()65g θ=+知，10cos()410πθ+=，于是310sin()410πθ+=，∴5sin sin[()]445ππθθ=+-=，25cos cos[()]445ππθθ=+-=，1tan 2θ=∴1tan 1OC OA θ==，即当1BC OC ==时，细绳总长y 与角θ余弦值的积为2565+．。