第3章 离散点绘制平面曲线-

该方程描述的曲线称为二次贝塞尔曲线。 其分量形式为：
§2 贝塞尔曲线
x (t ) a 0 a1t a 2t 2 2 y ( t ) b 0 b1 t b 2 t
( 0 t 1)
b0 y 0 b1 2 ( y 1 y 0 ) b y 2 y y 0 1 2 2
编程思路：将参数 t 的区间[0 , 1]划分为 n 等份，依 次取t = 1/n , 2/n , 3/n , … ，利用方程计算对应各点的坐标， 并用直线段依次连接各点。
§2 贝塞尔曲线
三、Bezier 曲线的特点
①曲线通过始点和终点，并与特征多边形首末两边相 切于始点和终点，中间点将曲线拉向自己。 P1 ②平面离散点控制曲线的形状，改 变一个离散点的坐标，曲线的形状将随 之改变（点对曲线具有整体控制性）。
其中
x (t ) P (t ) y (t )
,
a0 A0 b 0
a 0 a1t a 2 t 2 x (t ) p(t ) 2 y ( t ) b 0 b1 t b 2 t
()
§2 贝塞尔曲线
一、Bezier 曲线 1. 特征多边形 特征多边形是用直线段依次 连接平面上离散点所形成的折线 多边形。它反映了所要设计曲线 P0 的大致轮廓。
P1 P2 P5 P3 P4
可以设计一个光滑的曲线段去逼近这个特征多边形。 贝塞尔曲线就属于这类曲线。 该曲线由法国汽车工程师Bezier首先提出，最初用于 汽车零件外形的设计。目前广泛应用于与计算机绘图相关 的各个领域。
P2
P3
P2
P3
P4
P5
两条曲线段在连接点P3处，并非光滑，需对该点进行 光滑处理。在光滑处理时，达到什么标准为“光滑”呢？ 给出2个一般标准：
P1
P1
§1 概述
1. C 1连续 在连接点 pj 处，若两曲线段的切线斜率相等（相同 的切线），或者说一阶导数连续，即 pj 称两曲线段在连接点 pj 处的光滑连接达到C 1连续。 2. C 2连续 在连接点 pj 处，不仅两曲线段的切线斜率相同，而 且切线斜率的变化率也相同，即
2. Bezier 曲线的参数方程 已知三个平面离散点P0、P1、P2，那么由这三点可以 定义二次抛物线段，其参数矢量方程可表示为：
P ( t ) A 0 A1 t A 2 t
2
( 0 t 1)
, a1 A1 b 1 , a2 A2 b 2
P ( t ) A 0 A1 t A 2 t
2
( 0 t 1)
二次B样条曲线参数方程的矩阵形式为：
二次B样条曲线参数方程的矩阵形式：
P (t ) [t
2
t
1 2 1] 1 2 2 2 1 1
1 0 0
P0 P 1 P2
可以用低次Bezier 曲线进行分段拟合（常使用二次和三 次Bezier 曲线）；需要对连接点进行光滑处理（C 1连续、 C 2连续），已有CG方面的论文研究了此问题。
地质绘图中常采用低次Bezier 曲线的分段拟合。
§2 贝塞尔曲线
二、二次Bezier 曲线的程序设计思路 已知：平面上 3 个离散点P0、P1、P2的坐标( x0 , y0 )、 ( x1 , y1 )、( x2 , y2)。 二次Bezier 曲线参数方程的分量形式：
p j
()
p j
()
p j
( )
及 称两曲线段在连接点 pj 处的光滑连接达到C 2连续。 显然C 2连续比C 1连续要求更高，曲线的连接更光滑。 另外还有更高的连续标准，但对一般绘图，曲线段的 连接满足C 1或C 2连续，其光滑已足够。
。
p j
( )
p j
()
p j
(0 t 1)
§2 贝塞尔曲线
P ( t ) A 0 A1 t A 2 t
2
( 0 t 1)
P1
设上述抛物曲线满足下列条件： ⑴ t = 0时，抛物线经过 P0，并与P0 P1相切。 ⑵ t = 1时，抛物线经过 P0 P2，并与P1 P2相切。
P ( t ) A1 2 A 2 t
§2 贝塞尔曲线
n次Bezier曲线参数矢量方程的一般形式：
P (t )
B
i0
n
i ,n
( t ) Pi
(0 t 1)
xi 其中：Pi（i=0 ,1 , … , n）为n+1个平面离散点，P i ; y i n! i
B i , n ( t ) C n t (1 t )
P2源自文库
P ( 0 ) A 0 P0
P ( 0 ) A 1 P0 P1的斜率
P ( 1 ) A 0 A 1 A 2 P2
P (1 ) A1 2 A 2 P1 P 2的斜率
经过推导（详见教材P58），可求出A0、A1、A2：
§2 贝塞尔曲线
A 0 P0 A 1 2 ( P1 P 0 ) A P 2P P 0 1 2 2
因此，该抛物线段的参数矢量方程为：
P ( t ) P0 2 ( P1 P0 ) t ( P0 2 P1 P2 ) t
2
(0 t 1)
或用矩阵形式表示：
P (t ) [t
2
t
1 1] 2 1
2 2 0
1 P0 0 P1 0 P2
p ( t ) [ x ( t ), y ( t )] t
( )
描述的曲线，即曲线的方程已知。 这类曲线的绘制方法：以足够小的步长取曲线上足够 多的点，然后利用曲线方程求出这些点的坐标，最后用直 线连接相邻的点即可绘出曲线。 曲线的绘制精度取决于曲线上取点的密度，密度越大， 精度就越高，曲线就越光滑。
§1 概述
2. “平均通过”式 当已知数据点有一定误差时，所 拟合的曲线不通过所有已知点，曲线 代表的是这些数据点的变化趋势。 要求：设计的曲线方程与 所有已知点的“距离”总和最 小。 即：曲线方程是对所有已 知点的“逼近”。 典型例子：地层孔隙度－ 深度变化曲线。 “点点通过”式也称为插 值曲线，“平均通过”式也称 为逼近曲线。
x (t ) a 0 P (t ) y (t ) b 0 a1 a2 2 t t b b 1 2
§1 概述
四、曲线段的光滑连接
当平面上已知数据点较多时，针对所有点拟合曲线方 程有时非常困难，或者得到的曲线方程非常复杂、不实用。 可分别针对部分点进行分段拟合，分段拟合得到的曲 线段会涉及到曲线段的连接问题。 例如：若已知3个平面离散点，用1条抛物线段对其拟 合；若有5个点，可用2条抛物线段进行分段拟合。
其中
a 0 x 0 a1 2( x1 x 0 ) a x 2 x x 0 1 2 2
绘制方法：将参数 t 的区间[0 , 1]划分为 n 等份，依 次取t = 1/n , 2/n , 3/n , … ，利用曲线参数方程计算对应的 各点坐标，并用直线段依次连接各点。 在已知三个平面离散点时，可绘制二次Bezier曲线； 若有n+1个平面离散点时，则可绘制n次Bezier曲线。
10 20 30 40 1000总孔隙度 （%） 2000深 度 /m
（ g/cm
3
2.0 2.2 2.4 密度
（ g/cm
3
)
)
3000-
4000-
§1 概述
三、曲线的方程分类
一般可分为直角坐标方程和参数方程两类。 例如：对于圆心坐标为(x0 , y0)，半径为 r 的圆， 其直角坐标方程为： (x - x0)2 + (y - y0)2 = r2 参数方程为： x = x0 + r cos(t) y = y0 + r sin(t) （0≤t≤2π）
设
x (t ) P (t ) y (t )
,
a0 A0 b 0

,
上述参数方程可写为：
P ( t ) A 0 A1 t A 2 t
2
0 t 1
②
方程②称为曲线的参数矢量方程。 在构建曲线方程时，通常采用方程②的矢量形式；在 绘制曲线时，通常采用方程①的分量形式。
在计算机绘图时，使用参数方程要比直角坐标方程方 便。 参数方程还有另外一种形式。
§1 概述
例如：对于二次抛物线曲线，其参数方程可表示为
x (t ) a 0 a1t a 2t 2 2 y ( t ) b 0 b1 t b 2 t (0 t 1)
①
a1 A1 b 1 , a2 A2 b 2
i i (ni)
，C n

i ! ( n i )!
其分量形式为：
x (t ) y (t )
B
i0 n
n
i ,n
(t ) x i
( 0 t 1)
B
i0
i ,n
(t ) yi
§2 贝塞尔曲线
实际应用中，对多个离散点（如：7个离散点）绘制 Bezier 曲线时： 可以用高次Bezier 曲线进行绘制（如：7个离散点使用 六次Bezier 曲线）；
§1 概述
二、不规则曲线（拟合曲线）的分类
在用拟合方法建立曲线拟合方程时，通常把不规则曲 线分为两类： 1. “点点通过”式 当已知离散点的位置较精确时， 拟合的曲线通过所有的已知点。 曲线方程确定后 → 规则曲线 → 以足够小的步长获取 相邻离散点之间若干个数据点（插值点）的坐标，并用直 线连接它们。 当步长极小时，所绘出的直线连线在视觉上便是一条 光滑的曲线。 求相邻离散点之间若干数据点的问题称为插值问题。
不规则曲线（拟合曲线）：指已 知平面一些离散点的坐标，但曲线方 程未知，需要人为设计曲线方程对这 些点进行拟合形成的曲线。 对于这类曲线的绘制，首先要找出一种合理的拟合方 法来设计曲线方程。 拟合方法包括：贝塞尔曲线法、B样条曲线法、抛物 线调配曲线法、三次参数样条曲线法，最小二乘法等。 拟合方法不同 → 曲线拟合方程不同 → 绘制的曲线形 状也不同。 但是，一旦拟合方法确定并得到相应的曲线拟合方程， 不规则曲线也就变成了规则曲线。 本章的内容就是介绍：如何根据离散点的坐标，利用 拟合方法建立曲线拟合方程，绘制不规则曲线。
第三章 离散点绘制平面曲线
§1 概述 §2 贝塞尔(Bezier)曲线 §3 B样条曲线 §4 抛物线调配曲线 §5 三次参数样条曲线 本章小结
§1 概述
一、规则曲线与不规则曲线
平面曲线一般分规则和不规则曲线两类。 规则曲线是指可以用一个方程 y f ( x) 或 f ( x, y ) 0
P0
P2
③曲线落在特征多边形的凸包之内，它比特征多边 形更趋于光滑。 ④贝塞尔曲线属于“平均通过”式曲线。
§2 贝塞尔曲线
§3 B样条曲线
B样条曲线是在Bezier 曲线基础上发展起来的一类曲 线，它克服了Bezier 曲线整体控制性所带来的不便，最常 用的是二次和三次B样条曲线。 一、二次B样条曲线 1. 参数方程 已知三个平面离散点P0、P1、P2，由这三点可以定义 二次抛物线段，其参数矢量方程形式为：
x (t ) a 0 a1t a 2t 2 2 y ( t ) b 0 b1 t b 2 t
( 0 t 1)
b0 y 0 b1 2 ( y 1 y 0 ) b y 2 y y 0 1 2 2
其中
a 0 x 0 a1 2( x1 x 0 ) a x 2 x x 0 1 2 2