含参集合分类讨论问题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
第二周含参集合分类讨论问题
重点知识梳理
1.所谓分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答.这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决的数学思想,称之为分类讨论思想.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略.
2.用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是:
(1)明确讨论的对象;
(2)进行合理分类,所谓合理分类,应该符合三个原则:
①分类应按同一标准进行;
②分类应当没有遗漏;
③分类应是没有重复的;
(3)逐类讨论,分级进行;
(4)归纳并作出结论.
3.集合中引起分类讨论的原因:
(1)由元素的特性引起的讨论;
(2)由空集引起的讨论;
(3)由方程的有解性引起的讨论.
典型例题剖析
例1同时满足:(1)M⊆{1,2,3,4,5};(2)若a∈M,则(6-a)∈M的非空集合M有多少个?并写出这些集合.
【解析】按集合M中元素个数分类讨论:
M中只有1个元素时,若3∈M,则6-a=6-3=3∈M,所以M={3};
M中有2个元素时,满足条件的M有2个:M={1,5},M={2,4};
M中有3个元素时,满足条件的M有2个:M={1,3,5},M={2,3,4};
M中有4个元素时,满足条件的M只有1个:M={1,2,4,5};
M中有5个元素时,满足条件的M也只有1个:M={1,2,3,4,5},
所以适合条件的集合M共有7个.
变式训练已知集合M={a2,a+1,-3},N={a-3,2a-1,a2+1},若M∩N={-3},则a的值为()
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】A
【解析】∵M∩N={-3},∴-3∈N={a-3,2a-1,a2+1},
若a -3=-3,则a =0,此时M ={0,1,-3},N ={-3,-1,1},则M ∩N ={-3,1}, 故不适合.
若2a -1=-3,则a =-1,此时M ={1,0,-3},N ={-4,-3,2},M ∩N ={-3}, 满足题意.
若a 2+1=-3,此方程无实数解.
故选A.
【小结】该题结合集合的运算考查了分类讨论思想,分类的标准结合集合的性质:无序性、互异性、确定性.
例2 已知集合A ={x |x 2+4x =0},B ={x |x 2+ax +a =0},若B ⊆A ,求实数a 的取值范围.
【解析】A ={0,-4}.
①B =∅时,Δ=a 2-4a <0,即0 ②B ≠∅时,即B ={0}或B ={-4}或B ={-4,0}. 当B ={0}时,a =0满足题意; 当B ={}-4或B ={-4,0}时,均不满足题意. 综上所述,a 的取值范围是{a |0≤a <4}. 变式训练 已知集合A ={x |ax 2-3x +2=0,a ∈R }. (1)若A 是空集,求a 的取值范围; (2)若A 中至多只有一个元素,求a 的取值范围. 【解析】(1)当a =0时,方程ax 2-3x +2=0化为-3x +2=0,解集非空; 当a ≠0时,要使A 是空集,则Δ=(-3)2-8a <0, 解得a >98 . ∴使A 是空集的a 的取值范围是{a |a >98 }. (2)当a =0时,集合A 中有一个元素; 当a ≠0时,若A 中有两个元素,则Δ=(-3)2-8a >0,解得a <98 . 综上,使A 中至多只有一个元素的a 的取值范围是{a |a =0或a ≥98 }. 例3 已知集合A ={x |1 (1)若A ⊆B ,求实数m 的取值范围; (2)若A ∩B =∅,求实数m 的取值范围. 【解析】(1)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧ 1-m >2m 2m ≤11-m ≥3 , 得m ≤-2,即实数m 的取值范围为{m |m ≤-2}. (2)由A ∩B =∅得: ①若2m ≥1-m 即m ≥13 ,B =∅,符合题意; ②若2m <1-m 即m <13,需⎩⎪⎨⎪⎧ m <131-m ≤1 或⎩⎪⎨⎪⎧ m <132m ≥3 得0≤m <13或∅,即0≤m <13 . 综上知m ≥0,即实数m 的取值范围为{m |m ≥0}. 变式训练 设集合P ={}x |x 2-x -6<0, Q ={}x |2a ≤x ≤a +3. (1)若P ∪Q =P ,求实数a 的取值范围; (2)若P ∩Q =∅,求实数a 的取值范围; 【解析】(1)由题意知P ={}x |-2<x <3, ∵P ∪Q =P ,∴Q ⊆P . ①当Q =∅时,得2a >a +3,解得a >3; ②当Q ≠∅时,得-2<2a ≤a +3<3,解得-1<a <0. 综上,实数a 的取值范围是{a |-13}. (2)①当Q =∅时,得2a >a +3,解得a >3; ②当Q ≠∅时,得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≤a +3a +3≤-2或2a ≥3, 解得a ≤-5或32 ≤a ≤3. 综上,实数a 的取值范围是{a |a ≤-5或a ≥32 }. 跟踪训练 1.由实数a ,-a ,|a |所组成的集合里,所含元素个数最多有( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 2.在集合A ={1,a 2-a -1,a 2-2a +2}中,a 的值可以是( ) A .0 B .1 C .2 D .1或2 3.已知集合A ={x |ax 2+2x +1=0,a ∈R }只有一个元素,则a 的值为( ) A .0 B .1 C .0或1 D .-1 4.设P 、Q 为两个非空实数集,定义集合P +Q ={a +b |a ∈P ,b ∈Q }.若P ={0,2,5},Q ={1,2,6},则P +Q 中元素的个数是( )