含参集合分类讨论问题
集合含参问题的归纳及解法
集合含参问题的归纳及解法1. 什么是集合含参问题？好嘞，咱们今天聊聊集合含参问题，别担心，听起来复杂，其实就是个“调皮的小问题”。
首先，集合含参问题，顾名思义，就是在某个集合里，咱们要处理带参数的元素。
这就像是你在买衣服时，不仅要考虑款式，还得看看尺寸，颜色，这些都是参数，对吧？在数学里也是如此，咱们得考虑元素的各种属性。
就拿学校的班级来说，班级里的每一个小朋友都是集合里的元素，而他们的年龄、性别、爱好等等，就是那些让他们各具特色的参数。
想象一下，你去参加一个聚会，聚会里有各种各样的人。
有的爱唱歌，有的爱跳舞，还有的喜欢讲笑话。
这些“爱好”就是他们的参数，决定了他们在聚会中的角色。
集合含参问题就是要找到这些角色，了解它们是怎么工作的。
简而言之，就是把“人”放到“集合”里，然后分析他们的参数，看看能碰撞出怎样的火花。
2. 集合含参问题的特点2.1 多样性说到集合含参问题，首先映入脑海的就是多样性。
就像春天的花园，五颜六色的花朵争奇斗艳。
不同的集合有不同的特点，参数也是各式各样，真是让人眼花缭乱！比如说，你有一个水果集合：苹果、香蕉、橙子。
它们的颜色、味道、营养价值都不一样，这些都是参数。
处理这些问题时，咱们得考虑到各种因素，才能找到最合适的解决方案。
2.2 复杂性其次，复杂性也是个重要的特点。
说实话，集合含参问题就像做大菜一样，越复杂的菜，步骤越多，调料越杂。
想要把所有参数都考虑进去，简直是难上加难！有时候，咱们可能需要借助一些数学工具，比如集合论、概率论，甚至是图论，来帮助我们理清头绪。
可别怕，慢慢来，总能找到头绪的。
3. 如何解决集合含参问题3.1 确定目标那么，解决这些问题的第一步是什么呢？那就是确定目标！就像你去旅行前，得先决定去哪里，不然到时候就成了“东跑西颠”，毫无头绪。
明确你要解决的问题，或者说，想要找出哪些参数之间的关系，这样才能有的放矢，事半功倍。
3.2 选择工具接下来，咱们得选择合适的工具。
第1讲、集合子集问题含参讨论
第一讲、集合子集（包含）含参问题讨论【例题1】已知集合A = ^xax2+2x+\ =0,x e /?）,且A中只有一个元素，求G的值.【答案】"=1或4 = 0【解析】①当"=0时，z—I,此时② '"la H 0 时，△= 2‘ —4d = 0,贝ij“ = 1,此时A = {—1}综上可得：d = 0或a= 1【变式1】已知ft n* A = {x e R mx2-2x + 3 = 0, m e /?},且A中只有一个元素，求加的值. 【答案】0,13【变式2】已知集合A = {X/+ X_6=0},B= {扌心+1 =0}且BuA,求d的值.【答案】0丄,一］3 2【例题2】已知集合A = {x I -2 < x < 5 } , B = {x I w +1 < x < 2m-\},若BgA,求实数加的取值范围.【答案】{m I m < 3}【解析】••• BgA①当B = 0时，m+l>2m-l,则m < 2；②当B主0时，要使,只需：m +1 < 2m -1<-2<w+l ,解得：2 </?/<3；5 > 2m -1综上可得：m < 3【变式1】集合A = {x\ a - \ < x < 2« +1}, B = {x\-3 <x <1},若AgB,求d的取值范围.【答案】心3【变式2】已矢口非空集合A= {xHdH，+1,XE/?},B = {x\2<x<3a+\,xeR}, a w R ,求使A^B时，"的取值范圉.【答案】l<t/<3【例题3】设A = {xIx2 + 4x = 0}, B= {x\x2 + 2{a+t）x +a2-1 =o},若B G A ,求a 的值.【答案】a < -1或a = 1【解析】>4 = {0,-4}BgA, B = 0或B={0}或B={_4}或B={0,-4}①当B = 0时△= 4@ + 1）2-4（宀1）<0,解得av-l；②当B={0}或B={-4}时△= 4（a +1）= — 4（/ -1）= 0,解得d = -1,此时B={0},成立，③当3= {0,-4}时A>0-/（0）= 0 ‘ 解得“ =1./（-4）=0综上可得：a<-\或a=l【变式1】集合A={xlF - 3x + 2 = 0}, B={xlx2-2x + «-l=0}, = 求a 的取值范围.【答案】心。
专题05 导数中含参讨论问题总结(解析版)
专题05 导数中含参讨论问题总结一、重点题型目录【题型】一、由函数的单调区间求参数 【题型】二、由函数在区间上的单调性求参数 【题型】三、含参分类讨论求函数单调性区间 【题型】四、根据极值点求参数【题型】五、有导数求函数的最值（含参） 【题型】六、已知函数最值求参数 【题型】七、参变分离法解决导数问题【题型】八、构造函数并利用函数的单调性判定函数值大小 【题型】九、构造函数法解决导数问题 二、题型讲解总结【题型】一、由函数的单调区间求参数例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2ln x ax f x x =++的单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，则（ ）. A ．(],3a ∈-∞- B ．3a =- C ．3a = D ．(],3a ∈-∞【答案】B【分析】根据()f x 得到()f x '，再根据()f x 的单调递减区间是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，得到12和1是方程()0f x '=的两个根，代入解方程即可.【详解】由()2ln x ax f xx =++得()221x ax f x x++'=，又()f x 的单调递减区间是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以12和1是方程2210x ax x++=的两个根，代入得3a =-.经检验满足题意故选：B.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos f x x a x =+在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1a >B ．1a ≥C ．1a >D ．1a ≥-【答案】B【分析】根据函数的单调性知导数小于等于0恒成立，分离参数后由正切函数单调性求解.【详解】由题意，()cos sin 0f x x a x '=-≤在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，即cos 1sin tan x a x x ≥=在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立， 因为tan y x =在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以tan 1y x =>，所以在ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，101tan x <<， 所以1a ≥. 故选：B例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()32f x x ax bx c =+++，()g x 为()f x 的导函数．若()f x 在(0，1)上单调递减，则下列结论正确的是（ ）A ．23a b -有最小值3B ．23a b -有最大值C ．()()010f f ⋅≤D ．()()010g g ⋅≥【答案】D【分析】由()f x 在(0，1)上单调递减，得到()00g b =≤，()1230g a b =++≤，即可判断D ；求出()()()2011f f c a b c ⋅=+++，当0c <时，有()()010f f ⋅>，可否定C ；记23z a b =-，其中(),a b 满足2300a b b ++≤⎧⎨≤⎩，利用数形结合求出，判断A 、B.【详解】由题意可得()()232g x f x x ax b ='=++.因为()f x 在(0，1)上单调递减，所以()0g x ≤在(0，1)上恒成立，即()00g b =≤，()1230g a b =++≤，所以()()010g g ⋅≥， 因为()()0,11f c f a b c ==+++，()f x 在(0，1)上单调递减， 所以1c a b c >+++，即10a b ++<，所以()()()()20111f f c a b c c a b c ⋅=+++=+++，当0c <时，有()()010f f ⋅> 所以C 错误，D 正确.记23z a b =-，其中(),a b 满足2300a b b ++≤⎧⎨≤⎩，作出可行域如图示：由2300a b b ++=⎧⎨=⎩解得：3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当抛物线21133a z b -=，经过点3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭时94z =最小，没有最大值.故A 、B 错误.故选：D.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知()2121()1e 2x f x a x -=--，若不等式11ln 1f f x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭在(1,)+∞上恒成立，则a 的值可以为（ ）A ．B ．1-C ．1D 【答案】AD【分析】由条件可得()f x 在(1,)+∞上单调递增，再结合导数和单调性的关系列不等式求a 的范围，由此确定正确选项.【详解】设1ln (1)y x x x =-->，则110y x'=->， 所以1ln y x x =--在(1,)+∞上单调递增，所以1ln 0x x -->， 所以ln 1,(1,)x x x <-∈+∞，∴0ln 1x x <<-， ∴110ln 1x x >>-． 又11ln 1f f x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭在(1,)+∞上恒成立， 所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以()21()1e 0x f x a x -=--≥'对(1,)x ∀∈+∞恒成立，即211e x x a --≥恒成立．令111(),()eex x xxg x g x ---='=，当1x >时，()0g x '<，故()(1)1g x g <=，∴211a -≥，解得a ≥a ≤所以a 的值可以为， 故选：AD.【题型】二、由函数在区间上的单调性求参数例5．（2023·全国·高三专题练习）若函数2()ln 2f x x x x =+--在其定义域的一个子区间(21,21)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．33,24⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】先求出函数的定义域(0,)+∞，则有210k -≥，对函数求导后，令()0f x '=求出极值点，使极值点在(21,21)k k -+内，从而可求出实数k 的取值范围.【详解】因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 所以210k -≥，即12k ≥， 2121(1)(21)()21x x x x f x x x x x+-+-'=+-==， 令()0f x '=，得12x =或=1x -（舍去）， 因为()f x 在定义域的一个子区间(21,21)k k -+内不是单调函数， 所以121212k k -<<+，得4143k -<<， 综上，1324k ≤<， 故选：D例6．（2023·全国·高三专题练习）若函数()324f x x ax x =-++在区间()0,2上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)2,+∞ B ．()2,+∞ C ．(],2-∞ D ．(),2-∞【答案】A【分析】将问题转化为()0f x '≥在()0,2上恒成立，采用分离变量法可得423a x x ≥-，由434x x-<可构造不等式求得结果. 【详解】()f x 在()0,2上单调递增，()23240f x x ax '∴=-++≥在()0,2上恒成立，即234423x a x x x-≥=-在()0,2上恒成立， 又43y x x =-在()0,2上单调递增，43624x x ∴-<-=，24a ∴≥，解得：2a ≥，即实数a 的取值范围为[)2,+∞. 故选：A.例7．（2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的有（ ）A ．设{}25A x x =≤≤，{}23B x a x a =≤≤+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是[]1,2 B ．“1a >，1b >”是“1ab >”成立的充分条件C ．命题p ：x ∀∈R ，20x >，则p ⌝：x ∃∈R ，20x <D ．“5a ≤”是“函数()()e 23xf x a x -=--是R 上的单调增函数”的必要不充分条件【答案】BD【分析】分B =∅与B ≠∅两种情况讨论，求出参数a 的范围，即可判断A ，根据不等式的性质及充分条件的定义判断B ，根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断C ，求出函数的导数，由()0f x '≥恒成立求出a 的取值范围，再根据集合的包含关系判断D 即可； 【详解】解：对于A ：当B =∅，即23a a >+，解得3a >时满足B A ⊆， 当B ≠∅，因为B A ⊆，所以352223a a a a +≤⎧⎪≥⎨⎪≤+⎩，解得12a ≤≤，综上可得[][)1,23,a ∈+∞，故A错误；对于B ：由1a >，1b >则1ab >，故“1a >，1b >”是“1ab >”成立的充分条件，即B 正确； 对于C ：命题p ：x ∀∈R ，20x >，则p ⌝：x ∃∈R ，20x ≤，故C 错误；对于D ：因为()()e 23xf x a x -=--，所以()()e 2x f x a =-'-，若()f x 在R 上单调递增， 则()()e 20xf x a -'=-≥恒成立，所以20a -≤，解得2a ≤，因为(],2-∞ (],5-∞， 所以“5a ≤”是“函数()()e 23xf x a x -=--是R 上的单调增函数”的必要不充分条件，故D正确； 故选：BD例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin 262x f x x mx π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数m 的最小值是___________【分析】原问题等价于()2cos 206f x x x m π⎛⎫'=+--≤ ⎪⎝⎭在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，构造函数求最值即可.【详解】由()2sin 262x f x x mx π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，得()2cos 206f x x x m π⎛⎫'=+--≤ ⎪⎝⎭06x ,⎛π⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，即2cos 26x x m π⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，令()2cos 26g x x xπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭06x ,⎛π⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()4sin 216g x x π⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭， 当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2662x πππ≤+≤ ，则24sin 246x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以54sin 2+136x π-≤-≤-⎛⎫- ⎪⎝⎭，即()0g x '<，所以()g x 在0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦是单调递减函数，max ()(0)g x g ≤=得m ≥m【题型】三、含参分类讨论求函数单调性区间 例9．（2023·全国·高三专题练习）已知()()ln 11axf x x x =+++，则下列说法正确的是（ ） A ．当0a >时，()f x 有极大值点和极小值点 B ．当a<0时，()f x 无极大值点和极小值点 C ．当0a >时，()f x 有最大值 D ．当a<0时，()f x 的最小值小于或等于0【答案】D【分析】讨论0a >、a<0，利用导数研究()f x 在定义域上的单调性，进而判断极值点及最值情况，即可确定答案. 【详解】由题设，2211()(1)1(1)a x a f x x x x ++'=+=+++且(1,)∈-+∞x ，当0a >时()0f x '>，则()f x 在(1,)-+∞上递增，无极值点和最大值，A 、C 错误； 当a<0时，若(1,1)x a ∈---则()0f x '<，()f x 递减；(1,)x a ∈--+∞则()0f x '>，()f x 递增；所以()(1)1ln()f x f a a a ≥--=++-，即()f x 无极大值点，有极小值点，B 错误； 令()1ln()g a a a =++-且(,0)a ∈-∞，则11()1a g a a a+'=+=， 当1a <-时()0g a '>，()g a 递增；当10a -<<时()0g a '<，()g a 递减； 所以()(1)0g a g ≤-=，即()f x 的最小值小于或等于0，D 正确； 故选：D例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln 1f x x x =--，若不等式()()21f x a x ≥-在区间(]0,1上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】2()(1)0f x a x --≥即为2ln 1(1)0x x a x ----≥，设2()ln 1(1)g x x x a x =----，(0,1]x ∈，求出函数()g x 的导函数，分解12a ≤和12a >讨论函数()g x 的单调性，求出函数()g x 在区间(]0,1上的最小值，即可得解.【详解】解：由已知可得2()(1)0f x a x --≥即为2ln 1(1)0x x a x ----≥，设2()ln 1(1)g x x x a x =----，(0,1]x ∈， 则(1)(12)()x ax g x x--'=，当0a ≤时，显然()0g x '≤，当102a <≤时，()0g x '≤在(0,1]x ∈上也成立， 所以12a ≤时，()g x 在(0,1]上单调递减，()(1)0g x g ≥=恒成立； 当12a >时，当102x a <<时，()0g x '<，当112x a<<时，()0g x '>， 所以()g x 在10,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 于是，存在01,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0()(1)0g x g <=，不满足()0g x ≥，舍去此情况，综上所述，12a ≤. 故选：A.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知()()22e 2e e 2e a a b bm m a m m +--=+-，则（ ）A ．当()1,0m ∈-，a ，(),0b ∈-∞时，a b >B ．当()1,0m ∈-，a ，(),0b ∈-∞时，a b <C ．当()1,2m ∈，a ，()0,b ∈+∞时，a b >D ．当()1,2m ∈，a ，()0,b ∈+∞时，a b < 【答案】AC【分析】根据等号两边式子的结构特征构造函数()f x ,利用导数分类讨论函数()f x 的单调性进行求解.【详解】设()()2e 2e x xf x m m x =+--，因为()()22e 2e e 2e a a b bm m a m m +--=+-，所以()()f a f b b =+，当a ，(),0b ∈-∞时，()()0f a f b b -=<，即()()f a f b <.易知()()()e 12e 1x xf x m '=-+，当()1,0m ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在(),0∞-上单调递减， 所以a b >，故选项A 正确，选项B 错误.当a ，()0,b ∈+∞时，()()0f a f b b -=>，即()()f a f b >. 当()1,2m ∈时，令()0f x '=，解得ln x m =-，所以()f x 在(),ln m -∞-上单调递减，在()ln ,m -+∞上单调递增， 所以a b >，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：AC.【题型】四、根据极值点求参数例12．（2023·全国·高三专题练习）若函数3()3f x x bx b =-+在区间(0,1)内有极小值，则b 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(1,0)-【答案】B【分析】先利用导数求出函数的极小值点，然后使极小值点在(0,1)内，从而可求出b 的取值范围【详解】由题意，得2()33f x x b '=-，当0b ≤时，()0f x '>在(0,1)上恒成立，所以()f x 在(0,1)上递增，函数无极值， 所以0b >，令()0f x '=，则x ＝，∴函数在（）上()0f x '<，+∞）上()0f x '>，函数递增 ∴x =∴函数3()3f x x bx b =-+在区间（0，1）内有极小值，∴01， ∴b ∴（0，1） 故选：B ．例13．（2023·全国·高三专题练习）若3π-，3π分别是函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的零点和极值点，且在区间,155ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，函数()y f x =存在唯一的极大值点0x ，使得()01f x =，则下列数值中，ω的可能取值是（ ） A ．814B ．994C ．1054D ．1174【答案】C【分析】由函数的零点和极值点的概念结合正弦函数图象的性质对各个选项进行判断即可. 【详解】设函数()y f x =的最小正周期为T ,由题意得1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩则3(21),4,24k k ωππϕ+⎧=⎪='⎪⎨⎪+⎪⎩其中121221,(,),k k k k k Z k k k =+⎧∈⎨=-⎩'在区间,155ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上， 函数()y f x =存在唯一的极大值点0x ，使得()01f x =， 所以22,51515T πππ-=≤解得030,ω<≤即3(21)30,4k +≤解得19.5.k ≤ 对于D.若1174ω=，则19.k =由11139(),34k k k Z ππϕπωπ=+=+∈且0ϕπ<<可知3,4πϕ=可使1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩成立， 当,155x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时1173(2.7,6.6),44x πππ+∈当011739442x ππ+=或132π时，()01f x =都成立，故不符合； 对于C. 若1054ω=，则17k =，1135,34k k ππϕπωπ=+=+且0ϕπ<<可知 3,4πϕ=可使1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩成立，当,155x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时1053(2.5,6)44x πππ+∈，当010539442x ππ+=时，存在唯一的极大值点0x ，使得()01f x =，故符合条件； 对于B. 若949ω=，则16,k =由1133,34k k ππϕπωπ=+=+且0ϕπ<<可知,4πϕ= 可使1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩成立，当,155x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时99(1.9,5.2)44x πππ+∈， 当0995442x ππ+=或92π时，()01f x =都成立，故不符合； 对于A. 若148ω=，则13,k =由 112734k k ππϕπωπ=+=+且0ϕπ<<可知3,4πϕ=可使1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩成立，当,155x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，813(2,1,4.8)44x πππ+∈， 当08135442x ππ+=或92π时，()01f x =都成立，故不符合； 故选：C【题型】五、有导数求函数的最值（含参）例14．（2023·全国·高三专题练习）设直线x t =与函数()22f x x =，()ln g x x =的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为（ ）A ．1B ．12CD 【答案】B【分析】由题意，函数()()22ln y f x g x x x =-=-的最小值即|MN |达到最小值时，再求导分析()()22ln y f x g x x x =-=-的极小值点即可【详解】设函数()()22ln y f x g x x x =-=-，求导数得()()212114x x y x x x+-'=-= 因为0x >，故当102x <<时，0'<y ，函数在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上为单调减函数， 当12x >时，0'>y ，函数在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为单调增函数 所以x 12=为()()22ln y f x g x x x =-=-的极小值点.故当|MN |达到最小时t 的值为12． 故选：B ．例15．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D 、E 、F 为圆O 上的点，DBC △，ECA △，FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起DBC △，ECA △，FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥.当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：3cm )的最大值为______.【答案】3【分析】连接OD ，交BC 于点G ，设OG x =，则BC =，5DG x =-， 进而算出三棱锥的高和体积，构造函数，令45()2510f x x x =-，5(0,)2x ∈，求导，根据导函数的正负判断单调性进而求出最大值．【详解】由题意，连接OD ，交BC 于点G ，由题意得OD BC ⊥，OG =，即OG 的长度与BC 的长度成正比，设OG x =，则BC =，5DG x =-，三棱锥的高h 221)2ABCS==，则213ABC V Sh =⨯=45()2510f x x x =-，5(0,)2x ∈，34()10050f x x x '=-，令()0f x '≥，即4320x x -≤，解得2x ≤，则()(2)80f x f ≤=，∴3V ，∴体积最大值为3．故答案为：3【点睛】思路点睛：本题将三棱锥体积的计算转化为利用导数研究函数的最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，本题的解题关键是掌握根据导数求单调性的方法，属于中档题.例16．（2023·河北·高三阶段练习）R,2e 12x x x a ∀∈-≥+，则a 的最大值为_____________．【答案】1【分析】R,2e 12x x x a ∀∈-≥+，即R,2e 12x x x a ∀∈--≥，令()2e 12xf x x =--，分1ln2x >和1ln2x ≤两种情况讨论，利用导数求出函数的最小值，即可得出答案. 【详解】解：R,2e 12xx x a ∀∈-≥+， 即R,2e 12xx x a ∀∈--≥， 令()2e 12xf x x =--，当2e 10x ->，即1ln 2x >时，()2e 12xf x x =--，则()2e 2xf x '=-，当1ln02x <<时，()0f x '<，当0x >时，0f x ，所以函数()f x 在1ln ,02⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在()0,∞+上递增，所以当1ln 2x >时，()()min 01f x f ==，当2e 10x -≤，即1ln2x ≤时，()12e 2xf x x =--， 因为函数2e ,2x y y x ==为增函数，所以函数()12e 2xf x x =--在1,ln 2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减，所以当1ln2x ≤时，()min 1ln ln 412f x f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭， 综上所述，()()min 01f x f ==， 所以1a ≤， 即a 的最大值为1. 故答案为：1.【题型】六、已知函数最值求参数例17．（2023·广西·模拟预测（文））已知函数()ln f x x ax =+存在最大值0，则a 的值为（ ） A ．2- B ．1e-C ．1D ．e【答案】B【分析】讨论a 与0的大小关系确定()f x 的单调性，求出()f x 的最大值. 【详解】因为()1f x a x'=+，0x >， 所以当0a ≥时，0fx恒成立，故函数()f x 单调递增，不存在最大值；当a<0时，令()0f x '=，得出1x a=-，所以当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，0fx ，函数单调递增，当1,x a ∈-+∞⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数单调递减，所以() max11ln 10f x f a a ⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：=a 1e -. 故选：B.例18．（2023·全国·高三专题练习）若函数()22e xx x af x +-=在区间(,1)a a +上存在最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞-B ．()2,1--C ．⎛-∞ ⎝⎭D ．1⎫-⎪⎪⎝⎭【答案】D【分析】求得()22exx a f x -++'=，根据()f x 在区间(,1)a a +上存在最小值，得到()00f x '=且()0f a '<，()10f a '+>，设()22g x x a =-++，根据()0g a <且()10g a +>，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数()22e xx x af x +-=，可得()22e x x a f x -++'=，且()f x 在区间(,1)a a +上存在最小值， 即()f x '在区间(,1)a a +上存在0(,1)x a a ∈+， 使得()00f x '=且()0f a '<，()10f a '+>，设()22g x x a =-++，即满足()0g a <，且()10g a +>，可得()()2220110g a a a g a a a ⎧=-++<⎪⎨+=--+>⎪⎩1a <<-，即实数a 的取值范围是1⎫-⎪⎪⎝⎭.故选：D.例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数21()e xx x f x +-=，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 只有一个零点B ．函数()f x 只有极大值而无极小值C ．当e 0k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D ．若当[,)x t ∈+∞时，max 25()e f x =，则t 的最大值为2 【答案】CD【分析】解方程()0f x =判断A ；利用导数探讨()f x 的极值判断B ；分析函数()f x 的性质，借助图象判断C ；由25(2)e f =结合取最大值的x 值区间判断D 作答.【详解】对于A ，由()0f x =得：210x x +-=，解得x =A 不正确；对于B ，对()f x 求导得：22(1)(2)()e ex xx x x x f x '--+-=-=-，当1x <-或2x >时，()0f x '<，当12x -<<时，()0f x '>，即函数()f x 在(,1)-∞-，(2,)+∞上单调递减，在(1,2)-上单调递增，因此，函数()f x 在=1x -处取得极小值(1)e f -=-，在2x =处取得极大值25(2)e f =，B 不正确；对于C ，由选项B 知，作出曲线()y f x =及直线y k =，如图，观察图象得当e 0k -<<时，直线y k =与曲线()y f x =有2个交点，所以当e 0k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，C 正确； 对于D ，因25(2)e f =，而函数()f x 在(2,)+∞上单调递减，因此当[,)x t ∈+∞时，max25()e f x =， 当且仅当2[,)t ∈+∞，即2t ≤，所以t 的最大值为2，D 正确. 故选：CD【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f (x )=0的解；(2)图象法：作出函数f (x )的图象，观察与x 轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.【题型】七、参变分离法解决导数问题例20．（2023·江苏·苏州中学高三阶段练习）若关于x 的不等式(41ln )ln 3k x x x x --<-+对于任意(1,)x ∈+∞恒成立，则整数k 的最大值为（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1【答案】C【分析】参变分离将恒成立问题转化为求函数最值问题，然后利用导数求最值可得. 【详解】(41ln )ln 3k x x x x --<-+对于任意(1,)x ∈+∞恒成立 等价于ln 34ln x k x x x<++对于任意(1,)x ∈+∞恒成立 令ln 3()ln x f x x x x =++，则2221ln 13ln 2()x x x f x x x x x ---'=+-= 令()ln 2g x x x =--，则11()10x g x x x-'=-=> 所以()g x 在(1,)+∞上单调递增，又(3)1ln30,(4)2ln 40g g =-<=->所以()g x 在()3,4有且仅有一个根0x ，满足00ln 20x x --=，即00ln 2x x =- 当0(1,)x x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，函数()f x 单调递减， 0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，即()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以0min 000000231()()21x f x f x x x x x x -==+-+=+- 由对勾函数可知001113114134x x +-<+-<+-，即0713()34f x << 因为04()k f x <，即0()4f x k <，0()71312416f x <<，Z k ∈ 所以0k ≤. 故选：C例21．（2023·全国·高三专题练习）已知1a >，1x ，2x ，3x 均为2x a x =的解，且123x x x <<，则下列说法正确的是（ ） A ．1(2,1)x ∈-- B ．2e (1,e )a ∈ C ．120x x +< D ．232e x x +<【答案】B【分析】A 选项：根据“三个等价”，将方程根的问题转化成构造出的函数零点的问题，利用零点存在性定理确定出1x 的取值情况；B ，C ，D 选项：对方程变形，参变分离构造函数，从函数的角度以及利用极值点偏移可以得出相应结论，详细过程见解析.【详解】对于A ，令2()x f x a x =-，因为1a >，所以()f x 在(,0)-∞上单调递增，与x 轴有唯一交点，由零点存在性定理，得1(1)10f a --=-<，0(0)00f a =->，则1(1,0)x ∈-，故A 错误. 对于B ，C ，D ，当0x >时，两边同时取对数，并分离参数得到ln ln 2a xx=， 令ln ()x g x x =，()21ln xg x x -'∴=， 当()0,e x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()e,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； 如图所示，∴当0x >时，ln 2ay =与ln ()x g x x =的图象有两个交点，ln 1(0,)2ea ∈，解得2e (1,e )a ∈，故B 正确； ∴2(1,e)x ∈，由A 选项知1(1,0)x ∈-，120x x ∴+>，故C 错误；由极值点偏移知识，此时函数()g x 的极值点左移，则有23e 2x x +>，故D 错误. 故选：B.例22．（2023·上海·高三专题练习）在空间直角坐标系O xyz -中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面．比如方程2221x y z ++=表示球面，就是一种常见的二次曲面．二次曲面在工业、农业、建筑等众多领域应用广泛．已知点(,,)P x y z 是二次曲面22420x xy y z -+-=上的任意一点，且0x >，0y >，0z >，则当zxy取得最小值时，不等式ln e 3022xa yx za +-≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】[e,)-+∞【分析】先通过zxy取得最小值这个条件找出当,,x y z 的关系，带入后一个不等式，利用对数恒等式变型，此后分离参数求最值即可.【详解】根据题意22420x xy y z -+-=，带入z xy 可得：2224212222z z x xy y x y xy xy xy y x -+===+-，而0x >，0y >，利用基本不等式222x y y x +≥=，当22x y y x =，即2y x =取得等号，此时22224246z x x x x x =-⋅+=，即23z x =，综上可知，当z xy 取得最小值时，223y x z x =⎧⎨=⎩，带入第二个式子可得，2e ln 02x a x ax x +-≥，即e ln 0x ax a x x +-≥，于是ln e ln (ln )0xx x ax a x e a x x x-+-=+-≥，设()ln u u x x x ==-，11()1x u x x x -'=-=，故当1x >时，()u x 递增，01x <<时，()u x 递减，min ()(1)1u x u ==；于是原不等式转化为1u ≥时，0u e au +≥恒成立，即ue a u -≤在1u ≥时恒成立，设()u e h u u=(1)u ≥，于是2(1)()0u e u h u u -'=≥，故()h u 在1u ≥时单调递增，min ()(1)h u h e ==，故a e -≤，a e ≥-即可. 故答案为：[e,)-+∞【点睛】本题e ln 0xax a x x+-≥恒成立的处理用到了对数恒等式，若直接分离参数求最值，会造成很大的计算量.【题型】八、构造函数并利用函数的单调性判定函数值大小例23．（2023·全国·高三专题练习）设函数()f x '是奇函数()f x （x ∴R ）的导函数，f （﹣1）＝0，当x ＞0时，()()0xf x f x '->，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∴（﹣1，0） B ．（0，1）∴（1，+∞） C ．（﹣∞，﹣1）∴（0，1） D ．（﹣1，0）∴（1，+∞）【答案】D【分析】构造函数()()f x g x x =，求导结合题意可得()()f xg x x=的单调性与奇偶性，结合()10g -=求解即可 【详解】由题意设()()f x g x x=，则()()()2xf x f x g x x '-'=∴当x ＞0时，有()()0xf x f x '->， ∴当x ＞0时，()0g x '>， ∴函数()()f xg x x=在（0，+∞）上为增函数， ∴函数f （x ）是奇函数， ∴g （﹣x ）＝g （x ），∴函数g （x ）为定义域上的偶函数， g （x ）在（﹣∞，0）上递减， 由f （﹣1）＝0得，g （﹣1）＝0， ∴不等式f （x ）＞0∴x •g （x ）＞0，∴()()01x g x g >⎧⎨>⎩或()()01x g x g <⎧⎨<-⎩， 即有x ＞1或﹣1＜x ＜0，∴使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是：（﹣1，0）∴（1，+∞）， 故选：D ．例24．（2023·全国·模拟预测）以下数量关系比较的命题中，正确的是（ ）A ．2e e 2> B ．2ln 23>C ．ln π1πe< D ．ln 2ln π2π> 【答案】ABC【分析】令()()eln 0f x x x x =->，利用导数研究函数的单调性，进而可判断A ；根据指数函数与对数函数的单调性可判断B ；令()()ln 0xg x x x=>，利用导数研究函数的单调性，进而可判断CD ；【详解】对于A ：设()()eln 0f x x x x =->，则()()e e 10xf x x x x-'=-=>， 当0e x <<时，0fx，函数单调递增；当e x >时，()0f x '<，函数单调递减；所以()()e elne e 0f x f <=-=，所以()()2eln 22e 0f f =-<=，即2>eln 2， 所以 2e e 2>，故A 正确；对于B ：因为28e >，所以2ln8ln e >，所以3ln 22>，即2ln 23>，故B 正确； 对于CD ：设()()ln 0xg x x x =>，()21ln x g x x-'=， 当0e x <<时，()0g x '>，函数单调递增；当e x >时，()0g x '<，函数单调递减； 所以()()e πg g >，即ln π1πe<，故C 正确； 又()()()e π4g g g >>，所以ln πln 4ln 2π42>=，故D 错误； 故选：ABC【题型】九、构造函数法解决导数问题例25．（2023·全国·高三专题练习）定义在(0)+∞，上的函数()f x 满足()()110,2ln2xf x f '+=＞，则不等式)(e 0x f x +> 的解集为（ ） A ．(02ln2)，B ．(0,ln2)C ．(ln21)，D ．(ln2)+∞，【答案】D【分析】构造新函数()()ln ,(0)g x f x x x =+>，利用导数说明其单调性，将)(e 0x f x +>变形为)>(e (2)x g g ，利用函数的单调性即可求解. 【详解】令()()ln ,(0)g x f x x x =+> ， 则()11()()xf x g x f x x x'+''=+=，由于()10xf x '+＞, 故()0g x '>,故()g x 在(0)+∞，单调递增， 而1(2)(2)ln2ln ln 202g f =+=+= ，由)(e 0x f x +>，得)>(e (2)x g g ， ∴e 2x > ，即ln2x > ,∴不等式)(e 0x f x +>的解集为(ln2)+∞，, 故选：D ．例26．（2023·全国·高三专题练习）已知e ,3,e a b c πππ===，则它们的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b c a >> D ．c a b >>【答案】C【分析】由y x π=在区间(0,)+∞上为单调递增函数，可得到b c >，设()eln f x x x =-，利用导数求得函数()f x 单调递增，可得eln 0ππ->，进而得到c a >，即可求解. 【详解】由函数y x π=在区间(0,)+∞上为单调递增函数， 因为3e >，所以3e ππ>，即b c >， 设()eln f x x x =-，可得()e 1f x x'=-， 令()e10f x x'=-=，解得x e =， 当e x >时，0fx，()f x 单调递增，可得()()e 0f f π>=，即eln 0ππ->，即eln ππ>， 两边取e 的指数，可得e e ππ>，即c a >， 所以b c a >>. 故选：C.例27．（2023·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））设()f x '是函数()f x 的导函数，且()()()3R f x f x x '>∈，1e 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数），则不等式()3ln f x x <的解集为（ ）A ．e 0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1e ,e 3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(D ．e 3⎛ ⎝【答案】C【分析】构造函数()()3exf xg x =，由已知可得函数()g x 在R 上为增函数，不等式()3ln f x x <即为()1ln 3g x g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，根据函数的单调性即可得解.【详解】解：令()()3e x f x g x =，则()()()33e xf x f xg x '-'=， 因为()()()3R f x f x x '>∈，所以()()()330e xf x f xg x '-'=>，所以函数()g x 在R 上为增函数， 不等式()3ln f x x <即不等式()3ln <1>0f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，又()()()3ln 3ln ln ln e x f x f x g x x ==，11313e f g ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭，所以不等式()3ln f x x <即为()1ln 3g x g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即1ln 3x <，解得0x <<所以不等式()3ln f x x <的解集为(.故选：C.例28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()()e 1,1ln xf x xg x x x =+=+，若()()120f x g x =>，则21x x 可取（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．2e【答案】CD【分析】由()()()ln 1ln ln e 1xg x x x x =+=+，利用同构结合()f x 在(0,)+∞上单调递增，即可得到12ln x x =，则()12111e ,0x x x x x =>，记e(),(0)xh x x x=>，求出()h x '即可判断()h x 在(0,)+∞上的单调性，即可得出21e x x ≥，由此即可选出答案. 【详解】因为()()120f xg x =>，所以120,1x x >>，因为()e ()0e e 111x x xx x x f =+'+++>=恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，又()()()ln 1ln ln e 1xg x x x x =+=+，因为()()12f x g x =，即()()12ln 12e 1ln e 1x xx x +=+，所以1122ln e xx x x =⇒=，所以()12111e ,0x x x x x =>，记e (),(0)xh x x x=>， 所以2(1)()x e x h x x '-= 当01x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减，当1x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()(1)e h x h ≥=，即21e x x ≥ 故选：CD.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，属于难题，其中将()()()ln 1ln ln e 1x g x x x x =+=+变形为()()e 1x f x x =+的结构，是解本题的关键.。
含参问题专题
也是减函数 ,所以a1x是1,上的增函数
a1x min a11 1,要使a1x k恒成立, k 1. 则当k ,1, y logaa kax 在1, 上恒有意义.
新疆 王新敞
奎屯
-2
a
4
x
A
∴ a≥ -2
B
a3
-2
a2
4
a1
x
(3) ∵ A∩B≠Φ 且A∩B≠A
∴ -2≤a<4
B
a3
-2
a2
4
a1
x
例.已知集合A {x | x2 3x 10 0}，B
{x | m 1 x 2m 1}．若B A，则实数
m的取值范围为
.
解析： A { x | x2 3x 10 0} { x | 2 x 5}．
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新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj /w xc/ 特级教师 王新敞
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例5 已知函数
f x x2 2x a ，x 1，
x
(1)当a＝1/2时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，+∞)，f(x)＞0恒成立，试求实
Hale Waihona Puke 。(3).函数f(x)在区间（-4，7）上是增函数, 则y=f(x-3)的递增区间为（ ）。
A（-2，3） C（-1，7）
B（-1，10） D（-4，10）
练习：f ( x) loga x在[2,4]上值域为[m, m 1]，求a
三、题型讲解
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）
( A)0 a 1 (B)a 1 (C ) 1 a 1(D)0 a 1 或a 1
微专题01 含参数及创新定义的集合问题(原卷版)
微专题01含参数及创新定义的集合问题【方法技巧与总结】一．解决与集合有关的创新题的对策：（1）分析含义，合理转化，准确提取信息是解决此类问题的前提．剥去新定义、新法则的外表，利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合，陌生的运算转化为我们熟悉的运算，是解决这类问题的突破口，也是解决此类问题的关键．（2）根据新定义（新运算、新法则）的要求，“照章办事”，逐条分析、验证和运算，其中要注意应用集合的有关性质．（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．二．解决与集合有关的参数问题的对策（1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析．（2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到．（3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性．【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）设{}28120A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 的值不可以是（）A ．0B ．16C ．12D ．2例2．（2022·全国·高一专题练习）设U ＝{1，2，3，4}，A 与B 是U 的两个子集，若A ∩B ＝{3，4}，则称（A ，B ）为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：（A ，B ）与（B ，A ）是两个不同的“理想配集”）的个数是（）A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个例3．（2022·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一开学考试）定义集合运算：()(){},,A B z z x y x y x A y B ⊗==+⨯-∈∈，设A =，{B =，则（）A ．当x y =时，1z =B ．x 可取两个值，y 可取两个值，()()z x y x y =+⨯-有4个式子C ．A B ⊗中有3个元素D ．A B ⊗中所有元素之和为3例4．（2022·辽宁·辽师大附中高二阶段练习）集合{}{}2|10,|320A x axB x x x =-==-+=，且A B B ⋃=，实数a 的值为（）A ．0B ．1C ．12D ．2例5．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{|4A x x =≥或}5x <-，{}|13B x a x a =+≤≤+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围_________．例6．（2022·全国·高三专题练习）对于两个正整数m ，n ，定义某种运算“⊙”如下，当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ⊙n ＝m +n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ⊙n ＝mn ，则在此定义下，集合M ＝{（p ，q ）|p ⊙q ＝10，*N p ∈，q ∈*N }中元素的个数是_____．例7．（2022·全国·高一专题练习）给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a +b ∈A ，且a ﹣b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下四个结论：①集合A ＝{0}为闭集合；②集合A ＝{﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合；③集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；④若集合A 1、A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中所有正确结论的序号是__．例8．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高二阶段练习（文））已知集合{|15}A x x =<≤，集合21{|0}3x B x x -=>-．（1）求A ∩B ；（2）若集合{|243}=-≤≤-C x a x a ，且CA C =，求实数a 的取值范围．例9．（2022·全国·高一专题练习）设集合{|}R A x x x ∈+=240＝，R R {|()}B x x a x a a ∈=∈222110＝+＋+-，．（1）若0a =，试求A B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．例10．（2022·全国·高一专题练习）已知集合{}23A x x =-<<，{}3B x x a =≤．（1）求集合A R ð；（2）当1a =时，求A B ；（3）若()R B A ⋃=R ð，求a 的取值范围．例11．（2022·安徽·芜湖一中高一阶段练习）已知集合{}{}25,|1|21A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-．（1）当{}|25A x Z x =∈-≤≤时，求A 的非空真子集的个数；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围；（3）若A B =∅，求实数m 的取值范围．例12．（2022·北京·高二期末）设集合A 为非空实数集，集合{},,B xy x y A x y =∈≠且，称集合B 为集合A 的积集．（1）当{}1,2,3,4A =时，写出集合A 的积集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其积集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其积集{}2,4,5,8,10,16B =，并说明理由．【过关测试】一、单选题1．（2022·江西省铜鼓中学高一期末（理））()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设{}24A x x =-<<，{}723B x x =-<<，则()Z A B =（）A ．5B ．4C ．3D ．22．（2022·河南焦作·高一期中）两个集合A 与B 之差记作A －B ，定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，已知A ＝{2，3}，B ＝{1，3，4}，则A －B 等于（）A ．{1，4}B ．{2}C ．{1，2}D ．{1，2，3}3．（2022·浙江·安吉县高级中学高一开学考试）将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M N Q M N ⋃=⋂=∅，，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，这种有理数的分割()M N ，就是数学史上有名的戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割()M N ，，下列选项中不可能成立的是（）A ．M 有最大元素，N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 没有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素4．（2022·全国·高一单元测试）定义集合运算：{}*,,A B z z xy x A B y A B ==∈⋂∈⋃∣．若集合{}{}1,2,3,0,1,2A B ==，则()*A B A =ð（）A ．{}0B ．{}0,4C ．{}0,6D ．{}0,4,65．（2022·江苏·高一期末）已知全集U =R ，集合{3A x x =<或}7x ≥，{}B x x a =<．若()UA B ≠∅ð，则实数a 的取值范围为（）A ．{}3a a >B ．{}3a a ≥C ．{}7a a ≥D ．{}7a a >6．（2022·江苏·高一单元测试）设集合{}{}|()(3)0,|(4)(1)0M x x a x N x x x =--==--=，则下列说法一定正确的是（）A ．若{}1,3,4M N =，则=M N ∅B ．若{}1,3,4MN =，则MN ≠∅C ．若M N ⋂=∅，则M N ⋃有4个元素D ．若MN ≠∅，则{}1,3,4MN =7．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合A 中有10个元素，B 中有6个元素，全集U 有18个元素，A B ⋂≠∅．设集合()()U U A B ⋂痧中有x 个元素，则x 的取值范围是（）A ．{}38,N x x x ≤≤∈B ．{}28,N x x x ≤≤∈C ．{}812,N x x x ≤≤∈D ．{}1015,N x x x ≤≤∈8．（2022·江西·兴国县将军中学高一期中）已知集合{}53A x x =-<<-，{}232B x a x a =-<<-，若A B B =，则实数a 的取值范围是（）A ．1a ≥B ．1a =-C ．1a ≥或1a =-D ．a R∈9．（2022·陕西·西安一中高一期中）已知集合{}2,2A =-，{}240B x x ax =-+=，若A B A ⋃=，则实数a 满足（）A ．4a =B ．4a =-C ．{}4,4-D ．{}44a a -≤≤10．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合{}1,3,A m =，{B =，B A ⊆，则m =（）A ．9B ．0或1C ．0或9D ．0或1或911．（2022·全国·高一单元测试）在整数集Z 中，被4除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}4k n k n Z =+∈，0k =，1，2，3．给出如下四个结论：①[]20151∈；②[]22-∈；③[][][][]0123Z =⋃⋃⋃；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”其中正确的结论有（）A ．①②B ．③④C ．②③D ．②③④12．（2022·北京八中高一期中）对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e A ∈，使得对任意a A ∈，都有e a a e a ⊕=⊕=，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素．例如：A =R ，运算“⊕”为普通乘法：存在1∈R ，使得对任意a ∈R 都有11a a a ⨯=⨯=，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A =R ，运算“⊕”为普通减法；②A =R ，运算“⊕”为普通加法；③{}A X X M =⊆（其中M 是任意非空集合，运算“⊕”为求两个集合的交集．（）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③二、多选题13．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G 是一个非空集合，“·”是G 上的一个代数运算，即对所有的a 、b ∈G ，有a ·b ∈G ，如果G 的运算还满足：①∀a 、b 、c ∈G ，有（a ·b ）·c =a ·（b ·c ）；②e G ∃∈，使得a G ∀∈，有e a a e a ⋅=⋅=，③a G ∀∈，b G ∃∈，使a ·b =b ·a =e ，则称G 关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（）A ．{1,0,1}G =-关于数的乘法构成群B ．G ={x |x =1k，k ∈Z ，k ≠0}∪{x |x =m ，m ∈Z ，m ≠0}关于数的乘法构成群C ．实数集关于数的加法构成群D ．{|,Z}G m m n =∈关于数的加法构成群14．（2022·全国·高一期中）如图，集合U 是全集，,A B 是非空集合，定义集合*A B 为阴影部分表示的集合，则*A B 可表示为（）A ．()UB A B ⋂⋃ðB ．()U A A B ⋂⋂ðC ．()()()()U UA B B A ⋂⋂U痧D ．()()U A B A B ⋃⋂⋂ð15．（2022·河北·石家庄外国语学校高一期中）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”，对于集合{}211,,|1,02A B x ax a ⎧⎫=-==≥⎨⎬⎩⎭，若A 与B 构成“偏食”，则实数a 取值可以是（）A ．0B ．1C ．2D ．416．（2022·全国·高一单元测试）设{}29140A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 的值可以为（）A ．2B ．12C ．17D ．017．（2022·全国·高一单元测试）已知全集U =R ，集合{}|27A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-，则使U A B ⊆ð成立的实数m 的取值范围可以是（）A ．{}|610m m <≤B ．{}|22m m -<<C ．1|22m m ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{}|58m m <≤18．（2022·浙江·金华市曙光学校高一期中）在R 上定义运算()*1x y x y =-，若关于x 的不等式()*0x a x ->的解集是集合{}|01x x ≤≤的子集，则整数a 的取值可以是（）A ．0B ．1C ．1-D ．2三、填空题19．（2022·江西省崇义中学高一期中）若集合{}2120M x x x =+-=，{}10N x mx =+=，且MN N =，则实数m 的值为_____20．（2022·广东·广州誉恩教育咨询有限公司高一期中）设a 是实数，集合{}260,{20}M x x x N y ay =+-==+=∣∣，若N M ⊆，则a 的取值集合是_______．21．（2022·河南·林州一中高一开学考试）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合{}1,2A =-，{}22,0B x ax a ==≥，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____．22．（2022·福建·福州三中高一开学考试）已知集合A ={a ∈R |（x ﹣1）a 2+7ax +x 2+3x ﹣4=0}，{0}⊆A ，则x 的值为___________．23．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）设集合{}2,3,4U =，对其子集引进“势”的概念；①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大．最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，以此类推．若将全部的子集按“势”从小到大顺序排列，则排在第6位的子集是_________．四、解答题24．（2022·全国·高一单元测试）已知实数集R 的子集S 满足条件：①1S ∉；②若a S ∈，则11S a∈-．求证：（1）若2S ∈，则S 中必有另外两个元素；（2）集合S 中不可能只有一个元素．25．（2022·湖南永州·高一期末）已知集合{}2A x x =≥，{}35B x x =<≤．（1）求A B ；（2）定义{M N x x M -=∈且}x N ∉，求A B -．26．（2022·全国·高一期中）已知集合{}2221,,Z M x x a a b a b ==+-=∈．（1）证明：若x M ∈，则1x x+是偶数；（2）设m M ∈，且132m <<，求实数m 的值；（3）若n M ∈是否属于集合M ，并说明理由．27．（2022·北京·高一期末）已知集合{}23A x x =-<<，{}3B x x a =≤．（1）求集合A R ð；（2）当1a =时，求A B ；（3）若()R B A ⋃=R ð，求a 的取值范围．28．（2022·湖南益阳·高一期末）设集合{13}A x x =-<<，{}1B x x =≥，{2}C x x m =>-．（1）求A B ；（2）若_________，求实数m 的取值范围．请从①A C ⊆，②A C ⋂≠∅，③R C A ⊆ð这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如多选，则按第一个选择的解答给分）29．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合{}2|40=+=A x x x ，{}22|2(1)10=+++-=B x x a x a ．（1）若⊆A B ，求a 的值；（2）若⊆B A ，求a 的值．。
集合中含参数问题的分类讨论
集合中含参数问题的分类讨论高一的同学不知不觉升入高中已经有一个月的时间了，第一章集合的学习也已经结束.有同学反映集合中含有参数的问题不知道如何进行分类讨论，下面我就这一问题进行归纳总结，希望对你的学习有所帮助.对于两个集合A与B，A或B中含有待确定的参数（字母），若A⊆B或A=B，则集合B中的元素与集合A中的元素具有“包含关系”，解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的办法.（1）分类讨论是指：A⊆B在未指明集合A非空时，应分A=∅和A≠∅两种情况来讨论；因为集合中的元素是无序的的，由A⊆B或A=B得到的两个集合中的元素对应相等的情况可能有多种，因此需要分类讨论.（2）数形结合是指：对A=∅这种情况，在确定参数时需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清实心点与空心圈，确定两个集合之间的包含关系，列不等式（组）将参数确定出来.（3）解决集合中含有参数问题时，最后结果要注意验证.验证是指：分类讨论求得的参数的值，还需代入原集合中看是否满足互异性；所求参数能否取到端点值.根据所给集合的形式我们可以将这类问题分为两类，一类是与不等式有关集合问题，另一类是与方程有关的.下面通过具体例子作进一步分析：例1：已知集合A={x|x2-3x-10≤0}（1）若B⊆A，B={x|m+1≤x≤2m-1，m为常数}，求实数m的取值范围；（2）若A⊆B，B={x|m-6≤x≤2m-1，m为常数}，求实数m的取值范围；（3）若A=B，B={x|m-6≤x≤2m-1，m为常数}，求实数m的取值范围.解析：（1）B⊆A说明B是A的子集，即集合B中元素都在集合A中，注意B是∅的情况.由A={x|x2-3x-10≤0}，得A={x|-2≤x≤5}因为B⊆A，所以当B=∅时，则m+1＞2m-1，即m＜2，此时满足B⊆A当B≠∅时，则如图所以{m +1≤2m −1−2≤m +12m −1≤5，解得2≤m ≤3由得，m ≤3（2）A ⊆B 且A 不是∅，说明A 是B 的子集，注意此时B 不是∅.若A ⊆B ，依题意有{2m −1≥m −6m −6≤−22m −1≥5,解得{m >−5m ≤4m ≥3，故3≤m ≤4（3）A=B 说明两集合元素完全相同.若A=B ，则必有{m −6=−22m −1=5，此方程无解 即不存在使得A=B 的m 值.点评：解决“A ⊆B ”或“A ⫋B 且B ≠∅”的相关问题时，一定要分A=∅和A ≠∅两种情况进行讨论，其中A=∅的情况容易被或略，应引起足够的重视.变式练习：1. A={x|2a ≤x ≤a+3}，B={x|x ＜-1或x ＞5}，若A ∩B=，则a 的取值范围为 .解：由A ∩B=∅得若A=∅,则2a ＞a+3，因此a ＞3；若A ≠∅，则如图x所以{2a ≥−1a +3≤52a ≤a +3，解得−12≤a ≤2综上所述，a 的取值范围为{a|−12≤a ≤2或a ＞3}2.已知A={x|x ＜-2或x ＞3}，B={x|a ≤x ≤2a-1}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围.解：因为B ⊆A ，所以B 的可能情况有B ≠∅和B ＝∅两种当B ≠∅时，因为B ⊆A所以{a >3a ≤2a −1或{2a −1<−2a ≤2a −1解得a ＞3当B ＝∅时，由a ＞2a-1，得a ＜1综上可知，实数a 的取值范围是{a|a ＜1或a ＞3}例2：已知集合A={x|x 2-3x+2=0}，B={x|x 2-ax+a-1=0}，C={x|x 2-mx+2=0}，且A ∪B=A ，A ∩C=C ，求a 与m 的值或取值范围.解析：由已知条件可得，A={1，2}，B={x|(x-1)[x-(a-1)]=0}因为A ∪B=A ，所以B ⊆A又因为1∈B ，所以B ≠∅，则a-1∈A所以a-1=1或a-1=2解得 a=2或a=3因为A ∩C=C ，所以C ⊆A因此集合C 有以下三种情况当C=∅时，方程x 2-mx+2=0的判别式Δ=m 2-8＜0，解得−2√2<m <2√2 当C 为单元素集合时，Δ=m 2-8=0，解得m=−2√2或m=2√2x 5 a+3 2a -1若m=−2√2，则C={ −√2}，不满足C⊆A；若m=2√C={ √，不满足C⊆A；当C为双元素集合时，C={1，2}即1，2是关于x的方程x2-mx+2=0的两根，所以m=3代回方程检验，m=3符合题意综上所述，a=2或a=3；−2√2<m<2√2或m=3.点评：在集合的关系中，若集合B为双元素集，且A⊆B，则可对集合A按元素的个数分为三类，即A为∅，A为单元素集，A为双元素集.若B为三元素集，以此类推，这样才能统一标准，不重不漏.变式练习：1.已知A={x|x2-2x-8=0}，B={x|x2+ax+a2-12=0}，若B∪A≠A，求实数a的取值范围.解：若，则B⊆A因为A={x|x2-2x-8=0}={-2，4}所以集合B有以下三种情况：当B=∅时，Δ=a2-4(a2-12)<0，即a2>16所以a<-4或a＞4当B是单元素集合时，Δ=0，即a=-4或a=4若a=-4，则B={2}，不满足B⊆A若a=4，则B={-2}，满足B⊆A当B是双元素集合时，B={-2，4}，即-2，4是关于x的方程x2+ax+a2-12=0的两根所以{−a=−2+4a2−12=−2×4，解得a=-2综上，当B∪A=A时，a的取值范围为{a| a<-4或a=-2或a≥4}所以，当B∪A≠A时，a的取值范围是{a|-4≤a＜4，且a≠-2}2.已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0}，集合B={x|x2-5x+6=0}，是否存在实数a，使得集合A，B同时满足下列三个条件：A≠B；A∪B=B；∅⫋(A∪B)；若存在，求出这样的实数a的值；若不存在，请说明理由. 解：由已知条件可得B={2，3}，因为A∪B=B，且A≠B，所以A⫋B又因为A≠∅，所以A={2}或A={3}当A={2}时，将x=2代入A中方程，得a2-2a-15=0，所以a=-3或a=5但此时集合A分别为{2，-5}和{2，3}，与A={2}矛盾，所以a≠-3且a≠5当A={3}时，同上也能导出矛盾综上所述，满足题设要求的实数a不存在.。
高中数学题型分析系列：集合含参问题
高中数学题型分析系列：集合含参问题（一）特别注意：空集为任何集合的子集，因此在考虑集合之间的基本关系时第一考虑集合是否为空集（这里的空集存在于含参集合）（1）φφ=≠⇒⊆⇒=B B A B A B A 或（2）φφ=≠⇒⊆⇒=B B A B B B A 或（二）、针对集合中各种问题，下面进行图像展示（这里先规定处理集合含参问题一定从绘制数轴图像开始）（1）φφ=≠⇒⊆⇒=B B A B A B A 或 ，φφ=≠⇒⊆⇒=B B A B B B A 或 ，图像如下：（2）φϕφφφφφφφ≠≠=≠=≠≠≠⇒=B A B A A B A B B A ,,或且或且或或 图像如下：（3）R B A = ，图像如下：解题步骤：步骤一、处理含参数集合问题，规定首先考虑含参数集合为空集（将不等式两边数字大小互换就好，利用假设法处理是否可以取等号）步骤二、在考虑集合之间的基本关系时，在这里约定用数轴将集合B A ,的具体情况绘制在数轴上，并在数轴上按照从左到右的顺序依次写出参数的大小关系，并用花括号表示出来（注意不要遗漏），并解出不等式组，得到结果。
注意：①同一个花括号下求交集，不同情况（分类讨论）的结果求并集 ②对于等号能否取到可以带特值验算③若φ=A 取等号，则φ≠A 不能取等号，反之亦然典型例题教学典例1、已知集合{}3+≤≤=a x a x A {}51-><=x x x B 或，{}53><=x x x C 或 （1）若A B =∅，求a 的取值范围；（2）若B B A = ，求a 的取值范围.（3）若R C A = ,求a 的取值范围解析：因为则又,,φφ≠=B B A ①φ=A 满足，②φ≠A ，但B A 与无共同元素 解：（1）①当φ≠A 时，知道3+>a a ，无解，故φ≠A②当φ≠A 时，用图像可以表示为得到：⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤-≥5331a a a a ，即：12a -≤≤，故a 的取值范围为[]21-,（2）①当φ=A 时，有3+>a a ，知a 无解，故φ≠A②当φ≠A 时，有以下两种情况其图像可以表示为：1）得到：⎩⎨⎧-<++≤133a a a ，解得4-<a2）得到：⎩⎨⎧>+≤53a a a ，解得5>a 综上可知道a 的取值范围为()()+∞-∞-,,54（3） 由图像可得到：⎩⎨⎧>+<533a a ，解得32<<a故可知道a 的取值范围为()32,典例2、已知集合(){}2|log 33A x x =+≤，{}|213B x m x m =-<≤+. （1）若3m =，则A B ； （2）若A B B =，求实数m 的取值范围.解：（1）若3m =，则{}|56B x x =<≤，依题意(){}(){}222|log 33|log 3log 8A x x x x =+≤=+≤{}|35x x =-<≤，其图像表示为:故{}|36A B x x =-<≤（2）易知道φφ=≠⇒⊆⇒=B B A B B B A 或 两种情况讨论：①当φ=B 时，知道312+≥-m m ，即4≥m ，故A B ⊆满足 ②当φ≠A 时，由A B ⊆知其图像可以表示为：解得：⎪⎩⎪⎨⎧≤++<--≥-53312312m m m m ，即21≤≤-m故综上可知道m 的取值范围为[][)+∞-,,421典例3、已知集合{}{}12152-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A ,，（1）若A B ≠⊂，则m 的取值范围 （2）若B A ⊆，则m 的取值范围解：（1）①当φ=B 时，121->+m m ，即2<m ，则A B ≠⊂满足 ②当φ≠B 时，有以下两种情况其图像表示如下：可得到：⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-->+⎪⎩⎪⎨⎧<-+≥--≥+5121122151211221m m m m m m m m 或，解得32≤≤m故故综上可知道m 的取值范围为(]3,∞-（2）当B A ⊆时①当φ=B 时，B A ⊆不满足②当φ≠B 时，其图像表示如下：可以得到：⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+-≤+51212121m m m m ，无解故不存在实数m 使得B A ⊆三、练习题1、已知集合{}{}1273213-<=≤≤=x x B x A x log ,（1）、求()A B B A C R 及（2）已知集合{}a x x C ≤<=1，若A C ⊆,求实数a 的取值范围 参考答案：①(]()(]3-32，，∞==A B B A C R ,，②(]3-，∞。
集合中的含参问题
集合中的含参问题考点一 集合中元素个数的含参问题分类讨论的思想【例1】若集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ，求a 、b 的值．【分析】根据集合中有一个元素a 可知a 是方程x 2+ax +b ＝x 的根，建立等式关系，然后再根据“仅有”，利用判别式建立等式关系，解之即可．【解答】解法一：∵集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ，∴a 2+a 2+b ＝a 且△＝（a ﹣1）2﹣4b ＝0解得a ＝31，b ＝91．故a 、b 的值分别为31，91. 此种解法计算量较大解法二：利用一元二次方程根与系数的关系列方程组计算简单【变式1】设集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R } （1）当A 中元素个数为1时，求：a 和A ；（2）当A 中元素个数至少为1时，求：a 的取值范围；（3）求：A 中各元素之和．【变式2】已知集合A ＝{x ∈R |ax 2﹣3x +2＝0，a ∈R }．（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．【变式3】已知集合A ＝{x |ax 2﹣2x +1＝0}．（1）若A 中恰好只有一个元素，求实数a 的值；（2）若A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围．这三个变式都可以对二次项系数进行讨论考点二 集合基本关系中的含参问题要注意两点，一是注意对子集是否为空集进行讨论，二是注意集合中元素的互异性及端点值能否取到.【例2】已知集合A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }．（1）求A ∪B ；（2）若A ⊆C ，求a 的取值范围．【分析】（1）根据集合的基本运算即可求A ∪B ；（2）根据A ⊆C ，数形结合即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）集合A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，借助于数轴和集合并集的定义知A ∪B ＝{x |2＜x ＜10};（2）若A ⊆C ，集合C 中包含集合A 的所有元素，由数轴可知：a ≥7；故答案为：（1）A ∪B ＝{x |2＜x ＜10}；（2）若A ⊆C ，a 的取值范围是{a |a ≥7}；【变式1】设集合A ＝{x |a ﹣1＜x ＜2a ，a ∈R }，不等式x 2﹣2x ﹣8＜0的解集为B ．（1）当a ＝0时，求集合A ，B ；（2）当A ⊆B 时，求实数a 的取值范围．【变式2】方程x 2﹣x ﹣m ＝0在（﹣1，1）上有解．（1）求满足题意的实数m 组成的集合M ；（2）设不等式（x ﹣a ）（x +a ﹣2）＜0的解集为N ，若M ⊆N ，求a 的取值范围．考点三 集合基本运算中的含参问题这类问题一般通过观察得到不同集合间元素之间的关系，再列方程组或不等式组求解.【例3】已知集合A ＝{x |x ≤﹣3或x ≥2}，B ＝{x |1＜x ＜5}，C ＝{x |m ﹣1≤x ≤2m }（1）求A ∩B ，（∁R A ）∪B ；（2）若B ∩C ＝C ，求实数m 的取值范围．【分析】（1）根据交集、补集和并集的定义计算即可；（2）由B ∩C ＝C 知C ⊆B ，讨论m 的取值情况，求出满足条件的m 取值范围．【解答】解：（1）集合A ＝{x |x ≤﹣3或x ≥2}，B ＝{x |1＜x ＜5}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜5}，∁R A ＝{x |﹣3＜x ＜2}，∴（∁R A ）∪B ＝{x |﹣3＜x ＜5}；（2）∵B ∩C ＝C ，∴C ⊆B ，又C ＝{x |m ﹣1≤x ≤2m }，①当C ＝∅时，m ﹣1＞2m ，解得m ＜﹣1；②当C ≠∅时，⎪⎩⎪⎨⎧<>-≤-521121m m m m ，2＜m ＜25；【变式1】已知集合A ＝{x |﹣3＜x ＜2}，B ＝{x |0≤x ＜5}，C ＝{x |x ＜m }，全集为R ．（1）求A ∩（∁R B ）；（2）若（A∪B）⊆C，求实数m的取值范围．【变式2】已知全集U＝R，集合A＝{x|（x﹣2）（x﹣9）＜0}，B＝{x|﹣2﹣x≤0≤5﹣x}．（1）求A∩B，B∪（∁A）．U（2）已知集合C＝{x|a≤x≤2﹣a}，若C∪（∁B）＝R，求实数a的取值范围．U1或1 x} ，A是B的真子集，求a的范围。
突破01 集合中的含参问题(举一反三)(解析版)
突破1 集合中的含参问题【举一反三系列】【考查角度1 元素与集合的关系中的含参问题】【例1】已知集合A＝{a+2，（a+1）2，a2+3a+3}，若1∈A，求实数a的取值集合．【思路分析】利用元素和集合的关系，因为1∈A，所以分别讨论三个式子，然后求解a．【答案】因为1∈A，所以①若a+2＝1，解得a＝﹣1，此时集合为{1，0，1}，元素重复，所以不成立，即a≠﹣1．②若（a+1）2＝1，解得a＝0或a＝﹣2，当a＝0时，集合为{2，1，3}，满足条件，即a＝0成立．当a＝﹣2时，集合为{0，1，1}，元素重复，所以不成立，即a≠﹣2．③若a2+3a+3＝1，解得a＝﹣1或a＝﹣2，由①②知都不成立．所以满足条件的实数a的取值集合为{0}．【练1.1】设集合A中含有三个元素3，x，x2﹣2x．（1）求实数x应满足的条件；（2）若﹣2∈A，求实数x．【思路分析】（1）由集合元素的互异性直接求解．（2）若﹣2∈A，则x＝﹣2或x2﹣2x＝﹣2．由此能出x．【答案】解：（1）由集合元素的互异性可得：x≠3，x2﹣2x≠x且x2﹣2x≠3，解得x≠﹣1，x≠0且x≠3．（2）若﹣2∈A，则x＝﹣2或x2﹣2x＝﹣2．由于x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，所以x＝﹣2．【练1.2】设集合A＝{2，3，a2+2a﹣3}，集合B＝{|a+3|，2 }，已知5∈A，且5∉B．求a的值．【思路分析】本题考查的是集合元素与集合的关系问题．在答案时由于5∈A，且A＝{2，3，a2+2a﹣3}即可得到有关a的方程，解得a的结果后要注意对a的结果进行逐一验证，看是否满足集合中元素的特点：互异性，以此来获得最终答案．【答案】解：由于5∈A，且A＝{2，3，a2+2a﹣3}，∴a2+2a﹣3＝5，即a2+2a﹣8＝0解得a＝2或﹣4，又当a＝2时，B＝{5，2}不符合条件5∉B，所以a＝2不符合题意；当a＝﹣4时，B＝{1，2}，符合条件5∉B，所以a＝﹣4为所求．故答案为a＝﹣4．【练1.3】已知集合A＝{（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B＝{（x，y）|x+y﹣n≤0}，若点P（2，3）∈A，且P（2，3）∉B，求m、n的取值范围．【思路分析】将P（2，3）的坐标代入不等式从而求出m，n的范围即可．【答案】解：将点（2，3）代入A中的不等式得到：4﹣3+m＞0，解得：m＞﹣1；因为点（2，3）不在B中，所以将点（2，3）代入B中的不等式得到：2+3﹣n≤0不成立，即2+3﹣n＞0，解得：n＜5．【考查角度2 集合中元素个数的含参问题】【例2】若集合A＝{x|x2+ax+b＝x}中，仅有一个元素a，求a、b的值．【思路分析】根据集合中有一个元素a可知a是方程x2+ax+b＝x的根，建立等式关系，然后再根据“仅有”，利用判别式建立等式关系，解之即可．【答案】解：∵集合A＝{x|x2+ax+b＝x}中，仅有一个元素a，∴a 2+a 2+b ＝a 且△＝（a ﹣1）2﹣4b ＝0解得a ＝31，b ＝91． 故a 、b 的值分别为31，91.【练2.1】设集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R }（1）当A 中元素个数为1时，求：a 和A ；（2）当A 中元素个数至少为1时，求：a 的取值范围；（3）求：A 中各元素之和．【思路分析】（1）推导出a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，由此能求出a 和A ．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，由此能求出a 的取值范围． （3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a2-；当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素． 【答案】解：（1）∵集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R }，A 中元素个数为1，∴a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ， 解得a ＝0，A ＝{21-}或a ＝1，A ＝{﹣1}． （2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，解得a ≤1， ∴a 的取值范围是（﹣∞，1]．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-； 当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a2-； 当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素． 【练2.2】已知集合A ＝{x ∈R |ax 2﹣3x +2＝0，a ∈R }．（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．【思路分析】（1）A 为空集，表示方程ax 2﹣3x +2＝0无解，根据一元二次方程根的个数与△的关系，我们易得到一个关于a 的不等式，解不等式即可得到答案．（2）若A 中只有一个元素，表示方程ax 2﹣3x +2＝0为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a 的方程，即可求出满足条件的a 值．（3）若A 中至多只有一个元素，则集合A 为空集或A 中只有一个元素，由（1）（2）的结论，将（1）（2）中a 的取值并进来即可得到答案．【答案】解：（1）若A 是空集，则方程ax 2﹣3x +2＝0无解此时△＝9﹣8a ＜0即a ＞89（2）若A 中只有一个元素则方程ax 2﹣3x +2＝0有且只有一个实根当a ＝0时方程为一元一次方程，满足条件当a ≠0，此时△＝9﹣8a ＝0，解得：a ＝89∴a ＝0或a ＝89若a ＝0，则有A ＝{32}；若a ＝89，则有A ＝{34}；（3）若A 中至多只有一个元素，则A 为空集，或有且只有一个元素由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是：a ＝0或a ≥89【练2.3】已知集合A ＝{x |ax 2﹣2x +1＝0}．（1）若A 中恰好只有一个元素，求实数a 的值；（2）若A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围．【思路分析】（1）讨论当a ＝0和a ≠0时对应的条件．（2）根据A 中至少有一个元素，转化为方程至少含有一个根进行求解．【答案】解：（1）若A 中恰好只有一个元素，则方程ax 2﹣2x +1＝0只有一个解．当a ＝0时，方程ax 2﹣2x +1＝0等价为﹣2x +1＝0，即x ＝21，满足条件．当a ≠0，判别式△＝4﹣4a ＝0，解得a ＝1．所以a ＝0或a ＝1．（2）若A 中至少有一个元素，则由（1）知，当集合只有一个元素时a ＝0或a ＝1．当集合A 有2个元素时，满足条件a ≠0且△＝4﹣4a ＞0，解得a ＜1且a ≠0．综上实数a 的取值范围a ≤1．【考查角度3 集合基本关系中的含参问题】【例3】已知集合A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }．（1）求A ∪B ；（2）若A ⊆C ，求a 的取值范围．【思路分析】（1）根据集合的基本运算即可求A ∪B ；（2）根据A ⊆C ，数形结合即可求实数a的取值范围．【答案】解：（1）集合A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，借助于数轴和集合并集的定义知A ∪B ＝{x |2＜x ＜10};（2）若A ⊆C ，集合C 中包含集合A 的所有元素，由数轴可知：a ≥7；故答案为：（1）A ∪B ＝{x |2＜x ＜10}；（2）若A ⊆C ，a 的取值范围是{a |a ≥7}；【练3.1】设集合A ＝{x |a ﹣1＜x ＜2a ，a ∈R }，不等式x 2﹣2x ﹣8＜0的解集为B ．（1）当a ＝0时，求集合A ，B ；（2）当A ⊆B 时，求实数a 的取值范围．【思路分析】（1）由二次不等式的解法得：A ＝}{01<<-x x ，B ＝}{42<<-x x ，（2）由集合间的包含关系及空集的定义得：讨论①A ＝∅，即2a ≤a ﹣1，即a ≤﹣1，符合题意，②A ≠∅，有⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-->422112a a a a ，解得：﹣1＜a ≤2，综合①②得：a ≤2，得解【答案】解：（1）当a ＝0时，A ＝}{01<<-x x ，解不等式x 2﹣2x ﹣8＜0得：﹣2＜x ＜4，即B ＝}{42<<-x x ，（2）若A ⊆B ，则有：①A ＝∅，即2a ≤a ﹣1，即a ≤﹣1，符合题意，②A ≠∅，有⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-->422112a a a a ，解得：﹣1＜a ≤2，综合①②得：a ≤2【练3.2】方程x 2﹣x ﹣m ＝0在（﹣1，1）上有解．（1）求满足题意的实数m 组成的集合M ；（2）设不等式（x ﹣a ）（x +a ﹣2）＜0的解集为N ，若M ⊆N ，求a 的取值范围．【思路分析】（1）根据方程有解转化为一元二次函数，求出对应的值域即可（2）结合一元二次不等式的解法求出对应的解集N ，结合集合关系进行求解即可【答案】解：（1）∵x 2﹣x ﹣m ＝0在（﹣1，1）上有解．∴x 2﹣x ＝m 在（﹣1，1）上有解．设f （x ）＝x 2﹣x ＝（x ﹣）2﹣41，∵﹣1＜x ＜1，∴最小值为﹣41，最大值为f （﹣1）＝2，即﹣41≤f （x ）＜2，即﹣41≤m ＜2（2）当a ＝1时，解集N 为空集，不满足题意．当a ＞1时，a ＞2﹣a ，此时集合N ＝（2﹣a ，a ），若M ⊆N则⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-2412a a ，解得a ＞49．当a ＜1时，a ＜2﹣a ，此时集合N ＝（a ，2﹣a ），若M ⊆N则⎪⎩⎪⎨⎧≥--<2241a a ，解得a ＜﹣41综上，a ＞49或 a ＜﹣41．【练3.3】已知集合A ＝{x |2a ≤x ≤a 2+1}，B ＝{x |x 2﹣3（a +1）x +2（3a +1）≤0}，其中a ∈R ．（Ⅰ）若4∈A ，5∉A ，求a 的取值范围；（Ⅱ）若A ⊆B ，求a 的取值范围．【思路分析】（1）由题意知，4∈A ，5∉A ，代入A 集合得a 的取值范围（2）先讨论两根大小得B 集合，再由包含关系得a 的取值范围【答案】（Ⅰ）因为4∈A ，所以2a ≤4≤a 2+1，解得a ≤﹣√3或√3≤a ≤2．若5∈A ，2a ≤5≤a 2+1，解得a ≤﹣2或2≤a ≤25． 又5∉A ，所以﹣2＜a ＜2或a ＞25故﹣2＜a ≤﹣√3或√3≤a ＜2． （Ⅱ）B ＝{x |（x ﹣2）[x ﹣（3a +1）]≤0当3a +1＝2，即a ＝时，B ＝{2}，不合题意．当3a +1＜2，即a ＜时，⎩⎨⎧≤+≤+212132a a a ，解得a ＝﹣1． 当3a +1＞2，即a ＞时，⎩⎨⎧+≤+≤131222a a a ，解得1≤a ≤3． 综上知，a ＝﹣1或1≤a ≤3．【考查角度4 集合基本运算中的含参问题】【例4】已知集合A ＝{x |x ≤﹣3或x ≥2}，B ＝{x |1＜x ＜5}，C ＝{x |m ﹣1≤x ≤2m }（1）求A ∩B ，（∁R A ）∪B ；（2）若B ∩C ＝C ，求实数m 的取值范围．【思路分析】（1）根据交集、补集和并集的定义计算即可；（2）由B ∩C ＝C 知C ⊆B ，讨论m 的取值情况，求出满足条件的m 取值范围．【答案】解：（1）集合A ＝{x |x ≤﹣3或x ≥2}，B ＝{x |1＜x ＜5}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜5}，∁R A ＝{x |﹣3＜x ＜2}，∴（∁R A ）∪B ＝{x |﹣3＜x ＜5}；（2）∵B ∩C ＝C ，∴C ⊆B ，又C ＝{x |m ﹣1≤x ≤2m }，①当C ＝∅时，m ﹣1＞2m ，解得m ＜﹣1；②当C ≠∅时，⎪⎩⎪⎨⎧<>-≤-521121m m m m ，2＜m ＜25 【练4.1】已知集合A ＝{x |﹣3＜x ＜2}，B ＝{x |0≤x ＜5}，C ＝{x |x ＜m }，全集为R ．（1）求A ∩（∁R B ）；（2）若（A ∪B ）⊆C ，求实数m 的取值范围．【思路分析】（1）进行补集、交集的运算即可；（2）可求出A ∪B ＝{x |﹣3＜x ＜5}，根据（A ∪B ）⊆C 即可得出m ≥5，即得出m 的范围．【答案】解：（1）∁R B ＝{x |x ＜0，或x ≥5}；∴A ∩（∁R B ）＝{x |﹣3＜x ＜0}；（2）A ∪B ＝{x |﹣3＜x ＜5}；∴（A ∪B ）⊆C ；∴m ≥5；【练4.2】设全集为U ＝R ，集合A ＝{x |（x +3）（x ﹣6）≥0}，B ＝{x ||x ﹣6|＜6}．（Ⅰ）求A ∩∁R B ；（Ⅱ）已知C ＝{x |2a ＜x ＜a +1}，若C ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围．【思路分析】（Ⅰ）由二次不等式的解法、绝对值不等式的解法得：A ＝{x |x ≤﹣3或x ≥6}，B ＝{x |0＜x ＜12}，由集合的交、并、补运算得：∁R B ＝{x |x ≤0或x ≥12}，即A ∩∁R B ＝{x |x ≤﹣3或x ≥12}，（Ⅱ）由集合间的包含关系得：因为C ∪B ＝B ，即C ⊆B ，讨论①若C ＝φ时，②若C ≠φ时，即可得解．【答案】解：（Ⅰ）解二次不等式（x +3）（x ﹣6）≥0得：x ≤﹣3或x ≥6，即A ＝{x |x ≤﹣3或x ≥6}，解绝对值不等式|x ﹣6|＜6得：0＜x ＜12，即B ＝{x |0＜x ＜12}，所以∁R B ＝{x |x ≤0或x ≥12}，所以A ∩∁R B ＝{x |x ≤﹣3或x ≥12}，故答案为：{x |x ≤﹣3或x ≥12}；（Ⅱ）因为C ∪B ＝B ，即C ⊆B①若C ＝φ时，即2a ≥a +1即a ≥1满足题意．②若C ≠φ时，2a ＜a +1即a ＜1，若C ⊆B ，则⎩⎨⎧≤+≥12102a a ，即0≤a ≤11， 又a ＜1，所以0≤a ＜1，综合①②可得：实数a 的取值范围为：a ≥0，故答案为：a ≥0．【练4.3】已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |（x ﹣2）（x ﹣9）＜0}，B ＝{x |﹣2﹣x ≤0≤5﹣x }．（1）求A ∩B ，B ∪（∁U A ）．（2）已知集合C ＝{x |a ≤x ≤2﹣a }，若C ∪（∁U B ）＝R ，求实数a 的取值范围．【思路分析】（1）可解出A ＝{x |2＜x ＜9}，B ＝{x |﹣2≤x ≤5}，然后进行交集、补集和并集的运算即可；（2）可得出∁U B ＝{x |x ＜﹣2，或x ＞5}，这样根据C ∪（∁U B ）＝R 即可得出⎩⎨⎧≥--≤522a a ，解出a 的范围即可． 【答案】解：（1）A ＝{x |2＜x ＜9}，B ＝{x |﹣2≤x ≤5}；∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤5}，∁U A ＝{x |x ≤2，或x ≥9}，B ∪（∁U A ）＝{x |x ≤5，或x ≥9}；（2）∁U B ＝{x |x ＜﹣2，或x ＞5}，C ＝{x |a ≤x ≤2﹣a }，且C ∪（∁U B ）＝R ；∴⎩⎨⎧≥--≤522a a ； 解得a ≤﹣3；【趁热打铁】1. 已知集合M ＝{﹣2，3x 2+3x ﹣4，x 2+x ﹣4}，若2∈M ，求x 的值．【思路分析】由已知2是集合M 的元素，分类讨论列出方程，求出x 的值，将x 的值代入集合，检验集合的元素需满足互异性．【答案】解：当3x 2+3x ﹣4＝2时，3x 2+3x ﹣6＝0，x 2+x ﹣2＝0，x ＝﹣2或x ＝1．经检验，x ＝﹣2，x ＝1均不合题意．当x 2+x ﹣4＝2时，x 2+x ﹣6＝0，x ＝﹣3或2．经检验，x ＝﹣3或x ＝2均合题意．∴x ＝﹣3或x ＝2．2. 已知不等式3x +2＞0的解集为M ．（1）试判断元素﹣1，0与集合M 的关系；（2）若a ﹣1是集合M 中的元素，求a 的取值范围．【思路分析】（1）据题意即可得出，从而可判断元素﹣1，0和集合M 的关系；（2）若a ﹣1是集合M 的元素，则a 满足321->-a ，解出a 的范围即可． 【答案】解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫->=32x x M ；∴﹣1∉M ，0∈M ；（2）∵a ﹣1∈M ； ∴321->-a ； ∴31>a ； 3. 已知集合M ＝{x ∈R ，|px 2﹣2x +3＝0，x ∈R }．（1）若M 中只有一个元素，求实数p 的值，并求出相应的集合M ；（2）若M 中最多有一个元素，求实数p 的取值范围．【思路分析】（1）当p ＝0时，解得x ＝23，符合题意，当p ≠0时，只需△＝0，求解即可得答案； （2）M 中最多有一个元素包括M 中只有一个元素和M 空集两种情况，分类讨论即可求得答案．【答案】解：（1）若M 中只有一个元素，当p ＝0时，原方程化为﹣2x +3＝0，解得x ＝23，符合题意， 当p ≠0时，只需△＝4﹣12p ＝0，即p ＝31，由31x 2﹣2x +3＝0，解得x ＝3，即M ＝{3}． 当p ＝0时，M ＝{x |23=x }， 综上，p ＝31时，M ＝{3}或p ＝0时，M ＝{23}． （2）若M 中最多有一个元素，当p ＝0时，解得23=x ，符合题意， 当p ≠0时，△≤0，即4﹣12p ≤0，解得p ≥31． 综上，实数p 的取值范围为：p ＝0或p ≥31． 4. 已知集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，x ∈R }，a 为实数．（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 是单元素集，求a 的值；（3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．【思路分析】（1）解集是空集，即方程无解，所以判别式小于零；（2）分a ＝0与a ≠0两种情况讨论；（3）可考虑研究有两个元素的情况，求其补集即可．【答案】解（1）若A ＝Φ，则只需ax 2+2x +1＝0无实数解，显然a ≠0，所以只需△＝4﹣4a ＜0，即a ＞1即可．（2）当a ＝0时，原方程化为2x +1＝0解得x ＝﹣21；当a ≠0时，只需△＝4﹣4a ＝0，即a ＝1，故所求a 的值为0或1；（3）综合（1）（2）可知，A 中至多有一个元素时，a 的值为0或a ≥1．【点评】本题以集合为载体，考查了一元二次方程的解得个数的判断问题，要注意对最高次数项是否为零的讨论．5. 已知命题A ＝{x |x 2﹣2x ﹣8＜0}，B ＝⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫∈<-+-R m m x m x x，03． （1）若A ∩B ＝（2，4），求m 的值；（2）若B ⊆A ，求m 的取值范围．【思路分析】分别化简得 A ＝{x |﹣2＜x ＜4}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜m }．（1）由A ∩B ＝（2，4）可得m ﹣3＝2且m ≥4，解出即可．（2）由B ⊆A ，即⎩⎨⎧≤-≥-423m m ，解得即可． 【答案】解：化简得 A ＝{x |﹣2＜x ＜4}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜m }．（1）∵A ∩B ＝（2，4），∴m ﹣3＝2且m ≥4，则m ＝5．（2）∵B ⊆A ，即⎩⎨⎧≤-≥-423m m ，解得1≤m ≤4． ∴m 的取值范围是1≤m ≤4．6. 已知集合M ＝{x |x 2﹣（a +1）x +a ＜0}，N ＝{x |1＜x ＜3}，且M ⊊N ，求实数a 的取值范围．【思路分析】由题意可知，M ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣1）＜0}且M ⊆N ，分类讨论①当M ＝∅时，②当M ≠∅时，分别进行求解【答案】解：由题意可知，M ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣1）＜0}∵N ＝{x |1＜x ＜3}，且M ⊆N ，①当M ＝∅时，a ＝1，满足题意②当M≠∅时，由M⊆N，可知M＝{x|1＜x＜a}∴1＜a＜3综上可得，实数a的取值范围{a|1≤a＜3}7. 已知集合A＝{x|a﹣1＜x＜a+3}，B＝{x|﹣2≤x≤1}（1）当a＝0时，求A∪B；（2）若B⊆（A∩B），求实数a的取值范围．【思路分析】（1）根据集合的基本运算及a＝0即可求A∪B，（2）根据B⊆（A∩B），则有：B⊆A，建立条件关系即可求实数a的取值范围．【答案】解：已知集合A＝{x|a﹣1＜x＜a+3}，B＝{x|﹣2≤x≤1}（1）当a＝0时，有：A＝{x|﹣1＜x＜3}，A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}∪{x|﹣2≤x≤1}＝{x|﹣2≤x＜3}；（2）若B⊆（A∩B），则有：B⊆A，已知集合A＝{x|a﹣1＜x＜a+3}，B＝{x|﹣2≤x≤1}所以：a﹣1＜﹣2，且a+3＞1；解得：﹣2＜a＜﹣1；实数a的取值范围是：{a|﹣2＜a＜﹣1}．8. 已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣3≤x＜5}，B＝{x|a+1＜x≤2a﹣1}（1）若A∩B＝∅，求a的取值范围（2）若B≠∅，（∁U A）∩（∁U B）＝∁U A，求a的取值范围【思路分析】（1）根据题意，分2种情况讨论：①，当a+1≥2a﹣1，即a≤2时，此时B＝∅，满足A∩B＝∅，②，当a+1＜2a﹣1，即a＞2时，B≠∅，有a+1≥5或2a﹣1＜﹣3，求出a的取值范围，综合即可得答案；（2）根据题意，先利用B≠∅可得a+1＜2a﹣1，由集合的包含关系可得（∁U A）∩（∁U B）＝∁U A，则∁U A⊆∁U B，即B⊆A，思路分析可得a+1≥﹣3或2a﹣1＜5，解可得a的取值范围，综合即可得答案．【答案】解：（1）分2种情况讨论：①，当a+1≥2a﹣1，即a≤2时，此时B＝∅，满足A∩B＝∅，②，当a+1＜2a﹣1，即a＞2时，有a+1≥5或2a﹣1＜﹣3，解可得a≥4，综合可得：a≤2或a≥4；（2）若B≠∅，则有a+1＜2a﹣1，解可得a＞2；若（∁U A）∩（∁U B）＝∁U A，则∁U A⊆∁U B，即B⊆A，则有a+1≥﹣3或2a﹣1＜5，解可得：2＜a＜3．。
用分类讨论思想解含参一元二次不等
我们知道，解一元二次不等式ax 2+bx +c >0或ax 2+bx +c <0(a >0)，需先令ax 2+bx +c =0(a >0)，并根据方程的判别式判断根的个数，再通过分解因式或利用求根公式求得方程的根，最后根据“同大取大，同小取小，大大小小没有解，大小小大取中间”的口诀求得不等式的解集.由于参数的值无法确定，所以含有参数的一元二次不等式问题通常较为复杂，往往需运用分类讨论思想，对参数的取值进行分类讨论，最重要的是，对含参一元二次不等式对应方程的根（实数根）的大小、判别式与0的大小关系、二次项系数的符号进行分类讨论，这是用分类讨论思想解含参一元二次不等式需注意的几个要点.一、注意讨论方程的根的大小含参一元二次不等式所对应的方程ax 2+bx +c =0(a >0)的根的大小关系随着参数的变化而变化，且对不等式解集的影响较大.若含参一元二次不等式ax 2+bx +c >0或ax 2+bx +c <0(a >0)所对应的方程ax 2+bx+c =0(a >0)有两个根，且能够进行因式分解，则需先通过因式分解，求得方程的两个根x 1、x 2，然后运用分类讨论思想，分三种情况x 1>x 2、x 1=x 2、x 1<x 2进行分类讨论.若x 1>x 2，则不等式ax 2+bx +c >0(a >0)的解集为{x |x <x 2或x >x 1}；若x 1=x 2，则不等式ax 2+bx +c >0(a >0)的解集为{}x |x ≠-b 2a；若x 1>x 2，则不等式ax 2+bx +c >0(a >0)的解集为{x |x <x 2或x >x 1}.例1.解不等式ax 2-()a -1x -1<0()a <0.解：原不等式等价于æèöøx +1a ()x -1>0，则方程æèöøx +1a ()x -1=0的根分别为x 1=-1a ，x 2=1，①当x 1=-1a>x 2=1时，可得-1<a <0,不等式的解集为{}|x x >-1a或x <1；②当x 1=x 2=1时，可得a =-1，不等式的解集为{}|x x ≠-1；③当x 1=-1a<x 2=1时，可得a <-1，不等式的解集为{}|x x >1或x <-1a；综上可知，当-1<a <0时，不等式的解集为{}|x x >-1a或x <1；当a =-1时，不等式的解集为{}|x x ≠-1；当a <-1时，不等式的解集为{|x x >1或}x <-1a.该一元二次不等式中含有参数，且容易分解因式，求得方程的两个根，但无法确定两个根的大小，所以要运用分类讨论思想对两根的大小进行讨论.在进行讨论时，需根据参数a 的取值范围，来确定不等式的解集.二、注意讨论方程的判别式与0的大小关系含参一元二次不等式所对应方程ax 2+bx +c =0(a >0)的判别式能决定方程的根的个数，这就直接影响着一元二次不等式的解集的形式.若含参一元二次不等式ax 2+bx +c >0或ax 2+bx +c <0(a >0)所对应的方程ax 2+bx +c =0(a >0)不能进行因式分解，则需先求得方程的判别式Δ＝b 2-4ac ，然后分为三种情况：Δ>0、Δ=0、Δ<0进行讨论.一般地，若△>0，则方程有2个相异实根x 1、x 2(x 1<x 2)，一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a >0)的解集为{x |x <x 1或x >x 2}，一元二次不等式ax 2+bx +c <0(a >0)的解集为{x |x 1<x <x 2}；若△=0，则方程有1个实数根x 1=x 2，一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a >0)的解集为{x |x ≠x 1}，一元二次不等式ax 2+bx +c <0(a >0)的解集为∅；若△<0，则方程没有实根，一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a >0)的解集为R ，一元二次不等式ax 2+bx +c <0(a >0)的解集为∅.我们可结合函数的y =ax 2+bx +c =0(a >0)的图象来进行讨论，这样能有效提升解题的效率.例2.已知集合A ={}|x x 2+3k 2≥2k ()2x -1，B ={}|x x2-k ()2x -1+k 2≥0，且A ⊆B ，试求k 的取值范围.用分类讨论思想解含参一元二次不等式薛明美42解：由题意可知A ={}|x []x -()3k -1[]x -()k +1≥0，则方程[]x -()3k -1[]x -()k +1=0有两个根x 1=3k-1，x 2=k +1，①当x 1<x 2时，可得k >1，此时集合A ={|x x ≥3k -1或x ≤k +1}，②当x 1=x 2时，可得k =1，此时集合A ={}|x x ∈R ，③当x 1>x 2时，可得k <1，此时集合A ={|x x ≥k +1或x ≤3k -1}，令x 2-k ()2x -1+k 2=0，则Δ=4k 2-4()k 2+k =-4k ，①当Δ<0时，可得k >0，此时集合B ={}|x x ∈R ；②当Δ=0时，可得k =0，此时集合B ={}|x x ∈R ；③当Δ>0时，可得k <0，此时集合B ={|x x ≤k --k 或x ≥k +-k }；当k ≥0时，集合B ={}|x x ∈R ，此时A ⊆B ；当k <0时，集合B ={}|x x ≤k --k 或x ≥k +-k ，要使A ⊆B ，则需使ìíî3k -1≤k --k ，k +1≥k +-k ，解不等式组可得k ≥-1，综上，满足A ⊆B 的k 取值范围为[)-1,0或[)0,+∞.问题中的两个集合都是含参一元二次不等式的解集.由于集合A 中的含参不等式能够进行因式分解，而集合B 中的含参不等式不能进行因式分解，所以需先求得集合B 中的含参不等式所对应方程的判别式，对Δ>0、Δ=0、Δ<0进行讨论，分别求得三种情形下不等式的解集，然后建立满足A ⊆B 的新不等式，求得k 取值范围，最后综合所求的结果即可.例3.设不等式x 2-2ax +a +2≤0解集为M ，若M ⊆[]1,4，则实数a 取值范围为____.解：设f ()x =x 2-2ax +a +2，可得Δ=()-2a 2-4()a +2=4()a 2-a -2，①当Δ<0时，可得-1<a <2，M =∅⊆[]1,4；②当Δ=0时，可得a =-1或a =2，当a =-1时，可得M ={}-1⊄[]1,4，不符合题意舍去，当a =2时，可得M ={}2⊆[]1,4，符合题意，③当Δ>0时，可得a <-1或a >2，令f ()x =0的根为x 1，x 2()x 1<x 2，且M ⊆[]x 1,x 2，M ⊆[]1,4，可知1≤x 1＜x 2≤4，可得ìíîïïïïf ()1≥0，f ()4≥0，Δ>0，1<--2a 2<4，解得2<x ≤187，综上可知，实数a 取值范围为æèùû-1,187.该含参一元二次不等式不能进行因式分解，所以需先求得不等式所对应的方程的判别式，分Δ>0、Δ=0、Δ<0进行分类讨论，然后在每种情形下，根据已知的解集列出不等式组，求出参数a 取值范围.三、注意讨论方程二次项系数的符号我们知道不等式与函数的关系紧密，一元二次函数y =ax 2+bx +c 的二次项系数决定了抛物线的开口方向，而抛物线的开口方向直接影响着一元二次不等式ax 2+bx +c >0或ax 2+bx +c <0的解集.因此在解含参一元二次不等式要注意讨论二次项系数的符号，当二次项的系数a >0时需按下表分如下几种情况讨论：判别式Δ=b 2-4ac一元二次函数y =ax 2+bx +c =0(a >0)的图象一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a >0)的解集一元二次不等式ax 2+bx +c <0(a >0)的解集△>0{x |x <x 1或x >x 2}{x |x 1<x <x 2}△=0{}x |||x ≠-b 2a∅△<0R∅43含参函数问题通常较为复杂，尤其在遇到含有多个参数的函数问题时，很多同学不知如何下手.解答含有多个参数的函数问题，关键在于合理处理参数，将问题简化为只含有一个参数或没有参数的函数问题.下面介绍三种解答含有多个参数的函数问题的方法.一、分离变量法当函数问题中出现多个参数时，可通过恒等变形，将其中一个已知取值范围的参数从函数式或不等式中分离出来，将问题转化成只含一个参数或没有参数的函数最值问题来求解.例1.已知当θ∈R 时，不等式a +cos2θ<5-4sin θ+5a -4恒成立，求实数a 的取值范围.解：由a +cos2θ<5-4sin θ+5a -4可得4sin θ+cos2θ<5a -4-a +5，要使上式恒成立，只需使5a -4-a +5大于4sin θ+cos2θ的最大值，设f (θ)=4sin θ+cos2θ，化简得f (θ)=-2sin 2θ+4sin θ+1=-2(sin θ-1)2+3≤3，可得5a -4-a +5>3，即5a -4>a -2，上式等价于ìíîïïa -2≥0，5a -4≥0，5a -4>(a -2)2，或{a -2<0，5a -4≥0，解得45≤a <8.该函数不等式中含有两个参数a 及θ，其中θ的取值范围已知，另一参数a 的范围即为所求，故可考虑运用参数分离法，将θ从不等式中分离出来；再将不含有θ的式子构造成关于a 的函数式，利用正弦函数和二次函数的有界性求得函数的最值，即可建立关于a 的新不等式，求得a 的取值范围.例2.设正数f ()x =e 2x 2+1x ,g ()x =e 2x e x ，对任意x 1,x 2∈()0,+∞，不等式g ()x 1k ≤f ()x 2k +1恒成立，求正数k 的取值范围.解：由g ()x 1k ≤f ()x 2k +1可得g ()x 1≤kf ()x 2k +1，所以kf ()x 2k +1≥[]g ()x 1max ，钱桂红。
(精品)含参集合分类讨论问题
A ． 0 B ． 1 C． 0 或 1 D．－ 1
4．设 P、 Q 为两个非空实数集，定义集合 P＋ Q＝ { a＋ b|a∈ P， b∈ Q} ．若 P＝ {0,2,5} ，Q ＝{1,2,6} ，则 P＋ Q 中元素的个数是 ( )
3
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A ． 6 B ． 7 C． 8 D ．9 5．集合 M ＝ {1,2} ，N＝ {1,2,3} ，P＝ { x|x＝ ab，a∈M ，b∈ N} ，则集合 P 的元素个数为 ( )
A ． 0 个 B ．1 个 C． 2 个 D． 3 个
2．在集合 A＝ {1 ， a2－ a－ 1， a2－ 2a＋ 2} 中， a 的值可以是 (
)
A ． 0 B ． 1 C． 2 D ．1 或 2 3．已知集合 A＝ { x|ax2＋ 2x＋ 1＝ 0， a∈ R} 只有一个元素，则 a 的值为 ( )
(1) 若 A? B，求 a 的取值范围； (2) 若 A∩B＝ ? ，求 a 的取值范围． 13．设集合 A＝ { x|x2＋ 4x＝ 0} ，B＝ { x|x2＋ 2(a＋ 1)x＋ a2－ 1＝0} ，若 B? A，求实数 a 的取值 范围．
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淘出优秀的你
参考答案
1． C 根据题意，分三种情况讨论： ①a＝ 0，有 a＝－ a＝ |a|，组成的集合中有一个元素；
∴P＋ Q＝ {1,2,3,4,6,7,8,11} ． 故选 C.
5． C 当 a＝ 1， b＝ 1 时， x＝ 1； 当 a＝ 1， b＝ 2 时， x＝ 2； 当 a＝ 1， b＝ 3 时， x＝ 3； 当 a＝ 2， b＝ 1 时， x＝ 2； 当 a＝ 2， b＝ 2 时， x＝ 4； 当 a＝ 2， b＝ 3 时， x＝ 6， 根据集合的元素满足互异性，得 P＝ {1,2,3,4,6} ，共 5 个元素．
含参集合分类讨论问题
含参集合分类讨论问题本文介绍了分类讨论思想在数学中的应用，以及用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤。
其中，分类应按同一标准进行，分类应当没有遗漏，分类应是没有重复的。
集合中引起分类讨论的原因有元素的特性、空集、方程的有解性。
文章还通过一个典型例题剖析，展示了分类讨论思想的应用。
例题中，要求找出同时满足两个条件的非空集合M。
通过按集合M中元素个数分类讨论，得出适合条件的集合M共有7个。
在变式训练中，要求求出a的值，通过分类讨论得出a=-1符合题意。
该题结合集合的运算考查了分类讨论思想，分类的标准结合集合的性质：无序性、互异性、确定性。
总之，分类讨论思想是一种实用且常用的数学思想，能够帮助我们解决一些复杂的问题。
在研究数学时，我们应当掌握分类讨论思想的应用，提高解题能力。
已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，a∈R}．1)若A是空集，求a的取值范围；2)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．解析】1) 当A是空集时，方程x2－3x＋2＝0无实数解，即Δ＝(－3)2－4×1×2＜0，解得a∈R．2) 当A中至多只有一个元素时，方程x2－3x＋2＝0有唯一实根，即Δ＝(－3)2－4×1×2＝1，解得a＝1或a＝2．综上，使A中至多只有一个元素的a的取值范围是{a|a＝1或a＝2}．设集合P＝{x|x2－x－6＜0}，Q＝{x|2a≤x≤a＋3}．1) 若P∪Q＝P，求实数a的取值范围；2) 若P∩Q＝∅，求实数a的取值范围．解析】1) 由P的定义知，P＝{x|－2＜x＜3}，故P∪Q＝{x|－2＜x＜3或2a≤x≤a＋3}，要使P∪Q＝P，必须有Q⊆P.①当Q＝∅时，得2a＞a＋3，解得a＞3；②当Q≠∅时，得－2＜2a≤a＋3＜3，解得－1＜a＜0.综上，实数a的取值范围是{a|－1＜a＜0或a＞3}．2) 由P和Q的定义知，P的解集为{x|－2＜x＜3}，Q的解集为{x|2a≤x≤a＋3}，要使P∩Q＝∅，必须有P和Q的解集没有交集，即－2≥a＋3或3≤2a，解得a≤－5或a≥3.综上，实数a的取值范围是{a|a≤－5或a≥3}．当a＝2时，a2－a－1＝3，a2－2a＋2＝2。
解含参集合问题的几个注意点
解含参集合问题的几个注意点同学们在集合学习中，由于对有关概念 、知识理解不深，经常出现某些模糊认识，特别在解含有参数问题时往往顾此失彼，造成失误．笔者根据以往教学经验，提醒同学们在解含参集合题时，必须注意以下几点：1．注意空集的特殊作用例1 已知集合A={x ∣2x +（a +2）x +1=0, x R ∈}．B={x ∣x >0}, 若φ=B A I ，求a 的取值范围．解析：由φ=B A I 知，A 中的元素为非正数，即方程 2x +（a +2）x +1=0只有非正数解． ∴ ()⎩⎨⎧≥+≥-+=∆020422a a 解得 0≥a实际上,这个结果是不完整的，上述解法只注意到Ａ为非空解集，当Ａ为空集时，仍满足φ=B A I ． 当Ａ=φ时，()0422<-+=∆a ，解得－4＜a ＜０， 综上可得 ： a ＞－4评注：空集是任何非空集合的子集，且A φφ=I ， A =φY A.， 在解有关含有参数的集合题时，忽视了空集的特殊性，就会造成解题解结果的残缺不全．２．注意题中的隐含条件例２设全集Ｕ＝｛２，３，2a ＋２a －３｝，Ａ＝｛∣２a －１∣，２｝，A C U ＝｛５｝， 求实数a 的值．错解：∵A C U ＝｛５｝，∴ ５∈Ｓ且 ５∉Ａ，从而，2a ＋２a －３＝５，解得a ＝２，或a ＝－４．分析 导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为Ｕ是全集，所以Ａ⊆Ｕ．当a ＝２时，∣２a －１∣＝３∈Ｓ，符合题意；当a ＝－４时，∣２a －１∣＝９∉Ｓ，不符合题意；故a ＝２．评注：在解有关含参数的集合时，需要进行验证结果是否满足题设条件，包括隐含条件． ３．注意端点值的舍取例３ 已知集合A ＝{x ∣x ≥４，或x ＜－５}，Ｂ＝｛x ∣a ＋１≤x ≤a ＋３｝，若Ａ∪Ｂ＝Ａ，求a 得取值范围．错解：由Ａ∪Ｂ＝Ａ得 Ｂ⊆Ａ．∴a ＋３≤－５，或a ＋１≥４，解得a ≤－８，或a ≥３．分析：上述解法忽视了等号能否成立，事实上，当a ＝－８时，不符合题意；当a ＝３时，符合题意，故正确结果应为a ＜－８，或a ≥３．评注：在求集合中字母取值范围时，要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号，否则会导致解题结果错误．４．注意参数的分类讨论例４ 设A ＝{x ∣2x a -≤≤}，Ｂ＝{y ∣23,y x x A =+∈}，Ｃ＝{z ∣2,z x x A =∈}，且C B ⊆，求实数a 的取值范围．解析：∵ A ＝{x ∣2x a -≤≤}，∴ Ｂ＝{y ∣23,y x x A =+∈}＝｛y ∣123y a -≤≤+｝．①当20a -≤≤时，Ｃ＝｛z ∣24a z ≤≤｝． ∵ C B ⊆，∴ 423a ≤+，解得12a ≥，这与20a -≤≤矛盾． ②当02a <≤时，Ｃ＝｛z ∣04z ≤≤｝． ∵ C B ⊆， ∴ 423a ≤+，解得12a ≥． ∴ 122a ≤≤． ③当2a >时，Ｃ＝｛z ∣20z a ≤≤｝． ∵ C B ⊆，∴ 223a a ≤+，解得－１3a ≤≤． ∴23a <≤．综上得，实数a 的取值范围是132a ≤≤． 评注：对含有参数的问题，求解时常常要对其中的参数进行分类讨论，这也是集合中体现出来的重要数学思想之一．。
(完整版)含参数的一元二次不等式的分类讨论
复习引入：一元一次的分类讨论：2(2)(31)2(2)0k x k x x +--+->、含参数的一元二次不等式——分类讨论1. 优先考虑十字相乘，若两根大小不确定，即分121212,,x x x x x x >=<三种情况．2. 若不能十字相乘，则考虑按判别式∆的正负分类，即分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，结合图像法求解。
3. 按二次项系数正负是否确定：当二次项系数含参数时，按2x 项的系数a 的符号分类，即分0,0,0a a a >=<三种情况．1.2(1)0x a x a -++< 2.22560x ax a -+> 3.223()0x a a x a -++> 4.2(1)0x a x a -++< 5.2(2)20x a x a +--< 6.21()10 x a x a -++< 7.22210 x x a -+-≥1.2210x mx m -++> 2.220x kx k +-≤ 3.240x ax ++> 4.2(2)0x a x a +-+>2560()x ax ax a a R -+>∈解关于的不等式1.2210ax x ++< 2.210.ax ax +-< 3.220ax x a -+<1.21)10ax a x -++<（ 2.21)10ax a x +-->（ 3.22(1)40 mx m x -++< 4.2(32)60 ax a x -++< 5.22(1)40 ax a x -++<综合提高题1. 集合{}{}2222(1)0,540A x x a x a a B x x x =-+++<=-+≥，且A B ⊆，求a 的范围2. 集合{}(){}22320,10A x x x B x x a x a =-+≤=-++≤，且A B ⊆，求a 的范围 3. 设全集U=R ，集合{}{}22(41)40,21A x x a a B x a x a =-++≤=≤≤+，且B A ⊆，求a 的范围4. 集合{}{}22540,220A x x x B x x ax a =-+≤=-++≤，且B A ⊆，求a 的范围含参数的一元二次不等式—恒成立和无解问题（数形结合） 1.220x x a ++>的解集为R ，求a 范围 2.220x x a ++≥的解集为R ，求a 范围 3.210x ax -+≥的解集为R ，求a 范围 4.()2140x k x +-+>的解集为R ，求a 范围5.2(1)10ax a x a +-+->恒成立，求a 范围 6.210ax ax -+>恒成立，求a 范围 7.23208kx kx ++<恒成立，求k 范围 8.22(2)0ax ax a +-+<恒成立，求k 范围 9. 2(3)10mx m x -+-<恒成立，求m 范围10. 2(2)(2)10a x a x -+-+≥恒成立，求a 范围11. 2(2)2(2)-40a x a x -+-<恒成立，求a 范围12. 22(1)(1)10a x a x ----<恒成立，求a 范围13. 22(1)(1)10t x t x -+-->恒成立，求t 范围14. 22(23)(3)10m m x m x -----<恒成立，求m 范围15. 2(1)1mx m x m x m --+-函数的图像在轴下方，求实数的取值范围。
专题10 分类讨论法解决含参函数单调性问题(解析版)
专题10分类讨论法解决含参函数单调性问题1．函数与导数问题中往往含有变量或参数，这些变量或参数取不同值时会导致不同的结果，因而要对参数进行分类讨论．常见的有含参函数的单调性、含参函数的极值、最值等问题，解决时要分类讨论．分类讨论的原则是不重复、不遗漏，讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，使解题步骤完整．2．利用分类讨论解决含参函数的单调性、极值、最值问题的思维流程3．口诀记忆导数取零把根找，先定有无后大小；有无实根判别式，两种情形需知晓．因式分解见两根，逻辑分类有区分；首项系数含参数，先论系数零正负．首项系数无参数，根的大小定胜负；定义域，紧跟踪，两根是否在其中．题型一可求根或因式分解1．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)，讨论函数f (x )的单调性．解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，①当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，②当a >0时，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．2．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)．讨论函数f (x )的单调性．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当a >0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当a <0时，f (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减；当a ＝0时，f (x )为常函数．3．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)，讨论函数f (x )的单调性．解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，故函数f (x )综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )4．已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋1)x ＋ln x ，a >0，试讨论函数y ＝f (x )的单调性．解析：函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －(a ＋1)＋1x ＝ax 2－(a ＋1)x ＋1x ＝(ax －1)(x －1)x ．①当0<a <1时，1a >1，∴x ∈(0，1)f ′(x )>0；x f ′(x )<0，∴函数f (x )在(0，1)②当a ＝1时，1a ＝1，∴f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；③当a >1时，0<1a <1，∴x (1，＋∞)时，f ′(x )>0；x f ′(x )<0，∴函数f (x )(1，＋∞)综上，当0<a <1时，函数f (x )在(0，1)当a ＝1时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >1时，函数f (x )(1，＋∞)5．设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．讨论函数f (x )的单调性．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝ax ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2．当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)．(1)当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(3)当－12＜a ＜0时，Δ＞0．设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a ．由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a ＞0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a ＜0时，f (x )6．已知f (x )＝(x 2－ax )ln x －32x 2＋2ax ，求f (x )的单调递减区间．解析：易得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝(2x －a )ln x ＋x －a －3x ＋2a ＝(2x －a )ln x －(2x －a )＝(2x －a )(ln x －1)，令f ′(x )＝0得x ＝a2或x ＝e ．当a ≤0时，因为x ＞0，所以2x －a ＞0，令f ′(x )＜0得x ＜e ，所以f (x )的单调递减区间为(0，e)．当a ＞0时，①若a2＜e ，即0＜a ＜2e ，当x f ′(x )＞0，当x f ′(x )＜0，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )②若a2＝e ，即a ＝2e ，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )没有单调递减区间；③若a2＞e ，即a ＞2e ，当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，当x f ′(x )＜0，当x f ′(x )＞0，所以f (x )综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，e)；当0＜a ＜2e 时，f (x )当a ＝2e 时，f (x )无单调递减区间；当a ＞2e 时，f (x )7．已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)．(1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程；(2)判断函数f (x )的单调性．解析：(1)∵a ＝e ，∴f (x )＝e x －e x －1，∴f ′(x )＝e x －e ，f (1)＝－1，f ′(1)＝0.∴当a ＝e 时，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－1.(2)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a .易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，由f ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．8．已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，其中g (x )的函数图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴．(1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性．解析：(1)g ′(x )＝1x ＋2ax ＋b (x ＞0)．由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴，得g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，所以b ＝－2a －1.(2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x .因为函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，所以当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x.由g ′(x )＞0，得0＜x ＜1，由g ′(x )＜0，得x ＞1，即函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．当a ＞0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a，若12a ＜1，即a ＞12，由g ′(x )＞0，得x ＞1或0＜x ＜12a ，由g ′(x )＜0，得12a＜x ＜1，即函数g (x )(1，＋∞)若12a ＞1，即0＜a ＜12，由g ′(x )＞0，得x ＞12a 或0＜x ＜1，由g ′(x )＜0，得1＜x ＜12a，即函数g (x )在(0,1)若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0，即函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0＜a ＜12时，函数g (x )在(0,1)当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞12时，函数g (x )(1，＋∞)9．已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ．若a >0，试讨论函数f (x )的单调性．解析：因为f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ，所以f ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x．由题意知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝12a ，若12a <1，即a >12，由f ′(x )>0得x >1或0<x <12a ，由f ′(x )<0得12a <x <1，即函数f (x )(1，＋∞)若12a >1，即0<a <12，由f ′(x )>0得x >12a 或0<x <1，由f ′(x )<0得1<x <12a ，即函数f (x )在(0，1)若12a ＝1，即a ＝12，则在(0，＋∞)上恒有f ′(x )≥0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当0<a <12时，函数f (x )在(0，1)当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数f (x )减，在(1，＋∞)上单调递增．10．函数f (x )＝2ax －a 2＋1x 2＋1，当a ≠0时，求f (x )的单调区间与极值．解析：因为f ′(x )＝－2ax 2＋2(a 2－1)x ＋2a (x 2＋1)2＝－2a(x 2＋1)2·(x －a (1)a >0时x (－∞，－a －1)(－a －1，a )(a ，＋∞)f ′(x )－＋－f (x )的极小值为f (－a －1)＝－a 2，极大值为f (a )＝1.(2)当a <0时，x (－∞，a )(a ，－a －1)(－a －1，＋∞)f ′(x )＋－＋f (x )的极小值为f (－a －1)＝－a 2，极大值为f (a )＝1.综上，当a >0时，f (x )的递增区间是(－a －1，a )，递减区间是(－∞，－a －1)，(a ，＋∞)，f (x )的极小值为f (－a －1)＝－a 2，极大值为f (a )＝1.当a <0时，f (x )的递增区间是(－∞，a )，(－a －1，＋∞)，递减区间是(a ，－a －1)，f (x )的极小值为f (－a －1)＝－a 2，极大值为f (a )＝1.11．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)，讨论f (x )的单调性．解析：f ′(x )＝x (x －(a 2－2a ))(x ＋1)(x ＋a )2.①当a 2－2a <0时，即1<a <2，又a 2－2a ＝(a －1)2－1>－1.②当a ＝2时，f ′(x )＝x (x ＋1)(x ＋2)2≥0，f (x )在(－1，＋∞)上递增．③当a 2－2a >0时，即a >2时，x (－1,0)(0，a 2－2a )(a 2－2a ，＋∞)f ′(x )＋－＋综上，当1<a <2时，f (x )的递增区间是(－1，a 2－2a )，(0，＋∞)，递减区间是(a 2－2a,0)；当a >2时，f (x )的递增区间是(－1,0)，(a 2－2a ，＋∞)，递减区间是(0，a 2－2a )；当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)上递增．12．已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，讨论f (x )的单调性．解析：函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )．①若a ＝0，则f (x )＝e 2x 在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a ＞0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln a .当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．③若a ＜0，则由f ′(x )＝0，得x ＝当x ∞，f ′(x )＜0；当x f ′(x )＞0.故f (x )∞，13．已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)－ax －x 2，讨论f (x )在定义域上的单调性．解析：f ′(x )＝a x ＋1－a －2x 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－a ＋22f (x )的定义域为(－1，＋∞)，①当－a ＋22≤－1，即当a ≥0时，若x ∈(－1，0)，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．②当－1＜－a ＋22＜0，即－2＜a ＜0时，若x 1f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；若x －a ＋22，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．③当－a ＋22＝0，即a ＝－2时，f ′(x )≤0，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．④当－a ＋22＞0，即a ＜－2时，若x ∈(－1，0)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；若x f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x －a ＋22，＋f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．综上，当a ≥0时，f (x )在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；当－2＜a ＜0时，f (x )1－a ＋22，(0，＋∞)上单调递减；当a ＝－2时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减；当a ＜－2时，f (x )在(－1，0)－a ＋22，＋14．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，g (x )＝e x ·(cos x －sin x ＋2x －2)，其中e 是自然对数的底数．(1)求函数g (x )的单调区间；(2)讨论函数h (x )＝g (x )－af (x )(a ∈R)的单调性．解析：(1)g ′(x )＝(e x )′·(cos x －sin x ＋2x －2)＋e x (cos x －sin x ＋2x －2)′＝e x (cos x －sin x ＋2x －2－sin x －cos x ＋2)＝2e x (x －sin x )．记p (x )＝x －sin x ，则p ′(x )＝1－cos x ．因为cos x ∈[－1，1]，所以p ′(x )＝1－cos x ≥0，所以函数p (x )在R 上单调递增．而p (0)＝0－sin 0＝0，所以当x <0时，p (x )<0，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减；当x >0时，p (x )>0，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增．综上，函数g (x )的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)因为h (x )＝g (x )－af (x )＝e x (cos x －sin x ＋2x －2)－a (x 2＋2cos x )，所以h ′(x )＝2e x (x －sin x )－a (2x －2sin x )＝2(x －sin x )(e x －a )．由(1)知，当x >0时，p (x )＝x －sin x >0；当x <0时，p (x )＝x －sin x <0．当a ≤0时，e x －a >0，所以x >0时，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增；x <0时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减．当a >0时，令h ′(x )＝2(x －sin x )(e x －a )＝0，解得x 1＝ln a ，x 2＝0．①若0<a <1，则ln a <0，所以x ∈(－∞，ln a )时，e x －a <0，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增；x ∈(ln a ，0)时，e x －a >0，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减；x ∈(0，＋∞)时，e x －a >0，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增．②若a ＝1，则ln a ＝0，所以x ∈R 时，h ′(x )≥0，函数h (x )在R 上单调递增．③若a >1，则ln a >0，所以x ∈(－∞，0)时，e x －a <0，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增；x ∈(0，ln a )时，e x －a <0，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减；x ∈(ln a ，＋∞)时，e x －a >0，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增．综上所述，当a ≤0时，函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减；当0<a <1时，函数h (x )在(－∞，ln a )，(0，＋∞)上单调递增，在(ln a ，0)上单调递减；当a ＝1时，函数h (x )在R 上单调递增；当a >1时，函数h (x )在(－∞，0)，(ln a ，＋∞)上单调递增，在(0，ln a )上单调递减．题型二导函数不可因式分解1．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1．讨论f (x )的单调性．解析：由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a )．①当a ≥13时，f ′(x )≥0，f (x )在R 上单调递增；②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a 3，令f ′(x )>0，则x <x 1或x ＞x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2．所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )∞2．已知函数f (x )＝x 3－kx ＋k 2．讨论f (x )的单调性．解析：由题意，得f ′(x )＝3x 2－k ，当k ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当k ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝±k 3，令f ′(x )＜0，得－k3＜x ＜k3，令f ′(x )＞0，得x ＜－k3或x ＞k 3，所以f (x )－k 3，∞k3，＋3．已知函数f (x )＝(1＋ax 2)e x －1，当a ≥0时，讨论函数f (x )的单调性．解析：由题易得f ′(x )＝(ax 2＋2ax ＋1)e x ，当a ＝0时，f ′(x )＝e x ＞0，此时f (x )在R 上单调递增．当a ＞0时，方程ax 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－4a ．①当0＜a ≤1时，Δ≤0，ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，所以f ′(x )≥0，此时f (x )在R 上单调递增；②当a ＞1时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1－1－1a，x 2＝－1＋1－1a．x ∈(－∞，x 1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．所以f (x )∞，－11＋1－1a，＋1－1－1a，－1综上，当0≤a ≤1时，f (x )在R 上单调递增；当a ＞1时，f (x )∞，－11＋1－1a，＋1－1－1a ，－14．已知函数f (x )＝1x－x ＋a ln x ，讨论f (x )的单调性．解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2－1＋ax ＝－x 2－ax ＋1x 2.①当a ≤2时，则f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＞2时，令f ′(x )＝0，得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42.当x f ′(x )＜0；当x f ′(x )＞0.所以f (x )综合①②可知，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞2时，f (x )5．已知f (x )＝ax －1x ，g (x )＝ln x ，x ＞0，a ∈R 是常数．(1)求函数y ＝g (x )的图象在点P (1，g (1))处的切线方程；(2)设F (x )＝f (x )－g (x )，讨论函数F (x )的单调性．解析：(1)因为g (x )＝ln x (x ＞0)，所以g (1)＝0，g ′(x )＝1x ，g ′(1)＝1，故函数g (x )的图象在P (1，g (1))处的切线方程是y ＝x －1.(2)因为F (x )＝f (x )－g (x )＝ax －1x －ln x (x ＞0)，所以F ′(x )＝a ＋1x 2－1x ＝a －14.①当a ≥14时，F ′(x )≥0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ＝0时，F ′(x )＝1－xx 2，F (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；③当0＜a ＜14时，由F ′(x )＝0，得1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a 2a＞0，且x 2＞x 1，故F (x )④当a ＜0时，由F ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a 2a ＜0，F (x )6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1.(1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )－23，－a 的取值范围．解析：(1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1.①当Δ≤0⇒－3≤a ≤3，f ′(x )≥0，且在R 的任给一子区间上，f ′(x )不恒为0，所以f (x )在R 上递增；②当Δ>0⇒a <－3或a > 3.由f ′(x )＝0⇒x 1＝－a －a 2－33，x 2＝－a ＋a 2－33.x(－∞，x 1)(x 1，x 2)(x 2，＋∞)f ′(x )＋－＋所以f (x )的单调递增区间是(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)；单调递减区间是(x 1，x 2)．(2)因为f (x )－23，－－23，－(x 1，x 2)．所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1≤0－23，－所以2a ≥－3x －1x在－23，－a ≥2.7．已知函数f (x )＝x －2x＋1－a ln x ，a ＞0，讨论f (x )的单调性．解析：由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ≤0，即0＜a ≤22时，对一切x ＞0都有f ′(x )≥0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＞0，即a ＞22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0＜x 1＜x 2.由f ′(x )>0，得0<x <x 1或x >x 2.由f ′(x )<0，得x 1<x <x 2.所以f (x )在。
利用“分类讨论”解决含参问题
利用“分类讨论”解决含参问题作者：朱丽来源：《中学生数理化·教研版》2010年第09期参数广泛地存在于中学数学的各类问题中,也是近几年来高考重点考查的热点问题之一.以命题的条件和结论的结构为标准,含参数的问题可分为两种类型:一种是根据参数在允许值范围内的不同取值(或取值范围),去探求命题可能出现的结果,然后归纳出命题的结论;另一种是给定命题的结论去探求参数的取值范围或参数应满足的条件.本文拟就第一类问题的解题思想方法——分类讨论作一些探讨.分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一,是历年高考的重点.本质上是“化整为零,积零为整”,从而增加题设条件的解题策略.它的基本步骤是:确定讨论的对象(参数)和确定研究的区域(题中要求的范围);对所讨论的问题进行合理的分类(分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级);逐类讨论,即对各类问题详细讨论,逐步解决;归纳总结,整合得出结论.在讨论时,讨论的对象比较容易确定,最困难是确定分类的标准.一般来讲,分类标准的确定通常有以下三种.一、根据数学概念来确定分类标准例如,绝对值的定义是|a|=a(a>0),0(a=0),-a(a例1 已知动点M到原点O的距离为m,到直线L:x=2的距离为n,且m+n=4,求点M的轨迹方程.解:设点M的坐标为(x,y).依题意可得-2|=4.根据绝对值的概念,轨迹方程取决于x>2还是x≤2,所以以2为标准进行分类讨论可得轨迹方程为-1≤x-12(x-3) (2≤x二、根据数学中的定理,公式和性质确定分类标准数学中的某些公式、定理、性质在不同条件下有不同的结论,在运用它们时,就要分类讨论,分类的依据是公式中的条件.例如,对数函数的单调性是分01两种情况给出的,所以在解底数中含有字母的不等式.如-1就应以底数x>1和01时,13>1x;当0又如,等比数列前几项和公式是分别给出的--q (q≠1).所以在解这类问题时,如果q是可以变化的量,就要以q为标准进行分类讨论.三、根据运算的需要确定分类标准例如,解不等式组34三种情况进行讨论.例2 已知函数,求∈求f(x)的单调区间.解因为求单调区间实质上就是解不等式,应该讨论二次项系数a的正负及方程f′(x)=0的两根-1a,0的大小关系,所以以a的正负来讨论:当a>0时,令f′(x)>0,解得x0.令f′(x)所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-1a)和(-单调减区间为(-1a,0).当a解:略.分类讨论的思想是一种重要的解题策略,对于培养学生思维的严密性,严谨性和灵活性以及提高学生分析问题和解决问题的能力无疑具有较大的帮助.然而并不是问题中一出现含参数问题就一定得分类讨论,如果能结合利用数形结合的思想,函数的思想等解题思想方法可避免或简化分类讨论,从而达到迅速、准确的解题效果.。
2012高考热点之参数问题分类讨论教师版
含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。
大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。
下面介绍几种常用的处理方法。
一、分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()m a xa f x ≥；若()a f x≤恒成立，只须求出()min f x ，则()m i na f x ≤，转化为函数求最值。
例1、已知函数()lg 2af x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。
解：根据题意得：21a x x+->在[)2,x ∈+∞上恒成立，即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立， 设()23f x x x =-+，则()23924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭当2x =时，()max 2f x = 所以2a >在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若()()f a g x ≥恒成立，只须求出()max g x ，则()()max f a g x ≥，然后解不等式求出参数a 的取值范围；若()()f a g x ≤恒成立，只须求出()m i n g x ，则()()m i n fa g x ≤，然后解不等式求出参数a 的取值范围，问题还是转化为函数求最值。
例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。
解：令2xt =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：221t a a t+-<，要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()21t f t t+=在(]0,2t ∈上的最小值即可。
()22211111124t f t tt t t +⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭()()m in 324f t f ∴==234a a ∴-<1322a ∴-<<二、分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。
专题1.2 集合中的含参问题(原卷版).
专题1.2集合中的含参问题1.所谓分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答.这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决的数学思想,称之为分类讨论思想.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策峈.2.用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是：1明确讨论的对象;2进行合理分类,所谓合理分类,应该符合三个原则:(1)分类应按同一标准进行;(2)分类应当没有速漏:(3)分类应是没有重复的:3逐类讨论,分级进行;4归纳并作出结论.3.集合中引起分类讨论的原因:(1)由元素的特性引起的讨论;(2)由空集引起的讨论:(3)由方程的有解性引起的讨论.1．不等式102x x ->+的解集是A ，关于x 的不等式22450x mx m -- 的解集是B ．（1）若1m =时，求AB ；（2）设命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >；命题q ：实数x 满足2260280x x x x ⎧--⎨+->⎩．若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．2．已知集合{|44}A x a x a =-<<+，{|5B x x =>或1}x <-．（1）若1a =，求AB ；（2）若A B R =，求实数a 的取值范围．3．已知全集U R =，集合2{|40}A x x x =-<，{|32}B x m x m =- ．（1）当2m =时，求()U AB ð；（2）如果A B A =，求实数m 的取值范围．4．已知集合{|61A y y x ==-，01}x ，2{|20}B x x x m =--<．（Ⅰ）当3m =时，求()R AB ð；（Ⅱ）当{|25}A B x x =-< 时，求实数m 的值．5．已知集合{|22}A x a x a =-+ ，2{|41270}B x x x =+- ．（1）求集合B 的补集R B ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．6．设全集U R =，集合{|15}A x x = ，集合{|122}B x a x a =--- ．（1）若“x A ∈”是“x B ∈“的充分条件，求实数a 的取值范围；（2）若命题“x B ∀∈，则x A ∈“是真命题，求实数a 的取值范围．7．设命题:p x R ∃∈，2230x x m -+-=，命题:q x R ∀∈，222(5)190x m x m --++≠．若p ，q 都为真命题，求实数m 的取值范围．8．已知集合{|25}A x x =- ，{|121}B x m x m =+- ．（1）若AB =∅，求实数m 的取值范围；（2）若A B A =，求实数m 的取值范围．9．已知集合{|13}A x x =<<，{|24}B x x =<<，{|0}C x x a =<<．（1）求A B ，A B ；（2）若A C ⊆，求实数a 的取值范围．10．已知集合2{|20}A x x x =- ，{|21B x a x a =+- ，}a R ∈．（1）当1a =-时，求()R AB ð；（2）若A B =∅，求a 的取值范围．11．已知全集为R ，集合{|13}A x x =< ，{|(23)(4)0}B x x x =-- ．（Ⅰ）求A B ，()R A B ð；（Ⅱ）若{|12}C x m x m =+<<-，且A C C =，求实数m 的取值范围．12．已知集合2{|320A x ax x =-+=，x R ∈，}a R ∈．（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围13．设2{|40}A x x x =+=，22{|2(1)10}B x x a x a =+++-=，其中x R ∈，如果A B B =，求实数a 的取值范围．14．已知集合2{|320A x R ax x =∈-+=，}a R ∈．（1）若集合A 是空集，求a 的取值范围；（2）若集合A 中只有一个元素，求a 的值，并写出此时的集合A ．15．已知集合{|22}A x a x a =-+ ，2{|540}B x x x =-+ ．（1）当3a =时，求AB ，()R A B ð；（2）若A B =∅，求实数a 的取值范围．16．已知全集U R =，非空集合2{|0}3x A x x -=<-，2{|()(2)0}B x x a x a =---<．（1）当12a =时，求()U B A ð；（2）命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．17．已知2:7100p x x -+<，22:430q x mx m -+<，其中0m >．（1）若4m =，且p q ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18．已知命题：“{|11}x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题，（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围．19．已知命题p ：“11x ∀- ，不等式20x x m --<成立”是真命题．（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若:44q m a -<-<是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．20．已知非空集合{|2135}A x a x a =+- ，{|322}B x x = ，（1）当10a =时，求AB ，A B ；（2）求能使A B B =成立的a 的取值范围．。
集合含参问题及解题技巧
集合含参问题及解题技巧
集合含参问题在数学中是一个常见的问题类型，通常涉及到参数对集合元素的影响。
解决这类问题需要一些特定的技巧和策略，下面是一些关键的技巧和步骤：
1.理解问题: 在开始解题之前，首先要明确问题的要求。
理解题目的具体要求，明确需要求解的是什么，这是解决问题的第一步。
2.分析参数: 参数是影响集合元素的关键因素。
分析参数的可能取值范围、变化规律以及对集合元素的影响，是解决问题的关键步骤。
3.数形结合: 结合图形和数值进行理解，有时可以帮助更好地理解和解决问题。
例如，通过画出数轴、平面图等，可以直观地理解集合的关系和变化。
4.分类讨论: 根据参数的不同取值，对问题进行分类讨论。
对于每一个参数的取值范围，分析对应的集合元素的情况，从而全面地解决问题。
5.逻辑推理与验证: 在得到初步的答案后，需要进行逻辑推理和验证，确保答案的正确性和完整性。
6.总结与反思: 完成问题后，进行总结和反思，分析在解题过程中遇到的困难和解决方法，有助于提高解决这类问题的能力。
举一个具体的例子：
设集合A={x∣ax2+2x+a−1=0,a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值为____．
根据题意，方程ax2+2x+a−1=0有唯一解，所以判别式Δ=0。
计算判别式：
Δ=b2−4ac=22−4a(a−1)=0
解得：a=1或a=0。
当a=1时，方程变为x2+2x=0，解得x=0或x=−2，符合题意。
当a=0时，方程变为2x=−1，解得x=−21，符合题意。
所以a的值为0或1。
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第二周含参集合分类讨论问题重点知识梳理1．所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．2．用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是：(1)明确讨论的对象；(2)进行合理分类，所谓合理分类，应该符合三个原则：①分类应按同一标准进行；②分类应当没有遗漏；③分类应是没有重复的；(3)逐类讨论，分级进行；(4)归纳并作出结论．3．集合中引起分类讨论的原因：(1)由元素的特性引起的讨论；(2)由空集引起的讨论；(3)由方程的有解性引起的讨论．典型例题剖析例1同时满足：(1)M⊆{1,2,3,4,5}；(2)若a∈M，则(6－a)∈M的非空集合M有多少个？并写出这些集合．【解析】按集合M中元素个数分类讨论：M中只有1个元素时，若3∈M，则6－a＝6－3＝3∈M，所以M＝{3}；M中有2个元素时，满足条件的M有2个：M＝{1,5}，M＝{2,4}；M中有3个元素时，满足条件的M有2个：M＝{1,3,5}，M＝{2,3,4}；M中有4个元素时，满足条件的M只有1个：M＝{1,2,4,5}；M中有5个元素时，满足条件的M也只有1个：M＝{1,2,3,4,5}，所以适合条件的集合M共有7个．变式训练已知集合M＝{a2，a＋1，－3}，N＝{a－3，2a－1，a2＋1}，若M∩N＝{－3}，则a的值为()A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】∵M∩N＝{－3}，∴－3∈N＝{a－3,2a－1，a2＋1}，若a －3＝－3，则a ＝0，此时M ＝{0,1，－3}，N ＝{－3，－1，1}，则M ∩N ＝{－3,1}， 故不适合．若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时M ＝{1,0，－3}，N ＝{－4，－3,2}，M ∩N ＝{－3}， 满足题意．若a 2＋1＝－3，此方程无实数解．故选A.【小结】该题结合集合的运算考查了分类讨论思想，分类的标准结合集合的性质：无序性、互异性、确定性．例2 已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋a ＝0}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．【解析】A ＝{0，－4}．①B ＝∅时，Δ＝a 2－4a <0，即0<a <4.②B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{－4,0}．当B ＝{0}时，a ＝0满足题意；当B ＝{}－4或B ＝{－4,0}时，均不满足题意．综上所述，a 的取值范围是{a |0≤a ＜4}．变式训练 已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }．(1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝0时，方程ax 2－3x ＋2＝0化为－3x ＋2＝0，解集非空；当a ≠0时，要使A 是空集，则Δ＝(－3)2－8a ＜0，解得a ＞98. ∴使A 是空集的a 的取值范围是{a |a >98}． (2)当a ＝0时，集合A 中有一个元素；当a ≠0时，若A 中有两个元素，则Δ＝(－3)2－8a ＞0，解得a ＜98. 综上，使A 中至多只有一个元素的a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≥98}． 例3 已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }．(1)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．【解析】(1)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m 2m ≤11－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为{m |m ≤－2}．(2)由A ∩B ＝∅得：①若2m ≥1－m 即m ≥13，B ＝∅，符合题意； ②若2m <1－m 即m <13，需⎩⎪⎨⎪⎧ m <131－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ m <132m ≥3 得0≤m <13或∅，即0≤m <13. 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为{m |m ≥0}．变式训练 设集合P ＝{}x |x 2－x －6＜0，Q ＝{}x |2a ≤x ≤a ＋3.(1)若P ∪Q ＝P ，求实数a 的取值范围；(2)若P ∩Q ＝∅，求实数a 的取值范围；【解析】(1)由题意知P ＝{}x |－2＜x ＜3，∵P ∪Q ＝P ，∴Q ⊆P .①当Q ＝∅时，得2a ＞a ＋3，解得a ＞3；②当Q ≠∅时，得－2＜2a ≤a ＋3＜3，解得－1＜a ＜0.综上，实数a 的取值范围是{a |－1<a <0或a >3}．(2)①当Q ＝∅时，得2a ＞a ＋3，解得a ＞3；②当Q ≠∅时，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋3a ＋3≤－2或2a ≥3， 解得a ≤－5或32≤a ≤3. 综上，实数a 的取值范围是{a |a ≤－5或a ≥32}． 跟踪训练1．由实数a ，－a ，|a |所组成的集合里，所含元素个数最多有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．在集合A ＝{1，a 2－a －1，a 2－2a ＋2}中，a 的值可以是( )A ．0B ．1C ．2D ．1或23．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }只有一个元素，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．－14．设P 、Q 为两个非空实数集，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }．若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q 中元素的个数是( )A．6 B．7 C．8 D．95．集合M＝{1,2}，N＝{1,2,3}，P＝{x|x＝ab，a∈M，b∈N}，则集合P的元素个数为() A．3 B．4 C．5 D．66．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为() A．2 B．3C．0或3 D．0,2,3均可7．设集合A＝{1,2,3}，B＝{0,1,2,4}，定义集合S＝{(a，b)|a∈A，b∈B，a＋b＞ab}，则集合S中元素的个数是()A．5 B．6 C．8 D．98．已知集合A＝{a，a2＋2a－2,3}，且1∈A，则a＝______.9．若集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＝1}，且B⊆A，则实数a取值的集合为________．10．设集合A＝{1,0，a}，若a2∈A，则实数a的值为______．11．已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，求实数a的取值集合．12．已知A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}，(1)若A⊆B，求a的取值范围；(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．13．设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若B⊆A，求实数a的取值范围．参考答案1．C根据题意，分三种情况讨论：①a＝0，有a＝－a＝|a|，组成的集合中有一个元素；②a＞0，有a＝|a|，组成的集合中有两个元素；③a＜0，有－a＝|a|，组成的集合中有两个元素．故在其组成的集合里，所含元素个数最多有2个．选C.2．A当a＝0时，a2－a－1＝－1，a2－2a＋2＝2，当a＝1时，a2－a－1＝－1，a2－2a＋2＝1，当a＝2时，a2－a－1＝1，a2－2a＋2＝2，由集合中元素的互异性知选A.3．C若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}只有一个元素，则方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个解．当a＝0时，方程可化为2x＋1＝0，满足条件；当a≠0时，二次方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个解，则Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.故满足条件的a的值为0或1.故选C.4．C∵P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，∴当a＝0时，b∈Q，P＋Q＝{1,2,6}；当a＝2时，b∈Q，P＋Q＝{3,4,8}；当a＝5时，b∈Q，P＋Q＝{6,7,11}，∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．故选C.5．C当a＝1，b＝1时，x＝1；当a＝1，b＝2时，x＝2；当a＝1，b＝3时，x＝3；当a＝2，b＝1时，x＝2；当a＝2，b＝2时，x＝4；当a＝2，b＝3时，x＝6，根据集合的元素满足互异性，得P＝{1,2,3,4,6}，共5个元素．故选C.6．B解析由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0矛盾，当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．7．C∵集合A＝{1,2,3}，B＝{0,1,2,4}，a∈A，b∈B，∴a可取1,2,3，b可取0,1,2,4.(1)当a＝1时，b＝0，由a＋b＝1，ab＝0，a＋b＞ab成立，数对(1,0)为S的一个元素；b＝1，由a＋b＝2，ab＝1，a＋b＞ab成立，数对(1,1)为S的一个元素；b＝2，由a＋b＝3，ab＝2，a＋b＞ab成立，数对(1,2)为S的一个元素；b＝4，由a＋b＝5，ab＝4，a＋b＞ab成立，数对(1,4)为S的一个元素；(2)当a＝2时，b＝0，由a＋b＝2，ab＝0，a＋b＞ab成立，数对(2,0)为S的一个元素；b＝1，由a＋b＝3，ab＝2，a＋b＞ab成立，数对(2,1)为S的一个元素；b＝2，由a＋b＝4，ab＝4，a＋b＞ab不成立，数对(2,2)不是S的元素；b＝4，由a＋b＝6，ab＝8，a＋b＞ab不成立，数对(2,4)不是S的元素；(3)当a＝3时，b＝0，由a＋b＝3，ab＝0，a＋b＞ab成立，数对(3,0)为S的一个元素；b＝1，由a＋b＝4，ab＝3，a＋b＞ab成立，数对(3,1)为S的一个元素；b＝2，由a＋b＝5，ab＝6，a＋b＞ab不成立，数对(3,2)不是S的元素；b＝4，由a＋b＝7，ab＝12，a＋b＞ab不成立，数对(3,4)不是S的元素．故S的元素有八个，分别为：(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)．故答案为C.8．－3解析∵1∈A，∴1＝a或1＝a2＋2a－2，∴a＝1或a＝－3.∴当a＝1时，a2＋2a－2＝1，不符合集合中元素的互异性，故a＝1应舍去；当a＝－3时，a2＋2a－2＝1，满足题意，∴a＝－3.9．{－1,0,1}10．－1解析∵A＝{1,0，a}，若a2∈A，则a 2＝1或a 2＝0或a 2＝a ，解得a ＝1或a ＝－1或a ＝0.当a ＝1时，A ＝{1,0,1}，不成立．当a ＝－1时，A ＝{1,0，－1}，成立．当a ＝0时，A ＝{1,0,0}，不成立．故a ＝－1.11．解析 因为1∈A ，所以①若a ＋2＝1，解得a ＝－1，此时集合为{1,0,1}，元素重复，所以不成立，即a ≠－1. ②若(a ＋1)2＝1，解得a ＝0或a ＝－2，当a ＝0时，集合为{2,1,3}，满足条件，即a ＝0成立．当a ＝－2时，集合为{0,1,1}，元素重复，所以不成立，即a ≠－2.③若a 2＋3a ＋3＝1，解得a ＝－1或a ＝－2，由①②知都不成立．所以满足条件的实数a 的取值集合为{0}．12．解析 A ＝{x |2<x <4}．当a ＝0时，B ＝∅；当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }；当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }．(1)①当a ＝0时，B ＝∅，不合题意；②当a >0时，∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4，∴⎩⎨⎧ a ≤2，a ≥43， ∴43≤a ≤2； ③当a <0时，∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≤2，a ≥4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤23，a ≥4，无解．综上，a 的取值范围是{a |43≤a ≤2}． (2)①当a ＝0时，B ＝∅，满足题意；②当a >0时，需a ≥4或3a ≤2，∴a ≥4或0＜a ≤23； ③当a <0时，需a ≤2或3a ≥4，∴a <0.综上，a 的取值范围是{a |a ≤23或a ≥4}． 13．解析 由题意知A ＝{0，－4}，又B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{0，－4}， 当B ＝∅时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实根， ∴Δ<0，即4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，∴a <－1.当B ＝{0}时，由⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝0，a 2－1＝0得a ＝－1. 当B ＝{－4}时，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－8a ＋7＝0知无解． 当B ＝{0，－4}时，由韦达定理得a ＝1.综上所述，a 的取值范围为{a |a ＝1或a ≤－1}．。