集合中含参的问题

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集合、函数基本性质中的参数问题(含详解)

集合、函数基本性质中的参数问题1、已知集合},1{},,3,1{m B m A ==，A B A = ，则=m （）A 、0或3B 、0或3C 、1或3D 、1或32、已知集合}{},1{2a M x x P =≤=，若P M P = ，则a 的取值范围是（）A 、]1,(--∞B 、),1[+∞C 、]1,1[-D 、),1[]1,(+∞--∞3、设集合},1{R x a x x A ∈<-=，},51{R x x x B ∈<<=，若∅=B A ，则实数a 的取值范围是（）A 、}60{≤≤a aB 、}42{≥≤a a a 或C 、}62{≥≤a a a 或D 、}42{≤≤a a4、已知函数32)(2--=ax x x f 在区间]2,1[上单调，则实数a 的取值范围是5、已知函数)(x f y =在定义域)1,1(-上是减函数，且)12()1(-<-a f a f ，则a 的取值范围是6、已知函数⎩⎨⎧<≥+=0,10,1)(2x x x x f ，则满足不等式)2()1(x f x f >-的x 的取值范围是7、若R a ∈，且对于一切实数x 都有032>+++a ax ax ，那么a 的取值范围是（）A 、),0(+∞B 、),0[+∞C 、)4,(--∞D 、),0()4,(+∞--∞8、关于x 的方程02)12(22=-+--a x a x 至少有一个非负实根，则a 的取值范围是9、已知集合}32{},12{≤≤-=+≤≤=x x B a x a x A ，若A B A = ，求实数a 的取值范围10、已知集合}2312{+<<-=m x m x A ，}52{≥≤=x x x B 或，是否存在实数m ，使∅≠B A ？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由。

11、已知函数xx x x f 32)(2++=（),2[+∞∈x ）（1）求)(x f 的最小值（2）若a x f >)(恒成立，求a 的取值范围【参考答案】1、【答案】B【解析】由A B A = 得，A B ⊆，因此A m ∈m m =∴或3=m ，解得0=m 或1=m 或3=m由集合元素的互异性得，1≠m 因此0=m 或3=m2、【答案】C【解析】由P M P = 得，P M ⊆，即12≤a ，解得11≤≤-a3、【答案】C 【解析】由1<-a x 得，11+<<-a x a依题意可知，5111≥-≤+a a 或，解得60≥≤a a 或4、【答案】),2[]1,(+∞-∞【解析】函数32)(2--=ax x x f 图象开口向上，对称轴为a x =依题意可知，当1≤a 时，函数)(x f 在区间]2,1[上单调递增；当2≥a 时，函数)(x f 在区间]2,1[上单调递减。

集合含参问题的归纳及解法

集合含参问题的归纳及解法1. 什么是集合含参问题？好嘞，咱们今天聊聊集合含参问题，别担心，听起来复杂，其实就是个“调皮的小问题”。

首先，集合含参问题，顾名思义，就是在某个集合里，咱们要处理带参数的元素。

这就像是你在买衣服时，不仅要考虑款式，还得看看尺寸，颜色，这些都是参数，对吧？在数学里也是如此，咱们得考虑元素的各种属性。

就拿学校的班级来说，班级里的每一个小朋友都是集合里的元素，而他们的年龄、性别、爱好等等，就是那些让他们各具特色的参数。

想象一下，你去参加一个聚会，聚会里有各种各样的人。

有的爱唱歌，有的爱跳舞，还有的喜欢讲笑话。

这些“爱好”就是他们的参数，决定了他们在聚会中的角色。

集合含参问题就是要找到这些角色，了解它们是怎么工作的。

简而言之，就是把“人”放到“集合”里，然后分析他们的参数，看看能碰撞出怎样的火花。

2. 集合含参问题的特点2.1 多样性说到集合含参问题，首先映入脑海的就是多样性。

就像春天的花园，五颜六色的花朵争奇斗艳。

不同的集合有不同的特点，参数也是各式各样，真是让人眼花缭乱！比如说，你有一个水果集合：苹果、香蕉、橙子。

它们的颜色、味道、营养价值都不一样，这些都是参数。

处理这些问题时，咱们得考虑到各种因素，才能找到最合适的解决方案。

2.2 复杂性其次，复杂性也是个重要的特点。

说实话，集合含参问题就像做大菜一样，越复杂的菜，步骤越多，调料越杂。

想要把所有参数都考虑进去，简直是难上加难！有时候，咱们可能需要借助一些数学工具，比如集合论、概率论，甚至是图论，来帮助我们理清头绪。

可别怕，慢慢来，总能找到头绪的。

3. 如何解决集合含参问题3.1 确定目标那么，解决这些问题的第一步是什么呢？那就是确定目标！就像你去旅行前，得先决定去哪里，不然到时候就成了“东跑西颠”，毫无头绪。

明确你要解决的问题，或者说，想要找出哪些参数之间的关系，这样才能有的放矢，事半功倍。

3.2 选择工具接下来，咱们得选择合适的工具。

求解含参数的两个集合的关系常用五法

求解含参数的两个集合的关系常用五法判断两个集合之间的关系是集合中的重要题型，且是高考热点内容之一。

其中，含参数的两个集合的关系更是许多同学解题的难点。

怎样求解含参数的两个集合的关系题呢？本文将结合例题介绍五种破解术，供大家参考：法一：借助数轴或韦恩图寻找关系例1：已知全集+=N U ，集合},3{+∈==N n n x x P ，},6{+∈==N n n x x Q , 则=U ( )A Q P ⋃B Q PC U ⋃ C Q C P U ⋃D Q C P C U U ⋃ 解：依题意得，P Q ⊂,则其韦恩图如下：由韦恩图可知，=U Q C P U ⋃，即选C法二：列举对比法例2：数集},)12{(Z m m M ∈+=π与数集},)14{(Z n n N ∈±=π之间的关系是（） A N M ⊂ B N M = C M N ⊂ D N M ≠ 解：取 ,2,1,0,1,-=m ，则},5,3,,,{ ππππ-=M ;取 ,1,0,=n ，则},5,3,,,{ ππππ-=N . N M =∴即选B法三：合理分类讨论，利用集合有关定义准确判断例3：已知集合}),12(51{Z k k x x M ∈+==，},5154{Z k k x x N ∈±==,则集合N M ,之间的关系为（）A N M ⊂B M N ⊂C N M =D N M ≠解：设M x ∈1，则有Z k k x ∈+=111),12(51 当Z n n k ∈=,21时，5154)14(511+=+=n n x N x ∈∴1 当Z n n k ∈-=,121时，5154)124(511-=+-=n n x N x ∈∴1 从而有N M ⊂又设N x ∈2,则Z k k k x ∈±=±=2222),14(515154 )(1422Z k k ∈± 表示奇数，)(12Z n n ∈+也表示奇数Z n n k x ∈+=±=∴),12(51)14(5122 M x ∈∴2从而有M N ⊂ 综上可得，N M =法四：挖掘元素的限制条件，利用它们的差异特征解题例4（2002年全国高考题）设集合},412{Z k k x x M ∈+==，},214{Z k k x x N ∈+==,则( ) A N M = B N M ⊂C N M ⊃D Φ=⋂N M解：集合M 的元素为)(,412412Z k k k x ∈+=+=，集合N 的元素为)(,42214Z k k k x ∈+=+= 12+k 为奇数，2+k 为整数 }{}{整数奇数⊂∴则N M ⊂故选B法五：类比不等式的传递性速判断例5：已知集合B A ⊆，},)412({Z k k x x B ∈+==π,},)214({Z k k x x C ∈+==π,那么集合A 与C 的关系为_____解：将B ，C 分别变形得},412{Z k k x x B ∈+==π，},42{Z k k x x C ∈+==π 在集合B 中，x 为π412+k ，分子为π的奇数倍；在集合C 中，x 为π42+k ，分子为π的整数倍 C B ⊂∴ 又B A ⊆ C B A ⊂⊆∴则有C A ⊂ 综上可见，求解含参数的两个集合关系题的策略是多种多样的。

集合与常用逻辑用语(5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)-备战24年高考数学(原卷版)

专题01集合与常用逻辑用语易错点一：对集合表示方法的理解存在偏差（集合运算问题两种解题方法）方法一：列举法列举法就是通过枚举集合中的所有元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法。

其解题具体步骤如下:第一步定元素：确定已知集合中的所有元素，利用列举法或画数轴写出所有元素或范围；第二步定运算：利用常见不等式或等式解未知集合；第三步：定结果。

方法二：赋值法高考对集合的基本运算的考查以选择题为主,所以我们可以利用特值法解题,即根据选项之间的明显差异,选择一些特殊元素进行检验排除,从而得到正确选项.其解题具体步骤如下:第一步：辨差异:分析各选项,辨别各选项的差异；第二步：定特殊:根据选项的差异,选定一些特殊的元素；第三步：验排除:将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项；第四步：定结果:根据排除的结果确定正确的选项。

易错提醒：对集合表示法的理解先观察研究对象（丨前），研究对象是点集还是数集，故要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素类型及代表元素的含义.例已知集合{}A x x π=<，(){},2B x y y =>，则集合A B = （）A ．∅B ．()2,πC ．(),2-∞D ．(),π-∞变式1：已知集合()(){}{}21402A x x x B y y x =--<==-，，则A B = （）A ．∅B ．{}14x x <<C ．{}12x x <≤D ．{}24x x ≤<变式2：已知集合{}22(,)1,,A x y x y x y =+=∈R ∣，{1,,}B x x y x y =+=∈R ∣，则（）A ．{0,1}AB = B ．{(0,1),(1,0)}A B ⋂=C ．A B=D ．A B ⋂=∅变式3：已知集合(){}2|log 10A x x =-<，{||2|2}B x x =-<，则A B = （）A ．{|12}x x <<B ．{|14}x x <<C ．{|04}x x <<D ．{|4}x x <1．集合(){},32A x y y x ==-，(){},4B x y y x ==+，则A B = （）A ．{}3,7B ．(){}3,7C ．{}7,3D ．{}3,7x y ==2．已知集合{}220|A x x x =-<，集合(){}22log 2|B y y x ==-，则A B = （）A ．(]0,1B ．(,1)-∞C ．(,2)-∞D ．()0,23．设全集U =R ，集合{|3,10}P y y x x ==-<<，|02x Q x x ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，则U P Q ⋂ð等于（）A ．()2,0-B ．[)2,0-C ．()3,2--D ．(]3,2--4．已知集合{}N 14A x x =∈-≤<，(){}2lg 23B x y x x ==-++，则A B = （）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．[)1,3-D ．()1,3-5．已知集合{|12},{|ln }M x x N x y x =-≤≤==，则M N ⋂=（）A ．{|12}x x -≤≤B ．{|12}x x -<≤C ．{|02}x x <≤D ．{|1x x <-或2}x ≥1.利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围解题时务必注意:由于∅是任意集合的子集,若已知非空集合B,集合A满足A⊆B或A⊂B,则对集合A分两种情中的含参问题况讨论:(1)当A=∅时,若集合A是以不等式为载体的集合,则该不等式无解;(2)当A≠∅时,要利用子集的概念把子集关系转化为两个集合对应区间的端点值的大小关系,从而构造关于参数的不等式(组)求解.2.利用两集合的运算求参数的值或取值范围解决此类问题的步骤一般为:第一步：化简所给集合;第二步：用数轴表示所给集合;第三步：根据集合端点间关系列出不等式(组);(4)解不等式(组);第四步：检验,通过返回代入验证端点是否能够取到.第五步：解决此类问题多利用数形结合的方法,结合数轴或Venn图进行求解.易错提醒：勿忘空集和集合本身.由于∅是任意集合的子集，是任何集合的真子集，任何集合的本身是该集合的子集，所以在进行列举时千万不要忘记。

高一必修一数学集合中含参取值范围专项练习(含解析)

集合中含参取值范围一．选择题（共8小题）1．集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}．若B⊆A，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．0或±12．已知，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．C．D．3．设A=[﹣2，4），B={x|x2﹣ax﹣4≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2）B．[﹣1，2]C．[0，3]D．[0，3）4．设集合A={x，y|y=}，B={x，y|y=k（x﹣b）+1}，若对任意0≤k≤1都有A∩B≠∅，则实数b的取值范围是（）A．B．C． D．5．已知集合A={1，2}，B={x|mx﹣1=0}，若A∩B=B，则符合条件的实数m的值组成的集合为（）A．{1，}B．{﹣1，}C．{1，0，}D．{1，﹣}6．已知集合A={x|0＜x＜1}，B={x|0＜x＜c}，若A∪B=B，则实数c的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（0，1]C．（0，1 D．（1，+∞）7．已知集合A={x|x≤1}，B={x|x＞a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，∞）D．[1，+∞）8．集合M={1，2（m2﹣2m﹣5）+（m2+5m+6）i}，N={3，10}，且M∩N≠∅，则实数m的值为（）A．﹣2 B．﹣2或4 C．﹣2或﹣3 D．﹣2或5二．填空题（共10小题）9．不等式的解集是空集，则实数a的取值范围是．10．设全集U=R，集合M={x|2a﹣1＜x＜4a，a∈R}，N={x|1＜x＜2}，若N⊆M，则实数a的取值范围是．11．已知集合A={﹣1，0，a}，B={x|1＜2x＜2}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是．12．已知集合A={x|﹣2≤x≤7}，B={x|m+1＜x＜2m﹣1}且B≠∅，若A∪B=A，则m的取值范围是．13．已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，A∪（∁R B）=R，则实数a的取值范围是．14．已知函数，A={x|t≤x≤t+1}，B={x||f（x）|≥1}，若集合A∩B只含有一个元素，则实数t的取值范围是．15．设f（x）=x2+ax+bcosx，{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠∅，则满足条件的所有实数a，b 的值分别为．16．已知，B={（x，y）|y=kx+3}，并且A∩B=∅，则实数k的值是．17．设集合，B={x|x2﹣3ax﹣10a2≤0，a＞0}，满足A∩B=A的正实数a 的取值范围是．18．已知集合S={x|kx2+1＞kx}，若S=R，则实数k的取值范围．三．解答题（共16小题）19．设集合A={x|x2+4a=（a+4）x，a∈R}，B={x|x2+4=5x}．（1）若A∩B=A，求实数a的值；（2）求A∪B，A∩B．20．已知A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，若A∩B=∅，求a的范围．21．已知M={x|﹣2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a﹣1}．（Ⅰ）若M⊆N，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若M⊇N，求实数a的取值范围．22．A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a﹣1）x+a2﹣1=0}，如果A∩B=B，求实数a的取值范围．23．设集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}，C={x|x≥a﹣1}．（1）求A∩B；（2）若B∪C=C，求实数a的取值范围．24．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2﹣ax+a﹣1=0}，C={x|x2﹣mx+2=0}，且A∪B=A，A∩C=C，求实数a，m的取值范围．25．设A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2﹣ax+2=0}，B⊆A．（1）写出集合A的所有子集；（2）若B非空，求a的值．26．已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|x2+ax﹣6＜0}，C={x|x2﹣2x﹣15＜0}（1）若A∪B=B，求a的取值范围；（2）是否存在a的值使得A∪B=B∩C，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．27．已知集合A={x|（x+1）（x﹣5）≤0}，集合B={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}．（1）若A⊆B，求实数m的取值范围；（2）若集合A∩B中有且只有3个整数，求实数m的取值范围．28．已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）当m=3时，求集合A∩B；（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．29．已知集合A={（x，y）|y=﹣x2+mx﹣1}，B={（x，y）|x+y=3，0≤x≤3}，若A∩B中有且仅有一个元素，求实数m的取值范围．30．设集合A={x|﹣2≤x≤4}，B={x|m﹣3≤x≤m}．（1）若A∩B={x|2≤x≤4}，求实数m的值；（2）若A⊆（∁R B），求实数m的取值范围．31．已知集合A={x∈R|mx2﹣2x+1=0}，在下列条件下分别求实数m的取值范围：（Ⅰ）A=∅；（Ⅱ）A恰有两个子集；（Ⅲ）A∩（，2）≠∅32．设x、y为实数，集合A={（x，y）|y2﹣x﹣1=0}，B={（x，y）|16x2+8x﹣2y+5=0}，C={（x，y）|y=kx+b}，问是否存在自然数k，b使（A∪B）∩C=∅？33．已知A={x|a≤x≤2a+3}，B={x|x2+5x﹣6＞0}．（Ⅰ）若A∩B={x|1＜x≤3}，求a的值；（Ⅱ）若A∪B=B，求a的取值范围．34．已知集合A={x|x2﹣2ax+4a2﹣3=0}，集合B={x|x2﹣x﹣2=0}，集合C={x|x2+2x﹣8=0}（1）是否存在实数a，使A∩B=A∪B？若存在，试求a的值，若不存在，说明理由；（2）若A∩B≠∅，A∩C=∅，求a的值．参考答案一．选择题（共8小题）1．解：∵A={x|x2=1}={﹣1，1}，又∵B⊆A，当a=0，ax=1无解，故B=∅，满足条件若B≠∅，则B={﹣1}，或Q={1}，即a=﹣1，或a=1故满足条件的实数a∈{0，1，﹣1}故选D．2．解：由题意，，由A∪B=A得B⊆A又B={x|x2﹣2ax+a+2≤0}当B是空集时，符合题意，此时有△=4a2﹣4a﹣8＜0解得﹣1＜a＜2 当B不是空集时，有解得2≤a≤综上知，实数a的取值范围是故选D3．解：∵△=a2+16＞0∴设方程x2﹣ax﹣4=0的两个根为x1，x2，（x1＜x2）即函数f（x）=x2﹣ax﹣4的两个零点为x1，x2，（x1＜x2）则B=[x1，x2]若B⊆A，则函数f（x）=x2﹣ax﹣4的两个零点在[﹣2，4）之间注意到函数f（x）的图象过点（0，﹣4）∴只需，即解得：0≤a＜3故选 D4．解：∵集合A={（x，y）|y=}，B={（x，y）|y=k（x﹣b）+1}，当0≤k≤1时，都有A∩B≠∅，作图如下：集合A中的曲线为以（0，0）为圆心，2为半径的上半圆，B中的点的集合为过（b，1）斜率为k的直线上的点，由图知，当k=0时，显然A∩B≠∅，当k=1，y=（x﹣b）+1经过点B（2，0）时，b=3；当k=1，直线y=（x﹣b）+1与曲线y=相切与点A时，由圆心（0，0）到该直线的距离d==2得：b=1﹣2或b=1+2（舍）．∵0≤k≤1时，都有A∩B≠∅，∴实数b的取值范围为：1﹣2≤b≤3．故选C．5．解：∵A∩B=B∴B⊆A当m=0时，B=∅满足要求；当B≠∅时，m+1=0或2m﹣1=0m=﹣1或∴综上，m∈{1，0，}．故选C．6．解：若A∪B=B，则A⊆B，∵A={x|0＜x＜1}，B={x|0＜x＜c}，∴c≥1．故选A．7．解：∵集合A={x|x≤1}，B={x|x＞a}，且A∪B=R，∴a≤1，故选B．8．解：∵M={1，2，（m2﹣2m﹣5）+（m2+5m+6）i}，N={3，10}，且M∩N≠∅，∴（m2﹣2m﹣5）+（m2+5m+6）i=3或（m2﹣2m﹣5）+（m2+5m+6）i=10即m2+5m+6=0解得m=﹣2或﹣3当m=﹣2时（m2﹣2m﹣5）+（m2+5m+6）i=3，满足条件当m=﹣3时（m2﹣2m﹣5）+（m2+5m+6）i=10，满足条件故选C二．填空题（共10小题）9．解：根据题意，x+a＞0的解集为x＞﹣a，若这个不等式组的解集是空集，则ax＞﹣1，即ax+1＞0的解集为{x|x≤﹣a}的子集，分析可得，当a≤﹣1，成立；故答案为a≤﹣1．10．解：∵全集U=R，集合M={x|2a﹣1＜x＜4a，a∈R}，N={x|1＜x＜2}，N⊆M，∴2a﹣1≤1 且4a≥2，解得2≥a≥，故实数a的取值范围是[，1]，故答案为[，1]．11．解：∵集合A={﹣1，0，a}，B={x|1＜2x＜2}={x|0＜x＜1}，若A∩B≠∅，则有0＜a＜1，故实数a的取值范围是（0，1），故答案为（0，1）．12．解：据题意得B⊆A，故有﹣2≤m+1＜2m﹣1≤7，转化为不等式组，解得2＜m≤4，故m的取值范围是的取值范围是（2，4]，故答案为（2，4]．13．解：∵B={x|1＜x＜2}，∴∁R B={x|x≥2或x≤1}，要使A∪（∁R B）=R，则a≥2．故答案为：{a|a≥2}．14．解：∵要解|f（x）|≥1，需要分类来看，当x≥0时，|2x2﹣4x+1|≥1∴2x2﹣4x+1≥1或2x2﹣4x+1≤﹣1∴x≥2或x≤0或x=1∵x≥0∴x≥2或x=1或x=0．当x＜0时，|﹣2x2﹣4x+1|≥1∴﹣2x2﹣4x+1≥1或﹣2x2﹣4x+1≤﹣1∴﹣2≤x≤0或x或x∵x＜0∴﹣2≤x＜0或x综上可知B={x|﹣2≤x≤0或x或x≥2或x=1}∵集合A∩B只含有一个元素，∴t＞0且t+1＜2∴0＜t＜1故答案为：0＜t＜115．解：∵f（x）=x2+ax，∴f（f（x））=f（x）2+af（x）=（x2+ax）2+a•（x2+ax）=x4+2ax3+（a2+a）x2+a2x 当a=0时，{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}={0}≠∅当a≠0时，{x|f（x）=0，x∈R}={0，﹣a}．若{x|f（f（x））=0，x∈R}={0，﹣a}，则f（f（﹣a））=0且除0，﹣a外f（f（x））=0无实根，即x2+ax+a=0无实根即a2﹣4a＜0，即0＜a＜4综上满足条件的所有实数a的取值范围为0≤a＜4故答案为：0≤a＜4，b=0．16．解：由题意A集合是一条直线y=﹣3x﹣2去掉一个点（﹣1，1）后所有点的集合，B集合是直线y=kx+3所有点的集合，∵A∩B=∅，∴两直线的位置关系是平行，或者是直线y=kx+3过点（﹣1，1），若两直线平行，则有k=﹣3，若直线y=kx+3过点（﹣1，1），则有1=﹣k+3，得k=2综上，实数k的值是2或﹣3故答案为2或﹣317．解：集合={x|﹣2≤x≤2}．B={x|x2﹣3ax﹣10a2≤0，a＞0}={x|（x+2a）（x﹣5a）≤0，a＞0}={x|﹣2a≤x≤5a}．因为A∩B=A，所以A⊆B，即，所以，即a≥1．所以正实数a的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．18．解：要使若S=R，需kx2+1＞kx恒成立，即kx2 ﹣kx+1＞0 恒成立．当k=0时，不等式即1＞0，显然成立；当k≠0时，由△=k2﹣4k＜0，解得0＜k＜4，故答案为：[0，4）．三．解答题（共16小题）19．解：A={x|x=4或x=a}，B={x|x=1或x=4}（1）因为A∩B=A 所以A⊆B，由此得a=1 或a=4（2）若a=1，则A=B={1，4}所以A∪B={1，4}，A∩B={1，4}若a=4，则A={4}所以A∪B={1，4}，A∩B={4}若a≠1，4则A={4，a}所以A∪B={1，4，a}，A∩B={4}20．解：当A=φ时即2a＞a+3，a＞3，此时满足A∩B=∅当A≠∅时，2a≤a+3，即a≤3时有2a≥﹣1且a+3≤5解之﹣≤a≤2，此时A∩B=φ综合知，当a＞3或﹣≤a≤2时，A∩B=∅21．解：（Ⅰ）由于M⊆N，则，解得a∈Φ（4分）（Ⅱ）①当N=Φ时，即a+1＞2a﹣1，有a＜2．（6分）②当N≠Φ，则，解得2≤a≤3，综合①②得a的取值范围为a≤3．（10分）22．解：A═{x|x2+4x=0}={0，﹣4}，∵A∩B=B，∴B⊆A．方程x2+2（a﹣1）x+a2﹣1=0的判别式△=4（a﹣1）2﹣4（a2﹣1）=﹣8a+8．①若B=∅时，△=﹣8a+8＜0，得a＞1；②若B={0}，则，解得a=1；③B={﹣4}时，则，此时方程组无解．④B={0，﹣4}，，此时a无解．综上所述实数a≥1．23．解：（1）由题意知，B={x|2x﹣4≥x﹣2}={x|x≥2}…（2分）所以A∩B={x|2≤x＜3}…（4分）（2）因为B∪C=C，所以B⊆C…（6分）所以a﹣1≤2，即a≤3…（8分）24．解：由已知得A={1，2}，B={x|（x﹣1）（x﹣a+1）=0}，由A∪B=A，知B⊆A由题意知B≠∅，当B为单元素集合时，只需a=2，此时B={1}满足题意．当B为双元素集合时，只需a=3，此时B={1，2}也满足题意所以a=2或a=3，由A∩C=C得C⊆A当C是空集时，△=m2﹣8＜0即﹣2＜m＜2；当C为单元素集合时，△=0，求得m=±2，此时C={}或C={﹣}，此时不满足题意，舍去；当C为双元素集合时，C只能为{1，2}，此时m=3；综上m的取值集合为{m|m=3或﹣2＜m＜2}．25．解：（1）由题可知：A={1，2}，所以集合A的所有子集是：∅，{1}，{2}，{1，2}；（2）因为B非空集合，①当集合B中只有一个元素时，由判别式等于0可得，a2﹣8=0可知，此时B={x|x2﹣ax+2=0}={x|=0}，故B={}或{}，不满足B⊆A，不符合题意．②当集合B中有两个元素时，A=B，比较方程的系数可得a=3，综上可知：a=3．26．解：（1）∵集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|x2+ax﹣6＜0}，C={x|x2﹣2x﹣15＜0}∴A={x|﹣1＜x＜3}，C={x|﹣3＜x＜5}，由A∪B=B知A⊆B，令f（x）=x2+ax﹣6，则得﹣5≤a≤﹣1（2）假设存在a的值使A∪B=B∩C，由A∪B=B∩C⊆B知A⊆B，又B⊆A∪B=B∩C知B⊆C，∴A⊆B⊆C．由（1）知若A⊆B，则a∈[﹣5，1]当B⊆C时，△=a2+24＞0，∴B≠φ∴得≤a≤﹣1，故存在a∈[﹣，﹣1]满足条件．27．解：（1）因为A={x|（x+1）（x﹣5）≤0}={x|﹣1≤x≤5}，因为m＞0，所以B≠∅．所以要使A⊆B，则有，即，即m≥4，所以实数m的取值范围[4，+∞）．（2）因为A={x|﹣1≤x≤5}，B={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}．则集合B的区间长度为1+m﹣（1﹣m）=2m．所以集合A∩B中有且只有3个整数，则有2m＜4，即m＜2．此时1+m＜3．①若2≤1+m＜3，要使集合A∩B中有且只有3个整数，此时三个整数为0，1，2，所以满足﹣1＜1﹣m≤0，即，解得，所以此时1≤m＜2．②若1≤1+m＜2，要使集合A∩B中有且只有3个整数，此时三个整数为﹣1，0，1，所以满足1﹣m≤﹣1，即，解得，所以m无解．综上实数m的取值范围[1，2）．28．解：（1）当m=3时，B={x|4≤x≤5}（3分）则A∩B={x|4≤x≤5}（6分）（2）①当B为空集时，得m+1＞2m﹣1，则m＜2（9分）当B不为空集时，m+1≤2m﹣1，得m≥2由B⊆A可得m+1≥﹣2且2m﹣1≤5（12分）得2≤m≤3（13分）故实数m的取值范围为m≤3（14分）29．解：由题意，得x2﹣（m+1）x+4=0在[0，3]上有且仅有一解①△=0时方程有相等实根且在[0，3]上，即∴m=3②△＞0时，只有一根在[0，3]上，两根之积为4＞0，则32﹣（m+1）×3+4＜0，∴m＞所以，m的取值范围是m=3或m＞．30．解：（1）因为A={x|﹣2≤x≤4}，B={x|m﹣3≤x≤m}．所以若A∩B={x|2≤x≤4}，则，即，所以m=5．…6分（2）因为B={x|m﹣3≤x≤m}，所以∁R B={x|x＞m或x＜m﹣3}，要使A⊆（∁R B），则m﹣3＞4或m＜﹣2，即m＞7或m＜﹣2．即m的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（7，+∞）…12分．31．解：（Ⅰ）若A=∅，则关于x的方程mx2﹣2x+1=0 没有实数解，则m≠0，且△=4﹣4m＜0，所以m＞1；（3分）（Ⅱ）若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程mx2﹣2x+1=0 恰有一个实数解，讨论：①当m=0时，x=，满足题意；②当m≠0时，△=4﹣4m，所以m=1．综上所述，m的集合为{0，1}．（3分）（Ⅲ）若A∩（，2）≠∅，则关于x的方程mx2=2x﹣1在区间（，2）内有解，这等价于当x∈（，2）时，求值域：m=﹣=1﹣（﹣1）2∴m∈（0，1]（5分）32．解：若（A∪B）∩C=∅，则（A∩C）∪（B∩C）=φ，即有A∩C=φ且B∩C=φ．即方程组①与②都无解，由①得k2x2+（2kb﹣1）x+b2﹣1=0，若k=0，则方程为x=1﹣b2，有解，不满足条件，若k≠0，则判别式△=（2kb﹣1）2﹣4k2（b2﹣1）＜0，即1﹣4kb+4k2＜0，∴b＞，∵k，b是自然数，∴b＞1，由②得16x2+8x﹣2（kx+b）+5=0，即16x2+（8﹣2k）x+5﹣2b=0，判别式△=（8﹣2k）2﹣4×16（5﹣2b）＜0，即k2﹣8k+32b﹣64＜0，即b＜=≤=，∵b是自然数，∴b=2，此时k=1，故存在b=2，k=1使得使（A∪B）∩C=∅．33．解：∵A={x|a≤x≤2a+3}，B={x|x2+5x﹣6＞0}=[x|x＜﹣6，或x＞1}．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）（Ⅰ）依题意A∩B={x|1＜x≤3}可得，∴a=0．﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）由A∪B=B得A⊆B．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）①当A=∅时满足题意，此时，a＞2a+3，解得a＜﹣3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）②当A≠∅时，有，解得a＞1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）综上，a的取值范围为：a＜﹣3 或a＞1，即（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）34．解：（1）若A∩B=A∪B，则A=B，∵B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴A={﹣1，2}，即﹣1和2是方程x2﹣2ax+4a2﹣3=0的两个根，∴，∴．满足△＞0，∴a存在．（2）若A∩B≠∅，A∩C=∅，则可知集合A中无﹣4，2．至少有一个元素﹣1．当A={﹣1}时，当A={﹣1，x}，x≠2时，．。

集合中含参问题的分类讨论

集合中含参问题的分类讨论
【例1】设集合M={x|ax2-2x+2=0，x∈R}至多有一个元素，求实数a的取值范围．
变式：若集合A={x∈R∣ax2+ax+1=0}其中只有一个元素，则a=( )
A. 4
B. 2
C. 0
D. 0或4
【例2】已知集合A={x|−2≤x≤5}
（1）若B⊆A，B={x|m+1≤x≤2m−1}，求实数m的取值范围；
（2）若A⊆B，B={x|m−6≤x≤2m−1}，求实数m的取值范围；
（3）若A=B，B={x|m−6≤x≤2m−1}，求实数m的取值范围.
<1或x>5}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是__________. 变式1：已知集合A={x|2a≤x≤a+3}，B={x∣x-
变式2：已知A={x∣x<−2或x>3}，B={x|a≤x≤2a−1}，若B⊆A，求实数a的取值范围.
【例3】已知集合A={x∣x2−3x+2=0}，B={x∣x2−ax+a−1=0}，C={x∣x2−mx+2=0}，且A∪B=A，A∩C=C，求实数a，m 的取值范围.
变式1：设集合A={x∣x2+4x-5=0}，B={x∣x2+2ax-2a2+3=0}
（1）若A∩B=B，求实数a的取值范围；
（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围.
变式2：已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0}，集合B={x|x2-5x+6=0}，是否存在实数a，使得集合A、B能同时满足下列
三个条件：（1）A≠B；（2）A∪B=B；（3）(A∩B)
若存在，求出这样的实数a的值；若不存在，试说明理由.。

集合中含参数问题的解题策略

ʏ黄冠品集合中的含参数问题是同学们学习的一个难点,也是一个易错点㊂其学习要点在于正确判断端点值能否取到,注意考虑空集的情况㊂高考关于集合中含参数问题的考查,往往与集合元素的性质㊁函数㊁解不等式等相结合,考查的题型主要以小题形式出现,有时渗透于解答题之中㊂类型一:元素与集合关系中的含参数问题例1已知集合M={-2,3x2+3x-4,x2+x-4},若2ɪM,求x的值㊂解:当3x2+3x-4=2时,3x2+3x-6=0,即x2+x-2=0,解得x=-2或x= 1,经检验知,x=-2或x=1均不合题意㊂当x2+x-4=2时,x2+x-6=0,解得x=-3或x=2,经检验知,x=-3或x=2均符合题意㊂故所求的x=-3或x=2㊂感悟:已知某元素属于或不属于集合,求参数的取值范围要注意两点:一是合理确定分类标准,做到不重不漏;二是要将所求得的参数值代入集合进行检验㊂变式1:已知集合A={(x,y)|2x-y+ m>0},B={(x,y)|x+y-nɤ0},若点P(2,3)ɪA,且P(2,3)∉B,求m,n的取值范围㊂提示:将点(2,3)代入集合A中的不等式,可得4-3+m>0,解得m>-1㊂因为点(2,3)不在集合B中,所以将点(2,3)代入B中得到2+3-nɤ0不成立,即2+3-n>0成立,解得n<5㊂故所求的mɪ(-1,+ɕ),nɪ(-ɕ,5)㊂类型二:集合中元素个数的含参数问题例2已知集合A={x|k x2-8x+16= 0},若集合A中只有一个元素,则实数k组成的集合为㊂解:当k=0时,方程k x2-8x+16=0可化为-8x+16=0,解得x=2,此时集合A={2},满足题意;当kʂ0时,要使集合A=x|k x2-8x+16=0{}中只有一个元素,需满足方程k x2-8x+16=0有两个相等的实数根,可得Δ=64-64k=0,解得k=1,此时集合A={4},满足题意㊂综上所述,k=0或k=1,即实数k组成的集合为{0,1}㊂感悟:解答本题要注意两点:一是解集是否可能为空集;二是二次项系数是否为0㊂变式2:已知集合{x|(x-2)(x2-2x+ a)=0,xɪR}中的所有元素之和为2,则实数a的取值集合为㊂提示:由集合{x|(x-2)(x2-2x+a)= 0,xɪR}中的所有元素之和为2,可知2是其中的一个元素,所以x2-2x+a=0的解为x=0或无解,所以a=0或Δ=4-4a<0㊂由4-4a<0,解得a>1㊂故实数a的取值集合为{a|a=0或a>1}㊂类型三:集合基本关系中的含参数问题例3集合A={x|x<-1或xȡ3}, B={x|a x+1ɤ0},若B⊆A,则实数a的取值范围是()㊂A.-13,1[)B.-13,1[]C.(-ɕ,-1)ɣ[0,+ɕ)D.-13,0[)ɣ(0,1)解:根据B⊆A,分B=⌀和Bʂ⌀两种情况讨论,建立不等关系,求出实数a的取值范围㊂①当B=⌀时,即a x+1ɤ0无解,此时a=0,满足题意㊂②当Bʂ⌀时,即a x+1ɤ0有解,当a>0时,可得xɤ-1a,要使B⊆A,需满足a>0,-1a<-1, {解得0<a<1;当a<3知识结构与拓展高一数学2022年9月Copyright©博看网. All Rights Reserved.0时,可得x ȡ-1a ,要使B ⊆A ,需满足a <0,-1aȡ3,{解得-13ɤa <0㊂综上可知,实数a 的取值范围是-13,1[)㊂应选A ㊂感悟:由两个集合间的包含关系求参数的取值范围,常利用子集将问题转化为方程(组)或不等式(组)求解㊂变式3:若集合A ={x |2a +1ɤx ɤ3a -5},B ={x |5ɤx ɤ16},则能使A ⊆B 成立的所有实数a 组成的集合为( )㊂A .{a |2ɤa ɤ7} B .{a |6ɤa ɤ7}C .{a |ɤ7}D .⌀提示:要使A ⊆B 成立,可分集合A =⌀和A ʂ⌀两种情况讨论求解㊂当A =⌀时,由2a +1>3a -5,可得a <6;当A ʂ⌀时,由2a +1ɤ3a -5,3a -5ɤ16,2a +1ȡ5,ìîíïïï解得6ɤa ɤ7㊂综上所述,a ɤ7㊂应选C ㊂类型四:集合基本运算中的含参数问题例4 已知集合A ,B 满足A ɣB ={x |1<x ɤ3},A ɘB ={x |a ɤx ɤa +1},则实数a 的取值范围为( )㊂A .[1,2]B .(1,2)C .(1,2]D .⌀解:由题意知A ɘB ⊆A ɣB ,所以a >1,a +1ɤ3,{解得a ɪ(1,2]㊂应选C ㊂感悟:集合基本运算中的含参数问题,一般通过观察得到两个集合间元素之间的关系,再列方程或不等式求解㊂变式4:已知集合S ={x ɪN |x ɤ5},T ={x ɪR |x 2=a 2},且S ɘT ={1},则S ɣT =( )㊂A.{1,2}B .{0,1,2}C .{-1,0,1,2}D .{-1,0,1,2,3}提示:集合S ={x ɪN |x ɤ5}={0,1,2}㊂因为S ɘT ={1},所以1ɪT ,所以a 2=1,所以T ={x ɪR |x 2=a 2}={-1,1}㊂由此可得,S ɣT ={-1,0,1,2}㊂应选C ㊂1.已知集合M ={a ,2a -1,2a 2-1},若1ɪM ,则M 中所有元素之和为( )㊂A.3B .1C .-3D .-1提示:若a =1,则2a -1=1,这时与集合中元素的互异性矛盾;若2a -1=1,则a =1,这时与集合中元素的互异性矛盾㊂故2a 2-1=1,解得a =1(舍去)或a =-1,所以M ={-1,-3,1},可得元素之和为-3㊂应选C ㊂2.已知集合A ={x |x 2>2x },B ={x |a <x <a +1},若A ɘB =⌀,则a 的取值范围是( )㊂A.[0,1]B .[-1,0]C .(0,1)D .(-1,1)提示:因为A ={x |x 2>2x }={x |x >2或x <0},B ={x |a <x <a +1},又A ɘB =⌀,所以a ȡ0且a +1ɤ2,解得0ɤa ɤ1㊂应选A ㊂3.已知集合A ={a ,b ,2},B ={2,b2,2a },若A =B ,则a +b =㊂提示:利用A =B 求解㊂由a =b2,b =2a ,{解得a =0,b =0{或a =14,b =12㊂ìîíïïïï当a =b =0时,集合A ,B中的元素均不满足互异性;当a =14,b =12时,A =B =14,12,2{},符合题意,这时a +b =14+12=34㊂同理,由a =2a ,b =b2,{解得a =0,b =0{或a =0,b =1,{所以a =0,b =1{满足题意,这时a +b =1㊂综上所述,a +b =1或a +b =34㊂作者单位:江苏省郑梁梅高级中学(责任编辑郭正华)4知识结构与拓展高一数学 2022年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

集合中含参数问题的分类讨论

集合中含参数问题的分类讨论高一的同学不知不觉升入高中已经有一个月的时间了，第一章集合的学习也已经结束.有同学反映集合中含有参数的问题不知道如何进行分类讨论，下面我就这一问题进行归纳总结，希望对你的学习有所帮助.对于两个集合A与B，A或B中含有待确定的参数（字母），若A⊆B或A=B，则集合B中的元素与集合A中的元素具有“包含关系”，解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的办法.（1）分类讨论是指：A⊆B在未指明集合A非空时，应分A=∅和A≠∅两种情况来讨论；因为集合中的元素是无序的的，由A⊆B或A=B得到的两个集合中的元素对应相等的情况可能有多种，因此需要分类讨论.（2）数形结合是指：对A=∅这种情况，在确定参数时需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清实心点与空心圈，确定两个集合之间的包含关系，列不等式（组）将参数确定出来.（3）解决集合中含有参数问题时，最后结果要注意验证.验证是指：分类讨论求得的参数的值，还需代入原集合中看是否满足互异性；所求参数能否取到端点值.根据所给集合的形式我们可以将这类问题分为两类，一类是与不等式有关集合问题，另一类是与方程有关的.下面通过具体例子作进一步分析：例1：已知集合A={x|x2-3x-10≤0}（1）若B⊆A，B={x|m+1≤x≤2m-1，m为常数}，求实数m的取值范围；（2）若A⊆B，B={x|m-6≤x≤2m-1，m为常数}，求实数m的取值范围；（3）若A=B，B={x|m-6≤x≤2m-1，m为常数}，求实数m的取值范围.解析：（1）B⊆A说明B是A的子集，即集合B中元素都在集合A中，注意B是∅的情况.由A={x|x2-3x-10≤0}，得A={x|-2≤x≤5}因为B⊆A，所以当B=∅时，则m+1＞2m-1，即m＜2，此时满足B⊆A当B≠∅时，则如图所以{m +1≤2m −1−2≤m +12m −1≤5，解得2≤m ≤3由得，m ≤3（2）A ⊆B 且A 不是∅，说明A 是B 的子集，注意此时B 不是∅.若A ⊆B ，依题意有{2m −1≥m −6m −6≤−22m −1≥5,解得{m >−5m ≤4m ≥3，故3≤m ≤4（3）A=B 说明两集合元素完全相同.若A=B ，则必有{m −6=−22m −1=5，此方程无解即不存在使得A=B 的m 值.点评：解决“A ⊆B ”或“A ⫋B 且B ≠∅”的相关问题时，一定要分A=∅和A ≠∅两种情况进行讨论，其中A=∅的情况容易被或略，应引起足够的重视.变式练习：1. A={x|2a ≤x ≤a+3}，B={x|x ＜-1或x ＞5}，若A ∩B=，则a 的取值范围为 .解：由A ∩B=∅得若A=∅,则2a ＞a+3，因此a ＞3；若A ≠∅，则如图x所以{2a ≥−1a +3≤52a ≤a +3，解得−12≤a ≤2综上所述，a 的取值范围为{a|−12≤a ≤2或a ＞3}2.已知A={x|x ＜-2或x ＞3}，B={x|a ≤x ≤2a-1}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围.解：因为B ⊆A ，所以B 的可能情况有B ≠∅和B ＝∅两种当B ≠∅时，因为B ⊆A所以{a >3a ≤2a −1或{2a −1<−2a ≤2a −1解得a ＞3当B ＝∅时，由a ＞2a-1，得a ＜1综上可知，实数a 的取值范围是{a|a ＜1或a ＞3}例2：已知集合A={x|x 2-3x+2=0}，B={x|x 2-ax+a-1=0}，C={x|x 2-mx+2=0}，且A ∪B=A ，A ∩C=C ，求a 与m 的值或取值范围.解析：由已知条件可得，A={1，2}，B={x|(x-1)[x-(a-1)]=0}因为A ∪B=A ，所以B ⊆A又因为1∈B ，所以B ≠∅，则a-1∈A所以a-1=1或a-1=2解得 a=2或a=3因为A ∩C=C ，所以C ⊆A因此集合C 有以下三种情况当C=∅时，方程x 2-mx+2=0的判别式Δ=m 2-8＜0，解得−2√2<m <2√2 当C 为单元素集合时，Δ=m 2-8=0，解得m=−2√2或m=2√2x 5 a+3 2a -1若m=−2√2，则C={ −√2}，不满足C⊆A；若m=2√C={ √，不满足C⊆A；当C为双元素集合时，C={1，2}即1，2是关于x的方程x2-mx+2=0的两根，所以m=3代回方程检验，m=3符合题意综上所述，a=2或a=3；−2√2<m<2√2或m=3.点评：在集合的关系中，若集合B为双元素集，且A⊆B，则可对集合A按元素的个数分为三类，即A为∅，A为单元素集，A为双元素集.若B为三元素集，以此类推，这样才能统一标准，不重不漏.变式练习：1.已知A={x|x2-2x-8=0}，B={x|x2+ax+a2-12=0}，若B∪A≠A，求实数a的取值范围.解：若，则B⊆A因为A={x|x2-2x-8=0}={-2，4}所以集合B有以下三种情况：当B=∅时，Δ=a2-4(a2-12)<0，即a2>16所以a<-4或a＞4当B是单元素集合时，Δ=0，即a=-4或a=4若a=-4，则B={2}，不满足B⊆A若a=4，则B={-2}，满足B⊆A当B是双元素集合时，B={-2，4}，即-2，4是关于x的方程x2+ax+a2-12=0的两根所以{−a=−2+4a2−12=−2×4，解得a=-2综上，当B∪A=A时，a的取值范围为{a| a<-4或a=-2或a≥4}所以，当B∪A≠A时，a的取值范围是{a|-4≤a＜4，且a≠-2}2.已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0}，集合B={x|x2-5x+6=0}，是否存在实数a，使得集合A，B同时满足下列三个条件：A≠B；A∪B=B；∅⫋(A∪B)；若存在，求出这样的实数a的值；若不存在，请说明理由. 解：由已知条件可得B={2，3}，因为A∪B=B，且A≠B，所以A⫋B又因为A≠∅，所以A={2}或A={3}当A={2}时，将x=2代入A中方程，得a2-2a-15=0，所以a=-3或a=5但此时集合A分别为{2，-5}和{2，3}，与A={2}矛盾，所以a≠-3且a≠5当A={3}时，同上也能导出矛盾综上所述，满足题设要求的实数a不存在.。

浅谈集合中参数取值范围问题

185神州教育浅谈集合中参数取值范围问题董佳辽宁省实验中学东戴河分校随着新课改进程的加快，教材在内容及结构上也日益变化，以达到素质教育的要求。

高中数学应注重提高学生的数学思维能力，同时也是新课改中重要组成部分。

可是无论怎样变更，对于数学问题而言，解题方法永远是重要的一点，而众多问题中，含参问题的讨论则是高中数学的重中之重，它也是历年考试中的必考内容，并且对最近几年的试题分析情况来看，分值略有上升趋势。

纵观整个中学数学，参数问题是一条贯穿其中的脉络，参数与函数的定义域，值域(最值)相结合；与单调性结合；与方程问题相结合；与恒成立问题相结合。

可谓参数问题在高中数学中无处不在。

含参数问题的讨论，是训练和检查学生逻辑推理能力和分析问题能力的一种综合题型.求解这类问题的方法不复杂，但在一定程度上反映了学生数学素养的高低，因此，一直为人们所重视。

作为中学数学的重要内容，参数问题在课程教学中占有重要地位。

按照高中数学的教学脉络，这部分知识与集合、简易逻辑、函数思想、微积分应用、立体几何、数列等都有紧密的联系。

其中新课改之后，更是把导数中的参数问题的讨论和解决，变为重中之重。

学生们学习中的思维和视野角度都变宽泛了。

代数方法中关于参数问题解析和讨论，大多运用分离参数方法，多和分类讨论思想相结合。

在运用分类讨论思想的时候，少有著作详细分析常规的步骤。

在代数分析的时候，大多要注意导函数图象的大致形状，导函数对应方程的根，以及要注重根的大小的比较。

教者们在讲解时也因为知识点多，方法多，与其他知识交汇点众多，从而使得学生接受起来困难重重。

关于参数讨论，多和函数思想结合，这方的著作例如白建华[3]的《函数与方程思想在解题中的运用》提出了可以把函数中参数问题转换成方程有解问题来解决。

集合是高中数学的重要基础知识，它贯穿于整个中学数学教学之中，并且作为一种数学语言和工具在其他数学问题中有广泛的运用。

在高考中，它也是年年必考内容之一。

第三讲：根据集合间的基本关系求参量的值及范围

第三讲：根据集合间的基本关系求参量的值及范围本讲主要涉及关于集合的关系来确定含参量的集合中参量的取值及范围的题型，对于此类型的题目解题思路是首先要明确根据集合间的运算关系确定集合的关系即：,A B A A B A B B B A ⋂=⇒⊆⋂=⇒⊆,A B A B A A B B A B ⋃=⇒⊆⋃=⇒⊆,U U U U C A C B B A C B C A A B ⊆⇒⊆⊆⇒⊆其次在确定集合间的关系的情况下，要考虑含参量的集合为空集时是否满足题目已知条件，若满足对其进行分类讨论（分为空集和非空集讨论，防止漏解）最后借助数轴确定参量的取值范围，在确定参量的取值范围时需注意端点值的取舍（可以用代入验证法确定）举例：1已知{}{}|25,|121A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-,若B A ⊆求m 的取值范围分析：此题目A 集合为定集合（端点值确定没有参数）集合B 含有参量，且集合A 与集合B 之间的关系直接给出B A ⊆所以对集合B 分为空集和非空集讨论解：B A ⊆∴（1）当B =∅时，1212m m m +>-⇒<（2）当B ≠∅时，则有1212123m m m m +≤-⎧⎪⇒≤≤⎨+≥-2 已知{}{}|25,|121A x x B x m x m =-<<=+≤≤-，若B A ⊆，求m 的取值范围分析：首先对比这道题和第一题的不同，可以看出集合A 不同，其余不变，那么解这道题时应注意对比端点值的取舍时有什么不同解：B A ⊆∴（1）当B =∅时，1212m m m +>-⇒<121m m +≤-⎧⎪综合（1）（2）可知m 的取值范围为3m <注意：上面给出的两个例子在端点值取舍有不同，最后结果也不同一：例题讲解例1：已知集合{}{}3,5,|90A B x mx ==-=若B A ⊆则实数m 的值为____ 分析：由于集合B 含有参量且B A ⊆所以对集合B 要分类讨论防止漏解解：（1）当B =∅时，则m=0（2）当B ≠∅时，则由B A ⊆得{}{}3,5B or B ==若{}3B =时，3903m m -=⇒=，若{}5B =时95905m m -=⇒=故m 的取值为90,3,5例2：已知集合22{3|}0A x x x ≤＝－－222|}40{B x x mx m x m ≤∈∈R R ＝－＋－，，．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．分析：（1）对于集合A 是定集合，集合B 含参量的集合，先用不等式表示再借助数轴求参量的值（2）由于A ⊆∁R B 而集合A 不是空集所以对集合A 不讨论解：(1){}{}|13,|22A x x B x m x m =-≤≤=-≤≤+ 又[]0,3A B ⋂=20223m m m -=⎧∴⇒=⎨+≥⎩ （2）{}{}|22|22R B x m x m B x x m x m =-≤≤+⇒=<->+或又RA B ⊆，{|R B x x =R B ∉不符合R B ⊆ 的题取不到端点值-1 同理3R B A ∈∉而3不符合R A B ⊆的题设条件所以m-2取不到端点值3。

突破01 集合中的含参问题(举一反三)(解析版)

突破1 集合中的含参问题【举一反三系列】【考查角度1 元素与集合的关系中的含参问题】【例1】已知集合A＝{a+2，（a+1）2，a2+3a+3}，若1∈A，求实数a的取值集合．【思路分析】利用元素和集合的关系，因为1∈A，所以分别讨论三个式子，然后求解a．【答案】因为1∈A，所以①若a+2＝1，解得a＝﹣1，此时集合为{1，0，1}，元素重复，所以不成立，即a≠﹣1．②若（a+1）2＝1，解得a＝0或a＝﹣2，当a＝0时，集合为{2，1，3}，满足条件，即a＝0成立．当a＝﹣2时，集合为{0，1，1}，元素重复，所以不成立，即a≠﹣2．③若a2+3a+3＝1，解得a＝﹣1或a＝﹣2，由①②知都不成立．所以满足条件的实数a的取值集合为{0}．【练1.1】设集合A中含有三个元素3，x，x2﹣2x．（1）求实数x应满足的条件；（2）若﹣2∈A，求实数x．【思路分析】（1）由集合元素的互异性直接求解．（2）若﹣2∈A，则x＝﹣2或x2﹣2x＝﹣2．由此能出x．【答案】解：（1）由集合元素的互异性可得：x≠3，x2﹣2x≠x且x2﹣2x≠3，解得x≠﹣1，x≠0且x≠3．（2）若﹣2∈A，则x＝﹣2或x2﹣2x＝﹣2．由于x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，所以x＝﹣2．【练1.2】设集合A＝{2，3，a2+2a﹣3}，集合B＝{|a+3|，2 }，已知5∈A，且5∉B．求a的值．【思路分析】本题考查的是集合元素与集合的关系问题．在答案时由于5∈A，且A＝{2，3，a2+2a﹣3}即可得到有关a的方程，解得a的结果后要注意对a的结果进行逐一验证，看是否满足集合中元素的特点：互异性，以此来获得最终答案．【答案】解：由于5∈A，且A＝{2，3，a2+2a﹣3}，∴a2+2a﹣3＝5，即a2+2a﹣8＝0解得a＝2或﹣4，又当a＝2时，B＝{5，2}不符合条件5∉B，所以a＝2不符合题意；当a＝﹣4时，B＝{1，2}，符合条件5∉B，所以a＝﹣4为所求．故答案为a＝﹣4．【练1.3】已知集合A＝{（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B＝{（x，y）|x+y﹣n≤0}，若点P（2，3）∈A，且P（2，3）∉B，求m、n的取值范围．【思路分析】将P（2，3）的坐标代入不等式从而求出m，n的范围即可．【答案】解：将点（2，3）代入A中的不等式得到：4﹣3+m＞0，解得：m＞﹣1；因为点（2，3）不在B中，所以将点（2，3）代入B中的不等式得到：2+3﹣n≤0不成立，即2+3﹣n＞0，解得：n＜5．【考查角度2 集合中元素个数的含参问题】【例2】若集合A＝{x|x2+ax+b＝x}中，仅有一个元素a，求a、b的值．【思路分析】根据集合中有一个元素a可知a是方程x2+ax+b＝x的根，建立等式关系，然后再根据“仅有”，利用判别式建立等式关系，解之即可．【答案】解：∵集合A＝{x|x2+ax+b＝x}中，仅有一个元素a，∴a 2+a 2+b ＝a 且△＝（a ﹣1）2﹣4b ＝0解得a ＝31，b ＝91．故a 、b 的值分别为31，91.【练2.1】设集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R }（1）当A 中元素个数为1时，求：a 和A ；（2）当A 中元素个数至少为1时，求：a 的取值范围；（3）求：A 中各元素之和．【思路分析】（1）推导出a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，由此能求出a 和A ．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，由此能求出a 的取值范围．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a2-；当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素．【答案】解：（1）∵集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R }，A 中元素个数为1，∴a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，解得a ＝0，A ＝{21-}或a ＝1，A ＝{﹣1}．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，解得a ≤1， ∴a 的取值范围是（﹣∞，1]．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a2-；当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素．【练2.2】已知集合A ＝{x ∈R |ax 2﹣3x +2＝0，a ∈R }．（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．【思路分析】（1）A 为空集，表示方程ax 2﹣3x +2＝0无解，根据一元二次方程根的个数与△的关系，我们易得到一个关于a 的不等式，解不等式即可得到答案．（2）若A 中只有一个元素，表示方程ax 2﹣3x +2＝0为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a 的方程，即可求出满足条件的a 值．（3）若A 中至多只有一个元素，则集合A 为空集或A 中只有一个元素，由（1）（2）的结论，将（1）（2）中a 的取值并进来即可得到答案．【答案】解：（1）若A 是空集，则方程ax 2﹣3x +2＝0无解此时△＝9﹣8a ＜0即a ＞89（2）若A 中只有一个元素则方程ax 2﹣3x +2＝0有且只有一个实根当a ＝0时方程为一元一次方程，满足条件当a ≠0，此时△＝9﹣8a ＝0，解得：a ＝89∴a ＝0或a ＝89若a ＝0，则有A ＝{32}；若a ＝89，则有A ＝{34}；（3）若A 中至多只有一个元素，则A 为空集，或有且只有一个元素由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是：a ＝0或a ≥89【练2.3】已知集合A ＝{x |ax 2﹣2x +1＝0}．（1）若A 中恰好只有一个元素，求实数a 的值；（2）若A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围．【思路分析】（1）讨论当a ＝0和a ≠0时对应的条件．（2）根据A 中至少有一个元素，转化为方程至少含有一个根进行求解．【答案】解：（1）若A 中恰好只有一个元素，则方程ax 2﹣2x +1＝0只有一个解．当a ＝0时，方程ax 2﹣2x +1＝0等价为﹣2x +1＝0，即x ＝21，满足条件．当a ≠0，判别式△＝4﹣4a ＝0，解得a ＝1．所以a ＝0或a ＝1．（2）若A 中至少有一个元素，则由（1）知，当集合只有一个元素时a ＝0或a ＝1．当集合A 有2个元素时，满足条件a ≠0且△＝4﹣4a ＞0，解得a ＜1且a ≠0．综上实数a 的取值范围a ≤1．【考查角度3 集合基本关系中的含参问题】【例3】已知集合A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }．（1）求A ∪B ；（2）若A ⊆C ，求a 的取值范围．【思路分析】（1）根据集合的基本运算即可求A ∪B ；（2）根据A ⊆C ，数形结合即可求实数a的取值范围．【答案】解：（1）集合A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，借助于数轴和集合并集的定义知A ∪B ＝{x |2＜x ＜10};（2）若A ⊆C ，集合C 中包含集合A 的所有元素，由数轴可知：a ≥7；故答案为：（1）A ∪B ＝{x |2＜x ＜10}；（2）若A ⊆C ，a 的取值范围是{a |a ≥7}；【练3.1】设集合A ＝{x |a ﹣1＜x ＜2a ，a ∈R }，不等式x 2﹣2x ﹣8＜0的解集为B ．（1）当a ＝0时，求集合A ，B ；（2）当A ⊆B 时，求实数a 的取值范围．【思路分析】（1）由二次不等式的解法得：A ＝}{01<<-x x ，B ＝}{42<<-x x ，（2）由集合间的包含关系及空集的定义得：讨论①A ＝∅，即2a ≤a ﹣1，即a ≤﹣1，符合题意，②A ≠∅，有⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-->422112a a a a ，解得：﹣1＜a ≤2，综合①②得：a ≤2，得解【答案】解：（1）当a ＝0时，A ＝}{01<<-x x ，解不等式x 2﹣2x ﹣8＜0得：﹣2＜x ＜4，即B ＝}{42<<-x x ，（2）若A ⊆B ，则有：①A ＝∅，即2a ≤a ﹣1，即a ≤﹣1，符合题意，②A ≠∅，有⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-->422112a a a a ，解得：﹣1＜a ≤2，综合①②得：a ≤2【练3.2】方程x 2﹣x ﹣m ＝0在（﹣1，1）上有解．（1）求满足题意的实数m 组成的集合M ；（2）设不等式（x ﹣a ）（x +a ﹣2）＜0的解集为N ，若M ⊆N ，求a 的取值范围．【思路分析】（1）根据方程有解转化为一元二次函数，求出对应的值域即可（2）结合一元二次不等式的解法求出对应的解集N ，结合集合关系进行求解即可【答案】解：（1）∵x 2﹣x ﹣m ＝0在（﹣1，1）上有解．∴x 2﹣x ＝m 在（﹣1，1）上有解．设f （x ）＝x 2﹣x ＝（x ﹣）2﹣41，∵﹣1＜x ＜1，∴最小值为﹣41，最大值为f （﹣1）＝2，即﹣41≤f （x ）＜2，即﹣41≤m ＜2（2）当a ＝1时，解集N 为空集，不满足题意．当a ＞1时，a ＞2﹣a ，此时集合N ＝（2﹣a ，a ），若M ⊆N则⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-2412a a ，解得a ＞49．当a ＜1时，a ＜2﹣a ，此时集合N ＝（a ，2﹣a ），若M ⊆N则⎪⎩⎪⎨⎧≥--<2241a a ，解得a ＜﹣41综上，a ＞49或 a ＜﹣41．【练3.3】已知集合A ＝{x |2a ≤x ≤a 2+1}，B ＝{x |x 2﹣3（a +1）x +2（3a +1）≤0}，其中a ∈R ．（Ⅰ）若4∈A ，5∉A ，求a 的取值范围；（Ⅱ）若A ⊆B ，求a 的取值范围．【思路分析】（1）由题意知，4∈A ，5∉A ，代入A 集合得a 的取值范围（2）先讨论两根大小得B 集合，再由包含关系得a 的取值范围【答案】（Ⅰ）因为4∈A ，所以2a ≤4≤a 2+1，解得a ≤﹣√3或√3≤a ≤2．若5∈A ，2a ≤5≤a 2+1，解得a ≤﹣2或2≤a ≤25．又5∉A ，所以﹣2＜a ＜2或a ＞25故﹣2＜a ≤﹣√3或√3≤a ＜2．（Ⅱ）B ＝{x |（x ﹣2）[x ﹣（3a +1）]≤0当3a +1＝2，即a ＝时，B ＝{2}，不合题意．当3a +1＜2，即a ＜时，⎩⎨⎧≤+≤+212132a a a ，解得a ＝﹣1．当3a +1＞2，即a ＞时，⎩⎨⎧+≤+≤131222a a a ，解得1≤a ≤3．综上知，a ＝﹣1或1≤a ≤3．【考查角度4 集合基本运算中的含参问题】【例4】已知集合A ＝{x |x ≤﹣3或x ≥2}，B ＝{x |1＜x ＜5}，C ＝{x |m ﹣1≤x ≤2m }（1）求A ∩B ，（∁R A ）∪B ；（2）若B ∩C ＝C ，求实数m 的取值范围．【思路分析】（1）根据交集、补集和并集的定义计算即可；（2）由B ∩C ＝C 知C ⊆B ，讨论m 的取值情况，求出满足条件的m 取值范围．【答案】解：（1）集合A ＝{x |x ≤﹣3或x ≥2}，B ＝{x |1＜x ＜5}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜5}，∁R A ＝{x |﹣3＜x ＜2}，∴（∁R A ）∪B ＝{x |﹣3＜x ＜5}；（2）∵B ∩C ＝C ，∴C ⊆B ，又C ＝{x |m ﹣1≤x ≤2m }，①当C ＝∅时，m ﹣1＞2m ，解得m ＜﹣1；②当C ≠∅时，⎪⎩⎪⎨⎧<>-≤-521121m m m m ，2＜m ＜25 【练4.1】已知集合A ＝{x |﹣3＜x ＜2}，B ＝{x |0≤x ＜5}，C ＝{x |x ＜m }，全集为R ．（1）求A ∩（∁R B ）；（2）若（A ∪B ）⊆C ，求实数m 的取值范围．【思路分析】（1）进行补集、交集的运算即可；（2）可求出A ∪B ＝{x |﹣3＜x ＜5}，根据（A ∪B ）⊆C 即可得出m ≥5，即得出m 的范围．【答案】解：（1）∁R B ＝{x |x ＜0，或x ≥5}；∴A ∩（∁R B ）＝{x |﹣3＜x ＜0}；（2）A ∪B ＝{x |﹣3＜x ＜5}；∴（A ∪B ）⊆C ；∴m ≥5；【练4.2】设全集为U ＝R ，集合A ＝{x |（x +3）（x ﹣6）≥0}，B ＝{x ||x ﹣6|＜6}．（Ⅰ）求A ∩∁R B ；（Ⅱ）已知C ＝{x |2a ＜x ＜a +1}，若C ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围．【思路分析】（Ⅰ）由二次不等式的解法、绝对值不等式的解法得：A ＝{x |x ≤﹣3或x ≥6}，B ＝{x |0＜x ＜12}，由集合的交、并、补运算得：∁R B ＝{x |x ≤0或x ≥12}，即A ∩∁R B ＝{x |x ≤﹣3或x ≥12}，（Ⅱ）由集合间的包含关系得：因为C ∪B ＝B ，即C ⊆B ，讨论①若C ＝φ时，②若C ≠φ时，即可得解．【答案】解：（Ⅰ）解二次不等式（x +3）（x ﹣6）≥0得：x ≤﹣3或x ≥6，即A ＝{x |x ≤﹣3或x ≥6}，解绝对值不等式|x ﹣6|＜6得：0＜x ＜12，即B ＝{x |0＜x ＜12}，所以∁R B ＝{x |x ≤0或x ≥12}，所以A ∩∁R B ＝{x |x ≤﹣3或x ≥12}，故答案为：{x |x ≤﹣3或x ≥12}；（Ⅱ）因为C ∪B ＝B ，即C ⊆B①若C ＝φ时，即2a ≥a +1即a ≥1满足题意．②若C ≠φ时，2a ＜a +1即a ＜1，若C ⊆B ，则⎩⎨⎧≤+≥12102a a ，即0≤a ≤11，又a ＜1，所以0≤a ＜1，综合①②可得：实数a 的取值范围为：a ≥0，故答案为：a ≥0．【练4.3】已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |（x ﹣2）（x ﹣9）＜0}，B ＝{x |﹣2﹣x ≤0≤5﹣x }．（1）求A ∩B ，B ∪（∁U A ）．（2）已知集合C ＝{x |a ≤x ≤2﹣a }，若C ∪（∁U B ）＝R ，求实数a 的取值范围．【思路分析】（1）可解出A ＝{x |2＜x ＜9}，B ＝{x |﹣2≤x ≤5}，然后进行交集、补集和并集的运算即可；（2）可得出∁U B ＝{x |x ＜﹣2，或x ＞5}，这样根据C ∪（∁U B ）＝R 即可得出⎩⎨⎧≥--≤522a a ，解出a 的范围即可．【答案】解：（1）A ＝{x |2＜x ＜9}，B ＝{x |﹣2≤x ≤5}；∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤5}，∁U A ＝{x |x ≤2，或x ≥9}，B ∪（∁U A ）＝{x |x ≤5，或x ≥9}；（2）∁U B ＝{x |x ＜﹣2，或x ＞5}，C ＝{x |a ≤x ≤2﹣a }，且C ∪（∁U B ）＝R ；∴⎩⎨⎧≥--≤522a a ；解得a ≤﹣3；【趁热打铁】1. 已知集合M ＝{﹣2，3x 2+3x ﹣4，x 2+x ﹣4}，若2∈M ，求x 的值．【思路分析】由已知2是集合M 的元素，分类讨论列出方程，求出x 的值，将x 的值代入集合，检验集合的元素需满足互异性．【答案】解：当3x 2+3x ﹣4＝2时，3x 2+3x ﹣6＝0，x 2+x ﹣2＝0，x ＝﹣2或x ＝1．经检验，x ＝﹣2，x ＝1均不合题意．当x 2+x ﹣4＝2时，x 2+x ﹣6＝0，x ＝﹣3或2．经检验，x ＝﹣3或x ＝2均合题意．∴x ＝﹣3或x ＝2．2. 已知不等式3x +2＞0的解集为M ．（1）试判断元素﹣1，0与集合M 的关系；（2）若a ﹣1是集合M 中的元素，求a 的取值范围．【思路分析】（1）据题意即可得出，从而可判断元素﹣1，0和集合M 的关系；（2）若a ﹣1是集合M 的元素，则a 满足321->-a ，解出a 的范围即可．【答案】解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫->=32x x M ；∴﹣1∉M ，0∈M ；（2）∵a ﹣1∈M ； ∴321->-a ； ∴31>a ； 3. 已知集合M ＝{x ∈R ，|px 2﹣2x +3＝0，x ∈R }．（1）若M 中只有一个元素，求实数p 的值，并求出相应的集合M ；（2）若M 中最多有一个元素，求实数p 的取值范围．【思路分析】（1）当p ＝0时，解得x ＝23，符合题意，当p ≠0时，只需△＝0，求解即可得答案；（2）M 中最多有一个元素包括M 中只有一个元素和M 空集两种情况，分类讨论即可求得答案．【答案】解：（1）若M 中只有一个元素，当p ＝0时，原方程化为﹣2x +3＝0，解得x ＝23，符合题意，当p ≠0时，只需△＝4﹣12p ＝0，即p ＝31，由31x 2﹣2x +3＝0，解得x ＝3，即M ＝{3}．当p ＝0时，M ＝{x |23=x }，综上，p ＝31时，M ＝{3}或p ＝0时，M ＝{23}．（2）若M 中最多有一个元素，当p ＝0时，解得23=x ，符合题意，当p ≠0时，△≤0，即4﹣12p ≤0，解得p ≥31．综上，实数p 的取值范围为：p ＝0或p ≥31． 4. 已知集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，x ∈R }，a 为实数．（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 是单元素集，求a 的值；（3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．【思路分析】（1）解集是空集，即方程无解，所以判别式小于零；（2）分a ＝0与a ≠0两种情况讨论；（3）可考虑研究有两个元素的情况，求其补集即可．【答案】解（1）若A ＝Φ，则只需ax 2+2x +1＝0无实数解，显然a ≠0，所以只需△＝4﹣4a ＜0，即a ＞1即可．（2）当a ＝0时，原方程化为2x +1＝0解得x ＝﹣21；当a ≠0时，只需△＝4﹣4a ＝0，即a ＝1，故所求a 的值为0或1；（3）综合（1）（2）可知，A 中至多有一个元素时，a 的值为0或a ≥1．【点评】本题以集合为载体，考查了一元二次方程的解得个数的判断问题，要注意对最高次数项是否为零的讨论．5. 已知命题A ＝{x |x 2﹣2x ﹣8＜0}，B ＝⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫∈<-+-R m m x m x x，03．（1）若A ∩B ＝（2，4），求m 的值；（2）若B ⊆A ，求m 的取值范围．【思路分析】分别化简得 A ＝{x |﹣2＜x ＜4}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜m }．（1）由A ∩B ＝（2，4）可得m ﹣3＝2且m ≥4，解出即可．（2）由B ⊆A ，即⎩⎨⎧≤-≥-423m m ，解得即可．【答案】解：化简得 A ＝{x |﹣2＜x ＜4}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜m }．（1）∵A ∩B ＝（2，4），∴m ﹣3＝2且m ≥4，则m ＝5．（2）∵B ⊆A ，即⎩⎨⎧≤-≥-423m m ，解得1≤m ≤4． ∴m 的取值范围是1≤m ≤4．6. 已知集合M ＝{x |x 2﹣（a +1）x +a ＜0}，N ＝{x |1＜x ＜3}，且M ⊊N ，求实数a 的取值范围．【思路分析】由题意可知，M ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣1）＜0}且M ⊆N ，分类讨论①当M ＝∅时，②当M ≠∅时，分别进行求解【答案】解：由题意可知，M ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣1）＜0}∵N ＝{x |1＜x ＜3}，且M ⊆N ，①当M ＝∅时，a ＝1，满足题意②当M≠∅时，由M⊆N，可知M＝{x|1＜x＜a}∴1＜a＜3综上可得，实数a的取值范围{a|1≤a＜3}7. 已知集合A＝{x|a﹣1＜x＜a+3}，B＝{x|﹣2≤x≤1}（1）当a＝0时，求A∪B；（2）若B⊆（A∩B），求实数a的取值范围．【思路分析】（1）根据集合的基本运算及a＝0即可求A∪B，（2）根据B⊆（A∩B），则有：B⊆A，建立条件关系即可求实数a的取值范围．【答案】解：已知集合A＝{x|a﹣1＜x＜a+3}，B＝{x|﹣2≤x≤1}（1）当a＝0时，有：A＝{x|﹣1＜x＜3}，A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}∪{x|﹣2≤x≤1}＝{x|﹣2≤x＜3}；（2）若B⊆（A∩B），则有：B⊆A，已知集合A＝{x|a﹣1＜x＜a+3}，B＝{x|﹣2≤x≤1}所以：a﹣1＜﹣2，且a+3＞1；解得：﹣2＜a＜﹣1；实数a的取值范围是：{a|﹣2＜a＜﹣1}．8. 已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣3≤x＜5}，B＝{x|a+1＜x≤2a﹣1}（1）若A∩B＝∅，求a的取值范围（2）若B≠∅，（∁U A）∩（∁U B）＝∁U A，求a的取值范围【思路分析】（1）根据题意，分2种情况讨论：①，当a+1≥2a﹣1，即a≤2时，此时B＝∅，满足A∩B＝∅，②，当a+1＜2a﹣1，即a＞2时，B≠∅，有a+1≥5或2a﹣1＜﹣3，求出a的取值范围，综合即可得答案；（2）根据题意，先利用B≠∅可得a+1＜2a﹣1，由集合的包含关系可得（∁U A）∩（∁U B）＝∁U A，则∁U A⊆∁U B，即B⊆A，思路分析可得a+1≥﹣3或2a﹣1＜5，解可得a的取值范围，综合即可得答案．【答案】解：（1）分2种情况讨论：①，当a+1≥2a﹣1，即a≤2时，此时B＝∅，满足A∩B＝∅，②，当a+1＜2a﹣1，即a＞2时，有a+1≥5或2a﹣1＜﹣3，解可得a≥4，综合可得：a≤2或a≥4；（2）若B≠∅，则有a+1＜2a﹣1，解可得a＞2；若（∁U A）∩（∁U B）＝∁U A，则∁U A⊆∁U B，即B⊆A，则有a+1≥﹣3或2a﹣1＜5，解可得：2＜a＜3．。

集合中的含参问题

集合中的含参问题【类型一：元素与集合关系中的含参问题】例1。

已知集合A＝{a+2，（a+1）2，a2+3a+3}，若1∈A，求实数a的取值集合．【举一反三1】设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（）A．﹣3或﹣1或2B．﹣3或﹣1C．﹣3或2D．﹣1或2【举一反三2】若a∈{1，a2﹣2a+2}，则实数a的值为（）A．1B．2C．0D．1或2【举一反三3】设A＝{﹣4，2a﹣1，a2}，B＝{a﹣5，1﹣a，9}，已知A∩B＝{9}，A∪B.【举一反三4】已知集合A＝{a﹣2，a2﹣2，12}，且﹣1∈A，求实数a的值；【举一反三5】已知集合M＝{1，m+2，m2+4}，且5∈M，求m的取值集合．例2。

已知数集，数集Q＝{0，a+b，b2}，且P＝Q，求a，b的值．【举一反三1】已知M＝{2，a，b}，N＝{2a，2，b2}且M＝N，求a、b的值．【举一反三2】设集合P＝{x﹣y，x+y，xy}，Q＝{x2+y2，x2﹣y2，0}，若P＝Q，求x，y的值及集合P、Q．【举一反三3】已知全集U＝{1，2，a2+2a﹣3}，A＝{|a﹣2|，2}，∁U A＝{0}，求a的值．【举一反三4】已知全集U＝{2，3，a2﹣2a﹣3}，A＝{b，2}，∁U A＝{5}，求a、b的值．例3。

已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}．1）若A是空集，求a的取值范围；2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．【举一反三1】已知集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；（2）若A是空集，求a的取值范围；（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．【举一反三2】已知集合A＝{x|ax2﹣3ax+2＝0}（1）若A不是空集，求a的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求a的值；（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．（4）若A有四个子集，求a的取值范围．【类型四：集合关系（或运算）中的含参问题】例4。

微专题01 含参数及创新定义的集合问题(解析版)

微专题01 含参数及创新定义的集合问题【方法技巧与总结】一．解决与集合有关的创新题的对策：（1）分析含义，合理转化，准确提取信息是解决此类问题的前提．剥去新定义、新法则的外表，利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合，陌生的运算转化为我们熟悉的运算，是解决这类问题的突破口，也是解决此类问题的关键．（2）根据新定义（新运算、新法则）的要求，“照章办事”，逐条分析、验证和运算，其中要注意应用集合的有关性质．（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．二．解决与集合有关的参数问题的对策（1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析．（2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到．（3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性．【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）设{}28120A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 的值不可以是（）A ．0B ．16C ．12D ．2【答案】D【解析】由题意，{}2,6A =，因为A B B =，所以B A ⊆，若0a =，则B =∅，满足题意；若0a ≠，则1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，因为B A ⊆，所以12a =或16a =，则12a =或16a =．综上：0a =或12a =或16a =．故选：D ．例2．（2022·全国·高一专题练习）设U ＝{1，2，3，4}，A 与B 是U 的两个子集，若A ∩B ＝{3，4}，则称（A ，B ）为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：（A ，B ）与（B ，A ）是两个不同的“理想配集”）的个数是（）A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个【答案】C【解析】对子集A 分类讨论：当A 是二元集{3，4}时，此时B 可以为{1，2，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{3，4}，共4结果；当A 是三元集{1，3，4}时，此时B 可以为{2，3，4}，{3，4}，共2种结果；当A 是三元集{2，3，4}时，此时B 可以为{1，3，4}，{3，4}，共2种结果；当A 是四元集{1，2，3，4}时，此时B 取{3，4}，有1种结果，根据计数原理知共有4+2+2+1＝9种结果．故选：C ．例3．（2022·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一开学考试）定义集合运算：()(){},,A B z z x y x y x A y B ⊗==+⨯-∈∈，设2,3A ，1,2B ，则（）A ．当2x 2y 时，1z =B ．x 可取两个值，y 可取两个值，()()zx y x y =+⨯-有4个式子 C ．A B ⊗中有3个元素D ．A B ⊗中所有元素之和为3 【答案】BCD【解析】()(){},,A B z z x y x y x A y B ⊗==+⨯-∈∈，2,3A ，1,2B ，当2x 2y 0z =；当2x =1y =时，1z =；当3x =1y =时，2z =；当3x =2y 时，1z =，A 不正确；B 正确；而{}0,1,2A B ⊗=，C ，D 都正确．故选：BCD例4．（2022·辽宁·辽师大附中高二阶段练习）集合{}{}2|10,|320A x ax B x x x =-==-+=，且A B B ⋃=，实数a 的值为（）A ．0B ．1C ．12D ．2【答案】ABC【解析】由题设{1,2}B =，又A B B ⋃=，故A B ⊆，当A =∅时，0a =；当A ≠∅时，1或2为10ax -=的解，则1a =或12a =．综上，0a =或1a =或12a =．故选：ABC例5．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{|4A x x =≥或}5x <-，{}|13B x a x a =+≤≤+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围_________．【答案】{|8a a <-或}3a ≥【解析】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，或要使B A ⊆，只需35a +<-或14a +≥，解得8a <-或3a ≥．所以实数a 的取值范围{|8a a <-或}3a ≥．故答案为：{|8a a <-或}3a ≥例6．（2022·全国·高三专题练习）对于两个正整数m ，n ，定义某种运算“⊙”如下，当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ⊙n ＝m +n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ⊙n ＝mn ，则在此定义下，集合M ＝{（p ，q ）|p ⊙q ＝10，*N p ∈，q ∈*N }中元素的个数是_____．【答案】13【解析】∵当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ⊙n ＝m +n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ⊙n ＝mn ，∴集合M ＝{（p ，q ）|p ⊙q ＝10，*N p ∈，q ∈*N }＝{（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），（1，10），（2，5），（5，2），（10，1）}，共13个元素，故答案为：13例7．（2022·全国·高一专题练习）给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a +b ∈A ，且a ﹣b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下四个结论：①集合A ＝{0}为闭集合；①集合A ＝{﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合；①集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；①若集合A 1、A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中所有正确结论的序号是__．【答案】①①【解析】①0+0＝0，0﹣0＝0，0∈A ，故①正确；①当a ＝﹣4，b ＝﹣2时，a +b ＝﹣4+（﹣2）＝﹣6①A ，故不是闭集合，∴①错误；①由于任意两个3的倍数，它们的和、差仍是3的倍数，故是闭集合，∴①正确；①假设A 1＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝5k ，k ∈Z }，3∈A 1，5∈A 2，但是，3+5①A 1∪A 2，则A 1∪A 2不是闭集合，∴①错误．正确结论的序号是①①．故答案为：①①．例8．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高二阶段练习（文））已知集合{|15}A x x =<≤，集合21{|0}3x B x x -=>-．（1）求A ∩B ；（2）若集合{|243}=-≤≤-C x a x a ，且C A C =，求实数a 的取值范围．【解析】（1）210(21)(3)03x x x x ->⇔-->-12x ⇔<或3x >，1{|2B x x =<或3}x >，所以{|35}A B x x =<≤；（2）由C A C =得A C ⊆，所以21435a a -≤⎧⎨-≥⎩，解得23a ≤≤．例9．（2022·全国·高一专题练习）设集合{|}R A x x x ∈+=240＝，R R {|()}B x x a x a a ∈=∈222110＝+＋+-，．（1）若0a =，试求A B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．【解析】（1）由240x x +=，解得0x =或4x =-，}{,A =-40 ．当0a =时，得x x -+2210＝，解得12x =-x =12-{}1212B =--，； ∴{}041212A B =---，，，．（2）由（1）知，}{,A =-40，B A ⊆，于是可分为以下几种情况．当A B =时，}{,B =-40，此时方程()x a x a =222110+＋+-有两根为0，4-，则()()()a a a a ⎧∆=+⎪=⎨⎪-+=-⎩-->2224141010214-，解得1a =．当B A ≠时，又可分为两种情况．当B ≠∅时，即{}0B =或{}B -4＝，当{}0B =时，此时方程()x a x a =222110+＋+-有且只有一个根为0，则22241410(0)()1a a a --⎧∆=+⎨-==⎩，解得1a =-，当{}B -4＝时，此时方程()x a x a =222110+＋+-有且只有一个根为4-，则 ()2222414104()()()8110a a a a ⎧∆=+⎪⎨-=--=-⎪⎩＋+-，此时方程组无解，当B =∅时，此时方程()x a x a =222110+＋+-无实数根，则2241410()()a a --∆+<=，解得1a <-．综上所述，实数a 的取值为}{a a a ≤-=11或．例10．（2022·全国·高一专题练习）已知集合{}23A x x =-<<，{}3B x x a =≤．（1）求集合A R ；（2）当1a =时，求A B ；（3）若()R B A ⋃=R ，求a 的取值范围．【解析】（1）由题意，{}23A x x =-<<故{|3R A x x =≥或2}x（2）当1a =时，{}131{|}3B x x x x =≤=≤ 故123A B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭ （3）由（1）{|3R A x x =≥或2}x{}3{|}3a B x x a x x =≤=≤ 若()R B A ⋃=R ，则33a ≥ 解得9a ≥ 例11．（2022·安徽·芜湖一中高一阶段练习）已知集合{}{}25,|1|21A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-．（1）当{}|25A x Z x =∈-≤≤时，求A 的非空真子集的个数；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围；（3）若A B =∅，求实数m 的取值范围．【解析】（1）当x ∈Z 时，A ＝{x ∈Z |－2≤x ≤5}＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，共有8个元素，所以A 的非空真子集的个数为28－2＝254．（2）因为A ∪B ＝A ，所以B ①A ，当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2，符合；当B ≠∅时，根据题意，可得21112215m m m m -≥+⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得2≤m ≤3．综上可得，实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．（3）当B ＝∅时，由（1）知m <2；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得211212m m m -≥+⎧⎨-<-⎩或21115m m m -≥+⎧⎨+>⎩解得m >4．综上可得，实数m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．例12．（2022·北京·高二期末）设集合A 为非空实数集，集合{},,B xy x y A x y =∈≠且，称集合B 为集合A 的积集．（1）当{}1,2,3,4A =时，写出集合A 的积集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其积集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其积集{}2,4,5,8,10,16B =，并说明理由．【解析】（1）因为{}1,2,3,4A =，故集合B 中所有可能的元素有12,13,14,23,24,34⨯⨯⨯⨯⨯⨯，即2,3,4,6,8,12，{}2,3,4,6,8,12B ∴=（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以积集B 中元素个数的最小值为7．（3）不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其积集{}2,4,5,8,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；又5,8ad bc ==，其4个正实数的乘积40abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,4,5,8,10,16B =【过关测试】一、单选题1．（2022·江西省铜鼓中学高一期末（理））()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设{}24A x x =-<<，{}723B x x =-<<，则()Z A B =（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】因为{}7372322B x x x x ⎧⎫=-<<=-<<⎨⎬⎩⎭，{}24A x x =-<<，所以3|22A B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，则()1A B -∈，()0A B ∈，()1A B ∈，所以()3Z A B =；故选：C2．（2022·河南焦作·高一期中）两个集合A 与B 之差记作A －B ，定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ①B }，已知A ＝{2，3}，B ＝{1，3，4}，则A －B 等于（）A ．{1，4}B ．{2}C ．{1，2}D ．{1，2，3} 【答案】B【解析】∵A ＝{2，3}，B ＝{1，3，4}，又∵A －B ＝{x |x ∈A 且x ①B }，∴A －B ＝{2}．故选：B ．3．（2022·浙江·安吉县高级中学高一开学考试）将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M N Q M N ⋃=⋂=∅，，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，这种有理数的分割()M N ，就是数学史上有名的戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割()M N ，，下列选项中不可能成立的是（） A ．M 有最大元素，N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 没有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素【答案】A【解析】M 有一个最大元素，N 有一个最小元素，设M 的最大元素为m ，N 的最小元素为n ，若有m ＜n ，不能满足M ∪N =Q ，A 错误；若{|2}M x Q x =∈<，{|2}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素，满足其它条件，故B 可能成立；若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈，则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故C 可能成立；若{|0}M x Q x =∈，{}0N x Q x =∈；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 可能成立；故选：A ．4．（2022·全国·高一单元测试）定义集合运算：{}*,,A B zz xy x A B y A B ==∈⋂∈⋃∣．若集合{}{}1,2,3,0,1,2A B ==，则()*A B A =（） A ．{}0 B ．{}0,4 C ．{}0,6 D ．{}0,4,6【答案】D【解析】因为{}{}1,2,3,0,1,2A B ==，所以{}{}1,2,0,1,2,3A B A B ==，所以当,x A B y A B ∈⋂∈⋃时，0,1,2,3,4,6z =，所以{}*0,1,2,3,4,6A B =，所以 ()*A B A ={}0,4,6，故选：D5．（2022·江苏·高一期末）已知全集U =R ，集合{3A x x =<或}7x ≥，{}B x x a =<．若()U A B ≠∅，则实数a 的取值范围为（）A ．{}3a a >B ．{}3a a ≥C ．{}7a a ≥D ．{}7a a > 【答案】A 【解析】因为集合{3A x x =<或}7x ≥，可得{}37U A x x =≤<，又因为()U A B ≠∅且{}B x x a =<，所以3a >，即实数a 的取值范围为{}3a a >．故选：A ．6．（2022·江苏·高一单元测试）设集合{}{}|()(3)0,|(4)(1)0M x x a x N x x x =--==--=，则下列说法一定正确的是（） A ．若{}1,3,4MN =，则=M N ∅ B ．若{}1,3,4M N =，则M N ≠∅C ．若M N ⋂=∅，则M N ⋃有4个元素D ．若M N ≠∅，则{}1,3,4M N =【答案】D【解析】（1）当3a =时，{}3M =，,N={134}MN M =∅，，；（2）当1a =时，{}1,3M =，{1},N={134}MN M =，，；（3）当4a =时，{}3,4M =，{4},N={134}M N M =，，；（4）当134a ≠,,时，{}3,M a =，,{134,}M N M N a =∅=，，；综上可知A ，B ，C ，不正确，D 正确故选：D 7．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合A 中有10个元素，B 中有6个元素，全集U 有18个元素，A B ⋂≠∅．设集合()()U U A B ⋂中有x 个元素，则x 的取值范围是（）A ．{}38,N x x x ≤≤∈B ．{}28,N x x x ≤≤∈C ．{}812,N x x x ≤≤∈D ．{}1015,N x x x ≤≤∈【答案】A 【解析】集合A 中有10个元素，B 中有6个元素，因为A B ⋂≠∅，A B 至少有1 个元素，至多有6个元素，所以A B 至多有15个元素，至少有10个元素，集合()()()U U U A B A B ⋂=⋃有x 个元素，则38x ≤≤且x 为正整数．即x 的取值范围是{}38,N x x x ≤≤∈，故选：A ．8．（2022·江西·兴国县将军中学高一期中）已知集合{}53A x x =-<<-，{}232B x a x a =-<<-，若A B B =，则实数a 的取值范围是（）A ．1a ≥B ．1a =-C ．1a ≥或1a =-D ．a R ∈【答案】C【解析】由题意，A B B B A =⇔⊆（1）若B =∅，则2321a a a -≥-∴≥，B A ⊆成立；（2）若B ≠∅，则23223523a a a a -<-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤-⎩，解得1a =-综上，实数a 的取值范围是1a ≥或1a =-故选：C9．（2022·陕西·西安一中高一期中）已知集合{}2,2A =-，{}240B x x ax =-+=，若A B A ⋃=，则实数a 满足（）A ．4a =B ．4a =-C ．{}4,4-D ．{}44a a -≤≤【答案】D【解析】因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，当B =∅时，B A ⊆满足，此时2160a ∆=-<，所以44a -<<；当B ≠∅时，此时2160a ∆=-≥，即4a ≤-或4a ≥，若方程240x ax -+=有两个相同的实数根，则2160a ∆=-=，所以4a =±；当4a =-时，{}2B =-，此时B A ⊆满足，当4a =时，{}2B =，此时B A ⊆满足，若240x ax -+=有两个不同的实根，因为()224⋅-≠，所以A B ≠，所以此时无解；综上可知，a 的取值范围为{}44a a -≤≤，故选：D ．10．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合{}1,3,A m =，{}B m =，B A ⊆，则m =（） A ．9B ．0或1C ．0或9D ．0或1或9 【答案】C【解析】由B A ⊆3m =m m =， 3m =时，9m = ，符合题意； m m =时，0m =或1m =，但1m = 时，{}1,1B =不合题意，故m 的值为0或9，故选：C11．（2022·全国·高一单元测试）在整数集Z 中，被4除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}4k n k n Z =+∈，0k =，1，2，3．给出如下四个结论：①[]20151∈；①[]22-∈；①[][][][]0123Z =⋃⋃⋃；①“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”其中正确的结论有（） A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①① 【答案】D【解析】因为201550343=⨯+，故[]20153∈，故①错误；而242-=+，故[]22-∈，故①正确；由“类”的定义可得[][][][]012Z 3⊆，任意Z c ∈，设c 除以4的余数为}{()0,1,2,3r r ∈，则[]c r ∈，故[][][][]0123c ∈⋃⋃⋃，所以[][][][]0123Z ⊆，故[][][][]0123Z =，故①正确若整数a ，b 属于同一“类”，设此类为[]}{()0,1,2,3r r ∈，则4,4a m r b n r =+=+，故()4a b m n -=-即[]0a b -∈，若[]0a b -∈，故-a b 为4的倍数，故a ，b 除以4 的余数相同，故a ，b 属于同一“类”，故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件为[]0a b -∈，故①正确；故选：12．（2022·北京八中高一期中）对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e A ∈，使得对任意a A ∈，都有e a a e a ⊕=⊕=，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素．例如：A =R ，运算“⊕”为普通乘法：存在1∈R ，使得对任意a ∈R 都有11a a a ⨯=⨯=，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A =R ，运算“⊕”为普通减法；①A =R ，运算“⊕”为普通加法；①{}A X X M =⊆（其中M 是任意非空集合，运算“⊕”为求两个集合的交集．（） A ．①① B ．①① C ．①①① D ．①①【答案】D【解析】①若A R =，运算“⊕”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素； ①A =R ，运算“⊕”为普通加法，其单位元素为0；①{|}A X X M =⊆（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集，其单位元素为集合M ．故选：D ．二、多选题13．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G 是一个非空集合，“· ”是G 上的一个代数运算，即对所有的a 、b ∈G ，有a ·b ∈G ，如果G 的运算还满足：①∀a 、b 、c ∈G ，有（a ·b ）·c =a ·（b ·c ）；①e G ∃∈，使得a G ∀∈，有e a a e a ⋅=⋅=，①a G ∀∈，b G ∃∈，使a ·b =b ·a =e ，则称G 关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（）A ．{1,0,1}G =-关于数的乘法构成群B ．G ={x |x =1k，k ∈Z ，k ≠0}∪{x |x =m ，m ∈Z ，m ≠0}关于数的乘法构成群 C ．实数集关于数的加法构成群D ．{2|,Z}G m n m n =∈关于数的加法构成群【答案】CD【解析】对于A ：若{1,0,1}G =-，对所有的a 、b G ∈，有{1,0,1}a b G ⋅∈-=，满足乘法结合律，即①成立，满足①的e 为1，但当0a =时，不存在b G ∈，使得··1a b b a e ===，即①不成立，即选项A 错误；对于B ：因为12a G =∈，且3b G =∈，但13322a b G ⋅=⨯=∉，所以选项B 错误；对于C ：若R G =，对所有的a 、R b ∈，有R a b +∈，满足加法结合律，即①成立，满足①的e 为0，R a ∀∈，R b a ∃=-∈，使0a b b a +=+=，即①成立；即选项C 正确；对于D ：若{2|,Z}G m n m n =∈，所有的112a m n =、222b m n G =∈，有1212()+2(+)a b m m n n G +=+∈，,,,a b c G ∀∈()()++=++a b c a b c 成立，即①成立；当0a b 时，20a b =，满足的0e =，即①成立；2a m n G ∀=∈，2b m n G ∃=-∈，使0a b b a +=+=，即①成立；即选项D 正确．故选：CD ．14．（2022·全国·高一期中）如图，集合U 是全集，,A B 是非空集合，定义集合*A B 为阴影部分表示的集合，则*A B 可表示为（）A ．()UB A B ⋂⋃B ．()UA AB ⋂⋂C ．()()()()UUA B B A ⋂⋂D ．()()UA B A B ⋃⋂⋂【答案】CD 【解析】()UB A B ⋂⋃=∅，故A 选项错误；()UA AB ⋂⋂表示的集合韦恩图为如图1，显然B 选项错误；通过画出CD 选项的韦恩图，与题干中的相同，故选项CD 正确．故选：CD15．（2022·河北·石家庄外国语学校高一期中）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”，对于集合{}211,,|1,02A B x ax a ⎧⎫=-==≥⎨⎬⎩⎭，若A 与B 构成“偏食”，则实数a 取值可以是（）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】BD【解析】因为集合{}211,,|1,02A B x ax a ⎧⎫=-==≥⎨⎬⎩⎭，且A 与B 构成“偏食”，所以1B -∈或12B ∈，当1B -∈时，得1a =，此时{}{}211,1B x x ===-，符合题意，当12B ∈时，得4a =，此时{}21141,22B x x ⎧⎫===-⎨⎬⎩⎭，符合题意，综上，1a =或4a =，故选：BD16．（2022·全国·高一单元测试）设{}29140A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 的值可以为（） A ．2 B ．12C ．17D ．0【答案】BCD【解析】集合2{|9140}{2A x x x =-+==，7}，{|10}B x ax =-=，又A B B =，所以B A ⊆，当0a =时，B =∅，符合题意，当0a ≠时，则1{}B a =，所以12a=或17a =，解得12a =或17a =，综上所述，0a =或12或17，故选：BCD17．（2022·全国·高一单元测试）已知全集U =R ，集合{}|27A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-，则使UA B ⊆成立的实数m 的取值范围可以是（）A ．{}|610m m <≤B ．{}|22m m -<<C ．1|22m m ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{}|58m m <≤【答案】ABC【解析】当B =∅时，121m m +>-，即2m <，此时UR B =，符合题意，当B ≠∅时，121m m +≤-，即2m ≥，由{}|121B x m x m =+≤≤-可得{U|1B x x m =<+或}21x m >-，因为UA B ⊆，所以17m +>或212m -<-，可得6m >或12m <-，因为2m ≥，所以6m >，所以实数m 的取值范围为2m <或6m >，所以选项ABC 正确，选项D 不正确；故选：ABC ．18．（2022·浙江·金华市曙光学校高一期中）在R 上定义运算()*1x y x y =-，若关于x 的不等式()*0x a x ->的解集是集合{}|01x x ≤≤的子集，则整数a 的取值可以是（） A ．0 B ．1 C ．1- D ．2【答案】AB【解析】由在R 上定义的运算：()*1x y x y =-得，()*0()(1)0x a x x a x ->⇔-->，即1(0)()x a x --<，当a =1时，不等式1(0)()x a x --<的解集为空集∅，而{|01}x x ∅⊆≤≤，则a =1，当a >1时，不等式1(0)()x a x --<的解集为{x |1<x <a }，显然{x |1<x <a }不是{x |0≤x ≤1}的子集，不满足题意，舍去，当a <1时，不等式1(0)()x a x --<的解集为{x |a <x <1}，当{x |a <x <1}是{x |0≤x ≤1}的子集时， a ≥0，则0≤a <1，综上所述，a 的取值范围是{a |0≤a ≤1}，又a 为整数，所以a =0或a =1．故选：AB 三、填空题19．（2022·江西省崇义中学高一期中）若集合{}2120M x x x =+-=，{}10N x mx =+=，且MN N =，则实数m 的值为_____【答案】13-或14或0【解析】由题得{4,3}M =-，因为MN N =，所以N M ⊆，所以,{4},{3}N =∅-，当N =∅时，0m =；当{4}N =-时，1(4)10,4m m ⨯-+=∴=；当{3}N =时，1(3)10,3m m ⨯+=∴=-．故答案为：13-或14或020．（2022·广东·广州誉恩教育咨询有限公司高一期中）设a 是实数，集合{}260,{20}M x x x N y ay =+-==+=∣∣，若N M ⊆，则a 的取值集合是_______．【答案】2{0,,1}3-【解析】由题意，集合{}260{|(2)(3)0}{3,2}M xx x x x x =+-==-+==-∣ 若N M ⊆，且集合N 中至多有一个元素则当N =∅时，即0a =时，满足题意；当{3}N =-时，即320a -+=，即23a =时，N M ⊆满足题意；当{2}N =时，即220a +=，即1a =-时，N M ⊆满足题意；综上，a 的取值集合是2{0,,1}3-故答案为：2{0,,1}3-21．（2022·河南·林州一中高一开学考试）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合1,2A ，{}22,0B x ax a ==≥，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a 的取值集合为_____．【答案】10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】当0a =时，B =∅，此时满足B A ⊆，当0a >时，22,B a a ⎧⎪=⎨⎪⎩，此时,A B 集合只能是“蚕食”关系，所以当,A B 集合有公共元素21a=-时，解得2a =，当,A B 22a=时，解得12a =，故a 的取值集合为10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭．故答案为：10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭22．（2022·福建·福州三中高一开学考试）已知集合A ={a ∈R |（x ﹣1）a 2+7ax +x 2+3x ﹣4=0}，{0}⊆A ，则x 的值为___________．【答案】1或4-．【解析】因为{0}⊆A ，所以70x ⨯⨯+x 2+3x ﹣4=0，所以1x =或4x =-．当1x =时，7a +1+3﹣4=0，所以0a =，集合A ={0}，满足题意；当4x =-时，2528161240,0a a a --+--=∴=或285a =-，集合A =28{0,}5-，满足题意．故答案为：1或4-．23．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）设集合{}2,3,4U =，对其子集引进“势”的概念；①空集的“势”最小；①非空子集的元素越多，其“势”越大；①若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大．最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，以此类推．若将全部的子集按“势”从小到大顺序排列，则排在第6位的子集是_________．【答案】{}2,4【解析】根据题意，将全部的子集按“势”从小到大顺序排列为：∅，{}2，{}3，{}4，{}2,3，{}2,4，{}3,4，{}2,3,4．故排在第6的子集为{}2,4．故答案为：{}2,4 四、解答题24．（2022·全国·高一单元测试）已知实数集R 的子集S 满足条件：①1S ∉；①若a S ∈，则11S a∈-．求证：（1）若2S ∈，则S 中必有另外两个元素；（2）集合S 中不可能只有一个元素．【解析】（1）∵2S ∈，∴1112S =-∈-，同理：()11112S =∈--，12112S =∈-， ∴S 中还有-1，12两个元素．（2）不妨设S 为单元素集，则11a a=-，整理得210a a -+=，解得a ∈∅， ∴S 不可能为单个元素集合．25．（2022·湖南永州·高一期末）已知集合{}2A x x =≥，{}35B x x =<≤．（1）求A B ；（2）定义{M N x x M -=∈且}x N ∉，求A B -．【解析】（1）由{}2A x x =≥，{}35B x x =<≤，则{}2A B x x ⋃=≥．（2）由{M N x x M -=∈且}x N ∉，所以A B -{x x A =∈且}{23x B x x ∉=≤≤或}5x >．26．（2022·全国·高一期中）已知集合{}22221,,Z M x x a a b a b ==+-=∈．（1）证明：若x M ∈，则1x x+是偶数；（2）设m M ∈，且132m <<，求实数m 的值；（3）若n M ∈3+22是否属于集合M ，并说明理由．【解析】（1）若x M ∈，则2x a b =+2221,,a b a b -=∈Z ．所以221x a x a b =+++()()2222b b a b a b a =++-22a b a =-+ 因为2221a b -=，所以原式222b a b a a =+-=，因为a ∈Z ，所以2a 为偶数，即若x M ∈，则1x x+是偶数．（2）因为m M ∈，且132m <<，则1123m <<，所以5156m m<+< 设2m a b =+，2221,,a b a b -=∈Z ．由（1）可知12m a m +=，即5256a <<；所以1a =或2a =．当1a =时，代入2221,,a b a b -=∈Z 可得0b =，此时21m a b =+，满足132m <<，所以1m =成立；当2a =时，代入2221,,a b a b -=∈Z 解得6b =b ∈Z ，所以不成立；综上可知1m =．（3）因为n M ∈，所以可设2,n ab 且2221,,a b a b -=∈Z ，2(2)(322)322322(322)(322)n a b a b ()(34322a b b a =-+-因为22(34)2(32)a b b a ---()22229241629124a ab b b ab a =-+--+2221a b =-=，()(),Z,34Z,32Z a b a b b a ∈∴-∈-∈322M +成立．27．（2022·北京·高一期末）已知集合{}23A x x =-<<，{}3B x x a =≤．（1）求集合A R；（2）当1a =时，求A B ；（3）若()R B A ⋃=R ，求a 的取值范围．【解析】（1）由题意，{}23A x x =-<< 故{|3RA x x =≥或2}x（2）当1a =时，{}131{|}3B x x x x =≤=≤故123A B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭（3）由（1）{|3RA x x =≥或2}x{}3{|}3aB x x a x x =≤=≤若()R B A ⋃=R ，则33a ≥ 解得9a ≥28．（2022·湖南益阳·高一期末）设集合{13}A x x =-<<，{}1B x x =≥，{2}C x x m =>-．（1）求A B ；（2）若_________，求实数m 的取值范围．请从①A C ⊆，①A C ⋂≠∅，①RC A ⊆这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如多选，则按第一个选择的解答给分）【解析】（1）∵集合{13}A x x =-<<，{}1B x x =≥， ∴{}1{13}{1}A B x x x x x x ⋃=≥⋃-<<=>-．（2）①若A C ⊆，∴21m -≤-，即1m ， ∴实数m 的取值范围是{}1m m ≤． ①若A C ⋂≠∅，∴23m -<，即5m <， ∴实数m 的取值范围是{5}m m <． ①若RC A ⊆，∵R{1A x x =≤-或3}x ≥，∴23m -≥，即5m ≥，∴实数m 的取值范围是{}5m m ≥．29．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合{}2|40=+=A x x x ，{}22|2(1)10=+++-=B x x a x a ．（1）若⊆A B ，求a 的值；（2）若⊆B A ，求a 的值．【解析】（1）由题集合B 最多两个元素，{4,0}=-A ，⊆A B ，则=A B ，所以集合B 中的方程两根为-4，0，224(1)4(1)0=+-->a a ，即1>-a ，由根与系数的关系，{242(1)01-=-+=-a a ，解得：1=a ；（2）由题⊆B A ，B 中最多两个元素，对于方程222(1)10+++-=x a x a 当集合=∅B 时：224(1)4(1)0=+--<a a ，即1<-a 时，方程无解，=∅B ，符合题意；当集合B 中只有一个元素时：224(1)4(1)0=+--=a a ，即1=-a 时，方程的解为0=x ，{0}=B ，符合题意；当B 中有两个元素时：224(1)4(1)0=+-->a a ，即1>-a 时，方程有两个不同实根，集合B 有两个元素，此时则=A B ，所以集合B 中的方程两根为124,0=-=x x ，由根与系数的关系，{242(1)01-=-+=-a a ，解得：1=a ；综上所述：1≤-a 或1=a ．。

高一数学专题讲解：集合问题中求参数取值范围(一)

高一数学专题讲解集合问题中求参数的取值范围（一）主编：宁永辉老师主编单位：永辉中学生教育学习中心高考数学研究中心一、第一种题型：【题型】：已知集合}|{b x a x A ≤≤=（其中a ，b 为实数，在具体题目中a ，b 两个实数的值是已知的），集合)}()(|{m g x m f x B ≤≤=（其中m 为参数，在具体的题目中参数m 是未知的，)(m f 、)(m g 都是关于参数m 的代数式），且满足B A ⊆。

求：参数m 的取值范围。

【解法】：第一步：画出数轴，在数轴上标出集合A 的区间，如下图所示：第二步：解析：B A ⊆：（1）、B A ⊆，表示集合A 中的所有元素都在集合B 中；（2）、B A ⊆，表示在数轴上集合B 的区间包含集合A 的区间，如下图所示：第三步：根据条件：B A ⊆在数轴上画出集合B 的区间，如下图所示：第四步：初步确定关于参数m 的不等式组。

根据数轴中各个数字的大小得到以下两个不等式： a m f <)(（1） b m g >)(（2）第五步：确定两个不等式是否可以取等号。

（1）、当a m f =)(时：在数轴上画出集合A 和集合B 的区间，如下图所示：如上图可以知道：B A ⊆成立，所以：a m f =)(成立。

（2）、当b m g =)(时：在数轴上画出集合A 和集合B 的区间，如下图所示：如上图可以知道：B A ⊆成立，所以：b m g =)(成立。

第六步：最终确定关于参数m 的两个不等式。

因为：题目已知)}()(|{m g x m f x B ≤≤=；所以：得到第三个不等式：)()(m g m f ≤。

根据第四步、第五步和第六步的结论得到以上两个不等式： a m f ≤)( （1） b m g ≥)( （2） )()(m g m f ≤（3）第七步：解不等式组，得到参数m 的取值范围。

首先解每一个不等式，然后对三个不等式的解在数轴上求交集。

集合含参问题及解题技巧

集合含参问题及解题技巧关于集合含参问题及解题技巧的文章内容如下：一、集合含参问题的定义集合含参问题是指在集合论中，对于给定的集合，引入一个或多个参数，通过参数的取值范围来描述集合的性质或特征。

参数可以是实数、整数、布尔值等，它们可以是固定的，也可以是取值范围内的任意值。

二、解题技巧1. 确定参数的取值范围：首先需要明确参数的取值范围，这个范围可以通过题目给出的条件来确定，也可以是根据实际情况进行假设。

确定参数的取值范围有助于缩小问题的范围，便于分析和解决。

2. 列出参数的取值条件：根据参数的取值范围，列出参数的取值条件。

这些条件可以是等式、不等式、逻辑关系等，用于描述集合中元素的性质或特征。

3. 利用参数的取值条件求解问题：根据参数的取值条件，可以通过代入法、排除法、逻辑推理等方法，求解集合含参问题。

具体的方法取决于参数的取值条件和问题的性质。

4. 分析参数的取值对集合的影响：在解决集合含参问题时，需要分析参数的取值对集合的性质或特征的影响。

通过分析参数的取值范围，可以确定集合的变化趋势，从而得出结论或解决问题。

5. 检验解的合理性：在解决集合含参问题后，需要对解进行检验，确保解的合理性。

检验解的方法可以是代入法、逻辑推理等，通过验证解是否满足参数的取值条件和问题的要求。

三、例题解析例题1：已知集合A={x | x>0}，集合B={y | y<2}，求集合A∪B的参数取值范围。

解析：集合A的参数取值范围为x>0，集合B的参数取值范围为y<2。

集合A∪B的参数取值范围可以通过将A和B的参数取值范围进行合并得到，即x>0或y<2。

所以集合A∪B的参数取值范围为x>0或y<2。

例题2：已知集合A={x | x>0}，集合B={y | y>x}，求集合A∩B的参数取值范围。

解析：集合A的参数取值范围为x>0，集合B的参数取值范围为y>x。

专题1 集合中的含参问题-高一数学必修一专题复习训练含答案

专题1 集合中的含参问题-高一数学必修一专题复习训练含答案一、选择题 1．若集合,则实数的取值范围是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】2．已知集合{}0,5,10A =，集合{}22,1B a a =++，且{}5A B ⋂=，则满足条件的实数a 的个数有（）A . 0个B . 1 个C . 2 个D . 3 个【答案】B【解析】{}22,1B a a =++，且{}5A B ⋂=，则有25a +=或215a +=. 32a =，或-2. 当3a =时， {}5,10B =，此时{}510A B ⋂=，，不满足题意；当2a =时， {}54B =，，满足题意；当2a =-时， {}0,5B =，此时{}50A B ⋂=，，不满足题意，所以满足条件的实数a 只有1个. 故选B . 3．已知点）在平面直角坐标系的第二象限内，则的取值范围在数轴上可表示为（阴影部分）( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为在第二象限，所以，所以，故选C.4．已知m ，，集合，集合，若，则A ． 1B ． 2C ． 4D ． 8 【答案】A 【解析】5．已知集合A ={x |x 2-2x -3≤0}，B ={x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（）A . （-1，+∞）B . [-1，+∞）C . （3，+∞）D . [3，+∞）【答案】C【解析】[]13A =-，， (),B a =-∞；∵A B ⊆；∴3a >；∴a 的取值范围为3+∞（，），故选C ．点睛：研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍，熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目. 6．已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】7．已知集合A ={-1，0，a }，B ={ x |0<x <1}，若A ∩B ≠Ø，则实数a 的取值范围是A . {1}B . (0，1)C . (1，+∞)D . (-∞，0)【答案】B 【解析】1,0,B B -∉∉ 若A B φ⋂≠ ，则a B ∈ ，则01a << ，选B .8．已知集合2{|280}P x x x =--≤， {|}Q x x a =≥， ()C P Q ⋃=R R ，则a 的取值范围是A . ()2,∞-+B . ()4,∞+C . (],2∞--D . (],4∞-【答案】C【解析】因为{|24}P x x =-≤≤， {|}Q x x a =≥，则{|24}C P x x x =-R 或,又因为()C P Q ⋃=R R ，所以2a ≤- 本题选择C 选项. 9．集合，,若，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据题意，可得，，要使，则，故选B.二、填空题 10.已知集合，.若，则实数__________.【答案】0 【解析】11．设全集，，，则的值为____________.【答案】2或8 【解析】由题意，可知，依据补集可得，则有，即，解得或，即实数的值为或．12．集合{}{}1,|A x x B x x a ==<，若R A C B ⊆，则实数a 的取值范围_________ 【答案】1a ≤【解析】∵集合{}{}1,|,{|},1R R A x x B x x a C B x x a A C B a ==<∴=⊆∴，，厔∴实数a 的取值范围是 1.a ≤ 13．已知，若，则的取值范围是___________.【答案】【解析】14．已知集合，且有4个子集，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】由题意得．所以．因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以，所以，解得且．故实数a的取值范围是．故答案为．三、解答题15．已知,若,求实数的取值范围.【答案】【解析】①当时,即,有;②当,则,解得: ;综合①②,得的取值范围为.16．设全集，集合，集合,且,求的取值范围. 【答案】【解析】17．已知集合{}121A x a x a =-<<+， {}01B x x =<< （1）若12a =，求A B ⋂；（2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}01x x <<；（2）12a ≤-或2a ≥. 【解析】试题分析：（1）把a 的值代入A 求出解集，找出A 与B 的交集，求出A 与B 补集的并集即可；（2）根据A 与B 的交集为空集，确定出a 的范围即可．试题解析：（1）当12a ={}12,012A x x B x x ⎧⎫=-<<=<<⎨⎬⎩⎭，∴A B ⋂= {}12012x x x x ⎧⎫-<<⋂<<⎨⎬⎩⎭{}01x x =<<（2）因为A B ⋂=∅，当A =∅时，则121a a ->+，即2a <- 当A ≠∅时，则11a -≥或210a +≤，解得： 12a ≤-或2a ≥. 综上： 12a ≤-或2a ≥. 18．设全集为R ，，，（1）求及（2）若集合，，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）.【解析】19．已知的定义域为集合A，集合B=（1）求集合A；（2）若A B,求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】解：（1）由已知得即∴（2）∵∴解得∴20.已知集合A={x|x＜-3或x≥2}，B={x|x≤a-3}．（1）当a=2时，求（∁R A）∩B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【答案】（1）{}|31x x -≤≤-；（2）0a <.21.已知集合{}2|2940 A x x x =-+>，集合{}2|2, R B y y x x x C A ==-+∈，集合{}|12 1 C x m x m =+<≤-.（1）求集合B ；（2）若A C A ⋃=，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）[]8,1-；（2）2m ≤或3m ≥.【解析】试题分析：（1）解出一元二次不等式得到集合A ，故而可求出R C A ，对一元二次函数通过配方法求出其在给定区间内的范围即可；（2）A C A ⋃=等价于C A ⊆，分为C =∅和C ≠∅两种情形，借助于数轴可得m 的取值范围.试题解析：（1）22940x x -+> ， 12x ∴<或4x >，∴()1,4,2A ⎛⎫=-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭， 1,42R A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ð. 于是， ()221211,,42y x x x x ⎡⎤=-+=--+∈⎢⎥⎣⎦，解得[]8,1y ∈-， []8,1B ∴=-. （2）∵A C A ⋃=，∴C A ⊆．若C =∅,则211m m -≤+，即2m ≤，若C ≠∅,则2{1212m m >-<或2{14m m >+≥,解得3m ≥，综上，实数m 的取值范围是2m ≤或3m ≥.22．设集合()()222{|320},{|2150}A x x x B x x a x a =-+==+-+-=（1）若{}2A B ⋂=，求实数a 的值（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围【答案】（1）5,1a a =-=.综上所述： 5,1a a =-=23.已知集合A ＝{x |x ＜－2或3＜x ≤4}，B ＝{x |x 2－2x －15≤0}． (1) 求A ∩B ；(2) 若C ＝{x |x ≥a }，且B ∩C ＝B ，求实数a 的取值范围．【答案】(1) A ∩B ＝{x |－3≤x ＜－2或3＜x ≤4}．(2) a ≤－3.【解析】试题分析：（1）对于集合的交并补运算，我们常画数轴来解决.（2）由B ∩C ＝B 得B C ⊆，也可以画数轴解决.试题解析：(1) B ＝{x |－3≤x ≤5}，A ∩B ＝{x |－3≤x ＜－2或3＜x ≤4}． (2) ∵ B ∩C ＝B ，∴ B ⊆C ，∴ a ≤－3. 24. 已知集合．(1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)2；(2).【解析】25．已知集合{}2|3 2 0A x R x x =∈-+=， {}|1 1 2B x Z x =∈-≤-≤， {}21,1,1C a a =++，其中a R ∈.（1）求A B ⋂， A B ⋃；（2）若A B A C ⋂=⋂，求C .【答案】(1) A ⋂ B ={1,2}， A ⋃ B ={0,1,2,3}；(2) C ={0,1,2}.。

集合与常用逻辑用语7大题型

集合与常用逻辑用语7大题型1、集合集合是高考数学的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集考查集合的交集、并集、补集等，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1题，以简单题为主，但除了常规考法以外，日常练习中多注意新颖题目的考向。

2、常用逻辑用语常用逻辑用语是高考数学的重要考点，常见考查真假命题的判断；全称量词、特称量词命题以及命题的否定；偶尔涉及充分条件与必要条件以及根据描述进行逻辑推理等，中等偏易难度。

但一般很少单独考考查，常常与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何等交汇，热点是“充要条件”，考生复习时需多注意这方面。

一、与集合元素有关问题的解题策略1、研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义．2、利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．二、子集的个数如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个．（2）A的非空子集的个数有2n－1个．（3）A的真子集的个数有2n－1个．（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．三、集合中常见的参数求法1、已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．2、利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；第二步：看集合中是否含有参数，若A B⊆，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围.常采用数形结合的思想，借助数轴解答.3、根据集合运算的结果确定参数的取值范围法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围.法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验.【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；（2）千万不要忘记考虑空集。

集合含参问题及解题技巧

集合含参问题及解题技巧
集合含参问题在数学中是一个常见的问题类型，通常涉及到参数对集合元素的影响。

解决这类问题需要一些特定的技巧和策略，下面是一些关键的技巧和步骤：
1.理解问题: 在开始解题之前，首先要明确问题的要求。

理解题目的具体要求，明确需要求解的是什么，这是解决问题的第一步。

2.分析参数: 参数是影响集合元素的关键因素。

分析参数的可能取值范围、变化规律以及对集合元素的影响，是解决问题的关键步骤。

3.数形结合: 结合图形和数值进行理解，有时可以帮助更好地理解和解决问题。

例如，通过画出数轴、平面图等，可以直观地理解集合的关系和变化。

4.分类讨论: 根据参数的不同取值，对问题进行分类讨论。

对于每一个参数的取值范围，分析对应的集合元素的情况，从而全面地解决问题。

5.逻辑推理与验证: 在得到初步的答案后，需要进行逻辑推理和验证，确保答案的正确性和完整性。

6.总结与反思: 完成问题后，进行总结和反思，分析在解题过程中遇到的困难和解决方法，有助于提高解决这类问题的能力。

举一个具体的例子：
设集合A={x∣ax2+2x+a−1=0,a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值为____．
根据题意，方程ax2+2x+a−1=0有唯一解，所以判别式Δ=0。

计算判别式：
Δ=b2−4ac=22−4a(a−1)=0
解得：a=1或a=0。

当a=1时，方程变为x2+2x=0，解得x=0或x=−2，符合题意。

当a=0时，方程变为2x=−1，解得x=−21，符合题意。

所以a的值为0或1。

通关练01 集合含参问题【考点通关】高一数学题型归纳与解题策略(必修第一册)(原卷版)

通关练01集合含参问题○通○关○练一、单选题1．（2022·江西·高一期末）已知集合{}21,,3A x x =+，若2A ∈，则x =（）A ．-1B ．0C ．2D ．3【解析】因为2A ∈，所以2x =或232x +=，而232x +=无实数解，所以2x =.故选：C.2．（2022·重庆·高一期末）已知集合{}{}011,0,3A B a ==-+，，，且A B ⊆，则a 等于（）A ．﹣3B ．﹣2C ．0D ．1【解析】因为A B ⊆，所以312a a +=⇒=-，经验证，满足题意.故选：B.3．（2022·全国·高一期末）已知集合(){}2210M x x x =-=，{}2,N m m =，若M N M ⋃=，则m =（）A ．－1B ．－1或0C ．±1D ．0或±1【解析】依题意，(){}{}22101,0,1M x x x =-==-．由M N M ⋃=，可知：N M ⊆，又2m m ≠，则1m =-.故选：A ．4．（2022·贵州毕节·高一期末）已知集合{2=<-A x x 或}1≥x ，{}B x x a =≥，若A B =R ，则实数a 的取值范围是（）A ．(,2)-∞-B ．(,2]-∞-C ．(,1)-∞D ．(2,1)-【解析】因为集合{2=<-A x x 或}1≥x ，{}B x x a =≥，A B =R ，所以2a ≤-．故选：B ．5．（2022·河北·武安市第一中学高一期末）已知集合{|24}A x x =< ，{|3}B x a x a =-<+ ，若AB A =，则a 取值范围是（）A ．2a >-B ．1a ≤-C ．1aD ．2a >【解析】由A B A =知A B ⊆，故234a a -<⎧⎨+⎩，解得1a .故选：C .6．（2022·广东深圳·高一期末）已知集合{}2,1A =-，{}|2B x ax ==，若A B B =，则实数a 值的集合为（）A ．{}1-B ．{}2C ．{}1,2-D ．{}1,0,2-【解析】A B B B A ⋂=⇒⊆,{} 2,1A =-的子集有{}{}{},2,1,2,1φ--，当B φ=时，显然有0a =；当{}2B =-时，221a a -=⇒=-；当{}1B =时，122a a ⋅=⇒=；当{}2,1B =-，不存在a 符合题意，实数a 值集合为{}1,0,2-，故选:D.7．（2022·四川雅安·高一期末）设集合{|12},{|}A x x B x x a =-≤<=<，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围是（）A ．12a -<≤B ．2a >C ．1a ≥-D ．1a >-【解析】集合{|12},{|}A x x B x x a =-≤<=<，因为A B ⋂≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，所以1a >-．故选：D二、多选题8．（2022·全国·高一开学考试）已知集合{}4A x ax =≤，{B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是（）A ．−1B ．1C ．−2D ．2【解析】因为B A ⊆，所以4A ∈A ，则444a ≤⎧⎪≤，解得1a ≤.故选：ABC9．（2022·全国·高一课时练习）设集合{}3M x a x a =<<+，{2N x x =<或}4x >，则下列结论中正确的是（）A ．若1a <-，则M N ⊆B ．若4a >，则M N ⊆C ．若MN =R ，则12a <<D ．若MN ≠∅，则12a <<【解析】对于A ，若1a <-，则32a +<，则M N ⊆，故A 正确；对于B ，若4a >，则显然任意x M ∈，则4x >，则x ∈N ，故M N ⊆，故B 正确；对于C ，若MN =R ，则234a a <⎧⎨+>⎩，解得12a <<，故C 正确；对于D ，若M N ⋂=∅，则234a a ≥⎧⎨+≤⎩，不等式无解，则若MN ≠∅，a R∈，故D 错误.故选：ABC.10．（2022·全国·高一课时练习）已知{}22,3,23U m m =+-，{}|1|,2A m =+，{}5U A =ð，则m 的值可以是（）A ．-4B ．-2C ．2D ．4【解析】由题可知213235m m m ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得2m =或4m =-，故选：AC.11．（2022·全国·高一课时练习）设集合{|28}S x x =-≤≤，{|04}T x x =<<，若集合()R P T S ⊆⋂ð，则P 可以是（）A ．{|20}x x -≤≤B ．{|57}x x ≤≤C ．{|28}x x -≤≤D ．{|15}x x ≤≤【解析】因为{|28}S x x =-≤≤，{|04}T x x =<<，所以{0R T x x =≤ð或4}x ≥，(){20R T S x x ⋂=-≤≤ð或48}x ≤≤，因为集合()R P T S ⊆⋂ð，所以集合P 可以是AB.故选：AB12．（2022·广东汕尾·高一期末）设{}29140A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 的值可以为（）A ．2B ．12C ．17D ．0【解析】集合2{|9140}{2A x x x =-+==，7}，{|10}B x ax =-=，又A B B =，所以B A ⊆，当0a =时，B =∅，符合题意，当0a ≠时，则1{}B a =，所以12a=或17a =，解得12a =或17a =，综上所述，0a =或12或17,故选：BCD三、填空题13．（2022·上海·同济大学第二附属中学高一期末）若集合2{|(1)320,}A x a x x x R =-+-=∈有且仅有两个不同的子集，则实数a =_______；【解析】因为集合A 仅有两个不同子集，所以集合A 中仅有1个元素，当10a -=时，23x =，所以23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，满足要求；当10a -≠时，()()234120a ∆=--⋅-=，所以18a =-，此时方程解为43x =，即43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，满足要求，所以18a =-或1，故答案为：18-或1.14．（2022·湖南·长沙市雨花区教育科学研究所高一期末）已知集合{}22,2A a a a =++，若3A ∈，求实数a 的值_______【解析】由题可知：集合{}22,2A a a a =++，3A∈所以23a +=或223+=a a ，则1a =或32a =-当1a =时，222a a a +=+，不符合集合元素的互异性，当32a =-时，1,32⎧⎫=⎨⎬⎩⎭A ，符合题意所以32a =-，故答案为：32-15．（2022·浙江丽水·高一期末）已知集合2{|0}A x x ax b =++=，{3}=B ，若A B =，则实数a b +=_______【解析】因为{3}A B ==，所以方程20x ax b ++=有且只有一个实数根3x =，所以240390a b a b ⎧-=⎨++=⎩，解得6,9a b =-=.所以3a b +=故答案为：3四、解答题16．（2022·浙江台州·高一期末）已知集合{|12)A x x =-<，集合{(1)()0}B x x x a =-+<∣.(1)求集合A ；(2)若2A B -∈⋃，求实数a 的取值范围.【解析】(1)|1|2,x -<212,x ∴-<-<13x ∴-<<，所以集合{13}A xx =-<<∣；(2)2A B -∈⋃且2A -∉，2B∴-∈(21)(2)0a ∴--⋅-+<，解得：2a >，∴实数a 的取值范围是(2,)+∞.17．（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）已知集合2{|40}A x x =-≥，集合{|1}B x m x m =<<-.(1)求A .(2)求A B A ⋃=，求m 的取值范围.【解析】(1)由240x -≥，即24x ≤，可得22x -≤≤，可得集合{|22}A x x =-≤≤.(2)因为{|22}A x x =-≤≤，且集合{|1}B x m x m =<<-，又因为A B A ⋃=，即B A ⊆，当B =∅时，即1m m ≥-，可得12m ≥，此时满足B A ⊆；当B ≠∅时，则满足2121m m m m≥-⎧⎪-≤⎨⎪<-⎩，解得112m -≤<，综上可得，1m ≥-，即实数m 的取值范围[1,)-+∞.18．（2022·云南德宏·高一期末）设全集U =R ，集合{}{}2230,242A x x x B x x x =--<=-≥-∣∣(1)求()U A B ⋂ð；(2)若集合{20}C xx a =+>∣满足C C =B∪，求实数a 的取值范围.【解析】(1)化简{}{}13,2A x x B x x =-<<=≥，{}23A B x x ⋂=≤<，所以{()2U A B x x ⋂=<ð或3}x ≥.(2){2a C x x ⎫=>-⎬⎭，因为C C =B∪，所以B C ⊆，所以242aa -<⇒>-，所以实数a 的取值范围为()4,-+∞19．（2022·湖南邵阳·高一期末）已知集合{}2320A x x x =-+-≥，{}1B x m x m =-≤≤+．(1)若1m =时，求A B ；(2)若A B ⊆，求实数m 的取值范围．【解析】(1)因为2320x x -+-≥，所以23+20x x ≤-，所以={12}A x x ≤≤．因为1m =，所以{12}B x x =-≤≤所以{12}A B x x ⋂=≤≤(2)因为A B ⊆，所以112m m -≤⎧⎨+≥⎩，解得m 1≥，∴实数m 的取值范围为m 1≥.20．（2022·内蒙古赤峰·高一期末）已知集合{}3A x a x a =≤≤+，{1B x x =<-或5}x >．(1)若A B =∅，求a 的取值范围；(2)若AB A =，求a 的取值范围．【解析】(1)∵{}3,{1A x a x a B x x =≤≤+=<-或5}x >，且A B =∅，∴135a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得12a -≤≤，∴a 的取值范围为[]1,2-；(2)∵{}3,{1A x a x a B x x =≤≤+=<-或5}x >，且A B A =，∴A B ⊆，∴31a +<-或5a >，即4a <-或5a >，∴a 的取值范围是()(),45,-∞-+∞.21．（2022·山西·高一期末）已知集合{}20,R,R A x x ax b a b =-+=∈∈.(1)若{}1A =，求a ，b 的值；(2)若{}Z 30B x x =∈-<<，且A B =，求a ，b 的值.【解析】（1）若{}1A =，则有210Δ40a b a b -+=⎧⎨=-=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩；（2）{}{}Z 302,1B x x =∈-<<=--，因为A B =，所以42010a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得32a b =-⎧⎨=⎩.22．（2022·广东佛山·高一期末）已知集合{}121A x a x a =-<<+，{}2650B x x x =-+<.(1)若A B =，求实数a 的值；(2)若A B =∅，求实数a 的取值范围.【解析】(1)由已知得{}{}265015B x x x x x =-+<=<<A B=11215a a -=⎧∴⎨+=⎩，解得2a =；(2)AB =∅当A =∅时，121a a -≥+，得2a ≤-当A ≠∅时，15121a a a -≥⎧⎨-<+⎩或211121a a a +≤⎧⎨-<+⎩，解得20a -<≤或6a ≥，综合得0a ≤或6a ≥.23．（2022·湖北黄石·高一期末）已知集合{}02A x x =≤≤，{}B 32x a x a =≤≤-．（1）若()R A B ⋃=R ð，求实数a 的取值范围；（2）若A B B ≠I ，求实数a 的取值范围．【解析】（1）因为{}A 02x x =≤≤，所以{R A |0x x =<ð或}2x >．又{}B 32x a x a =≤≤-且()R A B ⋃=R ð，所以320322a aa a -≥⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，解得0a ≤所以实数a 的取值范围是(],0-∞．（2）若A B B =（补集思想），则B A ⊆．当B =∅时，32-<a a ，解得1a >；当B ≠∅时，32a a -≥，即1a ≤，要使B A ⊆，则0322a a ≥⎧⎨-≤⎩，得112a ≤≤．综上，知A B B =时，12a ≥，所以A B B ≠I 时，实数a 的取值范围是12a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭．24．（2022·河北·武安市第一中学高一期末）已知集合{}2|80,,{|10,}A x x x m m R B x ax a R =-+=∈=-=∈，且A B A ⋃=．（1）若{}3A B =ð，求m ，a 的值．（2）若12m =，求实数a 组成的集合．【解析】（1）因为{}2|80,,{|10,}A x x x m m R B x ax a R =-+=∈=-=∈，且A B A ⋃=．{}3A B =ð，所以3A ∈，3B ∉，所以23830m -⨯+=解得15m =，所以{}3,5A =，所以5∈B ，所以510a -=，解得15a =（2）若12m =，所以{}2,6A =，因为A B A ⋃=，所以B A ⊆当B =∅，则0a =；当{}2B =，则12a =；当{}6B =，则16a =；综上可得110,,26a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭25．（2022·全国·益阳平高学校高一期末）已知集合11{|}A x a x a =-≤≤+，5|03x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭．(1)若3a =-，求A B ；(2)在①A B =∅，②()R B A R ⋃=ð，③A B B ⋃=，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a 的取值范围．【解析】(1)因为3a =-，所以{|42}A x x =-≤≤-，又因为{|35}B x x =-<≤，所以{|45}A B x x ⋃=-≤≤．(2)若选①A B =∅：则满足15a ->或13a +≤-，所以a 的取值范围为{|4a a ≤-或6}a >．若选②()R B A R ⋃=ð：所以{|1R A x x a =<-ð或1}x a >+，则满足1315a a ->-⎧⎨+≤⎩，所以a 的取值范围为{|24}a a -<≤．若选③A B B ⋃=：由题意得A B ⊆，则满足1315a a ->-⎧⎨+≤⎩所以a 的取值范围为{|24}a a -<≤26．（2022·河北沧州·高一期末）已知集合401x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭，{}12B x a x a =+≤≤.(1)当2a =时，求A B ；(2)若B A ⋂=∅R ð，求实数a 的取值范围.【解析】(1){}14A x x =<≤，当2a =时，{}|34B x x =≤≤，∴{}|14A B x x ⋃=<≤；(2)A =R ð{|1x x ≤或x ＞4}，当B =∅时，B A ⋂=∅R ð，12a a >+，解得a ＜1；当B ≠∅时，若B A ⋂=∅R ð，则241121a a a a ≤⎧⎪⎨⎪≥⎩，＋＞，＋，解得12a ≤≤.综上，实数a 的取值范围为{}2a a ≤.27．（2022·广东惠州·高一期末）已知全集U =R ，集合{}2120A x x px =++=，集合{}250B x x x q =-+=．(1)若集合A 中只有一个元素，求p 的值；(2)若{}3A B ⋂=，求A B ．【解析】(1)因为集合A 中只有一个元素，所以24120p ∆=-⨯=，p =±(2)当{}3A B ⋂=时，22331203530p q ⎧+⨯+=⎨-⨯+=⎩，7p =-，6q =，此时{}3,4A =，{}2,3B =，{}2,3,4A B =28．（2022·重庆·高一期末）已知集合{}3A x x =≤，{}31B x a x a =-<<+.(1)当4a =时，求()A B R ð；(2)若AB A =，求实数a 的取值范围.【解析】(1){}{}333A x x x x =≤=-≤≤，则R {|3A x x =<-ð或3}x >，当4a =时，{}15B x x =-<<，(){}R =35A B x x ∴⋂<<ð；(2)若A B A =，则A B ⊆，3313a a -<-⎧∴⎨+>⎩，∴实数a 的取值范围为6a >，即(6,)a ∈+∞.29．（2022·广西玉林·高一期末）已知集合{}22150M x x x =--≤，{}N x m x m =-≤≤．(1)当1m =时，求M N ⋂以及()()R R M N ⋃痧；(2)若MN ，求实数m 的取值范围．【解析】（1）{}{}(3)(5)035M x x x x x =+-≤=-≤≤，当1m =时，[1,1]N =-，∴[1,1]=-MN ，(,3)(5,)=-∞-+∞R M ð，(,1)(1,)=-∞-+∞R N ð，∴()()(,1)(1,)=-∞-+∞R RM N 痧.（2）由题可知M N Ü，所以35-≤-⎧⎨≥⎩m m ，解得5m ≥，所以实数m 的取值范围为[5,)+∞.30．（2022·青海海东·高一期末）已知集合{2}A xa x a =<<∣，{4B x x =≤-或}3x ≥.(1)当2a =时，求()R A B ⋃ð；(2)若R A B ⊆ð，求a 的取值范围.【解析】(1)由题意得{}24A x x =<<，{4B x x =≤-或}3x ≥，{}R 43B x x ∴=-<<ð，故(){}R 44A B x x ⋃=-<<ð.(2)当0a ≤时，A =∅，符合题意，当0a >时，由23a ≤，得302<≤a ，故a 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．。