含参集合分类讨论问题
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第二周含参集合分类讨论问题
重点知识梳理
1．所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．
2．用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是：
(1)明确讨论的对象；
(2)进行合理分类，所谓合理分类，应该符合三个原则：
①分类应按同一标准进行；
②分类应当没有遗漏；
③分类应是没有重复的；
(3)逐类讨论，分级进行；
(4)归纳并作出结论．
3．集合中引起分类讨论的原因：
(1)由元素的特性引起的讨论；
(2)由空集引起的讨论；
(3)由方程的有解性引起的讨论．
典型例题剖析
例1同时满足：(1)M⊆{1,2,3,4,5}；(2)若a∈M，则(6－a)∈M的非空集合M有多少个？并写出这些集合．
【解析】按集合M中元素个数分类讨论：
M中只有1个元素时，若3∈M，则6－a＝6－3＝3∈M，所以M＝{3}；
M中有2个元素时，满足条件的M有2个：M＝{1,5}，M＝{2,4}；
M中有3个元素时，满足条件的M有2个：M＝{1,3,5}，M＝{2,3,4}；
M中有4个元素时，满足条件的M只有1个：M＝{1,2,4,5}；
M中有5个元素时，满足条件的M也只有1个：M＝{1,2,3,4,5}，
所以适合条件的集合M共有7个．
变式训练已知集合M＝{a2，a＋1，－3}，N＝{a－3，2a－1，a2＋1}，若M∩N＝{－3}，则a的值为()
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】∵M∩N＝{－3}，∴－3∈N＝{a－3,2a－1，a2＋1}，
若a －3＝－3，则a ＝0，此时M ＝{0,1，－3}，N ＝{－3，－1，1}，则M ∩N ＝{－3,1}， 故不适合．
若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时M ＝{1,0，－3}，N ＝{－4，－3,2}，M ∩N ＝{－3}， 满足题意．
若a 2＋1＝－3，此方程无实数解．
故选A.
【小结】该题结合集合的运算考查了分类讨论思想，分类的标准结合集合的性质：无序性、互异性、确定性．
例2 已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋a ＝0}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．
【解析】A ＝{0，－4}．
①B ＝∅时，Δ＝a 2－4a <0，即0 ②B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{－4,0}． 当B ＝{0}时，a ＝0满足题意； 当B ＝{}－4或B ＝{－4,0}时，均不满足题意． 综上所述，a 的取值范围是{a |0≤a ＜4}． 变式训练 已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }． (1)若A 是空集，求a 的取值范围； (2)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围． 【解析】(1)当a ＝0时，方程ax 2－3x ＋2＝0化为－3x ＋2＝0，解集非空； 当a ≠0时，要使A 是空集，则Δ＝(－3)2－8a ＜0， 解得a ＞98 . ∴使A 是空集的a 的取值范围是{a |a >98 }． (2)当a ＝0时，集合A 中有一个元素； 当a ≠0时，若A 中有两个元素，则Δ＝(－3)2－8a ＞0，解得a ＜98 . 综上，使A 中至多只有一个元素的a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≥98 }． 例3 已知集合A ＝{x |1 (1)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 【解析】(1)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m >2m 2m ≤11－m ≥3 ， 得m ≤－2，即实数m 的取值范围为{m |m ≤－2}． (2)由A ∩B ＝∅得： ①若2m ≥1－m 即m ≥13 ，B ＝∅，符合题意； ②若2m <1－m 即m <13，需⎩⎪⎨⎪⎧ m <131－m ≤1 或⎩⎪⎨⎪⎧ m <132m ≥3 得0≤m <13或∅，即0≤m <13 . 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为{m |m ≥0}． 变式训练 设集合P ＝{}x |x 2－x －6＜0， Q ＝{}x |2a ≤x ≤a ＋3. (1)若P ∪Q ＝P ，求实数a 的取值范围； (2)若P ∩Q ＝∅，求实数a 的取值范围； 【解析】(1)由题意知P ＝{}x |－2＜x ＜3， ∵P ∪Q ＝P ，∴Q ⊆P . ①当Q ＝∅时，得2a ＞a ＋3，解得a ＞3； ②当Q ≠∅时，得－2＜2a ≤a ＋3＜3，解得－1＜a ＜0. 综上，实数a 的取值范围是{a |－13}． (2)①当Q ＝∅时，得2a ＞a ＋3，解得a ＞3； ②当Q ≠∅时，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≤a ＋3a ＋3≤－2或2a ≥3， 解得a ≤－5或32 ≤a ≤3. 综上，实数a 的取值范围是{a |a ≤－5或a ≥32 }． 跟踪训练 1．由实数a ，－a ，|a |所组成的集合里，所含元素个数最多有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2．在集合A ＝{1，a 2－a －1，a 2－2a ＋2}中，a 的值可以是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或2 3．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }只有一个元素，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．－1 4．设P 、Q 为两个非空实数集，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }．若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q 中元素的个数是( )