含参集合分类讨论问题

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第二周含参集合分类讨论问题

重点知识梳理

1.所谓分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答.这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决的数学思想,称之为分类讨论思想.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略.

2.用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是:

(1)明确讨论的对象;

(2)进行合理分类,所谓合理分类,应该符合三个原则:

①分类应按同一标准进行;

②分类应当没有遗漏;

③分类应是没有重复的;

(3)逐类讨论,分级进行;

(4)归纳并作出结论.

3.集合中引起分类讨论的原因:

(1)由元素的特性引起的讨论;

(2)由空集引起的讨论;

(3)由方程的有解性引起的讨论.

典型例题剖析

例1同时满足:(1)M⊆{1,2,3,4,5};(2)若a∈M,则(6-a)∈M的非空集合M有多少个?并写出这些集合.

【解析】按集合M中元素个数分类讨论:

M中只有1个元素时,若3∈M,则6-a=6-3=3∈M,所以M={3};

M中有2个元素时,满足条件的M有2个:M={1,5},M={2,4};

M中有3个元素时,满足条件的M有2个:M={1,3,5},M={2,3,4};

M中有4个元素时,满足条件的M只有1个:M={1,2,4,5};

M中有5个元素时,满足条件的M也只有1个:M={1,2,3,4,5},

所以适合条件的集合M共有7个.

变式训练已知集合M={a2,a+1,-3},N={a-3,2a-1,a2+1},若M∩N={-3},则a的值为()

A.-1 B.0 C.1 D.2

【答案】A

【解析】∵M∩N={-3},∴-3∈N={a-3,2a-1,a2+1},

若a -3=-3,则a =0,此时M ={0,1,-3},N ={-3,-1,1},则M ∩N ={-3,1}, 故不适合.

若2a -1=-3,则a =-1,此时M ={1,0,-3},N ={-4,-3,2},M ∩N ={-3}, 满足题意.

若a 2+1=-3,此方程无实数解.

故选A.

【小结】该题结合集合的运算考查了分类讨论思想,分类的标准结合集合的性质:无序性、互异性、确定性.

例2 已知集合A ={x |x 2+4x =0},B ={x |x 2+ax +a =0},若B ⊆A ,求实数a 的取值范围.

【解析】A ={0,-4}.

①B =∅时,Δ=a 2-4a <0,即0

②B ≠∅时,即B ={0}或B ={-4}或B ={-4,0}.

当B ={0}时,a =0满足题意;

当B ={}-4或B ={-4,0}时,均不满足题意.

综上所述,a 的取值范围是{a |0≤a <4}.

变式训练 已知集合A ={x |ax 2-3x +2=0,a ∈R }.

(1)若A 是空集,求a 的取值范围;

(2)若A 中至多只有一个元素,求a 的取值范围.

【解析】(1)当a =0时,方程ax 2-3x +2=0化为-3x +2=0,解集非空;

当a ≠0时,要使A 是空集,则Δ=(-3)2-8a <0,

解得a >98

. ∴使A 是空集的a 的取值范围是{a |a >98

}. (2)当a =0时,集合A 中有一个元素;

当a ≠0时,若A 中有两个元素,则Δ=(-3)2-8a >0,解得a <98

. 综上,使A 中至多只有一个元素的a 的取值范围是{a |a =0或a ≥98

}. 例3 已知集合A ={x |1

(1)若A ⊆B ,求实数m 的取值范围;

(2)若A ∩B =∅,求实数m 的取值范围.

【解析】(1)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧

1-m >2m 2m ≤11-m ≥3

得m ≤-2,即实数m 的取值范围为{m |m ≤-2}.

(2)由A ∩B =∅得:

①若2m ≥1-m 即m ≥13

,B =∅,符合题意; ②若2m <1-m 即m <13,需⎩⎪⎨⎪⎧ m <131-m ≤1

或⎩⎪⎨⎪⎧ m <132m ≥3 得0≤m <13或∅,即0≤m <13

. 综上知m ≥0,即实数m 的取值范围为{m |m ≥0}.

变式训练 设集合P ={}x |x 2-x -6<0,

Q ={}x |2a ≤x ≤a +3.

(1)若P ∪Q =P ,求实数a 的取值范围;

(2)若P ∩Q =∅,求实数a 的取值范围;

【解析】(1)由题意知P ={}x |-2<x <3,

∵P ∪Q =P ,∴Q ⊆P .

①当Q =∅时,得2a >a +3,解得a >3;

②当Q ≠∅时,得-2<2a ≤a +3<3,解得-1<a <0.

综上,实数a 的取值范围是{a |-13}.

(2)①当Q =∅时,得2a >a +3,解得a >3;

②当Q ≠∅时,得⎩⎪⎨⎪⎧

2a ≤a +3a +3≤-2或2a ≥3, 解得a ≤-5或32

≤a ≤3. 综上,实数a 的取值范围是{a |a ≤-5或a ≥32

}. 跟踪训练

1.由实数a ,-a ,|a |所组成的集合里,所含元素个数最多有( )

A .0个

B .1个

C .2个

D .3个

2.在集合A ={1,a 2-a -1,a 2-2a +2}中,a 的值可以是( )

A .0

B .1

C .2

D .1或2

3.已知集合A ={x |ax 2+2x +1=0,a ∈R }只有一个元素,则a 的值为( )

A .0

B .1

C .0或1

D .-1

4.设P 、Q 为两个非空实数集,定义集合P +Q ={a +b |a ∈P ,b ∈Q }.若P ={0,2,5},Q ={1,2,6},则P +Q 中元素的个数是( )

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