高中数学极坐标与参数方程知识点

极坐标与参数方程知识点

（一）曲线的参数方程的定义：

在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y 都是某个变数t 的函数，即

x f (t)

y f (t)

并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下：

1．过定点（x0，y0），倾角为α的直线：

x y x

y

t

t

c os

sin

（t 为参数）

其中参数t 是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t 点M（x，y）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．

根据t 的几何意义，有以下结论．

○1 ．设A、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B，则AB ＝t

B t A ＝

2

(t B t ) 4t t

A A B

．

○2 ．线段AB 的中点所对应的参数值等于t A t

2

B ．2．中心在（x0，y0），半径等于r 的圆：

x y x

y

r

r

c os

sin

（为参数）

3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：

x y a

cos

b s in

（为参数）（或

x

y

b c os

a s in

）

中心在点（x0,y0 ）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程

x y x

y

a

b

cos

sin

,

.

(

为参数）

4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：

1

x y

a sec

btg

（ 为参数） （或

x

y

b tg asec

）

5．

顶

点

在

原

点，焦点在 x

轴正半轴上线： 2 x 2pt

（t 为参数， p ＞0）

y 2pt 直线的参数方程和参数的几何意义 过定点 P （x 0，y 0），倾斜角为 的直线的参数方程是 x y x 0

y

0 t t c os s in （t 为参数）． （三）极坐标系 1、定义：在平面内取一个定点 O ，叫做极点，引一条射线 Ox ，叫做极轴，再选一个长度单 位和角度的正

方向（通常

取

逆

时针方

向）

。对于平面

内的任意一

点 M

，

用ρ表OM 的长 度，θ表示从 Ox 到 OM 的角，ρ叫做点 M 的极径，θ叫做点 M 的极角，有序数对 ( ρ, θ) 就叫做点 M 的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。 M

x

O 1 2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与 直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数 、 对应 惟一点 P( ， )，但平面内任一个点 P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些 坐标又有规律可循的， P( ， )（极点除外）的全部坐标为 ( , ＋ 2k )或（ ， ＋ ( k ），( k Z )

．

极2 1) 除极点外， 平面上点的极坐标就惟一了， 如限定 >0，0≤ ＜ 2 或 <0， ＜ ≤ 等． 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中， 点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的． 3

、直线相对

于极坐标

⑴ 0 ⑵ a cos ⑶

a cos ⑷ a sin ⑸ a sin ⑹ cos( a ) 2

M

（，）M

M

O x

O a 图1

图2 a O 图

3

a

a

cos

cos

M

（，）M

O

a

N

( a, )

a a

O

图4

a

sin M

图5

a

sin

O

图

6

p

a

cos(

)

4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为(a 0) ：

⑴ a ⑵2a c os ⑶2a cos

⑷2a s in ⑸2a sin ⑹2a cos( )

M

M

M

a

a O x

O x a x

O

图3

图2

图1

2a c os

2a c os

a

O x

M M

a a

M

(a ,)

a

O

图4 x

图5

O x

图6

2asin 2a

sin

2a c os( )

3