北师大版数学高一必修二练习平行关系的判定
数学北师大版必修2课件：第一章5.1平行关系的判定 (45张)
a_∩__b_＝__A__
__a_∥__β__ __b_∥__β____
⇒α∥β
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一条直线与一个平面内无数条直线平行，则这条直线与 这个平面平行．( × )
(2)若平面 α 内有无数条直线都与平面 β 平行，则平面α与平 面β平行．( × )
[方法归纳] (1)直线与平面平行的判定定理的应用步骤 ①线与线平行； ②一条线在已知平面内； ③一条线在已知平面外． (2)中点的应用 在题目中出现中点时，常见的证线线平行的两种途径： ①中位线→线线平行； ②平行四边形→线线平行．
1.(1)如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，AC∩BD＝O，E 为 PD 的 中点，则 EO 与平面 PBC 的位置关系为 _平__行_______________．
直线与平面平行的判定 如图，S 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M，N 分 别是 SA，BD 上的点，且ASMM＝DNNB，求证：MN∥平面 SBC.
[证明] 连接 AN 并延长交 BC 于 G，连接 SG，由题意 AD∥BC，所以DNNB＝NANG. 因为DNNB＝ASMM，所以NANG＝ASMM， 则 MN∥SG. 又因为 MN 平面 SBC，SG 平面 SBC， 所以 MN∥平面 SBC.
图形语言
符号语言
______bl______α__α____⇒l∥α ___l_∥_b____
2.平面与平面平行的判定定理
判定 定理
文字语言
图形语言
如果一个平面内 平面
有两条__相__交____ 和平
直线都平行于另 面平
一个平面，那么 行
这两个平面平行
符号语言
北师大版高一数学必修2第一章第5节平行关系的判定教案
【课题】§5.1 平行关系的判定第一课时直线与平面平行的判定【教学目标】1.掌握直线和平面平行的判定定理,并会运用2.培养发展空间想象能力,推理论证能力,运用图形语言进行交流的能力,几何直观能力3.通过典型例子的分析和自主探索活动,理解数学概念,体会数学思想方法.【教学重点】直线和平面平行的判定定理【教学难点】判定定理的运用【教学思路】通过教师提问式的引导方法引导学生得到直线与平面平行的判定定理,结合学生的自主讨论、自主探索活动写出定理的文字、图形以及符号语言培养空间想象能力.然后利用典型例题加强学生的推理论证能力【教学内容】直线和平面平行的判定定理以及三种语言表述【教学方法】启发引导式教学法、讲议练相结合教学法【教学手段】以传统教学手段为主,多媒体教学以及实物模型教学手段为辅【教学设计理念】1.通过播放幻灯片,激发学生学习的兴趣,体现直观教学的灵便性2.实物举例让学生觉得直线和平面平行的情况在生活中随处可见3.在设计例题与练习时,增加了除长方体、正方体以外的不规则图形以扩大学生视野【教学过程】一、复习回顾：〔师〕直线和平面有哪几种位置关系？〔生〕直线在平面内；直线与平面相交；直线与平面平行〔师〕回答的很好，那么能否分别用文字、图形和符号语言描述这几种位置关系（在学生回答时，教师同时在多媒体课件或用幻灯片1投影出直线和平面的位置关系）直线与平面的位置关系：文字语言：直线a在平面α内；直线a与平面α相交；直线a与平面α平行图形语言：符号语言：a⊆αa⋂α=A a∥α〔师〕如何判定一条直线和一个平面平行？﹙教师一边提问一边演示长方体模型，组织学生讨论﹚如图所示：直线BC 与平面A ‘B ‘C ‘D ‘的关系如何？直线AC 与平面A ‘B ‘C ‘D ‘呢？〔生〕B C ∥ A ‘B ‘C ‘D ‘ A C ∥A ‘B ‘C ‘D ‘二、 讲授新课﹙生叙述，教师板书﹚1、定理5.1：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行〔师〕请同学们讨论并写出这个定理的三种表示方法﹙生回答时，教师同时演示幻灯片2﹚ 图形语言： 符号语言：a b a a ααα⊄⎫⎪⊆⇒⎬⎪⎭∥∥b 〔师〕判定一条直线和一个平面平行需要几个条件？能不能缺少一个或几个？〔生〕需要三个条件，缺一不可〔师〕那么如果缺少一个会得到什么结论？并画出图形﹙组织学生讨论﹚〔生甲〕若缺少a α⊄，则结论为a a αα⊆∥或〔生乙〕若缺少b α⊆，则结论为a a αα⋂∥或〔生丙〕若缺少a b ∥，则结论为a a αα⋂∥或（即时训练）幻灯片3： 1.已知直线l 、a 、b 及平面α，下列命题正确的个数是﹙ ﹚（1）,l a a l αα⇒∥∥∥（2）,l a l l ααα⊆⊆⇒∥∥b,a ,b ∥ （3）l 平行与平面α内无数条直线⇒l α∥A ．0B ．1C ．2D ．32.l α⊆直线∥直线m,m ，则直线l 与平面α的位置关系是﹙ ﹚A ．相交B ．平行C ．在平面α内D ．平行或在平面α内三、例题讲解﹙幻灯片4﹚〔师〕请同学们自行分析此题〔生〕E 、F 分别为AB 、AD 的中点可知EF BD ∥,而BD BCD ⊆平面,根据判定定理可得EF BCD ∥平面〔师〕若此题改为“空间四边形ABCD 中,AE AF EB FD =则EF 与平面BCD 的位置关系如何?”幻灯片4 例1:空间四边形 ABCD 中,E 、F 分别为AB 、AD 的中点,判断EF 与平面BCD 的位置关系例 2.如图, 空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,试证明EFGH是平行四边形﹙师生共同讨论证明﹚〔师〕﹙分析﹚根据平面几何知识怎么证明一个四边形是平行四边形？〔生〕证明一组对边平行且相等；两组对边分别平行；两条对角线互相平分；两组对边分别相等；两组对角分别相等即可〔师〕那这几种方法在这里都可使用吗？〔生甲〕都可使用〔师〕请同学们讨论甲同学的回答是否正确？〔生乙〕甲同学的回答不正确，前三种在立体几何中可以使用，而后两者无法证明是平行四边形〔师〕乙同学回答完全正确，在立几中这个四边形首先是在同一平面内，其次再证明是平行的（生证明，师板书）证明：连接AC、BD∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点∴11112222EF AC GH AC EF AC GH AC ==∥，∥且， ∴EF GH EF GH =∥且∴EFGH 是平行四边形〔师〕在证明线面平行的问题中，最关键的是在平面内找到与平面外的直线平行的直线四、课堂练习课本P31、T1、2、3、4（1）五、课堂小结〔师〕请同学们自行总结这节课的主要内容〔生甲〕直线与平面平行的判定定理〔生乙〕判定直线和平面平行需要三个条件，缺一不可〔师〕证明直线与平面平行的关键是什么？〔生丙〕 关键是在这个平面内找到一直线与已知直线平行即可六、课后作业课本P34 ，B 组T1、T3七、板书设计。
北师大版高中数学必修二5.1平行关系的判定.docx
5．1平行关系的判定时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1中点，F为BB1中点，与EF平行的长方体的面有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C解析：上、下底面和面CC1D1D与EF平行，故3个．2．下列命题正确的是()A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B．平行于同一个平面的两条直线平行C．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D．平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行答案：D解析：对于A，平面内还存在直线与这条直线异面，错误；对于B，这两条直线还可以相交、异面，错误；对于C，这条直线还可能在其中一个平面内，错误．故选D.3．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1E与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G答案：A解析：根据面面平行的判定定理，可知A正确．4．已知A，B是直线l外的两点，则过A，B且和l平行的平面有()A．0个B．1个C ．无数个D ．以上都有可能 答案：D解析：若直线AB 与l 相交，则过A ，B 不存在与l 平行的平面；若AB 与l 异面，则过A ，B 存在1个与l 平行的平面；若AB 与l 平行，则过A ，B 存在无数个与l 平行的平面，所以选D.5．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，CC 1的中点，则在平面ADD 1A 1内且与平面D 1EF 平行的直线( )A ．不存在B ．有1条C ．有2条D ．有无数条 答案：D解析：在AA 1上取一点G ，使得AG ＝14AA 1，连接EG ，DG ，可证得EG ∥D 1F ，所以E ，G ，D 1，F 四点共面，所以在平面ADD 1A 1内，平行于D 1G 的直线均平行于平面D 1EF ，这样的直线有无数条．6．如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 上的点，且AE EB ＝AF FD ＝，H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则( )A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是平行四边形B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是平行四边形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形 答案：B解析：由题意，知EF ∥BD ，且EF ＝15BD ，HG ∥BD ，且HG ＝12BD ，∴EF ∥HG ，且EF ≠HG ，∴四边形EFGH 是梯形．又EF ∥平面BCD ，EH 与平面ADC 不平行，故选B.二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．如果直线a ，b 相交，直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是________． 答案：相交或平行解析：根据线面位置关系的定义，可知直线b 与平面α的位置关系是相交或平行． 8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与AC 平行，且过正方体三个顶点的截面是________．答案：平面A 1C 1B 和平面A 1C 1D解析：如图所示截面一定过A 1，C 1两点，又截面过三个顶点，故所求截面为A 1C 1B 和平面A 1C 1D .9．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，G 是A 1C 1的中点，过点G 的截面与侧面ABB 1A 1平行，若侧面ABB 1A 1是边长为4的正方形，则截面周长为________．答案：12 解析：如图，取B 1C 1的中点M ，BC 的中点N ，AC 的中点H ，连接GM ，MN ，HN ，GH ，则GM ∥HN ∥AB ，MN ∥GH ∥AA 1，所以有GM ∥平面ABB 1A 1，MN ∥平面ABB 1A 1.又GM ∩MN ＝M ，所以平面GMNH ∥平面ABB 1A 1，即平面GMNH 为过点G 且与平面ABB 1A 1平行的截面．易得此截面的周长为4＋4＋2＋2＝12.三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，求证：MN ∥平面OCD .证明：如图，取OD 的中点E ，连接ME ，CE .∵M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，∴ME 綊12AD 綊NC ，∴四边形MNCE 为平行四边形，∴MN ∥EC .又MN 平面OCD ，EC 平面OCD ，∴MN ∥平面OCD .11．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD 的中点．求证：平面AFH∥平面PCE.证明：因为F，H分别为CD，PD的中点，所以FH∥PC.又FH平面PCE，PC平面PCE，所以FH∥平面PCE.又E为AB的中点，所以AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE.又AF平面PCE，CE平面PCE，所以AF∥平面PCE.又FH∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.12.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D1是线段A1C1上的一点，当A1D1D1C1为何值时，BC1∥平面AB1D1?解：当A1D1D1C1＝1时，BC1∥平面AB1D1.证明如下：如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的定义，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.又OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1.。
北师大版高中数学必修二5.1平行关系的判定(共18张PPT)
②直线AC与平面EFMN
简记为：线线平行则线面平行 例2:如图,在空间四面体中,E、F、M、N分别为棱AB、AD、DC、BC的中点
（1）一条直线平行于一个平面， 这条直线就与这个平面内的任意直线平行。 判断下列命题是否正确： （1）判定定理的三个条件缺一不可
线线平行 线面平行
则a
//
理论提升
（1）判定定理的三个条件缺一不可
a （1）判定定理的三个条件缺一不可
a ③直线EF与平面BCD
（2）直线在平面外是指直线和平面最多有一个公共点. （1）四边形EFMN , 是什么四边形？
b b a / / ①直线BD与平面EFMN
平面A′B′C′D′和平面BCC′B′ 根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点．但是，直线无限延长，平面无限延展，用有无公共点来判
则l //
()
（5）如果a、b是两条直线，且a // b，那么a平
行于经过b的任何平面.
()
课堂小结
证明直线与平面平行的方法：
（1）利用定义: 直线与平面没有公共点
（2）利用判定定理:
线线平行
线面平行
关键：在平面内找(作)一条直线与平面外的直 线平行,在寻找平行直线时可以通过三角形的中 位线、梯形的中位线、平行线的性质等来完成。
如定果不平 太面方外便的。一条直线和此平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.
C
（探2究）3直:由线边在缘平AB面/外/C是D 指，直翻线动和过平程面中最边多缘有AB一与个桌公面共的点平. 行关系，会发生变化吗？
判位断下置列命题关是否正系确：是什么？为什么？
AC与平面EFMN平行
数学北师大版高中必修2平行关系的判定与性质
平行关系的判断与性质直线与平面平行的判定教学目的：（1） 掌握直线与平面平行的定义和判定定理（2） 能运用判定定理解决一些简单的线面平行问题 重难点知识归纳：(1)直线与平面平行的定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，我们就说这条直线与这个平面平行．(2)直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号表示为：⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄b a b a //αα 图形表示为：注意：欲证明一条直线与一个平面平行，一是说明这条直线不在这个平面内，二是要证明已知平面内有一条直线与已知直线平行． 例题剖析1，a//平面α，α⊂b ，则（ ）A: a//b B: a 与b 相交 C ： a 与b 异面 D:a 与b 平行或异面 2，下列说法正确的有（ ）个（1）a//b,b 在平面α内，则a//α （2）a//b,b//α,则a//α （3）a//α,b//α,则a//b （4）a//α,b α⊂，则a//b3．如图，E 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、AD 的中点，求证：EH//平面BCDDAE Hab变式训练：若将上题中条件改为E ，H 分别是AB ，AD 上的三等份点呢？ 考虑E ，H 满足什么条件时，EH//平面BCD4．正方体ABCD 1111D C B A -中E ，G 分别是BC ，11D C 的中点，求证：EG//面B D D B 115．正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面交于AB ，在AE ，BD 上各有一点P ，Q ，且AP=DQ ，求证：PQ//平面ＢＣＥ课堂小结：（1） 直线与平面平行的判定质是用线线平行⇒线面平行（2） 用线面平行判定定理证明线面平行时，a b a b //,,αα⊂⊄三个条件缺一不可 （3） 证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行 作业：同步达标：平行关系的判定（1）平面与平面平行的判定ABCD EG1A1B 1C 1DE重难点知识归纳(1)两个平面平行的定义：两个平面没有公共点，则两个平面平行．(2)平面与平面的平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．符号表示为：βαββαα////,//,⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂⊂b a A b a b a ．注意：这个定理的另外一种表达方式为“如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行”．(3)平行于同一平面的两个平面互相平行．即βαγβγα//////⇒⎭⎬⎫例题剖析1．M 、N 、P 为三个不重合的平面，a 、b 、c 为三条不同直线，则下列命题中，不正确的是（ ）①b ac b c a //////⇒⎭⎬⎫ ②b a P b P a //////⇒⎭⎬⎫③N M N c M c //////⇒⎭⎬⎫ ④N M P N P M //////⇒⎭⎬⎫ ⑤M a c a M c //////⇒⎭⎬⎫ ⑥M a P a P M //////⇒⎭⎬⎫ A ．④⑥ B ．②③⑥ C ．②③⑤⑥ D ．②③ 2．已知,,,//βαβα⊂⊂b a 则（ ）αβa bpA ：a 与b 不共面B ： a 与b 不相交C ：a 与b 不平行D ： a 与b 不异面3．已知正方体ABCD-1111D C B A 中，如图所示，求证：平面11D AB //平面1BDC ．4．在底面为下三角形的斜三棱柱111C B A ABC 中，D 为AC 中点，E 在CB 的延线上，求证：面AEB 1//面DB 1C5．已知四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形。
北师大版数学高一必修二练习1.5.1平行关系的判定
1．两条直线a、b满足a∥b，bα，则a与平面α的关系是() A．a∥αB．a与平面α相交C．a与平面α不相交D．aα解析：∵a∥b，bα，∴a与平面α的关系是a∥α或aα，∴a与平面α不相交．答案：C2．使平面α∥平面β的一个条件是() A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，aα，a∥βC．存在两条平行直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥αD．α内存在两条相交直线a，b，分别平行于β内两条直线解析：A、B、C中的条件都不一定使α∥β，反例分别为图中①，②，③(图中a∥l，b∥l)；D正确，因为a∥β，b∥β，又a，b相交，从而α∥β.答案：D3．(2012·泰安高一检测)如果AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是()A．平行B．相交C．AC在此平面内D．平行或相交解析：如图：E、F、G分别为AB、BC、CD的中点．∵E、F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC.又EF平面EFG，且AC平面EFG.∴AC∥平面EFG.答案：A4．如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别为边AB、AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别为BC、CD的中点，则()A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形解析：∵AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，∴EF∥BD且EF＝15BD.又H、G分别为BC、CD的中点，∴HG綊12BD.∴EF∥HG且EF≠HG.∴四边形EFGH为梯形．∵BD平面BCD且EF平面BCD.∴EF∥平面BCD.答案：B5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E的平面的位置关系是________．解析：如图，连接AC交BD于O.则O为BD的中点．又E为DD1的中点，∴OE为△BDD1的中位线．∴OE∥BD1，又BD1平面ACE，OE平面ACE.∴BD1∥平面ACE.答案：平行6．已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，下面三个命题：①a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ；②γ∥α，β∥α⇒γ∥β；③a ∥γ，α∥γ⇒a ∥α.其中正确命题的序号是________．解析：由平行公理，知①正确；由平面平行的传递性知②正确；③不正确，因为a 可能在α内．答案：①②7．(2012·佛山高一检测)在三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，点E ，D 分别是B ′C ′与BC的中点．求证：平面A ′EB ∥平面ADC ′.证明：连接DE ，∵E ，D 分别是B ′C ′与BC 的中点，∴DE 綊AA ′，∴AA ′ED 是平行四边形，∴A ′E ∥AD .∵A ′E 平面ADC ′，AD 平面ADC ′.∴A ′E ∥平面ADC ′.又BE ∥DC ′，BE 平面ADC ′，DC ′平面ADC ′，∴BE ∥平面ADC ′，∵A ′E 平面A ′EB ，BE 平面A ′EB ，A ′E ∩BE ＝E ，∴平面A ′EB ∥平面ADC ′.8．正方形ABCD 所在平面外一点为P ，E 、F 、G 分别为PD 、AB 、DC 的中点，如图．求证：(1)AE ∥平面PCF ；(2)平面PCF ∥平面AEG .证明：(1)取PC 中点H ，分别连接EH 、FH ，∵E 、F 、H 分别为PD 、AB 、PC 的中点， ∴EH 綊12DC ， AF 綊12DC .∴EH綊AF.∴EAFH为平行四边形．∴EA∥FH.AE平面PCF，FH平面PCF，∴AE∥平面PCF.(2)∵E、G分别为PD、CD的中点，∴EG∥PC.EG平面PCF，PC平面PCF，∴EG∥平面PCF.由(1)知AE∥平面PCF，EG∩AE＝E.∴平面PCF∥平面AEG.。
北师大版高中数学高一必修2学案平行关系的判定
§5平行关系5.1 平行关系的判定问题导学1．对平行关系的理解活动与探究1判断下列给出的各种说法是否正确？(1)如果直线a和平面α不相交，那么a∥α；(2)如果直线a∥平面α，直线b∥a，那么b∥α；(3)如果直线a∥平面α，那么经过直线a的平面β∥α；(4)如果平面α内的两条相交直线a和b与平面β内的两条相交直线a′和b′分别平行，那么α∥β.迁移与应用1．下列叙述中，正确的是()．A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∥b，直线bα，则a∥αD．若直线a∥b，bα，那么直线a平行于平面α内的无数条直线2．两个平面平行的条件是()．A．一个平面内的一条直线平行于另一平面B．一个平面内有两条直线平行于另一平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线平行于另一个平面1．要全面、深刻地理解线面平行、面面平行的判定定理，运用这两个定理证明问题或判断分析结论是否正确时，一定要紧扣两个定理的条件，忽视条件，很容易导致判断错误．2．在判断一些命题的真假时，要善于列举反例来否定一个命题，要充分考虑线线关系、线面关系、面面关系中的各种情形，以对一个命题的真假作出合理的判断．2．直线与平面平行的判定活动与探究2如右图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M∈AD1，N∈BD，且D1M=DN，求证：MN ∥平面CC1D1D．迁移与应用1．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ.2．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为AB，SC的中点．求证：EF∥平面SAD．证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线．把握几何体的结构特征，合理利用几何体中的三角形的中位线，平行四边形对边平行等平面图形的特点找线线平行关系是常用方法．3．平面与平面平行的判定活动与探究3如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．迁移与应用如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是CB，CD，CC1的中点．求证：平面AB1D1∥平面EFG.证明面面平行的基本思想是将面面平行转化为线面平行，其基本步骤是：线线平行⇒线面平行⇒面面平行．但必须注意的是：在其中一个面内找到的两条直线必须是相交直线，且这两条相交直线都与另一个平面平行时，这两个平面才平行．当堂检测1．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()．A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上都不对2．A，B是不在直线l上的两点，则过点A，B且与直线l平行的平面的个数是()．A．0B．1C．无数D．以上三种情况均有可能3．梯形ABCD中，AB∥CD，ABα，CDα，则直线CD与平面α的位置关系是__________．4．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点．证明EF∥平面PAD．5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.课前预习导学预习导引1．(1)一条直线平行预习交流1提示：直线a平面α是指a∥α或a与α相交．预习交流2提示：不正确．不符合线面平行的判定定理，只有当直线l在平面α外，且与平面α内的一条直线平行时，直线l才与平面平行．预习交流3提示：(1)线面平行的判定定理表明可以通过直线间的平行，推证直线与平面平行．这是处理空间问题的一种常用方法，即将直线与平面的平行关系转化为直线与直线的平行关系，把空间问题平面化．(2)线面平行的判定定理在使用时三个条件缺一不可：①直线a不在平面α内，即aα；②直线b在平面α内，即bα；③两条直线a，b平行，即a∥b.2．(1)两条相交直线预习交流4提示：不一定，平面α与平面β相交或平行．预习交流5提示：一定平行．由直线与平面平行的判定定理知，平面α内的两条相交直线与平面β都平行，再由面面平行的判定定理可得α∥β.课堂合作探究问题导学活动与探究1思路分析：按照线面平行、面面平行的定义及判定定理对每个命题进行分析判断，得出其是否正确．解：(1)不正确．当直线a和平面α不相交时，可能有aα，不一定有a∥α；(2)不正确．当直线b∥a时，如果bα，则有b∥α，如果bα，则没有b∥α；(3)不正确．当a∥α时，经过直线a的平面β可能与α平行，也可能与α相交；(4)正确．由线面平行的判定定理，知a∥β，b∥β，且a，bα，a与b相交，所以必有α∥β.迁移与应用1．D解析：当a∥b，bα时，不论a∥α还是aα，a都平行于平面α内的无数条直线，故选项D正确．2．D解析：因一个平面内任何一条直线平行于另一个平面，可在这个平面内选两条相交直线，则这两条相交直线都与另一平面平行，由平面与平面平行的判定定理可得两个平面平行．活动与探究2思路分析：要证MN∥平面CC1D1D，只需证明MN平行于平面CC1D1D 中的一条直线即可．证明：方法一：连接AN并延长，交直线CD于E，连接D1E.∵AB ∥CD ， ∴AN NE ＝BN ND ⇒AE NE ＝BD ND. ∵BD ＝AD 1，且D 1M ＝DN ， ∴AE EN ＝AD 1MD 1. 在△AD 1E 中，MN ∥D 1E ， 又MN平面CC 1D 1D ，D 1E平面CC 1D 1D ，∴MN ∥平面CC 1D 1D .方法二：过点M 作MP ∥AD ，交DD 1于P ，过点N 作NQ ∥AD 交CD 于点Q ，连接PQ ， 则MP ∥NQ ，在△D 1AD 中，MP AD ＝D 1MD 1A .∵NQ ∥AD ，AD ∥BC ， ∴NQ ∥BC .在△DBC 中，NQ BC ＝DNDB，∵D 1M ＝DN ，D 1A ＝DB ，AD ＝BC ，∴NQ ＝MP . ∴四边形MNQP 为平行四边形，则MN∥PQ.而MN平面CC 1D1D，PQ平面CC1D1D，∴MN∥平面CC1D1D.迁移与应用1．证明：连接AC交BD于O，连接QO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O为AC的中点．又Q为PA的中点，∴QO∥PC.显然QO平面BDQ，PC平面BDQ，∴PC∥平面BDQ.2．证明：作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．连接AG，FG12CD，又CD AB，且E为AB的中点，故FG AE，四边形AEFG为平行四边形．∴EF∥AG.又∵AG平面SAD，EF平面SAD，∴EF∥平面SAD.活动与探究3思路分析：在平面MNQ内找到两条相交直线与平面PBC平行，条件中给出了线段比相等，故可利用平行线截线段成比例的性质证得线线平行，再转化为线面平行，然后根据面面平行的判定定理证明．证明：在△PAD中，∵PM∶MA＝PQ∶QD，∴MQ∥AD.又∵AD∥BC，∴MQ∥BC.∵MQ平面PBC，BC平面PBC，∴MQ∥平面PBC.在△PBD中，∵BN∶ND＝PQ∶QD，∴NQ∥PB.∵NQ平面PBC，PB平面PBC，∴NQ∥平面PBC.∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PBC.迁移与应用证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接BD，∵DD1∥B1B，DD1＝B1B，∴四边形DD1B1B为平行四边形，∴D1B1∥DB.∵E，F分别为BC，CD的中点，∴EF∥BD，∴EF∥D1B1.∵EF平面EFG，D1B1平面EFG，∴D1B1∥平面EFG.同理AB1∥平面EFG.∵D1B1∩AB1＝B1，∴平面AB1D1∥平面EFG.当堂检测1．C2．D3．平行4．证明：在△PBC中，∵E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，∴EF∥AD.又∵AD平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD.5．证明：如图所示，连接MF.∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，且四边形A1B1C1D1为正方形，∴MF∥A1D1，且MF＝A1D1.又∵A1D1＝AD，且AD∥A1D1，∴MF＝AD，且MF∥AD.∴四边形AMFD是平行四边形，∴AM∥DF.又DF平面EFDB，AM平面EFDB，∴AM∥平面EFDB.同理可证，AN∥平面EFDB.又AN，AM平面AMN，AM∩AN＝A，∴平面AMN∥平面EFDB.。
北师大版高中数学必修2课件1.5平行关系的判定课件(数学北师大必修二)
一、新课讲授：
1．直线和平面平行的判定 文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内 的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
图形语言：
符号语言： a
， b ， a // b
a //
实例探究三：
当三角板 ABC 的一条边平行桌面 时， ABC 所在的平面是否平行桌面 ？ 当三角板 ABC 的两条边平行桌面 时， ABC 所在的平面是否平行桌面 ？
（ ） （ ）
a ∥ ， b ∥ ，则 ∥ .
⑻ 一个平面 内两条不平行的直线都平行于另一个平面 ，则
（ （
） ）
二、知识应用： 题型二 证明线面平行
例 2. 空间四边形 ABCD 中， E,F 分别为 AB, AD 的中点，判断 EF 与平面 BCD 的 位置关系. A
（ ） （ ） （ ）
，且 b ，则直线 a ∥ .
⑷ 若直线 a ∥ b ， b ，则直线 a ∥ .
二、知识应用： 题型一 概念问题
⑸ 若平面 内的无数条直线与平面 平行，则 ∥ . ⑹ 若平面 内的任意一条直线都与平面 平行，则 ∥ . ⑺ 已知平面 ， 和直线 a ， b ，若 a ， b ，
第五节·平行关系
5.1 平行关系的判定
一、新课讲授：
探究一：在生活中，注意到门扇的两边是平行的．当门扇绕着一边转动时， 另一边始终与门框所在的平面没有公共点，此时门扇转动的一边与门 框所在的平面给人以平行的印象．
探究二： （1）翻开课本，封面边缘 AB 与 CD 始终平行吗？与桌面呢？ （2）由边缘 AB ∥CD ，翻动过程中边缘 AB 与桌面的平行关 系，会发生变化吗？
北师大版高中数学必修二1.5.2 平行关系的性质
设该平面为β. 则α∩β=CD.
A
B
AB
AB//CD
AC//BD
AB//平面α
C
D
四边形ABCD是平行四边形
AC=BD
二、两个平面平行的性质 1.问题提出: 两个平面平行，它具有什么性质？
a
a
b
b
// a a // b b
A1 P
C1
（ 2）
EF 面AC EF // 面AC. BC 面AC EF // BC
E D
B1 C B
A
BE、CF显然都和面AC相交.
例2.如图，A, B, C, D在同一平面内, AB//平面α， AC//BD, 且AC, BD与α分别交于点C, D. 求证: AC=BD.
线面平行则线线平行
3.应 用:
例1.如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A1C1. （1）要经过面A1C1内的一点P和棱BC将木料锯开, 应怎样画线？ （2）所画的线和面AC是什么位置关系？ （1）在面A1C内,过点P画直线EF, D1 使EF//B1C1,EF交棱A1B1、C1D1 F 于点E、F, 连结BE、CF.
平面ACF∩β=BG 平面ACF∩γ=CF //
A
AD // GE DE
EF AG GF
BG // CF
AB DE .
BC EF
AG AB GF BC
B
G
E
F
C
三、反馈练习 1.如果直线a//α, 直线b , 那么a与b一定平行吗？ 为什么？ 2.已知两条直线m, n及平面α, 判断下面四个命题 是否正确： （1）若m//α, n//α, 则m//n;
北师大版高一数学必修2《平行关系的判定》
5.1 平行关系的判定知识点一、直线和平面平行的判定直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.图形语言：符号语言：a α⊄、b α⊂，//a b //a α⇒.要点诠释：（1）用该定理判断直线a 与平面α平行时，必须具备三个条件：①直线a 在平面α外，即a α⊄；②直线b 在平面α内，即b α⊂；③直线a ，b 平行，即a ∥b ．这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．（2）定理的作用将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定，也就是说，要证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可．知识点二、两平面平行的判定文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 图形语言：若a α⊂、b α⊂，a b A =，且//a β、//b β，则//αβ. 符号语言：要点诠释：（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的．（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行⇒面面平行．知识点三、平面与平面平行的判定定理的推论如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
题型讲解：题型一：直线与平面平行的判定利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的步骤：找→在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线↓证→证明已知直线平行于找到（作出）的直线↓结论→由判定定理得出结论例1：如图：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点。
求证：EF//平面A1DG。
解题模板：利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形的性质、三角形中位线、平行公理等找平行线。
题型二：判定平面与平面平行的常用方法1、利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法．2、利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行。
北师大版数学高一-数学必修二教学设计平行关系的判定
5.1平行关系的判定一、教材的地位与作用平行关系的判定是在线与线、线与面、面与面的知识结构中起着承上启下的作用，也是今后学习共面向量的基础。
在此之前，学生已学习了空间两直线的位置关系,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节的主要内容有直线和平面的三种位置关系和直线与平面平行的判定两部分。
平行关系是全章的主要内容之一，而直线与平面平行的判定是平行关系的初步。
因此，在立体几何中，占据重要的地位。
二、教学目标1.知识与技能: （1）理解并掌握线面平行、面面平行的判定定理及其应用；（2）能将数学三种语言（自然语言、图形语言、符号语言）相互转化2. 过程与方法：借助已有知识，通过观察模型，抽象概况出线面平行、面面平行的定义，类比线面平探索面面平行的判定定理，培养学生的划归思想、空间想象力和抽象概括能力3.情感态度与价值观：在学习过程中，使学生获得积极的情感，培养数学学习的兴趣三、教学重难点教学重点：线面平行和平面与平面平行的定义和判定定理教学难点：线面平行和平面与平面平行的判定定理的推导和应用四、教法学法：采用直观类比法、探究发现法、观察实验法等教学方法，教师通过创设问题探究，引导学生通过直观感知，操作确认逐步发现知识的形成过程，使教学活动真正建立在学生自主活动和探究的基础上，着力培养学生的抽象概括能力和空间想象能力.五、教学过程（一）温故知新：复习回顾1. 空间直线与平面的位置关系有_3_种: ||a a A a ααα⊂⎧⎪=⎨⎪⎩2. 空间平面与平面的位置关系有_2_种: ||BC αβαβ⎧⎨=⎩一、直线与平面平行的判定1.问题提出: 如何判定一条直线和一个平面平行?//,,a b b a αα⊂⊄⇒ //.a α2.抽象概括:直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行.||||a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭3.应 用:例1.求证：空间四边形相邻两边的中点的连线,平行于经过另外两边的平面. 已知：空间四边形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、AD 的中点. 求证：EF //平面BCD . 证明：连结BD ,////，平面，平面平面AE EB EF BD EF BCD BD BCD AF FD EF BCD=⎫⇒⊄⊂⎬=⎭⇒例2. 如图所示, 空间四边形ABCD中, E, F, G, H分别是AB, BC, CD, AD的中点. 试指出图中满足线面平行位置关系的所有情况.二、平面与平面平行的判定1.问题提出:如何判定一个平面和另一个平面平行?1.空间线面有哪些位置关系呢？2.学习过几种判断直线与平面平行的方法（1）定义法；（2）直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．设计意图：回顾探究与线面平行的转化思想方法，自然语言的描述、图形语言画法和符号语言的表述，为类比学习面面平行做铺垫2.探究发现，得出定理观察：长方体和三棱柱两个教具模型1.上表面两直线,BC CD与底面的关系，符号语言如何表述？2上表面和下表面是否有交点？抽象概况出面面平行的定义：①αβφ=，②记作：||αβ ③ 图形如何画？ 设计意图：由线面平行定义直观映射出面面平行的定义，从直观过渡到抽象推理.探究活动1：①将长方体和三棱柱平移和旋转，上下地面是否还平行？ ②将长方体底面的边11A D 和三棱柱底面顶点1B 抬起是否上表面平行桌面？探究活动2： 1、平面α内有一条直线与平面β平行， 则平面α，β平行吗？2、平面α内有两条直线与平面β平行，平面α，β平行吗？3、平面α内有无数条直线与平面β平行，平面α，β平行吗？ 设计意图： 由知识回顾到问题提出很自然。
北师大版高中数学必修二平行关系的判定
问题：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗？ 如图，空间四边形ABCD中， 将课本的一边紧贴桌面，沿着这条边转动课本，课本的上边缘与桌面的关系如何呢？ 二、平面与平面平行的判定 问题1：翻开课本，封面边缘AB 与CD始终平行吗？与桌面呢？ 会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述这两个定理，并知道其地位和作用。 （4）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平
直线和平面平行的判定定理
如何判定一个平面和另一个平面平行?
能运用两个定理证明线面、面面平行问题。
能运用两个定理证明线面、面面平行问题。 判断EF与平面BCD的关系. 直线AB、CD是什么关系,会发生变化吗？
会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述这两个定理，并知道其地位和作用。 与平面 平行 .
问题2：根据平面平行，你认为方便吗？ 你能举出生活中应用线面平行判定定理的例子吗？
1、平面与平面相交 将课本的一边紧贴桌面，沿着这条边转动课本，课本的上边缘与桌面的关系如何呢？ α∩β=a 试指出图中满足线面平行位置关系的所有情况.
如何判定一个平面和另一个平面平行?
与 平行；
可以利用定义，即用直线与平面交点的个数进行判定
直线和平面平行的判定定理
∵AE=EB,AF=FD
例2 如图所示，空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点.
3.能运用两个定理证明线面、面面平行问题。 （难点）
C
D
A
B
将课本的一边AB紧靠桌面，并绕AB转动 C
D
A
B
直线AB、CD是什么关系,会发生变化吗？
翻动过程中边缘AB、CD与桌面是什么 关系，会发生变化吗？
北师大版数学高一1.5.1 平行关系的判定学案必修2
1.5.1 平行关系的判定自主学习1．通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理．2．在理解、掌握两个判定定理的基础上，灵活运用解决一些实际问题．1．直线与平面平行的判定定理若__________一条直线与____________的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号：__________________________________________________________________．2．平面与平面平行的判定定理如果一个平面内的________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．符号：___________________________________________________________________．对点讲练直线与平面平行的判定例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1．变式训练1如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．求证：EF∥平面PBC．平面与平面平行的判定例2 已知E 、F 、E 1、F 1分别是三棱柱A 1B 1C 1—ABC 棱AB 、AC 、A 1B 1、A 1C 1的中点． 求证：平面A 1EF ∥平面E 1BCF 1．点评 要证平面平行，依据判定定理只需要找出一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面即可．另外在证明线线、线面以及面面平行时，常进行如下转化：线线平行――→线面平行的判定线面平行――→面面平行的判定面面平行．变式训练2 如图所示，B 为△ACD 所在平面外一点，M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心．(1)求证：平面MNG ∥平面ACD ； (2)求S △MNG ∶S △ADC ．线面平行、面面平行的综合应用例3 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO?点评解答开放性问题，要结合题目本身的特点与相应的定理，大胆地猜想，然后证明．变式训练3如图所示，已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．2．平行关系的判定基本思路：线线平行⇒线面平行⇒面面平行．面面平行，归根到底是找线面平行，但一定是找两条相交的直线．课时作业一、选择题1．若三条直线a，b，c满足a∥b∥c，且a⊂α，b⊂β，c⊂β，则两个平面α、β的位置关系是()A．平行B．相交C．平行或相交D．不能确定2．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是() A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必与α相交C．平面ABC必不垂直于αD．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内3．正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G4．经过平面α外两点，作与平面α平行的平面，则这样的平面可以作()A．1个或2个B．0个或1个C．1个D．0个5．点E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，则空间四边形的六条棱中与平面EFGH平行的条数是()A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题6．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行；经过直线外一点有________条直线与已知直线平行．7．下面的命题在“________”处缺少一个条件，补上这个条件，使其构成真命题(m，n 为直线，α，β为平面)，则此条件应为________________．8．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足__________________时，有MN∥平面B1BDD1．三、解答题9．如图所示，ABCD与ABEF均为平行四边形，且不在同一平面内，M为对角线AC 上的一点，N为对角线FB上的一点，AM∶FN＝AC∶BF．求证：MN∥平面BCE．10．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E 、F 、G 分别是BC 、DC 和SC 的中点．求证：平面EFG ∥平面BDD 1B 1．§5 平行关系 5．1 平行关系的判定答案自学导引1．平面外 此平面内 a α，b α，且a ∥b ⇒a ∥α2．两条相交直线 a β，bβ，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α⇒β∥α对点讲练例1 证明 取D 1B 1的中点O ， 连接OF ，OB ．∵OF 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，∴OF 綊BE ．∴四边形OFEB 是平行四边形， ∴EF ∥BO ．∵EF ⊆平面BDD 1B 1， BO平面BDD 1B 1， ∴EF ∥平面BDD 1B 1．变式训练1 证明 连接AF 延长交BC 于G ， 连接PG ．在▱ABCD 中， 易证△BFG ∽△DFA ． ∴GF FA ＝BF FD ＝PE EA ， ∴EF ∥PG ．而EF ⊆平面PBC ， PG平面PBC ， ∴EF ∥平面PBC ． 例2 证明∵EF 是△ABC 的中位线， ∴EF ∥BC ．∵EF ⊆平面E 1BCF 1， BC平面E 1BCF 1， ∴EF ∥平面E 1BCF 1． ∵A 1E 1綊EB ，∴四边形EBE 1A 1是平行四边形，∴A 1E ∥E 1B ． ∵A 1E ⊆平面E 1BCF 1，E 1B 平面E 1BCF 1，∴A 1E ∥平面E 1BCF 1．又∵A 1E ∩EF ＝E ，∴平面A 1EF ∥平面E 1BCF 1．变式训练2 (1)证明 连接BM 、BN 、BG 并延长交AC 、AD 、CD 分别于P 、F 、H ．∵M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心，则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH ＝2．连接PF 、FH 、PH ，有MN ∥PF ． 又PF平面ACD ，MN ⊆平面ACD ，∴MN ∥平面ACD ．同理MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD ．(2)解 由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH ．又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD ．同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD ．∴△MNG ∽△DCA ，其相似比为1∶3， ∴S △MNG ∶S △ACD ＝1∶9．例3 解 当Q 为CC 1的中点时， 平面D 1BQ ∥平面PAO ．∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点， ∴QB ∥PA ．∵P 、O 分别为DD 1、DB 的中点， ∴D 1B ∥PO ．∴D 1B ∥面PAO ，QB ∥面PAO ，又D 1B ∩QB ＝B ， ∴平面D 1BQ ∥平面PAO ．变式训练3 解 SG ∥平面DEF ．证明如下： 连接GC 交DE 于点H ，连接FH ． ∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ．在△ACG 中，D 是AC 的中点， 且DH ∥AG ， ∴H 为CG 的中点． ∴FH 是△SCG 的中位线， ∴FH ∥SG ．又SG ⊆平面DEF ，FH 平面DEF ，∴SG ∥平面DEF ． 课时作业1．C2．D [A ，B ，C 在平面α的异侧时，A 错；而A ，B ，C 在平面α同侧时，B 错；A ，B ，C 在平面α的异侧时，平面ABC 有可能垂直于平面α，C 错．]3．A 4．B 5．C6．无数 1 7．m ，n 相交 8．M ∈线段FH解析 ∵HN ∥BD ，HF ∥DD 1， HN ∩HF ＝H ，BD ∩DD 1＝D ， ∴平面NHF ∥平面B 1BDD 1， 故线段FH 上任意点M 与N 连接， 有MN ∥平面B 1BDD 1．9．证明 如图所示，过M 作MM 1∥AB ，交BC 于M 1，过N 作NN 1∥AB ，交BE 于N 1， 则MM 1∥NN 1， 又AM ∶FN ＝AC ∶BF ， ∴AM AC ＝FN BF ， ∴MM 1AB ＝NN 1EF ． 又∵AB ＝EF ，∴MM 1＝NN 1．连接M 1N 1，则四边形MNN 1M 1是平行四边形． ∴MN ∥M 1N 1， 又M 1N 1⊂平面BCE ． ∴MN ∥平面BCE ． 10．证明 如图所示， 连接SB ，SD ，∵F 、G 分别是DC 、SC 的中点，∴FG ∥SD ． 又∵SD平面BDD 1B 1，FG 平面BDD 1B 1，∴直线FG∥平面BDD1B1．同理可证EG∥平面BDD1B1，又∵直线EG平面EFG，直线FG平面EFG，直线EG∩直线FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．。
【精品推荐】高中数学北师大版必修二课后训练1.5.1 平行关系的判定 Word版含答案
课后训练1．如果两直线a，b相交，且a∥平面α，那么b与平面α的位置关系是()．A．b∥αB．b∥α或b与α相交C．b与α相交D．b在α内2．平面α∥平面β的一个条件是()．A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，aα，a∥βC．存在两条平行直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α3．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()．A．都平行B．都相交C．在两个平面内D．至少和其中一个平行4．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是()．A．平面BME∥平面ACNB．AF∥CNC．BM∥平面EFDD．BE与AN相交5．已知m，n表示两条不重合的直线，α，β，γ表示不重合的平面，下列结论中正确的个数是()．①若α∩γ＝m，β∩γ＝n，且m∥n，则α∥β；②若m，n相交且都在α，β外，且m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.A．1 B．2C．3 D．46．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E的平面的位置关系是________．7．过长方体ABCD－A1B1C1D1的任意两条棱的中点作直线，其中能够与平面ACC1A1平行的直线有________条．8．如图，在四面体P ABC中，PC⊥AB，P A⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形．9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC 和SC的中点．求证：(1)EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.10．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的点，EC＝2FB＝2，则当点M在什么位置时，MB∥平面AEF？试给出证明．参考答案1答案：B解析：当b与α有公共点时，相交；当b与α没有公共点时，b∥α，但不可能有bα，故选B.2答案：D解析：对于A，B，C，α与β可相交．3答案：D解析：当这条直线既不在α内，也不在β内时，它与两个平面α，β均是平行的．当这条直线在两个平面中的一个平面内时，它必与另一个平面平行，因此这条直线至少和其中一个平行．4答案：A解析：作出此正方体，易知AN∥BM，AC∥EM，且AN∩AC＝A，所以平面ACN∥平面BEM.5答案：A解析：①仅满足mα，nβ，m∥n，不能得出α∥β，不正确；②设m，n确定平面为γ，则有α∥γ，β∥γ，从而α∥β，正确；③④均不满足两个平面平行的条件，故③④均不正确．6答案：平行解析：如图，连接AC交BD于O.则O为BD的中点．又E为DD1的中点，∴OE为△BDD1的中位线，∴OE∥BD1.又BD1平面ACE，OE平面ACE，∴BD1∥平面ACE.7答案：12解析：如图，与AC平行的直线有4条，与AA1平行的直线有4条，连接MN，则MN∥面ACC1A1，这样的直线也有4条(包括MN)，共12条．8答案：证明：(1)如图，因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC.又因为DE平面BCP，PC平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，所以四边形DEFG为平行四边形．又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四边形DEFG为矩形．9答案：证明：(1)如图所示，连接SB.∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，∴EG∥平面BDD1B1.(2)∵F，E分别是DC，BC的中点，∴FE∥BD.又∵BD平面BDD1B1，FE平面BDD1B1，∴FE∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1，且EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面BDD1B1.10答案：解：当点M为AC的中点时，MB∥平面AEF.证明如下：因为M为AC的中点，取AE的中点D，连接MD，DF，则MD为△AEC的中位线，所以MD∥EC且MD＝12 EC，而FB∥EC且FB＝12 EC，所以MD∥FB且MD＝FB，所以四边形DMBF为平行四边形，所以MB∥DF.而MB平面AEF，DF平面AEF，所以MB∥平面AEF.。
高中数学北师大版必修二配套备课资源平行关系的判定
§5平行关系5．1平行关系的判定一、基础过关1．直线m∥平面α，直线n∥m，则() A．n∥αB．n与α相交C．nαD．n∥α或nα2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是() A．平行B．相交C．平行或相交D．不相交3．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是() A．b∥αB．b与α相交C．bαD．b∥α或b与α相交4．平面α与平面β平行的条件可以是() A．α内的一条直线与β平行B．α内的两条直线与β平行C．α内的无数条直线与β平行D．α内的两条相交直线分别与β平行5．已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，aα，b、cβ，则α与β的关系是________．6．有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.其中正确的有________．(填序号)7．如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，求证：AE∥平面DCF.8. 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、CD、A1B1、C1D1的中点．求证：平面A1EFD1∥平面BCF1E1.二、能力提升9．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α∥β的是() A．α，β都平行于直线a、bB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD．a、b是两条异面直线，且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β10. 在如图所示的正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G11. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.12. 如图，四棱锥A—DBCE中，O为底面正方形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求证：AB∥平面DCF.三、探究与拓展13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC.答案1．D2．B3．D4．D5．相交或平行6．③7．证明由于AB∥CD，BE∥CF，故平面ABE∥平面DCF.而直线AE在平面ABE内，根据线面平行的定义，知AE∥平面DCF. 8．证明∵E、E1分别是AB、A1B1的中点，∴A1E1∥BE且A1E1＝BE.∴四边形A1EBE1为平行四边形．∴A1E∥BE1.∵A1E⃘平面BCF1E1，BE1平面BCF1E1.∴A1E∥平面BCF1E1.同理A1D1∥平面BCF1E1，A1E∩A1D1＝A1，∴平面A1EFD1∥平面BCF1E1.9．D10．A11．M∈线段FH12．证明连接OF，∵O 为正方形DBCE 对角线的交点， ∴BO ＝OE ，又AF ＝FE ，∴AB ∥OF ，⎭⎬⎫A B ⃘平面DCFOF 平面DCF AB ∥OF⇒AB ∥平面DCF .13．(1)证明 连接BM 、BN 、BG 并延长交AC 、AD 、CD 分别于P 、F 、H .∵M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心，则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH＝2. 连接PF 、FH 、PH ，有MN ∥PF . 又PF 平面ACD ，M N ⃘平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD .同理MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ，∴平面MNG ∥平面ACD .(2)解 由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD .∴△MNG ∽△DCA ，其相似比为1∶3， ∴S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.。
北师大 数学必修2立体几何初步 第5.1节 平行关系的判定
§5 平行关系 5.1平行关系的判定【5分钟训练】1.若,a b αα⊄⊂, 则 ; 若//αβ,a β⊂, 则 . 答案://a α, //a α2.如果一个平面内有两条 都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 答案:相交直线3.已知点A 、B 都在平面α内，点C 、D 都在直线a 上，并且AC ≠BD ，则（ ） A.a ∥α B.a 不平行于α C.a 与α相交 D.以上都不对 答案:D4.下列说法:①若直线//,,//a b b a αα⊂平面则; ②若//,,//a b a b αα⊂则 ;③若直线//,//,//a b a b αα平面则; ④若直线//,//,//a b a b αα则, 其中正确的是( )A.①④B.①③C.②D.无一正确 答案:D5.下列命题中，正确的是（ ）A.直线a ∥平面α，则a 平行于α内任何一条直线B.直线a 与平面α相交，则a 不平行于α内的任何一条直线C.直线a 不平行于平面α，则a 不平行于α内任何一条直线D.直线a 不垂直于平面α内的某一条直线，则a 不垂直于α内任何一条直线 答案:B解析: B 选择支中，若a 平行于α内的一条直线a ′∴a ∥α或a ⊂≠α，与直线a 与平面α相交矛盾，即B 正确.故应选B.【10分钟训练】1.在空间中，下列命题正确的是（ ）A.若两条直线都和同一平面平行，则这两条直线平行B.若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行C.若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行D.若两条直线都和一个平面相交，则这两条直线平行 答案:C解析: 由于平行直线具有传递性，因此选C. 2.下列四个命题中，假命题是（ ）A.如果平面α内有两相交直线与平面β内的两条相交直线对应平行，则α∥βB.平行于同一平面的两个平面平行C.如果平面α内有无数条直线都与平面β平行，则α∥βD.如果平面α内任意一条直线都与平面β平行，则α∥β 答案:C提示: C 为假命题，因为这无数条直线可以相互平行. 3.下列命题中，正确的是（ ）A.如果一个平面内有两条直线平行于另一平面，那么这两个平面平行B.如果一个平面内有无数条直线平行于另一平面，那么这两个平面平行C.如果一个平面内的一个四边形分别和另一个平面内的一个四边形的两边平行，那么这两个平面平行D.如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行答案:D解析: A.由于题中的两条直线不一定是相交直线，所以这两个平面不一定平行.B.尽管一个平面内直线由两条增加为无数条，且同时平行于另一平面，但这两个平面仍不能断定一定平行，因为这无数条直线可能都互相平行.C.如果是四边形的相邻两边与另一平面内的四边形的两边平行，那么这两个平面平行；若是四边形的一组对边与另一平面的四边形的两边平行，那么这两个平面不一定平行.因为四边形的一组对边不一定是相交直线.D.根据线面平行和面面平行的判定定理易知此命题为真命题.故选D.4.有以下命题，正确命题的序号是 . ①直线与平面没有公共点，则直线与平面平行;②直线与平面内的任何一条直线都不相交，则直线与平面平行; ③直线上有两点，它们到平面的距离相等，则直线与平面平行; ④直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行. 答案:①②5. 如果两条直线a 与b 异面，且a ∥平面α，那么b 与α的位置关系是 . 答案:b ∥α或b 和α相交或b ⊂≠α6. 空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面． 已知：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点． 求证：EF ∥平面BCD ． 解: 连结BD ．7. 如图，P 是△ABC 所在平面外一点，M ∈PB ，试过AM 作一平面平行于BC ，并说明画法的理论依据.解: 画法：在平面PBC 内作MN ∥BC ，交PC 于N ，连结AN ，则BC ∥平面AMN ，理论依据是直线与平面平行的判定定理.8.如图，a、b是异面直线，a⊂≠平面α，b⊂平面β，a∥β，b∥α.求证：α∥β.βb αa证明：在直线b上任取一点A，过A点和a作平面γ，设γ与β交于过A的直线a′.∵a∥β，∴a′∥a，a⊂≠α.∴a′∥α.又b∥α，a′和b是β内的相交直线，∴α∥β.【30分钟训练】1.过平面α外一条直线a与α平行的平面的个数为（）A.只有一个B.至多一个C.至少一个D.没有答案:B解析: 若直线a与α相交于一点，则过直线a的平面与α一定有一条通过这一点的公共直线，若直线a∥α，则有且只有一个平面.若有两个平面，不妨设为β、γ，则β∥α，γ∥α，∴β∥γ，与β与γ相交于a相矛盾.2.下列命题中，真命题的个数是（）①如果两个平面没有公共点，那么两个平面平行②如果两个平面平行，那么两个平面没有公共点③如果两个平面不相交，那么两个平面平行④如果两个平面不平行，那么两个平面相交A.1B.2C.3D.4答案:D3.下列命题中，真命题的个数是（）①过平面外一点有一个平面和已知平面平行②过平面外一点只有一个平面和已知平面平行③过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行A.0B.1C.2D.3答案:D4.若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面的公共点个数（）A.有限个B.无限个C.没有D.没有或无限个 答案:D5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与过点A 、E 、C 的平面的位置关系是 .答案: BD 1∥平面AEC解析: 连结AC 、BD 相交于一点O ，连结OE 、AE 、EC ， ∵四边形ABCD 为正方形， ∴DO ＝BO .而DE ＝D 1E ， ∴EO 为△DD 1B 的中位线， ∴EO ∥D 1B ,∴BD 1∥平面AEC .6. 下列命题中：①平行于同一直线的两个平面平行；②垂直于同一直线的两个平面平行；③平行于同一平面的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行. 正确命题的序号是 .答案:②③解析: ①不正确.如图（1），直线a 与平面α和平面β都平行，α∩β=b (易知a ∥b );②正确.③正确.④不正确.两平面可能相交如图（3）.故正确命题的序号是②③.αβγa(1)(2)(3)7. 已知在三棱锥S —ABC 中（如图），P 、Q 分别是△SAC 和△SAB 的重心，则BC 与平面APQ 的位置关系是__________.CB答案:平行8. ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，画出过A 、C 、B 1的平面与下底面的交线l .解: 在平面A 1B 1C 1D 1内，过点B 1作直线l ∥A 1C 1， 由正方体的性质知，AC ∥A 1C 1.∴AC ∥l .∴l ⊂≠平面B 1AC .∴l 为平面ACB 1和下底面A 1B 1C 1D 1的交线.l9. 如图，设AB 、CD 分别是位于平面α两侧的异面线段，且AB ∥α，CD ∥α，直线AC 、AD 、BC 、BD 分别交α于点E 、F 、H 、G ，求证：EG 与FH 互相平分.证明：∵AC ∩AD ＝A ,∴AC 和AD 可确定一个平面. 则面ACD ∩α＝EF . ∵CD ∥α，∴CD ∥EF . 同理CD ∥HG .∴EF ∥HG . 同理EH ∥FG .∴四边形EFGH 为平行四边形. ∴EG 与FH 互相平分.10.如图，AA ′、BB ′、CC ′是不共面的三条直线，△ABC 和△A ′B ′C ′的对应顶点的连线AA ′、BB ′、CC ′交于点O ，且O A AO '=O B BO '=OC CO'.求证：平面ABC ∥平面C B A '''.B '证明：∵O A AO '=O B BO '=OC CO'， ∴AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′.∴AB ∥平面A ′B ′C ′，AC ∥平面A ′B ′C ′. ∵AB ∩AC =A ，∴平面ABC ∥平面A ′B ′C ′.11. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1、BC 1上分别有点E 、F ，且B 1E =C 1F ，求证：EF ∥平面ABCD.1证明：过E 、F 分别作EM ⊥AB ，FN ⊥BC ，垂足分别为M 、N ， 则EM ∥B 1B ,FN ∥B 1B , ∴EM ∥FN .1又∵AB 1=BC 1, B 1E =C 1F , ∴AE =BF .又∠BAB 1=∠CBC 1=45°, ∠AME =∠BNF =90°,∴△AME ≌△BNF .∴EM =FN . ∴四边形EMNF 为平行四边形. ∴EF ∥MN .又MN ⊂≠平面ABCD ，∴EF ∥平面ABC D.12. 已知P 是正方形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是P A 、BD 上的点，且 PM ∶MA =BN ∶ND =5∶8，求证：直线MN ∥平面PBC .证明：连结AN 并延长交BC 于E 点，连结PE ，则△DNA ∽△BNE .∴NA EN =ND BN =85.又ND BN =MA PM ,∴NA EN =MAPM.∴MN ∥PE.又PE ⊂≠平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，∴MN ∥平面PBC.13.在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，设M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、C 1D 1、B 1C 1的中点，求证：（1）E 、F 、B 、D 四点共面; （2）平面AMN ∥平面EFBD .1证明：（1）分别连结B 1D 1、ED 、FB ， 由正方体性质知 B 1D 1∥BD .∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点，∴EF //=21B 1D 1.∴EF //=21BD . ∴E 、F 、B 、D 四点共面.（2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结P A 、QO .∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ⊂面EFBD .∴MN ∥面EFBD .∵PQ //=AO ， ∴四边形P AOQ 为平行四边形.∴P A∥QO . 而QO ⊂≠平面EFBD ，∴P A ∥平面EFBD ，且P A ∩MN ＝P ，P A 、MN ⊂≠面AMN .∴平面AMN ∥平面EFBD .14. 已知平行四边形ABCD 与平行四边形ABEF 共边AB ，M 、N 分别在对角线AC 、BF上，且AM ∶AC =FN ∶FB .求证：MN ∥平面ADF .证明：如图作MP ∥AB 交AD 于P ，NQ ∥AB 交AF 于Q ，则MP ∥NQ ， 由于CDNQAB NQ FB FN AC AM CD MP ==== 所以MP =NQ ，又已证MP ∥NQ ，则MNQP 是平行四边形，则MN ∥PQ ，又因为MN 不在平面ADF 上，PQ 在平面ADF 内， 则MN ∥平面ADF .15. 已知平面α,BC ∥α,D ∈BC ,A ∉α,直线AB 、AD 、AC 分别交α于E 、F 、G ，且BC =a ,AD =b ,DF =c ,求EG 的长度.解: 根据点A 、线段BC 和平面α之间的不同位置关系，本题分三种情况 (1)如下图∵BC ∥α,BC ⊂≠平面ABC ，平面ABC ∩α=EF∴BC ∥EF ∴BG BCAE AC CE AC DF AD ==, ∴c b bCE AC AC c b CE AC +=+=,, 即c b b AE AC +=，又EGBCAE AC = ∴EG =bc b a )(+ (2)如下图∵BC ∥α，BC ⊂≠平面ABC ，平面ABC ∩α=EF∴BC ∥EF ∴ADAFAB AE BC EG ==，∴AF =DF －DA =c －b ∴EG =bb c a AD BC AF )(-=∙ (3)如下图∵BC ∥α,BC ⊂≠平面ABC ，平面ABC ∩α=EF∴BC ∥EF ∴ADAFAB AE BC EG == ∴AF =DA －DF =b －c ∴EG =bc b a AD BC AF )(-=∙。
全程复习方略高中数学北师大必修二课时作业 平行关系的判定
温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业(六)平行关系的判定一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014·咸阳高一检测)不在同一直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且A α，则( )A.α∥平面ABCB.△ABC中至少有一边平行于αC.△ABC中至多有两边平行于αD.△ABC中只可能有一条边与α平行【解析】选B.△ABC的三顶点有可能在平面α的同侧或异侧，在同侧时，△ABC 的三条边都与平面α平行；在异侧时，△ABC的一条边与平面α平行.2.已知平面α，β，直线a，b，c，若aα，bα，cα，a∥b∥c，且a∥β，b∥β，c∥β，则平面α与β的位置关系为( )A.平行B.相交C.平行或相交D.以上都不对【解析】选C.由题意可知，平面α内不一定有两条相交直线与平面β平行，所以平面α与β有可能平行，也有可能相交.3.(2014·西安高一检测)在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB=CF∶FB=1∶3.则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )A.平行B.相交C.包含D.平行或相交【解析】选A.如图所示，由==得==，所以EF AC，即AC∥EF，又EF平面DEF，AC⊈平面DEF，故AC∥平面DEF.4.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )A.1个或2个B.0个或1个C.1个D.0个【解析】选B.当两点确定的直线与α平行时，可作一个平面与α平行；当过两点的直线与α相交时，不能作与α平行的平面.5.设m，n是平面α内的两条不同直线，a，b是平面β内的两条相交直线，能使α∥β的条件是( )A.m∥β且a∥αB.m∥a且n∥bC.m∥β且n∥βD.m∥β且n∥b【解析】选B.因为a，b是平面β内的两条相交直线，a∥m，b∥n，则m，n也是α内的两条相交直线，由平面与平面平行的判定定理知α∥β.6.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.①正确.因为ABCD是矩形，AC∩BD=O，所以O为BD的中点.又因为M为PB的中点，所以OM∥PD.②正确.由①知OM∥PD，又OM⊈平面PCD，PD平面PCD，OM∥平面PCD.③正确.与②同理，可证OM∥平面PDA.④错误.OM∩平面PBA=M.⑤错误.OM∩平面PBC=M.【举一反三】本题中，若OM平面α，且平面α∥平面PCD，试作出平面α与BC的交点.【解析】取BC的中点N，连接MN，ON，如图所示，则BC∩平面α=N.因为OM∥PD，OM⊈平面PCD，PD平面PCD，所以OM∥平面PCD，因为M，N是PB，BC的中点，所以MN∥PC，又MN⊈平面PCD，PC平面PCD，所以MN∥平面PCD，又OM∩MN=M，OM，MN平面OMN，所以平面OMN∥平面PCD，平面OMN即为平面α.二、填空题(每小题4分，共12分)7.(2014·吉安高一检测)在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若=，则直线MN与平面BDC的位置关系是________.【解析】在平面ABD中，=，所以MN∥BD，又MN⊈平面BCD，BD平面BCD，所以MN∥平面BCD.答案：平行8.(2014·阜阳高二检测)如图正方体ABCD-A 1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.【解析】连接FH，HN，FN，因为HN∥DB，FH∥D1D，HN∩FH=H，DB∩D1D=D，所以平面FHN∥平面B1BDD1，所以平面FHN中的任意一条直线与平面B1BDD1平行，又M点在平面EFGH 上运动，所以当M∈FH时都有MN∥平面B1BDD1.答案：M∈FH【误区警示】本题易出现M为CD的中点，即M与H重合时MN∥平面B1BDD1的错误.9.过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条.【解析】如图，设M，N，P，Q为所在棱的中点，易知平面MNPQ∥平面DBB1D1，则过M，N，P，Q这四个点中的任意两个点的直线与平面DBB1D1平行，这种情形有6条，同理，经过BC，CD，B1C1，C1D1四条棱的中点也有6条，故共有12条.答案：12三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2014·湖北高考改编)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N 分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点.求证：直线BC1∥平面EFPQ.【解题指南】通过证明FP∥AD1，得到BC1∥FP，根据线面平行的判定定理即可得证.【证明】连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP平面EFPQ，且BC 1⊈平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.11.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面A1BD∥平面CB1D1.【证明】在长方体ABCD-A 1B1C1D1中，因为A1B∥D1C，D1C平面CB1D1，A1B⊈平面CB1D1，所以A1B∥平面CB1D1，同理可证A1D∥平面CB1D1，又因为A1B平面A1BD，A1D平面A1BD，A1B∩A1D=A1，所以平面A1BD∥平面CB1D1.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014·西安高一检测)下列命题中，正确的是( )A.平面α内的两条直线和平面β平行，则平面α∥平面βB.一条直线和平面α，β都平行，则α∥βC.若平面α∥β，则平面α内任一直线平行于βD.若直线l∥平面α，则l与平面α内所有直线平行【解析】选C.A错误.因这两条直线不一定是相交直线；B错误，α与β还可能相交；C正确，因为线面无公共点.D错误，l还可能与α内的直线异面.2.已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是( )A.m∥l，l∥α⇒m∥αB.l∥β，m∥β，lα，mα⇒α∥βC.l∥m，lα，mβ⇒α∥βD.l∥β，m∥β，lα，mα，l∩m=M⇒α∥β【解析】选D.A中，m可能在α内，也可能与α平行；B中，α与β可能相交，也可能平行；C中，α与β可能相交，也可能平行；D中，l∩m=M，且l，m分别与平面β平行，依据面面平行的判定定理知α∥β.3.有一木块如图所示，点P在平面A′C′内，棱BC平行于平面A′C′，要经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，N为( )A.0B.1C.2D.无数【解析】选B.因为BC∥平面A′C′，BC∥B′C′，所以在平面A′C′上过P作EF∥B′C′，则EF∥BC.所以过EF，BC所确定的平面锯开即可.又由于此平面唯一确定，所以只有一种锯法.4.(2014·蚌埠高一检测)下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形为( )A.①②B.①④C.②③D.②④【解析】选B.①连接BC，则平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP.故①正确.对于②连接BC，取BC中点O，连接ON，则ON∥AB，所以AB与平面MNP 相交，不平行.③AB与平面PMN相交，不平行，所以③不合适.④因为AB∥NP，所以AB∥平面MNP，故④正确.二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：①a∥c，b∥c⇒a∥b；②a∥γ，b∥γ⇒a∥b；③c∥α，c∥β⇒α∥β；④α∥γ，β∥γ⇒α∥β；⑤c∥α，a∥c⇒a∥α；⑥a∥γ，α∥γ⇒a∥α.正确命题是________(填序号).【解析】直线平行或平面平行能传递，故①④正确.②中，a与b还可能异面或相交.③中α与β还可能相交.⑤中还可能aα，⑥中a可能在平面α内，故不正确.故正确命题是①④.答案：①④6.如图所示，在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________________.【解析】连接AM并延长，交CD于E，连接BN，并延长交CD于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点E，由==，得MN∥AB.因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.答案：平面ABC、平面ABD三、解答题(每小题12分，共24分)7.如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.【解题指南】将面面平行转化为线面平行解决.【证明】因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD，所以MQ∥AD，NQ∥BP，因为BP平面PBC，NQ⊈平面PBC，所以NQ∥平面PBC.又底面ABCD为平行四边形，所以BC∥AD，所以MQ∥BC.因为BC平面PBC，MQ⊈平面PBC，所以MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ=Q，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.8.已知底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD，点E在PD上，且PE∶ED=2∶1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，若存在，请说出点F的位置.【解题指南】先直观猜测判断点F的位置，再通过证明，说明所选点F符合条件.【解析】如图，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.因为BG∥OE，BG⊈平面AEC，OE平面AEC，所以BG∥平面AEC.同理，GF∥平面AEC，又BG∩GF=G.所以平面BGF∥平面AEC，所以BF∥平面AEC.因为BG∥OE，O是BD的中点，所以E是GD的中点.又因为PE∶ED=2∶1，所以G是PE的中点.而GF∥CE，所以F为PC的中点.综上，当点F是PC的中点时，BF∥平面AEC.【拓展延伸】两类探索型问题的解题策略(1)条件探索型：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断.(2)结论探索型：先探索结论再去证明，在探索过程中常先从特殊情况入手，通过观察、分析进行猜测，得出结论，再就所进行的猜测进行证明.关闭Word文档返回原板块。
数学北师大版高中必修2《平行关系的判定》
目标检测
3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的面中：
直 (1)与直线AB平行的平面是：平面A1C1和平面DC1 线 平面B1C和平面DC1 和 (2)与直线AA1平行的平面是： 平 (3)与直线AD平行的平面是： 平面B1C和平面A1C1 面 D1 平 A1 B1 行
D
C1
C
A
B
目标检测
a // b //
数学应用：
平 面 和 平 面 平 行
例1.如图，在长方体 ABCD A' B ' C ' D ' 中， 求证：平面C ' DB //平面 AB ' D '
D'
C'
A
'
B'
D
A B
C
目标检测
1.指出下列命题是否正确，并说明理由：
直 线 和 平 面 平 行
(1)如果一条直线不在平面内，那么这条直线就与这个 平面平行 错 (2)过直线外一点有无数个平面与这条直线平行
(3)过平面外一点有无数条直线与这个平面平行
对 对
2.已知直线a , b 和平面 ，下列命题中正确的是( D ) A 若 a // , b ，则 a // b
B 若 a // , b // ，则 a // b
C 若 a // b, b ，则 a // D 若 a // b, a // ，则 b // 或b
图形表示
a
符号表示
//
a
直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一 直 条直线平行，那么这条直线和这个平面平 线 行．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§5平行关系
5．1平行关系的判定
一、基础过关
1．直线m∥平面α，直线n∥m，则() A．n∥αB．n与α相交
C．nαD．n∥α或nα
2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是() A．平行B．相交C．平行或相交D．不相交
3．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是() A．b∥αB．b与α相交C．bαD．b∥α或b与α相交4．平面α与平面β平行的条件可以是() A．α内的一条直线与β平行
B．α内的两条直线与β平行
C．α内的无数条直线与β平行
D．α内的两条相交直线分别与β平行
5．已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，aα，b、cβ，则α与β的关系是________．6．有下列几个命题：
①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；
②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；
③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；
④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则
α∥β.
其中正确的有________．(填序号)
7．如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，求证：AE∥平面DCF.
8. 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、CD、A1B1、C1D1的中点．
求证：平面A1EFD1∥平面BCF1E1.
二、能力提升
9．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α∥β的是() A．α，β都平行于直线a、b
B．α内有三个不共线的点到β的距离相等
C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥β
D．a、b是两条异面直线，且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β
10. 在如图所示的正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是
()
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
11. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、
CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.
12. 如图，四棱锥A—DBCE中，O为底面正方形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求
证：AB∥平面DCF.
三、探究与拓展
13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心．
(1)求证：平面MNG∥平面ACD；
(2)求S△MNG∶S△ADC.
答案
1．D2．B3．D4．D
5．相交或平行
6．③
7．证明由于AB∥CD，BE∥CF，故平面ABE∥平面DCF.
而直线AE在平面ABE内，根据线面平行的定义，知AE∥平面DCF. 8．证明∵E、E1分别是AB、A1B1的中点，∴A1E1∥BE且A1E1＝BE.
∴四边形A1EBE1为平行四边形．
∴A1E∥BE1.
∵A1E⃘平面BCF1E1，
BE1平面BCF1E1.
∴A1E∥平面BCF1E1.
同理A1D1∥平面BCF1E1，
A1E∩A1D1＝A1，
∴平面A1EFD1∥平面BCF1E1.
9．D10．A
11．M∈线段FH
12．证明连接OF，
∵O为正方形DBCE对角线的交点，
∴BO＝OE，
又AF＝FE，∴AB∥OF，
⎭
⎬
⎫
A B⃘平面DCF
OF平面DCF
AB∥OF
⇒AB∥平面DCF.
13．(1)证明连接BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H.
∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，则有
BM
MP
＝BN
NF
＝BG
GH
＝2.
连接PF、FH、PH，有MN∥PF.
又PF平面ACD，M N⃘平面ACD，
∴MN∥平面ACD.
同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD.
(2)解由(1)可知
MG
PH
＝BG
BH
＝2
3
，
∴MG＝
2
3PH.
又PH＝1
2AD，∴MG＝
1
3AD.
同理NG＝1
3AC，MN＝
1
3CD.
∴△MNG∽△DCA，其相似比为1∶3，
∴S△MNG∶S△ADC＝1∶9.。