平面解析几何之曲线方程
平面解析几何中的曲线方程
平面解析几何中的曲线方程在平面解析几何中，曲线方程是研究曲线形状的重要工具。
通过曲线方程，我们可以了解曲线的特性、性质以及与其他曲线的关系。
本文将介绍平面解析几何中常见的曲线方程及其应用。
一、直线的方程直线是最简单的曲线形式，其方程通常用一次函数表示。
直线的一般方程为：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。
该方程也可以写成斜截式方程y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
二、圆的方程圆是由平面上到一定距离的点构成的曲线。
圆的方程为：(x-a)² +(y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径。
三、椭圆的方程椭圆是平面上到两个定点之间的距离之和为常数的点构成的曲线。
椭圆的标准方程为：(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a为横轴的半轴长，b为纵轴的半轴长。
四、双曲线的方程双曲线是平面上到两个定点之间的距离之差为常数的点构成的曲线。
双曲线的标准方程有两种形式：(x/a)² - (y/b)² = 1和(y/a)² - (x/b)² = 1，其中a和b分别为双曲线的半轴长。
五、抛物线的方程抛物线是平面上到定点与定直线的距离相等的点构成的曲线。
抛物线的标准方程为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
六、曲线方程的应用曲线方程在数学和工程学中有着广泛的应用。
在几何学中，曲线方程可以帮助我们确定曲线的形状、位置以及与其他曲线的关系。
在物理学中，曲线方程可以描述物体的运动轨迹，帮助我们研究运动规律。
在工程学中，曲线方程可以用于设计建筑物、绘制道路、计算轨迹等。
总结：平面解析几何中的曲线方程是研究曲线形状的重要工具，包括直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线等。
通过曲线方程，我们可以了解曲线的特性、性质以及与其他曲线的关系。
高中数学第二章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.2双曲线的几何性质课件新人教B版选择性必修第一
e=
=
从而
−
2
5
,
3
5
b=4,c=3a,代入 c2=a2+b2,得 a2=9,
2
故双曲线的标准方程为
9
2
− =1.
16
2 =1(a>0,b>0),由题意知
2b=8,
(2)由题意知,所求双曲线的焦点在 x 轴上,
2
2
故可设其方程为64 − 16=λ(λ>0),
将点(2,0)的坐标代入方程得
且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”,就得到了此双曲
线的渐近线方程.
2
2
2
2.与双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线方程可设为 2 −
2
2 =λ(λ≠0);若已知双曲线的渐近线方程 ± =0 或 y=±x,则双曲线方程可设为
2
k2x2-y2=λ(λ≠0)
渐近线为 ax±by=0 的双曲线
a2x2-b2y2=λ(λ≠0)
变式训练2
求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在 x 轴上,虚轴长为
5
8,离心率为3;
2
2
(2)过点(2,0),与双曲线64 − 16=1
的离心率相等.
2
解(1)设所求双曲线的标准方程为2
2
A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= 1 + 2 |x1-x2|= 1 + 2 · (1 + 2 ) -41 2 或
|AB|= 1 +
1
1
2
空间解析几何的曲线与曲面曲线方程曲面方程的性质
空间解析几何的曲线与曲面曲线方程曲面方程的性质空间解析几何是研究几何空间中曲线和曲面的性质和关系的一门学科。
在空间解析几何中，我们经常使用曲线方程和曲面方程来描述和分析几何对象。
本文将探讨曲线方程和曲面方程的性质以及它们在空间解析几何中的应用。
一、曲线方程曲线是空间中的一条连续的弯曲线段，可以用参数方程或者一般方程来表示。
在空间解析几何中，常用的曲线方程形式有点斜式和一般式。
1. 点斜式对于空间中的一条曲线，如果已知曲线上一点的坐标和曲线在该点的切线的斜率，就可以使用点斜式来表示该曲线。
点斜式的一般形式为：(x-x₁)/a = (y-y₁)/b = (z-z₁)/c其中(x₁, y₁, z₁)是曲线上的一点，a、b、c分别表示曲线在该点处的切线在x、y、z轴上的斜率。
2. 一般式一般式是指空间中曲线方程的一般形式，即使用x、y和z的关系式来表示曲线。
一般式的形式如下：F(x, y, z) = 0其中F(x, y, z)是关于x、y和z的多项式函数，代表了曲线上的点满足的条件。
曲线方程的性质在空间解析几何中具有重要的意义。
曲线的性质可以通过方程的形式和参数方程等来确定，包括曲线的形状、方向、长度等。
二、曲面方程曲面是空间中的一个二维平面，可以用一般方程或者双曲线、抛物线和椭圆等几何图形的方程来表示。
在空间解析几何中，常见的曲面方程有一般方程、一般球面方程和柱面方程以及圆锥曲线的方程。
1. 一般方程一般方程是指空间中曲面方程的一般形式，使用x、y和z的关系式来表示曲面。
一般方程的形式如下：F(x, y, z) = 0其中F(x, y, z)是关于x、y和z的函数，代表了曲面上的点满足的条件。
2. 一般球面方程和柱面方程一般球面方程和柱面方程是描述曲面的特殊形式。
一般球面方程的形式为：(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = R²其中(a, b, c)是球心的坐标，R是球的半径。
平面解析几何基础知识曲线的曲率与半径
平面解析几何基础知识曲线的曲率与半径在平面解析几何中，曲线的曲率和曲线的半径是非常重要的基础知识。
曲线的曲率描述了曲线在某一点处弯曲的程度，而曲线的半径则是曲线在该点处的弯曲半径。
一、曲率的定义和计算方法曲线在某一点处的曲率是该点处曲线切线的变化率。
设曲线方程为y=f(x)，则曲线在点(x0,y0)处的曲率K可以通过以下公式计算：K=|y''|/(1+y'²)^(3/2)，其中y'和y''分别表示曲线方程的一阶和二阶导数。
二、曲率的几何意义曲线的曲率可以反映曲线的弯曲程度。
当曲率K为正时，曲线向外凸出，表示曲线在该点处向外弯曲；当曲率K为负时，曲线向内凹陷，表示曲线在该点处向内弯曲；当曲率K为零时，曲线是直线。
曲率的绝对值越大，曲线在该点处的弯曲程度越大。
三、曲线的半径和曲率的关系曲线在某一点处的曲率K与曲线的半径R满足如下关系：K=1/R。
即曲线的曲率等于曲线的半径的倒数。
这意味着曲线的半径越大，曲线的曲率越小，曲线的弯曲程度越小；曲线的半径越小，曲线的曲率越大，曲线的弯曲程度越大。
四、曲线的曲率与切线方向的关系曲线在某一点处的曲率K与曲线在该点处的切线方向有密切关系。
当曲率K为正时，曲线的切线方向是逆时针旋转的；当曲率K为负时，曲线的切线方向是顺时针旋转的。
五、曲线的曲率和半径的应用曲线的曲率和半径在计算机图形学、物理学、工程学等领域有广泛的应用。
在计算机图形学中，曲线的曲率和半径常用于绘制平滑的曲线和曲面，以及进行形状分析；在物理学中，曲线的曲率和半径用于描述粒子在运动过程中的轨迹；在工程学中，曲线的曲率和半径用于设计道路的弯曲程度和转弯半径。
综上所述，曲线的曲率和曲线的半径是平面解析几何中的基础知识。
它们描述了曲线在某一点处的弯曲程度和弯曲半径，对于理解和分析曲线的性质和特点非常重要。
这些知识在实际应用中有广泛的用途，能够帮助我们解决各种问题，并且在科学研究和工程设计中起着重要的作用。
【新人教B版】(新教材)2022版高中数学选择性必修第一册第二章平面解析几何4曲线与方程课件
2.4 曲线与方程
课标要求素养要求源自1.了解曲线上的点与方程的 课 解之间的一一对应关系. 1.数学抽象——能通过具体的实例理解“ 标 解 2.初步理解“曲线的方程” 曲线的方程”与“方程的曲线”的概念. 读 与“方程的曲线”的概念. 2.数学运算——能掌握求动点的轨迹方程
3.初步掌握根据已知条件求 的常见方法.
曲线方程的方法.
要点一 曲线的方程与方程的曲线
点的坐标
1. 如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”会出 现什么情况？你能举例说明吗？
要点二 动点的轨迹方程
直线
圆周
2. 求动点的轨迹方程与求其轨迹有何区别？ 提示 求动点的轨迹方程得出方程即可，而求动点的轨迹在得出方程后还要 指出方程的曲线是什么图形. 3. 求轨迹方程时，根据一个已知的平面图形建立的坐标系是唯一的吗？ 提示 不是唯一的，一般以得到的曲线方程最简单为标准.
ACD
探究点二 曲线的交点
解题感悟 结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方
程组的解，所以可以把求两曲线的交点坐标的问题转化为解方程组的问题， 把讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.如果只涉及曲线的 一部分，那么常用到数形结合的方法．
2
探究点三 求动点的轨迹方程
探究点一 曲线的方程与方程的曲线的概念的理解及应用
例 D
A.
B.
C.
D.
B
解题感悟 曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹 性；以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称 为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方 程．
平面解析几何基础知识曲线的切线与法线方程
平面解析几何基础知识曲线的切线与法线方程在平面解析几何中，曲线的切线与法线方程是重要的基础知识。
切线与法线是通过曲线上的某一点与该点处的曲线切线（或法线）相切而得到的直线。
1. 曲线的切线方程曲线的切线是通过曲线上的某一点与该点处的曲线相切得到的一条直线。
为了确定曲线的切线方程，我们需要知道曲线上的某一点以及该点处切线的斜率。
设曲线的方程为y = f(x)，其中f为可导函数。
曲线上的某一点P(x0, y0)处的切线斜率可以通过函数的导数来表示：k = f'(x0)切线方程的斜截式方程形式为：y - y0 = k(x - x0)这就是曲线在点P(x0, y0)处的切线方程。
2. 曲线的法线方程曲线的法线是通过曲线上的某一点与该点处的曲线垂直相交得到的一条直线。
为了确定曲线的法线方程，我们需要知道曲线上的某一点以及该点处法线的斜率。
曲线上的某一点P(x0, y0)处的法线斜率可以通过函数导数的倒数来表示：k = -1/f'(x0)法线方程的斜截式方程形式为：y - y0 = k(x - x0)这就是曲线在点P(x0, y0)处的法线方程。
需要注意的是，在使用切线和法线方程时，我们需要确定曲线上的某一点以及该点处的切线斜率或法线斜率。
这些信息可以通过已知条件、函数的导数、点的坐标等方式来获取。
总结：平面解析几何中，曲线的切线与法线方程是基础的知识点。
切线方程可以通过曲线上的某一点和该点处的切线斜率来确定，而法线方程可以通过曲线上的某一点和该点处的法线斜率来确定。
在应用切线和法线方程时，我们需要明确曲线上的某一点和该点处的斜率信息。
这些信息可以通过函数的导数或已知条件来获取。
掌握了曲线的切线与法线方程，可以更好地理解和分析曲线的性质与特点，进一步深入学习解析几何的相关知识。
字数：407字。
平面解析几何中的曲线方程与曲面方程的应用
平面解析几何中的曲线方程与曲面方程的应用在平面解析几何学中，曲线方程与曲面方程是重要的工具和概念，用于描述和解析各种几何形状和图形。
通过对这些方程的研究和应用，我们能够更深入地理解曲线和曲面的性质和特征，以及它们在数学和实际应用中的意义。
一、曲线方程的定义与应用曲线方程是用来描述平面上的曲线的数学表达式。
常见的曲线方程包括直线方程、圆方程、椭圆方程、抛物线方程和双曲线方程等。
这些方程使用了不同的数学形式和参数来描绘不同的几何形状。
1. 直线方程的应用直线方程是最简单的曲线方程形式，可用一般式方程或斜截式方程表示。
直线方程的应用广泛，例如，在工程和建筑领域中，直线方程常被用来设计道路、管道和房屋等结构，计算各种材料的长度和角度。
2. 圆方程的应用圆方程是描述圆形的数学表达式。
圆方程可以通过圆心和半径来定位和刻画一个圆。
在物理学和工程学中，圆方程是用来描述和计算圆形物体的运动轨迹和性质的常见工具。
3. 椭圆方程的应用椭圆方程是描述椭圆的数学表达式。
椭圆方程是众多科学领域中的重要数学工具，如天体力学中的行星运动、电子轨道理论和通信技术中的调制解调等。
椭圆方程还被广泛应用于地理勘测、导航系统和资源开发等领域。
4. 抛物线方程的应用抛物线方程是描述抛物线形状的数学表达式。
抛物线方程在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如炮弹的轨迹计算、抛物面反射天线的设计和太阳能聚焦器的形状确定等。
5. 双曲线方程的应用双曲线方程用于描述双曲线形态的数学表达式。
双曲线有广泛的应用，例如在电磁学中描述电磁波传播、经济学中的供需曲线和光学中的折射等。
二、曲面方程的定义与应用曲面方程用于描述三维空间中的曲面，常见的曲面方程有平面方程、球面方程、圆柱面方程、圆锥面方程和椭球面方程等。
这些方程通过数学形式和参数来刻画不同形状的几何体。
1. 平面方程的应用平面方程用于描述一个平面的数学表达式。
平面方程在物理学、工程学和计算机图形学中广泛应用，在工程设计中常用于计算平面上的点坐标和计算平面上的距离和角度。
高中数学第2章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.2双曲线的几何性质课件新人教B版选择性必修第一
知识点三 对双曲线的几何性质的五点认识
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(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置．
(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方 程ax22－by22＝1(a>0，b>0)，得ax22＝1＋by22≥1，所以 x2≥a2，所以|x|≥a，即 x≤
－a 或 x≥a.
(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，因为 c>a>0，
[跟踪训练 1] 求双曲线 9y2－16x2＝144 的半实轴长和半虚轴长、焦点 坐标、离心率、渐近线方程．
解 把方程 9y2－16x2＝144 化为标准方程为4y22－3x22＝1.由此可知，半实 轴长 a＝4，半虚轴长 b＝3，c＝ a2＋b2＝ 42＋32＝5，所以焦点坐标为(0， －5)，(0,5)，离心率 e＝ac＝45，渐近线方程为 y＝±43x.
13 ______e_＝__ac_(_e_>_1_)_______
知识点二 等轴双曲线 01 ____实__轴__长__与__虚__轴__长__相__等_______的双曲线称为等轴双曲线．等轴双曲 线具有以下性质： (1)方程形式为 02 __x_2_－__y_2＝__λ____________ (λ≠0)； (2)渐近线方程为 03 ____y_＝__±_x__________，它们互相垂直，并且平分双 曲线实轴和虚轴所成的角； (3)实轴长和虚轴长都等于 04 ___2_a____，离心率 e＝ 05 ___2___.
图 形
标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
焦点在 y 轴上 ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
焦点位置 焦点 焦距
解析几何中的曲线与曲面方程推导
解析几何中的曲线与曲面方程推导解析几何是数学中的一个分支，研究了平面与空间中的几何图形和代数方程之间的关系。
其中，曲线和曲面是解析几何中的重要概念。
在本文中，我们将从基本的几何知识出发，逐步推导曲线和曲面的方程，并解析它们的特点和性质。
一、曲线的方程推导在解析几何中，曲线可以由一对参数方程或者参数化方程表示。
其中，最常见的曲线方程有直线方程、圆的方程和椭圆的方程等。
1. 直线的方程直线是最简单的曲线之一，可以由一点和一个方向向量唯一确定。
假设直线上一点的坐标为A(x1, y1, z1)，方向向量为v(a, b, c)，那么直线的参数方程可以表示为：x = x1 + aty = y1 + btz = z1 + ct其中t为参数。
将参数方程化简得到直线的一般方程为：(ax - x1)/(a) = (by - y1)/(b) = (cz - z1)/(c)2. 圆的方程圆是一个平面上到定点距离等于定长的点的轨迹。
设圆心坐标为O(h, k)，半径为r，圆上一点的坐标为M(x, y)，则根据勾股定理可以得到圆的方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²3. 椭圆的方程椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹。
设椭圆焦点坐标为F1(a, 0)和F2(-a, 0)，长轴长度为2c，短轴长度为2b，椭圆上一点的坐标为M(x, y)，则根据焦点定义可以得到椭圆的方程为：((x - a)² / c²) + (y² / b²) = 1二、曲面的方程推导曲面是空间中的一个二维对象，可以用方程族来表示。
常见的曲面方程有平面方程、球面方程和椭球面方程等。
1. 平面的方程平面是空间中的一个二维对象，可以由一个法向量和一个过平面上一点的向量唯一确定。
假设平面上一点的坐标为P(x1, y1, z1)，法向量为n(a, b, c)，则平面的方程为：a(x - x1) + b(y - y1) + c(z - z1) = 02. 球面的方程球面是空间中所有与定点距离相等的点的集合。
平面解析几何双曲线与双曲线的方程与性质
平面解析几何双曲线与双曲线的方程与性质在平面解析几何中，双曲线是一类重要的曲线形状。
它们在数学、物理和工程等领域有着广泛的应用。
本文将重点讨论双曲线的方程和性质。
一、双曲线的定义和基本性质双曲线是一个点集，满足到两个给定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a的所有点的轨迹。
该常数a称为双曲线的半长轴。
双曲线的两个焦点F1和F2与半长轴之间的距离称为焦距，记为2c。
双曲线的方程可以表示为：(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1其中，(h, k)是双曲线的中心点。
根据双曲线的方程，可以推导出双曲线的一些基本性质。
1. 双曲线的对称轴与中心点相交，且垂直于对称轴的直线称为双曲线的主轴。
主轴的长度等于2a。
2. 双曲线的焦点与中心点之间的连线称为焦半径，焦半径的长度等于c。
3. 双曲线的两个分支关于对称轴对称，且与圆的不同是它们的离心率大于1。
4. 双曲线的离心率定义为e = c/a，用来描述双曲线的形状。
离心率大于1，表示双曲线趋近无穷远。
二、双曲线的分类根据双曲线的方程和性质，可以将双曲线分为以下几类：1. 横轴双曲线：a²大于b²，焦点位于横轴上。
2. 竖轴双曲线：a²小于b²，焦点位于竖轴上。
3. 倾斜双曲线：双曲线的对称轴不与坐标轴重合。
不同类型的双曲线在平面上呈现出不同的形态和特点，对于双曲线的分类与性质的理解对于解析几何的研究和实际应用非常重要。
三、双曲线的应用双曲线在数学、物理和工程等多个领域都有着广泛的应用。
1. 数学应用：双曲线是解析几何中的重要概念，在微积分、代数等数学学科中都有着深入研究和应用。
2. 物理应用：双曲线在物理学中的应用非常广泛，例如光学中的折射、电磁学中的电场分布等都可以用双曲线进行描述和计算。
3. 工程应用：双曲线在工程领域中也有着重要的应用，例如在建筑设计中可以利用双曲线形状来构建特殊的建筑结构。
解析几何中的曲线与曲面方程
解析几何中的曲线与曲面方程一、引言解析几何是数学中的一个重要分支，研究几何图形与代数方程之间的关系。
曲线与曲面是解析几何中的重要概念，其方程的求解和性质的分析对于研究几何图形的特性和应用具有重要意义。
本文将对解析几何中的曲线与曲面方程进行深入解析与讨论。
二、曲线方程的基本形式在解析几何中，曲线方程可以表达为一元或多元函数方程的形式。
一元曲线方程通常是指平面曲线方程，可以表示为y=f(x)的形式，其中f(x)为一个单变量的函数。
多元曲线方程则是指在三维空间中的曲线方程，可以表示为一组形如{x=f(t),y=g(t),z=h(t)}的参数方程。
对于不规则曲线，其方程形式可以更为复杂。
三、常见曲线方程1. 直线方程直线是最简单的曲线之一，其方程可以表示为y=kx+b的形式，其中k为斜率，b为截距。
也可以用向量方程的形式表示为(x,y)=(x_0,y_0)+t(a,b)，其中(x_0,y_0)为直线上一点坐标，(a,b)为方向向量，t为参数。
2. 圆的方程圆是具有相同半径长度的所有点的集合，其方程可以表示为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
也可以用参数方程的形式表示为{x=a+r*cos(t),y=b+r*sin(t)}。
3. 椭圆的方程椭圆是具有两个焦点F_1和F_2间距离之和为常数的点的集合，其方程可以表示为[(x-a)^2/a^2]+[(y-b)^2/b^2]=1，其中(a,b)为椭圆中心坐标，a和b分别为半长轴和半短轴的长度。
4. 抛物线的方程抛物线是焦点到准线距离与焦点到抛物线上任意一点距离之比为常数的点的集合，其方程可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数。
5. 双曲线的方程双曲线是焦点到准线距离与焦点到双曲线上任意一点距离之差为常数的点的集合，其方程可以表示为[(x-h)^2/a^2]-[(y-k)^2/b^2]=1，其中(h,k)为双曲线中心坐标，a和b分别为半轴的长度。
平面解析几何与曲线方程圆椭圆双曲线与抛物线
平面解析几何与曲线方程圆椭圆双曲线与抛物线平面解析几何与曲线方程一、引言平面解析几何是数学中的一个分支，通过运用代数与几何的知识，研究平面上点的位置、距离、方向等。
而曲线方程则是用代数的方法来表示曲线的方程。
本文将重点探讨平面解析几何中的四种曲线方程，即圆椭圆、双曲线和抛物线。
二、圆的方程圆是平面解析几何中最简单也最常见的曲线之一。
圆上的每个点到圆心的距离都相等，这个距离被称为圆的半径。
圆的方程可以通过坐标系中的点和半径来表示。
假设圆的半径为r，圆心为(h, k)，圆上一点的坐标为(x, y)，则根据勾股定理，可以得到圆的方程：(x - h)² + (y - k)² = r²这个方程表达了平面上所有满足距离圆心距离为r的点，所以可以用来表示一个圆。
三、椭圆的方程椭圆是平面解析几何中另一种重要的曲线，它的形状类似于拉伸的圆。
椭圆上的每个点，到两个焦点的距离之和是一个常数。
椭圆的方程可以通过坐标系中的点和椭圆的焦点、长半轴和短半轴来表示。
假设椭圆的焦点为F1和F2，椭圆的长半轴为a，短半轴为b，椭圆上一点的坐标为(x, y)，则可以得到椭圆的方程：((x - x1)² + (y - y1)²) / a² + ((x - x2)² + (y - y2)²) / b² = 1这个方程可以表示平面上所有满足到焦点距离之和为常数的点，从而构成一个椭圆。
四、双曲线的方程双曲线是平面解析几何中另一个重要的曲线，它的形状类似于打开的弓形。
双曲线上的每个点，到两个焦点的距离之差是一个常数。
双曲线的方程可以通过坐标系中的点和双曲线的焦点、实轴长半轴和虚轴长半轴来表示。
假设双曲线的焦点为F1和F2，实轴长半轴为a，虚轴长半轴为b，双曲线上一点的坐标为(x, y)，则可以得到双曲线的方程：((x - x1)² - (y - y1)²) / a² - ((x - x2)² - (y - y2)²) / b² = 1这个方程可以表示平面上所有满足到焦点距离之差为常数的点，从而构成一个双曲线。
解析几何中求曲线轨迹方程的常见方法总结(学生用)
解析几何中求曲线轨迹方程的常见方法总结一．直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式，化简即得动点轨迹方程。
它的基本步骤是建系、设点、列式、代换、化简、证明。
例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是49，求点M 的轨迹方程。
习题：1.（2011新课标全国理）在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,0-A ，B 点在直线3-=y 上，M 点满足,,//BA MB AB MA OA MB ⋅=⋅M 点的轨迹为曲线C ，求C 的方程。
2.（2010年北京卷）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点()1,1-A 关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与直线BP 的斜率之积等于31-，求动点P 的轨迹方程。
3.（2012四川理）如图，动点M 到两定点(1,0)A -、(2,0)B 构成MAB ∆，且2MBA MAB∠=∠，设动点M 的轨迹为C ，求轨迹C 的方程；y xB A O M4.(2012年江西)已知三点()0,0O ，()1,2-A ，()1,2B ，曲线C 上任意一点()y x M ,满足()2MA MB OM OA OB +=⋅++ ，求曲线C 的方程；二．定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本曲线的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，求出待定方程中的常数，即可得到轨迹方程例2．若(8,0),(8,0)B C -为ABC ∆的两顶点，AC 和AB 两边上的中线长之和是30，则ABC ∆的重心轨迹方程是_______________。
变式：1.方程222(1)(1)|2|x y x y -+-=++表示的曲线是 （ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．线段D ．抛物线2.一动圆与已知圆1Q ：()1322=++y x 外切，与圆2Q ：()813-22=+y x 内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程。
三、代入法：代入法又称转移法或相关点发，即如果点P 的运动轨迹或所在曲线已知，而点Q 与点P 之间的坐标又可以建立某种关系，则借助点P 的轨迹可以得到点Q 的轨迹 转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。
平面解析几何基础知识曲线的参数方程与一般方程
平面解析几何基础知识曲线的参数方程与一般方程曲线的参数方程与一般方程是平面解析几何中重要的基础知识。
本文将介绍曲线的参数方程和一般方程的概念、推导与应用。
通过对这两种方程形式的理解和掌握，可以更好地研究和描述曲线在平面上的运动和性质。
一、曲线的参数方程在平面解析几何中，曲线的参数方程是通过一个参数来表示曲线上的各个点的坐标。
假设曲线为C，参数为t，曲线上的每一个点都可以表示为一对坐标(x(t), y(t))，其中x和y都是t的函数。
曲线C的参数方程可以写作：x = f(t)，y = g(t)。
其中f(t)和g(t)是给定的函数。
通过参数方程，我们可以更方便地表达曲线上的点，同时可以利用参数的变化来描述曲线的运动过程。
参数方程的优势在于它可以处理一些在直角坐标系下难以表示的曲线，例如椭圆、双曲线等。
以椭圆为例，椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cos(t)，y = b*sin(t)其中a和b分别表示椭圆的半长轴和半短轴的长度，t的范围为[0, 2π]。
二、曲线的一般方程曲线的一般方程是通过关系式来表示曲线上的点的坐标。
通常，曲线的一般方程形式为F(x, y) = 0，其中F是关于x和y的函数。
一般方程是隐式方程，通过求解方程可以确定曲线上的点。
对于一次曲线，即形如Ax + By + C = 0的方程，其中A、B和C是实数且不同时为零。
这个方程可以表示直线。
直线的斜率可以通过方程的系数来计算，斜率为-k/a，其中k为B的系数，a为A的系数。
对于二次曲线，即形如Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0的方程。
二次曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。
通过对方程进行适当的配方和平移，可以将二次曲线转化为标准形式。
例如，将二次曲线转化为中心在原点的标准椭圆方程。
三、参数方程与一般方程的联系参数方程和一般方程是等价的，可以相互转化。
参数方程可以通过消参得到一般方程，而一般方程则可以通过参数消去得到参数方程。
高中数学知识点总结(第九章 平面解析几何 第九节 曲线与方程)
第九节 曲线与方程一、基础知识1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式；(5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．(1)如果曲线C 的方程是f (x ，y )＝0, 那么点P 0(x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是f (x 0，y 0)＝0.(2)“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线”是“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”的充分不必要条件.坐标系建立的不同，同一曲线在不同坐标系中的方程也不同，但它们始终表示同一曲线． 有时此过程可根据实际情况省略，直接列出曲线方程．考点一 直接法求轨迹方程1．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且Q P ―→·Q F ―→＝FP ―→·F Q ―→，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3xC ．x 2＝2yD ．y 2＝4x解析：选A 设点P (x ，y )，则Q(x ，－1)． ∵Q P ―→·Q F ―→＝FP ―→·F Q ―→，∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ，∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .2．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13.则动点P 的轨迹方程为________________．解析：因为点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称， 所以点B 的坐标为(1，－1)．设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13，化简得x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．故动点P 的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)． 答案：x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)3．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为____________________．解析：设A (x ，y )，由题意可知D ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2. ∵|CD |＝3，∴⎝⎛⎭⎫x 2－52＋⎝⎛⎭⎫y22＝9， 即(x －10)2＋y 2＝36， 由于A ，B ，C 三点不共线， ∴点A 不能落在x 轴上，即y ≠0，∴点A 的轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)． 答案：(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)考点二 定义法求轨迹方程[典例精析]已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程．[解] 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4＞|MN |＝2.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．[解题技法]定义法求曲线方程的2种策略(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，利用条件把待定系数求出来，使问题得解．[题组训练]如图，已知△ABC 的两顶点坐标A (－1，0)，B (1,0)，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，|CP |＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C 的轨迹为曲线M ，求曲线M 的方程．解：由题知|CA |＋|CB |＝|CP |＋|C Q|＋|AP |＋|B Q|＝2|CP |＋|AB |＝4＞|AB |， 所以曲线M 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x 轴的交点)． 设曲线M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0，y ≠0)，则a 2＝4，b 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝3， 所以曲线M 的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0).考点三 代入法(相关点)求轨迹方程[典例精析]如图所示，抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．[解] (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)，代入y 2＝2px ，解得p ＝1. (2)由(1)知抛物线E ：y 2＝2x ，设C ⎝⎛⎭⎫y 212，y 1，D ⎝⎛⎭⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0.切线l 1的斜率为k ，则切线l 1：y －y 1＝k ⎝⎛⎭⎫x －y 212， 代入y 2＝2x ，得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0， 由Δ＝0，解得k ＝1y 1，∴l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立⎩⎨⎧y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y22，解得⎩⎨⎧x ＝y 1y 22，y ＝y 1＋y22.易知CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,2 2 ]， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0， 则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x.代入⎩⎨⎧x ＝y 1y 22，y ＝y 1＋y22，可得M (x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝－8x 0，y ＝－y0x 0，可得⎩⎨⎧x 0＝－8x，y 0＝8yx ，代入x 20＋y 20＝8，并化简，得x 28－y 2＝1. 考虑到x 0∈[2,22]，知x ∈[－4，－22]，∴动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－22]．[解题技法]“相关点法”求轨迹方程的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f x ，y ，y 1＝g x ，y ；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．[题组训练]已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)，经过点M ⎝⎛⎭⎫33，0的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，且MB ―→＝－2MA ―→.若点B 的坐标为(0,2)，求曲线E 的方程．解：设A (x 0，y 0)，∵B (0,2)，M ⎝⎛⎭⎫33，0，故MB ―→＝⎝⎛⎭⎫－33，2，MA ―→＝⎝⎛⎭⎫x 0－33，y 0.由于MB ―→＝－2MA ―→，∴⎝⎛⎭⎫－33，2＝－2⎝⎛⎭⎫x 0－33，y 0.∴x 0＝32，y 0＝－1，即A ⎝⎛⎭⎫32，－1. ∵A ，B 都在曲线E 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ·02＋b ·22＝1，a ·⎝⎛⎭⎫322＋b ·－12＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14. ∴曲线E 的方程为x 2＋y 24＝1. [课时跟踪检测]A 级1．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ―→＝λ1OA ―→＋λ2OB ―→(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线解析：选A 设C (x ，y )，因为OC ―→＝λ1OA ―→＋λ2OB ―→， 所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝y ＋3x10，λ2＝3y －x10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹是直线，故选A.2.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A B C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是( )解析：选D 当P 沿AB 运动时，x ＝1，设P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2y ，y ′＝1－y 2(0≤y ≤1)，故y ′＝1－x ′24(0≤x ′≤2,0≤y ′≤1)．当P 沿BC 运动时，y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝x 2－1(0≤x ≤1)，所以y ′＝x ′24－1(0≤x ′≤2，－1≤y ′≤0)，由此可知P ′的轨迹如D 所示，故选D.3．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2x B.(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2解析：选D 如图，设P (x ，y )， 圆心为M (1,0)．连接MA ，PM ， 则MA ⊥P A ，且|MA |＝1， 又因为|P A |＝1，所以|PM |＝|MA |2＋|P A |2＝2， 即|PM |2＝2，所以(x －1)2＋y 2＝2.4．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP ―→＝2P A ―→，且O Q ―→·AB ―→＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.由BP ―→＝2P A ―→，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.点Q(－x ，y )，故由O Q ―→·AB ―→＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ＝32x ，b ＝3y 代入ax ＋by ＝1，得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．5.如图所示，已知F 1，F 2是椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过F 2作∠F 1PF 2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )A ．直线 B.圆 C ．椭圆D ．双曲线解析：选B 延长F 2Q ，与F 1P 的延长线交于点M ，连接O Q.因为P Q 是∠F 1PF 2的外角的角平分线，且P Q ⊥F 2M ，所以在△PF 2M 中，|PF 2|＝|PM |，且Q 为线段F 2M 的中点．又O 为线段F 1F 2的中点，由三角形的中位线定理，得|O Q|＝12|F 1M |＝12(|PF 1|＋|PF 2|)．根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|O Q|＝a ，所以点Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为a 的圆，故选B.6．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC ―→＝OA ―→＋t (OB ―→－OA ―→)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是____________________．解析：设C (x ，y )，则OC ―→＝(x ，y )，OA ―→＋t (OB ―→－OA ―→)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t 消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.答案：y ＝2x －27．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，A 为椭圆上任意一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________________．解析：由题意，延长F 1D ，F 2A 并交于点B ，易证Rt △ABD ≌Rt △AF 1D ，则|F 1D |＝|BD |，|F 1A |＝|AB |，又O 为F 1F 2的中点，连接OD ，则OD ∥F 2B ，从而可知|DO |＝12|F 2B |＝12(|AF 1|＋|AF 2|)＝2，设点D 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2＝4.答案：x 2＋y 2＝48．(2019·福州质检)已知A (－2,0)，B (2,0)，斜率为k 的直线l 上存在不同的两点M ，N 满足|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，且线段MN 的中点为(6,1)，则k 的值为________．解析：因为|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，由双曲线的定义知，点M ，N 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，且c ＝2，a ＝3，所以b ＝1，所以该双曲线的方程为x 23－y 2＝1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，y 1＋y 2＝2.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，代入双曲线的方程，消去y ，得(1－3k 2)x 2－6mkx －3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝6mk1－3k 2＝12，①y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝12k ＋2m ＝2，② 由①②解得k ＝2. 答案：29.如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2(1＜t ＜3)与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点，求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．解：由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)．设点A 的坐标为(x 0，y 0)， 由曲线的对称性，得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．②由①②相乘得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③ 又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0)．10．(2019·武汉模拟)在平面直角坐标系xOy 中取两个定点A 1(－6，0)，A 2(6，0)，再取两个动点N 1(0，m )，N 2(0，n )，且mn ＝2.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2的交点M 的轨迹C 的方程；(2)过R (3,0)的直线与轨迹C 交于P ，Q 两点，过点P 作PN ⊥x 轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若RP ―→＝λR Q ―→ (λ＞1)，求证：NF ―→＝λF Q ―→.解：(1)依题意知，直线A 1N 1的方程为y ＝m6(x ＋6)，① 直线A 2N 2的方程为y ＝－n6(x －6)，② 设M (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2的交点， ①×②得y 2＝－mn6(x 2－6)，又mn ＝2，整理得x 26＋y 22＝1.故点M 的轨迹C 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)证明：设过点R 的直线l ：x ＝ty ＋3，P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则N (x 1，－y 1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋3，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(t 2＋3)y 2＋6ty ＋3＝0，(*)所以y 1＋y 2＝－6t t 2＋3，y 1y 2＝3t 2＋3.由RP ―→＝λR Q ―→，得(x 1－3，y 1)＝λ(x 2－3，y 2)，故x 1－3＝λ(x 2－3)，y 1＝λy 2， 由(1)得F (2,0)，要证NF ―→＝λF Q ―→， 即证(2－x 1，y 1)＝λ(x 2－2，y 2)，只需证2－x 1＝λ(x 2－2)，只需x 1－3x 2－3＝－x 1－2x 2－2，即证2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋12＝0，又x 1x 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＝t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9，x 1＋x 2＝ty 1＋3＋ty 2＋3＝t (y 1＋y 2)＋6，所以2t 2y 1y 2＋6t (y 1＋y 2)＋18－5t (y 1＋y 2)－30＋12＝0，即2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝0，而2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝2t 2·3t 2＋3－t ·6t t 2＋3＝0成立，即NF ―→＝λF Q ―→成立．B 级1．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A ．两条直线 B.两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线解析：选D 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0，或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线．2．动点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上异于椭圆顶点A (a,0)，B (－a,0)的一点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，动圆M 与线段F 1P ，F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心M 的轨迹为除去坐标轴上的点的( )A ．抛物线 B.椭圆 C ．双曲线的右支D ．一条直线解析：选D 如图，设切点分别为E ，D ，G ，由切线长相等可得|F 1E |＝|F 1G |，|F 2D |＝|F 2G |，|PD |＝|PE |.由椭圆的定义可得|F 1P |＋|PF 2|＝|F 1P |＋|PD |＋|DF 2|＝|F 1E |＋|DF 2|＝2a ，即|F 1E |＋|GF 2|＝2a ，也即|F 1G |＋|GF 2|＝2a ，故点G 与点A 重合，所以点M 的横坐标是x ＝a ，即点M 的轨迹是一条直线(除去A 点)，故选D.3．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________________．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，所以|F A |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)4.如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足DM ―→＝12DP ―→.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．解：(1)设M (x ，y )，则D (x,0)， 由DM ―→＝12DP ―→，知P (x,2y )，∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上， ∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1，且轨迹C 是以(－3，0)，(3，0)为焦点，长轴长为4的椭圆．(2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在， 设l ：y ＝k (x －3)，代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)＞0，得k 2＜15，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3)＝k (x 1＋x 2)－6k ＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k 1＋4k 2. ∵四边形OAEB 为平行四边形，∴OE ―→＝OA ―→＋OB ―→＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2， 又OE ―→＝(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24k 21＋4k 2，y ＝－6k1＋4k 2，消去k 得，x 2＋4y 2－6x ＝0， ∵k 2＜15，∴0＜x ＜83.11∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝⎛⎭⎫0＜x ＜83. 5.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠P AB ＝30°，则点P 的轨迹是( )A ．直线B.抛物线 C ．椭圆 D ．双曲线的一支解析：选C 母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB与平面α的夹角为60°，则截口为P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆．故选C.6．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B.x 2＋y 2＝9C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y解析：选B ∵M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，∴M 的轨迹是以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1. A 项，直线x ＋y ＝5过点(5,0)，故直线与M 的轨迹有交点，满足题意；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆x 225＋y 29＝1与M 的轨迹有交点，满足题意； D 项，把x 2＝16y 代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1， 即y 2－9y ＋9＝0，∴Δ＞0，满足题意．7．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且顶点A ，B 的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C 为动点，且满足sin B ＋sin A ＝54sin C ，则C 点的轨迹方程为________________． 解析：由sin B ＋sin A ＝54sin C 可知b ＋a ＝54c ＝10， 则|AC |＋|BC |＝10＞8＝|AB |，∴满足椭圆定义．令椭圆方程为x 2a ′2＋y 2b ′2＝1，则a ′＝5，c ′＝4，b ′＝3， 则轨迹方程为x 225＋y 29＝1(x ≠±5)． 答案：x 225＋y 29＝1(x ≠±5)。
平面解析几何中的圆锥曲线与参数方程
平面解析几何中的圆锥曲线与参数方程圆锥曲线是平面解析几何中非常重要的一类曲线，由参数方程描述。
本文将介绍圆锥曲线的定义、常见类型以及参数方程的应用。
一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是平面上由一个动点P到两个定点F1和F2的距离之和恒定的点的轨迹。
这个恒定的距离称为焦距，定点F1和F2称为焦点，直线F1F2称为焦点连线，称为焦线。
圆、椭圆、双曲线和抛物线是四类常见的圆锥曲线。
二、圆圆是一种特殊的圆锥曲线，它的焦点和焦线重合。
圆的参数方程为：x = a*cosθ, y = a*sinθ，其中a为半径。
三、椭圆椭圆是一类圆锥曲线，它的焦点到任意一点的距离之和恒定。
椭圆可以通过参数方程来描述，参数方程为：x = a*cosθ, y = b*sinθ，其中a 和b分别为椭圆的长半轴和短半轴的长度。
四、双曲线双曲线是一类圆锥曲线，它的焦点到任意一点的距离之差恒定。
双曲线的参数方程有两种形式：x = a*secθ, y = b*tanθ和x = a*coshθ, y =b*sinhθ。
五、抛物线抛物线是一类圆锥曲线，它的焦点到任意一点的距离等于焦点到该点的垂直距离的平方。
抛物线的参数方程为：x = a*t, y = b*t^2，其中a 和b分别为抛物线的形状参数。
六、参数方程在圆锥曲线中的应用参数方程在解析几何中有广泛的应用，特别是在描述曲线的轨迹时非常有用。
在圆锥曲线中，参数方程可以帮助我们精确描述曲线的形状和位置。
通过改变参数a和b的值，我们可以获得不同形状和大小的圆锥曲线。
例如，改变参数a可以使椭圆的长半轴变长或变短，改变参数b可以使椭圆的短半轴变长或变短。
参数方程的灵活性使得我们能够根据需要绘制各种各样的曲线。
此外，参数方程还可以用来求解圆锥曲线上的点的坐标。
给定一个参数值，我们可以通过代入参数方程中求出对应的点的坐标。
这在计算机图形学和物理学等领域有着广泛的应用。
结束语圆锥曲线与参数方程是平面解析几何中的重要内容，了解它们的定义和应用对于深入理解曲线的性质和特征具有重要意义。
数学解析几何中的二次曲线方程
数学解析几何中的二次曲线方程在数学解析几何中，二次曲线方程是一种非常重要且常见的数学表达式。
它以一种独特的方式描述了平面上的点的轨迹，应用广泛且深入人心。
今天，我将带您一起探索数学解析几何中的二次曲线方程，了解其基本形式、性质以及一些实际应用。
二次曲线方程的基本形式可以表示为：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0其中A、B、C、D、E和F是已知的实数系数。
通过对这些系数进行适当的选择，我们可以得到不同类型的二次曲线，如椭圆、双曲线和抛物线。
这些曲线有着独特的几何特性和数学性质，让我们一起来探究一下吧。
首先，让我们来看一下椭圆。
椭圆的二次曲线方程可以表示为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
椭圆是由一条封闭曲线组成的，其特点是所有点到两个焦点的距离之和始终等于常数2a，且直径的长度为2a。
接下来，我们来看一下双曲线。
双曲线的二次曲线方程可以表示为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1与椭圆类似，(h,k)代表着双曲线的中心坐标，a和b是曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
双曲线由两条分离的曲线组成，其特点是所有点到两个焦点的距离之差始终等于常数2a，且曲线与两条渐近线相切。
最后，让我们来探讨一下抛物线。
抛物线的二次曲线方程可以表示为：y = ax² + bx + c其中a、b和c是常数，控制着抛物线的形状。
抛物线是一条开口朝上或朝下的U型曲线，其特点是所有点到焦点的距离与到准线的距离相等。
除了这些常见的二次曲线类型，二次曲线方程还可以表达各种其他曲线形状，如圆、直线和点。
掌握了二次曲线方程的基本形式和性质，我们可以在解析几何中更好地理解和分析曲线的特性。
除了数学理论上的应用，二次曲线方程在实际生活中也有广泛的应用。
平面解析几何与曲线方程
平面解析几何与曲线方程在数学中，平面解析几何是研究平面上的几何形状与其方程之间的关系的一个分支领域。
它的基本原理是通过给定的曲线方程，我们可以解析并推导出该曲线在平面上的几何形态。
本文将介绍平面解析几何的基本概念和曲线方程的应用。
一、平面解析几何基础在平面解析几何中，我们通常使用笛卡尔坐标系来描述平面上的点和几何图形。
笛卡尔坐标系由水平的x轴和垂直的y轴组成，并以原点为中心。
每个点在平面上有一个唯一的坐标(x, y)，其中x表示该点在x轴上的位置，y表示该点在y轴上的位置。
通过坐标系，我们可以定义平面上的直线和曲线。
对于直线而言，我们可以用一元一次方程来表示，即y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
斜率代表直线与x轴的夹角的正切值，截距表示直线与y轴相交的位置。
二、平面曲线的方程除了直线之外，平面上还存在多种曲线，如圆、椭圆、双曲线等。
这些曲线通常用方程来表示，方程中包含了与曲线相关的参数和变量。
1. 圆的方程圆是平面上到一个定点的距离等于定值的所有点的集合。
圆可以用方程(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2来表示，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径。
2. 椭圆的方程椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于定值的所有点的集合。
椭圆可以用方程((x-a)^2)/p + ((y-b)^2)/q = 1来表示，其中(a,b)为椭圆中心的坐标，p和q为椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
3. 双曲线的方程双曲线是平面上到两个定点的距离之差等于定值的所有点的集合。
双曲线可以用方程((x-a)^2)/p - ((y-b)^2)/q = 1来表示，其中(a,b)为双曲线中心的坐标，p和q为双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
三、曲线方程的应用曲线方程不仅仅是解析几何的基本工具，还在众多领域中有着广泛的应用。
1. 工程中的应用在建筑和工程领域，曲线方程的应用非常广泛。
通过曲线方程，可以准确地描述建筑物的外形、管道的弯曲程度等。
平面解析几何中利用复数转化二次曲线方程
非常道Җ㊀北京㊀韩静波㊀㊀根据曲线的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出曲线图形,是解析几何的重要问题之一．在高中阶段,根据曲线方程研究曲线几何性质的一般策略是研究曲线的对称性㊁特殊点等,在此基础上,尝试将曲线方程化简为学习过的曲线方程．本文进一步讨论将二次曲线方程转化为学习过的曲线方程的一般方法,即用复数对二次曲线方程进行旋转变换,然后再进行平移变换(更一般㊁易操作的方法是利用矩阵知识)．１㊀相关概念及原理分析１ １㊀复数的三角形式设非零复数z ＝x ＋y i (x ,y ɪR ),则复数z 对应的点为Z (x ,y ),因为z 为非零复数,所以z ＝x ２＋y ２(x x ２＋y ２＋y x ２＋y２i )．记r ＝x ２＋y ２,c o s θ＝xx ２＋y２,s i n θ＝yx ２＋y２,则z ＝r (c o s θ＋i s i n θ)．称z ＝r (c o s θ＋i s i n θ)为非零复数z 的三角形式,其中由三角函数定义可知,θ为以x 轴非负半轴为始边,射线O Z 为终边的角,称其为非零复数z 的辐角．１ ２㊀复数的乘法与旋转变换１)原理分析设非零复数z ０＝c o s θ＋i s i n θ(即|z ０|＝１),对于任意的非零复数z ＝r (c o s α＋i s i n α)(r ＞０),z z ０＝r (c o s α＋i s i n α)(c o s θ＋i s i n θ)＝r [(c o s αc o s θ－s i n αs i n θ)＋i (c o s αs i n θ＋s i n αc o s θ)]＝r [c o s (α＋θ)＋i s i n (α＋θ)]．任意非零复数z ＝r (c o s α＋i s i n α)乘以模为１㊁辐角为θ的复数,积都是模为r ㊁辐角为α＋θ的复数,其几何意义是当θȡ０时,将复数z 对应的点绕原点逆时针旋转|θ|;当θ＜０时,将复数z 对应的点绕原点顺时针旋转|θ|．２)点的旋转变换对平面上任意一点Z (x ,y ),设其绕原点旋转θ后得到点Z ᶄ(x ᶄ,yᶄ),其中当θȡ０时,将复数z 对应的点绕原点逆时针旋转|θ|;当θ＜０时,将复数z 对应的点绕原点顺时针旋转|θ|．则Z ᶄ(x ᶄ,yᶄ)绕原点旋转－θ后得到点Z (x ,y ),由上可知x ᶄ＋y ᶄi ＝(x ＋yi )(c o s θ＋i s i n θ)＝x c o s θ－y s i n θ＋(x s i n θ＋yc o s θ)i ,所以x ᶄ＝x c o s θ－ys i n θ,y ᶄ＝x s i n θ＋yc o s θ．{同理,x ＝x ᶄc o s θ＋yᶄs i n θ,y ＝－x ᶄs i n θ＋yᶄc o s θ．{３)二次曲线方程的旋转变换在平面x O y 上,二次曲线的一般形式为A x ２＋B x y ＋C y ２＋D x ＋E y ＋F ＝０(A ,B ,C 不同时为零),Z (x ,y )为曲线上任意一点,将该曲线绕原点旋转θ,当θȡ０时,将复数z 对应的点绕原点逆时针旋转|θ|;当θ＜０时,将复数z 对应的点绕原点顺时针旋转|θ|．当B ʂ０时,设Z (x ,y )旋转到Z ᶄ(x ᶄ,yᶄ),由上可知x ＝x ᶄc o s θ＋yᶄs i n θ,y ＝－x ᶄs i n θ＋yᶄc o s θ．{所以旋转后的曲线为A (x ᶄc o s θ＋y ᶄs i n θ)２＋B (x ᶄc o s θ＋yᶄs i n θ) (－x ᶄs i n θ＋y ᶄc o s θ)＋C (－x ᶄs i n θ＋yᶄc o s θ)２＋D (x ᶄc o s θ＋y ᶄs i n θ)＋E (－x ᶄs i n θ＋yᶄc o s θ)＋F ＝０．整理得(A c o s ２θ－B s i n θc o s θ＋C s i n ２θ)x ᶄ２＋(A s i n ２θ＋B s i n θc o s θ＋C c o s ２θ)yᶄ２＋(２A s i n θc o s θ＋B c o s ２θ－B s i n ２θ－２C s i n θc o s θ)x ᶄyᶄ＋(D c o s θ－E s i n θ)x ᶄ＋(D s i n θ＋E c o s θ)yᶄ＋F ＝０．进一步整理得(A c o s ２θ－B s i n θc o s θ＋C s i n ２θ)x ᶄ２＋(A s i n ２θ＋B s i n θc o s θ＋C c o s ２θ)yᶄ２＋[(A －C )s i n２θ＋B c o s ２θ]x ᶄyᶄ＋(D c o s θ－E s i n θ)x ᶄ＋(D s i n θ＋E c o s θ)yᶄ＋F ＝０．令(A －C )s i n２θ＋B c o s２θ＝０,得θ＝θ０＋k π２(k ɪZ ),其中θ０ɪ(－π２,π２]．㊀㊀再将θ０代回,则方程可化简为A ᶄx ᶄ２＋B ᶄy ᶄ２＋C ᶄx ＋D ᶄy ＋F ＝０．最后通过配方,化简为A ᶄ(x ᶄ＋a ᶄ)２＋B ᶄ(yᶄ＋b ᶄ)２＋F ᶄ＝０,此方程可以表示圆或其他圆锥曲线,当然若方程无解,则不表示任何图形．同理,当B ＝０时,原方程为A x ２＋C y ２＋Dx ＋E y ＋F ＝０,此方程也可表示圆或其他圆锥曲线,当方程无解时,则不表示任何图形．５１非常道２㊀原理的应用例１㊀(２０１９年北京卷理８)数学中有许多形状优美㊁寓意美好的曲线,曲线C :x ２＋y ２＝１＋|x |y 就是其中之一(如图１)．㊀㊀图１①曲线C 恰好经过６个整点(即横㊁纵坐标均为整数的点);②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过２;③曲线C 所围成的 心形 区域的面积小于３．其中,所有正确结论的序号是(㊀㊀)．A．①㊀㊀B ．②㊀㊀C ．①②㊀㊀D．①②③根据曲线方程,我们可以研究曲线的对称性㊁特殊点等,并在此基础上,也可以类比圆的方程对曲线方程进行转化．下面我们通过转化曲线C 的方程,透彻解析曲线C 的性质．若(x ０,y ０)为曲线方程的解,则(－x ０,y ０)也为该方程的解,所以曲线C 关于y 轴对称．只需研究曲线C 在y 轴右侧的部分,当x ȡ０时,曲线C 方程为x ２＋y ２＝１＋x y ．①㊀㊀设Z (x ,y )为曲线C 上任意一点,现将该曲线绕原点旋转θ,其中当θȡ０时,将复数z 对应的点绕原点逆时针旋转|θ|;当θ＜０时,将复数z 对应的点绕原点顺时针旋转|θ|．设Z (x ,y )旋转到Z ᶄ(x ᶄ,yᶄ),由上可知x ＝x ᶄc o s θ＋yᶄs i n θ,y ＝－x ᶄs i n θ＋yᶄc o s θ．{将上式代入①式,得(x ᶄc o s θ＋y ᶄs i n θ)２＋(－x ᶄs i n θ＋yᶄc o s θ)２＝１＋(x ᶄc o s θ＋y ᶄs i n θ)(－x ᶄs i n θ＋yᶄc o s θ)．整理得x ᶄ２＋y ᶄ２＝１－x ᶄ２s i n θc o s θ＋(c o s ２θ－s i n ２θ)x ᶄy ᶄ＋yᶄ２s i n θc o s θ．取θ＝π４,则方程为x ᶄ２＋y ᶄ２＝１－x ᶄ２２＋y ᶄ２２,整理得y ᶄ２２＋３x ᶄ２２＝１．因为x ȡ０,即２x ᶄ２＋２y ᶄ２ȡ０,所以y ᶄȡ－x ᶄ．曲线C 在y 轴右侧的部分逆时针旋转π４后其方程为y ᶄ２２＋３x ᶄ２２＝１(yᶄȡ－x ᶄ),这是椭圆y ᶄ２２＋３x ᶄ２２＝１在直线y ᶄ＝－x ᶄ上方的部分,同理曲线C 在y 轴左侧的部分逆时针旋转π４后其方程为x ᶄ２２＋３y ᶄ２２＝１(yᶄɤ－x ᶄ),这是椭圆x ᶄ２２＋３y ᶄ２２＝１在直线y ᶄ＝－x ᶄ下方的部分,如图２,两个椭圆的长半轴长均为２,短半轴长６３．㊀㊀图２根据椭圆的性质,曲线C上任意一点到原点的距离都不超过长半轴的长２,都不少于短半轴长６３,所以很容易确定②正确．由上可知,曲线C 在y 轴右侧和在y 轴左侧的部分分别是两个全等椭圆的一半,围成的区域合在一起是整个椭圆的面积,即πa b ＝２３３π,所以③错误．综上所述,曲线C 的性质可转化为椭圆的性质,易知①②正确,③错误,故选C ．例２㊀关于曲线C :x ２＋x y ＋y ２＝４．给出下列三个结论:①曲线C 恰好经过６个整点(即横㊁纵坐标均为整数的点);②曲线C 上任意一点到原点的距离都不大于２２;③曲线C 上任意一点到原点的距离都不小于２．其中正确结论的个数是(㊀㊀)．A．０㊀㊀B ．１㊀㊀C ．２㊀㊀D．３设Z (x ,y )为曲线C 上任意一点,现将该曲线绕原点旋转θ,其中当θȡ０时,将复数z对应的点绕原点逆时针旋转|θ|;当θ＜０时,将复数z 对应的点绕原点顺时针旋转|θ|．设Z (x ,y )旋转到Z ᶄ(x ᶄ,yᶄ),由上可知x ＝x ᶄc o s θ＋yᶄs i n θ,y ＝－x ᶄs i n θ＋yᶄc o s θ．{将上式代入曲线C 的方程,得(x ᶄc o s θ＋y ᶄs i n θ)２＋(x ᶄc o s θ＋yᶄs i n θ) (－x ᶄs i n θ＋y ᶄc o s θ)＋(－x ᶄs i n θ＋yᶄc o s θ)２＝４．整理得(１－s i n θc o s θ)x ᶄ２＋(１＋s i n θc o s θ)y ᶄ２＋(c o s ２θ－s i n ２θ)x ᶄyᶄ＝４．取θ＝π４,则方程为x ᶄ２２＋３y ᶄ２２＝４,即x ᶄ２８＋３y ᶄ２８＝１．所以曲线C 是长半轴长为２２㊁短半轴长为２６３的椭圆,所以②正确,③错误．６１非常道可通过求解方程组x ２＋x y ＋y ２＝４,x ＝n{或x ２＋x y ＋y ２＝４,y＝n {(n ɪZ )计算曲线C 上整数点的个数,易知①正确,整数点为(０,ʃ２),(ʃ２,０),(２,－２),(－２,２)．综上,①②正确,③错误,故选C ．补充㊀对于②③,通过观察㊁类比㊁转化,设P (x ,y )为曲线C 上任意一点,则|O P |＝x ２＋y ２,显然曲线C 包含x ２＋y ２的结构,因此求解的关键在于对x y 的观察㊁分析和转化．当x y ȡ０时,x ２＋y ２＝４－x y ɤ４,则|O P |＝x ２＋y ２ɤ２．例如,点P 的坐标为(１,－１＋１３２)时,x y ＞０,则|O P |＜２,所以③错误．当x y ɤ０时,x ２＋y ２＝４－x y ȡ４,则|O P |＝x ２＋y ２ȡ２,因此|O P |的最大值在此种情况下取得．由均值不等式,可得x ２＋y ２ȡ－２x y ,所以x ２＋y ２＝４－x y ɤ４＋x ２＋y ２２,则x ２＋y ２ɤ８(当且仅当x ＝y ＝ʃ２２时,等号成立),故当x ＝y ＝ʃ２２时,O P 取得最大值２２．综上所述,对二次曲线A x ２＋B x y ＋C y ２＋D x ＋E y ＋F ＝０的转化,关键在于消去x y 项．特别地,当A ＝C 且B ʂ０时,将曲线顺时针或逆时针旋转π４(即令θ＝ʃπ４),即可消去x y ．例如,用上述方法让曲线x y ＝１逆时针旋转π４,得到曲线y ᶄ２２－x ᶄ２２＝１为等轴双曲线,即反比例函数的图象为双曲线．３㊀反思与总结复数是一种重要的工具,不仅能广泛应用于其他学科,也能应用在解决数学学科其他分支的问题．复数可作为沟通几何与代数的一种工具,本文利用复数的三角形式和复数的乘法,将平面曲线的旋转变换代数化．具体而言,利用复数的三角形式和复数的乘法将平面上的二次曲线方程转化为圆或其他圆锥曲线的标准方程,再将运算转化为曲线的旋转变换,即可知一般的二次曲线方程表示的是哪种曲线,也就能更准确地掌握二次曲线的性质,这是一种研究平面二次曲线的一般方法．(作者单位:人大附中北京经济技术开发区学校)Җ㊀江苏㊀张㊀琥(正高级教师)㊀㊀数 具有精确性, 形 具有直观性,利用数形结合的方法能将复杂的图形问题转化为简洁的代数问题,将抽象的代数问题转化为直观的图象问题． 数 与形 的相互转化就是把问题由抽象变为具体,由复杂变为简单的过程．数形结合方法在探究方程(组)解的个数㊁函数零点的个数㊁参数范围求值或比较大小等问题中应用广泛,特别是用数形结合方法来求解相关客观题可以起到事半功倍的效果．１㊀考点回顾以形助数,以数解形 ,可以使复杂问题简单化㊁抽象问题具体化．在高考中,常常利用客观题的方式来考查数形结合方法,突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形来解决问题的意识,而在解答题中对数形结合思想的考查则是以由 形 到 数 的转化为主．高考中对数形结合方法的考查,一方面是考查一些几何问题如何用代数方法来处理;另一方面,考查一些代数问题如何依靠几何图形的构造和分析帮助解决．高考试卷中的许多试题都富有鲜明的几何意义,运用数形结合方法有助于把握数学问题的本质,从而迅速作出正确的判断．２㊀典题剖析２ １㊀方程(或方程组)解(或函数零点)的个数问题例１㊀设定义域为R 的函数f (x )＝|l g|x －１||,x ʂ１,０,x ＝１,{则关于x 的方程f ２(x )＋b f (x )＋c ＝０有７个不同实数解的充要条件是(㊀㊀)．A ．b ＜０且c ＞０㊀㊀㊀B ．b ＞０且c＜０C ．b ＜０且c ＝０D ．b ȡ０且c ＝０㊀㊀图１画出函数y ＝f (x )的图象(如图１),该图象关于x ＝１对称,且f (x )ȡ０,令f (x )＝t ,若f ２(x )＋b f (x )＋c ＝０有７个不同实数解,则方程t ２＋b t ＋c ＝０有２个不同实数解,且１７１。
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[想一想] 若曲线与方程的对应关系中只满足 (2)条会怎
样？
提示：若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的
点”，则以这个方程的解为坐标的点的集合形成的曲线可能是已
知曲线的一部分，也或许是整条曲线．
第八章ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ第8讲
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(3)到 x 轴的距离为 5 的点的轨迹方程为 y＝5.(×)
(4)曲线 2x2－3y2－2x＋m＝0 过原点的充要条件是 m＝0.(√)
第八章 第8讲
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提示：(1)表示去掉(0,2)的直线，(2)中，BC 边长的中线方程
第八章 第8讲
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(3)代入法：也叫相关点法，其特点是，动点 M(x，y)的坐标取决 于已知曲线 C 上的点(x′，y′)的坐标，可先用 x，y 表示 x′、y′， 再代入曲线 C 的方程，即得点 M 的轨迹方程．
(4)参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标 x、y，得 出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程. 常见的参数有 角度、直线的斜率、点的横纵坐标、线段长度等.
第八章 第8讲
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数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
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4 种必会方法——求曲线轨迹方程的方法 (1)直接法：也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几 何关系，再利用解析几何有关公式(两点间距离公式、点到直线 距离公式等)进行整理、化简． (2)定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再 确定其中的基本量．
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1 点必记区别——轨迹与轨迹方程的区别 求轨迹方程只求出方程即可，求轨迹时，首先求出轨迹方程，然 后说明轨迹的形状、位置、大小．若轨迹有不同的情况，应分别 讨论，以保证它的全面性．
－x，x≥0， x，x<0，
第八章 第8讲
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(3)设 M(x，y)，则 P(2x,2y)，代入双曲线方程得
x2－4y2＝1，即为所求．
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[判一判] 判断下列说法是否 正确(在括号内 填“√”或
“× ”)．
(1)方程y－x 2＝1 表示斜率为 1，在 y 轴上的截距为 2 的直
线．(×)
(2)△ABC 三个顶点的坐标分别是 A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，
BC 边上的中线的方程是 x＝0.(×)
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[填一填] (1)直角坐标平面 xOy 中，若定点 A(1,2)与动点
P(x，y)满足O→P·O→A＝4，则点 P 的轨迹方程是x＋2y－4＝0 .
(2)曲线 y＝－ 1－x2与曲线 y＋|x|＝0 的交点的个数为 2 个． (3)设 P 为双曲线x42－y2＝1 上一动点，O 为坐标原点，M 为 线段 OP 的中点，则点 M 的轨迹方程是 x2－4y2＝1 .
为 x＝0(0≤y≤3)，(3)中轨迹方程为 y＝±5.
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考点 2 求曲线方程的基本步骤
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01抓住2个必备考点
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考点 1 曲线与方程
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或
适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实
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第八章 平面解析几何
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第8讲 曲线与方程
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1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2. 了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本 方法． 3. 能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.
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提示：(1)(x，y)·(1,2)＝4，即 x＋2y－4＝0.
如图可知有两个交点．
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(2) y ＝ － 1－x2 即 x2 ＋ y2 ＝ 1(y≤0) ， 而 y ＝ － |x| ＝