苏教版学高中数学必修二平面解析几何初步圆的方程圆的标准方程讲义

学习目标核心素养１．会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．（重点、难点）２．会根据已知条件求圆的标准方程．（重点）３．能准确判断点与圆的位置关系．（易错点）通过学习本节内容来提升学生的数学运算和直观想象核心素养.１．圆的定义及标准方程（１）圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径．（２）圆的标准方程圆特殊情况一般情况圆心（0，0）（a，b）半径r（r>0）r（r>0）标准方程x２＋y２＝r２（x—a）２＋（y—b）２＝r２备注确定圆的标准方程的关键是确定圆心和半径设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系d＞r d＝r d＜r１．思考辨析（１）方程（x—a）２＋（y—b）２＝m２一定表示圆．（）（２）确定一个圆的几何要素是圆心和半径．（）（３）圆（x＋１）２＋（y＋２）２＝４的圆心坐标是（１，２），半径是４．（）（４）点（0，0）在圆（x—１）２＋（y—２）２＝１上．（）[答案] （１）×（２）√（３）×（４）×２．圆（x—２）２＋（y＋３）２＝２的圆心和半径分别是________．[答案] （２，—３），错误!３．若点P（—１，错误!）在圆x２＋y２＝m２上，则实数m＝__________．２或—２[把点P（—１，错误!）代入x２＋y２＝m２，得１＋３＝m２，∴m＝２或—２．]求圆的标准方程（１）圆心为点C（8，—３），且经过点P（５，１）；（２）以P１（１，２），P２（—３，４）为直径的端点；（３）与x轴相交于A（１，0），B（５，0）两点且半径为错误!.思路探究：（１）（２）直接求出圆心半径代入求解；（３）设出圆的标准方程，由已知条件列方程组求解．[解] （１）由题意可知，圆的半径r＝PC＝错误!＝５，所以圆的标准方程为（x—8）２＋（y＋３）２＝２５．（２）由题意可知，P１，P２的中点P的坐标为（—１，３）．又P１P２＝错误!＝２错误!，所以圆的半径为错误!P１P２＝错误!.即所求圆的标准方程为（x＋１）２＋（y—３）２＝５．（３）法一：设圆的标准方程为（x—a）２＋（y—b）２＝５．因为点A，B在圆上，所以可得到方程组：错误!解得错误!或错误!所以圆的标准方程是（x—３）２＋（y—１）２＝５或（x—３）２＋（y＋１）２＝５．法二：由于A，B两点在圆上，所以线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，知这个圆的圆心在线段AB的垂直平分线x＝３上，于是可以设圆心为C（３，b），又由AC＝错误!，得错误!＝错误!，解得b＝１或b＝—１，所以圆的标准方程为（x—３）２＋（y—１）２＝５或（x—３）２＋（y＋１）２＝５．求圆的标准方程的常用方法（１）待定系数法（代数法）：设出圆的标准方程，方程中有三个未知数a，b，r，根据题目条件列出a，b，r的方程组求解，代数法体现了方程思想．（２）几何法：即利用圆的几何性质直接求出圆心和半径的方法，几何法体现了数形结合的思想．１．已知圆心为C的圆经过点A（0，２）和B（—３，３），且圆心C在直线l：x＋y＋５＝0上．求圆C的标准方程．[解] 法一：设圆的方程为（x—a）２＋（y—b）２＝r２，则错误!解得错误!∴圆的标准方程为（x＋３）２＋（y＋２）２＝２５．法二：因为A（0，２），B（—３，３），所以线段AB的中点坐标为错误!，直线AB的斜率k AB＝错误!＝—错误!，故线段AB的垂直平分线方程是y—错误!＝３错误!，即３x—y＋7＝0．由错误!得错误!所以圆心C的坐标为（—３，—２）．∴圆的半径r＝AC＝错误!＝５，所以圆C的标准方程为（x＋３）２＋（y＋２）２＝２５．圆的方程的实际应用水面宽多少m？（结果保留两位小数）思路探究：由条件，此问题应首先建立坐标系，转化为求圆的方程，再利用条件求水面宽度．[解] 以拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴建立直角坐标系如图所示，设圆拱所在圆的圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则A（6，—２）．设圆的方程为x２＋（y＋r）２＝r２，将A（6，—２）代入方程，得r＝１0，∴圆的方程为x２＋（y ＋１0）２＝１00，当水面下降１m后，可设点A′（x0，—３）（x0>0）．如图所示，将A′（x0，—３）代入圆的方程，求得x0＝错误!，∴水面下降１m，水面宽为２x0＝２错误!≈１４．２8（m）．本题考查应用坐标法研究与平面图形有关的实际问题，因此，要建立适当的坐标系，利用圆的方程来解决．一般思路是根据题设条件建立适当的直角坐标系，把实际问题转化为数学问题，通过待定系数法设圆的方程进行求解．２．已知隧道的截面是半径为４m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为３m，高为３．５m的货车能不能驶入这个隧道？[解] 如图，以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，那么半圆的方程为x２＋y２＝１6（y≥0），将x＝３代入得y＝错误!＝错误!<错误!＝３<３．５，即在离中心线３m处，隧道的高度低于货车的高度．因此，该货车不能驶入这个隧道．点与圆的位置关系１．点（１，１）是否在圆（x—１）２＋y２＝２上？[提示] 点（１，１）不在圆（x—１）２＋y２＝２上，因为将点（１，１）代入圆的方程左边得（１—１）２＋１２＝１≠２．２．在探究１中，点（１，１）与圆（x—１）２＋y２＝２是什么关系？[提示] 点（１，１）在圆内．３．如何判断点（m，n）与圆（x—a）２＋（y—b）２＝r２的位置关系？[提示] 将点A（m，n）代入方程左边，若（m—a）２＋（n—b）２＝r２，点A在圆上；若（m—a）２＋（n—b）２<r２，点A在圆内；若（m—a）２＋（n—b）２>r２，点A在圆外．【例３】已知圆C的标准方程为（x—５）２＋（y—6）２＝a２（a＞0）．（１）若点M（6，9）在圆上，求半径a；（２）若点P（３，３）与Q（５，３）有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围．思路探究：（１）点在圆上，满足圆的方程求得a值．（２）点在圆内（外），则点与圆心的距离小于（大于）圆的半径，求a的范围．[解] （１）∵点M（6，9）在圆上，∴（6—５）２＋（9—6）２＝a２，即a２＝１0．又a＞0，∴a＝错误!.（２）∵PC＝错误!＝错误!，QC＝错误!＝３，PC＞QC，故点P在圆外，点Q在圆内，∴３＜a＜错误!.判断点与圆的三种位置关系有两种方法：（１）将所给的点M到圆心C的距离与半径r比较：若CM＝r，则点M在圆上；若CM＞r，则点M在圆外；若CM＜r，则点M在圆内．（２）可用圆的标准方程来确定．点M（m，n）在圆C上⇔（m—a）２＋（n—b）２＝r２；点M（m，n）在圆C外⇔（m—a）２＋（n—b）２＞r２；点M（m，n）在圆C内⇔（m—a）２＋（n—b）２＜r２.３．已知两点M（３，8）和N（５，２）．（１）求以MN为直径的圆C的方程；（２）试判断P１（２，8），P２（３，２），P３（6，7）是在圆上，在圆内，还是在圆外？[解] （１）法一：设圆心C（a，b），半径r，则由C为MN的中点得a＝错误!＝４，b＝错误!＝５，由两点间的距离公式得r＝CM＝错误!＝错误!.∴所求圆的方程为（x—４）２＋（y—５）２＝１0．法二：∵直径所对的圆周角是直角，∴对于圆上除M，N外任意一点P（x，y），有PM⊥PN，即k PM·k PN＝—１，∴错误!·错误!＝—１（x≠３且x≠５）．化简得x２＋y２—8x—１0y＋３１＝0，即（x—４）２＋（y—５）２＝１0．又∵M（３，8），N（５，２）的坐标满足方程，∴所求圆的方程为（x—４）２＋（y—５）２＝１0．（２）分别计算点到圆心的距离CP１＝错误!＝错误!>错误!，CP２＝错误!＝错误!，CP３＝错误!＝错误!<错误!，因此，点P２在圆上，点P１在圆外，点P３在圆内．１．本节课的重点是会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征，能根据所给条件求圆的标准方程，掌握点与圆的位置关系．难点是根据所给条件求圆的标准方程．２．本节课要重点掌握的规律方法（１）求圆的标准方程的方法．（２）判断点与圆的位置关系的方法．（３）求与圆有关的最值的方法．３．本节课的易错点是求圆的标准方程中易漏解．１．已知圆的方程是（x—２）２＋（y—３）２＝４，则点P（３，２）与圆的位置关系是（）Ａ．在圆内Ｂ．在圆上Ｃ．在圆外Ｄ．是圆心A[（３—２）２＋（２—３）２＝２<４．∴P点在圆内．]２．圆心在第二象限，半径为１，并且与x，y轴都相切的圆的方程为________．（x＋１）２＋（y—１）２＝１[由条件知，|a|＝|b|＝r＝１．∵圆心在第二象限，∴a＝—１，b＝１，∴所求的方程为（x＋１）２＋（y—１）２＝１．]３．与圆（x—２）２＋（y＋３）２＝１6同圆心且过点P（—１，１）的圆的方程是________．（x—２）２＋（y＋３）２＝２５[由题意，设所求圆的方程为（x—２）２＋（y＋３）２＝r２，则有（—１—２）２＋（１＋３）２＝r２，即r２＝２５，故所求圆的方程为（x—２）２＋（y＋３）２＝２５．]４．已知直线l与圆C相交于点P（１，0）和点Q（0，１）．（１）求圆心所在的直线方程；（２）若圆C的半径为１，求圆C的方程．[解] （１）PQ中点M错误!，k PQ＝—１，所以圆心所在的直线方程为y＝x.（２）由条件设圆的方程为：（x—a）２＋（y—b）２＝１，由圆过P，Q点得错误!解得错误!或错误!所以圆C的方程为：x２＋y２＝１或（x—１）２＋（y—１）２＝１．。