集合复习讲义
高中必修1第一章集合复习(讲义+例题+练习)
集合章节复习1．集合元素的三个特性：确定性，互异性，无序性．2．元素与集合有且只有两种关系：∈，∉.（属于、不属于）3．集合表示方法有列举法，描述法，韦恩图法，常用数集字母代号．4．集合间的关系与集合的运算符号定义Venn图子集A⊆B x∈A⇒x∈B真子集A B A⊆B且存在x0∈B但x0∉A并集A∪B {x|x∈A或x∈B}交集A∩B {x|x∈A且x∈B}补集∁U A(A⊆U) {x|x∈U且x∉A}5.常用结论(1)∅⊆A.(2)A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝A⇔A⊇B.(3)A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝A⇔A⊆B.(4)A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.1．若A ＝{}x ，|x |，则x <0.( √ ) 2．任何集合至少有两个子集．( × )3．若{}x |ax 2＋x ＋1＝0有且只有一个元素，则必有Δ＝12－4a ＝0.( × ) 4．设A ，B 为全集的子集，则A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B .( √ )类型一 集合的概念及表示法例1 下列表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(2,1)，(3,2)}，N ＝{(1,2)} B ．M ＝{2,1}，N ＝{1,2}C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈N }D ．M ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R } 答案 B解析 A 选项中M ，N 两集合的元素个数不同，故不可能相同；B 选项中M ，N 均为含有1,2两个元素的集合，由集合中元素的无序性可得M ＝N ；C 选项中M ，N 均为数集，显然有NM ；D 选项中M 为点集，即抛物线y ＝x 2－1上所有点的集合，而N 为数集，即抛物线y ＝x 2－1的值域，故选B.反思与感悟 要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等．跟踪训练1 设集合A ＝{(x ，y )|x －y ＝0}，B ＝{(x ，y )|2x －3y ＋4＝0}，则A ∩B ＝________. 答案 {(4,4)}解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，2x －3y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.∴A ∩B ＝{(4,4)}．类型二 集合间的基本关系例2 若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可能取值组成的集合．解 由题意得，P ＝{－3,2}． 当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a ，为满足S ⊆P ，可使－1a ＝－3或－1a ＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.反思与感悟 (1)在分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．(2)对于两集合A ，B ，当A ⊆B 时，不要忽略A ＝∅的情况． 跟踪训练2 下列说法中不正确的是________．(填序号) ①若集合A ＝∅，则∅⊆A ；②若集合A ＝{x |x 2－1＝0}，B ＝{－1,1}，则A ＝B ； ③已知集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则a >2. 答案 ③解析 ∅是任何集合的子集，故①正确； ∵x 2－1＝0，∴x ＝±1，∴A ＝{－1,1}， ∴A ＝B ，故②正确；若A ⊆B ，则a ≥2，故③错误．类型三集合的交、并、补运算命题角度1用符号语言表示的集合运算例3设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.解把全集R和集合A，B在数轴上表示如下：由图知，A∪B＝{x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，∵∁R A＝{x|x<3或x≥7}．∴(∁R A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．反思与感悟求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否．跟踪训练3已知集合U＝{x|0≤x≤6，x∈Z}，A＝{1,3，6}，B＝{1,4,5}，则A∩(∁U B)等于() A．{1} B．{3,6}C．{4,5} D．{1,3,4,5,6}答案 B解析∵U＝{0,1,2,3,4,5,6}，B＝{1,4,5}，∴∁U B＝{0,2,3,6}，又∵A＝{1,3,6}，∴A∩(∁U B)＝{3,6}，故选B.命题角度2用图形语言表示的集合运算例4设全集U＝R，A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x<1}．则图中阴影部分表示的集合为____________．答案{x|1≤x<2}解析图中阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)，因为∁U B＝{x|x≥1}，画出数轴，如图所示，所以A∩(∁U B)＝{x|1≤x＜2}．反思与感悟解决这一类问题一般用数形结合思想，借助于Venn图和数轴，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来．跟踪训练4学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛，后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛，已知两项都参赛的有6名同学，两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？解设A＝{x|x为参加排球赛的同学}，B＝{x|x为参加田径赛的同学}，则A∩B＝{x|x为参加两项比赛的同学}．画出V enn图(如图)，则没有参加过比赛的同学有：45－(12＋20－6)＝19(名)．答这个班共有19名同学没有参加过比赛．类型四关于集合的新定义题例5设A为非空实数集，若对任意的x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A 为封闭集．①集合A＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集；②集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集；③若集合A1，A2为封闭集，则A1∪A2为封闭集；④若A为封闭集，则一定有0∈A.其中正确结论的序号是________．答案②④解析①集合A＝{－2，－1,0,1,2}中，－2－2＝－4不在集合A中，所以不是封闭集；②设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，故x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A，故②正确；③反例是：集合A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}为封闭集，但A1∪A2不是封闭集，故③不正确；④若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A.故填②④. 反思与感悟新定义题是近几年高考中集合题的热点题型，解答这类问题的关键在于阅读理解，也就是要在准确把握新信息的基础上，利用已有的知识来解决问题．跟踪训练5 设数集M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }(b >a )的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( ) A.13 B.23 C.112 D.512 答案 C解析 方法一 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋34≤1，⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，解得0≤m ≤14，13≤n ≤1.取字母m 的最小值0，字母n 的最大值1，可得M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0≤x ≤34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23≤x ≤1， 所以M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 0≤x ≤34∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 23≤x ≤1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 23≤x ≤34， 此时得集合M ∩N 的“长度”为34－23＝112.方法二 集合M 的“长度”为34，集合N 的“长度”为13.由于M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集， 而{x |0≤x ≤1}的“长度”为1，由此可得集合M ∩N 的“长度”的最小值是⎝⎛⎭⎫34＋13－1＝112.1．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个答案 B2．下列关系中正确的个数为( ) ①22∈R ；②0∈N ＋；③{－5}⊆Z . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 ①③正确．3．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∪B 等于( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |－1<x <0} C ．{x |0<x <2} D ．{x |2<x <3}答案 A解析 由A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜3}， 得A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}．故选A.4．设全集I ＝{a ，b ，c ，d ，e }，集合M ＝{a ，b ，c }，N ＝{b ，d ，e }，那么(∁I M )∩(∁I N )等于( ) A ．∅ B ．{d } C ．{b ，e } D ．{a ，c } 答案 A5．已知集合U ＝R ，集合A ＝{}x |x <－2或x >4，B ＝{}x |－3≤x ≤3，则(∁U A )∩B ＝________. 考点 交并补集的综合问题 题点 无限集合的交并补运算 答案{}x |－2≤x ≤3.解析 由图知(∁U A )∩B ＝{}x |－2≤x ≤3.1．要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系． 2．在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一．课时对点练一、选择题1．若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)·(x－1)＝0}，则M∩N等于() A．{1,4} B．{－1，－4}C．{0} D．∅答案 D解析因为M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4，－1}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}＝{1,4}，所以M∩N ＝∅，故选D.2．已知集合A＝{x|x＋3>0}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是()A．A＝B B．A∩B＝∅C．A⊆B D．B⊆A考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案 D解析A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，结合数轴可得：B⊆A.3．已知集合A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，(∁U A)∩B＝{5}，则集合B等于()A．{1,3} B．{3,5}C．{1,5} D．{1,3,5}答案 D解析画出满足题意的Venn图，由图可知B＝{1,3,5}．4．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，若M∩N＝N，则a的值是()A．－1 B．0 C．1 D．1或－1答案 A解析由M∩N＝N得N⊆M.当a＝0时，与集合中元素的互异性矛盾；当a＝1时，也与集合中元素的互异性矛盾；当a＝－1时，N＝{－1,1}，符合题意．5．设全集U＝R，已知集合A＝{x|x＜3或x≥7}，B＝{x|x＜a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a的取值范围为()A．a＞3 B．a≥3C．a≥7 D．a＞7答案 A解析因为A＝{x|x＜3或x≥7}，所以∁U A＝{x|3≤x＜7}，又(∁U A)∩B≠∅，则a＞3.6．定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的为()答案 A解析如图所示，A－B表示图中阴影部分，故C－(A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分，故选A.二、填空题7．设全集U＝R，若集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|2≤x≤3}，则A∩(∁U B)＝________.答案{1,4}解析∵∁U B＝{x|x<2或x>3}，∴A∩(∁U B)＝{1,4}．8．设集合A＝{1，－1，a}，B＝{1，a}，A∩B＝B，则a＝______.答案0解析∵A ∩B ＝B ，即B ⊆A ，∴a ∈A . 要使a 有意义，a ≥0. ∴a ＝a ，∴a ＝0或a ＝1， 由元素互异，舍去a ＝1.∴a ＝0.9．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x －y ＝4}，那么集合M ∩N ＝________. 答案 {(3，－1)}解析 M ，N 中的元素是平面上的点，M ∩N 是集合，并且其中的元素也是点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝4， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.∴M ∩N ＝{(3，－1)}．10．已知集合A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}，若A ∩B ＝∅，则a 的取值范围是________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪－12≤a ≤2或a >3 解析 ①若A ＝∅，则A ∩B ＝∅， 此时2a >a ＋3，即a >3.②若A ≠∅，如图，由A ∩B ＝∅，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，a ＋3≤5，2a ≤a ＋3，解得－12≤a ≤2.综上所述，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪－12≤a ≤2或a >3. 三、解答题11．如图，用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M .解结合图形可得M＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x，y)⎪⎪xy≥0，－2≤x≤52，－1≤y≤32.12．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若A∪B＝A，求实数m的取值范围；(2)当A＝{x∈Z|－2≤x≤5|}时，求A的非空真子集的个数；(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．考点集合各类问题的综合题点集合各类问题的综合解(1)因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2，符合；当B≠∅时，根据题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧2m－1≥m＋1，m＋1≥－2，2m－1≤5，解得2≤m≤3.综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}．(2)当x∈Z时，A＝{x∈Z|－2≤x≤5}＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.(3)当B＝∅时，由(1)知m<2；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧2m－1≥m＋1，2m－1<－2或⎩⎪⎨⎪⎧2m－1≥m＋1，m＋1>5，解得m>4.综上可得，实数m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．13．设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根， 则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是a ≤－1或a ＝1.四、探究与拓展14．已知全集U ＝{2,4，a 2－a ＋1}，A ＝{a ＋4,4}，∁U A ＝{7}，则a ＝________.答案 －2解析 由题意，得a 2－a ＋1＝7，即a 2－a －6＝0，解得a ＝－2或a ＝3.当a ＝3时，A ＝{7,4}，不合题意，舍去，故a ＝－2.15．对于集合A ，B ，我们把集合{}(a ，b )|a ∈A ，b ∈B 记作A ×B .例如，A ＝{}1，2，B ＝{}3，4，则有：A ×B ＝{}(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，B ×A ＝{}(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，A ×A ＝{}(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，B ×B ＝{}(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4). 据此，试回答下列问题：(1)已知C ＝{}a ，D ＝{}1，2，3，求C ×D ；(2)已知A ×B ＝{}(1，2)，(2，2)，求集合A ，B ；(3)若集合A 中有3个元素，集合B 中有4个元素，试确定A ×B 中有多少个元素． 考点 集合各类问题的综合题点 集合各类问题的综合解析 (1)C ×D ＝{}(a ，1)，(a ，2)，(a ，3).(1，2)，(2，2)，(2)因为A×B＝{}所以A＝{}1，2，B＝{}2.(3)由题意可知A×B中元素的个数与集合A和B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与B中的任何一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中应有m×n个元素．于是，若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，则A×B中有12个元素．。
集合复习讲义
集合复习讲义一、集合的概念集合是数学中最基本的概念之一。
简单来说，一个集合就是由一些特定对象组成的整体。
集合中的对象可以是任何东西，如数字、字母、图形等。
在数学中，我们一般用大写字母表示集合，用小写字母表示集合中的元素。
例如，集合A可以包含元素a, b, c等。
二、集合的表示方法1. 列举法：直接将集合中的元素列举出来，并用大括号{}包围。
例如，集合A = {1, 2, 3}。
2. 描述法：通过给出集合中元素的特定性质或满足一定条件的元素来描述集合。
例如，集合B = {x | x是偶数, x > 0}表示B是由所有大于0的偶数组成的集合。
三、集合间的关系1. 相等关系：两个集合中的元素完全相同，则称这两个集合相等。
记作A = B。
例如，集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 1}，则A = B。
2. 包含关系：当一个集合的所有元素都是另一个集合的元素时，我们称前一个集合包含于后一个集合。
记作A ⊆ B。
例如，集合A= {1, 2}，集合B = {1, 2, 3}，则A ⊆ B。
3. 真包含关系：当一个集合A包含于另一个集合B，且A ≠ B 时，我们称A是B的真包含集合。
记作A ⊂ B。
例如，集合A = {1, 2}，集合B = {1, 2, 3}，则A ⊂ B。
4. 交集：两个集合A和B的交集，是含有所有既属于A又属于B的元素构成的集合。
记作A ∩ B。
例如，集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A ∩ B = {2, 3}。
5. 并集：两个集合A和B的并集，是含有所有属于A或属于B的元素构成的集合。
记作A ∪ B。
例如，集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A ∪ B = {1, 2, 3, 4}。
6. 差集：两个集合A和B的差集，是属于A但不属于B的元素构成的集合。
记作A - B。
例如，集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A - B = {1}。
集合讲义大全
9、满足条件M = 的集合M的个数是（）
A 1 B 2 C 3 D 4
10、集合 ， ， ，且 ，则有（）
A B
C D 不属于P、Q、R中的任意一个
二、填空题
11、若 ， ，用列举法表示B
12、集合A={x| x2+x-6=0}, B={x| ax+1=0},若B A，则a=__________
交集的性质：
A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
补集的性质：
A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A.
1．正确理解集合的概念
正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．
6、以下六个关系式： ， ， , , ， 是空集中，错误的个数是（）
A 4 B 3 C 2 D 1
7、点的集合M＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指( )
A.第一象限内的点集B.第三象限内的点集
C.第一、第三象限内的点集D.不在第二、第四象限内的点集
8、设集合A= ，B= ，若A B，则 的取值范围是（）
Z
Q
R
(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集 ．
2．集合间的关系
(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则AB(或BA)．
(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．
2．注意空集的特殊性
空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．
第一章 集合 课程讲义
1.1 集合的含义及其表示一、知识梳理1．集合的定义2．元素与集合的关系3．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性4．常用数集及其记法：5．集合的表示方法：二、例题讲解例1：集合M中的元素为1，x，x2-x，求x的范围？例2：三个元素的集合1，a，ba，也可表示为0，a2，a+b，求a2005+ b2006的值．例3：集合A中的元素由(a∈Z,b∈Z)组成，判断下列元素与集合A的关系？（1）0 （2（3例4．用描述法表示下列集合：（1）所有被3整除的整数的集合；（2）使yx=有意义的x的集合；（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；（4）抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合；例5．已知A={a|6,3N a Za∈∈-}，试用列举法表示集合A．例6．已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a2,b2}，且Q=P，求1+a2+b2的值．三、巩固练习1、用∈或∉填空________N________R0_______N* π________R 227_______Q cos300_______Z2、由实数-x，|x|x，组成的集合最多含有元素的个数是_________________个.3、用列举法表示下列集合：(1) {x|x为不大于10的正偶数}(2){(x,y)|0≤x ≤2，0≤y<2，x ，y ∈Z}4、用描述法表示下列集合：(1)不等式2x-3>5的解集；(2)直角坐标平面内属于第四象限的点的集合；5、集合A={x|y=x 2+1}，B={t|p=t 2+1}，，这三个集合的关系？ 6、已知A={x|12,6N x N x∈∈-}，试用列举法表示集合A ．1.2 子集、全集、补集一、知识梳理1．子集的概念及记法：2．子集的性质：① A ⊆ A② A ∅⊆3．真子集的概念及记法：4．真子集的性质：①∅是任何非空集合的真子集5．全集的概念：6． 补集的概念：二、例题讲解例1：以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来．（1）a 与{a} 0 与 ∅（2）∅与{20，35，∅} （3）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，B={-2，2}；（4）S=R ，A={x|x ≤0，x ∈R}，B={x|x>0 ，x ∈R }；例2：设集合A={x|x 2+4x=0，x ∈R}，B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0，x ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．例3：①方程组210360x x +>⎧⎨-≤⎩的解集为A ，U=R ，试求A 及u C A ． ②设全集U=R ，A={x|x>1}，B={x|x+a<0}，B 是R C A 的真子集，求实数a 的取值范围．三、巩固练习1．指出下列各组中集合A 与B 之间的关系．(1) A={-1，1}，B=Z ；(2)A={1，3，5，15}，B={x|x 是15的正约数}；(3) A = N*，B=N(4) A ={x|x=1+a 2,a ∈N*}，B={x|x=a 2-4a+5,a ∈N*}2．（1）已知{1，2 }⊆M ⊆{1，2，3，4，5}，则这样的集合M 有多少个？（2）已知M={1，2，3，4，5，6， 7,8，9}，集合P 满足：P ⊆M ，且若P α∈，则10-α∈P ，则这样的集合P 有多少个？3.若U=Z ，A={x|x=2k ，k ∈Z}，B={x|x=2k+1， k ∈Z}，则U C A ___________ U C B ___________：4．设全集是数集U={2，3，a 2+2a-3}，已知A={b ，2}，U C A ={5}，求实数a ，b 的值．5．已知集合A={x|x 2-1=0 }，B={x|x 2-2ax+b=0},B ⊆ A ，求a ，b 的取值范围．1.3 交集、并集一、知识梳理1．交集的定义：注意： 当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A ∩B=∅.2．交集的常用性质：（1）(A ∩B)∩C =A ∩(B ∩C)；（2） A ∩B ⊆A ， A ∩B ⊆B3．区间的表示法：4．并集的定义：注意：并集（A ∪B ）实质上是A 与B 的所有元素所组成的集合，但是公共元素在同一个集合中要注意元素的互异性.5．并集的常用性质：（1）(A ∪B)∪C =A ∪(B ∪C)；（2） A ⊆A ∪B ， B ⊆A ∪B二、例题讲解例1． （1）设A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}，求A ∩B ；（2）设A={x|x>0}，B={x|x≤1}，求A∩B；（3）设A={x|x=3k，k∈Z}，B={y|y=3k+1 k∈Z }，C={z|z=3k+2，k∈Z}，D={x|x=6k+1，k∈Z}，求A∩B；A∩C；C∩B；D∩B；例2：已知数集 A={a2，a+1，-3}，数集B={a-3,a-2，a2+1}，若A∩B={-3}，求a的值．例3：（1）设集合A={y|y=x2-2x+3，x∈R}，B={y|y=-x2+2x+10，x∈R}，求A∩B；（2）设集合A={(x,y)|y=x+1，x∈R}，B={(x,y)|y=-x2+2x+34，x∈R}，求A∪B；例4：已知集合A={x|x2-1=0 }，B={x|x2-2ax+b=0}，A∪B=A，求a，b的值或a,b所满足的例5：若A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|x2-5x+6=0}，C={x|x2+2x-8=0}，（1）若A∪B=A∩B，求a的值；（2）∅ A∩B，A∩C=∅，求a的值．例6：已知集合A={2，5}，B={x|x2+px+q=0，x∈R}（1）若B={5}，求p，q的值．（2）若A∩B= B ，求实数p，q满足的条件．例10、已知集合A={x|－2<x<－1，或x>0}，B={x|a≤x≤b}，满足A∩B={x|0<x≤2}，A∪B={x|x>－2}，求a、b的值。
集合讲义
1．集合中元素具有三个特性，，。
确定性、互异性、无序性2．集合的表示方法有，，。
列举法、描述法、区间法3．集合按元素个数进行分类可分为和。
有限集和无限集4．集合与元素的关系：如果a是集合A的元素，则可表示为；如果a不是集合A的元素，则可表示为。
5．集合与集合的关系用符号表示．6．子集：若集合A中都是集合B的元素，就说集合A包含于集合B（或集合B 包含集合A），记作．7．相等：若集合A中都是集合B的元素，同时集合B中都是集合A的元素，就说集合A等于集合B，记作．8．真子集：如果就说集合A是集合B的真子集，记作．9．若集合A含有n个元素，则A的子集有个，真子集有个，非空真子集有个．10．空集∅是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，∅是任何集合的，∅是任何非空集合的，解题时不可忽视∅．11．特殊集合的表示：实数集，整数集，有理数集，自然数集，正整数集，复数集。
（一）集合交集、并集、补集的概念：1．交集：由 的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的交集，记作A∩B，即A∩B ＝ ． 解读：2．并集：由 的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的并集，记作A∪B，即A∪B ＝ ． 解读：3．补集：集合A 是集合S 的子集，由 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集，记作S C A ，即S C A ＝ ． 解读：（二）集合的常用运算性质：1．A ∩A ＝ ，A ∩∅＝ ，A ∩B= ，B ∩A= ，A ∪A ＝ ，A ∪∅＝ ，A ∪B ＝B ∪A 。
解读：2．U A C A ⋂＝ ，U A C A ⋃＝=)(A C C U U ．()U C A B ⋃= ，()U C A B ⋂= ，A∪B＝A ⇔ ，A ∩B ＝A ⇔ 。
二、典型例题分析1.给出下列关系：①1;2R ∈Q ；③*3N ∈；④0Z ∈；⑤32i C +∈其中正确的个数是（ ）A ． 1 B.2C ．3 D.4 答案：C2. （2010北京理）集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M I =（ ）A ． {1,2} B.{0,1,2}C ．{x|0≤x<3} D.{x|0≤x ≤3} 答案：B3. （2010山东文）（1）已知全集U R =，集合{}240M x x =-≤，则U C M =（ ）A. {}22x x -<< B. {}22x x -≤≤ C ．{}22x x x <->或D. {}22x x x ≤-≥或 答案：C 例1．给出下列六个关系：（1）*0N ∈（2）{}01,1∉-（3）{}0φ∈（4）{}0φ∉（5）{}{}00,1∈（6）{}{}00,1⊆其中正确的是 答案：（2）（6） 例2．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N Z k k x x M ,214,,412则（ ） A ． M=NB.M NC. M N D .=N M Ø 答案：B例3。
集合讲义 【辅导专用】
一、集合讲义【辅导专用】一、知识点精讲1.集合中元素的三个特征：①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
2. 元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“∉”表示）．4.集合的表示方法：列举法，描述法，图示法关系 自然语言 符号语言 Venn 图子集 集合A 中所有元素都在集合B 中(即若x ∈A,则x ∈B)A ⊆B(或B ⊇A)真子集 集合A 是集合B 的子集,且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中A ⫋B(或B ⫌A)集合相等 集合A,B 中的元素相同或集合A,B 互为子集 A=B(2)结论①空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集,符号表示为⌀⊆A,⌀⫋B(B ≠⌀). ②对于任意集合A,A ⊆A.③若A ⊆B,B ⊆C,则A ⊆C.④若有限集A 中有n 个元素,则A 的子集的个数为2n ,非空子集的个数为2n -1,真子集的个数为2n -1,非空真子集的个数为2n -2.5.集合的基本运算表示运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法交集 由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合{x|x ∈A, 且x ∈B} A ∩B并集 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合{x|x ∈A, 或x ∈B} A ∪B补集 由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合 {x|x ∈U,且 x ∉A} U A集合运算的性质：(1)并集的性质:A ∪⌀=A;A ∪A=A;A ∪B=B ∪A;A ∪B=A ⇔B ⊆A.(2)交集的性质:A ∩⌀=⌀;A ∩A=A;A ∩B=B ∩A;A ∩B=A ⇔A ⊆B. (3)补集的性质:A ∪(U A )=U ;A ∩(U A )=∪;U (U A )=A ;U (A ∪B )=(U A )∩(U B );U (A ∩B )=(U A )∪(U B ).二、典例分析例1.考查下列每组对象，能构成一个集合的是( )①某校高一年级成绩优秀的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④ B．②③④ C．②③D．②④例2.已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．变式：已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．例3.已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}.(1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在子集关系;(2)若A⊇B,求实数a的取值范围.变式：若集合A={x|x<-5或x>2},B={x|2a-3<x<a-2},且A⊇B,求实数a的取值范围.例4.已知M＝{1,2，a2−3a−1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．例5.（1）设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( ) A．{2} B．{1，2，4} C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}(2)设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝________，(∁RA)∩B＝________.三、练习巩固1．给出下列说法：①中国的所有直辖市可以构成一个集合；②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合；③正偶数的全体可以构成一个集合；④大于2 013且小于2 018的所有整数不能构成集合．其中正确的有________．(填序号)2. 集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．3.已知集合A ＝{}02=+-b ax x x ，若A ＝{2,3}，求a ，b 的值．4.若{1,2,3}⫋A ⊆{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A 的个数为( )A.2B.3C.4D.55.若集合A={x|x 2+x −6=0},B={x|x 2+x +a =0},且B ⊆A,求实数a 的取值范围.6.若集合A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，2x }，A ∪B ＝A ，则满足条件的实数x 有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7.设全集U 为实数集R ，M ＝{x |x >2或x <－2}，N ＝{x |x ≥3或x <1}都是全集U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |－2≤x <1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x <2}8.已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≤1}B ．{a |a <1}C ．{a |a ≥2}D ．{a |a >2}9.设集合A ＝{x|－1＜x ＜a}，B ＝{x|1＜x ＜3}且A ∪B ＝{x|－1＜x ＜3}，求a 的取值范围．10.已知集合A={x|0≤x ≤4},集合B={x|m+1≤x ≤1-m},且A ∪B=A,求实数m 的取值范围.。
高中必修一集合复习讲义
第一讲 集合题型1． 正确理解和运用集合概念理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.例1.已知集合M={y|y=x 2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）A ．（0，1），（1，2）B ．{（0，1），（1，2）}C ．{y|y=1,或y=2}D ．{y|y≥1} 例2.若P={y|y=x 2,x∈R}，Q={y|y=x 2＋1,x∈R}，则P∩Q 等于（ ）A ．PB ．QC ．D ．不知道例3. 若P={y|y=x 2,x∈R}，Q={(x ，y)|y=x 2,x∈R}，则必有（ ）A ．P∩Q=∅B ．PQ C ．P=Q D ．P Q 例4若}032|{}1|{22=--===x x x B x x A ，，则B A ⋂= （ ） A ．{3} B ．{1} C ．∅D ．{－1} 题型2．集合元素的互异性集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．例6. 已知集合A a ={}13，，，集合B a a =-+{}112，，如果B A ⊆，求a 的值例7.已知集合A={x|x 2－3x ＋2=0},B={x|x 2－a x ＋a －1=0}，且A∪B=A，则a 的值为______．题型3．要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．例8.设集合A={a |a =3n ＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k －1,k∈Z}，则集合A 、B 的关系是________．例9若A 、B 、C 为三个集合，C B B A ⋂=⋃，则一定有（ ）A . C A ⊆B .AC ⊆ C .C A ≠D . A =∅例10．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）A . 1B .3C .4D . 8例11． 记关于x 的不等式01x a x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ． （I ）若3a =，求P ；（II ）若Q P ⊆，求正数a 的取值范围．题型4. 要注意空集的特殊性和特殊作用空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误．例12. 已知A={x|x 2－3x ＋2=0},B={x|a x －2=0}且A∪B=A，则实数a 组成的集合C 是____．例13．已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是 ．例14.已知集合{}0103|2≤--=x x x A ，集合B={x|p ＋1≤x ≤2p －1}．若B A ，则实数p 的取值范围是________．题型5．要注意利用数形结合解集合问题集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．例15.集合A={x|x2＋5x－6≤0},B={x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B．例16.已知集合{}{}22=-->=++≤,且230,0A x x xB x x ax b{},34⋃=⋂=<≤，A B R A B x x求a,b的值.练习：1．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则∁U(A∪B)等于()A．{2}B．{5}C．{1,2,3,4} D．{1,3,4,5}2．集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x∈R|x2－x－2＞0}，则A∩(∁R B)＝()A ．(－1,2)B ．[－1,2]C ．(0,2)D ．(0,2]3．已知a ∈R ，集合M ＝{1，a 2}，N ＝{a ，－1}．若M ∪N 有三个元素，则M ∩N ＝( )A ．{0,1}B ．{0，－1}C ．{0}D ．{1}二、填空题7．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝__________.9．若集合{x |ax 2＋2x ＋1＝0}与集合{x 2－1＝0}的元素个数相同，则实数a 的取值集合为__________．三、解答题10．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，集合B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(1，＋∞)，集合C ＝{x |2x 2＋mx －8＜0}．(1)求A ∩B ，A ∪(∁R B )；2)若(A ∩B )⊆C ，求m 的取值范围．。
集合-讲义版
集合【知识点】 一、集合与元素1．概念：一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）．集合通常用大写的拉丁字母表示，如 Q P C B A 、、、、元素通常用小写的拉丁字母表示，如 q p c b a 、、、、 例如：{}c b a A ,,=2．元素对于集合的隶属关系：（1）属于：∈；（2）不属于：∉． 3．特定集合的表示 常用数集及其记法：①非负整数集（即自然数集）记作：N ；②正整数集*N 或+N ；③整数集Z ；④有理数集Q ；⑤实数集R ． 4．集合的分类：（1）有限集；（2）无限集．5．集合中元素的特征：（1）互异性；（2）无序性；（3）确定性． 6．集合的表示方法： （1）自然语言法； （2）列举法；注：元素不重复，不计次序，且元素之间用“，”隔开 （3）描述法；①写清集合中代表的元素符号，如实数或实数对； ②说明该集合中元素的性质，如方程、不等式等． 例如：{}(){}1,,21=+>+y x y x x x （4）Venn 图法；用平面上封闭曲线的内部表示集合．二、集合间的基本关系1．子集：对于两个集合A 和B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则说集合A 与集合B 有包含关系，称集合A 是集合B 的子集，记作B A ⊆（或A B ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）． （1）“A 是B 的子集”的含义是：集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素 课程类型：☐ 1对1课程 Mini 课程 ☐ MVP 课程BA2．真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B或BA ，读作A 真包含于B （或B 真包含A ）．3．集合相等：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时，集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，即：A 是B 的子集且B 是A 的子集，则集合A 与集合B 相等，记作：A =B ． 4．空集：把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅． （1）空集是任何集合的子集 （2）空集是任何非空集合的真子集 5．有限集合的子集个数：①一个元素的集合：子集共有2个、真子集有1个； ②两个元素的集合：子集共有4个、真子集有3个； ③三个元素的集合：子集共有8个、真子集有7个；以此类推，n 个元素的集合有n2个子集；有12-n 个非空子集；有12-n 个真子集；有22-n个非空真子集．三、集合之间的运算 1．并集（1）观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A 、集合B 有什么关系？（2）观察集合{}{4,3,2,3,2,1==B A 与集合4,3,2,1=C 之间的关系 在上述两个例子中，集合A ，B 与集合C 之间都具有这样的一种关系：集合C 是由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的．一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ），记作：B A ，读作：“A 并B ”，即：{}AB x x A x B =∈∈或，它的Venn 图表示如上图．说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）．2．交集（1）观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A ，集合B 有什么关系？（2）观察集合{}{}4,3,2,3,2,1==B A 与集合{}3,2=C 之间的关系． 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）．记作：B A ，读作：“A 交B ”即：{}B x A x x B A ∈∈=且 ，交集的Venn 图表示如上图．说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合． 3．补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ），简称为集合A 的补集， 记作：UA ，即：{}UA x x U x A =∈∉且，补集的Venn 图表示如下A UC U A说明：补集的概念必须要有全集的限制，例如UA 与I A 不一定相等，因为全集可能不一样．4．集合基本运算的结论：（可通过V enn 图来理解） （1）若A B A = ，则B A ⊆，反之也成立 （2）若B B A = ，则B A ⊆，反之也成立【课堂演练】题型一 集合与元素的关系 ➢ 集合的概念例1 下面各组对象可以构成集合的是 ． （1）快乐学习期暑期班个子较高的学员； （2）和2007非常接近的数； （3）1，2，4，5，2，3； （4）暑期集训营所有带队老师．练1 下面四个命题正确的是（ ） A ．10以内的质数集合是{}7,5,3,0B ．“个子较高的人”不能构成集合C ．方程0122=+-x x 的解集是{}1,1 D ．偶数集为{}N x k x x ∈=,2|练2 下列各组对象能确定一个集合吗？ （1）所有很大的实数； （2）好心的人； （3）1，2，2，3，4，5．➢ 元素与集合的关系 例2 用符号“∈”或“∉”填空： （1）14.3_____Q ； （2）π_____Q ； （3）0_____+N ； （4）0)2(-_____N +； （5）32_____Q ；（6）32_____R ．练3 用符号“∈”或“∉”填空： （1）2_____N ； （2）0_____N ； （3）0_____Z ； （4）3_____Q ；（5）2_____Q ； （6）1.5_____Z ．练4 下列关系中正确的是（ ） A ．(){}100，∈ B ．(){}101，∈C ．{}100，∈D ．{}101，∉练5 已知321-=a ，},,3{Z n m n m x x A ∈+==，则a A （填“∈”或“∉”）．➢ 集合中元素的特征例3 集合{}x x A 5,12+=，集合{}6,1=B ，且集合A 与集合B 相等，则x = ．练6 若以集合{}c b a S ,,=中三个元素为边可以构成一个三角形，那么该三角形一定不是（ ） A ．锐角三角形 B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形练7 已知{}x x ,0,12∈，则实数x 的值为 ．练8 下列各组中的两个集合P 和Q ，表示同一集合的是（ ） A ．{}{}3,1,,,3,1-==ππQ P B ．{}{}14159.3,==Q P πC ．{}(){}3,2,3,2==Q PD ．{}{}1,,11=∈≤<-=Q N x x x P练9 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∈=*56N a Za M ，则M 是（ ） A ．{}4,3,2,1-B ．{}8,7,3,2C ．{}3,2D ．{}11,8,7,6,3,2,1-➢ 集合的表示方法例4 用列举法表示下列集合： （1）{}的约数是15x N x ∈（2）(){}{}{}2,1,2,1,∈∈y x y x（3）()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=-=+422,y x y x y x（4）{}N n x x n∈-=,)1(练10 用列举法表示下列集合：（1）方程2690x x ++=的解集（2）{}以内的质数20（3）(){}N y N x y x y x ∈∈=+,,6, （4）{}的整数小于大于30例5 用描述法表示下列集合： （1）大于4的全体奇数构成的集合 （2）坐标平面内，两坐标轴上点的集合．练11 用描述法表示下列集合（1）{}13,10,7,4,1；（2）{}10,8,6,4,2-----例6 若集合,,A B C 可能为{}{}{}平行四边形，正方形，矩形，且如右图所示的包含关系成立，则,,A B C 应分别为 ．【正方形，矩形，平行四边形】练12 已知全集U R =，则正确表示集合{}1,0,1M =-和{}2=0N x x x +=的关系的韦恩图是（ ）MNUUNMU NMNMUA ．B ．C ．D ．➢ 空集的概念例7 下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．{}33=+x xB ．(){}R y x x y y x ∈-=,,,22 C ．{}02≤x xD ．{}R x x x x ∈=+-,012练13 ∅与0的关系是 ．（用∉∈，填写）➢ 元素与集合中的含参问题例8 已知集合{}0232=+-∈=x ax R x A ， （1）若A 是单元素集，求a 的值及集合A ；（2）求集合}{至少含有一个元素使得A a R a P ∈=．练14 已知集合{}R x x ax x A ∈=--=,0122，若集合A 中至多有一个元素，实数a 的取值范围 ．C B A例9 若{}4,12,332---∈-a a a ，实数a = ．练15 已知{}1,152,122+++-=a a a a A ，且A ∈-2，实数a = ．题型二 集合之间的关系 ➢ 集合与集合的关系例10 用列举法表示集合：{}的正约数6=A ，{}的正约数10=B ，{}的正公约数与106=C ，并用适当的符号表示它们之间的关系．例11 填空N _____Z ， N _____Q ，R _____Z ， R _____Q ，∅_____{}0，∅_____{}∅，0_____{}0， {}a _____{}{}{}{}c b a ,,练16 若集合{}|2M x x =≥，则下列结论中正确的是（ ） A ．}2{MB ．2MC ．{}2M ∈D ．2M ∉练17 在下列各式中错误的个数是（ ） （1）{}2,1,01∈ （2）{}{}2,1,01∈ （3）{}{}2,1,01,2,0⊆ （4）{}{}1,0,22,1,0= A ．1 B ．2C ．3D ．4练18 已知集合{}10，=A ，则下列式子错误的是（ ） A ．A ∈0B ．{}A ∈1C ．A ⊆∅D ．{}A ⊆10，练19 集合{}6,5,4,3,2,1=A ，{}x B ,5,4,3=，若B A ⊆，则x 可以取的值为（ ） A ．1,2,3,4,5,6 B ．1,2,3,4,6C ．1,2,3,6D ．1,2,6➢ 子集个数问题例12 若集合{}0)1(|2=-++=k x x k x A 有且仅有两个子集，则实数k 的值是 ．例13 满足{}M b a ⊆,{}e d c b a ,,,,的集合M 的个数是（ ）A ．2个B ．4个C ．7个D ．8个练20 已知集合M 满足{}{},6,5,4,3,2,12,1⊆⊆M 则满足的集合M 有 个．练21 同时满足（1）{}5,4,3,2,1⊆M ，（2）M a M a ∈-∈6,则的非空集合M 共有 个．➢ 集合关系中的含参问题例14 已知{}52≤≤-=x x A ，{}121-≤≤+=m x m x B ，B A ⊆，求m 的取值范围．练22 已知集合{}5<<=x a x A ，{}2≥=x x B ，且满足A B ⊆，求实数a 的取值范围．练23 若数集{}5312-≤≤+=a x a x A ，{}223≤≤=x x B ，则能使A B ⊆成立的所有a 的集合是（ ） A ．{19}a a ≤≤B ．{}96≤≤a a C ．{}9≤a aD ．∅例15 设集合{}240A x x x =+=，{}222(1)10B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，求实数a 的集合．练24 已知集合{}{}1,12====ax x B x x A ，若B A ，求实数a 的集合．题型三 集合之间的运算 ➢ 并集例16 若集合{}0,1,2,3A =，{}1,2,4B =，则集合A B =（ ）A ．{}0,1,2,3,4B ．{}1,2,3,4C ．{}1,2D ．{}0练25 已知集合{}{}1,0,1,0,1,2,M N =-=则M N =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0,1,2-C ．{}1,0,2-D ．{}0,1练26 设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ，{}2|20,N x x x x =-=∈R ，则M N =（ ）A ．{}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-例17 集合{}34M x x =-<，{}220N x x x =+-<，则M N 等于（ ）A ．{}17x x -<<B ．{}27x x -<<C ．{}11x x -<<D ．{}27x x ≤≤练27 设集合()(){}120A x x x =+-<，集合{}13B x x =<<，则A B =（ ）A ．{}13x x -<< B ．{}11x x -<<C ．{}12x x <<D ．{}23x x <<练28 设集合{|2,}x A y y x ==∈R ，2{|10}B x x =-<，则A B =（ ）A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(0,)+∞例18 设集合{}2,1=A ，则满足{}3,2,1=B A 的集合B 的个数是（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．8练29 满足{}{}5,11=A 的集合A 的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4练30 若集合},,3,1{},,1{},,3,1{2x B A x B x A === 则满足条件的实数x 的个数为 ． ➢ 交集例19 已知集合{}2,1,3,4A =--，{}1,2,3B =-，则A B = ．练31 已知集合{}{}220,0,1,2A x x x B =-==，则AB =（ ）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}0,2D ．{}0,1,2例20 设集合{}2340M x x x =--<，{}05N x x =≤≤，则M N =（ ）A ．(]04，B ．[)04，C ．[)10-，D ．(]10-，练32 设集合{}=(3)(2)0M x x x +-<，{}13N x x =≤≤，则MN = ．练33 已知集合{}40<log <1A x x =，{}2B x x =≤，则A B =（ ）A ．()01，B ．(]02，C ．()12，D ．(]12，练34 已知集合(){},2M x y x y =+=，(){},4N x y x y =-=，那么集合N M 为（ ）A ．1,3-==y xB ．)1,3(-C ．{}1,3-D ．{})1,3(-练35 若集合{}6,A x x x N =≤∈，{}B x x =是非质数，B AC =，则C 的非空子集的个数为 ．例21 已知集合{}24,21,A a a =--，{}5,1,9B a a =--，若{}9A B =，则a 的值为 ．练36 集合{}1,0,1-=A ，{}a a B 2,1+=，若{}0=B A ，则实数a 的值为 ．练37 设{}21<≤-=x x A ，{}a x x B <=，若∅≠B A ，则a 的取值范围是（ ） A ．2a < B ．2a >- C ．1a >- D ．12a -<≤➢ 补集例22 若{}Z x x x U ∈≤≤=,60，{}531，，=A ，{}41，=B ，则UA = ，UB = ．练38 已知全集U ，集合{}1,3,5,7,9A =，{}2,4,6,8UA =，{}1,4,6,8,9UB =，求集合B ．例23 设全集{}2U x N x =∈≥，集合{}25A x N x =∈≥，则UA =（ ）A ．∅B ．{}2C ．{}5D ．{}2,5练39 已知全集U R =，{}0A x x =≤，{}1B x x =≥，则集合()UA B =（ ）A ．{}0x x ≥ B ．{}0x x ≥C ．{}01x x ≤≤D ．{}01x x <<练40 设集合{}9,7,5,4=A ，{}9,8,7,4,3=B ，全集B A U =，则集合()UA B 中的元素共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个练41 已知全集{}2,1,0=U 且{}2UA =，则集合A 的真子集共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个例24 已知全集{}32,3,22-+=a a U ，{}7,2+=a A ，{}5UA =，求a 的值．练42 已知全集{}3,3,2+=a I ，若{}2,b A =，{5}I A =，求实数b a ,．➢ 韦恩图例25 已知R U =，集合}1|{>=x x A ，集合}21|{<<-=x x B ，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A ．}1|{>x x B ．}1|{->x xC ．}11|{<<-x xD ．{|112}x x x -<≤≥或练43 设全集R U =，集合{}|1M x x =>，{}|02N x x =<<，则右图中阴影部分表示的集合为（ ） A ．{}|1x x ≤ B ．{}|12x x <≤ C ．{}|01x x <≤D ．{}|01x x <<练44 右图，U 是全集，M ，P ，S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A ．()S P M B ．()S P M C ．()()S C P M UD ．()()UMP S➢ 综合运算例26 设全集{}{}{}110,1,2,3,5,8,1,3,5,7,9U n N n A B =∈≤≤==，则()UA B = ．练45 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合UA B =（ ）A ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,8例27 已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2680B x x x =-+≤，则ARB =（ ）A ．{}|0x x ≤B ．{}|24x x ≤≤C ．{|02x x ≤<或4}x >D ．{|02x x <≤或4}x ≥练46 已知集合2{20},{12}P x x x Q x x =-≥=<≤，则()P Q =R（ ）A ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2]练47 设集合{}R x x x A ∈≤-=,22，{}2,12B y y x x ==--≤≤，则()RA B 等于（ ）A ．RB ．{}0,≠∈x R x xC ．{}0D ．∅练48 设{}{}023,02222=++==++=a x x x B ax x x A ，且{}2=B A ． （1）求a 的值及集合A ，B ； （2）设全集B A U =，求()()UUA B ；（3）写出()()UUA B 的所有子集．例28 已知集合A ={}82≤≤x x ，B ={}61<<x x ，C ={}a x x >，R U =． （1）求(),U AB A B ；（2）如果∅≠C A ，求a 的取值范围．练49 已知{|13}A x x =-≤＜，{|13}B x m x m =≤+＜ （1）当1m =时，求AB ；（2）若A C B R ⊆，求实数m 的取值范围．练50 已知全集是实数集R ，{}22321+<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=a x a x B x xA ，． （1）当1=a 时，求B A B A ,； （2）若()R A B B =，求实数a 的取值范围．【课后巩固1】1．下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{}12-=x y y 与集合(){}1,2-=x y y x 是同一个集合； （3）1，23，46，21-，5.0这些数组成的集合有5个元素；（4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0,是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个2．用描述法表示下列集合 （1）{}1,3,5,7，...；（2）非负偶数；（3）数轴上离开原点的距离大于3的点； （4）方程组11x y x y +=⎧⎨-=⎩的解的集合；3．若{}1->=x x A ,则（ ） A ．0⊆A B ．{0}∈AC ．{0}⊆AD ．∅∈A4．集合{}1,0,1-共有 个子集．5．（2015山东文1）已知集合{}|24A x x =<<，{}|(1)(3)0B x x x =--<，则A B =（ ）A ．(1,3)B ．(14),C ．(2,3)D ．(2,4)6．（2015陕西理1）设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞7．（2016天津文1）已知集合{1,2,3}A =，{|21,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）A ．{1,3}B ．{1,2}C ．{2,3}D ．{1,2,3}8．（2014山东理2）设集合{}[]{}12,2,0,2xA x xB y y x =-<==∈，则=B A （ ）A ．[]0,2B ．()1,3C ．[)1,3D ．()1,49．（2013重庆）已知全集{}1234U =，，，，集合{}{}1223A B ==，，，，则()UA B =（ ）A ．{}134，，B ．{}34，C ．{}3D ．{}410．（2016浙江理1）已知集合{}13P x R x =∈≤≤，{}24Q x R x =∈≥，则()P Q =R（ ）A ．[]2,3B ．(]2,3-C ．[)1,2D ．(,2][1,)-∞-+∞11．（2015全国Ⅰ文1）已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中元素的个数为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．212．已知}31|{},06|{2m x m x B x x x A +≤≤=≤-+= （1）当1=m 时，求A B ；（2）RA B B =，求实数m 的取值范围．【课后巩固2】1．下列集合中表示同一集合的是（ ） A ．(){}(){}3,2,2,3==N MB ．(){}{}1,1,=+==+=y x y N y x y x M C ．{}{}4,5,5,4==N M D ．{}(){}2,1,2,1==n M2．下列式子中，正确的是（ ） A ．R R ∈+B ．{}Z x x x N ∈≤⊇,0|C ．空集是任何集合的真子集D ．{}∅∈∅3．（2015重庆理1）已知集合{}1,2,3A =，{}2,3B =，则（ ） A ．A B = B ．AB =∅C ．A BD ．BA4．已知集合{}{}121,72-<<+=≤≤-=m x m x B x x A ，若A B ⊆，求实数m 的取值范围为 ．5．（2016全国甲理2）已知集合{123}A =，,，{|(1)(2)0}B x x x x Z =+-<∈，，则A B =（ ）A ．{}1B ．{12}，C ．{}0123，，， D ．{10123}-，，，，6．（2013四川）设集合{}|20A x x =+=，集合{}2|40B x x =-=，则A B =（ ）A ．{}2-B ．{}2C ．{}2,2-D ．∅7．（2014四川）已知集合{}220A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B =（ ）A ．{}1,0,1,2-B ．{}2,1,0,1--C ．{}0,1D ．{}1,0-8．（2013浙江）设集合{}|2S x x =>-，{}|41T x x =-≤≤，则S T =（ ）A ．[)4-+∞，B ．2-+∞（，）C ．[]41-，D ．(]21-，9．已知全集{}4,≤∈=x N x x U ，{}2,1=A ，则UA 为（ ）A ．{}3B ．{}3,0C ．{}43，D ．{}4,3,010．设集合{}{}{}4,3,2,3,2,1,2,1===C B A ，则()C B A = ．11．（2013山东）已知集合A ，B 均为全集{}1,2,3,4U =的子集，且(){}4UA B =，{}1,2B =，则()UA B =（ ）A ．{}3B ．{}4C ．{}3,4D ．12．集合{}a A ,2,0=，集合{}2,02-=a B ，若B A B =，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{}2,2-B ．{}1,2--C ．{}2,1-D ．{}2,1,2--13．已知全集R U =，集合}0|{2=++=n mx x x A ，}02)(|{2=--+=n x n m x x B ，(){2}UA B =-，(){1}U A B =，求B A ．【课后巩固3】1．下列关系正确的是（ ） A ．∅∈0 B ．{}0⊆∅ C ．{}0=∅ D ．{}0∈∅2．用列举法表示下列集合 （1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈+=N x Z x B 16； （2）{}N y R x x x y y ∈∈+--=,,322；（3）(){}22,1,,x y xy x Z y Z +=∈∈；（4）{}20以内的合数；3．设集合{}{}a x x B x x A <=<<=,21，若B A ⊆，则a 的范围是（ ） A ．2≥a B ．1≤a C ．1≥a D ．2≤a4．（2014新课标Ⅱ）设集合{}0,1,2M =，{}2320x x x N -+≤=，则MN =（ ）A ．{}1B ．{}2C ．{}0,1D ．{}1,25．（2014新课标Ⅰ）已知集合{}2230A x x x =--≥，{}22B x x =-≤<，则A B =（ ）A ．[]2,1--B ．[)1,2-C ．[]1,1-D ．[)1,26．（2015广东理1）若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=，则M N =（ ）A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅7．（2016全国乙理1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ）A ．33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭8．（2017天津理1）设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}|15C x R x =∈-≤≤，则()A B C =（ ）A ．{}2B ．{}1,2,4C ．{}1,2,4,6D ．{}|15x R x ∈-≤≤9．（2017全国2理2）设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若1AB =，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,510．（2014辽宁理1）已知全集U R =，{|0}A x x =≤，{|1}B x x =≥，则集合()UA B =（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x <<11．已知集合B ={}042≥-x x 集合C ={}0≤-a x x ，若C B 是单元素集，则实=a ．12．已知集合{}3+≤≤=a x a x A ，{}01242>--=x x B ．（1）若∅=B A ，求a 的取值范围； （2）若B B A = ，求a 的取值范围．。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第一章 §1.1 集 合
(2)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m的值为
A.2
√B.3
C.0
D.－2
因为集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A， 则m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m∈{0,2,3}. 当m＝0时，集合A中的元素不满足互异性； 当m＝2时，m2－3m＋2＝0，集合A中的元素不满足互异性； 当m＝3时，A＝{0,3,2}，符合题意.综上所述，m＝3.
知识梳理
3.集合的基本运算
表示 运算
集合语言
并集 _{_x_|x_∈__A_，__或__x_∈__B_}_
交集 _{_x_|x_∈__A_，__且__x_∈__B_}_
补集 _{_x_|x_∈__U__，__且__x∉_A__}_
图形语言
记法 _A__∪__B_ _A__∩__B_
_∁_U_A_
常用结论
例5 (多选)群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且 群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及 以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基 本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代 数运算，即对所有的a，b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：①∀a， b，c∈G，有(a·b)·c＝a·(b·c)；②∃e∈G，使得∀a∈G，有e·a＝a·e＝a； ③∀a∈G，∃b∈G，使a·b＝b·a＝e，则称G关于“·”构成一个群.
1.若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集. 2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
集合全章讲义
第一章：集合与简易逻辑讲义第一节：集合的概念Part One ：基础知识（记住有以下6点） 1、集合的概念①集合：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集. ②元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+{} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , } ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 3、元素与集合的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉ 4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可 （2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5.集合的表示方法：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1} ②描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x 注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分 如：{直角三角形}；{大于104的实数} （2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}③文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法 6.集合的分类：a:以元素的个数分类：①有限集：含有有限个元素的集合 ②无限集：含有无限个元素的集合③空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：}01|{2=+∈x R x b:以元素的种类分：点集，数集，等Part Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识） 题型一：集合的三大性的考查1.下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数 （2）好心的人 （3）1，2，2，3，4，5．2.设a,b 是非零实数，那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是3、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ ） （A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素4. 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？题型二：集合的表示方法的考查 1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13} ②{-2，-4，-6，-8，-10}③{ 1, 5, 25, 125, 625 }= ;④ { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}=2、用列举法表示下列集合 ①{x ∈N|x 是15的约数}②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x ④},)1(|{N n x x n∈-= ⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x 题型三：集合的分类的考查1、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集第二节：子集 全集 补集（集合与集合的关系） Part One ：基础知识（记住有以下8点）1.子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A :A B B A ⊇⊆或 ，A ⊂B 或B ⊃A 读作：A 包含于B 或B 包含AB A B x A x ⊆∈⇒∈，则若任意当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ⊆/B 或B ⊇/A注：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合2.集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A=B3.真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A4..人为规定：空集是任何集合的子集Φ⊆A 空集是任何非空集合的真子集Φ A 若A ≠Φ，则Φ A （在考虑集合问题时千万不能忘记空集这个特殊集合） 任何一个集合是它本身的子集A A ⊆5.含n 个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是n 2，所有真子集的个数是n 2-1，非空真子集数为2-n6.易混符号①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合 如 Φ⊆{0}Φ={0}，Φ∈{0} 7、全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示8. 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A的补集（或余集），记作AC S ，即CSA=},|{A x S x x ∉∈且 2、性质：CS （CSA ）=A ，CSS=φ，CS φ=S Part Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识） 题型一：对子集等基本概念的考查1. 写出N ，Z ，Q ，R 的包含关系，并用文氏图表示2.判断下列写法是否正确①Φ⊆A ②Φ A ③A A ⊆ ④A A 3.（1）填空：N___Z, N___Q, R___Z, R___Q ， Φ___{0}（2）若A={x ∈R|x 2-3x-4=0},B={x ∈Z||x|<10},则A ⊆B 正确吗？ （3）是否对任意一个集合A ，都有A ⊆A ，为什么？ （4）集合{a,b}的子集有那些？（5）高一（1）班同学组成的集合A ，高一年级同学组成的集合B ，则A 、B 的关系为 . 题型二：利用集合的关系来求解具体问题（重点！）1．若{}{}A B m x m x B x x A ⊆+≤≤-=≤≤-=,112|,43|，求是实数m 的取值范围.)1(-≥m2．已知{}{}A C B C A B A 求,8,4,2,0,5,3,2,1,,==⊆⊆ 题型三：全集与补集有关问题1.已知全集U ＝R ，集合A ＝｛x ｜1≤2x ＋1＜9｝，求C U A2. 已知S ＝｛x ｜－1≤x ＋2＜8｝，A ＝｛x ｜－2＜1－x ≤1｝，B ＝｛x ｜5＜2x －1＜11｝，讨论A 与C S B 的关系Part Three ：练习1、已知全集U ＝｛x ｜－1＜x ＜9｝，A ＝｛x ｜1＜x ＜a ｝，若A ≠φ，则a 的取值范围是 （A ）a ＜9 （B ）a ≤9 （C ）a ≥9 （D ）1＜a ≤92、已知全集U ＝｛2，4，1－a ｝，A ＝｛2，a2－a ＋2｝如果CUA ＝｛－1｝，那么a 的值为3、已知全集U ，A 是U 的子集，φ是空集，B ＝CUA ，求CUB ，CU φ，CUU4、设U=｛梯形｝,A=｛等腰梯形｝,求CUA.5、已知U=R ，A=｛x|x2+3x+2<0｝, 求CUA.6、集合Ｕ=｛（x ，y ）|x ∈｛1,2｝,y ∈｛1,2｝｝ , Ａ=｛（x ，y ）|x ∈N*,y ∈N*,x+y=3｝，求CUA.7、设全集U （U ≠Φ），已知集合M ，N ，P ，且M=CUN ，N=CUP ，则M 与P 的关系是（ ） M=CUP ，（B ）M=P ，（C ）M ⊇P ，（D ）M ⊆P.8、设全集U={2,3,322-+a a },A={b,2},A C U ={b,2},求实数a 和b 的值.9.已知S ＝｛a ，b ｝，A ⊆S ，则A 与CSA 的所有组对共有的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （D ）10..设全集U （U ≠φ），已知集合M 、N 、P ，且M ＝CUN ，N ＝CUP ，则M 与P 的关系是 11..已知U=﹛（x ，y ）︱x ∈﹛1，2﹜，y ∈﹛1，2﹜﹜，A=﹛（x ，y ）︱x-y=0﹜，求UA12..设全集U=﹛1，2，3，4，5﹜，A=﹛2，5﹜，求U A 的真子集的个数13. 若S={三角形}，B={锐角三角形}，则CSB= .14.. 已知A={0，2，4}，CUA={-1，1}，CUB={-1，0，2}，求B= 15.. 已知全集U={1，2，3，4}，A={x|x2-5x+m=0，x ∈U}，求CUA 、m 第二节:交集和并集Part One ：基础知识（记住有以下6点）1．交集的定义 一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作A B （读作‘A 交B ’）， 即A B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e ｝,B={c,d,e,f}.则A B={c,d,e}． 2．并集的定义 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作：A B （读作‘A 并B ’）， 即A B ={x|x ∈A ，或x ∈B})．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝． 3..交集、并集的性质 用文图表示 (1)若A ⊇B,则A B=B, A B=B(2)若A ⊆B 则A B=A A B=A(3)若A=B, 则A A=A A A=A(4)若A,B 相交，有公共元素，但不包含 则A B A,A B B A BA, A BB(5) )若A,B 无公共元素，则A B=Φ①交集的性质 (1)A A=A A Φ=ΦA B=B A (2)A B ⊆A, A B ⊆B ．BA②并集的性质 (1)A A=A (2)A Φ=A (3)A B=B A (4)A B ⊇Ａ,A B ⊇B 联系交集的性质有结论：Φ⊆A B ⊆A ⊆A B ．4. 德摩根律：(CuA) (CuB)= Cu (A B), (CuA) (CuB)= Cu(A B)(可以用韦恩图来理解)． 结合补集，还有①A (CuA)=U, ②A (CuA)= ΦPart Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识） 题型一：基础的交集与并集的计算：注意数集的交集和并集运算的图像法 例1 设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求A B.例2 设A=｛x|x 是等腰三角形｝，B=｛x|x 是直角三角形｝，求A B.例3 A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求A B.例4设A=｛x|x 是锐角三角形｝，B=｛x|x 是钝角三角形｝，求A B.例5设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x<3｝，求A ∪B. 例6设A=｛(x,y)|y=-4x+6｝,｛(x,y)|y=5x-3｝,求A B.例7已知A 是奇数集,B 是偶数集，Z 为整数集，求A B,A Z,B Z,A B,A Z,B Z.8 已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1()B C A U ⋂{},8,1=()BA C U ⋂{}6,2= ()(){},7,4=⋂BC A C U U 则集合A=例9．设集合A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，又A B={9},求实数m 的值.例10.设A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+15=0},又A B={3，5}，A ∩B={3}，求实数a,b,c 的值.. 例11. 已知集合A={y|y=x2-4x+5},B={x|y=x -5}求A ∩B,A ∪B ．Part Three ：练习1．P=｛a2,a+2,-3｝,Q=｛a-2,2a+1,a2+1｝,P Q=｛-3｝,求a ．2..已知全集U=A B=｛1,3,5,7,9｝,A (CUB)=｛3,7｝, (CUA) B=｛5,9｝.则A B=____．3 已知A ＝{x| x2－ax ＋a2－19=0}, B={x| x2－5x ＋8=2}, C={x| x2＋2x －8=0},若ο/⊂A ∩B ，且A ∩C ＝ο/，求a 的值4.. 已知元素(1, 2)∈A ∩B ，并且A ＝{(x, y)| mx －y2＋n=0},B={(x, y)| x2－my －n=0},求m, n 的值5. 已知集合A={x|x2+4x-12=0}、B={x|x2+kx-k=0}.若B B A = ，求k 的取值范围6. 若集合M 、N 、P 是全集S 的子集，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A.P N M )( B ．P N M )( C ．P C N M S )( D ．P C N M S )(集合中段测试 一、选择题1、下列六个关系式：①{}{}a b b a ,,⊆ ②{}{}a b b a ,,= ③Φ=}0{ ④}0{0∈ ⑤}0{∈Φ ⑥}0{⊆Φ 其中正确的个数为( ) (A) 6个 (B) 5个 (C) 4个 (D) 少于4个 2．下列各对象可以组成集合的是（ ）MN P第9题（A ）与1非常接近的全体实数 （B ）某校2002-2003学年度笫一学期全体高一学生 （C ）高一年级视力比较好的同学 （D ）与无理数π相差很小的全体实数3、已知集合P M ,满足M P M = ，则一定有（ ）(A) P M = (B)P M ⊇ (C) M P M = (D) P M ⊆4、集合A 含有10个元素，集合B 含有8个元素，集合A ∩B 含有3个元素，则集合A ∪B 的元素个数为（ ） (A)10个 (B)8个 (C)18个 (D) 15个5．设全集U=R ，M={x|x.≥1}， N ={x|0≤x<5},则（C U M ）∪（C U N ）为（ ）（A ）{x|x.≥0} （B ）{x|x<1 或x≥5} （C ）{x|x≤1或x≥5} （D ）{x| x 〈0或x≥5 }6．设集合{}x A ,4,1=，{}2,1x B =，且{}x B A ,4,1=⋃，则满足条件的实数x 的个数是（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个.7．已知集合M ⊆{4,7,8},且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有（ ） （A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个8．已知全集U ＝{非零整数}，集合A ＝{x||x+2|>4, x ∈U}, 则C U A ＝（ ） （A ）{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 } （B ）{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 , 2 } （C ）{ -5 , -4 , -3 , -2 , 0 , -1 , 1 } （D ）{ -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 }9、已知集合{}}8,7,3{},9,6,3,1{,5,4,3,2,1,0===C B A ，则C B A )(等于 (A){0,1,2,6} (B){3,7,8,} (C){1,3,7,8} (D){1,3,6,7,8}10、满足条件{}{}1,01,0=A 的所有集合A 的个数是（ ） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个11、如右图，那么阴影部分所表示的集合是（ ）(A))]([C A C B U (B))()(C B B A (C))()(B C C A U (D)B C A C U )]([ 12．定义A －B={x|x ∈A 且x ∉B}, 若A={1，2，3，4，5}，B={2，3，6}，则A －（A －B ）等于（ ）(A)B (B){}3,2 (C) {}5,4,1 (D) {}6 二．填空题13．集合P=(){}0,=+y x y x ，Q=(){}2,=-y x y x ，则A ∩B= 14．不等式|x-1|>-3的解集是 15．已知集合A= 用列举法表示集合A=16 已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1(){},8,1=⋂B C A U {},6,2=B ()(){},7,4=⋂B C A C U U 则集合A= 三．解答题17．已知集合A={}.,0232R a x ax R x ∈=+-∈1）若A 是空集，求a 的取值范围； 2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； 3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围18．已知全集U=R ，集合A={},022=++px xx {},052=+-=q x x x B {}2=⋂B A C U 若，试用列举法表示集合A集合单元小结基础训练 参考答案C ；2．B ；3.B ；4.D ；5.B ；6.C ；7.D ；8.B ；9.C ；10.D ；11.C ；12.B;13. (){}1,1-; 14.R; 15. {}5,4,3,2,0; 16{}8,5,3,1 ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈N x17.1)a>89 ; 2）a=0或a=89；3）a=0或a≥89 18.⎭⎬⎫⎩⎨⎧32,319*．CUA={}321≤≤=x x x 或 CUB={}2=x x A ∩B=A A ∩（CUB ）=φ （CUA ）∩B={}3212≤<=x x x 或1 20*． a=－1或2≤a≤3.。
高一数学 集合(讲义)
高一数学集合【知识要点】一、集合的含义及其表示1、一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。
集合中的每一个对象称为该集合的元素。
集合的性质：（1）确定性：班级中成绩好的同学构成一个集合吗？（2）无序性：班级位置调换一下，这个集合发生变化了吗？（3）互异性：集合中任意两个元素是不相同的。
如：已知集合A ＝{1，2，a}，则a 应满足什么条件？常用数集及记法（1）自然数集：记作N （2）正整数集：记作*N N +或 （3）整数集：记作Z （4）有理数集：记作Q （5）实数集：记作R例：下列各种说法中，各自所表述的对象是否确定，为什么？（1）我们班的全体学生； （2）我们班的高个子学生； （3）地球上的四大洋； （4）方程x 2－1＝0的解； （5）不等式2x －3>0的解； （6）直角三角形； 2、集合的表示法（1）列举法：把集合中的元素列举在一个大括号里：{…}（2）描述法：将集合的所有元素都具有的 性质（满足的条件）表示出来，写成{x| P （x ）}的形式。
如：{x ︱x 为中国的直辖市}（3）集合的分类：有限集与无限集 <1>有限集：含有有限个元素的集合。
<2>无限集：若一个集合不是有限集，就称此集合为无限集。
<3>空集：不含任何元素的集合。
记作Φ，如： 二、子集、全集、补集1、子集的定义：如果集合A 的任一个元素都在集合B 中 则称集合A 为集合B 的子集，记作：A ⊆B B A ⊇或特别的：A AA ⊆∅⊆ 真子集的定义：如果A ⊆B 并且B A ≠，则称集合A 为集合B 的真子集。
2、补集的定义：设A 为S 的子集，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记作：AC S ＝{x ∣x ∈S 且x ∉A}，如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，就把S 称为全集。
三、交集与并集的定义1、定义：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集；记作：A ∩B ；由所有属于集合A 或属于集合B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集；记作：A ∪B 。
高考集合经典复习讲义第一讲
第一讲 集合【考纲解读】1．集合的含义与表示2．集合间的基本关系3．集合的基本运算【知识回顾】必须记住1.数集的表示符号，自然数N ，正整数集N* 或N+，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R2.若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个，非空真子集有22n-个． 3.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.4.有关集合的一些简单性质及结论：若A B B C ⊆⊆，，则A C ⊆；,,.A A B A B A A B A B ⊆⊆⊆；A B A B B ⊆⇔=;A B A B A ⊆⇔=.【考点剖析】考点一：集合中元素的特征例11．设集合A={1，x 2}，x ≠2．(2013·XX 卷)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9考点二：集合的特征和关系例2.(2016·新课标全国卷Ⅰ模拟)1．设A ＝{1,4,2x }，若B ＝{1，x 2}，若B ⊆A ，则x ＝( )A ．0B ．－2C ．0或－2D ．0或±2考点三：集合的运算(2017·XX 月考)已知集合M ＝{a,0}，N ＝{x |2x 2－3x ＜0，x ∈Z }，如果M ∩N ≠∅，则a ＝__________.(2015·聊城月考)设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B = （ ） A ．{12}x x -≤< B ．1{|1}2x x -<≤ C ．{|2}x x <D ．{|12}x x ≤<课后练习题1．[2013·XX 一模] (1)设集合A ＝{1，2}，则满足A ∪B ＝{1，2，3，4}的集合B 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．52．[2015·XX 二模] 已知全集U ＝{0，1，2，3，4}，A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4}，则图K11中阴影部分表示的集合为( )图K11A ．{0，2}B ．{0，1，3}C ．{1，3，4}D ．{2，3，4}3．[2017·XX 质检] 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2≥1}，那么∁U A 等于( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，1)C ．[－1，1]D ．(1，＋∞)4．[2014·XX 四模] 已知集合A ＝{0，1，2}，集合B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则A ∩B ＝( )A ．{0}B ．{2}C ．{0，2}D ．{1，4}5．[2017·XX 卷] 已知A ＝{x |x ＋1>0}，B ＝{－2，－1，0，1}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．{－2，－1}B ．{－2}C ．{－1，0，1}D ．{0，1}6．[2016·XX 卷] 若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A ．4B ．2C ．0D ．0或47．[2018·乌鲁木齐一模] 已知集合A ＝{x ||x |>1}，B ＝{x |x <m }，且A ∪B ＝R ，则m 的值可以是( )A ．－1B ．0C ．1D ．28.[2017·内蒙一联] 集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a的值为( )A.0B.1C.2D.49．[2016·XX 一联] 如图K12所示,A ，B 是非空集合，定义A *B 表示阴影部分的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A *B ＝( )图K12A ．(2，＋∞)B ．[0，1)∪(2，＋∞)C ．[0，1]∪(2，＋∞)D ．[0，1]∪[2，＋∞)。
集合专题讲义-高三数学一轮复习
集合一、知识点1、集合的定义：把某些能够确切指定的对象看做一个整体，这个整体就叫做集合，简称集，通常用大写字母A,B,C,D……来表示集合，集合中的各个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母a,b,c,d.……来表示元素。
如果说a是A中的元素，就说a属于A，记为a∈A；如果b不是B中的元素，就说b不属于B，记为b∉B。
2.集合中元素的特征（1）确定性（2）互异性（3）无序性（1）列举法（2）描述法｛x∣x具有性质p｝（3）韦恩图（文氏图）（1）有限集（2）无限集5.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为φ（1）自然数集N（正整数集N+或N*）（2）整数集Z（正整数集Z+，负整数集Z）（3）有理数集Q（无理数集C R Q）（4）实数集R （5）复数集C7、区间的概念：通常把介于两个实数a，b（a＜b）之间的实数集合称之为区间，并规定（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示[a,b]；（2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间,表示﹙a,b﹚；（3）满足不等式a≤x<b,或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间,表示[a,b﹚,﹙a,b].（4）满足不等式x>a或x<a的实数x的集合叫做无限区间,表示（a,+∞）,(∞,a）（5）（+∞,∞）=R（实数集合）（1）子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（任意a∈A则a∈B），那么集合A称为集合B的子集，记为A⊆B或 B⊇A，读作“集合A包含于集合B”或集合B包含集合A”。
（2）真子集：如果集合A是B的子集，且A≠B，即B中至少有一个元素不属于A，那么A就是B的真子集，可记作：A⊊B。
（3）子集、真子集的一些性质：①规定空集φ是任何集合的子集；②对于含n个元素的集合，它的子集个数为2n，真子集有2n1个，非空真子集有2n2个。
9.集合的运算（1）交集：由集合A和集合B的公共元素组成的集合，叫做集合A和集合B的交集，记作A∩B，读作A交B。
集合讲义
集合讲义一、基础知识1）定义：一系列确定的、具有某种共同性质的元素放在一起便构成了集合，集合一般用大写字母A,B,C ……表示，而元素一般用小写字母⋯⋯c b a ,,表示2）元素与集合的关系：属于∈、不属于∉3）元素所具备的的性质：①确定性：②互异性：③无序性：4)集合的表示：①列举法：主要适用于有限个元素②描述法：需注意元素的代表符号以及元素所满足的条件 ③图像法：韦恩图一般用来表示有限个元素 数轴一般表示一段区间内的元素5）集合之间的关系：包含⊆：真包含 ：6）集合之间的运算：交运算 ：并运算 ：补运算:例题：1、设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（ ）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，2、设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = A. ∅ B. ()3,4 C.()2,1- D. ()4.+∞ 3、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或3 4、已知集合2{|20},{|11}A x x x B x x =--<=-<<，则（ ）(A) A B (B) B A (C) A B = (D) A B =∅5、已知集合A=0}2-x -x {x 2<，集合B=}1,12y {y x >-=x ，U=R,则=A B C U )(A 、(-1，1]B 、（-1,1）C 、（1,2）D 、[1,2）。
高中数学_集合讲义
集合第一课时含义与表示集合与元素1、元素--研究对象，用小写字母表示；2、集合--元素组成的总体，用大写字母表示3、集合特点：确定性、互异性、无序性4、集合分类：空集、有限集合、无限集合5、集合相等：不同集合的元素相同6、a 是A 的元素：a ∈A ；a 不是A 的元素：a ∉A常用数集1、非负整数N {0,1,2,3,4,5,......}2、正整数N +,N*{1,2,3,4,5,......}3、整数Z {......,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,......}4、有理数Q {x |x =p q ，p 、q ∈Z }5、实数R {x |数轴上点的坐标}6、复数C{x |x =a+bi ，a 、b ∈R }集合的表示1、列举法：{1,2,3,4,5,6,7}，{1,1,3,5,8,13,21,29,......}2、描述法：{x |x 是飞机}，{x |x=2n+1，n ∈Z }例：A={-2,-1,0}，B={y |y=|x |,x ∉A }，求B例：a 、b ∉R ，{1，a+b ，a }={0，b a，b }，求b ﹣a 解析：根据b a 知a≠0，则a+b=0；b a=﹣1=a ；b=1例：{a-d ，a ，a+d }={1，q ，q 2}，求q解析：由互异性知d≠0，q≠0或±1a=1a ﹣d=q a ﹢d=q 2a ﹣d=q 2a ﹢d=q得q 2﹢q ﹣2=0，即q=-2→d=±3a ﹣d=1a=q a ﹢d=q 2a=q 2a ﹢d=qa ﹢d=1a ﹣d=q a=q 2a ﹣d=q 2a=q例：A={x |x=m 2-n 2，m 、n ∈Z }，①证明：3∈A ；②4k-2是否属于A解析：x=m 2﹣n 2=(m ﹣n)(m ﹢n)=3=1×3m ﹣n=1m ﹢n=3m=2n=1；m ﹣n=3m ﹢n=1m=2n=﹣1即∃m 、n ∈Z ∴x=3成立x=m 2﹣n 2=(m ﹣n)(m ﹢n)=1×(4k-2)=2×(2k-1)[讨论m ﹣n 、m ﹢n 奇偶性]思考：红帽3顶、黄帽2顶，老师给三个小孩戴上帽子(小孩不知道自己戴的颜色)，要求根据其他小孩帽子的颜色说出自己帽子的颜色。
集合复习讲义
一丶基础知识梳理（一）集合的概念1.集合的定义：2.集合的分类：3.集合中元素的性质：4.集合的表示法：5.常用数集：其包含关系是（二）子集与真子集1.子集：若集合A 中任何一个元素都属于集合B ，则集合A 叫做集合B 的子集，记作 或真子集：对于集合的真子集，记作叫做集合则集合于中至少有一个元素不属，且若和B ,B B A ,A A B A ⊆或相等的集合：对于两个集合A 和B ，相等，记作和集合，则叫做集合，且若B A A B B A ⊆⊆2.，即空集是任何集合的子集ØA ⊆；空集是任何非空集合的真子集 3.任何集合A 是其自身的子集，即A A ⊆（三）集合的运算1.二丶双基热身Ø 个—个，非空真子集有—，非空子集有—个，真子集有个元素的集合的子集有含有等丶丶号有：：连接集合与集合的符或有：连接元素与集合的符号或，则若则性：211.7.6BA B A ..5,,子集的传集的传递4.2222nn n n n B A CA CB B A ≠=⊆∉∈=⊆⊆⊆⊆⊆{}{}{}::1.2A U B A B A B A B B A B A x x x A B x A x x B A B x A x x A C U =⋂⇔⊆=⋃⇔⊆∉∈=∈∈=⋃∈∈=⋂）充要条件：（常用公式：，图示表示：且补集：，图示表示：或并集：，图示表示：且交集：{}{}{}{}{}(){}{}(){}()}()}=⋂∈-+==∈+===∈≤-===∈≤-====+-==⋂<+-=>-==≠⋂>=≤==-⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+∈Q P ),1,1(1,1,),1,0(0,1P .6,2,1,,2,1.5,01.4,086,21,.3,Q P ,,1P .2,,,0,1,,.12222是两个向量集合，则已知集合用列举法表示集合组成的集合是则实数若集合则且已知全集的取值范围则实数若已知集合则，若已知R n n Q R m m Z x x x y y x B Z x x x y y A a ax ax x A B A C x x x B x x A R U a a x x Q x x a b a b b b a a R b a U φφ三丶考点整合举例【考点一】集合与集合的关系{}{}的取值范围；，求实数）若（的取值范围；，求实数若（集合已知集合例的与集合，试探究集合—集合且变式：已知集合的关系与集合试探究集合集合设集合例m m m x m x x x x x A Z k k x x B Z k k x x A P Q 2Q P )1(,01)12Q ,04P .2B A 53sin B ,0cot sin ,43tan A B ,,24,,42.1222⊆⊆=-+++==+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧==⎭⎬⎫⎩⎨⎧<==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==ααααααππππ{}()()[]{}φ≠⋂⊆<+--=<<-==B A 2B A 1,03B 10,12A ）（；）（取值范围。
高三数学总复习讲义集合
高三数学总复习讲义——集合一、知识清单：1.元素与集合的关系:用∈或∉表示；2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性.3.集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。
如数集{y |y =x 2},表示非负实数集，点集{(x ，y )|y =x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线； 4.集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}； ②描述法③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N ；正整数集*N N +或；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R; 5．集合与集合的关系:用⊆，≠⊂，=表示;A 是B 的子集记为A ⊆B ；A 是B 的真子集记为A ≠⊂B 。
①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆；②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ；空集是任何非空集合的真子集； ③如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B ；如果A B ⊆，B C ⊆，A C ⊆那么.④n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n －2个.6．交集A∩B={x |x ∈A 且x ∈B};并集A ∪B={x |x ∈A ，或x ∈B};补集C U A=｛x |x ∈U ，且x ∉A ｝，集合U 表示全集.7.集合运算中常用结论:①;A B A B A ⊆⇔= A B A B B ⊆⇔= ②()()();U U U A B A B = 痧 ()()()U U U A B A B = 痧 ③()()card A B card A =+ ()()card B card A B - 二、课前预习1．下列关系式中正确的是（ ）(A){}Φ⊆Φ (B){}0∈Φ (C)0{}Φ= (D)0{}⊆Φ2． 3231x y x y +=⎧⎨-=⎩解集为______.3．设{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--,已知{}9A B = ,求实数a 的值.4．设{}220,M x x x x R =++=∈，a =lg(lg10)，则{a }与M 的关系是( ) (A){a }=M (B)M Ü{a } (C){a }ÝM (D)M ⊇{a }5．集合A={x |x =3k -2，k ∈Z}，B={y |y=3n +1，n ∈Z}，S={y |y =6m +1，m ∈Z}之间的关系是( ) (A)S ÜB ÜA (B)S=B ÜA (C)S ÜB=A (D)S ÝB=A6．用适当的符号()∈∉、、=、、茌填空： ①π___Q ; ②{3.14}____Q ;③-R ∪R +_____R; ④{x |x =2k +1, k ∈Z}___{x |x =2k －1, k ∈Z}。
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第一章集合复习讲义第1讲集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：□01确定性、□02互异性、□03无序性．(2)□04属于或□05不属于两种，用符号□06∈或□07∉表示．(3)□08列举法、□09描述法、□10图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R2．集合间的基本关系3．集合的基本运算4．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔□01B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔□02A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝□03U；A∩(∁U A)＝□04∅；∁U(∁U A)＝□05A；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．(4)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为□062n个，非空子集个数为□07 2n－1个，真子集有□082n－1个，非空真子集的个数为□092n－2个．1．概念辨析(1)若1∈{x，x2}，则x＝±1.()(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．()(3){x|x≥2}＝{t|t≥2}．()(4)对于任意两个集合A，B，总有(A∩B)⊆A，A⊆(A∪B)．()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2<x <－1} B ．{x |－2<x <3} C ．{x |－1<x <1} D ．{x |1<x <3}答案 A解析 A ∩B ＝{x |－2<x <－1}．(2)设全集U ＝{x |x ∈N *，x <6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )等于( ) A ．{1,4} B ．{1,5} C ．{2,5} D ．{2,4} 答案 D解析 ∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ∪B ＝{1,3,5}，∴∁U (A ∪B )＝{2,4}． (3)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________. 答案 0或3解析 ∵A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，B ⊆A ， ∴m ＝3或m ＝m ，∴m ＝3或0或1，经检验m ＝0或3. (4)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫8x ，y ，B ＝{0，x 2}，且A ＝B ，则集合A 的子集为________．答案 ∅，{0}，{4}，{0,4}解析 由题意得8x ＝x 2，y ＝0，解得x ＝2， 所以A ＝{0,4}，其子集为∅，{0}，{4}，{0,4}．题型 一 集合的基本概念1．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( ) A.92 B.98 C ．0 D ．0或98 答案 D 解析 当a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；当a≠0时，Δ＝(－3)2－4×a×2＝0，解得a＝98，此时A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，符合题意．综上知a＝0或98.2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9 B．8 C．5 D．4答案A解析∵x2＋y2≤3，∴x2≤3，∵x∈Z，∴x＝－1,0,1，当x＝－1时，y＝－1,0,1；当x＝0时，y＝－1,0,1；当x＝1时，y＝－1,0,1，所以A中元素共有9个，故选A.3．若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.答案0或1解析因为－3∈A，所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3，解得a＝0或a＝－1或a＝1.当a＝0时，A＝{－3，－1，－4}，符合题意；当a＝－1时，2a－1＝a2－4＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，符合题意．综上知a＝0或1.1．用描述法表示集合的两个关键点(1)搞清楚集合中的代表元素是什么．如举例说明1,3是数，举例说明2是有序数对(或平面内的点)．(2)看这些元素满足什么限制条件．如举例说明1，关于x的方程只有一个实根．举例说明2，x，y是整数且满足x2＋y2≤3.2．两个易错点(1)忽视集合中元素的互异性．如举例说明3，求出a值后应注意检验．(2)忽视分类讨论．如举例说明1，要分a ＝0与a ≠0两种情况讨论．1．设集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |－x ∈A,1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 若x ∈B ，则－x ∈A ，所以x 只可能取0，－1，－2，－3.逐一检验可知B ＝{－3}，只有1个元素．2．已知集合A ＝{x |x ＝3k －1，k ∈Z }，则下列表示正确的是( ) A ．－1∉A B ．－11∈A C ．3k 2－1∈A D ．－34∉A答案 C解析 令k ＝0得x ＝－1，故－1∈A ； 令－11＝3k －1，解得k ＝－103∉Z ，故－11∉A ； 令－34＝3k －1，解得k ＝－11∈Z ，故－34∈A ； 对于3k 2－1，因为k ∈Z 时，k 2∈Z ， 所以3k 2－1∈A .所以C 项正确． 题型 二 集合间的基本关系1．已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2018＋b 2018为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1 答案 A解析 ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，ba ，1＝{a 2，a ＋b,0}，∴a ≠0.∴b ＝0，a 2＝1，又∵a ≠1，∴a ＝－1，∴a 2018＋b 2018＝1. 2．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π4＋π4，k ∈Z，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π8－π4，k ∈Z，则( )A ．M NB ．N MC ．M ＝ND ．以上都不对答案 A解析 ∵k π4＋π4＝2(k ＋1)8π，k ∈Z ， k π8－π4＝k －28π，k ∈Z ，∴任取x ∈M ，有x ∈N ，且π8∈N ，但π8∉M ， ∴M N .3．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________． 答案 (－∞，3]解析 因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3.条件探究1 举例说明3中的集合B 改为“B ＝{x |m ≤x ≤m ＋1}”，其余不变，该如何求解？解 B ＝{x |m ≤x ≤m ＋1}≠∅，为使B ⊆A ，m 须满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－2，m ＋1≤5，解得－2≤m ≤4.条件探究2 举例说明3中的集合A 改为“A ＝{x |x <－2或x >5}”，如何求解？ 解 因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，即2m －1<m ＋1时，m <2，符合题意． ②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得⎩⎨⎧m ≥2，m >4或⎩⎨⎧m ≥2，m <－12，即m >4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．1．判断集合间关系的三种方法列举法 根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．如举例说明1结构法 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．如举例说明2数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．如举例说明32．根据集合间的关系求参数的策略 (1)注意对集合是否为空集进行分类讨论因为∅⊆A 对任意集合A 都成立．如举例说明3中2m －1<m ＋1时，B ＝∅，B ⊆A 也成立．(2)借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．(3)注意检验区间端点值，如举例说明3，若将两个集合改为A ＝{x |－2<x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x <2m －1}，若B ≠∅，为使B ⊆A ，m 须满足⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m ＋1，m ＋1>－2，2m －1≤5.1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则( ) A ．B ⊆A B ．A ＝B C ．A B D ．B A 答案 C解析 由题意得A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，∴A B .2．已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a >2C ．a <0D ．a ≤0 答案 A解析 ∵A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤a }，∴为使A ⊆B ，a 须满足a ≥2. 3．满足{0,1,2}A ⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A 的个数为________．答案 7解析 集合A 除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合A的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为23－1＝7. 题型 三 集合的基本运算角度1 集合的并、交、补运算1．(2018·天津高考)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{－1,1} B ．{0,1} C ．{－1,0,1} D ．{2,3,4}答案 C解析 因为集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}，所以(A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}．2．(2018·皖北协作区联考)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg (x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )＝( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 B ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 D解析 因为A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)，B ＝{x |y ＝lg (x －2x 2)}＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.角度2 知集合的运算结果求参数3．设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}，若(∁U A )∩B ＝∅，则m ＝________. 答案 1或2解析 A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A . x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0可化为(x ＋1)(x ＋m )＝0， 当m ＝1时，B ＝{－1}，符合题意；当m ≠1时，B ＝{－1，－m }，为使B ⊆A 成立，须有－m ＝－2，即m ＝2. 综上知m ＝1或2.1．求集合交集、并集或补集的步骤2．知集合的运算结果求参数问题的两个关键点(1)分析运算结果并进行恰当转换．如举例说明3中，由(∁U A)∩B＝∅，知B⊆A.(2)化简集合为求参数创造有利条件．如举例说明3中，A＝{－2，－1}．当m＝1时，B＝{－1}；当m≠1时，B＝{－1，－m}．1．已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)<0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分(如图)表示的集合是()A．[－1,1)B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D．(－3，－1)答案D解析由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，所以阴影部分表示的集合为M∩(∁N)＝(－3，－1)．U2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}答案 B解析 解不等式x 2－x －2>0得x <－1或x >2，所以A ＝{x |x <－1或x >2}，所以∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.3．(2019·辽宁五校模拟)已知集合P ＝{x |x 2－2x －8>0}，Q ＝{x |x ≥a }，P ∪Q ＝R ，则a 的取值范围是( ) A ．(－2，＋∞) B ．(4，＋∞) C ．(－∞，－2] D ．(－∞，4]答案 C解析 集合P ＝{x |x 2－2x －8>0}＝{x |x <－2或x >4}，Q ＝{x |x ≥a }，若P ∪Q ＝R ，则a ≤－2，即a 的取值范围是(－∞，－2]． 题型 四 集合的新定义问题已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意实数对(x 1，y 1)∈M ，都存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪y ＝1x； ②M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }； ③M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}； ④M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}．其中是“垂直对点集”的序号是( ) A ．①④ B ．②③ C ．③④ D ．②④ 答案 C解析 记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由x 1x 2＋y 1y 2＝0得OA ⊥OB .对于①，对任意A ∈M ，不存在B ∈M ，使得OA ⊥OB .对于②，当A 为(1,0)时，不存在B ∈M 满足题意．对于③④，对任意A ∈M ，过原点O 可作直线OB ⊥OA ，它们都与函数y ＝e x －2及y ＝sin x ＋1的图象相交，即③④满足题意．与集合相关的新定义问题的解题思路(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算．如果集合A满足：若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x,0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________.答案{0,6}解析由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6,0,6}，所以A∩B＝{0,6}．。